初二同步三角形中位线和中心对称图形AB
三角形的中位线与中心
三角形的中位线与中心三角形是初中数学学习的重要内容之一，中位线是三角形的一个重要性质。
本文将介绍三角形的中位线以及与之相关的中心。
一、中位线的概念在三角形ABC中，连接线段AD、BE和CF的三条线段称为三角形ABC的中位线。
其中，D、E和F分别是AB、BC和AC的中点。
二、中位线的性质1. 三角形中位线的长度相等在三角形ABC中，有AD=BE=CF。
这是因为D、E和F分别是AB、BC和AC的中点，所以三角形ADB、BEC和AFC都是等边三角形，因此AD=BE=CF。
2. 三角形的中位线互相平行在三角形ABC中，有AD∥BC，BE∥AC和CF∥AB。
这是因为D、E和F分别是AB、BC和AC的中点，所以由平行线性质可知，AD∥BC，BE∥AC和CF∥AB。
三、三角形的中心三角形的中位线交于一点，这个点称为三角形的中心。
在三角形ABC中，三条中位线AD、BE和CF的交点是三角形的重心G。
四、重心的性质1. 重心到各顶点的距离比例为2:1在三角形ABC中，设重心为G，连接AG、BG和CG，有AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1。
这是由于重心是三角形的中位线交点，根据中位线的性质可知，AD=2DG，BE=2GE，CF=2GF。
2. 重心将三角形分成六个小三角形，且这些小三角形的面积相等以重心G为顶点，将三角形ABC分成了六个小三角形：△BAG、△CBG、△ACG、△AGD、△BGE和△CGF。
这六个小三角形的面积相等。
这是因为重心等分了中位线，并且中位线等分了三角形的面积。
3. 重心是重心轴的对称中心重心轴是连接重心和对边中点的线段，对于三角形ABC，重心轴是DE。
重心是重心轴的对称中心，即以重心G为中心，DE为轴进行对称，对应的点分别为A和C。
五、应用三角形的中位线和重心在数学中有广泛的应用。
例如：1. 在几何证明题中，可以利用重心的性质推导出其他结论。
2. 在力学中，可以利用重心的概念计算物体的重心位置。
八年级数学下册 第9章 中心对称图形—平行四边形 9.5
9.5 三角形的中位线
目标二 能利用三角形中位线定理解决问题
例 2 教材例题变式 变式题❶ 如图 9－5－2，四边形 ABCD 是矩形，E，F，G，H 分别 是 AB，BC，CD，DA 的中点． 求证：四边形 EFGH 是菱形．
图 9－5－2
9.5 三角形的中位线
9.5 三角形的中位线
变式题❸ 若已知四边形 ABCD，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD， DA 的中点，要使四边形 EFGH 是正方形，那么四边形 ABCD 一定是 正方形吗？为什么？
9.5 三角形的中位线
解：四边形 ABCD 不一定是正方形．理由：如图，当 AC＝BD，AC⊥BD 时，四边形 EFGH 就是正方形了． ∵AC＝BD，AC⊥BD，由变式 1 可得四边形 EFGH 是菱形，由变式 2 可得四边形 EFGH 是矩形， ∴四边形 EFGH 是正方形，而图中的四边形 ABCD 不是正方形， 当四边形 ABCD 是正方形时，也有 AC＝BD，AC⊥BD，四边形 EFGH 是正方形． ∴要使四边形 EFGH 是正方形，只需使四边形 ABCD 满足对角线相等且互相垂直即 可．
图9－5－3
9.5Байду номын сангаас三角形的中位线
知识点二 三角形的中位线定理
三 角 形 的 中 位 线 __平__行__于_第__三__边___ ， 并 且 _____等__于_第__三__边_的__一__半_____．
几何语言：如图 9－5－3 所示，∵E，F 分别为 AC，AB 的中点， 1
∴____E_F___是△ABC 的中位线，∴EF∥____B_C___，EF＝2___B_C____．
9.5 三角形的中位线
(苏科版)八年级数学下册《第9章中心对称图形——平行四边形9.5三角形的中位线》课件
9.5 三角形的中位线
你能将一个普通三角形分
实成 试 中连做位接三线四 一践线三角个 试与角 形全！操形 的等中两作的位边：三线中。点角的形线吗段？叫
D B
A E C
观三 有 三，并角且角 怎察形等形 样与的 于的的猜中 第中关位 三想位系线 边：线？平的行一DE于半与第。边三B边C
A
D
E
B
C
练习
已知三角形ABC，D、E、F分别是AB、BC、AC边
上的中点。
A
1、若∠ADF=60°，则∠B=
