河北省武邑中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
河北省武邑中学2020学年高一数学上学期第二次月考试题(含解析)
河北省武邑中学2020学年高一上学期第二次月考数学试题考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则=A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为，，故D选项正确.考点：集合交并补的简单运算.2.函数f(x)＝的定义域是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意列出式子得到.【详解】函数f(x)＝的定义域是故答案为：D【点睛】简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合；②对应f下的范围一致;(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．3.已知集合，且，则等于（）A. -1B.C.D. 或-1【答案】C【解析】或或∴当时，，不符合集合中元素的互异性，故应舍去当时，，满足题意故选C．【点睛】本题主要考察了集合中元素的互异性，较难．解题的关键是求出的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．4.且的否定是（）A. 或B. 且C. 或D. 且【答案】C【解析】【分析】根据含参命题的否定，直接变且为或，大于等于号变小于号，小于等于号变大于号即可. 【详解】且的否定是:或.故答案为：C.【点睛】根据含参命题的否定，直接变且为或，变且为或，否定结论即可，较为基础.5.已知函数f(x)的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f(x)的图象与直线x＝3的交点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 0或1【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义: 一个x只能对应1个或者零个y值，得到结果.【详解】已知函数f(x)的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，根据函数的定义得到，一个x最多对应1个函数值y,得到函数f(x)的图象与直线x＝3的交点个数是1个.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了函数的定义，一个x只能对应1个或者零个y值，一个y值可以对应多个x值.6.已知函数在（）上是减函数，在上是增函数，则（）A. 1B. -2C. -1D. 2【答案】D【解析】依题意有二次函数对称轴，解得.7.集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为( )A. 4B. 5C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】根据题意，集合中的元素满足x是正整数，且是整数．由此列出x与y对应值，即可得到题中集合元素的个数．【详解】由题意，集合{x∈Z|y=∈Z}中的元素满足x是正整数，且y是整数，由此可得x=﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x共有12个，故选：D．【点睛】本题求集合中元素的个数，着重考查了集合元素的性质和用大写字母表示数集等知识，属于基础题．8.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则（）A. f（－x1）＞f（－x2）B. f（－x1）＝f（－x2）C. f（－x1）＜f（－x2）D. f（－x1）与f（－x2）大小不确定【答案】A【解析】因为x1＜0且x1＋x2＞0，所以x1＜0且x2＞-x1>0,又在（0，＋∞）上是减函数，所以f（－x1）＞f（x2）=f（－x2），即f（－x1）＞f（－x2），故选A。
河北省武邑中学2020_2021学年高一数学上学期期中试题含解析
又因为 ，
所以 是奇函数，
所以 ，
因为 ，
所以 为偶数，
故选：ABD
11.已知命题 ，则命题 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
首先求得命题 的等价条件，由此求得命题 成立的充分不必要条件.
【详解】依题意命题 ，所以 ，
解得 .
【点睛】关键点睛：本题解题关键是化简 得解析式以及作出函数的图象，考查学生数形结合思想.
三､填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. __________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用指数 运算法则求解.
【详解】 ，
，
，
故答案为：
14.已知 ，那么 _______．
【答案】2
【解析】
（1）解不等式 可得集合 ，求得 的取值范围，利用指数函数的基本性质可求得函数 的值域 ；
（2）由 可得 ，由此可得出关于实数 的不等式，进而可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）对于函数 ，有 ，即 ，解得 ，即 .
，则 ，则 ，
即 ；
（2）由 ，得 ，所以， ，即 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 .
（1）设计污水处理池的宽为 ，总造价为 ，求 关于 的表达式，并求出 的最小值；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.
【答案】（1） ，总造价最低为38880元；（2）长为16米，宽为米 时总造价最低，总造价最低为38882元.
【详解】（1）由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
2020年河北武邑中学高三数学上册期中考试题2
理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}{}2,|20,,1,0,1,2U z A x x x x Z B ==--<∈=-，则图中阴影部分所表示的集合等于（ ）A ．{}12-，B ．{}1-，0C ．{}0，1D ．{}12，（2）设1z i =-（i 是虚数单位），若复数22z z+在复平面内对应的向量为OZ u u u v ，则向量OZ u u u v的模是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2（3）已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ∀∈-+=，且0x ≥时，()x f x e m =+（m 为常数），则()ln 5f -的值为（ ） A ．4 B ．-4 C ．6 D ．-6（4）如图，在空间四边形(),,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（ ）A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGHB ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形 D ．若,,,EFGH 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形 （5）已知正项数列{}n a 中，()2221211111,2,22,n n n n n n a a a a a n b a a -++===+≥=+，，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是（ ）A ．．C ．D ．3（6）如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（ ）A．(8π+ B．(9π+ C．(10π+ D．(8π+（7）已知实数,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，记z ax y =-（其中0a >）的最小值为()f a ．若()35f a ≥，则实数a 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（8）在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE u u u v u u u vg 等于（ ）A ．16B ．29C ．1318D ．13（9）曲线()221f x x =-、直线2x =、3x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．ln 2B ．ln 3C ．2ln 2D ．3ln 2（10）已知边长为ABCD 中，060A ∠=，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120°，此时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π（11）已知函数()f x 满足()14f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()f x kx =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．44ln 4,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]4ln 4,ln 4--C ．4,ln 4e⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．4,ln 4e⎛⎤-- ⎥⎝⎦（12）已知函数()()()0f x x ωϕω=+>的图像关于直线2x π=对称且()31,8f f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω可取数值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ．（13）命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．（14）已知cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． （15）已知定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意的12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+成立．若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则12a b+的最小值为___________． （16）已知函数()()023x f x f e x '=-++，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x xy e =上，则PQ 的最小值为____________．三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立．（1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． （18）（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++．（1）求角A ；（2）若a =，求b c +的取值范围． （19）（本小题满分12分）在如图所示的三棱锥111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,,ABC D E 分别是11,BC A B 的中点．（1）求证：//DE 平面11ACC A ；（2）若01,,60AB BC AB BC ACB ⊥=∠=，求直线BC 与平面1AB C 所成角的正切值．（20）（本小题满分12分） 已知函数(),0x f x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆为正三角形，,,22AB AD AC CD PC PA AC ⊥⊥==，平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）点E 在棱PC 上，试确定点E 的位置，使得PD ⊥平面ABE ； （2）求二面角A PD C --的余弦值． （22）（本小题满分12分） 已知()[)sin cos ,0,f x x x x =-∈+∞．（1）证明：()2sin 12x x f x -≥-；（2）证明：当1a ≥时，()2ax f x e ≤-．参考答案一、选择题二、填空题13. (14．13±15．9 16三、解答题17．解：（1）在324n n a S =+中令1n =得18a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因为对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立，所以11324n n a S ++=+，所以()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ．．．．．．．．．．．10分18．解：（1）根据正弦定理可得1b ca c a b+=++，即()()()()b a b c a c a b a c +++=++，即222b c a bc +-=，根据余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=．．．．．．6分 （2）根据正弦定理8sin sin sin b c a B C A===，所以8sin ,c 8sinC b B ==，．．．．．．．．．．．．．．．7分又23B C π+=，所以2318sin 8sin 8sin sin 32b c B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33318sin 83cos 83226B B B B B π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，．．．．．．．．．．．．9分因为203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以6B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即b c +的取值范围是(．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）取AB 的中点F ，连接,DF EF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 在ABC ∆中，因为,D F 分别为,BC AB 的中点， 所以//,DF AC DF ⊄平面11,ACC A AC ⊂平面11ACC A ，所以//DF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 在矩形11ABB A 中，因为,F E 分别为11,A B AB 的中点，所以1//,EF AA EF ⊄平面 111,ACC A AA ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．4分 因为DF EF F =I ，所以平面//DEF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BC BB ⊥， 又1,AB BC AB BB B ⊥=I ，所以BC ⊥平面11ABB A ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 因为11,AB BC BB BB ==，所以11AB CB =， 又0160ACB ∠=，所以1AB C ∆为正三角形，所以1AB AC ===，所以1BB AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分取1AB 的中点O ，连接,BO CO ，所以11,AB BO AB CO ⊥⊥，所以1AB ⊥平面BCO ，所以平面1AB C ⊥平面BCO ，点B 在平面1AB C 上的射影在CO 上， 所以BCO ∠即为直线BC 与平面1AB C 所成角．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分在Rt BCO ∆中，BO AB BC ==，所以tan BO BCO BC ∠==．．．．．．．．12分 （若用空间向量处理，请相应给分）20．解：（1）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()x f x e a '=-， 令()0f x '>，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是()ln ,a +∞； 令()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(),ln a -∞，函数()f x 在ln x a =处取极小值，()()()ln ln ln ln a g a f x f a e a a a a a ===-=-极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分()()11ln ln g a a a '=-+=-，当01a <<时，()()0,g a g a '>在()0,1上单调递增；当1a >时，()()0,g a g a '<在()1,+∞上单调递减，所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点，也是最大值点，所以()()max 11g a g ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当0x ≤时，0,0x a e ax >-≥恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当0x >时，()0f x ≥，即0x e ax -≥，即xe ax≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()()()()221,0,,xx x x e x e e x e h x x h x x x x--'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201e f f a f e e e =<≤=-， 即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：∵22PC PA ==，∴PA AC ⊥；又∵PAC ABCDPAC ABCD AC ⊥⎧⎨=⎩I 平面平面平面平面，∴PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥，以A 为坐标原点，射线,,AB AD AP 分别为,,z x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设2PA =，则()()()432,0,0,3,0,0,2B C D P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，．．．．．．．．．2分 （1）()432,0,020AB PD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u u v g g ，故PD AB ⊥；设AE AP PC λ=+u u u v u u u v u u u v ，若AE PD ⊥，则0AE PD =u u u v u u u v g ，即0AP PD PC PD λ+=u u u v u u u v u u u v u u u v g g ， 即480λ-+=g ，即12λ=，即当E 为PC 的中点时，AE PD ⊥， 则PD ⊥平面ABE ，所以当E 为PC 的中点时PD ⊥平面ABE ．．．．．．．．．．．．6分 （2）设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =，()2,2PC PD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，则0n PC =u u u v g 且0n PD =u u u v g ，即20x z -=20y z -=，令y =，则2,1z x ==，则()2n =， 再取平面PAD 的一个法向量为()1,0,0m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分则cos ,n m n m n m ==g g ， 故二面角A PD C --．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）不等式()2sin 12x x f x -≥-，即不等式2cos 12x x ≥-．．．．．．．．．．1分设()2cos 12x g x x =+-，则()[)sin ,0,g x x x x '=-+∈+∞．．．．．．．．．．．．．．2分 再次构造函数()sin h x x x =-+，则()cos 10h x x '=-+≥在[)0,x ∈+∞时恒成立，所以函数()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，所以()0g x '≥在[)0,+∞上恒成立，所以函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以2cos 102x x +-≥，所以2cos 12x x ≥-，即()2sin 12x x f x -≥-成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）的解析可知，当[)0,x ∈+∞时，sin x x ≤且2cos 12x x ≥-， 所以()2sin cos 12x f x x x x ⎛⎫=-≤-- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 当2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭对[)0,x ∈+∞恒成立时，不等式()2ax f x e ≤-恒成立， 不等式2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭，即不等式2102ax x e x ---≥对[)0,x ∈+∞恒成立．．．．．．．．．．．．8分构造函数()212xx M x e x =---，则()1x M x e x '=--，令()1x m x e x =--， 则()1x m x e '=-，当[)0,x ∈+∞时，()0m x '≥，故()m x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00m x m ≥=，故()0M x '≥，即()M x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00M x M ≥=， 故2102xx e x ---≥恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故当1a ≥时，2211022axx x x e x e x ---≥---≥， 即当1a ≥时，不等式()2ax f x e ≤- 恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
