第六章第3课时知能演练轻松闯关
3.2第二课时知能演练轻松闯关
3.2第二课时知能演练轻松闯关C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，1a ∪(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ，＋∞ 解析：选 D.原不等式变形得：(ax －1)(x ＋1)<0又a <－1，∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x ＋1)>0 解得：x <－1或x >1a ，则原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a ，＋∞. 4．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 解析：选C.3 000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150.5．在R 上定义运算×：A ×B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )×(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：选 C.(x －a )×(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，∴－x 2＋x ＋a 2－a <1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0，∴(2a －3)(2a ＋1)<0，即－12<a <32. 6．已知A ＝{x |ax 2－2x －1＝0}，如果A ∩R ＋＝∅则a 的取值范围是________．解析：(1)若a ＝0时，则A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－12，满足A ∩R ＋＝∅.(2)若a ≠0时，①Δ＝4＋4a <0时，即a <－1，A ＝∅，满足A ∩R ＋＝∅.②Δ≥0时，即a ≥－1，要使A ∩R ＋＝∅.只得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ Δ≥02a <0－1a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1a <0⇒－1≤a <0. 综上所述，a 的取值范围为{a |a ≤0}．答案：{a |a ≤0}7．(2019·银川质检)不等式x 2＋mx ＋m 2＞0恒成立的条件是________．解析：x 2＋mx ＋m 2＞0恒成立，等价于Δ＜0， 即m 2－4×m 2＜0⇔0＜m ＜2. 答案：0＜m ＜28．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)，(x >8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度x －8x .第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(x －8)－4(x －8)x 升． 依题意，得(x －8)－4(x －8)x ≤28%·x .由于x >0，因而原不等式化简为9x 2－150x＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.解得103≤x ≤403.又x >8，∴8<x ≤403. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤8，403 9．不等式3x 2＋6≤19x 的解集为A ，不等式1－x 2＋x＜0的解集为B ，求A ∩B . 解：解不等式3x 2＋6≤19x ，得13≤x ≤6， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪13≤x ≤6. 解不等式1－x 2＋x＜0，得x ＜－2或x ＞1， ∴B ＝{x |x ＜－2或x ＞1}．∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤6}．10．不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x －4＜0对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围．解：(1)若m －2＝0，即m ＝2时，不等式可化为－4＜0，这个不等式与x 无关，即对一切x ∈R 都成立．(2)若m －2≠0，即m ≠2时，不等式为一元二次不等式．由解集为R ，知抛物线y ＝(m －2)x 2＋2(m －2)x －4开口向下，且与x 轴无交点，故有⎩⎨⎧ m －2＜0，Δ＜0，即⎩⎨⎧m －2＜0，4(m －2)2－4(m －2)·(－4)＜0， 解得－2＜m ＜2.综上所述，m 的取值范围是(－2,2]．1．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则不等式0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 11 x <1的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(1, 2) 解析：选C.依题意有0<x 2－1<1，即1<x 2<2 ∴⎩⎨⎧x 2>1⇒x <－1或x >1x 2<2⇒－2<x <2∴原不等式的解集为(－2，－1)∪(1，2)．2．若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3<1的解集为________．解析：若不等式x2－2ax＋a>0对一切实数x ∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a<0，即a2－a<0，解得0<a<1，∴不等式at2＋2t－3<1转化为t2＋2t－3>0，解得t<－3或t>1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制订这批台灯的销售价格？解：设这批台灯的销售价定为x元，则[30－(x－15)×2]·x＞400，即x2－30x＋200＜0，因方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200＜0的解为10＜x＜20，又因为x≥15，所以15≤x＜20.故应将这批台灯的销售价格制订在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．。
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1.(2012·渝北调研)已知a >b >0，则证明a －b <a －b 可选择的方法，以下最合理的是( )A ．综合法B ．分析法C ．类比法D ．归纳法解析：选B.首先，排除C 、D.然后，比较综合法、分析法． 我们选择分析法，欲证：a －b <a －b ，只需证：a <b ＋a －b ，即证：a <b ＋(a －b )＋2b （a －b ），只需证：0<2b （a －b ），显然成立，原不等式得证．2.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足的条件为( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C.若∠A 为钝角，则由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即b 2＋c 2<a 2. 3.(2011·高考天津卷)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b解析：选B.∵2<3.6<4，∴log 23.6>1>log 43.6.又∵log 43.6>log 43.2，∴a >c >b .4.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析：∵b ＝47＋3，c ＝46＋2， 显然b <c .而a 2＝2，∴c 2＝(6－2)2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2，∴a >c ，∴a >c >b .答案：a >c >b一、选择题1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选A.①②③④正确．2.(2011·高考北京卷)如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 解析：选D.不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧log 12x <log 12y log 12y <0，⇒1<y <x .3.某同学证明不等式7－1＞11－5的过程如下： 要证7－1＞11－5，只需证7＋5＞11＋1，即证7＋27×5＋5＞11＋211＋1，即证35＞11，即证35＞11.因为35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法，分析法结合使用D ．其他证法解析：选B.根据分析法的思维特点可判定出来．4.(2012·江北检测)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b (a >0，b >0)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：选A.由于a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b， 又函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b . 5.(2012·南川检测)已知A ，B 为△ABC 的两个内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B .6.若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：选C.由于P >0，Q >0，所以要比较P 与Q 的大小，只须比较P 2与Q 2的大小． Q 2－P 2＝(a ＋3＋a ＋4)2－(a ＋a ＋7)2＝2a 2＋7a ＋12－2a 2＋7a .∵a 2＋7a ＋12>a 2＋7a ，∴a 2＋7a ＋12>a 2＋7a ，∴2a 2＋7a ＋12>2a 2＋7a ，∴Q 2>P 2，∴Q >P .二、填空题7.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥08.(2011·高考天津卷)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时“＝”号成立)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18. 答案：189.已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1.解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1，只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2.只需使(1－x 2－y )2＝0，即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1.答案：1三、解答题10.已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac a< 3. 证明：∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，要证原不等式成立，只要证b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，也即证(a ＋c )2－ac <3a 2，即(a －c )(2a ＋c )>0，∵a －c >0，2a ＋c ＝(a ＋c )＋a＝a －b >0.∴(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．11.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE ；(2)证明：PD ⊥平面ABE .证明：(1)在四棱锥P -ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC .而AE ⊂平面P AC ，∴CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A ，∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵P A ⊥底面ABCD ，PD 在底面ABCD 内的射影是AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD ，又∵AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .12.(创新题)已知非向零量a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2. 证明：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.要证|a |＋|b ||a －b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a －b |， 平方得|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2(|a |2＋|b |2－2a ·b )，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，显然成立．故原不等式得证．。
湘教版数学选修2-24.3.1知能演练轻松闯关.docx