，
2、若AC=8cm，则DE=
，
D
F
3、若△DEF的周长为9cm，则
△ABC的周长为
，
B
4、图中有 个平行，则△DEF的面
积是
。
例21、如图，在△四AB边C形的A中BC线D中AF，与E、中F位、线G、DEH相分交别 是于A点B、O，BCA、FC与D、DDEA有的怎中样点的。关系？证明你的结论。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
A
H
D
学科网
E
G
B
F
C
例1、如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交 于点O，AF与DE有怎样的关系？证明你的结论。
例2顺、次如连图接，任在意四四边边形形A四BC边D中中，点E、F、G、H分别 是A所B、得B的C、四C边D、形DA的中点。 求证是：平四行边四形边E形FG。H是平行四边形。
A H D
E G
B
F
C
变式顺：次如连图接，在四边形四AB边CD中中点，E、F、G、H分别
是A所B、得B的C、四C边D、形D是A的矩中形点。，
补充一个条件：
9.5 三角形的中位线 苏科版八年级数学下册教案
9.5《三角形的中位线》教学设计一、教材分析《三角形的中位线》是新课标苏科版八年级（下）第九章《中心对称图形---平行四边形》的第五节的教学内容，教材安排一个学时完成。
本节教材是在学生学完了平行四边形和矩形，菱形，正方形内容之后,作为平行四边形知识的应用和深化所引出的一个重要性质定理，它揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，对进一步学习非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到.二、学情分析本章从内容上讲是《9.3》和《9.4》的继续，初二的学生对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握。
对于本节课三角形中位线定义的理解及完成大部分练习也不是难事，但在本节学习中学生容易出现以下问题：一是如何证明线段的倍分问题；二是应用中位线性质定理时怎样添加辅助线的问题.三、教学目标1.知识与能力：理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；2.过程与方法：进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展探究能力、推理论证的能力；培养数学应用意识3.情感态度价值观在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；在定理的证明和应用过程中体归纳、类比、转化等数学思想方法。
四、教学重难点重点：三角形中位线性质定理证明及应用难点：用添加辅助线的方法来推证三角形中位线定理,了解证明线段倍分关系问题的基本要领.五、教学方法与学法指导对于三角形中位线定义的引入采用类比法，在此基础上，教师引导学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。
在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，使学生易于理解和接受。
六、教学准备：教师准备多媒体课件，三角板.七、教学过程（一）创设情境，导入新课1.从生活中的事例导入，A、B两地被建筑物隔开,如何测出A、B两地之间的距离？2.引入课题：三角形的中位线（板书课题）（设计意图：从生活的事例出发，激发学生的学习兴趣）（二）展示目标，自主学习认真研读课本86-87页，思考下列问题：1、回顾三角形中线的概念，在练习本上画出一个三角形,并画出它的中线。
人教版初中数学八年级下册《三角形的中位线定理》PPT课件
——三角形的中位线定理
（第一课时）
教学目标：
1.理解三角形中位线的概念. 2.探索并掌握三角形中位线定理. 3.会利用三角形的中位线定理进行计算和证明.
平行四边形的判定方法
(1) AB∥CD， BC∥AD
(2) AB=CD， BC=AD (3) AB∥CD， AB=CD
A
D5 E
10
B
C
(1)
A 50° D 60°E
B 70° 60° C
(2)
1. 填空题
（3）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的
中点，且AD=10cm，那么OE= 5 cm.
