D5_2牛莱公式
高等数学课件D5_2微积分基本公式 牛莱公式 18页PPT文档
二、积分上限的函数及其导数
定理2. 若 f (x) C[a, b] , 则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
是 f (x) 在[a , b]上的一个原函数 .
y f (x)
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
(x
h) h
t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 et2 d t
例1. 求 lim cos x
0
x0
x2
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a) ( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证:
根据定理 2,
x
a
f
( x) dx
是
f
( x) 的一个原函数
,
故
x
F(x) a f (x)dx C
令 x a, 得C F(a), 因此
x
a
f
(x)
dx
F ( x)
F
(a)
再令 x b, 得
x0
2x
2e
例3. 设 f (x)在[0, )内连续,且 f (x) 0, 证明
x
F
(x)
0
t
f
(t)
d
t
x
0
f
(t)
牛二定律所有公式
牛顿第二定律所有公式牛顿第二定律是经典力学中的一个基本定律，它描述了力和加速度之间的关系。
牛顿第二定律可以用数学公式表达为：F=ma其中，F是作用在物体上的合外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个公式说明，物体的加速度与合外力成正比，与物体的质量成反比。
牛顿第二定律可以推导出许多其他的公式，用于解决不同情况下的力学问题。
下面我们介绍一些常见的牛顿第二定律的公式。
匀变速直线运动如果物体在直线上做匀变速运动，那么它的速度、位移和时间之间有如下关系：v=v0+ats=v0t+12at2v2=v20+2as其中，v是物体的末速度，v0是物体的初速度，s是物体在时间t内的位移，a是物体的加速度。
这些公式可以用牛顿第二定律和微积分推导出来。
圆周运动如果物体在圆周上做匀速运动，那么它的线速度、角速度和半径之间有如下关系：v=ωr其中，v是物体的线速度，ω是物体的角速度，r是圆周的半径。
这个公式可以用几何关系推导出来。
如果物体在圆周上做非匀速运动，那么它受到两个方向的加速度：向心加速度和切向加速度。
向心加速度指向圆心，切向加速度沿着切线方向。
这两个加速度和线速度、角速度和半径之间有如下关系：a c=v2r=ω2ra t=dvdt=rdωdt其中，a c是向心加速度，a t是切向加速度。
这些公式可以用牛顿第二定律和微积分推导出来。
受力平衡如果物体处于静止状态或匀速运动状态，那么它受到的合外力为零，即：∑F=0这个条件称为受力平衡条件，它可以用于求解静力学问题。
例如，如果一个物体悬挂在两根绳子上，那么它受到三个力：重力、绳子1的拉力、绳子2的拉力。
如果物体不动，那么这三个力必须平衡，即：F g+F1+F2=0其中，F g是重力，F1是绳子1的拉力，F2是绳子2的拉力。
这个方程可以用矢量相加或分解为水平和垂直分量来求解。
动量定理如果物体受到一个变化的力，在一段时间内从初速度变为末速度，那么它的动量也发生了变化。
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
高数D5_2变限积分导数、牛莱公式、定积分换元分布(1)
～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
2
0 f (t ) d t
而
I0
0
2
dx
, 2
I1 2 sin x dx 1
0
故所证结论成立 .
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0
(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx
(n 1) I n 2
1 I 由此得递推公式 I n nn n2
0
于是
m 1 I 2 m 3 I 3 1 I I 2 m 22 2 m 2 4 2 0 m 2 m 2 2 m4 m 2 m2 42 I I 2 m1 22 I I 2 m 3 m 1 m 1 22 m 1 5 3 1
d x , 因此
所以
其中
I n I n 1
备用题
3. 证明 是以 为周期的函数.
