浅谈几何变换与辅助线
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧初中阶段的几何学习是数学学习中的重要组成部分，几何学的基本内容之一就是图形的性质和变换。
在解决几何问题的过程中，辅助线是一种常见的方法，在解决一些复杂问题时，辅助线可以起到很好的辅助作用，帮助我们更好地理解问题并找到解题的方法。
下面我们将从应用和技巧两个方面来探讨辅助线在初中几何解题中的重要性。
1. 在求证问题中的应用在求证问题中，辅助线可以很好的辅助我们证明问题的准确性。
当我们在证明两个三角形全等时，可以分别引入一个辅助线，从而将两个三角形分别转换为更易证明全等的几何形状。
这样可以更快更方便地完成证明过程，节约时间并且可以更清晰地展现证明的步骤。
在解决几何问题时，有时会遇到问题比较复杂或者题目条件不够，这时辅助线的引入就可以使问题变得更简单一些。
在计算一个多边形的面积时，可以通过引入一些辅助线，将多边形分解成一些易于计算的图形，然后逐一计算再相加，从而得到整个多边形的面积。
这样不但可以简化计算过程，而且还可以降低错误的概率。
在求角度的问题中，辅助线可以帮助我们更加清晰地看到角度之间的关系，通过引入辅助线，将问题中的角度变得更加容易求解。
有时，引入的辅助线还可以帮助我们找到一些隐藏的等角关系，从而简化几何问题的解决过程。
1. 熟练掌握基本画线技巧在使用辅助线时，首先要具备一定的画线技巧。
掌握好画线的方法可以帮助我们更加准确地引入辅助线，使其发挥好的作用。
使用直尺时要保持笔尖和直尺之间的垂直，画线时要尽量不用折叠纸张，保持线条的准确性和连贯性。
2. 善于发现线索，灵活运用辅助线在解决几何问题时，有时要从问题中找出一些关键的线索，善于发现问题中存在的一些长线和短线，然后根据这些线索来引入辅助线。
在引入辅助线时，要灵活运用各种几何知识，善于发现问题中的对称性、相似性等等，从而更好地利用辅助线来解决问题。
3. 小心选择辅助线的引入顺序在使用辅助线时，要小心选择辅助线的引入顺序，有时辅助线之间的顺序可能会影响到解题的方向和结果。
辅助线难做，没思路，可能是因为初中几何“三大变换”实质没抓住
辅助线难做，没思路，可能是因为初中几何“三大变换”实质没抓住有时候初中几何题难做，大多是因为辅助线不好找，没有思路，于是过多去思考辅助线的技巧，当旁人稍稍点明以后总有恍然大悟的感觉，其实通过认真观察研究会发现，证明题作完辅助线以后所得图形离基本离不今天要说的：•平面几何三大基本变换，平移、旋转和对称观察问题将所要求证的与“基础知识”联系起来才是我们解决问题的根本方法，平时先理清知识再去练习技巧和总结方法，解题的时候可以先找是否可以利用这三大变换，解完题以后再去回顾相关知识，慢慢就能达到常说的做一题通一类。
•平常说的一题多解往往就是因为经过各种变换之后可以利用不同的知识进行求解，一题多解只是方法，总结这些方法用的相关知识才是能力的提升，比如哪些是对称，哪些是旋转。
•初中几何证明题中基本的许多性质都源于图形本身的'变换特征'，初中阶段最为重要和最为常用的图形关系'全等三角形'在很多情况具有'变换'形式的联系.两个三角形全等本是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及三角形关系的时候，大多数都和位置相关，成轴对称关系（有时候表现为折叠），或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）。
因此，在解决具体的几何相关问题时，如果我们有意识地从所求出发，结合图形的关系中所显示或暗示的'变换特征'，从而识别、构造出基本图形或图形关系，这将对解决问题有着极为重要的启发和引导的作用.接下来我们从变换视角以题目中三角形的全等关系为主进行研究.下面以两个'旋转'类题目进行分析。
•解决几何类型问题的能力，关键是要善于从综合与复杂的图形中识别然后构造出基本图形及基本的图形关系，而'变换'的概念和思路能很好地提高我们这种识别和构造的能力.例1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．•考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。
初中几何常用辅助线做法
常用辅助线做法➢考点考向1. 与角平分线有关的辅助线2. 与线段长度相关的辅助线3. 与等腰、等边三角形相关的辅助线4. 与中点相关的辅助线5. 构造一线三垂直（等角）6. 等面积法常见辅助线的作法总结1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)构造等腰三角形或作等腰三角形的高利用“三线合一”性质。
7)作三角形的中位线。
8)引平行线构造全等三角形。
9）特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）10）构造三垂直模型。
✧考点一：与角平分线有关的辅助线（1）可向两边作垂线。
（2）可构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形【例1】已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．✧考点二：与线段长度有关的辅助线（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
谈谈我对几何变换的认识
谈谈我对几何变换的认识就解决平面几何问题而言，觉得具体的辅助线，都可以通过传统的局部处理，如延长、作角相等、作平行、作垂直等等而实现。
辅助线的添加似乎与几何变换扯不上关系。
但采用几何变换的观点，从整体高度，更加容易看清图形之间的内在联系。
粗糙地说，传统添加辅助线的方法有点“小家子气”，高度不够。
在遇到较为困难的几何问题，要发现辅助线的添加，比较困难。
而几何变换考虑图形之间的整体联系，更容易发现解决问题的关键所在。
纵观最近几年各地中考试卷，对于一些问题的解决，如果不从变换的观点去分析思考，要发现问题的解决思路，则是相当困难的．另外，我们对几何变换有一种错觉，认为在“全等变换”中，“几何变换＝平移＋旋转＋翻折”。
其实，这样对“几何变换”的理解是不全面的，其实将一个几何图形任意拨动一下，都可以理解成是一次几何变换。
我们这里主要讲全等变换，暂不想扯到相似变换。
将所有复杂的变换分解，最后只有三种最基本的变换：平移、旋转、翻折。
反之也是，你将平面上的图形任意拨动一下，其过程效果一定可以通过上述三种变换来完成，少一个肯定不行。
下面干脆一些，还是讲题目吧。
这样教师们听起来更加感性。
此题网友们研究比较多，各种解法也比较多。
但对于我来说，我的理解是这样的。
就是说→那问题就完啦我不在乎将过程理解什么样的几何变换，我只在乎“拼接”的结果，将问题解决就行。