A 10
D
E5 O
B
C
2. 如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外
选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两
点的实际距离？根据是什么？
求证：DE∥BC ，且DE=
1 2
BC .A
证明：
D
E
F
B
C
还有另外的证明方法吗？
已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC ，且DE= 1 BC .
2
证法二：
A
D
E
FHale Waihona Puke BC三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边， 并且等于第三边的一半。
几何语言：
A
∵ DE是△ABC的中位线，
D
A
D
C
B
E
通过本节课的学习，你有什么收获？
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的 线段叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于 三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
初中数学苏科版(新版)八年级下册三角形的中位线课件
A.5
B.7
C.9
D.11
三角形的 中位线
三角形的中 位线定义
三角形的中 位线定理
连接三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的 第三边，并且等于第三边的一半 .
A.50 m
B.48 m
C.45 m
D.35 m
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为 斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的
是( C )
A．∠ECD＝112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC＝30° D．AB＝ 2CD
3. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形是( B )
问题3.2 已知：如图，D，E分别是△ABC的AB，AC的中点.
求证：DE//BC，
DE=
1 2
BC.
A
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，
DC，AF. ∵AE=EC，DE=EF，
D
E
F
∴四边形ADCF是பைடு நூலகம்行四边形，
B
C
CF ＝∥DA.∴CF＝∥ BD.
∴又四∵边DE形=D1BDCFF，是∴平行DE四//边BC形，，且DDFE＝∥=
四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于原四边形的对角线是否 垂直或者是否相等，与是否互相平分无关.
连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形. 连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形. 连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形.
三角形的中位线定理
练一练：顺次连接下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是( D
BC. 1 BC.
八下第9章中心对称图形__平行四边形9-5三角形的中位线新版苏科版
9.5 三角形的中位线
1 课时讲解 三角形的中位线
中点四边形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 三角形的中位线
知1－讲
1. 概念和定理
图形
文字语言
符号语言
概 念
连接三角形两边中 点的线段叫做三角 形的中位线
∵ AD=BD，AE=EC， ∴ DE是△ABC的中 位线
∴ EF= 12OD= 52．
知1－练
方法点拨 此题由矩形的性质得到点 F是OA的中点，从而得
到EF是△AOD的中位线，再由三角形的中位线定理求 得EF的长 .
知识点 2 中点四边形
知2－讲
1. 定义 顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边 形叫做中点四边形 . 如图9.5-2，在四边 形ABCD中，E，F，G，H分别是边 AB，BC，CD，DA的中点，则四边 形EFGH就是中点四边形 .
知2－讲
2. 利用中位线定理判定平行四边形，一般用“一组 对边平行且相等”判定平行四边形 .
知2－讲
3. 中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置 关系和数量关系，具体如下表.
对角线 AC与BD 的关系
既不垂直 也不相等
AC⊥BD
AC=BD
AC⊥BD 且AC=BD
续表
知2－讲
图形
中点四 边形
四边形 EFGH是平 行四边形
四边形 EFGH是
矩形
四边形 EFGH是
菱形
四边形 EFGH是 正方形
特别解读
知2－讲
1. 所有的中点四边形都是平行四边形 .