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
牛顿莱布尼茨公式例题
牛顿莱布尼茨公式例题
牛顿-莱布尼茨公式（又称牛莱公式，Leibniz integral rule），是微积分中的重要公式之一。
该公式描述了求导与积分的关系，也称为积分运算中的链式法则。
以下是牛顿-莱布尼茨公式的例题。
例题：计算 $F(x)=\int_{x^2}^{1}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$ 在$x=1$ 处的导数。
解题步骤：
Step 1：根据牛顿-莱布尼茨公式，$F(x)$ 的导数为被积函数 $\frac{\cos t}{\sqrt{t}}$ 在积分区间 $[x^2,1]$ 上的值，乘以 $x$ 的导数 $2x$，即
$F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{x^2}^{1}\frac{\cos
t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t=\frac{\cos 1}{\sqrt{1}}\cdot2x-\frac{\cos
x^2}{\sqrt{x^2}}\cdot2x$
Step 2：化简上式，得到
$F'(1)=\cos 1-2\cos 1=-\cos 1$
因此，$F(x)$ 在 $x=1$ 处的导数为 $-\cos 1$。
注：此题需要注意整除问题，即 $\sqrt{t}$ 在该积分中必须作为分母，以避免 $\sqrt{t}$ 在积分下限处为零。
高数微积分牛莱公式
解：面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
17
1 2 ( n 1) n 例9： lim sin sin sin sin n n n n n n
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
d x 数是 ( x ) a f (t )dt f ( x ) dx
定理2（原函数存在定理）
(a x b)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
另一方面这段路程可表示为积分上限函数如果上限x在区间上任意变动则对于每一个取定的x值定积分有一个对应值所以它在定理1如果积分上限函数的性质定理2原函数存在定理如果上的一个原函数
微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨公式
1
问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
12
F ( x ) ( x ) C
高等数学课件--D5_2牛莱公式
洛
tan x 2 x
3
试证: 当
证：
lim
x 0
lim
x 0
x 0时 tan x ~ x sin x ~ x
sin x
2
1 2 x
Hale Waihona Puke limx 0x 2x
3
x
2
2
1 2 x
lim
x 0
2x
1 2
0
x
所以 = o( ) .
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3. 求
解: 由于 I n 1
π 0
的递推公式(n为正整数) .
2 sin 2( n
1) x
d x , 因此
sin x
2
I n I n1 2
2
π 0
π 2 0
cos(2n 1) x sin x sin x
dx
2( 1)
n 1
cos(2n 1) x d x
2n 1
所以
其中
2012-10-12
I n I n 1
同济高等数学课件
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2012-10-12
同济高等数学课件
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设 求 解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设
0
1
f ( x) d x a ,
0
2
f ( x) d x b , 则
2012-10-12
同济高等数学课件
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2. 设
高中物理牛二定律
高中物理牛二定律高中物理中的“牛二定律”大家可能不太熟悉，没错，就是牛顿的第二定律！这个定律其实就是告诉你，当你用力推一个东西的时候，东西会怎么动。
听起来是不是有点抽象？但是如果你想象一下自己推着一个球，那就明白了。
你推的越用力，球就越快地滚起来。
就是这么简单，完全不复杂。
牛顿第二定律的背后有个超简单的公式：F=ma。
啥意思呢？就是说，力等于质量乘以加速度。
是不是又觉得有点难懂？别急，咱们一点点来。
首先咱们聊聊这个力。
举个例子，假如你想推一个超大的冰箱，那你一定得用超级大的劲儿，才能让它动起来，对吧？但是如果是个小小的篮球，哎呀，轻轻一推它就跑了。
所以，力的大小是跟物体的质量有关系的，质量越大，你就得使出更大的力才能让它动。
那你想，若是你推个非常重的东西，你的手是不是会觉得好像压上去了似的？就是这个道理啦。
