23第二十三讲真空中的稳恒磁场 毕奥—萨伐尔定律

dq dE E dE
Idl dB B dB
1820年，法国科学家毕奥、萨伐尔和拉普拉 斯在实验基础上，分析总结出电流元产生磁场 的规律：毕奥—萨伐尔定律。
电流元 Idl
大小： Idl
I
Idl 电流元
方向：线元上通过的电流的方向。
一、毕奥—萨伐尔定律
0 pm μ0 Pm B , B n 3 3 2π x 2π x
Pm
n
I S
思考： 例：计算组合载流导体在 o 点的磁感应强度。
解：o 点 B 由三段载流导体产生。 Bo Bab Bbc Bcd a
规定向里为正向，
Bo Bab Bbc
1
P1
a b
P2
a
P 3
BP2
0 I 2 (d b) 2 b
0 I
0 I 0 I BP 4 a 4 (a d )
3
（3）一宽为 a 无限长载流平面，通有 电流 I ，求：距平面左侧为 b 与电流 共面的 P 点磁感应强度 B 的大小。 解：建立坐标如图。
0 I B 2 a
R2
o
（3） I R o

B0
（5） I
R1
0 I
8R
*o

0 I 0 I 0 I B0 4 R2 4 R1 4 π R1
例3：载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流 I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
I
S
N
安 培 演 示 电 流 相 互 作 用 的 装 置 （ 复 制 品 ）
载流导线之间的磁力相互作用
F
F
I
运动电荷受到的磁力作用
电子束 S N +
二、磁场 电流间相互作用通过磁场进行 运动电荷 （电流）
磁场
运动电荷 （电流）
磁场和电场一样，也是物质存在的一种形式。 任何运动电荷或电流，在周围空间产生磁场。
B
x
磁感强度大小
v
z
Fmax B qv
方向：小磁针N极在该点的指向。
Fmax
磁场的矢量式：
v
q
+
B
F max B= q 2
单位 特斯拉 1(T) 1N/A m
10－3 毕奥－萨伐尔定律
静电场分布的一般计算方法 磁场分布的一般计算方法
Idl
I
• 基本概念：稳恒磁场 磁感应强度 • 基本规律：毕奥—萨伐尔定律 • 作业：练习14 磁感应强度 磁场的高斯定 理 毕奥-萨伐尔定律
教学基本要求
1 ，掌握描述磁场的物理量 —— 磁感应强 度的概念，理解它是矢量点函数。 2 ，理解毕奥 - 萨伐尔定律，能利用它计 算一些简单问题中的磁感应强度。
10.1 磁场 磁感应强度
2.与磁场垂直的方向运动， 电荷所受到的磁场力最大。
V B z F =0
y q v z Fmax B x
Fmax q,v 正比 F max 比值与 F , qv 无关， max
qv
与运动电荷在磁场中的位置有关。
V B Fmax
y q Fmax N V B Fmax
磁感强度 B 的定义：
一 基本磁现象 1 静止电荷 产生静电场 电场 运动电荷产生 磁场 2 大量电荷定向运动 产生稳恒磁场 3 自然界存在天然磁体： N，S （产生磁场） 形成电流
dI 0 dt
dq I dt
当电荷做匀速定向运动时
形成稳恒电流
S
N
磁极间存在相互作用力： 同极相斥，异极相吸。
4 变化的电场产生磁场
奥斯特（Hans Christan Oersted，1777-1851） 丹麦物理学家，1820年发现了电流对磁针的作用
l

r
2 1
统一积分变量求得:
r a sec
dl asec d
2
dB
P
0 I 0 I (sin 2 sin 1 ) B cos d 4 a 4 a
1
o
a
x
说明： 当 的转向（以 op 为始）与电流流向一致，
0;
dB
2 x Rctg ， dx R csc d ，R2 x2 R2 csc2 0 nI R3csc 2 d 0 nI B sin d 3 3 2 R csc d 2
2
2
2 2 R x
R Indx
R
o * p
x
dx
x
解 ： 由圆形电流磁场公式
B
0 IR
2
2 2 3/ 2
（ 2 x R）
B
0 IR2
3/2 2（x 2 R2）
1
x1
0
2
o p
2 dx

