1.5两角和余弦(南京市建邺高中讲学稿)
高中数学必修一课件：两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时)
两角和与差的正弦、余弦公式的特征是什么？
答：两角和(差)的余弦：余余、正正、符号异(即公式右端分别是α与β的余
弦之积，以及正弦之积，中间的符号与左边相反)；两角和(差)的正弦：正余、 余正、符号同．
课时学案
题型一 正弦、余弦公式的基本应用
例 1 (1)求 cos 165°＋sin 255°的值．
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时) 两角和与差的正弦、余弦公式
要点 1 两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
要点 2 两角和与差的正弦公式
(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
π 12－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3 sin
π 12－sin
π 3 cos
π 12
＝－2sinπ3 －π 12
π ＝－2sin 4 ＝－ 2.
(3)cos 15°＋sin 15°
＝ 2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝ 2cos(45°－15°)
＝
2×
23＝
(2)化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A．2 2cosπ6 －x
B．2 2cosπ3 －x
C．2 2cosπ6 ＋x
D．2 2cosπ3 ＋x
【解析】
原式＝2
212cos
x－
3 2 sin
x
＝2 2cos－π3 cos x＋sin－π3 sin x
两角和与差的余弦课件
公式意义
两角和的余弦等于两个角 的余弦之积减去两个角的 正弦之积
公式证明
根据三角函数的和差化积 公式和三角函数的积化和 差公式可以证明
两角差的余弦公式
公式定义
$\cos(α-β)=\cos α\cos β+\sin α\sin β$
公式意义
两角差的余弦等于两个角 的余弦之积加上两个角的 正弦之积
公式证明
解决物理问题等。随着科学技术的不断发展，该公式将在更多的领域得
到应用和发展。
THANKS
感谢观看
在信号处理中的应用
信号的合成与分解
使用两角和与差的余弦公式，可以将一 个信号分解为多个信号的叠加，也可以 将多个信号合成为一个信号。
VS
信号的调制与解调
在信号调制过程中，使用两角和的余弦公 式可以将一个低频信号加载到高频载波上 ；在信号解调过程中，使用两角差的余弦 公式可以从高频信号中提取出低频信号。
重要性质
该公式具有一些重要的性质，例如，当两个角度的和或差 为90度时，余弦值为0；当两个角度的和或差为180度时 ，余弦值为-1等。
应用范围
该公式在解决三角形问题、极坐标系问题以及在信号处理 等领域都有广泛的应用。
对两角和与差的余弦公式的展望
01
进一步研究
尽管我们已经得到了两角和与差的余弦公式，但是对该公式的进一步研
05
CATALOGUE
两角和与差的余弦公式的变式与扩展
两角和的余弦公式的变式
公式变形
$\cos(A+B) = \cos A \cos B \sin A \sin B$
证明
利用和差角公式和三角函数的和 角公式进行变形。
应用
用于计算两角和的余弦值，或者 利用已知的两角和的正弦、余弦
高一数学两角和与差的余弦、正弦、正切2(教师版)
例7、已知tan和 是方程 的两个根，
证明：pq+1=0
证：由韦达定理：tan+ =p，tan• =q
∴
∴pq+1=0
变式练习：
1、已知tan= ，tan()= (tantan+m),又,都是钝角，求+的值
解：∵两式作差，得：tan+tan= (1tantan)
即 ∴
又,都是钝角 ∴<+<2∴+
A．1B．－1C．0D．±1
二、解答题
3、已知 ＜α＜ ，0＜β＜ ，cos（ +α）=－ ，sin（ +β）= ，求sin（α+β）的值．
4、已知非零常数a、b满足 =tan ，求 ．
5、已知０＜α＜ ，sin（ －α）= ，求 的值．
6、已知sin（α+β）= ，sin（α－β）= ，求 的值．
2、求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)……(1+tan44)
解：(1+tan1)(1+tan44)=1+tan1+tan44+tan1tan44
=1+tan45(1tan1tan44)+ tan1tan44=2
同理：(1+tan2)(1+tan43)=2 (1+tan3)(1+tan42)=2……
解：由于lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2，可得lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC，即lgsinA=lg2sinBcosC，
sinA=2sinBcosC．根据内角和定理，A+B+C=π，∴A=π－（B+C）．∴sin（B+C）=2sinBcosC，
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
高一数学两角和与差的余弦省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
能力提升：
化简：（1）1 cos 3 sin
2
2
（2） 2 cos 2 sin
2
2
（3）cos sin
【引申】求函数y cos sin的最大、最小值。
四、课堂小结:
1 、两角和与差旳余弦公式：
cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin
（1）cos 75 （2）sin 75
【引申】求 tan 75 的值.
