2016-2017学年高中数学苏教版选修2-3学业测评：1.2 第2课时 利用排列数公式解应用题 Word版含解析
2016-2017学年高中数学第二章概率2.2超几何分布学业分层测评苏教版选修2-3
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 概率 2.2 超几何分布学业分层测评 苏教版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】 由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12.【答案】 122．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)【解析】 二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台，其概率为C 13C 397＋C 497C 4100. 【答案】 C 13C 397＋C 497C 41003．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是________． ①将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X ；②从7男3女的10名学生干部中选出5名优秀学生干部，女生的人数为X ； ③某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X ；④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时摸球的总次数．【解析】 ①③均为重复试验，不符合超几何分布总体的分类要求；②④总体分为明确的两类，但④中的随机变量X 不是抽取样本中一类元素的个数．【答案】 ②4．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则P (X ≤1)＝________.【解析】 由已知X ～H (2,4,26)， 则P (X ＝0)＝C 04C 222C 226，P (X ＝1)＝C 14C 122C 226，故P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 222＋C 122C 14C 226＝319325. 【答案】3193255．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．【解析】 P ＝C 13C 22C 35＋C 23C 12C 35＝910.【答案】9106．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率是________．(用式子表示)【解析】 组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.【答案】 C 410C 25C 6157．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】281458．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________. 【导学号：29440040】【解析】 用X 表示中奖票数， P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，解得n ≥15. 【答案】 15 二、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，X ～H (3,6,10)． 则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k4C 310(k ＝0,1,2,3)，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝23.10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布； (2)求得分大于6分的概率．【解】 (1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.∴P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求概率分布为(2)根据随机变量X P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.能力提升]1．在六个数字1,2,3,4,5,7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．【解析】 剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P ＝C 22·C 14C 36＝420＝0.2.【答案】 0.22．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本有________本. 【导学号：29440041】【解析】 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k m C 2－k7－mC 27(k ＝0,1,2)．由题意，得P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－m C 27＝12×7－m6－m21＋m 7－m21＝57， ∴m 2－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3(舍去)． 即7本书中语文课本有4本． 【答案】 43．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为_____________________________________．【解析】 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从超几何分布H (2,2,5)，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.【答案】 354．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的概率分布．【解】 (1)设任取一件产品是二等品的概率为p ，依题意有P (A )＝p 2＝0.04，解得p 1＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)．故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2件，故X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 22C 210＝145.所以X 的概率分布为X 0 1 2 P28451645145。
苏教版数学高二 选修2-3测评 条件概率
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2016·徐州高二检测)抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________．【解析】设A＝{出现的点数不超过3}，B＝{出现的点数为奇数}，∴n(A)＝3，n(AB)＝2，∴P(B|A)＝n(AB)n(A)＝2 3.【答案】2 32．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________. 【导学号：29440044】【解析】设“第一天空气质量为优良”为事件A，“第二天空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，由题知要求的是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，根据条件概率公式得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.60.75＝0.8.【答案】0.83．用集合A＝{2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是________．【解析】A＝{取出的两个数中有一个数为12}，B＝{取出的两个数构成可约分数}．则n(A)＝7，n(AB)＝4，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝4 7.【答案】 474．有下列说法：①P (B |A )＝P (AB )；②P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的； ③0<P (B |A )<1；④P (A |A )＝0.其中正确的说法有________．(填序号)【解析】 ∵P (B |A )＝P (AB )P (A )，而0<P (A )≤1， ∴1P (A )≥1，∴P (B |A )≥P (AB )， ∴①不正确．当P (A )＝1时，P (AB )＝P (B )，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )， 故②正确．又∵0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，∴③④不正确．【答案】 ②5．已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，则这种产品的一级品率为________．【解析】 A ＝{产品为合格品}，B ＝{产品为一级品}，P (B )＝P (AB )＝P (B |A )P (A )＝0.2×0.95＝0.19.所以这种产品的一级品率为19%.【答案】 19%6．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12.现有一此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是________．【解析】记事件A：“用满3 000小时不坏”，P(A)＝3 4；记事件B：“用满8 000小时不坏”，P(B)＝12.因为B⊆A，所以P(AB)＝P(B)＝12，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1234＝12×43＝23.【答案】2 37．一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．【解析】一个家庭的两个小孩只有4种可能{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本事件空间为Ω，A＝“其中一个是女孩”，B＝“其中一个是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2434＝23.【答案】2 38．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．【解析】设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 13＋C 22C 25＝710，P (AB )＝C 12·C 11C 25＝15， P (AC )＝C 12C 12C 25＝25， 故P (D |A )＝P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝P (AB )P (A )＋P (AC )P (A )＝67. 【答案】 67二、解答题9．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回．求第一只是好的，第二只也是好的概率．【解】 设A i ＝{第i 只是好的}(i ＝1,2)．由题意知要求出P (A 2|A 1)．因为P (A 1)＝610＝35，P (A 1A 2)＝6×510×9＝13， 所以P (A 2|A 1)＝P (A 1A 2)P (A 1)＝59. 10．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．【解】 设“第i 次按对密码”为事件A i (i ＝1,2)，则A ＝A 1＋(A 1A 2)表示“不超过2次就按对密码”．(1)因为事件A 1与事件A 1A 2互斥，由概率的加法公式得P (A )＝P (A 1)＋P (A 1A2)＝110＋9×110×9＝15.(2)设“最后一位按偶数”为事件B，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A1A2|B)＝15＋4×15×4＝25.[能力提升]1．(2016·常州高二检测)甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于________. 【导学号：29440045】【解析】由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.∴P(A|B)＝n(AB)n(B)＝612＝12.【答案】1 22．如图2-3-1所示，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则图2-3-1(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.【解析】用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P(A)＝2·2π×12＝2π.B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，P(AB)＝2π×14＝12π.∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝12π2π＝14.【答案】2π143．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是________．【解析】A＝“数学不及格”，B＝“语文不及格”，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.030.15＝0.2.所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.【答案】0.24．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A＝{从2号箱中取出的是红球}，事件B＝{从1号箱中取出的是红球}．P(B)＝46＝23，P(B)＝1－P(B)＝13，P(A|B)＝49，P(A|B)＝39＝13.从而P(A)＝P(A B)＋P(AB)＝13×13＋49×23＝1127.即从2号箱取出红球的概率是1127.。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2章末综合测评3 含解析
章末综合测评(三)（时间120分钟,满分160分）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分,请把答案填在题中的横线上）1。
若复数z满足z i＝1－i，则z＝________。