2024届河北省衡水市武邑中学高三上学期期中数学试题及答案
数学试题一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置.1. 设集合{}210A x x =-<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B = （）A. ()0,1 B. ()1,2- C. ()1,+∞ D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2. O 是正方形ABCD 的中心．若DO ＝λAB＋μAC ，其中λ，μ∈R ，则λμ＝（ ）A. －2B. －12C.D.3. 若复数23202220231i i i i i z =-+-+⋅⋅⋅+-，则复数z 的虚部为（ ）A 0B. 1-C. 1D. i4. 正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2061a =A. 1 B. 2C.D. 1-5. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则363S S =A.134B.1312C.94D.11126. 已知正四面体A BCD -的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A BCD -，则所得截面的面积为A. 277. 已知tan1.04x =，3log a x =，2a b =，sin c b =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c << B. a c b <<C. c a b<< D. c b a<<8. 已知()ππ2cos 2sin2cos 2(0,0)62f x x b x x b ωωωω⎛⎫⎛⎫=-+++>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()()g x f x =-意的12,x x 均有()()120g x g x +≤成立，且存在12,x x 使()()120g x g x +=，方程()0f x +=在()0,π上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（ ）.A.1526ω<≤ B.1526ω≤<C.53124ω<< D.53124ω<≤二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9. 著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n 个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为n a ，则（ ）A. 23a =B. 38a =C. 12n n a a n+=+ D. 21nn a =-10. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中150AOB ∠= ，222OA OC OD ===，点F 在弧AB 上，且120BOF ∠= ，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）A. OF 在OAB. 若OE OC OD λμ=+，则λμ⎡+∈⎣C. 1OD DA ⋅=D. EF EB ⋅最小值是3-的11. 已知复数1cos isin z αα=+，2cos isin z ββ=+，3cos isin z γγ=+，O 为坐标原点，1z ，2z ，3z 对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，3OZ，则以下结论正确的有（ ）A. 1212z z z z ⋅=⋅B 若1213z z z z ⋅=⋅，则23z z =C. 若123OZ OZ OZ += ，则1OZ 与2OZ 的夹角为π3D. 若1230OZ OZ OZ +=+，则123Z Z Z △为正三角形12. 已知函数()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，则下列说法正确的是（ ）A. 当0a >时，()f x 在(1,)+∞上单调递增B. 若()f x 图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，则实数34a =C. 当10a -<<时，()f x 不存在极值D. 当0a >时，()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且121=x x 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数()()32log 1,141025,4x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x n =有4个解分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()341211x x x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭__________.14. 函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+⎪+⎝⎭为奇函数，则实数=a _______________.15. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱AB 、AD 、1AA 两两夹角都为60 ，且2AB =，1AD =，12AA =，M 、N 分别为1BB 、11B C 的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为__________.16. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264a a =，31a =，则2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a 的最小值为______．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）.的17. 函数()()()sin 0,πf x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，其中//MN x 轴．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到()y g x =的图像，求π8g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．18. 在ABC 中，a 、b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）若sin B 是方程29920100x x -+=的一个根，求cos C 的值．19. 函数2sin 1y x =-在()0,∞+上的零点从小到大排列后构成数列{}n a .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设212n n n b a a -=+，求数列}n b 的前n 项和n S .20. 如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，点,M N 分别是边BC ，CD 的中点，1,AC BD O AC MN G ⋂=⋂=.沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接,,PA PB PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -.（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你结论；（2）当四棱锥P MNDB -体积最大时，求点B 到面PDG的距离；的（3）在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN所成角的余弦值为若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3n n S a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，()1221n n b n b n ++=+，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：52n n T a +≥.22. 已知函数()()()ln 2e e ,22,R h x x g x ax a a =-=-∈.（1）若曲线()()()=-f x h x g x 在()()1,1f 处的切线与直线10x y -+=平行，求函数()f x 的极值；（2）已知()()()=-f x h x g x ，若()1f x a <+恒成立.求证：对任意正整数1n >，都有5241ln (1)nk kn n =<+∑.数学试题一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置.1. 设集合{}210A x x =-<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B = （）A. ()0,1B. ()1,2- C. ()1,+∞ D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A ，再根据指数函数的值域求得集合B ，利用集合的交集运算可得选项.【详解】因为{}()(){}()210+1101,1A x x x x x =-<=-<=-，又11x -<<时，1112222x -=<<，所以{}12,22x B y y x A ⎛⎫==∈= ⎪⎝⎭，，所以A B = ⎫⎪⎭，故选：D.2. O 是正方形ABCD 的中心．若DO＝λAB＋μAC，其中λ，μ∈R ，则λμ＝（ ）A. －2 B. －12C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据正方形几何特点，结合向量的线性运算，用,AB AC表示目标向量，即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：DO ＝DA ＋AO ＝CB ＋AO ＝AB －AC ＋12AC ＝AB －12AC ，所以λ＝1，μ＝－12，因此λμ＝－2.故选：A .【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属基础题.3. 若复数23202220231i i i i i z =-+-+⋅⋅⋅+-，则复数z 的虚部为（ ）A. 0 B. 1- C. 1D. i【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列前n 项和公式和复数性质解题即可.【详解】()()()()2320223200422211i 11101i i 1i i 1ii i z -⨯--⨯-===-+-+⋅⋅-⋅++=-，所以复数z 的虚部为0.故选：A4. 正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2061a =A. 1B. 2C.D. 1-【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由()3214633f x x x x =-+-，则()22860f x x x =+'-=，因为14031,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，所以140316a a ⋅=，又0n a>，所以2016a ==，所以2061a =1，故选A ．考点：对比数列与函数的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比中项公式、利用导数研究函数的极值点和对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及知识点的灵活应用，试题涉及知识点多，应用灵活，属于中档试题，其中解答中根据函数极值点的概念，得到140316a a ⋅=是解答关键．5. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则363S S =A.134B.1312C.94D.1112【答案】C 【解析】【详解】 258,2,3a a a 成等差数列，52843a a a ∴=+，即476311143,3410a q a q a q q q =+-+=，解得313q =或31q =（舍去），()()313661113313913141191a q S q S a q q-⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭===---，故选C.6. 已知正四面体A BCD -的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A BCD -，则所得截面的面积为A. 27【答案】C 【解析】【分析】先由内切球表面积求出其半径，结合图像，找出球心半径，用相似三角形列方程求出正四面体边长，再求出所需截面即可.【详解】解：由内切球的表面积2S 436R ππ==表，得内切球半径3R =如图，过点A 作AH ⊥平面BCD H 为等边BCD 的中心连接BH 并延长交CD 于点E ，且点E 为CD 中点，连接AE 记内切球球心为O ，过O 作OF AE ⊥，设正四面体边长为a则BE AE ==，2BH BE 3==，HE =，AH =又因为OH OF 3==，所以AO 3=-由AOF ~AEH ，得AO OF AE HE ==，解得a =因为ABE 过棱AB 和球心O ，所以ABE 即为所求截面且2ABE 11S 22BE AH =⋅⋅=== 故选C.【点睛】本题考查了空间几何体的内切球，找到球心求出半径是解题关键.7. 已知tan1.04x =，3log a x =，2a b =，sin c b =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c << B. a c b <<C. c a b << D. c b a<<【答案】B 【解析】【分析】由ππ1.0443<<，得出102a <<，再判断112c <<，1b >，得出结果.【详解】因为ππ1.0443<<，πtan1.04tan 3x =<=，且πtan1.04tan 14x =>=，则1x <<，310log log 2a x <=<=，即102a <<；所以12a b <=<b 1<<，所以1πsin sin1sin 126c b =<<=<，即112c <<.所以a c b <<.故选：B .8. 已知()ππ2cos 2sin2cos 2(0,0)62f x x b x x b ωωωω⎛⎫⎛⎫=-+++>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()()g x f x =-意的12,x x 均有()()120g x g x +≤成立，且存在12,x x 使()()120g x g x +=，方程()0f x +=在()0,π上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（ ）A.1526ω<≤ B.1526ω≤<C.53124ω<< D.53124ω<≤【答案】A【解析】【分析】化简()f x 可得()f x ()2x ωθ=+，根据()()120g x g x +≤成立，且存在()()120g x g x +=，可知存在0x 使得()0f x =，即01sin 262πx ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，根据函数性质建立不等式关系进行求解即可.【详解】由()2cos 2sin2cos 26π2πf x x b x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin 21sin23πx b xωω⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()sin22b x x x ωωωθ=+=+，其中θ满足tan θ=，又由任意的12,x x 均有()()120g x g x +≤成立，即任意的12,x x 均有()()12f x f x +≤且存在12,x x 使()()120g x g x +=，可知()f x 最大值为=，又()0,3,2πin 6b b f x x ω⎛⎫>∴=∴=+ ⎪⎝⎭，当0πx <<时，22π666πππx ωω<+≤+，又()f x 在()0,π上存在唯一实数0x 使()0f x =，即017π11π15sin 2,2π,6266626ππx ωωω⎛⎫+=-∴<+≤∴<≤ ⎪⎝⎭.故选：A二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9. 著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n 个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为n a ，则（ ）A. 23a =B. 38a =C. 12n n a a n +=+D. 21nn a =-【答案】AD 【解析】【分析】由题可得121n n a a +=+，进而可得{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，可得21n n a =-，即得.【详解】将圆盘从小到大编为1,2,3, 号圆盘，则将第1n +号圆盘移动到3号柱时，需先将第1n 号圆盘移动到2号柱，需n a 次操作；将第1n +号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将1n 号圆需移动到3号柱需n a 次操作，故121n n a a +=+，()1121n n a a ++=+，又11a =，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，∴11222n n n a -+=⨯=，即21n n a =-，∴233,7a a ==.故选：AD.10. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中150AOB ∠= ，222OA OC OD ===，点F 在弧AB 上，且120BOF ∠= ，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）A. OF 在OAB. 若OE OC OD λμ=+，则λμ⎡+∈⎣C. 1OD DA ⋅=D. EF EB ⋅的最小值是3-【答案】ABD 【解析】【分析】利用投影向量的定义可判断A 选项；建立平面直角坐标系，利用三角恒等变换结合平面向量的线性运算可判断B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由题意可知30AOF ∠= ，所以，OF 在OA 方向上的投影向量为cos30OA OF OA⋅=，A 对；对于B 选项，以点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()1,0D 、12C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设点()cos ,sin E θθ，其中5π06θ≤≤，由OE OC OD λμ=+ 可得()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，cos 1sin 2μθλθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，2sin cos λθμθθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩，所以，(π2sin cos sin 12λμθθθ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，5π06θ≤≤，则ππ11π121212θ≤+≤πsin 112θ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以，πsin 12λμθ⎛⎫⎡+=++∈ ⎪⎣⎝⎭，B 对；对于C 选项，DA OA OD =-，所以，()2OD DA OD OA OD OA OD OD⋅=⋅-=⋅-221cos15011=⨯⨯-=- ，C 错；对于D 选项，()cos ,sin E θθ，其中5π06θ≤≤，()2,0B、(F -，()2cos ,sin EB θθ=--，()1cos sin EF θθ=--- ，所以，()())π2cos 1cos sin sin 2sin 16EB EF θθθθθ⎛⎫⋅=-----=-+- ⎪⎝⎭，因为5π06θ≤≤，则πππ66θ≤+≤所以，故当ππ62θ+=时，EF EB ⋅ 取最小值为213--=-，D 对.故选：ABD.11. 已知复数1cos isin z αα=+，2cos isin z ββ=+，3cos isin z γγ=+，O 为坐标原点，1z ，2z ，3z 对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，3OZ，则以下结论正确的有（ ）A. 1212z z z z ⋅=⋅B. 若1213z z z z ⋅=⋅，则23z z =C. 若123OZ OZ OZ += ，则1OZ 与2OZ 的夹角为π3D. 若1230OZ OZ OZ +=+，则123Z Z Z △为正三角形【答案】ABD 【解析】【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式计算即可判断A ；根据复数的除法运算即可判断B ；根据向量的数量积的运算律求出1OZ 与2OZ的夹角的余弦值即可判断C ；结合C 选项即可判断D .