2016年秋北师大版九年级数学上册英才备课同步检测2.1认识一元二次方程.doc
北师大版九年级数学上册 2.1 认识一元二次方程 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章 2.1 认识一元二次方程 同步练习题第1课时 一元二次方程1．下列方程中是一元二次方程的是(D)A ．x 2＋1x ＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．3x 2－2xy －5y 2＝0 D ．(x －1)(x ＋2)＝22．若关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是(C) A ．任意实数 B ．m ≠1 C ．m ≠－1 D ．m ＞13．将一元二次方程5x 2－1＝4x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(C) A ．5，－1 B ．5，4 C ．5，－4 D ．5，1 4．已知关于x 的方程(a －3)x|a －1|＋x －1＝0是一元二次方程，则a 的值是(A)A ．－1B ．2C ．－1或3D ．35．下列方程中：(1)3(x ＋1)2＝2(x ＋1)；(2)1x 2＋1x －2＝0；(3)ax 2＋bx ＋c ＝0；(4)x2＋2x ＝x 2－1中，关于x 的一元二次方程是(1)．6．若方程mx 2＋3x －4＝2x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是m ≠2． 7．把一元二次方程(x ＋1)2－x ＝3(x 2－2)化成一般形式是2x 2－x －7＝0．8．若将关于x 的一元二次方程3x 2＋x －2＝ax(x －2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为－2，则该方程中的一次项系数为5．9．若关于x 的一元二次方程(2a －4)x 2＋(a 2－4)x ＋a －8＝0没有一次项，则a 的值为－2.10．将下列一元二次方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x(x －2)＝4x －1； (2)(y －3)(2y ＋5)＝2－y.解：(1)整理，得3x 2－10x ＋1＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，－10，1.(2)整理，得2y 2－17＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，0，－17.11．已知关于x 的方程(k ＋1)xk 2＋1＋(k －3)x －1＝0. (1)当k 取何值时，它是一元一次方程？ (2)当k 取何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝0，k －3≠0或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝1，k ＋1＋k －3≠0. 解得k ＝－1或k ＝0.∴当k ＝－1或0时，它是一元一次方程． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝2，k ＋1≠0，解得k ＝1. ∴当k ＝1时，它是一元二次方程．12．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖线，记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，上述记法叫做二阶行列式．那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 2x ＝22表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式．解：根据题意，得(x ＋1)·2x－(x ＋2)(x －2)＝22， 整理，得x 2＋2x －18＝0，它是一元二次方程，一般形式为x 2＋2x －18＝0.13．观察下列一元二次方程：①x 2＋2x －3＝0；②x 2－7x ＋6＝0；③3x 2－2x －1＝0；④5x 2＋3x －8＝0.(1)上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征； (2)请你写出符合此特征的一个一元二次方程．解：(1)在①中，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，则a ＋b ＋c ＝0； 在②中，a ＝1，b ＝－7，c ＝6，则a ＋b ＋c ＝0； 在③中，a ＝3，b ＝－2，c ＝－1，则a ＋b ＋c ＝0； 在④中，a ＝5，b ＝3，c ＝－8，则a ＋b ＋c ＝0， 由上可得方程的系数公共特征为a ＋b ＋c ＝0. (2)x 2－x ＝0(答案不唯一)．第2课时 一元二次方程的解及其估算1．下列各未知数的值是方程3x 2＋x －2＝0的解的是(B) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－22．(成都青羊区月考)若a －b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)必有一个根是(C) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－b a3．如果关于x 的一元二次方程(m －3)x 2＋3x ＋m 2－9＝0有一个解是0，那么m 的值是(B) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．0或－34．先填表，再探索一元二次方程x 2＋x －12＝0的解的取值范围．从表中看出方程有一个解应介于2和4之间． 5．已知a 2－5a ＋1＝0，则a ＋1a－3的值为2．6．已知a 是方程x 2－2x －1＝0的一个根，则代数式2a 2－4a －1的值为1． 7．已知a 是方程x 2＋x －1＝0的一个根，则2a 2－1－1a 2－a的值为1． 8．若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是1．9．已知a 是方程x 2－3x －2＝0的根，则代数式a 3－2a 2－5a ＋2 019的值为2_021．10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图)，要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x 米，则可列方程为(35－2x)(20－x)＝600(或2x 2－75x ＋100＝0)．11．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a ，b 满足b ＝a －3＋3－a ＋3，求c.解：将x ＝1代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 得a ＋b ＋c ＝0，即c ＝－a －b.∵a ，b 满足等式b ＝a －3＋3－a ＋3， ∴a －3≥0，3－a≥0，即a ＝3.∴b＝3. ∴c ＝－a －b ＝－6.12．已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，求代数式x －33x 2－6x ÷(x＋2－5x －2)的值．解：∵x 2＋3x －1＝0， ∴x 2＋3x ＝1，即x(x ＋3)＝1.∴原式＝x －33x （x －2）÷（x ＋3）（x －3）x －2＝13x （x ＋3）＝13.13．某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行走道，如图．若设人行走道宽为x m.(1)请列出相应的方程；(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由；(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．解：(1)由题意可知网球场的长和宽分别为(80－2x)m，(60－2x)m，则可列方程为(80－2x)(60－2x)＝3 500，整理，得x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时，网球场的宽60－2x<0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，故人行走道的宽为5 m.。
2.1.1认识一元二次方程课堂精练北师大版数学九年级上册
2.1.1认识一元二次方程一、选择题1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.1-x=1x2C.x2-x=2D.(x-1)2+1=x22.方程2x2-6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A.6,2,9B.2,-6,9C.2,-6,-9D.-2,6,-93.为宣传“扫黑除恶”专项行动,社区准备制作一幅宣传版面,喷绘时为了美观,要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边.已知图案的长为2米,宽为1米,图案面积占整幅宣传版面面积的90%.若设白边的宽为x米,则根据题意可列出方程()A.90%×(2+x)(1+x)=2×1B.90%×(2+2x)(1+2x)=2×1C.90%×(2-2x)(1-2x)=2×1D.(2+2x)(1+2x)=2×1×90%4.将方程2(x+3)(x-4)=x2-10化为一般形式为()A.x2-2x-14=0B.x2+2x+14=0C.x2+2x-14=0D.x2-2x+14=0二、填空题5.三个连续奇数的平方和是251,求这三个数.若设最小的数为x,则可列方程为.6.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0是关于x的方程,当m满足条件:时,它是一元一次方程;当m满足条件:时,它是一元二次方程.7.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,则m的值是.8.已知(m-1)x m2+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程,则m=.三、解答题9.结合题意列出方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)一长方形的面积为64 cm2,若它的长是宽的2倍,则它的长,宽分别是多少?设它的宽为x cm.(2)两数之差是2,平方和是52,求此两数.设较小的数为x.(3)生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,求全组有多少名同学.设全组有x名同学.10.已知关于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0.(1)当k取何值时,此方程为一元一次方程?求出此时方程的解;(2)当k取何值时,此方程为一元二次方程?写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.11、若x2a+b-2x a-b+3=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.张敏的想法如下:a,b必须满足{2a+b=2,a-b=2.张敏的想法全面吗?若不全面,请你写出a,b另外满足的条件.答案[课堂达标] 1.C2.C [解析] 方程2x 2-6x=9化成一般形式可以是2x 2-6x -9=0,∴二次项系数为2,一次项系数为-6,常数项为-9.