考虑时间时间，详细解答过程，我就不在这里阐述了。
下面看第2题此题也非常经典。
解法众多。
其中类似“倍长中线”的手段用得最多。
我已经解释了，何必纠集于过程是什么变换呢？只要达成解决问题的效果就行。
在刚刚前面问题的基础上，如何解决下面问题呢？又如何解决下面问题呢？就是说，这个经典问题可以出现三个系列甚至更多小题。
我的解法或许与大家的想法不是太相同。
我考虑上下两个三角形，有两个角互补，又有边相同，所以我萌生将这两个三角形拼在一起的想法。
事实上，这样一想，前面的问题可以全部解决。
平几辅助线的好帮手—几何变换
如 图 ５ 连结 Ｂ ｉ ， 为 Ｂ Ｃ ， Ｃ， 殳 Ｃ， Ｄ的中点 ， 连结 Ｍ Ｎ，
Ｎ 显然 ＭＮ ／ Ｄ 且 ２ Ｉ Ｅ， ／Ｂ Ｍ＇ ｖ＝Ｂ Ｄ
，
】 ， ７
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浙江教 学研 究
Ｙ△ Ｃ Ｅ是 △ ， ， Ｄ
．
如图 ６ 将 ｃ ， 沿 Ｅ）平 移 至 Ｃ Ｄ 连结 ｃ 作 △ｃ Ｄ １ Ｉ ， ａ 关于 Ｏ 的轴对称 图形△ Ｃ Ｉ ． Ｃ ＤＩ ｌ ｆＬ １ ２ 且 ｃ １ Ｅ为矩 形可 得 Ｂ， ， １ 别在 同 ￣ ＝ ， ｃＤ ＣＤ 分
内
．
（ 电可 用将 △ Ｃ Ｅ绕 点 沿顺 时针 方 向旋转 Ｉ Ｃ来 Ｄ Ｒ ４ 证， 亦可用将 △ Ｃ Ｅ绕 Ｅ点沿逆时针方 向旋转 １ 来证 ） Ｄ ８
０
图３ 图 １ 圈２
图４
（ ） 三 用平移 变换法证
｛ 用对称变换法证 一）
如 图 ４ 连结 Ｂ ， Ｂ 沿 Ｂ ＇ 行移 动 到 Ｃ 连结 ， Ｃ将 Ｄ Ｅ平 Ｄ， Ｄ Ｄ并延 长 ， 忸 的延 长线 交于 Ｆ， １ 与 此时 ， Ｃ Ｉ 为平行 四 Ｂ ＤＤ
变换 ” 。
下面给出几 道习题 ， 以供练 习
／ ‘ 一
， ．
１ 如 图 ７ 四边形 Ａ Ｃ ． ， Ｂ， Ｄ内接于圆 ， 且
Ｄ
Ａ Ｄ＝Ｂ 求证 ： Ｃ＋Ｂ Ｄ． Ａ Ｃ＜２Ｄ。 Ａ
（ 提示 ： 作ＡＡ Ｄ关于 Ｃ Ｃ Ｄ的轴对称 图
图 ６
图５
形△＾ Ｃ － Ｏ）
２Ｏ 年第 ２ Ｏ２ 期
丰富多彩 的定 理之中， 尤其是几何 图形 ， 的直观 性 、 构台 它 结 理性 、 图案 的对 称和新奇 性 ， 显示 出数学美 的价值 。学 生 更 在证几何 题的过程中领略 到数学的美 而表 现出满 足 、 奋和 兴 快感 ， 从而产生学 习数学的强烈欲望和动力 。可是 也有 为数 不少 的学生对静而不动的几何束手无策 、 毫无 趣 或者望而
初中 几何 辅助线 思路
初中几何辅助线思路
在初中几何中，当我们遇到一些看似复杂的问题时，常常需要添加辅助线来帮助我们解决问题。
以下是一些常见的添加辅助线的思路：
1. 构造中点：通过构造中点，我们可以利用中点定理来解决问题。
中点定理告诉我们，如果一条线段的中点被找到，那么可以通过这条中点作一条垂线或平行线，将问题简化为一个更简单的问题。
2. 延长或截取：在某些情况下，通过延长或截取线段，我们可以使图形的形状更加明显，从而更容易找到解题思路。
3. 平行线构造：平行线的性质可以为我们提供很多有用的信息。
通过构造平行线，我们可以利用平行线的性质来解决问题。
4. 作垂线：在处理与矩形、菱形等四边形有关的问题时，我们可以通过作垂线来构造直角三角形，从而利用勾股定理等三角函数性质来解决问题。
5. 利用30度角：在一些与30度角有关的问题中，我们可以构造一条过30度角的线段，从而利用30度角的一些特殊性质来解决问题。
6. 连接两点：连接两点构造一条线段，可以通过这条线段找到一些与问题相关的信息，从而更容易解决问题。
7. 作平行四边形：通过作平行四边形，我们可以利用平行四边形的性质来解决问题。
8、在添加辅助线时，我们需要注意以下几点：
要明确添加辅助线的目的，不要为了添加而添加。
要根据题目的条件和要求，选择合适的方法添加辅助线。
在添加辅助线后，要仔细分析图形的形状和性质，从而找到解决问题的关键点。
总之，在初中几何中添加辅助线是一项非常重要的技能。
通过不断练习和掌握常见的辅助线方法，我们可以更好地解决各种几何问题，提高自己的数学水平。
102条作几何辅助线的规律，以后再也不怕了！
102条作几何辅助线的规律，以后再也不怕了！几何中，同学们最头疼的就是做辅助线了，所以，今天数姐整理了做辅助线的102条规律，从此，再也不怕了！规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条.规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个.规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个.规律7.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角.规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个.规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°.规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个.规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.规律17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.规律18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.规律19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：①a＞b②a±b = c③a±b = c±d规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
初中数学须掌握的几何辅助线技巧