【详解】因为1cos isin z αα=+，2cos isin z ββ=+，3cos isin z γγ=+，所以1231z z z ===，则1231OZ OZ OZ ===，对于A ，()12·cos cos sin sin cos sin sin cos i z z αβαβαβαβ=-++，故()()22212·cos cos sin sin cos sin sin cos z z αβαβαβαβ=-++222222cos cos sin sin 2cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβαβ=+-+22cos sin 2cos cos sin sin αβαβαβ+-()()222222cos cos sin sin cos sin 1αββαββ=+++=，121z z ⋅=，所以1212z z z z ⋅=⋅，故A 正确；对于B ，若1213z z z z ⋅=⋅，则13231z z z z z ⋅==，故B 正确；对于C ，设1OZ 与2OZ的夹角为[],0,πθθ∈，若123OZ OZ OZ += ，则()21322OZ OZ OZ += ，即212122221OZ OZ OZ OZ ++⋅= ，即112cos 1θ++=，所以1cos 2θ=-，所以2π3θ=，即1OZ 与2OZ 的夹角为2π3，故C 错误；对于D ，若1230OZ OZ OZ +=+，则()123OZ OZ OZ +=- ，则()22213OZ OZ OZ ⎡⎤-=⎣⎦+ ，即()21322OZ OZ OZ += ，由C 选项可知1OZ 与2OZ 的夹角为2π3，同理2OZ 与3OZ 的夹角为2π3，1OZ 与3OZ 的夹角为2π3，又1231OZ OZ OZ ===，所以123132213π3Z Z Z Z Z Z Z Z Z ∠=∠=∠=，故D 正确.故选：ABD .12. 已知函数()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，则下列说法正确的是（ ）A. 当0a >时，()f x 在(1,)+∞上单调递增B. 若()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，则实数34a =C. 当10a -<<时，()f x 不存在极值D. 当0a >时，()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且121=x x 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，利用导数即可判断；对于B ，根据导数的几何意义可判断；对于C ，取12a =-，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D ，结合函数单调性，利用零点存在定理说明()f x 有且仅有两个零点12,x x ，继而由()0f x =可推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，即可证明结论，即可判断.【详解】因为()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，定义域为{|0x x >且1}x ≠，所以()()2121a f x x x '=+-，对于A ，当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，故A 正确；对于B ，因为直线250x y +-=的斜率为12-，又因为()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，故令1(2)222f a '=+=，解得34a =，故B 正确；对于C ，当10a -<<时，不妨取12a =-，则()()()222113111x x f x x x x x -+'=-=--，令()0f x '=，则有231=0x x -+，解得123322x x =-=+，当0,32x ⎛∈- ⎝时，()0f x ¢>，()f x在0,32⎛ ⎝上单调递增；当331,22x ⎛⎫⎛∈⋃+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝时，()0f x '<，()f x在33,1,22⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝上分别单调递减；所以此时函数有极值，故C 错误；对于D ，由A 可知，当0a >时，()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，当1x >时，22(e )10e 1e 1aa a af a a ⎛⎫=-+=-< ⎪--⎝⎭，()()()()313131313131e 1e 12e 311e 1e 1a a a a a a a f a a ++++++--+⎛⎫=+-+-=⎪-⎝⎭()()()31313131313e 1e 12e20e 1e 1a a a a a a a a +++++--+->=>--，所以()f x 在(1,)+∞上有一个零点，又因为当01x <<时，22(e 10e 1e 1aa a af a a --⎛⎫--+=> ⎪--⎝⎭=) ，()1313313122e e311311e 11e a a a a f a a a a -+---+⎛⎫⎛⎫=---+=---+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()3131313131311e e 11e 311e 1e a a a a a a a a a ++++++-+++=---⋅=---()()31313131e e 11e a a a a a +++-++=--()3131313122e 42e 01e e 1a a a a a a a ++++--=-=<--，所以()f x 在(01),上有一个零点，所以()f x 有两个零点，分别位于(01),和(1,)+∞内；设1201x x <<<，令()0f x =，则有()1ln 01a x x x +-=-，则1f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()11111ln ln ln 1111x a a a x x x x x x x x x x⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭-=--=-+---()1[ln ]01a x x x +=--=-，所以()0f x =的两根互为倒数，所以121=x x ，故D 正确．故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D 的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明121=x x 时，要注意推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而证明结论三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数()()32log 1,141025,4x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x n =有4个解分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()341211x x x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭__________.【答案】10【解析】【分析】作出函数()f x 图象，由对数函数的性质可得12111x x +=，有二次函数的对称性可得3410x x +=，代入()341211x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭求解即可.【详解】作出函数()f x 的大致图象，如下：可知，01n <<且当14x <≤时，()3log 1x n -=有2个解12,x x ；()()3132log 1,log 1x n x n -=--=，得121211111331,31,131313113nnnn n n nx x x x --=+=+∴+=+=+=++++；当>4x 时，由21021x x n -+=有2个解34,x x ，根据图象的对称性，得3410x x +=.()34121111010x x x x ⎛⎫∴++=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：10.14. 函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数=a _______________.【答案】1-【解析】【分析】由()f x 为奇函数，根据定义有22ln l 11n x x a a x x ⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪+⎝⎝-⎭⎭，结合ln y x =是单调函数即可求a .【详解】函数()f x 为奇函数知：()()f x f x -=-，而(l 12)n x x f x a ⎛⎫-=+⎪⎝⎭-，∴22ln l 11n x x a a x x ⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪+⎝⎝-⎭⎭，即11(2)ln ln (2)a x a a x x x a ⎛⎫+-⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝-⎭+，又ln y x =是单调函数，∴(2)11(2)a x a x x a x a +-+=-++，即有()221{21a a =+=，解得1a =-.故答案为：1-.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，应用ln y x =的单调性列方程，属于基础题.15. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点三条棱AB 、AD 、1AA 两两夹角都为60 ，的且2AB =，1AD =，12AA =，M 、N 分别为1BB 、11B C 的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为__________.【答案】57【解析】【分析】计算出AC MN ⋅以及AC 、MN 的值，可求得cos ,AC MN <> 的值，即可得解.【详解】如下图所示：由题意可得AC AB AD =+ ，()11112MN MB B N AD AA =+=+ ，所以，()222222221221cos 607AC AB ADAB AD AB AD =+=++⋅=++⨯⨯⨯=，()()()2222221111117212212cos 604444MN AD AA AD AA AD AA =+=++⋅=++⨯⨯= ，()()()21111122AC MN AB AD AD AA AB AD AB AA AD AA AD⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ ()215212212cos 60122⎡⎤=⨯+⨯+⨯+=⎣⎦ ，所以，5cos ,7AC MN AC MN AC MN⋅<>===⋅.因此，MN 与AC 所成角的余弦值为57.故答案为：57.16. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264a a =，31a =，则2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nSa 的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】根据等比数列的性质可得42a =，由此可求得n a ，n S ，从而表示出2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a ，再根据基本不等式求解即可．【详解】解：∵264a a =，且0n a >，∴42a =，∴公比432a q a ==，∴43222n n n a --=⋅=，2222212124n n n S ----==--，∴()2222922422n n n n S a --⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=224242n n --=++48≥=，当且仅当224222n n --==， 即3n =时等号成立，故答案为：8．【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比数列的前项和，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17. 函数()()()sin 0,πf x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，其中//MN x 轴．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到()y g x =的图像，求π8g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）()5πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）2+【解析】【分析】（1）根据图象可求函数的对称方程及34T ，故可求函数的解析式；（2）根据图象平移可求()g x 的解析式，故可求π8g ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【小问1详解】由图象可得函数图象的一条对称轴为πππ2623x --==-，故32π5ππ3π41234ω⨯=+=，故2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=+，而π2πsin 133f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈即7π2π,Z 6k k ϕ=+∈而π<ϕ，故5π6ϕ=-，故()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】将()y f x =的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到()y g x =的图像，故()π5ππsin 22sin 22263g x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππππππππsin 2sin 22sin cos cos sin 843343434g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2=+18. 在ABC 中，a 、b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）若sin B 是方程29920100x x -+=的一个根，求cos C 的值．【答案】（1）3π；（2）cos C =【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边后，利用余弦定理得到1cos 2A =，进而求得；（2）解方程求得方程的根，并作出取舍得到9sin 10B =，利用同角三角函数的关系得到cos B 的值，然后利用诱导公式和两角和的余弦公式求得.【详解】（1）∵()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，∴()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，又∵三角形内角()0,A π∈，∴3A π=；（2）29920100x x -+=等价于()()10910110x x --=，解得910x =或1110x =；∵1sin 0B >>，∴9sin 10B =，∴cos B ==，∴()()cos cos cos sin sin cos cos C A B A B A B A Bπ=--=-+=-91102⎛=-⨯±= ⎝19. 函数2sin 1y x =-在()0,∞+上的零点从小到大排列后构成数列{}n a .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设212n n n b a a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）5ππ,,67ππ,.6n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数 （2）()21πn n -【解析】【分析】（1）根据三角函数的基本性质，求得其在()0,2π内的零点，分情况，可得答案；（2）由题意，可得数列{}n b 的通项公式，结合等差数列的性质，可得答案.【小问1详解】函数2sin 1y x =-的最小正周期为2π.函数2sin 1y x =-在()0,2π上的零点分别为π5π,66.数列{}21n a -是以π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为奇数时，π15ππ626n n a d n -=+=-.数列{}2n a 是以5π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为偶数时，5π27ππ626n n a d n -=+=-.综上，5ππ,,67ππ,.6n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数【小问2详解】2124π3πn n n b a a n -=+=-，显然数列{}n b 为等差数列.所以其前n 项和为()()121π2n n b b n S nn +==-.20. 如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，点,M N 分别是边BC ，CD 的中点，1,AC BD O AC MN G ⋂=⋂=.沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接,,PA PB PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -.（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；（2）当四棱锥P MNDB -体积最大时，求点B 到面PDG 的距离；（3）在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN与平面PMN 所成角的余弦值为若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析 （2（3）存在，Q 是PA 的中点，理由见解析.【解析】【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAG 来证得平面PBD ⊥平面PAG .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点B 到平面PDG 的距离.（3）利用平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值来列方程，从而求得Q 点的位置.【小问1详解】折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥⋂=⊂平面PAG ，所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAG .小问2详解】当平面PMN ⊥平面MNDB 时，四棱锥P MNDB -体积最大，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥，所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥，由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,2,0,0,1,0,2,P DBN PB --=，设平面PDG 的法向量为()111,,m x y z =，则111020m GP m GD y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，故可设()m = ，【所以P 到平面PDG的距离为m PB m⋅==.【小问3详解】存在，理由如下：()A，(PA =，设()01PQ PA λλ=≤≤，则(()(),0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+=，平面PMN 的法向量为()11,0,0n =u r，()(),DQ DN =-=，设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z =，则()222222220n DQ x y z n DN y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，故可设()21n λλ=-+，设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN，所以1212cos n n n n θ⋅===⋅ ，解得12λ=或3λ=（舍去），所以当Q 是PA 的中点时，平面QDN 与平面PMN .21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3n n S a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，()1221n n b n b n ++=+，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：52n n T a +≥.【答案】（1）32n n a = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）计算132a =，根据1n n n a S S -=-得到112n n a a -=，确定等比数列，计算即可.（2）利用累乘法得到12n nn b +=，再根据错位相减法得到332nn n T +=-，构造数列，根据数列的单调性计算最值得到答案.【小问1详解】当1n =时，113S a +=，解得132a =.当2n ≥时，113n n S a --+=，相减得10n n n a a a -+-=，即112n n a a -=，所以数列{}n a 是以32为首项，12为公比的等比数列，故32n n a =，验证1n =时成立，故32n n a =；【小问2详解】11b =，()1221n n b n b n ++=+，故112112111131121222n n n n nn n b b b n n n n b b b b b n n n ----+-+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.2323412222n n n T +=+++⋅⋅⋅+，23411234122222n n n T ++=+++⋅⋅⋅+两式相减可得：212341111111111111332211122222222212n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=++++⋅⋅⋅+-=+-=--，所以332n nn T +=-，32n n n nT a +=-.令2n n n c =，11111222n n n n n n n n c c ++++-+-=-=，*N n ∈，故12c c =，且11102n n n n c c ++-+-=<，2n ≥，*N n ∈，n c 是从第二项开始单调递减数列，()12max 12n c c c ===.故1533222n n n n T a +=-≥-=.22. 已知函数()()()ln 2e e ,22,R h x x g x ax a a =-=-∈.（1）若曲线()()()=-f x h x g x 在()()1,1f 处的切线与直线10x y -+=平行，求函数()f x 的极值；（2）已知()()()=-f x h x g x ，若()1f x a <+恒成立.求证：对任意正整数1n >，都有5241ln (1)nk kn n =<+∑.【答案】（1）极大值1ln22+，无极小值 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，由导数的几何意义可得12a =，代入()f x '，即可求得()f x 的单调性和极值.（2）将不等式变形为()()21ln 21a x x ->-，令210t x =->，分离参数后构造函数，转为为求解()ln t g t t=的最大值，即1e >a 时，()()ln 2121x a x -<-恒成立，令()*21N k x k =-∈，则2ln 5kk <，然后结合对数运算性质可求.小问1详解】为【由()()ln 2e e 22f x x ax a =--+，可得()2221f x a x =--'，由条件可得()1221f a =-='，即12a =.则()()()()2321ln 212,121212x f x x x f x x x x --⎛⎫=--+=-=> ⎪--'⎝⎭，令()0f x '=可得32x =，当32x >时，()0f x '<，当1322x <<时，()0f x ¢>.()f x \在3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()f x \的极大值为331ln22ln2222f ⎛⎫=-+=+⎪⎝⎭，无极小值.【小问2详解】()1f x a <+，即()()ln 21210x a x ---<对任意的12x >恒成立，即()()21ln 21a x x ->-，其中12x >，令210t x =->，则ln at t >，即ln ln t at t a t>⇒>，所以，函数()y g t =的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞，所以，()max 11()e ,e eg t g a ==∴>，即1e>a 时，()()ln 2121x a x -<-恒成立，取25a =，则()()221ln 215x x --<对任意的12x >恒成立，令()*21Nk x k =-∈，则2ln 5k k <，所以()()()()212412ln1ln2ln3ln 21232555n n n n n n ++++++<++++=< ，所以215ln (1)4nk k n n =<+∑，即5241ln (1)nk k n n =<+∑.点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.【。
