[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷17.doc
考研试题(线性代数部分)
05年一、选择题（１１）设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是（ ）。
（A ）10λ≠（B ）20λ≠ （C ）10λ=（D ）20λ=（１２）设A 为ｎ(2)n ≥阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得到矩阵B ，**,A B 分别是矩阵A ，B 的伴随矩阵，则（ ）。
（A ）交换*A 的第一列与第二列得*B （B ）交换*A 的第一行与第二行得*B （C ）交换*A 的第一列与第二列得－*B （D ）交换*A 的第一行与第二行得－*B 二、填空题（５）设123,,ααα是三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，则B = 。
三、解答题（２０）已知二次型22221231312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为２．①求a 的值；②求正交变换X QY =，把二次型123(,,)f x x x 化成标准形；③求方程123(,,)0f x x x =的解．（２１）已知３阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为常数），且0AB =，求线性方程组0AX =的通解．06年一、选择题（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP = 【 】 二、填空题（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = ． （数一）（4）已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。
考研数学三(线性代数)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．A．A＋BB．A－1＋B－1C．A(A＋B)－1BD．(A＋B)－1正确答案：C解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)．知识模块：线性代数2．设则m，n可取( )．A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝5C．m＝2，n＝3D．m＝2，n＝2正确答案：B解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)．知识模块：线性代数3．设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm ≠0，则( )．A．m＞nB．m＝nC．存在m阶可逆阵P，使得AP＝D．若AB＝O，则B＝O正确答案：D解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．A．两个向量组等价B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D．两向量组构成的矩阵等价正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．知识模块：线性代数5．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．A．r(A)＝mB．r(A)＝nC．A为可逆矩阵D．r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)．知识模块：线性代数6．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P －1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数8．设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．正确答案：1解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．知识模块：线性代数9．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝知识模块：线性代数10．设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．正确答案：0解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A 有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22数三考研真题试卷
22数三考研真题试卷由于我无法生成实际的考研真题试卷，但我可以提供一个模拟的数学三考研真题试卷的大致结构和内容。
请注意，以下内容是虚构的，仅用于示例。
数学三考研模拟真题试卷一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. -42. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 无穷大3. 以下哪个选项不是连续函数？（）A. \( y = x^2 \)B. \( y = |x| \)C. \( y = \frac{1}{x} \)D. \( y = \sin x \)4. 以下哪个选项是可导函数？（）A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = |x| \)D. \( y = \frac{1}{x} \)（x≠0）5. 以下哪个选项是原函数？（）A. \( \int x^2 dx \)B. \( \int \frac{1}{x} dx \)C. \( \int \sin x dx \)D. \( \int e^x dx \)6. 以下哪个选项是微分方程\( y'' - y' - 6y = 0 \)的解？（）A. \( y = e^x \)B. \( y = e^{-x} \)C. \( y = e^{3x} \)D. \( y = e^{-3x} \)7. 以下哪个选项是线性代数中的正交矩阵？（）A. \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)B. \( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)C. \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)D. \( A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)8. 以下哪个选项是概率论中的独立事件？（）A. 连续抛掷两次硬币，第一次和第二次都是正面B. 一个骰子连续掷两次，第一次是1，第二次是2C. 一个袋子里有红球和蓝球，第一次摸到红球不放回去，第二次摸到红球D. 一个袋子里有红球和蓝球，第一次摸到红球放回去，第二次摸到红球9. 以下哪个选项是统计学中的总体平均数？（）A. 样本平均数B. 总体中所有数据的总和除以总体大小C. 样本中所有数据的总和除以样本大小D. 总体中数据的中位数10. 以下哪个选项是多元函数偏导数的几何意义？（）A. 函数在某一点的切线斜率B. 函数在某一点的法线方向C. 函数在某一点的变化率D. 函数在某一点的曲率二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若\( \int_{0}^{1} f(x) dx = 2 \)，则\( \int_{0}^{1} x f(x) dx = \) _______。
2023数三考研真题试卷
2023数三考研真题试卷数三考研真题试卷是针对中国高等教育中数学三科目的模拟考试材料，通常包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计等部分。
以下是一份模拟的2023年数三考研真题试卷内容：一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值出现在哪个点？A. \( x = 0 \)B. \( x = 2 \)C. \( x = 4 \)D. \( x = -2 \)2. 已知矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的行列式。
A. 2B. 4C. -2D. -43. 设随机变量\( X \)服从正态分布\( N(0, 1) \)，求\( P(X > 1) \)。
A. 0.1587B. 0.3173C. 0.8413D. 0.6827...（此处省略其他选择题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \)等于______。
2. 设\( A \)为\( n \times n \)的正交矩阵，证明\( \det(A) \)等于______。
...（此处省略其他填空题）三、解答题（每题15分，共40分）1. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \)。
2. 给定函数\( f(x) = \ln(1 + x) \)，求其在区间\( [0, 1] \)上的最大值和最小值。
...（此处省略其他解答题）四、综合题（每题20分，共20分）1. 某工厂生产一种产品，其生产成本\( C(x) \)与生产量\( x \)之间的关系为\( C(x) = 10x + 30 \)，产品售价为\( p = 50 \)。
[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷127.doc
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22设A～B，
23求a，b；
24求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
24设 且A～B．
25求a；
26求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
26设 有三个线性无关的特征向量．
27求a；
28求A的特征向量；
29求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵．
15设
16证明A可对角化；
17求Am．
18设 有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．
19设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．
20设A为三阶矩阵，Aα1=iαi(i=1，2，3)， 求A．
21设 的逆矩阵A-1的特征向量，求x，y，并求A-1对应的特征值μ．
[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷127
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )．
（A）矩阵A与单位矩阵E合同
（B）矩阵A的特征值都是实数
（C）存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵
