信息安全数学基础 第1章 整数的可除性
信息安全数学基础第1章整除概述.
1.2整数表示
证明 存在性 由欧几里得除法，有整数k，使得 a = q1b a0， 0 a0 b 1， q1 = q2b a1， 0 a1 b 1， qk 1 = qkb ak 1，0 ak 1 b 1， qk = qk+1b ak ，0 ak b 1 其中诸ai与qi都是唯一确定的。则0 < ak b 1， 0≤qk+1<qk<… <q2 <q1 <a,故必有整数k,使得qk+1=0
1.2整数表示
唯一性 设有两种不同的表达式: a= akbk ak 1bk 1 a1b a0 a= ckbk ck 1bk 1 c1b c0 两式相减得: 0= (ak –ck )bk (ak-1 –ck -1) bk 1 (a1 –c1 ) b (a0 –c0), 设j是最小的正整数使得aj ≠cj,则 bj[ (ak –ck )bk-j (aj+1 –cj +1) b+ (aj –cj ) ]=0
1.1整除的概念,欧几里得除法
1.1整除的概念,欧几里得除法
1.1整除的概念,欧几里得除法
1.2整数表示
对于数的十进制表示，我们已经是很熟悉的了。 本章主要介绍实数的b进制表示，以及一些基本 知识
定理 1设b是大于１的整数，则任何正整数a
都可以写成 a = akbk ak 1bk 1 a1b a0 的形式，其中ak 0，ai（0 i k）是在0与 b 1之间唯一确定的整数。
1.1整除的概念,欧几里得除法
下面证明每个合数必有素因子 定理1.2
信息安全数学基础 绪论
( 1859, 1573,11) (143,11) 11.
定义4 整数a1, a2, , ak (ai ≠0)的公共倍数称为 a1, a2, , ak的公倍数。a1, a2, , ak 的正公倍数中
最小的一个叫做a1, a2, , ak的最小公倍数，记为
[a1, a2, , ak]. 定理3 下面的等式成立： (ⅰ) [a, 1] = |a|，[a, a] = |a|； (ⅱ ) [a , b ] = [ b , a ]；
则称d是 a1 , a2 ,, an 的最大公因数。
定理1〔有关最大公因数的结论〕
(1) (a1 , a2 , , an ) ( a1 , a2 , , an ); (2) b a (a , b) b ; (0, b ) b ;
(3) a bq r , q 0 (a , b) (b, r ).
定理2
设 (a1 , a2 ) d 2 ,(d 2 , a3 ) d 3 ,,(dn 2 , an1 ) dn1 , 设 (a1 , a2 ,, an ) d .
(d n1 , an ) d n , 则 (a1 , a2 ,, an ) d n .
证明
一方面，d a1 , d a2 d d 2 d d n ；
证：由[a1 , a2 ] m2 ,[m2 , a3 ] m3 ,,[mn1 , an ] mn
知mn是a1 , a2 ,, an的一个公倍数.
对a1 , a2 ,, an的任一公倍数m，
由a1 m , a2 m ，且[a1 , a2 ] m2 m2 m ，m3 m ， ，mn m . [a1 , a2 ,, an ] mn .
[a1, a2, , ak]. 定义5 设d是正整数且满足以下两个条件：
信息安全数学基础第一阶段知识总结
信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章整数得可除性一整除得概念与欧几里得除法1 整除得概念定义1 设a、b就是两个整数，其中b≠0如果存在一个整数q 使得等式a=bｑ成立，就称b整除a或者ａ被ｂ整除，记作b|a ,并把b 叫作a得因数,把a叫作b得倍数、这时，q也就是a得因数,我们常常将ｑ写成a/b或否则,就称b不能整除a或者a不能被b整除,记作a b、2整除得基本性质(1)当b遍历整数a得所有因数时,－b也遍历整数a得所有因数、（2)当ｂ遍历整数a得所有因数时,a/b也遍历整数a得所有因数、（3)设b，c都就是非零整数，(i）若b|a,则|b|｜|ａ|、(ｉｉ)若ｂ｜a,则ｂｃ|aｃ、(iii)若b|a,则1〈|b｜≤|ａ|、3整除得相关定理（1)设a,ｂ≠0,c≠０就是三个整数、若c｜b,b|a,则ｃ|a、(２)设a，b，c≠０就是三个整数,若ｃ|ａ,ｃ|b,则ｃ｜a±b(3）设a，b,c就是三个整数、若c｜a，ｃ|b则对任意整数s，t,有c|ｓa+tb、(４）若整数a１, …,aｎ都就是整数c≠0得倍数，则对任意n个整数s１,…,ｓｎ，整数就是c得倍数（5）设a，b都就是非零整数、若a|b,ｂ|a,则a=±b(6)设a,ｂ，c就是三个整数,且b≠0,c ≠0,如果(a , c）=1,则(ab , ｃ)＝（ｂ，c）(7) 设ａ，b , c就是三个整数,且ｃ≠0，如果c｜ａb，（a , ｃ）＝1, 则c｜b、（8）设ｐ就是素数，若ｐ|ab ,则p |a或p|b（9）设a1，…,a n就是n个整数，p就是素数,若ｐ｜a1…a n，则p一定整除某一个ａk二整数得表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等得相互转化、三最大公因数与最小公倍数（一)最大公因数1．最大公因数得概念定义:设就是个整数,若使得 ,则称为得一个因数。
公因数中最大得一个称为得最大公因数。
记作、若，则称互素。
若,则称两两互素。
信息安全数学基础第1章 整数的可除性
欧几里德算法
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《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
欧几里德算法
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《信息安全数学基础》 第1章
欧几里德算法-举例
【例1.2.6】 利用欧几里德算法求（172, 46）.