河北省衡水市武邑中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
河北武邑中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()U B A =I ð（ ） A. (],1-∞- B. (](),10,3-∞-UC. (]0,3D. ()0,3【答案】D 【解析】由题意得：{}0x 4x A =<≤,{}x 1,3x x B =≤-≥或， ∴ U C B =()1,3-， ∴( U C B ) A=()0,3故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知0a >32a=( )A. 12a B.32a C.23a D.13a【答案】D【解析】【分析】由指数幂运算即可求解23a=2113323aa aa-===.故选D.【点睛】本题考查指数幂运算，熟记运算性质是关键，注意运算的准确，是基础题3.在映射:f A B→中，(){},|,A B x y x y R==∈，且()():,,f x y x y x y→-+，则A中的元素()1,2-在集合B中的象为（）A. ()3,1- B. ()1,3-- C. ()1,3 D. ()3,1【答案】A【解析】试题分析：由题意，对应关系为()():,,f x y x y x y→-+，故A中的元素()1,2-在集合B 中的象为()3,1-考点：映射，象与原象4.今有一组实验数据如下表所示：则最佳体现这些数据关系的函数模型是（）A. 2logu t= B. 22tu=- C.212tu-= D.22u t=-【答案】C 【解析】21.992 1.9911.99,log 1.991,222, 1.5,2 1.992 1.98;2t -=≈-≈≈⨯-=232313.0.log 3 1.6,226,4,2324;2t -=≈-==⨯-=242414.log 42,2214,7.5,2426;2t -==-==⨯-=25.12(5.1)15.1.log 5.13,2230,12,2 5.128.2;2t -=-≈⨯-=故选C5.一个偶函数定义在区间[]7,7-上，它在[]0,7上的图象如图，下列说法正确的是（ ）A. 这个函数仅有一个单调增区间B. 这个函数在其定义域内有最大值是7C. 这个函数有两个单调减区间D. 这个函数在其定义域内有最小值是-7 【答案】B 【解析】 【分析】根据已有图像和偶函数性质画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】根据函数图像和偶函数性质得到函数图像：由图像可知：这个函数有三个单调增区间； 这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7 ； 这个函数在其定义域内最小值不是7-． 故选：B【点睛】本题考查了函数的图像，单调性，最值，意在考查学生对于函数图像的应用. 6.已知{}1,1,2,3α∈-，则使函数y x α=的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )A. 1，3B. －1，1C. －1，3D. －1，1，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当a=﹣1时，y=11xx-=，为奇函数，但值域为{x|x ≠0}，不满足条件． 当a=1时，y=x ，为奇函数，值域为R ，满足条件． 当a=2时，y=x 2为偶函数，值域为{x|x ≥0}，不满足条件． 当a=3时，y=x 3为奇函数，值域为R ，满足条件． 故选：A ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，比较基础．7.已知3a e =，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据3log y x =的单调性判断,a b 的大小关系，由1a c <<判断出三者的大小关系. 【详解】由3log 1a e =<，335log log 2b a e =<=，ln31c =>，则c a b >>.故选C. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.8.已知函数()f x 在[3,)+∞上单调递减，且(3)f x +是偶函数，则 1.1(0.3)a f =，0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D.b ac >>【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得到()f x 的图象关于直线3x =对称，且在(],3-∞上单调递增，然后通过比较1.10.50,0.3,3到对称轴距离的大小可得所求结果．【详解】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =， 所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称． 又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减， 所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<， 所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>．故选D ．【点睛】比较函数值大小的常用方法：（1）将自变量转化到同一单调区间上，然后根据函数的单调性进行比较；（2）对于图象有对称轴的函数来讲，可将函数值的大小问题转化为自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．9.当x ∈R 时，函数()()01xf x a a a =>≠且满足()1f x ≤，则函数()log 1a y x =+的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由函数||()x f x a =（0a >且1a ≠）满足()1f x ≤01a ⇒<<，故的图象应是C 图，故选C ． 考点：函数的图象．10.已知函数()f x =()log 01?a x a a >≠且满足()()12f a f a +>+则()220f x x ->的解集是 A. ()1,0,12∞⎛⎫-⋃⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C. 11,0,122⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为函数()()log 01?a f x x a a =>≠且满足()()12f a f a +>+,所以0a < 1<<,则函数()log (01)a f x x a =<<是减函数,所以()220f x x ->可化为2021x x <-<,求解可得102x -<<或 112x <<,故选C. 11.设x ，y 为实数，且满足()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，则x y +=（ ）A. 2B. 5C. 10D. 2018【答案】A【分析】由题意可设()32018f x x x =+，由导数判断单调性，由奇偶性的定义判断()f x 为奇函数，可得()()()111f y f x f x -=--=-，由单调性可得x ，y 的和． 【详解】由题意可设()32018f x x x =+，可得导数()2'320180f x x =+>，即()f x 为R 上的增函数；又()()32018f x x x f x -=--=-，即()f x 为奇函数，()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，可得 ()()(33(1)20181[1)20181y y x x ⎤-+-=--+-⎦，可得()()()111f y f x f x -=--=-， 由()f x 在R 上递增，可得11y x -=-， 即有2x y +=． 故选：A ．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，构造函数判断奇偶性和单调性是解题的关键，属于中档题．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是（ ） A. {0,1} B. {1}C. {1,0,1}-D. {1,0}-【答案】D()()()()()11,2121x xx xe ef x f x f x e e--=-==-++Q ，()f x ∴奇函数，Q 函数()1,12x xe f x e =-∴+化简得出：()11,1121xx f x e e =-+>+Q ，1011x e ∴<<+， 11112212x e -<-<+，∴当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()1,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，当()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，当()0f x =时，()()0,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，∴函数()()y f x f x =+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故选D. 【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知()2xf e x =+，则()1f =______.【答案】2 【解析】 【分析】直接取0x =代入计算得到答案. 【详解】取0x =得到()12f = 故答案为：2【点睛】本题考查了函数值的计算，也可以先计算出函数解析式再求值.14.已知函数()3f x x =在区间[]2,4上的最大值为_____________．【答案】-4试题分析：由题意，得()63f x x x =--在上为减函数，则在[]2,4也为减函数；所以当时，.考点：函数的单调性与最值. 15.若函数()22f x mx mx =-+定义域为R ，则实数m 取值范围是______.【答案】[)0,8 【解析】 【分析】题目等价于220mx mx -+>恒成立，讨论0m =和0m ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】函数()22f x mx mx =-+的定义域为R ，即220mx mx -+>恒成立.当0m =时，易知成立. 当0m ≠时，需满足：20880m m m m >⎧∴<<⎨∆=-<⎩综上所述：08m ≤< 故答案为：[)0,8【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0m =的情况是容易发生的错误.16.．如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,m m ,使得12()()f m f m =,就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{}1,2,3A =,B A ⊆, 且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 共有____个． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意结合新定义的知识分类讨论满足题意的函数的个数即可. 【详解】由不严格的增函数的定义可知函数的值域为一个数或两个数， 当值域为一个数时：()()()1231g g g ===，()()()1232g g g ===，()()()1233g g g ===共三种情况，当值域为两个数时：()()()121,32g g g ===，()()()121,33g g g ===，()()()122,33g g g ===， ()()()11,232g g g ===，()()()11,233g g g ===，()()()12,233g g g ===，综上可得，函数()g x 共有9个.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知集合{}44A x a x a =-<<+，{5B x x =>或}1x <-． （1）若1a =，求A B I ；（2）若A B =U R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(3,1)--；（2）13a <<. 【解析】 【分析】（1）把1a =等于带入集合中求交集即可。
2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置. 1．设集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．(12，1)2．O 是正方形ABCD 的中心．若DO →=λAB →+μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ=（ ）A ．﹣2B ．−12C ．−√2D ．√23．若复数z ＝1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023，则复数z 的虚部为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．i4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 2016=（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．﹣15．已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则3S 3S 6=（ ）A ．134B ．1312 C ．94D ．11126．已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，则所得截面的面积为（ ） A ．27√2B ．27√3C ．54√2D ．54√37．已知x =tan1.04，a =log 3x ，b =2a ，c =sinb ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a8．已知f （x ）＝2cos （2ωx −π6）+b sin2ωx +cos （2ωx +π2）（b ＞0，ω＞0）又g （x ）＝f （x ）﹣2√3，对任意的x 1，x 2均有g （x 1）+g （x 2）≤0成立，且存在x 1，x 2使g （x 1）+g （x 2）＝0，方程f （x ）+√3=0在（0，π）上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（ ） A ．12＜ω≤56B ．12≤ω＜56C ．512＜ω＜34D ．512＜ω≤34二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n 个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n ，则（ ）A ．a 2＝3B ．a 3＝8C ．a n +1＝2a n +nD ．a n =2n −110．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2OD ＝2，点F 在弧AB 上，且∠BOF ＝120°，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）A ．OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B ．若OE →=λOC →+μOD →，则λ+μ∈[1，√6+√2] C ．OD →⋅DA →=1−√3D ．EF →⋅EB →的最小值是﹣311．已知复数z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，O 为坐标原点，z 1，z 2，z 3对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，则以下结论正确的有（ ） A ．|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|B ．若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2＝z 3C ．若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D ．若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则△Z 1Z 2Z 3为正三角形 12．已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，则下列说法正确的是（ ） A ．当a ＞0时，f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．若f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，则实数a =34C ．当﹣1＜a ＜0时，f （x ）不存在极值D ．当a ＞0时，f （x ）有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＝1 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= ． 14．函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a ＝ ． 15．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱AB ，AD ，AA 1两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为 ． 16．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则(S n +94)22a n的最小值为 ．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17．（10分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，其中MN ∥x 轴． （1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）的图像，求g(π8)的值．18．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根，求cos C 的值． 19．（12分）函数y ＝2sin x ﹣1在（0，+∞）上的零点从小到大排列后构成数列{a n }． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD ＝O 1，AC ∩MN ＝G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND ．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面P AG ？证明你的结论； （2）当四棱锥P ﹣MNDB 体积最大时，求点B 到面PDG 的距离；（3）在（2）的条件下，在线段P A 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝3． （1）求{a n }的通项公式； （2）数列{b n }满足b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n +a n ≥52．22．（12分）已知函数h （x ）＝ln （2ex ﹣e ），g （x ）＝2ax ﹣2a ，a ∈R ．（1）若曲线f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y +1＝0平行，求函数f （x ）的极值；（2）已知f （x ）＝h （x ）﹣g （x ），若f （x ）＜1+a 恒成立．求证：对任意正整数n ＞1，都有∑ln 2n k=1k 54＜n(n +1)．