九年级数学下册期中重点圆测试题6(含答案解析)-精选文档

合集下载

九年级下册数学《圆》专项练习题含答案解析

九年级下册数学《圆》专项练习题1、已知⊙O1的半径是3cm，⊙2的半径是2cm，O1O2=cm，则两圆的位置关系是A．相离B．外切C．相交D．内切2、如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=A．150°B．75°C．60°D．15°3、用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于A．3 B．C．2 D．4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=A．5 B．C．D．65、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是A．AD=DC B．C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA6、如图所示是某公园为迎接“中国﹣﹣南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是A．米2B．米2C．米2D．米27、如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=A．28°B．42°C．56°D．84°8、已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是A．2 B．3 C．6 D．129、如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为A．B．C．D．10、若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是A．l=2r B．l=3r C．l=r D．11、如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．B．C．D．12、下列说法错误的是A．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心B．与互为倒数C．若a＞|b|，则a＞bD．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半13、如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°14、将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为A．B．C．D．15、如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为A．B．C．D．16、如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为A．B．C．D．17、如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是A．35° B．140° C．70°D．70°或140°18、已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是A．30cm2B．30πcm2C．15cm2D．15πcm219、如图，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于A．4 B．3.5 C．3 D．2.520、用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4 cm，底面周长是6π cm，则扇形的半径为A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm21、如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60º，∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O 于点E，则AE的长为 .22、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为厘米．23、如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA=20°，则∠A=°．24、已知正方体的棱长为3，以它的下底面的外接圆为底、上底面对角线的交点为顶点构造一个圆锥体，那么这个圆锥体的体积是（π=3.14）．25、已知扇形的半径是30cm，圆心角是60°，则该扇形的弧长为cm（结果保留π）．26、如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s 的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为．（填出一个正确的即可）27、高为4，底面半径为3的圆锥，它的侧面展开图的面积是．28、如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当≤r＜2时，S的取值范围是．29、如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为．30、如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，则弧AB 的长度为（结果保留π）．31、如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN= ．32、如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为．33、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．34、如图，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则∠OAB= °.35、如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）36、已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，则该圆锥的母线长是．37、已知⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是．38、点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度．按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为秒．39、如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35º，则∠OAB＝ º．40、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=．41、如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．42、如图，OA=OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等？为什么？43、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC平分∠BAD；AD⊥ CD，垂足为D．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)若⊙O的直径为5，CD＝2．求AC的长．44、（本题满分12分）如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册第三章圆重点解析试题(含答案及详细解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上两点，30CDB ∠=︒，3BC =，则AB 的长度为（）A ．6B ．3C ．9D ．122、如图，已知O 中，50AOB ∠=︒，则圆周角ACB ∠的度数是（）A ．50°B ．25°C ．100°D ．30°3、如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A．2πB．4πC．2π+12D．4π+124、如图，等边△ABC内接于⊙O，D是BC上任一点（不与B、C重合），连接BD、CD，AD交BC于E，CF切⊙O于点C，AF⊥CF交⊙O于点G．下列结论：①∠ADC＝60°；②DB2＝DE•DA；③若AD＝2，则四边形ABDC CF＝83．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、如图，FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB 于D、E两点，若∠F＝60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为（）AB．2 C．D．3深度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm7、下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦C．三点确定一个圆D．相等的圆心角所对的弦相等8、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°9、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54°B．56°C．64°D．66°10、已知⊙O的半径为5，若点P在⊙O内，则OP的长可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知⊙O的直径为6cm，且点P在⊙O上，则线段PO=_________ .2、已知圆锥的母线长为13cm，底面圆的半径为5cm，则圆锥的表面积为 _____．3、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．则∠APB=________度；4、Rt ABC 的两条直角边分别是一元二次方程27120x x -+=的两根，则ABC 的外接圆半径为_____．5、在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的圆O 交BC 边于点D ．要使得圆O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > 12AB ；④12AB < DE ．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣3x ﹣3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点，且与x 轴交于另一点B （点B 在点A 右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B 坐标；（2）试探究ABC ∆的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线EF 平行y 轴交x 轴于点F ，交抛物线于点E ．求BCE ∆面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．2、尝试：如图①，ABC 中，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，直接写出图中的一对相似三角形_______；拓展：如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，若8BB '=，求CC '的长；应用：如图③，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AB =，30ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B 的对应点B ′恰好落在Rt ABC △的边所在的直线上时，直接写出此时点C 的运动路径长．3、如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AD 为⊙O 的直径．连结BD ，若AC BD =．（1）求证：∠1＝∠2．（2）当AD ＝BC ＝4时，求ABD 的面积．4、已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC 求作：一点P ，使得∠APC ＝∠BAC作法：①以点A 为圆心， AB 长为半径画圆；②以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交⊙A 于点C ，D 两点； ③连接DA 并延长交⊙A 于点P 点P 即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC5、如图，已知P是⊙O上一点，用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：用直尺和圆规作图．-参考答案-一、单选题1、A【分析】连接AC，利用直角三角形30°的性质求解即可．【详解】解：如图，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，∴AB=2BC=6，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 2、B 【分析】根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵1,502ACB AOB AOB ∠=∠∠=︒ ，∴25ACB ∠=︒ ．故选：B 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键． 3、D 【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒==∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键． 4、C 【分析】如图1，△ABC 是等边三角形，则∠ABC ＝60°，根据同弧所对的圆周角相等∠ADC ＝∠ABC ＝60°，所以判断①正确；如图1，可证明△DBE ∽△DAC ，则DB DEDA DC=，所以DB •DC ＝DE •DA ，而DB 与DC 不一定相等，所以判断②错误；如图2，作AH ⊥BD 于点H ，延长DB 到点K ，使BK ＝CD ，连接AK ，先证明△ABK ≌△ACD ，可证明S 四边形ABDC ＝S △ADK ，可以求得S △ADK 3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，由CF 切⊙O 于点C 得CF ⊥OC ，而AF ⊥CF ，所以AF ∥OC ，由圆周角定理可得∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝∠OCA ＝30°，于是∠CAG ＝∠OCA ＝30°，则∠COG ＝2∠CAG ＝60°，可证明△AOG 和△COG 都是等边三角形，则四边形OABC 是菱形，因此OA ∥CG ，推导出S 阴影＝S 扇形COG ，在Rt △CFG 中根据勾股定理求出CG 的长为4，则⊙O 的半径为4，可求得S 阴影＝S 扇形COG ＝2604360⨯π＝83π，所以判断④正确，所以①③④这3个结论正确．【详解】解：如图1，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°， ∵等边△ABC 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝60°，故①正确；∵∠BDE ＝∠ACB ＝60°，∠ADC ＝∠ABC ＝60°， ∴∠BDE ＝∠ADC ，又∠DBE ＝∠DAC ， ∴△DBE ∽△DAC ，∴DB DE DA DC,∴DB•DC＝DE•DA，∵D是BC上任一点，∴DB与DC不一定相等，∴DB•DC与DB2也不一定相等，∴DB2与DE•DA也不一定相等，故②错误；如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠ABK＝∠ACD，∴AB＝AC，∴△ABK≌△ACD（SAS），∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD，∴DH ＝KH ＝12DK ，∵∠AHD ＝90°，∠ADH ＝60°，∴∠DAH ＝30°，∵AD ＝2，∴DH ＝12AD ＝1，∴DK ＝2DH ＝2，AH =∴S △ADK ＝12AH DK ⋅=∴S 四边形ABDC ＝S △ABD +S △ACD ＝S △ABD +S △ABK ＝S △ADK故③正确；如图3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，则OA ＝OG ＝OC ，∵CF 切⊙O 于点C ，∴CF ⊥OC ，∵AF ⊥CF ，∴AF ∥OC ，∵∠AOC ＝2∠ABC ＝120°，∴∠OAC ＝∠OCA ＝12×（180°﹣120°）＝30°，∴∠CAG ＝∠OCA ＝30°，∴∠COG ＝2∠CAG ＝60°，∴∠AOG ＝60°，∴△AOG 和△COG 都是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AG ＝CG ＝OG ，∴四边形OABC 是菱形，∴OA ∥CG ，∴S △CAG ＝S △COG ，∴S 阴影＝S 扇形COG ，∵∠OCF ＝90°，∠OCG ＝60°，∴∠FCG ＝30°，∵∠F ＝90°，∴FG ＝12CG ，∵FG 2+CF 2＝CG 2，CF ＝∴（12CG ）2+（2＝CG 2，∴CG ＝4，∴OC ＝CG ＝4，∴S 阴影＝S 扇形COG ＝2604360⨯π＝83π，故④正确，∴①③④这3个结论正确，故选C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、C【分析】根据切线长定理可得，BE EC =、CD AD =、AF BF =，再根据∠F ＝60°，可知ABF 为等边三角形，120AOB ∠=︒，再△FDE 的周长为12，可得12BF AF +=，求得6AB =，再作OH AB ⊥，即可求解．【详解】解：FA 、FB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，过点C 的切线分别交FA 、FB 于D 、E 两点，则：BE EC =、CD AD =、AF BF =，90OBF OAF ∠=∠=︒，∵∠F ＝60°，∴ABF 为等边三角形，360120AOB F OBF OAF ∠=︒-∠-∠-∠=︒，∵△FDE 的周长为12，即12CD EC EF DF +++=，∴12BF AF +=，即6AB AF ==，作OH AB ⊥，如下图：则1602BOH AOB ∠=∠=︒，132BH AB ==， ∴30OBH ∠=︒，设OH x =，则2OB x =，由勾股定理可得：2223(2)x x +=，解得x =OB =故选C【点睛】此题考查了圆的有关性质，切线的性质、切线长定理，垂径定理以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．6、B【分析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，如图所示：∵AB=8cm，∴BD=12AB=4（cm），由题意得：OB=OC=1102⨯=5cm，在Rt△OBD中，OD=2222543OB BD-=-=（cm），∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），即水的最大深度为2cm，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7、B【分析】利用圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、能够完全重合的弧是等弧，故错误，是假命题，不符合题意；B、直径是圆中最长的弦，正确，是真命题，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，是假命题，不符合题意；D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；故选：B．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理，难度不大．8、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．9、A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB ＝90°，∠A ＝∠BCD ＝36°，然后利用互余计算∠ABD 的度数．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠DAB ＝∠BCD ＝36°，∴∠ABD ＝∠ADB ﹣∠DAB ，即∠ABD ＝90°﹣∠DAB ＝90°﹣36°＝54°．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10、A【分析】根据点与圆的位置关系可得5OP <，由此即可得出答案．【详解】解：O 的半径为5，点P 在O 内，5OP ∴<，观察四个选项可知，只有选项A 符合，故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键．二、填空题1、3cm【分析】根据点与圆的位置关系得出：点P 在⊙O 上，则PO r =即可得出答案．【详解】∵⊙O 的直径为6cm ，∴⊙O 的半径为3cm ，∵点P 在⊙O 上，∴3cm =PO ．故答案为：3cm ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点P 在⊙O 外，则PO r >，点P 在⊙O 上，则PO r =，点P 在⊙O 内，则PO r <．2、90πcm 2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出圆锥的侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥的表面积．【详解】解：圆锥的侧面积＝12513652ππ＝cm 2，圆锥的底面积＝π•52＝25πcm 2，所以圆锥的表面积＝65π+25π＝90πcm 2．故答案为：90πcm 2．【点睛】本题考查了圆锥的表面积，圆锥的有关概念，正确运用圆的面积公式，扇形的面积公式是解题的关键．3、60【分析】先根据圆的切线的性质可得90OAP ∠=︒，从而可得60PAB ∠=︒，再根据切线长定理可得PA PB =，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．【详解】解：,PA PB 是O 的切线，,PA PB OA AP ∴=⊥，90OAP ∴∠=︒，30OAB ∠=︒，60PAB OAP OAB ∴∠∠=∠-=︒，PAB ∴是等边三角形，60APB ∴∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 4、2.552【分析】根据题意先解一元二次方程，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案．【详解】解：27120x x -+=， ()()340x x --=，解得123,4x x ==，∴Rt ABC 的两条直角边分别为3，4，∴，直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，∴ABC 的外接圆半径为52．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键．5、②④【分析】将所给四个条件逐一判断即可得出结论．【详解】解：在ΔABC 中，AB AC =①当∠BAC > 60°时，若90BAC ∠=︒时，点E 与点A 重合，不符合题意，故①不满足；②当∠ABC 45≤︒时，点E 与点A 重合，不符合题意，当∠ABC 60>︒时，点E 与点O 不关于AD 对称，当4560ABC ︒<∠≤︒时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故②满足条件；③当12AB BD AB ≤<时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故③不满足条件；④当12AB < DE 时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故④满足条件；所以，要使得O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或12AB < DE 故答案为②④【点睛】本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．三、解答题1、（1）抛物线解析式为223y x x =--，B 点坐标为（3，0）；（2）△ABC 外接圆圆心在直线1x =上，其坐标为（1，14-）；（3）BCE S 的最大值为278，此时M 点的坐标为（32，32-）．【分析】（1）先由一次函数解析式求出AC 的坐标，然后把AC 的坐标代入抛物线解析式中求解出抛物线解析式，然后求出B 点坐标即可；（2）设△ABC 外接圆圆心为P ，点P 的坐标为（m ，n ），又A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（3，0），得到抛物线的对称轴为直线1x =，根据外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，推出点P 在直线1x =上，即m =1，PB =PC ，再由PB =PC =224441n n n +=+++，由此求解即可；（3）先求出直线BC 的解析式为3y x =-，设M 的坐标为（t ，t -3），则E 点坐标为（t ，223t t --），则()22239323324ME t t t t t t ⎛⎫=----=-+=--+ ⎪⎝⎭，根据=BCE MCE MBE S S S +△△△32ME =23327228t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）∵直线33y x =--与x 轴交于点A 、与y 轴交于点C ，∴A 点坐标（-1，0），C 点坐标为（0，-3），∵抛物线2y x bx c =++经过A 、C 两点，∴103b c c -+=⎧⎨=-⎩， ∴23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为223y x x =--，当0y =时，2230x x --=，解得1x =-或3x =，∴B 点坐标为（3，0）；（2）设△ABC 外接圆圆心为P ，点P 的坐标为（m ，n ），∵A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（3，0），∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，∴点P 在直线1x =上，即m =1，PB =PC ，∵PB =PC =224441n n n +=+++， ∴14n =-， ∴点P 的坐标为（1，14-）；（3）设直线BC 的解析式为1y kx b =+，∴11303k b b +=⎧⎨=-⎩， 1313k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-，设M 的坐标为（t ，t -3），则E 点坐标为（t ，223t t --），∴()22239323324ME t t t t t t ⎛⎫=----=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∴=BCE MCE MBE S S S +△△△()()1122M C B M ME x x ME x x =⋅-+⋅-()12B C ME x x =⋅- 32ME =， 23327228t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ∴当32t =时，BCE S 有最大值，最大值为278， ∴此时M 点的坐标为（32，32-）．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，三角形外接圆圆心坐标，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．2、尝试：''ABB ACC △△；拓展：'CC =；应用：点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π．【分析】尝试：根据AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，可得到=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，即可推出=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''，则ABB ACC ''△∽△；拓展：由AC =BC ，∠ACB =90°，可得AB =，同（1）可证ABB ACC ''△∽△，得到AB BB AC CC =''，由此求解即可；应用：分点'B 在AC 延长线上时，点'B 在CA 的延长线上时，当点'B 落在边BC 所在直线上时，当点'B 落在边AB 所在直线上时，当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周时，五种情况讨论求解即可得到答案．【详解】解：尝试：ABB ACC ''△∽△，理由如下：∵AB C ''△是由△ABC 旋转得到的，∴=BAC B AC ''∠∠，AB AB '=，AC AC '=，∴=BAC CAB B AC CAB ''''++∠∠∠∠，即=BAB CAC ''∠∠，1AB AC AB AC ==''， ∴ABB ACC ''△∽△；故答案为：ABB ACC ''△∽△；拓展：∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴AB ，同（1）原理可证ABB ACC ''△∽△， ∴AB BB AC CC =''，∴AC BB CC AB '⋅'== 应用：∵在Rt ABC 中，2AB =，30ABC ∠=︒， ∴112AC AB ==，60BAC ∠=︒，当点'B 落在AC 所在直线上时，有两种情况：①若点'B 在AC 延长线上时，如图①所示：由旋转的旋转可得：'60CAC BAC ∠=∠=︒，∴点C 运动的路径即为CC '，∴6011803CC ππ⨯'==；②若点'B 在CA 的延长线上时，如图②所示，此时点B ，'C ，'B 三点共线，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'180120CAC B AC ''∠=︒-=︒∠∴旋转角360240CAC '=︒-=︒∠， ∴弧240141803'CC ππ⨯==；当点'B 落在边BC 所在直线上时，如图③所示，∴点C 运动的路径即为CC '，由旋转的性质可得'60B AC BAC '∠=∠=︒，∴'18060CAB B AC BAC ''∠=︒--=︒∠∠，∴120CAC CAB B AC =''''∠=∠+∠︒ ∴弧120121803CC'ππ⨯==；当点'B 落在边AB 所在直线上时，如图④所示，此时点C ，A ，'C 三点共线，旋转角为180︒， ∴弧1801180CC'ππ⨯==．当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周，∴弧'22CC AC ππ=⨯=．∴当点B 的对应点'B 恰好落在Rt ABC 的边所在直线上时，点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件，以及弧长公式．3、（1）见解析；（2）【分析】（1）先证明AB CD =，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等即可证明；（2）过O 点作OE ⊥BC 于点E ，连接OB ，由垂径定理可得BE =CE =122BC =，由勾股定理求出2OE ，即可得到11222ABD S AD OE ∆=•=⨯= 【详解】解：（1）∵AC BD =，∴AB BC CD BC +=+，∴AB CD =，∴∠1=∠2；（2）过O 点作OE ⊥BC 于点E ，连接OB ，∴BE =CE =122BC =， ∵AD 为⊙O 的直径，∴OB =12AD =∴2OE =，∴11222ABD S AD OE ∆=•=⨯=【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．4、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∴∠BAC＝1∠CAD2∵点D，P在⊙A上，∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．5、见详解【分析】方法一：连接OP，并延长，以点P为圆心，OP长为半径画弧，交OP的延长线于点C，然后再以点O、C为圆心，大于OC长的一半为半径画弧，交于点M、N，则问题可求解；方法二：连接OP，以点P 为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于点D，连接OD并延长，然后以点D为圆心OD长为半径画弧，交OD的延长线于点E，连接PE，则问题可求解．【详解】解：方法一如图所示：直线MN即为⊙O的切线；方法二如图所示：则PE即为⊙O的切线．【点睛】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》检测(有答案解析)

一、选择题1．以坐标原点O 为圆心，1为半径作圆，直线y x b =-+与O 相交，则b 的取值范围是（）A ．11b -<<B ．22b -<<C ．20b -<<D ．02b << 2．如图，ABC 是O 的内接三角形，BD 为O 的直径．若10BD =，2ABD C ∠=∠，则AB 的长度为（）A ．4B ．5C ．5.5D ．63．我国古代数学名著《九章算术》中有“勾股定理”问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少步？”此问题的答案是（）．A ．3步B ．4步C ．6步D ．8步4．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为6cm ，当重物上升4cm π时，滑轮的一条半径OA 按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 5．如图，30MAN ∠=︒，O 是MAN ∠内部一点，O 与MAN ∠的边AN 相切于点B ，与边AM 相交于点C ，D ，52AB =，作OE CD ⊥于E ，3OB OE =，则弦CD 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．266．探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm ．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA 的值最接近的是（）A ．8cmB ．7 cmC ．6 cmD ．5 cm7．如图，半圆的直径为AB ，圆心为点O ，C 、D 是半圆的3等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A ．3πB ．6πC ．12D ．138．如图，O 是ABC 的外接圆，BC 的中垂线与AC 相交于D 点，若60A ∠=︒，70B ∠=︒，则AD 的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．20︒D ．309．如图，ABC 内接于O ，A 40∠=︒，ABC 70∠=︒，BD 是O 的直径，BD 交AC于点E ，连接CD ，则AEB ∠等于（）A ．70︒B ．90°C ．110°D ．120°10．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，D ，E 分别为线段AB ，AC 上一点，且AD AE =，连接BE 、CD 交于点G ，延长AG 交BC 于点F ．以下四个结论正确的是（）①BF CF =；②若BE AC ⊥，则CF DF =；③若BE 平分ABC ∠，则32FG =； ④连结EF ，若BE AC ⊥，则2DFE ABE ∠=∠． A ．①②③ B ．③④C ．①②④D ．①②③④ 11．下列说法正确的是（）A ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．平分弦的直径垂直于弦C ．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似D ．对角线相等的四边形是矩形12．如图，AB 为⊙0的直径，点C 在⊙0上，且CO ⊥AB 于点O ，弦CD 与AB 相交于点E ，若∠BEC= 68°，则∠ABD 的度数为（）A ．20°B ．23°C ．25°D ．34°二、填空题13．如图，点A ，B ，C 都在O 上，2tan 3ABC ∠=，将圆O 沿BC 翻折后恰好经过弦AB 的中点D ，则BC AB的值是___________．14．如图，AB 、CD 是O 的两条弦，连接AD 、BC ．若60BAD ∠=︒，则BCD ∠的度数为______度．15．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且AC BD ⊥， OF CD ⊥，垂足分别为E F 、，若52OF =，则AB =_____．16．如图，等腰BAC 中，120ABC ∠=︒，4BA BC ==，以BC 为直径作半圆，则阴影部分的面积为________．17．如图，BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，AD 平分BAC ∠，连接BD 、CD ，若65ACB ∠=︒，则ABD ∠的度数为_________．18．如图，在ABC 中，D 是边BC 上的一点，以AD 为直径的O 交AC 于点E ，连接DE ．若O 与BC 相切，55ADE ∠=︒，则C ∠的度数为______19．点E 在正方形ABCD 的内部，BCE 是以EC 为底边的等腰三角形，1AB =，则DE 的最小值为_________．20．如图，将矩形ABCD 绕点C 沿逆时针方向旋转，使点B 的对应点B '刚好落在DC 延长线上，得到矩形A B CD '''，若4AB =，8AD =，则阴影部分的面积为__________．三、解答题21．如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点O 为圆心，AB 为直径，点A ，B ，C ，D 是半圆弧与平行线的交点．只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中作出BD 边上的中线CE ．（2）在图2中作BCD ∠的角平分线CF ．22．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，弦AD ∥OC ．（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）已知AB ＝6，CB ＝4，求线段AD 的长．23．如图，矩形ABCD 中，22,4AB BC ==，以B 为圆心．BC 为半径画弧，交AD 于点E ，()1求ABE ∠的度数；()2求图中阴影部分的面积．24．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上不同于A ，B 的两点，且OC 平分ACD ∠，延长AC 与DB 交于点E ，过点C 作CF OC ⊥交DE 于点F ．（1）求证：A E ∠=∠．（2）若5BF =，34BD OB =，求O 的半径．25．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积．26．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若tan ∠P ＝34，AD ＝6，求⊙O 的半径．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】求出直线y x b =-+与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线y x b =-+与圆相切时，函数经过二、三、四象限b 的值，则b 的值在相交时与相切时两个b 之间；【详解】当直线y x b =-+与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示：在y x b =-+中，令x=0，y=b ，则与y 轴的交点为B(0，b)，令x=b ，y=0，则与x 轴的交点为A(b ，0)，则OA=OB ，即△AOB 是等腰直角三角形，连接圆心O 与切点C ，则OC=1，∴ △BOC 也是等腰直角三角形，∴ BC=OC=1，∴ 22112BO =+= ，同理当直线y x b =-+与圆相切时且函数经过二、三、四象限，b=2- ，∴ 当直线y x b =-+与圆相交时，b 的取值范围是22b -＜＜；故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b 的值．2．B解析：B【分析】连接OA ，首先求出∠ACB=30°得∠AOB=60°，从而证得△AOB 是等边三角形，进一步得出结论．【详解】解：∵BD 是圆O 的直径，且BD=10∴OB=5连接OA ，如图，∵BD 是圆O 的直径，∴90ACB ABD ∠+∠=︒又2ABD C ∠=∠∴3∠C=90°，即∠C=30°，∴∠AOB=60°∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OB=5故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．3．C解析：C【分析】根据题意，得点E 、点D 、点F 分别为O 与AB 、BC 、AC 的交点，连接OA 、OB 、OC ；根据勾股定理，计算得AC ；设O 的半径为r ；根据内切圆性质，得OD BC ，OE AB ⊥，OF AC ⊥；再结合三角形面积关系，通过计算，即可得到答案．【详解】如图，直角ABC ，O 是直角ABC 的内切圆，点E 、点D 、点F 分别为O 与AB 、BC 、AC 的交点，连接OA 、OB 、OC根据题意，得8AB =，15BC = ∴2217AC AB BC =+= 设O 的半径为r ∵O 是直角ABC 的内切圆∴OD BC ，OE AB ⊥，OF AC ⊥，OD OE OF r === ∴ABC AOB BOC COA S S S S =++△△△△ ∴11112222AB BC AB r BC r AC r ⨯=⨯+⨯+⨯ ∴81581517r r r ⨯=++∴3r =∴O 的直径为6，即直径6步故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内切圆、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内切圆、勾股定理的性质，从而完成求解．4．D解析：D【分析】重物上升的距离恰好是滑轮转过的弧长，根据弧长公式计算即可.【详解】∵重物上升的距离恰好是滑轮转过的弧长，∴4π=n 6180π⨯⨯，解得n=120，故选D.【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式，读懂题意是解题的关键.5．C解析：C【分析】延长BO 交AM 点F ，计算BF ，后计算OB ，OC ，OE ，最后，运用垂径定理计算即可.【详解】如图，延长BO 交AM 点F ，连接OC ，∵O 与MAN ∠的边AN 相切，∴∠ABF=90°，∵30MAN ∠=︒，AB =∴BF=3，∠AFB=60°，∠FOE=30°，设EF=x ，则OF=2x ，， ∵OB =，∴OB=3x ，∴BF=OB+OF=5x ，∴，∴ ∴，，∵OE CD ⊥，∴在直角三角形OCE 中，，根据垂径定理，得CD=2CE=4，故选C.【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，垂径定理，会用延长线段BO构造特殊的直角三角形是解题的关键.6．B解析：B【分析】先计算出QA的长，由于图甲测得PC=12cm，即圆的半径等于12cm，在图乙中直角三角形OAQ中利用30度角的三角函数可求得tan30°=3=12AQ，解得AQ的值为43．先估计3的近似值，再求解．【详解】解：如图甲，连结OP，并设⊙O与x轴相切于点D，图乙，连结OQ、OA，并设⊙O与x 轴相切于点E，∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD是正方形，∴OQ=OP=PC=12cm，由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC）÷2=60°，∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，∴tan∠QOA=AQ÷OQ，即tan30°=3=12 AQ，解得AQ=∵1.52，∴6＜8．故选B．【点睛】本题考查的是切线的性质，解直角三角形和无理数的估算．估算无理数的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握．7．D解析：D【分析】由C、D是半圆的3等分点知∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，据此得S扇形AOC＝S扇形COD＝S扇形BOD＝13S半圆，再根据概率公式求解即可．【详解】解：∵C、D是半圆的3等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴S扇形AOC＝S扇形COD＝S扇形BOD＝13S半圆，∴该点取自阴影部分的概率为1=3CODSS扇形半圆，故选：D．【点睛】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．8．C解析：C【分析】首先连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，由∠B＝70°，∠A＝60°，又由△ABC的边BC 的垂直平分线与△ABC的外接圆相交于点D，根据圆周角定理，即可求得∠AOB与∠BOE 的度数，继而求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，∵OD 是△ABC 的边BC 的垂直平分线，∴∠BOE ＝12∠BOC ， ∵∠BAC ＝12∠BOC ， ∴∠BOE ＝∠BAC ，∵∠A ＝60°，∠B ＝70°，∴50∠=°ACB ，∴∠BOE ＝∠BAC ＝60°，∴∠BOD ＝180°−∠BOE ＝180°−60°＝120°，∵∠AOB ＝2∠ACB ＝100°，∴AB 的度数为：100°，∴AD 的度数为：120°−100°＝20°．故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．D解析：D【分析】根据三角形内角和定理和圆周角定理求解即可；【详解】∵A 40∠=︒，ABC 70∠=︒，∴180407070ACB ∠=︒-︒-︒=︒， ∵BD 是圆O 的直径，∴90BCD ∠=︒，∴20ACD ∠=︒，∴20ABD ACD ∠=∠=︒，∴()1801804020120AEB BAE ABE∠=︒-∠+∠=︒-︒-︒=︒；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形内角和，准确计算是解题的关键．10．D解析：D【分析】先证明∆BAE ≅∆CAD ，再证明∆ABG ≅ ∆ACG ，得AF 是∠BAC 的平分线，进而即可判断①；先证明BDC=∠CEB=90°，根据直角三角形的性质，即可判断②；根据角平分线的性质，得点G 到∆ABC 的三边距离都相等，结合“等积法”即可判断③；先证明B ，C ，D ，E 在以点F 为圆心的圆上，进而即可判断④．【详解】∵AB=AC ，∠BAE=∠CAD ，AE=AD ，∴∆BAE ≅ ∆CAD ，∴∠ABE=∠ACD ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD ，即：∠GBC=∠GCB ，∴BG=CG ，∴∆ABG ≅ ∆ACG ，∴∠BAG=∠CAG ，即AF 是∠BAC 的平分线，∴BF CF =，故①正确；∵BE AC ⊥，∴∠CEB=90°，由①可知：BD=CE ，∠ABC=∠ACB ，又∵BC=CB ，∴∆BDC ≅∆CEB ，∴∠BDC=∠CEB=90°，∵点F 是BC 的中点，∴CF DF =，故②正确；∵BE 平分ABC ∠，AF 平分∠BAC ，∴点G 是角平分线的交点，∴点G 到∆ABC 的三边距离都相等，且等于FG ，∵5AB AC ==，6BC =，AF ⊥BC ，∴4=， ∴S ∆ABC =12(AB+AC+BC)∙FG=12×16FG=8FG ，S ∆ABC =12BC∙AF=12， ∴8FG=12，即：32FG =，故③正确； ∵BE AC ⊥，由①可知：CD ⊥AB ，∴B，C，D，E在以点F为圆心的圆上，∴2∠=∠，故④正确．DFE ABE故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握“等腰三角形三线合一”，“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”，是解题的关键．11．A解析：A【分析】根据菱形的判定定理、垂径定理的推论、相似三角形的判定定理、矩形的判定定理依次对选项进行判断即可．【详解】A：根据菱形的判定定理可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项符合题意；B：根据垂径定理可知，平分弦的直径不一定垂直于弦，但垂直于弦的直径一定平分这条弦，故此选项不符合题意；C：根据三角形相似的判定定理可知，两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不符合题意；D：对角线相等且平分的四边形是矩形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查矩形、菱形、相似三角形的判定定理及垂径定理的推论，掌握各判定定理是解题的关键．12．B解析：B【分析】连接OD，可得∠ODC=∠OCD=22°，从而可求得∠AOD=46°，结合圆周角定理，即可求解．【详解】连接OD，∵CO⊥AB，∠BEC= 68°，∴∠OCD=90°-68°=22°，∵CO=CD，∴∠ODC=∠OCD=22°，∴∠COD=180°-22°-22°=136°，∴∠AOD=136°-90°=46°，∴∠ABD=1∠AOD=23°，2故选B．【点睛】本题主要考查圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．二、填空题13．【分析】如图连接ACCD过点C作CE⊥AB于E设AD＝DB＝2a想办法用a 表示BC即可解决问题【详解】解：如图连接ACCD过点C作CE⊥AB于E∵D 为AB的中点设AD＝DB＝2a∵∠ABC＝∠CBD13【分析】如图，连接AC，CD，过点C作CE⊥AB于E．设AD＝DB＝2a．想办法用a表示BC即可解决问题．【详解】解：如图，连接AC，CD，过点C作CE⊥AB于E．∵D 为AB 的中点，设AD ＝DB ＝2a∵∠ABC ＝∠CBD ，∴AC CD =，∴CA ＝CD ，∵CE ⊥AD ，∴AE ＝ED ＝a ，∴BE ＝DE +DB ＝3a ， ∵2tan 3∠==C EC EB AB ， ∴EC ＝2a ，∴BC 22EC EB + 22(2)(3)13a a a +=， ∴131344BC a AB a==，故答案为：134．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．【分析】利用同圆中同弧上的圆周角相等求解即可【详解】∵∴故答案为：60°【点睛】本题考查了圆的基本性质熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键解析：【分析】利用同圆中，同弧上的圆周角相等求解即可．【详解】∵BAD ∠=BCD ∠，60BAD ∠=︒∴60BCD ∠=︒，故答案为：60°．【点睛】本题考查了圆的基本性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．15．【分析】连接DO 并延长与⊙O 相交于点G 连接BGCG 由AC ⊥BDDG 是直径可得∠DBG=90°=∠DCG 可证AC ∥BG 可得可得AB=CG 由OF ⊥CD 可证OF ∥CG 可证△DOF ∽△DGC 由性质由OF=可解析：【分析】连接DO 并延长，与⊙O 相交于点G ，连接BG ，CG ，由AC ⊥BD ， DG 是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG 可证AC ∥BG ，可得AB CG =，可得AB=CG ，由OF ⊥CD ，可证OF ∥CG ，可证△DOF ∽△DGC ，由性质DO OF 1==DG CG 2，由OF=52，可求CG 5=2OF=2=52⨯即可．【详解】解：如图，连接DO 并延长，与⊙O 相交于点G ，连接BG ，CG ，∵AC ⊥BD ，DG 是直径，∴∠DBG=90°=∠DCG ，∴BG ⊥DB,∴AC ∥BG ，∴AB CG =，∴AB=CG ，∵OF ⊥CD ，∴OF ∥CG ，∴∠DOG=∠DGC∴△DOF ∽△DGC ，， ∴DO OF 1==DG CG 2， ∵OF=52，∴CG 5=2OF=2=52⨯，所以AB=CG=5．故答案为：5．【点睛】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．16．【分析】连接BD 作半径OD 先求出BDCD 长△OCD 面积再求出扇形OCD 面积即可求出阴影面积【详解】解：如图连接BD 作半径OD ∵BC 为直径∴BD ⊥AC ∵BA=BC=4∴∠ACB=∠A=30°∴BD=∴解析：433π【分析】连接BD ，作半径OD ，先求出BD 、CD 长，△OCD 面积，再求出扇形OCD 面积，即可求出阴影面积．【详解】解：如图，连接BD ，作半径OD ，∵BC 为直径，∴BD ⊥AC ，∵BA=BC=4，120ABC ∠=︒，∴∠ACB=∠A=30°，∴BD=1BC=22， ∴2223BC BD -=∵O 为BC 中点，∴1112233222ODC BDC S S ==⨯⨯⨯=△△ ∵OD=OC ，∠ACB=30°，∴∠COD=120°，∵直径BC=4，∴半径OC=2， ∴2120423603OCD S ππ=⨯⨯=扇形， ∴阴影部分面积为433π-．故答案为：433π【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，勾股定理，、圆周角定理推论、扇形面积的求法，弓形面积求法等知识，理解割补法是求不规则图形面积的一般方式是解题关键． 17．【分析】由为直径可得∠BAC=∠BDC=90°由平分可证BD=DC 可得∠DBC=∠DCB=45°可求∠ABC=90°-∠ACB=25°可求∠ABD=∠ABC+∠DBC=70°即可【详解】解：∵是的内解析：70︒【分析】由BC 为直径，可得∠BAC=∠BDC=90°由AD 平分BAC ∠，可证BD=DC ，可得∠DBC=∠DCB=45°，65ACB ∠=︒，可求∠ABC=90°-∠ACB=25°，可求∠ABD=∠ABC+∠DBC=70°即可．【详解】解：∵BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，∴∠BAC=∠BDC=90°∵AD 平分BAC ∠，∴∠BAD=∠CAD ， ∴BD DC =，∴BD=DC ，∴∠DBC=∠DCB=45°，∵65ACB ∠=︒，∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-65°=25°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=25°+45°=70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质，掌握圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质是解题关键．18．55°【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED=90°由切线的性质得∠ADC=90°然后由同角的余角相等得∠C=∠ADE=55°【详解】解：∵AD为的直径∴∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=9解析：55°【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED=90°，由切线的性质得∠ADC=90°，然后由同角的余角相等得∠C=∠ADE=55°．【详解】解：∵AD为O的直径，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∵O与BC相切，∴∠ADC=90°，∴∠DAE+∠C=90°，∴∠C=∠ADE=55°．故答案为55°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆的相关概念及性质，互余关系等知识点．掌握圆的相关性质是解题的关键．19．-1【分析】根据△BCE是以CE为底边的等腰三角形推出点E在以B为圆心AB长为半径的圆弧AC上根据圆的基本性质得到DE最小时点E的位置从而利用BD-BE计算出结果【详解】解：如图正方形ABCD中∵△-1【分析】根据△BCE是以CE为底边的等腰三角形推出点E在以B为圆心，AB长为半径的圆弧AC 上，根据圆的基本性质得到DE最小时点E的位置，从而利用BD-BE计算出结果．【详解】解：如图，正方形ABCD中，∵△BCE是以CE为底边的等腰三角形，∴BE=BC，∴点E在以B为圆心，AB长为半径的圆弧AC上，连接BD，与弧AC交于点E，则此时DE最小，∵AB=1，∴BE=1，，∴-1，故答案为：2-1．【点睛】本题考查了圆的基本性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意得到点E 在弧AC 上．20．【分析】先求出CE=2CD′求出∠D′EC=30°求出∠D′CE=60°D′E=4分别求出扇形CEB 和三角形CD′E 的面积即可求出答案【详解】解：设与交于点连接∵四边形是矩形∴在中∵∴∴∴故答案为：解析：32833π- 【分析】先求出CE=2CD′，求出∠D′EC=30°，求出∠D′CE=60°，D′E=43，分别求出扇形CEB 和三角形CD′E 的面积，即可求出答案．【详解】解：设BB '与A D ''交于点E ，连接CE ，∵四边形'''A B CD 是矩形，∴A D C ∠''90B CD =∠''=︒，在Rt ED C '中，∵8CE CB ==，=4CD AB '=，∴228443ED '=-=，30CED ∠'=︒，∴60ECD ∠'=︒，∴26081324438336023ECD ECB S S S ππ'⨯=--⨯⨯=-=△阴影扇形故答案为：32833π-【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，题目比较好，难度适中．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线之间的距离处处相等可取BD中点E，连接CE即可；（2）连接OE并延长，与圆O交于点F，连接CF即可．【详解】解：（1）如图，CE即为所作；（2）如图，CF即为所作．【点睛】本题考查了平行线之间的距离处处相等，垂径定理，圆周角定理，实质上是考验学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．22．（1）证明见详解；（2）18 5【分析】（1）连接OD，证明CBO△CDO≌△，即可得到结论．（2）连接BD，根据勾股定理求出OC，根据直径所对的圆周角等于90 ，平行线的性质，可证OCB△ADB∽△，即可求出AD的长【详解】（1）如图：连接OD，//AD OC ，A COB ∴∠=∠，ADO COD ∠=∠，OA OD =，A ADO ∴∠=∠，COD COB ∴∠=∠，∴在COD △和CBO 中OD OB COD COB OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD △≌CBO ，CDO CBO ∴∠=∠，CB AB ⊥，90CDO CBO ∴∠=∠=︒，OD CD ∴⊥，∴DC 是⊙O 的切线；（2）如图:连接BD//AD OCA COB ∴∠=∠ AB 为直径，CB AB ⊥90ADB OBC ∴∠=∠=︒∴ADB OBC ∽OC OB AB AD∴=6,4AB BC ==132OB AB ∴== ∴在Rt OBC 中5OC ===536AD∴= 185AD ∴= 【点睛】本题考查了圆切线的判定定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理和性质，正确作出辅助线是解题关键．23．()145︒；()242π-【分析】（1）由作图可知，BE=BC=4，勾股定理求出AE 长即可求ABE ∠的度数；（2）阴影部分的面积是矩形面积减去△ABE 面积再减去扇形EBC 面积．【详解】解：（1）由作图可知，BE=BC=4，∵∠A=90°，AB =∴AE ===，∴AB=AE ，∴45ABE ∠=；（2）由（1）可知∠EBC=45°，ABE ABCD EBC S S S S =--△阴矩形扇形，(22145442360S π⨯=-⨯-︒阴，42π=-．【点睛】本题考查了勾股定理，扇形面积公式，等腰三角形的性质，解题关键是理解作图意义，熟练运用勾股定理和扇形面积公式．24．（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据角平分线和半径相等证//OC DE ，再用平行线的性质证明即可；（2）设3BD x =，4OB x =，根据（1）中的等角，得到AB=BE ，CE=CD ，列方程即可．【详解】（1）证明：∵OC=OA,∴ACO A ∠=∠．∵∠A=∠D ，∴∠D=∠ACO∵OC 平分ACD ∠，∴ACO OCD ∠=∠，∴OCD D ∠=∠．∴//OC DE ，∴E ACO ∠=∠，∴E A ∠=∠．（2）解：∵34BD OB =，∴设3BD x =，4OB x =，由（1）得E D ∠=∠，∴CD=CE ，∵//OC DE ．CF OC ⊥，∴CF DE ⊥，∴35EF DF x ==+．∴310BE x =+，∵E A ∠=∠，∴AB BE =，即3108x x +=，解得2x =∴半径48OB x ==．【点睛】本题考查了圆周角的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质，解题关键是准确把握已知，合理利用已知条件，设未知数列方程．25．圆锥的底面圆半径为3；圆锥的侧面积为27π．【分析】直接利用圆的周长公式即可求出圆的半径长，根据扇形的面积公式即可求出圆锥的侧面展开图的面积；【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，则2π6πr =，解得3r =，设扇形AOB 的半径为R ，则120π6π180R ⋅⋅=，解得9R =， ∴圆锥的侧面积16π927π2=⨯⨯=．【点睛】本题考查了圆锥的展开图问题，正确以及圆的周长公式以及扇形面积公式是解题的关键； 26．（1）PC 是⊙O 的切线，见解析；（2）154r =【分析】（1）结论：PC 是⊙O 的切线．只要证明OC ∥AD ，推出∠OCP =∠D =90°，即可．（2）先利用锐角三角函数求出PD ，进而求出AP ，再由OC ∥AD ，推出OC OP AD AP=，由此即可计算．【详解】解：（1）结论：PC 是⊙O 的切线．理由：连接OC ．如图1，∵AC 平分∠EAB ，∴∠EAC =∠CAB ，又∵OA =OC ，∴∠CAB =∠ACO ，∴∠EAC =∠OCA ，∴OC ∥AD ，∵AD ⊥PD ，∴∠OCP =∠D =90°，∴PC 是⊙O 的切线．（2）在Rt △ADP 中，∠ADP =90°，AD =6，tan ∠P =34， ∴PD =8tan AD P =∠，AP =10，设半径为r ，∵OC ∥AD ， ∴OC OP AD AP =，即10610r r -=，解得r =154，故半径为154．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

