数学化
“数学化”——小学数学教学的回归
、
不 可 忽 略 的 “ 学 化 ” — — 数 学 数 脉
此 时 ．学 生 已 学 会 仿 照 老 师 的 做 法 ．通 过 作 图 ３来 对 自 己 的 判 断 加 以
思 维 的 基 本 形 式
数 学 化 ．是 一 条 保 证 实 现 数 学 整 体 结 构 的 广 阔 途 径 ． 这 一 思 维 方 式 的 完 整 表 述 不 仅 直 接 涉 及 如 何 南 现 实 原 型 抽 象 出 相 应 的 数 学 概 念 或 问 题 ，而 且 也 包 括 了对 丁数
维普资讯
Ｊａ ｇ ｕｌｏ ｕ ｌｎ ｓ ｊ ｙ ａ
小 吗？
教海探航 【 论
坛】
新课 程改 革重 视 数学 教学生 活 化 ． 引 导 学 生 存 活 动 『学 习数 学 ，使孩 子 们 感 到 ｝ Ｉ
直 观 上 ． 生 已 看 带 ｌ号 不 行 。 学 师 ： 带 ２号 去 行 吗 ？ 那 许 多 学 生 纷 纷 开 始 仿 照 老 师 作
学 生 在 进 一 步 的 判 断 中 了 解 问 题
的 本 质 ． 加 深 了 对 ｊ 角 形 的 六 要 素 的 认 识 ．同 时 叉 为 进 人 中 学 学 习 全 等三
●陈婷 婷
择 长 度 适 当 的 彩 带 美 化 嘏 年 卡 。 乍 看 这 一
教 学 片 断 似 乎 无 懈 可 击 ， 足 以 学 生 喜 欢 的 贺年 卡为 依托 ， 学生通 过测 量 、 作 、 让 合 实 践 等 方 式 参 与长 方 形 周 长 的 计 算 ， 充 分 体 现 了 数 学 教 学 生 活 化 、 动 化 的 理 念 然 而 活
系 贾 心 中 有 数 ． 中 有 序 ． 有 这 样 教 心 只 学 才 能 高 屋 建 瓴 ，学 生 的 数 学 思 维 也
计算教学中如何体现数学化思想
计算教学中如何体现数学化思想计算教学中如何体现数学化思想?计算关于同学来说,是学习和生活中必不可少的一项能力。
它是数学学科中的基础,关于同学掌握数学知识和解决数学问题非常重要,所以它占据了现行小学数学的大部分课程空间。
今天，朴新我给大家介绍有效的数学教学方法。
数学化思想在计算教学中的应用1.开放教学中的数形结合思想开放式题型主要是指现实背景条件不充分,答案不唯一或一题多解的题目。
在计算教学过程中,可以适度地引用这类开放式题型,有利于同学积极参加题目的创设,扩展同学的思维空间。
例如,"一杯果汁,甲第一次喝了半杯,第二次又喝了剩下的一半,甲一共喝了5次,计算甲一共喝了多少果汁?'教学时,让同学自己先思索计算,同学通过通分计算,因为数字较小,可以很快求出结果。
但是如果改变问题"甲在10次中一共喝了多少果汁',同学再使用通分就很困难。
这时可以采纳数形结合的方法,通过画图分析,先画一个正方形代表一杯果汁,即单位"1',然后依次画出它的1/2、1/4、1/81/256,通过图形与数字的结合就很容易看出所要求的结果。
数与形是数学教学研究中的两个侧面,把数量关系和空间形式结合起来,然后去分析和解决问题就是数形结合的思想。
上题就是利用简单的图形说明了数学中的本质特征,从而使同学的形象思维和抽象思维得到协调的发展。
2.计算教学中渗透的归纳思想归纳思想是小学数学教学中的一个重要思想方法。
在小学数学的教学过程中,正确运用归纳思想有利于同学把握事物的发展进程,对事物的内部结构、纵横关系、数量特征等形成较深入的熟悉。
例如,在教学"整数除以分数'的计算时,对36 4/10 怎样计算,同学想出了多种方法,如依据分数化小数及一个数除以小数的知识把除数化成小数、依据分数与除法的关系化成整数连除计算等等,充分展示了同学的思索过程。
以次类推再让同学多做些相关题型,让同学用自己的方法计算,比较各种方法的优缺点,并在此基础上组织同学讨论"怎样才干正确计算出结果',使同学心得到"除以一个数等于乘这个数的倒数'这样计算的优点。
数学化—数学课堂教与学的本质
数学化——数学课堂教与学的本质靖江外国语学校蔡瑾摘要：本文阐述了什么是数学化，给出课堂教学中数学化的案例，借助案例进一步解释数学化完全渗透在教师教与学生学的过程中，并就数学化对教师的课堂教学给出4点建议。
关键词：数学化水平垂直汉斯·弗赖登塔尔(Hans-Freudentha1,1905-1990年)是荷兰著名数学家、数学教育家，是20世纪最伟大、最具影响的国际数学教育权威。
他一生都在做教师，也一直在思考怎样该把教师做好。
对于数学教育，他认为，数学是“系统化了的常识”，即数学是现实世界的抽象反应和人类经验的总结；学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分，数学教育的目标就是数学化。
一、什么是数学化1.数学化弗赖登塔尔认为数学化，就是数学地组织现实世界的过程。
即人们在观察、认识、和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织，以发现其规律的过程。
在他看来，数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程。
从远古时代人们为了记数用石头、手指到引进自然数集；从人们为了测量、绘画到引进图形的概念；从等差、等比数列的求和方法抽象出其它具有共同特征的数列的求和方法；这些都是数学化的过程。
甚至可以说，整个数学体系的形成过程就是数学化的过程。
我们的数学教育应将数学与它有关的现实世界紧密联系在一起，通过“数学化”的途径来进行数学的教与学，从而使学生真正获得充满联系的、富有生命力的数学知识，让他们不仅能理解这些知识，而且能加以应用。
2.数学化的对象数学化的对象有两类：一类是现实客观事物，另一类是数学本身的内容，即符号、图形、公式、概念、定理等内容。