再说说加速度。
别担心，这个加速度其实就只是物体加速的程度。
比如你跑步的时候，如果你起步慢，慢慢加速，那你的加速度就小；但是如果你是冲刺，瞬间全力以赴，那加速度就大了。
牛二定律其实就是告诉你：推力越大，物体的加速度也就越大。
简单说，就是你越努力，东西就跑得越快。
是不是觉得牛顿好像在告诉我们，努力就能成功呢？哈哈，想得美，别忘了物体的质量在里面占了很大一块“蛋糕”呢！咱们再来说点儿有趣的东西。
大家小时候是不是经常玩过推车？记得有一次我推了一辆自行车，刚开始我几乎是费了九牛二虎之力，才把它推动了一点点。
但是不一会儿，车子就开始越来越快，自己也觉得轻松了很多。
这就是因为我越推越用力，加速就越来越明显。
所以你看，牛顿这玩意儿其实不只是高深的理论，它真的是用在咱们生活中的每个细节里。
你坐在公交车上，车一启动，身子突然被甩到后面，难道没想过是啥原因吗？就是因为车加速了，而你没有像车那样加速，所以身体被推得往后了，牛顿说的就是这么个道理。
再聊一个更有趣的事情。
有没有玩过滑板？滑板的感觉特别棒，但是刚开始学的时候，你会发现根本没法往前走。
牛莱公式的内容
牛莱公式的内容牛莱公式，也叫牛顿 - 莱布尼茨公式，在微积分的学习中那可是相当重要的一部分。
咱们先来说说这牛莱公式到底是啥。
简单来讲，它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们在计算定积分的时候打开便捷之门。
如果函数F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的一个原函数，那么定积分∫(从 a 到 b)f(x)dx 就等于 F(b) - F(a) 。
为了让您更明白这公式的妙处，我给您讲个事儿。
有一次我去参加一个数学研讨会，现场有不少老师和学生都在探讨数学问题。
有个学生就提出了对牛莱公式的困惑，他说怎么感觉这公式像是从天而降，理解起来好费劲。
这时候，一位资深的数学老师站了出来，他没有直接去讲那些枯燥的理论，而是拿出了一个实际的例子。
老师说：“咱们就想象一下，你正在跑步，速度就是 f(x) ，而跑过的路程就是 F(x) 。
从 a 时刻开始跑，到 b 时刻结束。
那么在这段时间里你跑过的总路程，不就是 b 时刻的路程减去 a 时刻的路程嘛，这就和牛莱公式是一个道理。
” 这一下子，好多同学都恍然大悟，包括我在内，也感觉对这个公式的理解更深刻了。
再深入一点说，牛莱公式的出现可不是偶然的，它是经过无数数学家们的努力和探索才得来的。
它把导数和定积分紧密地联系在了一起，就像是给了我们一个超级工具，让我们能够更轻松地解决很多复杂的数学问题。
比如说，计算曲线围成的面积。
以前没有牛莱公式的时候，那可真是让人头疼不已。
但有了它，我们只要找到对应的函数，求出原函数，然后代入公式，答案就能轻松算出来。
而且啊，牛莱公式在物理、工程等很多领域都有着广泛的应用。
想象一下，工程师们在设计桥梁的时候，要计算各种受力和变形的情况，这时候牛莱公式就能派上大用场。
在学习牛莱公式的时候，大家可别着急，要一步一个脚印。
多做一些练习题，多结合实际的例子去思考，慢慢地就能掌握其中的精髓啦。
总之，牛莱公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去学，去体会，就会发现它其实是我们解决数学问题的得力助手。
牛顿莱不尼兹公式
牛顿莱不尼兹公式好的，以下是为您生成的关于“牛顿莱布尼兹公式”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，有一个超级重要的宝贝，那就是牛顿莱布尼兹公式。
这玩意儿可不简单，它就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门。
记得我当年读书的时候，第一次接触到牛顿莱布尼兹公式，那感觉就像是在迷雾中摸索。
老师在黑板上写下那一串复杂的符号和式子，我的脑袋里简直是一团乱麻。
可这公式到底是啥呢？其实啊，牛顿莱布尼兹公式就是用来计算定积分的。
简单来说，如果我们有一个函数f(x)，它在区间[a, b] 上连续，而且 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，那么这个定积分∫(从 a 到 b) f(x)dx 就等于 F(b) - F(a)。
听起来是不是有点晕乎？别着急，咱们慢慢捋一捋。
比如说，有个函数 f(x) = 2x，我们要计算它在区间 [1, 3] 上的定积分。
那首先得找到它的一个原函数，也就是 F(x) = x²。
然后呢，按照牛顿莱布尼兹公式，这个定积分就等于 F(3) - F(1)，也就是 3² - 1² = 8。
是不是还挺神奇的？在实际应用中，牛顿莱布尼兹公式的用处可大了去了。
就像上次我辅导一个学生做作业，有一道题是求一个曲线和坐标轴围成的面积。
一开始这孩子毫无头绪，急得抓耳挠腮。
我就提示他可以试试用牛顿莱布尼兹公式，给他讲了讲原理和步骤。
这孩子一下子就开窍了，顺利算出了答案，那高兴劲儿就甭提了，我看着也特别有成就感。
再比如说，在物理问题中，计算变力做功的时候，牛顿莱布尼兹公式也能派上大用场。
想象一下，一个物体在受到不断变化的力的作用下移动，要计算这个力做的功，没有这个公式还真不好办。
不过啊，要真正掌握牛顿莱布尼兹公式可不容易。