1.命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.例如：f (x )＝x 3在(－1，1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 2.(2012·荣昌质检)函数y ＝x －ln(1＋x )的单调增区间为( ) A ．(－1，0) B ．(－∞，－1)和(0，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：选C.y ′＝1－11＋x ＝x 1＋x .令y ′＞0，得x 1＋x＞0，∴x ＞0或x ＜－1.又x ＋1＞0，∴x ＞0.3.若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )上是增函数，所以f (x )>f (a )≥0. 4.(2011·高考江苏卷改编)函数f (x )＝2log 5x ＋1的单调增区间是________． 解析：令f ′(x )＝2x ln5>0，得x ∈(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)一、选择题1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.2.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0，1)B ．(0，1)和(－∞，－1)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A.y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，由y ′＝x －1x ＝x 2－1x＜0，∴0＜x ＜1.所以选A.3.(2012·梁平检测)设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a )解析：选C.令F (x )＝f （x ）g （x ），则F ′(x )＝f ′（x ）·g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＜0.∵f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数，∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f （x ）g （x ）＞f （b ）g （b ）.∴f (x )g (b )＞f (b )g (x )． 4.已知函数y ＝f (x )在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( ) A ．[－43，1]∪[113，6]B ．[－3，0]∪[73，5]C ．[－4，－43]∪[1，73]D ．[－4，－3]∪[0，1]∪[5，6] 解析：选A.由不等式f ′(x )≤0的解集即为原函数f (x )的单调递减区间所对应的x 的取值范围，知选A.5.设f (x )，g (x )在(a ，b )上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时有( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )解析：选C.利用函数的单调性判断．令φ(x )＝f (x )－g (x )，则φ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )，∵f ′(x )＞g ′(x )，∴φ′(x )＞0，即函数φ(x )为定义域上的增函数．又a ＜x ＜b ，∴φ(a )＜φ(x )，即f (a )－g (a )＜f (x )－g (x )，从而得f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )． 6.(2012·大足质检)函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2B.()π，2πC.⎝⎛⎭⎫3π3，5π2D.()2π，3π解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立． 二、填空题7.函数y ＝3x －x 3在(－1，1)内的单调性是________． 解析：y ′＝3－3x 2，由y ′＞0得－1＜x ＜1， ∴y ＝3x －x 3在(－1，1)内单调递增． 答案：增函数8.y ＝x 2e x 的单调递增区间是________． 解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)9.(2012·奉节调研)若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0， ∴a >0.答案：(0，＋∞) 三、解答题10.求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3＋3x；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1，由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)， 递减区间为(－1，0)，(0，1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，则区间[0，2π]被分成三个子区间，如表所示： x 0 (0，π3)π3 (π3，π) π (π，5π3) 5π3 (5π3，2π) 2πf ′(x ) ＋0 － 0 － 0 ＋f (x )↗↘↘↗∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为(π3，53π)． 11.(2012·北碚质检)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x (－∞，x 1)x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋f (x )↗↘↗∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0，f (x )在(x 1，x 2)上单调递减．由此可得f (x )在[－1，1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 12.(创新题)设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ， x ＜1，－x －1，x ≥1，F (x )＝f (x )－kx ，x ∈R.试讨论函数F (x )的单调性．解：F (x )＝f (x )－kx ＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x －kx ， x ＜1，－x －1－kx ，x ≥1.F ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1（1－x ）2－k ， x ＜1，－12x －1－k ，x ≥1.对于F (x )＝11－x－kx (x ＜1)，当k ≤0时，函数F (x )在(－∞，1)上是增函数；当k ＞0时，函数F (x )在(－∞，1－1k )上是减函数，在(1－1k ，1)上是增函数．对于F (x )＝－x －1－kx (x ≥1)，当k ≥0时，函数F (x )在(1，＋∞)上是减函数；当k ＜0时，函数F (x )在(1，1＋14k 2)上是减函数，在(1＋14k2，＋∞)上是增函数．。
湘教版数学选修2-26.2.2知能演练轻松闯关.docx
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析：选C.由反证法的基本思想知①②③可作为条件使用．2.(2012·涪陵调研)用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选B.“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．3.“至多有两个解”的否定应是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解解析：选C.“至多有两个”包括“0个，1个，2个”，其否定应为“至少有三个”．故选C.4.(2012·荣昌检测)有下列叙述：①“a>b”的反设是“a<b”；②“x＝y”的反设是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反设是“三角形的外心在三角形内”．其中正确的叙述有________．解析：①的反设是“a≤b”；②的反设是“x≠y”，也就是“x>y或x<y”；③的反设是“三角形的外心在三角形内或在三角形边上”．只有②正确．答案：②一、选择题1.否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的为( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 都是奇数或其中至少有两个偶数解析：选D.对照常见反设表即知自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数的否定为a ，b ，c 都是奇数或其中至少有两个偶数．2.用反证法证明命题“若整系数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数解析：选B.至少有一个的反设是至多有(1－1)个即0个，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数的反设为“a ，b ，c 都不是偶数”．3.(2012·渝北调研)用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容是( ) A.3a ＝3bB.3a <3bC.3a ≥ 3bD.3a ＝3b 或3a <3b解析：选D.反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，3a >3b 的反面是3a <3b 或3a ＝3b .4.设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：选C.若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6①，而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6②，显然①与②矛盾，所以C 正确．5.已知f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R ，有下列四个命题：①若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；②若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0；③若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )；④若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D.易知①③正确，②用反证法：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )与条件矛盾，故a ＋b ≥0，从而②为真命题，④类似于②用反证法．6.(2012·秀山质检)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin （π2－A 1），sin B 2＝cos B 1＝sin （π2－B 1），得sin C 2＝cos C 1＝sin （π2－C 1）， ⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，那么A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角C 2＝π2－C 1， 和为π相矛盾，所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D.二、填空题7.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．解析：对其的否定有两部分：一是任何三角形；二是至少有两个．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角8.在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP ，用反证法证明时应分：假设________和________两类．解析：∠BAP ＜∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP ∠BAP ＞∠CAP9.设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．解析：假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾．故a 、b 、c 中至少有一个不小于13. 答案：13三、解答题10.用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，不妨设α，β为其两个实根，且α<β，则f (α)＝f (β)＝0.因为函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，又α<β，所以f (α)<f (β)，这与假设f (α)＝f (β)＝0相矛盾．所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．11.(创新题)已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14. 证明：假设三个式子同时大于14， 即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14， 三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143， ① 又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14. 同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14， 所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143， ②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．12.(2011·高考江西卷节选)是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由． 解：假设存在两个等比数列{a n }，{b n }，使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．设{a n }的公比为q 1，{b n }的公比为q 2，则b 2－a 2＝b 1q 2－a 1q 1，b 3－a 3＝b 1q 22－a 1q 21，b 4－a 4＝b 1q 32－a 1q 31.由b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成等差数列，得⎩⎪⎨⎪⎧2（b 1q 2－a 1q 1）＝b 1－a 1＋（b 1q 22－a 1q 21），2（b 1q 22－a 1q 21）＝b 1q 2－a 1q 1＋（b 1q 32－a 1q 31）， 即⎩⎪⎨⎪⎧b 1（q 2－1）2－a 1（q 1－1）2＝0， ①b 1q 2（q 2－1）2－a 1q 1（q 1－1）2＝0， ② ①×q 2－②得a 1(q 1－q 2)(q 1－1)2＝0.由a 1≠0得q 1＝q 2或q 1＝1.a ．当q 1＝q 2时，由①②得b 1＝a 1或q 1＝q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．b ．当q 1＝1时，由①②得b 1＝0或q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾． 综上所述，不存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．。
人教物理选修3-2：第五章第三节知能演练轻松闯关