172=46×3+34 46=34+12
(172, 46)=(46,34) (46,34)=(34,12)
《信息安全数学基础》 第1章
1.2.1带余除法
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《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
带余除法一般形式
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《信息安全数学基础》 第1章
带余除法-举例
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《信息安全数学基础》 第1章
1.2 .2 最大公因数
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《信息安全数学基础》 第1章
最大公因数-举例
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《信息安全数学基础》 第1章
(172, 46)=(46,34)
《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
裴蜀等式-特例
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《信息安全数学基础》 第1章
裴蜀等式-举例
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《信息安全数学基础》 第1章
void Euclid(unsigned int num1,unsigned int num2) {
int a[32],b[32]; int inv_a,inv_b,tmp; int i=0,j=0; a[0]=num1; b[0]=num2; while(a[i]%b[j]!=0) {
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《信息安全数学基础》 第1章
标准分解式
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《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
网络安全数学基础
§2.3 一次同余式
§2.3 孙子定理
网络安全数学基础
沈佳辰 jcshen@
• 教材：《信息安全数学基础》陈恭亮著 • 参考书目：
《数论讲义》（第二版），柯召、孙琦著 《近世代数引论》（第二版），冯克勤、章璞著 《离散数学》，董晓蕾、曹珍富著
• 考核方式
平时成绩30%，期中考试30%，期末考试40%
主要内容
• 初等数论
－ 整除性理论 － 同余式 － 原根
• 近世代数
－群 －环 －域 － 椭圆曲线
• 培养逻辑思维和抽象思维的能力 • 是密码学与网络安全的数学基础
网络安全数学基础 第一章 整数的可除性
§1.1 整除性
§1.2 整数的表示
§1.3最大公因数与欧几里德除法
0 1 4
235 49
49 39 1
1 0 0
0 1
2
4 5
1 3
1 9
39 10
9 1
10 9
1 0
0 1
-1 4
1 -1
4 -5
1 -4
5 -19
-4 5
-19 24
§1.4 素数与算术基本定理
网络安全数学基础 第二章 同余
§2.1 同余的定义与基本性质
§2.2 剩余类与完全剩余系
数论部分定义定理
定义 4 设 x 是一个实数，我们称 x 的整数部分为小于或等于 x 的最大整数，记 成[x].这时，我们有
定理 10（欧几里得除法） 设 a，b 是两个整数，其中 b .则对任意的整数 c， 存在惟一的整数 q，r 使得
1.2 整数的表示
定理 1 设 b 是大于 1 正整数.则每个正整数 n 可惟一地表示成
被
是 a 被 b 除的最小正余数.
引理 2 设 a,b 是两个正整数，则
和
定理 10 设 a,b 是两个正整数，则正整数 b 互素.
除的最小正余数是
，其中 r
的最大公因数是
.
和
互素的充要条件是 a 和
1.4 整除的进一步性质及最小公倍数
定理 1 设 a,b,c 是三个整数，且 b 0，c 0，如果(a,c)=1，则
有惟一解
.
定义 2 设 m 是一个正整数，a 是一个整数.如果存在整数 a’使得
aa’ 1(modm)
成立，则 a 叫做模 m 可逆元.
定理 3 设 m 是一个正整数，a 是满足(a,m)|b 的整数.则一次同余式
的全部解为
t=0,1,…,(a,m)-1.
定理 4 设 m 是一个正整数.则整数 a 是模 m 简化剩余的充要条件是整数 a 是模 m 逆元.
(i)d|a,d|b; (ii)若 e|a,e|b，则 e|d. 定理 8 设 a,b 是任意两个不全为零的整数， (i)若 m 是任一正整数，则(am,bm)=(a,b)m;
(ii)若非零整数 d 满足 d|a,d|b，则
.特别地，
定理 9 设
是 n 个整 a,b 是两个正整数.则
定理 1 设
是三个整数.若 c|b，b|a，则 c|a.