【解析】法一:由z i＝1－i得z＝错误!＝错误!－1＝－1－i。
法二：设z＝a＋b i（a，b∈R)，由z i＝1－i,得（a＋b i）i＝1－i,即－b＋a i＝1－i。
由复数相等的充要条件得错误!即错误!∴z＝－1－i。
【答案】－1－i2。
在复平面内，复数z＝i(1＋3i）对应的点位于第________象限。
【解析】∵z＝i（1＋3i）＝i＋3i2＝－3＋i，∴复数z对应的点为（－3，1）在第二象限.【答案】二3。
(2015·全国卷Ⅱ改编）若a为实数，且（2＋a i）(a－2i)＝－4i,则a＝________。
【解析】∵（2＋a i）（a－2i）＝－4i，∴4a＋（a2－4)i＝－4i。
∴错误!解得a＝0.【答案】04。
设z为纯虚数，且｜z－1－i｜＝1，则z＝________.【解析】设z＝b i（b∈R，b≠0),则｜z－1－i｜＝|(b－1)i－1｜，∴（b－1）2＋1＝1，∴b＝1，则z＝i。
【答案】i5.（2016·辽宁三校高二期末）复数z满足方程｜z－(－1＋i）｜＝4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程是________。
【解析】设z＝x＋y i，由|z－（－1＋i）|＝4得|（x＋1)＋（y －1）i|＝4,即错误!＝4,则（x＋1）2＋（y－1)2＝16.【答案】(x＋1）2＋（y－1）2＝166.在复平面内,若复数（－6＋k2）－（k2－4）i所对应的点位于第三象限，则实数k的取值范围是________.【解析】由已知得错误!∴4<k2<6,∴k∈（－错误!,－2)∪(2，错误!）。
【答案】(－错误!,－2)∪(2,错误!）7。
设a，b∈R,a＋b i＝错误!（i为虚数单位）,则a＋b的值为________。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-3学业测评：1.2 第1课时 排列 排列数公式 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若A2m＝9×8，则m＝________.【解析】A2m＝m(m－1)＝9×8，整理得m2－m－72＝0，解得m＝9或m ＝－8(舍)．【答案】92．A215＝________，4！6！＝________. 【导学号：29440005】【解析】A215＝15×14＝210，4！6！＝4！6×5×4！＝130.【答案】2101 303．给出以下问题：(1)从3,5,7,9四个数字中任取两个数作为对数的底数和真数，有多少个不同的值？(2)从1到9这9个数字中任取两个数，作除法运算．其中是排列问题的是________．(只填序号)【解析】(1)是．对数的值与底数和真数的取值不同，与顺序有关．同理(2)也是排列问题．【答案】(1)(2)4．不等式A2n－1－n<7的解集为________．【解析】由不等式A2n－1－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，整理得n2－4n－5<0，解得－1<n<5.又因为n－1≥2且n∈N*，即n≥3且n∈N*，所以n＝3或n＝4，故不等式A2n－1－n<7的解集为{3,4}．【答案】{3,4}5．若n∈N*且n＜20，则(20－n)(21－n)…(100－n)用排列数表示为________．【解析】∵100－n＞99－n＞…＞20－n，且共有81个数，故用排列数表示为A81100－n.【答案】A81100－n6.A88－A592A58＋4A48＝________.【解析】原式＝A48·A44－9A482×(8－5＋1)·A48＋4A48＝(24－9)A48(8＋4)A48＝54.【答案】5 47．若A5m＝2A3m，则m＝________.【解析】由A5m＝2A3m，得m！(m－5)！＝2m！(m－3)！，∴(m－3)(m－4)＝2，∴m＝5或m＝2(舍)．【答案】 58．如果A m n＝15×14×13×12×11×10，那么n＝______，m＝________.【解析】15×14×13×12×11×10＝A615，故n＝15，m＝6.【答案】15 6二、解答题9．四个人A，B，C，D坐成一排，其中A不坐排头，写出所有的坐法．【解】由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.10．解不等式：A x 9>6A x －29.【解】 原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，即(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.但2≤x ≤9，x ∈N *，故x ＝2,3,4,5,6,7.[能力提升]1．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋7！，则S 的个位数字是________．【解析】 ∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24，5！＝120,6！＝720,7！＝5 040，∴S 的个位数字的和为1＋2＋6＋4＝13，其个位数字是3.【答案】 32．(2016·南通高二检测)A n ＋32n －A n ＋14(n ∈N *)的值为________.【导学号：29440006】【解析】 由题意可知⎩⎨⎧ 2n ≥n ＋3，4≥n ＋1，n ∈N *，∴n ＝3.∴A 66－A 44＝6！－4！＝24×29＝696.【答案】 6963．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种．【解析】 司机、售票员各有A 44种安排方法，由分步计数原理知共有A 44A 44种不同的安排方法．【答案】 5764．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？【解】 对于两个大站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A 26＝6×5＝30.故一共需要为这六大站准备30种不同的火车票．。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-1学业分层测评2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2016·聊城高二检测)椭圆x29＋y216＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若| PF1|＝3，则PF2＝___________________________________________.【解析】方程x29＋y216＝1中，a＝4，则PF1＋PF2＝8，∴PF2＝2a－PF1＝8－3＝5. 【答案】 52．椭圆x2m＋y24＝1的焦距为2，则m的值为________．【解析】∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1或4－m＝1，∴m＝3或5.【答案】3或53．(2016·无锡高二检测)设F1，F2是椭圆x2a2＋y225＝1(a>5)的两个焦点，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________. 【导学号：09390023】【解析】易知|F1F2|＝8＝2c，即c＝4，∴a2＝25＋16＝41，∴a＝41，因为弦AB过点F1，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝441.【答案】4414．若方程x2m－y2m2－2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．【解析】∵方程x2m－y2m2－2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为y2 2－m2＋x2m＝1，∴有⎩⎨⎧2－m2>m，m>0，解得0<m<1.【答案】 (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)【解析】 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21，故△PF 1F 2是直角三角形．【答案】 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 根据椭圆定义有⎩⎨⎧|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6.【答案】 67．过点(3，－5)且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．【解析】 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝ (3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 【答案】 y 220＋x 24＝18．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．【解析】 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，则由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32，∴点M 的纵坐标为±34.【答案】 ±34二、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，求b 的值． 【解】 如图所示，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ，根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt △F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2.又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2， ∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围；(2)若椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值．【解】 (1)原方程可化为x 22＋y 22k＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，2k<2，解得k >1.故k 的取值范围是k >1.(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k ＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7， 即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17. 故k 的值为－1或－17.[能力提升]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________. 【导学号：09390024】 【解析】 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x 轴上，且半焦距c ＝a 2－b 2＝25－9＝4,2a ＝10.∴A (－4,0)和C (4,0)是椭圆的左、右焦点．∵点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，∴sin A ＋sin C sin B ＝2R sin A ＋2R sin C 2R sin B＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54(R 为△ABC 外接圆的半径)．【答案】 542．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．【解析】 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎨⎧2a ＝5＋3， (2c )2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝13．(2016·漳州模拟)“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件．【解析】 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m ＋y 21n ＝1，所以要使方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．【答案】 必要不充分 4．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值．【解】 ①当椭圆焦点在x 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝25，b 2＝m 2，所以m 2＝25－9＝16.因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝m 2，b 2＝25，所以m 2＝25＋9＝34.因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m的值为4或34.。
苏教版高中数学选修2-3-高二年级学业质量调查测试.docx
第8题图淮安市2012－2013学年度高二年级学业质量调查测试数 学 试 卷（理） 2013.6本试卷满分共160分；考试时间120分钟。
