云南省昆明市2021届高三教学质量检查第二次统考理数试题
云南省昆明市2021届新高考二诊数学试题含解析
云南省昆明市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求()f x '，利用导数判断函数为单调递增，从而可得2ln(1)2xx x +>-，设()()ln 1g x x x =+-，利用导数证出()g x 为单调递减函数，从而证出0,ln(1)x x x ∀>+<，即可得到答案. 【详解】0x >时，22x x x >-令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求导21()111x f x x x x '=-+=++ 0x ∀>，()0f x '>，故()f x 单调递增：()(0)0f x f >=∴2ln(1)2x x x +>-，当0x >，设()()ln 1g x x x =+-，()11011x g x x x-'∴=-=<++ ， 又()00g =Q ，()()ln 10g x x x ∴=+-<，即0,ln(1)x x x ∀>+<，故2ln(1)2x x x x >+>-. 故选：D 【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.2．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.3．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2- C ．3ln 2+ D ．3ln 2-【答案】A 【解析】 【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．4．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C 【解析】 【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．5．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r 上的投影是（ ）A． B．C ．25-D ．25【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解 【详解】由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v， 故()21OB =u u u v，向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影是OA OB OB⋅==u u u v u u u vu u u v . 故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.6．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．532【答案】C 【解析】 【分析】 根据551[(21)1]32x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551[(21)1]32x x =-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有32255111545323232216C C a ⨯=⋅=⋅=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力7．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ）A ．±1B ．)1±C ．)1±D ．【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c =，12abF N c=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c=，12ab F N c =， 根据勾股定理：242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得31b a =+. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+，所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则A B I元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2xy =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B I 元素个数为2， 故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 10．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）AB．2C ．52D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解. 【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,12222||2i i i i z i i z ----====-+∴==故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.11．若双曲线22214x y a -=）A．B．C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120o ，由正弦定理可得2324sin120AD ==o，解得2AD =， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =+=该几何体外接球的表面积为：(24232S ππ=⋅=.故选：C 【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高三数学第二次模拟试题 理(含解析)
2021届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解.【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =（ ）A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =，(1,3)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】 【分析】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，230a b t =-+<，得23t <. 向量()2,a t =，()1,3b =-共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b =-. 所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（ ）25B.45C.2545【答案】A 【解析】 【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214x y -=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12y x =±.双曲线221 4xy-=的顶点到渐近线的距离等于255114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象最新直线3x π=对称的函数是（ ）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x yC. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,2,3，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ． 考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（ ） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】 【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上， 即应有222(14)x y r r +=， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥ ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确.故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C. (,)2e-∞ D. (,]2e -∞ 【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x-=， 当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 32sin a c A =，7c =ABC ∆33，a b +的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由32sin a c A=，结合正弦定理可得332sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1333sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =SC 与AB 所成角的余弦值为__________．17【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()()130,17,0,0,0,23,2,,01717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,,231717SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝,()0,17,0AB =.于是,所求夹角的余弦值为1717SC AB SC AB⋅=. 故答案为：1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n -1， 故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】 【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； （i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=） 【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】 【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭.由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i iiP Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ； （2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点，∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ， 又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ， ∴()2,0,2PB t =-，()0,1,1MN =. ∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010， ∴由1010PB MN PB MN⋅=得2t =. 设(),,m x y z =为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-，()0,1,1MN =.由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()1,1,1m =-，3m =，∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角， 则3cos 3AP m AP mθ⋅==，∴sin θ=【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y 2222(22)(22)6x y x y -+++=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知(22,0)D ，直线l ：22y kx k =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）7k >7k <【解析】 【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解. 【详解】（1）解：M 点的轨迹是以()22,0，()22,0-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由2y kx k =-得22y kx k+=代入2219x y +=整理()22219420k yky k ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立， 由根与系数的关系得1224219ky y k+=-+……③12219y y k =-+……④ 由①③得()142119k y k λλ=-+，()242119ky k λ=-+()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k 的取值范围是7k >7k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<， （i ）求参数m 的取值范围； （ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-.【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间； （2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+，若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意， 此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数， 所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减； 当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增 （2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0x f x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022ef e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-..所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->， 所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可； （2）设3C 极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=--2cos 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ； （2）已知+∈Rc b a ,,，且1abc111a b c a b c≤++.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由111a b c a b c a b ca b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可； （2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为精品 Word 可修改 欢迎下载 111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111b c a c a b a a b b c c =++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥， 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立. （2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 又因为1abc ，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111c b a a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。
云南省昆明市届高三第二次教学质量检测数学试题（理科）
云南省昆明市届高三第二次教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试用时120分钟。