故选C .3.B4.A5.x 2+(x+2)2+(x+4)2=2516.m=-2 m ≠-2 [解析] 当m+2=0,m+1≠0,即m=-2时,方程是一元一次方程;当m+2≠0,即m ≠-2时,方程是一元二次方程.7.-1 [解析] 根据题意,得m -1≠0,m 2-1=0,所以m=-1. 8.-19.解:(1)根据题意得2x 2=64,即x 2=32,化为一般形式为x 2-32=0(化为一般形式不唯一). (2)根据题意列方程,得x 2+(x+2)2=52, 化为一般形式为x 2+2x -24=0.(3)根据题意得x (x -1)=182,化为一般形式为x 2-x -182=0(化为一般形式不唯一). 10.解:(1)当k=1时,此方程为一元一次方程,其解为x=1.(2)当k ≠±1时,此方程为一元二次方程,二次项系数为k 2-1,一次项系数为k+1,常数项为-2. [素养提升]解:不全面,还有{2a +b =2,a -b =1或{2a +b =2,a -b =0或{2a +b =1,a -b =2或{2a +b =0,a -b =2.2.1.2一元二次方程的解的估算一、选择题1.若2是关于x 的方程x 2-3x+k=0的一个根,则常数k 的值为 ( ) A .1B .2C .-1D .-22.根据下列表格的对应值判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根x 的范围是 ( )x3.24 3.25 3.26ax 2+bx+c -0.02 0.01 0.03A .x<3.24B .3.24<x<3.25C .3.25<x<3.26D .3.25<x<3.283.观察表格中的数据得出方程x 2-2x -4=0的一个根的十分位上的数字应是 ( )x -2 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 0 x 2-2x -44 0.76 0.29 -0.16 -0.59 -4A.0B.1C.2D.34.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,b,c满足a+b+c=0和4a-2b+c=0,则方程的两个根分别为()A.1,0B.-2,0C.1,-2D.-1,25.已知关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有一个非零根-a,则a-b的值为()A.1B.-1C.0D.-26.已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根,则下面对α的估计正确的是()A.0<α<1B.1<α<1.5C.1.5<α<2D.2<α<3二、填空题7.为估算方程x2-2x-8=0的解,列出了下表:x-2-101234x2-2x-80-5-8-9-8-50由此可判断方程x2-2x-8=0的解为.8.已知x2-3x+1=0,依据下表,它的一个解x的范围是.x-1-0.500.51x2-3x+152.751-0.25-19.若a是方程3x2-x-2=0的一个根,则2025+2a-6a2的值等于.三、解答题10.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,求a的值.11.对于向上抛出的物体,在没有空气阻力的条件下,有如下关系:h=vt-1gt2,其中h是离抛出点2的高度,v是初速度,g是重力加速度(g取10 m/s2),t是抛出后所经过的时间.如果将一物体以25 m/s的初速度向上抛出,几秒钟后它在离抛出点20 m高的地方?12、有一个面积为54 m2的矩形,将它的一边剪短5 m,与其相邻的另一边剪短2 m后,恰好变成一个正方形.(1)若设这个正方形的边长为x m,请根据题意列出方程;(2)x可能小于0吗?说说你的理由;(3)正方形的边长可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?(4)你能求出x的值吗?请写出求解过程.答案[课堂达标]1.B[解析] ∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根,∴22-3×2+k=0,解得k=2.故选B.2.B[解析] 观察表格可知,当ax2+bx+c=0(a≠0)时,对应的一个根x的范围是3.24<x<3.25.3.C[解析] ∵当x=-1.3时,x2-2x-4=0.29>0;当x=-1.2时,x2-2x-4=-0.16<0,∴方程x2-2x-4=0的一个根x在-1.3<x<-1.2的范围内,∴方程x2-2x-4=0的一个根的十分位上的数字应是2.故选C.4.C[解析] 当x=1时,a+b+c=0;当x=-2时,4a-2b+c=0.所以方程的两个根分别为1,-2.故选C.5.B[解析] ∵关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有一个非零根-a,∴a2-ab+a=0.∵-a≠0,∴a≠0.上式两边同时除以a,得a-b+1=0,∴a-b=-1.6.C7.x=-2或x=48.0<x<0.5[解析] ∵当x=0时,x2-3x+1=1>0;当x=0.5时,x2-3x+1=-0.25<0,∴当x在0<x<0.5的范围内取某一个值时,x2-3x+1=0,∴方程x2-3x+1=0的一个解的范围是0<x<0.5.故答案为0<x<0.5.9.2021[解析] ∵a是方程3x2-x-2=0的一个根,∴3a2-a-2=0,故3a2-a=2,则2025+2a-6a2=2025-2(3a2-a)=2025-2×2=2021.故答案为2021.10.[解析] 根据一元二次方程的定义和一元二次方程的根的定义得到a+1≠0且a2-1=0,然后解不等式和方程即可得到a的值.解:∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,∴a+1≠0且a2-1=0,∴a=1.11.解:由题意,得25t-5t2=20,列表略,可得方程的解为t=1或t=4,所以1 s或4 s后,物体在离抛出点20 m高的地方.[素养提升]解:(1)所列方程为(x+5)(x+2)=54,即x2+7x-44=0.(2)x不可能小于0,因为x表示正方形的边长.(3)正方形的边长不可能是2 m,也不可能是3 m,因为x=2和x=3都不满足方程x2+7x-44=0.(4)能.列表如下:x12345x2+7x-44-36-26-14016所以x=4.2.2.1用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程一、选择题x2=8的根是()1.方程12A.x=2B.x=4C.x=±2D.x=±42.一元二次方程y2-y-34=0配方后可化为()A.y+122=1B.y-122=1C.y+122=34D.y-122=343.如果一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k,那么b,k的值分别为()A.0,4B.0,5C.-6,5D.-6,4二、填空题4.填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2+()+916=[x+()]2.5.[2020·扬州] 方程(x+1)2=9的根是.6.如果方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,那么(n-m)2021=.三、解答题7.解下列方程:(1)(x-1)2=36;(2)x2-2x-24=0;(3)x2-x+3=4;(4)x2-3x=3x+16;(5)x2-2√2x-3=0.8.如图,在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为2400平方米,求道路的宽.9、有n个方程:x2+2x-8=0;x2+2×2x-8×22=0;…;x2+2nx-8n2=0.小静同学解第1个方程x2+2x-8=0的步骤为“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=-2.”(1)小静的解法是从步骤开始出现错误的;(2)用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0(用含n的式子表示方程的根).答案[课堂达标] 1.D2.B [解析] y 2-y -34=0,y 2-y=34, y 2-y+14=1,y -122=1. 故选B .3.D [解析] ∵(x -3)2=k ,∴x 2-6x+9-k=0.∵一元二次方程x 2+bx+5=0配方后为(x -3)2=k ,∴b=-6,9-k=5,∴k=4,∴b ,k 的值分别为-6,4.故选D . 4.(1)25 5 (2)±32x ±345.x 1=2,x 2=-4 [解析] (x+1)2=9,x+1=±3,x 1=2,x 2=-4.故答案为x 1=2,x 2=-4.6.-1 [解析] 由题意得x 2+4x=-n , ∴x 2+4x+4=4-n ,即(x+2)2=4-n. 又(x+m )2=3,∴m=2,n=1, 则(n -m )2021=(1-2)2021=-1. 故答案为-1.7.解:(1)直接开平方,得x -1=±6, ∴x -1=6或x -1=-6, ∴x 1=7,x 2=-5.(2)移项,得x 2-2x=24.配方,得x 2-2x+1=24+1,即(x -1)2=25. 两边开平方,得x -1=±5. ∴x 1=6,x 2=-4. (3)移项,得x 2-x=1. 配方,得x 2-x+14=54.整理,得x -122=54,∴x -12=±√52, 即x 1=1+√52,x 2=1-√52.(4)原方程可化为x 2-6x=16. 配方,得x 2-6x+9=16+9. 整理,得(x -3)2=25,∴x -3=±5, 即x 1=8,x 2=-2. (5)移项,得x 2-2√2x=3.配方,得x 2-2√2x+(√2)2=(√2)2+3, 即(x -√2)2=5.两边开平方,得x -√2=±√5. ∴x 1=√2+√5,x 2=√2-√5. 8.解:设道路的宽为x 米. 根据题意,得(62-x )(42-x )=2400.整理,得x2-104x+204=0.解得x1=2,x2=102(不合题意,舍去).答:道路的宽是2米.[素养提升]解:(1)⑤(2)x2+2nx-8n2=0,x2+2nx=8n2,x2+2nx+n2=8n2+n2,(x+n)2=9n2,x+n=±3n,x=-n±3n,∴x1=-4n,x2=2n.2.2.2用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程一、选择题1.用配方法解方程2x2-4x+3=0,配方正确的是()A.2x2-4x+4=3+4B.2x2-4x+4=-3+4C .x 2-2x+1=32+1D .x 2-2x+1=-32+12.[2020·聊城] 用配方法解一元二次方程2x 2-3x -1=0,配方正确的是( ).A .x -342=1716B .x -342=12C .x -322=134D .x -322=1143.图中用配方法解方程12x 2-x -2=0的四个步骤中,出现错误的是( )A .①B .②C .③D .④ 4.对于任何实数m ,n ,多项式m 2+n 2-6m -10n+36的值总是 ( )A .2B .0C .大于2D .不小于2二、填空题5.一元二次方程5x 2-4x=1的解为 .6.把方程2x 2+4x -1=0配方后得(x+m )2=k ,则m= ,k= .7.若一个三角形的两边长分别为2和3,第三边长是方程2x 2-3x -5=0的一个根,则这个三角形的周长为 .8.如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=6厘米,BC=3厘米,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动,到点C 停止运动,此时点P 也停止运动.如果点P ,Q 分别从A ,B 两点同时出发,则经过 秒后,P ,Q 两点间的距离为4√2厘米.三、解答题9.