一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知复数z 满足2(13)(1)iz i i =-+-，其中i 是虚数单位，则z = ▲ ． 2．若命题p 是：“存在实数m ，使方程210x mx ++=有实数根”，则命题“非p ”是“___ _ _▲ ”．3.若二项展开式()99221091x a x a x a a x ++++=- ，其中9210,,,,a a a a 是展开式系数，则|0129a a a a ++++的值为 ▲ .4.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101M ,则矩阵M 的逆矩阵1M -= ▲ ． 5．若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1=x ，则实数m 的值是___▲__ ． 6．31021(2)2xx-的展开式中常数项是 ▲ ． 7．将三名成人和三名儿童排成一排，则任何两名儿童都不相邻的不同排法总数为 ▲ ．8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，将该正方体沿对角面11BB D D 切成两块（如图），再将这两块重新拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积是___▲_ _．9．某种灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，则三个这样第10题图的灯泡使用1000小时后，至多只坏一个的概率是___▲_ _.10.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ ．11．已知函数32()3f x x mx x =--，3x =是()f x 的极值点，则()f x 在[]1,m 的最大值与最小值的和是 ▲ ．12．已知l b a ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，有下列四个命题： ① 若b a ==γββα ,，且b a //，则γα//；、② 若b a ,相交，且都在βα,外，βαβα//,//,//,//b b a a ，则βα//； ③ 若b a b a ⊥⊂=⊥,,,ββαβα ，则α⊥b ； ④ 若b l a l b a ⊥⊥⊂⊂,,,αα，则α⊥l . 其中正确命题的序号是 ▲ ．13．现从甲、乙、丙、丁、戊5名大学生中选出4名参加雅安地震志愿者服务活动，分别从事心理辅导、医疗服务、清理垃圾、照顾老人这四项工作，若甲不能从事心理辅导工作，则不同安排方案的种数是 ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，'()()0(0)xf x f x x ->>，则不等式()0f x >的解集是___▲___．二．解答题:本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答．题卡相应位置．．．．．．上． 15．已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求矩阵A ；（2）求出直线10x y +-=在矩阵A 对应的变换作用下所得曲线的方程．16．在各项均为正数的数列{a n }中，数列的前n 项和为n S 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (1)求123,,a a a 的值，并根据规律猜想出数列{}n a 的通项公式； (2)请用数学归纳法证明你的猜想．17．某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ．18．如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD AB ⊥,122BD AE ==,点O M CE AB 、分别为、的中点． （1）求证：OD ∥平面ABC ；（2）求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值．ACO DE19．已知椭圆()012222>>=+b a b y a x 长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：223,223-+．（1）求椭圆的方程；（2）若点P 椭圆上第一象限，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，若满足120PF PF ⋅=，求点P 到椭圆右准线的距离；（3）过点()0,1Q 作直线l (与x 轴不垂直）与椭圆交于N M ,两点，与y 轴交于点R ，若,RM MQ RN NQ λμ==，求证：μλ+为定值．20．已知函数2)ln (0)f x ax x x x a =+->（. (1)已知直线1y x =+与()()g x f x '=相切，求a 的值；(2)若函数满足(1)2f =,且在定义域内2()2f x bx x >+恒成立,求实数b 的取值范围； (3)若函数()f x 在定义域上是单调函数,求实数a 的取值范围．。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第1章 1.2 第2课时 利用排列数公式解应用题 学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．有种不同的蔬菜，从中选出种，分别种植在不同土质的块土地上进行实验，则不同的种植方法有种．【解析】＝××＝(种)．【答案】．用这个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有个．【解析】分步完成：个位必为奇数，有种选法；从余下的个数中任选个排在三位数的百位、十位上，有种选法．由分步计数原理，得共有×＝(个)无重复数字的三位奇数．【答案】．人站成一排，甲、乙、丙个人不能都站在一起的排法种数为种．【解析】(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为×；不考虑任何限制，人的全排列有，所以符合题意的排法种数为：－×＝.【答案】．从这四个数中选三个不同的数作为函数()＝＋＋中的参数，，，可组成不同的二次函数共有个．【解析】若得到二次函数，则≠，有种选择，故二次函数有＝××＝(个)．【答案】．从名男生和名女生中选出人，分别从事三项不同的工作，若这人中至少有名女生，则选派方案共有种. 【导学号：】【解析】没有女生的选法有种，一共有种选法，则至少有名女生的选派方案共有－＝(种)．【答案】．某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法共有种．【解析】分两种情况：第一种，增加的两个新节目相连；第二种，增加的两个新节目不相连，不同插法的种数为＋＝(种)．【答案】．若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种．【解析】“，”为重复元素，故共有＝(种)排列顺序，所以出现错误的共有－＝(种)．【答案】．用组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且相邻，这样的六位数的个数是．【解析】可分为三步来完成这件事：第一步：先将进行排列，共有种排法；第二步：再将插空排列，共有种排法；第三步：将放入形成的空中，共有种排法．由分步计数原理得，共有＝种不同的排法．【答案】二、解答题．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．()要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？()要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？【解】()把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有·＝种排法．()第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)，有种排法，共有·＝种排法．．有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各个，每种颜色的个球分别标有数字，从中任取个标号不同的球，颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．【解】所标数字互不相邻的方法有，共种方法个颜色互不相同有＝×××＝种，所以这个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有×＝种．[能力提升]．把件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种．【解析】设其他不同的产品分别为，，先把产品与产品捆绑有种，再与产品，全排有种，最后把产品插空有种，所以共有＝种不同摆法．。
苏教版高中数学选修2-3-高二年级第二学期第三次质量检测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015-2016学年度高二年级第二学期第三次质量检测数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则A B = ．2.已知命题1:,sin 2p x R x ∃∈≥，则p ⌝是__________________. 3.函数ln(1)11x y xx -=++的定义域是__________________. 4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +=__________. 5.设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且3(3)(2)0f x x f -+>，则实数x 的取值范围是__________________,6.已知22(1)(1)10a x a x ----<的解集是R ，则实数a 的取值范围是________________. 7. 若曲线b ax x x x f ++-=23)(在点x =1处的切线与直线12+=x y 垂直，则a =______. 8.若不等式2162a bx x b a+<+对任意,(0,)a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 9. 函数32()31f x ax x =-+，若()0f x =存在唯一正实数根0x ,则a 取值范围是 ． 10. 已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是_____． 11.已知命题:||4;:(2)(3)0p x a q x x -<-->，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是_____________.12.若函数321()(3)32af x x x a x b =-+-+有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是__________.13.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为____________.14. 设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数，现给出下列命题：(1)函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数； （2）函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；（3）若函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞； （4）函数()lg(|2|1)f x x =-+为[1,)+∞上的2高调函数.其中正确命题的序号是_______________________(写出所有正确命题的序号). 二、解答题：（本大题共6个小题，共计90分） 15.（本小题满分14分）已知:p 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<，对任意的x R ∈很成立，:q 关于x 的方程()2110x a x +-+=，一个根在()0,1上，另一个根在()1,2上，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围.16.（本小题满分14分）设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ．（1）若不等式0)(>x f 的解集)3,1(-，求b a ,的值；（2）若(1)2,00f a b =>>、，求14a b+的最小值．17.(本小题满分14分)已知函数2()2ln ().f x x x a x a R =++∈（Ⅰ）当4a =-时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间（0,1）上为单调函数，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ． （1）试用,x y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19.（本小题满分16分）设a R ∈，函数()||f x x x a a =--. （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2,3],()0x f x ∈≥恒成立，求a 的取值范围；20.（本小题满分16分）已知函数()x axf x e=在0x =处的切线方程为y x =.（1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x<+-成立，求k 的取值范围； （3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.第三次质量检测参考答案1.{1,2}2.1,sin 2x R x ∀∈<3.(1,0)(0,1)-4.-25.(,2)-∞-6.3(,1]5-7.32- 8.(4,2)- 9.(,0]{2}-∞ 10.10 11.[1,6]-12.(,6)(2,)-∞-+∞ 13.7 14.②③④15.命题:p 当2a =时，40-<恒成立，符合题意， --------------------1分 当2a ≠时，须满足2204(2)16(2)0a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩ ， 解得22a -<<， 所以命题p 为真命题时，a 的取值范围是(2,2]-. --------------------3分命题:q 令2()(1)1f x x a x =+-+，则题意(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，10230a a +<⎧∴⎨+>⎩ 解得312a -<<-. -------------------6分 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以,p q 一真一假，（1）当p 真q 假时有22312a a a -<≤⎧⎪⎨≤-≥-⎪⎩或，解得32122a a -<≤--≤≤或， --------10分 （2）当p 假q 真时有22312a a a ≤->⎧⎪⎨-<<-⎪⎩或，此不等式组的解集为空集.--------------13分综上所述，a 的取值范围是3(2,][1,2]2---. ----------------------14分16.（1）由()0f x >的解集为(1,3)-，所以方程()0f x =的根为-1，3，由根与系数的关系可得：313213ab a ⎧-⨯=⎪⎪⎨-⎪-+=-⎪⎩，解得1,4a b =-=； ---------------7分（2）由(1)2f =，得1a b +=，又因为0,0a b >>，所以141444()()5529b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+=， 所以14a b+的最小值为9. ----------------------------------------------14分17.