注意事项： 1．答题前，考生务必用黑氏以碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．每小题选出答案后，用2B 氏风吹草动笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 答在试卷上的答案无效.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次重复试验中恰好发生k 334R V π=球第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合T S xxx T x x S ⋂<+-=>+=则},022|{},0)1(log |{2等于 （ ）A ．（0，2）B ．（－1，2）C ．（－1，+∞）D ．（2，+∞）2．若a bi a i i ,11+=+-、R b ∈，则ba的值是 （ ）A ．1B ．0C ．－1D ．－23．下列四个函数①3x y =；②x y 3sin =；③xx y 2+=；④2x x e e y --=中，奇函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．等差数列}{n a 的公差为2，若a 1、a 3、a 4成等比数列，则a 2=（ ）A ．－6B ．－8C ．8D ．65．某校要从高一、高二、高三共年名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先用分层抽样的方法从人中剔除7人，剩下的2000人再按简单随机抽样的方法进行，则每人入选的概率 （ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等且为200750D ．都相等且为401 6．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题是 （ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α C ．若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ= n ，则m ∥n D ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β 7．已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量AB 、OB 满足||||OB OA OB OA -=+，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．6或－6D ．2或－28．将函数x x f 2sin )(=的图象按向量)0,4(π=n 平移得到)(x g 的图象，则函数)(x f 与)(x g 的图象（ ）A ．关于直线83π=x 对称 B ．关于直线43π=x 对称C ．关于直线4π=x 对称 D ．关于y 轴对称9．已知81010221010,)1()1()1()3(a x a x a x a a x 则+++++++=+ =（ ）A ．180B ．135C ．9D ．410．已知)(x f y =是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是)1(),(1+==-x f y x f y 且 的图象过A （－4，0），B （2，3）两点，若3|)1(|1≤+-x f ，则x 的取值范围是（ ） A ．[0，3] B ．[－4，2] C ．[1，3] D ．[－1，2]11．将5名同学分配到A 、B 、C 三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 宿舍，那么不同的分配方案有 （ ） A ．76 B ．100 C ．132 D ．150 12．已知F 1、F 2分别是双曲线)0(122>=-m my x 的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一||122PF PF 的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围为 （ ）A ．]2,1(B ．]3,0(C ．]3,1(D ．（1，+∞）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案直接填在答题卡上. 13．抛物线x y 42=上的点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的横坐标是 . 14．若函数52(2)(|1|≤≤-=-x x f x ），则)(x f 的值域为 .15．若球O 的表面积为16π，边长为2的正三角形ABC 的三个顶点在球O 的表面上，则球心O到平面ABC 的距离为 . 16．已知函数2222,0)1(,0)0(,0),3(23)(b a a f f c b a a c bx ax x f ++≥≥=++≥++=则若的最小值为 .三、解答题：本大题有6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知△ABC 中，BC BA ⋅=1，若△ABC 的面积为S ，且2363≤≤S （I ）求角B 的取值范围； （II ）)4sin(12cos 2sin π+++B B B 求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知矩形ABCD ，AD =2AB =2，点E 是AD 的中点，将△DEC 沿CE 折起到△D ′EC 的位置，使二面角D ′—EC —B 是直二面角.（I ）证明：BE ⊥C D ′（II ）求二面角D ′—C —E 的大小.19．（本小题满分12分） 如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.（I ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望.20．（本小题满分12分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=（I ）若存在]1,0[0x 使不等式0)(0≤-m x f 能成立，求实数m 的最小值；（II ）关于x 的方程]2,0[)(2在a x x x f ++=上恰有两个相实根，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分12分）C D A B已知F 1、F 2是椭圆12222=+by a x 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 22,1(-）在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足02=+M F PM ；⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l : y =kx +m 与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B .（I ）求椭圆的标准方程； （II ）当λ=⋅OB OA ，且满足4332≤≤λ时，求△AOB 面积S 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足).2(22,111≥-+==-n n a a a n n（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 中b 2=4，前n 项和为S n ，且*),()(4N n n a n n b n nS ∈+=-证明：.35)11(2321<+≤n b n b云南省昆明市届高三第二次教学质量检测数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．D 8．A 9．A 10．D 11．B 12．C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．3 14．[1，16] 15．362 16．24 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：（本小题满分12分） （I ）1=⋅BC BA1cos ||||=⋅⋅∴B BC AB …………………………………………①又S B BC AB =sin ||||21……………………………………② ∴由②①得tan B =2S又2363≤≤S),0(3tan 33π∈≤≤∴B B 且]3,6[ππ∈∴B ……………………………………………………6分（II ）B B B B B B B B B B cos 2222cos 2)cos (sin 22cos 2cos sin 2)4sin(12cos 2sin 2==++=+++π23cos 21]3,6[)(≤≤∴∈B B I ππ由]6,2[)4sin(12cos 2sin 的取值范围为π+++∴B B B ……………………………12分18．（本小题满分12分）解：（I ）∵AD =2AB =2，E 是AD 的中点， ∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形，∠BEC =90°，即BE ⊥EC 又∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，面D ′EC ∩面BEC =EC ∴BE ⊥面D ′EC ，∴BE ⊥CD ′……………………………………5分 （II ）法一：设M 是线段EC 的中点，过M 作MF ⊥BC垂足为F ，连接D ′M ，D ′F ，则D ′M ⊥EC . ∵平面D ′EC ⊥平面BEC ∴D ′M ⊥平面EBC∴MF 是D ′F 在平面BEC 上的射影，由三垂线定理得： D ′F ⊥BC∴∠D ′FM 是二面D ′—BC —E 的平面角. 在Rt △D ′MF 中，D ′M =21EC =22，MF =21AB =212arctan ,2tan ='∠∴='='∠FM D MFMD FM D ， ∴二面角D ′—BC —E 的大小为2arctan .…………………………………………12分法二：如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过E 垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系.则B （2，0，0），C （0，2，0），D ′（0，22，22）设平面BEC 的法向量为)1,0,0(1=n ；平面D ′BC 的法向量为),,(2222z y x n =33||||,cos ),1,1,1(1022220220),22,22,0(),0,2,2(21212122222222=⋅⋅>=<∴==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⎪⎩⎪⎨⎧='⋅=⋅-='-=n n n n n n n x z y y x C D n BC n C D BC 得取∴二面角D ′—BC —E 的大小为.33arctan……………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（I ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为31621==P因为只投掷一次不可能返回到A 点；若投掷两次点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为： （1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为313)31(22=⋅=P 若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为： （1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为913)31(33=⋅=P若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）其概率为811)31(44==P所以，点P 恰好返回到A 点的概率为81378119131432=++=++=P P P P ……7分 （II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种， 因为，71)4(,73)3(,73)2(======ξξξP P P所以，E ξ=2·73+3·73+4·71=716………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（I ）依题意得m x f ≤min )(为增函数故时当的定义域为得令)(,0)(]1,0[},1|{)(0,20)(,12)1(2)(x f x f x x x x f y x x f xx x f >'∈∴->=-=='+-+='1,1,1)(min 的最小值为即m m x f ≥∴=∴………………………………6分（II ）依题意得，]2,0[)1ln(2)1(在a x x =+-+上恰有两个相异实根， 令11)()1ln(2)1()(+-='+-+=x x x g x x x g 得 ,0)(,11,0)(,1<'<<->'>∴x g x x g x 时当时当故)(x g 在[0，1]上是减函数，在]2,1(上是增函数，)2()1(),2()0(g a g g g ≤<∴>]9ln ,4(ln ,3ln 232ln 2232e e a a ∈-≤<-∴即………………………………12分21．（本小题满分12分） 解：（I ）02=+M F PM ∴点M 是线段PF 2的中点 ∴OM 是△PF 1F 2的中位线又OM ⊥F 1F 2 ∴PF 1⊥F 1F 21,1,21211122222222===⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=∴c b a cb a b ac 解得∴椭圆的标准方程为222y x +=1………………………………………………5分（II ）∵圆O 与直线l 相切111||222+==+k m k m 即0224)21(:1222222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kmx x k y m kx y y x 消去∵直线l 与椭圆交于两个不同点，002>⇒>∆∴k设),(),,(2211y x B y x A1214321132211211)())((2122,2142222221212222121221212221221≤≤∴≤++≤∴=++=⋅+⋅=⋅+-=+++⋅=++=⋅+-=⋅+-=+k k k kk y y x x OB OA k k m x x km x x k m kx m kx y y k m x x k km x x λ1||21⋅⋅==∆AB S S ABO 32)2(,46)43(,]2,43[]2,43[,142,243,1)(4)(221224)214(1214)(12124242422222212212==∈+=≤≤+=+++=+-⋅-+-⋅+⋅=⋅-+⋅+⋅=S S u S u u u S u k k u k k k k k m k km k x x x x k 单调递增在关于则设3246≤≤∴S ……………………………………………………………………12分22．（本小题满分14分） 解：（I ）解法一、)2(221≥-+=-n n a a n n ……………………① 121-+=+n a a n n ………………………………②②－①得12211+-=--+n n n n a a a a)1(2111+-=+-∴-+n n n n a a a a}1{1+-∴-n n a a 为公比为2，首项为2的等比数列. )2(,1211≥-=-∴--n a a n n n 递推叠加得)1(,2≥-=∴n n a n n ………………………………………………6分 解法二、)2(221≥-+=-n n a a n n ……………………① 设))1((21y n x a y xn a n n +-+=++-即x y xn a a n n 221-++=-与①式比较系数得：x =1，y =0)1(21-+=+∴-n a n a n n∴数列{n a n +}是以首项a 1+1，公比为2的等比数列，即n n n n a 2221=⨯=+-)1(,2≥-=∴n n a n n ………………………………………………6分 （II ）n n nn nb n S bn n S n a 24)(4=∴+=-- n n nb n S =-∴22……………………………………② 由②可得：11)1()1(22+++=+-∴n n b n n S ………………③ ③－②，得n n n nb b n b -+=-++11)1()1(2 即02)1(1=+--+n n nb b n ………………………………④ 又由④可得02)1(12=++-++n n b n nb ………………⑤ ⑤－④得0212=+-++n n n nb nb nb 即}{*)(0211212n n n n n n n n b N n b b b b b b b ∴∈-=-∴=+-+++++是等差数列.n b b b n 2,4,221=∴==n n n r r n n n n n b n nC n C n C n C C n b n )21()21()21(21)211()11(221021++++++=+=+12322101242121211)21()21()21(21),2,1(211222121!)1()1(2121)21(--++++<++++++∴==⨯⨯⨯⨯⋅<⋅+--⋅=⋅=n nn n r r n n n n r r r r r n r r rnn C n C n C n C C n r r n r n n n n C n C2321)211(35)411(32110=+≥+<-+=n C C n n n n n 又35)11(2335)211(2321<+≤<+≤∴n b n n b n 即………………………………14分。
云南省昆明市2021届新高考数学二模试卷含解析
云南省昆明市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．1 B．43C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果. 【详解】根据三视图可知：该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥A BCD-，长度如上图所以111121,11222 MBD DEC BCNS S S∆∆∆==⨯⨯==⨯⨯=所以3 222 BCD MBD DEC BCNS S S S∆∆∆∆=⨯---=所以113A BCD BCDV S AN -∆=⋅⋅=故选：A 【点睛】2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解析】【分析】由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，，累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值．【详解】解：，即，，时，，，两式相除可得，则，，由，，，，，可得，且，则，则，故选：． 【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.3．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}， 又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}， 所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】2【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和， 又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.5．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题. 6．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充分必要条件【答案】D 【解析】 【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，“A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 7．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x Q 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确； 对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C .本题考查函数的基本性质，属于基础题.8．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.9．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =+ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ．考点：函数的定义域．10．