初中数学必须掌握的几何辅助线技巧01几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连线段和差及倍半，延长缩短可试验线段和差不等式，移到同一三角去三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，倍长中线得全等四边形平行四边形出现，对称中心等分点梯形问题巧转换，变为三角或平四平移腰，移对角，两腰延长作出高如果出现腰中点，细心连上中位线上述方法不奏效，过腰中点全等造证相似，比线段，添线平行成习惯等积式子比例换，寻找线段很关键直接证明有困难，等量代换少麻烦斜边上面作高线，比例中项一大片圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连切线长度的计算，勾股定理最方便要想证明是切线，半径垂线仔细辨是直径，成半圆，想成直角径连弦弧有中点圆心连，垂径定理要记全圆周角边两条弦，直径和弦端点连弦切角边切线弦，同弧对角等找完要想作个外接圆，各边作出中垂线还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦内外相切的两圆，经过切点公切线若是添上连心线，切点肯定在上面要作等角添个圆，证明题目少困难02由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自己试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180°。
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE。
略谈添加辅助线的原理和技巧
略谈辅助线的添加原理与技巧几何问题是困扰学生的一大难题，尤其是需要添加辅助线的几何问题．科学、准确地引导学生添加每一条辅助线，能帮助学生揭开辅助线的神秘面纱，攻克几何难题．1．把握基本图形是科学添加辅助线的前提（1）把握基本图形的特征.初中几何问题是由有限的几种基本图形演绎而来．学生只有熟悉了基本图形组成的线条及其条件和结论的特征，把握了基本图形的总体轮廓，就能在解决几何问题时联想到科学合理的辅助线．一个定理、概念就有一个基本图形．在概念和定理的教学中教师不必过于追究文字的描述，而应突出其基本图形的特征，把定理的条件和结论直观地表述在图形中，使之成为一个整体，成为基本图形的符号标志，通过观察图形，培养学生的视觉美感．教师还可以给基本图形取一个直观的名字，便于学生记忆，如双垂图（如图1）、角平分线图（如图2）、垂直平分线图（如图3）等等，也有利于学生把握基本图形的特征．图1 图2 图3（2）关注基本图形的变形.几何定理和概念描述的是具有某些共同属性的几何图形所具有的共同的性质．组成这些图形的线条和基本条件相同，但线条的位置和长度却千变万化．在概念和定理教学中，图4 图5教师要对基本图形的位置和形状进行各种变式训练．如遇到涉及角的图形要画出锐角、直角、钝角的各种变式让学生辨认，不断变换角度大小、几何元素间的相互位置，对一个基本图形作翻折、旋转等变化，让学生从各个角度去认识图形，提高学生对图形的欣赏、鉴别能力．如图4就是三合一图的三种不同形状，各种形状还可以变化出各种不同位置的图形．（3）学会几何图形的分解.几何图形由若干基本图形组成．把一个几何图形分解为基本图形是解决几何问题的关键．在分析过程中，可用不同颜色的笔勾画出基本图形，也可把基本图形从复杂图形中抽出来，如图5可分解为角平分线图（图6（1））、等腰三角形图（图6（2））、双垂图（图6（3））三个基本图形．（1）（2）（3）图62．捕捉辅助线的信号是快捷添加辅助线的思维起点学生添加辅助线往往是盲目的、试探性的．究竟从哪里入手添加辅助线才既快捷又准确？（1）从题设入手添加辅助线题设是添加辅助线的第一信号来源．为了应用已知条件，必须把条件涉及的几何元素归到基本图形中，如果基本图形不全，就要添加辅助线，构成完整的基本图形．例1 如图7，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD，垂足为D，AB=12，AC=18，求DM的长．图7 图8分析：本题有非常明显的图形特征：AD是∠A的平分线，BD⊥AD，自然联想起三合一图，从而延长BD，与AC相交于点N．这条辅助线的思维起点就是题目中的题设条件．从题设出发添加辅助线的情况很多，如在梯形中已知两腰的关系，可以平移腰；在圆中已知直径，可以作出直径所对的圆周角等．（2）从结论入手添加辅助线结论是添加辅助线的第二信号来源．通过添加辅助线可以把结论涉及的几何元素还原到基本图形中，或者让基本图形显现出来．例2 如图8，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD 为BC 边上的高，点E 为BC 的中点，求证：12D E A B =．（1） （2）图9 分析：本题常用的辅助线有两种：取AC 的中点G 点，连结EG 、DG （如图9（1））；取AB 的中点F ，连结EF 、DF （如图9（2）），添加这两种辅助线的出发点都来自题目的结论．例3 如图10，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°,求证：EF =BE +DF ．图10 图11 分析：本题的常规辅助线是延长CB 到点G ，使BG =FD ，这样添加的出发点就是题目的结论：EF =BE +DF ．根据题目结论涉及的线段或角寻找基本图形，通过添加辅助线让这些几何元素归位“回家”是一般的思考模式．（3）两者兼顾，才是科学的选择.从题设入手添加辅助线方便进行综合推理，但不一定就能完成推理；从结论入手添加辅助线易于进行逆向分析，但不一定就能完成证明．二者兼顾，才是科学的选择．例4 如图11，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，M 、N 分别是DC 、AB 的中点．求证:()12M N A B C D =- ．（1） （2） （3）图12分析：本题若从已知条件出发，第一方案就是延长AD 和BC ，构建直角三角形（如图12（1）），可是这样对处理()12M N A B C D =-是不明朗的；第二个方案就是平移梯形的腰（如图12（2）），集中聚拢∠A 和∠B ，也形成了A B C D -，可是此方案没有联系题目中的中点条件．所以需要同时平移梯形的腰AD 、BC （如图12（3）），这样既能考虑题设条件，也能兼顾结论．例5 如图13，M 为正方形A B C D 边A B 的中点，E 是A B 延长线上的一点，M N D M ⊥，且交C B E ∠的平分线于N ．求证：M D M N =．图13分析：在本题的解答过程中，大部分学生过点N 作N F B E ⊥，然后证明△DAM ≌△MFN ，最终没能成功．原因是这条辅助线没有利用题设中的中点条件．如果取AD 的中点G ，连接MG ，这样就能两者兼顾，从而顺利解决问题．3. 掌握辅助线的添加原则是合理添加辅助线的依据（1）难点优先添加辅助线可以化繁为简，化难为易，所以优先处理题中繁难的式子，可以将其抽象出基本图形．例6 如图14（1），△ABC 中，AB =AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD =60°，1902A D B B D C ∠=︒-∠，求证：AB =BD +CD ．图14（1） 图14（2） 图15（1） 图15（2） 分析：本题添加辅助线有两个难点：一是1902A D B B D C ∠=︒-∠，二是AB=BD+CD．