1.下列说法中正确的是()A．感抗是由于电流变化时在线圈中产生了自感电动势，阻碍电流的变化B．感抗大小不仅与自感系数有关，还与电流的频率有关C．当电容器接到交流电源上时，因为有自由电荷通过电容器，电路中才有交变电流D．容抗的大小不仅与电容有关，还与电流的频率有关解析：选ABD.交流电通过线圈时，由于电流时刻变化，在线圈中产生自感电动势，自感电动势总是阻碍电流变化，这就是产生感抗的原因，A正确．频率越高，电流变化越快，自感电动势越大；线圈自感系数越大，自感电动势越大，对电流的变化阻碍作用越大，感抗越大，B正确．电容器能通交变电流的实质是通过反复充、放电来实现的，并无电荷通过电容器，所以C错．频率越高，充、放电越快，容抗越小，故D对．2.(2012·新疆一中高二检测)下列说法正确的是()A．电阻对直流、交流的阻碍作用相同，电流通过电阻时，消耗电能B．电容器接在直流电路中，因为没有电流，所以不消耗电能，接在交流电路中，有交变电流，所以消耗电能C．感抗虽然对交变电流有阻碍作用，但不消耗能量D．感抗是线圈的电阻产生的答案：AC图5－3－133.一个灯泡通过一个粗导线的线圈与一交流电源相连接，如图5－3－13所示．一铁块插进线圈之后，该灯将()A．变亮B．变暗C．对灯没影响D．无法判断解析：选B.加入铁芯改变了电感自感系数，自感系数增大，感抗增大，降落的电压增大，降落在灯上的电压减小，所以灯变暗．图5－3－144.如图5－3－14所示，接在交流电源上的电灯泡正常发光，以下说法正确的是() A．把电介质插入电容器，灯泡变亮B．增大电容器两板间的距离，灯泡变亮C．减小电容器两板间的正对面积，灯泡变暗D．使交变电流频率减小，灯泡变暗解析：选ACD.电容器的电容与介电常数成正比，与正对面积成正比，与两板间距离成反比．而容抗与电容成反比，与频率成反比．把介质插入电容器，电容变大，容抗减小，灯泡变亮，A正确．电容器两板间距离增大，电容减小，容抗增大，灯泡变暗，B错．减小电容器两极正对面积，电容减小，容抗增大，灯泡变暗，C正确．交流电的频率减小，容抗增大，灯泡变暗，D正确．5.如图5－3－15所示，线圈L的自感系数和电容器C的电容都很小(如L＝100 μH，C＝100 pF)，此电路的主要作用是()图5－3－15A．阻直流通交流，输出交流电B．阻交流通直流，输出直流电C．阻低频通高频，输出高频交流电D．阻高频通低频，输出低频交流电或直流电解析：选D.因线圈L的自感系数很小，所以对低频交流电的阻碍作用很小，这样直流和低频交流电能顺利通过线圈；电容器C为旁路电容，因其电容很小，对低频交变电流的阻碍作用很大，对高频交流电的阻碍作用很小，这样通过线圈的高频电流又经电容器C形成回路，最终输出的应为低频交流电或直流电，所以选项D正确．一、选择题1.交变电流通过一段长直导线时，电流为I，如果把这根长直导线绕成线圈，再接入原电路，通过线圈的电流为I′，则()A．I′＞I B．I′＜IC．I′＝I D．无法比较解析：选B.长直导线的自感系数很小，感抗可忽略不计，其对交变电流的阻碍作用可以看做是纯电阻，流经它的交变电流只受到导线电阻的阻碍作用．当导线绕成线圈后，电阻值未变，但自感系数增大，对交变电流不但有电阻，而且有感抗，阻碍作用增大，电流减小．2.对电容器能通过交变电流的原因，下列说法正确的是()A．当电容器接到交流电源上时，因为有自由电荷通过电容器，电路中才有交变电流B．当电容器接到交流电源上时，电容器交替进行充电和放电，电路中才有交变电流C．在有电容器的交流电路中，没有电荷定向移动D．在有电容器的交流电路中，没有电荷通过电容器解析：选BD.电容器实质上是通过反复充、放电来实现通电的，并无电荷流过电容器．图5－3－163.如图5－3－16所示的电路中，正弦交流电源电压的有效值为220 V，则关于交流电压表的示数，以下说法中正确的是()A．等于220 VB．大于220 VC．小于220 VD．等于0解析：选C.虽然交变电流能通过电容器，但也受到阻碍作用，电容器与电阻串联，根据分压原理可知电阻两端的电压小于电源电压，电压表测的是电阻两端的电压，C正确．4.(2012·山西省康杰中学高二月考)如图5－3－17所示交流电源的电压有效值跟直流电的电压相等，当将双刀双掷开关接到直流电源上时，灯泡的实际功率为P1，而将双刀双掷开关接在交流电源上时，灯泡的实际功率为P2，则()图5－3－17A．P1＝P2B．P1＞P2C．P1＜P2D．不能比较解析：选B.接在直流电源上，线圈对直流没有阻碍作用，电能全部转化为小灯泡的内能；而当双刀双掷开关接在交流电源上时，线圈对电流有阻碍作用，因此电能除转化成灯泡的内能外，还有一部分电能在与磁场能往复转化，因此P1＞P2.故正确答案为B.5.如图5－3－18所示的电路中，正弦交流电源电压的有效值为220 V，则关于交流电压表的示数，以下说法中正确的是()图5－3－18A．等于220 V B．大于220 VC．小于220 V D．等于零解析：选C.电感对交变电流有阻碍作用，线圈与灯泡串联，其电压之和等于电源电压，即U L＋U R＝U，故交流电压表的示数小于220 V，C正确．图5－3－196.(2012·江苏启东中学高二检测)如图5－3－19所示，电路中完全相同的三只灯泡L1、L2、L3分别与电阻R、电感L、电容C串联，然后再并联到220 V、50 Hz的交流电路上，三只灯泡亮度恰好相同．若保持交变电压不变，将交变电流的频率提高到60 Hz，则发生的现象是()A．三灯亮度不变B．三灯均变亮C．L1不变、L2变亮、L3变暗D．L1不变、L2变暗、L3变亮解析：选D.频率变高，线圈感抗变大，电容器容抗变小，因此L2变暗，L3变亮．电阻的大小与交变电流的频率无关，流过灯泡L1中的电流不变，因此L1亮度不变．图5－3－207.在如图5－3－20所示电路中，a、b两端连接的交流电源既含高频交流，又含低频交流；L是一个25 mH的高频扼流圈，C是一个100 pF的电容器，R是负载电阻．下列说法中正确的是()A．L的作用是“通低频，阻高频”B．C的作用是“通交流，阻直流”C．C的作用是“通高频，阻低频”D．通过R的电流中，低频交流所占的百分比远远大于高频交流所占的百分比解析：选ACD.L是一个自感系数很小的高频扼流圈，其作用是“通低频，阻高频”，A正确．C是一个电容很小的电容器，在题图示电路中它对高频交流的容抗远小于对低频交流的容抗，其作用是“通高频，阻低频”．因电路中无直流成分，故B错误、C正确．由于L 对高频交流的阻碍作用和C对高频交流的旁路作用，使得通过R的电流中低频交流所占的百分比远大于高频交流所占的百分比，D正确．8.某信号源中有直流成分、交流高频成分和交流低频成分，为使放大器仅得到交流低频成分，如下图所示电路中可行的是()图5－3－21解析：选D.A图放大器得到所有成分．B图放大器可得到直流成分，若为高频扼流圈也能得到低频成分．C图既可得到高频成分也可得到低频成分．D图通过C1的是高、低频都有，C2是旁路电容让高频成分滤去，故只有D合适．9.在收音机线路中，经天线接收下来的电信号既有高频成分又有低频成分，经放大后送给下一级，需要把低频成分和高频成分分开，只让低频成分输入给下一级，我们采用了如图5－3－22装置电路，其中代号a、b应选择的元件是()图5－3－22A．a是电容较大的电容器，b是低频扼流线圈B．a是电容较大的电容器，b是高频扼流线圈C．a是电容较小的电容器，b是高频扼流线圈D．a是电容较小的电容器，b是低频扼流线圈解析：选C.电容器具有通高频、阻低频作用，这样的电容器电容应较小，故a处放电容较小的电容器．电感线圈在该电路中要求做到“通低频、阻高频”，所以b处应接一个高频扼流线圈．10.“二分频”音箱内有两个不同口径的扬声器，它们的固有频率分别处于高音、低音频段，分别称为高音扬声器和低音扬声器．音箱要将扩音机送来的含有不同频率的混合音频电流按高、低频段分离出来，送往相应的扬声器，以便使电流所携带的音频信息按原比例还原成高、低频的机械振动．图5－3－23为音箱的电路图，高、低频混合电流由a、b端输入，L1和L2是线圈，C1和C2是电容器，则()图5－3－23A．甲扬声器是高音扬声器B．C2的作用是阻碍低频电流通过乙扬声器C．L1的作用是阻碍低频电流通过甲扬声器D．L2的作用是减弱乙扬声器的低频电流解析：选BD.由于L1会“阻高、通低”，C1又“通高、阻低”，因此低频成分通过甲扬声器，故A错，C2的作用是“通高、阻低”，故B对，L2的作用是“通低、阻高”，故C错而D对．二、非选择题11.如图5－3－24是可调灯泡亮度的台灯电路示意图，其中电路更合理的是________．图5－3－24解析：乙中调节L可达到调节台灯两端电压的作用，从而调节台灯的亮度．甲图也可调节台灯的亮度，但变阻器要消耗电能，故甲图不合理．答案：乙12.图5－3－25(2012·聊城水城中学高二检测)如图5－3－25所示，某电子电路的输入端输入的电流既有直流成分，又有交流低频成分和交流高频成分，若通过该电路只把交流的低频成分输送到下一级，试说明元件L、C1、C2在电路中的作用．解析：该电路只把交流的低频成分输送到下一级，C1能通交流，隔直流；L通直流，阻交流是低频扼流圈；C2通高频、阻低频，是高频旁路电容．答案：见解析。
高中数学 6.1.3~6.1.4知能演练轻松闯关 湘教版选修22
【优化方案】2013-2014学年高中数学 6.1.3~6.1.4知能演练轻松闯关湘教版选修2-21.下列说法正确的是()A．类比推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是由特殊到一般的推理C．归纳推理是由个别到一般的推理D．合情推理可以作为证明的步骤解析：选C.A错：因为类比推理是特殊到特殊的推理；B错：因为演绎推理是一般到特殊的推理；C正确：因为归纳推理是由特殊到一般或部分到整体的推理；D错：因为合情推理的结论不可靠，不能作为证明的步骤．2.(2012·奉节检测)“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是() A．实数分为有理数和无理数B．π不是有理数C．无理数都是无限不循环小数D．有理数都是有限循环小数解析：选C.演绎推理的结论蕴涵于前提之中，本题由小前提及结论知选C.3.下面几种推理过程是演绎推理的是()A．矩形对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等B．我国地质学家李四光发现中国松辽平原和中亚西亚的地质结构类似，而中亚西亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．由a1＝1，a n＝n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式解析：选A.A中“矩形的对角线相等”这是大前提，是真命题，该推理为三段论推理；B 中为类比推理；C、D都是归纳推理．4.(2012·大足调研)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：______________________________________________________________________；小前提：______________________________________________________________________；结论：________________________________________________________________________. 解析：本题省略了大前提和小前提．答案：一次函数的图象是一条直线函数y ＝2x ＋5是一次函数函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线一、选择题1.(2012·永川检测)下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数都超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 解析：选A.大前提：两条直线平行，同旁内角互补．小前提：∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角．结论：∠A ＋∠B ＝180°.2.推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD 是矩形，结论：四边形ABCD 的对角线相等．”应补充的大前提是( )A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．等腰梯形的对角线相等D ．矩形的对边平行且相等解析：选B.由三段论的一般模式知应选B.3.“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A.大前提是错误的，因为对数函数y ＝log a x (0<a <1)是减函数．4.(2012·大渡口质检)“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．错误，因为大小前提不一致D ．错误，因为大前提错误解析：选A.大前提、小前提及推理形式都正确，所以推理也正确．5.对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线解析：选C.对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ；若l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ；若l 不在平面α内，且l 与α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直，综上所述，选C.6.设⊕是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．那么下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集解析：选C.A 错：因为自然数集对减法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．二、填空题7.(2012·秀山检测)在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________．解析：由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.答案：y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8.由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是________． 解析：∵a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34>0. ∴(a 2＋a ＋1)x >3⇒x >3a 2＋a ＋1. 其前提依据为不等式的乘法法则：a >0，b >c ⇒ab >ac .答案：a >0，b >c ⇒ab >ac9.已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 解析：∵a ＝5－12∈(0，1)， ∴函数f (x )＝(5－12)x 是减函数． 故由f (m )>f (n )得m <n .答案：m <n三、解答题10.(2012·南开调研)规定C m x ＝x ·（x －1）·…·（x －m ＋1）m ×（m －1）×（m －2）×…×2×1，其中x ∈R ，m 是正整数，求C 5－15的值．解：规定C m x ＝x ·（x －1）·…·（x －m ＋1）m ×（m －1）×（m －2）×…×2×1，其中x ∈R ，m 是正整数(大前提)，C 5－15中，－15∈R ，5是正整数(小前提)，∴C 5－15＝（－15）（－16）（－17）（－18）（－19）5×4×3×2×1＝－11628(结论)．11.已知{a n }是各项均为正数的等差数列．lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列，又b n ＝1a 2n(n ＝1，2，…)．证明：{b n }为等比数列．证明：∵lg a1、lg a2、lg a4成等差数列，∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a22＝a1a4.若{a n}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，从而d(d－a1)＝0.①若d＝0，{a n}为常数列，相应{b n}也是常数列，{b n}是首项为正数，公比为1的等比数列．②若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2n d，b n＝1a2n＝12n d.这时{b n}是首项b1＝12d，公比为12的等比数列．综上，{b n}为等比数列．12.(创新题)如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.。
高三数学第六章第3课时好学课件
x－y＋5≥0 所以，不等式组x＋y≥0 x≤3
表示的平面区域如图所示．
－5，3， 结合图中可行域得 x∈ 2
y∈[－3,8]．
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(2)由图形及不等式组知
－x≤y≤x＋5， －2≤x≤3，且x∈Z.