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】设()()g x xf x =，若函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以，“()y f x =是奇函数”⇒“()y xf x =的图象关于y 轴对称”；若函数()y f x =是R 上的偶函数，则()()()()()g x xf x xf x xf x g x -=--=-==，所以，函数()y xf x =的图象关于y 轴对称.所以，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”⇒“()y f x =是奇函数”.因此，“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.11．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．63C 3D ．13利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r，利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r所以3cos ,3AC BD AC BD AC BD⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.12．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） π【分析】根据正弦定理得到4sin cos sin 3sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =，∴3sin 22B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市五华区2021-2022学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②2． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．453．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( ) A ．2B ．4C ．23D ．274．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等5．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．26．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1B ．1-或2C ．1-或12D ．12-或1 7．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．48．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ） A ．长轴在y 轴上的椭圆 B ．长轴在x 轴上的椭圆 C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线9．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A．B．13C．65-D．6511．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣1212．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省2021年高考数学二模试卷(理科) B卷
云南省2021年高考数学二模试卷（理科） B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知复数（是虚数单位），则的共轭复数（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·河南模拟) 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤1}，则（∁RA）∪B=（）A . （﹣1，12）B . （2，3）C . （2，3]D . [﹣1，12]3. （2分）已知，且，则k等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·深圳月考) 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第2018项为（）A . 2018B . 63C . 64D . 655. （2分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）如图所示的流程图中，输出的结果是（）A . 5B . 20C . 60D . 1207. （2分） (2016高一上·吉安期中) 函数f（x）=|x|+1的图象是（）A .B .C .D .8. （2分）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A . 4B .C .D . 69. （2分） (2019高三上·桂林月考) 已知变量，满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·宁波期中) 已知双曲线（，），A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于轴的对称点是Q，若直线，的斜率分别是，，且，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按照从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a2016的值为（）A . 2008B . 2015C . 2016D . 403212. （2分） (2017高二下·吉林期末) 奇函数定义域为，其导函数是 .当时，有，则关于的不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·葫芦岛月考) 函数的最小正周期为________.14. （1分） (2015高二下·福州期中) 函数f（x）= 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________．15. （1分） (2017高二上·邢台期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1上一点，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为，设三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为a，则 =________．16. （1分） (2018高三上·镇江期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4(tanA＋tanB)＝＋，则cosC的最小值为________．三、解答题 (共7题；共80分)17. （10分） (2019高二下·台州期中) 已知正项等比数列中，，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18. （15分）(2017·衡阳模拟) 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；（3）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90，100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．19. （15分） (2015高二上·安庆期末) 在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．（1）求EF的长（2）证明：EF∥平面AA1D1D；（3）证明：EF⊥平面A1CD．20. （10分） (2018高二上·江苏期中) 已知椭圆的焦点为，椭圆上一点满足 .（1）求椭圆方程；（2）求与椭圆有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程.21. （10分） (2020高二下·台州期末) 已知函数（1）讨论函数的单调性（2）若函数恰有一个零点，且．（i）求a的取值范围；（ii）求的最大值22. （10分） (2018高三上·牡丹江期中) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，求点到曲线的最小距离．23. （10分） (2016高一上·无锡期末) 已知函数f（x）=（）x﹣2x ．（1）若f（x）= ，求x的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0， ]都成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
云南省2021版高考数学二模试卷(理科)C卷
云南省2021版高考数学二模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2015高二下·泉州期中) 若复数（a∈R）是纯虚数，i是虚数单位，则a的值是（）A . 2B . 1C . ﹣1D . ﹣22. （2分）(2017·石嘴山模拟) 已知集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=1﹣cos x，x∈M}，则集合M∩N的真子集的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 已知函数若方程恰有两个不同的解，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）等差数列的前项和为，已知，，则的值是（）A . 24B . 48C . 60D . 725. （2分） (2017高一下·丰台期末) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是（）A . 96B . 128C . 140D . 1526. （2分） (2018高二上·长春月考) 如果执行下面的程序框图，那么输出的s＝（）．A . 10B . 22C . 46D . 947. （2分）(2019·天津模拟) 如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P 是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·奉贤模拟) 已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A . 0B .C . πD .9. （2分）实数x、y满足若目标函数取得最大值4，则实数a的值为（）A . -2B . 2C . 1D . -110. （2分） (2019高二下·南充月考) 抛物线的焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足 .设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）.A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共9分)11. （5分）下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表晚上白天总计男婴45A B女婴E35C总计98D180那么A=________，B=________，C=________，D=________，E=________．12. （1分） (2019高一下·上海期末) 如果则 ________13. （1分） (2020高三上·安徽月考) 在展开式中，的系数为________.（用数字作答）14. （1分） (2017高一上·山西期末) 设函数f（x）= 的最大值为M，最小值为m，则M+m=________．15. （1分） (2019高三上·深圳月考) 已知关于x的方程在上有三个相异实根，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分） (2017高一下·赣州期末) 已知向量 =（3，4）， =（﹣1，2）．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ 与 +2 平行，求λ的值．17. （10分） (2018高一上·湖南月考) 如图，在圆锥中，是其底面圆的直径，点在底面圆周上运动（不与，重合），为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面 .18. （5分） (2017高三上·威海期末) 某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：人文科学类自然科学类艺术体育类课程门数442每门课程学分231学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．（Ⅰ）甲至少选1门艺术体育类课程，同时乙至多选1门自然科学类课程的概率为多少？（Ⅱ）求甲选的3门课程正好是7学分的概率；（Ⅲ）设甲所选3门课程的学分数为X，写出X的分布列，并求出X的数学期望．19. （10分） (2018高一下·通辽期末) 已知等差数列的首项，公差，前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，求 .20. （10分） (2018高二上·抚顺期末) 点在椭圆：上，且点到椭圆两焦点的距离之和为。
云南省2021年数学高考理数二模考试试卷B卷
云南省2021年数学高考理数二模考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合，，那么（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·武汉模拟) 将二项式（x+ ）6展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高三上·金华期中) 已知实数x、y满足，若z=x﹣y的最大值为1，则实数b 的取值范围是（）A . b≥1B . b≤1C . b≥﹣1D . b≤﹣14. （2分） (2018高一上·吉林期末) 若直线与圆有两个不同的交点，则点圆C的位置关系是（）A . 点在圆上B . 点在圆内C . 点在圆外D . 不能确定5. （2分）设等比数列{an}的前6项和S6=6，且1﹣为a1 ， a3的等差中项，则a7+a8+a9=（）A . -2B . 8C . 10D . 146. （2分）在中，则“A>B”是“”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分又不必要条件7. （2分） (2018高三上·太原期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 80B . 160C . 240D . 4808. （2分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁二、填空题 (共6题；共9分)9. （1分） (2015高三上·厦门期中) 在极坐标系中，已知圆C经过点P（），圆心为直线ρsin （）=﹣与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是________．10. （1分）(2017·成都模拟) 若复数z= （其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a=________．11. （2分） (2020高一下·东阳期中) 在中，A，B，C所对的边为a，b，c，点D为边上的中点，已知，，，则 ________； ________．12. （3分）用二分法研究函数f（x）=x3+3x﹣1的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，这时可判断x0∈________．13. （1分） (2017高一下·广州期中) 已知向量满足，与的夹角为60°，则在方向上的投影是________．14. （1分）(2019·浙江模拟) 如图，过椭圆的左、右焦点F1 ， F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1 ，△BOF2的面积分别为S1 ， S2 ，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为________．三、解答题 (共6题；共55分)15. （10分）已知函数f（x）=sin2（ωx+π）+ sinωx•sin（ωx+ ）（ω＞0）的最小正周期为2π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围．16. （5分）(2016·城中模拟) 某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在75分以上（包括75分）的学生定义为甲组，成绩在75分以下（不包括75分）定义为乙组．（Ⅰ）在这30名学生中，甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；（Ⅱ）记甲组学生的成绩分别为x1 ， x2 ，…，x12 ，执行如图所示的程序框图，求输出的S的值；（Ⅲ）竞赛中，学生小张、小李同时回答两道题，小张答对每道题的概率均为，小李答对每道题的概率均为，两人回答每道题正确与否相互独立．记小张答对题的道数为a，小李答对题的道数为b，X=|a﹣b|，写出X 的概率分布列，并求出X的数学期望．附：K2= ；其中n=a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2＞k0）0.1000.0500.010k0 2.706 3.841 6.63517. （10分）(2019·长春模拟) 如图，平面分别是上的动点，且 .（1）若平面与平面的交线为，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.18. （5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．19. （10分）已知f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；（2）设实数a＞0，求函数F（x）= 在[a，2a]上的最大值．20. （15分） (2018高一下·彭水期中) 数列满足（，）， .（1）求，的值；（2）是否存在一个实数，使得（），且数列为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；（3）求数列的前项和 .参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共9分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分) 15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。
云南省2021版数学高三理数第二次模拟考试试卷D卷