（D）存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵
2设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则( )．
30 (1)设A，B为n阶矩阵，|λE—A|=|λE一B|且A，B都可相似对角化，证明：A～B．(2)设 矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
（B）A-1+B-1
（，其中 则x=____________，y=_________．
6设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3对应的线性无关的特征向量为 则λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为___________．
[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷17.doc
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[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷17一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 方程y(4)一2y"'一3y"=e-3x一2e-x+x的特解形式是(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）axe-3x+bxe-x+cx3（B）ae-3x+bxe-x+cx+d（C）ae-3x+bxe-x+cx3+dx2（D）axe-3x+be-x+cx3+dx2 设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是 ( )（A）C1y1+C2y2+y3（B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3（C）C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3（D）C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y33 函数(其中C是任意常数)对微分方程而言 ( )（A）是通解（B）是特解（C）是解，但既非通解也非特解（D）不是解4 微分方程y"一6y’+8y=e x+e2x的一个特解应具有的形式为(其中a，b为常数)( ) （A）ae x+be2x（B）ae x+bxe2x（C）axe x+be2x（D）axe x+bxe2x5 微分方程y"+2y’+2y=e-x sin x的特解形式为(其中A，B为常数) ( )（A）e-x(Acos x+Bsin x)（B）e-x(Acos x+Bx sin x)（C）xe-x(Acosx+Bsinx)（D）e-x(Axcosx+Bsinx)6 微分方程的通解是(其中C为任意常数)( )7 微分方程y"一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，c，d为常数) ( ) （A）ax2+bx+ce2x（B）ax2+bx+c+dx2e2x（C）ax2+bx+cxe2x（D）ax2+(bx2+cx)e2x8 微分方程y"+y’+y=的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)( )9 微分方程y"+2y’+y=sh x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( ) （A）ash x（B）ach x（C）ax2e-x+be x（D）axe-x+be x10 设f(x)连续，且满足f(x)=+ln 2，则f(x)= ( )（A）e x ln 2（B）e2x ln 2（C）e x+ln 2（D）e2x+ln 211 设f(x)，f’(x)为已知的连续函数，则方程y’+f’(x)y=f(x)f’(x)的通解是 ( ) （A）y=f(x)+Ce-f(x)（B）y=f(x)+1+Ce-f(x)（C）y=f(x)一C+Ce-f(x)（D）y=f(x)一1+Ce-f(x)12 微分方程y"一y=e x+1的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )（A）ae x+b（B）axe x+b（C）ae x+bx（D）axe x+bx13 微分方程(x＞0)满足y(1)=0的特解是( )14 设以下的A，B，C为某些常数，微分方程y"+2y’一3y=e x sin2x有特解形如 ( )（A）e x(A+Bcos 2x+Csin 2x)（B）e x(Ax+Bcos 2x+Csin 2x)（C）e x(A+Bx COS 2z+Cx sin 2z)（D）xe x(A+Bcos 2x+Csin 2x)15 已知y1=xe x+e2x和y2=xe x+e-x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）y"一2y’+y=e2x（B）y"一y’一2y=xe x（C）y"一y’一2y=e x一2xe x（D）y"一y=e2x二、填空题16 设y1=e x，y2=x2为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为________．17 微分方程y’+ytan x=cosx的通解为y=_______．18 微分方程y"一4y=e2x的通解为y=________．19 微分方程3e x tan ydx+(1一e x)sec2ydy=0的通解是_______．20 微分方程y'tan x=yln y的通解是_________．21 微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_______．22 微分方程的通解是_______．23 微分方程的通解是________．24 微分方程y"一7y’=(x—1)2由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_______.25 以y=cos 2x+sin 2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_______．26 微分方程的通解是________．27 微分方程(1一x2)y—xy’=0满足初值条件y(1)=1的特解是_______．28 微分方程y"一2y’=x2+e2x+1由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是________.29 微分方程xdy—ydx=ydy的通解是______．30 以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三线性代数(向量)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（向量）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，一l，5)T，(0，4，一2)T，(1，3，0)T；②(a，l，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f,0，3)T；③(a，l，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(一1，3，0，一2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。
则下列结论正确的是( ) A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。
B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。
C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。
D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。
正确答案：D解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。
由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。
所以应排除C。
向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。
应排除A。
由排除法，本题应选D。
知识模块：向量2．设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关。
B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。
C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s。
D．α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。
正确答案：B解析：对于选项A，因为齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确。
线性代数历年考研真题
−1 (B)P1 P2
(C)P2 P1
−1 (D)P2 P1
21.【11数三】设A为4 × 3矩阵, η1 , η2 , η3 是非齐次线性方程组Ax = β 的三个线性无关的解, k1 , k2 为任意实数, 则Ax = β 的通解为(
η3 (A) η2 + + k1 (η2 − η1 ) 2 η3 (C) η2 + + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η2 − η1 ) 2
(B)仅含一个非零解向量 (D)含有三个线性无关的解向量
9.【05数一/二/三】设λ1 , λ2 是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为α1 , α2 , 则α1 , A(α1 + α2 )线性无关的充要条件是( (A)λ1 ̸= 0 (B)λ2 ̸= 0 (C)λ1 = 0 ). (D)λ2 = 0
12.【07数一/二/三/四】设向量组α1 , α2 , α3 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是( (A)α1 − α2 , α2 − α3 , α3 − α1 (C)α1 − 2α2 , α2 − 2α3 , α3 − 2α1 (B)α1 + α2 , α2 + α3 , α3 + α1
(D)α1 + 2α2 , α2 + 2 α3 , α 3 + 2 α1 2 −1 −1 1 0 0 13.【07数一/二/三/四】设矩阵A = −1 2 −1 , B = 0 1 0 , 则A与B ( −1 −1 2 0 0 0 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)既不合同也不相似 14.【08数一/二/三/四】设A为n阶非零矩阵, 且A3 = O, 则( (A)E − A不可逆, E + A不可逆 (C)E − A可逆, E + A可逆 ).