对第一类事物的数学化，指的就是将现实中的事物抽象成数学概念、数学式子、运算法则、数学定理等内容，对于复杂的问题指的就是建立数学模型，这个过程可以称为水平数学化。
对第二类事物的数学化，指的就是对数学本身的数学化，即数学知识的系统化、深化数学知识的过程。
数学化-新课标理念下学生数学学习方式的本质
一
、
“ 数学化” 思想的来源与解析
学知识进行分类 、 整理、 综合、 构造 ， 以形成不同层次的公
“ 数学化” 思想是荷兰著名数学教育家汉斯・ 弗赖登塔 尔于 １７ 年在他的巨著《 ９３ 作为教育任务的 数学》 一书中首 次提出的。 该书的 基本教育主张是： 数学应该属于所有的 人， 我们必须把数学教给他们。 但为了使所有学生都学到
就是数学化。数学化的对象可分为两类 ： 一类是现实客观
合起来 ， 使两者获得平衡的教育才是和谐的教育。”】 Ｉ ｌ 而学 习过程必然涉及客观世界 、 人和知识三者之间的关系。波 普尔曾把人类宇宙划分为三个世界 ： 外在的物质事物的世 界、 生活经验的世界与“ 第三世界 ”即文化一 （ 符号世界 ） ，
这三个世界密切联系而又相对独立 ，一起构成 了人化宇
宙１ ２ １ 。借鉴这个思维框架 ， 本文将学生的数学学习世界分
为外在的客观世界 、 学生先前 的知识与经验世界（ 包含于
事物 ， 另一类是数学本身。由于不同阶段的学生有不同层 次的数学现实，也就有形形色色的不同层次的数学化水
本文的数学现实 ） “ 与 第三世界”即数学文化一 （ 符号世界 ） 三部分 ， 只有将这三个世界联 系起来的学习才是有意义的 学习。在前期的关于学生数学学习方式的调查 中， 我们发 现大部分学生 的数学学习方式仍然是简单模仿 、 机械记忆 与重复练习， 反映出学生机械的、 被动的学习方式 ， 究其原 因是学生在学习数学时常常抛弃 、 排斥了先前的数学知识
化， 既可以是某些数学知识的深化， 也可以是对已有的数
与经验， 没有将数学学习的三个世界联系起来， 从而使得
自己的数学学习失去 了真正的意义。事实上 ， 学生学习数 学的方式 ， 其实质就是学习“ 数学化 ”弗赖登塔尔语 ）“ （ ，数 学化” 能有效地将三个世界联系起来 ， 能够反映学生数学
数学化的名词解释
数学化的名词解释数学是一门严密而抽象的学科，它通过符号和推理来研究数量、结构、变化以及空间等概念。
在数学的学习和研究过程中，我们会遇到许多特定的术语和名词。
这些名词具有其独特的定义和含义，它们是数学化思维的基石。
在本文中，我们将对一些常见的数学名词进行解释。
一、函数函数是数学中的基本概念之一，它描述了两个集合之间的对应关系。
具体而言，函数将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
函数由三个要素组成：定义域、值域以及对应关系。
定义域是输入值的集合，值域是输出值的集合，而对应关系则将定义域中的每个元素映射到值域中的唯一元素上。
函数在数学中的应用非常广泛，它能够描述各种关系和现象。
例如，在物理学中，时间和位置之间的关系可以用函数来表示；在经济学中，需求量和价格之间的关系也可以用函数来表示。
通过函数，我们可以把复杂的问题转化为简单的数学表达式，从而更好地理解和分析问题。
二、微积分微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是变化的过程。
微积分包括微分学和积分学两个部分。
微分学研究的是函数的变化率和导数，它描述了函数在每个点上的斜率和切线的性质。
积分学研究的是曲线的面积和函数的总变化量，它求解了函数的不定积分和定积分。
微积分的应用非常广泛，它在自然科学、工程学以及经济学等领域都有重要的应用。
例如，通过微积分，我们可以计算物体的速度和加速度，研究物理学中的运动问题；通过微积分，我们可以优化函数的形状和求解最值问题，帮助解决工程学中的设计和规划问题；通过微积分，我们可以计算曲线下的面积，揭示了经济学中的消费和生产关系。
三、线性代数线性代数是数学中的另一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换。
向量是线性代数中的基本概念，它表示具有大小和方向的量。
向量空间则是描述向量集合的数学结构，它包括了向量的加法和数乘运算。
线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射，它保持了向量空间中的线性关系。
线性代数的应用广泛，它在计算机图形学、物理学、统计学以及金融学等领域都发挥着重要作用。
数学生活化 生活数学化
数学生活化生活数学化新《课程标准》中指出:“数学教学要紧密联系学生的生活环境,从学生的经验和已有的知识出发,创设生动的数学情境。
”既然数学来源于生活,那么我们的数学教学就应该联系生活、贴近生活,让学生深刻体会到生活离不开数学,数学是解决生活问题的钥匙,从而加强数学学习的趣味性。
把数学教学与学生的生活体验相联系,把数学问题与生活情境相结合,让生活经验数学化,数学问题生活化。
一、创设生活情景,激发探索欲望托尔斯泰说过:“成功的教学所需要的不是强制,而是激发学生的学习兴趣。
”当学习内容和学生熟悉的生活情境越贴近,学生自觉接纳知识的程度就越高。
所以,在教学中教师要善于发现、挖掘数学内容中的生活情景,让数学贴近生活,多创设教学情境,从现实生活中引入数学知识,并以此让学生感悟到数学问题的存在,使学生发现数学就在身边,激发学生的求知欲望,从而使学生能积极主动地投入到学习、探索之中。
如在教学“分数的初步认识”时,创设淘气带来两个苹果,想和笑笑分享苹果的情景,平均每人分得几个?让学生用手指个数表示每人分到的苹果个数,学生很快伸出1个手指。
教师接着说要给智慧老人留一个,他们两人分吃一个苹果,现在每人分得多少?这时,许多学生说笑笑分得这个苹果的“一半”,淘气也分得这个苹果的“一半”。