用配方法解下列方程:(1)2x2-4x-6=0;(2)2x2+2=5x;=0.(3)2x2+x-1210、求y2+4y+8的最小值.阅读下面的解答过程.解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4.∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4,即y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程,解答下列问题.(1)求m2+2m+4的最小值;(2)求4-x2+2x的最大值.答案[课堂达标] 1.D2.A [解析] 移项,得2x 2-3x=1,二次项系数化为1,得x 2-32x=12,配方,得x 2-32x+342=12+342, 即x -342=1716.故选A .3.D4.D [解析] m 2+n 2-6m -10n+36=m 2-6m+9+n 2-10n+25+2=(m -3)2+(n -5)2+2. ∵(m -3)2≥0,(n -5)2≥0, ∴(m -3)2+(n -5)2+2≥2,∴多项式m 2+n 2-6m -10n+36的值总是不小于2.故选D . 5.x 1=-15,x 2=16.1 32[解析] 把方程2x 2+4x -1=0配方得(x+1)2=32.∵把方程2x 2+4x -1=0配方后得(x+m )2=k , ∴m=1,k=32. 7.1528.25 [解析] 设t 秒后PQ=4√2, 则BP=6-t ,BQ=2t. ∵∠B=90°,∴BP 2+BQ 2=PQ 2, ∴(6-t )2+(2t )2=(4√2)2. 解得t=25或t=2. 由题意,得t ≤32,∴t=25.故答案为25.9.解:(1)原方程可化为x 2-2x -3=0, 移项、配方得x 2-2x+1=3+1,即(x -1)2=4, 两边开平方,得x -1=±2, ∴x 1=1+2=3,x 2=1-2=-1. (2)原方程可化为x 2-52x=-1. 配方,得x 2-52x+2516=916,即(x -54)2=916. 两边开平方,得x -54=±34, ∴x 1=2,x 2=12.(3)原方程可化为x 2+12x=14,配方,得x 2+12x+116=14+116,即x+142=516,两边开平方,得x+14=±√54, ∴x 1=-1+√54,x 2=-1-√54.。
认识一元二次方程 北师大版九年级数学上册
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方 程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一 个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据 题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说 你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意； 不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意； 不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？ （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75
九年级上册(北师大版)数学课时练习：2.1认识一元二次方程
2.1认识一元二次方程一．填空题〔共11小题〕1．一元二次方程〔m﹣2〕x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0 ,那么m= ．2．x满足方程x2﹣3x+1=0 ,那么x2+的值为．3．a是方程x2﹣2019x+1=0一个根 ,求a2﹣2019a+的值为．4． ,关于x的方程〔a+5〕x2﹣2ax=1是一元二次方程 ,那么a= ．5．假设方程〔m﹣1〕x2+x+m2﹣1=0是一元二次方程 ,那么m ．6．假设〔m+1〕x2﹣mx+2=0是关于x的一元二次方程 ,那么m的取值范围是．7．当m= 时 ,关于x的方程〔m﹣1〕x|m|+1﹣mx+5=0是一元二次方程．8．关于x的方程〔a﹣3〕x2﹣4x﹣5=0是一元二次方程 ,那么a的取值范围是．9．假设关于x的一元二次方程〔m+2〕x|m|+2x﹣1=0是一元二次方程 ,那么m= ．10．设m是方程x2﹣3x+1=0的一个实数根 ,那么= ．11．关于x的二次方程a〔x+h〕2+k=0的解为 ,那么方程的解为．二．选择题〔共16小题〕12．x=1是二次方程〔m2﹣1〕x2﹣mx+m2=0的一个根 ,那么m的值是〔〕A．或﹣1 B．﹣或1 C．或1 D．﹣13．下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 ,bx2+cx+a=0 ,cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a ,那么a+b+c的值为〔〕A．0 B．1 C．3 D．不确定1．m ,n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根 ,那么〔2m2﹣4m﹣1〕〔3n2﹣6n+2〕的值等于〔〕A．4 B．5 C．6 D．715．如果〔m﹣2〕x|m|+mx﹣1=0是关于x的一元二次方程 ,那么m的值为〔〕A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．以上都不正确16．关于x的方程〔a﹣1〕x2+x+2=0是一元二次方程 ,那么a的取值范围是〔〕A．a≠1 B．a≥﹣1且a≠1 C．a＞﹣1且a≠1 D．a≠±117．关于x的方程〔a﹣1〕x|a|+1﹣2x﹣1=0是一元二次方程 ,那么a的值为〔〕A．﹣1 B．1 C．0 D．1或﹣118．假设方程〔a﹣2〕x2+x+3=0是关于x的一元二次方程 ,那么a的取值范围是〔〕A．a≠2 B．a≥0 C．a≥0且a≠2 D．任意实数19．关于x的方程+2mx﹣3=0是一元二次方程 ,那么m的取值是〔〕A．任意实数B．1 C．﹣1 D．±120．假设方程〔m﹣1〕x2+x﹣2=0是关于x的一元二次方程 ,那么m的取值范围是〔〕A．m=0 B．m≠1 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数21．二次方程4x〔x+2〕=25化成一般形式得〔〕A．4x2+2=25 B．4x2﹣23=0 C．4x2+8x=25 D．4x2+8x﹣25=022．一元二次方程〔x﹣〕〔x+〕+〔2x﹣1〕2=0化成一般形式正确的选项是〔〕A．5x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣5=0 C．5x2﹣2x+1=0 D．5x2﹣4x+6=023．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为〔〕A．6 ,2 ,9 B．2 ,﹣6 ,9 C．﹣2 ,6 ,9 D．2 ,﹣6 ,﹣924．把方程〔x+1〕〔3x﹣2〕=10化为一元二次方程的一般形式后为〔〕A．2x2+3x﹣10=0 B．2x2+3x﹣10=0 C．3x2﹣x+12=0 D．3x2+x﹣12=025．把一元二次方程〔x﹣3〕2=5化为一般形式 ,二次项系数；一次项系数；常数项分别为〔〕A．1 ,6 ,4 B．1 ,﹣6 ,4 C．1 ,﹣6 ,﹣4 D．1 ,﹣6 ,926．一元二次方程的一般形式是〔〕A．x2+bx+c=0 B．ax2+bx+c=0C．ax2+bx+c=0〔a≠0〕 D．以上答案都不对27．将方程﹣5x2=2x+10化为二次项系数为1的一般形式是〔〕A．x2+x+2=0 B．x2﹣x﹣2=0 C．x2+x+10=0 D．x2﹣2x﹣10=0三．解答题〔共8小题〕28．完成以下问题：〔1〕假设n〔n≠0〕是关于x的方程x2+mx+2n=0的根 ,求m+n的值；〔2〕x ,y为实数 ,且y=﹣3 ,求2xy的值．29．关于x的一元二次方程〔m+1〕x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0 ,求m的值．30．假设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1 ,且a ,b满足b=++3 ,求c．31．阅读以下材料：〔1〕关于x的方程x2﹣3x+1=0〔x≠0〕方程两边同时乘以得：即 , ,〔2〕a3+b3=〔a+b〕〔a2﹣ab+b2〕；a3﹣b3=〔a﹣b〕〔a2+ab+b2〕．根据以上材料 ,解答以下问题：〔1〕x2﹣4x+1=0〔x≠0〕 ,那么= , = , = ；〔2〕2x2﹣7x+2=0〔x≠0〕 ,求的值．32．2是关于x的一元二次方程5x2+bx﹣10=0的一个根 ,求方程的另一个根及b的值．33．：关于x的一元二次方程x2﹣〔2m+3〕x+m2+3m+2=0．〔1〕x=2是方程的一个根 ,求m的值；〔2〕以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC〔AB＜AC〕的边长 ,当BC=时 ,△ABC是等腰三角形 ,求此时m的值．34．关于x的一元二次方程〔m+2〕x2+3x+〔m2﹣4〕=0有一个解是0 ,求m的值及方程的另一个解．35．阅读以下材料：问题：方程x2+x﹣1=0 ,求一个一元二次方程 ,使它的根分别是方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ,那么y=2x ,所以x= ,把x= ,代入方程 ,得〔〕2+﹣1=0．化简 ,得y2+2y﹣4=0 ,故所求方程为y2+2y﹣4=0这种利用方程根的代换求新方程的方法 ,我们称为“换根法〞．请用阅读材料提供的“换根法〞求新方程〔要求：把所求方程化为一般形式〕：〔1〕方程x2+2x﹣1=0 ,求一个一元二次方程 ,使它的根分别是方程根的相反数 ,那么所求方程为；〔2〕关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有两个不等于零的实数根 ,求一个一元二次方程 ,使它的根分别是方程根的倒数．参考答案一．填空题1．﹣2．2．7．3．2019．4．≠1．5．≠1．6．m≠﹣1．7．﹣18．a≠39．m=2．10．8．11．x1=﹣ ,x2=0．二．选择题12．D．13．A．14．B．15．C．16．B．17．A．18．C．19．C．20．C．21．D．22．A．23．D．24．C．25．B．26．C．27．A．三．解答题28．解：〔1〕由题意得n2+mn+2n=0 ,∵n≠0 ,∴n+m+2=0 ,得m+n=﹣2；〔2〕解：由题意得 ,2x﹣5≥0且5﹣2x≥0 ,解得x≥且x≤ ,所以 , ,y=﹣3 ,∴2xy=﹣15．29．解：由题意 ,得m2+3m+2=0 ,且m+1≠0 ,解得m=﹣2 ,m的值是﹣2．30．解：将x=1代入方程ax2+bx+c=0 ,得：a+b+c=0；又∵a、b满足等式b=++3 ,∴a﹣3≥0 ,3﹣a≥0；∴a=3 ,∴b=3；那么c=﹣a﹣b=﹣6．31．解；〔1〕∵x2﹣4x+1=0 ,∴x+=4 ,∴〔x+〕2=16 ,∴x2+2+=16 ,∴x2+=14 ,∴〔x2+〕2=196 ,∴x4++2=196 ,∴x4+=194．故答案为4 ,14 ,194．〔2〕∵2x2﹣7x+2=0 ,∴x+= ,x2+= ,∴=〔x+〕〔x2﹣1+〕=×〔﹣1〕=．32．解：把x=2代入方程5x2+bx﹣10=0得5×4+2b﹣10=0 ,解得b=﹣5 ,设方程的另一个根为t ,那么2t=﹣ ,解得t=﹣1 ,即方程的另一根为﹣1．33．解：〔1〕∵x=2是方程的一个根 ,∴4﹣2〔2m+3〕+m2+3m+2=0 ,∴m=0或m=1；〔2〕∵△=〔2m+3〕2﹣4〔m2+3m+2〕=1 ,=1；∴x=∴x1=m+2 ,x2=m+1 ,∵AB、AC〔AB＜AC〕的长是这个方程的两个实数根 ,∴AC=m+2 ,AB=m+1．∵BC= ,△ABC是等腰三角形 ,∴当AB=BC时 ,有m+1= ,∴m=﹣1；当AC=BC时 ,有m+2= ,∴m=﹣2 ,综上所述 ,当m=﹣1或m=﹣2时 ,△ABC是等腰三角形．34．解：把x=0代入方程 ,得m2﹣4=0 ,解得m=±2 ,∵m+2≠0 ,∴m≠﹣2 ,∴m=2 ,把m=2代入方程 ,得4x2+3x=0 ,解得x1=0 ,x2=﹣．答：m的值是2 ,方程的另一根是﹣．35．解：〔1〕设所求方程的根为y ,那么y=﹣x ,所以x=﹣y ,把x=﹣y代入方程x2+2x﹣1=0 ,得：y2﹣2y﹣1=0 ,故答案为：y2﹣2y﹣1=0；〔2〕设所求方程的根为y ,那么y=〔x≠0〕 ,于是x=〔y≠0〕 ,把x=代入方程ax2+bx+c=0 ,得a 〔〕2+b〔〕+c=0 ,去分母 ,得 a+by+cy2=0 ,假设c=0 ,有ax2+bx=0 ,于是 ,方程ax2+bx+c=0有一个根为0 ,不合题意 ,∴c≠0 ,故所求方程为a+by+cy2=0 〔 c≠0〕．。
