★试卷3套汇总★山东省临沂市2020年高一数学下学期期末学业水平测试试题
临沂市罗庄区高一数学下学期期末考试试题含解析
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数 ,再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.
【详解】从分别写有1,2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,
基本事件总数 ，
A. “甲站排头”与“乙站排头”B. “甲站排头"与“乙不站排尾”
C. “甲站排头”与“乙站排尾”D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”
【答案】BCD
【解析】
【分析】
互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．
【详解】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．
【答案】
【解析】
【分析】
利用 、 表示向量 ，再由 可求得实数 的值.
【详解】 ，所以， ，
则 ，
为线段 的中点，则 ，因此, .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数,考查计算能力,属于中等题。
15. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 个问题就晋级下一轮的概率等于 ________.
故答案为: .
【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.
16. 如图，在正方体 中,点 为线段 的中点，设点 在线段 上,直线 与平面 所成的角为 ，则 的最小值_________,最大值_______________.
2019-2020学年山东省临沂市高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年山东省临沂市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，其中i为虚数单位，则在复平面中在第（）象限．A．一B．二C．三D．四2．（5分）sin14°cos16°+sin76°cos74°的值是（）A．B．C．D．﹣3．（5分）某工厂12名工人的保底月薪如表所示，第80百分位是（）工人保底月薪工人保底月薪128907285022860831303305092880429401033255275511292062710122950 A．3050B．2950C．3130D．33254．（5分）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，若采取有放回简单随机抽样，则抽到的两人中有一男一女的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量，是两个非零向量，且||＝||＝|+|，则与夹角为（）A．B．C．D．6．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A．如果m∥α，n∥α，那么m∥nB．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥nC．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βD．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角不相等7．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（）A．18B．6C．3D．28．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，且a＝2b﹣c，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（）A．若z为纯虚数，则实数a的值为2B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是C．实数是z＝（为z的共轭复数）的充要条件D．若z+|z|＝x+5i（x∈R），则实数a的值为210．（5分）下列说法正确的是（）A．在△ABC中，若，则点D是边BC的中点B．已知＝（﹣1，2），＝（x，x﹣1），若（﹣2）∥，则x＝﹣1C．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若，则D．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则11．（5分）已知函数的部分图象如图，将函数f（x）的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．点是g（x）图象的一个对称中心B．是g（x）图象的一条对称轴C．g（x）在区间上单调递增D．若|g（x1）﹣g（x2）|＝4，则|x1﹣x2|的最小值为12．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝，点M 是棱AA1的中点，则下列说法正确的是（）A．异面直线BC与B1M所成的角为90°B．在B1C上存在点D，使MD∥平面ABCC．二面角B1﹣AC﹣B的大小为60°D．B1M⊥CM三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知sin（π+α）﹣3sin（﹣α）＝0，则cos2α的值为．14．（5分）数据5，7，7，8，10，11的平均数是，标准差是．15．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为π，则该圆锥的表面积为．16．（5分）如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝135°，cos A＝，则BC＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知＝（3，1）．（1）求与夹角的余弦值；（2）设，若BP⊥AC，求实数λ的值．18．（12分）某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了12个，乙同学答对了16个．假设答对每道题都是等可能的，试求：（1）任选一道题目，甲乙都没有答对的概率；（2）任选一道题目，恰有一人答对的概率．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a（sin C+cos C）．（1）求A；（2）在这三个条件中，选出两个使△ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若____，____，求△ABC的面积．20．（12分）受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学，某学校“停课不停学“，利用云课平台提供免费线上课程，该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图．（1）求图中a的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率，若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．21．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝4，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）设Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．22．（12分）已知＝（cos，﹣sin），＝（cos，cos），f（x）＝，将曲线y＝f（x）的图象向右平移得到函数y＝g（x）的图象．（1）若f（α）＝，α∈[0，π]，求的值；（2）若不等式m cos2x﹣m•g（π﹣2x）≤m+3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2019-2020学年山东省临沂市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，其中i为虚数单位，则在复平面中在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得，∴，则复平面中对应的点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2．（5分）sin14°cos16°+sin76°cos74°的值是（）A．B．C．D．﹣【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可得出．【解答】解：sin14°cos16°+sin76°cos74°＝sin14°cos16°+cos14°sin16°＝sin（14°+16°）＝sin30°＝．故选：B．【点评】熟练掌握诱导公式和两角和的正弦公式是解题的关键．3．（5分）某工厂12名工人的保底月薪如表所示，第80百分位是（）工人保底月薪工人保底月薪128907285022860831303305092880429401033255275511292062710122950 A．3050B．2950C．3130D．3325【分析】把这组数据从小到大排列，由12×80%＝9.6，得出这组数据的第80百分位是第10个数据．【解答】解：这组数据从小到大排列为：2710，2755，2850，2860，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325；由12×80%＝9.6，所以这组数据的第80百分位是第10个数据，为3050．故选：A．【点评】本题考查了百分位数的计算问题，是基础题．4．（5分）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，若采取有放回简单随机抽样，则抽到的两人中有一男一女的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：从两名男生和两名女生中任意抽取两人，采取有放回简单随机抽样，用A、B表示两名男生，c、d表示两名女生，基本事件为：AA、AB、Ac、Ad、BA、BB、Bc、Bd、cA、cB、cc、cd、dA、dB、dc、dd共16种，抽到的两人中有一男一女的基本事件是：Ac、Ad、Bc、Bd、cA、cB、dA、dB共8种，所以所求的概率是P＝＝．故选：C．【点评】本题考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．5．（5分）已知向量，是两个非零向量，且||＝||＝|+|，则与夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据条件即可得出，然后即可求出的值，从而可得出与的夹角．【解答】解：∵，∴，∴，∴，且，∴与的夹角为．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．6．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A．如果m∥α，n∥α，那么m∥nB．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥nC．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βD．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角不相等【分析】由直线与平面平行的定义结合空间两直线的位置关系判定A；由直线与平面垂直的性质判断B；由直线与平面垂直及平行的定义判断C；由平面与平面平行的性质结合线面角的定义判断D．【解答】解：对于A，如果m∥α，n∥α，那么m∥n或m与n相交或m与n异面，故A 错误；对于B，如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n，故B正确；对于C，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β或α与β相交，故C错误；对于D，如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D错误．故选：B．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．7．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（）A．18B．6C．3D．2【分析】先求出正方体的内切球的体积，再求出正方体内切球半径，由此能求出正方体的棱长．【解答】解：∵正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4，“牟合方盖”的体积为18，∴正方体的内切球的体积V球＝＝，设正方体内切球半径为r，则＝，解得r＝，∴正方体的棱长为2r＝3．故选：C．【点评】本题考查正方体的棱长的求法，考查正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，且a＝2b﹣c，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】由已知利用余弦定理可得b＝c，即可求得B＝C＝60°＝A，即可判断三角形的形状为等边三角形．【解答】解：∵A＝60°，且a＝2b﹣c，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝b2+c2﹣bc，∴（2b﹣c）2＝b2+c2﹣bc，整理可得：3b2＝3bc，∴b＝c，可得B＝C＝＝60°＝A，∴△ABC的形状为等边三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（）A．若z为纯虚数，则实数a的值为2B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是C．实数是z＝（为z的共轭复数）的充要条件D．若z+|z|＝x+5i（x∈R），则实数a的值为2【分析】根据复数的性质依次对各选项判断即可；【解答】解：复数z＝（a+i）（1+2i）＝（a﹣2）+（2a+1）i；对于A：当a＝2时，z为纯虚数，故A正确；对于B：z在复平面内对应的点在第三象限，可得，解得a；故B不对；对于C：共轭复数，需满足2a+1＝﹣2a﹣1，可得a＝，故C正确；对于D：由z+|z|＝x+5i，即2a+1＝5，可得a＝2，故D正确；故选：ACD．【点评】本题考查复数的运算和性质，共轭复数，属于基础题和易错题．10．（5分）下列说法正确的是（）A．在△ABC中，若，则点D是边BC的中点B．已知＝（﹣1，2），＝（x，x﹣1），若（﹣2）∥，则x＝﹣1C．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若，则D．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则【分析】利用向量的基本定理可判断A选项，利用向量的坐标公式可判断其它选项．【解答】解：对于A，取BC中点E则＝＝，则E点与点D重合，所以D是边BC的中点．所以A正确．对于B，﹣2＝（x+2，x﹣5）＝（﹣1，2），（﹣2）∥，所以x＝．所以B不正确．.对于C，若x＝则，所以M为AB的中点．但条件没有．所以C不正确．对于D，＝＝1+＝．所以D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查向量的基本定理和坐标运算，属于基础题．11．（5分）已知函数的部分图象如图，将函数f（x）的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．点是g（x）图象的一个对称中心B．是g（x）图象的一条对称轴C．g（x）在区间上单调递增D．若|g（x1）﹣g（x2）|＝4，则|x1﹣x2|的最小值为【分析】根据图象求解f（x）的解析式，通过平移变换求解g（x），结合三角函数的性质判断各选项即可；【解答】解：根据函数图象可得：A＝2，，可得T＝，∴＝3图象过点（），∴2＝2sin（3×+φ）可得φ＝；∴f（x）＝2sin（3x﹣）∵将函数f（x）的图象所有点的横坐标伸长到原来的，可得y＝2sin（2x﹣）再将所得函数图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin（2x+）即g（x）＝2sin（2x+）对于A：当x＝时，y＝2，故A不正确；对于B：令2x+＝+kπ，可得x＝，当k＝0时，可得是g（x）图象的一条对称轴；故B正确；对于C：令≤2x+，解得≤x≤，故C不正确；对于D：|g（x1）﹣g（x2）|＝4，可知x1取得最点点横坐标，那么x2必然是最高点横坐标，∵g（x）的周期T＝，∴则|x1﹣x2|的最小值为；故D正确；故选：BD．【点评】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．12．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝，点M 是棱AA1的中点，则下列说法正确的是（）A．异面直线BC与B1M所成的角为90°B．在B1C上存在点D，使MD∥平面ABCC．二面角B1﹣AC﹣B的大小为60°D．B1M⊥CM【分析】选项A，连接MC1，易知BC∥B1C1，故∠MB1C1即为所求．由勾股定理可知A1B1⊥B1C1，由三棱柱的性质可知BB1⊥B1C1，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°；选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，易知四边形AMDE为平行四边形，故MD∥AE，再由线面平行的判定定理即可得证；选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，则∠BNB1即为所求，在Rt△BNB1中，由三角函数可求出tan∠BNB1的值，从而得解；选项D，在△CMB1中，利用勾股定理分别算出CM、MB1和B1C的长，判断其结果是否满足≠即可．【解答】解：选项A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC∥B1C1，∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M．∵AB＝BC＝2，AC＝，∴∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，即A1B1⊥B1C1，由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1，又A1B1∩BB1＝B1，A1B1、BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°，∴选项A正确；选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，则DE ∥AM，DE＝AM，∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD∥AE，∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD∥平面ABC，即选项B正确；选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1﹣AC﹣B的平面角．在Rt△BNB1中，BB1＝，BN＝AB＝，∴tan∠BNB1＝＝，∴∠BNB1＝60°，即选项C正确；选项D，在△CMB1中，CM2＝AC2+AM2＝，＝+＝，＝＝10，显然≠，即B1M与CM不垂直，∴选项D错误．故选：ABC．【点评】本题考查空间中线面的位置关系、角的求法，要求学生熟练掌握空间中线与面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及通过平移的思想找出异面直线的平面角，并理解二面角的定义，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知sin（π+α）﹣3sin（﹣α）＝0，则cos2α的值为﹣．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可得tan a＝﹣3，利用二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：∵sin（π+α）﹣3sin（﹣α）＝0，∴﹣sin a＝3cos a，可得tan a＝﹣3，∴cos2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14．（5分）数据5，7，7，8，10，11的平均数是8，标准差是2．【分析】根据题意，先求出数据的平均数，进而求出其方差，由方差与标准差的关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，对于数据5，7，7，8，10，11，其平均数＝（5+7+7+8+10+11）＝8，方差S2＝[（5﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝4，则标准差s＝2；故答案为：8，2．【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，注意平均数、方差的计算公式，属于基础题．15．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为π，则该圆锥的表面积为12π．【分析】先由圆柱的体积公式可求得圆柱的高，再利用相似可得圆锥的高，由勾股定理可得圆锥的母线长，从而求出圆锥的侧面积，最后将圆锥的底面积和侧面积相加即可得解．【解答】解：根据题意，作出如下所示的图形：设圆锥的底面半径为R＝2，内接圆柱的底面半径为r＝1，∵内接圆柱的体积为π，∴V＝πr2•BC＝π•BC＝π，∴BC＝，∵＝，∴＝，解得AB＝，AC＝，∴圆锥的母线长AD＝＝＝4．∴该圆锥的表面积S＝πR2+πR•AD＝4π+8π＝12π．故答案为：12π．【点评】本题考查圆锥的表面积和圆柱的体积的计算，掌握圆锥、圆柱的结构特征是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．16．（5分）如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝135°，cos A＝，则BC＝4﹣4．【分析】由已知利用余弦定理可得BD的值，可求cos∠ABD＝，由题意∠ABC＝，利用诱导公式可得sin∠CBD＝cos∠ABD＝，由已知利用正弦定理可得CD＝4，在△BDC中，由余弦定理可得BC2+8BC﹣32＝0，解方程即可求解BC的值．【解答】解：∵△ABD中，AB＝5，AD＝7，cos A＝，∴由余弦定理可得BD＝＝＝8，∴cos∠ABD＝＝＝，∵AB⊥BC，∠ABC＝，∴sin∠CBD＝sin（﹣∠ABD）＝cos∠ABD＝，∵∠BCD＝135°，∴在△BDC中，由正弦定理，可得，可得CD＝4，∵在△BDC中，由余弦定理BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CD•cos∠BCD，可得：64＝BC2+32﹣2×，整理可得：BC2+8BC﹣32＝0，∴解得BC＝4﹣4，负值舍去．故答案为：4﹣4．【点评】本题主要考查了余弦定理，诱导公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和方程思想，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知＝（3，1）．（1）求与夹角的余弦值；（2）设，若BP⊥AC，求实数λ的值．