初等数论 第一章 整数的可除性
第一章整数的可除性§1 整除整数集对于加、减、乘三种运算都是封闭的，但是对于除法运算不封闭。
为此，我们引进整除的概念。
定义1设a,b∈Z，b≠0，如果存在q∈Z，使得等式a=bq成立，那么称b 整除a或a被b整除，记作：b|a，此时称b为a的因数（约数），a为b的倍数。
如果不存在满足等式a=bq的整数q，那么称b不能整除a或a不被b整除，记作b| a。
定理1设a,b,c∈Z，b≠0，c≠0，则（1）如果c|b，b|a，那么c|a；（2）如果b|a，那么bc|ac；反之亦真；（3）如果c|a，c|b，那么，对于任意m,n∈Z，有c|(ma+nb)；（4）如果b|a，a≠0，那么|b|≤|a|；（5）如果b|a，a|b，那么|b|=|a|。
证明可选证。
定理2（带余除法）设a,b∈Z，b≠0，则存在q,r∈Z，使得a=bq+r，0≤r<|b|，并且q及r是唯一的。
证明当b|a时，取q=a/b，r=0即可。
当b!|a时，考虑集合E={a-bk|k∈Z }，易知E中有正整数，因此E中有最小正整数，设为r=a-bk>0，下证：r<|b|。
因为b!|a，所以r≠|b|，若r>|b|，则r’=r-|b|>0，又r’∈E，故与r的最小性矛盾，从而存在q,r∈Z，使得a=bq+r，0≤r<|b|。
唯一性。
设另有q’,r’∈Z，使得a=bq’+r’，0≤r’<|b|，则b(q-q’)=r’-r，于是b|(r’-r)，但由于0≤|r’-r|<|b|，故r’-r=0，即r=r’，从而q=q’。
定义2等式a=bq+r，0≤r<|b|中的整数q称为a被b除所得的（不完全）商，整数r称为a被b除所得的余数。
注r=0的情形即为a被b整除。
例1 设b=15，则当a=255时，a=17b+0，故q=17，r=0；当a=417时，a=27b+12，故q=27，r=12；当a=-81时，a=-6b+9，故q=-6，r=9。
网络安全数学基础
－ 整除性理论 － 同余式 － 原根
• 近世代数
－群 －环 －域 － 椭圆曲线
• 培养逻辑思维和抽象思维的能力 • 是密码学与网络安全的数学基础
网络安全数学基础 第一章 整数的可除性
§1.1 整除性
§1.2 整数的表示
§1.3最大公因数与欧几里德除法
0 1 4
235 49
49 39 1
1 0 0
0 1
Hale Waihona Puke 2 34 51 3
1 9
39 10
9 1
10 9
1 0
0 1
-1 4
1 -1
4 -5
1 -4
5 -19
-4 5
-19 24
§1.4 素数与算术基本定理
网络安全数学基础 第二章 同余
§2.1 同余的定义与基本性质
§2.2 剩余类与完全剩余系
§2.3 一次同余式
§2.3 孙子定理
网络安全数学基础
沈佳辰 jcshen@
• 教材：《信息安全数学基础》陈恭亮著 • 参考书目：
《数论讲义》（第二版），柯召、孙琦著 《近世代数引论》（第二版），冯克勤、章璞著 《离散数学》，董晓蕾、曹珍富著
• 考核方式
平时成绩30%，期中考试30%，期末考试40%
主要内容
数论讲义第二版柯召孙琦著近世代数引论第二版冯克勤章璞著离散数学董晓蕾曹珍富著考核方式平时成绩30期中考试30期末考试40主要内容初等数论整除性理论同余式是密码学与网络安全的数学基础网络安全数学基础第一章整数的可除性11整除性12整数的表示13最大公因数与欧几里德除法2354949393910145192414素数与算术基本定理网络安全数学基础第二章同余21同余的定义与基本性质22剩余类与完全剩余系23一次同余式23孙子定理
信息安全数学基础(课堂PPT)
a bq
成立,则称b整除a或者a被b整除,记作b | a. 此时q可 写成a / b或 a .
b 如果b | a, 则b叫做a的因数, 而a叫做b的倍数.
如果b不能整除a,则记作b | a.
2020/4/24
计算机科学与技术学院
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注 : (1) 当b遍历整数a的所有因数时, b也遍历整数 a的所有因数.
这是不可能的.故素数有无穷多个.
2020/4/24
计算机科学与技术学院
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三、欧几里得除法(带余除法)
定理9 (欧几里得除法) 设a, b是两个整数,其 中b 0,则存在唯一的整数 q, r,使得
a = bq + r, 0 r b
其中q叫做a被b除所得的不完全商, r叫做a被b除所 得的余数.
