高等数学§2-3隐函数及由参数方程2

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2-3隐函数和参数方程的导数

《微积分 A》习题解答
(2) ⎨
⎧ x = θ (1 − sin θ ) ⎩ y = θ cos θ
解：
′ = 1 − sin θ − θ cos θ xθ ， ′ = cos θ − θ sin θ yθ
故
′ dy yθ cos θ − θ sin θ = = ′ 1 − sin θ − θ cos θ dx xθ
解： ln y = 4 ln( 3 − x ) +
1 ln( x + 2) − 5 ln( x + 1) ，两端同时对 x 求导： 2
y′ 4 1 5 (3 − x )4 x + 2 ⎛ 4 1 5 ⎞ ′ ⎜ ⎟ ，所以 y = = + − + − 5 ⎜ ⎟ y x − 3 2( x + 2) x + 1 ( x + 1) ⎝ x − 3 2( x + 2) x + 1 ⎠
由题意知
dr = 6m / s ， r ( 2) = 12 ， dt dr ds ds = 2π r ⋅ ，故 dt dt dt
s = π r2
两端对 t 求导得
= 2π r ⋅
t =2
dr = 144π ( m 2 / s ) dt
13. 一架巡逻直升机在距地面 3km 的高度以 120km / h 的常速沿着一水平笔直的高速路飞行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为 5km ，且此距离以 160km / h 的速率减少。试求汽车行驶的速度. 解：由图示建立坐标系，设时刻 t 直升机位于点 ( x1 ( t ), 3) 处，汽车位于点 ( x 2 ( t ), 0) 处，直升机与汽车间的距离为 l ( t ) ，则有 l = ( x 2 − x 1 ) + 3 ，且已知

2-3 隐函数及参数方程及高阶导数_图文.ppt

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数计算，是微积分中的重要内容。对于隐函数，我们可以通过对方程两边同时求导次进行求导，注意此时要运用复合函数的求导法则。对于由参数方程所确定的函数，其一阶导数可以通过参数方程中各变量对参数的导数关系求得。而二阶导数则需要在一阶导数的基础上，进一步对参数求导，并结合链式法则进行计算。掌握这些方法和步骤，能够有效解决隐函数及参数方程相关的高阶导数问题，提升微积分学习的效果和应用能力。

2-3隐函数及参数方程确定的函数求导

练习题答案
4 一、 1、 ,； 3
2、 x + 11 y − 23 = 0 2、
2 2 e x+ y − y sin t + cos t 4、 , − 2 − 3 ； 5、 5、 4、 . x+ y cos t − sin t x−e
3、 3、
π
x− y+
π
= 0；
四、小结
隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 参数方程求导: 参数方程求导相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解. 求导法求解.
练习题
填空：填空： 1、设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 dy y 是 x 的函数，则的函数， =________ dx (1,1) 在点（曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点（ 1 ， 2 ）处的切线方程是 ___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 2、曲线在 t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 3、已知 ,则 =______； =______. t dx dx t = π y = e sin t 3 dy 4、设 xy = e x + y ,则 =________. dx
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt

2-3隐函数和由参数方程所确定的函数的导数

f ( x ) y (ln f ( x ) ) f ( x)
( f ( x ) 0)
2) 多个函数的乘积、商、方根的导数 : f1 ( x ) f n ( x ) yk g1 ( x ) gm ( x )
u ( x 1)( x 2) 例6 设 y ，求 y. ( ln u ) u ( x 3)( x 4) 1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 y 1 1 1 1 1 两边对 x 求导： y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
y (t )都可导, 且 ( t ) 0, 则由参数方程所
y [ 1 ( x )] 可导，且确定的函数
d y d y d t d y 1 ( t ) . d x d t d x d t d x ( t ) dt
例7 一个半径为a的圆在定直线上滚动时,圆周上任一
2
3 x x 2x ln x 3 2 1 2 ln x 3( 2 x ) 3( 2 x ) x (2 x )

备用题
例3-1 求由方程x sin x y e x y所确定的
dy 隐函数y在点x 0处的导数 d x x 0. 解方程两边对x求导： d sin( x y ) dy x sin x y x e , dx dx d( x y ) d dy x sin x y x cos( x y ) (1 ) e , ddx x dx
d y sin x y x cos x y e x 于是 . dx 1 x cos x y
d y sin x y x cos x y e x dx 1 x cos x y