云南省2021版数学高三理数第二次模拟考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·嘉兴期末) 已知 ,则集合可以为（）A . {1,3}B . {1,9}C . {2,0}D . {2,3}2. （2分）满足的复数z是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·龙岩期末) 根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A . 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B . 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C . 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D . 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. （2分）(2012·重庆理) 的展开式中常数项为（）A .B .C .D . 1055. （2分） (2019高二上·湖南月考) 已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·金堂开学考) 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 8πB . 4πC . 2πD . π7. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 若a=sin1，b=sin2，c=cos8.5，则执行如图所示的程序框图，输出的是（）A . cB . bC . aD .8. （2分）已知等比数列中，公比若则有（）A . 最小值-4B . 最大值-4C . 最小值12D . 最大值129. （2分） (2016高三上·厦门期中) 将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（）A . 4B . 6C . 8D . 1210. （2分）(2019·北京模拟) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A .B .C .D .11. （2分）(2019高三上·大庆期中) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点 , ,点P是两曲线的一个公共点,且 , , 分别是两曲线 , 的离心率,则的最小值是（）A . 4B . 6C . 8D . 1612. （2分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知函数，若且，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·如皋期末) 已知x，y满足约束条件，则z=x2+y2+2y+1的最小值为________．14. （1分）已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=________15. （1分）(2016·南通模拟) 如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q，若||=3，| |=5，则（ + ）•（﹣）的值为________．16. （1分） (2017高二上·南通期中) 已知等差数列{an}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高一下·永安月考) 已知某渔船在渔港的南偏东60º方向，距离渔港约160海里的处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船的俯角为68.20º，测得渔政船的俯角为63.43º，且渔政船位于渔船的北偏东60º方向上．（1）计算渔政船与渔港的距离；（2）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？(参考数据：，，）18. （10分） (2019高二上·上杭月考) 如图：正三棱柱中，是的中点，．（1）求二面角的余弦值；（2）求点到平面的距离．19. （10分）在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人，其中为样本容量。
2020-2021学年云南省某校高三(上)第二次大联考数学试卷(理科)
试卷第1页，总26页 2020-2021学年云南省某校高三（上）第二次大联考数学试卷
（理科）
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合M ＝{x ∈R|0<x ≤2020}，N ＝{x|x ＝2k, k ∈Z}，则M ∩N 所含元素个数为（ ）
A.2020
B.2021
C.3
D.1010
2. 复数z 满足(z +i)(2+i)＝5（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）
A.−2
B.−2i
C.2
D.2i
3. 在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，且AE →=2EC →，则EB →=( )
A.13AB →−23AD →
B.−13AB →+23AD →
C.23AB →+13AD →
D.23AB →−13AD →
4. 德国汉堡大学的学生提出一个猜想：对于每个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1；如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1，如图是验证此猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为5，则输出的n 的值是（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9。
昆明市一中教育集团2021届高二升高三诊断性考数学(理)试卷附答案解析
昆明市一中教育集团2021届高二升高三诊断性考数学（理）试卷一、单选题1．已知集合{|128}x A x =<<，若{}1A B ⋂=，则集合B 可以是（ ） A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{0,1,2}D ．{}1,2,32．设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭353()5a =，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．在41x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二次项的系数为（ ） A ．6-B ．4-C ．4D ．65．已知正项等比数列{}n a 中，432a a a =，若1237a a a ++=，则10S =（ ） A ．511B ．512C ．1023D ．10246．函数2()sin ||f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．现有甲、乙、丙丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有1种被选取的概率为（ ） A ．23B ．25C ．710D ．9108．已知单位向量a ，b 满足||a a b =+，则12a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与b 的夹角是（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．如图所示的程序框图，是为计1111112344950S =-+-++-，则在空白判断框中应填入的是（ ）A ．50i <B ．51i ≤？C ．50i >？D ．51i ≥？10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，直线:2p l y x ⎫=-⎪⎭与抛物线C 在第一象限的交点为M ，若||2MF =，则抛物线C 的方程为（ ） A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x =D ．2y x =11．设函数()()22cos 224x x f x x π⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，则2020(1)M m ++的值是（ ） A ．0 B ．1C ．20192D ．2020212．已知函数()ln x f x xe x x =--，若存在0(0,)x ∈+∞，使()0f x a ≤，则a 的最大值为（ ） A ．[1,)+∞ B ．[1,)-+∞eC ．[2,)+∞D ．[),e +∞二、填空题13．曲线2ln 1y x x =++在点()1,2处的切线方程为______．14．若变量x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是__________.15．在等腰ABC 中，若23ABC π∠=，若点C 在以A ，B 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．16．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线()32222:4C x y x y +=被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论：①曲线C 关于直线(0)yax a ≠交于不同于原点O 的()()1122,,,A x y B x y 两点，则1212x x y y +++0=②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）； ③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C 在此圆面内（含边界）； ④曲线C 上存在一个点M ，使得点M 到两坐标轴的距离之积大于12. 其中，正确结论的序号是___________．三、解答题17．某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y 和Z 数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8. （1）求Y ，Z 的值；（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2b =，2242c a c +-=-. （1）求A 的值；（2）从①a B =，②4B π=两个条件中选一个作为已知条件，求sin C 的值.19．设数列{}n a 满足12a =，12nn n a a +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()212log n n b a a a =⋅⋅⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 的和n S ．20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，12AA =，BC =D ，E 分别是BC ，1CC 的中点．（1）证明：1B D ⊥平面ADE ；（2）若2AB =，求平面11AB C 与平面ADE 所成二面角的正弦值.21．已知点()1,0N 和直线2x =，设动点(),M x y 到直线x =2的距离为d ，且||2MN =. （1）求点M 的轨迹E 的方程； （2）已知()2,0P -，若直线():1l y k x =+与曲线E 交于A ，B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为C ，证明：P 、B 、C 三点共线.22．已知函数()ln 1a f x x x=+-. （1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围； （2）设11n a n =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：()ln 1n S n <+.解析昆明市一中教育集团2021届高二升高三诊断性考数学（理）试卷一、单选题1．已知集合{|128}x A x =<<，若{}1A B ⋂=，则集合B 可以是（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,2C ．{0,1,2}D ．{}1,2,3【答案】A【解析】利用指数的性质化简集合A ，利用{}1A B ⋂=可得出集合B ． 【详解】集合{}03A x x =<<，{}1A B ⋂={}0,1B ∴=满足条件，故选：A ． 【点睛】本题考查集合的运算的应用，考查指数的性质，属于基础题． 2．设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由复数的四则运算求出z ，就能判别相应选项. 【详解】因为(1i)2z +=，所以22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限.选D ． 【点睛】复数四则运算，属于简单题.3．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭353()5a =，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】根据指数对数函数的单调性，确定a ，b ，c 的范围，进而比较大小即可. 【详解】由题可得35331550a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<，33553log log 102b =<=，30533122c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以b a c <<.故选：C 【点睛】本题主要考查利用指对数函数的单调性比较大小，属于基础题.4．在41x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二次项的系数为（ ） A ．6- B ．4-C ．4D ．6【答案】B【解析】根据二项展开式的通项公式可得结果. 【详解】因为41()x x -的展开式中的通项公式为4241441()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅-=-⋅，0,1,2,3,4r =，令242r -=，得3r =，所以二次项为4T =3324(1)C x -=24x -，所以二次项的系数为4-. 故选：B ． 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题. 5．已知正项等比数列{}n a 中，432a a a =，若1237a a a ++=，则10S =（ ） A ．511 B ．512C ．1023D ．1024【答案】C 【解析】由432a a a =求得1a ，再由1237a a a ++=求得公比q ，然后由等比数列前n 项和公式求得结论． 【详解】由234a a a ⋅=得221a q q =，所以11a =， 又因为1237a a a ++=，得217q q ++=，所以2q，10101(12)102312S ⨯-==-，故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，考查等比数列的前n 项和公式，属于基础题． 6．函数2()sin ||f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性结合特殊值，结合选项得出函数的图象． 【详解】因为函数2()=sin f x x x 为偶函数，排除A ，C ， 当x π=时，()0f x =，排除D ， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数性质的应用，属于基础题．7．现有甲、乙、丙丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有1种被选取的概率为（ ） A ．23B ．25C ．710D ．910【答案】C【解析】甲、乙至少有1种被选取的情况有：甲、乙中有一人被选取，甲、乙两人都被选取，利用古典概率公式分别计算可得选项. 【详解】因为甲、乙至少有1种被选取的情况有：甲、乙中有一人被选取，甲、乙两人都被选取，所以甲、乙至少有1种被选取的概率11223225710C C C P C +==，故选：C ． 【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型，属于基础题. 8．已知单位向量a ，b 满足||a a b =+，则12a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与b 的夹角是（ ） A ．30 B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解析】由已知条件进行向量数量积的运算得201a b b ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=，进而得12a b b ⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，从而得答案.【详解】已知单位向量a ，b ，则1a b ==，满足||a a b =+，平方得2222a a a b b =+⋅+，即12a b ⋅=-， 则2111122022a b b a b b ⎛⎫+⋅ ⎪⎝=⋅+==⎭-+，进而得12a b b ⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，所以12a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与b 的夹角是90︒.故选：D 【点睛】本题考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，属于基础题． 9．如图所示的程序框图，是为计1111112344950S =-+-++-，则在空白判断框中应填入的是（ ）A ．50i <B ．51i ≤？C ．50i >？D ．51i ≥？【答案】A【解析】根据程序框图，确定,N T ，由框图的作用，即可得出结果. 【详解】由程序框图可得，S N T =-中的11113549N =++++，111124650T =++++， 则空白判断框应填50?i <， 故选：A . 【点睛】本题主要考查补全循环程序框图，属于基础题型.10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线:2p l y x ⎫=-⎪⎭与抛物线C 在第一象限的交点为M ，若||2MF =，则抛物线C 的方程为（ ）A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x =D ．2y x =【答案】C【解析】设抛物线C 的准线为l '，作MH l '⊥于H ，抛物线定义得到2MH =，再根据直线l：)2py x =-过焦点F 且倾斜角为60︒，得到MHF △为正三角形求解.【详解】设抛物线C 的准线为l '，作MH l '⊥于H ，如图所示:因为||2MF =，由抛物线定义得：2MH =， 又直线l：)2py x =-过焦点F 且倾斜角为60︒， 所以60HMF ∠=︒，所以MHF △为正三角形， 所以2HF =，60HFO ∠=︒， 所以o2cos601p ==， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.11．