教师进一步问:你能用什么方法来表示“一半”吗?学生被问住了。
此时,一种新的数(分数)的学习,激发了学生探索的欲望。
这样的导入既生动有趣,又蕴涵着新知识,也使学生认识到今天的学习内容在日常生活中经常见到并不陌生,让学生切实体验到身边有数学,用数学可以解决生活中的实际问题,从而激发学习动机以及学好数学的愿望。
培养学生凭借已有的生活经验和已有的知识分析、解决实际问题的能力。
在导入中创设情境,使课堂教学更接近现实生活,使学生如身临其境,激发学生去发现、去探索、去应用,从而对数学产生亲切感,增强了学生对数学知识的应用意识。
二、感受生活数学,让数学生活化生活离不开数学,数学来源于生活,数学与生活是永远无法剥离的。
什么叫数学化
什么叫数学化？什么是数学化，数学化的内涵是什么？数学化是弗赖登塔尔数学教育思想的核心，在弗赖登塔尔（(H.Freudenthal,19 05—1990)是国际上极负盛名的荷兰数学家和数学教育家.）看来，数学化有横向（水平）数学化和纵向（垂直）数学化之分，横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里符号的生成，重塑和被使用”。
也可以这样理解：横向数学化的产物是生成生活与数学的联系，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系。
如何处理好横向与纵向数学化的关系？弗赖登塔尔原来并不接受横向与纵向数学化的划分，但最终他不仅接受了这种划分的思想，甚至到了极力推崇的地步。
原因是如果用双重的二分法分别从横向数学化和纵向数学化进行分类，数学教育可以分成四种类型，且分别对应着的哲学观：1、缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义：2、横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义；3、横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义：4、横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义。
当下我国基础教育数学课程改革倡导现实主义的教学，横向数学化与纵向数学化要结伴而行，均衡发展。
数学课要上出数学味。
选择横向的和纵向的数学化两个标准，来设计和分析数学教学，会帮助教师更好地理解自己教学设计的明确的或含蓄的意图，防止数学教学偏离现实主义的正确道路。
例如，小学一年级学生怎样学习加法呢?首先，要向学生提供熟悉的现实情境：笑笑左手拿着2支铅笔，右手拿着3支铅笔，她一共有几文铅笔?其次，指导学生参与活动：①笑笑的一只手拿着几支铅笔，你就在本子上画几个小圆圈；②笑笑的另一只手拿着几支铅笔，你在本子上继续画上几个小圆圈；②数一数你的本子上一共画了几个小圆圈?④想一想：你所画的这些小圆圈表示什么意义?让每个学生都经历上述画图、数数与思考等数学活动，都体验并获得一个数学事实：2支铅笔与3支铅笔合起来一共有5支铅笔。
数学化
数学化报告随着科学教育的发达，“数学化”这一词语被提到的频率一下就高了起来。
我们先来理解一下什么叫做数学化，人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律，这个过程就是数学化；简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。
现实世界自始至终贯串在数学化之中，我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为“概念化”的数学化，它往往随着不同的认知水平而逐渐得到提高；与此同时，对这个概念的形成过程进行反思，作更为抽象与形式的加工，再用它来解决现实世界的问题，通过现实世界的调节作用，使数学化得到进一步的发展与演化，而由此形成的新的方法手段又能用于组织更高一层的现实世界，并产生新的数学概念。
现实世界的数学化就是这样，通过两者交融在一起，经常地相互反馈信息，促使数学现实世界与数学化持续不断地发展与提高，这就是数学科学持续发展的动力，这也同样应该成为数学教育持续发展的动力。
反思是数学化过程中的一种重要活动，它对数学活动的核心和动力。
数学的不少发现来自于直觉，而分析直觉、作出表达与解释，从而深入理解、作出判断并确认其推理过程，则是通向数学化的道路。
必须让学生学会反思，对自己的判断与经历的活动包括语言表达进行思考并加以证实，以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样的数学教学——以反思为核心——才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思维的内在实质，从而借助自己的数学知识与数学方法来为各种错综复杂的具体现象构造相应的数学模型，并解决实际问题。
“数学化”是一种组织与构建的活动，它运用已有的知识与技能去发现未知的规律、关系和结构。
根据特莱弗斯（Treffers）和哥弗里（Goffree）的提法，要以在数学化的过程中区分水平的和垂直的两种成分。
为了实现数学化的过程，首先要将问题运用数学的方式来陈述，即为了通过图式化与形象化的手段来发现规律与关系，首先必须从一般的背景中确认特殊的数学。
小学数学实验教学的“数学化”探寻
小学数学实验教学的“数学化”探寻小学数学实验教学是数学课堂教学的重要组成部分，它通过实践和探究，帮助学生理解数学知识，培养学生的动手能力和创新思维。
在实验教学中，数学老师们一直试图寻找一种更加有效的教学方式，以提升学生对数学的兴趣和学习效果。
将实验教学进行“数学化”探寻，是当前数学教学领域的一个热点问题。