2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置. 1．设集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．(12，1)解：A ＝{x |x 2﹣1＜0}＝（﹣1，1），B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝（12，2），则A ∩B ＝（12，1），故选：D ．2．O 是正方形ABCD 的中心．若DO →=λAB →+μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ=（ ）A ．﹣2B ．−12C ．−√2D ．√2解：因为O 是正方形ABCD 的中心，所以O 为AC 的中点，所以DO →=DC →+CO →=AB →+12CA →=AB →−12AC →，因为DO →=λAB →+μAC →， 所以λ=1，μ=−12，所以λμ=1−12=−2．故选：A ．3．若复数z ＝1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023，则复数z 的虚部为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．i解：z =1−i +i 2−i 3+⋯+i 2022−i2023=1×(1−(−i)2024)1−(−i)=1×(1−1)1+i=0，所以复数z 的虚部为0． 故选：A ．4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 2016=（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．﹣1解：根据f(x)=13x 3−4x 2+6x −3，可得f ′（x ）＝x 2﹣8x +6，因为a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，所以a 1，a 4031是方程f ′（x ）＝x 2﹣8x +6＝0的两个实数根，所以a 1a 4031＝6，又因为数列{a n }为正项等比数列，所以a 1a 4031=a 20162=6，所以a 2016=√6，log √6a 2016=log √6√6=1． 故选：A ．5．已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则3S 3S 6=（ ）A ．134B ．1312 C ．94D ．1112解：公比q 不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 2，2a 5，3a 8成等差数列， 可得4a 5＝a 2+3a 8， 即为4a 1q 4＝a 1q +3a 1q 7，即3q 6﹣4q 3+1＝0，解得q 3=13（1舍去），则3S 3S 6=3•a 1(1−q 3)1−q •1−q a 1(1−q 6)=3•1−q 31−q 6=3•11+q 3＝3•11+13=94， 故选：C ．6．已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，则所得截面的面积为（ ） A ．27√2B ．27√3C ．54√2D ．54√3解：设内切球半径为r ，由题意得4πr 2＝36π， 设正四面体棱长为a ，由三角形的性质得BE =√32a ，BO ′=23BE =23×√32a =√33a ， ∴在△ABO ′中，AO ′′=√AB 2−BO′2=√63a ，又AOOO′=31， ∴OO ′=14AO′=14×√63a =√612a ，∵OO ′＝3，∴√612a =3，解得a ＝6√6．∴BE =√32a =9√2，AO ′=√63a =12，在△ABE 中，S =12×|BE|×|AO′|=12×12×9√2=54√2． 过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，所得截面的面积为54√2． 故选：C ．7．已知x =tan1.04，a =log 3x ，b =2a ，c =sinb ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解：因为π4＜1.04＜π3，x =tan1.04＜tan π3=√3，且x =tan1.04＞tan π4=1，则1＜x ＜√3，0＜a =log 3x ＜log 3√3=12，即0＜a ＜12；所以1＜b =2a ＜√2，即1＜b ＜√2，所以12=sin π6＜sin1＜c =sinb ＜1，即12＜c ＜1．所以a ＜c ＜b ． 故选：B ．8．已知f （x ）＝2cos （2ωx −π6）+b sin2ωx +cos （2ωx +π2）（b ＞0，ω＞0）又g （x ）＝f （x ）﹣2√3，对任意的x 1，x 2均有g （x 1）+g （x 2）≤0成立，且存在x 1，x 2使g （x 1）+g （x 2）＝0，方程f （x ）+√3=0在（0，π）上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（ ） A ．12＜ω≤56B ．12≤ω＜56C ．512＜ω＜34D ．512＜ω≤34解：因为f(x)=2cos(2ωx −π6)+bsin2ωx +cos(2ωx +π2)=2sin(2ωx +π3)+(b −1)sin2ωx=bsin2ωx +√3cos2ωx =√b 2+3sin(2ωx +θ)， 其中θ满足tanθ=√3b，又由任意的x1，x2均有g（x1）+g（x2）≤0成立，即任意的x1，x2均有f(x1)+f(x2)≤4√3成立，且存在x1，x2使g（x1）+g（x2）＝0，可知f（x）最大值为2√3，所以√b2+3=2√3，又b＞0，所以b＝3，所以f(x)=2√3sin(2ωx+π6 )，当0＜x＜π时，π6＜2ωx+π6≤2ωπ+π6，又f（x）在（0，π）上存在唯一实数x0使f(x0)=−√3，即sin(2ωx0+π6)=−12，所以7π6＜2ωπ+π6≤11π6，所以12＜ω≤56．故选：A．二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n，则（）A．a2＝3B．a3＝8C．a n+1＝2a n+n D．a n=2n−1解：将圆盘从小到大编为1，2，3，…号圆盘，则将第n+1号圆盘移动到3号柱时，需先将第1～n号圆盘移动到2号柱，需a n次操作；将第n+1号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将1～n 号圆需移动到3号柱需a n 次操作，故a n +1＝2a n +1，故C 错误； 由此递推关系及a 1＝1可求得通项为a n =2n −1，故D 正确； 则a 2＝3，a 3＝7，故A 正确，B 错误． 故选：AD ．10．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2OD ＝2，点F 在弧AB 上，且∠BOF ＝120°，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）A ．OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B ．若OE →=λOC →+μOD →，则λ+μ∈[1，√6+√2] C ．OD →⋅DA →=1−√3D ．EF →⋅EB →的最小值是﹣3解：对于A 选项，由题意可知∠AOF ＝30°， 所以OF →在OA →方向上的投影向量为|OF →|cos30°⋅OA →|OA →|=√32OA →，即A 选项正确；对于B 选项，以点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则D （1，0）、C(−√32，12)，设点E （cos θ，sin θ），其中0≤θ≤5π6， 由OE →=λOC →+μOD →可得(cosθ，sinθ)=λ(−√32，12)+μ(1，0)，所以{−√32λ+μ=cosθ12λ=sinθ，即{λ=2sinθμ=√3sinθ+cosθ，所以λ+μ=(2+√3)sinθ+cosθ=(√6+√2)sin(θ+π12)， 又因为0≤θ≤5π6，则π12≤θ+π12≤11π12，所以√6−√24≤sin(θ+π12)≤1， 所以λ+μ=(√6+√2)sin(θ+π12)∈[1，√6+√2]， 即B 选项正确；对于C 选项，DA →=OA →−OD →，所以OD →⋅DA →=OD →⋅(OA →−OD →)=OA →⋅OD →−OD →2=2×1×cos150°−12=−√3−1， 即选项C 错误；对于D 选项，E （cos θ，sin θ），其中0≤θ≤5π6，B （2，0）、F(−1，√3)， 则EB →=(2−cosθ，−sinθ)，EF →=(−1−cosθ，√3−sinθ)，所以EB →⋅EF →=(2−cosθ)(−1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=−2sin(θ+π6)−1，因为0≤θ≤5π6，则π6≤θ+π6≤π， 故当θ+π6=π2时，即θ=π3时，EF →⋅EB →取最小值为﹣2﹣1＝﹣3，即D 选项正确．故选：ABD ．11．已知复数z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，O 为坐标原点，z 1，z 2，z 3对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，则以下结论正确的有（ ） A ．|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|B ．若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2＝z 3C ．若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D ．若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则△Z 1Z 2Z 3为正三角形 解：因为z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ， 所以|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝1，则|OZ 1→|＝|OZ 2→|＝|OZ 3→|＝1，对于A ，z 1•z 2＝cos αcos β﹣sin αsin β+（cos αsin β+sin αcos β）i ， 故|z 1•z 2|2＝（cos αcos β﹣sin αsin β）2+（cos αsin β+sin αcos β）2＝cos 2α•cos 2β﹣2cos α•cos β•sin α•sin β+sin 2α•sin 2β+cos 2α•sin 2β+2sin α•cos β•cos α•sin β+sin 2αcos 2β ＝cos 2α（cos 2β+sin 2β）+sin 2α（sin 2β+cos 2β）， ＝cos 2α+sin 2α ＝1，|z 1|•|z 2|＝1，所以|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|，故A 正确； 对于B ，若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2=z 1⋅z 3z 1=z 3，故B 正确； 对于C ，设OZ 1→与OZ 2→的夹角为θ，θ∈[0，π]， 若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则（OZ 1→+OZ 2→）2＝（OZ 3→）2， 即OZ 1→2+OZ 2→2＝1，即1+1+2cos θ＝1，所以cos θ=−12，所以θ=2π3，即OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3，故C 错误；对于D ，若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则﹣（OZ 1→+OZ 2→）=OZ 3→， 则[﹣（OZ 1→+OZ 2→）]2=OZ 3→2，即（OZ 1→+OZ 2→）2=OZ 3→2，由C 选项可知OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3，同理OZ 2→与OZ 3→的夹角为2π3，OZ 1→与OZ 3→的夹角为2π3， 又|OZ 1→|＝|OZ 2→|＝|OZ 3→|＝1，所以∠Z 1Z 2Z 3＝∠Z 1Z 3Z 2＝∠Z 2Z 1Z 3=π3，故D 正确．故选：ABD ．12．已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，则下列说法正确的是（ ）A ．当a ＞0时，f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．若f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，则实数a =34C ．当﹣1＜a ＜0时，f （x ）不存在极值D ．当a ＞0时，f （x ）有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＝1 解：因为f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，x ＞0且x ≠1， 所以f ′（x ）=1x +2a (x−1)2， 对于A ，当a ＞0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，故正确； 对于B ，因为直线x +2y ﹣5＝0的斜率为−12，又因为f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直， 令f ′（2）=12+2a ＝2，解得a =34，故正确； 对于C ，当﹣1＜a ＜0时，不妨取a =−12，则f ′（x ）=1x −1(x−1)2=x 2−3x+1x(x−1)2， 令f ′（x ）＝0，则有x 2﹣3x +1＝0，解得x 1=32−√52，x 2=32+√52， 当x ∈（0，32−√52）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（32−√52，32+√52）时，f ′（x ）＜0，f（x ）单调递减；所以此时函数有极值，故错误；对于D ，由A 可知，当a ＞0时，f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增， 当x ＞1时，f （e a ）＝a ﹣a （1+2e a −1）=−2ae a −1＜0， f （e 3a +1）＝3a +1﹣a （1+2e 3a+1−1）=(3a+1)(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1＞3a(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1=2a(e 3a+1−2)e 3a+1−1＞0，所以f （x ）在（1，+∞）上有一个零点， 又因为当0＜x ＜1时，f （e ﹣a ）＝﹣a ﹣a （1+2e −a −1）=2ae a −1＞0，f （e﹣3a ﹣1）＝﹣3a ﹣1﹣a （1+2e −3a−1−1）＝﹣3a ﹣1﹣a （1+2e 3a+11−e 3a+1）＝﹣3a ﹣1﹣a •1+e 3a+11−e 3a+1=− [（3a +1）+a •e 3a+1+11−e 3a+1 ]=−(3a+1)(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−3a(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−4a−2ae 3a+11−e 3a+1=2a(2−e 3a+1)e 3a+1−1＜0，所以f （x ）在（0，1）上有一个零点；所以f （x ）有两个零点，分别位于（0，1）和（1，+∞）； 设0＜x 1＜1＜x 2， 令f （x ）＝0，则有lnx −a(x+1)x−1=0， 所以ln 1x−a(1x +1)1x−1=−lnx −a⋅x+1x1−x x=−lnx −a(x+1)1−x =−lnx +a(x+1)x−1=−（lnx −a(x+1)x−1）＝0， 所以f （x ）＝0的两根互为倒数， 所以x 1x 2＝1，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= 10 ． 解：作出函数f （x ）的大致图象，如下：可知，0＜n ＜1且当1＜x ≤4时，|log 3（x ﹣1）|＝n 有2个解x 1，x 2； log 3（x 1﹣1）＝﹣n ，log 3（x 2﹣1）＝n ， 得x 1=3−n+1，x 2=3n+1，∴1x 1+1x 2=13−n +1+13n +1=13n +1+3n 1+3n=1；当x ＞4时，由x 2﹣10x +21＝n 有2个解x 3，x 4，根据图象的对称性，得x 3+x 4＝10． ∴(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)=1×10=10． 故答案为：10． 14．函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a ＝ ﹣1 ． 解：根据题意，函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则f （x ）+f （﹣x ）＝0， 即ln （2x 1+x +a ）+ln （−2x1−x+a ）＝0，变形可得：a 2−(a+2)x 21−x 2=1，必有a ＝﹣1；故答案为：﹣1．15．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱AB ，AD ，AA 1两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为 √9114． 解：∵M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，∴MN →=12BC 1→=12AD →+12AA 1→，AC →=AB →+AD →，∴MN →2=14AD →2+14AA 1→2+12AD →⋅AA 1→=14+94+12×1×3×cos60°=134，AC →2=AB →2+AD →2+2AB →⋅AD →=4+1+2×2×1×cos60°＝7，MN →⋅AC →=（12AD →+12AA 1→）•（AB →+AD →）=12AD →2+12AB →⋅AD →+12AA 1→⋅AB →+12AA 1→⋅AD →=134，∴cos ＜MN →，AC →＞=MN →⋅AC →|MN →||AC →|=134√132×7=√9114．∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为√9114． 故答案为：√911416．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则(S n +94)22a n的最小值为 8 ．解：各项均为正数的等比数列{a n }，由a 2a 6＝4＝a 42，即a 4＝2， ∵a 3＝1， ∴q ＝2，a 1=14，∴a n =14×2n ﹣1＝2n ﹣3，S n =14(1−2n)1−2=2n ﹣2−14，∴（S n +94）2＝（2n ﹣2+2）2＝22（n ﹣2）+4×2n ﹣2+4，∴(S n +94)22a n=22(n−2)+4×2n−2+42n−2=2n ﹣2+42n−2+4≥2√2n−2⋅42n−2+4＝4+4＝8，当且仅当n ＝3时取等号，故答案为：8．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17．（10分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，其中MN ∥x 轴． （1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）的图像，求g(π8)的值．解：（1）根据函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得函数的图象关于直线x =−π2−π62=−π3对称，5π12+π3=34×2πω，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×5π12+φ＝0，求得φ=−5π6， 故函数f （x ）＝sin （2x −5π6）． （2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，可得y ＝sin （2x −π2−5π6）＝sin （2x −4π3）＝sin （2x +2π3）的图象；再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）＝sin （2x +2π3）+2的图像． 故g(π8)=sin 11π12+2＝sin π12+2＝sin （π3−π4）+2＝（sin π3cos π4−cos π3sin π4）+2＝（√32×√22−12×√22）+2=√6−√24+2．18．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根，求cos C 的值． 解：（1）∵（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，∴利用正弦定理化简得：（a +b ）（a ﹣b ）＝c （c ﹣b ），即b 2+c 2﹣a 2＝bc ， ∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，∵A ∈（0，π），∴A =π3．（2）∵x 2−2x +99100=0，解得：x 1=910，x 2=1110， ∵由sin B ≤1，得到sin B =910，可得cos B ＝±√1−sin 2B =±√1910， ∴cos C ＝﹣cos （A +B ）＝sin A sin B ﹣cos A cos B =√32×910−12×（±√1910）=9√3±√1920． 19．（12分）函数y ＝2sin x ﹣1在（0，+∞）上的零点从小到大排列后构成数列{a n }． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ． 解：（1）函数y ＝2sin x ﹣1的最小正周期为2π， 函数y ＝2sin x ﹣1在（0，2π）上的零点分别为π6，5π6，数列{a 2n ﹣1} 是以π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为奇数时，a n =π6+n−12d =nπ−5π6； 数列{a 2n } 是以5π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为偶数时，a n =5π6+n−22d =nπ−7π6． 综上a n ={nπ−5π6，n 为奇数nπ−7π6，n 为偶数；（2）b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ＝4n π﹣3π， S n =(b 1+b n )n2=n(2n −1)π． 