【分析】（1）可得出，进而可求出，和的值，从而可求出与夹角的余弦值；（2）根据题意即可求出，然后根据BP⊥AC即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出λ的值．【解答】解：（1）由得，，，∴，∴＝；（2），∴，，∵BP⊥AC，∴，解得λ＝2．【点评】本题考查了向量加法的几何意义，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．18．（12分）某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了12个，乙同学答对了16个．假设答对每道题都是等可能的，试求：（1）任选一道题目，甲乙都没有答对的概率；（2）任选一道题目，恰有一人答对的概率．【分析】（1）设A＝“任选一道题目，甲答对”，B＝“任选一道题目，乙答对”，根据古典概型概率计算公式，得P（A）＝，P（B）＝，任选一道题目，甲乙都没有答对的概率为P（）＝P（）P（）．（2）任选一道题目，恰有一人答对的概率为P（）＝P（）+P（A）＝P（）P（B）+P（A）P（）．【解答】解：（1）设A＝“任选一道题目，甲答对”，B＝“任选一道题目，乙答对”，根据古典概型概率计算公式，得：P（A）＝＝，P（B）＝，∴P（）＝，P（）＝，∴任选一道题目，甲乙都没有答对的概率为：P（）＝P（）P（）＝＝．（2）任选一道题目，恰有一人答对的概率为：P（）＝P（）+P（A）＝P（）P（B）+P（A）P（）＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a（sin C+cos C）．（1）求A；（2）在这三个条件中，选出两个使△ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若____，____，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理进行化简可求A，（2）结合选项及余弦定理和三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵b＝a（sin C+cos C），由正弦定理＝＝得sin B＝sin A（sin C+cos C），又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴sin A cos C+cos A sin C＝sin A sin C+sin A cos C，∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，∵0＜A＜π，∴A＝，（2）方案一：选条件①和②．由正弦定理＝，得b＝＝＝．由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得，6＝4+c2﹣2×2c×，解得c＝+1，∴△ABC的面积S＝ac sin B＝×2（+1）×＝方案二：选条件①和③．由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得4＝b2+2b2﹣2b2，则b2＝4，所以b＝2．∴c＝2，∴a2+b2＝c2，△ABC为直角三角形，∴△ABC的面积S＝×2×2＝2，方案三：选条件②和③，A＝，B＝，则C＝π﹣﹣，∴sin C＝sin（+）＝由＝＝＝＝2，∴b＝2×＝，C＝2×＝+1，∴c≠b，此时三角形不存在．【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形的面积公式的应用，属于中档试题．20．（12分）受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学，某学校“停课不停学“，利用云课平台提供免费线上课程，该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图．（1）求图中a的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率，若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出a．（2）由频率分布直方图的性质能求出评分的中位数．（3）由题知评分在[60，70），[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100]的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生为D，E，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人中至少一人评分在[60，70）的频率．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.005+0.010+0.015+a+0.030）×10＝1，∴a＝0.040．（2）由频率分布直方图得：[50，80）的频率为（0.005+0.010+0.03）×10＝0.45，[80，90）的频率为0.04×10＝0.4，∴中位数为：80+＝81.25．（3）由题知评分在[60，70），[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100]的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生为D，E，则从5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共10种，其中，评分在[90，100]内的可能结果为（a，b），（a，c），（b，c），共3种，∴这2人中至少一人评分在[60，70）的频率为P＝1﹣＝．【点评】本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝4，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）设Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．【分析】（1）由题易知AB⊥AC，由根据线面垂直的判定定理可推出AB⊥平面ACD，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）过点Q作QE⊥AC于点E，则QE∥DC，由平行线的性质可求得QE＝3；根据面面垂直的性质定理可推出QE⊥平面ABC，即点Q到平面ABC的距离为QE；由BP＝BC，知S△ABP＝S△ABC；最后根据棱锥的体积公式V Q﹣ABP＝•S△ABP•QE即可得解．【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCM，∴AB∥CM，∴∠BAC＝∠ACM＝90°，即AB⊥AC，∵AB⊥DA，AC∩AD＝A，AC、AD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ACD，∵AB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：过点Q作QE⊥AC于点E，则QE∥DC，∵DQ＝DA，∴＝，∵DC＝CM＝AB＝4，∴QE＝3，∵∠ACM＝90°，△ACD由△ACM翻折而来，∴DC⊥CA，由（1）知，平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，∴DC⊥平面ABC，∴QE⊥平面ABC，即点Q到平面ABC的距离为QE，∵BP＝BC，AB＝AC＝4，且AB⊥AC，∴S△ABP＝S△ABC＝וAB•AC＝××4×4＝2，∴三棱锥Q﹣ABP的体积V Q﹣ABP＝•S△ABP•QE＝×2×3＝2．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、棱锥的体积，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及运用等体积法解决点到面的距离问题是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．（12分）已知＝（cos，﹣sin），＝（cos，cos），f（x）＝，将曲线y＝f（x）的图象向右平移得到函数y＝g（x）的图象．（1）若f（α）＝，α∈[0，π]，求的值；（2）若不等式m cos2x﹣m•g（π﹣2x）≤m+3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）先根据平面向量数量积的坐标公式结合二倍角与辅助角公式得到，再由题意求出，利用正切差角公式即可求出；（2）先根据三角函数图象变换求出函数g（x），再利用换元法把题意转化为mt2+mt+3⩾0 在t∈[﹣1，1]上恒成立，然后根据二次函数的图象与性质即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）＝，由f（α）＝，得，又α∈[0，π]，得，所以，解得，则．（2）将曲线y＝f（x）的图象向右平移，得到函数，，所以m cos2x﹣m•sin x≤m+3恒成立，原不等式等价于m sin2x+m sin x+3⩾0对任意x∈R恒成立，令t＝sin x，t∈[﹣1，1]，即mt2+mt+3⩾0 在t∈[﹣1，1]上恒成立，设h（t）＝mt2+mt+3，对称轴，当m＝0时，h（t）＝3⩾0 成立，当m＜0时，h（t）min＝h（1）＝2m+3≥0，解得，此时，当m＞0时，，解得m⩽12，此时0＜m⩽12，综上，实数m的取值范围为．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标公式，二倍角公式，辅助角公式，正切和差角公式，三角函数图象的变换，换元法的应用，不等式恒成立的转化，二次函数的图象与性质，是一道综合性比较强的题目，属于中档题．。
山东省临沂市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题解析版【全国市级联考Word】
山东省临沂市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与角3π-终边相同的角是（ ）A. 53π B.116πC. 56π-D. 23π-2. 某单位有青年职工35人，中年职工25人，老年职工15 人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（ ） A. 7B. 15C. 25D. 353. 若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为（ ） A. 150︒B. 120︒C. 60︒D. 304. 某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A. 7B. 10C. 9D. 8 5. 已知()()sin 3cos 20παπα+--=，则cos2α的值为（ ） A.45B. 45-C.35D.356. 执行如图所示的程序框图，若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）．的A. 2k <B. 3k <C. 4k <D. 5k <7. 下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的奇函数是（ ）A 3sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8. 任取一个自然数，则该数平方的末尾数是4的概率为（ ）A. 15B.310C.14D.129. 若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A. ±1B. 4±C.D. 2±10. 在区间[]0,π上随机取一个数x ，使得1sin 2x ≤的概率为（ ） A.13B.2πC. 12D.2311. 将函数()2cos 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为（ ） .A. ,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. ,16π⎛⎫-⎪⎝⎭D. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭12. ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20,OC CB CA OC CB ++== ，则·AC AB =（ ）A.32B.C. 3D. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校高三（1）班共有48人，学号依次为1,2,3,...,48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学好为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________．14. 如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量（吨)与相应的生产能耗（吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为__________．15. 若圆22:240C x y x y m +--+=与230x y +-=相交于,M N 两点，且MN =，则实数m 的值为__________．16. 若(){}{}(),,0,1,2,2,0,1,1,1AB x y x y a =∈∈-=-，则AB 与a 的夹角为锐角的概率是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量()()2,3,1,2a b ==-. （1）求()()·2a b a b -+；（2）若向量a b λ+与2a b -平行，求λ的值. 18. 已知圆C ：2268210x y x y +--+=.（1）若直线1l 过定点(1,1)A ，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y -+=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程.19. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．频率分布直方图 茎叶图 （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率． 20.平面直角坐标系xOy中，已知点122P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将向量OP 绕原点O 按逆时针方向旋转x 弧度得到向量OQ . （1）若4x π=，求点Q 坐标；（2）已知函数()·f x OP OQ =，且()1·34f f παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，若()0,απ∈，求α的值. 21. 某单位需要从甲、乙2人中选拔一人参加新岗位培训，特别组织了5个专项的考试，成绩统计如下： 第二项（1）根据有关统计知识，回答问题:若从甲、乙2人中选出1人参加新岗位培训，你认为选谁合适，请说明理由；（2）根据有关概率知识，解答以下问题： 从甲、乙2人成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为x ，抽到乙的成绩为y ，用A 表示满足条件2x y -≤的事件，求事件A 的概率.22. 已知向量()()()2cos ,1,3sin cos ,10a x b x x ωωωω==->，函数()·f x a b =，若函数()f x 的图的象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若75,126x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()65f x =-，求cos2x 的值. （3）若()1cos ,0,2x x π≥∈，且()2f x m =有且仅有一个实根，求实数m 的值. 山东省临沂市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与角3π-终边相同的角是（ ）A. 53π B.116πC. 56π-D. 23π-【答案】A 【解析】 依题意有:π5π2π33-+= 【点睛】利用终边相同的角的集合，可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.对于选择题，还可以直接加上周期的整数倍来得到结果.2. 某单位有青年职工35人，中年职工25人，老年职工15 人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（ ） A. 7 B. 15C. 25D. 35【答案】B 【解析】 比例为71355=，故样本容量为()1352515155++⋅=. 3. 若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 夹角为（ ）A. 150︒B. 120︒C. 60︒D. 30【答案】B【解析】∵||||a b =，且2a b +与b 垂直，∴(2)0a b b +⋅=，即220a b b ⋅+=，∴2||2b a b ⋅=-，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅，∴a 与b 的夹角为120︒． 故选B ．4. 某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A. 7B. 10C. 9D. 8【答案】D 【解析】甲班众数为85，故5x =，乙班中位数为83，故3y =，所以8x y +=. 5. 已知()()sin 3cos 20παπα+--=，则cos2α的值为（ ） A45B. 45-C.35D.35【答案】B 【解析】sin(π+α)−3cos(2π−α)=0，即：sin α+3cos α=0，① 又∵sin 2α+cos 2α=1，② 由①②联立解得：cos 2α=110. ∴cos2α=2cos 2α−1=45-. 故选B.6. 执行如图所示的程序框图，若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）．.A. 2k <B. 3k <C. 4k <D. 5k <【答案】C 【解析】1,1k S ==，判断是，2,2Sk ，判断是，6,3S k，判断是，15,4Sk ==，判断是，31,5S k ==，判断否，输出S ，故填5k <.7. 下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的奇函数是（ ）A. 3sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】对于A ，由于cos2x y =-，故为偶函数.对于B ，由于sin 2y x =，故函数在区间上为减函数.对于C ，由于sin 2y x =-，在区间上递增，符合题意.对于D ，cos y x =为偶函数. 8. 任取一个自然数，则该数平方的末尾数是4的概率为（ ） A.15B.310C.14D.12【答案】A【解析】自然数的个位数有09共10种可能，其中平方末尾数为4，则需要个位数为2,8两种情况，故概率为21105=. 9. 若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A. ±1B. 4±C.D. 【答案】B 【解析】圆的圆心为()1,3-，半径2r，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心到直线的距离为1，1=，解得a =10. 在区间[]0,π上随机取一个数x ，使得1sin 2x ≤的概率为（ ） A.13B.2πC. 12D.23【答案】A 【解析】1sin 2x ≤则π5π0,,π66x ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故概率为π216π3⋅=.11. 将函数()2cos 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为（ ） A. ,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. ,16π⎛⎫-⎪⎝⎭D. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】横坐标缩短为原来一半后函数为π2cos 213y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再向右平移π6后得到()ππ2π2cos 212cos 21633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.将选项逐一代入验证可知D 选项符合题意.【点睛】本题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的对称中心等问题. 横坐标缩短为原来一半这个属于伸缩变化，这里要注意就是缩小为原来的一半，x 的系数变为原来的两倍.左右平移时，要注意x 的系数不为1的情况.余弦函数的对称中心即其零点.12. ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20,OC CB CA OC CB ++== ，则·AC AB =（ ）A.32C. 3D. 【答案】C 【解析】如图所示，由于20OC CB CA ++=，故O 为AB 中点，也即AB 为圆的直径，2AB =.由于12CB OC AB ==，所以π,6A AC ∠==πcos 36AC AB AC AB ⋅=⋅⋅=.【点睛】本题主要考查向量运算的平行四边形法则，考查三角形一边中线的向量表示，由于2CB CA OC +=-，所以O 为AB 中点，也即AB 为圆的直径.这个性质要准确的记忆下来并能数量运用.直径所对的圆周角为直角.在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校高三（1）班共有48人，学号依次为1,2,3,...,48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学好为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________． 【答案】27 【解析】依题意可知抽样的间隔为8，故还有一个同学学号为19827+=.14. 如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量（吨)与相应的生产能耗（吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为__________．【答案】2.8 【解析】由题意得，3456911,424m x y ++++=== ，即数据的样本中心911(,)24m+， 代入回归直线方程，得1190.70.3 2.842m m +=⨯+⇒=. 考点：回归直线方程的应用.15. 若圆22:240C x y x y m +--+=与230x y +-=相交于,M N 两点，且5MN =，则实数m 的值为__________． 【答案】4 【解析】圆心为()1,2，圆心到直线的距离d ==，故圆的半径为2221,15r d r ⎛=+== ⎝⎭，根据圆的半径，有51m -=，解得4m =.16. 若(){}{}(),,0,1,2,2,0,1,1,1AB x y x y a =∈∈-=-，则AB 与a 的夹角为锐角的概率是__________． 【答案】59【解析】AB 的基本事件有()()()()()()()()()0,2,0,0,0,1,1,2,1,0,1,1,2,2,2,0,2,1---，其中使得0AB a ⋅>的有()()()()()()0,2,1,2,1,0,2,2,2,0,2,1---，但()2,2-与a 同向，故排除，所以一共有()()()()()0,2,1,2,1,0,2,0,2,1--等5种，故概率为59. 