那么究竟什么是“数学化”探寻呢？在小学数学实验教学中如何实现“数学化”探寻呢？下面让我们一起来探讨一下。
一、什么是“数学化”探寻1.选取适合的数学实验主题数学实验教学的第一步是选取适合的数学实验主题。
数学实验主题应当贴近学生的生活和实际，具有一定的数学深度和启发性。
比如可以选取“用手工制作正多边形”、“通过实验验证勾股定理”、“用实验方法求π值”等主题，通过这些实验主题，引导学生探究发现数学规律。
2.构思严密的实验设计在选定数学实验主题后，需要精心设计实验的过程和步骤。
实验设计应当清晰明了，能够引导学生完成实验过程，并有利于学生对数学知识的理解。
实验设计要具有一定的难度，能够激发学生的好奇心和求知欲。
数学老师需要在实验设计中充分考虑学生的实际情况，确保实验能够顺利进行。
3.引导学生自主探究在实验教学中，数学老师的角色不仅是指导者，更应当是学生思维的引导者。
数学老师要引导学生运用数学化思维方式，通过实验数据进行分析，提出问题，解决问题，培养学生的数学思维和创新能力。
在实验过程中，数学老师要适时给予学生一定的启发，帮助学生更好地理解数学知识。
4.总结和归纳实验结果实验教学完成后，数学老师还应当及时总结和归纳实验结果。
通过总结和归纳，可以帮助学生更好地理解数学知识，从实验结果中发现数学规律。
数学老师还应当引导学生将实验结果与数学知识相结合，帮助学生理解数学在实际生活中的应用。
5.巩固和拓展数学实验教学完成后，并不代表学习就结束了。
数学老师还应当安排相应的练习和拓展，帮助学生巩固所学的数学知识，并进一步拓展思维，提高学生的数学水平。
数学化
设 T 为一个周期内现金总需求量，F 为每次转换有价证 券的固定成本，Q 为最佳现金持有量， K 为有价证券利息 率，TC 为现金管理相关总成本。根据公式：现金管理相 关总成本 = 持有机会成本 + 固定性转换成本，我们可以得 出： • tc=(q/2)*K+(T/Q)*F • 令： dTC d dKC TC • dKC/dQ=0 0 0 dQ • • 得：Q=（2TFK）½ • 所求的Q的值就是其最佳营运资金。 • 上述导数在的经济分析中的应用，只是数学在浩人烟海 的经济应用中点滴晶莹的水花，其应用颇为广泛。
• 一、导数在最佳营运资金决策上的应用 • 导数是什么呢？简单来说，导数是函数关于自变量的 变化率，在经济学中，也存在变化率的问题。因此我们可 以把微观经济学中的很多问题归结到数学中来，用我们所 学的导数知识加以研究并解决。经济活动的目的，除了考 虑社会效益，对于一个具体的公司，决策者更多的是考虑 经营的成果，如何降低成本，提高利润；如何能让公司的 资金最大程度的周转，来使公司具备最佳的偿债能力等问 题。 • 营运资金又是什么呢？营运资金，也叫营运资本。 广 义的营运资金又称总营运资本，是指一个企业投放在流动 资产上的资金，具体包括现金、有价证券、应收账款、存 货等占用的资金。 狭义的营运资金是指某时点内企业的 流动资产与流动负债的差额。其作用是，可以用来衡量公 司或企业的短期偿债能力，其金额越大，代表该公司或企 业对于支付义务的准备越充足，短期偿债能力越好。
•
• 不仅此而已，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量 分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企 业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以 给企业经营者提供新的思路和视角，这是数学应用性的各门科学中，物理与数学关系最亲，可以说，数 学是物理学最铁的铁哥们。其它科学，如：生物学、 化学、医学等等，如果没有数学帮忙，还都能大差不 差的过得去，唯独物理学，如果没有数学的话，那简 直一天日子都过不下去。当初，要不是牛顿发明了微 积分，他的三大力学定律和万有引力定律，就很难唱 得出精彩的戏来。 尽管，数学家不是一心想去物理学家去攀亲戚，他 们多半时间象是山里的隐士，让自己的头脑在逻辑天 空中尽情翱翔，对凡尘的事置之度外。 。
典型的数学化转型案列
典型的数学化转型案列典型的数学化转型案例：从物理实验到数学模型引言：数学作为一门科学，既可以独立存在，也可以与其他学科相辅相成。
在实际应用中，数学模型的建立和应用已经成为各个领域的重要工具之一。
本文将以典型的数学化转型案例——从物理实验到数学模型为例，详细介绍数学化转型的过程和应用。
一、物理实验的基本原理物理实验作为一种科学研究方法，通过对物体的测量和观察，来研究物体的性质和规律。
物理实验可以提供可观测的数据，但在某些情况下，实验数据的分析和解释并不直观，需要借助数学模型来进行研究和预测。
二、物理实验的数学化转型1. 数据处理和拟合曲线在一些物理实验中，实验数据通常呈现出一定的规律，可以通过数学函数来描述。
例如，弹簧的伸长与受力之间的关系可以用胡克定律来描述，即弹簧的伸长与受力成正比。
在实验中测量不同受力下的弹簧伸长数据，可以通过拟合曲线来得到弹簧的劲度系数。
2. 系统建模在一些复杂的物理实验中，往往需要建立系统模型来描述实验现象。
例如，天体运动的研究中，可以通过建立质点的运动模型来研究行星的轨道运动。
这个模型可以通过牛顿力学的基本原理和数学方程来描述，从而得到行星的运动轨迹。
三、数学模型的应用1. 预测和优化通过数学模型，可以对物理实验中的现象进行预测和优化。
例如，在飞机设计中，可以通过数学模型来预测飞机的飞行性能和气动特性，从而优化飞机的设计方案。
2. 理论验证通过数学模型，可以对物理实验的结果进行理论验证。
例如，在量子力学中，通过数学模型可以对实验结果进行解释和预测，从而验证量子力学的理论。
3. 探索新领域数学模型的应用不仅局限于物理实验，还可以拓展到其他领域。