基于“难点优先”的原则，想到了作这样的辅助线：延长AD和延长BD至点E，使DE=CD这样的辅助线（如图14（2））．（2）结论优先添加辅助线的最终目的是证明结论，从题设出发添加辅助线往往有多种可能，并不是每一条都能很快得到命题的结论，故通常优先考虑根据结论添加辅助线．例7如图15（1），BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是 B F的中点，AD⊥BC垂足为D，与BF相交于点E．求证：BE·BF＝BD·BC．分析：本题若从题设出发，考虑添加的辅助线就是由直径构建直径所对的圆周角，可连结AB、AC或连结FC，但是选择连结AB、AC并不能出现与结论有关的线段．考虑到构造与结论BE·BF＝BD·BC有关的线段比例关系，我们可选择连结FC（如图15（2））．（3）能不分就不分有些辅助线添加后，会把图中的线段或角分割成几部分，这样对线段或角的处理就比较麻烦，一般的原则是“能不分就不分”．再谈前面例3的辅助线作法，一些学生会试作AG⊥EF（如图16），然后试图证明BE=EG,DF=GF．看上去这是个不错的选择，可是难以证明．这是因为辅助线AG把∠EAF 分成了两部分，不便于应用条件∠EAF=45°．图16 图17 图18再看例4中图12（2）的辅助线，正是因为把线段MN分成了两条线段，而这两条线段又不能独立处理，所以证明就难以进行．（4）能“天然”不“人为”辅助线具有构造图形的功能，常见的有构造线段或角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等．这些构造有些是人为得，有些是通过作平行线、作垂线或直接延长相交而得（姑且称之为“天然”）．通常情况下，我们能“天然”不“人为”．例8如图17，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为腰AB和腰CD的中点，求证：EF ∥BC ，()12E F B C A D =+．分析：本题的难点是对B C A D +的处理，若延长BC 到点G ，使得CG =AD ， “人为”形成B C A D +，也是可以证明的．但这时候必须证明A 、F 、G 三点共线，学生要么不会证明，要么就不证明．所以本题还是延长AF 、BC 相交于点G ，“天然”形成B C A D +，比较易于问题的解决．4. 吃透辅助线的灵魂实质，应对千变万化的几何问题例9 如图18，△ABC 的角平分线AD 交BC 边于D ，E 为BC 上一点，且DE =DC ，过E 点作EF ∥AB 交AD 于点F ,求证：EF =AC ．本题辅助线的作法：延长AD 到点G ，使DG =AD ，连结EG ； 或延长AD 到点H ，使DH =DF ，连结CH ．图19 图20 图21例10 如图19，M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 和AB 的中点，连结CM 、DN 相交于点P ，连结BP ，求证：BP =BC ．本题辅助线的作法：延长DN ，交CB 的延长线于点Q ．例11 如图20，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别为对角线AC 、BD 的中点，求证：EF ∥BC ，()12E F B C A D =-．本题辅助线的作法：连结DF 并延长，与BC 相交于G 点．这几个问题的图形各不相同，添加的线条和添加的方式也不一样，研究发现所构建的基本图形一样（如图21）．从本质上来说属于“倍长中线”．“倍长中线”是一种较为常见的添加辅助线的方法，其作法是遇到中线就延长．可是这几个问题中，没有涉及中线，甚至没有三角形，学生根本想不到“倍长中线”．其实，“倍长中线”的实质是利用中点构建全等三角形．这几个几何图形中都应用了中点条件构建全等三角形，只是添加的部位或添加的方式不同．学生掌握了“倍长中线”的实质，就能正确添加辅助线．任何一种辅助线不可能是单一的，添加的部位和叙述方式也许不一样，但构建基本图形的实质是一致的．几何问题和几何图形是千变万化的，所以怎样添加辅助线也就成为了一道难题．辅助线最科学的添加方法既要与各个原则不发生冲突，又要考虑图形的合理性，也就是美感．只有合理的才是最美的．。
辅助线基础知识点
辅助线基础知识点
辅助线是指在几何图形中，为了便于解题而添加的辅助线条。
辅助线的作用是使原本复杂的几何图形变得简单，从而更容易解题。
在学习几何学时，辅助线是一个非常重要的概念，下面我们来了解一下辅助线的基础知识点。
1. 辅助线的种类
辅助线的种类有很多，常见的有平行线、垂直线、角平分线、中垂线等。
在解题时，我们需要根据题目的要求选择合适的辅助线。
2. 辅助线的作用
辅助线的作用是使原本复杂的几何图形变得简单，从而更容易解题。
通过添加辅助线，我们可以将一个几何图形分解成若干个简单的几何图形，从而更容易求解。
3. 添加辅助线的方法
在添加辅助线时，我们需要根据题目的要求选择合适的辅助线。
一般来说，我们可以通过以下几种方法来添加辅助线：
（1）平移法：将几何图形平移一定距离，从而形成新的几何图形。
（2）垂线法：在几何图形中，通过某一点作一条垂线，从而将几何图形分成两个部分。
（3）角平分线法：在几何图形中，通过某一角的顶点作一条角平分线，从而将角分成两个相等的角。
（4）中垂线法：在几何图形中，通过某一线段的中点作一条垂线，从而将线段分成两个相等的线段。
4. 辅助线的应用
辅助线在几何学中有着广泛的应用。
在解决几何问题时，我们可以通过添加辅助线来简化问题，从而更容易求解。
例如，在求解三角形的面积时，我们可以通过添加高线来求解；在求解圆的面积时，我们可以通过添加半径来求解。
辅助线是几何学中非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解几何图形，更容易解决几何问题。
在学习几何学时，我们需要掌握辅助线的基础知识点，从而更好地应用辅助线来解决问题。
辅助线技巧在初中几何中的应用
辅助线技巧在初中几何中的应用
初中几何是数学中的重要分支之一，其中辅助线是解决几何问题的关键。
在初中几何中，我们需要掌握一些作辅助线的技巧，这些技巧可以帮助我们更好地解决几何问题。
下面是一些常见的作辅助线的技巧:
1. 利用平行线的性质作辅助线：在解决几何问题时，我们可以利用平行线的性质，即两条平行线之间的距离永远相等，而且它们所对应的角也永远相等。
利用这个性质，我们可以作出许多重要的辅助线，比如作出两条平行线之间的距离，或者作出两个角相等的辅助线。
2. 利用三角形的性质作辅助线：在解决几何问题时，我们可以利用三角形的性质，即三角形的内角和总是 180 度。
利用这个性质，我们可以作出许多重要的辅助线，比如作出三角形的三个内角，或者作出三角形的一个外角。