【课后思索】能否求 sin( ) 旳值？
例2 化简:
（1）cos 58 cos 37 sin 58 sin 37
(2) sin x y sin x cos x y cos x
(3)
cos
3
cos
3
3.1.1 两角和与差旳余弦
两角和与差旳余弦
一、问题情境：
cos 60
1 2
cos 45
2 2
问题1：cos15 cos 60 45 ？
问题2：cos 能否用α旳三角函数与β旳
三角函数来表达？
两角和与差旳余弦
y
( cos,sin) P1
α o
(cos ,sin )
P2
β
P0
x
OP1 (cos ,sin ) OP2 (cos ,sin )
OP1 OP2 1
cos cos P1OP2
OP1 OP2 OP1 OP2
OP1 OP2
cos cos sin sin
二、两角和与差旳余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin (C ) cos( ) cos cos sin sin (C )
注：（1）角α和角β均是任意角； （2）公式形式特点：①CCSS ②+-互换
江苏省南京市建邺高级中学高二数学 第26课时《正、余弦定理的应用》学案
第26课时正、余弦定理的应用【重点难点】：能运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【考点概述】：能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．【知识扫描】：1. 解斜三角形的常见类型及解法已知条件应用定理一般解法一边和两角（如CBa,,）正弦定理由0180=++CBA，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解。
两边和夹角（如Cba,,）余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由0180=++CBA求出另一角。
在有解时只有一解。
三边（cba,,）余弦定理由余弦定理求出角BA,；再利用180=++CBA，求出角C。
在有解时只有一解。
两边和其中一边的对角（如Aba,,）正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由0180=++CBA求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c。
可有两解、一解或无解。
2. 正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3. 实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角（如图①）.（2）方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）.（3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.【热身练习】1．已知A 船在灯塔C 北偏东85且A 到C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 西偏北25且B 到C 的 距离为3km ，则,A B 两船的距离为 ．2. 一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060 且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为_________。
3．海上有三个小岛,,,C B A 其中B A ,两岛相距610海里，从A 岛望C 岛和B 岛所成的视角为 60º，从B 岛望C 岛和A 岛所成的视角为75º，则B 岛和C 岛的距离为 海里。
两角和与差正弦余弦公式课件
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
2021版江苏高考数学复习讲义两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式含答案
1.2会用两角差最新考会用向量的数量积推导出两角差的余弦公.3会用两角差的余弦公式推导出两余弦公式推导出两角差的正弦、正切公和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的.4包括导出积化和差、和差能运用上述公式进行简单的三角恒等变在联积、半角公式，但不要求记两角和与差的正弦、余弦、正切公(1)sinsincoscossin(2)coscoscossinsin2 / 20tan α±tan .(3)tan tan αtan 二倍角的正弦、余弦、正切公(1)sin 2sincos2sisi2coco(2)cos 2tan (3)tan .1－tan2辅助角公cos.a2＋b sin其sinsincos a2＋ba2＋b[常用结论公式的常用变tantantantan)(tan2tan 2sin αcos sin 1＋tan2sin2α＋cos21－tan2cos2α－sin2cos .1＋tan2cos2α＋sin2降幂公1－cos 2si1＋cos 2cosincossin 升幂公2cocos2sicos sin＋co sin3 / 20sin－co.sin半角正切公sin 1－cos tan.1＋cos sin一、思考辨正确的打“√”，错误的打“×)(1存在实，使等sinsinsin成立()(2公sincos a2＋b sin的取值的值无关().(2si)(3)cos2co1－cos .()(4是第一象限角时sin答(1(2(3(4二、教材改＋(co是第三象限角，)＝．已cos．A11C．114 / 20cos＝是第三象限角sin＝1－cos2＝＋(coscosin故A.]1sin 347cos 148sin 77cos 58 .[sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058sin 77cos 58cos 77)sin 58sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77.]sin 135sin(5877．计算sin 108cos 42cos 72sin 42 .原式sin(18072)cos 42cos 72sin 42sin 72cos 42cos 72sin 42sin(7242sin 30.]tan 20tan 40tan 20tan 40 .tan 20°＋tan 40tan 60tan(20401－tan 20°tan 40tan 20tan 40tan 60(tan 20tan 40 tan 20tan 40原式tan 20tan 40tan 20tan 40.]．tantan，tan .5 / 201错误!错误!错误!.]＝]β＝[tan βtan[(α＋)－α＝＝7第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式1 公式的直接应用考点(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．6 / 201.(20xx全国2sin cos ，sin已()BADC 2co4sincos由二倍角公式可cos2sincostansin故B.]，tan(，tan的值()．已sin ．B1111C ．，tan＝，tan＝tan α－tan tan1＋tan α·tan7 / 20＝.]1ααco(20xx太原模，si，.＋α为锐角，si由于αcoααcocoααsinsicosco＋.]sin 110°sin 20的值．计cos2155°－sin2155sin 110°sin 20sin 70°sin 20cos2155°－sin2155cos 310sin 40cos 20°sin 20.]cos 50sin 408 / 20两角和与差的三角函数公式可βαβα±的三角函数表示，的三角函数，在使用两看作是诱导公式的推广，可用角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．2 公式的逆用与变形用考点公式的一些常用变形(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；αα??2sin ±cos ??；α(3)1±sin ＝22??2sin αcos α2tan α(4)sin 2α＝＝；sin2α＋cos2αtan2α＋1tan A＋tan ＝(2tantantantan，可1－tan Atan tan＝，(3所，cos.](1逆用公式的关键是准确找出给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和之间的关系(2)tantantantantantantan)tan)三者可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题(3重sincoscossincoscossinsin的整体应用公式的变形11 / 20sin235°(1化.cos 10°cos 80αα的结果sisisi(2化1－cos 70cos 70sin235°(2[(1(1cos 10°cos 80cos 10°sin 10sin 2012α2α1－c1－c si(2原式2α2αsicocosicoscos cos 21－cos 2.]12 / 20注意特殊角的应用，当式子等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，值变出构适合公式的形式1cos 50cos 127cos40cos 37(sin 56cos1－tan23956，的大小关系()1＋tan239由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可cos 50cos 127cos 40cos 37cos 50cos 127sin 50sin 127cos(50127cos7713 / 20222(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－cos 77°＝sin 13°，b ＝222sin239°1－cos239°1－tan239°2239°＝cos 78°＝39°－sinsin＝45°)sin 11°，c＝＝＝cos1＋tan239°sin239°1＋cos239°π为增函数，所以sin 13°＞sin 12°，＞sin 11°，所∈.因为函数y＝sin x，x012°2.]bc＞以a＞2) ＝4sin( 15°cos 15°cos 15°2．[一题多解]3－21 B.A.22D.2 1 C．215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°3cos 15°－4sin·2sin 15°cos D [法一：15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos45°＝2.故选D.6＋26－2，sin 15°＝，所以3cos 15°因为法二：cos 15°＝－442??6＋26＋26＋226－2??＝×(3－4×－2×4sin15°·cos 15°＝3×4444??6＋2＋3)＝×(23－2)＝2.故选D.]4π3．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝.42 [(1＋tan α)(1＋tan β)＝tan α＋tan β＋tan αtan β＋1＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＋1＝1－tan αtan β＋tan αtan β＋1＝2.]14．已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围．