北师大版九年级数学上册--第二单元2.1 认识一元二次方程 练习题(含答案)
2.1 认识一元二次方程一、判断题（下列方程中是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）（ ）1. 5x 2+1=0 （ ）2. 3x 2+x1+1=0（ ）3. 4x 2=ax(其中a 为常数) （ ）4. 2x 2+3x=0（ ）5. 5132+x =2x （ ）6. 22)(x x + =2x（ ）7. ｜x 2+2x ｜=4二、填空题1. 一元二次方程的一般形式是____________________。
2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为____________________。
3. 将方程(x+1)2=2x 化成一般形式为____________________。
4. 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________。
5. 方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是____________________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________。
6. 若ab ≠0，则a 1x 2+b 1x=0的常数项是__________。
7. 如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是_______。
8. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m_____时，是一元二次方程，当m_____时，是一元一次方程。
9、若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是。
10、方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是，常数项是。
11、 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是。
三、选择题1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x+1=0C. 5x 2+x1+4=0 D. 3x 2+(1+x) 2+1=0 2. 方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A. x 2－5x+5=0B. x 2+5x+5=0C. x 2+5x －5=0D. x 2+5=0 3. 一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A. 7x 2,2x,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x,0 4. 方程x 2－3=(1－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）A.2B.－2C.32-D.3221-+5. 若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A. 2B. －2C. 0D. 不等于2 6. 关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解 7、下列方程中，不是整式方程的是（ ）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=8、下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=9、若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数 10、下列各方程中属于一元二次方程的是（ ）（1）214yy -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（1）（2）（6）D ．（1）（2）11、关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） Ａ．1，3mn ，22mn n - Ｂ．1，3m -，22mn n - Ｃ．1，m -，2n - Ｄ．1，3m ，22mn n -四、填表2.1 认识一元二次方程参考答案一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√二、1. ax 2+bx+c=0(a ≠0) 2. 5x 2+6x －1=0 3. x 2+1=0 4. 0 85. 5x 2－22x+3=0；5x 2；－22x ；36. 07. ≠18. ≠4 =49.3k ≠ 10.1，4-，1 11.答案：2a >-且0a ≠三、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7. C 8.A 9.C 10.D 11.B。
北师大版九年级上册211 认识一元二次方程(教案)
2.1.1 认识一元二次方程教学目标知识技能:1、理解一元二次方程的概念.2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.过程与方法：1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力.2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.4、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.情感态度与价值观：1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识. 教学重难点：【重点】一元二次方程的概念及一般形式.【难点】1.由实际问题向数学问题转化的过程.2.正确识别一般形式中的“项”及“系数”.教学过程：一、新课导入：问题1：①2021年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。
现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员,以此类推来完成此次培训任务。
②某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。
若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。
(1)已知经过第一轮培训后该校共有11人合格, 请列出满足条件的方程:(2)若两轮培训后该校共有121人合格，你能列出满足条件的方程吗？问题2:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题3:我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .通过多媒体播放视频短片,引入情境,提出问题.在第(1)问中,通过教师引导,学生列出方程,解决问题.在第(2)问中,遵循刚才解决问题的思路,由学生思考,列出方程.活动中教师应重点关注:学生对题目的理解,可举例,由特殊到一般,帮助学生理解题意,从而引导学会列出满足条件的方程通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件的方程.此题是与实际问题结合的题目，通过演示高度关系，帮助学生理解题意，从而列出符合题意的方程。
2 1 认识一元二次方程同步练习北师大版九年级数学上册
北师大版九年级上册2.1 认识一元二次方程一、选择题1. 一元二次方程的二次项系数为1，则它的常数项为（）A．1 B．C．3 D．2. 方程，一次项系数为（）A．B．C．D．6 A．B．C．D．4. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为（）A．5，B．5，7 C．，7 D．，5. 下列方程①；②；③；④；⑤；⑥其中是一元二次方程的有（）个A．1个B．2个C．3个D．4个6. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（）A．B．C．D．7. 方程的一次项系数是（）A．B．1 C．D．08. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则c的值为（）A．8 B．C．16 D．9. 已知关于x的方程的一个根为，则实数k的值为（）A．1 B．C．2 D．A．B．C．D．11. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（）A．B．1 C．D．2 二、填空题12. 当k_________时，关于x的方程是一元二次方程．13. 方程的二次项系数是 _____，一次项系数是 _____，常数项是_____．14. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．三、解答题16. 已知一元二次方程．（1）如果这个方程有一个根是0，常数项c有什么特征？（2）如果这个方程有一个根是1，那么满足怎样的关系？（3）如果这个方程有一个根是﹣1，那么满足怎样的关系？17. 已知关于的方程：是一元二次方程，试求的值18. 为何值时，关于的方程：(1)是一元二次方程；(2)是一元一次方程，并求出对应方程的解．19. 已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝+3，求c的值．20. 先化简，再求值：，其中m是关于x的一元二次方程的根。
北师大版数学九上2.1《认识一元二次方程》教案(3页)
-以x² - 5x + 6 = 0为例，详细讲解如何通过因式分解法求解一元二次方程，并让学生进行类似的练习。
-给出实际情境问题，如面积计算、年龄问题等，指导学生如何将其转化为相应的一元二次方程。
北师大版数学九上2.1《认识一元二次方程》教案（3页）
一、教学内容
本节课选自北师大版数学九年级上册第二章第1节《认识一元二次方程》。教学内容主要包括以下方面：
1.理解一元二次方程的定义，能够识别标准形式的一元二次方程：ax² + bx + c = 0（a≠0）。
2.掌握一元二次方程的解的概念，了解解的个数与判别式Δ的关系。
-在因式分解法中，学生可能会遇到难以找到合适的因式对，如对于方程x² + 4x + 3 = 0，需要引导学生思考如何分解成(x+3)(x+1)。