3. 利用对称性质作辅助线：在解决几何问题时，我们可以利用对称的性质，即对称轴、对称点、对称中心等。
利用这些性质，我们可以作出许多重要的辅助线，比如作出对称轴，或者作出对称点、对称中心等。
4. 利用向量知识作辅助线：在解决几何问题时，我们可以利用向量的知识，即向量的加法、减法、数乘等。
利用向量的知识，我们可以作出许多重要的辅助线，比如作出向量加法的终点，或者作出向量减法的终点。
除了以上几种技巧外，还有许多其他的作辅助线的技巧，比如利用相似三角形的性质作辅助线，利用圆的性质作辅助线等。
在初中几何中，我们需要掌握这些作辅助线的技巧，以便更好地解决几何问题。
初中数学几何辅助线作用
初中数学几何辅助线作用几何学作为数学的一个分支，是研究空间中的图形、大小、相对位置等问题的学科。
在几何学中，辅助线是指在解决几何问题时，临时引入的辅助线段。
引入辅助线可以帮助我们更好地理解、分析和解决几何问题，下面就来了解一下辅助线的作用。
作用一：简化问题辅助线能够将复杂的几何问题变得简单，从而更容易找到解决问题的方法。
在一个几何问题中，引入适当的辅助线，可以将问题重新描述，使得问题的关键点和关键线段更加明晰，问题变得更加易于处理。
有时候，问题看起来十分困难，但是只需引入合理的辅助线，问题可能就会变得简单。
例如，在解决一个三角形中某一内角平分线所对应的边的问题时，往往可以引入中线，将三角形分成两个小三角形；或者可以引入两条平行线，将大三角形划分为多个小三角形，从而使问题变得简单。
作用二：提高定位能力在解决几何问题时，准确的定位非常重要。
辅助线能够帮助我们更准确地定位问题中的各个点和线段。
例如，在求解一个多边形的面积时，将多边形划分成多个小三角形，就能够更准确地确定多边形各个角的位置。
辅助线的作用就是能够帮助我们在几何图形中更精确地定位各个关键点，从而有利于解决问题。
作用三：推导逻辑在几何题目中，辅助线不仅可以简化问题，同时也可以帮助我们推导出一些积木证明。
通过引入合适的辅助线，消掉不必要的元素，我们可以更好地理解几何问题并且发现规律。
这样，我们就可以用更加清晰的逻辑证明几何性质。
例如，在证明某一个三角形的中心和内心、外心等位置的问题中，引入合适的辅助线，可以清晰地描述出图形的几何特征和变化过程，从而更容易推导出关键的结论。
作用四：扩展思维引入辅助线并不会改变原来的几何图形，仍然是一个几何图形，但是它能够提高我们的几何思维能力，让我们对几何信息有更深入的理解。
通过思考引入辅助线的目的和作用，我们可以培养出多种解决问题的思维方式，例如通过构造相似图形、平移旋转等方法，推导出更多的结论，并把它们应用到更复杂的几何图形中。
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧初中几何是学生学习数学中的重要一部分，几何知识广泛应用于生活和科学技术中，因此掌握几何知识对学生来说非常重要。
在几何学习中，辅助线是一个非常有用的解题工具，能够帮助学生更好地理解和解决问题。
本文将讨论辅助线在初中几何解题中的应用与技巧。
一、什么是辅助线辅助线是在几何图形中，为了方便解题而临时添加的直线。
添加辅助线的目的是为了简化问题，使原先复杂的几何图形变得更易解。
通过添加辅助线，可以更清晰地看清关键关系，从而更容易得到问题的解答。
1. 求证问题在求证问题中，经常会遇到需要使用辅助线来简化问题。
证明两个三角形全等，或证明两个角相等等问题，添加合适的辅助线可以使问题更加直观、清晰，更容易得到证明过程。
2. 求解长度或面积问题在求解长度或面积问题中，添加辅助线可以帮助学生更好地理清问题结构，从而更容易得到问题的解答。
求三角形面积时，可以通过添加高作为辅助线，从而简化问题，使问题更容易解决。
在求解角度问题中，经常需要使用辅助线来辅助推导出关键角度的大小。
一般情况下，添加辅助线可以使问题简化，更容易得到解答。
通过以上例子，可以看出辅助线在初中几何解题中具有非常重要的作用。
添加适当的辅助线，可以使问题更加清晰、直观，更容易得到解答。
三、辅助线的添加技巧1. 尽量选择简单的线在添加辅助线时，应尽量选择简单的线。
过于复杂或难以理解的辅助线可能会使问题变得更加复杂，得不偿失。
2. 考虑几何关系在添加辅助线时，需要考虑几何图形的关系，选择能够帮助理清关键关系的辅助线。
这样可以使问题更加直观和清晰。
3. 熟练掌握基本几何知识熟练掌握基本几何知识对于正确添加辅助线非常重要。
只有对基本几何知识掌握得很好，才能根据几何图形的特点和规律选择正确的辅助线。
四、辅助线解题技巧与方法1. 观察几何图形的特点和规律在解决几何问题时，首先要观察几何图形的特点和规律。
只有明确了几何图形的特点和规律，才能更好地选择添加适当的辅助线。
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧1. 引言1.1 辅助线在初中几何解题中的应用与技巧在初中几何学习中，辅助线是一个非常重要的工具。
它不仅可以帮助我们简化问题，解决复杂的几何难题，还可以提高我们的解题效率。
在解题过程中，正确选择和构造辅助线至关重要。
使用辅助线可以简化问题，将原本复杂的几何难题转化为更容易解决的形式。
通过引入辅助线，我们可以改变角度，增加线段，扩展图形，从而找到更直观的解题思路。
辅助线通常是我们在问题中添加的额外线段，通过这些线段的引入可以使问题变得清晰明了，更容易得出答案。
在选择和构造辅助线时，需要根据具体问题的要求进行分析和判断。
我们可以通过观察图形的特点，找出其中的相似三角形或平行线等性质，然后根据这些性质来选择合适的辅助线。
构造辅助线时，需要确保它能够辅助我们解决问题，并且要注意辅助线的长度和位置，以确保解题的准确性。
利用辅助线求解几何问题的步骤通常包括：观察和分析题目，确定问题的要求和条件，选择合适的辅助线，利用辅助线简化问题，进行计算和推理，最终得出结论。
在证明中，辅助线的应用可以帮助我们证明一些几何定理或性质。
通过引入辅助线，我们可以在证明过程中找到更直观的证据，使得整个证明过程更加清晰和简洁。
在应用辅助线时，需要掌握一些技巧。
比如可以利用相似三角形性质、角平分线、垂直平分线等几何知识来选择和构造辅助线，从而更加高效地解题。
掌握辅助线在初中几何解题中的应用与技巧可以帮助我们提高解题效率，加深对几何知识的理解，提升解题能力。
通过不断练习辅助线的应用，我们可以培养解决问题的思维能力，为今后的学习打下坚实的基础。
2. 正文2.1 使用辅助线简化问题辅助线在初中几何解题中扮演着重要的角色，可以帮助我们简化问题、找到解题思路，提高解题效率。
在解决一些复杂的几何问题时，常常可以通过引入适当的辅助线来化繁为简，简化问题的结构，使得问题更易于理解和解决。
使用辅助线简化问题的方法有很多种，其中一种常见的方法是引入平行线或垂直线。