20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD ＝O 1，AC ∩MN ＝G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND ．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面P AG？证明你的结论；（2）当四棱锥P﹣MNDB体积最大时，求点B到面PDG的距离；（3）在（2）的条件下，在线段P A上是否存在一点Q，使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为√2929若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．解：（1）在翻折过程中总有平面PBD⊥平面P AG，证明：折叠前，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，由于M，N分别是边BC，CD的中点，所以MN∥BD，所以MN⊥AC，折叠过程中，MN⊥GP，MN⊥GA，GP∩GA＝G，GP，GA⊂平面P AG，所以MN⊥平面P AG，所以BD⊥平面P AG，由于BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面P AG．（2）当平面PMN⊥平面MNDB时，四棱锥P﹣MNDB体积最大，由于平面PMN∩平面MNDB＝MN，GP⊂平面PMN，GP⊥MN，所以GP⊥平面MNDB，由于AG⊂平面MNDB，所以GP⊥AG，菱形ABCD边长为4，且∠DAB＝60°，所以BD＝4，AC=2√3，PG＝CG=√3，在Rt△O1DG中，DG=√22+(√3)2=√7，所以S△PGD=12×√7×√3=√212，S△BDG=12×4×√3=2√3，设点B到面PDG的距离为h，则由等体积法有V B﹣PDG＝V P﹣BDG，即13S△PDG×ℎ=13S△BDG×PG，即√212ℎ=2√3×√3，所以ℎ=4√21 7，所以点B到面PDG的距离为4√21 7．（3）存在，理由如下：在点G处有GA，GM，GP两两互相垂直，则以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知P(0，0，√3)，D(√3，−2，0)，B(√3，2，0)，N(0，−1，0)，A(3√3，0，0)，PA →=(3√3，0，−√3)，设PQ ＝λP A （0≤λ≤1），则GQ →=GP →+PQ →=GP →+λPA →=(0，0，√3)+(3√3λ，0，−√3λ)=(3√3λ，0，√3−√3λ)，平面PMN 的法向量为n 1→=(1，0，0)，DQ →=(3√3λ−√3，2，√3−√3λ)，DN →=(−√3，1，0)， 设平面QDN 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)， 则{n 2→⋅DQ →=(3√3λ−√3)x +2y +(√3−√3λ)z =0n 2→⋅DN →=−√3x +y =0，故可设n 2→=(λ−1，√3λ−√3，3λ+1)， 设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ， 由于平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929， 所以cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=|λ−1|√(λ−1)+(√3λ−√3)2+(3λ+1)=√2929，解得λ=12或λ＝3（舍去），所以当Q 是P A 的中点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929．21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝3． （1）求{a n }的通项公式； （2）数列{b n }满足b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n +a n ≥52．解：（1）由S n +a n ＝3，当n ＝1时，S 1+a 1＝3，解得a 1=32；当n ≥2时，S n ﹣1+a n ﹣1＝3，相减得a n +a n ﹣a n ﹣1＝0，即a n a n−1=12，∴数列{a n }是以32为首项，12为公比的等比数列，故a n =32n ，验证n ＝1时成立， 故a n =32n ； （2）b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，故b n =b n b n−1⋅b n−1b n−2⋅⋯⋅b 2b 1⋅b 1=(12)n−1(n+1n ⋅n n−1⋅n−1n−2⋅⋯⋅32)×1=n+12n （n ≥2）， b 1＝1适合上式，则b n =n+12n ． ∴T n =22+322+423+⋯+n+12n ， 12T n =222+323+424+⋯+n+12n+1，两式相减可得： 12T n =1+122+123+124+⋯+12n−n+12n+1=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1，∴T n =3−n+32n ，T n +a n =3−n 2n ． 令c n =n 2n ，c n+1−c n =n+12n+1−n 2n =−n+12n+1，n ∈N *， 故c 1＝c 2，且c n+1−c n =−n+12n+1＜0，n ≥2，n ∈N *， c n 是从第二项开始单调递减数列，得(c n )max =c 1=c 2=12．故T n +a n =3−n 2n ≥3−12=52． 22．（12分）已知函数h （x ）＝ln （2ex ﹣e ），g （x ）＝2ax ﹣2a ，a ∈R ．（1）若曲线f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y +1＝0平行，求函数f （x ）的极值；（2）已知f （x ）＝h （x ）﹣g （x ），若f （x ）＜1+a 恒成立．求证：对任意正整数n ＞1，都有∑ln 2n k=1k 54＜n(n +1)．解：（1）由f （x ）＝ln （2ex ﹣e ）﹣2ax +2a ，可得f ′(x)=22x−1−2a ， 由条件可得f ′（1）＝2﹣2a ＝1，即a =12，则f(x)=ln(2x −1)−x +2，f ′(x)=22x−1−1=−(2x−3)2x−1(x ＞12)，令f′（x）＝0可得x=3 2，当x＞32时，f′（x）＜0，当12＜x＜32时，f′（x）＞0．所以f（x）在(32，+∞)上单调递减，在(12，32)上单调递增，所以f（x）的极大值为f(32)=ln2−32+2=ln2+12，无极小值．（2）证明：f（x）＜1+a，即ln（2x﹣1）﹣a（2x﹣1）＜0对任意的x＞12恒成立，即a（2x﹣1）＞ln（2x﹣1），其中x＞1 2，令t＝2x﹣1＞0，则at＞lnt，即at＞lnt⇒a＞lnt t，构造函数g(t)=lntt，则g′(t)=1−lnt2，令g′（t）＝0，得t＝e，列表如下：所以函数y＝g（t）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），所以g(t)max=g(e)=1 e ，所以a＞1 e ，即a＞1e时，ln（2x﹣1）＜a（2x﹣1）恒成立，取a=25，则ln(2x−1)＜2(2x−1)5对任意的x＞12恒成立，令k＝2x﹣1（k∈N*），则lnk＜2k 5，所以ln1+ln2+ln3+⋯+ln(2n)＜25(1+2+3+⋯+2n)=2n(1+2n)5＜4n(n+1)5，所以∑2n k=154lnk＜n(n+1)，即∑ln2nk=1k54＜n(n+1)．。
河北省武邑中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
河北武邑中学2021-2021学年高一上学期期中考试数学试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两局部，共4页，考试结束后，将答题纸和机读卡一并交回.考前须知：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名､准考证号填写清楚，请认真核准准考证号､姓名和科目.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.第I 卷：选择题(60分)一､选择题(本卷共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1.全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3}A =，{}2680B x x x =-+=∣，那么集合()U A B ⋂=〔 〕A.{4,6}B.{2,4}C.{2}D.{4} 2.命题2:,210p x R x ∀∈+>，那么命题p 的否认是〔 〕A .2,210x R x ∀∈+B .2,210x R x ∃∈+>C .2,210x R x ∃∈+<D .2,210x R x ∃∈+3.以下函数中，既是奇函数又在区间(0,)∞+上是增函数的是〔 〕 A.1y x =B.2y x =C.2y x =D.2x y = 4.2(1)45f x x x -=+-，那么()f x 的表达式是〔 〕A.26x x +B.287x x ++C.223x x +-D.2610x x +- 5.当1b a >时，函数和x y a =和2(1)y a x =-的图象只可能是〔 〕A .B .C .D .6.：,a b R ∈，且211a b +=，那么2a b +取到最小值时，a b +=〔 〕 A.9 B.6 C.4 D.37.函数()f x 是定义在R 上的偶函数且在[)0,∞+上减函数，(2)1f -=，那么不等式()11f x -<的解集〔 〕A.{3}x x >∣B.{1}x x <-∣C.{13}x x -<<∣D.{3x x >∣或1}x <- 8.设1111222b a ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么〔 〕 A.a b a a a b <<B.a a b a b a <<C.b a a a a b <<D.b a a a a b <<二、多项选择题：全部选对得5分，局部选对得3分，有选错的得0分，共计20分. 9.以下说法错误的选项是〔 〕A.在直角坐标平面内，第一､三象限的点的集合为{(,)0}x y xy >∣B.方程2|2|0x y -++=的解集为{2,2}-C.集合{(,)1}x y y x =-∣与{1}x y x =-∣是相等的D.假设{11}A x Zx =∈-∣，那么 1.1A -∈ 10.对于函数3()(,,)f x ax bx c a b R c Z =++∈∈选取,,a b c 的一组值去计算(1)f -和(1)f 所得出的正确结果可能为〔 〕A.2和6B.3和9C.4和11D.5和1311.命题2:,40p x R x ax ∀∈++>，那么命题p 成立的一个充分不必要条件可以是〔 〕A.[1,1]a ∈-B.(4,4)a ∈-C.[4,4]a ∈-D.{0}a ∈12.定义一种运算：,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，设()2()52|1|f x x x x =+-⊗-，那么下面结论中正确的选项是〔 〕A.函数()f x 的图像关于直线1x =对称B.函数()f x 的值域是[2,)∞+C.函数()f x 的单调递减的区间是(,1]∞--和[1,3]D.函数()f x 的图像与直线6y =有三个公共点.第II 卷：非选择题(90分)三､填空题：(本大题共4小题，每题5分，共20分) 13.()0125357(0.064)28--⎛⎫--+= ⎪⎝⎭__________.14.5(7),()()(4)(7)x x f x x N f x x -≥⎧=∈⎨+<⎩，那么(3)f =__________. 15.假设幂函数()22233m m m m x ----的图象与y 轴无交点，那么实数m 的值为__________. 16.1?几何原本?中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理､定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明〞.设0,0a b >>，称2ab a b+为a ，b 的调和平均数.如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结,,OD AD BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，那么图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数2a b +，线段CD 的长度是a ，b 的几何平均数ab ，线段__________的长度是a ，b 的调和平均数2ab a b +，该图形可以完美证明三者的大小关系为__________.(此题第一空3分，第二空2分)四､解答题：(本大题总分值70分，每题要求写出详细的解答过程否那么扣分)17.(本小题总分值10分)函数2()1x f x x -=-的定义域为集合A ，函数22()31m x x g x --=-的值域为集合B ， 〔1〕求集合A ，B ；〔2〕假设A B B ⋃=，求实数m 的取值范围18.(本小题总分值12分)幂函数()21()57()m f x m m xm R --=-+∈为偶函数. 〔1〕求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值： 〔2〕假设(21)()f a f a +=，求实数a 的值.19.(本小题总分值12分)函数()121x a f x =+-是奇函数，其中a 是常数. 〔1〕求函数()f x 的定义域和a 的值；〔2〕假设()3f x >，求实数x 的取值范围.20.(本小题总分值12分)某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如下图)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.〔1〕设计污水处理池的宽为x ，总造价为y ，求x 关于y 的表达式，并求出y 的最小值； 〔2〕假设由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.21.(本小题总分值12分)函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2()f x x x =+.〔1〕求函数()g x 的解析式；〔2〕1λ≤-，假设()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.22.(本小题总分值12分)函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[0,3]上有最大值5和最小值1.〔1〕求()g x ；〔2〕()1()g x f x x -=，假设不等式()220x x f k -⋅≥在[2,1]x ∈--上恒成立，求实数k 的取值范x 围；河北武中学2021-2021学年高一上学期期中考试数学试题(理)答案一､选择题，每题5分1-4DDBA5-8ABDC二､多项选择题，每题5分9.BCD10.ABD11.AD12.ABCD三､填空题，每题5分 13.7414.215.1-16.DE ；22ab a b a b +≤≤+ 四､解答题17.解：〔1〕解：由题意得{12}A xx =<≤∣， 〔2〕由A B B ⋃=，得A B ⊆，即1123m +-+≥，即133m +≥，所以0m ≥.18.〔1〕由2571m m -+=得2m =或3；当2m =时，3()f x x -=是奇函数，∴不满足当3m =时，4()f x x -∴=，满足题意， ∴函数()f x 的解析式4()f x x -=，〔2〕由4()f x x -=和(21)()f a f a +=可得|21|||a a +=即21a a +=或21a a +=-，1a ∴=-或13a =-. 19.解：〔1〕由210x -≠，得函数()f x 的定义域为{,0}xx R x ∈≠∣且， 由()f x 是奇函数，得112121x x a a -+=----，所以2a = 〔2〕由〔1〕知2()121x f x =+-，由()3f x >，得1121x >- 当0x <时，21,210x x <-<，1121x >-不成立， 当0x >时，211,1x x -<<，所以实数x 的取值范围是(0,1).20.解：〔1〕设污水处理池的宽为x ，那么长为162x 米 总造价2162()4002248280162f x x x x ⨯⎛⎫=⨯++⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 129621296038880⨯=(元) 当且仅当100(0)x x x=>，即10x =时取等号 ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38880元.〔2〕由限制条件知016162016x x <⎧⎪⎨<≤⎪⎩，81168x ∴设10081()168g x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x 在81,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 当818x =时(此时16216x =)，()g x 有最小值，即()f x 有最小值， 即为8180012961296038882881⎛⎫⨯++=⎪⎝⎭(元) ∴当污水处理池的长为16米，宽为米818时总造价最低，总造价最低为38882元 21.解：〔1〕设函数()y f x =的图象上任一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(,)P x y ， 那么000202x x y y ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，即00x x y y =-⎧⎨=-⎩，.点()00,Q x y 在()y f x =上， 2()()y x x ∴-=-+-，即2y x x =-+，故2()g x x x =-+(也可利用图像特定系数求解析式)〔2〕由〔1〕知2()(1)(1)1h x x x λλ=-++-+当1λ=-时，()21h x x =+满足条件；当1λ<-时，对称轴12(1)x λλ-=+，且开口向上；令112(1)λλ-≤-+得31λ-≤<- 综上：31λ-≤≤-22.解：〔1〕2()(1)1g x a x b a =-++- 因为0a >，所以()g x 在区间上[]0,1是减函数，在区间上[]1,3是增函数，在1x =处取最小，在3x =处取最大，故119615a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩. 得21()22a b g x x x ==∴=-+ 〔2〕由〔1〕可得1()2f x x x=+-. 所以()220x x f k -⋅≥可化为12222x x x k +-≥⋅ 化为2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭令12x t =，那么221k t t ≤-+，因[2,1]x ∈--，故[2,4]t ∈， 记2()21h t t t =-+，[2,4]t ∈因为，故min ()1h t =，所以k 的取值范围是(,1]∞-.。
河北省衡水市武邑武罗学校2021届高三年级上学期期中考试数学试题(解析版)
绝密★启用前河北省衡水市武邑武罗学校2021届高三年级上学期期中教学质量检测数学试题(解析版)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.1-8是单选，9-12是多选，全部选对得5分，选对但不全对的得3分，有选错的得0分)1.集合A={x|2lg x<1}，B={x|x 2-9≤0}，则A ∩B= ( )A.[-3，3]B.(0，√10)C.(0.3]D.[-3，√10)【解析】选C.因为集合A={x|2lg x<1}={x|0<x<√10}，B={x|x 2-9≤0}={x|-3≤x ≤3}，所以A ∩B={x|0<x ≤3}=(0，3].2.函数f(x)=√2+ln(2x+1)的定义域为( ) A.， B.， C.， D.，【解析】选D.要使函数f(x)=√4−x 2+ln(2x+1)有意义，需满足，解得-12<x ，2，即函数的定义域为，.3设f(x)=()121,1x x x <<-≥⎪⎩若f(a)=f(a+1)，则f 1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭= ( ) A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选C.由x ≥1时，函数f(x)为一次函数，得0<a<1，由f(a)=f(a+1)得，解得a=14，则f 1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=f(4)=2(4-1)=6. 4设函数f(x)是R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x +x-3，则f(x)的零点个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为函数f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点;当x>0时，令f(x)=e x +x-3=0，则e x =-x+3，分别画出函数y=e x 和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)有一个零点，又根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3个.5知f(x)=，是(-∞，+∞)上的减，数，那，a 的取值范围是( )A.(0，1)B.，C.，D.， 【解析】选C.因为f(x)在R 上单调递减，所以，解得17，a<，.6已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1处取极值10，则a= ( )A.4或-3B.4或-11C.4D.-3 【解析】选C.因为f(x)=x 3+ax 2+bx+a 2，所以f ′(x)=3x 2+2ax+b.由题意得，即，，解得{a =−3b =3，或{a =4b =−11. 当{a =−3b =3时，f ′(x)=3x 2-6x+3=3(x-1)2≥0，故函数f(x)单调递增，无极值不符合题意.所以a=4.7知函数f(x)是定义在R 上的单调函数，且对任意的实数x ，都有f[f(x)-e x ]=e+1(e 是自然对数的底数)，则f(ln 2)= ( )A.1B.e+1C.e+3D.3【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R 上的单调函数，不妨设f(c)=e+1，所以f(x)-e x =c ，f(x)=e x +c.所以f(c)=e c +c=e+1.所以c=1.8.若0<x 1<x 2<1，则 ( )A.e x 2-e x 1>ln x 2-ln x 1B.e x 2-e x 1<ln x 2-ln x 1。