（1）当4a =-时，2()24ln f x x x x =+-，所以该函数的定义域为(0,)+∞，--------2分 又因为2(2)(1)()x x f x x+-'=， ---------------------------------------------4分令()0f x '=，得12(x x ==-或舍），列表如下：x(0,1)1 (1,)+∞()f x ' - 0 + ()f x单调减极小值单调增∴函数()f x 的极小值为(1)124ln13f =+-=， -----------------------------7分所以函数()f x 的极小值只有极小值为3，没有极大值. ------------------------8分 （2）2()2ln f x x x a x =++可得，222()(0)x x af x x x++'=>， ----------------10分设2()22g x x x a =++，函数()f x 在区间(0,1)上为单调函数，(0)0(1)0g g ∴≥≤或，0220a a ∴≥++≤或， --------------------------------13分所以实数a 的取值范围是{|04}a a a ≥≤-或. --------------------------------14分18.(1) 由菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，则菱形的边长为2244x y +， 由对称性知水平方向上的支条长为3022x -，竖直方向上的支条长为262y-，-----4分 所以所需支条的长度之和22223022682442()824422x y x yL x y x y --=++⨯+⨯=+-++ ----------6分（2）（法一）由题意则302222622xy -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得013022x y <≤⎧⎨<≤⎩，又因为每个菱形的面积为130，所以260xy =，所以26022y x =≤,∴1301311x ≤≤，2022y ≤≤ ---------------------------8分 222226026042()8242()82L x y x y x x x x ⎛⎫=+-++=+-++ ⎪⎝⎭----------------10分 令260x t x +=，可求得372[33,]11t ∈， ∴22226026042()824520282L x x t t x x ⎛⎫=+-++=--+ ⎪⎝⎭， -----------------12分 22442205205201t L t t'∴=-=->--恒成立，所以函数L 在区间372[33,]11上单调递增所以函数L 有最小值min (33)456916L L ==+， ---------------------------15分 所以做这样一个窗芯至少需要456916+cm 的条形木料. -----------------16分（法二）由题意则302222622xy -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得013022x y <≤⎧⎨<≤⎩，又因为每个菱形的面积为130，所以260xy =，所以26022y x =≤,∴1301311x ≤≤，2022y ≤≤ ---------------------------8分 222226026042()8242()82L x y x y x x x x ⎛⎫=+-++=+-++ ⎪⎝⎭----------------10分 令260x t x +=，可求得372[33,]11t ∈， 222226026042()824520282822(2520)L x x t t t t x x ⎛⎫=+-++=--+=+-- ⎪⎝⎭2222520822(520520)822(520)520t t t t t t-=+-+--=+-+-+，-----------13分而函数2520y t =-与函数2520520y t t-=-+都是增函数，所以函数L 有最小值(33)456916L L ==+， ---------------------------15分所以做这样一个窗芯至少需要456916+cm 的条形木料. -----------------16分 19.（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()||f x x x =为奇函数. -------------------------4分 （2）因为对任意的[2,3]x ∈，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥，--------------6分 ①当0a ≤时，对任意[2,3]x ∈，()||0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤适合题意.-8分②当0a >时，易得22,(),x ax a x af x x ax a x a⎧-+-<⎪=⎨--≥⎪⎩在区间(,]2a -∞上是单调增函数，在[,]2a a 上是单调减函数，在[,)a +∞上是单调增函数. --------------------------------------10分 （Ⅰ）当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤. -----11分 （Ⅱ）当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在.----------13分 （Ⅲ）当3a >时，min ()min{(2),(3)}min{2(2),3(3)}0f x f f a a a a ==----≥，解得92a ≥，所以92a ≥. ------------------------------15分 综上所述，a 的取值范围是49(,][,)32-∞-+∞. ----------------------------------16分20. （1）由题意得(1)()xa x f x e-'=，因函数在0x =处的切线方程为y x =， 所以(0)11af '==，得1a =. ---------------------------------------------4分 （2）由（1）知21()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立， 所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2)x ∈都成立，从而0k ≥. ----------------6分又不等式整理可得22x e k x x x <+-，令2()2x e g x x x x=+-， 所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得1x =， ----------------8分 当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-，综上所述，实数k 的取值范围是[0,1)e -. -------------------------------------------------------------10分 （3）结论是12()02x x g +'<. --------------------------------------------------------------11分证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1xg x x x-'=-=， 易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212x x +>即可------12分 因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln xx x x -=，不妨令211x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1tx t t =-， 即证1ln 21t t t +>-，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ----------------------------------------14分 因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=， 综上所述，函数()g x 总满足12()02x x g +'<成立. --------------------------------------16分。
苏教版高中数学选修2-3第二学期高二数学测试三.docx
第二学期高二数学测试三一、填空题 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4. 5522105)2(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则54321a a a a a ++++=_________．5. 6个同学排成一排，甲、乙不能站在一起，不同的排法有_________种6. 11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从这11人中选出4人排版，4人印刷，有______________种不同选法（用数字作答）．7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11Λ+++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，AB OC OA ,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么BC 表示的复数为 . 13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是： （１） 零；（２）纯虚数； （３）.52i z += 16.（本小题１４分） 先解答（１），再通过结构类比解答（２） （１） 求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２） 设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１） 只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２） 没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++Λ19.(本小题16分)在n（1+x ）的展开式中，已知第3项与第5项的系数相等． （1）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项；（2）求2(2)nx x +-展开式中含2x 项的系数．20 . (本小题16分)已知33331111()1234f n n =++++L ，231()22g n n=-，*n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. -31；5. 480；6.185；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+---ΛΛ；12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分（Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； (8)分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法， 而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． (14)分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分 即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分 综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分19. 解：由已知得246n n C C n =⇒= ………………………3分（1）621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项261231661()()(1)r r r r r rr T C x C xx --+=-=- 当3r =时，展开式中的系数最小，即3520T x =-为展开式中的系数最小的项； 当2r =或4时，展开式中的系数最大，即63515,15T x T ==为展开式中的系数最大的项 ………………………9分（2）26(2)x x +-展开式中含2x 项的系数为1522466(2)1(2)48C C ⨯-+⨯⨯-=．………………………15分20. （1） 当1n =时，(1)1f =，(1)1g =，所以(1)(1)f g =；当2n =时，9(2)8f =，11(2)8g =，所以(2)(2)f g <； 当3n =时，251(3)216f =，312(3)216g =，所以(3)(3)f g <．………3分（2） 由（１），猜想()()f n g n ≤，下面用数学归纳法给出证明： ①当1,2,3n =时，不等式显然成立．②假设当(3)n k k =≥时不等式成立，即33332111131123422k k ++++<-L ， 那么，当1n k =+时， 3231311(1)()(1)22(1)f k f k k k k +=+<-+++，因为22332321113131()02(1)2(1)2(1)22(1)k k k k k k k k k+----=-=<++++， 所以231(1)(1)22(1)f k g k k +<-=++． 由①、②可知，对一切*n ∈N ，都有()()f n g n ≤成立．………………10分。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)章末检测卷(一) Word版含解析
π 9．曲线 y＝sin x，y＝cos x 与直线 x＝0，x＝2所围成的平面区域的面积为________．(用定 积分表示)
2
1
x
(－2，0)
0
f′(x)
＋
0
f(x)
单调递增
11 当 x∈[－2，2]时，
f(x)>0 等价于Error!即Error!
极大值
2
2
解不等式组得 2 <a<5 或 a<－ 2 .
因此 2<a<5.
综合①②，可知 a 的取值范围为 0<a<5.
1 (0，a) － 单调递减
1
1 a
0 极小值
11 (a，2) ＋ 单调递增
( ) －b －b2 ， ∴c＝0，顶点为 2a 4a ， 因而 y＝f(x)的顶点在第一象限． 7.已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－x－1 在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ________． 答案 [－ 3， 3] 解析 依题意可知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数，所以 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0 在(－∞，＋∞)上恒成立，则 Δ＝4a2－12≤0，解得－ 3≤a≤ 3. 8．若曲线 y＝2x2 的一条切线 l 与直线 x＋4y－8＝0 垂直，则切线 l 的方程为________． 答案 4x－y－2＝0 解析 y′＝4x，设切点 M(x0，y0)，∴k＝4x0.