人教版九年级数学下册圆测试习题及答案

人教版九年级数学下册圆测试习题及答案一、选择题1.如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．均有可能2.(贺州中考)已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为()A．2B．4C．6D．83.(兰州中考)如图，在⊙O中，若点C是AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC的度数为()A．40°B．45°C．50°D．60°4.(杭州中考)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A、C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则()A．DE＝EBB.2DE＝EBC.3DE＝DOD．DE＝OB5.如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是() A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°6.(德州中考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”()A．3步B．5步C．6步D．8步7.(山西中考)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则FE的长为()A.B.C．πD．2π328.(滨州中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是()A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤二、填空题9.(安顺中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝4．10.(齐齐哈尔中考)如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝60度．略3．B解析：根据勾股定理得BE＝√(25-9)＝4，所以AE＝5，AC＝AB+BC＝10+8＝18，所以△ABC为等腰三角形，∠BAC＝∠BCA＝72°，所以∠ABC＝36°，所以sin36°＝AC/2R，解得R＝9/sin36°．4．B解析：设圆的半径为r，则根据勾股定理得r2＝82+62，所以r＝√(64+36)，所以圆的面积为πr2＝100π．5．C解析：设AB＝x，则BC＝2x，所以AC＝3x，又因为三角形ABC为等腰三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝70°，所以sin70°＝AB/BC，解得x＝BCsin70°/sin20°，所以AC＝3x ＝3BCsin70°/sin20°，所以sin50°＝AD/AC，解得AD＝ACsin50°＝3BCsin70°sin50°/sin20°．11．略12．解析：设弦CD的长为x，则根据勾股定理得(x/2)2＋182＝(13)2，解得x＝26/3．13．解析：根据勾股定理得BC＝√(24×(24-18))＝12，所以AB＝2BC＝24，所以三角形ABC为30°-60°-90°三角形，所以AC＝2AB/√3＝16√3，所以sinA＝AH/AC＝9/16，所以sinB＝√(1-sin2A)＝7/16，所以BC＝ACsinB/sinA＝28/3，所以AB＝2BC＝56/3．14．解析：根据勾股定理得OD＝r/2，所以CD＝r/2，所以△OCD为等边三角形，所以AC＝r/2√3，所以当△OCD的面积最大时，AC＝r/2√3为最大，所以r＝2√3，所以AC＝2．15．(1)解析：根据正弦定理得sin∠ECD＝sin∠EAD，所以∠ECD＝∠EAD，所以∠A＝∠C，所以AB＝AC．2)解析：根据正弦定理得CD/AD＝BC/AB，所以CD＝23/4．16．解析：(1)根据勾股定理得OB＝√(OA2-AB2)＝√(OA2-(2r)2)，所以OA2＝OB2+(2r)2＝(r+3)2，所以OA＝r+3．2)根据相似三角形得CE/CO＝DE/OF，所以CE＝r/2，所以阴影部分的面积为πr2/6-√3r2/4+πr2/12-πr2/3=πr2/12-√3r2/4．17．(1)解析：根据相似三角形得∠___∠CDA，所以∠___∠CBD，所以CD是⊙O的切线．2)解析：根据相似三角形得DE/CD＝BD/BC，所以DE＝CD×BD/BC＝9/2，所以BE＝BC-CE-DE＝23/2-6-9/2＝4．18．(1)解析：当P在直线AB上时，OP与y轴相交于点(0,-23)，所以当P在AB上方时，OP在y轴上方，当P在AB下方时，OP在y轴下方，所以原点O与⊙P的位置关系取决于P在AB的上方还是下方．2)解析：当⊙P过点B时，由于AB垂直于y轴，所以⊙P被y轴所截得的劣弧的长为∠APB的度数，而∠APB的度数为90°，所以答案为π/2．3)解析：当⊙P与x轴相切时，设切点坐标为(x,y)，则由于OP垂直于x轴，所以OP与x轴的夹角为90°，所以OP的斜率为-1/3，所以y=3x-23，且(x-1)2+y2=1，联立两式解得x=7/5，y=2/5，所以切点的坐标为(7/5,2/5)．17.证明：连接OD。

北师大版九年级下册数学第三章圆单元测试(含答案)

北师大版九年级下册数学第三章圆单元测试(含答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（北师大版九年级下册数学第三章圆单元测试(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为北师大版九年级下册数学第三章圆单元测试(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。

第三章圆一、选择题1.已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8,那么点P的位置（）A。

一定在⊙O的内部B.一定在⊙O的外部C.一定在⊙O上D。

不能确定2。

乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为( ）A。

4m B。

5mC. 6m D。

8m3.给出下列说法：①直径是弦;②优弧是半圆;③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中,大的半圆的弧长小于小的半圆的周长．其中正确的有( ）A。

1个 B。

2个C. 3个D. 4个4。

一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（）A。

cm B。

3cmC. 6cm D。

9cm5.如图,点A,B,C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A,O,C作⊙D，E是⊙D上任意一点,连结CE，BE，则的最大值是( ）A。

4 B。

5C. 6 D。

6.如图,在⊙O中，弦AC与半径OB平行,若∠BOC=50°，则∠B的大小为（）A。

25° B。

30° C。

50° D. 60°7。

在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（）A。

(必考题)初中数学九年级数学下册第三单元《圆》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，AB 是半圆的直径，CD 为半圆的弦，且CD//AB ，∠ACD=26°，则∠B 等于（）A ．26°B ．36°C ．64°D ．74°2．如图，EM 经过圆心O ，EM ⊥CD 于M ，若CD=4，EM=6，则弧CED 所在圆的半径为（）A ．3B ．4C ．83D ．1033．若点A 在O 内，点B 在O 外，3OA =，5OB =，则O 的半径r 的取值范围是（）A ．03r <<B ．28r <<C ．35r <<D ．5r > 4．如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA =4，则PC 的长为（）A ．6B ．5C ．210D ．2145．边长为2的正六边形的边心距为（） A ．1B ．2C 3D ．36．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，30,3ACD AD ∠=︒=的是（）A ．30B ∠=︒ B ．60BAD ∠=︒C ．23BD = D ．23AB = 7．如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且60COA ∠=º，设扇形AOC 、COB △、弓形BmC 的面积为1S 、2S 、3S ，则他们之间的关系是（）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．132S S S <<D ．321S S S <<8．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（）A ．5B ．6C ．21252π-D ．21162π- 9．如图，两个正六边形ABCDEF 、EDGHIJ 的顶点A 、B 、H 、I 在同一个圆上，点P 在ABI 上，则tan ∠API 的值是（）A ．3B ．2C ．2D ．110．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，6为半径的O 与直线(0)y x b b =-+>交于A ，B 两点，连接,OA OB ，以,OA OB 为邻边作平行四边形OACB ，若点C 恰好在O 上，则b 的值为（）A ．33B ．23C ．32D ．2211．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则cos ∠ADC 的值为（）A ．21313B ．1313C ．313D ．2312．下列说法正确的是（）A ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．平分弦的直径垂直于弦C ．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似D ．对角线相等的四边形是矩形二、填空题13．如图，点P 为⊙O 外一点，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝90°．若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．14．如图，O 与抛物线212y x =交于,A B 两点，且4AB =，则O 的半径等于___________．15．如图，在平面直角坐标系中，过点()11,0A 作x 轴的垂线交直线y x =于点B ，以О为圆心，1OB 为半径作弧，交x 轴于点2A ；过点2A 作x 轴的垂线交直线y x =于点2B ，以O 为圆心，2OB 为半径作弧，交x 轴于点3A ；过点3A 作x 轴的垂线交直线y x =于点3B ，以О为圆心，3OB 为半径作弧，交x 轴于点4A ，……，按此做法进行下去，设由11A B ，12A A ，弧21A B 围成的图形面积记为1S ，由22A B ，23A A ，弧32A B 围成的图形面积记为2S ，由33A B ，34A A ，弧43A B 围成的图形面积记为3S ，……，那么2020S 为_______：16．如图，等腰BAC 中，120ABC ∠=︒，4BA BC ==，以BC 为直径作半圆，则阴影部分的面积为________．17．如图，半径为2的O 中有弦AB ，以AB 为折痕对折，劣弧恰好经过圆心O ，则弦AB 的长度为__________．18．如图，ABC 内接于O ，70B ∠=︒，50OCB ∠=︒，点P 是O 上一个动点（不与图中已知点重合），若ACP △时等腰三角形，则ACP ∠的度数为___．19．如图，圆锥底面半径为rcm ，母线长为5cm ，侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r 为_____cm ．20．已知圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，则该圆锥的展开图（扇形）的弧长为______（结果保留π）．三、解答题21．如图，ABC 的边AB 是O 的直径，边AC 交O 于,D 边BC 与O 相切于点B ，点E 为O 上一点，连接BD BE DE 、、．()1求证：CBD E ∠=∠．()2已知3,22cos E CD ∠==，求半径的长． 22．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，若CA ＝CP ，∠A ＝30°．（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）若OA ＝1，求弦AC 的长．23．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的ABC ∆，且90B ∠=︒．（1）将ABC ∆绕点O 顺时针旋转90°后得到EFG ∆（其中,,A B C 三点旋转后的对应点分别是,,E F G ），画出EFG ∆．（2）设EFG ∆的内切圆的半径为r ，EFG ∆的外接圆的半径为R ，则r R=__________．24．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，OD AC ⊥于点D ，过点A 作O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ，连接PC 、BC ．（1）猜想：线段OD 与BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC 是O 的切线．25．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A ，B ，C ．（1）用尺规作出该轮的圆心O ，并保留作图痕迹；（2）若ABC 是等腰三角形，设底边8BC =，腰5AB =，求圆片的半径R ．26．（概念认识）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）如图1，已知在垂等四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，若AB AD ⊥，4AB =cm ，4cos 5ABD ∠=，求AC 的长度，（数学理解）（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在O 中，已知AB 是O 的弦，只需作OD OA ⊥，OC OB ，分别交O 于点D 和点C ，即可得到垂等四边形ABCD ，请你写出证明过程．（问题解决）（3）如图3，已知A是O上一定点，B为O上一动点，以AB为一边作出O的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线AC与BD交于点E，O的半径为22，当点E到AD的距离为3时，求弦AB的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用平行线的性质，得∠ACD=∠CAB=26°，根据直径上的圆周角为直角，得∠ACB=90°，利用直角三角形的性质计算即可．【详解】∵CD//AB，∠ACD=26°，∴∠ACD=∠CAB=26°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=64°，故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角的原理，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用是解题的关键．2．D解析：D【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6−R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可．【详解】解：连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6−R，∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，∴CM＝DM＝2，在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2＋CM2，R2＝（6−R）2＋22，R＝103，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．3．C解析：C【分析】根据点和圆的位置关系可判断．【详解】解：∵点A在O内，3OA=，∴3r<，∵点B在O外，5OB=，∴5r<，O的半径r的取值范围是35r<<，故选：C．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解题关键是熟知点和圆的位置关系是由半径和点到圆心的距离决定．4．D解析：D【分析】延长AO交⊙O于B，连接AC，证明△PAC∽△PCB，进而得到PC2=PA•PB即可求出PC的长．【详解】解：如下图所示：连接OC，延长AO交⊙O于B，连接AC，BC，∵AB 为直径，∴∠1+∠2=90°，∵OC=OA ，∴∠1=∠3，∵PC 为圆的切线，∴∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，又∠P=∠P ，∴△PCA ∽△PBC ， ∴=PC PA PB PC，即24(104)56=⨯=⨯+=PC PA PB ， ∴214=PC ，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆的切线及圆周角定理等，熟练掌握圆的性质及相似三角形的性质和判定是解决本题的关键．5．C解析：C【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出．【详解】解：连接OA ，作OM ⊥AB ，垂足为M ，连接OB ，∵六边形ABCDEF 是正六边形∴△AOB 是等边三角形∴∠AOM =30°，AO =AB∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴AM =12AB =12×2=1，OA =2． ∴正六边形的边心距是OM 2222213OA AM -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形的计算，正多边形的计算常用的方法是转化为直角三角形的计算． 6．C解析：C【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，再利用互余可计算出∠BAD 的度数，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BD 、AB 的长即可．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=30°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，故选项A 、B 不符合题意，在Rt △ADB 中，，故选项C 符合题意，选项D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．B解析：B【分析】设出半径，作出△COB 底边BC 上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【详解】解：作OD ⊥BC 交BC 与点D ，∵∠COA ＝60°，∴∠COB ＝120°，则∠COD ＝60°．∴S 扇形AOC ＝22603606ππ=R R ； S 扇形BOC ＝221203603ππ=R R ．在三角形OCD 中，∠OCD ＝30°，∴OD ＝2R ，CD ＝2，BC ，∴S △OBC ＝24，S 弓形＝2234R π-＝2(412π-R ，2(433)12π-R ＞26πR ＞234R ， ∴S 2＜S 1＜S 3．故选：B ．【点睛】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．8．D解析：D【分析】由题意得到四边形ABCD 为矩形，BC=2，再根据中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，得到BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB-π•12+S=S ，可求出AB=2π，则OP=12AB=4π，在Rt △OEP 中，利用勾股定理可计算出EP ，即可得到两圆的公共弦长EF ．【详解】解：∵AB ，CD 为两等圆的公切线，∴四边形ABCD 为矩形，BC=2，设中间一块阴影的面积为S ，∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，∴BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB-π•12+S=S ，∴AB=2π．如图，EF 为公共弦，PO ⊥EF ，OP=12AB=4π，∴EP=22OE OF -=222161()44ππ--=， ∴EF=2EP=21162π-．故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，公切线，连心线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．9．A解析：A【分析】连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊥EI 于M ，证明90AIH ∠=︒，设HI JI JE a ===，求出AI 即可．【详解】解：如图，连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊥EI 于M ．∵ABCDEF 是正六边形，∴∠DEF ＝∠F ＝120°，∵FA ＝FE ， ∴∠FEA ＝∠FAE ＝30°，∴∠AED ＝90°，同法可证，∠DEI ＝∠EIH ＝90°，∴∠AED +∠DEI ＝180°，∴A ，E ，I 共线，设HI JI JE a ===，∵JM ⊥EI ，∴EM ＝MI ＝32a ， ∴AI ＝2EI ＝3a ，∵∠API ＝∠AHI ，∴tan ∠API ＝tan ∠AHI ＝AI HI ＝323a a=故选：A．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题．10．C解析：C【分析】如图，连接OC交AB于T．想办法求出点T的坐标，利用待定系数法即可解决问题．【详解】解：如图，连接OC交AB于T，设直线AB交x轴于M，交y轴于N．∵直线AB的解析式为y=-x+b，∴N（0，b），M（b，0），∴OM=ON，∴∠OMN=45°，∵四边形OACB是平行四边形，OA=OB，∴四边形OACB是菱形，∴OC⊥AB，∴∠COM=45°，∵OC=6，∴C（3232∵OT=TC，∴T（322，322），把T点坐标代入y=-x+b，可得b=32故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，菱形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．C解析：C【分析】根据圆周角定理得到ADC ABC ∠=∠，再根据余弦的定义计算即可；【详解】由图可知ADC ABC ∠=∠，在Rt △ABC 中，2AC =，3BC =， ∴AB =∴cos ∠ADC 3cos13BC ABC AB =∠===；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、余弦定理、勾股定理，准确计算是解题的关键． 12．A解析：A【分析】根据菱形的判定定理、垂径定理的推论、相似三角形的判定定理、矩形的判定定理依次对选项进行判断即可．【详解】A ：根据菱形的判定定理可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项符合题意；B ：根据垂径定理可知，平分弦的直径不一定垂直于弦，但垂直于弦的直径一定平分这条弦，故此选项不符合题意；C ：根据三角形相似的判定定理可知，两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不符合题意；D ：对角线相等且平分的四边形是矩形，故此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查矩形、菱形、相似三角形的判定定理及垂径定理的推论，掌握各判定定理是解题的关键．二、填空题13．4-π【分析】连接OAOB 由S 阴影=S 正方形OBPA-S 扇形AOB 则可求得结果【详解】解：连接OAOB ∵PAPB 分别与⊙O 相切于点AB ∴OA ⊥APOB ⊥PBPA=PB ∴∠OAP=∠OBP=90°=∠解析：4-π【分析】连接OA ，OB ，由S 阴影=S 正方形OBPA -S 扇形AOB 则可求得结果．【详解】解：连接OA ，OB ，∵PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∴OA ⊥AP ，OB ⊥PB ，PA=PB ，∴∠OAP=∠OBP=90°=∠BPA ，∴四边形OBPA 是正方形，∴∠AOB=90°，∴阴影部分的面积=S 正方形OBPA -S 扇形AOB 则=22-904360π⨯⨯=4-π．故答案为：4-π．【点睛】此题考查了切线长定理，正方形的判定与性质，扇形面积公式等知识．解题关键是连接半径，构造正方形，把阴影部分面积转化为正方形面积与扇形面积差．14．【分析】连接OA 设AB 与y 轴交于点C 由抛物线的对称性和圆的对称性得y 轴⊥AB 可得出点AB 的横坐标分别为−22再代入抛物线即可得出点AB 的坐标再根据勾股定理得出⊙O 的半径【详解】解：连接OA 设AB 与y解析：22【分析】连接OA ，设AB 与y 轴交于点C ，由抛物线的对称性和圆的对称性得y 轴⊥AB ，可得出点A ，B 的横坐标分别为−2，2．再代入抛物线212y x =即可得出点A ，B 的坐标，再根据勾股定理得出⊙O 的半径．【详解】解：连接OA ，设AB 与y 轴交于点C ，由抛物线的对称性和圆的对称性得y 轴⊥AB ，∵AB ＝4，∴点A ，B 的横坐标分别为−2，2．∵⊙O 与抛物线212y x =交于A ，B 两点， ∴点A ，B 的坐标分别为（-2,2），（2，2），在Rt △OAC 中，由勾股定理得OA ==，∴⊙O 的半径为故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及二次函数图象上点的特征，求得点A 的坐标是解题的关键．15．【分析】根据点A 的取法罗列出部分点A 的横坐标由此可发现规律即的横坐标为：再结合已知即可得到答案【详解】观察发现规律：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：故答案为：【点睛】本题解析：2017201822π-【分析】根据点A 的取法，罗列出部分点A 的横坐标，由此可发现规律，即n A 的横坐标为：1n -，再结合已知即可得到答案．【详解】观察，发现规律：1A 的横坐标为：1，2A 3A 的横坐标为：2，⋯，∴n A 的横坐标为：1n -n B ∴的横坐标为：1n -404020192019201720182020451223602S ππ⨯⨯∴=-⨯⨯=⋅-故答案为：2017201822π⋅-．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及规律型中的点的变换，解题关键是找出n A 的横坐标为：1n -这一规律．16．【分析】连接BD 作半径OD 先求出BDCD 长△OCD 面积再求出扇形OCD 面积即可求出阴影面积【详解】解：如图连接BD 作半径OD ∵BC 为直径∴BD ⊥AC ∵BA=BC=4∴∠ACB=∠A=30°∴BD=∴解析：433π- 【分析】连接BD ，作半径OD ，先求出BD 、CD 长，△OCD 面积，再求出扇形OCD 面积，即可求出阴影面积．【详解】解：如图，连接BD ，作半径OD ，∵BC 为直径，∴BD ⊥AC ，∵BA=BC=4，120ABC ∠=︒，∴∠ACB=∠A=30°，∴BD=1BC=22， ∴CD=2223BC BD -=,∵O 为BC 中点，∴1112233222ODC BDC S S ==⨯⨯⨯=△△, ∵OD=OC ，∠ACB=30°，∴∠COD=120°，∵直径BC=4，∴半径OC=2， ∴2120423603OCD S ππ=⨯⨯=扇形， ∴阴影部分面积为433π-．故答案为：433π【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，勾股定理，、圆周角定理推论、扇形面积的求法，弓形面积求法等知识，理解割补法是求不规则图形面积的一般方式是解题关键． 17．【分析】如果过O 作OC ⊥AB 于D 交折叠前的于C 根据折叠后劣弧恰好经过圆心O 根据垂径定理及勾股定理即可求出AD 的长进而求出AB 的长【详解】解：如图过O 作OC ⊥AB 于D 交折叠前的于C ∵的半径为又∵折叠后解析：23【分析】如果过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB于C，根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，根据垂径定理及勾股定理即可求出AD的长，进而求出AB的长．【详解】解：如图，过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB于C，∵O的半径为2，又∵折叠后劣弧恰好经过圆心O，∴OA=OC=2，∴OD＝CD＝1，在Rt△OAD中，∵OA＝2，OD＝1，∴2222-=-213OA ODAB＝2AD＝3故答案为：3【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，利用好条件：劣弧折叠后恰好经过圆心O是解题的关键．18．或或【分析】根据题意分三种情况讨论即可得∠ACP的度数【详解】解：如图连接OAOB∵∠OCB=50°∴∠OBC=50°∴∠BOC=180°-50°-50°=80°∵∠B=70°∴∠OBA=∠OAB=解析：35︒或40︒或55︒【分析】根据题意分三种情况讨论即可得∠ACP的度数．【详解】解：如图，连接OA，OB，∵∠OCB=50°，∴∠OBC=50°，∴∠BOC=180°-50°-50°=80°．∵∠B=70°，∴∠OBA=∠OAB=20°，∴∠AOB=140°，∴∠AOC=360°-80°-140°=140°，∴∠OAC=∠OCA=20°，∴∠ACB=50°+20°=70°，∴AB=AC．当AP′=AC时，此时点P′与点B重合，不符合题意；当AP=PC时，∵∠B=70°，∴∠APC=180°-70°=110°，∴∠ACP=∠CAP=1(180°-110°)=35°；2当AP′=P′C时，∠P′AC=∠P′CA=1(180°-70)=55°；2当AC=P′C时，∠ACP′=180°-70°-70°=40°．故答案为：35°或40°或55°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识进行分类讨论．19．3【分析】利用圆锥的侧面展开图为扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr＝然后解关于r的方程即可【详解】解：根据题意得2πr＝解得：r＝3故答案为3【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开解析：3【分析】利用圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，得到2πr＝2165180π⨯⨯，然后解关于r 的方程即可．【详解】解：根据题意得2πr ＝2165180π⨯⨯，解得：r ＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 20．【分析】根据勾股定理先求出圆锥的底面圆的半径然后根据圆锥的展开图为扇形其弧长等于圆锥底面圆的周长利用圆的周长公式即可计算【详解】设圆锥底面圆的半径为：由勾股定理得：圆锥底面圆的周长为：圆锥的展开图为解析：12π【分析】根据勾股定理先求出圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的展开图为扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，利用圆的周长公式即可计算．【详解】设圆锥底面圆的半径为：r ，由勾股定理得：6r ==，∴圆锥底面圆的周长为：22612r πππ=⨯⨯=，圆锥的展开图为扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，∴该圆锥展开图的弧长为：12π，故答案为：12π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，要掌握圆锥的展开图为扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）【分析】（1）先由切线的性质得90ABC ∠=︒ ，通过同角的余角相等证明∠A CBD =∠，最后由同弧对的圆周角相等证明∠E A =∠即可得到结论；（2）由30°的角所对直角边等于斜边的一半求出BC 和AC 的长，再由勾股定理求出AB 的长即可得到O 的半径．【详解】解：∵AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，∴∠90,90ABC ADB ︒︒=∠=∵∠90A ABD ︒+∠=∴∠A CBD =∠∵∠E A =∠∴∠CBD E =∠（2）∵3cos E ∠= ∴∠30E ︒=由（1）知，∠A E CBD =∠=∠∴∠30A CBD ︒=∠=∵∠90ADB ︒=∴∠18090BDC ADB ︒︒=-∠=∴24BC CD ==在Rt ABC ∆中，∠30A ︒=∴28AC BC ==∴2243AB AC BC =-= ∴O 的半径1232AB == 【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．22．（1）见解析；（2）AC ＝3．【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，∠P=30°，求出∠ACP 的度数，则可求出答案；（2）连接BC ，由勾股定理可求出答案．【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图1，∵OA ＝OC ，∠A ＝30°，∴∠A＝∠ACO＝30°，∵CA＝CP，∴∠A＝∠P＝30°，∴∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠P＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠OCP＝∠ACP﹣∠ACO＝120°﹣30°＝90°，∴OC⊥CP，∴CP是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BC，∵OA＝OB＝1，∴AB＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴BC＝12AB＝1，∴AC22AB BC-3【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．23．（1）见解析；（2）2 5【分析】（1）根据旋转的性质，作出点A、B、C的对应点，依次连接即可（2）结合图形，EG为外接圆的直径，用勾股定理求出EG，则可求R，根据三角形内切圆的性质，和切线长定理可求得r，进而可求得答案【详解】解（1）EFG∆如图所示，（2）EFG ∆的内切圆的半径为r ，2EF FG EG r +-∴=4,3EF FG ==,2222435EG EF FG =++=43512r +-∴== EFG ∆的外接圆的半径为R1522R EG ∴== 25r R ∴= 【点睛】本题考查了旋转图形的画法，勾股定理，三角形内心性质，切线长定理，解题关键是熟练掌握基本知识，是中考常考题．24．（1）//OD BC ，12CD BC =，证明见解析；（2）见解析【分析】（1）根据垂径定理可得点D 是AC 的中点，则OD 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线定理即可求证结论；（2）连接OC ，设OP 与O 交于点E ，根据全等三角形的判定证得OAP △≌OCP △，利用全等三角形对应角相等可得OCP OAP ∠=∠，继而根据切线的性质和判定定理即可求证结论．【详解】（1）猜想：//OD BC ，12CD BC =证明：∵OD AC ⊥，∴AD ＝DC ，∵AB 是O 的直径，∴OA OB =，∴OD 是△ABC 的中位线，∴//OD BC ，12CD BC =．（2）证明：连接OC ，设OP 与O 交于点E ．∵OD AC ⊥，OD 经过圆心O ，∴AE CE =，即∠AOE ＝∠COE ，在OAP △和OCP △中，∵OA OC =，OP OP =，∠AOE ＝∠COE ，∴OAP △≌OCP △，∴OCP OAP ∠=∠，∵PA 是O 的切线，∴90OAP ∠=︒．∴90OCP ∠=︒，即OC PC ⊥，∴PC 是O 的切线．【点睛】本题考查切线的性质定理和判定定理，三角形中位线定理，涉及到全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握切线的有关知识．25．（1）见解析；（2）256【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB 和AC 的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO ，OB ，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R ．【详解】（1）如图所示：分别作弦AB 和AC 的垂直平分线，交于点O ，点O 即为所求的圆心（2）连接AO ，OB ，BC∵BC=8cm ，∴BD=4cm ，∵AB=5cm ，∴AD=22AB BD -=3cm ，设圆片的半径为R ，在Rt △BOD 中，OD=（R-3）cm ，∴R 2=42+（R-3）2，解得：R=256， ∴圆片的半径R 为256．【点睛】本题考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立． 26．（1）5；（2）见解析；（3）262【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可；（2）连结AC ，DB 并相交于点E ，证明AC BD ⊥，得到AOC △≌BOD ，证明AC BD =，即可得到结果；（3）方法一：连接DO ，AO ，根据已知条件求出AD ，DE ，再根据相似三角形的性质列式计算即可；方法二：通过已知条件证明Rt AOD 和Rt ABE △是等腰直角三角形，在根据条件计算即可；【详解】（1）由垂等四边形的定义得AC BD =，又∵AB AD ⊥，∴5cos AB DB ABD==∠， ∴5AC BD ==．（2）如图1，连结AC ，DB 并相交于点E ，∵OC OB ，OD OA ⊥，∴1452ACD AOD ∠=∠=︒，1452BDC BOC ∠=∠=︒， ∴90DEC ∠=︒，即AC BD ⊥，∵AO DO =，BO CO =，AOC DOB ∠=∠，∴AOC △≌BOD ，∴AC BD =．∵AC BD =，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是垂等四边形．（3）方法一：连接DO ，AO ，由（2）可得等腰Rt AOD ，∴24AD AO =-，作EF AD ⊥，易证得Rt DFE △∽Rt EFA △，∴2FE DF AF =⋅，设DF x =，4AF x =-，可得方程()43-=x x ，解得11x =（如图2），23x =（如图3），∴2DE =或23，作OG AB ⊥，∵12AOG AOB EDF ∠=∠=∠， ∴Rt DFE △∽Rt OGA ，∴AO AG DE EF=， ∴6AO EF AG DE ⋅==或2， ∴226AB AG ==（如图2）或22（如图3）．方法二：∵AC BD =且AC BD ⊥，∴AC BD =，∴AD BC =，∴()1180452ABE BAE AEB ∠=∠=︒-∠=︒， ∴90AOD ∠=︒，△是等腰直角三角形，∴Rt AOD和Rt ABE∴AD==4DE=或AE=AE=2，由方法一得2∴AB=【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质、三角函数的应用和四边形综合知识的计算是解题的关键．。

