11用字母表示数 代数式与代数式的值

用字母表示数代数式与代数式的值

一、知识概述

1、用字母表示数的意义

用字母表示数是代数的一个重要特点，能一般而又简明地把数和数量关系表达出来，从而为叙述和研究问题带来方便，又能使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示出来，更具普遍意义．如一件商品的单价为a元，买了b件，则总价为ab元；将一笔钱存入银行，每月可获利息a元，存了b个月，则共获利息ab元，这里同用代数式ab，但它却表示了不同的实际意义．

2、用字母表示数时书写应注意以下原则

①字母与字母相乘可以用“·”表示，也可以省略．如a×b 通常写作a·b或ab；

②数字与字母相乘，数字通常写在字母前面．如：a×3通常写作3a；

③带分数因数一般写成假分数．如x的倍，表示成x，而不要写成；

④除法运算写成分数形式．如1÷a通常写作；

⑤在一些实际问题中，表示某一数量的代数式如果有单位，当代数式是积或商的形式，单位写在式子的后面即可；如果代数式是和或差的形式，则需要将代数式用括号括起来.再将单位写在后面，如(m＋n)厘米；

⑥相同字母相乘，一般不把每个因数写出来，而是写成幂的形式，如a·a·a写作a3.

3、代数式

代数式是数与数之间、数与字母之间，字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连结起来的式子.所以代数式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分数线）、乘方等运算符号，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号．特别注意：单独的数或字母，也是代数式．

4、列代数式

在解决实际问题中，往往需要先把问题中与数量有关的语句用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式．

要正确列出代数式，请注意以下关键：

（1）正确理解和、差、积、商、多、少、大、小、倍、分、倒数、平方差、平方、立方、余数、增加等．

（2）正确判断各数量关系中的运算顺序：通常是先读的先写，后读的在后运算，并正确遵循运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）和运用括号（先括号内，后括号外，先小括号，再中括号，最后大括号）．如：“x与y的和的3倍”，显然是先加后乘，把x与y的和看成一个整体括起来，再乘以3，即．

（3）在分析语句所表达的数量关系时，应弄清语句中的数量关系是以哪个为基准的．如：“甲数比乙数小3，设甲数为x，用代数式表示乙数”，这里的乙数是基准，甲数＝乙数－3，那么乙数为甲数＋3．因此，乙数为：x＋3，切记避免“见多就加，见少就减”的错误．

（4）要掌握基本的数量关系：

a. 路程问题：路程＝时间×速度

b. 工程问题：工作总量＝工作时间×工作效率

c. 价格问题：总价＝单价×数量

d. 数字问题，表示数字方法，其中a、b、c分别为个位、十位、百位上的数字．

e. 特殊图形的面积、体积公式．

5、代数式的值及求法

（1）代数式的值：用数代替代数式中的字母，按代数式里指明的运算关系计算出的结果叫做代数式的值.

（2）求代数式的值的一般步骤：①代入，将字母的具体值代替代数式里的字母；②计算，按代数式指明的运算，计算出结果.

（3）求代数式值注意的问题：①代数式的值由代数式中字母所取的值确定，同一个代数式，字母的取值不同，所求代数式的值一般也不同；②代入，只是将代数式中的字母换成具体的数值，代数式中原来的运算符号，运算顺序以及代数式中原有的数字都不变；③当代入的数值是负数时，一般要将括号括起来.

二、典型例题解析

例1. 下列各式中：（1）；（2）；（3）n－3人；（4）2·5；（5）．其中符合代数式书写要求的个数为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

分析：

（1）应写成，当带分数与字母相乘时，应将带分数变成假分数．

（2）应写成，当表示商数关系时，应按分数的形式来书写，将“除号”变成“分数线”．

（3）应写成（）人．

（4）2·5应写成2×5．当两数相乘时应用“×”号．

（5）符合书写要求．

因此（1）、（2）、（3）、（4）皆错，应选A．

例2. 下列各式哪些是代数式？哪些不是代数式？

（1）3>2；（2）a＋b=5；（3）a；（4）3

（5）5＋4－1；（6）m米；（7）

分析：

（1）、（2）中的“＞”、“＝”它们不是运算符号，因此（1）、（2）不是代数式．

（3）、（4）中a、3是代数式，因为单个数字和字母是代数式．

（5）中是加减运算符号把5、4、1连接起来，因此是代数式．

（6）m米含有单位名称，故不是代数式．

（7）中由乘、减两种运算联起5、x、3、y，因此是代数式．

因此代数式有（3）（4）（5）（7）；（1）（2）（6）不是代数式．

例3、用含有字母的式子表示：

（1）浓度为20%的盐水为a千克，加盐m千克后盐水浓度为_________；

（2）一根蜡烛长为20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧t小时后蜡烛的长为_________；

（3）轮船往返相距S千米的A、B两地，轮船在静水中每小时行a千米，水流速度为每小时b 千米，则往返A、B两地一次需要____________小时；

（4）某市为鼓励市民节约用水，对水费作了如下规定：每户居民月用水量不超过20吨，则每吨按0.5元收费，超过20吨，则超过的部分每吨按0.8元收费，若某户居民某月用水30吨，则应交水费___________元；若某户居民每月用水x吨（x>20），则应缴纳水费___________元.

分析：

这些列代数式的问题都是为后来的学习作铺垫，如要熟练掌握：“浓度=”，“顺水速度=静水速度＋水流速度；逆水速度=静水速度－水流速度”，分段计费等问题.

解答：

（1）原溶液中盐为20% a千克，加入m千克盐后，盐为(20%a＋m)千克，溶液质量为(a＋m)千克，因此，浓度为.

（2）（20－5t）cm（t≤4）

（3）顺水行驶时间为小时，逆时行驶时间为小时，因此，往返一次共需（＋）小时.

（4）若某户居民月用水30吨，则应交水费20×0.5＋0.8(30－20)=10＋8=18（元）

若月用水x吨（x>20），则应交水费20×0.5＋0.8(x－20)=10＋0.8x－16=(0.8x－6)（元）

例4、已知|a＋2|＋(b＋3)2=0，求代数式3ab＋2ab2－4a2b的值.

分析：