2. 常见四边形的中点四边形：
初二数学专项三角形的中位线与性质
初二数学专项三角形的中位线与性质初二数学专项：三角形的中位线与性质在初二数学的学习中，三角形的中位线及其性质是一个重要的知识点。
它不仅在解决几何问题时经常用到，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象能力也具有重要意义。
首先，让我们来了解一下什么是三角形的中位线。
三角形的中位线，是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线。
那么，三角形中位线具有哪些性质呢？性质一：三角形的中位线平行于第三边。
这意味着中位线与第三边没有交点，并且它们的方向相同。
性质二：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。
为了更好地理解这些性质，我们来看几个具体的例子。
假设我们有一个三角形 ABC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。
由于中位线 DE 平行于 BC，并且DE 的长度是 BC 长度的一半。
如果我们知道 BC 的长度为 10 厘米，那么根据中位线的性质，DE的长度就是 5 厘米。
再比如，在一个三角形中，如果中位线的长度为 6 厘米，那么与之平行的第三边的长度就是 12 厘米。
那么，这些性质在实际解题中有什么用呢？用途一：证明两直线平行。
当我们需要证明两条直线平行，而又难以直接证明时，如果能够找到连接对应边中点的中位线，利用中位线平行于第三边的性质，就可以轻松得出结论。
用途二：计算线段长度。
已知中位线的长度或者第三边的长度，就可以通过中位线长度等于第三边长度的一半这一性质，求出另一边的长度。
用途三：构造平行四边形。
通过连接三角形两边中点得到中位线，再利用中位线平行且等于第三边一半的性质，可以构造出平行四边形，从而解决相关问题。
接下来，我们通过一些具体的题目来进一步掌握三角形中位线的应用。
例 1：在三角形 ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，若三角形 ABC 的周长为 20 厘米，求三角形 DEF 的周长。
因为 D、E、F 分别是三角形三边的中点，所以 DE、EF、DF 是三角形 ABC 的中位线。
初二数学期末复习中心对称、平行四边形、三角形的中位线
第九章复习（1）——中心对称、平行四边形、三角形的中位线【教学目标】掌握中心对称性质，平行四边形的性质及判定，三角形中位线定理，会熟练利用它们解决问题。
【教学重点】熟练应用中心对称性质，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理解决问题【教学难点】熟练应用中心对称性质，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理解决问题【教学指导】知识点1：平行四边形的性质：1．在□ABCD 中，若∠B ＋∠D ＝128°，则∠B ＝＿＿ °，∠C ＝＿＿ °．2.如图，EF 过□ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若AB ＝4，BC ＝5，OE ＝1.5，那么四边形EFCD 的周长是__________知识点2：平行四边形的判定3.如图，AC 、BD 是相交的两条线段，O 分别为它们的中点。
当BD 绕点O 旋转时，连接AB 、BC 、CD 、DA 所得到的四边形ABCD 始终为 形4.如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 是AC 上的两点，当E 、F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形( )A ．∠ADE ＝∠CBFB ．∠ABE ＝∠CDFC ．OE ＝OFD ．DE ＝BF第2题知识点3：平行四边形的个数问题及坐标点5．用两块全等的含有30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在平面直角坐标系内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ． 知识点4：三角形的中位线7. 已知△ABC 周长为50㎝，中位线DE ＝8㎝，EF ＝10㎝，则另一条中位线DF 的长是（ ）A. 5㎝B. 7㎝C. 9㎝D. 108．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P 的位置有关9．杨伯家小院子的四棵小树E F G H 、、、刚好在其梯形院子ABCD 各边的中点上，若在四边形EFGH 种上小草，则这块草地的形状是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形A B O 第3题D C 第4题R P DC B A E F 知识点5：平行四边形的面积问题及有关解答题10如图，□ABCD 中，AC.BD 为对角线，BC =6， BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为______ 知识点6：反证法反证法的证题步骤：① 假设。
初二同步三角形中位线和中心对称图形AB
校区：姓名：科目：初二同步测试题三角形中位线和中心对称图形 A 卷一、选择题1．下列图形中是中心对称图形的是（）．:A．B．C．D．2．把26个英文大写字母看成图案：A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z，则成中心对称图案的字母共有（）．A．4个B．5个C．6个D．7个3．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是( )．4．下列图形中：①等边三角形；②正五角星形；③正方形；④圆.~属于旋转对称图形的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，、则四边形EFGH的周长是（）A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm》6．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．A．4 B．8 C．12 D．16(DA C13题图二、填空题1.在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形中，一定是中心对称图形的有____________，一定是轴对称图形的有______________。
2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________．3.△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，BC=12cm，则DE=____________。
4.4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是______________。
5．如图所示，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点，构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为________________。
@三、解答题中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点。
1．如图所示，ABC求证：四边形DEFG为平行四边形。
八年级数学下册 第9章 中心对称图形—平行四边形 9.5 三角形的中位线(2)课件
4．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，
AF⊥BC，垂足(chuí zú)为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为
（）
A．4
B．8 C．2 D．4
5.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、
AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（ ）
连接CD、AF、CF
D
E
F
∵AE=EC
DE=EF
B
C
∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD FC
你还能不同(bù tónɡ)的方法加 以证明吗?