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧初中几何是数学中很重要的一部分，学习初中几何需要具备扎实的空间想象力和几何直觉，更需要掌握一定的解题技巧。
辅助线作为解决几何问题的常用技巧之一，能够帮助学生找到规律，提高解题速度和准确率。
本文将介绍辅助线在初中几何解题中的应用与技巧。
1. 用对称性辅助线对称性辅助线是指通过对称性将原图形分成若干对称部分，然后使用这些对称部分之间的关系，引出问题中的条件并得到结论。
对称性辅助线的优点在于能够把原问题简化，通过成对角形、成等角形和成比例等几何关系，得到原问题难以发现的一些性质。
例如，在如下图所示的正三角形ABC中，辅助线AD将三角形分成两个等边三角形ACE 和ABD，由于三角形ACE和ABD共顶点A，且AE=AD=DB=BC，因此它们都是等腰三角形，所以∠CAD=∠CBA，从而可以得出角度∠A=60°。
这个问题如果没有辅助线可以利用对称性，很难得到正确答案。
因此在初中几何中，对称性辅助线是一种非常有用的技巧。
平移、旋转和对称辅助线是通过模仿某种变换（平移、旋转或对称）来引出问题的一些条件和结论。
平移、旋转和对称辅助线能够在不失一般性的情况下（因为它们是对称、相似或全等变换），使得问题变得更加简单。
因此，在初中几何中，这种辅助线是一种非常重要的技巧。
3. 用垂线、平行和中垂线辅助线垂线、平行和中垂线辅助线主要是解决关于直线和平面上的点和线的位置关系的问题，结合垂直角和平行线的性质寻找几何规律。
这些辅助线的方法很常见，可以经常用到。
垂线、平行和中垂线辅助线是初中几何中最常用的技巧之一，几乎可以用来解决所有求点的位置关系问题。
总结辅助线在初中几何解题中的应用与技巧就是上述三种方法（对称性、平移、垂线和中垂线），因为它们不仅提高了解题速度和准确率，而且不失一般性，特别适合用来寻找几何规律。
但是在使用辅助线之前需要先建立基本的几何概念和几何定理。
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧辅助线在初中几何解题中具有重要的应用与技巧。
辅助线的运用可以帮助我们解决一些复杂的问题，缩小解题难度，提高解题效率。
下面将介绍辅助线在初中几何解题中的常见应用与技巧。
1. 辅助线的选择选择合适的辅助线是解题的关键。
辅助线应该尽量简单，能够缩小问题的难度。
一般来说，我们可以通过观察题目的特点，寻找与之相关的几何图形进行辅助线的选择。
常见的辅助线有：中线、角平分线、垂线等。
2. 辅助线的构造在选择了合适的辅助线之后，我们需要进行辅助线的构造。
在构造辅助线的过程中，需要注意一些技巧。
可以利用给定的角度关系构造角平分线或垂线。
利用图形的特点，可以构造与辅助线垂直或平行的线段。
如果有可能，可以将几何图形划分为几个简单的部分，然后逐个解决，最后再综合考虑整体。
3. 辅助线的作用辅助线的引入可以帮助我们发现几何图形的一些性质或关系。
通过引入辅助线，我们可以将原来复杂的几何问题简化成一些简单的图形，从而更容易得出结论。
辅助线还可以引出一些特殊的直角三角形或相似三角形，以便进一步运用几何定理进行推理。
4. 辅助线的判断在解题过程中，有时我们可能引入了不必要的辅助线，或者引入的辅助线并不能解决问题。
在引入辅助线之后，我们需要对辅助线进行判断。
需要检查辅助线是否与已知条件或待证明的结论有关联。
辅助线应该有实际的作用，能够在解题过程中提供有效的帮助。
辅助线的构造应该符合几何定理或性质，不应该违反几何规律。
5. 辅助线的运用举例辅助线在初中几何解题中的应用非常广泛。
举几个例子，以说明辅助线的具体运用。
例一：已知一个三角形ABC，AB=BC，D为BC边上的一个点，连接AD。
证明∠BAC=∠BCD。
解题思路：可以画AD的角平分线BE，证明∠BAE=∠BED，再利用AB=BC可得∠BAC=∠BCD。
例二：已知一个平行四边形ABCD，垂直于AB的直线交BC延长线于E，交CD延长线于F。
求证：AF=DE。
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧初中数学中的几何学是一个十分重要的学科，而辅助线在初中几何解题中起到了至关重要的作用。
辅助线的应用可以使得原本复杂的几何问题变得简单直观，因此熟练的掌握辅助线的技巧对于初中生来说是至关重要的。
本文将从辅助线的基本概念开始，结合具体的例题来介绍辅助线在初中几何解题中的应用与技巧。
一、辅助线的基本概念1.1 辅助线的定义在几何学中，辅助线是指为求解某一几何问题而人为添加的一条线。
辅助线的作用是将原本复杂的图形分割成简单的几何形状，使得求解问题变得更加直观和容易。
根据具体的几何问题，辅助线可以分为垂线、平行线、角平分线等不同类型。
选择合适的辅助线种类是解题的关键之一。
辅助线的作用主要有两点：一是简化几何问题，将原本复杂的问题转化为简单直观的几何图形或是基本的几何定理；二是帮助我们找到一些隐含的几何关系，从而能够更好地解决问题。
在解决与三角形相关的几何问题中，辅助线的应用尤为常见。
对于某一题目中的三角形，可能通过引入高、中线、角平分线等辅助线，将原本复杂的三角形问题转化为熟悉的直角三角形或等腰三角形问题，从而更容易求解。
举例：已知△ABC中AB=AC，D是BC的中点，连接AD，则△ABD≌△ACD。
在这个例子中，通过引入辅助线AD，将△ABC分割成两个等腰三角形△ABD和△ACD，从而得到△ABD≌△ACD。
这个例子充分展示了辅助线的作用，通过引入辅助线将原本复杂的问题转化为简单的几何关系。
2.2 四边形的辅助线对于四边形相关的几何问题，同样可以通过引入辅助线来简化问题。
举例：如图所示，ABCD是一个平行四边形，E为AD的中点，F为BC的中点，连接EF。
证明：EF=AB。
在这个例子中，通过引入辅助线EF，将原本的平行四边形问题转化为三角形问题，从而可以较容易地证明EF=AB。
在解决与圆相关的几何问题中，辅助线同样扮演着重要的角色。
举例：已知AB是圆O的直径，M为圆上一点，连接AM、BM，过M点作OH垂直AB于H，则证明：AM=BM。
几何分析的技巧
几何分析的技巧几何分析是一门研究几何图形的学科，通过运用几何变换、应用数学等方法来解决几何问题。
在进行几何分析时，我们可以运用一些技巧来帮助我们更好地理解和解决问题。
下面我将介绍几个几何分析的常用技巧。
1. 图形分解：当我们遇到一个复杂的几何图形时，常常可以将其分解成简单的几何图形，从而更好地理解和分析。
例如，我们可以将一个三角形分解成三个小三角形，或者将一个多边形分解成多个三角形，这样可以减少问题的复杂度，并且可以运用各种几何性质解决问题。
2. 平移、旋转和缩放：这是常用的几何变换，通过这些变换可以改变图形的位置、方向和大小，从而更好地观察和研究图形的性质。