18.（16 分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品需向总公
2016-2017学年高中数学 模块综合测评 苏教版选修2-2
模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填在题中的横线上) 1.已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 【解析】 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5＝|i ＋2|＝ 5. 【答案】52.若f (x )＝sin α－cos x (α是常数)，则f ′(α)＝________. 【解析】 f ′(x )＝(sin α－cos x )′＝sin x ， ∴f ′(α)＝sin α. 【答案】 sin α3.(2016·重庆一中高二期末)复数z 满足z i －2i ＋1＝0(其中i 为虚数单位)，则z ＝________.【解析】 由z i －2i ＋1＝0得z ＝－1＋2i i ＝－1＋－－＝2＋i.【答案】 2＋i4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的 解集为________. 【解析】 f ′(x )＝2x －2－4x >0，x 2－x －2x>0.∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0. ∴x >2.【答案】 (2，＋∞)5.(2016·淄博质检)设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________.【解析】 由题意知m 2＋2m －15＝0，解之得m ＝3或m ＝－5.当m ＝－5时，1m ＋5无意义，所以m ＝3.【答案】 36.函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于________.【导学号：01580074】【解析】 y ′＝(ln x )′＝1x(x >0)，又y ＝ln x 的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，∴1x ＝12，∴x ＝2， 因此，切点P (2，ln 2)在直线y ＝12x ＋a 上，∴ln 2＝1＋a ，∴a ＝ln 2－1. 【答案】 ln 2－17.观察下列的图形中小正方形的个数，则第10个图形中有________个小正方形.图1【解析】 第n 个图形中有小正方形1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2(个)，故第10个图形中有66个小正方形.【答案】 668.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1，k ∈N *)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________.【解析】 令f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1，∴f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1，因此应增加的项为12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共2k项.【答案】 2k9.(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________.【解析】 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2.【答案】 210.(2016·咸阳模拟)n ]表示不超过n 的最大整数.S 1＝1]＋2]＋3]＝3，S 2＝4]＋5]＋6]＋7]＋8]＝10，S 3＝9]＋10]＋11]＋12]＋13]＋14]＋15]＝21，……那么S n ＝________.【解析】 S 1＝12]＋12＋1]＋12＋2]＝1×3，S 2＝22]＋22＋1]＋22＋2]＋22＋3]＋22＋4]＝2×5，S 3＝32]＋32＋1]＋32＋2]＋32＋3]＋32＋4]＋32＋5]＋32＋6]＝3×7，观察式子规律，可以得出S n ＝n 2]＋n 2＋1]＋n 2＋2]＋…＋n 2＋2n ]＝n (2n ＋1). 【答案】 n (2n ＋1)11.(2014·湖南高考改编)若0<x 1<x 2<1，则下列四个结论正确的是________(填序号) ①e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1； ②e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1； ③x 2e x 1>x 1e x 2； ④x 2e x 1<x 1e x 2.【导学号：01580075】【解析】 设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0，根据函数y ＝e x与y ＝1x的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故①②不正确.令g (x )＝exx(0<x <1)，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x x －x 2.当0<x <1时，g ′(x )<0，即g (x )在(0,1)上单调递减，∵0<x 1<x 2<1，∴g (x 2)<g (x 1)，即e x 2x 2<e x 1x 1，∴x 2e x 1>x 1e x 2.即③正确.【答案】 ③12.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________.【解析】 y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －x ＋x(x >0)令y ′<0，∵x >0，∴0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是(0,1).【答案】 (0,1)13.(2016·大连测试)已知函数f (x )＝e x－2x －1(其中e 为自然对数的底数)，则y ＝f (x )的图象大致为________(填序号).图2【解析】 依题意得f ′(x )＝e x－2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，f (x )>f (ln 2)＝1－2ln 2；当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，因此对照图象知③正确.【答案】 ③14.观察下列推理过程：∵tan 2α－1tan α＝2tan 2α－12tan α＝－2tan 2α，∴tan α－1tan α＝－2tan 2α， ∴tan 2α－1tan 2α＝－2tan 4α，∴tan 4α－1tan 4α＝－2tan 8α，…由此可化简：tan π31＋2tan 2π31＋4tan 4π31＋8tan 8π31＋16tan 16π31＝________.【解析】 由推理过程得tan α＝1tan α－2tan 2α，2tan 2α＝2tan 2α－4tan 4α，4tan 4α＝4tan 4α－8tan 8α，8tan 8α＝8tan 8α－16tan 16α，16tan 16α＝16tan 16α－32tan 32α，将这五个等式相加，得tan α＋2tan 2α＋4tan 4α＋8tan 8α＋16tan 16α＝1tan α－32tan 32α，令α＝π31，可得原式＝－31tan π31.【答案】 －31tan π31二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.复数z 1＝3a ＋5＋(a 2－10)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.【解】 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数， ∴a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3.∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.16.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数. (2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞. 17.(本小题满分14分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7，……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1，……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由. 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2， 即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d .当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1n －1－2d＝2n －1a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1n －1－2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列. 综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.18.(本小题满分16分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2. 而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数，所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈－2,2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈－2,2].19.(本小题满分16分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 则n ＝k ＋1时，命题成立.则①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.20.(本小题满分16分)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bxe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e xln x ＋2xe x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x(1－x ).所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第1章 1.3 第2课时 利用组合数公式解应用题 学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．个人分成甲、乙两组，其中甲组人，乙组人，则不同的分组种数为．(用数字作答)【解析】由题意可知，共有＝种分法．【答案】种．某人决定投资种股票和种债券，经纪人向他推荐了种股票和种债券，则此人不同的投资方式有种．【解析】由题意可知，共有＝(种)．【答案】．凸十边形的对角线的条数为．【解析】－＝(条)．【答案】条．已知圆上个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有个．【解析】此题可化归为：圆上个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以交点有＝(个)．【答案】．某班级要从名男生、名女生中选派人参加某次社区服务，如果要求至少有名女生，那么不同的选派方案种数为．【解析】人中选人的方案有＝种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有种．【答案】种．过三棱柱任意两个顶点的直线共条，其中异面直线有对．【解析】(－)＝(对)．【答案】．在某种信息传输过程中，用个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有和，则与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为．【解析】与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息恰有两个对应位置上的数字相同，即从个位置中选个位置，使对应数字相同，其他个不同，有＝个信息符合．第二类：与信息恰有一个对应位置上的数字相同，即从个位置中选个位置，使对应数字相同，其他个不同，有＝个信息符合．第三类：与信息没有一个对应位置上的数字相同，即个对应位置上的数字都不同，有＝个信息符合．由分类计数原理知，与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为＋＋＝.【答案】．现有张风景区门票分配给位游客，若其中，风景区门票各张，，风景区门票各张，则不同的分配方案共有种. 【导学号：】【解析】位游客选人去风景区，有种，余下位游客选人去风景区，有种，余下人去，风景区，有种，所以分配方案共有＝(种)．【答案】二、解答题．α，β是两个平行平面，在α内取四个点，在β内取五个点．()这些点最多能确定几条直线，几个平面？()以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？【解】()在个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定直线才能达到最多，此时，最多能确定直线＝条．在此条件下，只有两直线平行时，所确定的平面才最多．又因为三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定＋＋＝个平面．()同理，在个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多．此时最多能作＋＋＝个三棱锥．．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？()个不同的小球放入个不同的盒子；()个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；()个相同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．【解】()每个小球都有种方法，根据分步计数原理，共有＝种不同放法．。