得把函数、导数、原函数这些概念都弄得清清楚楚，还得做大量的练习题来巩固。
有时候，一个小细节没注意到，就可能得出错误的结果。
但只要咱们肯下功夫，多思考、多练习，这个公式就会成为我们手中的利器，帮助我们解决一个又一个数学难题。
牛顿第二运动定律公式
牛顿第二运动定律公式牛顿第二运动定律公式，那可是物理学中的“大明星”呀！它就像一把神奇的钥匙，能打开很多关于物体运动的奥秘之门。
咱们先来说说这个公式到底是啥。
牛顿第二运动定律公式是 F =ma ，这里的“F”代表着作用在物体上的合力，“m”是物体的质量，“a”则是物体产生的加速度。
想象一下，有一辆小汽车在路上飞驰。
这辆车的质量就像是它的“体重”，而加速度呢，就好比是它加速或者减速的“劲头”。
如果司机猛踩油门，车就会获得一个比较大的向前的力，这时候加速度就大，车就能快速往前冲。
要是司机急刹车，车就会受到一个向后的很大的力，加速度变成负数，车就能迅速减速。
还记得有一次，我在路上看到一辆小货车在拉货。
一开始装的东西不多，司机开起来轻松得很，加速也挺快。
后来装的货越来越多，车就变得“笨重”起来。
哪怕司机使劲踩油门，车的加速也很缓慢。
这其实就是因为车的质量增大了，而要让它产生同样的加速度，就需要更大的力。
再比如说，咱们跑步的时候。
如果身上背着一个很重的书包，那跑起来就会很吃力，想要加速就更难了，这也是因为质量大了呀。
在实际生活中，牛顿第二运动定律公式的应用那可太多啦。
像火箭发射，要让那么重的火箭摆脱地球引力飞上天，就需要超级强大的推力，这推力就是根据这个公式计算出来的。
还有各种体育运动，比如跳远。
运动员起跳时用力蹬地，地给运动员一个反作用力，运动员的质量不变，这个力越大，加速度就越大，就能跳得更远。
在建筑工地上，起重机吊起重物，也得依靠这个公式来计算需要多大的拉力才能安全地吊起不同质量的物体。
总之，牛顿第二运动定律公式虽然看起来简单，就这三个字母 F = ma ，但它的作用可真是不容小觑。
它让我们能够理解和预测物体在力的作用下会如何运动，也帮助我们创造出了各种各样神奇的科技和工程成果。
无论是天上飞的飞机，还是地上跑的汽车，甚至是我们日常的一举一动，都离不开这个神奇的公式在背后默默发挥作用。
所以呀，可别小看这简单的几个字母，它可是物理学世界里的大功臣呢！。
牛吃草公式总结大全
牛吃草公式总结大全
1. 基本公式。
- 设定每头牛每天吃草量为1份。
- 草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数 - 相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数 - 吃的较少天数)。
- 原有草量=牛头数×吃的天数 - 草的生长速度×吃的天数。
- 吃的天数=原有草量÷(牛头数 - 草的生长速度)。
- 牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
2. 变形公式。
- 当牛吃草的牧场有多种情况（如多块牧场，草生长速度不同等）
- 假设存在两块牧场，第一块牧场面积为S_1，牛的数量为N_1，吃的天数为T_1；第二块牧场面积为S_2，牛的数量为N_2，吃的天数为T_2。
- 设每头牛每天吃草量为1份，第一块牧场草生长速度为x_1，原有草量为y_1；第二块牧场草生长速度为x_2，原有草量为y_2。
- 对于第一块牧场：y_1 = N_1×T_1 - x_1×T_1，x_1=(N_1×T_1 -
N_2×T_2)/(T_1 - T_2)（假设T_1>T_2且S_1 = S_2）。
- 对于第二块牧场：y_2 = N_2×T_2 - x_2×T_2。
- 如果S_1≠ S_2，设k=(S_1)/(S_2)，则x_1 = kx_2，y_1 = ky_2，可以根据这些关系进行计算。
牛顿所有公式
牛顿所有公式牛顿是物理学界的一位巨匠，他提出的一系列公式对科学的发展产生了深远的影响。
咱们先来说说牛顿第二定律的公式 F = ma 。
这个公式可太重要啦，它告诉我们物体所受到的力和产生的加速度之间的关系。
就说我之前观察到的一件小事儿吧。
有一次我带着小侄子去公园玩儿，看到一个小朋友在玩滑板车。
那滑板车一开始速度不快，但是当小朋友用力蹬地的时候，滑板车一下子就加速冲出去了。
这其实就是牛顿第二定律的体现呀！小朋友蹬地的力越大，滑板车的质量不变，加速度就越大，速度也就增加得越快。
再来说说牛顿第一定律，也叫惯性定律，它的表述是：任何物体都要保持匀速直线运动或静止的状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。
这个定律在生活中也随处可见。
比如我们坐公交车，车突然启动的时候，我们会不自觉地往后仰；车急刹车的时候，我们又会往前冲。
这就是因为我们的身体具有惯性，想要保持原来的静止或者运动状态。
还有牛顿万有引力定律 F = Gm₁m₂ / r²，这个公式描述了两个物体之间的引力大小和它们的质量以及距离的关系。
想象一下，为什么月亮会绕着地球转，地球又会绕着太阳转？就是因为万有引力在起作用。
牛顿的这些公式可不只是在课本上的一堆符号，它们实实在在地解释着我们身边的各种现象。
就像我们扔出去一个球，它会按照一定的轨迹飞行然后落地，这背后都有牛顿公式的影子。
在学习物理的过程中，理解牛顿的公式是非常关键的一步。