考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取为(1)x4，x5 (2)x3，x5 (3)x1，x5 (4)x2，x3那么正确的共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，有n-r(A)=5-3=2，故应当有2个自由变量．由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量．同理，x4，x5不能是自由变量．而x1，x5与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选B．知识模块：线性方程组2．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么下列向量α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3中能导出方程组Ax=0解的向量共有( )A．4个．B．3个．C．2个．D．1个．正确答案：A解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，A(α1-3α2+2α3)=Aα1-3Aα2+2Aα3=b-3b+2b=0，那么，α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解．所以应选A．知识模块：线性方程组3．已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )A．(1，-1，3)TB．(2，1，-3)TC．(2，2，-5)TD．(2，-2，6)T正确答案：B解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解．因此选项A、D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基础解系，那么α1，α2可表示Ax=0的任何一个解η，亦即方程组x，α1+x2α2=η必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，-5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选B．知识模块：线性方程组4．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A．r=nB．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C解析：将矩阵A按列分块，A=(α1，α2，…，αn)，则Ax=0的向量形式为x1a1+x2a2+…+xnan=0，而Ax=0有非零解甘α1，α2，…，αn线性相关r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以应选C．知识模块：线性方程组5．已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：由α1+2α2-α3=β知即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T，η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，有r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．知识模块：线性方程组6．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确．对于选项D，虽然(β1-β2)是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B．事实上，对于选项B，由于α1，(α1-α2)与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，(α1-α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知，是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确. 知识模块：线性方程组7．三元一次方程组，所代表的三个平面的位置关系为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：设方程组的系数矩阵为A，对增广矩阵A作初等行变换，有因为r(A)=2，而r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，-1，-2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．所以应选C．知识模块：线性方程组8．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：D解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A：b)，所以选项A、B均不正确．而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A：b)＜b．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解．所以应选D．知识模块：线性方程组填空题9．设A为3×3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则r(A)=_____正确答案：1解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为3×3阶，因此r(A)=n-r=3-2=1．知识模块：线性方程组10．设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=_______正确答案：0解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n-r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0．知识模块：线性方程组11．设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______正确答案：k(1，1，…，1)T，k是任意常数．解析：由题干可知r(A)=n-1，则线性方程组Ax=0的基础解系由1个解向量组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系．又已知矩阵每行的元素之和都为0，因此有Ai1+Ai2+…+Ain=1×Ai1+1×Ai2+…+1×Ain=0，故(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，所以通解为k(1，1，…，1)T，k 是任意常数．知识模块：线性方程组12．方程组有非零解，则k=_______正确答案：-1解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12(K+1)=0，因此得k=-1．知识模块：线性方程组13．设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_____正确答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n-r(A*)=3-1=2，因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为k1η1+k2η2．又因为A*A=｜A｜E=0，因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T 知识模块：线性方程组14．已知方程组总有解，则λ应满足的条件是______正确答案：解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为3，即｜A｜≠0，由可知λ≠1且λ≠知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)模拟试卷99(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷99(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是n阶非零矩阵，E是n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E一A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E一A可逆，E+A不可逆正确答案：C 涉及知识点：线性代数2．A是4阶实对称矩阵，A2+2A=0，r(A)=3，则A相似于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：用排除法由于A2+2A=0，A的特征值满足λ2+2λ=0，因此只可能是0或一2．于是和它相似的矩阵的特征值也只可能是0或一2．AB中的矩阵的特征值中都有2因此不可能相似于A，都可排除．又r(A)=3，和它相似的矩阵的秩也应该是3，C中矩阵的秩为2，也可排除．知识模块：线性代数填空题3．设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．如果｜2A｜=一48，则λ=________．正确答案：一1解析：｜2A｜=8｜A｜，得｜A｜=一6．又｜A｜=2×3×λ．得λ=一1．知识模块：线性代数4．A是3阶矩阵，特征值为1，2，2．则｜4A-1一E｜=__________．正确答案：3解析：A一1的特征值为1，1／2，1／2．4A一1一E的特征值为3，1，1，｜4A一1一E｜=3 知识模块：线性代数5．A是3阶矩阵，它的特征值互不相等，并且｜A｜=0，则r(A)=________．正确答案：2解析：A的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是A的特征值，为3个互不相等数．其中有一个为0(因为｜A=0)，则r(A)=2．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6．已知3阶矩阵A满足｜A+E｜=｜A—E｜=｜4E一2A｜=0，求｜A3一5A2｜．正确答案：条件说明一1，1，2是A的特征值．得出A3－5A2的3个特征值：记f(x)=x3－5x2，则A3－5A2的3个特征值为f(一1) =一6，f(1)=一4，f(2)=一12．｜A3－5A2｜=(一4)×(一6)×(一12)=一288．涉及知识点：线性代数7．设α=(1，2，一1)T，β=(一2，1，一2)T，A=E一αβT．求｜A2－2A+2E｜．正确答案：用特征值计算．βTα=2，于是αβT的特征值为0，0，2，从而A的特征值为1，1，一1，A2－2A+2E的特征值为1，1，5．于是｜A2-2A+2E｜=1×1×5=5．涉及知识点：线性代数8．设α=(1，0，一1)T，A=ααT，求｜aE—An｜．正确答案：利用特征值计算．ααT的特征值为0，0，2．An的特征值为0，0，2n．aE—An的特征值为g，g，a一2n．｜aE—An｜=a2(a—2n)．涉及知识点：线性代数9．计算正确答案：记矩阵则所求为｜A｜．A=B+cE，而于是B的特征值为0,0，0，ab+a2b2+a3b3+a4b4从而A的特征值为c，c，c，a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c．