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-3学业测评：2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知随机变量ξ满足V (ξ)＝19，则ξ的标准差为________． 【解析】V (ξ)＝19＝13.【答案】 132．设随机变量ξ可能取值为0,1，且满足P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝0)＝23，则V (ξ)＝________.【解析】 由题意可知，随机变量ξ服从两点分布，故V (ξ)＝13×23＝29. 【答案】 293．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________. 【导学号：29440059】【解析】 设P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝45，x ＋2y ＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝15，所以V (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)×35＋(2－1)2×15＝25.【答案】 254．若ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，且η＝2ξ＋3，则V (ξ)＝________，V (η)＝________.【解析】 ∵ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴V (ξ)＝4×13×23＝89.V (η)＝V (2ξ＋3)＝4V (ξ)＝329.【答案】 89 3295．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．【解析】 法一：由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝116，P (X ＝1)＝C 12×14×34＝38，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.所以在2次试验中成功次数X 的分布列为则在2E (X )＝0×116＋1×38＋2×916＝32.法二：此试验满足二项分布，其中p ＝34，所以在2次试验中成功次数X 的均值为E (X )＝np ＝2×34＝32.【答案】 326．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则V (ξ)＝________. 【导学号：29440060】 【解析】 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故V (ξ)＝59.【答案】 597．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．【解析】 成功次数ξ～B (100，p )，∴V (ξ)＝100p (1－p )≤100×⎣⎢⎡⎦⎥⎤p ＋(1－p )22＝25.当且仅当p ＝1－p ，即p ＝12时，V (ξ)取得最大值25＝5.【答案】 12 58．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，V (X )＝25×0.6×0.4＝6，E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，V (Y )＝V (4X )＝42×V (X )＝16×6＝96， 所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【答案】 60,96 二、解答题9．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，设ξ表示取出次品的个数．(1)若取后不放回，求ξ的均值E (ξ)和方差V (ξ)； (2)若取后再放回，求ξ的均值E (ξ)和方差V (ξ)． 【解】 (1)由题意，得ξ～H (3,2,15)， E (ξ)＝nM N ＝3×215＝25， V (ξ)＝nM (N －n )(N －M )N 2(N －1)＝3×2×(15－3)×(15－2)152×(15－1)＝52175.(2)由题意ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，215，E (ξ)＝np ＝3×215＝25，V (ξ)＝np (1－p )＝3×215×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－215＝2675. 10．(2016·淮安高二检测)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球． (1)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．【解】 (1)“有放回摸球”可看作独立重复试验， 因为每摸出一球得白球的概率为p ＝26＝13.所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为C 12·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝49. (2)设摸得白球的个数为ξ，依题意得： P (ξ＝0)＝46×35＝25， P (ξ＝1)＝46×25＋26×45＝815， P (ξ＝2)＝26×15＝115，所以E (ξ)＝0×25＋1×815＋2×115＝23，V (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×815＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×115＝1645.[能力提升]1．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则V (ξ)的最小值等于________．【解析】 由分布列中，概率和为1，则a ＋13＝1，a ＝23. ∵E (ξ)＝2，∴m 3＋2n3＝2，∴m ＝6－2n .∴V (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝23×(n －2)2＋13×(6－2n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2.∴n＝2时，V(ξ)取最小值0.【答案】02．有同寝室的四位同学分别每人写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X，则X的方差是________．【解析】由条件，得X的概率分布列为：E(X)＝0×924＋1×824＋2×624＋4×124＝1，V(X)＝(0－1)2×924＋(1－1)2×824＋(2－1)2×624＋(4－1)2×124＝1.【答案】 13．设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差V(ξ)＝________.【解析】E(ξ)＝x10，V(ξ)＝d219(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d2.【答案】30d24．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2-5-3所示．图2-5-3将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的概率分布，期望E(X)及方差V(X)．【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率分别为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.X的概率分布为因为X～B(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第1章 1.2 第1课时 排列 排列数公式 学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．若＝×，则＝.【解析】＝(－)＝×，整理得－－＝，解得＝或＝－(舍)．【答案】．＝，＝. 【导学号：】【解析】＝×＝，＝＝.【答案】．给出以下问题：()从四个数字中任取两个数作为对数的底数和真数，有多少个不同的值？()从到这个数字中任取两个数，作除法运算．其中是排列问题的是．(只填序号)【解析】()是．对数的值与底数和真数的取值不同，与顺序有关．同理()也是排列问题．【答案】()()．不等式－<的解集为．【解析】由不等式－<，得(－)(－)－<，整理得－－<，解得－<<.又因为－≥且∈*，即≥且∈*，所以＝或＝，故不等式－<的解集为{}．【答案】{}．若∈*且＜，则(－)(－)…(－)用排列数表示为．【解析】∵－＞－＞…＞－，且共有个数，故用排列数表示为.【答案】＝.【解析】原式＝＝＝.【答案】．若＝，则＝.【解析】由＝，得＝，∴(－)(－)＝，∴＝或＝(舍)．【答案】．如果＝×××××，那么＝，＝.【解析】×××××＝，故＝，＝.【答案】二、解答题．四个人，，，坐成一排，其中不坐排头，写出所有的坐法．【解】由“树形图”可知，所有坐法为，，，，，，，，，，，，，，，，，.．解不等式：>.【解】原不等式可化为>，其中≤≤，∈*，即(－)(－)>，∴－＋>，∴(－)(－)>，∴<或>.但≤≤，∈*，故＝.[能力提升]．＝！＋！＋！＋…＋！，则的个位数字是．【解析】∵！＝！＝！＝！＝，！＝！＝！＝，∴的个位数字的和为＋＋＋＝，其个位数字是.【答案】．－(∈*)的值为.。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评3 常见函数的导数 Word版含解析
学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知f (x )＝x 2，则f ′(－2)＝________.【解析】 f ′(x )＝2x ，∴f ′(－2)＝2×(－2)＝－4.【答案】 －42．若函数f (x )＝3x ，则f ′(8)＝________.【解析】 f ′(x )＝(x 13)′＝13x －23，则f ′(8)＝13×(23)－23＝13×2－2＝112.【答案】 1123．已知f (x )＝x z (z 为常数)，若f ′(－1)＝－4，则z 的值是________．【解析】 f ′(x )＝zx z －1，由f ′(－1)＝－4，得z ·(－1)z －1＝－4，所以z ＝4.【答案】 44．点P 在曲线y ＝4x 2上，曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．【解析】 y ′＝(4x －2)′＝－8x －3，设点P (x 0，y 0)，依题意得－8x －30＝tan 135°＝－1，∴x 0＝2.又P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x 2上，∴y 0＝1.【答案】 (2,1)5．曲线y ＝12x 2的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为________．【解析】 ∵y ′＝x ，设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 20， ∴x 0＝1，则y 0＝12，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，切线的斜率为1， ∴切线方程为：y －12＝x －1，即x －y －12＝0.【答案】x－y－12＝06．已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且g′(2)＝1f′(2)，则m＝________.【解析】∵f′(x)＝－1x2，∴f′(2)＝－14，又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，由g′(2)＝1f′(2)，∴m＝－4.【答案】－47．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．【解析】由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，∴函数y＝x2(x>0)在点(a k，a2k)处的切线方程为：y－a2k＝2a k(x－a k)，令y＝0，得x＝a k2，即a k＋1＝a k2，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.【答案】218．(2016·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】依题意知，f(1)＝12×1＋2＝52，f′(1)＝12，∴f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.【答案】 3二、解答题9．求下列函数的导数(1)y＝5x2；(2)y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π2；(3)y＝2sin x2cosx2；(4)y＝log12x2－log12x.【解】 (1)y ′＝(5x 2)′＝(x 25)′＝25x＝25x .(2)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .(3)∵y ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 12x 2－log 12x ＝log 12x ， ∴y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.10．求证：双曲线xy ＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．【证明】 由xy ＝1，得y ＝1x ，从而y ′＝－1x 2.在双曲线xy ＝1上任取一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0， 则在点P 处的切线斜率k ＝－1x 20. 切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)， 即y ＝－1x 20x ＋2x 0. 设该切线与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，则A (2x 0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 0， 故S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2. 所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[能力提升]1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________.