又D为AB中点，
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
第五页，共十七页。
D
B
A
E C
证明二：如图，以点E为旋转(xuánzhuǎn)中心，把
△ ABC的中位线DE与BC的 关系怎样(zěnyàng)？（从位置和 数量关系猜想）
A
D
E
猜想结论
B
C
已知：如图，D、E分别是△ABC的边
AB、AC的中点.
求证：DE∥BC。DE
1 2
BC
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
第四页，共十七页。
证法一：如图，延长DE至F,
A
使EF=DE，
第十七页，共十七页。
（2）求证：BE=（AB+AC）．
第九页，共十七页。
证明(zhèngmíng)：（1）∵DA平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AD∥EM， ∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE， ∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF． （2）作CG∥EM，交BA的延长线于G． ∵EF∥CG， ∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE， ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠G=∠ACG， ∴AG=AC， ∵BM=CM．EM∥CG， ∴BE=EG，
八年级数学下册 9.5 三角形的中位线 生活中的“中心对称”素材 苏科版(2021学年)
八年级数学下册9.5 三角形的中位线生活中的“中心对称”素材（新版)苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(八年级数学下册９.5 三角形的中位线生活中的“中心对称”素材（新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为八年级数学下册9.５三角形的中位线生活中的“中心对称”素材(新版)苏科版的全部内容。
生活中的“中心对称”数学家哈尔莫斯曾经说过：“哪里有数学，那里就有美”，近年来，中考命题者精心编拟了一类考查“中心对称”知识的好试题，主要考查同学们的观察、分析、想象、应用等能力.下面举例说明。
一、文字类例1。
下面的粗体汉字，可近似地看作是中心对称图形的有( )。
中、田、干、士、甲、申A。
１个B。
2个 C.3个D．4个解析:汉字中有很多是成中心对称图形的,除上面的“中、田、申＂外，还有“一、口、＂等.答案：Ｃ。
二、标志类例2.下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）。
解析:由轴对称和中心对称的概念可知选(D）。
三、字母类中心对称图形的是例3。
下列图案都是由字母“m"经过变形、组合而成的，其中不是．．（)解析：由中心对称图形的定义可知，不是中心对称图形的只有（B)。
四、实物类例4.如图5,下列图形中是中心对称图形的是（）.A B C D解析:由图形的特征可知D为中心对称图形。
五、图形类例5.下列图形中,是中心对称图形的是（)A．菱形 B.等腰梯形C。
等边三角形Ｄ。
等腰直角三角形解析:对于所学的常见图形的对称性,同学们应牢固掌握.答案：（A）。
六、游戏类例6。
如果4张扑克按图1—１的形式摆放在桌面上,将其中一张旋转１80°后,扑克的放置情况如图１—２所示,那么旋转的扑克从左起是（）A。
八年级数学下册中心对称图形_平行四边形三角形的中位线教案
9.5 三角形的中位线教学目标：探索并掌握三角形中位线的概念、性质；会利用三角形的中位线的性质解决有关问题；经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法．教学重点：会利用三角形的中位线的性质解决有关问题．教学难点：经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法．教学过程：一、课前专训：还记得在学习全等三角形时遇到中点怎么处理了？如，在△ABC中，AB=3，AC=5，求BC边上的中线AD的范围？二、复习平行四边形的判定有哪些？三、新知1.引入怎样将一张三角形的硬纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？拿出课前准备好的纸片，动手操作．