-对于实际问题的抽象，教师需要指导学生如何从问题中提取关键信息，如速度、时间、距离等，并建立数学模型。例如，从“一个数的平方加上这个数等于12”这个问题中，抽象出方程x² + x - 12 = 0。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了《认识一元二次方程》，整体来看，学生的学习态度非常积极，对一元二次方程的概念和求解方法有了基本的认识。但在教学过程中，我也发现了一些问题，值得我们共同反思。
首先，对于一元二次方程定义的理解，部分学生仍然存在困难。在讲解过程中，我意识到可能是因为我未能将概念讲解得足够直观和具体。在今后的教学中，我需要更加注意用简单易懂的语言和例子来解释抽象的数学概念，帮助学生更好地理解。
北师大版九级数学上册教案：2.1 认识一元二次方程word版
第二章一元二次方程2．1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2．体会方程的模型思想．阅读教材P31～32，完成下列问题：(一)知识探究1．只含有________个未知数，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a________)的形式的________方程，这样的方程叫做一元二次方程．2．我们把____________(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中________，________，________分别为二次项、一次项和常数项，________，________分别称为二次项系数和一次项系数．(二)自学反馈1．下列方程中，是一元二次方程的是()A．x－y2＝1 B.x2－1＝0C.1x2－1＝0 D.x22－x－13＝02．将方程(2x＋1)x＝(3x－2)x＋2化简整理写成一般形式后，其中a、b、c分别是() A.2－3，1， 2 B.2－3，1，－ 2C.3－2，－3， 2D.3－2，1， 2活动1 小组讨论例1判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x2＝0；(2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．判断一个方程是不是一元二次方程，首先需要将方程化简，使方程的右边为0，然后观察其是否具备以下三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可．例2将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x2－13x＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.(1)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则c＝0. 活动2 跟踪训练1．下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x2－6x＝0；(2)2x 2－5xy ＋6y ＝0；(3)2x 2－13x－1＝0； (4)y22＝0； (5)x 2＋2x －3＝1＋x 2.2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x 2－1＝4x; (2)4x 2＝81；(3)4x(x ＋2)＝25; (4)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3.3．已知方程(a －4)x 2－(2a －1)x －a －1＝0.(1)a 取何值时，方程为一元二次方程？(2)a 取何值时，方程为一元一次方程？4．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.活动3 课堂小结1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，特别强调a ≠0.【预习导学】(一)知识探究1．一≠0 整式2.ax 2＋bx ＋c ＝0ax 2bxcab(二)自学反馈1．D2.C【合作探究】活动2 跟踪训练1．(1)、(4)是一元二次方程．2．(1)5x 2－4x －1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x 2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x 2＋8x －25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x 2－7x ＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.3．(1)当a －4≠0即a ≠4时，方程为一元二次方程．(2)a －4＝0，且2a －1≠0时，原方程为一元一次方程．即a ＝4时，原方程为一元一次方程．4．(1)根据题意，得4x 2＝25，将其化成一元二次方程的一般形式是4x 2－25＝0.(2)根据题意，得x(x －2)＝100，将其化成一元二次方程的一般形式是x 2－2x －100＝0.(3)根据题意，得x ＝(1－x)2，将其化成一元二次方程的一般形式是x 2－3x ＋1＝0.第2课时 一元二次方程的解1．经历估计一元二次方程解的过程，增进对方程解的认识．。
北师大版九年级数学上2.1认识一元二次方程同步练习含答案初中数学
九年级数学（上）第二章《一元二次方程》同步测试2.1认识一元二次方程一、选择题1. 下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．（x+1）2=2（x+1）B ．21120x x +-= C ．ax 2+bx+c=0 D ．x 2+2x=x 2-1 2. 若x 0是方程ax 2+2x+c=0（a ≠0）的一个根，设M=1-ac ，N=（ax 0+1）2，则M 与N 的大小关系正确的为（ ）A ．M ＞NB ．M=NC ．M ＜ND ．不确定3. 下列方程中，一元二次方程共有（ ）个①x 2-2x-1=0；②ax 2+bx+c=0；③21x +3x-5=0；④-x 2=0；⑤（x-1）2+y 2=2；⑥（x-1）（x-3）=x 2．A ．1B ．2C ．3D ．44. 关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+a 2-1=0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．1或-1D ．-1或05. 若关于x 的一元二次方程x 2-x-m=0的一个根是x=1，则m 的值是（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．26. 如果关于x 的方程（m-3）27m x--x+3=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为（ ）A ．±3B ．3C ．-3D ．都不对7. 关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+a 2-1=0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．12 8. 若关于x 的方程x 2+（m+1）x+12=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是（ ）A ．-52B ．12C ．-52或12D ．1 9. 若方程（m-3）x n +2x-3=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．m=3，n ≠2B ．m=3，n=2C ．m ≠3，n=2D ．m ≠3，n ≠210. 若x=-2是关于x的一元二次方程x2+32ax-a2=0的一个根，则a的值为（）A．-1或4 B．-1或-4 C．1或-4 D．1或4二、填空题1.若关于x的一元二次方程x2-x-m=0的一个根是x=1，则m的值是2.已知（m-1）x|m|+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．3.已知m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根，则2m2-4m= ．4.关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+（a2-1）=0的一个根是0，则a的值是．5.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的一个解是x=1，则2016-a-b的值是．6.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=-1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是．7.己知m是关于x的方程x2-2x-7=0的一个根，则2（m2-2m）= ．8.若a是方程x2-2x-2015=0的根，则a3-3a2-2013a+1= ．三、解答题1. 已知方程：（m2-1）x2+（m+1）x+1=0，求：（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．（2）当m为何值时原为一元一次方程．2. 向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题：（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．3. 当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m-1）x-4=3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；4.设a是方程x2-2006x+1=0的一个根，求代数式a2-2007a+212006a的值．参考答案一、选择题1.A2.B3.B4.A5.B6.C7.B8.C9.C10.C二、填空题1.0；2.-1；3.6；4.-1；5.2021；6. x3=0，x4=-3．7.14；8. -2014．三、解答题1. 解：（1）当m2-1≠0时，（m2-1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程，解得m≠±1，当m≠±1时，（m2-1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程；（2）当m2-1=0，且m+1≠0时，（m2-1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程，解得m=±1，且m≠-1，m=-1（不符合题意的要舍去），m=1．答：当m=1时，（m2-1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程．2. 解：（1）根据一元二次方程的定义可得21210mm⎧+=⎨+≠⎩，解得m=1，此时方程为2x2-x-1=0，解得x1=1，x2=-12；（2）由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为-x-1=0，解得x=-1，当m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，解得x=-13．3.解：原方程可化为（m2-1）x2+（m-1）x-4=0，（1）当m2-1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；（2）当m2-1=0，且m-1≠0，即m=-1时，是一元一次方程；4.解：把x=a代入方程，可得：a2-2006a+1=0，所以a2-2006a=-1，a2+1=2006a，所以a2-2007a=-a-1，所以a2-2007a+212006a+=-a-1+20062006a=-1，即a2-2007a+212006a+=-1．。