【点睛】本题主要考查了利用列举法求解古典概型，考查向量的坐标运算，还考查了向量共线，包括同向与反向.在例举基本事件时，要做到不重不漏，本题由于,x y 是点的坐标，有顺序，故基本事件有9种，然后计算0AB a ⋅>，由此可得到符合题意的事件的总数，并求得概率.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量()()2,3,1,2a b ==-. （1）求()()·2a b a b -+；（2）若向量a b λ+与2a b -平行，求λ的值.【答案】(1) ()()·27a b a b -+=; (2) 12λ=- 【解析】试题分析：（1）先计算()()3,1,20,7a b a b -=+=，由此求得两者的数量积.（2）先计算()()2,32,25,4a b a b λλλ+=-+-=，利用两个向量共线的性质，可以23254λλ-+=， 解得λ的值. 试题解析： (1)向量()()2,3,1,2a b ==-，()()3,1,20,7a b a b ∴-=+=，()()·27a b a b ∴-+=.(2)()()2,32,25,4a b a b λλλ+=-+-=向量a b λ+与2a b -平行，23254λλ-+∴=，解得12λ=-.18. 已知圆C ：2268210x y x y +--+=.（1）若直线1l 过定点(1,1)A ，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y -+=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程. 【答案】(1) 1x =和51270x y -+=;(2) ()()22689x y -+-=或()()22119x y ++-= 【解析】试题分析：（1）先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程.（2）设出圆D 圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a 的值，从而求得圆D 的方程. 试题解析：(1)圆22:68210C x y x y +--+=化为标准方程为()()22344x y -+-=，所以圆C 的圆心为()3,4，半径为2，①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意.②若直线1l 的斜率存在,设直线1l 的方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=.由题意知，圆心()3,4到,已知直线1l 的距离等于半径22=2=，解得512k =，所以，直线方程为51270x y -+=，综上，所求1l 的直线方程是1x =和51270x y -+=. (2) 依题意设(),2D a a +，又已知圆C圆心为()3,4，半径为2，由两圆外切，可知5CD =，5=，解得1a =-或6a =，()1,1D ∴-或()6,8D ，∴所求圆D 的方程为()()22689x y -+-=或()()22119x y ++-=.19. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．频率分布直方图 茎叶图 （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率． 【答案】（Ⅰ）500.030,0.004n x y ===，，; （Ⅱ）1021P = 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图易知[)[)506090,100，，组的频数，由频率分布直方图可求[)5060，组的频率，由频率公式mp n=可求样本容量n ，进而求得[]90,100组的频率，从而求得y ，（Ⅱ）在第一问基础上，可求[)8090，组的人数，这样分别用字母表示出[)8090，，[]90,100两组的元素，一一列举出从中任取两两人的所有可能组合，得解．试题解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯的（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别为，分数在[90，100）有2人，分别为，共7人，从中任意抽取2个人共有如下21种不同方法 ：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中至少有一个同学的成绩在有11种，所以至少有一个同学的成绩在的概率为．考点：茎叶图，频率分布直方图及古典概型中的概率问题．【方法点晴】本题把茎叶图和频率分布直方图结合起来考查统计问题，很有创意．茎叶图给出了[)5060，的频数，频率分布直方图给出了样本中[)5060，的频率，二者一联系，便得到样本容量n ，其他量的求解就容易多了；求解“至少”“至多”这类问题的概率，可直接求解，也可以间接求解，本题第二问是“从80分以上的人中任取两人”只有两种情况[)8090，，[]90,100，所以直接求解即可．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点12P ⎫⎪⎪⎝⎭，将向量OP 绕原点O 按逆时针方向旋转x 弧度得到向量OQ . （1）若4x π=，求点Q 坐标；（2）已知函数()·f x OP OQ =，且()·3f f παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，若()0,απ∈，求α的值.【答案】(1) ,44⎛ ⎪ ⎪⎝⎭；(2) 4πα=或12π【解析】试题分析：（1）依题意可知P 点在单位圆上，且对应的角度为π6，故cos ,sin 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，逆时针旋转π4后，角度为ππ64+，根据两角和的余弦和正弦公式，可求得Q 点的坐标.（2）先求得()f x 的表达式为()cos f x x =，由此化简()·3f f παα⎛⎫-=⎪⎝⎭得sin 262πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求得4πα=或12π. 试题解析：(1)由1,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭可得cos ,sin 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1cos cos cos sin sin 64646422224ππππππ⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭，1sin sin cos cos sin 646464222ππππππ⎛⎫+=+=⨯-=⎪⎝⎭∴点Q 的坐标为⎝⎭. (2)由31cos ,sin ,,6622OQ x x OP ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得()31·cos sin cos cos 262666f x OP OQ x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()21·cos cos cos cos 3322f f ππααααααα⎛⎫⎛⎫∴-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos211sin 24426απαα+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由11sin 2426πα⎛⎫++= ⎪⎝⎭得sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22,63k k Z ππαπ+=+∈或222,63k k Z ππαπ+=+∈，因为()0,απ∈，所以4πα=或12π. 21. 某单位需要从甲、乙2人中选拔一人参加新岗位培训，特别组织了5个专项的考试，成绩统计如下：（1）根据有关统计知识，回答问题:若从甲、乙2人中选出1人参加新岗位培训，你认为选谁合适，请说明理由；（2）根据有关概率知识，解答以下问题：从甲、乙2人的成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为x ，抽到乙的成绩为y ，用A 表示满足条件2x y -≤的事件，求事件A 的概率.【答案】(1) 派甲适合；(2) 15【解析】试题分析：（1）计算两者成绩的平均数和方差，平均数相等，故选择方差较小的比较稳定.（2）利用列举法列出所有的可能性有25种，其中符合题意的有5种，由此求得概率为15. 试题解析：(1)甲的平均成绩为8182799687855x ++++==甲，乙的平均成绩为9476809085855x ++++==乙，故甲乙二人的平均水平一样. 甲的成绩方差()521137.25i i S x x ==-=∑甲甲，乙的成绩方差()521142.45i i S x x ==-=∑乙乙，22S S ∴<甲乙，故应派甲适合.(2)从甲乙二人的成绩中各随机抽一个，设甲抽到的成绩为x ，乙抽到的成绩为y ，则所有的(),x y 有()()()()()81,94,81,76,81,80,81,90,81,85, ()()()()()82,94,82,76,82,80,82,90,82,85, ()()()()()79,94,79,76,79,80,79,90,79,85, ()()()()()96,94,96,76,96,80,96,90,96,85, ()()()()()87,94,87,76,87,80,87,90,87,85,共25 个，其中满足条件2x y -≤ 的有，()()()()()81,80,82,80,79,80,96,94,87,85,共有5 个，所求事件的概率为51255= . 【点睛】本题主要考查样本均值和方差.考查了利用列举法求解古典概型的方法和策略.平均数相同的情况下，方差越小表示的就是越稳定.在利用列举法求解古典概型的问题时，列举要做到不重不漏，可以考虑利用属性图等知识辅助列举，然后根据题目所求得到符合题意的方法数，由此求得概率. 22. 已知向量()()()2cos ,1,3sin cos ,10a x b x x ωωωω==->，函数()·f x a b =，若函数()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若75,126x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()65f x =-，求cos2x 的值. （3）若()1cos ,0,2x x π≥∈，且()2f x m =有且仅有一个实根，求实数m 的值. 【答案】(1) (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）2m =或1m =-【解析】试题分析：（1）首先化简()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用函数()f x 图象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π得到周期为π，由此求得ω的值，即求得函数的表达式，由此求和函数的单调区间.（2）利用（1）的结论的有()62sin 265f x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即3sin 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由此求得4cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用cos 2cos 266x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭展开后可求得cos2x 的值.（3）先根据1cos 2≥x 求得0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.在同一直角坐标系中作出()2sin 4,6y x g x m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭两个函数图象，可知2m =或1m =-. 试题解析：(1)函数()2·23sin cos 2cos 1f x a b x x x ωωω==-+ cos22sin 26x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，函数()f x 图象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π，2,22T ππωπ∴=∴==，解得1ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得2222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)由（1）得()632sin 2,sin 26565f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 753,,2,12662x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 265x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭431552⎛⎫⎛⎫---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()22sin 46y f x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，1cos 2x ≥，且余弦函数在()0,π上是减函数，0,3x π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，在同一直角坐标系中作出()2sin 4,6y x g x m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭两个函数图象，可知2m =或1m =-. 【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和降次公式以及辅助角公式化简三角恒等式，考查了三角函数图像与性质，其中包括三角函数的对称轴及单调区间.第二问求解某个角的三角函数值，利用角的变换可以使得运算减少.第三问利用数形结合的思想方法，利用两个函数图像的交点可求得所要的m 的值.。
2020-2021学年山东省临沂市兰山区、兰陵县高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年山东省临沂市兰山区、兰陵县高一（下）期末数学试卷1. 用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )A. 110，110B. 310，15C. 15，310D. 310，3102. 已知复数z 满足z(1−i)=2−i ，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是x −，方差是S 2，则2x 1+3，2x 2+3，…，2x n +3的平均数和方差分别是( )A. x −与S 2 B. 2 x −+3 和S 2C. 2 x −+3 和 4S 2D. 2x −+3 和 4S 2+12S +94. 某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数 0 1 234≥5 概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为( )A. 0.16B. 0.26C. 0.56D. 0.745. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =23, y =13 B. x =13, y =23 C. x =14, y =34 D. x =34, y =146. 下列叙述正确的是( )A. 已知a ，b 是空间中的两条直线，若a ∩b =⌀，则直线a 与b 平行或异面B. 已知l 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，若l ∩α≠⌀，则l ⊂α或l与α只有一个公共点C. 已知α，β是空间两个不同的平面，若α∩β≠⌀，则α，β必相交于一条直线D. 已知直线l 与平面α相交，且l 垂直于平面α内的无数条直线，则l ⊥α7. 已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的23，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为( )A. 16πB. 27πC. 36πD. 54π8. 在一次试验中，若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P(A)=2−a ，P(B)=4a −5，则实数a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (54,32)C. (54,43)D. (54,43]9. 下面是关于复数z =2−1+i 的四个命题，其中真命题为( )A. z 2=2iB. |z|=2C. z 的虚部为−1D. z 的共轭复数为1+i10. 下面结论正确的是( )A. 若P(A)+P(B)=1，则事件A 与B 是互为对立事件B. 若P(AB)=P(A) P(B)，则事件A 与B 是相互独立事件C. 若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B −也是互斥事件D. 若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B −也是相互独立事件11. 如图，AC =2R 为圆O 的直径，∠PCA =45°，PA 垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点A ，C 重合的点，AS ⊥PC 于点S ，AN ⊥PB 于点N ，则下列选项正确的是( )A. 平面ANS ⊥平面PBCB. 平面ANS ⊥平面PABC. 平面PAB ⊥平面PBCD. 平面ABC ⊥平面PAC12. 在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是( )A. AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ C. 若AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量 D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的最大值为1813. 总体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成．现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1～100范围内的整数随机数的开始部分数据(如下)，则选出来的第5个个体的编号为______．8 44 2 17 8 31 57 4 55 6 88 77 74 47 7 21 76 33 50 6314. 已知O 为坐标原点，向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，若2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=______．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，①若sinA >sinB ，则A >B ；②若sin2A =sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形； ③若cos 2A +cos 2B −cos 2C =1，则△ABC 为直角三角形； ④若△ABC 为锐角三角形，则sinA <cosB ． 以上结论中正确的有______.(填正确结论的序号)16. 已知一个高为√3的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2√3的等边三角形，则三棱锥的表面积为 ，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为 ． 17. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=−3．(1)求|a ⃗ −b ⃗ |；(2)若向量b ⃗ 与λa ⃗ +b ⃗ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．18. 如图，四边形ABCD 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BC =3，DE =CD =2FB =2． (1)证明：平面AED//平面BCF ． (2)求三棱锥B −CEF 的体积．19. 设a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若b −acosC =√33asinC ．(1)求角A ；(2)若a =2，△ABC 的周长的为6，求△ABC 的面积．20. 甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为34，乙每轮答对的概率为23.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求：(1)甲、乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率； (2)该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率．21.如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：(1)求成绩在80～90这一组的频数；(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；(3)从成绩是50分以下和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率．22.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD//BC，且AD=2BC，Q为BB1的中点，过A1，Q，D三点的平面记为α．(Ⅰ)证明：平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD；(Ⅱ)若AA1=3，BC=CD=√3，∠BCD=120°，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．答案和解析1.【答案】A【解析】解：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，∵总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为110，故选：A．在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，结合已知中的总体容量，可得答案．本题考查的知识点是简单随机抽样，正确理解简单随机抽样中的等可能性，是解答的关键．2.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，进一步得到的坐标得答案．【解答】解：∵(1−i)z=(2−i)，∴z=2−i1−i =(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+i−i22=3+i2，则在复平面内对应的点的坐标为(32,12)，位于第一象限．