小组合作，积极思考，回答问题.引导学生主动将三角形与平行四边形建立联系，从而发现三角形中位线定理的证明思路．操作——观察——探索（1）剪一张三角形纸片，记为△ABC；分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；沿DE将△ABC 剪成两部分，并将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180度到△CFE的位置，得四边形BCFD；（2）判别四边形BCFD是否是平行四边形？并说明理由．（3）引入三角形中位线的概念．互相讨论，踊跃回答．参考答案：四边形BCFD是平行四边形．由题意知，点A、E、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，且点A与点C重合．由中心对称的性质，知FC ＝AD ，∠CFE ＝∠ADE ．又由∠CFE ＝∠ADE ，得AB ∥FC ，由DB ＝AD ，得DB ＝FC ．所以四边形BCFD 是平行四边形．此活动既是对将要探究的三角形中位线性质的一个铺垫，又渗透了转化的思想方法——将对三角形中位线性质的研究转化为对平行四边形性质的研究．实践探索二：探索三角形中位线的性质．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．在实践探索一的基础上，通过独立思考和合作交流，得出三角形中位线的性质： 由△ADE ≌△CFE ，得EF ＝DE ＝12DF ，又由四边形BCFD 是平行四边形，得DE ∥BC ，DE ＝12DF ＝12BC ． 三角形中位线的性质是三角形的一个重要性质，通过学生相互讨论，归纳这个性质的特点：在同一条件下，有2个结论，一个表示位置关系，另一个表示数量关系，提醒学生在应用该性质时，要根据需要，选用结论．四、例题讲解例1、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 、G 分别是BD 、AC 、BC 的中点．求证：△EFG 是等腰三角形．小组内讨论交流3分钟． 小组推荐代表发言，其他小组可作补充．教师引导，梳理思路，最后在黑板上写出详细的过程．能运用三角形中位线的性质进行推理．教师的板书很重要，有着关键的示范作用，能培养学生有条理的说理能力．例2、已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点．求证：四边形ADEF 的周长等于2AB ．ABC DE FG根据题意，画出图形；小组内讨论交流3分钟；小组推荐代表阐述思路；找两名学生到黑板前详细写出证明过程；师生共同纠错；教师及时评价（表扬激励为主），找出学生的闪光点．在上一题的基础上，放手让学生自己完成过程，有助于知识的进一步强化．在课堂上要充分调动学生的学习积极性，积极融入课堂，积极思考，踊跃发言，锻炼思维能力，这对学好数学非常有帮助．及时有效地进行激励性的评价，有助于树立孩子的自信心。
初中数学课件-八年级数学中心对称-三角形的中位线-反证法教学课件
又∵BD=AD=CF,
D
∴四边形BCFD是平行四边形
E
F
DF // BC
DE
//1 BC 2
B
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
∵DE是△ABC的中位线
D
E
B
C
DE
//1 BC 2
适用范围
① 证明平行问题；
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半.
练一练
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线
下面的扑克牌中，哪些牌面是中心对称图形？
在下列英文大写正体字母中，哪些字母是 中心对称图形？
ABEFI J NRSTX Z
下列哪些图形是轴对称图形? 哪些图形是中心对称图形? 哪些图形既是中心对称图形?又是轴对称图形？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
如图是五个小正方形拼成的图形.请你移动其中一个 小正方形,重新拼成一个图形,使得所拼成的新图形: (1)是轴对称图形,但不是中心对称图形.
（1）若∠ADE=60°，则∠B= 60度，为什么？ （2）若BC=8cm，则DE= 4 cm，为什么？
C
D。
。E
B
A
图1
练一练
2.如图,在△ABC中，D、E、F分别是各边中点AB=6cm，
AC=8cm，BC=10cm，则△DEF的周长= 12 cm.