北师大版九年级数学上册集体备课教案：2.1认识一元二次方程(1)
九年级（上）数学科集体备课教案课题§2.1认识一元二次方程（1）主备人执教课型新授课时 1 备课时间上课时间教学目标知识与能力：理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c是常数)，能分清二次项，一次项及常数项等概念。
过程与方法：经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
情感态度与价值观：通过由具体问题抽象出一元二次方程概念的过程，体会数学来源于生活，又回归于生活的理念，培养数学思维能力、阅读能力和数学建模思想。
重点一元二次方程的有关概念。
难点一元二次方程概念的理解和方程模型的建立。
教法运用类比的方法，通过类比一元一次方程的概念和建模思想去理解一元二次方程的概念，及寻找题目中的等量关系；自主探究，合作学习。
教学过程集体备课个案修改一、复习回顾，导入课题回顾一元一次方程的有关概念，方程解的概念。
设计说明：通过回顾一元一次方程的概念，理解其中的“元”和“次”的含义。
从而有助于类比一元二次方程感念的得出。
二、自主探索，概念总结情境问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2，那么花边有多宽？如果设花边的宽为x m, 那么地毯中央长方形图案的长为____m,宽为____m.根据题意，可得方程__________________。
情境问题二：观察下面等式：102+112+122=132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数一次可表示为__ __,_ _,___ ___,__ __.根据题意，可得方程_________。
北师大版九年级(上)数学2.1.2认识一元二次方程同步检测(原创)
北师大版九年级（上)数学2.1.2认识一元二次方程同步检测（原创)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程(a -3)x 2-2x +a 2-9=0 的一个根是 0, 则 a 的值是( )A ．2B ．3C ．3 或-3D ．-32．1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24a b +=（ ） A ．2- B ．3- C ．1- D ．6- 3．根据下表格对应值：判断方程2240x x +-=的一个解x 的范围是（ ）A ．12x <<B ．23x <<C ．34x <<D ．45x << 4．已知方程2x 2+ax ﹣3＝0有一个根是1，则a 的值等于（ ）A ．﹣1B ．5C ．1D ．35．若a+c =b ，那么方程ax 2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．06．根据关于x 的一元二次方程20x px q ++=，可列表如下：则方程20x px q ++=的一个根的范围是（ ）A ．1.2 1.3x <<B ．1.1 1.2x <<C ．1 1.1x <<D ．00.5x << 7．如图，有一张矩形纸片，长10cm ，宽6cm ，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm 2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm ，根据题意可列方程为（ ）A ．10×6﹣4×6x=32B ．（10﹣2x ）（6﹣2x ）=32C ．（10﹣x ）（6﹣x ）=32D ．10×6﹣4x 2=328．若m 为方程250x x +-=的解，则21m m ++的值为（ ）A ．12B ．6C ．9D ．16二、填空题9．若m 是方程22320x x --=的一个根，则2462015m m -+的值为____________ 10．若2x =是方程250x kx k --+=的一个根，那么k 的值等于__________． 11．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0，如果a+b+c=0，则一元二次方程有一根为_____． 12．在数﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4中是方程x 2+x ﹣12＝0的根有_____． 13．方程24x =的根是__________.14．如表是某同学求代数式x 2﹣x 的值的情况，根据表格中数据，可知方程x 2﹣x ＝6的根是_____．三、解答题 15．若a 是方程x 2﹣2018x +1＝0的一个根，求代数式a 2﹣2019a +212018+a 的值． 16．已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)．（1）如果这个方程有一个根是0，常数项c 有什么特征？（2）如果这个方程有一个根是1，那么a 、b 、c 满足怎样的关系？（3）如果这个方程有一个根是﹣1，那么a 、b 、c 满足怎样的关系？17．判断2、5、-4是不是一元二次方程28x x x +=-的根18．简答题：（1）当m 为何值时，关于x 的方程(m 2−1)x 2+mx −2=0是一元二次方程？（2）已知关于x 的一元二次方程(m 2−1)x 2+mx −3−m =0有一个根是0，求m 的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l ，那么m 应该等于什么数？ 19．小刚在做作业时，不小心将方程2350x bx --=的一次项系数用墨水覆盖住了，但从题目的答案中，他知道方程的一个解为5x =，请你帮助小刚求出被覆盖住的数． 20．请阅读下列材料：问题：已知方程2x x 10+-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则y 2x =，所以y x 2=． 把y x 2=代入已知方程，得2y y ()1022+-=． 化简，得2y 2y 40+-=，故所求方程为2y 2y 40+-=．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)． ()1已知方程2x x 20+-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，求所求方程；()2已知方程22x 7x 30-+=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．21．若是2310a b a b x x +--+=关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值，下面是两位学生的解法：甲：根据题意得22a b +=，1a b -=，解方程组得1a =，0b =．乙：由题意得22a b +=，1a b -=或21a b +=，2a b -=，解方程组得1a =，0b =或1a =，1b =-．你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确答案．参考答案1．D【解析】【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【详解】把x =0代入方程（a -3）x 2-2x +a 2-9=0，得：a 2﹣9=0，解得：a =±3．∵a －3≠0，∴a =－3．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为0，难度不大．2．A【解析】【分析】先把x=1代入方程x 2+ax+2b=0得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值．【详解】把x=1代入方程x 2+ax+2b=0得1+a+2b=0，所以a+2b=−1，所以2a+4b=2(a+2b)=2×(−1)=−2. 故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程的解和代数式求值，解题的关键是掌握整体代入法.3．D【解析】【分析】由于x=4时，224x x +-=-4；x=5时，224x x +-=6，则在-4和5之间有一个值能使224x x +-的值为0，于是可判断方程2240x x +-=的一个解x 的范围为4＜x ＜5．【详解】解：∵x=4时，224x x +-=-4；x=5时，224x x +-=6，∴方程的2240x x +-=一个解x 的范围为4＜x ＜5．故选：D ．【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．4．C【解析】【分析】把x=1代入已知方程，列出关于a 的一元一次方程，通过解新方程求得a 的值．【详解】解：把x ＝1代入2x 2+ax ﹣3＝0，得2+a ﹣3＝0，解得：a ＝1．故选：C ．【点睛】考查了一元二次方程的解的定义．能使方程左右两边相等的值，即为方程的解．5．B【解析】解：根据题意：当x =﹣1时，方程左边=a ﹣b +c ，而a +c =b ，即a ﹣b +c =0，所以当x =﹣1时，方程ax 2+bx +c =0成立．故x =﹣1是方程的一个根．故选B ．6．C【解析】【分析】由表格可发现2x px q ++的值−2和0.59最接近0，再看对应的x 的值即可得．【详解】解：由表格可以看出，当x 取1到1.1之间的某个数时，有2x px q ++＝0，∴方程20x px q ++=的一个根的范围是1＜x ＜1.1．故选：C ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的x的取值范围．7．B【解析】分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．故选B．点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．B【解析】【分析】由方程的解的定义可得m2+m=5，代入待求代数式即可得．【详解】解：根据题意得m2+m-5=0，即m2+m=5，∴m2+m+1=5+1=6，故选：B．【点睛】本题主要考查方程的解得定义及代数式的求值，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．9．2019【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣2＝0，∴2m2﹣3m＝2，∴原式＝2（2m2﹣3m）+2015＝2019．故答案为：2019．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．10．3【解析】【分析】将x=2代入方程x 2-kx-k+5=0即可求得k 值．【详解】解：将x=2代入方程x 2-kx-k+5=0，即可得到4-3k+5=0，则k=3．故答案为：3.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题． 11．1【解析】【分析】把a+b+c=0转化为()b a c =-+后，代入一元二次方程中，再用因式分解法求出方程的根即可．【详解】∵a+b+c=0，∴()b a c =-+①，将①代入一元二次方程ax 2+bx+c=0中可得，ax 2-（a+c ）x+c=0，整理可得，()()10x ax c --=，∴1=1x ，2=x c a． 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键．12．3，﹣4．【解析】【分析】可以将每个数分别代入，逐一检验，也可以先解方程，再进行判断．【详解】当x ＝﹣4时，x 2+x ﹣12＝0当x ＝﹣3时，x 2+x ﹣12＝﹣6≠0当x ＝﹣2时，x 2+x ﹣12＝﹣10≠0当x ＝﹣1时，x 2+x ﹣12＝﹣12≠0当x ＝0时，x 2+x ﹣12＝﹣12≠0当x ＝1时，x 2+x ﹣12＝﹣10≠0当x ＝2时，x 2+x ﹣12＝﹣6≠0当x ＝3时，x 2+x ﹣12＝0当x ＝4时，x 2+x ﹣12＝8≠0故是方程x 2+x ﹣12＝0的根有﹣4，3．