21βsin [αcos ①，＝由题知214 / 20设cos αsin β＝t，②1①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝＋t，21即sin(α＋β)＝＋t，21①－②得sin αcos β－cos αsin β＝－t，21即sin(α－β)＝－t.2∵－1≤sin(α±β)≤1，1?＋t≤1，－1≤?2?∴1?－t≤1.－1≤?211.]≤t∴－≤223公式的灵活运用考点三角公式应用中变“角”与变问题的解题思路名”“(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相15 / 20互转化，如406020＋－等(2名的变换明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦三角公式中角的变(1都是锐角，cossin，cos .(2已cos(75，cos(30的值(2[(1依题意sin(11－cos2216 / 20因sinsin，，所cos＝所于coscos[cos)cossin)sin＝2(2)cos(75sin(15.]2si(15所cos(30(1解决三角函数的求值问题的键是所求已知表示已知有两个时所求一般表示为两已知的和或差的形式已知有一个时，此的和或差的关系已知应着眼所求α＋(2常见的配角技巧α－α－α－α＋＋α等17 / 20三角公式中名的变错(π(1化简1＋cos 20－tan 5求值(2.sin 10tan 52sin 20(1(，cos2cos2＋2cos 4cossin－co cos(sin2sincos＋2cosin－csin－co2cos18 / 20cos＝2cos－2cocos 故原式＝cos2coscos 5sin 52cos210(2原式sin 10sin 5cos 52×2sin 10°cos 10cos 10cos25°－sin25sin 102sin 10sin 5°cos 5cos 10cos 10sin 102sin 10sin 10cos 10cos 10°－2sin 202cos 102sin 102sin 10错cos 10°sin 10cos 10°2sin 10sin 10.2sin 101.(20xx已tan石家庄模θ()，co tan19 / 20B ADC sin cos sin2θ＋cos2，tan，tan cos sin sin θcos 2θ1＋c1－sin 2θcosincos1－21－2sin θcos .]1，coscos．已＝，sin1.由已知可sinsin1sinsin[sin)coscos)sin1.]113错.用数字作)错错cos 10°sin 10错错.·sin 40 20 / 20。
三角函数讲两角和与差的正弦余弦正切课件pptx
特殊角的三角函数值
$\angle A = 0^{\circ}$时。$\sin(0^{\circ}) = 0$。$\cos(0^{\circ}) = 1$
$\angle A = 45^{\circ}$时。$\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\angle A = 30^{\circ}$时。$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$
两角和与差的正弦、余弦、正切的半角公式
两角和与差的正弦半 角公式
sin(x/2)=±√[(1−cosx)/2]
两角和与差的正切半 角公式
tan(x/2)=±√[(1−cosx)/(1+cos x)]
两角和与差的余弦半 角公式
cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]
05
两角和与差的正弦、余弦、正切的实 际应用
例题2
已知$\tan\alpha = \frac{1}{2}$，且$\alpha \in (0,\pi)$，求$\sin\alpha,\cos\alpha$的值。
学生自我总结与分享
学生总结1
通过解决经典例题，我进一步熟悉了利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进 行求解的方法，提高了运算能力和对公式的理解。
两角和与差的正弦、余弦、正切的表达式
两角和的正弦（Sine）表达式
01
$\sin(\angle A + \angle B)$
两角差的余弦（Cosine）表达式
02
$\cos(\angle A - \angle B)$
两角和的正切（Tangent）表达式
03
$\tan(\angle A + \angle B)$
两角和的正弦余弦、正切教学课件
3 5
故
tan
3 4
从而
tan
4
1 7
3.则（200co9s·2 陕1西sin理2，5）的若值3为sin（α+）cos α=0,
A.130
B.
5 3
C.
2 3
D. 2
解：3sin cos 0
则
tan
1 3
cos2
1
sin 2
sin2 cos2 cos2 2sin cos
1 tan2 1 2tan
智能迁移２：已知
cos( ) 3,
5
sin 5 ,
13
且 (0, ), ( ,0),则sin 等于
()
2
2
A . 33
B. 63
C. 33
D. 63
65
65
65
65
解析：由于 (0, ), ( ,0),因此 (0, ).
2
2
又由于cos( ) 3 0,因此 (0, ).
tan ,tan 或 tan 的值不存在时，
不能使用公式Tα±β,处理有关问题，应改用诱导 公式或其它方法来解.
2.要辩证地看待和角与差角，根据需要，可
以进行适当的变换：α=(α+β)-β,α=(α-
β)+β，2α=（α+β）+（α-β），
2α=（α+β）-（β-α）等等.
3.二倍角公式
sin 2 = 2 sin cos ;
【例1】 (1)化简
2 2 (0 );
2 2cos
(2)求值1 cos 20 sin 10( 1 tan 5).
2sin 20
tan 5
思维启迪 (1)从把角θ变为 入2 手,合理使用公式.
