天津市2018年高考数学二轮复习题型练2选择检测文20171214349
2018年天津市部分区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合M＝{2，3，4，5}，集合N＝{4，5，6}，则集合∁U（M∩N）＝（）A．{1，2，3，5}B．{2，3，6，7}C．{1，2，3，5，6，7}D．{1，2，3，6，7}2．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为（）A．6B．4C．3D．23．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．15B．37C．83D．1774．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝，且它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．5．（5分）设x∈R，则“x＞﹣1”是“|x﹣5|＜4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知向量与的夹角为120°，||＝5，||＝2，若＝，且＝﹣6，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．D．7．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间[0，]上单调递增，则实数φ的取值范围是（）A．[﹣]B．[）C．（]D．（0，] 8．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f（x）＝lnx，记a＝f（（）），b＝﹣f（），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝2﹣3i，则z的虚部为．10．（5分）已知函数f（x）＝，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）＝．11．（5分）已知直线k（x+1）+y+2＝0恒过定点C，且以C为圆心，5为半径的圆与直线3x+4y+1＝0相交于A、B两点，则弦AB的长为．12．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．13．（5分）已知函数y＝a log2x﹣b（a＞0，b＞0）的图象过点（），则的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝﹣f（x）+b在区间[﹣2，6]内有3个零点，则实数b的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c＝6，b＝2，cos B＝．（Ⅰ）求c和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）的值．16．（13分）某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D．现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名．（Ⅰ）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；（Ⅱ）求教师A1被选中的概率；（Ⅲ）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率．17．（13分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，直线FC⊥平面ABCD，ED∥FC，点G为AB的中点，且FC＝AB＝2ED＝2CD＝2，∠ABC＝60°．（Ⅰ）求证：AE∥平面GCF；（Ⅱ）求证：平面ACF⊥平面BCF；（Ⅲ）求直线FB与平面ADE所成角的正弦值．18．（13分）已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1+a2，a3＝2b3﹣6．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，证明：．19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线y＝k（x﹣1）（k＞0）与椭圆C相交于A、B两点，且与x轴，y 轴交于M、N两点．（i）若＝，求k的值；（ii）若点Q的坐标为（），求证：为定值．20．（14分）设函数f（x）＝2lnx+，g（x）＝2x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）在（0，e2]上恰有2个零点，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＝1时，若h（x）＝f（x）+2g（x）时，若对任意的正整数n在区间[]上始终存在m+5个数使得h（a1）+h（a2）+h（a3）+…+h（a m）＜h（a m+1）+h（a m+2）+h（a m+3）+h（a m+4）+h（a m+5）成立，试问：正整数m是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，；若不存在，说明理由．2018年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合M＝{2，3，4，5}，集合N＝{4，5，6}，则集合∁U（M∩N）＝（）A．{1，2，3，5}B．{2，3，6，7}C．{1，2，3，5，6，7}D．{1，2，3，6，7}【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合M＝{2，3，4，5}，集合N＝{4，5，6}，∴M∩N＝{4，5}，集合∁U（M∩N）＝{1，2，3，6，7}．故选：D．2．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为（）A．6B．4C．3D．2【解答】解：由变量x、y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为2×1+1＝3．故选：C．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．15B．37C．83D．177【解答】解：当i＝1时，不满足退出循环的条件：S＝1，i＝3；当i＝3时，不满足退出循环的条件：S＝5，i＝5；当i＝5时，不满足退出循环的条件：S＝15，i＝7；当i＝7时，不满足退出循环的条件：S＝37，i＝9；当i＝9时，满足退出循环的条件，故输出的S值为37，故选：B．