高等数学2-3高阶导数隐函数求导讲解

x

2

2
)

sin(
x

3

) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
( 1)( n 1)xn ( n)
2
4
即
求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, y是x的函数, 于是y的函数便是x的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 y 的方程. 从中解出即可.
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y. 一般来说,隐函数
求导, 允许在 y的表达式中含有变量y.
练习设sin y xe y 0, 求 dy . dx
解利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得
cos y y 1 e y x e y y 0
解出 y, 得
y

ey cos y
xey
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
方法先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
若 n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
( 1)( n 1)xn ( n)
( x )(n)

n!
( n)
0
( n)
例如： ( x5 )(6) 0
( x3 6 x2 5 x 1)(3) 3! 6

三节隐函数和参数方程

-1
0.5
1
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法
极坐标方程求导
4. 用Mathematica求两种函数的导数。
课后练习
P54
3．利用M athematica求由下列方程所确定的各
隐函数
y
y(x)
的导数
ey 故 y ' 1 xe y
注：求导后得到一个关于 x 的方程，解此方程则得
y 的' 表达式，在此表达式中允许含有 y 。
例2 求曲线 y3 x3 2xy上点 (1 , 1 ) 处的切线方程。
解方程两端对 x 求导数，得
3y2y'3x22y2xy'
解出 y ' ，得 2y3x2
y' 3y22x
dy 。
dx
解方程两边求导，得
从求导结果中解出隐函数的导数：
或者将两个步骤合并为
注意在
中
一样的，都表示函数
意义是的一阶导数。
例4 求方程导数。
解
所确定的隐函数的
即
说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
dt
dx dy
(t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
例5 已知圆的参数方程为
求
解 d yd y/d x(asint)'aco stco st d x d t d t (aco st)' asint

高等数学：第三节隐函数、参数方程

5
例3（课本P.90 例4）
设 xy ln x 1确定了函数x x( y). 试证：函数x( y)满足关系式 x2 ( xy 1) dx 0. dy
小结：隐函数求导步骤
6
二、对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
10
u( x)v(x) (u( x) 0)导数的求法二：
u( x)v( x)＝ev(x)lnu(x) (u( x)v( x))'=(ev( x)lnu( x) )'
＝ev( x)lnu( x)[v' ln u v 1 u']
＝uv[v' ln u vu' ].
u
u
11
练习：求下列函数的导数
(1) y aax a xa xaa; (2) y a xx xax x xa ; (3) y x xx .
解. (1) y aax lna ax lna axa lna axa1 aa xaa 1
aax x ln2 a a xa 1 xa1 ln a aa xaa 1 .
ln f ( x) v( x) ln u( x)
两边同时对x求导得
f ( x) v( x)ln u( x)

北京理工大学工科数学分析2-3隐函数和参数方程求导法

Oct.19 Wed.
Review
❖ 导数四则运算
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
❖ 反函数求导
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
❖ 复合函数求导
设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的导数为dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
dx du dx
或 f x fu ux
❖ 高阶导数
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
3 75 25 因此水桶的水平上升速率为16/25(cm/s).
Hw: p110 1(双),2(4,5),3,6,7(2,4,10),8(2,8,9),10,12, 16,17. p119 6(2,4,6),7(2,4),8,11,12.
小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.
x1(t )( y y1(t )) y1(t )( x x1(t ))
令 y 0,得到切线与 x 轴交点的坐标为:
x0
x(t) y(t) x(t) y(t) y(t )
x1(t )
dx dy
y1(t )
x(t) a cos2 t , sin t