则｜A｜=c3(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c) 涉及知识点：线性代数10．已知n阶矩阵A满足A3=E．(1)证明A2—2A一3E可逆．(2)证明A2+A+2E可逆．正确答案：通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值．由于A3=E，A的特征值都满足λ3=1．(1)A2一2A一3E=(A一3E)(A+E)，3和一1都不满足λ3=1，因此都不是A的特征值．于是(A一3E)和(A+E)都可逆，从而A2一2A一3E可逆．(2)设A的全体特征值为λ1，λ2，…，λn，则A2+A+2E 的特征值λi2+λi+2，i=1，2，…．n．由于λi3=1，λi或者为1，或者满足λi2+λi+1=0．于是λi2+λi+2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A2+A+2E 可逆．涉及知识点：线性代数11．设n阶矩阵A满足A4+2A3一5A2+2A+5E=0．证明A一2E可逆．正确答案：由定理5．1的推论的①，A一2E可逆2不是A的特征值．因为A4+2A3一5A2+2A+5E=0，所以A的特征值都是方程λ4+2λ3一5λ2+2λ+5=0．的根．显然2不是这个方程的根，从而不是A的特征值．涉及知识点：线性代数12．设B=U一1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．正确答案：本题可先求出B+2E(先求A*，再求B，再求B+2E)，然后求它的特征值与特征向量，这样做计算量大．一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算．①求特征值．A=C+E，其中则c的特征值为0，0，6，从而A 的特征值为1，1，7．｜A｜=1×｜×7=7．根据定理5．5的②，A*的特征值为7，7，1．B～A*，从而B和A*特征值完全一样，也是7，7，1．用定理5．5的①，B+2E的特征值为9，9，3．②求特征向量．A*与A的对应特征值(指1与7，7与1)的特征向量一样，B+2E与B对应特征值(指7与9，1与3)的特征向量也一样，根据定理5．8的④，A*η=λη298λU一1η=λU一1η．于是可以由A的特征向量来得到B+2E的特征向量A的属于1的特征向量就是A*的属于7的特征向量，用U-1左乘后就是B的属于7的特征向量，也就是B+2E 的属于9的特征向量．A的属于1的特征向量，即(A—E)X=0的非零解．求得(A —E)X=0的基础解系η1=(1，一1，0)T，η2=(1，0，一1)T．于是A的属于1的特征向量的为c2η1+c2η2，c2，c2不全为0．求出ξ=U一1η1=(一1，1，0)T，ξ2=U一1η2=(1，1，一1)T，则B+2E的属于9的特征向量为c1ξ1+c2ξ2，c2，c2不全为0．同理，A的属于7的特征向量用U一1左乘后就是B+2E 的属于3的特征向量．求出A的属于7的特征向量(即(A一7E)X=0的非零解)为cη，c不为0，其中η=(1，1，1)T，记ξ=U一1η=(0，1，1)T，则B+2E的属于9的特征向量为cξ，c≠0．涉及知识点：线性代数13．设A和B都是可相似对角化的n阶矩阵，证明A和B相似A和B的特征值完全相同．正确答案：“→”是相似的重要性质．“←”设A和B的特征值完全相同．记全部特征值为λ1，λ2，…，λn，构造对角矩阵A，使得其对角线是的元素依次λ1，λ2，…，λn．由于A和B都是可相似对角化，有A一A，和B～A，再从相似关系的传递性，得到A—B．涉及知识点：线性代数14．已知3阶矩阵有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．正确答案：(1)求a．A的特征多项式为要使得它有二重根，有两种可能的情况：①2是二重根，即2是λ2一8λ+18+3a的根，即4一16+1 8+3a=0，求出a=一2，此时三个特征值为2，2，6．②2是一重根，则λ2一8λ+18+3a有二重根，λ2一8λ+18+3a=(x一4)2，求出a=一2／3．此时三个特征值为2，4，4．(2)讨论A是否相似于对角化矩阵．①当a=一2时，对二重特征值2，考察3一r(A 一2E)是否为2 7即r(A一2E)是否为1②当a=一2／3时，对二二重特征值4，考察3一r(A一4E)是否为2?即r(A一4E)是否为1 涉及知识点：线性代数设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性的无关3维列向量组，满足Aα1=α1+2α2+2α3，Aα2=2α1+α2+2α3，Aα3=2α1+2α2+α3．15．求A的特征值．正确答案：用矩阵分解：A(α1，α2，α3)=(α1+2α2+2α3，2α1+α2+2α3，2α1+2α2+α3)=(α1，α2，α3)B，这里从α1,α2,α3线性无关的条件知道，(α1,α2,α3)是可逆矩阵．于是A相似于B．的秩为1，其特征值为0，0，6．得B的征值为一1，一1，5．则A的征值也为一1，一1，5．涉及知识点：线性代数16．判断A是否相似于对角矩阵?正确答案：B是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A也相似于对角矩阵．涉及知识点：线性代数17．求A的特征值．判断a，b取什么值时A相似于对角矩阵?正确答案：A的特征值0，5，b．①如果b≠0和5，则A的特征值两两不同，A相似于对角矩阵．②如果b=0，则A的特征值0，0，5．此时A相似于对角矩阵特征值0的重数2=3一r(A)r(A)=1a=0．于是a=0且b=0时A相似于对角矩阵；a≠0且b=0时A不相似于对角矩阵；③如果b=5，则A的特征值0，5，5．此时而r(A一5E)=2，特征值5的重数2＞3一r(A一5E)，A不相似于对角矩阵．涉及知识点：线性代数已知18．求x，y正确答案：A与B相似，从而有相同的特征值2，2，y．2是二重特征值，于是A与B相似从而tr(A)=tr(B)，于是1+4+5=2+2+y．得y=6．涉及知识点：线性代数19．求作可逆矩阵U，使得U一1A U=B．正确答案：求属于2的两个线性无关的特征向量：即求(A一2E)X=0的基础解系：得(A一2E)X=0的同解方程组x1=一x2+x3，得基础解系η1=(1，一1，0)T，η2=(1，0，1)T．求属于6的一个特征向量：即求(A一6E)X=0的一个非零解：得(A一6E)X=0的同解方程组得解η3=(1，一2，3)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数20．问k为何值时A可相似对角化?正确答案：求A的特征值：于是A的特征值为1(一重)和一1(二重)．要使A可对角化，只需看特征值一1．要满足3一r(a+E)=2，即r(A+E)=1，得k=0，涉及知识点：线性代数21．此时作可逆矩阵U，使得U一1A U是对角矩阵．正确答案：求属于一1的两个线性无关的特征向量，即求(A+E)X=0的基础解系：得(A+E)X=0的同解方程组2x1+x2一x3=0得基础解系η1=(1，0，2)T，η2=(0，1，1)T．求属于1的一个特征向量，即求(A—E)X=0的一个非零解：得(A—E)X=0的同解方程组得解η3=(1，0，1)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数已知a是一个实数．22．求作可逆矩阵U，使得U一1AU是对角矩阵．正确答案：先求A的特征值．A的特征值为a+1(二重)和a—2(一重)．求属于a+1的两个线性无关的特征向量，即求[A一(a+1)E]X=0的基础解系：得[A一(a+1)E]X=0的同解方程组x1=x2+x3，得基础解系η1=(1，1，0)T，η2=(1，0，1)T．求属于a一2的一个特征向量，即求[A一(a一2)E]X=0的一个非零解：得[A一(a一2)E]X=0的同解方程组得解η3=(一1，1，1)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数23．计算｜A—E｜．正确答案：A—E的特征值为a(二重)和a一3，于是｜A—E｜=a(a—3)．涉及知识点：线性代数24．设α，β都是n维非零列向量，A=αβT．证明：A相似于对角矩阵βTα≠0．正确答案：A的特征值为0，0，…，0，βTα．由相似对角化的判别法则二，只用对重数大于1的特征值0，检查其重数是否等于n—r(A—0E)=n一r(A)=n—1．当βTα=0时，0的重数是n，A不能相似对角化．当βTα≠0时，0的重数是n—1，A可相似对角化．涉及知识点：线性代数设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．25．求作矩阵B，使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B．正确答案：已经用矩阵分解求出涉及知识点：线性代数26．求A的特征值．正确答案：由于α1,α2,α3线性无关，(α1,α2,α3)是可逆矩阵，并且(α1,α2,α3)一1A(α1,α2,α3)=B，因此A和B相似，特征值相同．B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4 涉及知识点：线性代数27．求作可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．正确答案：先把B对角化．求出B的属于1的两个无关的特征向量(1，一1，0)T，(0，2，一1)T；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)T．构造矩阵令P=(α1，α2，α3)D=(α1一α2，2α2一α3，α2+α3)，则涉及知识点：线性代数28．已知n阶矩阵A满足(A—aE)(A一bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．正确答案：首先证明A的特征值只能是a或b．设A是A的特征值，则(λ—a)(λ一b)=0，即λ=a或λ=b．如果6不是A的特征值，则A一6E可逆，于是由(A一aE)(A一bE)=0推出A—aE=0，即A=aE是对角矩阵．如果b是A的特征值，则｜A一bE｜=0．设η1，η2，…，ηt是齐次方程组(A一6E)X=0的一个基础解系(这里t=n一r(A一bE))，它们都是属于b的特征向量．取A一bE 的列向量组的一个最大无关组γ1，γ2，…，γk，这里k=r(A一6E)．则γ1，γ2，…，γk是属于a的一组特征向量．则有A的k+t=n个线性无关的特征向量组γ1，γ2，…，γk；η1，η2，…，ηt，因此A可对角化．涉及知识点：线性代数29．A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价：(1)(A一aE)(A 一6E)=0．(2)r(A—aE)+r(A一bE)=n．(3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ一a)(λ一b)=0．正确答案：不妨设a和b都是A的特征值．(因为如果a不是A的特征值，则3个断言都推出A=bE．如果b不是A的特征值，则3个断言都推出A=aE)(1)→(2)用关于矩阵的秩的性质，由(A一aE)(A一bE)=0．得到：r(A一aE)+r(A一bE)≤n，r(A一aE)+r(A一bE)≥r((A一aE)一(A一bE))=r((b一a)E)=n，从而r(A 一aE)+r(A一bE)=n．