4．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝，且它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线l：x＝﹣6上，∴，解得a＝3，b＝3，∴双曲线方程为．故选：C．5．（5分）设x∈R，则“x＞﹣1”是“|x﹣5|＜4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“|x﹣5|＜4”⇔﹣4＜x﹣5＜4⇔1＜x＜9，∴“x＞﹣1”是“|x﹣5|＜4”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）已知向量与的夹角为120°，||＝5，||＝2，若＝，且＝﹣6，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：，，；∴＝＝﹣25λ﹣5（λ﹣1）+4＝﹣6；解得．故选：B．7．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间[0，]上单调递增，则实数φ的取值范围是（）A．[﹣]B．[）C．（]D．（0，]【解答】解：将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），若g（x）在区间[0，]上单调递增，则2kπ﹣≤2x﹣2φ≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣+2φ≤2x≤2kπ++2φ，k∈Z，即kπ﹣+φ≤x≤kπ++φ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣+φ，kπ++φ]，k∈Z，∵若g（x）在区间[0，]上单调递增，∴满足，即，则﹣kπ﹣≤φ≤﹣kπ+，k∈Z，当k＝0时，﹣≤φ≤，又因为：0＜φ＜所以φ的取值范围是（0，]，故选：D．8．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f（x）＝lnx，记a＝f（（）），b＝﹣f（），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【解答】解：x＞0时，f（x）＝lnx；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；∵f（x）是定义在R上的奇函数；＝；，；∴；∴；∴a＜b＜c；即c＞b＞a．故选：A．二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝2﹣3i，则z的虚部为．【解答】解：由z（1+i）＝2﹣3i，得，则z的虚部为．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）＝，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）＝．【解答】解：；∴．故答案为：．11．（5分）已知直线k（x+1）+y+2＝0恒过定点C，且以C为圆心，5为半径的圆与直线3x+4y+1＝0相交于A、B两点，则弦AB的长为2．【解答】解：由得，即直线恒过定点C（﹣1，﹣2），以C为圆心，5为半径的圆的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝25，圆心到直线的距离d＝＝，则AB的长度为|AB|＝2＝2＝2，故答案为：212．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为四棱锥，下部为半个圆柱的组合体，四棱锥的高为2，底面矩形的宽为2，长为4，圆柱的高为4，底面半径为1，∴该组合体的体积为V＝×2×4×2+×π×12×4＝+2π．故答案为：+2π．13．（5分）已知函数y＝a log2x﹣b（a＞0，b＞0）的图象过点（），则的最小值为9．【解答】解：∵函数y＝a log2x﹣b（a＞0，b＞0）的图象过点（），∴a log2﹣b＝﹣1⇒2a+b＝1，∴＝（2a+b）（）＝4++1+，（当且仅当，即a＝b时取等号）．故答案为：9．14．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝﹣f （x）+b在区间[﹣2，6]内有3个零点，则实数b的取值范围是（]．【解答】解：若0≤x≤2，则﹣2≤x﹣2≤0，∴f（x）＝f（x﹣2）＝1﹣|x﹣2+1|＝1﹣|x﹣1|，0≤x≤2．若2≤x≤4，则0≤x﹣2≤2，∴f（x）＝f（x﹣2）＝1﹣|x﹣2﹣1|＝1﹣|x﹣3|，2≤x≤4．若4≤x≤6，则2≤x﹣2≤4，∴f（x）＝f（x﹣2）＝1﹣|x﹣2﹣3|＝1﹣|x﹣5|，4≤x≤6．∴f（1）＝1，f（2）＝0，f（3）＝1，f（5）＝1，设y＝f（x）和y＝x+b，则方程f（x）＝x+b在区间[﹣2，6]内有3个不等实根，等价为函数y＝f（x）和y＝x+b在区间[﹣2，6]内有3个不同的零点．作出函数f（x）和y＝x+b的图象，如图：当直线经过点F（4，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y＝x+b为y＝x﹣，当直线经过点D（5，1），E（2，0）时，两个图象有3个交点；当直线经过点O（0，0）和C（3，1）时，两个图象有3个交点，此时直线y＝x+b为y＝x，当直线经过点B（1，1）和A（﹣2，0）时，两个图象有3个交点，此时直线y＝x+b为y＝x+，∴要使方程f（x）＝x+b，两个图象有3个交点，在区间[﹣2，6]内有3个不等实根，则b∈（]，故答案为：（]．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c＝6，b＝2，cos B＝．（Ⅰ）求c和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）得b2＝（a+c）2﹣2ac（1+cos B），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又a+c＝6，b＝2，cos B＝，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）在△ABC中，sin B＝＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由正弦定理得sin A＝＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴c＝3，sin A＝；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）因a＝c，则A为锐角，所以cos A＝＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴sin2A＝2sin A cos A＝2××＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2×＝﹣；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝×﹣（﹣）×＝…（13分）16．