11用字母表示数 代数式与代数式的值

用字母表示数代数式与代数式的值
一、知识概述
1、用字母表示数的意义
用字母表示数是代数的一个重要特点，能一般而又简明地把数和数量关系表达出来，从而为叙述和研究问题带来方便，又能使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示出来，更具普遍意义．如一件商品的单价为a元，买了b件，则总价为ab元；将一笔钱存入银行，每月可获利息a元，存了b个月，则共获利息ab元，这里同用代数式ab，但它却表示了不同的实际意义．
2、用字母表示数时书写应注意以下原则
①字母与字母相乘可以用“·”表示，也可以省略．如a×b 通常写作a·b或ab；
②数字与字母相乘，数字通常写在字母前面．如：a×3通常写作3a；
③带分数因数一般写成假分数．如x的倍，表示成x，而不要写成；
④除法运算写成分数形式．如1÷a通常写作；
⑤在一些实际问题中，表示某一数量的代数式如果有单位，当代数式是积或商的形式，单位写在式子的后面即可；如果代数式是和或差的形式，则需要将代数式用括号括起来.再将单位写在后面，如(m＋n)厘米；
⑥相同字母相乘，一般不把每个因数写出来，而是写成幂的形式，如a·a·a写作a3.
3、代数式
代数式是数与数之间、数与字母之间，字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连结起来的式子.所以代数式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分数线）、乘方等运算符号，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号．特别注意：单独的数或字母，也是代数式．
4、列代数式
在解决实际问题中，往往需要先把问题中与数量有关的语句用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式．
要正确列出代数式，请注意以下关键：
（1）正确理解和、差、积、商、多、少、大、小、倍、分、倒数、平方差、平方、立方、余数、增加等．
（2）正确判断各数量关系中的运算顺序：通常是先读的先写，后读的在后运算，并正确遵循运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）和运用括号（先括号内，后括号外，先小括号，再中括号，最后大括号）．如：“x与y的和的3倍”，显然是先加后乘，把x与y的和看成一个整体括起来，再乘以3，即．
（3）在分析语句所表达的数量关系时，应弄清语句中的数量关系是以哪个为基准的．如：“甲数比乙数小3，设甲数为x，用代数式表示乙数”，这里的乙数是基准，甲数＝乙数－3，那么乙数为甲数＋3．因此，乙数为：x＋3，切记避免“见多就加，见少就减”的错误．
（4）要掌握基本的数量关系：
a. 路程问题：路程＝时间×速度
b. 工程问题：工作总量＝工作时间×工作效率
c. 价格问题：总价＝单价×数量
d. 数字问题，表示数字方法，其中a、b、c分别为个位、十位、百位上的数字．
e. 特殊图形的面积、体积公式．
5、代数式的值及求法
（1）代数式的值：用数代替代数式中的字母，按代数式里指明的运算关系计算出的结果叫做代数式的值.
（2）求代数式的值的一般步骤：①代入，将字母的具体值代替代数式里的字母；②计算，按代数式指明的运算，计算出结果.
（3）求代数式值注意的问题：①代数式的值由代数式中字母所取的值确定，同一个代数式，字母的取值不同，所求代数式的值一般也不同；②代入，只是将代数式中的字母换成具体的数值，代数式中原来的运算符号，运算顺序以及代数式中原有的数字都不变；③当代入的数值是负数时，一般要将括号括起来.