(2)→(3)记ka，kb分别是a，b的重数，则有ka≥n—r(A 一aE)①kb≥n一r(A一bk)②两式相加得n≥ka+kb≥n—r(A一aE)+n—r(A一bE)=n，于是其中“≥”都为”=”，从而①和②都是等式，并且ka+kb=n．ka+kb=n，说明A的特征值只有a和b，它们都满足(λ一a)(λ一b)=0．①和②都是等式，说明A相似于对角矩阵．(3)→(1)4的特征值满足(λ一a)(λ一b)=0，说明A的特征值只有cz和6．设B是和A相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是a或b，于是(B一aE)(B一bE)=0．而(A一aE)(A一bE)相似于(B一aE)(B一bE)，因此(A—aE)(A一bE)=0．涉及知识点：线性代数30．构造正交矩阵Q．使得QTAQ是对角矩阵正确答案：(1)先求特征值A的特征值为0，2，6．再求单位正交特征向量组属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，1，一1)T，单位化得属于2的特征向量是齐次方程组(A一2E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，一1，0)T，单位化得属于6的特征向量是齐次方程组(A一6E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，1，2)T，单位化得作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)，则QTAQ=Q一1AQ=(2)先求特征值A的特征值为1，1，10．再求单位正交特征向量组属于1的特征向量是齐次方程组(A—E)X=0的非零解，得(A—E)X=0的同解方程组x1+2x2—2x4=0，显然α1=(0，1，1)T是一个解．第2个解取为α2=(c，一1，1)T(保证了与α1的正交性!)，代入方程求出c=4，即α2=(4，一1，1)T．再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A一10E)X=0的非零解(1，2，一2)T，令γ3=α3／‖α3‖=(1，2，一2)T／3．作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)．则涉及知识点：线性代数设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．31．求A的特征值和特征向量．正确答案：条件说明A(1，1，1)T=(3，3，3)T，即α0(1，1，1)T是A的特征向量，特征值为3．又α1，α2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量，特征值为0．由于α1，α2线性无关，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为3，0，0．属于3的特征向量：cα0，c≠0．属于0的特征向量：c1α1+c2α2 c1，c2不都为0．涉及知识点：线性代数32．求作正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．正确答案：将α0单位化，得对α1，α2作施密特正交化，得作Q=(η0，η1，η2)，则Q是正交矩阵，并且涉及知识点：线性代数33．求A及[A一(3／2)E]6．正确答案：建立矩阵方程A(α0，α1，α2)=(3α0，0，0)，用初等变换法求解：得由得于是[A一(3／2)E]6=(3／2)6E．涉及知识点：线性代数34．正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为(1，2，1)T．求a和Q．正确答案：Q-1AQ=QTAQ是对角矩阵，说明Q的列向量都是A的特征向量，于是(1，2，1)T也是A的特征向量．(1，2，1)T和(2，5+a，4+2a)T相关，得a=一1，并且(1，2，1)T的特征值为2．A的特征值为2，5，一4．下面来求它们的单位特征向量．是属于2的单位特征向量．则(1，一1，1)T是属于5的特征向量，单位化得则(1，0，一1)T是属于一4的特征向量，单位化得则Q=(α1，α2，α3)，(不是唯一解，例如(α1，α3，α2)，(α1，一α2，一α3)，(α1，一α3，一α2)等也都适合要求．) 涉及知识点：线性代数35．设3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，3，η1=(一1，一1，1)T和η2=(1，一2，一1)T分别是属于1和2的特征向量，求属于3的特征向量，并且求A．正确答案：属于3的特征向量和η1，η2都正交，从而是齐次方程组的非零解．解此方程组，得η4=(1，0，1)T构成它的一个基础解系．于是属于3的特征向量应为(k，0，k)T．k≠0．建立矩阵方程A(η1，η2，η3)=(η1，2η2，3η3)，用初等变换法解得涉及知识点：线性代数3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量．记B=A5一4A3+E．36．求B的特征值和特征向量．正确答案：记f(x)=x5一4x3+1，则B的特征值为f(1)=一2，f(2)=1，f(一2)=1．α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量，则它也是B的特征向量，特征值一2．B的属于一2的特征向量为cα1，c≠0．B也是实对称矩阵，因此B的属于特征值1的特征向量是与α1正交的非零向量，即是x1一x2+x3=0的非零解．求出此方程的基础解系α2=(1，1，0)T，α3=(0，1，1)T，B的属于特征值1的特征向量为c1α2+c2α3，c1，c2不全为0．涉及知识点：线性代数37．求B．正确答案：B(α1，α2，α3)=(一2α1，α2，α3)．解此矩阵方程得涉及知识点：线性代数。
考研数学三线性代数(行列式)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（行列式）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=( )A．0。
B．a2。
C．一a2。
D．na2。
正确答案：A解析：按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为一a，从而行列式的值为零，故选A。
知识模块：行列式2．四阶行列式的值等于( )A．a1a2a3a4一b1b2b3b4。
B．a1a2a3a4+b1b2b3b4。
C．(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)。
D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)。
正确答案：D解析：方法一：将此行列式按第一行展开，原式=a1=(a1a4—b1b4)(a2a3一b2b3)，故选D。
方法二：交换该行列式的第二行与第四行，再将第二列与第四列交换，即原式=由拉普拉斯展开可知，原式=(a1a4一b1b4)(a2a4一b2b3)，故选D。
知识模块：行列式3．设A=，且|A|=m，则|B|=( )A．m。
B．一8m。
C．2m。
D．一2m。
正确答案：D解析：方法一：故选D。
方法二：将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式|B|。
由行列式的性质知|B|=一2|A|=一2m，故选D。
知识模块：行列式4．α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=( )A．9。
B．6。
C．3。
D．1。
正确答案：B解析：方法一：由矩阵加法公式，得A+B=(α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2)，结合行列式的性质有|A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =|2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2 |α1+α2+α3，α2+α1,α3+α2，β1+β2| =2 |α1+α2+α3，α3，一α1,β1+β2|=2|α2，－α3，α1,β1+β2|=2|α1，α2，α3，β1+β2|=2(|A|+|B|)=6。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编17(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编17(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )A．P－1αB．PTαC．PαD．(P－1)Tα正确答案：B解析：由条件有AT=A，Aα=λα，故有(P－1AP)T(PTα)=PTA(PT)－1PT α=PTAα=PTλα=λ(PTα)因为PTα≠0(否则PTα=0，两端左乘(PT)－1，得α=0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量PTα是方阵(PTAP)T的属于特征值λ的特征向量．因此，B正确．知识模块：线性代数2．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1=0B．λ2=0C．λ1≠0D．λ2≠0正确答案：D解析：由条件知α1，α2线性无关．向量组α1，A(α1+α2)，即向量组α1，λ1α1+λ2α2，显然等价于向量组α1，λ2α2，当λ2=0时，α1，λ2α2线性相关，当λ2≠0时，α1，λ2α2线性无关，故向量组α1，A(α1+α2)线性无关向量组α1，λ2α2线性无关λ2≠0，只有选项D正确．知识模块：线性代数3．设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O．若A的秩为3，则A相似于( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：1 设λ为A的特征值且ξ为对应的特征向量，则有Amξ=λmξ(m=1，2，…)，故有(A2+A)ξ=Oξ=0，即(λ2+λ)ξ=0，因ξ≠0，得λ2+λ=0，从而有λ=0或λ=－1，又因r(A)=3，所以A的非零特征值有3个，有1个特征值为0，即A的全部特征值为：－1，－1，－1，0，所以只有选项D正确．2 设A按列分块为A=[α1α2α3α4]，由r(A)=3，知A的列向量组的极大无关组含3个向量，不妨设a1，α2，α3是A的列向量组的极大无关组．由于A2=－A，即A[α1α2α3α4]=－[α1α2α3α4]，即[Aα1Aα2Aα3Aα4]=[－α1－α2－α3－α4]，得Aαj=－αj，j=1，2，3，4．由此可知一－1是A的特征值值且α1，α2，α3为对应的3个线性无关的特征向量，故－1至少是A的3重特征值．而r(A)=3＜4，知0也是A的一个特征值．于是知A的全部特征值为：－1，－1，－1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故A相似于对角矩阵D=diag(－1，－1，－1，0)，故选项D正确．知识模块：线性代数4．矩阵相似的充分必要条件为( )A．a=0，b=2．B．a=0，b为任意常数．C．a=2，b=0．D．a=2，b为任意常数．正确答案：B解析：B为对角矩阵，B的特征值为其主对角线元素2，b，0．