【点睛】本题考查了方程根的概念，检验方程根的方法，掌握能使方程左右两边成立的未知数的值是方程的解是关键．13．122,2x x ==-【解析】【分析】由题意根据直接开平方法的步骤求出x 的解即可．【详解】解：∵24x =，∴x=±2，∴122,2x x ==-．故答案为：122,2x x ==-．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．14．x1＝﹣2，x2＝3．【解析】【分析】能使x2﹣x＝6成立的x的值即为所求．【详解】解：由表格知，当x＝﹣2或x＝3时，x2﹣x＝6成立，即该方程x2﹣x＝6的根是x＝﹣2或x ＝3．故答案为x1＝﹣2，x2＝3．【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是根据表格直接得到解.15．-1【解析】【分析】先把x＝a代入方程，可得a2−2018a＋1＝0，进而可得可知a2−2018a＝−1，进而可求a2−2019a ＝−a−1，a2＋1＝2018a，然后把a2−2019a与a2＋1的值整体代入所求代数式求值即可．【详解】解：把x＝a代入方程，可得：a2﹣2018a+1＝0，所以a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a，所以a2﹣2019a＝﹣a﹣1，所以a2﹣2019a+212018+a＝﹣a﹣1+20182018a＝﹣1，即a2﹣2019a+212018+a＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是注意解与方程的关系，以及整体代入．16．（1）常数项c为0；（2）a+b+c=0；（3）a−b+c=0.【解析】【分析】根据一元二次方程解的意义，分别将x的值代入一元二次方程即可解决问题.【详解】解：（1）∵x=0是方程的一个根，将x=0代入ax 2+bx +c =0(a ≠0)中可得：c=0， ∴常数项c 为0；（2）∵x=1是方程的一个根，将x=1代入ax 2+bx +c =0(a ≠0)中可得：a +b +c =0， ∴a 、b 、c 满足a +b +c =0；（3）∵x=-1是方程的一个根，将x=-1代入ax 2+bx +c =0(a ≠0)中可得：a −b +c =0， ∴a 、b 、c 满足a −b +c =0.【点睛】本题考查一元二次方程解的意义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 17．2，-4是一元二次方程的根，5不是一元二次方程的根.【解析】【分析】分别将2、5、-4代入方程28x x x +=-进行验证即可.【详解】解：将x=2代入28x x x +=-可得：6=6，故x=2是该一元二次方程的根，将x=5代入28x x x +=-可得：30≠3，故x=5不是该一元二次方程的根，将x=-4代入28x x x +=-可得：12=12，故x=-4是该一元二次方程的根.【点睛】本题考查一元二次方程解的意义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 18．（1）m ≠±1；（2）m=-3；（3）m=±2. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知当m 2−1≠0时该方程是一元二次方程；（2）根据一元二次方程根的意义将x=0代入方程中求出m 即可；（3）根据一元二次方程根的意义将x=1代入方程中求出m 即可；【详解】解：（1）∵关于x 的方程(m 2−1)x 2+mx −2=0是一元二次方程，∴m 2−1≠0，解得：m ≠±1；（2）∵关于x 的一元二次方程(m 2−1)x 2+mx −3−m =0有一个根是0，∴将x=0代入(m 2−1)x 2+mx −3−m =0可得：−3−m =0，解得：m=-3；（3）∵关于x 的一元二次方程(m 2−1)x 2+mx −3−m =0有一个根是1，∴将x=1代入(m 2−1)x 2+mx −3−m =0可得：m 2−4=0，解得：m=±2. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程解的意义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.19．14【解析】【分析】把5x =代入方程2350x bx --=，得到关于的一元一次方程， 解之即可【详解】解：把5x =代入方程2350x bx --=得：235550b ⨯--=，解得：14b =，答：被覆盖住的数是14 ．【点睛】本题考查一元二次方程的解， 正确找出等量关系， 列出一元一次方程是解题的关键 ． 20．()1 2y y 20--=；()2 23y 7y 20--=．【解析】【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y ，则y =﹣x ，所以x =﹣y ，然后把x =﹣y 代入已知方程得（﹣y ）2+（﹣y ）﹣2=0；（2）设所求方程的根为y ，则y =1x，所以x =1y ．然后把x =1y 代入已知方程得2（1y ）2+7•1y﹣3=0．再化成整式方程即可． 【详解】（1）设所求方程的根为y ，则y =﹣x ，所以x =﹣y ．把x =﹣y 代入已知方程，得：（﹣y ）2+（﹣y ）﹣2=0．化简得：y 2﹣y ﹣2=0，故所求方程为y 2﹣y ﹣2=0；（2）设所求方程的根为y ，则y =1x，所以x =1y ． 把x =1y 代入已知方程，得：2（1y ）2+7•1y﹣3=0． 化简得：3y 2﹣7y ﹣2=0，即所求方程为3y 2﹣7y ﹣2=0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握换根法的使用．21．上述两位同学的解法都不正确,理由见解析【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可．【详解】上述两位同学的解法都不正确，∵2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，∴①220a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； ②221a b a b +=⎧⎨-=⎩解得10a b =⎧⎨=⎩； ③222a b a b +=⎧⎨-=⎩解得4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； ④202a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；⑤212a ba b+=⎧⎨-=⎩解得11ab=⎧⎨=-⎩．综上所述2323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1ab=⎧⎨=⎩，4323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2343ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，11ab=⎧⎨=-⎩．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念．解题的关键是分5种情况讨论x的指数．。
北师大版九年级(上)数学2.1.1认识一元二次方程同步检测(原创)
北师大版九年级（上)数学2.1.1认识一元二次方程同步检测（原创)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．x 2－4＝0B ．x ＝1xC ．x 2＋3x －2y ＝0D ．x 2＋2＝（x －1）（x ＋2）2．方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5 3．将一元二次方程﹣3x 2﹣2＝﹣4x 化成一般形式ax 2+bx +c ＝0（a ＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）A ．﹣4，2B ．﹣4x ，2C ．4x ，﹣2D ．3x 2，24．把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是（ ） A ．5x 2-4x-4=0 B ．x 2-5=0C ．5x 2-2x+1=0D ．5x 2-4x+6=0 5．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．26．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x 个班，根据题意列出的方程是（ ）A ．x （x ﹣1）=28B ．12x （x ﹣1）=28C ．2x （x ﹣1）=28D ．12x （x +1）=28 7．某镇2012年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为x ，预计到2014年共投入9500万元,则下列方程正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 8．扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯ B ．()()130********x x --=⨯⨯ C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯二、填空题 9．已知关于x 的方程(k -2)x |k |-2kx +1=0是一元二次方程，则k 的值等于_________． 10．方程()()2153x x x -=+的一般形式是________．11．方程x 2－3x +2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_____________． 12．若方程（m+2）x 2+5x ﹣7=0是关于x 的一元二次方程，则m≠____________． 13．已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x ，则可列出方程________．14．如图，在一块长8m 、宽6m 的矩形绿地内，开辟出一块矩形的花圃，使花圃四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．设花圃四周绿地的宽为xm ，可列方程为_____(不需要化简)．三、解答题15．关于x 的方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程，求m 的值．16．将一元二次方程5x 2﹣1＝4x 化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．17．已知方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程．（1）求a 的取值范围；（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．18．如果关于x 的方程（m ﹣3）x |m ﹣1|﹣x+3＝0是一元二次方程，求m 的值．19．有一个三角形，面积为30cm 2，其中一边比这边上的高的4倍少1cm ． 若设这边上的高为xcm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程？若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．20．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）②它的二次项系数为5③常数项是二次项系数的倒数的相反数你能写出一个符合条件的方程吗？