设函数()()22cos 224x x f x x π⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，则2020(1)M m ++的值是（ ） A ．0 B ．1C ．20192D ．20202【答案】B【解析】将函数()f x 化简，利用奇函数的对称性，可得选项. 【详解】222cos()(2)sin 42()144x x x x f x x x π--+-==-++，设2sin 4()4x x g x x -=+，因为()()()22sin 4sin 4()()44x x x x g x g x x x -----===+-+，所以()g x 为奇函数， 所以max min ()()0g x g x +=，则2M m +=-， 所以2020(1)1M m ++=，故选：B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，一般像这种较为复杂函数求最大值与最小值和相关问题，常会考虑函数本身或者能否构建成奇偶函数相关问题，属于中档题.12．已知函数()ln x f x xe x x =--，若存在0(0,)x ∈+∞，使()0f x a ≤，则a 的最大值为（ ） A ．[1,)+∞ B ．[1,)-+∞e C ．[2,)+∞ D ．[),e +∞【答案】A【解析】存在0(0,)x ∈+∞，使()0f x a ≤，即()min a f x ≥．先证明1x e x ≥+恒成立，利用对数恒等式结合不等式放缩原函数，求出最值，可得a 的最大值． 【详解】构造1xy e x =--，则1xy e '=-当0x <时，0y '<，函数在(),0-∞单调递减；当0x ≥时，0y '≥，函数在()0,∞+单调递增；且0x =时，0y =，则0y ≥恒成立，即1x e x ≥+ln ()e ln e e ln x x x f x x x x x x =--=--ln e ln (ln 1)ln 1x x x x x x x x +=--≥++--=，当ln 0x x +=时取“=”，所以()f x 的最小值为1，所以1a ≥， 故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数解决函数的最值问题，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．二、填空题13．曲线2ln 1y x x =++在点()1,2处的切线方程为______． 【答案】3-1y x =【解析】先对原函数求导，再令x=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【详解】解：令()()()2''1ln 1,2,1213f x x x fx x f x=++=+=+= ，3k ∴= ，切线方程为()231,31y x y x -=⨯-=- ． 故填：3-1y x = ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程．14．若变量x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是__________.【答案】6-【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图所示，目标函数2z x y =+对应直线22x z y =-+， 当z 最小时，纵截距2z最小， 所以平移直线2xy =-过点()0,3B -时，纵截距最小，此时min 6z =-. 故故故故故6-【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．在等腰ABC 中，若23ABC π∠=，若点C 在以A ，B 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．【解析】根据双曲线的定义可求得,a c ，可得答案. 【详解】在等腰ABC 中，23ABC π∠=，设2AB BC c ==，则AC =，所以22AC CB c a -=-=，解得12c e a ===．故答案为：12. 【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的离心率，属于基础题. 16．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线()32222:4C x y x y +=被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论：①曲线C 关于直线(0)yax a ≠交于不同于原点O 的()()1122,,,A x y B x y 两点，则1212x x y y +++0=②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）； ③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C 在此圆面内（含边界）； ④曲线C 上存在一个点M ，使得点M 到两坐标轴的距离之积大于12. 其中，正确结论的序号是___________． 【答案】①③【解析】由对称性判断①，利用基本不等式求得曲线点到原点距离的最大值后可判断②③④． 【详解】曲线关于原点O 对称，所以12120x x y y +=+=，所以①正确；由2222222244()()2x y x y x y +≤=+，所以223222()()x y x y +≤+，即：221x y +≤，当2212x y ==取等号，此时，点)22P ，在曲线上， 而1PO =，所以②错误，③正确，因为22122x y x y +⋅≤≤，所以④错误，综上所述，①③正确．故答案为：①③． 【点睛】本题考查由方程研究曲线的性质，用基本不等式求曲线上的点到原点距离的最大值．应用基本不等式求最值是解题关键．三、解答题17．某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y 和Z 数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8. （1）求Y ，Z 的值；（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）6Z =，6Y =；（2）填表见解析；没有；答案见解析.【解析】（1）根据六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8，得到日最高气温高于o 32C 的频率为10.8=0.2-，由300.2=⨯Z 求解.（2）根据列联表，利用22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++求得2k ，对照临界表下结论.【详解】（1）由已知得：日最高气温高于o 32C 的频率为10.8=0.2-， 所以300.26Z =⨯=，30(7116)6Y =-++=. （2）22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++230(26418)6242010⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 3.75=因为3.75 3.841<，所以没有95％的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关. 【点睛】本题主要考查统计表的应用以及独立性检验，属于基础题.18．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2b =，2242c a c +-=-.（1）求A 的值；（2）从①a B =，②4B π=两个条件中选一个作为已知条件，求sin C 的值.【答案】（1）23A π=；（2）选择见解析；sin 4C =【解析】（1）由余弦定理结合已知即得解； （2）选择①a B =，利用正弦定理求出π4B =，再利用sin sin()C A B =+即得解；选择②4B π=，利用sin sin()C A B =+即得解. 【详解】（1）由2242c a c +-=-得：22222421cos 22242b c a c a c A bc c c +-+--====-⋅，又因为0A π<<，所以23A π=. （2）选择①作为已知条件.在△ABC中，由a B =，以及正弦定理sin sin a b A B=，得22πsin sin 3B B =，解得21sin 2B =， 由2π3A =，得B 为锐角，所以π4B =， 因为在△ABC 中，πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 2ππ2ππsincos cos sin 3434=+，所以sin 4C =. 选择②作为已知条件，因为在△ABC 中，πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+2ππ2ππsincos cos sin 3434=+，所以sin 4C =. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．设数列{}n a 满足12a =，12nn n a a +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()212log n n b a a a =⋅⋅⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 的和n S ．【答案】（1）2nn a =；（2）21nn +． 【解析】（1）利用累加法可得数列{}n a 的通项公式； （2）根据对数知识求出(1)2n n n b +=后，再利用裂项公式12112(1)1nb n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭求和可得结果. 【详解】（1）因为[]112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+（2n ≥）， 所以1122(12)22222212n n n nn a ----⎡⎤=++⋅⋅⋅++=+=⎣⎦-（2n ≥）， 当1n =时，12a =也适合，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =．（2）因为122122(1)log ()log 22nn n n n b a a a ++⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅==， 所以12112(1)1n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111212231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+． 【点睛】本题考查了利用累加法求数列的通项公式，考查了对数的性质，考查了利用裂项求和法求数列的前n 项和，属于中档题.20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，12AA =，BC =D ，E 分别是BC ，1CC 的中点．（1）证明：1B D ⊥平面ADE ；（2）若2AB =，求平面11AB C 与平面ADE 所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）根据1Rt B BD △∽Rt DCE ，可得1B D DE ⊥，根据AD ⊥平面11BCC B ，可得1AD B D ⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可得1B D ⊥平面ADE ；（2）因为222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得结果. 【详解】（1）由已知得：1BB BDDC CE==1Rt B BD △∽Rt DCE ， 所以1BB D CDE ∠=∠，所以190CDE B DB ∠+∠=，所以o190B DE ∠=，所以1B D DE ⊥，又因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以1AD B D ⊥，而AD DE D ⋂=，所以1B D ⊥平面ADE ；．（2）因为222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，所以1(2,0,2)B ，1(0,2,2)C ，(1,1,0)D ， 则1(2,0,2)AB =，1(0,2,2)AC =，设111,,m x y z =（）为平面11AB C 的一个法向量， 则1100m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，得11z =-，11y =，所以(1,1,1)m =-， 平面ADE 的法向量为1(1,1,2)n B D ==--，所以cos 1mn m nθ⋅====+⋅所以sin 3θ=， 所以，平面11AB C 与平面ADE 所成二面角的正弦值为3．【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了二面角的向量求法，属于中档题. 21．已知点()1,0N 和直线2x =，设动点(),M x y 到直线x =2的距离为d ，且||2MN =. （1）求点M 的轨迹E 的方程； （2）已知()2,0P -，若直线():1l y k x =+与曲线E 交于A ，B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为C ，证明：P 、B 、C 三点共线.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）直接把已知条件用坐标表示并化简即得轨迹方程；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y -，直线方程与椭圆方程联立消去y 后整理后应用韦达定理有1212,x x x x +，由,B C 两点坐标写出BC 直线方程，由1212,x x xx +证明直线BC 过点P 即证得结论．【详解】解：（1）由已知，2MN =， 2=-， 化简得动点M 的轨迹E 的方程：2212x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y -，由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：2222(12)4220k x k x k +++-=，此时>0∆， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+， 由直线BC 的方程：212221()y y y y x x x x +-=--得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---，令0y =，则1221121212122112122()2()2()2()2x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x k x x +++++====-+++++，所以直线BC 过点(2,0)P -，即P ，B ，C 三点共线． 【点睛】本题考查用直接法求轨迹方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方法．本题属于中档题．直线过定点的两类问题：（1）未知定点，用参数写出直线方程，参数较多时，可通过已知条件消去多余的参数，只留下一个参数，利用此方程关于参数是恒等式可得定点坐标．（2）已知定点，同样用参数表示出直线方程，验证定点在此直线上即可． 22．已知函数()ln 1a f x x x=+-. （1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围； （2）设11n a n =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：()ln 1n S n <+. 【答案】（1）[1,)+∞；（2）证明见解析.【解析】（1）由()0f x ≥，得(1ln )a x x ≥-，引入新函数()(1ln )g x x x =-，由导数得出()g x 的单调性和最大值，从而得a 的范围；（2）在1a =时，1()ln 1f x x x=+-，由导数可证明其单调递增，可得即1()ln 10f x x x =+-> (1)x >.令1n x n +=，可得11ln 1n n n +>+，由此求和可证明不等式成立．【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞, 由ln 10ax x+-≥(0)x >得(1ln )a x x ≥-，令()(1ln )g x x x =-，则()ln g x x '=-， 由()0g x '>得01x <<，由()0g x '<得1x >， 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()()11max g x g ==，所以1a ≥，所以a 的取值范围为[1,)+∞. （2）由（1）得1a =时，()101ln f x x x=+-≥， 而(1)0f =，22111()0x f x x x x-'=-=>(1)x >， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)0f x f >= (1)x >， 即1()ln 10f x x x=+-> (1)x >. 令1n x n+=，则111()ln 101n n f n n nn++=+->+， 所以11ln1n n n +>+， 所以12ln 21<，13ln 32<，…，11ln 1n n n+<+， 所以1112341ln ln ln ln ln(1)231123n n S n n n+=++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+=++． 【点睛】本题考查不等式恒成立求参数范围，考查用导数证明数列不等式，不等式恒成立问题的关键是利用分离参数法把问题转化为求函数最值．本题不等式的证明，关键是证明一个函数不等式：1()ln 10f x x x=+-> (1)x >，这样就可得11ln1n n n +>+，求和后可证得不等式成立．。
云南省昆明市2021届“三诊一模”高三复习教学质量检测数学(理)答案
1 3
S△PAB
BC
1 3
1 2
AB PB
BC
，而
PB
为非定值，则 VQ ABP
为非定
值，故 C 错；
对于 D：因为平面 A1ABB1 // 平面 DCC1D1 ，而 AP A1ABB1 ，根据面面平行的定义可知
AP// 平面 DCC1D1 ，故 D 正确.
故选：D.
【名师指导】方法点睛：等体积法的应用：所谓“等体积法”，常见形式之一就是通过变换
模型，考查学生的逻辑思维与运算求解能力，属于基础题.
12．B【思路点拨】由已知条件知 f (x) 关于 x 轴对称，关于 ( , 0) 中心对称，可得
2
6
2 6
k1
2
k2
(k1, k2 Z) 求
、 ，写出解析式并判断各项的正误即可.
【解析】由题设，知： f (x) 关于 x 轴对称，关于 ( , 0) 中心对称，
为非定值，进而可作出判断；
对于 B：如图建立空间直角坐标系，取 AB 2 ，分别求出 B 、DBD1 0 ，则 AQ BD1 不成立，进而可作出判断；
对于
C： VQ ABP
1 3
S△PAB
BC
1 3
1 2
AB PB
BC
，而
PB
c b
3c 3 y
3x
，即可求
N
坐标，代入椭圆方程即可求离心率.