若A与B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知2为A的一个特征值，从而有0=|2I－A|=－4a2．由此得a=0．当a=0时，矩阵A的特征多项式为由此得A的全部特征值为2，b，0．以下可分两种情形：情形1：若b为任意实数，则A为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时A必相似于B．综上可知，A与B相似的充分必要条件为a=0，b为任意常数．所以只有选项B正确．情形2：若b是任意复数而不是实数，则3阶矩阵A有3个互不相同的特征值，因此A必相似于对角矩阵B．只有选项B正确．知识模块：线性代数5．设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )A．AT与BT相似．B．A－1与B－1相似．C．A+AT与B+BT相似．D．A+A－1与B+B－1相似．正确答案：C解析：1 由已知条件知，存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B……(1)．由(1)两端取转置，得PTAT(PT)－1=BT，可见AT与BT相似，因此选项A正确；由(1)两端取逆矩阵，得P－1A－1P=B－1……(2)，可见A－1与B－1相似，因此选项B正确；将(1)与(2)相加，得P－1(A+A－1)P=B+B－1，可见A+A－1与B+B －1相似，因此选项D正确．故只有选项C错误．2 可以举例来说明选项C错误：令矩阵计算可得矩阵A+AT=的特征值是1和3；而矩阵B+BT=的特征值是7和－3，由于相似矩阵有相同的特征值，所以A+AT与B+BT不相似，故选C．知识模块：线性代数6．已知矩阵A=，则( )A．A与C相似，B与C相似．B．A与C相似，B与C不相似．C．A与C不相似，B与C相似．D．A与C不相似，B与C不相似．正确答案：B解析：本题要判别3阶矩阵A，B是否与3阶对角矩阵C相似的问题，易知这3个矩阵具有相同的特征值2，2，1，它们都有一个2重特征值2．利用结论：方阵A与对角矩阵相似的充要条件，是A的每个重特征值对应的线性无关特征向量的个数正好等于该特征值的重数．因此问题归结为齐次线性方程组(2I－A)x=0的基础解系是否含2个向量、亦即矩阵2I－A的秩是否为1的问题．由知矩阵2I－A的秩为1，2I－B的秩为2，因此A与C相似，而B与C不相似，故只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题7．设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则|4A－1－E|=_______．正确答案：3解析：|A|=λ1λ2λ3=4≠0，故A可逆，A－1的特征值为1，1／2，1／2，由4A－1－E的特征值为4×1－1=3，4×1／2－1=1，4×1／2－1=1，故|4A－1－E|=3×1×1=3．知识模块：线性代数8．设α=(1，1，1)T，β=(1，0，k)T．若矩阵αβT相似于，则k=_______．正确答案：2．解析：1 矩阵A=αβT由A的特征方程=λ2[λ－(k+1)]=0得A的特征值为λ1=λ2=0，λ3=k+1．又由A与对角矩阵相似，知A的特征值为3，0，0．比较得k+1=3，所以k=2．2 由A与对角矩阵相似，知A的特征值为3，0，0．又由A的特征值之和等于A的主对角元之和，得3+0+0=1+0+k，故k=2．知识模块：线性代数9．设3阶矩阵A的特征值为2，－2，1，B=A2－A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|=_______．正确答案：21．解析：1 因为B=A2－A+E=f(A)，其中多项式f(t)=t2－t+1，所以由A的特征值2，－2，1，得B的特征值为f(2)=3，f(－2=7，f(1)=1这是3阶矩阵B的全部特征值，由特征值的性质得|B|=3×7×1=212 因为3阶矩阵A有3个互不相同的特征值，所以A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，使得P－1AP于是有P －1BP=P－1(A2－A+E)P=(P－1Ap)2－P－1AP+E两端取行列式，得|P|－1|B||P|=21，即|B|=21．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A满足A2一2A=0．则下列各标准二次型(1)2y12+2y22．(2)2y12．(3)2y12+2y32．(4)2y22+2y32．中可用正交变换化为f的是( )．A．(1)B．(3)，(4)C．(1)，(3)，(4)D．(2)正确答案：C解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值为0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2．知识模块：线性代数2．设A．A与B既合同又相似B．A与B合同但不相似．C．A与B不合同但相似．D．A与B既不合同又不相似．正确答案：A解析：A与B都是实对称矩阵，判断是否合同和相似只要看它们的特征值：特征值完全一样时相似，特征值正负性一样时合同．此题中A的特征值和B的特征值都是4，0，0，0，从而A与B既合同又相似．知识模块：线性代数3．则( )中矩阵在实数域上与A合同．A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4．设α是一个n维非零实列向量．构造n阶实对称矩阵A，使得它的秩=1，并且α是A的特征向量，特征值为非零实数λ．正确答案：ααT是n阶实对称矩阵，秩为1，并且α是ααT的特征向量，特征值为αTα=(α，α)．和题目要求只差在α的特征值上．于是记c=λ／(α，α)，设A=cααT，则A是n阶实对称矩阵，秩=1，并且Aα=cααTα=c(α，α)α=λα．涉及知识点：线性代数5．设B是3阶实对称矩阵，特征值为1，1，一2，并且α=(1，一1，1)T 是B的特征向量，特征值为一2．求B．正确答案：记A=B一E，则A是3阶实对称矩阵，特征值为0，0，一3，因此秩为1．用上题的结论，可知A=cααT，其中c=一3／(α，α)=一1，即A=一ααT．于是涉及知识点：线性代数6．已知实对称矩阵A满足A3+A2+A一3E=0，证明A=E．正确答案：因为A是实对称矩阵，所以A可相似对角化．要证本题的结论只用证A的特征值只有1一个．设λ是A的特征值，则λ是实数，并且应满足λ3+λ2+λ一3=0，即(λ—1)(λ2+2λ+3)=0．此方程的实数解只有1，因此λ=1．涉及知识点：线性代数7．设A为实矩阵，证明ATA的特征值都是非负实数．正确答案：ATA是实对称矩阵，特征值都是实数．设λ是ATA的一个特征值，η是属于λ的一个实特征向量，则ATAη=λη．于是ηTATAη=ληTη，即(η，η)＞0，(Aη，Aη)≥0，因此λ≥0．涉及知识点：线性代数设A为反对称矩阵，则8．若k是A的特征值，一k一定也是A的特征值．正确答案：若k是A的特征值，则k也是AT的特征值．而AT=一A，于是一k是A的特征值．涉及知识点：线性代数9．如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη=0．正确答案：设η的特征值为λ，则Aη=λη．ληTη=ηTAη=(ATη)T η=(一Aη)Tη=一ληTη．λ不为0，则ηTη=0．涉及知识点：线性代数10．如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．正确答案：A为实反对称矩阵，则由上例知道，一A2=ATA的特征值都是非负实数，从而A2的特征值都是非正实数．设λ是A的特征值，则λ2是A2的特征值，因此λ2≤0，于是λ为0，或为纯虚数．涉及知识点：线性代数用配方法化下列二次型为标准型11．f(x1，x2，x3)=x122x22+2x1x2—2x1x3+2x2x3．正确答案：f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2—2x1x3+2x2x3=[x2+2x1x2—2x1x3+(x2一x3)2]一(x2一x3)2+2x32+2x2x3=(x1+x2一x3)2+x22+4x2x3一x32=(x1+x2一x3)2+x22+4x2x3+4x32一5x22=(x1+x2一x3)2+(x2+2x3)2一5x32．令原二次型化为f(x1,x2,x3)=y12+y22一5y32．从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵涉及知识点：线性代数12．f(x1，x2，x3) =x1x2+x1x3+x2x3．正确答案：这个二次型没有平方项，先作一次变换f(x1，x2，x3)=y12一y22+2y1y3．虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：y12一y22+2y1y3=(y1+y3)2一y22一y32．则f(x1，x2，x3)=x12一x22一x32变换公式为变换矩阵涉及知识点：线性代数13．已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．正确答案：原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似．于是｜A｜=｜B｜=10．而｜A｜=2(9一a2)，得a2=4，a=2．A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量．对于特征值1：得(A—E)X=0的同解方程组得属于1的一个特征向量η1=(0，1，一1)T，单位化得对于特征值2：得(A 一2E)X=0的同解方程组得属于2的一个单位特征向量γ2=(1，0，0)T．对于特征值5：得(A一5E)X=0的同解方程组得属于5的一个特征向量η3=(0，1，1)T，单位化得令Q=(γ1，γ2，γ3)，则正交变换X=QY把原二次型化为y12+2y22+5y32。