河北省武邑中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
河北省武邑中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3}A =，{}2680B xx x =-+=∣，则集合()UA B =（ ）A ．{4,6}B ．{2,4}C ．{2}D ．{4}2．已知命题:p x R ∀∈，2210x +>，命题p 的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2210x +≤ B ．x R ∃∈，2210x +> C ．x R ∃∈，2210x +<D ．x R ∃∈，2210x +≤3．下列函数中，既是奇函数又在区间()0+∞，上是增函数的是（ ） A ．1y x=B ．2y x =C ．2yx D ．2x y =4．已知()1f x -=245x x +-，则()f x 的表达式是（ ） A ．2 6x x + B ．2 87x x ++ C ．2 23x x +-D ．2 610x x +-5．当1a >时，函数x y a =和()21y a x =-的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知：,a b R +∈，且211a b+=，则2a b +取到最小值时，a b +=（ ） A ．9B ．6C ．4D ．37．函数()f x 是定义在R 上的偶函数且在[)0,+∞上减函数，(2)1f -=，则不等式()11f x -<的解集（ ）A ．{3}xx >∣ B ．{1}xx <-∣ C ．{13}x x -<<∣D ．{3xx >∣或1}x <- 8．设1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a a b <<二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．在直角坐标平面内，第一､三象限的点的集合为{(,)0}x y xy >∣B ．方程220x y -++=的解集为{2,2}-C ．集合{(,)1}x y y x =-∣与{1}x y x =-∣是相等的 D ．若{11}A x Zx =∈-∣，则 1.1A -∈ 10．对于函数()()3,,f x ax bx c a b R c Z =++∈∈选取,,a b c 的一组值去计算(1)f -和(1)f 所得出的正确结果可能为（ ） A ．2和6B ．3和9C ．4和11D ．5和1311．已知命题2:,40p x R x ax ∀∈++>，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ） A ．[1,1]a ∈-B ．(4,4)a ∈-C ．[4,4]a ∈-D ．{}0a ∈12．定义一种运算：,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，设()2()52|1|f x x x x =+-⊗-，则下面结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称B ．函数()f x 的值域是[2,)+∞C ．函数()f x 的单调递减的区间是(,1]-∞-和[1,3]D ．函数()f x 的图象与直线6y =有三个公共点.三、填空题13．()125357(0.064)28--⎛⎫--+= ⎪⎝⎭__________.14．已知()()()()()5,74,7x x f x x N f x x ⎧-≥⎪=∈⎨+<⎪⎩，那么()3f =_______． 15．若幂函数()()22233m m f x m m x--=--的图象与y 轴无交点，则实数m 的值为__________.四、双空题16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设00a b ＞，＞，称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC =a ，CB =b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数2a b+，线段CD 的长度是a ，b 线段___________的长度是a ，b 的调和平均数2aba b+，该图形可以完美证明三者的大小关系为___________．五、解答题17．已知函数()f x =A ，函数()2231m x x g x --=-的值域为集合B .（1）求集合A 、B ；（2）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围18．已知幂函数f （x ）=（m 2–5m +7）x –m –1（m ∈R ）为偶函数． （1）求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）若f （2a +1）=f （a ），求实数a 的值．19．已知函数()121xaf x =+-是奇函数，其中a 是常数. （1）求函数()f x 的定义域和a 的值；（2）若()3f x >，求实数x 的取值范围.20．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）设计污水处理池的宽为x ，总造价为y ，求x 关于y 的表达式，并求出y 的最小值；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.21．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2()f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式；（2）已知1λ≤-，若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.22．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[0,3]上有最大值5和最小值1. （1）求()g x ； （2）()1()g x f x x-=，若不等式()220x xf k -⋅≥在[2,1]x ∈--上恒成立，求实数k 的取值范围；参考答案1．D 【分析】先利用补集运算求得集合A 的补集，再利用交集运算求解. 【详解】因为全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3}A =， 所以(){}1,4,5,6UA =，又{}{}26802,4B xx x =-+==∣， 所以集合()UA B ={4}故选：D 2．D 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可． 【详解】命题:p x R ∀∈，2210x +>的否定是：x R ∃∈，2210x +≤ 故选：D 3．B 【分析】根据初等函数的奇偶性和单调性的定义对各个选项逐一进行判断即可． 【详解】 A.函数1y x=在区间()0+∞，上是减函数，不满足条件； B.函数2y x =既是奇函数又在区间()0+∞，上是增函数，满足条件； C.2yx 是偶函数，不满足条件；D.2x y =是非奇非偶函数，不满足条件； 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，属于基础题. 4．A 【分析】由已知有()1f x -=()()2245161x x x x +-=-+-，我们利用凑配法可以求出()f x 的解析式. 【详解】由()1f x -=()()2245161x x x x +-=-+-所以()26fx x x =+故选：A 【点睛】本题考查利用凑配法求函数解析式，属于基础题. 5．A 【分析】由1a >分析函数xy a =的单调性以及二次函数()21y a x =-图象的开口方向与对称轴，由此可得出合适的选项. 【详解】当1a >时，指数函数xy a =为增函数，二次函数()21y a x =-的图象开口向上，且函数()21y a x =-图象的对称轴为y 轴，因此，函数xy a =和()21y a x =-的图象只可能是A 选项中的图象.故选：A. 6．B 【分析】 根据,a b R +∈，且211a b +=，利用“1”的代换，将2a b +转化为2225b a a a bb +=++，再利用基本不等式求解. 【详解】 因为,a b R +∈，且211a b+=，所以()212252259b a a b a a b b a b ⎛⎫+=++≥+=⎪⎝+=+⎭， 当且仅当 21122a bb a ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3a b ==时，取等号，所以6a b +=， 故选：B 7．D 【分析】利用偶函数的性质()(||)f x f x =将所求不等式转化为()1(2)f x f -<，再利用()f x 的单调性解不等式即可. 【详解】因为()f x 是偶函数，所以(2)(2)1f f =-=，()11(2)fx f -<=，又()f x 在[)0,+∞上是减函数，所以|1|2x ->，解得1x <-或3x > 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题关键是利用偶函数的性质将()11f x -<转化为解不等式()1(2)f x f -<.8．C 【分析】 由111()()1222b a <<<结合指数函数的单调性得出10b a >>>，再由单调性得出b a a a <且a a a b <，即可得出答案.【详解】111()()1222b a <<<，10b a ∴>>>.b a a a ∴<且a a a b <， 故：b a a a a b <<， 故选：C.【分析】根据集合的定义依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，因为000x xy y >⎧>⇔⎨>⎩或00x y <⎧⎨<⎩，所以集合(){},0x y xy >表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A 正确；对选项B ，方程220x y -++=的解集为(){}2,2-，故B 错误；对选项C ，集合(){},1x y y x =-表示直线1y x =-上的点，集合{}1|x y x =-表示函数1y x =-中x 的取值范围， 故集合(){},1x y y x =-与{}1|x y x =-不相等，故C 错误；对选项D ，{}{}111,0,1A x Z x =∈-≤≤=-，所以 1.1A -∉， 故D 错误. 故选：BCD 10．ABD 【分析】令3()g x ax bx =+，易知()g x 是奇函数，则(1)(1)2f f c +-=，再由c Z ∈判断.【详解】令3()g x ax bx =+，又因为()33()()g x ax bx ax bx g x -=--=-+=-， 所以()g x 是奇函数，所以(1)(1)(1)(1)22f f g g c c +-=+-+=， 因为c Z ∈，所以(1)(1)f f +-为偶数， 故选：ABD 11．AD首先求得命题p 的等价条件，由此求得命题p 成立的充分不必要条件. 【详解】依题意命题2:,40p x R x ax ∀∈++>，所以2160a ∆=-<， 解得44a -<<.即命题p 的等价条件是()4,4a ∈-，命题p 成立的一个充分不必要条件是()4,4-的真子集， 所以AD 选项符合，BC 选项不符合. 故选：AD 【点睛】本小题主要考查充分不必要条件，属于基础题. 12．ABCD 【分析】根据运算的定义，作出()f x 的图象，数形结合，对每个选项逐一分析即可. 【详解】由题意，()2252,13()521=1,13x x x f x x x x x x x ⎧+--≤≤⎪=+-⊗-⎨--⎪⎩或，作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，A 正确； 函数()f x 的值域是[2,)+∞，B 正确；函数()f x 的单调递减的区间是(,1]-∞-和[1,3]，C 正确； 函数()f x 的图象与直线6y =有三个公共点，D 正确. 故选：ABCD【点睛】关键点睛：本题解题关键是化简()f x 得解析式以及作出函数的图象，考查学生数形结合思想. 13．74【分析】直接利用指数的运算法则求解. 【详解】()125357(0.064)28--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，()2135537(0.4)28--⎛⎫⎡⎤=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭，5171244=-+=， 故答案为：7414．2 【分析】根据分段函数的解析式得出()()334f f =+，再求()7f 可得解. 【详解】由5,(7)()()(4),(7)x x f x x N f x x -≥⎧=∈⎨+<⎩,因为37<，所以()()()3347752f f f =+==-=，故填：2.【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求函数值，关键在于判断自变量在分段函数的相应范围代入相应的解析式可求得函数值，属于基础题.15．1-【分析】根据函数()f x 是幂函数，由2331m m --=求得m ，再根据函数图象与y 轴无交点确定即可.【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以2331m m --=，即2340m m --=，解得 4m =或 1m =-，当 4m =时，()10f x x =，图象与y 轴有交点()0,0， 当 1m =-时，()0f x x =，图象与y 轴无交点， 所以实数m 的值为-1，故答案为：-116．DE22ab a b a b +≤≤+ 【分析】利用射影定理判断出调和平均数对应的线段，根据图象判断算术平均数、几何平均数与调和平均数的关系.【详解】依题意三角形ABD 是直角三角形，CD AB ⊥；在直角三角形OCD 中，CD OC ⊥.由射影定理得2CD AC CB ab CD =⋅=⇒=由射影定理得2CD DE OD =⋅，即22a b ab ab DE DE a b +=⋅⇒=+， 所以线段DE 的长度是,a b 的调和平均数2ab a b+.在Rt OCD △中，DE CD OD <<，即22ab a b a b +<<+，当a b =时，,,DE CD OD 重合，即22ab a b a b +==+，所以22ab a b a b +≤≤+.故答案为：DE ；22ab a b a b +≤≤+ 【点睛】本小题主要考查基本不等式，考查中国古代数学文化.17．（1）{}12A x x =<≤，(11,31m B +⎤=--⎦；（2）[)0,+∞. 【分析】（1）解不等式201x x -≥-可得集合A ，求得22m x x --的取值范围，利用指数函数的基本性质可求得函数()g x 的值域B ；（2）由A B B ⋃=可得A B ⊆，由此可得出关于实数m 的不等式，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）对于函数()f x =201x x -≥-，即201x x -≤-，解得12x <≤，即{}12A x x =<≤.()222111m x x x m m --=-+++≤+，则221033m x x m --+<≤，则()1131m g x +-<≤-，即(11,31m B +⎤=--⎦；（2）由A B B ⋃=，得A B ⊆，所以，1312m +-≥，即+133m ≥，解得0m ≥， 因此，实数m 的取值范围是[)0,+∞.18．（1）16（2）a =–1或a =–13． 【分析】(1)根据幂函数定义求m ，再根据偶函数性质进行取舍，最后求函数值，(2)根据幂函数定义域以及单调性列方程组，解得结果.【详解】（1）函数f （x ）=（m 2–5m +7）x –m –1（m ∈R ）为幂函数，∴m 2–5m +7=1，解得m =2或m =3；m =2时，f （x ）=x –3，不是偶函数，舍去；m =3时，f （x ）=x –4，为偶函数，满足题意；∴f （x ）=x –4， ∴441112212f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=16；（2）若f （2a +1）=f （a ），则（2a +1）–4=a –4， 即212100a a a a +=±⎧⎪+≠⎨⎪≠⎩，解得a =–1或a =–13． 【点睛】本题考查幂函数定义以及性质，考查基本求解能力. 19．（1）定义域为{x x R ∈∣且0}x ≠，2a =；（2）(0,1).【分析】（1）根据()f x 是奇函数，由112121x x a a -+=----恒成立求解. （2）由（1）得到2()121x f x =+-，则()3f x >，转化为1121x ->求解. 【详解】（1）由210x -≠，解得0x ≠，所以函数()f x 的定义域为{,0}xx R x ∈≠∣且， 又因为()f x 是奇函数， 所以112121x x a a -+=----， 解得2a =.（2）由（1）知2()121x f x =+-， 由()3f x >，即1121x -> 当0x <时，21,210x x <-<，1121x ->不成立， 当0x >时，211x -<，解得1x <，所以实数x 的取值范围是(0,1).20．（1）1001296129604y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，总造价最低为38880元；（2）长为16米，宽为米818时总造价最低，总造价最低为38882元.【分析】（1）污水处理池的底面积一定，设宽为x 米，可表示出长，从而得出总造价()f x ，利用基本不等式求出最小值；（2）由长和宽的限制条件，得自变量x 的范围，判断总造价函数()g x 在x 的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值．【详解】（1）设污水处理池的宽为x ，则长为162x米 总造价2162()4002248280162f x x x x ⨯⎛⎫=⨯++⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 1296100129612960x x⨯=++ 100129612960x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 129621296038880⨯=(元) 当且仅当100(0)x x x=>，即10x =时取等号 ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38880元.（2）由限制条件知016162016x x <⎧⎪⎨<≤⎪⎩，81168x ∴ 设10081()168g x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x 在81,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 当818x =时(此时16216x=)，()g x 有最小值，即()f x 有最小值， 即为8180012961296038882881⎛⎫⨯++=⎪⎝⎭(元) ∴当污水处理池的长为16米，宽为米818时总造价最低，总造价最低为38882元 21．（1）2()g x x x =-+；（2）31λ-≤≤-.【分析】（1）根据函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，在函数()y f x =的图象上任一点()00,Q x y ，设关于原点的对称点为(,)P x y ，由000202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，求得00x x y y =-⎧⎨=-⎩，在根据点()00,Q x y 在()y f x =上求解.（2）由（1）得到2()(1)(1)1h x x x λλ=-++-+，1λ=-时，满足条件；当1λ<-时，利用二次函数的单调性求解.【详解】（1）设函数()y f x =的图象上任一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(,)P x y ， 则000202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即00x x y y =-⎧⎨=-⎩，. 因为点()00,Q x y 在()y f x =上，2()()y x x ∴-=-+-，即2y x x =-+，故2()g x x x =-+.（2）由（1）知2()(1)(1)1h x x x λλ=-++-+ 当1λ=-时，()21h x x =+满足条件；当1λ<-时，对称轴12(1)x λλ-=+，且开口向上； 令112(1)λλ-≤-+得31λ-≤<- 综上：31λ-≤≤-.【点睛】方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．22．（1）2()22g x x x =-+；（2）(,1]-∞.【分析】（1）根据0a >，得到()g x 在区间上[]0,1是减函数，在区间上[]1,3是增函数求解. （2）由（1）得到1()2f x x x =+-，将()220x x f k -⋅≥在[2,1]x ∈--上恒成立，转化为2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭在[2,1]x ∈--上恒成立，令12x t =，转化为221k t t ≤-+在[2,1]x ∈--上恒成立求解.【详解】（1）2()(1)1g x a x b a =-++-，因为0a >，所以()g x 在区间上[]0,1是减函数，在区间上[]1,3是增函数，在1x =处取最小值，在3x =处取最大值，故119615a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩. 解得21()22a b g x x x ==∴=-+.（2）由（1）可得1()2f x x x =+-. 所以()220x x f k -⋅≥在[2,1]x ∈--上恒成立，可化为12222x x x k +-≥⋅在[2,1]x ∈--上恒成立， 化为2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭在[2,1]x ∈--上恒成立， 令12x t =，则221k t t ≤-+在[2,1]x ∈--上恒成立， 因为[2,1]x ∈--，故[2,4]t ∈，记2()21h t t t =-+，min ()1h t =，所以k 的取值范围是(,1]-∞.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；。
河北省武邑中学2020届高三数学上学期期中试题 文