【解析】由题设， F1(c, 0), F2 (c, 0) ，若 M (0,b) ， N(x, y) ，
∴ MF1 (c, b) ， NF2 (c x, y) ，而 MF1 3NF2 ，
∴
c b
3c 3 y
2021届云南省昆明市第一中学高中新课标高三第二次双基检测数学(理)试题(解析版)
2021届云南省昆明市第一中学高中新课标高三第二次双基检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =+-≤，集合{}24B x Z x =∈-≤<，则A B =（ ）A ．{}2,1,0,1-B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1D ．{}1【答案】A【分析】先分别化简两集合，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为集合{}{}234041A x x x x x =+-≤=-≤≤， 集合{}{}242,1,0,1,2,3B x Z x =∈-≤<=--， 所以{}2,1,0,1A B ⋂=--. 故选：A.【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2．设()11i x yi +=+（i 是虚数单位，x ∈R ，y R ∈）则x yi +=（ ）A ．BC ．2D ．1【答案】B【分析】本题首先可根据()11i x yi +=+求出x 、y 的值，然后根据复数的模的相关性质即可得出结果.【详解】因为()11i x yi +=+，即1x xi yi +=+，所以1x y ==，1i +==故选：B.【点睛】本题考查复数相等的相关性质以及复数的模，若复数z a bi =+，则z =，考查计算能力，是简单题.3．我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题根据三视图的定义直接选答案即可. 【详解】解：根据三视图的定义直接选B. 故选：B【点睛】本题考查几何体的三视图识别，是基础题.4．已知1tan 2α=-，cos2=α（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35【答案】C【分析】由二倍角的余弦公式、弦化切可求得cos2α的值. 【详解】1tan 2α=-，则2222222211cos sin 1tan 34cos 2cos sin 1cos sin 1tan 514ααααααααα---=-====+++. 故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式、弦化切求值，考查计算能力，属于基础题.5．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是（ ） A ．20-B ．15-C ．20D ．30【答案】A【分析】首先写出展开式的通项()()623616611rr rr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再令363r -=，即可求解.【详解】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令363r -=.则3r =，故3x 的系数是()336120r T C =-=-，故选：A【点睛】本题主要考查了求二项式展开式中某一项的系数，属于基础题. 6．已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称，则()2g -=（ ）A ．7-B ．8-C ．9-D ．10-【答案】B【分析】先求出0x >时，()f x 的解析式，即可求得0x >时()22xg x x =+，再利用()g x 是奇函数()()22g g -=-，即可求解.【详解】因为0x >时，()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称， 所以0x >时，()2xf x =，所以0x >时，()22xg x x =+，又因为()g x 是奇函数，所以()()()22448g g -=-=-+=-， 故选：B【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和反函数求函数解析式，以及求函数值，属于中档题.7．过圆224x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠=，则实数m =（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】取圆224x y +=上任意一点P ，过P 作圆222:(0)O x y m m +=>的两条切线PA ，PB ，根据题中条件，求出1OA =，进而可求出结果. 【详解】取圆224x y +=上任意一点P ，过P 作圆222:(0)O x y m m +=>的两条切线PA ，PB ，当3APB π∠=时，6APO π∠=且OA AP ⊥，2OP =；则112OA OP ==，所以实数1m OA ==. 故选：C .【点睛】本题主要考查求由直线与圆相切求参数，属于基础题型.8．设样本数据1x ，2x ，3x ，…，19x ，20x 的均值和方差分别为2和8，若2i i y x m =+ (m 为非零常数，1,2,3,,19,20i =)，则1y ，2y ，3y ，…，19y ，20y 的均值和标准差为（ ） A ．2m +，32 B ．4m +，2C ．2m +，42D ．4m +，32【答案】B【分析】设样本数据l x 的均值为x ，方程为2s ，标准差为s ，由已知得新样本2i i y x m =+的均值为2x m +，方差为222s ，标准差为2s ，代入可得选项.【详解】设样本数据l x 的均值为x ，方程为2s ，标准差为s ，则新样本2i i y x m =+的均值为2x m +，方差为222s ，标准差为2s ，所以24y x m m =+=+，28s =，所以标准差为s 22=222242s =⨯= 故选：B.【点睛】本题考查均值、方差、标准差的性质，属于中档题.9．已知ABC 三个内角A ，B ，C 及其对边a ，b ，c ，其中，角B 为锐角，3b =且()222tan a c bB +-=， 则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．4B ．2C ．34D ．32【答案】A【分析】由余弦定理求得3B π=，且223ac a c =+-，再由三角形的面积公式和基本不等式可得选项.【详解】由()222tan a c b β+-=得222tan 2a c b ac β⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以cos tan ββ=，即sin B =，而02B π<<，所以3B π=，所以1sin 2ABCSac B ==，又因为222221cos 322a c b B ac a c ac+-==⇒=+-，所以22323ac a c ac =+-≥-，所以3ac ≤，3444≤=， 故选：A .【点睛】本题考查运用余弦定理解三角形，三角形的面积公式，以及运用基本不等式求最值，属于中档题.10．已知球面上A ，B ，C 三点，如果AB BC AC ===，，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1BCD ．2【答案】D【分析】由球的体积可以求出球的半径R ，利用AB BC AC ===，可以求出ABC 外接圆的半径r ，在根据球心距OO '，球的半径R ，ABC 外接圆的半径r ，满足勾股定理即可求得球心到平面ABC 的距离.【详解】设球的半径R ：则343V R π==，所以R =设ABC 外接圆的半径r ，则由022sin 60r ==，所以1r =，而()222R OO r '=+，即()251OO '=+， 所以2OO '= 故选：D【点睛】本题主要考查空间中点、线、面之间距离的计算，其中球心距求半径，截面圆半径，满足勾股定理，属于中档题.11．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF =，则C 的离心率为（ ）A ．B ．2C D 【答案】D【分析】双曲线的渐近线方程为by x a=,则2PF b =，1OF c =，可得OP a =，在2OPF 和1OPF ∆中，分别求出2cos aPOF c∠=和1cos POF ∠，利用12cos cos 0POF POF ∠+∠=，可得22213PF a c =+结合222b c a =-，ce a=即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，()2,0F c2PF b ==，1OF c =，OP a =，因为12PF =，所以222121313PF PF b ==，在2OPF 中，2cos aPOF c∠=， 1OPF ∆中，22211cos a c PF POF c+-∠=，因为12POF POF π∠+∠=，所以12cos cos 0POF POF ∠+∠=， 所以22210a c PF acc+-+= 可得22213PF a c =+， 所以222213133c a a c -=+，所以c a =，所以3e = 故选：D【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.12．记函数()()ln 1f x x =+A ，函数()sin 1xxg x e ex -=-++，若不等式()()2212g x a g x ++->对x A ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．()2,-+∞D ．[)2,-+∞【答案】A【分析】根据函数解析式，先求出(]1,1A =-；令()sin x xm x e ex -=-+，根据函数奇偶性的定义，判定()m x 是奇函数；根据导数的方法判定()m x 是增函数；化所求不等式为221a x x >--+，进而可求出结果.【详解】由1010x x +>⎧⎨-≥⎩解得11x -<≤，即(]1,1A =-，令()sin xxm x e ex -=-+，则()()sin xx m x ee x m x --=--=-，则()m x 是R 上的奇函数； 又()cos 2cos 0xxm x e ex x -'=++≥+>显然恒成立，所以()m x 是增函数；由()()2212g x a g x ++->得()()22122m x a m x ++-+>，即()()2210m x a m x ++->，即()()221m x a m x +>--，由()m x 是R 上的奇函数且为增的函数， 所以()()221m x a m x+>-得：221x a x+>-.所以()222112a x x x >--+=-++， 当(]1,1x ∈-时，()2122x -++<.所以2a ≥.故选：A.【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，考查函数奇偶性与单调性的综合，考查导数的方法判定函数单调性，属于常考题型.二、填空题13．向量()1,0a =，()21,b m =，若()a ma b ⊥-，则m =_________.【答案】1【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得m 的值. 【详解】因为()21,ma b m m -=--，且()0a ma b ⋅-=，故10m -=，解得1m =.故答案为：1【点睛】本题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的坐标运算，属于基础题. 14．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()321xf x x f x e '=-++，则()1f '的值等于__________. 【答案】3e -【分析】先对()()321xf x x f x e '=-++求导，再将1x =代入即可求解.【详解】由题意可得()()2321xf x x f e ''=-++，令1x =得()()1321f f e ''=-++， 即()13f e '=-. 故答案为：3e -【点睛】本题主要考查了导数的运算，属于基础题. 15．函数sin 2cos 232y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值时x 的取值范围是________.【答案】5,Z 12x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【分析】先由正弦的差角公式和诱导公式化简函数，再由正弦的性质可得答案. 【详解】因为sin 2cos 232y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sincos 2cossin 2sin 233x x x ππ=--112sin 2+sin 22+sin 2sin 2+22223x x x x x x π⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当12+2,32x k k Z πππ+=-∈时，y 取最小值，此时5,Z 12x k k ππ=-∈，所以x 的范围为5,Z 12x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. 故答案为：5,Z 12x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦型函数的最值，属于中档题.16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，其准线与y 轴交于点D ，过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若AB AD ⊥，且4BF AF =+，则p 的值为___________. 【答案】2【分析】求出抛物线的焦点坐标，设设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 方程为：2py kx =+， 与抛物线方程联立，可得212x x p =- ，2124p y y =，利用AB AD ⊥可知AD AF ⊥，转化为数量积为0，可以解出1y p =，2y p =，再利用抛物线的定义将 4BF AF =+用p 表示即可解出p 的值.【详解】抛物线()2:20C x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,2p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭设()11,A x y ，()22,B x y ，假设直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为：2py kx =+， 由222p y kx x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 可得：2220x pkx p --=，所以212x x p =- ，2124p y y =，11,2p AD x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为AB AD ⊥，则AD AF ⊥，所以2111022p p AD AF x y y ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即222114p x y +=， 所以221124p y py +=，可得122y p =，222y p =所以212422p p BF AF y y p ⎛⎫⎛⎫-=+-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2p =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和简单几何性质，涉及向量垂直的等价条件，属于中档题.三、解答题17．已知{}n a 为等差数列，11a =且公差0d ≠，4a 是2a 和8a 的等比中项. （1）若数列{}n a 的前m 项和66m S =，求m 的值；（2）若1a ，2a ，1k a ，2k a ，…，n k a 成等比数列，求数列{}n k 的通项公式.【答案】（1）11m =；（2）12n n k +=.