例如，在金融领域，可以通过数学模型来分析和预测股市的走势，从而指导投资决策。
结论：数学化转型是将物理实验中的现象和规律通过数学模型来描述和分析的过程。
数学模型的应用可以帮助我们更好地理解和解释实验结果，预测和优化实验过程，甚至拓展到其他领域。
弗莱登塔尔
数学现实”原则数学教育必须“源于现实, 寓于现实, 用于现实”。
即数学应该是“现实的数学.每一个人都有自己的“数学现实”, 即每个人接触到的客观世界中的数学规律以及有关这些数学规律的知识结构.数学教育就是要以这些数学现实为基础构造课程体系, 并通过这些课程扩展每个人的“数学现实”应用于现实世界, 造福于人类。
大多人的“数学现实”可能仅限于简单的几何形状以及数的运算，而一个数学家的“数学现实”则会包括希尔伯特空间和纤维丛。
教师的任务在于了解学生的数学现实，并由此出发来组织教学。
“数学化”原则弗赖登塔尔的名言是: 与其说让学生学习数学, 还不如说让学生学习“数学化”。
与其说让学生学习公理系统, 还不如说让学生学习“公理化”。
与其说让学生学习形式体系, 还不如说让学生学习“形式化”。
人们运用数学的方法观察世界, 分析研究各种具体现象, 并加以整理组织, 这个过程就是数学化。
简单地说, 数学地组织现实世界的过程就是数学化。
数学产生与发展的本身就是一个数学化过程, 人们用手指或石块的集合形成数的概念, 从测量、绘画形成图形的概念, 这也是数学化。
数学家从具体的置换群与几何变换抽象出群的一般概念,这也是数学化。
学生“数学化”的过程, 就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程, 它可以分为五个水平: 直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段和严谨阶段。
这一思维水平是根据儿童思维发展与学习过程提出的, 故而不是要求每个学生都要一次完成所有阶段。
不能过分强调公理化的演绛和形式化的证明, 而应符合学生的年龄特征。
“再创造,源则数学教育的重要原则是“再创造”。
数学是人们常识的系统化。
学生可以从接触的数学现实中经过“数学化”、“反思”之后形成更高层次的数学现实, 在形成高一层次的数学现实的过程中, 通过“再创造”得出许多数学成果。
数学与物理、化学不同, 如果没有物理实验你很难“再创造”出自己的物理知识。
可是数学不需要其他工具, 而是通过自己的“思想实验”创造数学知识的。
关于数学化的解读
2019/2/8
3
数学教育的四种分类
通过双重的二分法分别注重横向数学化和 纵向数学化来进行分类：在预期的学习过程 中，这样的一种或两种特性的存在或缺乏。
横向的 机械主义的 –
纵向的 –
经验主义的
结构主义的 现实主义的
2019/2/8
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2019/2/8
6
横向和纵向数学化的例子
多些或少些
同时构造两个集合也许是横向数学化， 而找出谁是谁的子集则是纵向的。或者换一 种情况，给两个集合数数是横向数学化，而 说出数数的顺序，听听哪个数在前边，就是 纵向的。
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2019/2/8
7
横向和纵向数学化的例子
பைடு நூலகம்
相加 （1）一个问题需要把5个和3个想象中的 石头弹子加起来，它可以用“手指的图式” 来进行横向数学化，而数手指的办法则是纵 向数学化。换一种说法即是，用5＋3的算术 和来表示前一个问题是横向数学化，而解答 结果则可以通过纵向地一个一个数、或用4＋ 4来代替，或用记忆等办法来得到。 （2）如果直到10的自然数都属于生活世 界，那么用（10－2）＋（5＋2）的办法求 解8＋5就是纵向数学化，而两个被加数的结 构则是通过横向获得的。
18
2019/2/8
解决实际问题的数学化的一般过程
解决实际问题的数学化的一般过程：
实际问题
（抽象、简化） （横向数学化）
数学课堂中的“数学化”
一、“数学化”的含义儿童如何建构自己对数学概念的理解？儿童之间理解上的差异是如何产生的？如何促进学生早期数学思维和数学能力的发展？为了解决这些问题，我们需要引入一个新的概念——“数学化”。
“数学化”是西方学者近年来提出的一个概念，具体是指师生在数学教学过程中共同努力、相互作用，使儿童准确理解数学表达或运算所需的规则和准则，最终形成自己关于各种物体和情境的数学模式。
“数学化”对于学生数学思维的发展和解决问题能力的形成非常重……二、“数学化”的过程研究儿童的“数学化”，我们要追溯到儿童在学校的最早几年。
从数学问题在课堂中出现开始，儿童就开始了数学化的过程。
下面，我们从教师的解释、学生的表征和早期的算式三个方面来分析儿童的数学化。
1.教师的解释黑板上画了四只站在电线上的鸟，旁边有三只正飞的鸟。
教师的任务是让孩子们把这样一幅图画理解为像7-3=4这样的“算式”。
这是一个最初步的数学化问题。
在教学中，教师常常把这些复杂的关系分解为一系列的程序或更小的步骤，花费大量的时间解说、指导和纠误，直到全班大多数学生理解了这些关系。
下面的教学录像片段典型地反映了这一过程。
师：在这个式子里，数字"4"的含义是什么？（手指数字"4"）生：是不是因为有四只鸟？（提高声音问）师：这儿有许多鸟（多于四只），但这四只鸟有什么特别的地方？生：（几个学生立即讨论起来）它们站着。
它们先来。
它们个头比较小。
它们睡着了。
师：那么，式子中数字"3"的含义是什么呢？（指着"3"）生：（几个学生）三只鸟在飞。
它们刚到这儿。
它们去回家。
不是，它们飞走了！师：好，它们飞走了。
那么，我们为什么又在这里写一个减号呢？（指着减号）生：因为它们飞走了。