但可别觉得这些公式只是为了应付考试，它们是我们理解世界运行规律的重要工具。
比如说，在建筑工程中，工程师们需要运用牛顿的公式来计算建筑物所能承受的力，确保建筑物的安全稳固。
汽车的设计制造也离不开牛顿的公式，要考虑到动力、阻力、加速度等等因素，才能让汽车跑得又快又稳。
我们日常生活中的很多运动和活动，其实都在不知不觉中遵循着牛顿的定律和公式。
打篮球的时候，投篮的力度和角度；骑自行车时，如何保持平衡和控制速度。
牛顿的公式就像是一把神奇的钥匙，帮助我们打开了认识世界的大门。
牛二定律推导公式
牛二定律推导公式好的，以下是为您生成的关于“牛二定律推导公式”的文章：在咱们物理的世界里，牛顿第二定律那可是相当重要的角色！它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多复杂问题的大门。
先来说说牛顿第二定律到底是啥。
简单来讲，就是物体的加速度跟作用力成正比，跟物体的质量成反比。
用公式表示就是 F = ma 。
这个公式看起来挺简单，可它背后的推导过程，那可有意思啦！咱们假设啊，有一个光滑的水平面上，放着一个质量为 m 的物体。
这时候，给它施加一个水平方向的力 F 。
因为水平面是光滑的，所以没有摩擦力来捣乱。
一开始，物体静止不动，就像个懒洋洋的家伙不愿意动弹。
但当咱们施加这个力 F 之后，它就不得不动起来啦。
随着时间的推移，物体的速度越来越快，这个速度变化的快慢，就是加速度 a 。
咱们来仔细琢磨琢磨这个过程。
力 F 作用在物体上，经过了一小段时间Δt ，物体的速度从 v1 变成了 v2 。
速度的变化量Δv 就等于 v2 - v1 。
那加速度 a 是啥呢？加速度 a 就是速度变化量Δv 除以时间Δt ，也就是 a = (v2 - v1) / Δt 。
再看看力 F 和加速度 a 的关系。
根据动量定理，力 F 乘以时间Δt 等于物体动量的变化量。
而动量等于质量 m 乘以速度 v 。
所以，FΔt = m(v2 - v1) 。
把上面加速度 a 的式子代入，就得到FΔt = m × a × Δt 。
两边同时除以Δt ，这不就得出了 F = ma 嘛！就像我之前辅导我小侄子做作业的时候，给他讲这个牛二定律的推导。
这小家伙一开始那是一脸懵，眼睛瞪得大大的，嘴里还嘟囔着：“叔叔，这咋这么难啊！”我就耐心地给他一步一步解释，从那个假设的光滑平面，到力的作用，再到速度的变化，一点点引导他。
最后，当他终于弄明白的时候，那兴奋的劲儿，小脸都红扑扑的，直喊：“我懂啦，我懂啦！”在实际生活中，牛顿第二定律的应用那可太多了。
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刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时,
2
即
2
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
s = ∫ v(t) dt = ∫ (10 − 5t)dt = [
0
0
10t − 5 t 2 2
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] 0 =10(m)
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2
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) ∈C[a,b], 且F′(x) = f (x), 则有
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
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二、积分上限的函数及其导数
定理1. 定理 若 则变上限函数 y = f (x) y x Φ(x) = ∫ f (t) dt a Φ(x)
O a xξ b x 证: ∀x, x + h∈[a, b] , 则有 x+ h x Φ(x + h) −Φ(x) 1 x+h = [∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt ] a h h a 1 x+h = ∫ f (t) dt = f (ξ) (x <ξ < x + h) h x
第二节 微积分的基本公式
一、引例
第五章 五
二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式
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一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数
s′(t) = v(t)
物体在时间间隔 内经过的路程为
∫T
T2
1
v(t) dt = s(T2 ) − s(T ) 1
) 2 sin 2(n −1 x sin x sin x
d x, 因此
In − In−1 = 2∫
π 0
π
) 2 cos(2n −1 x sin x dx
2(−1)n−1 = 2∫ 2 cos(2n −1)x dx = 0 2n −1
所以 其中