(必考题)初中数学九年级数学下册第三单元《圆》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题1．如图，在半径为6的O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，33tanD =，下列结论正确的个数有：（） ①63BC =； ②3sin 2AOB ∠=； ③四边形ABOC 是菱形；④劣弧BC 的长度为4π．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（）A ．12B ．25C ．35D ．233．如图，O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若弦23AB =，则O 的半径为（）A 2B ．2C 3D ．2 4．如图，O 是ABC 的外接圆，其半径为3cm ，若3BC cm =，则A ∠的度数是（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒5．如图，在半径为1的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB 恰好与OB 、OA 相切，则劣弧AB 的长为（）A ．12πB ．13π C ．14π D ．16π 6．如图，30MAN ∠=︒，O 是MAN ∠内部一点，O 与MAN ∠的边AN 相切于点B ，与边AM 相交于点C ，D ，52AB =，作OE CD ⊥于E ，3OB OE =，则弦CD 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．267．探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm ．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA 的值最接近的是（）A ．8cmB ．7 cmC ．6 cmD ．5 cm8．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（）A ．5B ．6C ．21252π-D ．21162π- 9．下列事件是随机事件的是（）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形全等B ．直径是圆中最长的弦C ．方程2210ax x ++=是一元二次方程D ．任意画一个三角形，其内角和是360︒10．如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点E 是边BC 的中点，连接OE 并延长交O 于点D ，连接BD ，则D ∠的大小为（）A ．55°B ．65°C ．70°D ．75°11．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C、D，则cos∠ADC的值为（）A．21313B．1313C．31313D．2312．如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，若∠BEC= 68°，则∠ABD的度数为（）A．20°B．23°C．25°D．34°二、填空题13．如图，在矩形ABCD中，∠DBC=30º，DC=2，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE 为半径画弧，交BC于点F，若CF=CD，则图中的阴影部分面积为______________．（结果保留π）14．如图，PA，PB是圆O的切线，切点为A、B，∠P＝50°，点C是圆O上异于A，B的点，则∠ACB等于_____．15．如图，等边△ABC内接于☉O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD=52阴影部分的面积等于_________．16．圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则∠C 的度数等于_____． 17．如图，在O 中，点P 为弧AB 的中点，弦AD ，PC 互相垂直，垂足为M ，BC 分别与AD ，PD 相于点E ，N ，连结BD ，MN ．若O 的半径为2，AB 的度数为90︒，则线段MN 的长是______．18．如图，已知矩形ABCD 中3AB =，4BC =，将三角板的直角顶点P 放在矩形内，移动三角板保持两直角边分别经过点B 、C ，则PD 的最小值为________．19．如图，在平面直角坐标系中，D 是直线6y x =-+上的一个动点，O 的半径为2，过点D 作O 的切线，切点为A ，则AD 长度的最小值为____________．20．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点M ．连接,OC DB ，如果//,23OC DB OC =，那么图中阴影部分的面积是______三、解答题21．如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别是()0,2A ，()3,3B ，()2,1C ．（1）画出ABC 关于原点对称的111A B C △，并直接写出1C 的坐标；（2）画出ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°后得到的222A B C △，并求出线段AB 扫过的面积．22．已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx ﹣n 2+5＝0．（1）当m ＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n 的值；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．①求m 、n 满足的关系式；②在x 轴上取点H ，使得OH ＝|m |，过点H 作x 轴的垂线l ，在垂线l 上取点P ，使得PH ＝|n |，则点P 到点（3，4）的距离最小值是．23．如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为40千米时，受影响区域的半径为260千米，B 市位于点P 的北偏东75︒方向上，距离P 点480千米．问：本次台风是否会影响B 市．若这次台风会影响B 市，求B 市受台风影响的时间．24．如图，正五边形ABCDE 内接于O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点,D E 重合），求CPD ∠的余角的度数．25．如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,120AB BC ABC ==∠=︒，将平行四边形绕点B 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到平行四边形BEFG ．（1）求点B 到AD 的距离；（2）当点E 落在AD 边上时，求点D 经过的路径长．26．已知EF 为O 的一条弦，OB EF ⊥交O 于点B ，A 是弦EF 上一点（不与E ，F 重合），连接BA 并延长交O 于点C ，过点C 作O 的切线交EF 的延长线于点D ．（1）如图1，若EF 在圆心O 的上方，且与OB 相交于点H ，求证：ACD △是等腰三角形；（2）如图2，若EF 是O 的直径，25AB =O 的半径为4，求线段DC 的长；（3）如图3，若EF 在圆心O 的下方，且与BO 的延长线相交于点H ，试判断线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．A解析：A【分析】利用特殊角的三角函数值求得∠D=30°，由点A 是劣弧BC 的中点，根据圆周角定理得到∠AOC=∠AOB=2∠D=60°，可对②进行判断；证得△OAC 、△OAB 都为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC ，可对①进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB 可对③进行判断；利用弧长公式，可对④进行判断．【详解】∵tanD =， ∴∠D=30°，∵点A 是劣弧BC 的中点，∴OA ⊥BC ，∴∠AOC=∠AOB=2∠D=60°，∴sin AOB sin 602∠=︒=，所以②正确；而OA=OC=OB=6，∴△OAC 、△OAB 都为等边三角形，∴BC26=⨯=①正确； ∵△OAC 、△OAB 都为等边三角形，∴AB=AC=OA=OC=OB ，∴四边形ABOC 是菱形，所以③正确；∵△OAC 、△OAB 都为等边三角形，∴∠COB=120°，∴劣弧BC 的长度为12064180ππ⨯=，所以④正确．综上，正确的个数有4个，故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．A解析：A【分析】算出白色区域的面积与整个图形的面积之比即为所求概率．解：如图，过点A 作AG BF ⊥于点G∵ 六边形ABCDEF 为正六边形，∴BAF=120∠︒，=60FAG ∠︒设正六边形的边长为a ，则32322a a AG FG a ==⨯=，BF=2 ∴ 空白部分的面积为：213333322ABFa a S S a ==⨯⨯⨯=△空白正六边形的面积为：223336S a a =⨯=六 ∴飞镖落在白色区域的概率为：2233a 14=2332S P S a ==空白六故选：A【点睛】本题考查概率的求解，确定白色区域面积占整个图形面积的占比是解题的关键． 3．D解析：D【分析】首先连接OA ，由垂径定理即可求得AD 的长，然后设OD=x ，则OA=2x ，由勾股定理即可求得圆的半径；【详解】设OC 与AB 交于点D ，连接OC ，设OC=x ，∵ O 的弦AB 垂直平分半径OC ，∴ OC=2x ，AD=1123322AB ，∵ 222OA OD AD =+ ，∴ ()()22223x x =+ ，解得：1x = ，∴ 圆的半径为：2．故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法及数形结合的思想的应用．4．D解析：D【分析】连接OB 、OC ，则判断△OBC 是等边三角形，则∠BOC=60°，再根据圆周角定理，即可得到答案．【详解】解：连接OB 、OC ，如图：∵3OB OC BC cm ===，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠BAC=30°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题．5．A解析：A【分析】如图画出折叠后AB 所在的⊙O ＇，连O ＇B ，O ＇A ，根据题意可得O ＇B ⊥OB 、O ＇A ⊥OA ，且OB=OA=O ＇B=O ＇A,得到四边形O ＇BOA 是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图：画出折叠后AB 所在的⊙O ＇，连O ＇B ，O ＇A∵AB 恰好与OA 、OB 相切∴O ＇B ⊥OB 、O ＇A ⊥OA∵OB=OA=O ＇B=O ＇A,∴四边形O ＇BOA 是正方形∴∠O=90°∴劣弧AB 的长为9011801802n r πππ︒⨯⨯==︒．故选择：A ．【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键．6．C解析：C【分析】延长BO 交AM 点F ，计算BF ，后计算OB ，OC ，OE ，最后，运用垂径定理计算即可.【详解】如图，延长BO 交AM 点F ，连接OC ，∵O 与MAN ∠的边AN 相切，∴∠ABF=90°， ∵30MAN ∠=︒，52AB =∴56，∠AFB=60°，∠FOE=30°，设EF=x ，则OF=2x ，3x ， ∵3OB OE =， ∴OB=3x ，∴BF=OB+OF=5x ，∴56，∴x=63，∴OB=3x=6，OE=3x=2，∵OE CD⊥，∴在直角三角形OCE中，CE=2262OC OE-=-=2，根据垂径定理，得CD=2CE=4，故选C.【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，垂径定理，会用延长线段BO构造特殊的直角三角形是解题的关键.7．B解析：B【分析】先计算出QA的长，由于图甲测得PC=12cm，即圆的半径等于12cm，在图乙中直角三角形OAQ中利用30度角的三角函数可求得tan30°=33=12AQ，解得AQ的值为33的近似值，再求解．【详解】解：如图甲，连结OP，并设⊙O与x轴相切于点D，图乙，连结OQ、OA，并设⊙O与x 轴相切于点E，∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD 是正方形，∴OQ=OP=PC=12cm ，由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC ）÷2=60°，∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，∴tan ∠QOA=AQ÷OQ ，即tan30°312AQ ，解得AQ=3∵1.532，∴6＜438．故选B ．【点睛】本题考查的是切线的性质，解直角三角形和无理数的估算．估算无理数的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握．8．D解析：D【分析】由题意得到四边形ABCD 为矩形，BC=2，再根据中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，得到BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB-π•12+S=S ，可求出AB=2π，则OP=12AB=4π，在Rt △OEP 中，利用勾股定理可计算出EP ，即可得到两圆的公共弦长EF ．【详解】解：∵AB ，CD 为两等圆的公切线，∴四边形ABCD 为矩形，BC=2，设中间一块阴影的面积为S ，∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，∴BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB-π•12+S=S ，∴AB=2π．如图，EF 为公共弦，PO ⊥EF ，OP=12AB=4π， ∴22OE OF -222161()4ππ--=， ∴21162π-．故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，公切线，连心线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据随机事件是可能发生也可能不发生的事件判断即可．【详解】解：A 、是必然事件，选项不符合题意；B 、是必然事件，选项不符合题意；C 、是随机事件，选项符合题意；D 、是不可能事件，选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 10．B解析：B【分析】连接CD ，根据圆的内接四边形的性质得到∠CDB=180°-∠A=130°，根据垂径定理得到OD ⊥BC ，求得BD=CD ，根据等腰三角形的性质即可得到结论；【详解】如图：连接CD ，∵ ∠A=50°，∴∠CDB=180°-∠A=130°，∵ E 是边BC 的中点，∴ OD ⊥BC ，∴ BD=CD ，∴ ∠ODB=∠ODC=12∠BDC=65°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据圆周角定理得到ADC ABC ∠=∠，再根据余弦的定义计算即可；【详解】由图可知ADC ABC ∠=∠，在Rt △ABC 中，2AC =，3BC =，∴223213AB +=∴cos ∠ADC 3313cos 1313BC ABC AB =∠===；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、余弦定理、勾股定理，准确计算是解题的关键． 12．B解析：B【分析】连接OD ，可得∠ODC=∠OCD=22°，从而可求得∠AOD=46°，结合圆周角定理，即可求解．【详解】连接OD ，∵CO ⊥AB ，∠BEC= 68°，∴∠OCD=90°-68°=22°，∵CO=CD ，∴∠ODC=∠OCD=22°，∴∠COD=180°-22°-22°=136°，∴∠AOD=136°-90°=46°，∴∠ABD=12∠AOD=23°，故选B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．二、填空题13．【分析】连接由矩形ABCD 分别求解再求解从而可得答案【详解】解：连接矩形ABCD 故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质等腰直角三角形的性质含的直角三角形的性质勾股定理的应用扇形的面积掌握以上知识是解析：32.π-【分析】连接DF ，由矩形ABCD ，30,2,DBC DC CF ∠=︒==分别求解,,,EDF DF BC ∠ 再求解43,,2DFC ABCD DEF S S Sπ===矩形扇形，从而可得答案．【详解】解：连接DF ，矩形ABCD ，30,2,DBC DC CF ∠=︒== 2290,4,45,2222,ADC BD DFC FDC DF ∴∠=︒=∠=∠=︒=+=224223,904545,BC EDF ∴=-=∠=︒-︒=︒(24522123243,,2223602DFC ABCD DEF S S S ππ⨯∴=====⨯⨯=矩形扇形， 432.S π∴=-阴影故答案为：32.π-【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰直角三角形的性质，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积，掌握以上知识是解题的关键．14．65°或115°【分析】连接OAOB 进而求出∠AOB=130°再分两种情况：当C 在劣弧AB 上当C 在劣弧AB 上理由圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】解：如图连接OAOB ∵PAPB 分别切解析：65°或115°．【分析】连接OA ，OB ，进而求出∠AOB=130°，再分两种情况：当C 在劣弧AB 上，当C 在劣弧AB 上，理由圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可得出结论．【详解】解：如图，连接OA 、OB ，∵PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，则∠OAP ＝∠OBP ＝90°；在四边形APBO 中，∠P ＝50°，∴∠AOB ＝360°﹣∠OAP ﹣∠P ﹣∠OBP ＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°①当点C 在优弧AB 上时，∠ACB ＝12∠AOB （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠ACB ＝65°；当点C 在劣弧AB 上时，记作C '，由①知，∠ACB ＝65°，∵四边形ACBC '是⊙O 的内接四边形，∴∠AC 'B ＝180°﹣∠ACB ＝180°﹣65°＝115°，故答案为：65°或115°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠AOB 是解本题的关键．15．【分析】首先连接OBOCOD 由等边△ABC 内接于⊙OBD 为内接正十二边形的一边可求得∠BOC ∠BOD 的度数则证得△COD 是等腰直角三角形并利用勾股定理求得圆的半径最后利用S 阴影=S 扇形OCD-S △O 解析：252542π- 【分析】首先连接OB ，OC ，OD ，由等边△ABC 内接于⊙O ，BD 为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC ，∠BOD 的度数，则证得△COD 是等腰直角三角形，并利用勾股定理求得圆的半径，最后利用S 阴影=S 扇形OCD -S △OCD 进行计算后即可得出答案．【详解】解：连接OB ，OC ，OD ，∵等边△ABC 内接于⊙O ，BD 为内接正十二边形的一边，∴∠BOC ＝13×360°＝120°，∠BOD ＝112×360°＝30°， ∴∠COD ＝∠BOC−∠BOD ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝45°， ∴OC 2+ OD 2＝CD 2．即2OC 2=50，∴OC=5， ∴S 阴影=S 扇形OCD -S △OCD=90251252555360242ππ-⨯⨯=-．故答案为：252542π-．【点睛】此题考查了正多边形与圆、扇形面积的计算等知识，掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用是解题的关键．16．【分析】根据圆内接四边形对角互补计算即可；【详解】∵圆内接四边形ABCD 中∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3设根据圆内接四边形对角互补∴∴∴；故答案是【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质准确计算是解题解析：135︒【分析】根据圆内接四边形对角互补计算即可；【详解】∵圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，设A x ∠=，2B x ∠=，3C x ∠=，根据圆内接四边形对角互补，∴3180A C x x ∠+∠=+=︒，∴45x =︒，∴3135C x ∠==︒；故答案是135︒．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，准确计算是解题的关键． 17．【分析】连接OAOBABAC 先根据勾股定理得AB ＝2再证明MN 是△AEB 的中位线可得MN 的长【详解】连接OAOBABAC ∵的度数为90°∴∠AOB ＝90°∵OA ＝OB ＝2∴AB ＝2∵AD ⊥PC ∴∠E 解析：2【分析】连接OA ，OB ，AB ，AC ，先根据勾股定理得AB ＝22，再证明MN 是△AEB 的中位线，可得MN 的长．【详解】连接OA ，OB ，AB ，AC ，∵AB的度数为90°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝，∵AD⊥PC，∴∠EMC＝90°，∵点P为AB的中点，∴PA PB=，∴∠ADP＝∠BCP，∵∠CEM＝∠DEN，∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，∵PA PB=，∴∠BDP＝∠ADP，∴∠DEN＝∠DBN，∴DE＝DB，∴EN＝BN，∴N为BE的中点；同理得：AM＝EM，∵EN＝BN，∴MN是△AEB的中位线，∴MN1=AB．2【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造等腰直角三角形解决问题．18．【分析】点P的运动轨迹是以BC为直径在矩形内的半圆圆心在线段BC的中点处连接圆心和点D交半圆于点P则此时PD最短利用勾股定理求出OD的长再减去OP的长即可【详解】由题意可得：点P的运动轨迹是以BC为2【分析】点P的运动轨迹是以BC为直径，在矩形内的半圆，圆心在线段BC的中点处，连接圆心和点D，交半圆于点P，则此时PD最短，利用勾股定理求出OD的长，再减去OP的长即可【详解】由题意可得：点P的运动轨迹是以BC为直径，在矩形内的半圆，圆心在线段BC的中点处，设圆心为点O，如图：连接OD，交半圆与点P，则此时PD最短，4 BC=∴圆的半径122OP OC BC===3AB DC==在Rt DCO中22222313OD DC OC=+=+=132PD OD OP∴=-=-故答案为：132-．【点睛】本题考查了最值问题，矩形的性质，勾股定理，解题关键是能准确分析出点P的运动轨迹．19．4【分析】当OD与直线y=-x+6垂直时连接AOAD此时OD最小AD也最小根据等腰直角三角形的性质得到OD根据勾股定理即可得到结论【详解】解：如图∵DA为切线∴OA⊥DAOA=∴当OD最小时AD的值解析：4【分析】当OD与直线y=-x+6垂直时，连接AO，AD，此时OD最小，AD也最小，根据等腰直角三角形的性质得到OD，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：如图∵DA为切线,∴OA⊥DA，∴当OD最小时，AD的值最小.∴当OD与直线y=−x+6垂直时，AD的值最小，如图，设y=−x+6交x，y轴于B，C，B(6，0)，C(0，6)，∴OB=OC=6.∵∠BOC= 90°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴，∴OD=12即OD的最小值为在Rt△OAD中，AD最小值4==故答案为：4【点睛】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.20．【分析】连接ODBC根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM=CM∠COB=∠BOD推出△BOD是等边三角形得到∠BOC=60°根据扇形的面积公式即可得到结论【详解】解：连接ODBC∵CD⊥ABOC=解析：2π【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM=CM，∠COB=∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OD，BC，∵CD⊥AB，OC=OD，∴DM=CM，∠COB=∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB=∠OBD，∴∠BOD=∠OBD，∴OD=DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=60°，∵DM=CM ，∴S △OBC =S △OBD ，∵OC ∥DB ，∴S △OBD =S △CBD ，∴S △OBC =S △DBC ，∴图中阴影部分的面积=260(23)360π⨯=2π，故答案为：2π．【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，正确添加辅助线是解题的关键．三、解答题21．（1）图见解析，()12,1C --；（2）图见解析，5π2【分析】（1）按照中心对称的性质作图即可；（2）按照旋转的性质作图即可；求出A 点为圆心，AB 长为半径并且圆心角为90°的扇形面积即可．【详解】解：（1）111A B C △如图所示，()12,1C --．（2）222A B C △如图所示；线段AB 扫过的图形是一个以A 点为圆心，AB 长为半径并且圆心角为90°的扇形，根据扇形的计算公式可求解．223110AB +=线段AB扫过的面积为：290π5π3602⨯⨯=．【点睛】本题考查了网格中作中心对称和旋转变换以及扇形面积公式，解题关键是熟练运用中心对称和旋转的性质作图，发现AB扫过的图形是扇形．22．（1）；（2）①m2+n2＝5；②5【分析】（1）把m=1，x=1代入方程得1+2-n2+5=0，然后解关于n的方程即可；（2）①利用判别式的意义得到△=4m2-4（-n2+5）=0，从而得到m与n的关系；②利用勾股定理得到P在以O上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点（3，4）的距离最小值．【详解】解：（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，解得n＝，即n的值为；（2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0，整理得m2+n2＝5；②∵OH＝|m|，PH＝|n|，∴OP即点P在以O∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小，∵原点到点（3，45，∴点P到点（3，4）的距离最小值是5故答案为5【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了点与圆的位置关系．23．本次台风会影响B市，影响时间为5小时【分析】作BH⊥PQ于点H，在Rt BHP中，利用含30°角的直角三角形的性质求出BH的长与260千米相比较即可．以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间．【详解】如图，作BH⊥PQ于点H在Rt BHP中，由条件知，PB＝480，∠BPQ＝75°﹣45°＝30°，∴BH=14802⨯=240＜260，∴本次台风会影响B市．如图，以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．根据BH=240，由条件得BP1=BP2=260，∴P1P2=222260240-=200，∴台风影响的时间t=20040=5（小时）．故B市受台风影响的时间为5小时．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理及垂径定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是构造出直角三角形及圆．24．54°【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【详解】如图，连接,OC OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴360725COD︒∠==︒，∴1362CPD COD∠=∠=︒，∴90°-36°=54°，∴CPD ∠的余角的度数为54°．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（1）3；（2）233π．【分析】（1）如图，作BH ⊥AD 于H ，利用平行四边形的性质可得//AD BC ，则可计算出60?A ，解直角三角形求出BH 即可．（2）如图，连接BD 、BF ，根据旋转性质与60?A可证明△ABE 是等边三角形，利用勾股定理求出BD ，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：（1）如图，作BH AD ⊥于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴180?A ABC ∠+∠=，∵°120ABC ∠=，∴60?A ，∵90?AHB ∠=， ∴0sin 603BH AB ==（2）如图，连接,BD BF ．在Rt ABH ∆中，∵30?,2ABH AB ∠==，∴112AH AB ==， ∴3DH AD AH =-=，∴()223323BD BF ==+=∵,60?BA BE A =∠=，∴ABE ∆是等边三角形，∴60?ABE DBF ∠=∠=，∴点D 经过的路径长602323180ππ==．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行四边形的性质、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（1）见解析；（2）线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由见解析．【分析】（1）连接OC ，由题意易得OC DC ⊥，∠B=∠OCB ，则有9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，进而可得DAC DCA ∠=∠，然后问题可求证；（2）连接OC ，则OC DC ⊥，由勾股定理可得2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，然后再由勾股定理可求DC 的长；（3）连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ，由题意可得9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，则有DA DC =，进而可得CED DCF ∠=∠，然后有CDF EDC ∽△△，则根据相似三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB ，∴9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90DAC BAH B ∠=∠=︒-∠，∴DAC DCA ∠=∠，∴DA DC =，∴ACD △是等腰三角形；（2）如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵在Rt ABO △中，25AB =O 的半径为4，∴2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，∴在Rt OCD △中，()22242x x +=+， ∴3x =，即线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由：如图，连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ， ∵DC 为O 的切线，∴9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90BAH HBA ∠=︒-∠，CAD BAH ∠=∠，∴∠=∠DCA CAD ，∴DA DC =，∵CG 是O 的直径，∴90CFG ∠=︒，∴90CED CGF GCF ∠=∠=︒-∠，又∵90DCF GCF ∠=︒-∠，∴CED DCF ∠=∠，又∵D D ∠=∠，∴CDF EDC ∽△△， ∴DC DF DE DC=， ∴2DC DE DF =⋅，∴2DA DE DF =⋅．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及切线的性质定理，熟练掌握相似三角形的性质及切线的性质定理是解题的关键．。

华师大初三年级数学下册期中圆测试(含答案解析)