师：那么等号的意思是……？生：（几个学生一起说）它们一共剩多少只？结果……总共剩下多少只？师：对。
结果总共剩下四只鸟。
很明显，通过如此的反复问答能够促进学生把图形表达和数式表达联系起来，形成解释规则的能力，在一些学生的思维中完成了最为初步的数学化。
数学化的例子
数学化的例子
1. 你知道吗，去超市买东西就是一个数学化的例子呀！比如你拿起一包薯片，看看价格，再想想自己兜里的钱，这不就是在计算性价比嘛！这和我们在课堂上学的数学计算有啥区别呢？
2. 哎呀，每天早上起床后安排时间也是呢！比如你要洗漱多久，吃早餐多久，然后决定几点出门，这不是在像做数学题一样安排时间嘛，你就说是不是！
3. 咱平日里做饭放调料也是呀！盐放多少，醋放多少，不就是在那儿估量嘛，这多像数学里的比例问题啊，你还能说这和数学没关系？
4. 嘿，你想想看，大家玩游戏得分的计算，是不是很数学化呀！像玩一些竞技游戏，计算自己的得分和排名，这简直就是数学的实际运用嘛，难道不是吗？
5. 逛街买衣服砍价的时候呀！你心里得有个底儿，这件衣服值多少钱，你想出多少钱买，这不就是在计算嘛，多明显的数学化例子呀！
6. 家里水电费的计算呢，每个月用了多少电，多少水，该交多少钱，这不是在运用数学知识来算嘛，这不是数学化是什么呀！
7. 考试得多少分能排名到前面去，这也是数学化呀！要计算自己的分数和别人的分数对比，多有意思的数学运用啊，对吧？
8. 外出旅游规划路线和预算，这不是和做数学题一样嘛！计算路程、花费，这难道不是在现实中数学化的体现嘛？
9. 看，就连我们每天走路的步数，我们也可以用数学的方式去看呀，今天走了多少，比昨天多还是少，是不是很数学化！总之，生活中到处都是数学化的例子，数学真的无处不在呀！。
数学教育教学数字化应用案例
数学教育教学数字化应用案例
近年来，随着信息技术的发展，数字化教育在数学教育中的应用越来越广泛。
以下是一些数字化应用案例：
1. 数学在线课堂：学生们可以通过网络观看课堂录像、进行在线测试和互动讨论。
这种数字化教育方式可以方便学生和老师，减少时间和空间上的限制。
2. 数学学习工具：数字化教育的一个重要应用是学习工具的开发。
例如，数学软件和应用程序，如绘图工具、函数绘制工具、几何图形绘制工具和数据分析工具等。
3. 数学游戏：数学游戏可以激发学生对数学的兴趣和热情，让学生能够以更加有趣的方式掌握数学知识和技能。
例如数学竞赛、拼图游戏、数学谜题和数字迷宫等。
4. 数学教学视频：数学教学视频可以在网上分享，让学生在课堂外也可以学习。
同时，这种数字化教学方式还可以让学生重温老师在课上的讲解，并巩固课堂上的知识。
总之，数字化教育已经成为数学教育中不可或缺的一部分，能够广泛应用于教学过程中的各个方面，有助于提高教学效果，促进学生学习兴趣的培养和未来数学思维能力的提高。
水平数学化和垂直数学化-数学教师知识库
水平數學化和垂直數學化
李源順整理
Treffers(1978, 1987)在教育脈絡內明確地組織兩個形態的數學化觀點，區分為水平和垂直的數學化。
這兩個形態的意義可以從下面了解。
水平的數學化，是學生可以運用數學工具幫助他們組織和解答在真實生活情境內的問題。
垂直的數學化，是在數學系統內再組織的過程，例如在概念和策略之間尋求捷徑和發現連結，並且應用這些發現。
簡單的說，我們可以說(引自Freudenthal(1991))“水平的數學化涉及從真實世界走入符號世界，然而垂直的數學化意思是在符號世界內前進”。
按照Freudenthal的說法，這兩個世界不能很清楚被區分的。
Freudenthal也強調這兩種形式的數學化有相同的價值。
因此我們必須記住，數學化可以發生在不同層次的了解上。
Lee, Y.S. 1。
数学精选优秀教案范文：用数字化手段提高数学教案的效率
数学教学是现代教学中最重要的一部分，也是最具挑战性的一种教学。
数学教学的主要任务是培养学生的数学思维能力和数学文化素养，为其将来的学习和人生奠定坚实的基础。
而精心制作的数学教案则是实现这一任务的重要手段之一。
然而，传统的数学教案制作方式往往繁琐、耗时，效率较低。
因此，本文将探讨如何在数学教案制作中利用数字化手段，提高教案的效率和质量。
一、数字化手段在数学教案制作中的应用1.数学教案的原型设计数学教案的原型设计是教案制作的第一步，它可以帮助教师准确描述数学概念和现象，建立完整的思维框架。
在数字化手段的帮助下，教师可以使用软件绘制数学模型，通过动画和交互方式模拟各种数学现象和规律，提高学生对数学概念和知识的理解和掌握。
例如，在研究“三角形内角和定理”的教学过程中，教师可以使用GeoGebra软件绘制出各种三角形，演示三角形内角和变化的规律，帮助学生理解三角形内角和定理的本质。
2.数字化手段在数学教案的编写中的应用数字化手段在编写数学教案时也起到了重要的作用。
教师可以使用数字化手段来快速而准确地制作图表、表格、公式、示例等多种辅助材料。
例如，在教学“一次函数”的过程中，教师可以使用Excel制表工具，轻松绘制出一元一次函数的函数值表；同时，教师也可以使用LaTeX编写数学公式，使得公式具有精确性和美观性。
此外，各种数学软件平台中提供了丰富的数学示例和题目，教师可以直接引用这些示例和题目，在教学中提供更丰富的案例。
3.数字化手段在数学教案的反思和改进中的应用教师可以使用数字化手段来快速而准确地制作数学教案，并通过数字化手段来反思和改进数学教案。
数字化手段可以帮助教师进行教案修改的自动化处理，自动更新并重新计算教案中的数字数据、图表等元素。
例如，在教学“三角形”的过程中，教师可以使用Cabri软件制作三角形的结构图，然后通过软件来计算三角形的面积、周长等特征，帮助教师了解各种教学案例的特点和问题。
二、数字化手段提高数学教案的效率和质量的意义数字化手段的广泛应用可以大大提高数学教案的效率和质量。