故选：A．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意知，1n (x1+x2+x3+⋯+x n)=x−，1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(x n−x−)2]=S2，所以2x1+3，2x2+3，…，2x n+3的平均数为1n(2x1+3+2x2+3+2x3+3+⋯+ 2x n+3)=2x−+3．2x1+3，2x2+3，…，2x n+3的方差为：1n[(2x1+3−2x−−3)2+(2x2+3−2x−−3)2+⋯+(2x n +2−2x −−3)2]=4S 2． 故选：C ．直接根据求平均数和方差的计算公式写出后整理成含：1n (x 1+x 2+x 3+⋯+x n )=x −和1n[(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+⋯+(x n −x −)2]=S 2的形式就可求出．本题考查了平均数和方差，考查了公式的记忆，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数和方差，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点．4.【答案】D【解析】解：由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得： 至少有两人排队的概率为： P =1−P(X =0)−P(X =1) =1−0.1−0.16 =0.74． 故选：D ．利用互斥事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】 【分析】本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量基本定理求出x ，y 的值 【解答】解：由题意，∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即x =23, y =13 故选：A ．6.【答案】ABC【解析】解：对于A ，根据空间中直线的位置关系有：相交，平行，异面，由题意可知，a ∩b =⌀，说明直线a 与b 不相交，即直线a 与b 平行或异面，A 正确；对于B ，根据直线与平面的位置关系有：直线与平面相交，直线与平面平行，直线在平面内，因为l ∩α≠⌀，所以直线l 与平面α不平行，即直线与平面相交或B 直线在平面内， 亦即l ⊂α或l 与α只有一个公共点，正确；对于C ，因为平面与平面的位置关系有：相交或平面，因为α，β是空间两个不同的平面，而α∩β≠⌀，所以平面α与β相交，即α，β必相交于一条直线，C 正确；对于D ，当直线l 与平面α相交，且l 垂直于平面α内的无数条直线，若这些直线中没有相交直线，则l 不一定垂直平面α，D 不正确； 故选：ABC ．根据各选项对应的知识逐个判断即可解出．对于A ，根据空间直线位置关系的定义即可判断；对于B ，根据线面位置关系的定义即可判断；对于C ，根据平面与平面的位置关系的定义即可判断； 对于D ，根据线面垂直的判定定理即可判断．本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系的理解和应用，以及线面垂直的判定定理的理解，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：设圆柱的高为h，底面圆半径为r，∵圆柱的侧面积等于其表面积的23，且其轴截面的周长为24，∴{2πrℎ=23(2πr2+2πrℎ)2ℎ+4r=24，解得r=3，ℎ=6，∴该圆柱的体积为V=πr2ℎ=π×32×6=54π．故选：D．设圆柱的高为h，底面圆半径为r，由圆柱的侧面积等于其表面积的23，且其轴截面的周长为24，列方程组求出r=3，ℎ=6，由此能求出该圆柱的体积．本题考查圆柱的体积的求法，考查圆柱的侧面积、表面积、体积、轴截面周长等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)=2−a，P(B)=4a−5，所以{0<2−a≤10<4a−5≤10<(2−a)+(4a−5)≤1，解得54<a≤43，即a的取值范围为(54,43 ]；故选：D．根据题意，由概率的性质可得关于a的不等式组，然后求出a的范围．本题考查互斥事件的概率和性质，关键是得到关于a的不等式组，属于基础题．9.【答案】AC【解析】解：∵z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，∴|z|=√2，z2=(−1−i)2=2i，z的虚部为−1，z的共轭复数为−1+i．故选：AC．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数的性质，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A：例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样，P(A)为选中a、b两个球的概率：0.5，P(B)为选中b，c两个球的概率：0.5，P(A)+P(B)=1，但A，B不是对立事件．故A错误；对于B，若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A与B是相互独立事件，故B正确；对于C，假设一个随机事件由A、B、C、D这4个彼此互斥的基本事件构成，则事件A−中含有事件B、C、D，事件B−中含有事件A、C、D，则A与B−不互斥，故C错误；对于D，若A与B相互独立，则A与B−，B与A−，A−与B−都是相互独立事件，故D正确，故选：BD．根据对立事件、互斥事件定义逐一进行判断即可本题考查命题真假性的判断，考查相互独立事件，考查对立事件，互斥事件，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：AC为圆O的直径，∠PCA=45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，在A中，PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN，∵AN⊥PB于N，PB∩BC=B，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，故A正确；在B中，∵AS⊥PC，AN⊥PC，AS∩AN=A，∴PC⊥平面ANS，∵PB∩PC=P，∴PB与平面ASN相交但不垂直，∵PA∩PC=P，∴PA与平面ASN相交但不垂直，∴平面ANS⊥平面PAB不成立，故B错误．在C中，∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，故C正确；在D中，∵PA垂直于圆O所在的平面，PA⊂平面PAC，∴平面ABC ⊥平面PAC ，故D 正确；故选：ACD ．在A 中，推导出PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面PAB ，BC ⊥AN ，再由AN ⊥PB ，得AN ⊥平面PBC ，从而平面ANS ⊥平面PBC ；在B 中，在D 中，由AS ⊥PC ，AN ⊥PC ，得PC ⊥平面ANS ，进而推导出平面ANS ⊥平面PAB 不成立；在C 中，由PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，得BC ⊥平面PAB ，从而平面PAB ⊥平面PBC ； 在D 中，则PA 垂直于圆O 所在的平面，得平面ABC ⊥平面PAC ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题．对选项 A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确．对选项C ，首先根据已知得到AD 为∠BAC 的平分线，即AD ⊥BC ，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确．对选项D ，首先根据A ，P ，D 三点共线，设BP⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤t ≤1，再根据已知得到{λ=t μ=1−t 2，从而得到y =λμ=t(1−t 2)=−12(t −12)2+18，即可判断选项 D正确．【解答】解：如图所示：对选项A,AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误； 对选项B ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 故B 正确；对选项C,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示平行于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量， 由平面向量加法可知：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |为∠BAC 的平分线表示的向量， 为为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以AD 为∠BAC 的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD ⊥BC ，如图所示：BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量，故选项 C 正确；对选项 D ，如图所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线，设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤t ≤1， 又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{λ=t μ=1−t 2，0≤t ≤1， 令y =λμ=t ×1−t 2=−12(t −12)2+18， t =12时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确．故选：BCD ．13.【答案】31【解析】解：根据随机数法选取的规则是选出的样本编号为1～100范围内的整数，且与前面重复的数据不再出现，所以选出来的前5个个体编号为：8，44，2，17，31，...；所以第5个个体的编号为31．故答案为：31．根据随机数法选取的规则是选出的样本编号是规定的范围内整数，且与前面重复的数据不再出现，由此得出写出抽取的样本个体编号．本题考查了随机数法选取样本编号的应用问题，是基础题．14.【答案】√22【解析】解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴2(OP⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(−1,1)； ∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22． 故答案为：√22． 根据2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，带入OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标即可求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，从而求出|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |．考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，向量坐标的加法运算．15.【答案】①③【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于①，由正弦函数的性质得：若sinA >sinB ，则A >B ，故①正确；对于②，若A =15°，B =75°，则sin2A =sin2B ，但△ABC 不是等腰三角形，故②错误；对于③，若cos 2A +cos 2B −cos 2C =1，则1−sin 2A +1−sin 2B +sin 2C =2，∴sin 2A +sin 2B =sin 2C ，∴a 2+b 2=c 2，∴△ABC 为直角三角形；④若△ABC 为锐角三角形，当A =80°，B =40°时，sinA >cosB.故④错误．故答案为：①③．对于①，由正弦函数的性质得：若sinA>sinB，则A>B；对于②，若A=15°，B=75°，则△ABC不是等腰三角形；对于③，推导出a2+b2=c2，从而△ABC为直角三角形；④当A=80°，B=40°时，sinA>cosB．本题考查命题真假的判断，考查三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】9√34√3π27【解析】解：如图，三棱锥A−BCD的底面是边长为2√3的等边三角形，设G为底面三角形的外心，连接AG，则AG⊥底面ABC，且AG=√3．连接DG交BC于E，则DE⊥BC，且GE=13DE=√(2√3)2−(√3)2=13×3=1．连接AE，由AG⊥底面BCD，得AG⊥BC，又DE⊥BC，AG∩DE=G，∴BC⊥平面ADE，则AE⊥BC，即AE为正三棱锥A−BCD的斜高．AE=√AG2+GE2=√3+1=2．则三棱锥的表面积为3×12×2√3×2+12×2√3×2√3×√32=9√3；设三棱锥内切球的半径为r，由等体积法可得：13×9√3r=13×3√3×√3，解得r=√33．∴V的最大值为43π×(√33)3=4√3π27．故答案为：9√3；4√3π27．由题意画出图形，求出三棱锥的斜高，利用三角形面积公式求三棱锥的表面积；再由等体积法求出正三棱锥内切球的半径，由球的体积公式可得三棱锥内球的体积的最大值．本题考查三棱锥体积与内切球体积的计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)∵(a⃗+2b⃗ )⋅(2a⃗−b⃗ )=2a⃗2−a⃗⋅b⃗ +4a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=3a⃗⋅b⃗ −6=−3得a⃗⋅b⃗ =1，则(a⃗−b⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =1+4−2=3，得|a⃗−b⃗ |=√3．(2)由向量b⃗ 与λa⃗+b⃗ 的夹角为锐角，可得b⃗ ⋅(λa⃗+b⃗ )>0.即有λ>−4．而当向量b⃗ 与λa⃗+b⃗ 同向时，可知λ=0，综上所述λ的取值范围为(−4,0)∪(0,+∞)．【解析】(1)根据向量数量积的公式进行计算即可．(2)根据向量夹角与向量数量积的关系进行求解即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据向量长度，向量夹角与数量积的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．18.【答案】(1)证明：∵ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，∴BF//DE．又∵DE⊂平面ADE.BF⊄平面ADE，∴BF//平面ADE．在矩形ABCD中，BC//AD，且AD⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC//平面ADE．又BC∩BF=B，∴平面AED//平面BCF；(2)解：∵FB⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴FB⊥CD．在矩形ABCD中，BC⊥CD．又FB∩BC=B，∴CD⊥平面FBC．由已知可得ED//平面BCF，∴点E到平面BCF的距离为CD，∴V B−CEF=V E−BCF=13S△PCF⋅CD=13×12×3×1×2=1．【解析】(1)由已知得BF//DE，即可得到BF//平面ADE.在矩形ABCD中，有BC//AD，则BC//平面ADE.由平面与平面平行的判定可得平面AED//平面BCF；(2)由已知得FB⊥CD，在矩形ABCD中有BC⊥CD.可得CD⊥平面FBC，进一步得到点E到平面BCF的距离为CD，再由等体积法求三棱锥B−CEF的体积．本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：(1)由b−acosC=√33asinC，及正弦定理可得sinB−sinAcosC=√33sinAsinC．由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA带入上式，整理得√33sinAsinC=sinCcosA．因为sinC>0，所以tanA=√3．因为A∈(0,π)，所以角A=π3．(2)∵△ABC的周长为6，得b+c=4，由a2=b2+c2−2bcosA.可得4=b2+c2−bc，即(b+c)2−3bc=4．解得bc=4，∴12bcsinA=√3．所以△ABC的面积为√3．【解析】(1)直接利用转换关系，利用正弦定理的应用和三角函数的值的应用求出A的值；(2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)根据题意，用A1、A2分别表示甲在两轮比赛中答对1道题和2道题，用B1、B2分别表示乙在两轮比赛中答对1道题和2道题，则P(A1)=C21×34×(1−34)=38，P(A2)=C22×(34)2=916，P(B1)=C21×23×(1−23)=49，P(B2)=C22×(23)2=49，(2)根据题意，该队伍在两轮比赛中答对3道题，即“甲答对2道乙答对1道”或者“甲答对1道乙答对2道”，则P(A2B1)=P(A2)P(B1)=916×49=14，P(A1B2)=P(A1)P(B2)=38×49=16，故该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率P=P(A2B1)+P(A1B2)=14+16=512．【解析】(1)根据题意，用A1、A2分别表示甲在两轮比赛中答对1道题和2道题，用B1、B2分别表示乙在两轮比赛中答对1道题和2道题，由相互独立事件的概率计算公式计算可得答案；(2)该队伍在两轮比赛中答对3道题，即“甲答对2道乙答对1道”或者“甲答对1道乙答对2道”，结合(1)的结论，由互斥事件概率公式计算可得答案．本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．21.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质知，(0.005+2a+0.015+0.025+0.035)×10=1，∴a=0.01，∴80～90这一组的频率为0.01×10=0.1，频数为40×0.1=4．(2)这次竞赛成绩的平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+ 95×0.05=68.5．因为40～60的频率为0.1+0.15=0.25<0.4，40～70这一组的频率为0.25+0.25= 0.5>0.4，所以，40百分位数在60～70这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，所以40百分位数为60+10×(0.15÷0.25)=66；(3)记选出的2人不在同一分数段为事件E，40～50之间的人数为40×0.1=4人，设为a，b，c，d；90～100之间有40×0.05=2人，设为1，2．从这6人中选出2人，有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,1)，(a,2)，(b,c)，(b,d)，(b,1)，(b,2)，(c,d)，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2)共15个样本点，其中事件E包括：(a,1)，(a,2)，(b,1)，(b,2)，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，共8个基本事件，则P(E)=815．【解析】(1)由频率和为1可求得a的值，由频率=频率/组距×组距，频数=样本容量×频率，即可得解；(2)由图计算可得40百分位数在60～70这一组内，再由公式即可计算出结果；(3)利用列举法列出样本总数和基本事件数，即可算出概率．本题考查频率分布直方图的概念与数字特征，熟练掌握平均数、中位数的计算方法是解题的关键，还考查等可能事件的概率计算，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．22.【答案】(Ⅰ)证明：如图，延长AB，DC交于点P，∵AD//BC，且AD=2BC，∴AB=BP，又∵Q为BB1的中点，∴A1，Q，P三点共线，此时平面α与平面ABCD的交线为CD，又平面ABCD//平面A1B1C1D1，根据面面平行的性质定理可得，平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD；(Ⅱ)解：在梯形ABCD中，∵BC=CD=√3，∠BCD=120°，∴BD=3，AD=2√3，∠ADB=π6，得AB=√3，∠DAB=π3，说明梯形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=3，可知△ADP为等边三角形，连接AC、A1C，则AC⊥CD，又AA1⊥CD，∴CD⊥平面AA1C，此时∠A1CA就是平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，在直角△A1CA中，AC=AA1=3，∴∠A1CA=π4，即平面α与底面ABCD所成二面角的大小为π4．【解析】(Ⅰ)延长AB，DC交于点P，由已知可得AD//BC，且AD=2BC，则AB=BP，得到A1，Q，P三点共线，此时平面α与平面ABCD的交线为CD，再由面面平行的性质可得平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD；(Ⅱ)在梯形ABCD中，由已知求得ABCD是等腰梯形，进一步得到△ADP为等边三角形，连接AC、A1C，则AC⊥CD，可得∠A1CA就是平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，在直角△A1CA中，求得∠A1CA=π4，即平面α与底面ABCD所成二面角的大小为π4．本题考查空间几何体的线面位置关系，空间想象能力，空间角的计算问题，是中档题．。
山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