P. Samuel 著 ✓“Primality and Cryptography”E. Kranakis 著 ✓《椭圆曲线密码学导论》张焕国 等译
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计
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课件邮箱
邮箱：infosecmath@ 密码：123456
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信息安全数学基础
第1章：整数的可除性
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整数论是研究整数的学科
2020/4/24
计算机科学与技术学院
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素数的数目是有限多还是无穷多？
➢ 有了研究的对象集合，再建立对象集合上的运算。
✓一些乘法的经验表明，有些数是一些比1大的其 它数的乘积
✓而有些数，就没有这种性质----质数(素数)
✓在欧几里德的《原本》中，已经有一个简单而巧 妙的推理能够得出结论：质数无穷多
存在整数n1 ,使得 n pn1 1 p n1 n
因此 p2 n, 故 p n.
第1章整数的可除性
第一章整数的可除性整除整除是数论中的基本概念，在这一部分中，我们从这个概念出发，引进带余数除法及辗转相除法，然后利用这两个工具，建立最大公因数与最小公倍数的理论，进一步证明极具重要性的算术基本定理。
最后介绍两个重要的函数[]与{},并用[]来说明如何把!表成质数幂的乘积。
整除的定义设，是任意两个整数，其中≠０，如果存在一个整数使得等式=(1)成立，我们就称为整除或被整除,记做|，此时我们把叫做的因数，把叫做的倍数，如果（1）里的整数不存在，就说不能整除或不被整除，记做。
例如＝6，＝3时，有q＝2使＝，故3|6；又如＝4，＝3时，不存在整数使＝bq，故34。
整除的性质定理1若是的倍数，是的倍数，则是的倍数。
即：|，||。
证：由|，|及整除的定义知存在整数使得。
因此，但是一个整数，故ｃ|。
定理2若，都是的倍数，则也是的倍数。
证，都是的倍数的意义就是存在两个整数，使得所以，但为整数，故是的倍数。
用类似方法可以证明下面的定理3，请同学们自己给出证明。
定理3若都是的倍数，是任意个整数，则是的倍数。
例证明3|(+1)(2+1)，其中是任何整数。
证因为(+1)(2+1)= (+1)[(+2)+(-1)]=(+1)(+2)+(-1)(+1)，而三个连续整数的积可被3整除，于是3|(+1)(+2)，3|(-1)(+1) 。
所以3|(+1)(2+1)。
第一章整数的可除性带余数除法任给两个整数，它们之间不一定有整除关系，一般有下面的带余数除法。
定理若，是两个整数，其中>0，则存在两个整数及，使得（2）成立，而且及是唯一的。
证作整数序列…，－3，－2，－，0，，2，3，…则必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数使得成立。
令－＝，则为整数，且＝＋，而。
设是满足（2）的另两个整数，则，所以，于是，故。
由于都是小于的正整数或零，故。
如果，则，这是一个矛盾。
因此，从而。
整数的很多性质都可以从这一定理引导出来，我们这一章的最主要部分就是建立在这一定理的基础上的。
信息安全数学基础第一阶段知识总结
信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章 整数的可除性一 整除的概念和欧几里得除法 整除的概念定义 设♋、♌是两个整数，其中♌≠ 如果存在一个整数 ❑ 使得等式 ♋♌❑ 成立，就称♌整除♋或者♋被♌整除，记作♌♋ ，并把♌叫作♋的因数，把♋叫作♌的倍数 这时，❑也是♋的因数，我们常常将❑写成♋／♌或 否则，就称♌不能整除♋或者♋不能被♌整除，记作♋ ♌整除的基本性质☎✆当♌遍历整数♋的所有因数时， ♌也遍历整数♋的所有因数☎✆当♌遍历整数♋的所有因数时，♋♌也遍历整数♋的所有因数☎✆设♌，♍都是非零整数，☎♓✆若♌♋，则 ♌♋ ☎♓♓✆若♌♋，则♌♍♋♍☎♓♓♓✆若♌♋，则 ♌≤ ♋ 整除的相关定理☎✆ 设♋，♌≠ ，♍≠ 是三个整数 若♍♌，♌♋，ab则♍♋☎✆ 设♋，♌，♍≠ 是三个整数，若♍♋，♍♌，则♍♋±♌☎✆ 设♋，♌，♍是三个整数 若♍♋，♍♌则对任意整数♦，♦，有♍♦♋♦♌☎✆ 若整数♋ ⑤♋⏹都是整数♍≠ 的倍数，则对任意⏹个整数♦，⑤，♦⏹，整数是♍的倍数☎✆ 设♋，♌都是非零整数 若♋♌，♌♋，则♋±♌ ☎✆ 设♋ ♌ ♍是三个整数，且♌≠ ，♍ ≠ ，如果☎♋ ♍✆则 ☎♋♌ ♍✆☎♌ ♍✆☎✆ 设♋ ♌ ♍是三个整数，且♍≠ ，如果♍｜♋♌ ☎♋ ♍✆ 则♍ ♌☎✆ 设☐ 是素数，若☐ ♋♌ 则☐ ♋或☐♌☎✆ 设♋ ⑤♋⏹是⏹个整数，☐是素数，若☐ ♋ ⑤♋⏹ 则☐一定整除某一个♋ 二 整数的表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化 三 最大公因数和最小公倍数 ☎一✆最大公因数 ．