【分析】（1）先由等差数列通项公式的基本量法得到21a a d =+，413a a d =+，817a a d =+，再结合已知建立方程求得d 和n a ，最后根据前n 项和公式建立方程求出11m =；（2）先根据题意得到()211122n n n k a +-+=⨯=，再由（1）得到n k n a k =，最后求得12n n k +=.【详解】解：（1）因为{}n a 是等差数列， 所以21a a d =+，413a a d =+，817a a d =+， 因为4a 是2a 和6a 的等比中项，所以2426a a a =⋅，所以()()()211137a d a d a d +=+⋅+，由0d ≠化简得11d a ==. 所以n a n =， 由()1662m m m S +==，解得：11m =.（2）因为1a ，2a ，1k a ，2k a ，…，n k a 成等比数列，所以该数列的公比21221a q a ===，所以()211122n n n k a +-+=⨯=；又因为{}n a 为等差数列，所以12n n k n a k +==，所以12n n k +=.【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量法、根据等差数列前n 项和求参数、等比数列求通项公式，是基础题.18．学校食堂统计了最近5天到餐厅就餐的人数x （百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数量y （袋），得到如下统计表：（1）根据所给的5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知购买食材的费用C （元）与数量y （袋）的关系为()()40020,036380,36y y x N C y y y N ⎧-<<∈⎪=⎨≥∈⎪⎩，投入使用的每袋食材相应的销售单价为700元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有1500人到食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-参考数据：511343i ii x y==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑【答案】（1） 2.51y x =-；（2）食堂购买36袋食，能获得最大利润，最大利润为11520元.【分析】（1）本题首先可根据题中所给数据求出x 、y ，然后根据51522155i ii i i x y x yb x x==-⋅=-∑∑求出b ，最后根据a y bx =-求出a ，即可得出结果；（2）本题首先可根据 2.51y x =-得出预计需要购买食材36.5袋，然后分为36y <、36y ≥两种情况进行讨论，分别求出最大值后进行比较，即可得出结果.【详解】（1）由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.4252.5558510.45i ii ii x y x yb xx==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-，故y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-.（2）因为 2.51y x =-，所以当15x =时36.5y =，即预计需要购买食材36.5袋，因为()()40020,036380,36y y x N C y y y N ⎧-<<∈⎪=⎨≥∈⎪⎩， 所以当36y <时，利润()7004002030020L y y y =--=+， 此时当35y =时，max 300352010520L =⨯+=， 当36y ≥时，由题意可知，剩余的食材只能无偿退还， 此时当36y时，700363803611520L =⨯-⨯=，当37y =时，利润70036.53803711490L =⨯-⨯=，综上所述，食堂应购买36袋食，才能获得最大利润，最大利润为11520元.【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查回归方程的应用，考查学生的数据处理能力以及运算求解能力．考查分类讨论思想，属于中档题．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 1CC BC ⊥，1BC =，2AB =.（1）证明：平面1A BC ⊥平面1ABC ；（2）在线段1A B 上是否存在点M ，使得1CM BC ⊥，若存在，求1BMBA 的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）在ABC 中，满足222AC BC AB +=，可得AC BC ⊥，再由已知根据线面垂直的判定定理可证得BC ⊥面11ACC A ，再由面面垂直的判定定理可得证； （2）建立空间直角坐标系，设(),,M x y z ，1BM BA λ=，由向量垂直的坐标表示，可求得λ的值，可得结论.【详解】（1）在ABC 中，3AC =1BC =，2AB =，满足222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又1CC BC ⊥，1CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A ，又1AC ⊂面11ACC A ，所以1BC A C ⊥，又四边形11AAC C 311AC AC ⊥，又1BCAC C =，所以1AC ⊥面1A CB ，又1AC ⊂平面1ABC ，所以平面1A BC ⊥平面1ABC ； （2）在线段1A B 上存在点M ，使得1CM BC ⊥，且114BM BA =， 理由如下：由（1）得，以点C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()3,0,0A，()0,0,0C ，()0,1,0B ，()13,0,3A ，()10,0,3C ，设(),,M x y z ，1BM BA λ=，所以()(),1,3,1,3x y z λ-=-，解得3x λ=，1y λ=-，3z λ=，所以()3,1,3CM λλλ=-，()10,1,3C B =-，要使1CM BC ⊥，则需10CM BC ⋅=，即130λλ--=，解得14λ=，故114BM BA =.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定定理，向量垂直的坐标条件，属于中档题.20．已知曲线22:152x y C m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆.（1）求m 的取值范围；（2）设3m =，过点()0,2P 的直线l 交椭圆于不同的两点A ，B （B 在A ，P 之间），且满足PB PA λ=，求λ的取值范围. 【答案】（1）72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）根据题意，得到50,20,52,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩求解，即可得出结果；（2）由3m =先得2212x y +=，先讨论直线l 的斜率不存在，求出13λ=；再讨论l 的斜率存在，设直线:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及判别式，由题中条件，得到()21212213222132x x x x k λλ++=-=-⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求出11023λλ<+<，再由题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）因为曲线22:152x y C m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，所以50,20,52,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得：722m <<，所以m 的取值范围是72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）因为3m =，所以椭圆方程为：2212x y +=；当直线l 的斜率不存在时，即直线:0l x =，此时()0,1A -，()0,1B ， 由PB PA λ=解得：13λ=； 当直线l 的斜率存在时，设直线:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 与椭圆221,:22,x y C y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得()221860k x kx +++=，所以122122821621k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩，0∆>，即2230k ->，解得232k >，由PB PA λ=，得21x x λ=， 而()212211212122x x x x x x x x λλ+=++=++⋅， 即()()22221221222816432212222616213221k x x k k x x k k k λλ⎛⎫- ⎪++⎝⎭+=-=-=-=-⋅⎛⎫++ ⎪+⎝⎭， 又2322132k -⎛⎫+ ⎪⎝⎭在23,2k ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以11023λλ<+<，又B 在A ，P 之间，即01λ<<，解得：113λ<<；综上所述，λ的取值范围是1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查由曲线表示椭圆求参数，考查椭圆中参数的范围问题，属于常考题型.21．已知函数()ln f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若当1x >时，()()1f x x k x +>-恒成立，求正整数k 的最大值. 【答案】（1）20x y e --=；（2）3 .【分析】（1）()ln 1f x x '=+，()2k f e '==，利用点斜式即可写出方程； （2）由()()1f x x k x +>-恒成立，即()ln 1x x xk g x x +<=-，只需要min ()k g x <，再对()g x 求导判断单调性即可求解【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 1f x x '=+，因为()2f e '=，()f e e =，所以曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为()2y e x e -=-， 即20x y e --=.（2）由()()1f x x k x +>-，得()ln 1x x x k x +>-.即ln 1x x xk x +<-对于1x >恒成立，令()ln 1x x g x xx +=-，只需min ()k g x <，()()()()221ln 2ln ln 2()11x x x x x x x g x x x -+----'==--， 令()ln 2u x x x =--，则()1110x u x x x-'=-=>， 所以()ln 2u x x x =--在()1,+∞单调递增，因为()2ln 20u =-<，()31ln30u =-<，()42ln 40u =->， 所以()03,4x ∃∈，使得()000ln 20u x x x =--=， 且当01x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 在()01,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所以()()000000min 00002ln ()()3,411x x x x x x g x g x x x x -++====∈--，又因为k Z ∈，所以max 3k =.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，考查了恒成立问题求参数的取值范围，属于中档题22．已知平面直角坐标系xOy 中，将曲线122cos ,:2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）绕原点逆时针旋转2π得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）射线6πθ=分别与曲线1C ，2C 交于异于点O 的A ，B 两点，求AB .【答案】（1）4sin ρθ=；（2）2-．【分析】（1）由已知得曲线2C 以()0,2为圆心，2为半径的圆，先求得其直角坐标方程，从而可求得曲线2C 的极坐标方程.（2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，将6πθ=分别代入曲线1C ，2C 的极坐标方程得：求得A ρ，B ρ.由此可求得答案．【详解】（1）因为曲线1C 表示以()2,0为圆心，2为半径的圆，其直角坐标方程为()2224x y -+=，所以，将曲线1C 绕原点逆时针旋转2π后得到以()0,2为圆心，2为半径的圆，所以其普通方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=， 所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，将6πθ=分别代入曲线1C ，2C 的极坐标方程得：4cos6A πρ==，4sin26B πρ==.所以，22A B AB ρρ=-==.【点睛】本题考查圆的普通方程和极坐标方程的转化，以及极径的几何意义运用，属于中档题．23．已知函数()12f x x x =-++. （1）求不等式()4f x ≥的解集； （2）若()4f x m m ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(](],10,4-∞-⋃. 【分析】（1）分别讨论2x <-，21x -≤≤，1x >三种情况，求解对应不等式，即可得出结果；（2）先由绝对值三角不等式，求出()min 3f x =，解对应的不等式，即可得出结果； 【详解】（1）由不等式()4f x ≥可得：()124f x x x =-++≥，可化为：2124x x x <-⎧⎨---≥⎩或21124x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或1124x x x >⎧⎨-++≥⎩解得：52x ≤-或x ∈∅或32x ≥，所以原不等式的解集为53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （2）因为()()()12123f x x x x x =-++≥--+=， 当且仅当21x -≤≤时，等号成立； 要()4f x m m≥-对任意R x ∈恒成立， 只需43m m ≥-，即：2340m m m--≤，所以()()4100m m m ⎧-+≤⎨>⎩或()()4100m m m ⎧-+≥⎨<⎩，解得：04m <≤或1m ≤-，所以，实数m 的取值范围为(](],10,4-∞-⋃.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查绝对值不等式恒成立问题，属于常考题型.。
云南省2021届高三数学第二次高中毕业生复习统一检测试题 理(含解析)
，而
，再将 b，c 作商，利用对数的
运算以及基本不等式，求得比值与 1 作比较即可得出答案.
【详解】因为
，故
所以 ，即 故选 D 【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及 性质，属于中档偏上题型.
二、填空题。
13.在
的二项展开式中，第 4 项的系数为______．
以及待定系数法，
求出通项是解题的关键，属于中档题.
16.已知平面向量
，
则
的取值范围为______．
【答案】
，若函数
在
上是单调递增函数，
9
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【解析】 【分析】
由题意得
，求出函数 的一个增区间为
的范围，进而求函数的值域即可.
【详解】由题意可得
，
，利用子集关系得到 m
令
，即
再将点 P 代入椭圆方程：
解得
所以离心率
故选 C 【点睛】本题主要考查了圆锥曲线 综合，性质，渐近线，离心率，本题的计算量较大，这 是本题的易错点，属于中档偏上的题型.