当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点； 当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点； 当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点； 当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
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考点 3
例3 三种玩具共 100 个，生产一个卫兵玩具需 5 分钟， 生产一个 骑兵玩具需 7 分钟，生产一个伞兵玩具需 4 分钟， 已知总生 产时间不超过 10 小时． 若生产一个卫兵玩具可获利润 5 元， 生产一个骑兵玩具可获利润 6 元， 生产一个伞兵现具可获利 润 3 元． (1)用每天生产的卫兵玩具个数 x 与骑兵玩具个数 y 表示每 天的利润 w(元)；
3 答案： 2 (－∞，－2]∪[1，＋∞)
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5．(2012· 高考浙江卷)设 z＝x＋2y，其中实数 x，y 满足
x＋y－2≤0， x≥0， y≥0，
x－y＋1≥0，
则 z 的取值范围是________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线 l0：x＋ 2y＝0，平移 l0，
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思考探究 可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？
提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优
解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
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第1章1.2.1知能演练轻松闯关
1．解决下列几个问题，只用顺序结构画不出其流程图的是________．①利用公式1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2计算1＋2＋3＋…＋100的值；②当p (x 0，y 0)及直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0一定时，求点p 到直线l 的距离d ； ③求函数f (x )＝2x 3－3x 2－x －1当x ＝－1时的函数值；④求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0x 2，x ≤0，当x ＝x 0时的函数值．解析：④中需要判断x >0与x ≤0，所以不能只用顺序结构． 答案：④2．下列流程图输出的结果是________．解析：根据计算平均数的方法计算得：D ＝89＋97＋993＝95.答案：953．如图所示的流程图输出的结果P ＝________.解析：运行流程图知P ＝7. 答案：74．下列流程图的功能是________．解析：引入变量p，求x的相反数．答案：求x的相反数5．如图所示的流程图输出的结果是________．解析：执行过程为x＝1，y＝2，z＝3，x＝y＝2，y＝x＝2，z＝y＝2.答案：2[A级基础达标] 1．读下面的流程图，则输出的结果是________．解析：a＝1，b＝3a＋3＝3×1＋3＝6.答案：62．如图所示流程图的运行结果是________．解析：运行流程图得：S ＝28＋82＝174.答案：1743．下面流程图的运行结果是________．解析：由题意P ＝5＋6＋72＝9，S ＝9×4×3×2＝63＝6 6.答案：6 64．在如图所示的流程图中，若输入的x ＝3，则输出的y ＝________.答案：405．下图的作用是交换两个变量的值并输出，则①处应为________．解析：交换两个变量的值，必须引入中间变量． 答案：x ←y6．已知1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，用此公式给出求和S ＝1＋2＋3＋…＋100的一个算法，用流程图表示．解：流程图如图所示．7．试写出以a ，h 为三角形底边和高的三角形面积的算法，并画出流程图． 解：S1 输入a ，h ；S2 S ←12ah ；S3 输出S .流程图如图所示．[B 级 能力提升]8．(创新题)图(2)是计算图(1)的阴影部分面积的一个流程图，则①中应该填________．解析：设阴影面积为M ，则M ＝x 2－π(x 2)2＝x 2－14πx 2＝(1－π4)x 2.答案：M ←(1－π4)x 29．给出流程图如图，若输出的结果为2，则①处的处理框内应填的是________．解析：因为输出的结果为2.∴b ＝2＝a －3，∴a ＝5.∴2x ＋3＝5，∴x ＝1.∴①中应填x ←1. 答案：x ←110．球的体积公式为V ＝43πR 3(R 为球的半径)，用算法描述求R ＝4.8时的球的体积，并画出算法的流程图．解：S1 R ←4.8；S2 计算V ←43πR 3；S3 输出V .流程图如图所示．11．已知点P 0(x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，写出求点P 0到直线l 的距离d 的算法及流程图．解：算法如下：S1 输入点的横、纵坐标x 0、y 0，输入直线方程的系数，即常数A 、B 、C . S2 计算z 1←Ax 0＋By 0＋C . S3 计算z 2←A 2＋B 2.S4 计算d ←|z 1|z 2.S5 输出d . 流程图：。
人教版高中物理选修3-2第六章第三节知能演练轻松闯关.docx
高中物理学习材料唐玲收集整理一、选择题1．(单选)如图所示为小型电磁继电器的构造示意图，其中L为含铁芯的线圈．P为可绕O点转动的铁片，K为弹簧，S为一对触头，A、B、C、D为四个接线柱．电磁继电器与传感器配合，可完成自动控制的要求．其工作方式是( )A．A与B接信号电压，C与D可跟被控电路串联B．A与B接信号电压，C与D可跟被控电路并联C．C与D接信号电压，A与B可跟被控电路串联D．C与D接信号电压，A与B可跟被控电路并联解析：选A.由图可知A、B是继电器线圈的接线柱，所以A、B应接信号电压，线圈随信号电压变化而使继电器相吸或排斥，从而使C、D接通或断开，进而起到控制作用，故选A.2．(多选)如图所示，一个逻辑电平检测电路，A与被测点相接，则( )A．A为低电平，LED发光B．A为高电平，LED发光C．A为低电平，LED不发光D．A为高电平，LED不发光解析：选BC.当A端为高电平，Y端输出低电平，则加在LED两端的是正向电压，则LED 发光；当A端为低电平，Y端输出高电平，则LED不发光，故选BC.3．(多选)如图所示的光控电路用发光二极管LED模拟路灯，R G为光敏电阻．A为斯密特触发器输入端，在天黑时路灯(发光二极管)会点亮．下列说法正确的是( )A．天黑时，Y处于高电平B．天黑时，Y处于低电平C．当R1调大时，天更暗时，灯(发光二极管)点亮D．当R1调大时，天较亮时，灯(发光二极管)就能点亮解析：选BC.天黑时，R G阻值增大到一定值，斯密特触发器输入端A的电压上升到某个值，输出端Y突然由高电平跳到低电平，R1调大时，A端电压降低，只有天更暗时，R G电阻更大时，路灯才点亮，故选BC.4．(多选)(2013·太原五中高二月考)如图所示是温度报警器电路示意图，下列关于对此电路的分析正确的是( )A．当R T的温度升高时，R T减小，A端电势降低，Y端电势升高，蜂鸣器会发出报警声B．当R T的温度升高时，R T减小，A端电势升高，Y端电势降低，蜂鸣器会发出报警声C．当增大R1时，A端电势升高，Y端电势降低，蜂鸣器会发出报警声D．当增大R1时，A端电势降低，Y端电势升高，蜂鸣器会发出报警声解析：选BC.当R T温度升高时，电阻减小，A点电势升高到某一数值，Y端电势突然降低，蜂鸣器导通发出警报，A错误，B正确．当增大R1时，A端电势升高到某一数值，Y端电势突然降低，电流通过蜂鸣器，发出报警声，C正确，D错误．故选BC.二、非选择题5．传感器担负着信息的采集任务，在自动控制中发挥着重要作用，传感器能够将感受到的物理量(如温度、光、声等)转换成便于测量的量(通常是电学量)，例如热敏传感器，主要是应用了半导体材料制成的热敏电阻，热敏电阻阻值随温度变化的图线如图甲所示，图乙是由热敏电阻R t作为传感器制作的简单自动报警器的线路图，问：(1)为了使温度过高时报警铃响，c应接在____(填“a”或“b”)；(2)若使启动报警的温度提高些，应将滑动变阻器滑片P向____移动(填“左”或“右”)；(3)如果在调试报警器达最低报警温度时，无论如何调节滑动变阻器滑片P都不能使报警器工作，且电路连接完好，各电路元件都能处于工作状态，则造成工作电路实际不能工作的原因可能是________________________________________________________________________．解析：(1)由图甲可知当温度升高时R t的阻值减小，通过线圈的电流变大，线圈的磁通量变大，对衔铁的引力变大，可与a点接触，欲使报警器报警，c应接在a点．(2)若使启动报警的温度提高些，可使电路的相对电流减小一些，以使得热敏电阻R t的阻值减小的更大一些，所以将滑动变阻器滑片P向左移动，增大滑动变阻器接入电路的阻值．(3)在调试报警器达最低报警温度时，无论如何调节滑动变阻器滑片P都不能使报警器工作，可能是通过线圈的电流太小，线圈的磁通量小，对衔铁的引力较小，也可能是弹簧的弹力较大，线圈的磁力不能将衔铁吸引到和a接触的状态，还可能是乙图左半部分电路的电源电压太低或继电器线圈匝数太少或弹簧劲度系数太大．答案：(1)a(2)左(3)可能是乙图中的左半部分电路的电源电压太低或继电器线圈太少或弹簧劲度系数太大6．如图为某一热敏电阻(电阻值随温度的改变而改变，且对温度很敏感)的I U关系曲线图．(1)为了通过测量得到如图所示I U 关系的完整曲线，在图甲和图乙两个电路中应选择的是图________；简要说明理由：____________________.(电源电动势为9 V ，内阻不计，滑动变阻器的阻值为0～100 Ω)(2)在如图丙所示电路中，电源电压恒为9 V ，电流表读数为70 mA ，定值电阻R 1＝250 Ω.由热敏电阻的I U 关系曲线可知，热敏电阻两端的电压为________V ；电阻R 2的阻值为________Ω.(3)举出一个应用热敏电阻的例子：________________________________________________________________________.解析：(1)应选择图甲，因为图甲电路电压可从0 V 调到所需电压，电压调节范围大．(2)由题图知R 2与热敏电阻串联后与R 1并联接在9 V 电源上，总电流I ＝70 mA ，R 1＝250 Ω.设通过热敏电阻的电流为I 2，通过R 1的电流为I 1，则I ＝I 1＋I 2，故I 2＝I －I 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫70－9250×103mA ＝34 mA.由图象查得34 mA 对应的电压为5.0 V ，R 2两端电压U 2＝9 V －5.0 V ＝4.0 V ，所以R 2＝ 4.0 V 34×10－3 A＝117.6 Ω. 答案：(1)甲 因为甲电路电压可从0 V 调到所需电压，电压调节范围大(2)5.0 117.6(3)恒温箱、自动孵化器、热敏温度计等(任选一列)7．某研究性学习小组为探究热敏电阻的特性而进行了如下实验．他们分若干次向如图所示的烧杯中倒入开水，观察不同温度下热敏电阻的阻值，并把各次的温度值和对应的热敏电阻的阻值记录在表格中．测量次数t/℃R/kΩ12010.02258.5335 6.5445 5.0555 4.0665 3.3775 2.8885 2.3995 2.0(1)将表格中的实验数据在如图给定的坐标纸上描绘出热敏电阻的阻值R随温度t变化的图象．可以看出该热敏电阻的阻值随温度的升高而________(填“增大”或“减小”)．(2)他们用该热敏电阻作为温度传感器设计了一个温度控制电路，如图所示，请在虚线框中正确画出斯密特触发器．图中二极管的作用是：________________________________________________________________________.(3)当加在斯密特触发器输入端的电压逐渐上升到某个值(1.6 V)时，输出端电压会突然从高电平跳到低电平，而当输入端的电压下降到另一个值(0.8 V)时，输出端电压会从低电平跳到高电平，从而实现温度控制．已知可变电阻R1＝12.6 kΩ，则温度可控制在________℃到________℃之间(结果保留整数，不考虑斯密特触发器的分流影响)．解析：当温度升高，R下降到一定值，这时斯密特触发器输入端电压刚好下降到触发电平0.8 V，输出端输出高电平，电磁继电器中没有电流，电路不工作，这时的温度t1为控温上限．U触＝RR1＋R·E，代入数据可得R＝2.4 kΩ，根据R t图象可得此时温度约为82 ℃.当温度降低，R增加到一定值，这时斯密特触发器输入端电平刚好上升到触发电压1.6 V，输出端输出低电平，电磁继电器中通过电流，电路开始工作，这时的温度t2为控温下限．U触′＝R′R1＋R′·E，代入数据可得R′≈5.9 kΩ；根据R t图象可得此时温度约为38 ℃.故温度可控制在38 ℃到82 ℃之间．答案：(1)如图所示减小(2)如图所示为了防止电磁继电器释放衔铁时线圈中产生的自感电动势损坏集成电路(3)38 828．一热敏电阻在温度为80 ℃时阻值很大，当温度达到100 ℃时阻值就很小，今用一电阻丝给水加热，并配以热敏电阻以保持水温在80 ℃到100 ℃之间，可将电阻丝与热敏电阻并联，一并放入水中，如图所示，图中R1为热敏电阻，R2为电阻丝．请简述其工作原理．解析：开始水温较低时，R1阻值较大，电阻丝R2对水进行加热；当水温达到100 ℃左右时，R1阻值变得很小，R2被短路，将停止加热；当温度降低到80 ℃时，R1阻值又变得很大，R2又开始加热．这样就可达到保温的效果．答案：见解析。