江苏省南京市建邺高级中学高二数学 第22课时《二倍角的三角函数》学案
第22课时 二倍角的三角函数【考点概述】能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系示．【重点难点】：理解二倍角公式的推导，并能运用二倍角公式灵活地进行化简、求值、证明． 知识扫描：1． 二倍角公式（1） 二倍角的正弦：sin2α＝ ．（2） 二倍角的余弦：cos2α＝ = = ．（3） 二倍角的正切：tan2α＝ ．注意：① 在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠__ __，且α≠__ __（k ∈Z）．② “倍角”的意义是相对的，如4α是__ __的二倍角．2． 二倍角的余弦公式的灵活运用（1） 升幂公式：1+cos2α= ；1-cos2α= .（2） 降幂公式：cos 2α= ；sin 2α=3． 二倍角公式是两角和公式的特例，其推导过程体现了特殊值的数学思想方法．【热身练习】1． 15cos 15sin = 。
2． 函数f(x)=sin 2x 的最小正周期为 。
3．已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-= ． 4. 已知),2,2(,54sin ππαα-∈-=则α2sin 的值为 . 5 .1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=________． 【范例透析】【例1】已知53)4cos(=-απ,,223παπ-<<-求)42cos(πα-的值。
【例2】求sin10sin 30sin 50sin 70︒︒︒︒的值。
【变式拓展】 求sin6°sin42°sin66°sin78°的值．【例3】已知函数2()2sin ()2.4f x x x π=-- （1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若()2f x m <+在[0,]6x π∈上恒成立，求实数m 的取值范围。
【例4】已知函数2()2cos cos f x x x x =+.(1) 求函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； (2) 在△ABC 中，若()2,sin cos()cos()f C B A C A C ==--+，求tan A 的值．【变式拓展】已知点(sin ,cos 2sin ),(1,2),A B O θθθ-为坐标原点.(1) 若O ，A ，B 三点共线，求tan θ的值；(2) 若OA =OB 且0＜θ＜π,求θ的值．巩固练习：1．函数y sin cos x x ππ=的最小正周期是 ．2． 若sin α+cos αsin2α=____． 3．若53)2sin(=+θπ，则cos2θ＝ 。
江苏省南京市建邺高级中学高二数学 第21课时《两角和与差的三角函数》学案
第21课时 两角和与差的三角函数【考点概述】①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式．【重点难点】： 掌握余弦的差角公式的推导并能灵活应用；能利用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式，学会推导两角和差的正切公式．【知识扫描】：1． 两角和（差）的三角函数公式（1） sin （α±β）=__ __； （2） cos （α±β）= ； （3） tan （α±β）=__ __．2． 注意两角和（差）的三角函数公式的变形运用（1） tan α±tan β= ；（2） a sin x +b cos x = .3． 注意角的变换（1） α=（α+β）- =（α-β）+ ;（2） 2α=（α+β）+ ; （3） 2α+β=α+ .【热身练习】1． 0000sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为 ．2．若3sin 5α=, (,)22ππα∈-,则5cos()4πα+= 。
3．已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于________．4.已知锐角3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的终边经过点()1,43P ,则cos α= .5.函数()sin cos f x x x =-的最小值是 。
【范例透析】【例1】（本小题满分5分）已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，si n(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=________.【变式训练】已知,432παβπ<<<且53)sin(1312)cos(-=+=-βαβα，，求α2cos 的值．【例2】求︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值。
【变式拓展】求值：sin 7cos15sin 8.cos 7sin15sin 8︒+︒︒︒-︒︒【例3】若6A B π-=，23tan tan 3A B -=，求cos cos A B 的值.【例4】在非直角ABC ∆中.（1）求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；（2）若A,B,C 成等差数列，且tan tan 23A C =+，求ABC ∆的三内角大小.【备讲例题】已知sin （2α+β）+2sin β=0，且cos （α+β）cos α≠0，求证：ta n α=3ta n （α+β）总结规律1． 掌握两角和与差的正弦、余弦及正切的三角函数公式．2． 使用两角和、两角差的三角函数公式时，注意目标角与已知角之间的巧妙变换．3． 对公式要灵活进行正用、逆用及变形使用．4．化为一个角的一个三角函数形式，是三角式的一种重要变形，应熟练掌握； 两角和（差）的正弦公式的逆用（合一变形）：a sin x ±b cos x =22a b + sin （x ±ϕ）（其中tan ϕ=b a ）． 【巩固练习】1．