平移是通过保持图形的大小和形状不变，将其整体移动到另一个位置；旋转是围绕某个点或轴进行旋转；缩放是通过改变图形的大小来观察其性质。
3. 利用对称性：对称性是几何分析中非常重要的一个思想，可以大大简化问题的分析和求解过程。
例如，当我们面对一个对称图形时，可以利用对称性来得到图形的一些性质，从而减少繁琐的计算。
此外，还可以利用对称性来构造辅助线或辅助图形，帮助我们解决问题。
4. 应用数学方法：几何分析与数学紧密相关，我们可以运用一些数学方法来解决几何问题。
例如，可以利用比例关系、代数方程、三角函数等进行分析和求解。
此外，还可以利用数学推理和证明方法来严谨地分析几何问题。
5. 利用已知条件：在进行几何分析时，我们通常会有一些已知条件，例如已知的边长、角度等。
我们可以利用这些已知条件来推导其他未知的关系，从而求解几何问题。
例如，根据已知的相似三角形关系可以求解其他未知的长度或角度。
6. 构造辅助线或辅助图形：当遇到一个复杂的几何问题时，我们可以通过构造一些辅助线或辅助图形来简化问题的分析和求解。
辅助线和辅助图形可以帮助我们得到一些更容易分析的几何关系，从而解决问题。
7. 思维的灵活转换：在进行几何分析时，我们需要具备一定的数学思维能力。
有时，一个问题可能看似没有解法，但通过灵活的思维方式，我们可以将问题转化成另一个等价的问题。
浅谈合同变换与平面几何辅助线聂士朋
浅谈合同变换与平面几何辅助线聂士朋作者：聂士朋来源：《青年时代》2017年第05期摘要：解证平面几何问题是中学数学学习的重要组成部分，找到已知量和未知量之间的关系是解决题目的关键，辅助线的构造可以释放隐藏条件，揭示几何图形的实质和因素之间的联系。
在中学数学学习中，合理的构造辅助线是学生学习的难点，中位线、中线、高线等一些辅助线的构造相对简单，但一些题目的解证需要更加巧妙的辅助线才能得到合理的方法和清晰的思路。
合同变换是联系不同图形之间的桥梁，利用合同变换，可以构造一些特殊的辅助线，发挥特殊的作用，使问题化繁为简，从而得到解证。
关键词：中学数学；平面几何；合同变化J辅助线中学阶段，几何问题的学学习从某种意义上来说，我们是用静的观点进行学习的，构造辅助线，就是一中初等几何的变换，在这个意义上，本文是用动的观点来学习几何学[1]。
本文先说明关合同变换的一些概念和性质，然后引用例题介绍了平移、旋转、对称三种合同变化在解证平面几何问题时的应用。
合同变化是指平面到自身的变换，对于平面上任意两点之间的距离保持不变。
合同变换主要有平移、旋转、对称三种形式。
一、平移平移的定义：对于平面上的任意一点P变换到P’，使得射线PP’有固定的方向和固定的长度，则这个平面到它自身的变换叫做平移变换，通常记为T（）。
平移变换有以下性质：1.平移变换下两点之间的距离保持不变。
2.平移变换下，直线变成与之平行的直线。
3.平移变换为合同变换，具有合同变换的所有性质（同素性、结合性、顺序性、平行性、正交性、对应线段、三角形合同）。
在平移变换T（）下，把X变换到X’，可表述为：在构造辅助线时，平行线的依据就是平移变换，它可以联系两条看似无关的直线或者线段。
例1、如图：已知P为平行四边形ABCD内一点，试证以PA，PB，PC，PD为边可构成一个凸四边形，其面积恰为平行四边形ABCD面积的一半。
分析：要证明这个问题，只要证明PA，PB，PC，PD四条线段可以连接为首尾相连的凸四边形而不改变线段的长度，构造辅助线，使得四条线段尽可能的联系在一起，是解决问题的关键，证：做平移变换T（），使得：由P得P’，连接P’B、P’C。
正方形中的辅助线与几何变换
正方形中的辅助线与几何变换
姚湘金
【期刊名称】《初中生必读》
【年(卷),期】2010(000)0Z1
【摘要】正方形虽然是最完美的四边形,但是解决正方形的问题,常常需要添加辅助线.由于正方形具有许多特殊性质,所以这些辅助线往往是与几何变换(指平移、旋转、对称三种全等变换)联系在一起的.变换后一般都构成全等三角形,使问题易于解决.【总页数】3页(P34-36)
【作者】姚湘金
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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浅谈几何变换与辅助线
一几何变换
1872年德国数学家教育学家克莱因建议几何学应按变换群分类，把几何学定义为在某种变换群下，研究图形的不变性质与不变量的一门学科。
按几何学的群论原则 , 每种变换群对应的一门几何学。
等长变换和相似变换构成群G2,它对应初等几何学( 欧氏几何)；仿射变换群G1对应仿射几何学;射影变换群G对应摄影几何学。
这三个群有 : G2 ∈ G 1 ∈ G 的关系。
二初等几何变换
初等几何就是在移动、相似变换群下研究图形的不变性质与不变量的几何学。
初等几何变换只改变图形的位置和大小，不改变图形的形状。
1.合同变换，若将一个图形F，经过某种变换而变为与自己合同的图形F’，那么这种变换叫做合同变换或者移置，这种变换只改变图形位置。
合同变换有下列三种：（1）平移、（2）旋转、（3）轴对称变换。
2.相似变换，若将一个图形F，经过某种变换变成与自己相似的图形F’，那么这种变换称为相似变换，这种变换改变图形大小，不改变形状。
位似变换是一种特殊的相似变换。
三中学大纲要求
1.通过具体实例认识平移和旋转，探索平移和旋转的基本性质。
2.在直角坐标系中，能写出已知顶点坐标的多边形沿一条坐标轴或依次沿两条坐标平移后顶点坐标，并知道对应坐标之间的关系，体会图形顶点坐标的变化。
3.了解图形位似的概念，知道利用位似把图形放大或缩小。
4.在直角坐标系中，探索将有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上的多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时，所对应图形的位似关系。
5.让学生认识和欣赏平移与旋转在自然界和现实生活中的应用，进一步发展空间观念，感受图形变换的美学价值。
四几何变换与辅助线
几何变换就是采用运动的观点研究几何图形的性质，它在证明题、求轨迹、解作图等方面有着广泛的应用。
解证几何题，除少数简单题目外，一般都需要添加辅助线。
有很多几何题的条件和结论分布在不同的图形里，位置分散，关系松懈，不容易发现它们之间的内在联系。
因而需要将其中一部分元素移动，使条件集中便于推证，反之，若条件过于集中，也要使之分散。
这种移动需要借助辅助线来实现,而辅助线的重要思维来源就是初等几何变换。
1 平移
把图形F上的所有点沿着相同的方向移动相同的距离而得到的合同图形F’，这一过程叫做平移。
例1 以△ABC三中线为边构成△A’B’C’,又以△A’B’C’三中线为边，△A”B”C”,求证△ABC～△A”B”C”,相似比是4:3.