华师大版初三年级数学下册期中圆测试(含答案解析)华师大版初三年级数学下册期中圆测试(含答案解析) 一．选择题（共8小题，每题 3分）1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD 的度数是（）A．72° B．54° C．45° D．36°2．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（）A．3 B．8 C． D．23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AO D的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．40°4．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（）A．60° B．45° C．30° D．20°5．关于半径为5的圆，下列说法正确的是（）A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（）A．36° B．54° C．60° D．27°7．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（）A．5 B． C． D．8．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（）A． B．π C．2π D．4π二．填空题（共6小题，每题3分）9．在边长为1的3×3的方格中，点B、O都在格点上，则劣弧BC的长是_________ ．10．已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为_________ 度．11．已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A 的位置关系是_________ ．12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l 交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移_________ cm时与⊙O相切．13．如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为_________ cm．14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= _________ cm．三．解答题（共10小题）15．（6分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C 是弧AB的中点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若BC=6 cm，求图中阴影部分的面积．16．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．（1）求证：BE=CF；（2）若AD=BC=2 ．求ED的长．17．（6分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC 外接圆的周长．18．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．19．（8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2=AE?AC，求证：CD=CB．20．（8分）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．（1）求证：CD为⊙O的切线．（2）若 = ，求cos∠ DAB．21．（8分）如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．（1）求证：△ACF≌△BCE；（2）求证：AF是⊙O的切线．22．（8分）如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=2 ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．24．（10分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．华师大版初三年级数学下册期中圆测试(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD 的度数是（）A．72° B．54° C．45° D．36°考点：圆周角定理．分析：先根据圆周角定理求出∠B的度数，再根据AD⊥BC 求出∠AEB的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵∠B与∠D是同弧所对的圆周角，∠D=36°，∴∠B=36°．∵AD⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠BAD=90°﹣36°=54°．故选B．点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．2．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（）A． 3 B．8 C． D． 2考点：圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；射影定理．专题：计算题．分析：若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC=CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE= AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．解答：解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵ 所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD=∠CBA，∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD=4，则AE=DE=2；∴BE=BD+DE=7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2=BE?AB=7×9=63；故BC=3 ．故选A．点评：此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．40°考点：圆的认识；平行线的性质．分析：首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA 得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．解答：解：∵AD∥OC，∴∠AOC=∠DAO=70°，又∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO=70°，∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．故选D．点评：此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．4．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（）A．60 ° B．45° C．30° D．20°考点：相交两圆的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．分析：利用等圆的性质进而得出△AO1O2是等边三角形，再利用圆周角定理得出∠ACO2的度数．解答：解：连接O1O2，AO2，∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，∴AO1=AO2=O1O2，∴△AO1O2是等边三角形，∴∠AO1O2=60°，∴∠ACO2的度数为；30°．故选：C．点评：此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理等知识，得出△AO1O2是等边三角形是解题关键．5．关于半径为5的圆，下列说法正确的是（）A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5 C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π考点：点与圆的位置关系．分析：根据点与圆的位置关系进而分别判断得出即可．解答：解：A、关于半径为5的圆，有一点到圆心的距离为5，则该点在圆上，故此选项错误；B、关于半径为5的圆，若有一点在圆外，则该点到圆心的距离大于5，故此选项错误；C、圆上任意两点之间的线段长度不大于10，此选项正确；D、圆上任意两点之间的部分不可以大于10π，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外?d＞r，②点P在圆上?d=r，③点P在圆内?d ＜r．6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（）A．36° B．54° C．60° D．27°考点：切线的性质．分析：根据题目条件易求∠BOA，根据圆周角定理求出∠C= ∠BOA，即可求出答案．解答：∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠A=36°，∴∠BOA=54°，∴由圆周角定理得：∠C= ∠BOA=27°，故选D．点评：本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠BOA度数．7．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（）A． 5 B． C． D．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；BC是直径，所以∠BAC=90°，∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，进而证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质即可求出BA 和AC的比值，进一步利用勾股定理即可求出AC的长．解答：解：连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；∵BC是直径，∴∠BAC=90°，因为∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，所以∠PAB=∠CAO，又因为∠CAO=∠ACO，所以∠PAB=∠ACO，又因为∠P是公共角，所以△PAB∽△PCA，故，所以，在Rt△BAC中，AB2+（2AB）2=62；解得：AB= ，所以AC=故选：D．点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，题目的综合性很强，难度中等．8．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（）A． B．π C．2π D．4π考点：弧长的计算；切线的性质．分析：连接OA，OB，根据切线的性质，以及四边形的内角和定理求得∠AOB的度数，利用弧长的计算公式即可求解．解答：解：连接OA，OB．则OA⊥PA，OB⊥PB∵∠APB=60°∴∠AOB=120°∴劣弧AB的长是：=2π．故选C．点评：本题主要考查了切线的性质定理以及弧长的计算公式，正确求得∠AOB的度数是解题的关键．二．填空题（共6小题）9．在边长为1的3×3的方格中，点B、O都在格点上，则劣弧BC的长是．考点：弧长的计算．分析：根据网格得出BO的长，再利用弧长公式计算得出即可．解答：解：如图所示：∠BOC=45°，BO=2 ，∴劣弧BC的长是： = ．故答案为：．点评：此题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．10．已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为120 度．考点：弧长的计算．分析：直接利用扇形弧长公式代入求出即可．解答：解：∵扇形弧长为2π，半径为3cm，∴l= =2π，即=2π，解得：n=120°，∴ 此扇形所对的圆心角为：120°．故答案为：120．点评：此题主要考查了弧长公式的应用，正确利用弧长公式是解题关键．11．已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A 的位置关系是在⊙A上．考点：点与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．解答：解：∵点A的坐标为（4，3），∴OA= =5，∵半径为5，而5=5，∴点O在⊙A上．故答案为：在⊙A上．点评：本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外?d＞r；当点P在圆上?d=r；当点P在圆内?d＜r．12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l 交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移2 cm时与⊙O相切．考点：直线与圆的位置关系；垂径定理．分析：根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离．解答：解：∵直线和圆相切时，OH=5，又∵在直角三角形OHA中，HA= =4，OA=5，∴OH=3．∴需要平移5﹣3=2cm．故答案为：2．点评：本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，则应满足d=R．13．如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O 与PA相切时，圆心O移动的距离为2或8 cm．考点：直线与圆的位置关系．分析：首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P 的长，继而求得答案．解答：解：①如图1，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，连接O′C，则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，∵∠APB=30°，O′C=1.5cm，∴O′P=2O′C=3cm，∵OP=5cm，∴OO′=OP﹣O′P=2（cm）；②如图2：同理可得：O′P=3cm，∴O′O=8cm．故答案为：2或8．点评：此题考查了切线的性质与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= 2 cm．考点：垂径定理．专题：推理填空题．分析：连接AC、BC．利用圆周角定理知∠D=∠B，然后根据已知条件“CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H”，利用垂径定理知BH= AB；最后再由直角三角形CHB的正切函数求得BH的长度，从而求得AB的长度．解答：解：连接AC、BC．∵∠D=∠B（同弧所对的圆周角相等），∠D=30° ，∴∠B=30°；又∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，∴BH= AB；在Rt△CHB中，∠B=30°，CH=1cm，∴BH= ，即BH= ；∴AB=2 cm．故答案是：2 ．点评：本题考查了垂径定理和直角三角形的性质，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．三．解答题（共10小题）15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB 的中点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若BC=6 cm，求图中阴影部分的面积．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算．分析：（1）先由C是弧AB的中点可得出 = ，由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论；（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，由垂径定理可得出BE的长，根据圆周角定理可得出∠BOC的度数，在Rt△BOE 中由锐角三角函数的定义求出OB的长，根据S阴影=S扇形﹣S△BOC即可得出结论．解答：解：（1）△ABC是等边三角形．∵C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠ BDC=60°∴∠ACB=60°，∴AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形；（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，∵BC=6 cm，∴BE=EC=3 cm，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°= ，∴OB=6cm，∴S扇形= =12πcm2，∵S△BOC= ×6 ×3=9 cm2，∴S阴影=12π﹣9 cm2，答：图中阴影部分的面积是（12π﹣9 ）cm2．点评：本题考查的是圆周角定理、垂径定理及扇形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．（1）求证：BE=CF；（2）若AD=BC=2 ．求ED的长．考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．分析：（1）根据等腰三角形“三合一”的性质推知∠1=∠2．由“直径所对的圆周角是直角”得到∠AED=∠AFD=90°．则根据角平分线的性质证得结论；（2）在直角△ABD中利用勾股定理求得斜边AB的长度，然后根据面积法来求ED的长度．解答：（1）证明：如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC 的高，∴∠1=∠2．又∵AD为直径，∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE =DF；（2）如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，AD=BC=2 ．∴BD=CD= BC= ．∴由勾股定理得到AB= =5．∵由（1）知DE⊥AB，∴ AD?BD= AB?ED，∴ED= = =2．故ED的长为2．点评：本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．注意，勾股定理应用于直角三角形中．17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC 外接圆的周长．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．分析：（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D 四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．（2）求△ABC外接圆的面积，只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．解答：（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等），∴∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE．（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，∵AB=AC，∴AH⊥BC，∴∠OAC=∠OAB= ∠BAC= ×30°=15°，∴∠COH=2∠OAC=30°，设圆半径为r，则OH=OC?cos30°= r，∵△ABC中BC边上的高为1，∴AH=OA+OH=r+ r=1，解得：r=2（2﹣），∴△ABC的外接圆的周长为：4π（2﹣）．点评：此题主要考查圆内接多边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．专题：证明题；压轴题．分析：（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得= ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．解答：证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC= AB，∵OD= AB，∴BC=OD．点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2=AE?AC，求证：CD=CB．考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE；（2）由AD2=AE?AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD=CB．解答：证明：（1）如图，∵∠A与∠B是对的圆周角，∴∠A=∠B，又∵∠1=∠2，∴△ADE∽△BCE；（2）如图，∵AD2=AE?AC，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED=∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，即∠AED=90°，∴直径AC⊥BD，∴CD=CB．点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．20．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．（1）求证：CD为⊙O的切线．（2）若 = ，求cos∠DAB ．考点：切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；（2）连接BC，可证明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圆的直径AB，再根据勾股定理得出CE，即可求出答案．解答：（1）证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB，∴令CD=3，AD=4，得AC=5，∴BC= ，由勾股定理得AB= ，∴OC= ，∵OC∥AD，解得AE= ，∴cos∠DAB= = = ．点评：本题考查了切线的判定以及角平分线的定义、勾股定理和解直角三角形，是中学阶段的重点内容．21．如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．（1）求证：△ACF≌△BCE；（2）求证：AF是⊙O的切线．考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）利用“SAS”证明△ACF≌△BCE；（2）连结OF，如图，根据全等三角形的性质，由△ACF≌△BCE 得到∠A=∠B，则∠B+∠AFC=90°，加上∠B=∠OFB，所以∠OFB+∠AFC=90°，则∠AFO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AF是⊙O的切线．解答：证明：（1）在△ACF和△BCE中，∴△ACF≌△BCE（SAS）；（2）连结OF，如图，∵△ACF≌△BCE，∴∠A=∠B，而∠A+∠AFC= 90°，∴∠B+∠AFC=90°，∵OB=OF，∴∠B=∠OFB，∴∠OFB+∠AFC=90°，∴∠AFO=90°，∴OF⊥AF，∴AF是⊙O的切线．点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了全等三角形的判定与性质．22．如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=2 ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）考点：切线的判定；扇形面积的计算．分析：（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．解答：解：（1）如图，连接OA；∵∠C=60°，∴∠AOB=120°；而OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，∴∠P=∠ABO=30°；∵∠AOB=∠OAP+∠P，∴∠OAP=120°﹣30°=90°，∴PA是⊙O的切线．（2）如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM= ，∵tan30°= ，sin30°= ，∴OM=1，OA=2；∴ = × ×1= ，∴图中阴影部分的面积= ．点评：该题主要考查了切线的判定、扇形的面积公式及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用圆周角定理及其推论、垂径定理等几何知识点来分析、判断、解答．23．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．考点：扇形面积的计算；垂径定理．分析：（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．解答：解：（1）在△OCE中，∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，∴OE= OC=1，∴CE= OC= ，∵OA⊥CD，∴CE=DE，∴CD= ；（2）∵S△ABC= AB?EC= ×4× =2 ，点评：本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．24．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：（1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；（2）根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD即可求解．解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，∴∠ABC=∠DCB=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠BDC=90°∴BC是圆的直径．∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴ = = ，∠BCD=60°∴AB=AD=DC，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．∴BC+ BC=15，解得：BC=6故此圆的半径为3．（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA?cos30°=S△AOD= ×3× = ．∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD= ﹣ = ﹣ = ．点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．。

北师版九年级数学下册《圆》6-9节测试试卷及详细答案

试卷第1页，总4页绝密★启用前北师版九年级数学《圆》预习测试一．选择题（共15小题）1．已知⊙O 的半径为4cm ，如果圆心O 到直线l 的距离为3.5cm ，那么直线l 与⊙O 的位置关系是（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB=12，AC=8，则⊙O 半径长为（） A ．B ．5C ．6D ．10T2 T3 T4 T63．如图，在⊙O 中，AD ，CD 是弦，连接OC 并延长，交过点A 的切线于点B ，若∠ADC=25°，则∠ABO 的度数为（） A ．50° B ．40° C ．30° D ．20°4．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB 与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是（）A ．8πB ．4πC ．64πD ．16π 5．三角形内切圆的圆心为（）A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条中线的交点6．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A=25°，则∠D 的度数是（） A ．25° B ．40° C ．50° D ．65°试卷第2页，总4页7．如图，PA ，PB 切⊙O 于点A ，B ，点C 是⊙O 上一点，且∠P=36°，则∠ACB=（）A ．54°B ．72°C ．108°D ．144°8．如图，⊙A ，⊙B ，⊙C 的半径都是2cm ，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（） A ．2π B ．πC ．D ．6πT7 T8 T99．在正方形ABCD 中，分别以B 、D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（） A ．πa 2﹣a 2B ．a 2﹣πa 2C ．a 2D ．πa 210．已知扇形的半径为6，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（） A ．9π B ．6π C ．3π D ．π11．在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为（） A ．10° B ．60° C ．90° D ．120°12．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（）T12 T13 T14 A ．B ．﹣2C ．D ．﹣13．如图，在半径为4的⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥AB ，垂足为点E ，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（） A ．4π﹣4 B ．2π﹣4 C ．4π D ．2π14．如图，矩形ABCD 的边AB=1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，若点E 是试卷第3页，总4页AD 的中点，以点B 为圆心，BE 长为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（） A ．B ．C ．D ．15．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOD=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ．如果⊙P 以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P 与直线CD 相切．A ．4B ．8C ．4或6D ．4或8二．填空题（共10小题）16．如图，⊙M 与x 轴相切于原点，平行于y 轴的直线交⊙M 于P 、Q 两点，P 点在Q 点的下方．若点P 的坐标是（2，1），则圆心M 的坐标是．T16 T17 T1817．如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP=x ，则x 的取值范围是．18．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC 的内切圆半径r= ．19．如图，△ABC 的周长为8，⊙O 与BC 相切于点D ，与AC 的延长线相切于点E ，与AB 的延长线相切于点F ，则AF 的长为．20．如图，四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD 的周长为．试卷第4页，总4页T19 T20 T2121．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm ，则此光盘的直径是 cm ．22．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm ．若点C 、D 是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是 cm 2．T22 T23 T24 题523．如图，A 是半径为1的⊙O 的外一点，OA=2，AB 是⊙O 的切线，B 是切点，弦BC ∥AO ，连结AC ，则图中的阴影部分的面积等于． 24．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC= （填度数）．25．如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC=30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为．一、选择题二、填空题16. ；17. ；18. ；19. ；20. ；21. ；22. ；23. ；24. ；25. ；北师版九年级数学《圆》预习测试参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，∴3.5＜4，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选A．2．如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O半径长为（）A ． B．5 C．6 D．10【解答】解：连接OB，∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，设⊙O的半径长为r，由勾股定理得：r2+122=（8+r）2，解得r=5．故选B1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．下列事件是必然事件的是（）A ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等B ．若a 2＝b 2则有a ＝bC ．二次函数的图象是双曲线D ．圆的切线垂直于过切点的半径2．已知一个扇形的半径长为3，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（） A ．12π B ．πC ．3π2D ．3π3．若一个圆锥的底面半径为3cm ，高为62cm ，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（） A ．120︒B ．100︒C ．80︒D ．150︒4．下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧．其中真命题的有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，矩形ABCD 中，10AB =，4=AD ，点P 是CD 上的动点，当90APB ∠=︒时，线段DP 的长应是（）A ．2B ．6C ．2或6D ．2或8 6．О的半径为5,cm 点Р到圆心O 的距离为7,cm 则点P 与О的位置关系是（） A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不确定7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，BD 平分∠ABC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，已知DE =2，DB =6，则阴影部分的面积为（）A ．2π3B ．4π3C ．4π3D ．π38．探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm ．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA 的值最接近的是（）A ．8cmB ．7 cmC ．6 cmD ．5 cm9．如图，O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，P 为CAD 上除C ，D 外的任意一点，则cos CPD ∠的值为（）A ．12B ．1C ．3D ．3210．如图，O 的直径为10，弦AB 的长为6，P 为弦AB 上的动点，则线段OP 长的取值范围是（）A ．35OP ≤≤B ．45OP <<C ．45OP ≤≤D ．35OP <<11．如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ．若BAC BDC ∠=∠，则下列结论中正确的是（）①AE BE DE CE = ②ABE △与DCE 的周长比为BECE ③ADE ABC =∠∠ ④ABE DCE ADE BCE S S S S ⋅=⋅A ．③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④12．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，D ，E 分别为线段AB ，AC 上一点，且AD AE =，连接BE 、CD 交于点G ，延长AG 交BC 于点F ．以下四个结论正确的是（）①BF CF =；②若BE AC ⊥，则CF DF =； ③若BE 平分ABC ∠，则32FG =； ④连结EF ，若BE AC ⊥，则2DFE ABE ∠=∠． A ．①②③B ．③④C ．①②④D ．①②③④二、填空题13．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，点C 在AB 上，DE 切⊙O 于C 交PA 、PB 于D 、E ，已知PO ＝13cm ，⊙O 的半径为5cm ，则△PDE 的周长是_____．14．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且AC BD ⊥， OF CD ⊥，垂足分别为E F 、，若52OF =，则AB =_____．15．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则这个扇形的面积为_____cm 2． 16．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为______．17．边长为6的正三角形的外接圆的周长为__________．18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，8AB =，将Rt ABC △绕点C 顺时针旋转，使斜边A B ''过B 点，则线段CA 扫过的面积为______．19．如图，C ∠是O 的圆周角，45C ∠=︒，则AOB ∠的度数为____．20．点A ，B ，C ，D 都在O 上，AB AC =，D 为O 上的一点，67.5ABC ODC ∠=∠=︒，CO 的延长线交AB 于点P ，若2CD =，则BP =___________．三、解答题21．如图，ABC 的边AB 是O 的直径，边AC 交O 于,D 边BC 与O 相切于点B ，点E 为O 上一点，连接BD BE DE 、、．()1求证：CBD E ∠=∠．()2已知3,22cos E CD ∠==，求半径的长． 22．如图，在直角坐标系中，⊙M 的圆心M 在y 轴上，⊙M 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C 、D ，过点A 作⊙M 的切线AP 交y 轴于点P ，若点C 的坐标为（0，2），点A 的坐标为（﹣4，0）．（1）求证：∠PAC＝∠CAO；（2）求点P的坐标；（3）若点Q为⊙M上任意一点，连接OQ、PQ，问OQPQ的比值是否发生变化？若不变求出此值；若变化，说明变化规律．23．如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN．（1）当点M在⊙O内部，如图①，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图②，其它条件不变时，（1）的结论是否成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图③，∠AMO＝30°，求图中阴影部分的面积．24．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠P＝44°．（1）如图①，若点C 为优弧AB 上一点，求∠ACB 的度数；（2）如图②，在（1）的条件下，若点D 为劣弧AC 上一点，求∠PAD ＋∠C 的度数． 25．如图，BD 为ABC 外接圆O 的直径，且BAE C ∠=∠．（1）求证：AE 与O 相切于点A ；（2）若//AE BC ，23BC =，2AC =，求O 的直径．26．已知EF 为O 的一条弦，OB EF ⊥交O 于点B ，A 是弦EF 上一点（不与E ，F 重合），连接BA 并延长交O 于点C ，过点C 作O 的切线交EF 的延长线于点D ．（1）如图1，若EF 在圆心O 的上方，且与OB 相交于点H ，求证：ACD △是等腰三角形；（2）如图2，若EF 是O 的直径，25AB =O 的半径为4，求线段DC 的长；（3）如图3，若EF 在圆心O 的下方，且与BO 的延长线相交于点H ，试判断线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由三角形全等的判定方法可判断,A 由平方根的含义可判断,B 由二次函数的图像可判断,C 由圆的切线的性质可判断.D 再结合必然事件的概念可得答案．【详解】解：有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，所以是随机事件，故A 不符合题意；若22a b =则有,a b =±所以是随机事件，故B 不符合题意；二次函数的图象是抛物线，所以是不可能事件，故C 不符合题意；圆的切线垂直于过切点的半径，是必然事件，故D 符合题意；故选：.D 【点睛】本题考查的是确定事件与随机事件的概念，同时考查了二次函数的图像，圆的切线的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．C解析：C 【分析】根据计算公式直接套用求解即可．【详解】根据题意，得260333602S ππ⨯⨯==，故选C ．【点睛】本题考查了扇形的面积计算问题，熟记扇形面积计算公式，准确判断计算条件是解题的关键．3．A解析：A 【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n °，9（cm ），∴圆锥的侧面展开图扇形的半径为9cm ，扇形弧长为2×3π=6π(cm)，∴9180n π⨯＝6π，解得，n ＝120，故选：A ．【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．4．B解析：B 【分析】依次判断真假命题即可，可以通过找到相应的反例，去论证命题的正确性．【详解】解：①假命题，当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了，故此项错误； ②真命题，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此项正确； ③假命题，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故此项错误； ④假命题，在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故此项错误；综上所述，②正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理及圆周角定理等圆的一些基本的知识，解答此题的关键掌握理解圆的定义及性质．5．D解析：D 【分析】以AB 的中点O 为圆心，AB 的一半5为半径作圆，交CD 于点P ，点P 即为所求；设PC=x ，则PD=10-x ，证△ADP ∽△PCB ，对应边成比例列方程，解之可得答案．【详解】如图，以AB 的中点O 为圆心，AB 的一半5为半径作圆，交CD 于点P ，点P 即为所求；设PC= x ，则PD= 10- x ，∵四边形A BCD 是矩形， ∴∠D=∠C= 90° ∴∠DAP+∠APD= 90° ∵∠APB= 90°， ∴∠APD +∠BPC= 90° ∴∠DAP=∠CPB ， ∴△ADP ∽△PCB ，∴AD DPPC CB = 即4104x x -=，解得: x = 2或8， PD= 10-x= 2或8，即PD = 2或8. 故选: D. 【点睛】本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定与性质及矩形的性质，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键.6．C解析：C 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断；【详解】 ∵O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为7cm ，∴OP ＞O 的半径， ∴点P 在O 外；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确判断是解题的关键．7．A解析：A 【分析】证明△DAE ~△DBA ，求得DA =，由AB 是⊙O 的直径，利用勾股定理求得⊙O 的直径，求得∠ABD=30︒，∠COD=60︒，再利用OCDOCD S S S =-阴影扇形即可求解．【详解】连接OC 、OD 、AD ，∵BD 平分∠ABC ，∴AD CD =，∴∠DAC=∠DBA ，∴△DAE ~△DBA ， ∴DA DE DB DA =，即26DA DA=， ∴212DA =，∴DA 23=，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90︒，∴222AD BD AB +=，∴AB=43∴⊙O 的半径为3∵DA=OA=OD 23=，∴△DOA 是等边三角形，∴∠COD=∠AOD=60︒，∴OCD OCD S S S =-阴影扇形(2602312323603602π⨯=-⨯︒233π=-故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形与等边三角形的面积等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．B解析：B【分析】先计算出QA 的长，由于图甲测得PC=12cm ，即圆的半径等于12cm ，在图乙中直角三角形OAQ 中利用30度角的三角函数可求得tan30°312AQ ，解得AQ 的值为33的近似值，再求解．【详解】解：如图甲，连结OP ，并设⊙O 与x 轴相切于点D ，图乙，连结OQ 、OA ，并设⊙O 与x 轴相切于点E ，∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD 是正方形，∴OQ=OP=PC=12cm ，由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC ）÷2=60°，∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，∴tan ∠QOA=AQ÷OQ ，即tan30°312AQ ，解得AQ=3∵1.532，∴6＜438．故选B ．【点睛】本题考查的是切线的性质，解直角三角形和无理数的估算．估算无理数的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握．9．D解析：D【分析】连接OC 、OD ，利用正六边形的性质得到60COD ∠=︒，根据圆周角定理得到30CPD ∠=︒，即可求解．【详解】连接OC 、OD ，如图所示：∵O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，∴60COD ∠=︒，P 为CAD 上除C ，D 外的任意一点， ∴1302CPD COD ∠=∠∠=︒， ∴3cos CPD ∠=故选：D ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形的有关概念和正多边形的性质是解题的关键． 10．C解析：C【分析】由垂线段最短可知当OP ⊥AB 时最短，当OP 是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【详解】解：如图，连接OA ，作OP ⊥AB 于P ，∵⊙O 的直径为10，∴半径为5，∴OP 的最大值为5，∵OP ⊥AB 于P ，∴AP=BP ，∵AB=6，∴AP=3，在Rt △AOP 中，222594OA AP -=-=；此时OP 最短，所以OP 长的取值范围是4≤OP≤5．故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是确定OP 的最小值，所以求OP 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+（2a ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 11．C解析：C【分析】根据相似三角形可得①②正确，由四点共圆可知③不符合题意，面积比转化成边长比可得④正确．【详解】解：∵BAC BDC ∠=∠，AEB DEC ∠=∠∴ABE DCE ∴AE BE DE CE= ∴①正确；相似三角形周长比等于相似比，②正确∵BAC BDC ∠=∠，且△BDC 和△BAC 共有底BC∴得到A ，B ，C ，D 四点共圆；若ADE ABC =∠∠，则=ADE ABC ACB =∠∠∠，则AB=AC ，但题目中并没有告诉这个条件，所以③不一定正确；∵△ABE 和△ADE 共有高，∴ABEADE SBE S DE=， ∵△CBE 和△CDE 共有高，∴BCEDCE BE S DE S =∴ABEBCEADE DCE SBE S S DE S ==即，ABE DCE ADE BCE S S S S ⋅=⋅，故 ④正确；∴①②④正确，选C.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判断及其性质，解决本题的关键是合理作辅助圆，熟练掌握相似三角的性质定理．12．D解析：D【分析】先证明∆BAE ≅∆CAD ，再证明∆ABG ≅ ∆ACG ，得AF 是∠BAC 的平分线，进而即可判断①；先证明BDC=∠CEB=90°，根据直角三角形的性质，即可判断②；根据角平分线的性质，得点G 到∆ABC 的三边距离都相等，结合“等积法”即可判断③；先证明B ，C ，D ，E 在以点F 为圆心的圆上，进而即可判断④．【详解】∵AB=AC ，∠BAE=∠CAD ，AE=AD ，∴∆BAE ≅ ∆CAD ，∴∠ABE=∠ACD ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD ，即：∠GBC=∠GCB ，∴BG=CG ，∴∆ABG ≅ ∆ACG ，∴∠BAG=∠CAG ，即AF 是∠BAC 的平分线，∴BF CF =，故①正确；∵BE AC ⊥，∴∠CEB=90°，由①可知：BD=CE ，∠ABC=∠ACB ，又∵BC=CB ，∴∆BDC ≅∆CEB ，∴∠BDC=∠CEB=90°，∵点F 是BC 的中点，∴CF DF =，故②正确；∵BE 平分ABC ∠，AF 平分∠BAC ，∴点G 是角平分线的交点，∴点G 到∆ABC 的三边距离都相等，且等于FG ，∵5AB AC ==，6BC =，AF ⊥BC ，∴4=， ∴S ∆ABC =12(AB +AC+BC)∙FG=12×16FG=8FG ，S ∆ABC =12BC∙AF=12，∴8FG=12，即：3FG=，故③正确；2⊥，由①可知：CD⊥AB，∵BE AC∴B，C，D，E在以点F为圆心的圆上，∴2∠=∠，故④正确．DFE ABE故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握“等腰三角形三线合一”，“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”，是解题的关键．二、填空题13．24cm【分析】连接OAOB由切线长定理可得：PA=PBDA=DCEC=EB；由勾股定理可得PA的长△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB即可求得△PDE的周长【解析：24cm【分析】连接OA、OB，由切线长定理可得：PA=PB，DA=DC，EC=EB；由勾股定理可得PA的长，△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB，即可求得△PDE的周长.【详解】解：连接OA、OB，如图所示：∵PA、PB为圆的两条切线，∴由切线长定理可得：PA=PB，同理可知：DA=DC，EC=EB；∵OA⊥PA，OA=5cm，PO=13cm，∴在Rt△POA中，由勾股定理得：222213512OP OA--=cm，∴PA=PB=12cm；∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB；∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24cm，故答案为：24cm.【点睛】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长.14．【分析】连接DO并延长与⊙O相交于点G连接BGCG由AC⊥BDDG是直径可得∠DBG=90°=∠DCG可证AC∥BG可得可得AB=CG由OF⊥CD可证OF∥CG 可证△DOF∽△DGC由性质由OF=可解析：【分析】连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，由AC⊥BD， DG是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG可证AC∥BG，可得AB CG=，可得AB=CG，由OF⊥CD，可证OF∥CG，可证△DOF∽△DGC，由性质DO OF1==DG CG2，由OF=52，可求CG5=2OF=2=52⨯即可．【详解】解：如图，连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，∵AC⊥BD，DG是直径，∴∠DBG=90°=∠DCG，∴BG⊥DB,∴AC∥BG，∴AB CG=，∴AB=CG，∵OF⊥CD，∴OF∥CG，∴∠DOG=∠DGC∴△DOF∽△DGC，，∴DO OF1==DG CG2，∵OF=52，∴CG5=2OF=2=52⨯，所以AB=CG=5．故答案为：5．【点睛】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．15．3π【分析】根据扇形的面积公式即可求解【详解】解：扇形的面积＝＝3πcm2故答案是：3π【点睛】本题考查了扇形的面积公式正确理解公式是解题的关键解析：3π【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：扇形的面积＝21203360π⨯＝3πcm2．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键．16．【分析】首先根据垂直平分线的性质将的长度转化为的长度求出的最小值然后根据直角三角形的性质求出AP 和CP 的长并证明是等边三角形据此求出圆心角的大小即可计算出的长度用的长度加上的长度即为阴影部分的周长【解析：483π+【分析】首先根据垂直平分线的性质将AP CP +的长度转化为AP BP +的长度，求出AP BP +的最小值，然后根据直角三角形的性质求出AP 和CP 的长，并证明ACP △是等边三角形，据此求出圆心角AEC ∠的大小，即可计算出AC 的长度，用AC 的长度加上AP CP +的长度即为阴影部分的周长.【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP +=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =， ∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==，∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒. 故答案为483π+. 【点睛】本题主要考察弧长的计算以及利用垂直平分线的性质求两线段长度和的最小值，阴影部分的周长可以分为AC 和AP CP +两部分的长度分别计算然后求和即可.17．【分析】根据题意画出图形先求出边长为6的正三角形的外接圆的半径再求出其周长即可【详解】解：如图所示连接OBOC 过O 作OD ⊥BC 于D ∵△ABC 是边长为6的等边三角形BC=6∴∠BOC==120°∠BO 解析：43π【分析】根据题意画出图形，先求出边长为6的正三角形的外接圆的半径，再求出其周长即可．【详解】解：如图所示，连接OB 、OC ，过O 作OD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是边长为6的等边三角形，BC=6，∴∠BOC=3603︒=120°，∠BOD=12∠BOC=60°，BD=3， ∴OB=3sin 603BD ==︒ ∴外接圆的周长33．故答案为：3．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 18．【分析】线段CA 形成的是以C 为圆心以C 为半径的扇形求出其圆心角按照扇形面积公式计算即可【详解】∵∴BC=4CA==；根据旋转的性质得∴△是等边三角形∴∴∴∴=8π故答案为：8π【点睛】本题考查了旋转解析：8π．【分析】线段CA 形成的是以C 为圆心，以C 为半径的扇形，求出其圆心角，按照扇形面积公式计算即可．【详解】∵90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，8AB =，∴BC=4，2284-43根据旋转的性质，得60B '∠=︒，CB CB '=，∴△CBB '是等边三角形，∴60B CB '∠=︒，∴30BCA '∠=︒，∴60A CA '∠=︒， ∴22n r 60(43)=360360S ππ⨯⨯=扇形=8π．故答案为：8π．【点睛】本题考查了旋转问题，扇形面积问题，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，灵活运用公式是解题的关键．19．【分析】根据圆周角定理计算即可；【详解】∵∴；故答案是【点睛】本题主要考查了圆周角定理准确分析计算是解题的关键解析：90︒【分析】根据圆周角定理计算即可；【详解】∵45C ∠=︒，∴290AOB C ∠=∠=︒；故答案是90︒．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，准确分析计算是解题的关键．20．【分析】连接ACOB 根据三角形的内角和得到∠DOC=180°-675°-675°=45°根据圆周角定理得到∠BOC=90°推出∠BCP=∠COD=45°∠PBC=∠OCD=675°证得△CPB ∽△O解析：22【分析】连接AC ，OB ，根据三角形的内角和得到∠DOC=180°-67.5°-67.5°=45°，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，推出∠BCP=∠COD=45°，∠PBC=∠OCD=67.5°，证得△CPB ∽△ODC ，根据相似三角形的性质即可求得结果.【详解】如图，连接AC ，OB67.5ABC ODC =︒∠=∠又∵AB AC =∴AB=AC∴∠ABC=∠ACB=67.5°∴∠BAC=180°-67.5°-67.5°=45°又CO=DO∴∠OCD=∠ODC=67.5°∴∠COD=180°-67.5°-67.5°=45°45BAC COD ∴∠=∠=︒290BOC BAC45BCO ∴∠=︒∴∠BCP=∠COD=45°又∠CBP=∠OCDCPB ODC ∴△∽△PB BC CD OC ∴=，∴2PB =PB ∴=．故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.三、解答题21．（1）见解析；（2）【分析】（1）先由切线的性质得90ABC ∠=︒ ，通过同角的余角相等证明∠A CBD =∠，最后由同弧对的圆周角相等证明∠E A =∠即可得到结论；（2）由30°的角所对直角边等于斜边的一半求出BC 和AC 的长，再由勾股定理求出AB 的长即可得到O 的半径．【详解】解：∵AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，∴∠90,90ABC ADB ︒︒=∠=∵∠90A ABD ︒+∠=∴∠A CBD =∠∵∠E A =∠∴∠CBD E =∠（2）∵cos 2E ∠=∴∠30E ︒=由（1）知，∠A E CBD =∠=∠∴∠30A CBD ︒=∠=∵∠90ADB ︒=∴∠18090BDC ADB ︒︒=-∠=∴24BC CD ==在Rt ABC ∆中，∠30A ︒=∴28AC BC ==∴AB =∴O 的半径12AB ==【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．22．（1）见解析；（2）点P 的坐标为（0，163）；（3）OQ PQ 不变，等于35．【分析】（1）根据切线性质，∠PAC +∠MAC ＝90°，由∠MCA ＝∠MAC ，∠OAC +∠MCA ＝90°，实现解题目标；（2）先证明△AOM ∽△PAM ，后使用勾股定理计算即可；（3）证明△MOQ ∽△MQP 即可实现解题目标．【详解】（1）连接MA ，如图1，∵PA 是⊙M 的切线，∴AM ⊥AP ，∴∠PAC +∠MAC ＝90°，∵MA ＝MC ，∴∠MCA ＝∠MAC ，∵∠OAC +∠MCA ＝90°，∴∠PAC ＝∠OAC ；（2）如图1，∵∠AMO ＝∠PMA ，∠AOM ＝∠PAM ＝90°，∴△AOM ∽△PAM ， ∴MA MO MP MA=， ∴2MA ＝MO •MP ，设AM ＝R ，∵A （﹣4，0），C （0，2），∴OA ＝4，OC ＝2，在Rt △AOM 中，∵OA ＝4，OM ＝R ﹣2，由222MA OM AO =+得，222(2)4R R =-+，解得R ＝5，即AM ＝5，∴OM ＝5﹣2＝3．∴25＝3MP ，∴MP ＝253， ∴OP ＝MP ﹣OM ＝253﹣3＝163， ∴点P 的坐标为（0，163）（3）OQ PQ 不变，等于35．连接MQ ，如图2， ∵MA MO MP MA =（已证），MA ＝MQ ， ∴MQ MO MP MQ=． ∵∠QMO ＝∠PMQ ，∴△MOQ ∽△MQP ， ∴35OQ MO MO PQ MQ MA ===， ∴OQ PQ 不变，等于35．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，三角形的相似，勾股定理，圆的半径相等，猜想型问题，熟练掌握圆的基本性质，灵活证明三角形的相似是解题的关键．23．（1）相切，见解析；（2）成立，见解析；（3）14+16π【分析】（1）根据切线的判定得出∠PNO＝∠PNM+∠ONA＝∠AMO+∠ONA进而求出即可；（2）根据已知得出∠PNM+∠ONA＝90°，进而得出∠PNO＝180°﹣90°＝90°即可得出答案；（3）首先根据外角的性质得出∠AON＝60°进而利用扇形面积公式得出即可．【详解】解：（1）PN与⊙O相切．如图一，证明：连接ON，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN，∵∠AMO＝∠PMN，∴∠PNM＝∠AMO，∴∠PNO＝∠PNM+∠ONA＝∠AMO+∠ONA＝90°，即PN与⊙O相切．（2）成立．证明：连接ON，如图二，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN，在Rt△AOM中，∠OMA+∠OAM＝90°，∴∠PNM+∠ONA ＝90°．∴∠PNO ＝180°﹣90°＝90°．即PN 与⊙O 相切．（3）连接ON ，如图三，由（2）可知∠ONP ＝90°．∵∠AMO ＝30°，PM ＝PN ，∴∠PNM ＝30°，∠OPN ＝60°，∴∠PON ＝30°，∠AON ＝60°，作NE ⊥OD ，垂足为点E ，则NE ＝ON•sin30°＝1×12＝12， =-AOC CON AON S SS S +阴影扇形＝12OC•OA+60360×π×21﹣12CO•NE ＝12×1×1+16π﹣12×1×12 ＝14+16π．【点睛】本题考查了圆的切线的判定，不规则阴影的面积，扇形的面积，熟练掌握切线的判定方法，熟记扇形的公式，合理进行图形分割是解题的关键．24．（1）68°；（2）248°【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP ＝90°，∠OBP ＝90°，根据圆周角定理即可得到结论；（2）连接AB ，根据切线长的性质得到PA ＝PB ，得到∠PAB ＝∠PBA ＝68°，再根据圆内接四边形定理可求．【详解】解：（1）∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°﹣∠OAP ﹣∠OBP ﹣∠P ＝360°﹣90°﹣90°﹣44°＝136°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝68°；（2）连接AB ，∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，∵∠P ＝44°，∴∠PAB ＝∠PBA ＝12（180°﹣44°）＝68°， ∵∠DAB ＋∠C ＝180°，∴∠PAD ＋∠C ＝∠PAB ＋∠DAB ＋∠C ＝180°＋68°＝248°．【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质和圆周角定理，解题关键是熟练运用圆的有关知识，恰当的连接辅助线，建立角与角之间的联系．25．（1）见解析；（2）214【分析】（1）连接OA ，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和已知求出∠DAO=∠BAE ，∠DAB=90°，求出OAE=90，根据切线的判定得出即可；（2）根据垂径定理求出BF ，根据勾股定理求出AF ，再根据勾股定理求出OB 即可．【详解】（1）连接OA ，交BC 于点F ．∴OA OD =．∴D DAO ∠=∠．∵D C ∠=∠，∴C DAO ∠=∠．∵BAE C ∠=∠，∴BAE DAO ∠=∠．∵BD 是O 的直径，∴90BAD ∠=︒，即90DAO BAO ∠+∠=︒，∴90BAE BAO ∠+∠=︒，即90OAE ∠=︒，∴AE OA ⊥．又∵OA 为O 的半径， ∴AE 与O 相切于点A ．（2）∵//AE BC ，AE OA ⊥，∴OA BC ⊥，∴AB AC =，12FB BC =，AB AC =． ∵BC =AC = ∴BF =AB =∴在Rt ABF 中，1AF ===， ∴在Rt OFB △中，()222OB BF OB AF =+-，∴4OB =，∴8BD =，∴在Rt △ABD 中，AD ==【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 26．（1）见解析；（2）线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由见解析．【分析】（1）连接OC ，由题意易得OC DC ⊥，∠B=∠OCB ，则有9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，进而可得DAC DCA ∠=∠，然后问题可求证；（2）连接OC ，则OC DC ⊥，由勾股定理可得2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，然后再由勾股定理可求DC 的长；（3）连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ，由题意可得9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，则有DA DC =，进而可得CED DCF ∠=∠，然后有CDF EDC ∽△△，则根据相似三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB ，∴9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90DAC BAH B ∠=∠=︒-∠，∴DAC DCA ∠=∠，∴DA DC =，∴ACD △是等腰三角形；（2）如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵在Rt ABO △中，25AB =，O 的半径为4，∴2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，∴在Rt OCD △中，()22242x x +=+， ∴3x =，即线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由：如图，连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ， ∵DC 为O 的切线，∴9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90BAH HBA ∠=︒-∠，CAD BAH ∠=∠，∴∠=∠DCA CAD ，∴DA DC =，∵CG 是O 的直径，∴90CFG ∠=︒，∴90CED CGF GCF ∠=∠=︒-∠，又∵90DCF GCF ∠=︒-∠，∴CED DCF ∠=∠，又∵D D ∠=∠，∴CDF EDC ∽△△， ∴DC DF DE DC=， ∴2DC DE DF =⋅，∴2DA DE DF =⋅．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及切线的性质定理，熟练掌握相似三角形的性质及切线的性质定理是解题的关键．。