第四节~第五节知能演练轻松闯关
1．(单选)下列说法中，不．正确的是()A．发射出去的无线电波，可以无损耗地传播到无限远处B．无线电波遇到导体，就可在导体中激起同频率的振荡电流C．波长越短的无线电波，越接近直线传播D．移动电话也是通过无线电波进行通讯的解析：选A.无线电波在传播过程中事实上都存在损耗；当无线电波遇到导体时，就可在导体中激起同频率的振荡电流；而波长越短越不易发生衍射就越接近直线传播；而移动电话不是通过有线传输的，而是通过无线电波进行通讯的．2．(单选)关于电磁波的调制技术，下列说法不．正确的是()A．使高频载波的振幅随信号改变的调制叫做调幅B．使高频载波的频率随信号改变的调制叫做调频C．中、短波段的无线电广播，使用的是调幅方式D．调幅波的优点是抗干扰能力强，传递过程中失真比较小解析：选D.调频波的振幅不变，抗干扰能力比较强，传递过程中失真比较小，所以不正确的是D.3．(单选)传播电视信号的电磁波是()A．无线电波 B．γ射线C．紫外线D．X射线解析：选A.电视信号利用的微波段属于无线电波．4．(单选)关于移动电话，下列说法不．正确的是()A．随身携带的移动电话(手机)内，只有无线电接收装置，没有无线电发射装置B．随身携带的移动电话(手机)内，既有无线电接收装置，又有无线电发射装置C．两个携带手机的人，必须通过固定的基地台转接，才能相互通话D．无线寻呼机(BP机)内只有无线电接收装置，没有无线电发射装置解析：选A.手机既有发射装置，又有接收装置．寻呼机只能被动接收信号，不能发射信号．5．请回答电磁污染的危害有哪些？答案：电磁污染的危害有：①在飞机上使用手机、电脑，会干扰飞机的通信系统．②配有心脏起搏器的人使用手机可能导致起搏器工作异常．③长期、过量的电磁辐射会损害人的中枢神经系统、心血管系统、内分泌系统、生殖系统等．表现出头晕、失眠、记忆力减退、情绪不佳等症状．一、单项选择题1．关于无线电波的发送和接收，下述说法中正确的是()A．为了将信号发送出去，先要进行调谐B．为了从各个电台发出的电磁波中将需要的选出来，就要进行调制C．为了从高频电流中取出声音信号，就要进行调频D．由开放电路可以有效地把电磁波发射出去解析：选D.要将信号发送出去，先要进行的是调制．要从各个电台发出的电磁波中将需要的选出来，要进行的是调谐．要从高频电流中把声音信号取出来，要进行的是解调．只有采用开放电路(天线和地线)才能有效地把电磁场的能量辐射出去，闭合的电路只能使电磁场的能量在电路内相互转换．2．为了实现全球的电视转播，下列措施中正确的是()A．只需发射一颗同步卫星，在赤道平面上空运行B．至少需发射三颗同步卫星，在赤道平面上空运行C．只需发射一颗同步卫星，绕着通过南、北极的上空运行D．至少需发射三颗同步卫星，绕着通过南、北极的上空运行解析：选B.同步卫星只能在赤道平面上空，通过南、北极上空运行的卫星不可能是同步卫星，C、D错．由于电视信号属微波段，只能够直线传播，为了覆盖全球，至少需发射三颗同步卫星，使它们位于正三角形的顶点，地球内切于这个正三角形，如图所示．3．下列关于电视的说法中错误的是()A．电视信号的发射、接收过程是：景物→电信号→电磁波→电信号→图像B．摄像机在一秒钟内要传递24张画面C．显像管是将电信号还原成景物的像的关键部件D．画面更换迅速和视觉暂留现象使人们在荧光屏上看到的是活动景象解析：选B.摄像机在1 s内要传送25张画面．4．关于雷达的特点，下列说法正确的是()A．雷达所用无线电波的波长比短波更短B．雷达只有连续发射无线电波，才能发现目标C．雷达的显示屏上不能直接读出障碍物的距离D．雷达在能见度低的黑夜将无法使用答案：A5．关于电视机，下列说法正确的是()A．图像信号是用调频波发射的，声音信号是用调幅波发射的B．图像信号和声音信号都是调频波C．图像信号是用调幅波发射的，声音信号是用调频波发射的D．图像信号和声音信号都是调幅波解析：选C.电视机的图像信号是用调幅波发射的，而声音信号是用调频波发射的，声音比较好听．6．电视机换台时，实际上是在改变()A．电视台的发射频率B．电视机的接收频率C．电视台发射的电磁波的波速D．电视机接收的电磁波的波速解析：选B.电视机接收电磁波是利用电磁波的频率不同收看的电视频道不同，所以改变的是电视机的接收频率，只有B对．7．下列关于信息传递的说法中，正确的是()A．声、光和电磁波中，只有电磁波能够传递信息B．固定电话、移动电话、广播和电视都是利用导线中的电流传递信息的C．摄像机拍得的物体图像，直接通过发射天线发射传播信息D．微波通信、卫星通信、光纤通信、网络通信都可以用来传递信息解析：选D.声音可以传递信息，人们非常的熟悉．光也可以传递信息，所以A错．移动电话、无线电广播和电视都是无线传递的，所以B错．摄像机拍得的物体图像，首先要转变为电信号，而不能直接通过发射天线发射，C错．只有D对．8．产生酸雨的祸首是()A．二氧化碳B．氟利昂C．二氧化硫D．一氧化碳解析：选C.酸雨的主要成分是亚硫酸，二氧化硫与空气中的水蒸气接触会生成亚硫酸，故选项C正确．二、双项选择题9．为了保护环境，控制大气污染，人们可以采取的措施有()A．在城镇采用集中供热B．普及使用煤气和天然气C．禁止使用一切化学燃料D．改进燃烧设备，加装消烟除尘装置答案：AD10．下列说法中正确的是()A．发射图像信号不需要调制过程B．接收到的图像信号要经过调谐、解调C．电视信号包括图像信号和伴音信号D．电视信号中的图像信号和伴音信号的传播速度不同解析：选BC.发射图像和声音信号都需调制，所以A错．电视信号中的图像信号和伴音信号都以无线电波的形式发送，所以传播速度相同，D错．选B、C.三、非选择题11．1943年7月24日深夜，一批英国轰炸机偷袭德国汉堡时，被德国雷达发现．但突然间出现了一种令人奇怪的现象，雷达荧光屏上的目标信号急剧增加，似有千万架飞机铺天盖地而来，德军束手无策，只好盲目迎战结果大受损失．试分析这种现象的原因．答案：英军飞机到达目的地上空时，洒下了无数的箔片，由于箔片具有很强的反射电磁波的本领，因此使雷达上产生了无数的目标，从而使雷达失去了作用．12．“为了您和他人的安全，请您不要在飞机上使用手机和手提电脑．”这句提醒警示语是乘坐飞机的游客都听到过的语言，因为有些空难事故就是由于某位乘客在飞行的飞机中使用手机造成的.1996、1998年都出现过此类事故.1999年广州白云机场飞机降落时，机上有四位旅客同时使用了手机，使飞机降落偏离了8度，险些造成事故．请问为什么在飞机上不能使用手机和手提电脑呢(包括游戏机)?答案：由于手机在使用时要发射电磁波，对飞机产生电磁干扰，而飞机上的导航系统是非常复杂的，抗干扰能力不是很强，所以如果飞机上的乘客使用了手机，对飞机产生电磁干扰，那么后果将十分可怕．所以，在飞机上不要使用手机和手提电脑．。
第六章第2课时知能演练轻松闯关
第六章第2课时知能演练轻松闯关1. 设M ＝{x |x 2－x ≤0}, N ＝{x |1x≤1}, 则M ∩N ＝( )A. ∅B. {1}C. {x |0<x ≤1}D. {x |x ≥1}解析：选B.∵M ＝{x |0≤x ≤1}, N ＝{x |x －1x≥0}＝{x |x <0或x ≥1}, ∴M ∩N ＝{1}. 2. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1>a2x －4<2a有解, 则实数a 的取值范围是( )A. (－1,3)B. (－∞, －1)∪(3, ＋∞)C. (－3,1)D. (－∞, －3)∪(1, ＋∞)解析：选A.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1>a2x －4<2a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >a 2＋1x <2a ＋4,由题意得a 2＋1<2a ＋4, 即a 2－2a －3<0, 解得－1<a <3.3. (2012·上海交大附中月考)不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0x 2－9≥0或x 2－9＝0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2x ≤－3或x ≥3或x ＝±3,即x ≤－3或x ＝3. 答案：(－∞, －3]∪{3}4. 若不等式－4<2x －3<4与不等式x 2＋px ＋q <0的解集相同, 则p q＝________. 解析：由－4<2x －3<4得－12<x <72,由题意得72－12＝－p ,(－12)×72＝q , ∴p q ＝127. 答案：127一、选择题1. 不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集为( ) A. {x |0≤x <1} B. {x |x <0且x ≠－1} C. {x |－1<x <1}D. {x |x <1且x ≠－1}解析：选D.不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥01＋x 1－x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0 1＋x 1＋x >0.∴0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1.2. (2011·高考江西卷)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}, B ＝{x |x －2x≤0}, 则A ∩B ＝( ) A. {x |－1≤x ＜0} B. {x |0＜x ≤1} C. {x |0≤x ≤2} D. {x |0≤x ≤1}解析：选B.∵A ＝{x |－1≤x ≤1}, B ＝{x |0＜x ≤2},∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}.3. 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1), 则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为( ) A. (－43, 1)B. (－∞, 1)∪(43, ＋∞)C. (－1,4)D. (－∞, －2)∪(1, ＋∞)解析：选A.由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－4,1)知a <0, －4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根, ∴－4＋1＝－b a , －4×1＝c a, 即b ＝3a , c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a >0, 即3x 2＋x －4<0, 解得－43<x <1, 故选A.4. (2012·洛阳调研)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0, 12]成立, 则a 的最小值为( ) A. 0 B. －2 C. －52D. －3解析：选C.由已知a ≥－x －1x , 当x ∈(0, 12]时, (－x －1x )max ＝－52, ∴a ≥－52.a 的最小值为－52.5. 若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解, 则a 的取值范围是( ) A. (－235, ＋∞) B. [－235, 1] C. (1, ＋∞)D. (－∞, －235] 解析：选A.由Δ＝a 2＋8>0, 知方程恒有两个不等实根, 又知两根之积为负, 所以方程必有一正根、一负根. 于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0, 解得a >－235.二、填空题6. 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集, 则实数a 的取值范围是________. 解析：x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集. 只需Δ＝a 2－16>0, ∴a <－4或a >4. 答案：a <－4或a >47. 若0<a <1, 则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________.解析：原不等式即(x －a )⎝⎛⎫x －1a <0, 由0<a <1得a <1a , ∴a <x <1a.答案：{x |a <x <1a8. (2012·贵阳质检)对于在区间[a , b ]上有意义的两个函数m (x )与n (x ), 如果对于区间[a ,b ]中的任意x 均有|m (x )－n (x )|≤1, 则称m (x )与n (x )在[a , b ]上是“密切函数”, [a , b ]称为“密切区间”, 若函数m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在区间[a , b ]上是“密切函数”, 则b －a 的最大值为________.解析：由题意知m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在区间[a , b ]上是“密切函数”, 则|m (x )－n (x )|≤1,即|(x 2－3x ＋4)－(2x －3)|≤1,∴|x 2－5x ＋7|≤1,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋7≤1x 2－5x ＋7≥－1, 解得x ∈[2,3],则(b －a )max ＝3－2＝1. 答案：1 三、解答题 9. 解下列不等式. (1)19x －3x 2≥6; (2)x ＋1≥2x.解：(1)法一：原不等式可化为3x 2－19x ＋6≤0, 方程3x 2－19x ＋6＝0的解为x 1＝13, x 2＝6.函数y ＝3x 2－19x ＋6的图象开口向上且与x 轴有两个交点(13, 0)和(6,0).所以原不等式的解集为{x |13≤x ≤6}.法二：原不等式可化为3x 2－19x ＋6≤0 ⇒(3x －1)(x －6)≤0⇒(x －13)(x －6)≤0.∴原不等式的解集为{x |13≤x ≤6}.(2)原不等式可化为x＋1－2x≥0⇒x2＋x－2x≥0⇒x＋2x－1x≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x x＋2x－1≥0x≠0.如图所示, 原不等式的解集为{x|－2≤x<0, 或x≥1}.10. (2012·宁夏银川二中月考)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}.(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0;(2)b为何值时, ax2＋bx＋3≥0的解集为R?解：(1)由根与系数的关系解得a＝3.所以不等式变为2x2－x－3>0,解集为(－∞, －1)∪(32, ＋∞).(2)由题意知, 3x2＋bx＋3≥0的解集为R, Δ＝b2－4×3×3≤0, 解得b的取值范围是[－6,6].11. 某商品在最近30天内的销售价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0<t≤30, t∈N); 销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0<t≤30, t∈N), 记日销售金额为Φ(t)(单位：元), 若使该种商品日销售金额不少于450元, 求时间t满足的条件.解：由题意知Φ(t)＝f(t)g(t)＝(t＋10)(－t＋35)＝－t2＋25t＋350(0<t≤30, t∈N),由Φ(t)≥450得－t2＋25t＋350≥450⇔t2－25t＋100≤0⇔5≤t≤20.所以若使该种商品日销售金额不少于450元, 则时间t满足t∈[5,20](t∈N).。