B
D。 4 5
A
三角形三条中位线围成
的三角形的周长与原三角形
D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE，
求证：DE=FE
M
A
N
D
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1
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初二同步测试题 三角形中位线和中心对称图形 A 卷
一、选择题
1．下列图形中是中心对称图形的是 （ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
2．把26个英文大写字母看成图案：A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z ，则成中心对
称图案的字母共有 （ ）．
A ．
4个
B ．5个
C
．6个
D ．7个
3．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和
梯形的是( )．
4．下列图形中：①等边三角形；②正五角星形；③正方形；④圆. 属于旋转对称图形的有
（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为20cm ， 、
则四边形EFGH 的周长是（ ） A ．80cm B ．40cm C ．20cm D ．10cm
6．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )．
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
二、填空题
1.在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形中，一定是 中心对称图形的有____________，一定是轴对称图形的有______________。
2.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB 边上的中线CD ＝___________．
D
A
C 13题图
23.△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，BC=12cm，则DE=____________。
4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是______________。
5．如图所示，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点，构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为________________。
三、解答题
1．如图所示，ABC
中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点。
求证：四边形DEFG为平行四边形。
2.已知：如图所示在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
3.已知：如图所示，△ABC中，BD=DC，E是AC上一点，BE、AD交于F，若AE=EF，
求证：BF=AC。
3
G F
E
D
C
B
A 4. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 的中点，直线BE 交AC 于F ，求证： FC AF 2
1 。
5．已知：在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是BD 、AC 、BC 的中点。
求证：⊿EFG 是等腰三角形。
4
初二同步测试题 三角形中位线和中心对称图形 B 卷
一、选择题
1
．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
2．下列情形不属于旋转的是 （ ）．
A ．电风扇的扇叶在不停转动
B ．时钟上的秒针不停地转动
C ．单摆上转动的小球
D ．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
3．已知△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 是中线，则AD 的取值范围是（ ） A ．68AD << B ．17AD << C ．34AD << D ．214AD <<
4． 下列说法中正确的是 （ ）．
A ．旋转对称图形一定是轴对称图形
B ．旋转对称图形一定不是轴对称图形
C ．轴对称图形一定是旋转对称图形
D ．以上说法均不正确
5
．如图，
ABCD 中，点E 、F 分别是
AD 、AB 的中点，EF 交AC 于点G ，那么AG ：GC 的值为（• ）
A ．1：2
B ．1：3
C ．1：4
D ．2：3
6．如图，已知矩形ABCD 中，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、PR 的中点， 当点P 在BC 上从B 向C 移动，而R 不动时，下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少
C ．线段EF 的长不改变
D ．线段EF 的长不确定
二、填空题
1．等腰三角形有一腰长为6，其三条中位线长度之和为 11，则其底边长是_________．
2．如图在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，延长DE 到F ，使EF=DE 若AB=8， BC=6，则四边形BCFD 的周长为 ．
5
题图
5
3．如图，在四边形A B C D 中，P 是对角线B D 的中点，E F ，分别是AB C D ，的中点，
18AD BC PEF =∠=
，，则P F E ∠的度数是 ．
4．如图，点P 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一动点，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，则MP ＋NP 的最小值为___________．
5．已知六边形ABCDEF 是中心对称图形，AB =1，BC =2，CD =3，那么EF = ．
6.如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别 为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为_________．如果△ABC 、△EFG 、△A
′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么 第n 个三角形的周长是_________．
三、解答题
1. 已知：如图，ABC ∆中，E 是BC 的中点，D 是CA 的延长线上的一点，AC AD 2
1=，DE 交AB 于F .
求证：FE
DF =.
C
F
D
B
E A
P
（第3题）
62．如图，梯形ABCD中，BC
AD//，BCD
∠的平分线CE交AB的中点E.
求证：BC
AD
CD+
=.
3.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，已知BD
AC=，M，N分别是AD，BC 中点，MN与AC，BD分别相交于E，F.
求证：OF
OE=.
4.如图，ABC
∆中，BM，CN平分ABC
∠，ACB
∠的外角，BM
AM⊥于M，CN
AN⊥于 N.E,F是AB,AC的中点求证：)
(
2
1
BC
AC
AB
MN+
+
=.
7
5.如图，四边形ABCD 中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD ≠BC ，对角线BD 与边DC 互 相垂直，M 、N 、H 分别是AD 、BC 、BD 的中点，且∠ABD=30°求：（1）MH 的长（2）MN 的长。