考研数学三(线性代数)模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷20(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A=，则A与B( )．A．合同且相似B．相似但不合同C．合同但不相似D．既不相似又不合同正确答案：C解析：显然A，B都是实对称矩阵，由｜λE一A｜=0，得A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=9，由｜E一B｜=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因为A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选C．知识模块：线性代数2．设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有XTAX=0，则( )．A．｜A｜=0B．｜A｜＞0C．｜A｜＜0D．以上都不对正确答案：A解析：设二次型，则f=XTAX=λ1=0，同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0，从而A=O，选A．知识模块：线性代数填空题3．f(x1，x2，x3，x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2一2A=O，该二次型的规范形为________．正确答案：y12+y22解析：A2一2A=O→r(A)+r(2E一A)=4→A可以对角化，λ1=2，λ2=0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ1=2，λ2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形为y12+y22．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4．设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：(1)AB=BA；(2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．正确答案：(1)由AB=A—B得A—B—AB+E=E，(E一B)(E+A)=E，即E—B与E+A互为逆矩阵，于是(E—B)(E+A)=E=(E+A)(E—B)，故AB=BA．(2)因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有ABξi=λiBξi，i=1，2，3．若Bξi≠0，则Bi是A的属于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi=μiξi；若Bξi=0，则ξi是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP，P-1卯同为对角阵．涉及知识点：线性代数5．(1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*；(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．正确答案：(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，而A*=｜A｜A-1，B*=｜B｜B-1，于是由P-1AP=B，得(P-1AP)-1=B-1，即P-1A-1P=B-1，故P-1｜A｜A-1P=｜A｜B-1或P-1A*P=B*，于是A*～B*．(2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P-1AP=B，即AP=PB，于是AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故AP～BP．涉及知识点：线性代数6．设A=有三个线性无关的特征向量，求a及A*．正确答案：涉及知识点：线性代数7．设方程组为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=一2，λ3=一1的特征向量．(1)求A；(2)求｜A*+3E｜．正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以(2)｜A｜=2，A*对应的特征值为，即2，一1，一2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．涉及知识点：线性代数8．设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为(一1，0，1)T．(1)求A的其他特征值与特征向量；(2)求A．正确答案：(1)因为A的每行元素之和为5，所以有涉及知识点：线性代数9．设A=，求a，b及正交矩阵P，使得PTAP=B．正确答案：因为A～B，所以tr(A)=tr(B)，｜A｜=｜B｜，即涉及知识点：线性代数10．设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．正确答案：因为r(A)+r(B)＜n，所以r(A)有非零解，即A，B有公共的特征向量。
考研数学三(线性代数)模拟试卷78(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷78(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是则自由变量不能取成A．x4，x5．B．x2，x3．C．x2，x4．D．x1，x3．正确答案：A解析：自由未知量选择的原则是：其它未知量可用它们唯一确定．如果选择x4,x5，对应齐次方程组写作显见把x4，x5当作参数时，x1，x2，x3不是唯一确定的．因此x4，x5不能唯一确定x1，x2，x3，它们不能取为自由变量．选(A)．知识模块：线性代数2．设A是m×n矩阵，则下列命题正确的是A．如m＜n，则Ax=b有无穷多解．B．如Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解．C．如A有n阶子式不为零，则Ax=0只有零解．D．Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n．正确答案：C解析：如m＜n，齐次方程组Ax=0有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例．如Ax=0只有零解，则r(A)=n，但由r(A)=n推断不出r(A｜b)=n，因此Ax=b可以无解．例如前者只有零解，而后者无解．故(B)不正确．关于(D)，Ax=b有唯一解r(A)=r(A｜b)=n．由于r(A)=n→r(A｜b)=n，例子同上．可见(D)只是必要条件，并不充分．(C)为何正确?除用排除法外，你如何证明．知识模块：线性代数3．已知η1，η2,η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是A．η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．B．η1，η2，η3+η4，η3一η4．C．η1，η2,η3，η4的一个等价向量组．D．η1，η2,η3，η4的一个等秩的向量组．正确答案：B解析：向量组(A)线性相关，(A)不正确．η1，η2,η3，η4，η1+η2与η1，η2,η3，η4等价．但前者线性相关，故(C)不正确．等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确．选(B)．知识模块：线性代数4．设A是5×4矩阵，A=(α1,α2,α3,α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基础解系，则A的列向量组的极大线性无关组可以是A．α1，α3．B．α2，α4．C．α2，α3．D．α1，α2，α4．正确答案：C解析：由Aη1=0，知α1+α2—2α3+α4=0．①由Aη2=0，知α2+α4=0．②因为n—r(A)=2，故必有r(A)=2．所以可排除(D)．由②知，α2，α4线性相关．故应排除(B)．把②代入①得α1—2α3=0，即α1，α3线性相关，排除(A)．如果α2,α3线性相关，则r(α1,α2,α3,α4)=r(一2α3，α2，α3，一α2)=r(α2，α3)=1与r(A)=2相矛盾．所以选(C)．知识模块：线性代数填空题5．已知方程组有无穷多解，则a=__________．正确答案：a=一5解析：对增广矩阵作初等行变换，有当a=一5时，，方程组有无穷多解．知识模块：线性代数6．已知方程组总有解，则λ应满足__________．正确答案：解析：对任意b1，b2，b3，方程组有解．而由知识模块：线性代数7．四元方程组的一个基础解系是__________．正确答案：(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T．解析：n一r(a)=4—2=2．取x3，x4为自由变量：令x3=1，x4=0得x2=0，x1=0；令x3=0，x4=1得x2=1，x1=一1，所以基础解系是(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T．知识模块：线性代数8．四元方程组Ax=b的三个解是α1,α2,α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，则方程组Ax=b的通解是__________．正确答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．解析：由(α2+α3)一2α1=(α2一α1)+(α3一α1)=(2，3，4，5)T一2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又秩r(A)=3，n—r(A)=1，所以Ax=b的通解是(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．知识模块：线性代数9．设A为三阶非零矩阵，且AB=0，则Ax=0的通解是__________．正确答案：c1(1，4，3)T+c2(一2，3，1)T，c1，c2任意解析：由AB=0得r(a)+r(B)≤3．显然r(B)≥2，r(A)>0，因而r(A)=1，n一r(a)=2．又AB=0说明B的每个到向量都是AX=0的解，取它的1，3两列作为基础解系，得AX=0的通解c1(1，4，3)T+c2(一2，3，1)T，c1，c2任意．知识模块：线性代数10．设A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是__________．正确答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．解析：因为秩r(a)=2，所以行列式｜A｜=0，并且r(A*)=1．那么A*A=｜A｜E=0，所以A的列向量是A*x=0的解．又因r(A*)=1，故A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．知识模块：线性代数11．已知α1，α2，…，αt都是非齐次线性方程组Ax=b的解，如果c1α1+c2α2+…+ctαt仍是Ax=b的解，则c1+c2 +…+ct =__________．正确答案：1解析：因为αi是Ax=b的解，所以，Aαi=b．若c1α1+c2α2+…+ctαt是Ax=b的解，则A(c1α1+c2α2+…+ctαt)=c1Aα1+c2Aα2+…+ctAαt=(c1+c2+…+ct)b=b．故c1+c2+…+ct=1．知识模块：线性代数12．已知方程组的通解是(1，2，一1，0)T+k(一1，2，一1，1)T，则a=__________．正确答案：3解析：因(1，2，一1，0)T是Ax=b的解，则将其代入第2个方程可求出b=1．因(一1，2，一1，1)T是Ax=0的解，则将其代入第1个方程可求出a=3．知识模块：线性代数13．已知ξ1=(一3，2，0)T，ξ2=(一1，0，一2)T是方程组的两个解，则此方程组的通解是__________．正确答案：(一3，2，0)T+k(一1，1，1)T解析：由于矩阵A中有2阶子式不为0，故秩r(A)≥2．又ξ1一ξ2是Ax=0的非零解，知r(A)＜3．故必有r(A)=2．于是n一r(A)=1．所以方程组通解是：(一3，2，0)T+k(一1，1，1)T．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)模拟试卷110(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷110(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜＝2，｜B｜＝6，则为( )．A．24B．－24C．48D．－48正确答案：D解析：知识模块：线性代数2．