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In = In−1
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例1. 求
0 0
洛
⋅ (−sin x) = 1 解: x→0 2e 2x 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
原式 = − lim e
−cos2 x
解: 原式 =
洛
∴b = 0.
c ≠0 , 故 a =1. 又由
～
, 得 c = 1. 2
说明 目录 上页 下页 返回 结束
记作 或
∫a f (x) dx = F(x) − F(a)
x
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例4. 计算
3 dx = arctan x 解: ∫ = arctan 3 − arctan(−1) 2 −1 1+ x −1 π π 7 = − (− ) = π 3 4 12 例5. 计算正弦曲线
3
的面积 . 解: A = ∫ sin x dx
∫a f (x) d x = f (ξ)(b − a) = F′(ξ)(b − a) = F(b) − F(a)
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼茨公式
b
2. 变限积分求导公式
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作业
P243 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
( ∫0 f (t) dt ) 2
x
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>0
(0 < ξ < x)
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三、牛顿 – 莱布尼茨公式
定理2. 定理 函数 , 则
∫a f (x) dx = F(b) − F(a) ( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
故
x a
b
证: 根据定理 1,
F(x) = ∫ f (x) dx + C
因此 得
∴ Φ′(x) = lim
h→0
Φ(x + h) −Φ(x)
h
= lim f (ξ ) = f (x)
h→0
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说明: 说明 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导:
d ϕ(x) ∫a f (t) dt = f [ϕ(x)]ϕ′(x) dx ϕ( x) d ϕ( x) d a f (t) dt = f (t) dt + ∫ f (t) dt ∫ψ(x) a dx dx ∫ψ (x) = f [ϕ(x)]ϕ′(x) − f [ψ(x)]ψ′(x)
例3.
证明 只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F′(x) > 0
x 0
x f (x)∫ f (t) dt− f (x)∫ t f (t) dt
0
x
( ∫0 f (t) dt )
x 2
2
=
f (x)∫ (x−t) f (t) dt
x
( ∫0 f (t) dt )
0 x
=
f (x) ⋅ (x −ξ) f (ξ ) x
0 π
y
y = sin x
πx
= −cos x
π 0
= −(−1−1) = 2
O
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例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 到某处需要减 速停车, 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车, 问从开始刹
= 36×1000 (m/s) =10( m/s ) 3600
第三节 目录
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备用题
1. 设
1 2
求
解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设
∫0
f (x) d x = a ,
∫0
f (
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2. 设
时, α = o( β ) .
试证: 当
tan x ⋅ 2x α洛 证： lim+ = lim+ 3 x→0 sin x 2 ⋅ 1 x→0 β = lim+
x→0
x →0时 tan x ~ x sin x ~ x
2 x
x ⋅ 2x x ⋅ 21 x
3 2
2x2 = lim+ 1 = 0 x x→0 2
所以 α = o( β ) .
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3. 求
解: 由于 In−1 = ∫
π 0
的递推公式(n为正整数) .