sin 21cos81sin 69cos9-= ．2．ta n70°+ta n50°-3ta n70°ta n50°=3．化简：sin50°（1+3tan10°）= .4．已知α是第二象限角，21sin =α，则=+)4sin(πα ． 5. 已知π3cos()45θ-=，π(,π)2θ∈，则cos θ= ． 6．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于 ． 7．若函数()(13tan )cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为 ．8. 已知sin α+s in β2，求cos α+cos β的取值范围．9.若函数f （x ）=sin 2ax -sin ax cos ax （a ＞0）的图象与直线y =m （m 为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列． （1） 求m 的值；（2） 若点A （x 0，y 0）是y =f （x ）的图象的对称中心，且x 0∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求点A 的坐标．第21课时 两角和与差的三角函数参考答案【热身练习】1. 122. 210- 3．71 4. 1314 5. 2- 【范例透析】 例1 解： ()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫∈+=- ⎪⎝⎭12sin()413πβ-=，3(,2)2παβπ+∈， 3(,)424πππβ-∈，∴ 4cos()5αβ+=，5cos()413πβ-=-， 则cos()4πα+=cos[()()]4παββ+--=cos()cos()sin()sin()44ππαββαββ+-++- =4531256()()51351365⋅-+-⋅=- 【变式训练】解：因为,432παβπ<<<所以,23πβαπ<+<,40πβα<-< 又因为53)sin(1312)cos(-=+=-βαβα，，所以54)cos(135)sin(-=+=-βαβα，， 以)sin()sin()cos()cos()]()cos[(2cos βαβαβαβαβαβαα+--+-=++-= =6533)53(135)54(1312-=-⨯--⨯。
高一年级数学两角和的正、余弦
两角和的正、余弦一、选择题1、已知cos(α＋β)·cos(α－β)=：则cos2α－sin2β=（）A．－B．－ C．D．2、已知sinα－sinβ=：cosα－cosβ=：则cos(α－β)=（）A．B． C．D．－3、如果：则=（）A．－B． C．D．－4、已知3cos(2α＋β)＋5cosβ=0：则log2[tan(α＋β)tanα]2的值是（）A．2 B．4 C．6 D．85、如果0<α<：0<β<：且：则α＋β=（）A．B． C．D．6、α：β：α＋β均为锐角：A=sinα＋sinβ：B=cosα＋cosβ：C=sin(α＋β)：则它们的大小关系是（）A．C<A<B B．A<B<C C．A>B>C D．B>C>A7、若sinα：sinβ是方程的两根：且sinα<sinβ：则锐角α、β的度数分别为（）A．25°：65° B．65°：25° C．15°：75°D．75°：15°8、α、β、γ都是锐角：：则α＋β＋γ=（）A．B． C．D．9、在△ABC中：：那么cosC的值是（）A．B． C． D．10、已知cosβ=a：sinα=4sin(α＋β)：则tan(α＋β)的值是（）A．B．－ C．±D．±二、填空题11、设tanθ与是方程x2＋px＋q=0的两个根：则p：q的关系是___________.12、已知：则cosx＋cosy的取值范围是___________.三、解答题13、已知：且0<α<<β<π：求cos(β－α)的值.14、已知cosαcosβ=sinαsinβ：求证：sin(α＋2β)=sinα.15、设α：β：γ是公差为的等差数列：试求tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγ·tanα的值.答案：一、CAABB AABCD1、直接根据结论cos(α＋β)·cos(α－β)=cos2α－sin2β.2、把两已知条件平方相加.3、4、由已知3cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]=0：可得 8cos(α＋β)cosα＋2sin(α＋β)sinα=0.即tan(α＋β)tanα=－4.5、. 又α＋β∈（0：π）：故.6、取特值α=β=30°：则A=1：B=.7、直接根据求根公式.8、又tanr<tanβ<tanα<：且α、β、γ都是锐角. 故0<α：β：γ<30°：即0<α＋β＋γ<90°.从而α＋β＋γ =45°.9、若A为钝角：则由：知150°<A<180°：由cosB=知B>60°：此时A＋B>180°与两角和定理相矛盾. 故A只能是锐角：从而由可得10、由sin[(α＋β)－β]=4sin(α＋β)得sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ=4sin(α＋β)即(cosβ－4)sin(α＋β)=cos(α＋β)sinβ∴.二、11、p－q＋1=0提示：∵. ∴：即1－q=－p 即p－q＋1=0.12、提示：令t=cosx＋cosy：则t2=cos2x＋2cosxcosy＋cos2y：又两式相加得. 由－1≤cos(x－y)≤1：可求出t的范围.三、13、解：依题意知：：故14、证明：由已知 cosαcosβ－sinαsinβ=0：即cos(α＋β)=0. ∴ sin(α＋2β)=sin[(α＋β)＋β]=sin(α＋β)cosβ＋cos(α＋β)sinβ=sin(α＋β)cosβ.又cosβ=cos[(α＋β)－α] =cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα =sin(α＋β)sinα∴ sin(α＋2β)=sin2(α＋β)sinα∵ cos(α＋β)=0：即sin2(α＋β)=1. ∴ sin(α＋2β)=sinα.15、解：由tan(α－β)=.。