2019-2020学年下学期高一质量检测数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡上；2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足25zi i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. ()2,5 B. ()2,5-C. ()5,2-D. ()5,2-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意两边同时除以i 可求出复数z ，然后即可求出z 在复平面上对应的点的坐标. 【详解】解：因为25zi i =+，所以2552iz i i+==-，故z 在复平面上对应的点的坐标为()5,2-.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基础题.2. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.110B.15C.310D.25【答案】D 【解析】【分析】先求出基本事件总数25n =，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数5525n =⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有10m =个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率102255p ==， 故选：D.【点睛】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题.3. 如图所示的直观图中，2O A O B ''''==，则其平面图形的面积是（ ）A. 4B. 2C. 22D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由斜二测画法还原出原图，求面积【详解】解：由斜二测画法可知原图如图所示， 则其面积为12442S =⨯⨯=， 故选：A【点睛】此题考查直观图与平面图形的画法，考查计算能力，属于基础题 4. 已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.34π 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直可得(2)0a a b ⋅-=，结合数量积的定义表达式可求出2cos ,2aa b a b=，又||2||a b =，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小.【详解】解：因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=， 因为||2||a b =，所以22cos ,222aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解.本题的关键是由垂直求出数量积为0.5. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】 【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】A.若//l α，//l β，则α与β可能平行，也可能相交，所以不正确. B.若αβ⊥，//l α，则l 与β可能的位置关系有相交、平行或l β⊆,所以不正确. C.若αβ⊥，l α⊥，则可能l β⊆，所以不正确.D.若//l α，l β⊥，由线面平行的性质过l 的平面与α相交于l '，则l l '，又l β⊥.所以l β'⊥，所以有αβ⊥，所以正确. 故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.6. 已知圆锥的顶点为P ，母线PA ，PB 所成角的余弦值为34，PA 与圆锥底面所成角为60︒，若PAB △ ）．A. B.C.3D.3【答案】C 【解析】 【分析】设底面半径为OA r =，根据线面角的大小可得母线长为2r ，再根据三角形的面积得到r 的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案； 【详解】如图所示，设底面半径为OA r =，PA 与圆锥底面所成角为60︒，∴60PAO ︒∠=， ∴2PA PB r ==，母线PA ，PB 所成角的余弦值为34， ∴7sin APB ∠=，∴217(2)722r r == ∴211()32633V S PO r r π=⋅⋅=⋅=，故选：C.【点睛】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.7. 已知数据122020,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为4，若()()23,1,2,,2020i i y x i =--=⋅⋅⋅，则新数据122020,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为（ ）A. 16B. 13C. 8-D. 16-【答案】A 【解析】 分析】根据方差的性质直接计算可得结果.【详解】由方差的性质知：新数据122020,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为：()22416=-⨯. 故选：A【点睛】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题. 8.∆ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 22a ，则ba=（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简等式得sinB sinA ，从而得到b a ，可得答案．【详解】∵△ABC 中，asinAsinB+bcos2A a ，∴根据正弦定理，得sin 2AsinB+sinBcos 2A sinA ，可得sinB （sin 2A+cos 2A sinA ，∵sin 2A+cos 2A ＝1，∴sinB sinA ，得b a ，可得ba故选D ．【点睛】本题考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分.9. 若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙不站排尾” C. “甲站排头”与“乙站排尾” D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCD 【解析】 【分析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．【详解】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B 、C 、D 中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥． 故选BCD ．【点睛】本题考查互斥事件的概念，判断是否是互斥事件，就是判断它们能否同时发生，能同时发生的就不是互斥事件，不能同时发生的就是互斥事件．10. （多选题）下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（ ）A. 甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B. 甲同学的成绩的中位数在115到120之间C. 甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D. 甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频数分布表中的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可． 【详解】解：对于A ，甲同学的成绩的平均数种()110512021301401235x ≤+⨯++=甲， 乙同学的成绩的平均数()11051151251351451255x ≥++++=乙， 故A 错误；由题图甲知，B 正确；对于C ，由题图知，甲同学的成绩的极差介于()30,40之间，乙同学的成绩的极差介于()35,45之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差， 故C 错误；对于D ，甲同学的成绩的中位数在115~120之间，乙同学的成绩的中位数在125~130之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数， 故D 正确. 故选:BD.【点睛】本题考查了频数分布与应用问题，是基础题．11. 已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A. ||||||a b a b ⋅≤B. 若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C. 两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D. 已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断 D.【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误， 对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.12. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是（ ）A. E 为PA 的中点B. BD ⊥平面PACC. PB 与CD 所成的角为3π D. 三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:4 【答案】ABD 【解析】 【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接AC 交BD 于点M 连接EM ，如图因为四边形ABCD 是正方形，所以M 为AC 的中点 又PC //平面BDE ，PC ⊂平面APC ，且平面APC 平面=BDE EM所以PC //EM ，所以E 为PA 的中点，故A 正确由PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PA BD ⊥， 又AC BD ⊥，AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC 所以BD ⊥平面PAC ，故B 正确PB 与CD 所成的角即PB 与AB 所成的角，即4ABP π∠=故C 错1.3△BCD --==⋅C BDE E BCD V V S EA ，13-=⋅⋅P ABCD ABCD V S PA又1,22△==BCD ABCD S S PA EA ，所以14--=P ABC C BD DE V V ，故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若复数z 满足方程220z +=，则3z =_____________. 【答案】22± 【解析】 【分析】根据题意可得2z i =，然后根据复数的乘法可得结果. 【详解】由220z +=，则2222=-=z i所以2z i =±，所以3222=⋅=±z z z i故答案为：22i ±【点睛】本题考查复数的计算，把握细节，耐心计算，属基础题.14. 如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.【答案】14-【解析】【分析】 利用AB 、AC 表示向量AD ，再由12AE AD =可求得实数λ的值. 【详解】()22BC CD BD BC ==-，所以，32BD BC =， 则()33132222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， E 为线段AD 的中点，则11332444AE AD AB AC AB AC λ==-+=+，因此，14λ=-. 故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数，考查计算能力，属于中等题. 15. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.【答案】0.128【解析】【分析】由题意可知，该选手第3、4个题目均回答正确，第2个题目回答错误，第1个题目可以回答正确也可以回答错误，利用概率的乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，该选手第3、4个题目均回答正确，第2个题目回答错误，第1个题目可以回答正确也可以回答错误，由独立事件的概率乘法公式可知，该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为20.20.80.128P =⨯=.故答案为：0.128.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的最小值_________，最大值_______________.【答案】 (1).6 (2). 1 【解析】【分析】 由题意，直线OP 与平面1A BD 所成的角α的最小值为1AOA ∠和11C OA ∠中的最小者，然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出sin α的取值范围，再确定其最值【详解】解：连接1,AC A O ，11A C ,因为11,,BD AC BD AA AC AA A ⊥⊥⋂=,所以BD ⊥平面11ACC A ，所以平面1A BD ⊥平面11ACC A ，所以直线OP 与平面1A BD 所成的角α的最小值为1AOA ∠和11C OA ∠中的最小者， 不妨设2AB =，在1Rt AOA 中，11216sin 22AA AOA AO∠===+， 1111sin sin(2)sin 2C OA AOA AOA π∠=-∠=∠112sincos AOA AOA =∠⋅∠6322623=⨯⨯=>， 所以sin α的取值范围为6[,1]3， 所以sin α的最小值为6，最大值为1， 故答案为：63；1【点睛】此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程. 17. 如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示；(2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y +是定值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝ ，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝ 即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OG OP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝ ，再根据G 是OAB 的重心知： ()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝ ，最后根据OA OB 、 不共线得到关于x y λ，， 的方程组即可求解【详解】(1)解 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明 一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；①另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．18. 已知函数()22cos 23sin cos f x x x x a =++，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2.（1）求a 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得的图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()4g x ≥的x 的集合. 【答案】（1）2a =，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）124x x ππ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】（1）化简可得()f x 2sin 216x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由题意可得，112a -++=，解方程可得a 的值，解不等式222262k x k πππππ-≤+≤+可得单调区间. （2）由函数图象变换可得：()2sin 436g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得1sin 462x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，令()5242Z 666k x k k πππππ+≤-≤+∈，解不等式与02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求交集即可.【详解】（1）函数()22cos cos 2sin 216f x x x x a x a π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()min 112f x a =-++=，得2a =，即()2sin 236πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 令222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由（1）得()2sin 236πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，得2sin 436y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 再将图象向右平移12π个单位，得()2sin 432sin 431266g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又∵()4g x ≥.即1sin 462x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， ∴()5242Z 666k x k k πππππ+≤-≤+∈， 即()Z 21224k k x k ππππ+≤≤+∈. ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴不等式的解集124x x ππ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ 【点睛】本题主要考查了二倍角和辅助角公式,求三角函数的单调区间，三角函数图象变换，解三角不等式等，属于中档题.19. 如图，在三棱锥P ABC -中，90ACB ∠=，PA ⊥底面ABC .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若1PA AC ==，2BC =，M 是PB 的中点，求AM 与平面PBC 所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）22. 【解析】【分析】（1）证明出BC ⊥平面PAC ，利用面面垂直的判定定理可证得平面PAC ⊥平面PBC ；（2）在平面PAC 内，过点A 作AD PC ⊥，连接DM ，证明出AD ⊥平面PBC ，可得出AM 与平面PBC 所成角为AMD ∠，计算出Rt ADM △的边AD 、DM 的长，由此可计算出AM 与平面PBC 所成角的正切值.【详解】（1）证明：在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ， PA BC ∴⊥，又90ACB ∠=，即BC AC ⊥，PA AC A =，BC ∴⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，因此，平面PAC ⊥平面PBC .（2）解：在平面PAC 内，过点A 作AD PC ⊥，连接DM ，BC ⊥平面PAC ，AD ⊂平面PAC ，AD BC ∴⊥，AD PC ⊥，BC PC C ⋂=，AD ∴⊥平面PBC ，AMD ∴∠是直线AM 与平面PBC 所成的角.PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PA AC ∴⊥，在Rt PAC △中，1PA AC ==，222PC PA AC ∴=+，AD PC ⊥，D ∴为PC 的中点，且122AD PC ==， 又M 是PB 的中点，在PBC 中，112MD BC ==， AD ⊥平面PBC ，DM ⊂平面PBC ，AD DM ∴⊥，在Rt ADM △中，222tan 1AD AMD MD ∠===. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了线面角的正切值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20. 某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85)，…，第八组[135,145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．【答案】（1）0.08（2）102（3）2 5【解析】【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1即可得到；（2）平均数的估计值为各小矩形的组中值与小矩形面积乘积的和；（3）易得第六组有3人，第八组有2人，从中任取两人他们的分差的绝对值小于10分，则这两人必来自同一组，再按古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1(0.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004)100.08-++++++⨯=．（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.00410800.01210900.016101000.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+1100.020101200.00610130⨯⨯+⨯⨯+0.008101400.00410102⨯⨯+⨯⨯=，（3）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为A，B，C，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为a ，b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中 随机抽取2名，有{,}A B ，{,}A C ，{,}C B ，{,}A a ，{,}A b ，{,}B a ，{,}B b ， {,}C a ，{,}C b ，{,}a b 共10种，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件有 {,}A B ，{,}A C ，{,}C B ，{,}a b ，共4种，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率 42105p ==． 【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，涉及到频率的计算、平均数的估计、古典概型的概率计算等知识，是一道容易题.21. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos 3cos c B a b C =-. （1）求sin C 的值；（2）若c =2b a -=，求ABC ∆的面积.【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cos C 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab 的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】（1）cos (3)cos c B a b C =-， ∴由正弦定理可知，sin cos 3sin cos sin cos C B A C B C =-，即sin cos cos sin 3sin cos C B C B A C +=，sin()3sin cos C B A C ∴+=，A B C π++=，sin 3sin cos A A C ∴=，sin 0A ≠，1cos 3C ∴=， 0C π<<，sin 3C ∴==.