纵向数学化的步骤
纵向数学化的步骤
纵向数学化是当今科技时代中值得研究和关注的一个话题。
纵向数学化的步俗不同的是，它把数学的可靠性、精确性和精致地原则应用到软件编程中。
本文将给出纵向数学化的具体步骤。
首先，进行数据收集。
就是通过实地考察、现场观测实施针对数据分析的基础数据采集工作，比如检测物体的特征及属性，或者通过可以多种方式提取数据，这个步骤是最基础也是最重要的。
其次，进行数据清理和数据预处理。
在此步骤中，数据进行清洗，例如剔除多余的空白数据以及重复数据，以及将不标准的数据强行转换成标准的数据，并将多种数据改成数值类型，都是数据清理和预处理的一个环节。
第三，进行数据分析。
在这一步，用统计分析、贝叶斯模型等数学方法对数据进行识别、分类、聚类等分析，形成数学模型，以便进行问题求解。
第四，进行数据验证和模型测试。
通过试点验证用验证集验证，比如试点验证集，确保模型的准确性和有效性，并不断精细调整模型，让模型更加准确和有效。
最后，采用模型进行实际的问题求解，形成模型更加准确可靠，这些模型就可以应用于实际的问题求解中，例如机器学习等。
总结而言，纵向数学化的步骤包括数据收集、数据清理和预处理、数据分析、数据验证和模型测试、问题求解等步骤，这些步骤既可以更加准确地理解生成实际问题，也可以有效和自动地计算出一个实际问题的正确结果。
要想解决实际问题，纵向数学化的步骤必不可少。
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——弗赖登塔尔 “ 通过数学化产生的数学是由通过教学过程产生 的教学反映出来的。 ——弗赖登塔尔
2014-6-17
2
数学化——横向的和纵向的
1978年特莱弗斯把横向和纵向纵向数学化 区别开来。
弗赖登塔尔后来对这种划分的特征作如下 规定 ：
“横向数学化把生活世界引向符号世界。”
“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用， 而且是机械的、全面的、互相呼应的，这就是纵 向数学化。”
加法 当如下情形中使用加法时，它就是属 于纵向数学化的一个符号：当A到B及到C 之间的距离已被步测之后，则从A经B到C 的距离就不用再重新步量，而只需要把前 面两个数相加即可。
2014-6-17
10
横向和纵向数学化的例子
乘法 （1）8的5倍可以用5行8列的矩形图式 来横向数学化，而纵向数学化则可能得到如 下的序列8、16、24、32、40。 （2）人们最终认识到对相同被加数的加 法，并把它独自作为一种运算——这种过程 以横向数学化开始，并以纵向数学化结束。
20
2014-6-17
解决实际问题的例子
电影院的座位有21排，每排能坐26人。我校 500人来看电影，这个电影院坐得下吗？
（1）从这个现实的问题，能够抽象出什么数学问题？ （2）有哪些方法可以解决这个数学问题？（经历算法多 样化的探索过程） （3）得到数学问题的解是什么？ ① 20×25＝500（估算） ② 26 ×21＝546（计算） （4）回到实际问题的情境解释、检验上述数学问题抽象 的解的意义与合理性，做出实际问题的解答。
23
2014-6-17
教学原理
有指导的再创造
“好奇的孩子是不希望别人告诉他应该做什么，而 中等的和懒惰的孩子却喜欢指导。所以为了说明按我的 设想应该怎样来学习数学，很久以前我选用了‘有指导 的再创造’这个词。” ——弗赖登塔尔 “既然一个聪明的年轻人能再创造出许多他自己的 数学，那些不太聪明的孩子为什么就不能在别人——成 人的或同龄人的帮助和指导下也这么做呢？” ——弗赖登塔尔
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8＋8＋8＋8＋8＝？ 8×5＝？
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2014-6-17
横向和纵向数学化的例子
除法
当需要把一些物品分给一群人的时候（例如围成一桌 打牌时的发牌），可以把这些物品一个一个地发下去，也 可以每回分给每个人等量的物品，直到分完为止；这是分 配问题的横向数学化。纵向数学化则在于寻找愈来愈大的 份额（直到刚好合适），从而来缩短分发的过程。这些过 程是逐步图式化的一个显著的例子（在这个例子中是逐步 算法化，最终导出标准的长除算法）。 如，18个苹果平均分给3个人，每人分得几个？ 实际操作 除法 口诀求商 试商
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2014-6-17
6
横向和纵向数学化的例子
多些或少些
同时构造两个集合也许是横向数学化， 而找出谁是谁的子集则是纵向的。或者换一 种情况，给两个集合数数是横向数学化，而 说出数数的顺序，听听哪个数在前边，就是 纵向的。
2014-6-17
21
探究性问题的例子
找规律 （1）算一算： 5×1 3×2 12×4 5×10 3×20 12×40 50×10 30×20 120×40 （2）说一说：你算法的理由。 （3）你发现了什么？（尝试用自己的语言描述 你的发现） （4）用你发现的规律，进行乘数是整十数的乘 法运算。
关于“数学化”的解 读
王 永
2014-6-17
1
数学化——数学活动的主要特征
“数学作为人类的一种活动，它的主要特征是数 学化。” ——弗赖登塔尔
“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将 实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。
——课程标准 “阅读数学和听数学也是数学，数学活动的再现 应该这样进行，使它好象就是接受者自己的产物。
2014-6-17
13
横向和纵向数学化的例子
