第四章拉普拉斯变换与S域分析-新修正版

2021/3/3
修正版
38
举例4.3:
已知F (s)
(s2
s2 3 2s 5)(s
2)
,
求其逆变换
解：F (s)
s2 3
(s 1 j2)(s 1 j2)(s 2)
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k1 k2 k0 s 1 j2 s 1 j2 s 2
p1,2 j , ( 1, 2)
修正版
1, 2 A 1 , B 2
5
5
f
(t)
2et
1 5
cos(2t)
2 5
sin(2t)
7 5
e2t
u(t)
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41
举例4.4:
已知F (s)
s2 s(s 1)3
,
求其逆变换
解：F (s)
k11 (s 1)3
k12 (s 1)2
k13 (s 1)
k2 s
令F1 ( s)
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9
五、 常用信号的拉氏变换
1 阶跃函数 u(t) L 1 , 0
s
2冲激函数 (t) L 1,
3指数函数 eat L 1 , －a
sa
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10
常用信号的拉氏变换
4
增长函数 t
n
L
n! s n 1
(n
0),
如
t
L
1 s2
，
时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变 量s又称“复频率”。
拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。
s j
est et e jwt et (cos wt j sin wt)
看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的重复 频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长 速率或衰减速率。
第四章 拉普拉斯变换
与S域分析
2021/3/3
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1
第一节 引言
2021/3/3
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2
一、拉氏变换的优点
把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经 求解再还原为时间函数。
拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。 应用拉氏变换：
（1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换 式里。
求其逆变换 解：部分分解法 F(s) k1 k2 k3 （m n）
s s 1 s 3
其中k1 sF (s) s0 10(s 2)(s 5) 100 (s 1)(s 3) s0 3
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举例4.1:
解：k2 (s 1)F (s) s1
10(s 2)(s 5)
jw
收 敛 轴
收 敛 区
则f (t)et在 ０范围内收敛
其中０与f t 有关，
０
0
收 敛 坐 标
过０的垂直线为收敛轴，
０在S平面内称收敛坐标
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8
拉氏变换收敛域举例
(1)有界非周期信号收敛域: 全平面
(即凡是有始有终,能量有限的信号);
(2)有稳定幅度的周期信号收敛域: 0;右半平面. (3)随时间成正比增长的信号 0; (4)按指数eat增长的信号 a。
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6
三、从算子法的概念说明拉氏变换的定义
f (t) F (s) df (t) sF(s) (当f(0)=0)
dt df (t) sF(s)-f(0) (当f(0) 0)
dt
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7
四、拉氏变换收敛域
拉氏变换的收敛域：当 ０时 lim f (t)et 0 t
0
5 正弦信号 sin(0 t )
L
0 s2 02
cos(0 t )
L
s2
s
02
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11
常用信号的拉氏变换
6 衰减正弦 e at
sin(0 t )
L
(s
0
a)2
02
e at
cos(0 t )
L
(s
sa
a)2 02
7 衰减斜升
teat L 1 (s a)2
求解拉氏逆变换的方法有：
（1）部分分式展开法
（2）长除法
（3）留数法
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二、部分分式展开法
设F (s)
A(s) B(s)
am s m bn s n
am1sm1 bn1sn1
a0（有理式） b0
则A(s) am (s z1)(s z2 ) (s zm ) 其中z1，z2， zm称F (s)的零点 B(s) bn (s p1)(s p2 ) (s pn ) 其中p1, p2 , pn称F (s)的极点
L
1
2
j
F1(s) F2 (s)
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18
拉氏变换的基本性质
10 尺度变换性：
若f (t) L F (s)
则f
(at)
L
1 a
F
s a
(a 0)
11
极值性：若f
(t)
L
F
(s)，df (t) dt
L L
df (t) dt
则初值
f
(0
)
lim
s
sF
(s)
终值 lim f (t) lim sF (s)
fc (t) et (K1e jt K1e jt )u(t)
2et Acos t B sin t u(t)
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27
部分分式展开法
(3)极点包含多重根的情况 (k重根p1)
F (s)
(s
A(s) p1 )k D(s)
其中D(s)为分母除去多重根剩余 部分
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t
s
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拉氏变换的基本性质
8时域卷积性：
若f1(t) L F1(s), f2 (t) F2 (s) 则f1(t) f2 (t) L F1(s) • F2 (s)
9 s域卷积性：若f1(t) L F1(s), f2 (t) L F2 (s)
则f1(t) •
f2 (t )
t
s0
仅当sF (s)在s平面的虚轴上及其右边均解析时
（原点除外）才可应用终值定理
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19
作业
P250 4-1(1)(15)(19) 4-3(3)，4-5(2)
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20
第四节 拉氏逆变换
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21
一、系统的s域分析方法
用拉氏变换方法分析系统时，最后还要 将象函数进行拉氏反（逆）变换。
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余下的满足m n部分按上法分解