3.1第一课时知能演练轻松闯关
3.1第一课时知能演练轻松闯关故选B.3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为()A．v≤120 km/h且d≥10 mB．v≤120 km/h或d≥10 mC．v≤120 km/hD．d≥10 m解析：选A.v的最大值为120 km/h即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.4．若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m ＋2n的值与－5的大小关系为()A．M>－5 B．M<－5C．M＝－5 D．不确定解析：选A.∵m≠2，n≠－1，∴M＝(m－2)2＋(n＋1)2－5>－5.5．已知a，b分别对应于数轴上的A，B两点，且A点在原点右侧，B点在原点左侧，则下列不等式成立的是()A．a－b＝0 B.ab＞－abC．|a|＞|b| D．a2＋b2≥－2ab解析：选D.因为A在原点右侧，B在原点左侧，所以A在B右侧，故a＞b，A错；A，B 两点分别在原点两侧，所以a，b异号，B错；|a|，|b|分别表示A，B两点到原点的距离，由条件无法确定，C错；a2＋b2≥－2ab可化为(a＋b)2≥0，显然不等式恒成立，故选D.6．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不少于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为_______；_______；________.解析：由题意易知三个不等关系用不等式可分别表示为a＜b，a＞b，a≥b.答案：a＜b a＞b a≥b7．(2019·青岛质检)已知a，b为实数，则(a ＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“＞”“＜”或“＝”)解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，所以(a＋3)(a －5)＜(a＋2)(a－4)．答案：＜8．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，则买票面8角的x套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．解析：若设买票面8角的x 套，买票面2元的y 套，直接根据题意列不等式组，注意x ，y ∈N.答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ∈N ，y ≥2，y ∈N ，0.8×5x ＋2×4y ≤509．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2 log x 2(x >0且x ≠1)，试比较f (x )与g (x )的大小．解：f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2 log x 2＝log x 3x －log x 4＝log x 34x . (1)当log x 34x >0时，即 ⎩⎨⎧ x >134x >1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<34x <1时， 也就是x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )． (2)当log x 34x ＝0时，即34x ＝1，也就是x ＝43时，f (x )＝g (x )．(3)当log x 34x <0时，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，0<34x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，34x >1. 也就是1<x <43时，f (x )<g (x )， 综上，x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )； x ＝43时，f (x )＝g (x )； 1<x <43时，f (x )<g (x )． 10．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？解：设杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元． ∵销售的总收入不低于20万元，∴(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.1．(2019·南充调研)若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <B 或A >BD ．A >B解析：选B.∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝(a －b 2)2＋34b 2≥0， ∴A ≥B .2．某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 产品种类 每件需要人员数 每件产值/万元A 类 127.5 B 类 136 今制定计划欲使总产值最高，则应开发A 类电子器件________件，能使产值最高为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x 3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高为330万元．答案：203303．第三十届奥运会在英国伦敦召开，某公司急需将一批不易存放的蔬菜从A地运到英国伦敦，有汽车、火车、飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：运输工具途中速度(千米/时)途中费用(元/千米)装卸时间(小时)装卸费用(元)汽车5082 1 000 火车10044 2 000 飞机200162 1 000 若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中的损耗为300元/时，问采用哪种运输工具比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小．解：设从A地到英国伦敦的距离为s千米，则采用三种运输工具运输(含装卸)过程中的费用和时间可用下表给出：运输工具途中及装卸费用途中时间汽车8s＋1 s50＋2000火车 4s ＋2 000 s 100＋4飞机 16s ＋1 000 s 200＋2分别用F 1、F 2、F 3表示用汽车、火车、飞机运输时的总支出，则有F 1＝8s ＋1 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫s 50＋2×300＝14s ＋1 600，F 2＝4s ＋2 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫s 100＋4×300＝7s ＋3 200，F 3＝16s ＋1 000＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫s 200＋2×300＝17.5s ＋1 600.∵s >0，∴F 1<F 3恒成立．而F 1－F 2<0的解为s <1 6007， 则(1)当s <1 6007千米时，F 1<F 2，F 1<F 3，此时采用汽车运输较好；(2)当s ＝1 6007千米时，F 1＝F 2<F 3，此时采用汽车运输或火车运输较好；(3)当s >1 6007千米时，F 2<F 1<F 3，此时采用火车运输较好．第 11 页。
专题六知能演练轻松闯关
1．(2012·高考天津卷)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P (B )＝315＝15. 2．(2013·福州市质量检测)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有两个完全相同的球，每个箱子里有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出一个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x 、y 、z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．解：(1)数组(x ，y ，z )的所有情形为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球的号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知事件A 3的基本结果有1种，事件A 4的基本结果有3种，事件A 5的基本结果有3种，事件A 6的基本结果有1种，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18. 所以所摸出的三个球的号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．3．某航空公司进行空乘人员的招聘，记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高，数据用茎叶图表示如下(单位：cm)．应聘者获知：男性身高在区间[174,182]，女性身高在区间[164,172]的才能进入招聘的下一环节．(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数；(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人，求至多有一位男生的概率．解：(1)依题意得，6名男应征者的平均身高是178＋173＋176＋186＋180＋1936＝181 (cm)， 9名女应征者身高的中位数为168 cm.(2)能进入下一环节的男生有3名，女生有4名．记满足条件的3名男生分别为a 1，a 2，a 3，满足条件的4名女生分别为b 1，b 2，b 3，b 4，则从中任取2人可以表示为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(a 3，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，即基本事件共21个．满足至多有一位男生的基本事件共18个．∴至多有一位男生的概率P ＝1821＝67. 4．(2012·高考北京卷)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n[](x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7， 所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200， 所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2] ＝80 000.5．(2013·衡阳调研)我市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.(1)(2)根据列表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：K 2＝n (ad －bc )2解：(1)110×311＝30， 故列联表如下：(2)K 2＝110×(10×30－20×50)260×50×30×80≈7.486<10.828. 因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到9号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )．所有的基本事件有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有：(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(5,5)、(4,6)、(6,4)，共7个．所以P (A )＝736， 即抽到9号或10号的概率为736.。
第六章第4课时知能演练轻松闯关