（2）26c =，1cos 3C =， ∴由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，可得：222243a b ab =+-，24()243a b ab ∴-+=， 2b a -=，∴解得：15ab =，1122sin 155222ABC S ab C ∆∴==⨯⨯= 【点睛】此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．22. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且15C H =.（1）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值；（2）求二面角111A AC B --的正弦值；（3）设N 为棱11B C 的中点，E 在11A B 上，并且111:1:4B E B A =，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，证明：//ME 平面11AAC C .【答案】（12（235；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）连接1AC ，由11//AC A C 可知111C A B ∠（或补角）是异面直线AC 与11A B 所成的角，计算出111A B C △各边边长，利用余弦定理可求得111cos C A B ∠的值，进而得解；（2）连接1AC ，过点A 作11AR A C ⊥于点R ，连接1B R ，证明111B R AC ⊥，可得出1ARB ∠为二面角111A AC B --的平面角，计算出1AB R △的三边边长，利用余弦定理可求得1cos ARB ∠，利用同角三角函数的基本关系可求得二面角111A AC B --的正弦值； （3）取1HB 的中点D ，连接ND ，证明出11A B ⊥平面MND ，可得出11A B MD ⊥，进而推导出1//MD AA ，推导出1//DE AA ，可得出M 、D 、E 三点共线，进而得出1//ME AA ，利用线面平行的判定定理可得出//ME 平面11AAC C .【详解】（1）连接1AC ，H 为正方形11AA B B 的中心，122AA =，则1124AB AA ==，11122B H AB ∴==， 在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 111C A B ∴∠（或补角）是异面直线AC 与11A B 所成的角.1C H ⊥平面11AA B B ，1B H ⊂平面11AA B B ，11C H B H ∴⊥，15C H =，可得221111113AC B C B H C H ==+=， 由余弦定理得22211111111111112cos 23AC A B B C C A B AC A B +-∠==⋅， 因此，异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值为23； （2）连接1AC ，1C H ⊥平面11AA B B ，1AB ⊂平面11AA B B ，11C H AB ∴⊥， H 为1AB 的中点，则111AC B C =，又由于111AA B A =，1111AC AC =，11111AC A B C A ≅∴△△，11111AAC B AC ∴∠=∠，过点A 作11AR A C ⊥于点R ，连接1B R ，111AA B A =，111AA R B A R ∠=∠，11A R A R =，111AA R B A R ∴≅△△，11190B RA ARA ∴∠=∠=，则111B R AC ⊥，且1B R AR =，故1ARB ∠为二面角111A AC B --的平面角.在11Rt A RB △中，2111112214sin22133B R A B RA B ⎛⎫=⋅∠=⋅-= ⎪⎪⎝⎭. 连接1AB ，在1ARB △中，14AB =，1AR B R =， 22211112cos 27AR B R AB ARB AR B R +-∠==-⋅，从而21135sin 1cos 7ARB ARB ∠=-∠=， 因此，二面角111A AC B --的正弦值为357. （3）MN ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，11MN A B ∴⊥.取1HB 的中点D ，则11:1:4B D B A =，连接ND ，由于N 是棱11B C 中点，1//ND C H ∴，又1C H ⊥平面11AA B B ，ND ∴⊥平面11AA B B ，11A B ⊂平面11AA B B ，11ND A B ∴⊥， 又MN ND N =，11A B ∴⊥平面MND ，MD ⊂平面MND ，11A B MD ∴⊥， 四边形11AA B B 是正方形，111AA A B ∴⊥，1//MD AA ∴，连接DE ，由1111114B E B D B A B A ==，得1//DE AA ，M ∴、D 、E 三点共线，1//ME AA ，1AA ⊂平面11AAC C ，ME ⊄平面11AAC C ，//ME ∴平面11AAC C .【点睛】本题考查异面直线所成角、二面角的计算，同时也考查了线面平行的证明，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。
【精准解析】山东省临沂市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
D. 如果 m // n ， / / ，则 m 与 所成的角和 n 与β所成的角不相等
【答案】B 【解析】 【分析】 由空间位置关系的判定与性质及线面角的概念，结合选项逐项判断即可得解.
工人
保底月薪
工人
保底月薪
1
2890
7
2850
2
2860
8
3130
3
3050
9
2880
4
2940
10
3325
5
2755
11
2920
6
2710
12
2950
A. 3050 【答案】A 【解析】 【分析】
B. 2950
C. 3130
D. 3325
首先将表中所给数据从小到大进行排序，之后利用公式 i n p% ，从而得到答案.
可得 2
b
2
cos
b
2
0 ，b 为非零向量，则
b
0 ，可得 cos
1 2
，
Q 0 ，因此， 2 . 3
故选：B.
-3-
【点睛】本题考查利用平面向量模长之间的关系求向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 6. 已知α，β是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（ ）
则事件“抽到的两人中有一男一女”所包含的基本事件数为 2 2 2 8 ， 因此，所求事件的概率为 P 8 1 .
16 2
故选：C.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.
(试卷合集3份)2023届山东省临沂市高一数学下学期期末学业水平测试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A ．15B ．25C ．825D ．9252．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23226,39a S ==，则123111a a a ++=( ) A ．132B ．133C ．5D ．63．若()6,5OA =，()3,1OB =，则与向量BA 同向的单位向量是（ ） A ．34,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫--⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫⎪⎝⎭4．设变量x y ，满足约束条件：{222y xx y x ≥+≤≥-，则3z x y =-的最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-5．已知角终边上一点，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上()f x a ≤恒成立，则实数a 的最小值是（ ） A ．3 B ．12-C ．12D ．327．将sin 2y x =的图像怎样移动可得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 8．下列四组中的函数()f x ，()g x 表示同一个函数的是（ ） A ．3()f x x =，39()g x x B ．()f x x =,()g x x =C ．2()f x x =，4()g x x =D ．()1f x =，0()g x x =9．如图，已知边长为a 的正三角形ABC 内接于圆O ，D 为BC 边中点，E 为BO 边中点，则AC DE ⋅为（ ）A ．218a -B ．214a -C ．238a -D ．212a -10．一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是（ ） A ．两个共底面的圆锥 B ．半圆锥C ．圆锥D ．圆柱11．平面内任一向量m 都可以表示成(,)λμλμ+∈a b R 的形式，下列关于向量,a b 的说法中正确的是（ ）A ．向量,a b 的方向相同B ．向量,a b 中至少有一个是零向量C ．向量,a b 的方向相反D ．当且仅当0λμ==时，0a b λμ+=12．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是2π；②在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数为（ ） A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos()26x y π=-二、填空题：本题共4小题13．若角α的终边经过点()2,1P -，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 14．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．15．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，110tan ,sin 7αβ==，则2αβ+=______. 16．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，⋅⋅⋅，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 ．（下表是随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
临沂市高一数学下学期期末考试试题含解析
设圆锥的底面半径为 ，内接圆柱的底面半径为 ，
因为内接圆柱的体积为 ,所以 ，解得 ，
又由 ，所以 ,解得 ,
所以圆锥的母线长为 ，
所以该圆锥的表面积为 。
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查了圆锥的表面积和圆柱的体积的计算，其中解答中熟记圆锥、圆柱的结构特征是解答的关键，着重考查数形结合法，以及推理与运算能力.
A. B. C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算出基本事件的总数以及事件“抽到的两人中有一男一女”所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，若采取有放回简单随机抽样,基本事件总数为 ，
若抽到的两人中有一男一女，可以先抽到男生后抽到女生，也可以先抽到女生后抽到男生，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用,考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意 ，根据复数的除法运算可得 ，进而求得共轭复数 ，即可知对应点所在的象限
【详解】由 知：
∴ ，即 对应的点为
故选：C
【点睛】本题考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念，首先由复数四则运算的除法求得复数，进而依据共轭复数的概念得到对应的共轭复数，即可判断所在象限
2. 的值是（ )
四边形 为平行四边形， ,
平面 ， 平面 ， 平面 ,即选项 正确；
选项 ,取 的中点 ,连接 、 ，
平面 , 即为二面角 的平面角．
山东省临沂市2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题
山东省临沂市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足(1)2i z i -=（i 为虚数单位），则(z z 为z 的共轭复数）在复平面内对应的点位于 A ．第一限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．sin14cos16sin 76cos74︒︒︒︒+的值为3131 A. B. C. D. 2222-- 3．某工厂12名工人的保底月薪如右表所示，第80百分位是A ． 3050B ． 2950C ． 3130D ． 33254．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，若采取有放回简单随机抽样，则抽到的两人中有一男一女的概率是1113 A. B. C. D. 64245．已知向量,a b 是两个非零向量，且||||||==+a b a b ，则与a b 夹角为52 A. B. C. 6363D.ππππ6．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是A ．如果m ∥α，n ∥α，那么 m ∥nB ．如果m ⊥α，n ∥α，，那么m ⊥nC ．如果m ⊥n ，m ⊥α，n //β，那么α⊥βD ．如果m //n ，α∥β，么m 与α所成的角和n 与β所成的角不相等7．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π ：4，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为A ． 18B ．6C ．3D ． 28．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，且a ＝2b －c ，则△ABC 的形状为A ．钝角三角形B ．等腰直角三角形 c ．直角三角形 D ．等边三角形二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省临沂市高一下学数学期期末考试试卷
山东省临沂市高一下学数学期期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则（）A . (-1,3)B . (0,4)C . (0,3)D . (-1,4)2. （2分）等差数列的公差d≠0，，前n项和为Sn ，则对正整数m，下列四个结论中：（1）Sm，S2m－Sm ， S3m－S2m成等差数列，也可能成等比数列；（2）Sm，S2m－Sm ， S3m－S2m成等差数列，但不可能成等比数列；（3）Sm ， S2m ， S3m可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）Sm ， S2m ， S3m不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）A . （1）（3）.B . （1）（4）.C . （2）（3）.D . （2）（4）.3. （2分） (2020高二上·天津月考) 对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则（）A . ，，，四点必共面B . ，，，四点必共面C . ，，，四点必共面D . ，，，，五点必共面4. （2分）已知tan（α+β）=3，tanβ=2，则tanα等于（）A . ﹣3B . 3C . ﹣D .5. （2分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A . 钝角三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 不能确定6. （2分）数列满足a1 ， a2-a1 ， a3-a2 ，…，an-an-1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an=（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高三上·乌鲁木齐月考) 在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（）．A . -3B . -6C . 4D . 98. （2分） (2017高一上·武清期末) 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A . 2，﹣B . 2，﹣C . 4，﹣D . 4，9. （2分） (2019高二上·孝感月考) 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·宁波模拟) 如图，平面PAB⊥平面α，AB⊂α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I⊂α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（）A .B .C .D . 311. （2分）(2020·芜湖模拟) 已知向量在方向上的投影为，且，则（）A . 2B . 1C . -1D . -212. （2分） (2019高一上·哈尔滨期中) 已知函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且满足，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2013·江西理) 函数y= 最小正周期T为________．14. （1分） (2017高一上·定州期末) 已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=x2+x，则 =________．15. （1分） (2016高二上·郴州期中) 设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值是________．16. （1分） (2018高一上·大连期末) 已知正四棱锥的底面边长为4cm，高与侧棱夹角为，则其斜高长为________（cm）．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角的大小是60°．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．18. （5分） (2016高二上·方城开学考) 求和Sn=x+2x2+3x3+…+nxn（x≠0）．19. （5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为l，点F、H分别为A1D、A1C的中点．（Ⅰ）证明：A1B∥平面AFC；（Ⅱ）证明：B1H⊥平面AFC．20. （10分） (2019高三上·成都月考) 在中，角所对的边分别为，.（1）求证：是等腰三角形；（2）若，且的周长为5，求的面积.21. （10分）(2017·天心模拟) 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= ．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．22. （5分） (2016高一下·揭西开学考) 已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）（Ⅰ）写出圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共40分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
〖精选3套试卷〗2020学年山东省临沂市高一数学下学期期末学业水平测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a ，b ，c 表示三条不同的直线，M 表示平面，给出下列四个命题：其中正确命题的个数有（ ） ①若a//M ，b//M ，则a//b ；②若b ⊂M ，a//b ，则a//M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a//b ；④若a//c ，b//c ，则a//b.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相切，则实数m =（ ）A ．9B ．-11C ．-11或-9D ．9或-113．下列函数，是偶函数的为（ ）A ．cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．tan 2y x = 4．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π 5．等差数列{}n a 中，14736939,27a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于（ ） A ．66B ．99C ．144D ．297 6．在复平面内，复数21i +对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．在ABC 中，AB 2=，πC 6=，则AC 3BC +的最大值为( ) A ．47B ．37C ．27D 78．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23226,39a S ==，则123111a a a ++=( ) A ．132 B ．133 C ．5D ．6 9．已知AB AC ⊥，1AB =，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13 B ．15 C ．19 D ．2110．圆222440x y x y ++-+=的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 11．已知向量()4,a x =，()8,4b =--且//a b ，则x 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．8-D ．812．直线l 经过点()0,1-和()1,0，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．23πB ．34πC ．3πD ．4π 二、填空题：本题共4小题13．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P ，Q 两点，且120POQ ∠=（其中O 为原点），则k 的值为________．14．已知实数0,0a b >>，2是8a 与2b 的等比中项，则12a b +的最小值是______． 15．已知等比数列中，，，则______.16．若角α是第四象限角，则2α角的终边在_____________ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高一数学下学期期末考试数学试题含解析
〖解 析〗
〖分析〗
由斜二测画法还原出原图，求面积
〖详 解〗解：由斜二测画法可知原图如图所示，
则其面积为 ，
故选：A
〖点 睛〗此题考查直观图与平面图形的画法，考查计算能力，属于基础题
4.已知非零向量 ， ，若 ，且 ，则 与 的夹角为（）
5.设l是直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（）
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.