x2
0 nI
2
dI Indx =I
+ + + + + + + + + + + + + + +
N dx l
x
1+ctg2 csc2
a
P
电流与磁感强度成右手螺旋关系
I
I
B
I B
I B
0 I B 2 a
a 一定时：B 相等
0 I B (sin 2 sin 1 ) 4 a
2）半无限长载流长直导线的磁场： I ) ( 0 0 I 2 1 B 2 4 a ( 2 0 ) 1
方向： n矢量：I S Nhomakorabean
Pm
Pm =IS 大小：
Pm
n
I S
4）当场点 x R 圆半径时
B
0 IR
2
2 2 3 2
B
0 IR
2x
3
2
，B
0 IS
2 π x3
2( R x )
载流线圈磁矩 磁偶极子的磁矩
Pm ISn
I S
n
Pm
圆电流磁感应强度也可写成:
3、7点 ：dB
例：判断下列各点磁感强度的方向和大小。
1 8 2
7
Idl
R
6 5 4
0 Idl
4π R
0 2
3
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R
2
sin 45
例1：载流长直导线的磁场。一段有限长载流直导 线，通有电流为 I ，求：距直导线 a 处的 P 点的 2 ） 磁感应强度。（已知： 、 y 解：建立坐标系xoy I 任取电流元 Idl Idl a Idl 在 P 点激发的磁场 l
0 Idl sin 大小 dB 4 r2
方向 由 Idl r 决定（如图）
r
2
o
a
1
dB
P
x
所有电流元在P 点的磁场方 向相同，因而:
y
I
0 B dB 4
cos sin l a tan
2

L
Idl sin 2 r
Idl
当 的转向与电流向相反， 0 。
一段载流直导线的磁场: 0 I B (sin 2 sin 1 ) 4 a
y
I
讨论： Idl l 1）无限长载流长直导线的磁场：
1
2
2

2
r
2

I 0 大小：B 2 a
o
a
1
dB
P
x
方向： 由 Idl r 决定---右手螺旋关系
③ 同位置，线圈有 N 匝:
0 I
θ 圆心角

θ
I
B
N 0 IR
2
2 3
（ 2 x R ）2
2
4）当场点 x R 圆半径时，载流线圈叫磁偶极子。 磁偶极子：圆线圈的面积很小，或者场点矩圆线圈 很远时 x R ，这时载流线圈叫磁偶极子。
规定：n 和I 成右手螺旋关系
磁偶极子的磁矩 P m ：
2
P a P
a
I
3）载流导线延长线上任一点的磁场:
Idl // r ,
a
I
P
μ0 Idl r dB 4π r3
Idl r 0
B 0
a
P
I
思考： （ 1）
I a
P
0 I BP 4 a
（ 2）
d
0 I 0 I BP 2 a 2 (a b)
分割电流元为无限多个、宽 为 dx 的无限长载流直导线。 I P 电流元电流： dI dx o a μ0 dI μ0 Idx dB 2πx 2πax
I
dI
dx
x a
x
b a b Idx μ0 I a b B dB 0 ln 2ax 2 πa b b
例2：圆形载流导线轴线上的磁场。真空中，半径 为 R 的载流导线，通有电流 I， 称圆电流。 求：其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小。 解：建立轴极坐标系ox dB dB 任取电流元 Idl ˆ r Idl P 点的元磁场 I dB 0 Idl o x P 大小 dB 2 4 r R 方向由 Idl r 决定（如图） x 分析对称性、写出投影式
磁场具有的性质： （1）磁场对载流导线（运动电荷）有磁力作用；