河北武邑中学2020学年高三上学期第期中考试数学（文科）试题第Ⅰ卷一选择题、本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集{}{}{}1,3,5,7,9,11,1,5,5,9,11U A B ===，则()A B C =I U ＝A ．φB ．{1,5,9,11}C ．{9,11}D ．{5,7,9,11} 2．已知复数11iz i+=-,则复数z 的模为( ) A. 2B. 2C. 1D. 03．1,2,45,=o ABC a b B A ∆===中，则( )A.o 30B.o 60C. o 30150o 或D. o 60120o 或 4．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b >>B.b c a >>C.b a c >>D.a b c >> 5. 把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( ) A.22B.12C.24 D.146．如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为( ) A.103 B. 15 C. 110 D.1207．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( )A. 2y x =-B. y x =-C. 2y x =D. y x = 8．函数ln 1xex --的图像大致是9．已知函数f (x )为奇函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)=f (x )，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ． －4B ．－8C ．0D ．－1610．已知p ：函数y x a =-在[3,)+∞上是增函数，q ：函数lg()y x a =-在［3，＋∞）是增函数，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 ( )A.2B. 4C.6D.812．数列{}n a 中的项按顺序可以排列成右图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a a ；第三行3项，…依此类推．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足n S ＞2000的最小正整数n 的值为 A ．20 B ．21 C ．26 D ．27第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．将答案填在答题卡中的横线上 13．已知向量=(1,3),3,1)=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________ 14.若命题“()2,110x R x a x ∃∈+-+<”是假命题,则实数a 的取值范围是_________. 15.在△ABC 中，若π,24B b a ∠==，则C ∠= ．16．直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在同一球面上，若3=AB ， 4,5AC BC ==，21=AA ，则此球的表面积等于 ．三、解答：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且S a c b 334222=-+. （1）求A ； （2）若35=a ，54cos =B ,求c .18. 2020年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19．（12分）设为数列的前项和，已知，，．（Ⅰ）求证：是等差数列； （Ⅱ）设，求数列的前项和．20．（本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，左右端点为12A A ，，其中2A 的横坐标为2.过点(4,0)B 的直线交椭圆于P,Q 两点（P,Q 不与12,A A 重合），P 在Q 的左侧，点Q 关于x 轴的对称点为R ，射线1A R 与2PA 交于点M . （1）求椭圆的方程；（2）求证：M 点在直线4x =上.21．（本题满分12分）已知函数f (x )＝x ln x ．(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程] （本小题满分10分）平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为1,31x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;（2）已知与直线l 平行的直线l '过点M (2,0),且与曲线C 交于A,B 两点,试求|MA|·|MB|.23.[选修4-5:不等式选讲] （本小题满分10分）已知函数()|||1|f x x x =+-. （1）解不等式()3f x ≥；（2）若()()2f x f y +≤,求x y +的取值范围.高三文科数学期中考试答案1. B2. C3. A4. B5. D6. C7. D8. C9. A 10. B 11. D 12. B 13.6π14. 13a -≤≤ 15. 105度 16. 29π 17. 解：（1）由已知得：A bc A bc sin 21334cos 2⋅=………4分 3tan =∴A ………5分由A 是内角，∴ 060=A ………6分 （2）由54cos =B 得53in =B s ………7分 ∴10343c 23sin 21)3(si inC +=+=+=osB B B n s π………8分 由正弦定理得：343sin sin +==ACa c ………10分18. .(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.………………………4分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生3864⨯=人，女生1824⨯=人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人. ………………………6分 (ⅱ)设抽取的6名男生分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，两名女生为甲、乙； 从中抽取两人，分别记为（A ，B ）,（A ，C ）,（A ，D ）,(A,E),(A,F),(A,甲）， （A,乙），（B ，C ）,（B ，D ）,(B,E),(B,F),(B,甲），（B,乙），（C ，D ）,(C,E),(C,F) (C,甲），（C,乙），(D,E),(D,F),(D,甲），（D,乙）， (E,F),(E,甲），（E,乙），(F,甲），（F,乙），（甲,乙），共28种情形，其中一男一女包括(A,甲），（A,乙），(B,甲），（B,乙），(C,甲），（C,乙），(D,甲），（D, 乙），(E,甲），（E,乙），(F,甲），（F,乙），共12种情形 所以，所求概率123287P ==. ………………………12分19. （Ⅰ）证：当时，，代入已知得，，所以，因为，所以，所以，故是等差数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是以1为首项，1为公差的等差数列，所以从而，当时，，又适合上式，所以．所以①② ②－①得，20.【解析】（1）因为离心率为12，所以12c a = 因为2A 的横坐标为2，所以222,1,3a c b a c =∴==-=，因此椭圆的方程为22143x y +=； （2）设112222(,),(,),(,)P x y Q x y R x y -由223412x y +=与4x my =+联立，得22(34)24360m y my +++= 所以1212222436,3434m y y y y m m +=-=++ 直线212:(2)2y A R y x x -=++，直线121:(2)2yA P y x x =--， 联立解出12121212121212626()44433y y y y my y x my y y y my y y y -++==-=++++21.解： (1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1. ∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0， 即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .令h (x )＝－ln x －1，∴a ≥h (x )max ， 当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)， ∴h (x )∈(－∞，－3]，∴a ≥－3，即实数a 的取值范围是[－3，＋∞)． ……………….6分 (2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3， 即mx ≤2x ln x ＋x 2＋3，又x ＞0，∴m ≤2x ln x ＋x 2＋3x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立． 记t (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x ＝2ln x ＋x ＋3x . ∴m ≤t (x )min .∵t ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2， 令t ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－3(舍去)．当x ∈(0,1)时，t ′(x )＜0，函数t (x )在(0,1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )＞0，函数t (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴t (x )min ＝t (1)＝4.∴m ≤t (x )min ＝4，即m 的最大值为4. ……………….12分 22.解:⑴把直线l的参数方程化为普通方程为)11y x =-+.由22cos 1cos θρθ=-,可得()221cos 2cos ρθρθ-=,∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =. (5)分⑵直线l 的倾斜角为3π,∴直线l '的倾斜角也为3π,又直线l '过点M(2,0),∴直线l '的参数方程为12,22x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(t '为参数),将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=,设点A,B 对应的参数分别为1t ',2t '.由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-,1243t t ''+=. ∴16||||3MA MB ⋅= .…………10分23.解:⑴当0x ≤时,原不等式化为13x x -+-≥,解得1x ≤-,结合0x ≤,得1x ≤-. 当01x <<时,原不等式化为13x x +-≥,无解.当1x ≥时,原不等式化为13x x +-≥,解得2x ≥,结合1x ≥,得2x ≥. 综上,原不等式的解集为(][),12,-∞-+∞U ;…………5分⑵()()2f x f y +≤,即|||1||||1|2x x y y +-++-≤,又()|||1||1|1x x x x +-≥--=,()|||1||1|1y y y y +-≥--=,∴|||1||||1|2x x y y +-++-≥.∴|||1||||1|2x x y y +-++-=,且|||1||||1|1x x y y +-=+-=, ∴01x ≤≤,01y ≤≤,∴02x y ≤+≤.…………10分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河北武邑中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题第I 卷：选择题(60分)一､选择题(本卷共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3}A =，{}2680B xx x =-+=∣，则集合()UA B ⋂=（ ） A.{4,6}B.{2,4}C.{2}D.{4}2.已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则命题p 的否定是（ ） A .2,210x R x ∀∈+ B .2,210x R x ∃∈+>C .2,210x R x ∃∈+<D .2,210x R x ∃∈+3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)∞+上是增函数的是（ ） A.1y x=B.2y x =C.2y x =D.2x y =4.已知2(1)45f x x x -=+-，则()f x 的表达式是（ ） A.26x x +B.287x x ++C.223x x +-D.2610x x +-5.当1b a >时，函数和x y a =和2(1)y a x =-的图象只可能是（ ）A .B .C .D .6.已知：,a b R ∈，且211a b+=，则2a b +取到最小值时，a b +=（ ） A.9B.6C.4D.37.函数()f x 是定义在R 上的偶函数且在[)0,∞+上减函数，(2)1f -=，则不等式()11f x -<的解集（ ）A.{3}xx >∣B.{1}xx <-∣C.{13}xx -<<∣D.{3xx >∣或1}x <- 8.设1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（ ）A.a b a a a b <<B.a a b a b a <<C.b a a a a b <<D.b a a a a b <<二、多项选择题：全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分，共计20分. 9.下列说法错误的是（ ）A.在直角坐标平面内，第一､三象限的点的集合为{(,)0}x y xy >∣B.方程2|2|0x y -++=的解集为{2,2}-C.集合{(,)1}x y y x =-∣与{1}x y x =-∣是相等的D.若{11}A x Zx =∈-∣，则 1.1A -∈ 10.对于函数3()(,,)f x ax bx c a b R c Z =++∈∈选取,,a b c 的一组值去计算(1)f -和(1)f 所得出的正确结果可能为（ ） A.2和6B.3和9C.4和11D.5和1311.已知命题2:,40p x R x ax ∀∈++>，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A.[1,1]a ∈- B.(4,4)a ∈-C.[4,4]a ∈-D.{0}a ∈12.定义一种运算：,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，设()2()52|1|f x x x x =+-⊗-，则下面结论中正确的是（ ）A.函数()f x 的图像关于直线1x =对称B.函数()f x 的值域是[2,)∞+C.函数()f x 的单调递减的区间是(,1]∞--和[1,3]D.函数()f x 的图像与直线6y =有三个公共点.第II 卷：非选择题(90分)三､填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.()125357(0.064)28--⎛⎫--+= ⎪⎝⎭__________.14.已知5(7),()()(4)(7)x x f x x N f x x -≥⎧=∈⎨+<⎩，那么(3)f =__________.15.若幂函数()22233m m m m x----的图象与y 轴无交点，则实数m 的值为__________.16.1《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理､定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设0,0a b >>，称2aba b+为a ，b 的调和平均数.如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结,,OD AD BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数2a b+，线段CD 的长度是a ，b 的几何平均数ab ，线段__________的长度是a ，b 的调和平均数2aba b+，该图形可以完美证明三者的大小关系为__________.(本题第一空3分，第二空2分)四､解答题：(本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分) 17.(本小题满分10分) 已知函数2()1xf x x -=-的定义域为集合A ，函数22()31m x x g x --=-的值域为集合B ， （1）求集合A ，B ；（2）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围 18.(本小题满分12分)已知幂函数()21()57()m f x m m x m R --=-+∈为偶函数.（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值： （2）若(21)()f a f a +=，求实数a 的值. 19.(本小题满分12分)已知函数()121xaf x =+-是奇函数，其中a 是常数. （1）求函数()f x 的定义域和a 的值； （2）若()3f x >，求实数x 的取值范围. 20.(本小题满分12分)某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）设计污水处理池的宽为x ，总造价为y ，求x 关于y 的表达式，并求出y 的最小值； （2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 21.(本小题满分12分)已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2()f x x x=+.（1）求函数()g x 的解析式；（2）已知1λ≤-，若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围. 22.(本小题满分12分)已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[0,3]上有最大值5和最小值1. （1）求()g x ； （2）()1()g x f x x-=，若不等式()220x xf k -⋅≥在[2,1]x ∈--上恒成立，求实数k 的取值范x 围；河北武中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题(理)答案一､选择题，每题5分1-4DDBA 5-8ABDC二､多选题，每题5分 9.BCD 10.ABD 11.AD 12.ABCD三､填空题，每题5分 13.7414.2 15.1-16.DE ；22ab a ba b +≤≤+ 四､解答题17.解：（1）解：由题意得{12}A xx =<≤∣， (11,13m B +⎤=--+⎦（2）由A B B ⋃=，得A B ⊆， 即1123m +-+≥， 即133m +≥，所以0m ≥.18.（1）由2571m m -+=得2m =或3； 当2m =时，3()f x x -=是奇函数，∴不满足当3m =时，4()f x x -∴=，满足题意，∴函数()f x 的解析式4()f x x -=，4111622f -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由4()f x x -=和(21)()f a f a +=可得|21|||a a +=即21a a +=或21a a +=-，1a ∴=-或13a =-.19.解：（1）由210x -≠，得函数()f x 的定义域为{,0}xx R x ∈≠∣且， 由()f x 是奇函数，得112121x xa a-+=----，所以2a = （2）由（1）知2()121xf x =+-，由()3f x >，得1121x >- 当0x <时，21,210x x<-<，1121x>-不成立， 当0x >时，211,1xx -<<， 所以实数x 的取值范围是(0,1).20.解：（1）设污水处理池的宽为x ，则长为162x米 总造价2162()4002248280162f x x x x ⨯⎛⎫=⨯++⨯+⨯ ⎪⎝⎭1296100129612960x x⨯=++ 1001296129604x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭129621296038880⨯=(元) 当且仅当100(0)x x x=>，即10x =时取等号 ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38880元.（2）由限制条件知016162016x x <⎧⎪⎨<≤⎪⎩，81168x ∴ 设10081()168g x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()g x 在81,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 当818x =时(此时16216x=)，()g x 有最小值，即()f x 有最小值， 即为8180012961296038882881⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭(元)∴当污水处理池的长为16米，宽为米818时总造价最低，总造价最低为38882元 21.解：（1）设函数()y f x =的图象上任一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(,)P x y ，则00022x xy y ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，即00x x y y =-⎧⎨=-⎩，.点()00,Q x y 在()y f x =上，2()()y x x ∴-=-+-，即2y x x =-+，故2()g x x x =-+(也可利用图像特定系数求解析式)（2）由（1）知2()(1)(1)1h x x x λλ=-++-+ 当1λ=-时，()21h x x =+满足条件； 当1λ<-时，对称轴12(1)x λλ-=+，且开口向上；令112(1)λλ-≤-+得31λ-≤<- 综上：31λ-≤≤-22.解：（1）2()(1)1g x a x b a =-++-因为0a >，所以()g x 在区间上[]0,1是减函数，在区间上[]1,3是增函数， 在1x =处取最小，在3x =处取最大，故119615a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩.得21()22a b g x x x ==∴=-+（2）由（1）可得1()2f x x x=+-. 所以()220x x f k -⋅≥可化为12222x xx k +-≥⋅化为2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭令12x t =，则221k t t ≤-+，因[2,1]x ∈--，故[2,4]t ∈， 记2()21h t t t =-+，[2,4]t ∈因为，故min ()1h t =，所以k 的取值范围是(,1]∞-.。