〖详 解〗A.若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交，所以不正确.
B.若 ， ，则 与 可能的位置关系有相交、平行或 ,所以不正确.
山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；
2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.
C.若 ， ，则可能 ，所以不正确.
D.若 ， ，由线面平行的性质过 的平面与 相交于 ，则 ，又 .
所以 ，所以有 ，所以正确.
故选：D
〖点 睛〗本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.
6.已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的体积为（）．
临沂市2020年新高考高一数学下学期期末学业水平测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( ) A ．14B ．16C ．19D ．1122．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)2x y ++-= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=3．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax+b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1）B．1122⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， C．1123⎛⎤-⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，4．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC)222a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是A．(⎤⎦B ．(]4,8 C．(4,12+⎤⎦D ．(]8,125．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,{30,0x y x y y +-≤Ω=-+≥≥，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ） A ．5B ．29C ．37D ．496．数列{}n a 中，若*11,sin ,2n n a a a a n N π+⎛⎫==∈⎪⎝⎭，则下列命题中真命题个数是（ ） （1）若数列{}n a 为常数数列，则1a =±； （2）若()0,1a ∈，数列{}n a 都是单调递增数列； （3）若a Z ∉，任取{}n a 中的9项()19129,,1k k a a k k k <<<<构成数列{}n a 的子数{}n k a （1,2,,9n =），则{}n k a 都是单调数列.A ．0个B ．1 个C ．2个D ．3个7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若::1:1:2A B C =，则::a b c =（ ） A．B．1:1:C ．1:1:2D ．1:1:38．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”9．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（ ） A ．420人B ．480人C ．840人D ．960人10．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作 ( ) A ．1个或2个 B ．0个或1个 C ．1个 D ．0个11．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若120,3,8,A b c =︒==则ABC ∆的面积等于( ) A ．6B．C ．12D．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若395,81a S ==，则7a =（ ） A ．18B ．13C ．9D ．7二、填空题：本题共4小题13．设1e ，2e 为单位向量，其中122a e e =+，2b e =，且a 在b 方向上的射影数量为2，则1e 与2e 的夹角是___．14．与30°角终边相同的角α=_____________. 15．函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间是_________ 16．若数列{}n a 满足12a =，21a =，1111n n n n n n a a a a a a -+-+--=(2)n ≥，则20a =______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省临沂市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学学业水平测试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝ccosB ﹣ccosA ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．下面的程序运行后，输出的值是（ ）A ．90B ．29C ．13D ．543．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．4．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 5．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是 A ．两次都中靶 B ．至少有一次中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有一次中靶6．各项不为零的等差数列}{n a 中，23711440a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．647．不等式2320x x -+-≥的解集是 A ．{|2x x >或1}x < B ．{|2x x ≥或1}x ≤ C ．{|12}x x ≤≤D ．{|12}x x <<8．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知不等式20x ax b -+>的解集为(,1)(2,)-∞-+∞，则不等式20x ax b ++>的解集为( )A ．(,2)(1,)-∞--+∞B ．(,2)(1,)-∞-+∞C ．(,1)(2,)-∞-+∞ D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞10．下列函数，是偶函数的为（ ） A ．cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．tan 2y x =11．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．1112．若角α的终边过点P(-3，-4)，则cos(π-2α)的值为() A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425二、填空题：本题共4小题13．已知圆Ω过点A （5，1），B （5，3），C （﹣1，1），则圆Ω的圆心到直线l ：x ﹣2y+1＝0的距离为_____．14．在ABC ∆中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对应的边，1tan 3A =，1tan 2B =，如果1a =，则b =________. 15．下列命题：①函数()cos 2y x =-的最小正周期是π；②在直角坐标系xOy 中，点(),P a b ，将向量OP 绕点O 逆时针旋转90︒得到向量OQ ，则点Q 的坐标是(),b a -；③在同一直角坐标系中，函数cos y x =的图象和函数y x =的图象有两个公共点； ④函数sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,π上是增函数． 其中，正确的命题是________（填正确命题的序号）．16．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省临沂市第五中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析
山东省临沂市第五中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则( )A．B．C．D．参考答案：B2. 函数的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4，且x≠2}C．{x|1≤x≤4，且x≠2} D．{x|x≥4}参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，只须，即，解得1＜x≤4且x≠2，∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}．故选B【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件．3. 已知椭圆C的方程为为其左、右焦点，e为离心率，P 为椭圆上一动点，则有如下说法：①当0＜e＜时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个；②当e=时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有6个；③当＜e＜1时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有8个；以上说法中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的离心率的取值范围，得出椭圆的短轴的顶点构成的角∠F1BF2的取值范围，分别判断，使△PF1F2为直角三角形的点P个数．【解答】解：如图所示，丨BF1丨=a，丨OF1丨=c，设∠BF1O=θ，则tanθ==e，①中，当椭圆的离心率0＜e＜时，即0＜tanθ＜，∴θ∈（0，），则∠F1BF2＞，若△PF1F2为直角三角形时，只能是∠PF1F2和∠PF2F1为直角时成立，所以这样的直角三角形，只有四个；②中，当椭圆的离心率e=时，即tanθ=，∴θ=，此时∠F1BF2=，此时对应的直角三角形共有六个；③中，当椭圆的离心率＜e＜1时，即tanθ＞，则θ∈（，），∴0＜∠F1BF2＜，此时对应的直角三角形共有八个，故选D．4. 已知函数，为偶函数，且当时，．记．给出下列关于函数的说法：①当时，；②函数为奇函数；③函数在上为增函数；④函数的最小值为，无最大值．其中正确的是A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④参考答案：B5. 在空间四边形各边上分别取四点，如果与能相交于点，那么A、点必在直线上B、点必在直线BD上C、点必在平面内D、点必在平面内参考答案：A略6. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．16 B．4C．48 D．32参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体是四棱锥，根据图中数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体为四棱锥如图：体积为：=16；故选A．7. 设，集合，则（）1 B、C、2 D、参考答案：D略8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()A．B． C．D．参考答案：C9. 直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直参考答案：C设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．∴l1⊥l2．故选：C．10. 不在不等式表示的平面区域内的点是（）A．（0，0） B．（1，1） C．（0，2） D．（2，0）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．参考答案：考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；压轴题．分析：先根据函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．解答：由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x）的最小值为，最大值为，所以f（x）的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想．12. 2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B 测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为米，则旗杆的高度为米．参考答案：30【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】先画出示意图，根据题意可求得∠NBA和∠BAN，则∠BNA可求，然后利用正弦定理求得AN，最后在Rt△AMN中利用MN=AN?sin∠NAM求得答案．【解答】解：如图所示，依题意可知∠NBA=45°，∠BAN=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠BNA=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知CEsin∠EAC=ACsin∠CEA，∴AN==20米∴在Rt△AMN中，MN=AN?sin∠NAM=20×=30米所以：旗杆的高度为30米故答案为：30．13. 设是定义在上的奇函数，当时，，则▲；参考答案：14. 在等式的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________参考答案：解析：设依次填入的三个数分别为，则当时，所求最小值为15. 直线l1:与直线l2：的交点在第二象限内，则a的取值范围是。
临沂市名校2020新高考高一数学下学期期末考试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为（ ） A ．5B ．5C ．25D ．102．已知x ，y ∈R ，且x>y>0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -<C ．110x y-> D ．lnx+lny>03．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =-+，令()1cos2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项为n T ，则2019T = （ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20175．不等式250ax x c ++>的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,则,a c 的值为( ) A ．6,1a c == B ．6,1a c =-=- C ．1,1a c ==D ．1,6a c =-=-6．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（）A ．6B ．8C ．7D ．97．已知向量()1,2a =-， ()1,b λ=，若a b ⊥，则+2a b 与a 的夹角为（ ）A．2 3πB．34πC．3πD．4π8．设z是复数，从z，z，z，2||z，2||z，2||z，z z⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（）A．3个元素B．4个元素C．5个元素D．6个元素9．如图所示，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．A1D1C．A1D D．BD10．已知a，b为不同的直线，α为平面，则下列命题中错误的是（）A．若//a b，bα⊥，则aα⊥B．若aα⊥，bα⊥，则//a bC．若aα⊥，bα⊂，则a b⊥D．若a b⊥，aα⊥，则bα⊥11．执行如下的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．36-D．45-12．数列{}n a中，12a=，且112(2)n nn nna a na a--+=+≥-，则数列()211na⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2019项和为（）A．40362019B．20191010C．40372019D．40392020二、填空题：本题共4小题13．已知α是第二象限角，且1sin3α=，且sin2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭______.14．用数学归纳法证明不等式“11119 (123310)n n n n ++++>+++（1n >且*n N ∈）”的过程中，第一步：当2n =时，不等式左边应等于__________。
山东省临沂市2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题含解析
山东省临沂市2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．3B ．4C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 将代入直线方程得到，利用均值不等式得到的最小值.【详解】 将代入直线方程得到当时等号成立故答案选C 【点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键. 2．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位C ．向左平移2π个长度单位D ．向右平移2π个长度单位【答案】B 【解析】试题分析：记函数(2)6y sin x f x π+=＝（），则函数(2)[2()]3464y sin x sin x f x ππππ-=-+=-＝（）∵函数f （x ）图象向右平移4π单位，可得函数4f x π-（）的图象∴把函数(2)6y sin x π+＝的图象右平移4π单位，得到函数(2)3y sin x π-＝的图象,故选B.考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．3．ABC ∆中，30A ∠=︒，3AB =1BC =，则ABC ∆的面积等于（ ）A B ．4C D 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据余弦定理求AC ，再根据面积公式得结果. 【详解】因为2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，所以22133+2=01AC AC AC AC AC =+--⋅∴=或2，因此ABC ∆的面积等于111sin 1222AB AC A ⋅⋅=⨯=或等于112222⨯=， 选D. 【点睛】本题考查余弦定理与三角形面积公式，考查基本求解能力，属基础题.4．如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为( )A ．2⎤⎦B ．C ．⎡⎣D ．⎡⎣【答案】B 【解析】 【分析】将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案. 【详解】()()()2210x a y a a -+-=>，圆心为(,)a a 半径为1如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3 即圆心到原点的距离[2,4]∈即24a ≤≤⇒≤≤故答案选B 【点睛】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键. 5．有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m ，m+1，m+2，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得2230m m --=，解方程可得m 的值. 【详解】在三角形中，由余弦定理得：()()()22212cos12021m m m m m ︒++-+=+，化简可得：2230m m --=，解得32m =或1m =-（舍）. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题. 6．在等比数列{}n a 中，546、、a a a 成等差数列，则公比q 等于（ ） A ．1 或 2 B ．−1 或 −2C ．1 或 −2D ．−1 或 2【答案】C 【解析】 【分析】设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解 【详解】等比数列{}n a 中，设首项为1a ，公比为q ，546,,a a a 成等差数列，4562a a a ∴=+，即3451112a q a q a q =+， (2)(1)0q q ∴+-=2q ∴=-或1q =答案选C 【点睛】本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题7．若圆222210x y ax by +-++=的圆心在第一象限，则直线0ax y b +-=一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.因为圆222210x y ax by +-++=的圆心坐标为()a,b -，由圆心在第一象限可得a 0,b 0><，所以直线0ax y b +-=的斜率a 0-<，y 轴上的截距为0b <，所以直线不过第一象限.【点睛】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.8．直线l 是圆224x y +=在(1,3)-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值． 【详解】圆224x y +=在点(1,3)-处的切线为:34l x y -+=，即:340l x y -+-=， 点P 是圆22(2)1x y -+=上的动点， 圆心(2,0)到直线:340l x y -+=的距离313d ==+，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d -=-=．故选D ． 【点睛】圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题.9．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =,点O 为AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且90EOF ∠=︒，则EF 的最大值是( )A 43B 5C 32D 7【答案】A 【解析】把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值. 【详解】 设BOE x ∠=，1OB =，BC =[]30,60x ∴∈︒︒，1cos OE x =，()11cos 90sin OF x x ==︒-，12sin cos sin2EF x x x ∴===， 3060x ︒≤≤︒，602120x ∴︒≤≤︒，sin21x ≤≤， EF ∴故选A.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.10．