修正版
24
部分分式展开法
(2)极点包含共轭复根的情况 ( p1,2 j )
A(s) F(s)
D(s) (s )2 2
A(s)
D(s)(s j )(s j )
其中D(s)为分母除去共轭复根剩余部分
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１ 线性性：
若f1(t) L F1(s), f2 (t) L F2 (s) 则k1 f1(t) k2 f2 (t) L k1F1(s) k2F2 (s)
2时域平移性：
若f (t)u(t) L F (s)
则f (t t0 )u(t t0 ) L est0 F (s)
3 s域平移性：若f (t) L F (s)
部分分式展开法设F1 ( s A( s ) D(s)
则F (s)
F1 ( s)
(s j )(s j )
分解
K1
K2
s j s j
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部分分式展开法
其中K1,2
F1 (
2
j )（留数） j
K1、K2呈共轭关系：K1,2 A jB
得共轭复根有关部分逆变换为 L 1
则 tf (t) L sdF (s) ds
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拉氏变换的基本性质
6时域积分性：
若f (t) L F (s)
则 t f ( )d L F (s) f (1) (0)
－
s
s
7 s域积分性：若f (t) L F (s)
则 f (t) L
F ()d
f (t)estdt
0
其中s j（因果系统）
单边拉氏逆变换：f (t) １ j F (s)estds
2 j j
拉氏变换对：原函 f (t) L f (t) F (s)
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象函 F (s) L1F(s) f (t )
修正版
5
二、拉氏变换的物理意义
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)， 或作相反变换。
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修正版
37
举例4.2:
部分分式展开法 F (s) s 2 k1 k2 s 1 s 2
其中k1
(s
1)
(s
s3 1)(s
2)
s 1
2
k2
s3 s 1
s 2
1
F(s) s 2 2 1 s 1 s 2
f (t) '(t) 2 (t) 2et e2t u(t)
修正版
28
部分分式展开法
设F1 ( s)
A( s ) D(s)
则F (s)
F1 ( s) (s p1)k
分解
K11
(s p1)k
(s
K1i p1 )k i1
K1k s p1
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部分分式展开法
其中K1i
(i
1 1)!
d i1 dsi1
F1 ( s )
s p1
得多重根部分的逆变换 L1：
fc (t)
K11 (k 1)
!
t
k
1e
p1t
K1i t e k i p1t (k i)!
K1k
e
p1t
u
(t
)
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30
三、留数法
f (t) 1 j F (s)estds, t 0
2 j j
设一闭合围线的积分路径为无限大圆弧,
则上式中积分等于围线中 被积函数所有极点的留数之和
2021/3/3
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部分分式展开法
(1)极点为单实根的情况 ( p1 pn )
分解
m n时，F (s)
k1
kn
s p1
s pn
其中ki (s pi )F (s) s pi （留数）
L1 f (t) k1e p1t kne pnt u(t)
m n时，先用长除法将分子中的高次项提出，
2021/3/3
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31
留数法
即f (t) F(s)est的留数 极点
若极点s pi处留数为ri , 围线中
有n个极点pi (k阶)
n
则f (t) ri , i 1
ri
(k
1 d k 1
1)!
ds
k
1
(s
pi
)
k
F
(
s)e
st
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修正版
32
举例4.1:
已知 F (s) 10(s 2)(s 5) , s(s 1)(s 3)
(s
1)3 F (s)
s
s
2
（重根p1极点处的留数）
2021/3/3
修正版
42
举例4.4:
解：其中k11 F1 ( s) s p1
s2
3
s s 1
d
t neat
L
(
s
n! a)n1
2021/3/3
修正版
12
常用信号的拉氏变换
8 斜升正弦 t
sin(0 t )
L
20 s (s2 02 )2
t
cos(
0
t
)
L
(
s2 s2
02 02 )2
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修正版
13
第三节 拉氏变换的基
本性质
2021/3/3
修正版
14
一、 拉氏变换的基本性质
修正版
35
举例4.2:
已知F (s) s3 5s2 9s 7 , (s 1)(s 2)
求其逆变换
解：长除法 F (s)
2021/3/3
修正版
36
举例4.2:
s2 s2 3s 2 s3 5s2 9s 7
s3 3s2 2s 2s2 7s 7 2s2 ６s ４ s 3
39
举例4.3:
解:其中k1
(s
s2 3 1 j2)(s
2)
1 j2 5
s1 j 2
即k1,2
A
jB,
(A
1, 5
B 2) 5
k０
(s 1
s2 3 j2)(s 1
j 2)
7 5
s 2
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修正版
40
举例4.3:
1 j2 1 j2 解： F (s) 5 5 5 5
7
s 1 j2 s 1 j2 5(s 2)
则f (t)eat L F (s a)
2021/3/3
修正版
15
拉氏变换的基本性质
4时域微分性：
若f (t) L F (s)
则 df (t) dt
L sF (s)
f
(0 )
d
n f (t) dt n
L
snF
(s)
n1 r 0
snr 1
f
(r)
(0
)
5 s域微分性：若f (t) L F (s)
20
s(s 3)
s 1
k3 (s 3)F (s) s3
10(s 2)(s 5) 10
s(s 1)
s 3
3
2021/3/3
修正版
34
举例4.1:
解： F (s) 100 20 10 3s s 1 3(s 3)
f
(t )
100 3
20et
10 3
e3t
u (t )
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（2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分” 变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。
拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。 利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。
2021/3/3
修正版
3
第二节 拉氏变换的定义、
收敛域
2021/3/3
修正版
4
一、单边拉氏变换定义
def
单边拉氏正变换：F (s)