1．当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A ．函数f (x )有最小值2B ．函数f (x )有最大值2C ．函数f (x )有最小值3D ．函数f (x )有最大值3 答案：C2．若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b的最小值为( )A ．8B ．12C ．16D ．20解析：选C.∵圆心(－4，－1)在所给直线上， ∴4a ＋b ＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (4a ＋b )＝8＋b a ＋16ab≥8＋216＝16.3．(2010·高考重庆卷)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析：∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2·t ·1t－4＝－2.∴y min ＝－2. 答案：－24．设0<x <32，则函数y ＝x (3－2x )的最大值是________．解析：∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝x (3－2x )＝12·2x (3－2x )≤12⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝98，∴y max ＝98.答案：981．若a ＋b ＝2，则3a＋3b的最小值是( ) A ．18 B ．6C ．2 3D ．243解析：选B.3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝6. 2．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81解析：选C.对于A ，x ＋4x ≥4或者x ＋4x≤－4；对于B ，等号成立的条件不满足；对于D ，也是log 3x ＋log x 81≥4或者log 3x ＋log x 81≤－4，所以答案为C.3．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取最小值4.4．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e解析：选C.∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤(ln x ＋ln y 2)2，∴ln x ＋ln y ≥1⇒xy ≥e.5．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值为__________，此时x 的值为________．解析：y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2≤129＝16，当且仅当x 2＝9x2，即x ＝±3时取等号．答案：16±36．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：每年购买次数为400x.∴总费用＝400x ·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立，故x ＝20.答案：207．(1)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(2)当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求表达式3x ＋27y ＋2的最小值； (3)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值．解：(1)∵0<x <32，∴3－2x >0.∴y ＝4x ·(3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2[2x ＋(3－2x )2]2＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)， ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(2)由x ＋3y －4＝0得x ＋3y ＝4， ∴3x ＋27y ＋2＝3x ＋33y ＋2≥2·3x ·33y ＋2＝2·3x ＋3y ＋2 ＝2·34＋2＝20，当且仅当3x ＝33y 且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23时等号成立．∴表达式3x ＋27y ＋2的最小值为20. (3)由x ＋y －3xy ＋5＝0得x ＋y ＋5＝3xy . ∴2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy . ∴3xy －2xy －5≥0，∴(xy ＋1)(3xy －5)≥0，∴xy ≥53，即xy ≥259，等号成立的条件是x ＝y .此时x ＝y ＝53，故xy 的最小值是259.1．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.∵a ＝14，x >0时，x ＋a x ≥2 x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x＋a x ＝x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4也满足x ＋a x≥1，故选A.2．如图，在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12B ．1C ．2D ．3解析：选B.以点A 为原点，以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0，2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n ，∴M ⎝⎛⎭⎫0，2m 、N ⎝⎛⎭⎫2n ，0， ∴直线MN 的方程为my 2＋nx2＝1，∵直线MN 过点P (1,1)， ∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2， ∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤(m ＋n )24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.3．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________．解析：原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤(x ＋y 2)2(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤(x ＋y )24，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，所以x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)，故x ＋y ∈[6，＋∞)．答案：[6，＋∞) 4．(2012·无锡调研)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为________．解析：由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb＝1，则aba 2＋b 2＝1，∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.答案：25．若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.解：(1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5>0，所以有0≤x 2＋y 2≤4，即x 2＋y 2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.6．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆M 过定点D (0,2)，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设|DA |＝l 1，|DB |＝l 2，求l 1l 2＋l 2l 1的最大值．解：(1)设P (x ，y )，则Q (x ，－1)， ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →， ∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)．即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，即x 2＝4y ， 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .(2)设圆M 的圆心坐标为(a ，b )，则a 2＝4b ，① 圆M 的半径为|MD |＝a 2＋(b －2)2.圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝a 2＋(b －2)2. 令y ＝0，则(x －a )2＋b 2＝a 2＋(b －2)2， 整理得，x 2－2ax ＋4b －4＝0.②将①代入②得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ±2， 不妨设A (a －2,0)，B (a ＋2,0)，∴l 1＝(a －2)2＋4，l 2＝(a ＋2)2＋4.∴l 1l 2＋l 2l 1＝l 21＋l 22l 1l 2＝2a 2＋16a 4＋64＝2(a 2＋8)2a 4＋64＝21＋16a 2a 4＋64③当a ≠0时，l 1l 2＋l 2l 1＝21＋16a 2＋64a 2≤21＋162×8＝2 2. 当且仅当a ＝±22时，等号成立．当a ＝0时，由③得，l 1l 2＋l 2l 1＝2.故当a ＝±22时，l 1l 2＋l 2l 1的最大值为2 2.。
人教物理选修3-2：第六章第三节知能演练轻松闯关
1.如图6－3－7所示，一个逻辑电平检测电路，A与被测点相接，则()图6－3－7A．A为低电平，LED发光B．A为高电平，LED发光C．A为低电平，LED不发光D．A为高电平，LED不发光解析：选BC.当A端为高电平，Y端输出低电平，则加在LED两端的是正向电压，则LED 发光；当A端为低电平，Y端输出高电平，则LED不发光，故选B、C.2.如图6－3－8所示为一种温度自动报警器的原理图，在水银温度计的顶端封入一段金属丝，以下说法正确的是()图6－3－8A．温度升高至74 ℃时，L1亮灯报警B．温度升高至74 ℃时，L2亮灯报警C．温度升高至78 ℃时，L1亮灯报警D．温度升高至78 ℃时，L2亮灯报警答案：D图6－3－93.(2012·定远育才中学高二检测)如图6－3－9所示为用热敏电阻R和继电器L等组成的一个简单的恒温控制电器，其中热敏电阻的阻值会随温度的升高而减小．电源甲与继电器、热敏电阻等组成控制电路，电源乙与恒温箱加热器(图中未画出)相连接．则()A．当温度降低到某一数值，衔铁P将会被吸下B．当温度升高到某一数值，衔铁P将会被吸下C．工作时，应该把恒温箱内的加热器接在C、D端D．工作时，应该把恒温箱内的加热器接在A、B端解析：选BD.当温度升高时，热敏电阻的阻值减小，通过电磁继电器螺线管的电流增大，磁性增强，吸下金属片，触点接通，所以应把恒温箱内的加热器接在A、B端．4.如图6－3－10所示的光控电路用发光二极管LED模拟路灯，R G为光敏电阻．A为斯密特触发器输入端，在天黑时路灯(发光二极管)会点亮．下列说法正确的是()图6－3－10A．天黑时，Y处于高电平B．天黑时，Y处于低电平C．当R1调大时，天更暗时，灯(发光二极管)点亮D．当R1调大时，天较亮时，灯(发光二极管)就能点亮解析：选BC.天黑时，R G阻值增大到一定值，斯密特触发器输入端A的；电压上升到某个值，输出端Y突然由高电平跳到低电平，R1调大时，A端电压降低，只有天更暗时，R G电阻更大时，路灯才点亮，故B、C正确．5.光敏电阻在各种自动化装置中有很多应用．街道路灯自动控制就是应用之一，如图6－3－11所示电路为模拟电路，其中A为一光敏电阻，B为电磁继电器，C为电流放大器，D 为路灯．请连成正确的电路，达到日出路灯熄、日落路灯亮的效果．图6－3－11解析：控制过程是当光照射到光敏电阻时，产生较大的电流，经过放大器放大后形成更大的电流，它驱动电磁继电器吸下衔铁，此时触点断开．当无光照射时，电流很小，电磁继电器释放衔铁，使两个触点闭合，路灯接通，开始工作．如图所示．答案：见解析6.现有热敏电阻、电炉丝、电源、电磁继电器、滑动变阻器、开关和导线若干，如图6－3－12所示，试设计一个温控电路，要求温度低于某一温度时，电炉丝自动通电供热，超过某一温度又可以自动断电，画出电路图并说明工作过程．图6－3－12解析：电路图如图所示当温度低于某一值时，热敏电阻的阻值很大，流过电磁继电器的电流很小，继电器无法吸引衔铁P，K处接通，电炉丝处于加热状态；当温度高于某一值时，热敏电阻的阻值变得很小，通过电磁继电器的电流较大，继电器吸引衔铁P，K处断开，电炉丝停止加热．答案：见解析7.图6－3－13如图6－3－13所示，斯密特触发器可以将连续变化的模拟信号转换为突变的数字信号，当加在它的输入端A的电势逐渐上升到1.6 V，输出端Y会突然从高电平跳到低电平0.25 V，而当输入端A的电势下降到0.8 V时，输出端Y会从低电平跳到高电平3.4 V.(1)斯密特触发器相当于一种“________”门电路．(2)如图6－3－14所示是一个温度报警器的简易电路图，R T为热敏电阻，R1为可变电阻(最大阻值为1 kΩ)，蜂鸣器工作电压3 V～5 V，热敏电阻的阻值随温度变化如图所示，若要求热敏电阻在到感测80 ℃时报警，则R1应调至________ kΩ；若要求热敏电阻在感测到更高的温度时才报警，R1的阻值应________(选填“增大”、“减小”或“不变”)．图6－3－14解析：(1)输出状态和输入状态相反，相当于“非”门电路．(2)热敏电阻在80 ℃时的电阻是R T ＝80 Ω，斯密特触发器输入端A 的电势是0.8 V 时，输出端Y 的电压为3.4 V ，这时蜂鸣器开始工作．由串联电路分压特点知：R 1R T ＝U 1U T ＝5－0.80.8，R 1＝80×4.20.8Ω＝420 Ω＝0.42 k Ω. 由热敏电阻的阻值随温度变化的图象可知，温度升高时，热敏电阻的阻值减小，而斯密特触发器输入端的电压仍保持不变，则电阻R 1的阻值应减小．答案：(1)非 (2)0.42 减小。