已知三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b a c =+，设11M a c =+，2N b=，则( ) A ．M N > B ．M N ≥C ．M N <D ．M N ≤【答案】C 【解析】 【分析】作差后利用已知条件变形为()22a c abc-，可知为负数，由此可得答案.【详解】 由题知1122a c M N a cb ac b+-=+-=- 22b ac b=- ()22b ac abc-=()()22242a c a c ac abc abc ⎡⎤+-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因为a ，b ，c 都是负数且互不相等，所以0M N -<，即M N <. 故选：C 【点睛】本题考查了作差比较大小，属于基础题.11．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是A ．8B ．5C ．3D ．2【答案】C 【解析】试题分析：k=1，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1 k=2，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2 k=3，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3 k=4，不满足条件k ＜4，则退出执行循环体，此时p=3 考点：程序框图12．已知函数2()2cos 32f x x x =-，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若6a =ABC 的面积的最大值为（ ） A ．33B ．332C ．34D ．3【答案】B 【解析】 【分析】通过将2()2cos 32f x x x =利用合一公式变为2cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入A 求得A 角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值. 【详解】2()2cos 32f x x x ==cos 23212cos 213x x x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()2cos 211cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 为三角形内角，则3A π=a =222222cos 2abc bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，当且仅当b c =时取等号11sin 62222ABCSbc A =≤⨯⨯=【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高. 二、填空题：本题共4小题13．数列{}n a 中，11a =，以后各项由公式2123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=给出，则35a a +等于_____.【答案】6116【解析】 【分析】可以利用前n 项的积与前1n -项的积的关系，分别求得第三项和第五项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意知，数列{}n a 中，11a =，且2123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=， 则当2n =时，21224a a ⋅==； 当3n =时，212339a a a ⋅⋅==，则12331294a a a a a a ⋅⋅==⋅，当4n =时，21234416a a a a ⋅⋅⋅==； 当5n =时，212345525a a a a a ⋅⋅⋅⋅==，则12345512342516a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅，所以359256141616a a +=+=. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟练的应用递推关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．若扇形的周长是16cm ，圆心角是360π度，则扇形的面积（单位2cm ）是__________.【答案】16 【解析】 【分析】根据已知条件可计算出扇形的半径，然后根据面积公式212S r α=即可计算出扇形的面积. 【详解】设扇形的半径为r cm ，圆心角弧度数为3602180παπ=⋅=， 所以216r r α+=即416r =，所以4r =， 所以2112161622S r α==⨯⨯=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查角度与弧度的转化以及扇形的弧长和面积公式，难度较易.扇形的弧长公式：l r α=，扇形的面积公式：21122S lr r α==. 15．若x 、y 满足约束条件24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为________.【答案】18 【解析】 【分析】先作出不等式组24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，再观察图像即可得解.【详解】解：作出不等式组24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，由图可得：目标函数3z x y =+所在直线过点14(,4)3M 时，z 取最大值， 即max 1434183z =⨯+=， 故答案为：18 .【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了作图能力，属基础题.16．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高[)120130,，[)130140,，[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为________.【答案】3 【解析】 【分析】先由频率之和等于1得出a 的值，计算身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比，根据比例得出身高在[]140,150内的学生中抽取的人数. 【详解】(0.0050.010.020.035)101a ++++⨯=0.03a ∴=身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比为0.03:0.02:0.013:2:1= 所以从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为11836⨯= 故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等比数列{}n a 中，34a =，516a =，则9a 等于（ ） A ．256B ．-256C ．128D ．-1282．在ABC 中，点D 是BC 边上的靠近C 的三等分点，则AD =（ ）A ．1233AB AC + B ．2133AB AC - C ．2133AB AC +D ．1233AB AC -3．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，函数()8g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()2sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()f x 与()g x 的图象均关于直线4x x π=-对称C ．函数()f x 与()g x 的图象均关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 与()g x 在区间,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上均单调递增 4．设a,b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定6．在数列{}n a 中，若11a =，212a =，()12211n n n n N a a a *++=+∈，设数列{}n b 满足()21log n n b n N a *=∈，则{}n b 的前n 项和n S 为（ ） A ．21n -B ．22n -C ．121n +-D ．122n +-7．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除：（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用…等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元. 新的个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入为19000元，膝下有一名子女，需赡养老人（除此之外无其它专项附加扣除），则他该月应交纳的个税金额为( ) A ．570 B ．890C ．1100D ．19008．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22cos 22αα+=，则tan α=( ) A ．2 B ．4C ．3D ．39．已知直角三角形ABC，斜边AC =D 为AB 边上的一点，1AD =，4BCD π∠=，则CD 的长为（ ） A ．B ．C ．2D ．310．已知,x y 都是正数,且211x y+=，则x y +的最小值等于A ．6B ．C ．3+D ．4+11．已知随机事件,,A B C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且()()0.3,0.6P A P C ==，则()P A B +=（ ） A ．0.3B ．0.6C ．0.7D ．0.912．在ABC ∆中，D 是BC 上一点，且13BD BC =，则AD =（ ）A．13AB AC+B．13AB AC-C．2133AB AC+D．1233AB AC+二、填空题：本题共4小题13．若a、b、c正数依次成等差数列，则8a a cb a++的最小值为_______.14．已知数列{}n a 是正项数列，n S是数列{}n a的前n项和，且满足112n nnS aa⎛⎫=+⎪⎝⎭.若11nnn nabS S++=，nT 是数列{}n b的前n项和，则99T=_______.15．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为__________.16．三棱锥P ABC-中，,E D分别为,PB PC的中点，记三棱锥D ABE-的体积为1V，P ABC-的体积为2V，则12VV=____________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有2300m的坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天26m的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积23m，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作．()1写出k关于x的函数关系式；()2应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）18．已知向量(cos,sin)a x x=，(1,1)b=-，[0,]xπ∈.（1）若a b⊥，求x的值；（2）设()f x a b =⋅，若()0()f x m m R -≤∈恒成立，求m 的取值范围.19．（6分）如图已知1AA ⊥平面ABC ，11BB AA ∥，3AB AC ==，25BC =，17AA =，127BB =，点E ，F 分别为BC ，1A C 的中点.(1)求证：EF //平面11A B BA ;(2)求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.20．（6分）已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =++，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最小值和取得最小值时x 的取值. 21．（6分）已知2sin cos 3αα+=. （1）求3sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）若α为第二象限角，且角β终边在2y x =上，求()()11sin cos sin cos 22sin cos ββπαπαββ--+--+的值.22．（8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n n S a =-，数列{}n b 满足111,2n n b b b n +==+-. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）2,,log n n n a n c a n ⎧=⎨⎩为奇数，为偶数()*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）对任意的正整数m ，是否存在正整数k ，使得m k a b >？若存在，请求出k 的所有值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A 【解析】 【分析】先设等比数列的公比为q ，根据题中条件求出2q ，进而可求出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为34a =，516a =，所以2534a q a ==， 因此5941616256a q a ==⨯=.故选A 【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的计算，熟记通项公式即可，属于基础题型. 2．A 【解析】 【分析】将题中所体现的图形画出，可以很直观的判断向量的关系. 【详解】如图有向量运算可以知道：2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,选择A 【点睛】考查平面向量基本定理， 利用好两向量加法的计算原则：首尾相连，首尾相接. 3．D 【解析】 【分析】由三角函数图像可得()2sin(2)4f x x π=+，()2cos2g x x =，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解. 【详解】解：由函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象可得2A =,5288T ππ=-,即T π=,则22Tπω==， 又函数图像过点,28π⎛⎫⎪⎝⎭，则2282k ππϕπ⨯+=+，即2,4k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，即4πϕ=，即()2sin(2)4f x x π=+，则()2sin[2()]2cos 284g x x x ππ=++=对于选项A ，显然错误；对于选项B ，函数()g x 的图像关于直线,2k x k Z π=∈对称，即B 错误； 对于选项C ，函数()f x 的图像关于点8,0,2k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭对称，即C 错误； 对于选项D ，函数()f x 的增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，函数()g x 的增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 又,03π⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭-3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，,03π⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭-,,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即D 正确， 故选：D. 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求函数解析式，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题. 4．C 【解析】对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确 对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确 对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误对于④：假设过直线a 有两个平面α、β与直线b 平行，则面α、β相交于直线a ，过直线b 做一平面γ与面α、β相交于两条直线m 、n ，则直线m 、n 相交于一点，且都与直线b 平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确 故选：C ． 5．A 【解析】 【分析】由正弦定理得222a b c +<，再由余弦定理求得222cos 02a b c C ab+-=<，得到(,)2C ππ∈，即可得到答案. 【详解】因为在ABC ∆中，满足222sin sin sin A B C +<， 由正弦定理知sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，代入上式得222a b c +<， 又由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为C 是三角形的内角，所以(,)2C ππ∈，所以ABC ∆为钝角三角形，故选A. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C 的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】利用等差中项法得知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据已知条件可求出等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项与公差，由此可得出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用对数与指数的互化可得出数列{}n b 的通项公式，并得知数列{}n b 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式可求出n S . 【详解】由12211n n n a a a ++=+可得1211111n n n n a a a a +++-=-， 可知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a ，公差为2111211a a -=-=的等差数列，所以1n n a ，即1n a n=．由21log n n b n a ==，可得2n n b =， 所以，数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 因此，数列{}n b 的前n 项和为()12122212n n n S +-==--，故选D.【点睛】本题考查利用等差中项法判断等差数列，同时也考查了对数与指数的互化以及等比数列的求和公式，解题的关键在于结合已知条件确定数列的类型，并求出数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题. 7．B 【解析】 【分析】根据题意，分段计算李某的个人所得税额，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，李某月应纳税所得额（含税）为1900050001000200011000---=元， 不超过3000的部分的税额为30003%90⨯=元，超过3000元至12000元的部分税额为800010%800⨯=元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90800890+=元. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用与函数值的计算问题，其中解答中认真审题，合理利用分段函数进行求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 8．A 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式和与余弦公式化简可得. 【详解】∵()221cos2αα=-，∴2cos 4sin ααα=， ∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α≠，∴2sin αα=，∴3tan 2α=. 故选：A 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了二倍角的余弦公式，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】设BC BD x ==，利用勾股定理求出x 的值即得解. 【详解】如图，由于4BCD π∠=，所以设BC BD x ==，所以22(1)13,2x x x ++=∴= 所以222222CD =+=. 故选：A 【点睛】本题主要考查解直角三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】 【详解】()2122323223y x y x x y x y x y x y ⎛⎫++=++≥⨯=⎪⎝⎭,故选C. 11．C【解析】 【分析】由对立事件概率关系得到B 发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A + B). 【详解】因为()0.6P C =，事件B 与C 对立，所以()0.4P B =，又()0.3P A =，A 与B 互斥，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=，故选C.【点睛】本题考查互斥事件的概率，能利用对立事件概率之和为1进行计算，属于基本题. 12．C 【解析】 【分析】利用平面向量的三角形法则和共线定理，即可得到结果． 【详解】因为D 是BC 上一点，且13BD BC =，则()11213333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+． 故选：C ． 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理的应用，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．1 【解析】 【分析】由正数a 、b 、c 依次成等差数列，则2b a c =+，则8a a c b a ++=28a b ab+，再结合基本不等式求最值即可. 【详解】解：由正数a 、b 、c 依次成等差数列， 则2b a c =+， 则8a a c b a ++=221828a a ba b b b a+≥⨯=，当且仅当28a b a b =，即4a b =时取等号，故答案为：1. 【点睛】本题考查了等差中项的运算，重点考查了基本不等式的应用，属基础题. 14．910【解析】 【分析】利用1n n n a S S -=-将112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭变为11112)2n n n n n S S S n S S ----⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭（，整理发现数列{2n S }为等差数列，求出2n S ，进一步可以求出n a ，再将n a ，n S 代入n b ，发现可以裂项求n b 的前99项和。