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B＝AC，且r(A)＝r，r(B)＝r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r≥r1D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定正确答案：C解析：因为r1＝r(B)＝r(AC)≤r(A)＝r，所以选(C)．知识模块：线性代数3．若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则( )．A．α1可由α2，α3线性表示B．α4可由α1，α2，α3线性表示C．α4可由α1，α3线性表示D．α4可由α1，α2线性表示正确答案：A解析：因为α2，α2，α4线性无关，所以α2，α3线性无关，又因为α1，α2，α3线性相关，所以α1可由α2，α3线性表示，选(A)．知识模块：线性代数4．设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，α5的秩为r1，向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩为r2，且向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示，则( )．A．α1＋β1，α2＋β2，…，αS＋βS的秩为r1＋r2B．向量组α1－β1，α2－β2，…，αS－βS的秩为r1－r2C．向量组α1，α2，…，αS，β1，β2，…，βS的秩为r1＋r2D．向量组α1，α2，…，αS，β1，β2，…，βS的秩为r1正确答案：D解析：因为向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，所以向量组α1，α2，…，αs与向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等价，选(D)．知识模块：线性代数5．设α1，α2为齐次线性方程组AX＝0的基础解系，β1，β2为非齐次线性方程组AX＝b的两个不同解，则方程组AX＝b的通解为( )．A．k1α1＋k2(α1－α2)＋B．k1α1＋k2(β1－β2)＋C．k1α1＋k2(β1＋β2)＋D．k1α1＋k2(α1＋α2)＋正确答案：D解析：选(D)，因为α1，α1＋α2为方程组AX＝0的两个线性无关解，也是基础解系，而为方程组AX＝B的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)．知识模块：线性代数6．设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP＝B，则( )．A．A，B合同B．A，N相似C．方程组AX＝0与BX=0同解D．r(A)＝r(B)正确答案：D解析：因为P可逆，所以r(A)＝r(B)，选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设f(x)＝，则x2项的系数为______．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x＋2)(2x＋3)(3x＋1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数8．A＝，且n≥2，则An－2An－1．正确答案：O解析：由A2＝2A得An＝2n－1A，An－1＝2n－2A，所以An－2An－1＝O．知识模块：线性代数9．设A＝，则A－1＝______．正确答案：解析：知识模块：线性代数10．设三阶矩阵A，B满足关系A－1BA＝6A＋BA，且A＝，则B＝______．正确答案：解析：由A－1BA＝6A＋BA，得A－1B＝6E＋B，于是(A－1＋E)B＝6E，B＝6(A－1－E)T＝．知识模块：线性代数11．设A＝(α1，α2，α3，α4)为4阶方阵，且AX＝0的通解为X＝k(1，1，2，－3)T，则α2由α1，α3，α4表示的表达式为______．正确答案：α2＝－α1－2α3＋3α4解析：因为(1，1，2，－3)T为AX＝0的解，所以α1＋α2＋2α3－3α4＝0，故α2＝－α1－2α3＋3α4．知识模块：线性代数12．设方程组无解，则a＝______．正确答案：－1解析：因为方程组无解，所以r(A)＜≤3，于是r(A)＜3，即｜A｜＝0．由｜A｜＝3＋2a－a2＝0，得a＝－1或a＝3．当a＝3时，因为r(A)＝r＝2＜3，所以方程组有无穷多个解；当a＝－1时，，因为r(A)≠r，所以方程组无解，于是a ＝－1．知识模块：线性代数13．设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1＝3，λ2＝λ3＝5，且λ1＝3对应的线性无关的特征向量为α1＝，则λ2＝λ3＝5对应的线性无关的特征向量为______．正确答案：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令λ2＝λ3＝5对应的特征向量为得λ2＝λ3＝5对应的线性无关的特征向量为．知识模块：线性代数14．设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A＝αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )正确答案：C解析：因为α，β为非零向量，所以A＝αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1，所以r(A)＝1．令AX＝λX，由A2X＝αβT．αβTX ＝0＝λ2X得λ＝0，因为r(0E－A)＝r(A)＝1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，选(C)．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷17
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是( )．
（A）｜A+B｜=｜A｜+｜B｜
（B）若｜AB｜=0，则A=0或B=0
（C）｜A—B｜=｜A｜—｜B｜
（D）｜AB｜=｜A｜｜B｜
2 设α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1=m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，则｜α1，α2，α3，β1+β2｜为( )．
（A）m+n
（B）m一n
（C）一(m+n)
（D）n一m
3 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．
（A）当m＞n时，必有｜AB｜≠0
（B）当m＞n时，必有｜AB｜=0
（C）当n＞m时，必有｜AB｜≠0
（D）当n＞m时，必有｜AB｜=0
4 设A，B，A+B，A-1+B-1皆为可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于( )．（A）A+B
（B）A-1+B-1
（C）A(A+B)-1B
（D）(A+B)-1
5 设A，B都是n阶可逆矩阵，则( )．
（A）(A+B)*=A*+B*
（B）(AB)*=B*A*
（C）(A—B)*=A*一*
（D）(A+B)*一定可逆
6 设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于( )．
（A）kA*
（B）k n A*
（C）k n-1A*
（D）k n(n-1)A*
7 设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是( )．
（A）A=0
（B）A=E
（C）若A不可逆，则A=0
（D）若A可逆，则A=E
8 设A为m×n矩阵，且r(A)=m＜n，则( )．（A）A的任意m个列向量都线性无关
（B）A的任意m阶子式都不等于零
（C）非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多个解（D）矩阵A通过初等行变换一定可以化为(E m｜0)
9 设
P1=
，则m，n可取( )．
（A）m=3，n=2
（B）m=3，n=5
（C）m=2，n=3
（D）m=2，n=2
10 设
A=
，则B为( )．
（A）A-1P1P2
（B）P1A-1P2
（C）P1P2A-1
（D）P2A-1P1
11 设P=，Q为三阶非零矩阵，且PQ=O，则( )．
（A）当t=6时，r(Q)=1
（B）当t=6时，r(Q)=2
（C）当t≠6时，r(Q)=1
（D）当t≠6时，r(Q)=2
二、填空题
12 设D=，则A31+A32+A33=________．
13 设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E一A｜=｜E一2A｜=｜E一3A｜=0，则｜B-1+2E｜=________．
14 设A为三阶正交阵，且｜A｜＜0，｜B｜—｜A｜=一4，则｜E—AB T｜
=________．
15 设A为n阶矩阵，且｜A｜一a≠0，则｜(kA)*｜=________．
16 设A，B都是三阶矩阵，A=，且满足(A*)-1B=ABA+2A2，则
B=________．
17 设矩阵A，B满足A*BA=2BA一8E，且A=，则B=________．
18 =________．
19 设A=，B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=0，则t=________．
20 设A=，B≠0为三阶矩阵，且BA=O，则r(B)=________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21 设A是正交矩阵，且｜A｜＜0．证明：｜E+A｜=0．
22 设A=(a ij)n×n是非零矩阵，且｜A｜中每个元素a ij与其代数余子式A ij相等．证明：｜A｜≠0．
23 计算D2n=
24 计算(a i≠0，i=1，2，…，n)．
25 设D=，求A k1+A k2+…+A kn．
26 设A，B为三阶矩阵，且A～B，且λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，｜B｜=2，求
27 设A=E一ααT，其中α为n维非零列向量．证明： (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
28 设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，
P=(1)计算PQ；(2)证明PQ可逆的充分必要条件是αT A-1α≠b．
29 设矩阵A满足(2E—C-1B)A T=C-1，且
B=，求矩阵A．
30 设α，β是n维非零列向量，A=αβT+βαT．证明：r(A)≤2．
31 设α是n维单位列向量，A=E一ααT．证明：r(A)＜n．
32 设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=，其中n≥2．
33 设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在，2维非零列向量α，β，使得A=αβT．
34 设A为n阶矩阵且r(A)=n一1．证明：存在常数k，使得(A*)2=hA*．
35 设A是n(n≥3)阶矩阵，证明：(A*)*=｜A｜n-2A．
36 设A，B分别为m×n及n×s矩阵，且AB=0．证明：r(A)+r(B)≤n．。