【导学号：01580008】【解析】 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x ，由f ′(x )－g ′(x )＝1，得2x －1x ＝1，解之得x 1＝－12，x 2＝1.∵x >0，∴x ＝1.【答案】 12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )＝________.【解析】 由题意f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，则可知周期为4.从而f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x .【答案】 sin x3．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．【解析】 ∵y ′＝(n ＋1)x n ，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，则x n ＝n n ＋1.故a n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg (n ＋1)．所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.【答案】 －24．已知曲线C ：y ＝x 2－2x ＋3，直线l ：x －y －4＝0，在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最短，并求出最短距离．【解】 设与直线l ：x －y －4＝0平行，且与曲线C ：y ＝x 2－2x ＋3相切的直线为x －y ＋k ＝0设P (x 0，y 0)，y ′＝2x －2∴2x 0－2＝1，解得x 0＝32y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32＋3＝94，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 ∴k ＝94－32＝34∴d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34＋42＝1928 综上所述，点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，最短距离为d ＝1928.。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-3学业测评：1.5.1 二项式定理 含解析
学业分层测评（建议用时：45分钟）[学业达标］一、填空题1．(2015·广东高考)在（错误!－1）4的展开式中，x的系数为________．【解析】T r＋1＝C r，4·(错误!）4－r·（－1）r。
令r＝2，则C错误!（－1）2＝6.【答案】62。
错误!16的二项展开式中第4项是________．【解析】展开式的通项公式为T r＋1＝C r，16·x16－r·错误!r＝(－1）r·C错误!·x16－2r。
所以第4项为T4＝（－1）3C错误!·x10＝－C错误!x10。
【答案】－C错误!x103．（x＋a)10的展开式中，x7的系数为15,则a＝________。
（用数字填写答案）【导学号：29440025】【解析】展开式中x7的系数为C错误!a3＝15,即a3＝错误!，解得a ＝错误!。
【答案】错误!4．在(1＋x)3＋(1＋错误!）3＋(1＋错误!）3的展开式中，含有x项的系数为________．【解析】C错误!＋C错误!＋C错误!＝3＋3＋1＝7。
【答案】75．使错误!n(n∈N＊）的展开式中含有常数项的最小的n为________．【解析】T r＋1＝C r n（3x)n－r错误!r＝C错误!3n－r x n－错误!r，当T r＋1是常数项时,n－错误!r＝0，当r＝2，n＝5时成立．【答案】56．在（1＋x)6·（1－x）4的展开式中，x3的系数是________．【解析】（1＋x）6·（1－x）4＝(1＋x）2·(1＋x）4·（1－x）4＝（1＋2x＋x2)(1－x2)4。
∴x3的系数为2·C错误!·（－1)＝－8.【答案】－87．若错误!n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中错误!的系数为________．【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同,即C错误!＝C错误!，所以n＝8，所以展开式的通项为T r＋1＝C错误!x8－r错误!r＝C r，8x8－2r，令8－2r＝－2,解得r＝5,所以T6＝C错误!错误!2,所以错误!的系数为C错误!＝56。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-3学业测评：1.5.2 二项式系数的性质及应用 含解析
学业分层测评（建议用时：45分钟）［学业达标]一、填空题1．（a－b)7的展开式中，二项式系数最大的项是第________________________项,系数最大的项是第________项．【解析】展开式共8项，二项式系数最大的项是第4，第5项，系数最大的项为第5项．【答案】4或5 52．（1＋x）＋(1＋x）2＋…＋（1＋x)n的所有二项式的各项系数和是________．【解析】令x＝1，得2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2。
【答案】2n＋1－23．(2015·天津高考）在错误!6的展开式中，x2的系数为________．【解析】设通项为T r＋1＝C错误!x6－r错误!r＝C错误!错误!r x6－2r.令6－2r＝2得r＝2，∴x2的系数为C错误!错误!2＝错误!.【答案】错误!4．C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＝________。
【导学号：29440030】【解析】∵C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝210，又C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!，∴C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＝29.【答案】295．233除以9的余数是________．【解析】233＝811＝（9－1)11＝911－C错误!910＋C错误!98－ (1)∴233除以9的余数是8.【答案】86．如图1。
5。
6,在“杨辉三角”中，斜线l的上方,从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3,4,6，5，10，…,记此数列为{a n｝,则a21＝________。
图1.5。
6【解析】此数列依次为C错误!;C错误!，C错误!；C错误!，C错误!；C错误!，C2，5；…；C错误!，C错误!;…；a21＝C错误!＝错误!＝66。
【答案】667．设a∈Z，且0≤a<13,若512 016＋a能被13整除,则a＝________.【解析】512 016＋a＝（52－1)2 016＋a＝C错误!522 016－C错误!522015＋…＋C错误!×52×(－1）2 015＋C错误!×(－1）2 016＋a。
苏教版高中数学选修2-3-高二年级第二学期第三次质量检测
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2015-2016学年度高二年级第二学期第三次质量检测数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则A B = ．2.已知命题1:,sin 2p x R x ∃∈≥，则p ⌝是__________________. 3.函数ln(1)11x y xx -=++的定义域是__________________. 4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +=__________. 5.设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且3(3)(2)0f x x f -+>，则实数x 的取值范围是__________________,6.已知22(1)(1)10a x a x ----<的解集是R ，则实数a 的取值范围是________________. 7. 若曲线b ax x x x f ++-=23)(在点x =1处的切线与直线12+=x y 垂直，则a =______. 8.若不等式2162a bx x b a+<+对任意,(0,)a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 9. 函数32()31f x ax x =-+，若()0f x =存在唯一正实数根0x ,则a 取值范围是 ． 10. 已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是_____． 11.已知命题:||4;:(2)(3)0p x a q x x -<-->，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是_____________.12.若函数321()(3)32af x x x a x b =-+-+有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是__________.13.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为____________.14. 设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数，现给出下列命题：(1)函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数； （2）函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；（3）若函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞； （4）函数()lg(|2|1)f x x =-+为[1,)+∞上的2高调函数.其中正确命题的序号是_______________________(写出所有正确命题的序号). 二、解答题：（本大题共6个小题，共计90分） 15.（本小题满分14分）已知:p 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<，对任意的x R ∈很成立，:q 关于x 的方程()2110x a x +-+=，一个根在()0,1上，另一个根在()1,2上，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围.16.（本小题满分14分）设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ．（1）若不等式0)(>x f 的解集)3,1(-，求b a ,的值；（2）若(1)2,00f a b =>>、，求14a b+的最小值．17.(本小题满分14分)已知函数2()2ln ().f x x x a x a R =++∈（Ⅰ）当4a =-时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间（0,1）上为单调函数，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ． （1）试用,x y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19.（本小题满分16分）设a R ∈，函数()||f x x x a a =--. （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2,3],()0x f x ∈≥恒成立，求a 的取值范围；20.（本小题满分16分）已知函数()x axf x e=在0x =处的切线方程为y x =.（1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x<+-成立，求k 的取值范围； （3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.第三次质量检测参考答案1.{1,2}2.1,sin 2x R x ∀∈<3.(1,0)(0,1)-4.-25.(,2)-∞-6.3(,1]5-7.32- 8.(4,2)- 9.(,0]{2}-∞ 10.10 11.[1,6]-12.(,6)(2,)-∞-+∞ 13.7 14.②③④15.命题:p 当2a =时，40-<恒成立，符合题意， --------------------1分 当2a ≠时，须满足2204(2)16(2)0a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩ ， 解得22a -<<， 所以命题p 为真命题时，a 的取值范围是(2,2]-. --------------------3分命题:q 令2()(1)1f x x a x =+-+，则题意(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，10230a a +<⎧∴⎨+>⎩ 解得312a -<<-. -------------------6分 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以,p q 一真一假，（1）当p 真q 假时有22312a a a -<≤⎧⎪⎨≤-≥-⎪⎩或，解得32122a a -<≤--≤≤或， --------10分 （2）当p 假q 真时有22312a a a ≤->⎧⎪⎨-<<-⎪⎩或，此不等式组的解集为空集.--------------13分综上所述，a 的取值范围是3(2,][1,2]2---. ----------------------14分16.（1）由()0f x >的解集为(1,3)-，所以方程()0f x =的根为-1，3，由根与系数的关系可得：313213ab a ⎧-⨯=⎪⎪⎨-⎪-+=-⎪⎩，解得1,4a b =-=； ---------------7分（2）由(1)2f =，得1a b +=，又因为0,0a b >>，所以141444()()5529b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+=， 所以14a b+的最小值为9. ----------------------------------------------14分17.