(北师大版)郑州市九年级数学下册第三单元《圆》检测(有答案解析)

一、选择题1．如图，O的弦AB垂直平分半径OC，若弦23AB=，则O的半径为（）A．2B．22C．3D．22．下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧．其中真命题的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个π时，滑轮的一条半径3．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为6cm，当重物上升4cmOA按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（）A．30B．60︒C．90︒D．120︒4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，BD平分∠ABC交⊙O于点D，交AC于点E，已知DE=2，DB=6，则阴影部分的面积为（）A．2π-33B．4π-63C．4π-33D．π-235．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE=1，则AE的长为（）A3B5C．23D．256．如图，30MAN ∠=︒，O 是MAN ∠内部一点，O 与MAN ∠的边AN 相切于点B ，与边AM 相交于点C ，D ，52AB =，作OE CD ⊥于E ，3OB OE =，则弦CD 的长是（）A ．22B ．23C ．4D ．26 7．如图，O 的直径为10，弦AB 的长为6，P 为弦AB 上的动点，则线段OP 长的取值范围是（）A ．35OP ≤≤B ．45OP <<C ．45OP ≤≤D ．35OP <<8．如图，P 是⊙O 外一点，射线PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、点B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点D 、点C ，若PB ＝4，则△PCD 的周长（）A ．4B ．6C ．8D ．109．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论： ①AD ⊥BD ；②BC 平分∠ABD ；③BD=2OF=CF ；④△AOF ≌△BED ，其中一定成立的是（）A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．③④10．如图，从一块半径是2米的圆形铁皮（⊙O ）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点,,A B C 在⊙O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）米．A ．32B ．3C ．36D ．211．如图，正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，在AD 上取一点E （点E 不与D 重合），连接EC ，ED ，则∠CED 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°12．如图，AB 为⊙0的直径，点C 在⊙0上，且CO ⊥AB 于点O ，弦CD 与AB 相交于点E ，若∠BEC= 68°，则∠ABD 的度数为（）A ．20°B ．23°C ．25°D ．34°二、填空题13．如图，四边形OABC 是菱形，点B ，C 在以点O 为圆心的弧EF 上，且∠1=∠2，若菱形边OA=3，则扇形OEF 的面积为___________14．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且AC BD ⊥， OF CD ⊥，垂足分别为E F 、，若52OF =，则AB =_____．15．如图，点M 为O 的半径OA 的中点，弦BC 过点M 且垂直于AO ，若4AO =，则弦BC 的长为______．16．如图，点P 为⊙O 外一点，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝90°．若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．17．如图，已知AB 为O 直径，若CD 是O 内接正n 边形的一边，AD 是O 内接正()4n +边形的一边，BD AC =，则n =_____．18．如图，菱形ABCD 中，已知2AB =，60DAB ∠=︒将它绕着点A 逆时针旋转得到菱形ADEF ，使AB 与AD 重合，则点C 运动的路线CE 的长为________．19．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 的边长是2，则它的外接圆圆心P 的坐标是______．20．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 是AD 上的动点（不与端点重合），在矩形ABCD 内找点F ，使得EF AD ⊥，且满足2·AF AE AD =，则线段BF 的最小值是__________．三、解答题21．如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的弦，点F 是DA 延长线上的一点，过O 上一点C 作O 的切线交DF 于点E ，AC 平分FAB ∠．（1）求证：CE DF ⊥；（2）若2,4AE CE ==，求O 的半径．22．学校花园边墙上有一宽（BC ）为23m 的矩形门ABCD ，量的门框对角线AC 长为4cm ，为美化校园，现准备打掉地面BC 上方的部分墙体，使其变为以AC 为直径的圆弧形门，问要打掉墙体（阴影部分）的面积是多少？（结果中保留π，3）23．定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”．根据上述定义解决下列问题，在△ABC 中，AB=AC=5， BC=6，设△ABC 的“切接圆”的半径为r ．（1）如图1，△ABC 的“切接圆”的圆心D 在边AB 上，求r ；（2）如图2，请确定r 的最小值，并说明理由；（3）如图3，把△ABC 放在平面直角坐标系中，使点B 与原点O 重合，点C 落在x 轴正半轴上．求证：以抛物线21(3)28y x =-+上任意一点为圆心都可以作△ABC 的“切接圆”． 24．如图，一个零件形如一个圆柱体削去底面圆的四分之一部分的柱体，底面圆的半径为2cm ．（1）请画出该零件的三视图；（2）若用该零件的俯视图围成一个圆锥，求这个圆锥的高．25．已知，如图，在ABC 中，90C ∠=︒，D 为BC 边中点．（1）尺规作图：以AC 为直径作O ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不需写作法）；（2）连接DE ，求证：DE 为O 的切线．26．如图，在ABC 中，点O 是BC 中点，以O 为圆心，BC 为直径作圆刚好经过A 点，延长BC 于点D ，连接AD ．已知CAD B ∠=∠．（1）求证：①AD 是⊙O 的切线；②ACD BAD △△；（2）若8BD =，1tan 2B =，求⊙O 的半径．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】首先连接OA ，由垂径定理即可求得AD 的长，然后设OD=x ，则OA=2x ，由勾股定理即可求得圆的半径；【详解】设OC 与AB 交于点D ，连接OC ，设OC=x ，∵ O 的弦AB 垂直平分半径OC ，∴ OC=2x ，AD=1123322AB ， ∵ 222OA OD AD =+ ， ∴ ()()22223x x =+ ，解得：1x = ，∴ 圆的半径为：2．故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法及数形结合的思想的应用．2．B解析：B【分析】依次判断真假命题即可，可以通过找到相应的反例，去论证命题的正确性．【详解】解：①假命题，当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了，故此项错误；②真命题，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此项正确；③假命题，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故此项错误；④假命题，在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故此项错误；综上所述，②正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理及圆周角定理等圆的一些基本的知识，解答此题的关键掌握理解圆的定义及性质．3．D解析：D【分析】重物上升的距离恰好是滑轮转过的弧长，根据弧长公式计算即可.【详解】∵重物上升的距离恰好是滑轮转过的弧长，∴4π= n 6180π⨯⨯，解得n=120，故选D.【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式，读懂题意是解题的关键.4．A解析：A【分析】证明△DAE ~△DBA ，求得DA 23=，由AB 是⊙O 的直径，利用勾股定理求得⊙O 的直径，求得∠ABD=30︒，∠COD=60︒，再利用OCD OCD S S S=-阴影扇形即可求解．【详解】连接OC 、OD 、AD ，∵BD 平分∠ABC ，∴AD CD =，∴∠DAC=∠DBA ，∴△DAE ~△DBA ，∴DA DE DB DA =，即26DA DA=， ∴212DA =，∴DA =，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90︒，∴222AD BD AB +=，∴AB=∴⊙O的半径为∵DA=OA=OD =，∴△DOA 是等边三角形，∴∠COD=∠AOD=60︒，∴OCD OCD S S S =-阴影扇形(2601603602π⨯=-⨯︒2π=-故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形与等边三角形的面积等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．5．A解析：A【分析】连接AD ，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE 是直角三角形，用勾股定理求AE 即可．【详解】解：连接AD ，∵∠BOD =120°，AB 是⊙O 的直径，∴∠AOD =60°，∵OA=OD ，∴∠OAD =∠ODA =60°，∵点C 为弧BD 的中点，∴∠CAD =∠BAC =30°，∴∠AED =90°，∵DE =1，∴AD=2DE=2，AE =2222213AD DE -=-=，故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．6．C解析：C【分析】延长BO 交AM 点F ，计算BF ，后计算OB ，OC ，OE ，最后，运用垂径定理计算即可.【详解】如图，延长BO 交AM 点F ，连接OC ，∵O 与MAN ∠的边AN 相切，∴∠ABF=90°，∵30MAN ∠=︒，52AB =∴BF=563，∠AFB=60°，∠FOE=30°，设EF=x ，则OF=2x ，3x ， ∵3OB OE =， ∴OB=3x ，∴BF=OB+OF=5x ， ∴56， ∴6 ∴6，3x 2，∵OE CD ⊥，∴在直角三角形OCE 中，2262OC OE --，根据垂径定理，得CD=2CE=4，故选C.【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，垂径定理，会用延长线段BO构造特殊的直角三角形是解题的关键.7．C解析：C【分析】由垂线段最短可知当OP⊥AB时最短，当OP是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【详解】解：如图，连接OA，作OP⊥AB于P，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OP⊥AB于P，∴AP=BP，∵AB=6，∴AP=3，在Rt△AOP中，OP=222594-=-=；OA AP此时OP最短，所以OP长的取值范围是4≤OP≤5．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是确定OP 的最小值，所以求OP 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+（2a ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 8．C解析：C【分析】由切线长定理可求得PA ＝PB ，BC ＝CE ，AD ＝ED ，则可求得答案．【详解】解：∵PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，∴PA ＝PB ＝4，BC ＝EC ，AD ＝ED ，∴PC+CD+PD ＝PC+CE+DE+PD ＝PC+BC+PD+AD ＝PB+PA ＝4+4＝8，即△PCD 的周长为8，故选：C ．【点睛】本题考查了切线长定理以及三角形的周长，熟练掌握切线长定理是解题的关键； 9．A解析：A【分析】根据直径的性质，垂径定理等知识一一判断即可；【详解】解：∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BD ，故①正确，∵OC ∥BD ，BD ⊥AD ，∴OC ⊥AD ，∴AC CD ，∴∠ABC ＝∠CBD ，∴BC 平分∠ABD ，故②正确，∵AF ＝DF ，AO ＝OB ，∴BD ＝2OF≠CF ，故③错误，△AOF 和△BED 中，没有对应边相等，故④错误，故选：A ．【点睛】本题考查直径的性质、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．B解析：B【分析】连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．【详解】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA＝2，∠OAD＝12∠BAC＝30°，则AD＝OA•cos30°＝3，则AB＝2AD＝23，则扇形的弧长=6023π⨯=23π，设圆锥的底面圆的半径是r，则2π×r＝23π，解得：r＝3故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数，弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．11．B解析：B【分析】连接DO、CO，利用正方形的性质可求得圆心角的度数为90°，再根据圆周角定理求解即可得出结论．【详解】解：如图，连接DO、CO，∵四边形ABCD为正方形，∴∠COD＝90°，∠COD＝45°．∴∠CED＝12故选：B．【点睛】考查了正方形和圆的性质，掌握正方形的性质及圆周角定理并能正确的作出辅助线是解答此题的关键．12．B解析：B【分析】连接OD，可得∠ODC=∠OCD=22°，从而可求得∠AOD=46°，结合圆周角定理，即可求解．【详解】连接OD，∵CO⊥AB，∠BEC= 68°，∴∠OCD=90°-68°=22°，∵CO=CD，∴∠ODC=∠OCD=22°，∴∠COD=180°-22°-22°=136°，∴∠AOD=136°-90°=46°，∴∠ABD=1∠AOD=23°，2故选B．【点睛】本题主要考查圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．二、填空题13．3π【分析】算出扇形OEF的圆心角即可得到解答【详解】解：如图连结OB由题意可知：OC=OB=BC∴∠COB=60°∠COA=120°∵∠1=∠2∴∠FOE=∠COE+∠1=∠COE+∠2=∠COA解析：3π【分析】算出扇形OEF的圆心角，即可得到解答．【详解】解：如图，连结OB，由题意可知：OC=OB=BC，∴∠COB=60°，∠COA=120°，∵∠1=∠2，∴∠FOE=∠COE+∠1=∠COE+∠2=∠COA=120°，∴扇形OEF的面积=22 12012033360360OAπππ⨯⨯⨯⨯==，故答案为3π ．【点睛】本题考查扇形与菱形的综合应用，熟练掌握菱形的性质及扇形面积的计算是解题关键．14．【分析】连接DO并延长与⊙O相交于点G连接BGCG由AC⊥BDDG是直径可得∠DBG=90°=∠DCG可证AC∥BG可得可得AB=CG由OF⊥CD可证OF∥CG 可证△DOF∽△DGC由性质由OF=可解析：【分析】连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，由AC⊥BD， DG是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG可证AC∥BG，可得AB CG=，可得AB=CG，由OF⊥CD，可证OF∥CG，可证△DOF∽△DGC，由性质DO OF1==DG CG2，由OF=52，可求CG5=2OF=2=52⨯即可．【详解】解：如图，连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，∵AC⊥BD，DG是直径，∴∠DBG=90°=∠DCG，∴BG⊥DB,∴AC∥BG，∴AB CG=，∴AB=CG，∵OF⊥CD，∴OF∥CG，∴∠DOG=∠DGC∴△DOF ∽△DGC ，， ∴DO OF 1==DG CG 2， ∵OF=52， ∴CG 5=2OF=2=52⨯，所以AB=CG=5．故答案为：5．【点睛】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．15．【分析】连接BO 先求出OM=2再由勾股定理求出BM 的长即可得到结论【详解】解：连接BO 如图则∵M 是OA 的中点∴∵∴△是直角三角形BC=2BM ∴∴故答案为【点睛】本题考查的是垂径定理勾股定理掌握垂径定解析：43【分析】连接BO ，先求出OM=2，再由勾股定理求出BM 的长即可得到结论．【详解】解：连接BO ，如图，则4BO OA ==∵M 是OA 的中点∴2OM =∵BC OA ⊥∴△OBM 是直角三角形，BC=2BM ∴22224223BM OB OM =-=-=∴222343BC BM ==⨯=故答案为43【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．16．4-π【分析】连接OAOB 由S 阴影=S 正方形OBPA-S 扇形AOB 则可求得结果【详解】解：连接OAOB ∵PAPB 分别与⊙O 相切于点AB ∴OA ⊥APOB ⊥PBPA=PB ∴∠OAP=∠OBP=90°=∠解析：4-π【分析】连接OA ，OB ，由S 阴影=S 正方形OBPA -S 扇形AOB 则可求得结果．【详解】解：连接OA ，OB ，∵PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∴OA ⊥AP ，OB ⊥PB ，PA=PB ，∴∠OAP=∠OBP=90°=∠BPA ，∴四边形OBPA 是正方形，∴∠AOB=90°，∴阴影部分的面积=S 正方形OBPA -S 扇形AOB 则=22-904360π⨯⨯=4-π．故答案为：4-π．【点睛】此题考查了切线长定理，正方形的判定与性质，扇形面积公式等知识．解题关键是连接半径，构造正方形，把阴影部分面积转化为正方形面积与扇形面积差．17．【分析】连接ODOCBC 根据题意首先证明∠AOD=∠BOC 再根据题意分别用含n 的式子表示出∠AOD 和∠COD 建立关于n 的方程求解即可【详解】如图连接ODOCBC ∵AB 为直径∴∠ADB=∠BCA=90解析：4【分析】连接OD ，OC ，BC ，根据题意首先证明∠AOD=∠BOC ，再根据题意，分别用含n 的式子表示出∠AOD 和∠COD ，建立关于n 的方程求解即可．【详解】如图，连接OD ，OC ，BC ，∵AB 为直径，∴∠ADB=∠BCA=90°，又∵BD AC =，∴Rt △ABD ≌Rt △BAC （HL ），∴AD=BC ，∠AOD=∠BOC ，∵CD 是O 内接正n 边形的一边， ∴360COD n ︒∠=，同理：AD 是O 内接正()4n +边形的一边， ∴3604AOD BOC n ︒∠=∠=+，由180AOD BOC COD ∠+∠+∠=︒，得：36036021804n n︒︒⨯+=︒+，解得：4n =，或2n =-（不符合题意，舍去）经检验，4n =是原分式方程的解，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，理解正多边形与圆的关系是解题关键．18．【分析】连接ACBD 交于点O 由菱形的性质得出AC 的长由旋转的性质∠EAC=60゜再根据弧长公式求解即可【详解】解：连接ACBD 交于点O 如图∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA=OC ∠BAC=∠DA解析：233【分析】连接AC ，BD 交于点O ，由菱形的性质得出AC 的长，由旋转的性质∠EAC=60゜，再根据弧长公式求解即可．【详解】解：连接AC ，BD 交于点O ，如图，∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ，OA=OC ，∠BAC=12∠DAB=30゜ ∴ 112OB AB == 由勾股定理得，3OA =∴23AC =连接AE ，当AB 与AD 重合时，旋转了60゜，则∠EAC=60゜ ∴602323CE π== 23 【点睛】此题主要考查了旋转的性质、菱形的性质以及求弧长，运用菱形的性质求出AC 是解答此题的关键．19．【分析】过点P 作PF ⊥OA 垂足为F 计算PFOF 的长度即可【详解】如图过点P 作PF ⊥OA 垂足为F ∵正六边形的边长是2∴OA=2∠OPA=60°∴OP=2∠OPF=30°∴OF=1PF=∴点P 的坐标为（解析：(3.【分析】过点P 作PF ⊥OA ，垂足为F ，计算PF ，OF 的长度即可.【详解】如图，过点P 作PF ⊥OA ，垂足为F ，∵正六边形OABCDE 的边长是2，∴OA=2，∠OPA=60°，∴OP=2，∠OPF=30°，∴OF=1，3，∴点P的坐标为（1，3），故答案为：（1，3）.【点睛】本题考查了正六边形的计算，熟练掌握正六边形的边长等于外接圆的半径，中心角为60°是解题的关键.20．2【分析】连结FD由可证△FAE∽△DAF可得∠DFA=90°可知点F在以AD中点为圆心3为半径的半圆上运动由BFO三点共线时利用两点之间线段最短知BF 最短在Rt△ABO中由勾股定理得BO=可求BF解析：2【分析】连结FD，由2·=可证△FAE∽△DAF，可得∠DFA=90°，可知点F在以AD中点为AF AE AD圆心，3为半径的半圆上运动，由B、F、O三点共线时，利用两点之间线段最短知BF最短,在Rt△ABO中，由勾股定理得22AB+AO=5，可求BF=5-3=2．【详解】连结FD，∵2·=，AF AE AD∴AF AD=，AE AF∵∠FAE=∠DAF，∴△FAE∽△DAF，∴∠FEA=∠DFA，⊥，即∠FEA=90°，∵EF AD∴∠DFA=90°，∴点F在以AD中点为圆心，3为半径的半圆上运动，当B、F、O三点共线时，BF最短,在Rt△ABO中，由勾股定理得，22AB+AO，BF=5-3=2，BF的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，圆周角性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握三角形相似的判定方法和性质的应用，会根据直角确定点F在圆周上运动，利用两点之间线段最短解决问题是关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）5．【分析】（1）连接BC、OC，根据切线及等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用直角三角形性质及角平分线定义可得∠ACE＋∠CAE＝90°，即可求出∠CEA＝90°，则结论得证；（2）根据勾股定理求出AC，利用∠ACB＝∠CEA＝90°，∠B＝∠ACE，证明△ACB∽△AEC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可求出O的半径．【详解】（1）证明：连接BC、OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCA＋∠ACE＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠ACE，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∴∠B＝∠ACE，∴∠B＋∠CAB＝90°，∴∠ACE＋∠CAB＝90°，∵AC平分∠FAB，∴∠CAE＝∠CAB，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CEA＝90°，∴CE⊥DF；（2）解：∵∠CEA＝90°，∴AC==∵∠ACB＝∠CEA＝90°，∠B＝∠ACE，∴△ACB∽△AEC，∴AB ACAC AE=，=解得AB＝10，∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握圆的切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．83π【分析】利用整个圆的面积减矩形的面积减扇形OBC的面积加上三角形OBC的面积，即可解答．【详解】由题可得：在Rt ABC中4,2sin26030120AB BCABBCBACACBACBCOBOC==∴===∴∠==∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒要打掉的墙体面积OBCO ABCD OBCS S S S=--+△圆矩形扇形∴要打掉的墙体面积223238=-22323334343O ABCD S S ππ=⋅⋅-⨯⨯=-圆矩形【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，矩形、圆的面积公式及勾股定理，解题关键是结合图形通过面积转换得到规则的几何图形面积进而求解．23．（1）209r =；（2）最小值2r =；（3）证明过程见解析；【分析】（1）作DE BC ⊥，AM BC ⊥，根据勾股定理和相似三角形的性质计算即可；（2）判断出r 的最小值范围，根据等面积法确定计算即可；（3）设抛物线21(3)28y x =-+上任意一点为()00,P x y ，证明P 到x 轴的距离与PA 的距离相等即可；【详解】（1）如图所示，作DE BC ⊥，AM BC ⊥，∵AM ∥DE ，DE r =，AB=AC ，∴3BM MC ==，∴22534AM =-=，由题可知△△BDEBAM ， ∴BD DE BA AM =， ∴554r r -=， ∴2045r r -=，∴209r =．（2）由几何关系得，当这个图的直径是三角形的一条高时，最短；∵A 到BC 的距离为4，∴124r =，12r =；设C 到AB 的距离是m ，则1122S AM BC CD m =⨯⨯=⨯⨯， ∴24 4.85m ==， ∴22 4.8r =，2 2.4r =，∵2r ＞1r ，∴1r 为最小值，∴最小值2r =；（3）设抛物线21(3)28y x =-+上任意一点为()00,P x y ，因为抛物线的开口向上，顶点坐标为（3，2），所以对于抛物线上任意一点来说，纵坐标均为正数，则P 到x 轴的距离为0h y =，PA ==，∵()2001328y x =-+， ∴220008625y x x =-+， ∴20006825x x y -=-，将上式代入①得，0PA y ==， ∴PA h =，即说明抛物线上任意一点P 均是△ABC 的切接圆圆心．【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算，结合相似三角形的性质、勾股定理计算是解题的关键．24．（1）见解析；（2 【分析】（1）直接根据图形画出三视图即可；（2）根据公式进行求解即可；【详解】（1）（2）围成圆锥后圆锥的母线长为：1r =2cm 圆锥的底面周长为33222344C r πππ=⨯=⨯⨯=cm ，底面圆的半径为：2r =322C π= cm ， ∴ 高2222123722r r ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭cm 【点睛】本题考查了三视图以及圆锥的体积公式、正确掌握三视图的画法是解题的关键； 25．（1）作图见解析；（2）见解析．【分析】（1）先作AC 的中垂线，找到AC 的中点O ，然后以AC 为直径作圆，与AB 的交点即为所求；（2）由题意可知DE 为Rt BEC △斜边BC 上的中线，从而得到CD=DE ，即=∠∠ECD DEC ，由OC=OE 得到OEC OCE ∠=∠，再由90ACB ∠=︒即可得到OE ⊥DE ，即可得证．【详解】（1）作图如图所示．（2）证明：如上图，连结OE ，CE ， AC 为直径，90AEC ∴∠=︒， D 为BC 边中点，DE ∴为Rt BEC △斜边BC 上的中线，12DE DC DB BC ∴===， ECD DEC ∴∠=∠，OC OE =，OEC OCE ∴∠=∠，90OED OEC CED OCE DCE ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒OD DE ∴⊥，DE ∴为O 的切线．【点睛】本题考查了尺规作图以及切线的判定，正确找到垂直条件是判断切线的关键． 26．（1）①见解析；②见解析；（2）3r =【分析】（1）①直接用直径所对圆周角是90°进行解题即可；②找到∠CAD=∠ABD 和∠ADC=∠BDA ，两个角相等即可证明两个三角形相似；（2）利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可求出半径的长度；【详解】（1）①如图所示，连接AO ，由BC 是直径得90BAC ∠=，∵ OB=OA ，∴∠B=∠OAB ，∵∠CAD=∠B ，∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠OAC+∠OAB=90°，∴AD 为圆的切线；②在△ACD 和△BAD 中，∠CAD=∠ABD ，∠ADC=∠BDA ，∴△ACD ∽△BAD（2）由（1）知△ACD ∽△BAD ∴DA DC AC DB DA AB==， ∵1tan 2B =， ∴1tan 2AC B AB == ， ∴12DA DC DB DA ==，则2AD CD = ，即182AD AD BD == ，得AD=4， ∴ 122CD AD == ， ∴ BC=BD-CD=8-2=6，∴半径3r =；【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90°，相似三角形的判定以及锐角三角函数，正确掌握知识点是解题的关键；。

九年级数学下册期中圆的基本元素测试题(含答案解析)