21．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.参考答案1．A【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【详解】A．该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；B．x＝1x，不是整式方程，故本选项不符合题意；C．x2＋3x－2y＝0，含有两个未知数，故不是一元二次方程，故本选项错误；D．x2＋2＝（x－1）（x+2），方程整理后是一元一次方程，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．C【解析】试题分析：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5.故选C点睛：本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．B【解析】【分析】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式，再根据一次项和常数项的概念解答即可．解：把一元二次方程-3x 2-2=-4x 化成一般形式ax 2+bx+c=0得：-3x 2+4x-2=0，∵a ＞0，∴3x 2-4x+2=0，∴一次项和常数项分别是：-4x ，2，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4．A【解析】试题分析：（（+（2x-1）2=0即x 2-2+4x 2-4x+1=0,移项合并同类项可得5x 2-4x-4=0,故答案选A ．考点：一元二次方程的一般形式．5．B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m 2+1=2，求出m 的值即可．【详解】∵关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，∴m 2+1=2且m-1≠0，解得：m=-1，故选：B ．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0．6．B【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解．【详解】设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，故12x（x-1）=28．故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．7．D【解析】试题分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2012年投入2000万元，预计到2014年投入9500万元即可得出方程：依题意得2013年投入为2000（1+x），2014年投入为2000（1+x）2，∴2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=9500．故选D．考点：由实际问题抽象出一元二次方程(增长率问题)．8．D【解析】【分析】根据空白区域的面积34=矩形空地的面积可得.【详解】设花带的宽度为xm，则可列方程为3 30220203(4())0x x--=⨯⨯，故选：D．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.9．-2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，最高次次数是2，且二次项系数不为零，列式子计算求解即可得到答案．【详解】解：∵方程(k -2)x |k |-2kx +1=0是一元二次方程，∴方程最高次次数是2，且二次项系数不为零， 即：202k k -≠⎧⎨=⎩解得：k ＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的基本概念是解题的关键． 10．226150x x --=【解析】【分析】首先去括号，再移项合并同类项，把方程化为20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且a≠0）的形式即可．【详解】x (2x −1)=5(x +3)，2x 2−x =5x +15，2x 2−x −5x −15=0，226150x x --=，故答案为：226150x x --=【点睛】考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为：20ax bx c ++=（a b c ，，是常数且a ≠0）11．1，-3，2．【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数，且a ≠0），2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．【详解】解：一元二次方程2320x x -+=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-3，2． 故答案为：1，-3，2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．12．-2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到m+2≠0．据此可以求得m 的取值范围．【详解】∵方程(m+2)x 2+5x−7=0是关于x 的一元二次方程，∴m+2≠0.∴m≠−2.故答案是： −2.【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义.13．22(3)65x x ++=【解析】由较小的数为x 可知较大的数为x+3，故它们的平方和为x 2+(x+3)2再根据它们的平方和是65可得x 2+(x+3)2=65，故答案为x 2+(x+3)2=65.14．(8-2x)(6-2x)=12×8×6 【解析】【分析】根据题意，即可得到矩形花圃的面积为矩形的一半，根据题意表示出矩形花圃的宽和长，根据矩形的面积列出等式即可．【详解】解：矩形花圃的宽为6-2x ，矩形花圃的长为8-2x ，∵绿地的面积与花圃面积相等， ∴（6-2x ）（8-2x ）=12×8×6， 故答案为：（6-2x ）（8-2x ）=12×8×6. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．3m =-【解析】【分析】要使关于x 的方程是一元二次方程，则27(3)mm x --项的指数272m -=且系数30m -≠，即可确定m 的值，【详解】解：关于x 的方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程，依题意有，27230m m ⎧-=⎨-≠⎩∴3m =-∴当3m =-时方程27(3)5mm x x ---=是一元二次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．16．5x 2﹣4x ﹣1＝0,二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：5x 2﹣1＝4x 化成一元二次方程一般形式是5x 2﹣4x ﹣1＝0，它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的二次项系数，一次项系数，常数项，注意带有符号 17．（1）a 1≠；（2）1x 4=-，2x 4=【解析】【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a 的值，再代入原方程，解出方程即可.【详解】解：()1化简，得()2a 1x 3ax 8a 160-+-+=．方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程，得 a 10-≠，解得a 1≠，当a 1≠时，方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程； ()2由一次项系数为零，得a 0=．则原方程是2x 160-+=，即2x 160-=．因式分解得()()x 4x 40+-=，解得1x 4=-，2x 4=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.18．﹣3【解析】【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】由题意，得|m ﹣1|＝2且m ﹣3≠0．解得m ＝﹣3．即m 的值是﹣3．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．19．详见解析.【解析】【分析】分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程，主要是利用三角形的面积公式:三角形的面积=12×三角形底边的长×高. 【详解】 12x （4x-1）=30，是一元二次方程，一般形式为2x 2-12x-30=0，二次项系数为2，一次项系数为-12，常数项为-30.【点睛】本题主要考查根据题意列方程及一元二次方程的定义.，解题关键是正确列方程.20．这个方程是5x2－2x－15=0（答案不唯一）【解析】试题分析：本题主要考查一元二次方程的定义，由（2）（3）可确定a c、的值，任意给出b的值即可得到所求方程.试题解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a c、，而b的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．这个方程是5x2－2x－15=0.21．(1)见解析; (2)见解析;【解析】试题分析：（1）根据正方体的表面积公式即可得；（2）互送贺卡属于双循环，根据双循环总场次的计算方法：队伍数×（队伍数-1）=总场次，即可列出方程，然后进行整理即可.试题解析：（1）6x2＝36，一般形式为6x2－36＝0；（2）x(x－1)＝1 980，一般形式为x2－x－1 980＝0.。
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2.1认识一元二次方程
1. 下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的有几个（ ） ①
()x x 2432+
=-，
②02
=+b ax ，
③
03)21(22=-+--a x a x ④02
22=-+m x x m ， ⑤x x =-522
， ⑥()
02122
=+++ax x a
A ．6个
B ． 5个
C ．4个
D ．3个
2.x x 5322
=-化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（ ）. （A ）2，-5，-3 （B ）2，-3，-5 （C ）2，5，-3 （D ）2，-5，3 3、下列叙述正确的是（ ）
A.形如ax 2+bx+c=0的方程叫一元二次方程
B.方程4x 2+3x=6不含有常数项
C.(2－x)2=0是一元二次方程
D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0
4、关于x 的方程(k 2－1)x 2 ＋ 2 (k －1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k =______时，是一元二次方程．,当k =_______时，是一元一次方程．
5、当m=_________时，方程
032)1(1
=++-+mx x
m m 是关于x 的一元二次方程。
6.填表计算：
进一步计算
十分位是几？
照此思路可以估算出x的百分位和千分位。