引导：本题由于三角形三条中线相交于点G ，要以三条中线构成三角形必须使其
分散。
G 是重心，是三条中线的分隔点，有GD=3
1AD ，先考虑△A ’B ’C ’的边，注意到CG 是AB 边上中线的3
2，能否构造△CGE 与△A ’B ’C ’相似，且相似比是2:3.做辅助线BG 平移到CE,四边形BGCE 是平行四边形。
∠BDG+∠GDC=180°，又∠BDG=∠EDC,故∠GDC+∠CDE=180°，所以D D E 三点共线，又平行四边形对
角线互相平分，故GD=DE,GE=32AD,因此△CGE 各边长等于△A ’B ’C ’各边长的3
2倍，因此△CGE ～ △A ’B ’C ’，相似比是2:3，CD 是△CGE 的中线，CD=2
1BC,所以△A ’B ’C ’一条中线等于4
3BC ，另外两边通过相同方法可以得到相同结论，得证。
证明：将GB 平移到CE ，则BGCE 是平行四边形，其对角线互相平分与点D ，所以
△ GEC 各边是△ ABC 各中线的32，即相似。
由于GEC 的中线CD= 2
1CB,可见△A ’B ’C ’的一条中线等于 4
3 BC,其他边方法类似，故得证。
2 旋转
如果将图形F 上各点绕一定点O 旋转同一角度θ得到合同图形，这种变换叫旋转，O 叫旋转中心，θ叫旋转角。
当θ=180°时的旋转叫半周旋转，也叫中心反射或中心对称旋转。
例2 设三角形是正三角形，P 是三角形外任一点，求证PB+PC>PA.
引导：三条线段比较关系，要转化到同一三角形中，要证与的关系，应旋转，旋转多少度呢？有是正三角形，自然想到旋转60°，构造出正三角形。
证明：△BPC 绕点B 逆时针旋转60°成△BP’A ，连结PP’。
易知PB=P’B, ∠P’BP=60°，故△P’BP 为等边三角形，PP ’=PB,P ’A=PC,在△P P’A 中，P ’A+P ’P>PA,即PB+PC>PA 。
3 轴对称变换
把图形F 变换成关于定直线l 成轴对称的图形的过程叫轴对称变换或轴反射，l 叫反射轴。
例3 ∠ABD=∠ACD=60，∠ADB=90-2
1∠BDC,求证AB=AC
引导：证明两边相等，考虑转化到同一三角形中，题目给出的都是角的关系，通
过角证边。
注意到条件∠ADB=90-21∠BDC，自然可变式为∠ADB＋2
1∠BDC =90°，即2∠ADB＋∠BDC =180°，是一平角，故延长CD 至B ’，又注意到∠ADB ‘=∠ADB，因此应轴对称变换，以AD 为轴，做△ADB 的轴对称图形△ADB ’
证明：作△ABD 关于直线AD 的对称图形△AB’D ，由对称知AB=AB’, ∠ADB’+∠ADB+∠BDC=180°，C 、D 、B 共线，又∠ABD=∠AB’D =∠ACD=60°，AC=AB’,故AB=AC 。
4 位似变换
如果图形在变换时，使图形上任意一对对应点M 和M’满足：
（1）点M 和M’的连线都经过定点S ；
（2）SM’/SM=K,(K 为非零常数)。
则称这种变换为位似变换，点M’称为点M 关于点S 的位似点，定点S 叫做位似中心，K 叫做位似比或位似系数。
K>0时叫正位似，K<0时叫反位似。
在位似变换下的两个图形F 和F’称为位似形。
5 相似变换
由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。
一个图形经过相似变换得到的新图像叫相似形。
此时位似变换中的位似比称为相似比。
例5 证明（托勒密定理）圆内接四边形中两对角线之积等于两双对边乘积之和。
引导：圆内接四边形有同弧所对圆周角相等的性质，要证明AB·CD+AD·BC=AC·B D ，注意到BD=BE+DE,即 AB·CD+AD·BC=AC·（BE+DE ），通过相似可得到此关系式，故目的是应该找相似。
注意到∠ABD=∠ACD,故E 点应
该使∠BAE=∠CAD，这样可得到△ABE～△ACD →CD
BE AC AB =→AB ·CD=AC ·BE.下一个式子是AD ·BC=AC ·DE →BC
DE AC AD =,即需证明△ADE～△ACB。
证明：如图，在圆内接四边形ABCD 中，要证明AB·CD+AD·BC=AC·B D.作射线AE 交BD 与E 使∠BAE=∠CAD,又∠ABD=∠ACD ，于是△ABE ～△ACD,又∠BA C =∠E AD,∠ADE =∠BCA ，得 △ADE～△ACB,AB·CD=AC·BE,AD·BC=AC·ED,两式相加又B E +E D =B D 得证。
四．总结
中学平面几何千变万化，做辅助线的方法也不胜枚举，但是其思想来源还是初等几何变换，中学对初等几何变化不是很了解，很多老师也没有尝试过用这种思想来解题，我们可以转化思路，尝试用初等几何变换的思想来解题。
解题时抓住运动变化的本质，结合题目中的条件，根据初等几何变换的思想来寻找辅助线的做法，一切将会柳暗花明。