九年级数学下册期中圆的基本元素测试题(含答案解析)5．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1=C2 D．不能确定6．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2= ，则S3﹣S4的值是（）A． B． C． D．7．车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）A．同弧所对的圆周角相等 B．直径是圆中最大的弦C．圆上各点到圆心的距离相等 D．圆是中心对称图形8．如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，则点B的坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（ 1，0） D．（﹣1，0）二．填空题（共6小题）9．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_________ ．10．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA 的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是_________ ．11．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=_________ 度．12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD =_________ ．13.如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为的圆得到图②，挖去22个半径为（）2的圆得到图③…，则第n （n＞1）个图形阴影部分的面积是_________ ．14．如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB= _________ ．三．解答题（共7小题）15．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．求证：△OAC≌△OBD．16．如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD=48°，A为DC延长线上一点，且AB=OC，求∠A的度数．17．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．18．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D，求证：AB∥CD．19．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB，求证：∠AOC=∠DOB．20．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．21．如图，点B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，求证：半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．2019九年级数学下册期中圆的基本元素测试题(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A． 4 B．5 C．6 D． 10考点：圆的认识；多边形内角与外角．专题：压轴题．分析：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，另外五边形的外角和为360°，所有小圆在五个角处共滚动一周，可以求出小圆滚动的圈数．解答：解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．故选：C．点评：本题考查的是对圆的认识，根据圆的周长与五边形的边长相等，可以知道圆在每边上滚动一周．然后由多边形外角和是360° ，可以知道圆在五个角处滚动一周．因此可以求出滚动的总圈数．2．下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧考点：圆的认识．分析：利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；解答：解：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选B．点评：本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．40°考点：圆的认识；平行线的性质．分析：首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA 得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．解答：解：∵AD∥OC，∴∠AOC=∠DAO=70°，又∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO=70°，∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．故选D．点评：此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．4．如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP 周长的最大值是（）A． 15 B．15+5 C．20 D． 15+5考点：圆的认识；等边三角形的性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：连结ADBP，PA，由于弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，可得到△ABD为等腰直角三角形，则AD= BD，由于△ABC为等边三角形，所以AC=BC=AB=5，BD=BP=5，当点P与点D重合时，AP最大，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=15+5 ．解答：解：连结AD，BP，PA，∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，∴∠ABD=90°，∴AD= AB，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB=5，∴BD=BP=5，当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=5+5+5+5 =15+5 ．故选B．点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．5．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A． C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1=C2 D．不能确定考点：圆的认识；等边三角形的性质．分析：首先设出圆的直径，然后表示出半圆的弧长和三个正三角形的周长和，比较后即可得到答案．解答：解：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：aπ，4个正三角形的周长和C2为：3a，∵ aπ＜3a，∴C1＜C2故选B．点评：本题考查了圆的认识及等边三角形的性质，解题的关键是设出圆的直径并表示出C1和C2．6．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2= ，则S3﹣S4的值是（）A． B． C． D．考点：圆的认识．专题：压轴题．分析：首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．解答：解：∵AB=4，AC=2，∴S1+S3=2π，S2+S4= ，∵S1﹣S2= ，∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）= π∴S3﹣S4= π，故选：D．点评：本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值．7．车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）A．同弧所对的圆周角相等 B．直径是圆中最大的弦C．圆上各点到圆心的距离相等 D．圆是中心对称图形考点：圆的认识．分析：根据车轮的特点和功能进行解答．解答：解：车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变，是利用了圆上各点到圆心的距离相等，故选C．点评：本题考查了对圆的基本认识，即墨经所说：圆，一中同长也．8．如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，则点B的坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（ 1，0） D．（﹣1，0）考点：圆的认识；坐标与图形性质．分析：先根据同圆的半径相等得出OB=OA=1，再由点B在y 轴的负半轴上即可求出点B的坐标．解答：解：∵以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，∴点B的坐标是（0，﹣1）．故选B．点评：本题考查了对圆的认识及y轴上点的坐标特征，比较简单．二．填空题（共6小题）9．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=50°．考点：圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．解答：解：如图，连接BE．∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°，∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°，（圆周角定理）故答案为：50°．点评：本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．10．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA 的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是60°．考点：圆的认识；等腰三角形的性质．分析：利用等边对等角即可证得∠C=∠DOC=20°，然后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．解答：解：∵CD=OD=OE，∴∠C=∠DOC=20°，∴∠EDO=∠E=40°，∴∠EOB=∠C+∠E=20°+40°=60°．故答案为：60°．点评：本题主要考查了三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，正确理解圆的半径都相等是解题的关键．11．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=65 度．考点：圆的认识；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．解答：解：∵OD=OC，∴∠D=∠A ，而∠AOD=50°，∴∠A= （180°﹣50°）=65°，又∵AD∥OC，∴∠BOC=∠A=65°．故答案为：65．点评：本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=40°．考点：圆的认识；平行线的性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据三角形内角和定理可求得∠AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD的度数．解答：解：∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=70°，∵AD∥OC，OD=OA，∴∠D=∠A=70°，∴∠AOD=180°﹣2∠A=40°．故答案为：40．点评：本题考查平行线性质、圆的认识及三角形内角和定理的运用．13.如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为的圆得到图②，挖去22个半径为（）2的圆得到图③…，则第n （n＞1）个图形阴影部分的面积是（1﹣）π．考点：圆的认识．专题：规律型．分析：先分别求出图②与图③中阴影部分的面积，再从中发现规律，然后根据规律即可得出第n（n＞1）个图形阴影部分的面积．解答：解：图②中阴影部分的面积为：π×12﹣π×（）2×2=π﹣π=（1﹣）π= π；图③中阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（）2]2×22=π﹣π=（1﹣）π= π；图④是半径为1的圆，在其中挖去23个半径为（）3的圆得到的，则图④中阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（）3]2×23=π﹣π=（1﹣）π= π；则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（）n﹣1]2×2n﹣1=π﹣π=（1﹣）π．故答案为：（1﹣）π．点评：本题考查了对圆的认识及圆的面积公式，从具体的图形中找到规律是解题的关键．14如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB= 5 ．考点：圆的认识；等边三角形的判定与性质．分析：由OA=OB，得△OAB为等边三角形进行解答．解答：解：∵OA=OB=5，∠AOB=60°，∴△OAB为等边三角形，故AB=5．故答案为：5．点评：同圆或等圆的半径相等在解题中是一个重要条件．三．解答题（共7小题）15．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．求证：△OAC≌△OBD．考点：圆的认识；全等三角形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：根据等边对等角可以证得∠A=∠B，然后根据SAS即可证得两个三角形全等．解答：证明：∵OA=OB，∴∠A=∠B，∵在△OAC和△OBD中：∴△OAC≌△OBD（SAS）．点评：本题考查了三角形全等的判定与性质，正确理解三角形的判定定理是关键．16．如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD=48°，A为DC延长线上一点，且AB=OC，求∠A的度数．考点：圆的认识；等腰三角形的性质．分析：根据圆的半径，可得等腰三角形，根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠AOB，∠B与∠E的关系，根据三角形的外角的性质，可得关于∠A的方程，根据解方程，可得答案．解答：解：如图，连接OB，由AB=OC，得AB=OC，∠AOB=∠A．由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠EBO=∠A+∠AOB=2∠A．由OB=OE，得∠E=∠EBO=2∠A．由∠A+∠E=∠EOD，即∠A+2∠A=48°．解得∠A=16°．点评：本题考查了圆的认识，利用了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．17．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD 的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．考点：圆的认识；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：连接OD，如图，由 AB=2DE，AB=2OD得到OD=DE，根据等腰三角形的性质得∠DOE=∠E=20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO=40°，加上∠C=∠ODC=40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC．解答：解：连接OD，如图，∵AB=2DE，而AB=2OD，∴OD=DE，∴∠DOE=∠E=20°，∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，而OC=OD，∴∠C=∠ODC=40°，∴∠AOC=∠C+∠E=60°．点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．18．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D，求证：AB∥CD．考点：圆的认识；平行线的判定．专题：证明题．分析：利用半径相等得到OC=OD，则利用等腰三角形的性质得∠OCD=∠ODC，再根据三角形内角和定理得到∠OCD= （180°﹣∠O），同理可得∠OAB= （180°﹣∠O），则∠OCD=∠OAB，然后根据平行线的判定即可得到结论．解答：证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCD= （180°﹣∠O），∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAB= （180°﹣∠O），∴∠OCD=∠OAB，∴AB∥CD．点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．19．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB，求证：∠AOC=∠DOB．考点：圆的认识；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：先根据等腰三角形的性质由OA=OB得到∠A=∠B，再利用“SAS”证明△OAC≌△OBD，然后根据全等三角形的性质得到结论．解答：证明：∵OA=OB，∴∠A=∠B，在△OAC和△OBD中，∴△OAC≌△OBD（SAS），∴∠AOC=∠DOB．点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了全等三角形的判定与性质．20．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．考点：圆的认识；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：如图，由CE=AO，OA=OC得到OC=EC，则根据等腰三角形的性质得∠E=∠1，再利用三角形外角性质得∠2=∠E+∠1=2∠E，加上∠D=∠2=2∠E，所以∠BOD=∠E+∠D，即∠E+2∠E=75°，然后解方程即可．解答：解：如图，∵CE=AO，而OA=OC，∴OC=EC，∴∠E=∠1，∴∠2=∠E+∠1=2∠E，∵OC=OD，∴∠D=∠2=2∠E，∵∠BOD=∠E+∠D，∴∠E+2∠E=75°，∴∠ E=25°．点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．21．如图，点B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，求证：半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．考点：圆的认识．专题：证明题．分析：根据圆的周长公式可计算出半圆AB的长= πAB，半圆BC的长= πBC，半圆AC的长= πAC，则半圆AB的长+半圆BC的长= π?（AB+BC）= π?AC，即半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．解答：证明：∵半圆AB的长= ?2π? = πAB，半圆BC的长= ?2π? = πBC，半圆AC的长= ?2π? = πAC，∴半圆AB的长+半圆BC的长= πAB+ πBC= π?（AB+BC），∵AB+BC=AC，∴半圆AB的长+ 半圆BC的长= π?AC，∴半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．第 21 页。

九年级数学下册期中重点圆测试题7(含答案解析)-word文档资料

2018九年级数学下册期中重点圆测试题7(含答案解析)2018九年级数学下册期中重点圆测试题7(含答案解析) 一．解答题（共30小题）1．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD．（1）求证：△ADO∽△ACB．（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD?BC．2．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：AC?AD=AB?AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．3．AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．（1）求证：∠ADC=∠ABD；（2）求证：AD2=AM?AB；（3）若AM= ，sin∠ABD= ，求线段BN的长．4．在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．5．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．6．在△A BC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．7．AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．（1）求证：DC=DE；（2）若tan∠CAB= ，AB=3，求BD的长．8．AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．（1）求证：∠BAD=∠E；（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．9．AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF 切半圆于点F．已知∠AEF=135°．（1）求证：DF∥AB；（2）若OC=CE，BF= ，求DE的长．10．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证： = ．11．AB是⊙O的直径，点C是的中点，⊙O的切线BD交AC 的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OC= ，求BH的长．12．MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E为上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME2=EF?EN．（1）求证：QN=QF；（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q= ，求⊙O的半径．13．点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．14．直线l经过点A（4，0），B（0，3）．（1）求直线l的函数表达式；（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．15．已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O 于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长．16．已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．17．已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB 的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．18．五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．（1）如图1，求∠EBD的度数；（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG?HC的值．19．AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）AC?PD=AP?BC；（2）PE=PD．20．AB是⊙O的直径， = ，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2 ，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．21．已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．（1）若AB=4 ，求的长；（结果保留π）（2）求证：四边形ABMC是菱形．22．已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．23．在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．24．点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与⊙O相切；（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．25．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC 边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）26．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：或者．（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．27．等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求cos∠E的值．28．⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF=∠P，求证： = = ．29．△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC．30.在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．2018九年级数学下册期中重点圆测试题7(含答案解析)参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD．（1）求证：△ADO∽△ACB．（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD?BC．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）由AB是⊙O的切线，得到OD⊥AB，于是得到∠C=∠ADO=90°，问题可证；（2）由△ADO∽△ACB列比例式即可得到结论．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠C=∠ADO=90°，∵∠A=∠A，∴△ADO∽△ACB；（2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB．∴AD?BC=AC?OD，∵OD=1，∴AC=AD?BC．点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．2．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：AC?AD=AB?AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长．解答：（1）证明：连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABC，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴AC?AD=AB?AE；（2）解：连接OD，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，在RT△OBD中，OE=BE=OD，∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．点评：本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30°的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．3．AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．（1）求证：∠ADC=∠ABD；（2）求证：AD2=AM?AB；（3）若AM= ，sin∠ABD= ，求线段BN的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；（2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论；（3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果．解答：（1）证明：连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD；（2）证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM∽△ABD，∴AD2=AM?AB；（3）解：∵sin∠ABD= ，∴sin∠1= ，∵AM= ，∴AD=6，∴AB=10，∴BD= =8，∵BN⊥CD，∴∠BND=90°，∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，∴∠DBN=∠1，∴sin∠NBD= ，∴DN= ，∴BN= = ．点评：本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．4．在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC 交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．考点：切线的性质；扇形面积的计算．分析：（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．解答：（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S阴影=4π﹣8．点评：本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．5．△AB C内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．考点：切线的性质；平行四边形的判定．分析：（1）根据切线的性质证明∠EAC=∠ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知AB∥CD即可判定四边形ABCD是平行四边形；（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD于点N，M，根据切割线定理求得EC=4，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理的综合应用证明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，∴∠EAC=∠ABC，∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，∵AE是⊙O的切线，由切割线定理得，AE2=EC?DE，∵AE=6，CD=5，∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，设OF=x，OH=Y，FH=z，∵AB=4，BC=6，CD=5，∴BF= BC﹣FH=3﹣z，DF=CF= BC+FH=3+z，易得△OFH∽△DMF∽△BFN，即，①①+②得：，①÷②得：，解得，∵x2=y2+z2，∴x= ，∴OF= ．点评：本题考查了切线的性质，圆周勾股定理，等腰三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，垂径定理，相似判定和性质，勾股定理，正确得作出辅助线是解题的关键．6．在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．考点：切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD 证明四边形AODE是菱形；（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，进而求出AD．解答：（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．∵BC与⊙O相切于一点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=AO=0D，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AODE是菱形．（2）解：设⊙O的半径为r．∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴ ，即10r=6（10﹣r）．解得r= ，∴⊙O的半径为．如图2，连接OD、DF．∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴AD2=AC?AF，∵AC=6，AF= ，∴AD2= ×6=45，∴AD= =3 ．点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．7．AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．（1）求证：DC=DE；（2）若tan∠CAB= ，AB=3，求BD的长．考点：切线的性质；勾股定理；解直角三角形．分析：（1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E，进而得出答案；（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．解答：（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ACO=∠DCE=90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，∴∠EAD+∠E=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，故∠DCE=∠E，∴DC=DE，（2）解：设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，在Rt△EAD中，∵tan∠CAB= ，∴ED= AD= （3+x），由（1）知，DC= （3+x），在Rt△OCD中，OC2+CD2=DO2，则1.52+[ （3+x）]2=（1.5+x）2，解得：x1=﹣3（舍去），x2=1，故BD=1．点评：此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练应用切线的性质得出∠OCD=90°是解题关键．8．AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．（1）求证：∠BAD=∠E；（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据切线的性质，和等角的余角相等证明即可；（2）根据勾股定理和相似三角形进行解答即可．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠E=90°，∵∠DAE=90°，∴∠BAD+∠BAE=90°，∴∠BAD=∠E；（2）解：连接BC，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=8，AB=2×5=10，∴BC= ，∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E，∴△ABC∽△EAB，∴BE= ．点评：本题考查了切线的性质、相似三角形等知识点，关键是根据切线的性质和相似三角形的性质分析．9．AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF 切半圆于点F．已知∠AEF=135°．（1）求证：DF∥AB；（2）若OC=CE，BF= ，求DE的长．考点：切线的性质．分析：（1）证明：连接OF，根据圆内接四边形的性质得到∠AEF+∠B=180°，由于∠AEF=135°，得出∠B=45°，于是得到∠AOF=2∠B=90°，由DF切⊙O于F，得到∠DFO=90°，由于DC⊥AB，得到∠DCO=90°，于是结论可得；（2）过E作EM⊥BF于M，由四边形DCOF是矩形，得到OF=DC=OA，由于OC=CE，推出AC=DE，设DE=x，则AC=x，在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2 ，由勾股定理得：OF=OB=2，则AB=4，BC=4﹣x，由于AC=DE，OCDF=CE，由勾股定理得：AE=EF，通过Rt△ECA≌Rt△EMF，得出AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，问题可得．解答：（1）证明：连接OF，∵A、E、F、B四点共圆，∴∠AEF+∠B=180°，∵∠AEF=135°，∴∠B=45°，∴∠AOF=2∠B=90°，∵DF切⊙O于F，∴∠DFO=90°，∵DC⊥AB，∴∠DCO=90°，即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°，∴四边形DCOF是矩形，∴DF∥AB；（2）解：过E作EM⊥BF于M，∵四边形DCOF是矩形，∴OF=DC=OA，∵OC=CE，∴AC=DE，设DE=x，则AC=x，∵在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2 ，由勾股定理得：OF=OB=2，则AB=4，BC=4﹣x，∵AC=DE，OCDF=CE，∴由勾股定理得：AE=EF，∴∠ABE=∠FBE，∵EC⊥AB，EM⊥BF∴EC=EM，∠ECB=∠M=90°，在Rt△ECA和Rt△EMF中∴Rt△ECA≌Rt△EMF，∴AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，∴BF=BM﹣MF=BC﹣MF=4﹣x﹣x=2 ，解得：x=2﹣，即DE=2﹣．点评：本题考查了圆周角性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，矩形的性质和判定的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．10．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O 交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证： = ．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．解答：（1）证明：∵AC为⊙O直径，∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠ACN=90°，∵AB=AC，∴∠BAN=∠CAN，∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP=90°，∴∠ACN+∠PCB=90°，∴∠BCP=∠CAN，∴∠BCP=∠BAN；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN，由（1）知∠BCP=∠BAN，∴△BPC∽△MNA，点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．11．AB是⊙O的直径，点C是的中点，⊙O的切线BD交AC 的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OC= ，求BH的长．考点：切线的性质．分析：（1）连接OC，由C是的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE （ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF= ，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．解答：（1）证明：连接OC，∵C是的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA=OB，∴AC=CD；（2）解：∵E是OB的中点，∴OE=BE，在△COE和△FBE中，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF=CO，∵OB= ，∴BF= ，∴AF= =5，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴AB?BF=AF?BH，∴BH= = =2．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．12．MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E为上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME2=EF?EN．（1）求证：QN=QF；（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q= ，求⊙O的半径．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）如图1，通过相似三角形（△MEF∽△MEN）的对应角相等推知，∠1=∠EMN；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；（2）如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠EMF=∠ENM，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧MH的中点，则OE⊥MQ；然后通过解直角△MNE求得cos∠Q=sin∠GMO= = ，则可以求r的值．解答：（1）证明：如图1，∵ME2=EF?EN，又∵∠MEF=∠MEN，∴△MEF∽△MEN，∴∠1=∠EMN．∵∠1=∠2，∠3=∠EMN，∴∠2=∠3，∴QN=QF；（2）解：如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．由（1）知，△MEF∽△MEN，则∠4=∠5．∴OE⊥MQ，∴EG=1．∵cos∠Q= ，且∠Q+∠GMO=90°，∴sin∠GMO= ，∴ = ，即 = ，解得，r=2.5，即⊙O的半径是2.5．点评：本题考查切线的性质和相似三角形的判定与性质．在（1）中判定△MEF∽△MEN是解题的关键，在（2）中推知点E是弧MH的中点是解题的关键．13．点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．考点：切线的性质；扇形面积的计算．分析：（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积．解答：（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD= = ．点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．14．直线l经过点A（4，0），B（0，3）．（1）求直线l的函数表达式；（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l 相切时，求点M的坐标．考点：切线的性质；待定系数法求一次函数解析式．分析：（1）把点A（4，0），B（0，3）代入直线l的解析式y=kx+b，即可求出结果．（2）先画出示意图，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM，继而可得点M的坐标．解答：解：（1）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），∴设直线l的解析式为：y=kx+b，∴直线l的解析式为：y=﹣ x+3；（3）设M坐标为（0，m）（m＞0），即OM=m，若M在B点下边时，BM=3﹣m，∵∠MBN′=∠ABO，∠MN′B=∠BOA=90°，∴△MBN′∽△ABO，∴ = ，即 = ，解得：m= ，此时M（0，）；若M在B点上边时，BM=m﹣3，同理△BMN∽△BA O，则有 = ，即 = ，解得：m= ．此时M（0，）．点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般．15．已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O 于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长．考点：切线的性质；解直角三角形．分析：（1）本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．解答：（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）解：有（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB= ，在Rt△POD中，cos∠POD= = ，∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴OA=3，∴⊙O半径=3．点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．16．已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．考点：切线的性质；平行四边形的性质．分析：（Ⅰ）由CD是⊙O的切线，C为切点，得到OC⊥CD，即∠OCD=90°由于四边形OABC是平行四边形，得到AB∥OC，即AD∥OC，根据平行四边形的性质即可得到结果．（Ⅱ）如图，连接OB，则OB=OA=OC，由四边形OABC是平行四边形，得到OC=AB，△AOB是等边三角形，证得∠AOB=60°，由OF∥CD，又∠ADC=90°，得∠AEO=∠ADC=90°，根据垂径定理即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD，即∠OCD=90°∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，即AD∥OC，有∠ADC+∠OCD=180°，∴∠ADC=180°﹣∠OCD=90°；（Ⅱ）如图②，连接OB，则OB=OA=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC=AB，∴OA=OB=AB，即△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，由OF∥CD，又∠ADC=90°，得∠AEO=∠ADC=90°，∴OF⊥AB，∴∠FOB=∠FOA= ∠AOB=30°，点评：本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键．17．已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB 的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．考点：切线的性质．分析：（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．解答：（1）证明：如图1，连接OB，∵AB是⊙0的切线，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CB平分∠ACE；（2）如图2，连接BD，∵CE丄AB，∴∠E=90°，∴BC= = =5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴BC2=CD?CE，∴CD= = ，∴OC= = ，∴⊙O的半径= ．点评：本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．（1）如图1，求∠EBD的度数；（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG?HC的值．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）如图1，连接BF，由DE与⊙B相切于点F，得到BF⊥DE，通过Rt△BAE≌Rt△BEF，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是结论可得；（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由△ABE≌△PBC，得到PB=BE= ，求出PF= ，通过△AEG∽△CHD，列比例式即可得到结果．解答：解：（1）如图1，连接BF，∵DE与⊙B相切于点F，∴BF⊥DE，在Rt△BAE与Rt△BEF中，，∴Rt△BAE≌Rt△BEF，∴∠1=∠2，同理∠3=∠4，∵∠ABC=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EBD=45°；（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，∵∠4=15°，由（1）知，∠3=∠4=15°，∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°，∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，∴AE= ，BE= ，在△ABE与△PBC中，，∴△ABE≌△PBC，∴PB=BE= ，∴PF= ，∵∠P=60°，∴DF=2﹣，∴CD=DF=2﹣，∵∠EAG=∠DCH=45°，∠AGE=∠BDC=75°，∴△AEG∽△CHD，∴AG?CH=CD?AE，∴AG?CH=CD?AE=（2﹣）? = ．点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键．19．AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）AC?PD=AP?BC；（2）PE=PD．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以 = ；然后判断出 = ，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可．（2）首先根据△AEP∽△ABC，判断出；然后根据PE=PD，可得，据此判断出AC?PD=AP?BC即可．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∵PE=PD，∴AC?PD=AP?BC．点评：（1）此题主要考查了切线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．20．AB是⊙O的直径， = ，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2 ，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．考点：切线的性质；扇形面积的计算．分析：（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD﹣S 扇OBD计算即可；（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．解答：（1）解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2 ，OA=OD，∴OD=CD=2 ，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD= ﹣ =4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵ = ，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．点评：本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．21．已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．（1）若AB=4 ，求的长；（结果保留π）（2）求证：四边形ABMC是菱形．考点：切线的性质；菱形的判定；弧长的计算．专题：计算题．分析：（1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE 与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出的长；（2）由第一问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABMC为平行四边形，最后由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．解答：（1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，∵OE⊥AB，E为OD中点，∴OE= OD= OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，设OA=x，则OE= x，AE= x，∵AB=4 ，∴AB=2AE= x=4 ，解得：x=4，则的长l= = ；（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，∵BM为圆O的切线，∴OB⊥BM，在△COM和△BOM中，∴△COM≌△BOM（SAS），∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，∴CM∥AB，∴四边形ABMC为菱形．点评：此题考查了切线的性质，菱形的判断，全等三角形的判定与性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．22．已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．考点：切线的性质；平行四边形的性质．分析：（1）根据弦切角定理和圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．解答：证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=A C；（2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，。

九年级数学下册期中重点圆测试题6(含答案解析)

九年级数学下册期中重点圆测试题6(含答案解析)九年级数学下册期中重点圆测试题6(含答案解析) 一．填空题（共19小题）1．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．2．一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为．3．已知一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为cm（结果保留根号）．4．将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．5．如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为cm2．6．底面周长为10πcm，高为12cm的圆锥的侧面积为．7．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为．8．已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．9．小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为cm2．（结果保留π）10．一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是厘米2（结果保留π）．11．用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为cm．12．用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径．13．已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的高是cm．14．从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是米．15．底面直径和高都是1的圆柱侧面积为．16．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为cm3．17．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．（1）当m= 时，n=；（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为．18．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）．设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路经长为．19．正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正确结论是（填写序号）二．解答题（共11小题）20．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．21．以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且 = ．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．22．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．23．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．24．⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．25．⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．26．⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．27．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．28．⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．29．在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC 于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=2 ，CE：EB=1：4，求CE的长．30．AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA=∠ABC；（2）过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若sin∠P= ，CF=5，求BE的长．九年级数学下册期中重点圆测试题6(含答案解析)参考答案与试题解析一．填空题（共19小题）1．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 2 ．考点：圆锥的计算．分析：易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．解答：解：扇形的弧长= =4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．2．一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为12π．考点：圆锥的计算．分析：据扇形的面积公式求出扇形的圆心角，再利用弧长公式求出弧长，再利用圆的面积公式求出底面半径，求得底面积后即可求得全面积．解答：解：∵ =8π，∴解得n=180则弧长= =4π2πr=4π解得r=2，∴底面积为4π，∴全面积为12π．故答案是：12π．点评：本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的侧面积公式得到圆锥的底面半径的求法．3．已知一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为cm（结果保留根号）．考点：圆锥的计算．分析：利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．解答：解：设圆锥的母线长为R，π×R2÷2=2π，解得：R=2，∴圆锥侧面展开图的弧长为：2π，∴圆锥的底面圆半径是2π÷2π=1，∴圆锥的高为．故答案为．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．4．将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是 6 ．考点：圆锥的计算．分析：根据弧长求得圆锥的底面半径和扇形的半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．解答：解：∵弧长为6π，∴底面半径为6π÷2π=3，∵圆心角为120°，∴ =6π，解得：R=9，∴圆锥的高为 =6 ，故答案为：6 ．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，难度一般．5．如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为108πcm2．考点：圆锥的计算．分析：首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．解答：解：设AO=B0=R，∵∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，∴ =12π，解得：R=18，∴圆锥的侧面积为lR= ×12π×18=108π，故答案为：108π．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．6．底面周长为10πcm，高为12cm的圆锥的侧面积为65πcm2．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面积公式：S= al，直接代入数据求出即可．解答：解：设圆锥的底面半径为r，母线为a，∴r= =5，∴a= =13，∴圆锥的侧面积= ×10π×13=65π，故答案为：65πcm2．点评：此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．7．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为．考点：圆锥的计算．分析：让周长除以2π即为圆锥的底面半径；根据圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长可得圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高．解答：解：∵圆锥的底面周长为6π，∴圆锥的底面半径为6π÷2π=3，∵圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长，∴母线长=2×12π÷（6π）=4，∴这个圆锥的高是 = ，故答案为：．点评：考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长．8．已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为15π．考点：圆锥的计算．分析：根据已知和勾股定理求出AB的长，根据扇形面积公式求出侧面展开图的面积．解答：解：∵OB= BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：×6π×5=15π．故答案为：15π．点评：本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是扇形，掌握扇形的面积的计算公式是解题的关键．9．小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为200πcm2．（结果保留π）考点：圆锥的计算．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：底面半径为8cm，则底面周长=16π，侧面面积= ×16π×25=200πcm2．故答案为200π．点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式，熟练记忆圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．10．一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是2π厘米2（结果保留π）．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥侧面积的求法：S侧= ?2πr?l=πrl，把r=1厘米，l=2厘米代入圆锥的侧面积公式，求出该圆锥的侧面积是多少即可．解答：解：该圆锥的侧面积是：S侧= ?2πr?l=πrl=π×1×2=2π（厘米2）．故答案为：2π．点评：此题主要考查了圆锥的侧面积的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：S侧= ?2πr?l=πrl．11．用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 3 cm．考点：圆锥的计算．分析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．解答：解：圆锥的底面周长是：=6π．设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π．解得：r=3．故答案是：3．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 1 ．考点：圆锥的计算．分析：正确理解圆锥侧面与其展开得到的扇形的关系：圆锥的底面周长等于扇形的弧长．解答：解：根据扇形的弧长公式l= = =2π，设底面圆的半径是r，则2π=2πr∴r=1．故答案为：1．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．13．已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的高是8 cm．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到?2π?r?10=60π，解得r=6，然后根据勾股定理计算圆锥的高．解答：解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得?2π?r?10=60π，解得r=6，所以圆锥的高= =8（cm）．故答案为8．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是米．考点：圆锥的计算．分析：圆的半径为1，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．解答：解：作OD⊥AC于点D，连接OA，∴∠OAD=45°，AC=2AD，∴AC=2（OA×cos45°）=∴ = π∴圆锥的底面圆的半径= π÷（2π）= ．故答案为：．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．15．底面直径和高都是1的圆柱侧面积为π．考点：圆柱的计算．分析：圆柱的侧面积=底面周长×高．解答：解：圆柱的底面周长=π×1=π．圆柱的侧面积=底面周长×高=π×1=π．故答案是：π．点评：本题考查了圆柱的计算，熟记公式即可解答该题．16．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为 2 cm3．考点：圆柱的计算．分析：作出该几何体的俯视图，然后确定底面圆的半径，从而求得正方体的棱长，最后求得体积．解答：解：该几何体的俯视图如图：∵圆柱底面周长为2πcm，∴OA=OB=1cm，∵∠AOB=90°，∴AB= OA= ，∴该正方体的体积为（）3=2 ，故答案为：2 ．点评：本题考查了圆柱的计算，解题的关键是确定底面圆的半径，这是确定正方体的棱长的关键，难度不大．17．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．（1）当m= 时，n= ﹣1 ；（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为．考点：圆的综合题；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义．分析：（1）当m= 时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角∠APM为90°，根据PA=PM可得∠PAM=∠PMA=45°，则有NO=AO=1，即可得到n=﹣1；（2）当m从变化到时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m= 时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m= 时，连接PM，如图3，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．解答：解：（1）当m= 时，连接PM，如图1，则有∠APM= ×360°=90°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=45°．∴NO=AO=1，∴n=﹣1．故答案为﹣1；（2）①当m= 时，连接PM，如图2，∠APM= 360°=120°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．在Rt△AON中，NO=AO?tan∠OAN=1× = ；②当m= 时，连接PM，如图3，∠APM=360°﹣×360°=120°，同理可得：NO= ．综合①、②可得：点N相应移动的路经长为 + = ．点评：本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．18．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）．设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路经长为．考点：圆的综合题；轨迹．分析：当m从变化到时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m= 时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m= 时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．解答：解：①当m= 时，连接PM，如图1，∠APM= ×360°=120°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．在Rt△AON中，NO=AO?tan∠OAN=1× = ．②当m= 时，连接PM，如图2，∠APM=360°﹣×360°=120°，同理可得：NO= ．综合①、②可得：点N相应移动的路经长为 + = ．故答案为．点评：本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．19．正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①D Q=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正确结论是①②④（填写序号）考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．专题：推理填空题．分析：①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1；②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到的值；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得 = = ，把AN=1﹣DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值．解答：解：正确结论是①②④．提示：①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1．故①正确；②连接AQ，如图2．则有CP= ，BP= = ．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求得BQ= ，则PQ= ﹣ = ，故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求得QH= ，∴S△DPQ= DP?QH= × × = ．故③错误；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得 = = ，则有 = ，解得：DN= ．由DQ=1，得cos∠ADQ= = ．故④正确．综上所述：正确结论是①②④．故答案为：①②④．点评：本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强，常用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用．二．解答题（共11小题）20．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．考点：垂径定理；勾股定理；菱形的判定．分析：（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；（3）设DE=x，则根据CE2=DE?AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．解答：（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE?AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD= = =2 ．点评：本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．21．以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且 = ．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由 = 得∠DAE=∠BAE，由AB为直径得∠AEB=90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；（2）由等腰三角形的性质得BE=CE= BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8，接着由AB为直径得到∠ADB=90°，则可利用面积法计算出BD= ，然后在Rt△ABD 中利用勾股定理计算出AD= ，再根据正弦的定义求解．解答：解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE=CE= BC= ×12=6，在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，∴AE= =8，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴ AE?BC= BD?AC，∴BD= = ，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD= ，∴AD= = ，∴sin∠ABD= = = ．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．22．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．考点：圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°= ，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ= ；（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ= ，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP= OB= ，所以PQ长的最大值= ．解答：解：（1）连结OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，新-课 -标 -第-一-网∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B= ，∴OP=3tan30°= ，在Rt△OPQ中，∵O P= ，OQ=3，∴PQ= = ；（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，PQ= = ，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP= OB= ，∴PQ长的最大值为 = ．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．23．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．考点：圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．分析：（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．∴BD= =5 cm．（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD= π?52﹣×5×5= cm2．点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．24．⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．分析：（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．解答：证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APE= AB?PE，S△ABC= AB?CF，∴S四边形APBC= AB?（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB= ，∴S四边形APBC= ×2× = ．点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．25．⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．分析：（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．解答：解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴ 的长= ．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10× ．点评：（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．26．⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理．分析：（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．解答：解：（1）∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC；（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，。