比率
对一些从几何上或代数上看起来具有某种相似性的一类 问题进行数学化，会出现横向与纵向思路交替发生的情况， 开始时会这样叙述：在这里大小加倍的东西，另一边也必然 加倍。 如，长、宽分别为3ｃｍ和5ｃｍ的长方形，与另一个长、 宽分别为6ｃｍ和10ｃｍ的长方形，为什么形状相似？ 比率可以通过上面得到的图式和线性函数的直线图象进 一步纵向数学化，日常生活的很多事情都能如此，它们通过 横向数学化与比率联系起来。揭示固定的比率和平直度之间 的关系是纵向数学化的一大功绩，这也正是比率值和图象的 陡峭程度之间的关系。
2014-6-17
16
横向和纵向数学化的例子
面积 在钉子板上用橡皮绳界定的区域的面积可通 过横向数学化得到。由此得出的等高的三角形有 相同的面积这一结论，使一些学过几何的成年人 也感到是意想不到的事，把这一经验与三角形的 面积公式联系起来则需要纵向的数学化。 （以上的例子都是弗赖登塔尔列举的）
2014-6-17
17
“问题解决”教学的数学问题类型
用于“数学问题解决”教学的问题大致有三种： （1）可以构建数学模型的非常规的实际问题。 将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取 出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问 题，然后应用数学的思想方法来解决问题，这是 人们认识世界的重要途径。 （2）探究性问题。通过一定的探索、研究去深 入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和 真理的问题叫做探究性问题。 （3）开放性问题。在问题的条件、结论、解题 策略或应用等方面具有一定的开放程度的问题。
18
2014-6-17
解决实际问题的数学化的一般过程
解决实际问题的数学化的一般过程：
实际问题
（抽象、简化） （横向数学化）
数学问题 （数学模型）
（ 纵 向 数 学 化 ） （运用数学 理论与方法 求解）
（获得实 际问题的 解答）
（解释、检验）
实际问题的解
2014-6-17
（横向数学化）
数学问题的解
+
– +
–
+ +
4
一个数学教学分类的例子
问题：为什么4<9？给出三个理由。(五年级)
不论是机械主义者和经验主义者都 不会问这样一个 “为什么”，反之，结构主义者和现实主义者也许会 问。
结构主义者认为有根据的答案： “因为在数的序列 中4在9的前面”，“因为4<5，并且5 <9”，“因为 9=4+5”，等等。 现实主义者认为有根据的答案：“因为4个子弹比9 个子弹少”，“4元比9元便宜”，“4千克比9千克 轻”，等等；并且，现实主义的数学教学将通过纵向
2014-6-17
14
横向和纵向数学化的例子
垛积数 对于用几何（形状）给出的垛积数，它们的 大小和关系就属于横向数学化问题。
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 图1 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 图2 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
24
2014-6-17
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教学原理
“应该允许学生发现自己的标准，然后在一定的 指导下，探索能达到这个标准的道路，而指导的多少 是根据各自具体的情况而定的。对于这个策略赞成与 否，存在着一些合理的教学方面的争论。首先，知识 和能力，如果是通过自己的活动获得的，就比别人强 加的要掌握得更好，也更具有实用性。第二，发现是 一件愉快的事，所以通过再创造进行学习是有促动力 的。第三，它促成了将数学作为一种人类的活动来体 验的观念的形成。” ——弗赖登塔尔 “指导再创造意味在创造的自由性和指导的约束性之 间，以及在学生取得自己乐趣和满足教师的要求之间 达到一种微妙的平衡。” ——弗赖登塔尔
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2014-6-17
7
横向和纵向数学化的例子
相加 （1）一个问题需要把5个和3个想象中的 石头弹子加起来，它可以用“手指的图式” 来进行横向数学化，而数手指的办法则是纵 向数学化。换一种说法即是，用5＋3的算术 和来表示前一个问题是横向数学化，而解答 结果则可以通过纵向地一个一个数、或用4＋ 4来代替，或用记忆等办法来得到。 （2）如果直到10的自然数都属于生活世 界，那么用（10－2）＋（5＋2）的办法求 解8＋5就是纵向数学化，而两个被加数的结 构则是通过横向获得的。
数学化说明它们的同构性。
2014-6-17 5
横向和纵向数学化的例子
数数
为了数数，一个没有结构的事物或事件的集合必 须结构化——手工的、视觉上的、听觉上的或在大脑里— —而对大体上结构化了的集合必须揭示或强化其已有的结 构。这就需要横向数学化。而另一方面，如何在这个（新 创造的或揭示的）结构中运用数数的次序则是纵向数学化， 它根据结构本身，可以采取不同复杂程度的方法：例如可 以用乘法来给一个能用矩形结构表示的（即能排成几行几 列的）集合数数。
“在生活世界里，经历的就是现实，而在符号世 界则是关于它们的抽象化。”
2014-6-17
3
数学教育的四种分类
通过双重的二分法分别注重横向数学化和 纵向数学化来进行分类：在预期的学习过程 中，这样的一种或两种特性的存在或缺乏。
横向的 机械主义的 –
纵向的 –
经验主义的
结构主义的 现实主义的
2014-6-17
例如（图1），前ｎ个奇数的和等于ｎ的平 方，又如（图2）：第ｎ－1个三角形数和第ｎ个