最大公因数的概念nn a s a s ++ 11定义：设是个整数，若使得 ，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作若 则称 互素．若 则称两两互素．思考： ．由两两互素，能否导出．由 能否导出两两互素？．最大公因数的存在性☎✆若 不全为零，则最大公因数存在并且☎✆若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．．求两个正整数的最大公因数．定理 ：设任意三个不全为零的整数，且 则辗转相除法由带余除法 得☎✆⑤⑤因为每进行一次带余除法，余数至少减少 ，且是有限整数，故经过有限次带余除法后，总可以得到一个余数是零的情况，即由☎✆知，定理 ：任意两个正整数 则是☎✆中最后一个不等于零的余数．定理 ：任意两个正整数的任意公因数都是的因数． ．性质定理 ：任意两个正整数，则存在整数，使得成立定理 ：设是不全为零的整数．☎♓✆若则☎♓♓✆若则☎♓♓♓✆若是任意整数，则从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论：♊♋ 且♌♍．求两个以上正整数的最大公因数设则有下面的定理：定理 ：若 是个正整数，则只需证♊是的一个公因数．♋ 是的公因数中最大一个例 求解：．求两个正整数的最大公因数的线性组合（重点掌握）方法一 运用辗转相除法求最大公因数的逆过程；方法二 补充的方法方法三 运用列表法求解☎二✆ 最小公倍数．最小公倍数的定义定义： 是 个整数，如果对于整数，有那么叫做的一个公倍数．在 的一切公倍数中最小一个正整数，叫做最小公倍数．记作 ．．最小公倍数的性质．定理 ：设是任给的两个正整数，则☎♓✆的所有公倍数都是的倍数．☎♓♓✆定理 ：设正整数是的一个公倍数，则．求两个以上整数的最小公倍数定理 ：设是个正整数 若则只需证：♊是 的一个公倍数，即♋设是的任一公倍数 则例 求解：又四 素数 算术基本定理．素数、合数的概念定义：一个大于 的整数，如果它的正因数只有 和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．．性质定理 ：设是大于 的整数，则至少有一个素因数，并且当是合数时，若是它大于 的最小正因数，则p ，都有定理 设⏹是一个正整数，如果对所有地素数n☐ ⏹则⏹一定是素数求素数的基本方法：爱拉托斯散筛法。
信息安全数学基础第01章
1 正整数 全体素数 全体合数
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 整数的二进制表示法 数值转换
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 定理1.2.1（带余数除法）：设a是正整数，b是整数，则 一定存在唯一的整数q和r，使得 b=qa+r，其中0≤r<a 并分别称q与r为a 除b的商和余数。
1.1 整数
整除 定理1.1.1：若整数a，b，c满足条件a|b且b|c，则a|c。
证明：若a|b且b|c，则由定义1.1.1知道存在整数e和f使得 b=ae且c=bf，于是 c=bf=(ae)f=a(ef) 由于整数e与f的乘积仍然是整数，因而a|c。
例如：由于11|66且66|198，由定理1.1.1就有11|198。
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 为什么重复带余除法的过程可以在有限步骤内使得商为 0？
因为b>1，n>0，故 q0>q1>…>qi>… qk-1 ≥0 而qi均为整数，故该不等式一定在有限项内成立。而当 qk-1<b时，必有 qk-1=b∙0+ak， 0≤ak<b 故重复带余除法过程可以在有限步骤内使得商为0。
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 证明思路：按照带余除法的方法，先证表达式的存在性 ，再证明其唯一性。
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 证明：先证表达式的存在性。首先，以b除n，得到 n=bq0+a0， 0≤a0<b 如果q0≠0，继续以b除q0，得到 q0=bq1+a1， 0≤a1<b 继续这个过程，依次得到 q1=bq2+a2， 0≤a2<b q2=bq3+a3， 0≤a3<b ……..................... qk-2=bqk-1+ak-1，0≤ak-1<b qk-1=b∙0+ak， 0≤ak<b 当商为0时，结束这个过程。
数论第一章(1)整数的可除性
{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
或是
{30 30 / 1, 15 30 / 2, 10 30 / 3, 6 30 / 5, 5 30 / 6, 3 30 / 10, 2 30 / 15, 1 30 / 30}
例 8 整数 2, 3, 5, 7 都是素数；而整数 4, 6, 10, 15, 21 都是合数.