(好题)初中数学九年级数学下册第三单元《圆》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如图，在半径为6的O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，33tanD =，下列结论正确的个数有：（） ①63BC =； ②3sin 2AOB ∠=； ③四边形ABOC 是菱形；④劣弧BC 的长度为4π．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOD =120°，点C 为弧BD 的中点，AC 交OD 于点E ，DE =1，则AE 的长为（）A ．3B ．5C ．23D ．25 3．如图，已知O 的直径AB CD ⊥弦于点,E 则下列结论不一定成立的是（）A ．CE DE =B ．AE OE =C ．COA DOA ∠=∠D ．OCE ODE ∆≅∆ 4．如图，点A ，B ，C ，D 为O 上的四个点，AC 平分BAD ∠，AC 交BD 于点E ，4CE =，6CD =，则AC 的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．105．如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且60COA ∠=º，设扇形AOC 、COB △、弓形BmC 的面积为1S 、2S 、3S ，则他们之间的关系是（）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．132S S S <<D ．321S S S <<6．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC =4，BC =3时，则阴影部分的面积为（）A ．6B ．6πC ．52π D ．127．如图，两个正六边形ABCDEF 、EDGHIJ 的顶点A 、B 、H 、I 在同一个圆上，点P 在ABI 上，则tan ∠API 的值是（）A ．3B ．2C ．2D ．18．如图，半圆的直径为AB ，圆心为点O ，C 、D 是半圆的3等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A ．3πB ．6πC ．12D ．139．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，D ，E 分别为线段AB ，AC 上一点，且AD AE =，连接BE 、CD 交于点G ，延长AG 交BC 于点F ．以下四个结论正确的是（）①BF CF =；②若BE AC ⊥，则CF DF =；③若BE 平分ABC ∠，则32FG =； ④连结EF ，若BE AC ⊥，则2DFE ABE ∠=∠． A ．①②③B ．③④C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，AB 是O 的直径，C 、D 分别是O 上的两点．若33BAC ∠=︒，则D∠的度数等于（）A ．57︒B ．60︒C ．66︒D ．67︒11．如图，从一块半径是2米的圆形铁皮（⊙O ）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点,,A B C 在⊙O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）米．A ．32B ．3C ．36D ．212．4．如图，AD 是ABC ∆的外接圆O 的直径，若50BCA ︒∠=，则BAD ∠=（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒二、填空题13．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O ，其半径为12cm ，在距离圆心8cm 的点A 处发生虫蛀，现需沿过点A 的直线PQ 将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ 进行粘贴，则美化材料（即弦PQ 的长）最少需要_____cm ．14．如图，正方形ABCD 中，扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E ，AB ＝6cm ．则图中阴影部分面积为___cm 2．AC=，点P是下半圆上一点15．如图，AB是O的直径，点C是上半圆的中点，1∠交PC于点D，则PD的最大值为______．（不与点A，B重合），AD平分PAB16．如图，已知AB为O直径，若CD是O内接正n边形的一边，AD是O内接正()4n+边形的一边，BD AC=，则n=_____．17．如图，AB是O的直径，C为半圆上一点，且30∠=，点P为O上的动ABC︒AB=，则线段CD的最大值为__________．点，D为弦AP的中点，若2AB=，则18．点E在正方形ABCD的内部，BCE是以EC为底边的等腰三角形，1DE的最小值为_________．19．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形ADE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形ADE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是________．20．如图，在△ABC 中，BC ＝9，AC ＝12，AB ＝15，D 为直线AB 上方一点，连接AD ，BD ，且∠ADB ＝90°，过D 作直线BC 的垂线，垂足为E ，则线段BE 的长度的最大值为_____．三、解答题21．一块含有30角的三角板ABC 如图所示，其中90C ∠=︒，30A ∠=︒，3BC cm =．将此三角板在平面内绕顶点A 旋转一周．（1）画出边BC 旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积．22．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4（1）试在图中作出ABC 绕A 顺时针方向旋转90°后的图形11AB C △；（2）求1BB 的长．23．如图，矩形ABCD 中，2,4AB BC ==，以B 为圆心．BC 为半径画弧，交AD 于点E ，()1求ABE ∠的度数；()2求图中阴影部分的面积．24．如图，AB 是O 的弦，半径OE AB ⊥，交AB 于点,G P 为AB 延长线上一点，PC 与O 相切于点,C CE 与AB 交于点F ．（1）求证：PC PF =；（2）连接,OB BC ，若3//,32,tan 4OB PC BC P ==，求FB 的长．25．如图1，AB 为O 的直径，AB CD ⊥于点M ，点E 为CM 上一点，AE 的延长线交O 于点F ，AE DE =．点N 为AF 的中点，连接ON ．（1）判断ADF 的形状，并说明理由；（2）求证：OM ON =；（3）如图2，连接FB 并延长，过点D 做DG FB ⊥，交FB 的延长线于点G ，求证：DG 是O 的切线．26．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥与点E ，点P 在O 上，1C ∠=∠．（1）求证：//CB PD ；（2）若3BC =，2sin 3C ∠=，求CD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】利用特殊角的三角函数值求得∠D=30°，由点A 是劣弧BC 的中点，根据圆周角定理得到∠AOC=∠AOB=2∠D=60°，可对②进行判断；证得△OAC 、△OAB 都为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC ，可对①进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB 可对③进行判断；利用弧长公式，可对④进行判断．【详解】 ∵3tanD =， ∴∠D=30°，∵点A 是劣弧BC 的中点，∴OA ⊥BC ，∴∠AOC=∠AOB=2∠D=60°， ∴3sin AOB sin 60∠=︒=，所以②正确；而OA=OC=OB=6，∴△OAC 、△OAB 都为等边三角形，∴BC 32663=⨯=①正确； ∵△OAC 、△OAB 都为等边三角形，∴AB=AC=OA=OC=OB ，∴四边形ABOC 是菱形，所以③正确；∵△OAC 、△OAB 都为等边三角形，∴∠COB=120°，∴劣弧BC 的长度为12064180ππ⨯=，所以④正确．综上，正确的个数有4个，故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．A解析：A【分析】连接AD ，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE 是直角三角形，用勾股定理求AE 即可．【详解】解：连接AD ，∵∠BOD =120°，AB 是⊙O 的直径，∴∠AOD =60°，∵OA=OD ，∴∠OAD =∠ODA =60°，∵点C 为弧BD 的中点，∴∠CAD =∠BAC =30°，∴∠AED =90°，∵DE =1，∴AD=2DE=2，AE =2222213AD DE -=-=，故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．3．B解析：B【分析】根据垂径定理得出=CE DE ，由此可判断A ，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明OCE ODE ∆∆≌，进而可判断C 、D ，而AE 与OE 不一定相等，由此可判断B ．【详解】∵O 的直径AB CD ⊥于点，∴=CE DE ，故A 选项结论成立；在OCE ∆和ODE ∆中，90CEO DEO OCE ODEOC OD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴OCE ODE ∆∆≌，故D 选项结论正确；∴COA DOA ∠=∠，故C 选项结论正确；而AE 与OE 不一定相等，故B 选项结论不成立；故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．4．C解析：C【分析】首先连接BC ，由AC 平分∠BAD ，易证得∠BDC=∠CAD ，继而证得△CDE ∽△CAD ，然后由相似三角形的对应边成比例求得AE 的长，进而求出AC 的长．【详解】解：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠CAD∴=BC CD ，∴∠BDC=∠CAD ，∵∠ACD=∠DCE ，∴△CDE ∽△CAD ，∴CD ：AC=CE ：CD ，∴CD 2=AC•CE ，∴62=4（4+AE ），∴AE=5，∴AC=AE+CE=9，故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．5．B解析：B【分析】设出半径，作出△COB 底边BC 上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【详解】解：作OD ⊥BC 交BC 与点D ，∵∠COA ＝60°，∴∠COB ＝120°，则∠COD ＝60°．∴S 扇形AOC ＝22603606ππ=R R ； S 扇形BOC ＝221203603ππ=R R ．在三角形OCD 中，∠OCD ＝30°，∴OD ＝2R ，CD ＝3R ，BC ＝3R ， ∴S △OBC ＝23R ，S 弓形＝2233R R π-＝2(433)12π-R ， 2(433)12π-R ＞26πR ＞234R ， ∴S 2＜S 1＜S 3．故选：B ．【点睛】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．6．A解析：A【分析】先根据勾股定理求出AB ，然后根据S 阴影=S 半圆AC ＋S 半圆BC ＋S △ABC －S 半圆AB 计算即可．【详解】根据勾股定理可得225AC BC +=∴S 阴影=S 半圆AC ＋S 半圆BC ＋S △ABC －S 半圆AB =22211112222222AC BC AB AC BC πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++•- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()222141115343222222πππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6故选A ．【点睛】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键． 7．A解析：A【分析】连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊥EI 于M ，证明90AIH ∠=︒，设HI JI JE a ===，求出AI 即可．【详解】解：如图，连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊥EI 于M ．∵ABCDEF 是正六边形，∴∠DEF ＝∠F ＝120°，∵FA ＝FE ，∴∠FEA ＝∠FAE ＝30°，∴∠AED ＝90°，同法可证，∠DEI ＝∠EIH ＝90°，∴∠AED +∠DEI ＝180°，∴A ，E ，I 共线，设HI JI JE a ===，∵JM ⊥EI ，∴EM ＝MI ＝32a ， ∴AI ＝2EI ＝3a ，∴tan∠API＝tan∠AHI＝AIHI故选：A．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题．8．D解析：D【分析】由C、D是半圆的3等分点知∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，据此得S扇形AOC＝S扇形COD＝S扇形BOD＝13S半圆，再根据概率公式求解即可．【详解】解：∵C、D是半圆的3等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴S扇形AOC＝S扇形COD＝S扇形BOD＝13S半圆，∴该点取自阴影部分的概率为1=3CODSS扇形半圆，故选：D．【点睛】本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．9．D解析：D【分析】先证明∆BAE≅ ∆CAD，再证明∆ABG≅ ∆ACG，得AF是∠BAC的平分线，进而即可判断①；先证明BDC=∠CEB=90°，根据直角三角形的性质，即可判断②；根据角平分线的性质，得点G到∆ABC的三边距离都相等，结合“等积法”即可判断③；先证明B，C，D，E在以点F为圆心的圆上，进而即可判断④．【详解】∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴∆BAE≅ ∆CAD，∴∠ABE=∠ACD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即：∠GBC=∠GCB，∴BG=CG，∴∠BAG=∠CAG ，即AF 是∠BAC 的平分线，∴BF CF =，故①正确；∵BE AC ⊥，∴∠CEB=90°，由①可知：BD=CE ，∠ABC=∠ACB ，又∵BC=CB ，∴∆BDC ≅∆CEB ，∴∠BDC=∠CEB=90°，∵点F 是BC 的中点，∴CF DF =，故②正确；∵BE 平分ABC ∠，AF 平分∠BAC ，∴点G 是角平分线的交点，∴点G 到∆ABC 的三边距离都相等，且等于FG ，∵5AB AC ==，6BC =，AF ⊥BC ，∴AF=22AB BF -= 22534-=， ∴S ∆ABC =12(AB+AC+BC)∙FG=12×16FG=8FG ，S ∆ABC =12BC∙AF=12， ∴8FG=12，即：32FG =，故③正确； ∵BE AC ⊥，由①可知：CD ⊥AB ， ∴B ，C ，D ，E 在以点F 为圆心的圆上，∴2DFE ABE ∠=∠，故④正确．故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握“等腰三角形三线合一”，“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”，是解题的关键．10．A解析：A【分析】连接OC ，根据圆周角定理计算即可；【详解】连接OC ，∵33BAC ∠=︒，∴266BOC AOC ∠=∠=︒，又∵180DOC AOC ∠+∠=︒，∴180114AOC BOC ∠=︒-∠=︒， ∴1572D AOC ∠=∠=︒；故答案选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，准确计算是解题的关键．11．B解析：B【分析】连接OA ，作OD ⊥AB 于点D ，利用三角函数即可求得AD 的长，则AB 的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．【详解】解：连接OA ，作OD ⊥AB 于点D ．在直角△OAD 中，OA ＝2，∠OAD ＝12∠BAC ＝30°，则AD ＝OA•cos30°则AB ＝2AD ＝则扇形的弧长=60180π⨯= 3，设圆锥的底面圆的半径是r ，则2π×r ＝3，解得：r ＝3故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数，弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．B解析：B【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【详解】解：∵AD 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∵∠BCA=50°，∴∠ADB=∠BCA=50°，∴BAD ∠=90°-50°=40°故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题13．8【分析】如图连接OA 过点A 作弦P′Q′⊥OA 连接OQ′此时P′Q′的值最小利用勾股定理以及垂径定理求解即可【详解】解：如图连接OA 过点A 作弦P′Q′⊥OA 连接OQ′此时P′Q′的值最小在Rt △OA解析：【分析】如图，连接OA ，过点A 作弦P ′Q ′⊥OA ，连接OQ ′，此时P ′Q ′的值最小．利用勾股定理以及垂径定理求解即可．【详解】解：如图，连接OA ，过点A 作弦P ′Q ′⊥OA ，连接OQ ′，此时P ′Q ′的值最小．在Rt △OAQ ′中，AQ ′22OQ OA '-22128-＝5cm ），∵OA ⊥P ′Q ′，∴AQ ′＝AP ′，∴P ′Q ′＝2AQ ′＝5cm ），故答案为：5【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．3π【分析】根据正方形的性质可得边相等角相等根据扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E 可得△BCE 的形状根据图形的割补可得阴影的面积是扇形根据扇形的面积公式可得答案【详解】解：正方形ABCD 中∴∠DCB解析：3π【分析】根据正方形的性质，可得边相等，角相等，根据扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E ，可得△BCE 的形状，根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形，根据扇形的面积公式，可得答案．【详解】解：正方形ABCD 中，∴∠DCB =90°，DC =AB =6cm ．扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E ，∴△BCE 是等边三角形，∠ECB =60°，∴∠DCE =∠DCB -∠ECB =30°．根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形DCE ，S 扇形DCE =π×62×30360=3π，故答案为3π．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，扇形的面积，灵活应用图形的割补是解题关键． 15．【分析】由同弧所得的圆周角相等得到直径所得的圆周角是90°得到继而证明再根据角平分线的性质解得结合三角形外角的性质可证接着由线段的和差解得由此可知当为直径时值最大然后证明为等腰直角三角形最后根据等腰1【分析】由同弧所得的圆周角相等得到APC ABC ∠=∠，直径所得的圆周角是90°得到90ACB ∠=︒，继而证明45APC ABC ，再根据角平分线的性质解得BAD DAP ∠=∠，结合三角形外角的性质可证CAD ADC ∠=∠，接着由线段的和差解得1PD CP CD CP =-=-，由此可知当CP 为直径时PD 值最大，然后证明ACB △为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理解题．【详解】解：点C 是上半圆的中点，AC BC ∴=APC ABC1AC BC ∴== AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒45CAB CBA ∴∠=∠=︒45APC ABC AD 平分PAB ∠12BAD DAP BAP ∴∠=∠=∠ 45,45ADC APC DAP DAP CAD CAB BAD BAD ∠=∠+∠=︒+∠∠=∠+∠=︒+∠ CAD ADC ∴∠=∠1AC AD ∴==1PD CP CD CP ∴=-=-要使PD 最大，即使得CP 最大，当CP 为直径时值最大，在Rt ACB 中，45,CAB AC BC ∠=︒=ACB ∴为等腰直角三角形，AB ∴==CP ∴PD ∴1，1-．【点睛】本题考查同弧所得的圆周角相等、直径所得的圆周角是90°、角平分线的性质、三角形外角的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．16．【分析】连接ODOCBC 根据题意首先证明∠AOD=∠BOC 再根据题意分别用含n 的式子表示出∠AOD 和∠COD 建立关于n 的方程求解即可【详解】如图连接ODOCBC ∵AB 为直径∴∠ADB=∠BCA=90解析：4【分析】连接OD ，OC ，BC ，根据题意首先证明∠AOD=∠BOC ，再根据题意，分别用含n 的式子表示出∠AOD 和∠COD ，建立关于n 的方程求解即可．【详解】如图，连接OD ，OC ，BC ，∵AB 为直径，∴∠ADB=∠BCA=90°，又∵BD AC =，∴Rt △ABD ≌Rt △BAC （HL ），∴AD=BC ，∠AOD=∠BOC ，∵CD 是O 内接正n 边形的一边， ∴360COD n ︒∠=，同理：AD 是O 内接正()4n +边形的一边， ∴3604AOD BOC n ︒∠=∠=+，由180AOD BOC COD ∠+∠+∠=︒，得：36036021804n n︒︒⨯+=︒+，解得：4n =，或2n =-（不符合题意，舍去）经检验，4n =是原分式方程的解，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，理解正多边形与圆的关系是解题关键．17．【分析】连结OCOP 过C 作CE ⊥AB 于E 连接DEAC 由B 为直径可求AB=60°由OC=OA 可得△ACO 为等边三角形由CE ⊥AB 可知E 为AO 的中点AE=OE=在Rt △OCE 中由勾股定理CE=由点D 为A31+ 【分析】连结OC 、OP ，过C 作CE ⊥AB 于E ，连接DE ，AC ，由B 为直径，可求AB=60°,由OC=OA ，可得△ACO为等边三角形，由CE⊥AB，可知E为AO的中点，AE=OE=111 OA=AB= 242，在Rt△OCE中，由勾股定理CE=223 2OC OE-=，由点D为AP的中点，ED为△AOP的中位线，可求ED=111OP=AB=242，根据三边关系在△CED中CD CE ED<+，可得C、D、E三点共线时，CD最大=CE +ED=313+1+=2即可．【详解】解：连结OC、OP，过C作CE⊥AB于E，连接DE，AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠CBA=90°-30°=60°，∵OC=OA，∴△ACO为等边三角形，∵CE⊥AB，∴E为AO的中点，AE=OE=111OA=AB=242，在Rt△OCE中，由勾股定理CE=222213122 OC OE⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，∵点D为AP的中点，ED为△AOP的中位线，∴ED=111OP=AB=242，在△CEP中CD CE ED<+，∴C、D、E三点共线时，CD最大=CE +ED=313+1+=222．故答案为：3+1．【点睛】本题考查圆周角性质，等边三角形判定与性质，等腰三角形三线合一性质，中位线性质，勾股定理，掌握圆周角性质，等边三角形判定与性质，等腰三角形三线合一性质，中位线性质，勾股定理，关键是通过引辅助线构造准确的图形．18．-1【分析】根据△BCE是以CE为底边的等腰三角形推出点E在以B为圆心AB长为半径的圆弧AC上根据圆的基本性质得到DE最小时点E的位置从而利用BD-BE计算出结果【详解】解：如图正方形ABCD中∵△解析：2-1【分析】根据△BCE是以CE为底边的等腰三角形推出点E在以B为圆心，AB长为半径的圆弧AC 上，根据圆的基本性质得到DE最小时点E的位置，从而利用BD-BE计算出结果．【详解】解：如图，正方形ABCD中，∵△BCE是以CE为底边的等腰三角形，∴BE=BC，∴点E在以B为圆心，AB长为半径的圆弧AC上，连接BD，与弧AC交于点E，则此时DE最小，∵AB=1，∴BE=1，BD=2211=2，∴DE=BD-BE=2-1，故答案为：2-1．【点睛】本题考查了圆的基本性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意得到点E在弧AC上．19．【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r根据题意可得：AD=AE=4∠DAE＝45°∵底面圆的周长等于弧长即解得：∴该圆锥的底面圆的半径是解析：1 2【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意可得：AD=AE=4，∠DAE ＝45°，∵底面圆的周长等于弧长，即4542180r ππ︒⨯⨯=︒解得：12r =， ∴该圆锥的底面圆的半径是12，故答案为12．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 20．【分析】依题意得所以是直角三角形又因为∠ADB ＝90°所以点ADCB 在以AB 为直径的圆上依题意可知当时BE 最大据此求解即可【详解】解：在△ABC 中BC ＝9AC ＝12AB ＝15∵∠ADB ＝90°共圆取解析：【分析】依题意得222BC AC AB +=，所以ABC 是直角三角形，又因为∠ADB ＝90°，所以点A 、D 、C 、B 在以AB 为直径的圆上，依题意可知当//OD BC 时，BE 最大，据此求解即可．【详解】解：在△ABC 中，BC ＝9，AC ＝12，AB ＝15，22281,144,225BC AC AB ===，222BC AC AB ∴+=，90C ∴∠=︒，∵∠ADB ＝90°，A C DB ∴、、、共圆取AB 的中点O 连接DO ，过点O 作OF EB ⊥于点F如图，当//OD BC 时， BE 最大，此时OD AC ⊥，OD DE ⊥ ，119//,,9222OF AC OF OD BF BC ∴⊥==⨯=， ∴四边形ODEF 是矩形， 111515222EF OD AB ∴===⨯=， 9151222BE BF EF ∴=+=+=，故答案为：12．【点睛】本题考查了四点共圆，平行线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质等知识，判定四点共圆是解题的关键．三、解答题21．（1）画图见详解；（2）BC 扫过的面积S 圆环=9π=．【分析】（1）由三角板ABC 可求AB=2BC=6cm ，由勾股定理：==BC 在平面内绕顶点A 旋转一周．图形是以AB 为半径的圆去掉以AC 为半径的圆，所形成的圆环，如图所示；（2）BC 扫过的面积S 圆环=22AB AC ππ-计算即可．【详解】解：（1）∵三角板ABC ，90C ∠=︒，30A ∠=︒，3BC cm =，∴AB=2BC=6cm ，∴由勾股定理：=边BC 在平面内绕顶点A 旋转一周．图形是以AB 为半径的圆去掉以AC 为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：（2）BC 扫过的面积S 圆环=2236279AB AC πππππ-=-=．【点睛】本题考查画旋转图形，勾股定理，30°直角三角形的性质，圆环面积，掌握画旋转图形方法，勾股定理，30°直角三角形的性质，圆环面积求法是解题关键．22．（1）见解析；（2）52π．【分析】（1）根据△ABC 绕A 顺时针方向旋转90°，即可得到△AB 1C 1；（2）根据弧长计算公式，即可得出点B 运动路径的长．【详解】解：（1）如图所示，△AB 1C 1即为所求；（2）Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴2222AB AC BC 345=++=又∠BAB 1=90°，∴点B 的运动路径的长为：90551802ππ⨯=．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．23．()145︒；()242π-【分析】（1）由作图可知，BE=BC=4，勾股定理求出AE 长即可求ABE ∠的度数；（2）阴影部分的面积是矩形面积减去△ABE 面积再减去扇形EBC 面积．【详解】解：（1）由作图可知，BE=BC=4，∵∠A=90°，AB =∴AE ===，∴AB=AE ，∴45ABE ∠=；（2）由（1）可知∠EBC=45°，ABE ABCD EBC S S S S =--△阴矩形扇形，(22145442360S π⨯=-⨯-︒阴，42π=-．【点睛】本题考查了勾股定理，扇形面积公式，等腰三角形的性质，解题关键是理解作图意义，熟练运用勾股定理和扇形面积公式．24．（1）见解析；（2）2FB =【分析】（1）由切线的性质可得∠OCP=90°，由等腰三角形的性质可得∠E=∠OCE ，可得∠CFP=∠FCP ，可得PC=PF ；（2）过点B 作BH ⊥PC ，垂足为H ，由题意可证四边形OCHB 是正方形，由勾股定理可得BH=CH=3，可求PH ，BP 的长，即可求BF 的长．【详解】解：（1）连接OC ．OE AB ⊥，90EGF ∴∠=︒． PC 与C 相切于点C ，90OCP ∠=︒，90E EFG OCF PCF ∴∠+∠=∠+∠=︒．OE OC =，E OCF ∴∠=∠，EFG PCF ∴∠=∠．EFG PFC ∠=∠，PCF PFC ∴∠=∠，PC PF ∴=．（2）过点B 作BH PC ⊥于点H ．//,90OB PC OCP ∠=︒，90BOC ∴∠=︒．OB OC =，∴四边形OCHB 是正方形，∴BH=CH ，∵BH 2+CH 2=BC 2，BC=32∴BH=CH=3，在Rt BHP 中，4tan BH PH P==， ∴PF=PC=3+4=7，225BP PH BH =+，752FB ∴=-=．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，以及锐角三角函数等知识，需要学生灵活运用所学知识．25．（1）等腰三角形，见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据垂径定理定理和圆周角定理可得C ADC ∠=∠，F C ∠=∠，然后根据已知AE DE =可以得到 EAD ADC ∠=∠，得到F EAD ∠=∠，得到结果（2）连接OE ，OD ，可证AOE DOE ≌△△．可得AEO DEO ∠=∠．利用角平分线的性质求出OM ON =（3）由题意可得AOE DOE ∠=∠，NOE MOE ∠=∠根据180AOE MOE ∠+∠=︒得到180DOE NOE ∠+∠=︒，证出N 、O 、D 三点共线，证出矩形DNFG ，可证DG OD ⊥，结论得证．【详解】（1）等腰三角形证明：如图1 连接AC∵AB 为O 的直径，AB CD ⊥于点M∴C ADC ∠=∠∵F C ∠=∠（同弧所对圆周角相等）∵AE DE =，∴EAD ADC ∠=∠∴F EAD ∠=∠，∴AD DF =．∴ADF 是等腰三角形（2）如图2 连接OE ，OD ，在AOE △与DOE △中AE DE EO EO OA OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴AOE △≌DOE △∴AEO DEO ∠=∠∵OM DE ⊥ 点N 为AF 的中点∴ 90ONE OME ∠=∠=︒利用角平分线的性质得OM ON =．（3）∵AOE △≌DOE △∴AOE DOE ∠=∠∵90ONE OME ∠=∠=︒，AEO DEO ∠=∠∴NOE MOE ∠=∠又∵180AOE MOE ∠+∠=∴180DOE NOE ∠+∠=∴N 、O 、D 三点共线∵DG FB ⊥，90ONE ∠=，90AFG ∠=∴四边形DNFG 为矩形∴90GDN ∠=∴DG 是O 的切【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的判定等概念，熟练掌握知识点是解题的关键.26．（1）见解析；（2）CD =【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可以确定∠C=∠P ，又知∠1=∠C ，即可得∠1=∠P ，进而得到//CB PD ；（2）先利用三角函数求出BE 的长，再根据勾股定理求EC 得长，最后根据垂径定理得DE EC =，即可求出CD DE EC =+的长．【详解】（1）证明：∵C P ∠=∠，1C ∠=∠．∴1P ∠=∠．∴//CB PD ．（2）解：∵CD AB ⊥，3BC =，2sin 3C ∠=． ∴在t R △CEB 中，2sin =3BE C BC ∠=，则2=33BE ． ∴=2BE ．又∵3BC =，CD AB ⊥∴t R △CEB 中，DE EC ==， ∴CD DE EC =+=【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形、勾股定理、垂径定理和圆周角性质，平行线的判定，解题的关键是利用垂径定理和圆周角定理找到边与角的关系．。

2022年必考点解析北师大版九年级数学下册第三章圆专项测评试卷(含答案详解)

北师大版九年级数学下册第三章圆专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AED38C∠的大小是（）A．19°B．38°C．52°D．76°2、到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三边中垂线的交点3、如图，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是菱形，则D∠的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°4、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则下列角中可确定大小的是（）A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA5、如图，在Rt ABC中，390,4,tan4ACB AC A∠===．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1 B．75C．32D．26、如图，⊙O中，半径OC⊥AB于D，且CD＝2，弦AB＝8，则⊙O的半径的长等于（）A ．3B ．4C ．5D ．67、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（）A 3πB 3π- C 23π-D ．23π8、如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且⊙O 1经过⊙O 2的圆心，则∠O 1AB 的度数为（）A ．45°B ．30°C ．20°D ．15°9、如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），点B （2，1），点C （2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A ．（－2，－1）B ．（－1，0）C ．（－1，－1）D ．（0，－1）10、如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是（）．A ．2AC CD =B ．2AC CD < C ．2AC CD >D ．无法比较第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、 “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O （纸片），其半径为r ．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O 的面积．作法：①如图1，取⊙O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ；②如图2，以点A 为圆心，OA 为半径画弧交直线l 于点C ；③将纸片⊙O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周，使点A ，B 分别落在对应的A '，B '处； ④取CB '的中点M ，以点M 为圆心，MC 为半径画半圆，交射线BA 于点E ； ⑤以AE 为边作正方形AEFG ．正方形AEFG 即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l 为⊙O 的切线，其依据是________________________________．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC =_____________，MA =____________（用含r 的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt AME △中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE =_________（用含r 的代数式表示）．由此可得正方形o AEFG S S =．2、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A =105°，则∠BOD =_______．3、如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm ，则此圆弧所在圆的半径为________mm ．4、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别以点A 、C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若6AC =，35CAB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）5、如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，作OF ⊥BC 交⊙O 于点F ，连接FA ，则∠OFA ＝_____°．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在▱ABCD 中，∠D ＝60°，对角线AC ⊥BC ，⊙O 经过点A 、点B ，与AC 交于点M ，连接AO 并延长与⊙O 交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，AB ＝EB ．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝O 的半径．2、已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：OD∥AC；（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．3、如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，点E是⊙A上的一动点，点E绕点D按逆时针方向转转90°，得到点F，接AF．（1）求CF长；（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；（3）AF的最大值是__________．4、△ABC 中，BC ＝AC ＝5，AB ＝8，CD 为AB 边上的高，如图1，A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B 随之沿y 轴下滑，并带动△ABC 在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t 秒，当B 到达原点时停止运动．（1）当t ＝0时，求点C 的坐标；（2）当t ＝4时，求OD 的长及∠BAO 的大小；（3）求从t ＝0到t ＝4这一时段点D 运动路线的长；（4）当以点C 为圆心，CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．5、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连接AC ，过A 作AF AC ⊥，交⊙O 于点F ，连接DF ，过B 作BG DF ⊥，交DF 的延长线于点G ．（1）求证：BG 是⊙O 的切线；（2）若30DFA ∠=︒，DF =4，求FG 的长．-参考答案-一、单选题 1、B 【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BDAB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键. 2、D 【分析】由题意根据线段的垂直平分线上的性质，则有三角形三边中垂线的交点到三角形的三个顶点距离相等．【详解】解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边中垂线的交点．故选：D ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是注意掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 3、B 【分析】设∠ADC =α，∠ABC =β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC =α，∠ABC =β； ∵四边形ABCO 是菱形，∴∠ABC=∠AOCβ=；∴∠ADC=12β；四边形ABCD为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，故选：B．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.4、C【分析】由题意根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行分析求解．【详解】解：连接OB、OC，如图，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴BC所对的圆心角为90°，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°．故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°是解题的关键．5、B【分析】利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用cosBC BEBAB BC==，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．【详解】解：在Rt ABC中，390,4,tan4 ACB AC A∠===，∴BC=3，5AB=，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，∵cosBC BEBAB BC==，∴353BE =，解得95 BE=，∵CB=CD，CE⊥AB，∴1825 BD BE==，∴187555 AD AB BD=-=-=，故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．6、C【分析】根据垂径定理得出AD =BD =118422AB ，设⊙O 的半径的长为x ，根据勾股定理222OB OD BD =+，即()22224x x =-+，解方程即可．【详解】解：∵半径OC ⊥AB 于D ，弦AB ＝8， ∴AD =BD =118422AB ，设⊙O 的半径的长为x ，∴OD =OC -CD =x -2，在Rt△ODB 中，根据勾股定理222OB OD BD =+，即()22224x x =-+，解得x =5，∴⊙O 的半径的长为5．故选择C ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解拓展一元一次方程，掌握垂径定理，勾股定理，解拓展一元一次方程是解题关键．7、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．8、B【分析】连接O 1O 2，AO 2，O 1B ，可得△AO 2O 1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．【详解】解：连接O 1O 2，AO 2，O 1B ，∵O 1B = O 1A ∴112112O AB O BA AO O ∠=∠=∠∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO1=O1O2=AO2，∴△AO2O1是等边三角形，∴∠AO2O1=60°，∴∠O1AB=12∠AO2O11602=⨯︒=30°．故选：B．【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AO2O1是等边三角形是解题关键．9、A【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．10、B【分析】连接AB ，BC ，根据AB BC CD ==得AB BC CD ==，再根据三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接AB ，BC ，如图，∵AB BC CD ==∴AB BC CD ==又AB BC AC +>∴2AC CD <故选：B【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．二、填空题1、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）()12rπ+，()12rπ-；（3） 2r π（1）根据切线的定义判断即可．（2）由CB '=AC +AB '，2CB MC '=计算即可；根据MA MC AC =-计算即可．（3）根据勾股定理，得2AE 即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．【详解】解：（1）∵⊙O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ，∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）根据题意，得AC =r ，AB '=22πr =πr ， ∴CB '=AC +AB '=r +πr ， ∴2CB MC '==()12r π+； ∵MA MC AC =-，∴MA =()12rπ+-r =()12rπ-，故答案为：()12rπ+，()12rπ-；（3）如图，连接ME ，根据勾股定理，得22222AE ME MA MC MA =-=-=()()2211[][]22rrπ+π--=2r π；故答案为：2r π．【点睛】本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．2、150°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C 的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD 内接于O ，105A ∠=︒，∴180********C A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴2150BOD C ∠=∠=︒．故答案为：150︒．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．3、900【分析】由弧长公式l =180n R π得到R 的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得，800π=160180R π，解得，R =900（mm ）．答：这段圆弧所在圆的半径R 是900 mm ．故答案是：900．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l =180n R π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数． 4、74π##【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO 和扇形CFO 的面积之和．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴6AC BD ==，OA OC OB OD ===，AB CD ∥，∴3OA OC ==，35ACD CAB ∠=∠=︒， ∴图中阴影部分的面积为：2353723604ππ⨯⨯=．故答案为：74π．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5、36【分析】连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB ＝72°，∠BOF ＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．∵五边形ABCDE 是正五边形，OF ⊥BC ， ∴1122BF CF BC AB ===， ∴∠AOB ＝3605︒=72°，∠BOF =12∠AOB ＝36°， ∴∠AOF ＝∠AOB +∠BOF =108°，∵OA ＝OF ，∴∠OAF ＝∠OFA ＝()()11118018010872222AOF ︒-∠=︒-︒=⨯︒＝36°故答案为：36．【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n 边形的每个中心角都等于360n︒．三、解答题1、（1）见详解；（2）4．【分析】（1）连接OB ，根据平行四边形的性质得到∠ABC =∠D =60°，求得∠BAC =30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO =∠OAB =30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC =AD，过O 作OH ⊥AM 于H ，则四边形OBCH 是矩形，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC =∠D =60°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°，∴∠BAC =30°，∵BE =AB ，∴∠E =∠BAE ，∵∠ABC =∠E +∠BAE =60°，∴∠E =∠BAE =30°，∵OA =OB ，∴∠ABO =∠OAB =30°，∴∠OBC =30°+60°=90°，∴OB ⊥CE ，∴EC 是⊙O 的切线；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD =23 ，过O 作OH ⊥AM 于H ，则四边形OBCH 是矩形，∴OH =BC∴OA =sin 60OH=4，∴ ⊙O 的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接BD ，由D 为AC 的中点，得BD CD =，则BAD CAD ∠=∠，由等腰三角形的性质得∠=∠DAB ADO ，推出CAD ADO ∠=∠，即可得出结论；（2）由垂径定理得OF AC ⊥，由平行线的性质得DO EF ⊥，则DOE △是等腰直角三角形，45OED ∠=︒，易证OGA △是等腰直角三角形，得BG ，再由2BC BG =，即可得出结果．【详解】（1）证明：D 为BC 的中点，∴BD CD =， ∴DAB CAD ∠=∠，OD OB =，∴∠=∠DAB ADO ，∴CAD ADO ∠=∠，//OD AC ∴；（2）解：G 为AC 中点，OF AC ∴⊥，2AC AG =由（1）得：//OD AC ，DO EF ∴⊥，DOE ∴△是等腰直角三角形，45OED ∴∠=︒，DE AB ∵⊥，45EOB AOG ∴∠=∠=︒，OGA ∴是等腰直角三角形，2AG ∴==2AC AG ∴==．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．3、（1）1；（211；（3）1【分析】（1）连接AE ，根据同角的余角相等可得：EDA FDC ∠=∠，利用全等三角形的判定定理可得：EDA FDC ∆≅∆，再由其性质即可得解；（2）分两种情况讨论：①当点E 在正方形内部时，点A 、E 、F 三点共线时，AF 与圆C 相切；②当点E 在正方形外部时，点A 、1E 、1F 三点共线时，1AF 与圆C 相切；两种情况分别利用勾股定理进行求解即可得；（3）根据题意判断出AF 最大时，点C 在AF 上，根据正方形的性质求出AC ，从而得出AF 的最大值．【详解】解：（1）连接AE ，如图所示：∵90EDF ADC ∠=∠=︒，即：90EDA ADF ADF FDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴EDA FDC ∠=∠，在EDA ∆与FDC ∆中，ED FD EDA FDC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴EDA FDC ∆≅∆，∴1CF AE ==；（2）①如图所示：当点A 、E 、F 三点共线时，AF 与圆C 相切，则90AFC ∠=︒，AC ==1CF =，∴AF =，∴1EF AF AE =-=；②如图所示：当点A 、1E 、1F 三点共线时，1AF 与圆C 相切，则190AFC ∠=︒，AC =11CF =，∴1AF =∴111EF AF AE =+；综合可得：当点A 、E 、F 三点共线时，EF 11；（3）如图所示，点C 在线段AF 上，AF 取得最大值，AF AC CF =+，∵AC =∴1AF =，即：AF 的最大值是1，故答案为：1．【点睛】题目主要考查正方形的性质，切线及旋转的性质，勾股定理等，理解题意，画出相应辅助图形是解题关键．4、（1）（3，4）；（2）OD ＝4，∠BAO ＝60°；（3）23π；（4）245或325 【分析】（1）先由BC AC =，CD 为AB 边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质得出D 为AB 的中点，则142AD AB ==，然后在Rt ΔCAD 中运用勾股定理求出3CD =，进而得到点C 的坐标；（2）如图2，当4t =时即4AO =，先由D 为AB 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出142OD AB ==，则4OA OD AD ===，判定AOD ∆为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出60BAO ∠=︒；（3）从0=t 到4t =这一时段点D 运动路线是弧1DD ，由130D OD ∠=︒，4OD =，根据弧长的计算公式求解；（4）分两种情况：①C 与x 轴相切，根据两角对应相等的两三角形相似证明ΔΔCAD ABO ∽，得出AB AO CA CD=，求出AO 的值；②C 与y 轴相切，同理，可求出AO 的值．【详解】解：（1）如图1，∵BC ＝AC ，CD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝4．在Rt△CAD 中，CD 3，∴点C 的坐标为（3，4）；（2）如图2，当t ＝4时，AO ＝4，在Rt△ABO 中，D 为AB 的中点，OD ＝12AB ＝4，∴OA ＝OD ＝AD ＝4，∴△AOD 为等边三角形，∴∠BAO ＝60°；（3）如图3，从t ＝0到t ＝4这一时段点D 运动路线是弧DD 1，其中，OD ＝OD 1＝4，又∵∠D 1OD ＝90°﹣60°＝30°， ∴130421803DD ππ⨯⨯==；（4）分两种情况：①设AO ＝t 1时，⊙C 与x 轴相切，A 为切点，如图4．∴CA ⊥OA ，∴CA ∥y 轴，∴∠CAD ＝∠ABO ．又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，∴Rt△CAD∽Rt△ABO，∴AB AOCA CD=，即1853t=，解得124 5t=；②设AO＝t2时，⊙C与y轴相切，B为切点，如图5．同理可得，232 5t=．综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长的计算，直线与圆相切，切线的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，其中第（4）问进行分类讨论是解题的关键．5、（1）见解析；（2）2FG=【分析】（1）由题意根据切线的判定证明半径OB⊥BG即可BG是⊙O的切线；（2）根据题意连接CF，根据圆周角定理和中位线性质得出12OE DF=，进而依据等边三角形和四边形BEDG是矩形进行分析即可得出FG的长．【详解】解：（1）证明：∵ C，A，D，F在⊙O上，∠CAF=90°，∴ ∠D=∠CAF=90°．∵ AB⊥CE，BG⊥DF，∴ ∠BED=∠G=90°．∴ 四边形BEDG中，∠ABG=90°．∴ 半径OB⊥BG．∴ BG是⊙O的切线．（2）连接CF，∵ ∠CAF =90°， ∴ CF 是⊙O 的直径． ∴ OC =OF ．∵ 直径AB ⊥CD 于E ， ∴ CE =DE ．∴ OE 是△CDF 的中位线． ∴ 122OE DF ==． ∵ AD AD =，∠AFD =30°， ∴ ∠ACD =∠AFD =30°． ∴ 9060CAE ACE ∠=︒-∠=︒． ∵ OA =OC ，∴ △AOC 是等边三角形． ∵ CE ⊥AB ，∴ E 为AO 中点， ∴ OA =2OE =4，OB =4． ∴ 6BE BO OE =+=． ∵ ∠BED =∠D =∠G =90°， ∴ 四边形BEDG 是矩形． ∴ DG =BE =6．∴ 2FG DG DF =-=．【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线的判定和圆周角定理和中位线性质以及等边三角形和矩形性质是解题的关键.。