二、典型例题解析
例1. 下列各式中：（1）；（2）；（3）n－3人；（4）2·5；（5）．其中符合代数式书写要求的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
分析：
（1）应写成，当带分数与字母相乘时，应将带分数变成假分数．
（2）应写成，当表示商数关系时，应按分数的形式来书写，将“除号”变成“分数线”．
（3）应写成（）人．
（4）2·5应写成2×5．当两数相乘时应用“×”号．
（5）符合书写要求．
因此（1）、（2）、（3）、（4）皆错，应选A．
例2. 下列各式哪些是代数式？哪些不是代数式？
（1）3>2；（2）a＋b=5；（3）a；（4）3
（5）5＋4－1；（6）m米；（7）
分析：
（1）、（2）中的“＞”、“＝”它们不是运算符号，因此（1）、（2）不是代数式．
（3）、（4）中a、3是代数式，因为单个数字和字母是代数式．
（5）中是加减运算符号把5、4、1连接起来，因此是代数式．
（6）m米含有单位名称，故不是代数式．
（7）中由乘、减两种运算联起5、x、3、y，因此是代数式．
因此代数式有（3）（4）（5）（7）；（1）（2）（6）不是代数式．
例3、用含有字母的式子表示：
（1）浓度为20%的盐水为a千克，加盐m千克后盐水浓度为_________；
（2）一根蜡烛长为20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧t小时后蜡烛的长为_________；
（3）轮船往返相距S千米的A、B两地，轮船在静水中每小时行a千米，水流速度为每小时b 千米，则往返A、B两地一次需要____________小时；
（4）某市为鼓励市民节约用水，对水费作了如下规定：每户居民月用水量不超过20吨，则每吨按0.5元收费，超过20吨，则超过的部分每吨按0.8元收费，若某户居民某月用水30吨，则应交水费___________元；若某户居民每月用水x吨（x>20），则应缴纳水费___________元.
分析：
这些列代数式的问题都是为后来的学习作铺垫，如要熟练掌握：“浓度=”，“顺水速度=静水速度＋水流速度；逆水速度=静水速度－水流速度”，分段计费等问题.
解答：
（1）原溶液中盐为20% a千克，加入m千克盐后，盐为(20%a＋m)千克，溶液质量为(a＋m)千克，因此，浓度为.
（2）（20－5t）cm（t≤4）
（3）顺水行驶时间为小时，逆时行驶时间为小时，因此，往返一次共需（＋）小时.
（4）若某户居民月用水30吨，则应交水费20×0.5＋0.8(30－20)=10＋8=18（元）
若月用水x吨（x>20），则应交水费20×0.5＋0.8(x－20)=10＋0.8x－16=(0.8x－6)（元）
例4、已知|a＋2|＋(b＋3)2=0，求代数式3ab＋2ab2－4a2b的值.
分析：
根据非负数之和为0的条件，求出a、b的值，再代入求值.注意将省略的乘号添上，若代入的是负数应添上括号.
解：
∵|a＋2|＋(b＋3)2=0，∴a＋2=0，且b＋3=0，
∴a=－2，b=－3.
当a=－2，b=－3时，
原式=3×(－2)×(－3)＋2×(－2)×(－3)2－4×(－2)2×(－3)
=18－36＋48=30．
例5、当x=7时，代数式ax3＋bx－5的值为7，当x=－7时，代数式ax3＋bx＋5的值为多少？
分析：
把x=7代入条件中不可能求出a、b，但可以把ax3＋bx作为一个整体来看，用整体代入的方法可以求值.
解：
把x=7代入ax3＋bx－5，得：343a＋7b－5=7.
∴343a＋7b=12.
当x=－7时，ax3＋bx＋5=－343a－7b＋5=－(343a＋7b)＋5=－12＋5=－7.
例6、如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为_________．
解析：
本题是规律探索试题，第一个图案中灰色瓷砖块数为4，可表示为4＋(1－1)×2；
第二个图案中灰色瓷砖块数为4＋2，可表示为4＋(2－1)×2；第三个图案中灰色瓷砖块数为4＋4，可表示为4＋(3－1)×2，……于是第六个图案中灰色瓷砖块数可表示为4＋(6－1)×2=14.
中考解析
整式是中考的必考内容，主要考查用字母表示数，单项式和多项式的有关概念．考题多以填空题、选择题的形式出现，有时与其它知识综合命题，一般难度不大．
例1、（新疆）某商品的进价为元，售价为120元，则该商品的利润率可表示为__________．
解析：
商品的利润率＝×100%．利润为120－x．
答案：
例2、（广州市）如图①，图②，图③，图④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________
解析：
第5个“广”字中的棋子个数是7＋7＋1＝15．由题中各图的规律可得第n个“广”字的棋子个数是（2n＋5）个．所以第5个“广”字中的棋子个数是15．
答案：15，2n＋5．。