（1）当4a =-时，2()24ln f x x x x =+-，所以该函数的定义域为(0,)+∞，--------2分 又因为2(2)(1)()x x f x x+-'=， ---------------------------------------------4分令()0f x '=，得12(x x ==-或舍），列表如下：x(0,1)1 (1,)+∞()f x ' - 0 + ()f x单调减极小值单调增∴函数()f x 的极小值为(1)124ln13f =+-=， -----------------------------7分所以函数()f x 的极小值只有极小值为3，没有极大值. ------------------------8分 （2）2()2ln f x x x a x =++可得，222()(0)x x af x x x++'=>， ----------------10分设2()22g x x x a =++，函数()f x 在区间(0,1)上为单调函数，(0)0(1)0g g ∴≥≤或，0220a a ∴≥++≤或， --------------------------------13分所以实数a 的取值范围是{|04}a a a ≥≤-或. --------------------------------14分18.(1) 由菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，则菱形的边长为2244x y +， 由对称性知水平方向上的支条长为3022x -，竖直方向上的支条长为262y-，-----4分 所以所需支条的长度之和22223022682442()824422x y x yL x y x y --=++⨯+⨯=+-++ ----------6分（2）（法一）由题意则302222622xy -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得013022x y <≤⎧⎨<≤⎩，又因为每个菱形的面积为130，所以260xy =，所以26022y x =≤,∴1301311x ≤≤，2022y ≤≤ ---------------------------8分 222226026042()8242()82L x y x y x x x x ⎛⎫=+-++=+-++ ⎪⎝⎭----------------10分 令260x t x +=，可求得372[33,]11t ∈， ∴22226026042()824520282L x x t t x x ⎛⎫=+-++=--+ ⎪⎝⎭， -----------------12分 22442205205201t L t t'∴=-=->--恒成立，所以函数L 在区间372[33,]11上单调递增所以函数L 有最小值min (33)456916L L ==+， ---------------------------15分 所以做这样一个窗芯至少需要456916+cm 的条形木料. -----------------16分（法二）由题意则302222622xy -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得013022x y <≤⎧⎨<≤⎩，又因为每个菱形的面积为130，所以260xy =，所以26022y x =≤,∴1301311x ≤≤，2022y ≤≤ ---------------------------8分 222226026042()8242()82L x y x y x x x x ⎛⎫=+-++=+-++ ⎪⎝⎭----------------10分 令260x t x +=，可求得372[33,]11t ∈， 222226026042()824520282822(2520)L x x t t t t x x ⎛⎫=+-++=--+=+-- ⎪⎝⎭2222520822(520520)822(520)520t t t t t t-=+-+--=+-+-+，-----------13分而函数2520y t =-与函数2520520y t t-=-+都是增函数，所以函数L 有最小值(33)456916L L ==+， ---------------------------15分所以做这样一个窗芯至少需要456916+cm 的条形木料. -----------------16分 19.（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()||f x x x =为奇函数. -------------------------4分 （2）因为对任意的[2,3]x ∈，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥，--------------6分 ①当0a ≤时，对任意[2,3]x ∈，()||0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤适合题意.-8分②当0a >时，易得22,(),x ax a x af x x ax a x a⎧-+-<⎪=⎨--≥⎪⎩在区间(,]2a -∞上是单调增函数，在[,]2a a 上是单调减函数，在[,)a +∞上是单调增函数. --------------------------------------10分 （Ⅰ）当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤. -----11分 （Ⅱ）当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在.----------13分 （Ⅲ）当3a >时，min ()min{(2),(3)}min{2(2),3(3)}0f x f f a a a a ==----≥，解得92a ≥，所以92a ≥. ------------------------------15分 综上所述，a 的取值范围是49(,][,)32-∞-+∞. ----------------------------------16分20. （1）由题意得(1)()xa x f x e-'=，因函数在0x =处的切线方程为y x =， 所以(0)11af '==，得1a =. ---------------------------------------------4分 （2）由（1）知21()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立， 所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2)x ∈都成立，从而0k ≥. ----------------6分又不等式整理可得22x e k x x x <+-，令2()2x e g x x x x=+-， 所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得1x =， ----------------8分 当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-，综上所述，实数k 的取值范围是[0,1)e -. -------------------------------------------------------------10分 （3）结论是12()02x x g +'<. --------------------------------------------------------------11分证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1xg x x x-'=-=， 易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212x x +>即可------12分 因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln xx x x -=，不妨令211x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1tx t t =-， 即证1ln 21t t t +>-，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ----------------------------------------14分 因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=， 综上所述，函数()g x 总满足12()02x x g +'<成立. --------------------------------------16分。
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，则不同的种植方法有________种．
【解析】A34＝4×3×2＝24(种)．
【答案】24
2．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有________个．
【解析】分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步计数原理，得共有A13×A24＝36(个)无重复数字的三位奇数．
【答案】36
3．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为________种．
【解析】(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66，所以符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.
【答案】576
4．从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．
【解析】若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．
【答案】18
5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种. 【导学号：29440008】【解析】没有女生的选法有A34种，一共有A37种选法，则至少有1名女生的选派方案共有A37－A34＝186(种)．
【答案】186
6．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法共有________种．【解析】分两种情况：第一种，增加的两个新节目相连；第二种，增加的两个新节目不相连，不同插法的种数为A16A22＋A26＝42(种)．
【答案】42
7．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
【解析】“o，o”为重复元素，故共有A44
A22＝12(种)排列顺序，所以出现错误的共有12－1＝11(种)．
【答案】11
8．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是________．
【解析】可分为三步来完成这件事：
第一步：先将3,5进行排列，共有A22种排法；
第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；
第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A15种排法．
由分步计数原理得，共有A222A22A15＝40种不同的排法．
【答案】40
二、解答题
9．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
【解】(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A33·A44＝144种排法．
(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A44种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)，有A25种排法，共有A44·A25＝480种排法．
10．(2016·上饶二模)有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6
个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．
【解】所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个颜色互不相同有4A33＝4×3×2×1＝24种，所以这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有4×24＝96种．
[能力提升]
1．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．
【解析】设其他不同的产品分别为D，E，先把产品A与产品B捆绑有A22种，再与产品D，E全排有A33种，最后把产品C插空有A13种，所以共有A22A33 A13＝36种不同摆法．
【答案】36
2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．
【解析】当甲在最左端时，有A55＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有A11A14A44＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．
【答案】216
3．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和2日，不同的安排方法共有________种(用数字作答)．
【解析】法一：(直接法)先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20种排法，其余5天再进行排列，有A55＝120种排法，所以共有20×120＝2 400种安排方法．
法二：(间接法)不考虑甲、乙两人的特殊情况，其安排方法有A77＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040种方法，其中不符合要求的有A22A55＋A12A15A22A55＝2 640种方法，所以共有5 040－2 640＝2 400种方法．
【答案】 2 400
4．(2016·盐城月考)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)女生互不相邻．
【解】(1)法一：元素分析法．先排甲有6种，再排其余人有A88种，故共有6·A88＝241 920(种)排法．
法二：位置分析法．中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×720＝241 920(种)排法．
法三：等机会法.9个人全排列有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等
的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A99×6
9＝241 920(种)．
法四：间接法．A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．
(2)先排甲、乙，再排其余7人．
共有A22·A77＝10 080(种)排法．
(3)插空法．先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880(种)排法．。