下面我们要证明每个合数必有素因子.
定理 6 设 n 是一个正合数， p 是 n 的一个大于 1 的最小正因数，则 p 一定是素数，且 p n.
证 反证法. 如果 p 不是素数，则存在整数 q ，1 q p, 使得 q | p . 但 p | n, 根据定理 1，我们有 q | n. 这与 p 是 n 的最小正因数矛盾. 所以， p 是素数.
例 1 30 215 310 56 . 我 们 有 2, 3, 5 分 别 整 除 30 ， 或 者 30 被 2, 3, 5 分 别 整 除 ， 记 作 2 | 30, 3 | 30, 5 | 30. 这时， 2, 3, 5 都是 30 的因数， 30 是 2, 3, 5 的倍数. 30 的所有因数是 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} ，
a bq r, 0 r b
（惟一性）如果分别有整数 q, r 和 q1, r1 满足（2），则
例 6 设 a, b, c 0 是三个整数， c | a, c | b. 如果存在整数 s,t, 使得 sa tb 1 ，则 c 1. 证 设 c | a, c | b, 因为存在整数 s,t, 使得 sa tb 1, 根据定理 3，我们有 c | sa tb 1
信息安全数学基础习题答案
因此70|n
2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)
当a=3k，k Z 3|a 则3|a3-a
当a=3k-1，k Z 3|a+1 则3|a3-a
当a=3k+1，k Z 3|a-1 则3|a3-a
所以a3-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1， k0 Z
（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1
由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k
所以（a+b,4）=4
37．证明：反证法
假设n为素数，则n| a2- b2=(a+b)(a-b)
由1.4定理2知n|a+b或n|a-b,与已知条件矛盾
所以假设不成立，原结论正确，n为合数。
40．证明：（1）假设是21/2有理数，则存在正整数p，q，使得21/2=p/q,且（p, q）=1
=13*41-14*(161-3*41)
=-14*161+55*(363-2*161)
=55*363+(-124)*(1613-4*363)
=(-124)*1613+551*(3589-2*1613)
所以（2t+1,2t-1）=1
（2）解：2(n+1)=1*2n+2
2n=n*2
所以（2n,2(n+1)）=2
32．（1）解：1=3-1*2
=3-1*(38-12*3)
=-38+13*(41-1*38)
第一章 整数的可除性
美丽有两种 一是深刻又动人的方程 一是你泛着倦意淡淡的笑容
定义1.1.3 称式(1)中的q是a被b除的商，r是a被b 除的余数。 由定理1可知，对于给定的整数b，可以按照被b除 的余数将所有的整数分成b类。在同一类中的数被b 除的余数相同。这就使得许多关于全体整数的问题 可以归化为对有限个整数类的研究。 以后在本书中，除特别声明外，在谈到带余数除 法时总是假定b是正整数。
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唯一性 假设有两对整数q ，r 与q ，r 都使得式(1)成立， 即 a = q b r = q b r ，0 r , r < |b|， 则 (q q )b = r r ，|r r | < |b|， (3) 因此r r = 0，r = r ，再由式(3)得出q = q ，唯一性得证。 证毕。
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习 题 1. 1
1. 证明：若m pmn pq，则m pmq np。 2. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少 存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11 整除。 3. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示 为a2 p（a > 0是整数，p为素数）的形式。
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《初等数论》
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例1.1.9 若n是奇数，则8n2 1。 解 设n = 2k 1，则 n2 1= (2k 1)2 1 = 4k(k 1)。 在k和k 1中有一个是偶数，所以8n2 1。 例9的结论虽然简单，却是很有用的。例如，使用 例3中的记号，我们可以提出下面的问题： 问题 d(1)2 d(2)2 d(1997)2被4除的余数是 多少？