九年级下册圆专项练习考试题与答案

九年级下册圆的考试题与答案1．下列判断结论正确的有（）(1)直径是圆中最大的弦．(2)长度相等的两条弧一定是等弧．(3)面积相等的两个圆是等圆．(4)同一条弦所对的两条弧一定是等弧．(5)圆上任意两点间的部分是圆的弦．[单选题] *A．1个B．2个√C．3个D．4个答案解析：2．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）[单选题] *A．22.5°B．30°C．45°√D．60°答案解析：3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6 m，如果再注入一些油后，油面上升1 m，油面宽度为8 m，圆柱形油槽的直径为（）[单选题] *A．6 mB．8 mC．10 m√D．12 m答案解析：4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）[单选题] *A．20°B．35°√C．40°D．55°答案解析：5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°.以BC为直径的⊙O交AB于点D.E是⊙O上一点，且弧CE＝弧CD，连接OE.过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）[单选题] *A．92°B．108°C．112°√D．124°答案解析：6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）[单选题] *A．3B．C．D．√答案解析：7．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）[单选题] *A.B．C．D．√答案解析：8．如图，PA，PB是⊙O切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）[单选题] *A．55°B.70°√C．110°D.125°答案解析：9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（）[单选题] *A.√B．C．D．答案解析：10．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是（）[单选题] *A．B．C．D．√答案解析：[单选题] *A．2B．C．√D．答案解析：12．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）[单选题] *A．√B．2C．D.答案解析：13．用圆心角为120°，半径为3 cm的扁形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是（）cm[单选题] *A．3B．√C．D．答案解析：14．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝2，则的长为（）[单选题] *A．π√B．C．2πD.答案解析：15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（）[单选题] *A.√B．C.D．答案解析：16．如图，正方形ABCD的边AB＝1，弧BD和弧AC都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）[单选题] *A.√B．C.D．答案解析：17．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸相同，则贴纸的面积为（）[单选题] *A．175πB．350π√C.D．150π答案解析：18．正六边形的边心距与边长之比为（）[单选题] *A.B．√C．1∶2D．答案解析：19．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE.则图中阴影部分的面积是（）[单选题] *A．B．√C．D．答案解析：[单选题] *A.B．√C．D．1答案解析：21.[单选题] *AB√CD22.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0．8米，最深处水深0．2米，则此输水管道的直径是（）[单选题] *A.0.5B.1√C.2D.423.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（）[单选题] *A.80B.50°C.40°D.20°√24.（2019·辽宁中考真题）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB=70°，则∠ABC的度数是（）[单选题] *A.20°√B.30°C.70°D.90°25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO=30°，则∠B的度数是（）[单选题] *A.30°B.45°C.60°√D.75°26.圆半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（）[单选题] *A.7cmB.17cmC.12cm或17cmD.7cm或17cm√27.（2019·四川中考真题）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB=10，AC=8，则BD的长为（）[单选题] *A.B.C.√D.28.（2019·贵州中考真题）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）[单选题] *A.B.C.√D.29.（2019·浙江中考真题）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）[单选题] *A.60πcm²B.65πcm²√C.120πcm²D.130πcm²30.（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )[单选题] *A.PA=PBB.∠BPD＝∠APDC．AB⊥PDD．AB平分PD√31.如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________°(只填数字)[填空题] *_________________________________(答案：75)32.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC=____°．(只填数字)[填空题] *_________________________________(答案：130)33.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO=4，以O为圆心，A为半径作半圆，以A为圆心，AB为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积为____(只填数字)[填空题] *_________________________________(答案：8)34.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆圆O相交于点D，过D作直线DG∥BC．若DE=6,BC= ，求∠BOC=_______°（只填数字）[填空题] *_________________________________(答案：120)。

初三下册圆试题及答案

初三下册圆试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 圆的周长公式是（）。

A. C = πdB. C = 2πrC. C = πrD. C = 2πd2. 圆的面积公式是（）。

A. S = πr^2B. S = 2πrC. S = πd^2D. S = π(2r)^23. 圆的直径是半径的（）倍。

A. 2B. πC. 4D. 1/24. 圆的半径是直径的（）。

A. 2倍B. π倍C. 1/2D. 1/π5. 圆周角定理指出，圆周上任意两点之间的弧所对的圆周角是（）。

A. 直角C. 锐角D. 相等6. 圆的切线与半径垂直于（）。

A. 圆心B. 切点C. 直径D. 切线7. 圆的内接四边形的对角线（）。

A. 相等B. 互补C. 垂直D. 平行8. 圆的外切四边形的对角线（）。

A. 相等B. 互补C. 垂直D. 平行9. 圆的内接三角形的三边（）。

A. 相等B. 互补C. 垂直D. 平行10. 圆的外接三角形的三边（）。

A. 相等B. 互补D. 平行二、填空题（每题2分，共20分）1. 圆的直径是10cm，那么它的半径是_______cm。

2. 一个圆的面积是50πcm²，那么它的半径是_______cm。

3. 圆的周长是62.8cm，那么它的直径是_______cm。

4. 圆的周长是44cm，那么它的半径是_______cm。

5. 圆的半径增加2cm，那么它的面积增加_______cm²。

6. 圆的半径减少1cm，那么它的周长减少_______cm。

7. 圆的直径增加3cm，那么它的面积增加_______cm²。

8. 圆的直径减少2cm，那么它的周长减少_______cm。

9. 圆的半径是5cm，那么它的直径是_______cm。

10. 圆的直径是8cm，那么它的半径是_______cm。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知圆的半径为7cm，求圆的周长和面积。

2021-2022学年最新北师大版九年级数学下册第三章圆章节测评试题(含详细解析)

北师大版九年级数学下册第三章圆章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（）A ．32 B C D 2、如图，O 的半径为10cm ，AB 是O 的弦，OC AB ⊥于D ，交O 于点C ，且CD =4cm ，弦AB 的长为（）A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm3、下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径4、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝37°，则∠AOB的度数是（）A．73°B．74°C．64°D．37°5、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54°B．56°C．64°D．66°6、如图，边长为）A ．B ．23π C ． D ．7、下列说法正确的是（）A ．弧长相等的弧是等弧B ．直径是最长的弦C ．三点确定一个圆D ．相等的圆心角所对的弦相等8、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 为⊙O 上一点，若∠ACB ＝70°，则∠P 的度数为（）A ．70°B ．50°C ．20°D ．40°9、下列叙述正确的有( )个.（1）y y =随着x 的增大而增大；（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；（3）斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；（5）以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，不是直角三角形． A ．0 B ．1 C ．2 D ．310、在半径为6cm 的圆中，120︒的圆心角所对弧的弧长是（）A ．12πcmB ．3πcmC ．4πcmD ．6πcm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将Rt△ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与零刻度线的一端重合，∠ABC ＝38°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是 ___．2、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．则∠APB =________度；3、如图，O 为ABP △的外接圆，2AB =，30APB ∠=︒，则O 直径长为______．4、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别以点A 、C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若6AC =，35CAB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）5、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，4AC =cm ，3BC =cm ，5AB =cm ，则CPB △的面积为_______cm 2．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，-1），以O 为圆心，OA 长为半径画圆，P 为平面上一点，若存在⊙O 上一点B ，使得点P 关于直线AB 的对称点在⊙O 上，则称点P 是⊙O 的以A 为中心的“关联点”．（1）如图，点1(1,0)-P ，211,2()2P ，36(0,)5P 中，⊙O 的以点A 为中心的“关联点”是________；（2）已知点P （m ，0）为x 轴上一点，若点P 是⊙O 的以A 为中心的“关联点”，直接写出m 的取值范围；（3）C 为坐标轴上一点，以OC 为一边作等边△OCD ，若CD 边上至少有一个点是⊙O 的以点A 为中心的“关联点”，求CD 长的最大值．2、如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB 上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°，tan∠DAB＝13时，请直接写出CEBE的值．3、如图，AB是⊙O的直径，DB DE=，连接DE、DB，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O 的切线交AB的延长线于点C．（1）求证：DE＝DM；（2）若OA＝CD＝4、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AD平分BAC∠交⊙O于点D，连接BD，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点E．则CAD BDE∠=∠．下面是证明CAD BDE∠=∠的部分过程：证明：如图②，连接DO ， AB 是⊙O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ODA ∴∠+①________90=︒．（1） DE 为⊙O 的切线，90ODE ∴∠=︒，90ODB BDE ∴∠+∠=︒，（2）由（1）（2）得，②________________． AD 平分,BAC CAD OAD ∠∴∠=∠．,OA OD OAD ODA =∴∠=∠，CAD ∴∠=③________，CAD BDE ∴∠=∠．任务：（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；（2）若5,2OA BE ==，求DE 的长．5、如图，AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，==AC CD DB ，DE AC ⊥．求证：DE 是O 的切线．-参考答案-一、单选题1、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．2、A【分析】如图所示，连接OA ，由垂径定理得到AB =2AD ，先求出6cm OD OC CD =-=，即可利用勾股定理求出8cm AD ，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA ，∵半径OC ⊥AB ，∴AB =2AD ，∠ODA =90°，∵4cm CD =，∴6cm OD OC CD =-=，∴8cm AD ==，∴216cm AB AD ==，故选：A ．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．3、C【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D进行判断．【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；C、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；D、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．4、B【分析】根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知∠AOB=2∠ACB=74°，即可得出答案．【详解】解：由图可知，∠AOB在⊙O中为AB对应的圆周角，∠ACB在⊙O中为AB对应的圆心角，故：∠AOB=2∠ACB=74°．故答案为：B．【点睛】本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概念是解本题的关键．5、A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB ＝90°，∠A ＝∠BCD ＝36°，然后利用互余计算∠ABD 的度数．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠DAB ＝∠BCD ＝36°，∴∠ABD ＝∠ADB ﹣∠DAB ，即∠ABD ＝90°﹣∠DAB ＝90°﹣36°＝54°．故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6、A【分析】正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正三角形的面积为：162⨯=三个小半圆的面积为：(213182ππ⨯⨯⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=，所以阴影部分的面积为：18162πππ-=，故选：A【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．7、B【分析】利用圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、能够完全重合的弧是等弧，故错误，是假命题，不符合题意；B、直径是圆中最长的弦，正确，是真命题，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，是假命题，不符合题意；D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理，难度不大．8、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA ，OB ，∵PA ，PB 为⊙O 的切线，∴∠OAP =∠OBP =90°，∵∠ACB =70°，∴∠AOB =2∠P =140°，∴∠P =360°-∠OAP -∠OBP -∠AOB =40°．故选：D ．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．9、D【分析】根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．【详解】y =当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确；如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；∵圆的直径所对的圆周角为直角∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确；三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确；∵224212124m m m⎛⎫--+=⎪⎝⎭∴2 42422221211442m m m m mm⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭∴以2211(1)22m mm m-+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；故选：D．【点睛】本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．10、C【分析】直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．【详解】解：由题意得：120︒的圆心角所对弧的弧长是12064 180180n rπππ⨯==；故选C．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．二、填空题1、76°或142°【分析】设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD，根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可．【详解】解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，∴∠BOD=2∠BCD，①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；②若BC为等腰三角形的腰时，当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，故答案为：76°或142°．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．2、60【分析】先根据圆的切线的性质可得90OAP ∠=︒，从而可得60PAB ∠=︒，再根据切线长定理可得PA PB =，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．【详解】解：,PA PB 是O 的切线，,PA PB OA AP ∴=⊥，90OAP ∴∠=︒，30OAB ∠=︒，60PAB OAP OAB ∴∠∠=∠-=︒，PAB ∴是等边三角形，60APB ∴∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 3、4【分析】连接OA 、OB ，根据圆周角定理得出∠AOB =60°，证明△AOB 为等边三角形，进而求出直径．【详解】解：连接OA 、OB ，∵30APB ∠=︒，∴∠AOB =60°，∵OA =OB ，∴△AOB 为等边三角形，∵2AB =，∴OA =OB =2，则O 直径长为4；故答案为4．【点睛】本题考查了圆周角的性质和等边三角形的性质与判定，解题关键是连接半径，证明三角形是等边三角形．4、74π##【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO 和扇形CFO 的面积之和．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴6AC BD ==，OA OC OB OD ===，AB CD ∥，∴3OA OC ==，35ACD CAB ∠=∠=︒， ∴图中阴影部分的面积为：2353723604ππ⨯⨯=．故答案为：74π．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5、1.5【分析】根据BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，得出点P 是ABC ∆的内心，并画出ABC ∆的内切圆，再根据切线长定理列出方程组，求出BCP ∆的边BC 上的高，进而求出其面积．【详解】解：BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，∴点P 是ABC ∆的内心．如图，画出ABC ∆的内切圆，与BC 、AC 、AB 分别相切于点G 、M 、N ，且连接PG ，设CG x =，BG y =，AF z =，得方程组：354x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 1PG x ∴==，CPB ∴∆的面积21131 1.5()22BC PG cm =⨯⨯=⨯⨯=．故答案为：1.5．【点睛】此题主要考查三角形内切圆的应用，解题的关键是熟知三角形内切圆的性质，根据其性质列出方程组求解．三、解答题CD．1、（1）P1，P2；（2）m≤（3）1【分析】（1）根据题意，点P的对称点的轨迹是以A为圆心2为半径的圆，则平面上满足条件的点P在以A 为圆心2为半径的圆上或圆内，据此即可判断；（2）根据（1）的结论求得A与x轴的交点即可求解；（3）根据题意可知，平面上满足条件的点P在以A为圆心2为半径的圆上或圆内，根据题意求CD的最大值，即求得OC的最大值，故当C点位于y轴负半轴时，画出满足条件的等边三角形△OCD，进而根据切线的性质以及解直角三角形求解即可【详解】（1）根据题意，点P的对称点的轨迹是以A为圆心2为半径的圆，则平面上满足条件的点P在以A 为圆心2为半径的圆上或圆内，,P P符合条件，由图可知12故答案为：P1，P2；M N，（2）如图，设A与坐标轴交于点,2,1AM AQ AO ===,AO MN ⊥MO ∴=则OM NO ==∴m ≤（3）如图，由题意可知，平面上满足条件的点P 在以A 为圆心2为半径的圆上或圆内因此满足条件的等边三角形△OCD 如图所示放置时，CD 长度最大，设切点为G ，连接AG∵∠AGC =90°，∠OCD =60°，AG =2∴sin 60AG AC ==︒∴1CD OC ==【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，切线的性质，等边三角形的性质，从题意分析得出“点P 的对称点的轨迹是以A 为圆心2为半径的圆”是解题的关键．2、（1）45°；（2）AE +CE ，理由见解析；（3【分析】（1）连接AC ，证A 、B 、E 、C 四点共圆，由圆周角定理得出∠AEB ＝∠ACB ，证出△ABC 是等腰直角三角形，则∠ACB ＝45°，进而得出结论；（2）在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，证△ABF ≌△CBE （SAS ），得出∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，由等腰三角形的性质得出FH ＝EH ，由三角函数定义得出FH ＝EH ，进而得出结论；（3）分两种情况，由（2）得FH ＝EH ，由三角函数定义得出AH ＝3BH ＝32BE ，分别表示出CE ，进而得出答案．【详解】解：（1）连接AC ，如图①所示：∵α＝90°，∠ABC ＝α，∠AEC ＝α，∴∠ABC ＝∠AEC ＝90°，∴A 、B 、E 、C 四点共圆，∴∠AEB ＝∠ACB ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB ＝45°，∴∠AEB ＝45°；（2）AE+CE ，理由如下：在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图②所示：∵∠ABC ＝∠AEC ，∠ADB ＝∠CDE ，∴180°﹣∠ABC ﹣∠ADB ＝180°﹣∠AEC ﹣∠CDE ，∴∠A ＝∠C ，在△ABF 和△CBE 中，AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△CBE （SAS ），∴∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，∴∠ABF +∠FBD ＝∠CBE +∠FBD ，∴∠ABD ＝∠FBE ，∵∠ABC ＝120°，∴∠FBE ＝120°，∵BF ＝BE ，∴∠BFE ＝∠BEF ＝11(180)(180120)3022FBE ︒︒︒︒⨯-∠=⨯-=， ∵BH ⊥EF ，∴∠BHE ＝90°，FH ＝EH ，在Rt△BHE 中，1,2BH BE FH EH ====，∴22EF EH ===， ∵AE ＝EF +AF ，AF ＝CE ，∴.AE CE =+；（3）分两种情况：①当点D 在线段CB 上时，在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图②所示，由（2）得：FH ＝EH ， ∵tan∠DAB ＝13BH AH =， ∴332AH BH BE ==，∴32CE AF AH FH BE ==-==，∴CE BE =； ②当点D 在线段CB 的延长线上时，在射线AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图③所示，同①得：3,32FH EH AH BH BE ====，∴32CE AF AH FH BE ==+==，∴CE BE综上所述，当α＝120°，1tan 3DAB ∠=时，CE BE 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．3、（1）见详解；（2）4π-【分析】（1）连接AD ，根据弦、弧之间的关系证明DB =DE ，证明△AMD ≌△ABD ，得到DM =BD ，得到答案．（2）连接OD ，根据已知和切线的性质证明△OCD 为等腰直角三角形，得到∠DOC =45°，根据S 阴影=S △OCD -S 扇OBD 计算即可；【详解】解：（1）如图，连接AD ，∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB =∠ADM =90°，又∵DB DE =，∴ED =BD ，∠MAD =∠BAD ，在△AMD 和△ABD 中，ADM ADB AD AD MAD BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AMD ≌△ABD ，∴DM =BD ，∴DE =DM ；（2）如上图，连接OD ，∵CD 是⊙O 切线，∴OD ⊥CD ，∵OA =CD=OA =OD ，∴OD =CD=∴△OCD 为等腰直角三角形，∴∠DOC =∠C =45°，∴S 阴影=S △OCD -S 扇OBD =142π⨯=-；【点睛】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．4、（1）ODB ∠，ODA BDE ∠=∠，ODA ∠；（2）DE =【分析】（1）由AB 是⊙O 的直径，得到ODA ∠+∠ODB 90=︒．再由DE 为⊙O 的切线，得到90ODB BDE ∠+∠=︒，即可推出∠ODA =∠BDE ，由角平分线的定义可得CAD OAD ∠=∠，由OA OD =，得到OAD ODA ∠=∠，即可证明CAD BDE ∠=∠；（2）在直角△ODE 中利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图②，连接DO ， AB 是⊙O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ODA ∴∠+∠ODB 90=︒．（1） DE 为⊙O 的切线，90ODE ∴∠=︒，90ODB BDE ∴∠+∠=︒，（2）由（1）（2）得，∠ODA =∠BDE ． AD 平分BAC ∠，∴CAD OAD ∠=∠．OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴CAD ∴∠=∠ODA ，CAD BDE ∴∠=∠．故答案为：① ODB ∠，② ODA BDE ∠=∠，③ ODA ∠；（2）DE 为O 的切线，90ODE ∴∠=︒．5OA =，5OD OB OA ∴===，2BE =，7OE OB BE ∴=+=．在Rt ODE △中，DE =【点睛】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．5、见解析【分析】连接OD ，根据已知条件得到1180603BOD ∠=⨯︒=︒，根据等腰三角形的性质得到∠ADO ＝∠DAB ＝30°，得到∠EDA ＝60°，求得OD ⊥DE ，于是得到结论．【详解】证明：连接OD ，∵==AC CD DB ， ∴1180603BOD ∠=⨯︒=︒． ∵CD DB =， ∴1302EAD DAB BOD ∠=∠=∠=︒．∵OA OD =，∴30ADO DAB ∠=∠=︒．∵DE AC ⊥，∴90E ∠=︒．∴90EAD EDA ∠+∠=︒．∴60EDA ∠=︒．∴90EDO EDA ADO ∠=∠+∠=︒．∴OD DE ⊥．∴DE 是O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019九年级数学下册期中重点圆测试题6(含答案解析)2019九年级数学下册期中重点圆测试题6(含答案解析) 一．填空题（共19小题）1．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．2．一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为．3．已知一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为cm（结果保留根号）．4．将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．5．如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为cm2．6．底面周长为10πcm，高为12cm的圆锥的侧面积为．7．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为．8．已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．9．小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为cm2．（结果保留π）10．一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是厘米2（结果保留π）．11．用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为cm．12．用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径．13．已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的高是cm．14．从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是米．15．底面直径和高都是1的圆柱侧面积为．16．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为cm3．17．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．（1）当m= 时，n=；（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为．18．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）．设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路经长为．19．正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正确结论是（填写序号）二．解答题（共11小题）20．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．21．以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且 = ．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．22．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．23．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．24．⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．25．⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．26．⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．27．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．28．⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．29．在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC 于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=2 ，CE：EB=1：4，求CE的长．30．AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA=∠ABC；（2）过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若sin∠P= ，CF=5，求BE的长．2019九年级数学下册期中重点圆测试题6(含答案解析)参考答案与试题解析一．填空题（共19小题）1．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 2 ．考点：圆锥的计算．分析：易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．解答：解：扇形的弧长= =4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．2．一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为12π．考点：圆锥的计算．分析：据扇形的面积公式求出扇形的圆心角，再利用弧长公式求出弧长，再利用圆的面积公式求出底面半径，求得底面积后即可求得全面积．解答：解：∵ =8π，∴解得n=180则弧长= =4π2πr=4π解得r=2，∴底面积为4π，∴全面积为12π．故答案是：12π．点评：本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的侧面积公式得到圆锥的底面半径的求法．3．已知一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为cm（结果保留根号）．考点：圆锥的计算．分析：利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．解答：解：设圆锥的母线长为R，π×R2÷2=2π，解得：R=2，∴圆锥侧面展开图的弧长为：2π，∴圆锥的底面圆半径是2π÷2π=1，∴圆锥的高为．故答案为．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．4．将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是 6 ．考点：圆锥的计算．分析：根据弧长求得圆锥的底面半径和扇形的半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．解答：解：∵弧长为6π，∴底面半径为6π÷2π=3，∵圆心角为120°，∴ =6π，解得：R=9，∴圆锥的高为 =6 ，故答案为：6 ．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，难度一般．5．如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为108πcm2．考点：圆锥的计算．分析：首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．解答：解：设AO=B0=R，∵∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，∴ =12π，解得：R=18，∴圆锥的侧面积为lR= ×12π×18=108π，故答案为：108π．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．6．底面周长为10πcm，高为12cm的圆锥的侧面积为65πcm2．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面积公式：S= al，直接代入数据求出即可．解答：解：设圆锥的底面半径为r，母线为a，∴r= =5，∴a= =13，∴圆锥的侧面积= ×10π×13=65π，故答案为：65πcm2．点评：此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．7．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为．考点：圆锥的计算．分析：让周长除以2π即为圆锥的底面半径；根据圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长可得圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高．解答：解：∵圆锥的底面周长为6π，∴圆锥的底面半径为6π÷2π=3，∵圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长，∴母线长=2×12π÷（6π）=4，∴这个圆锥的高是 = ，故答案为：．点评：考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长．8．已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为15π．考点：圆锥的计算．分析：根据已知和勾股定理求出AB的长，根据扇形面积公式求出侧面展开图的面积．解答：解：∵OB= BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：×6π×5=15π．故答案为：15π．点评：本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是扇形，掌握扇形的面积的计算公式是解题的关键．9．小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为200πcm2．（结果保留π）考点：圆锥的计算．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：底面半径为8cm，则底面周长=16π，侧面面积= ×16π×25=200πcm2．故答案为200π．点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式，熟练记忆圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．10．一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是2π厘米2（结果保留π）．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥侧面积的求法：S侧= ?2πr?l=πrl，把r=1厘米，l=2厘米代入圆锥的侧面积公式，求出该圆锥的侧面积是多少即可．解答：解：该圆锥的侧面积是：S侧= ?2πr?l=πrl=π×1×2=2π（厘米2）．故答案为：2π．点评：此题主要考查了圆锥的侧面积的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：S侧= ?2πr?l=πrl．11．用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 3 cm．考点：圆锥的计算．分析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．解答：解：圆锥的底面周长是：=6π．设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π．解得：r=3．故答案是：3．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 1 ．考点：圆锥的计算．分析：正确理解圆锥侧面与其展开得到的扇形的关系：圆锥的底面周长等于扇形的弧长．解答：解：根据扇形的弧长公式l= = =2π，设底面圆的半径是r，则2π=2πr∴r=1．故答案为：1．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．13．已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的高是8 cm．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到?2π?r?10=60π，解得r=6，然后根据勾股定理计算圆锥的高．解答：解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得?2π?r?10=60π，解得r=6，所以圆锥的高= =8（cm）．故答案为8．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是米．考点：圆锥的计算．分析：圆的半径为1，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．解答：解：作OD⊥AC于点D，连接OA，∴∠OAD=45°，AC=2AD，∴AC=2（OA×cos45°）=∴ = π∴圆锥的底面圆的半径= π÷（2π）= ．故答案为：．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．15．底面直径和高都是1的圆柱侧面积为π．考点：圆柱的计算．分析：圆柱的侧面积=底面周长×高．解答：解：圆柱的底面周长=π×1=π．圆柱的侧面积=底面周长×高=π×1=π．故答案是：π．点评：本题考查了圆柱的计算，熟记公式即可解答该题．16．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为 2 cm3．考点：圆柱的计算．分析：作出该几何体的俯视图，然后确定底面圆的半径，从而求得正方体的棱长，最后求得体积．解答：解：该几何体的俯视图如图：∵圆柱底面周长为2πcm，∴OA=OB=1cm，∵∠AOB=90°，∴AB= OA= ，∴该正方体的体积为（）3=2 ，故答案为：2 ．点评：本题考查了圆柱的计算，解题的关键是确定底面圆的半径，这是确定正方体的棱长的关键，难度不大．17．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．（1）当m= 时，n= ﹣1 ；（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为．考点：圆的综合题；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义．分析：（1）当m= 时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角∠APM为90°，根据PA=PM可得∠PAM=∠PMA=45°，则有NO=AO=1，即可得到n=﹣1；（2）当m从变化到时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m= 时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m= 时，连接PM，如图3，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．解答：解：（1）当m= 时，连接PM，如图1，则有∠APM= ×360°=90°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=45°．∴NO=AO=1，∴n=﹣1．故答案为﹣1；（2）①当m= 时，连接PM，如图2，∠APM= 360°=120°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．在Rt△AON中，NO=AO?tan∠OAN=1× = ；②当m= 时，连接PM，如图3，∠APM=360°﹣×360°=120°，同理可得：NO= ．综合①、②可得：点N相应移动的路经长为 + = ．点评：本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．18．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）．设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路经长为．考点：圆的综合题；轨迹．分析：当m从变化到时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m= 时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m= 时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．解答：解：①当m= 时，连接PM，如图1，∠APM= ×360°=120°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．在Rt△AON中，NO=AO?tan∠OAN=1× = ．②当m= 时，连接PM，如图2，∠APM=360°﹣×360°=120°，同理可得：NO= ．综合①、②可得：点N相应移动的路经长为 + = ．故答案为．点评：本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．19．正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；② = ；③S△PDQ=；④cos∠ADQ= ，其中正确结论是①②④（填写序号）考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．专题：推理填空题．分析：①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1；②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到的值；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得 = = ，把AN=1﹣DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值．解答：解：正确结论是①②④．提示：①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1．故①正确；②连接AQ，如图2．则有CP= ，BP= = ．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求得BQ= ，则PQ= ﹣ = ，故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求得QH= ，∴S△DPQ= DP?QH= × × = ．故③错误；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得 = = ，则有 = ，解得：DN= ．由DQ=1，得cos∠ADQ= = ．故④正确．综上所述：正确结论是①②④．故答案为：①②④．点评：本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强，常用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用．二．解答题（共11小题）20．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．考点：垂径定理；勾股定理；菱形的判定．分析：（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；（3）设DE=x，则根据CE2=DE?AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．解答：（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE?AE，设DE=x，∵B C=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD= = =2 ．点评：本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．21．以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且 = ．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由 = 得∠DAE=∠BAE，由AB为直径得∠AEB=90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；（2）由等腰三角形的性质得BE=CE= BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8，接着由AB为直径得到∠ADB=90°，则可利用面积法计算出BD= ，然后在Rt△ABD 中利用勾股定理计算出AD= ，再根据正弦的定义求解．解答：解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE=CE= BC= ×12=6，在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，∴AE= =8，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴ AE?BC= BD?AC，∴BD= = ，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD= ，∴AD= = ，∴sin∠ABD= = = ．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．22．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．考点：圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OB P中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°= ，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ= ；（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ= ，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP= OB= ，所以PQ长的最大值= ．解答：解：（1）连结OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，新-课 -标 -第-一-网∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B= ，∴OP=3tan30°= ，在Rt△OPQ中，∵OP= ，OQ=3，∴PQ= =；（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，PQ= = ，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP= OB= ，∴PQ长的最大值为 = ．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．23．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．考点：圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．分析：（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．∴BD= =5 cm．（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD= π?52﹣×5×5= cm2．点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．24．⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．分析：（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．解答：证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APE= AB?PE，S△ABC= AB?CF，∴S四边形APBC= AB?（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB= ，∴S四边形APBC= ×2× = ．点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．25．⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．分析：（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．解答：解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴ 的长= ．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10× ．点评：（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．26．⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理．分析：（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．解答：解：（1）∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC；（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，。