第十一讲 线段垂直平分线定理

第十一讲 线段垂直平分线定理
【学习目标】
1、掌握线段垂直平分线的定理和逆定理。

2、能应用线段的垂直平分线的定理和逆定理进行作图和证明。

3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。

【典型例题】
例1、如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE 是AB 的垂直平分线。

1）则BD = 。

2）若∠B = 40°，则∠BAC = °，∠DAB = °， ∠DAC = °，∠CDA = °。

3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ，△ACD 的周长为 。

10、（2007·日照）如图6，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF. （1）求证：AD ⊥CF ；
（2）连接AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由。

例2、已知：如图(1)，在Rt △ABC 中，∠
A=90°，AB=3，AC=5，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E 。

求△ABE 的周长。

E
D A
B
C
例3、公路边要建一个家乐福超市，使它到A 、B 两居民点的距离相等，如何确
定家乐福超市的位置？
例4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交B C 于点D ，如果BD=8 cm ，求AC 的长。

例5、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABC 的周长为12cm ，△ABD 的周长为9cm ，求AC 的长度。

例6、已知在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE = 3cm ，△ABD 的周长是13cm ，求△ABC 的周长。

M
N
B
A
B
D C
A
C
B
A D
E
E
D
A
B
C
经典练习
一、填空题
1、如图，△ABC 中，AB = AC ，∠A = 40°，DE 为AB 的中垂线，则∠1 = °，∠C = °，∠3 = °，∠2 = °；若△ABC 的周长为16cm ，BC = 4cm ，则AC = ，△BCE 的周长为 。

2、三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________.
3、已知线段AB 外两点P 、Q ，且PA=PB ，QA=QB ，则直线PQ 与线段AB 的关系是_________.
4、底边AB=a 的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C 在线段AB 的_________上.
5、直线 l 上一点Q 满足QA=QB ，则Q 点是直线l 与_________的交点
.
6、在△ABC 中，AB=AC=6 cm ，AB 的垂直平分线与AC 相交于E 点，△BCE 周长为10 cm ，则BC=___ cm.
7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ＞BC ，AB 的垂直平分线与AC 相交于E 点，连结BE ，若∠CBE ∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度. 二、选择题
1、下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA=PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、下列作图语句正确的是（ ）
A.过点P 作线段AB 的中垂线
B.在线段AB 的延长线上取一点C ，使AB=BC
C.过直线a ，直线b 外一点P 作直线MN 使MN ∥a ∥b
D.过点P 作直线AB 的垂线
C
B
A D
E
13
2
3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于（ ） A.37.5° B.67.5°
C.37.5°或67.5°
D.无法确定
三、解答题
1、已知，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC ，求证：AO ⊥
BC.
2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N.求证：
CM=2BM.
9．已知：如图1-3-21，△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB •上一点，•且在BD 的垂直平分线EG 上，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上．
10．如图1-3-22，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BD ，D 为△ABC 外一点，且AD=BD ，DE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，求证：DE=AE+BC ．
图1-3-21 图
1-3-22
(第8题）E D
C
B
A
【课后作业】
一、选择：
1、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ） A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点； C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。

2、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ） A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定 二、填空：
1、已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上。

2、已知：如图，∠BAC=1200
,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= 。

3、△ABC 中，∠A=500
，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 。

4、如图，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260
，则∠EAG= 。

5、如图，△ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 。

第2题 第4题 第5题
6、在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 。

7、在△ABC 中,AB=AC, ∠B=580
,AB 的垂直平分线交AC 于N,则∠NBC= 三、解答：
1、有特大城市A 及两个小城市B 、C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

2.如下图,在直线AB 上找一点P ,使PC =PD
.
8.如右图，△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线ED 交AC 于D 点. （1）当AE=13cm 时，BE= cm ；
（2）当△BEC 的周长为26cm 时，则BC= cm ； （3）当BC=15cm ，则△BEC 的周长是 cm.。