初等数论 第一章 整数的可除性
第一章整数的可除性§1 整除整数集对于加、减、乘三种运算都是封闭的，但是对于除法运算不封闭。
为此，我们引进整除的概念。
定义1设a,b∈Z，b≠0，如果存在q∈Z，使得等式a=bq成立，那么称b 整除a或a被b整除，记作：b|a，此时称b为a的因数（约数），a为b的倍数。
如果不存在满足等式a=bq的整数q，那么称b不能整除a或a不被b整除，记作b| a。
定理1设a,b,c∈Z，b≠0，c≠0，则（1）如果c|b，b|a，那么c|a；（2）如果b|a，那么bc|ac；反之亦真；（3）如果c|a，c|b，那么，对于任意m,n∈Z，有c|(ma+nb)；（4）如果b|a，a≠0，那么|b|≤|a|；（5）如果b|a，a|b，那么|b|=|a|。
证明可选证。
定理2（带余除法）设a,b∈Z，b≠0，则存在q,r∈Z，使得a=bq+r，0≤r<|b|，并且q及r是唯一的。
证明当b|a时，取q=a/b，r=0即可。
当b!|a时，考虑集合E={a-bk|k∈Z }，易知E中有正整数，因此E中有最小正整数，设为r=a-bk>0，下证：r<|b|。
因为b!|a，所以r≠|b|，若r>|b|，则r’=r-|b|>0，又r’∈E，故与r的最小性矛盾，从而存在q,r∈Z，使得a=bq+r，0≤r<|b|。
唯一性。
设另有q’,r’∈Z，使得a=bq’+r’，0≤r’<|b|，则b(q-q’)=r’-r，于是b|(r’-r)，但由于0≤|r’-r|<|b|，故r’-r=0，即r=r’，从而q=q’。
定义2等式a=bq+r，0≤r<|b|中的整数q称为a被b除所得的（不完全）商，整数r称为a被b除所得的余数。
注r=0的情形即为a被b整除。
例1 设b=15，则当a=255时，a=17b+0，故q=17，r=0；当a=417时，a=27b+12，故q=27，r=12；当a=-81时，a=-6b+9，故q=-6，r=9。
第1章整数的可除性
将 2, 3, 5 分别整除 30 或 30 被 2, 3, 5 分别整除, 记作 2 | 30, 3 | 30, 5 | 30. 这时,
a = q1 · b, b = q2 · c.
因此, 有
a = q1 · b = q1 · (q2 · c) = q · c.
因为 q = q1 · q2 是整数, 所以根据整除的定义, 有 c | a. 例 1.1.3 因为 7 | 42, 42 | 84 , 所以 7 | 84. 在加法、 减法运算中, 整除的性质是保持的. 定理 1.1.2 设 a, b, c = 0 是三个整数. 若 c | a, c | b, 则 c | a ± b. 证 设 c | a, c | b, 那么存在两个整数 q1 , q2 分别使得
n = n1 · p, 1<p n1 < n.
因此, p2 理 1.6.1).
1.1.2
n. 故 p
√
n.
证毕.
注 定理 1.1.6 表明, 素数为乘法的最小单元, 并且整数可以表示成素数的乘积 (定
Eratoshenes 筛法 √ √ n. 由此, 可立即得到一个判断整
根据定理 1.1.6, 合数 n 的最小因数 p 为素数, 且 p 数是否为素数的法则 (只用到整数的乘法运算). 定理 1.1.7 设 n 是正整数. 如果对所有的素数 p
p1 的倍数 : p2 的倍数 : . . . pk 的倍数 : 2 · pk , 3 · pk , · · · , 2 · p1 , 2 · p2 , 3 · p1 , 3 · p2 , ··· , ··· , N · p1 ; p1 N · p2 ; p2 N · pk . pk
信息安全数学基础复习笔记
信息安全数学基础复习笔记
12.3复习笔记
第⼀章、整数的可除性
1.1 整数的概念、欧⼏⾥得除法
1.2 最⼤公因数与⼴义欧⼏⾥得除法
1.3 整除的进⼀步性质及最⼩公倍数
1.4 整数分解
1.5 素数的算术基本定理
第⼆章、同余
2.1 同余的概念及基本性质
2.2 剩余类及完全剩余系
2.3 简化剩余系与欧拉函数
2.4 欧拉定理、费马⼩定理、Wilson定理
2.5 模重复平⽅算法
12.5复习笔记
第三章、同余式
3.1 基本概念及⼀次同余式
3.2 中国剩余定理
3.3 ⾼次同余式的解法及解数
3.4 素数模的同余式
第四章、⼆次同余式与平⽅剩余4.1 ⼀般⼆次同余式
4.2 模为奇素数的平⽅剩余与平⽅剩余4.3 勒让得符号
4.4 ⼆次互反律
4.5 雅可⽐符号
第五章、原根与指标
5.1 指数及基本性质
5.2 原根
5.3 指标及n次同余式。
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【人物传记】 埃拉托色尼斯
埃拉托色尼斯（公元前276-194）, 出生于希腊 属地埃及西部的Cyrene, 他在雅典的柏拉图学习了一 段时间. 托勒密二世（Ptolemy II）邀请他到亚历山大 教他的儿子. 后来成为著名的亚历山大图书馆馆长. 他著有数学、地理、天文、历史、哲学和文学方面 的书. 除了数学方面的工作, 他还以古代编年史和地 理测量闻名.