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第六章第3课时知能演练轻松闯关1. 在直角坐标平面内, 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥00≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32, 则t 的值为( )A. －3或 3B. －3或1C. 1D. 3解析：选C.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥00≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x ＝t解得交点B (t , t ＋1), 在y ＝x ＋1中, 令x ＝0得y ＝1, 即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0, 1), 由平面区域的面积S ＝1＋t ＋1×t2＝32得t 2＋2t －3＝0, 解得t ＝1或t ＝－3(不合题意, 舍去), 故选C.2. O 为坐标原点, 点M 的坐标为(1,1), 若点N (x , y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤42x －y ≥0y ≥0则OM →·ON →的最大值为( ) A. 2 B. 2 2 C. 3D. 2 3解析：选B.如图, 点N 在图中阴影区域内, 当O 、M 、N 共线时, OM →·ON →最大, 此时N (2, 2), OM →·ON →＝(1,1)·(2, 2)＝22, 故选B.3. (2011·高考陕西卷)如图, 点(x , y )在四边形ABCD 内部和边界上运动, 那么2x －y 的最小值为________.解析：令b ＝2x －y , 则y ＝2x －b , 如图所示, 作斜率为2的平行线y ＝2x －b ,当经过点A 时, 直线在y 轴上的截距最大, 为－b , 此时b ＝2x －y 取得最小值, 为b ＝2×1－1＝1. 答案：14. 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0x ＋y －3≥0y ≤2表示的平面区域为M , 若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M , 则实数k 的取值范围是________.解析：作出平面区域, 如图所示. 因为函数的图象是过点P (－1, 1), 且斜率为k 的直线l , 由图知, 当直线l 过点A (1,2)时, k 取最大值12; 当直线l 过点B (3,0)时, k 取最小值－14故k ∈[－14, 12]. 答案：[－14, 12]一、选择题1. 在平面直角坐标系中, 若点(－2, t )在直线x －2y ＋4＝0的上方, 则t 的取值范围是( )A. (－∞, 1)B. (1, ＋∞)C. (－1, ＋∞)D. (0,1)解析：选B.将x ＝－2代入直线x －2y ＋4＝0中, 得y ＝1.因为点(－2, t )在直线上方, ∴t >1.2. (2012·保定质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形, 则a 的取值范围是( ) A. a <5 B. a ≥8C. 5≤a <8D. a <5或a ≥8解析：选C.解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝0得(0,5),解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝3得(3,8),∴5≤a <8.3. (2011·高考山东卷)设变量x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0则目标函数z＝2x ＋3y ＋1的最大值为( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8.5解析：选B.作出不等式组表示的可行域, 如图阴影部分所示.又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13, 结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0x －y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1故A (3,1).此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10.4. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品, 由乙车间加工出B 产品, 甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时, 可加工出7千克A 产品, 每千克A 产品获利40元; 乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时, 可加工出4千克B 产品, 每千克B 产品获利50元. 甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工, 每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A. 甲车间加工原料10箱, 乙车间加工原料60箱B. 甲车间加工原料15箱, 乙车间加工原料55箱C. 甲车间加工原料18箱, 乙车间加工原料50箱D. 甲车间加工原料40箱, 乙车间加工原料30箱解析：选B.设甲车间加工原料x 箱, 乙车间加工原料y 箱, 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤7010x ＋6y ≤480x y ∈N,目标函数z ＝280x ＋200y , 结合图象可得：当x ＝15, y ＝55时, z 最大.5. 已知实数x , y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋18≥02x ＋3y ≥0x ≤3, 若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋8, 最小值为3a －2, 则实数a 的取值范围为( ) A. a ≥23B. a ≤－23C. －23≤a ≤23D. a ≥23或a ≤－23解析：选C.作出x , y 满足的可行域, 如图中阴影部分所示, 则z 在点A 处取得最大值, 在点C 处取得最小值. 又k BC ＝－23, k AB ＝23,∴－23≤－a ≤23, 即－23≤a ≤23.二、填空题6. 在平面直角坐标系中, 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －y ＋2≥0x ≤2表示的平面区域的面积为________.解析：作出可行域为△ABC (如图), 则S △ABC ＝4.答案：47. 设实数x , y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0x ＋2y －4≥02y －3≤0则y x的最大值为________.解析：y x 表示点(x , y )与原点(0,0)连线的斜率, 在点⎝⎛⎭⎫1，32处取到最大值. 答案：328. (2011·高考课标全国卷)若变量x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤96≤x －y ≤9则z ＝x ＋2y的最小值为__________.解析：作出不等式表示的可行域如图(阴影部分).易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时, z 有最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝9 2x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 y ＝－5.所以z min ＝4＋2×()－5＝－6.答案：－6 三、解答题9. 若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1, －1)、Q (2,3)为端点的线段不相交, 求m 的取值范围. 解：直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域, 线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交, 则点P 、Q 在同一区域内, 于是, ⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >02＋3m ＋m >0, 或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <02＋3m ＋m <0所以, m 的取值范则点P 、Q 在同一区域内, 于是, ⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >02＋3m ＋m >0, 或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <02＋3m ＋m <0所以, m 的取值范围是m <－12.10. 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值; (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值.解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0表示的平面区域, 如图：由u ＝3x －y , 得y ＝3x －u , 得到斜率为3, 在y 轴上的截距为－u , 随u 变化的一组平行线. 由图可知, 当直线经过可行域上的C 点时, 截距－u 最大, 即u 最小, 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4x ＋2＝0, 得C (－2,3),∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时, 截距－u 最小, 即u最大, 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4x －y ＝1, 得B (2,1),∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5, 最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0表示的平面区域如图：由z ＝x ＋2y ＋2, 得y ＝－12x ＋12z －1, 得到斜率为－12在y 轴上的截距为12z －1, 随z 变化的一组平行线, 由图可知, 当直线经过可行域上的A 点时, 截距12－1最小, 即z 最小, 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1x ＋2＝0, 得A (－2, －3), ∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时, 截距12z －1最大, 即z 最大,∴z max ＝x ＋2y ＋2＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6, 最小值是－6.11. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个, 生产一个卫兵需5分钟, 生产一个骑兵需7分钟, 生产一个伞兵需4分钟, 已知总生产时间不超过10小时. 若生产一个卫兵可获利润5元, 生产一个骑兵可获利润6元, 生产一个伞兵可获利润3元. (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大, 最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y , 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600100－x －y ≥0 x ≥0 y ≥0 x y ∈N.整理得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＋3y ≤200x ＋y ≤100x ≥0y ≥0 x y ∈N.目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300.作出可行域. 如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0, 平移初始直线经过点A 时, w 有最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200x ＋y ＝100得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50 y ＝50.最优解为A (50,50), 所以w max ＝550元.所以：每天生产卫兵50个, 骑兵50个, 伞兵0个时利润最大为550元.。