高等数学课件24隐函数

隐函数是曲面的局部表示
隐函数在曲面上的应用，如求曲面的交点、求曲面的切线等
隐函数与等值线的几何意义
隐函数：通过方程F(x,y)=0定义的函数等值线：满足F(x,y)=c的曲线几何意义：隐函数描述了等值线的形状和位置
应用：在物理、工程等领域中，隐函数与等值线常用于描述物理量、工程参数的变化规律和分布情况
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导法则：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
应用范围：参数方程法适用于求解含有参数或参数的函数，如圆锥曲线、旋转体等
注意事项：在求解过程中，需要注意参数的取值范围，避免出现错误或遗漏
反表示法
反表示法是一种求解隐函数的方法反表示法通过将隐函数转化为显函数，然后求解显函数反表示法适用于求解具有简单形式的隐函数反表示法可以应用于求解一元隐函数和多元隐函数
隐函数在微积分中的应用
隐函数求导：通过隐函数求导公式，求解隐函数的导数隐函数积分：通过隐函数积分公式，求解隐函数的积分隐函数极值：通过隐函数极值公式，求解隐函数的极值隐函数方程：通过隐函数方程，求解隐函数的解
隐函数在解决实际问题中的应用
物理问题：如力学、热力学、电磁学等
工程问题：如结构力学、流体力学、控制理论等
隐函数的性质
隐函数存在定理：如果f(x,y)=0，且f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则存在一个开区间(x0δ,x0+δ)，使得在(x0-δ,x0+δ)内，f(x,y)的零点y=φ(x)是连续可微的。

2-3隐函数与参数方程求导法

(t )中, (t)
设函数x = (t)具有单调连续的反函数 t = (-1 x),
y = [ -1( x)]
再设函数 x = (t), y = (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
=
dy dt
dt dx
=
dy dt
1 dx
=
(t) (t)
即
dy dx
dt dy 之间也存在一定关系, 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率.
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解决相关变化率问题,可采用如下步骤: (1) 建立x, y之间的关系式F ( x, y) = 0; (2) 用链式法则将关系式两端对t求导，得x(t )与y(t )之间的关系式； (3) 从中解出所要求的变化率.
1
,
y = x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
--------对数求导法
适用于:
(1)幂指函数 u( x)v( x)的情形. (2)由多个函数相乘除的情形.
例5 设 y = ( x + 1)3 x - 1 , 求y. ( x + 4)2 e x
解等式两边取对数得
线通过原点.
解方程两边对x求导, 3x2 + 3 y2 y = 3 y + 3xy
y (3,3) 22
=
y - x2 y2 - x
= -1.
33 (,)
22
所求切线方程为 y - 3 = -( x - 3) 即 x + y - 3 = 0.
2

隐函数与参数方程的导数(2)

2021/4/22
2
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铃
把一个隐函数化为显函数 , 称为隐函数的显化
例如由方程 4x y3 1所确定的隐函数，可由方程解出y ，得显函数 y 3 4x 1.
注意: 并不是所有的隐函数都可化为显函数. 如方程 xy ex ey 0 所确定的隐函数就不能显化。
§3.2.5隐函数及由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数求导法二、由参数方程所确定的函数的导数
2021/4/22
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1铃
一、隐函数的导数
❖显函数与隐函数
(1) 显函数: 我们把函数y可由自变量x的解析式 y f ( x)来表示的这种函数,称为显函数.
例如 ysin x yln xex 都是显函数
例1 求yx sin x (x>0)的导数解法一两边取对数得
ln ysin xln x 上式两边对x 求导得
1 y
y
cos
xln
x sin
x
1 x
y xsinx(cos xln x sin x) x
解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.
yx sin xe sin x·ln x
ln y ln(x 1) 2 ln( 3x 1) 1 ln( x 2)
3
3
上式两边对 x求导 :
1 y
y
x
1
1
2 3
31 3x
1
1 3
x
1
2
y
(x
1)
3
(3x
1)2 ( x
2)
x

2-3隐函数和参数式函数的求导法共38页

dy
dy dxdy dt来自dt dx
dy dt

1 dx

(t ) (t )
即
dy dx

dt dx
dt
dt
例
求摆线

x y

a(t a(1

sin t) cos t)
在t

2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dx

dt dx

a sin t a a cos t
sin t 1 cos t
xsin x (cos x ln x sin x ) x
注幂指函数也可以利用对数性质化为: 复合函数再求导, 只要将
y u( x)v( x) (u( x) 0) 改写成 y ev( x)ln u( x)
如上例 y xsin x ( x 0), 求y.
将y xsin x ( x 0), 改写成y esin x ln x ,则
b
两边对x求导
y ln a a y bx
b x
y

a b
x
b x
a
x a
b ln
a b

a x

b x

1.设y

x sin x 1 x2
,求y.
解答等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )

t
2

y

sin
y

1
确定函数 y y( x),求 d y .