【人物传记】 张益唐
美籍华裔数学家张益唐（1955-）于1978年进入 北京大学数学科学学院攻读本科, 1982年读硕士, 师 从潘承彪, 1985年入读普渡大学, 导师为莫宗坚. 2013 年由于在研究孪生素数猜想上取得了重大突破, 于第 六届世界华人数学家大会中荣获晨兴数学卓越成就 奖, 后来他也获颁Ostrowski奖和Rolf Schock奖. 2014 年, 美国数学学会更将崇高的柯尔数论奖授予张益唐. 同年7月4日, 张益唐当选为中央研究院第30届数理科 学组院士. 同年9月, 张益唐获得了该年度的麦克阿瑟 奖（俗称“天才”奖）.
【人物传记】 陈景润
陈景润（1933-1996）取得了关于孪生素数和歌 德巴赫猜想的重要结果. 1966年发表《On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes》（《大 偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之 和》,简称“1+2”）, 成为哥德巴赫猜想研究上的里 程碑. 而他所发表的成果也被称之为陈氏定理.
素数的性质
素数个数定理
1,000
168
145
1.16
100,000
9592
8686
1.10
10,000,000 664579 620241
1.07
1,000,000,000 50847478 48254942
1.05
【人物传记】 克里斯汀·歌德巴赫
克里斯汀·歌德巴赫（1690-1764）生于普鲁士 哥尼斯堡（这个城市因七桥问题而在数学界很有 名）. 1725年成为圣彼得堡皇家学院的数学教授. 1728年到莫斯科成为沙皇彼得二世的老师. 1742年任 职于俄国外交部. 除了“每个大于2的偶数都能写为 两个素数的和以及每个大于5的奇数能写为3个素数 的和”的猜想外, 在数学分析方面也做出了令人瞩目 的贡献.
最大公因数的基本性质
【人物传记】 欧几里德
【人物传记】 欧几里德（Euclid, 前325年—前265 年）, 古希腊数学家, 他最著名的著作《几何原本》 被广泛的认为是历史上最成功的教科书,从古至今已 经有了上千种版本, 这本书介绍了从平面到刚体几何 以及数论的知识. 人们关于欧几里德的生平所知很少, 现存的欧几里德画像都是出于画家的想像.
裴蜀等式-举例
计算过程
2=12-10 =12-（34-12×2）=12×3-34 =(46-34)×3-34=46×3-34×4 =46×3-(172-46×3)×4 =46×15-172×4 故: 2=46×15+172×(-4)
备注 (12,10)=(10,2) (34,12)=(12,10) (46,34)=(34,12)
10=5×2
(10,2)=(2,0)=2
欧几里德算法-举例
也可以这样求解： 172=46×4+(-12)
(172, 46)=(46,-12)
46=(-12)×(-4)+(-2) (46,-12)=(-12,-2)
-12=6×(-2)
(-12,-2)=(-2,0)=2
C语言的一种程序实现方法
下面给出C语言的一种程序实现方法. int gcd(int a, int b) {
1.2.3 欧几里德算法
当两个数很大且共同的素因数也很大时, 短除法用起 来就不方便了. 例如, 求46480和39423的最大公因数. 这里介绍另外一种求最大公因数的方法─欧几里德算 法, 该方法有较高的效率, 而且易于程序实现. 欧几里德算法, 中文通常称为辗转相除法, 主要用于 求两个整数的最大公因数, 从而为求解一次同余方程 及一次同余方程组做铺垫.
信息安全数学基础
信息安全工程大学
第1章 一些基本性质
整除的一些基本性质
素数
素数
埃拉托色尼斯筛法
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
1.2.1带余除法
带余除法一般形式
带余除法-举例
1.2 .2 最大公因数
最大公因数-举例
故168和99的最大公因数为(168, 90)=2×3=6.
最大公因数的基本性质
最大公因数的基本性质
【例1.2.3】 计算最大公因数（120, 150, 210, 35）. 解: （120, 150）=30, （30, 210）=30, （30, 35）=5, 故（120, 150, 210, 35）=5 或（120, 150, 210, 35）=((120, 150), (210, 35))=(30,35) =5
while(b != 0) { int r = b; b = a % b; a = r; } return a; }
裴蜀等式
裴蜀等式-举例
计算过程 172=46×3+34 46=34+12 34=12×2+10 12=10+2 10=5×2
备注 (172, 46)=(46,34) (46,34)=(34,12) (34,12)=(12,10) (12,10)=(10,2) (10,2)=(2,0)=2
欧几里德算法
欧几里德算法
欧几里德算法-举例
【例1.2.6】 利用欧几里德算法求（172, 46）.
172=46×3+34 46=34+12
(172, 46)=(46,34) (46,34)=(34,12)
34=12×2+10
(34,12)=(12,10)
12=10+2
(12,10)=(10,2)