12.已知
，
，
，则 ， ，的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
7
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【分析】
先由题，易知
附：
，
.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】 【分析】 （1）求出回归系数，可得回归方程； （2）X 的取值为 0，1，2，求出相应的概率，即可求 X 的分布列和数学期望． 【详解】解：（1）依据题意计算得：
，
，
2021届云南省昆明市高三二模理科综合试题及案
第1页秘密★启用前【考试时间：3月30日 9:00-11:30】昆明市2021届“三诊一模”高三复习教学质量检测理科综合能力测试注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 B-11 N-14 O-16 P-31 Ca-40一、选择题：本大题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在某些细菌的细胞膜上具有短杆菌肽A(由15个氨基酸形成的链状多肽），能协助单价阳离子顺浓度梯度进出细胞。
下列说法正确的是A.1分子短杆菌肽A彻底水解需要消耗15个水分子B.短杆菌肽A在协助离子运输时不具有选择性C.短杆菌肽A在协助离子运输时不消耗ATPD.短杆菌肽A合成后还需经高尔基体的修饰加工2.镉可诱发细胞凋亡和癌变。
下列关于镉中毒动物细胞的叙述，错误的是A.该细胞中的能量供应可能会受到影响B.与正常细胞相比，该细胞中基因突变的概率可能会增大C.该细胞凋亡程序启动后，细胞中蛋白质种类不会发生变化D.该细胞形态结构可能会发生显著变化3.下列关于真核细胞中转录的叙述，错误的是A.转录合成的产物间不能发生碱基互补配对B.转录过程中连接A/T和A/U碱基对的氢键均会发生断裂C.线粒体中发生的转录过程有RNA聚合酶参与D.转录过程合成的产物可能降低化学反应的活化能4.激素调节在黄瓜从种子萌发到瓜熟蒂落过程中发挥着重要作用。
下列相关叙述错误的是A.种子萌发时，温度的变化可引起植物激素合成的变化B.赤霉素和脱落酸在调节种子萌发过程中相互拮抗C.黄瓜根尖合成的细胞分裂素能促进幼根生长D.乙烯利是能够催熟黄瓜的植物激素5.在40℃条件下，测得某淀粉酶的活性为a,为了解40℃与该淀粉酶最适温度的关系，进行了相关实验，下列叙述不合理的是A.若在小于40℃条件下进行实验，酶活性大于a,则可判断40℃大于该酶的最适温度B.若在小于40℃条件下进行实验，，酶活性等于a,则可判断40℃大于该酶的最适温度C.若在大于40℃条件下进行实验，酶活性等于a,则可判断40℃小于该酶的最适温度D.若在大于40℃条件下进行实验，酶活性小于a,则可判断40℃小于该酶的最适温度6.草食动物需借助肠道中的多种纤维素分解菌才能分解纤维素。
云南省2021届高三二模数学(理)试题
云南省2021届高三二模数学（理）试题一、单选题1．满足{}{}0,10,1,2T =的集合T 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知i 是虚数单位，(2)325i z i i +-+=+，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．32i +B ．32i -C ．32i -+D ．32i --3．在82x x ⎛+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．94．tan 87tan 273tan 27tan 87︒-︒-︒︒=（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．5-5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．45B ．34C ．23D ．126．执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5360B ．4760C ．1621D ．37607．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的中心是坐标原点O ，F 是椭圆E 的焦点.若椭圆E上存在点P ，使OFP △是等边三角形，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．12B ．423-C 31D ．328．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若2132n n S n T n +=+，则55a b =（ ） A ．1929B ．1125C ．1117D ．239．已知边长为3的正ABC 的顶点和点D 都在球O 的球面上.若6AD =，且AD ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．323πB ．48πC ．24πD ．12π10．从1，2，3，4，5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X 表示取出的数字的最小数，则随机变量X 的数学期望()E X =（ ）A ．32B ．53C ．74D ．9511．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n n S a +=.若255256m S =，则m =（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0 B ．4C ．12D ．16二、填空题13．已知a ，b 都是平面向量.若(1,1)a =-，(3,2)a b -=-，则a b ⋅=________.14．圆2210x y +-+=的圆心到双曲线221916x y -=的渐近线的距离为________.15．若x ，y 满足约束条件323010x y x y x -≥-⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则21z x y =+-的最大值为________.16．已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.三、解答题17．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. （1）求B ；（2）若6b =，求ABC 面积S 的最大值.18．某公司为一所山区小学安装了价值2万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第x 年为这台设备支出的年度保养维修费y （单位：千元）的部分数据：画出散点图如下：通过计算得y 与x 的相关系数0.96r ≈.由散点图和相关系数r 的值可知，y 与x 的线性相关程度很高.（1）建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若设备年度保养维修费不超过1.93万元就称该设备当年状态正常，根据（1）得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？附：()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是菱形，160B BC ∠=︒，AB BC ⊥，1AB BB ⊥，D 为棱BC 的中点.（1）求证：平面1AB D ⊥平面ABC ；（2）若AB BC =，求二面角1D AB C --的正弦值.20．已知e 是自然对数的底数，()1x f x xe =-，()()(ln )F x f x a x x =-+. （1）当0a ≤时，求证：()F x 在(0,)+∞上单调递增；（2）是否存在实数a ，对任何(0,)x ∈+∞，都有()0F x ≥？若存在，求出a 的所有值；若不存在，请说明理由.21．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的正半轴上，直线3:02l mx y +-=经过抛物线C 的焦点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线，两条切线相交于点P ，求ABP △面积的最小值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2x T T y m ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（T 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线1l 的极坐标方程为cos 2sin 30ρθρθ-+=，直线2l 过点P 且与直线1l 平行. （1）直接写出曲线C 的普通方程和直线2l 的参数方程；（2）设直线2l 与曲线C 交于A 、B 两点.若AB 是PA 与PB 的等比中项，求实数m 的值. 23．已知函数()21f x x =+.（1）若()()115f x f x ++-≤，求实数x 的取值范围；（2）若(),a ∈-∞+∞，且0a ≠，求证：(),x ∀∈-∞+∞，()14f x a f x a ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭。
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学第二次教学质量检测试卷(理科)(3月份)
2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学第二次教学质量检测试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z满足＝2+i，则z＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i2．（5分）集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（0，1）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（1，+∞）3．（5分）已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，则小华选取节气的不同方法种数是（）A．90B．180C．220D．3605．（5分）已知P，Q分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是（）A．平面APQ与平面ABCD所成的角的大小为定值B．AQ⊥BD1C．四面体ABPQ的体积为定值D．AP∥平面DCC1D16．（5分）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”．“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，2021]的整数中，把被4除余数为1，按照由小到大的顺序排列，得到数列{a n}，则数列{a n}的项数为（）A．98B．99C．100D．1017．（5分）曲线y＝xe﹣2x+1在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．e B．C．D．8．（5分）已知点P是△ABC所在平面内一点，且++＝，则（）A．＝﹣+B．＝+C．＝﹣﹣D．＝﹣9．（5分）若等边三角形一边所在直线的斜率为3，则该三角形另两条边所在直线斜率为（）A．，B．，C．，D．，10．（5分）已知F1，F2分别是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚．检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100mL，小于80mg/100mL的驾驶行为，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时降低20%．某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg/100mL（n∈N*）小时，该人血液中的酒精含量小于20mg/100mL（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．7B．8C．9D．1012．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），f（+x）＝﹣f（），f（+x）（），下列四个结论：①φ＝；②ω＝+3k（k∈N）；③f（﹣）＝0；④直线x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2021年9月到2021年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（）
6．A
【解析】
由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为 ,所以 ，选A．
【点睛】直线与圆相交圆心角大小均是转化为圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式解决．
7．B
【解析】
初始值a=1,b=1,s=0,k=0
s=2,a=2,b=3,k=2,
s=7,a=5,b=8,k=4
s=20,a=13,b=21,k=6
（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；
（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用 表示所选3户中乙村的户数，求 的分布列和数学期望 ；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标 的方差的大小（只需写出结论）.
18．如图，在直三棱柱 中， 是 的中点.
A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
5．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）
故选：D．
5．D
【解析】
由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，由侧视图为边长为 的正三角形，结合三视图的性质可知四棱锥底面是边长为 和 的矩形，四棱锥的高为 ，故四棱锥体积为 ，故选D.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
输出s=20,选B.
8．B
【解析】
与函数 的图象无公共点，且 ， ，即为 ，结合正切函数图象可得， ，不等式 的解集为 ，故选B.
9．C
【详解】
13．已知变量 ， 满足 ，则 的最大值为__________．
14．在 中，角 所对的边分别是 ，若 ， ，且 ，则 的面积等于__________．
15．如图，等腰 所在平面为 ， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，点 为 的中点.平面 内经过点 的直线 将 分成两部分，把点 所在的部分沿直线 翻折，使点 到达点 （ 平面 ）.若点 在平面 内的射影 恰好在翻折前的线段 上，则线段 的长度的取值范围是__________．
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，故选D．
考点：任意角的三角函数值．
4．D
【详解】
对于A，并无周期变化，故A错，
对于B，并不是不断减弱，中间有增强．故B错，
对于C，10月份的波动大小大于11月份，所以方差要大．故C错，
对于D，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．故D正确，
A． B． C． D．2
6．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C．9或 D．8或
7．执行下面的程序框图，如果输入 ， ，则输出的 （ ）
A．7B．20C．22D．54
8．若直线 与函数 的图象无公共点，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数 ，若方程 有两个解，则实数 的取值范围是（ ）
云南省昆明市2018届高三教学质量检查第二次统考理数试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ， ，复数 ，则 （ ）
A．2B．1C．0D．
2．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若点 在角 的终边上，则 的值为（）
（1）求圆 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）已知 ， 是曲线 与 轴的两个交点，点 为圆 上的任意一点，证明： 为定值.
21．已知函数 ．
解不等式 ；
若a、 ， ， ，证明： ．
参考答案
1．A
【解析】
由题意得 ，所以 ，选A.
2．D
【解析】
由题意得 ，所以 ={-2，-1，0，1}，选D.
3．D
三、解答题
16．已知数列 中， ， 的前n项和 满足： ． 的前n项和 ．
17．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标 和 ，制成下图，其中“ ”表示甲村贫困户，“ ”表示乙村贫困户.若 ，则认定该户为“绝对贫困户”，若 ，则认定该户为“相对贫困户”，若 ，则认定该户为“低收入户”；若 ，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不 能脱贫户”.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 是正三角形，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若 ，证明：当 时， .
20．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .
A． B． C． D．
10．已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．定义“有增有减”数列 如下： ，满足 ，且 ，满足 .已知“有增有减”数列 共4项，若 ，且 ，则数列 共有（ ）
A．64个B．57个C．56个D．54个
二、填空题
12．已知向量 ， 满足 ，| ， ，则| __________．