[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷17.doc
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[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷17
一、选择题
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1 设A,B为两个n阶矩阵,下列结论正确的是( ).
(A)|A+B|=|A|+|B|
(B)若|AB|=0,则A=0或B=0
(C)|A—B|=|A|—|B|
(D)|AB|=|A||B|
2 设α1,α2,α3,β1,β2都是四维列向量,且|A|=|α1,α2,α3,β1=m,|B|=|α1,α2,β2,α3|=n,则|α1,α2,α3,β1+β2|为( ).
(A)m+n
(B)m一n
(C)一(m+n)
(D)n一m
3 设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则( ).
(A)当m>n时,必有|AB|≠0
(B)当m>n时,必有|AB|=0
(C)当n>m时,必有|AB|≠0
(D)当n>m时,必有|AB|=0
4 设A,B,A+B,A-1+B-1皆为可逆矩阵,则(A-1+B-1)-1等于( ).(A)A+B
(B)A-1+B-1
(C)A(A+B)-1B
(D)(A+B)-1
5 设A,B都是n阶可逆矩阵,则( ).
(A)(A+B)*=A*+B*
(B)(AB)*=B*A*
(C)(A—B)*=A*一*
(D)(A+B)*一定可逆
6 设A为n阶矩阵,k为常数,则(kA)*等于( ).
(A)kA*
(B)k n A*
(C)k n-1A*
(D)k n(n-1)A*
7 设A为n阶矩阵,A2=A,则下列成立的是( ).
(A)A=0
(B)A=E
(C)若A不可逆,则A=0
(D)若A可逆,则A=E
8 设A为m×n矩阵,且r(A)=m<n,则( ).(A)A的任意m个列向量都线性无关
(B)A的任意m阶子式都不等于零
(C)非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多个解(D)矩阵A通过初等行变换一定可以化为(E m|0)
9 设
P1=
,则m,n可取( ).
(A)m=3,n=2
(B)m=3,n=5
(C)m=2,n=3
(D)m=2,n=2
10 设
A=
,则B为( ).
(A)A-1P1P2
(B)P1A-1P2
(C)P1P2A-1
(D)P2A-1P1
11 设P=,Q为三阶非零矩阵,且PQ=O,则( ).
(A)当t=6时,r(Q)=1
(B)当t=6时,r(Q)=2
(C)当t≠6时,r(Q)=1
(D)当t≠6时,r(Q)=2
二、填空题
12 设D=,则A31+A32+A33=________.
13 设A,B都是三阶矩阵,A相似于B,且|E一A|=|E一2A|=|E一3A|=0,则|B-1+2E|=________.
14 设A为三阶正交阵,且|A|<0,|B|—|A|=一4,则|E—AB T|
=________.
15 设A为n阶矩阵,且|A|一a≠0,则|(kA)*|=________.
16 设A,B都是三阶矩阵,A=,且满足(A*)-1B=ABA+2A2,则
B=________.
17 设矩阵A,B满足A*BA=2BA一8E,且A=,则B=________.
18 =________.
19 设A=,B为三阶矩阵,r(B*)=1且AB=0,则t=________.
20 设A=,B≠0为三阶矩阵,且BA=O,则r(B)=________.
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21 设A是正交矩阵,且|A|<0.证明:|E+A|=0.
22 设A=(a ij)n×n是非零矩阵,且|A|中每个元素a ij与其代数余子式A ij相等.证明:|A|≠0.
23 计算D2n=
24 计算(a i≠0,i=1,2,…,n).
25 设D=,求A k1+A k2+…+A kn.
26 设A,B为三阶矩阵,且A~B,且λ1=1,λ2=2为A的两个特征值,|B|=2,求
27 设A=E一ααT,其中α为n维非零列向量.证明: (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵.
28 设A为n阶非奇异矩阵,α是n维列向量,b为常数,
P=(1)计算PQ;(2)证明PQ可逆的充分必要条件是αT A-1α≠b.
29 设矩阵A满足(2E—C-1B)A T=C-1,且
B=,求矩阵A.
30 设α,β是n维非零列向量,A=αβT+βαT.证明:r(A)≤2.
31 设α是n维单位列向量,A=E一ααT.证明:r(A)<n.
32 设A为n阶矩阵,证明:r(A*)=,其中n≥2.
33 设A为n阶矩阵,证明:r(A)=1的充分必要条件是存在,2维非零列向量α,β,使得A=αβT.
34 设A为n阶矩阵且r(A)=n一1.证明:存在常数k,使得(A*)2=hA*.
35 设A是n(n≥3)阶矩阵,证明:(A*)*=|A|n-2A.
36 设A,B分别为m×n及n×s矩阵,且AB=0.证明:r(A)+r(B)≤n.