（13分）某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D．现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名．（Ⅰ）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；（Ⅱ）求教师A1被选中的概率；（Ⅲ）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D．从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大政策宣讲团，组成人员的全部可能结果有12种，分别为：{A1，B1，C}，{A1，B1，D}，{A1，B2，C}，{A1，B2，D}，{A1，C，D}，{A2，B1，C}，{A2，B1，D}，{A2，B2，C}，{A2，B2，D}，{A2，C，D}，{B1，C，D}，{B2，C，D}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）组成人员的全部可能结果中，A1被选中的结果有{A1，B1，C}，{A1，B1，D}，{A1，B2，C}，{A1，B2，D}，{A1，C，D}，共有5种，所以教师A1被选中的概率为p＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（III）宣讲团中没有乙校代表的结果有{A1，C，D}，{A2，C，D}，共2种结果，所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为p＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（13分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，直线FC⊥平面ABCD，ED∥FC，点G为AB的中点，且FC＝AB＝2ED＝2CD＝2，∠ABC＝60°．（Ⅰ）求证：AE∥平面GCF；（Ⅱ）求证：平面ACF⊥平面BCF；（Ⅲ）求直线FB与平面ADE所成角的正弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（I）取FC中点N，连接EN，因为ED∥FC，FC＝2ED，所以ED NC，所以四边形EDCN是平行四边形，所以EN DC，连接NG，EN DC，又DC AG，所以EN AG，所以四边形EAGN是平行四边形，所以EA∥NG，…………（2分）又EA⊄平面GCF，NC⊂平面GCF，所以AE∥平面GCF．………………（4分）解：（II）∵DC AG，∴四边形AGCD为平行四边形，∴AD＝GC，∵AD＝BC，∴BC＝GC，∵∠ABC＝60°，∴△BCG为等边三角形，∵AB＝2，∴BC＝BG＝＝1，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝3，所以AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，………………………………（6分）所以AC⊥BC，又AC⊥CF，BC∩FC＝C，所以AC⊥平面BCF，又AC⊂平面ACF，所以平面ACF⊥平面BCF．…………………………（8分）（III）因为ED∥FC，ED⊄平面GCF，FC⊂平面GCF，所以ED∥平面GCF，由（I）知AE∥平面GCF，且AD∩ED＝D，所以平面ADE∥平面GCF，所以直线FB与平面ADE所成角也为直线FB与平面GCF所成角．由（II）知CG＝BG＝BC＝1，设Q为CG中点，连接BQ、FQ，所以BQ⊥GC．因为FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BQ，因为FC∩GC＝C，所以BQ⊥平面GCF，所以∠BFQ为直线FB与平面GCF所成角，……………（11分）因为BQ＝CG＝，在直角△BCF中，FB＝＝，sin∠BFQ＝＝＝，所以直线FB与平面ADF所成角正弦值为．……………（13分）18．（13分）已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1+a2，a3＝2b3﹣6．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，证明：．【解答】解：（I）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d．…………………………（1分）由题意得：1+d＝1+q，q2＝2（1+2d）﹣6，…………（2分）解得：d＝q＝2，…………………（3分）所以：a n＝n﹣1，b n＝2n﹣1．……………………………（5分）（II）证明：因为c n＝＝＝，……（7分）所以T n＝[（1﹣）+（﹣）+…+﹣+﹣]＝（1+﹣﹣）＝……………（10分），n→+∞时，→因为T n在[1，+∞）单调递增，所以当n＝1时，T n取最小值T1＝，…（12分）所以．．…………………………………………（13分）19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线y＝k（x﹣1）（k＞0）与椭圆C相交于A、B两点，且与x轴，y 轴交于M、N两点．（i）若＝，求k的值；（ii）若点Q的坐标为（），求证：为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵e＝＝，∴a2＝2c2，代入a2＝b2+c2得b＝c．又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即b×2c＝2，即bc＝2，以上各式联立解得a2＝4，b2＝2，则椭圆方程为+＝1．（Ⅱ）（ⅰ）直线y＝k（x﹣1）与x轴交点为M（1，0），与y轴交点为N（0，﹣k），联立消去y得：（1+2k2）x﹣4k2x+2k2﹣4＝0，△＝16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣4）＝24k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，又＝（x2﹣1，y2），＝（﹣x1，﹣k﹣y1），由＝得：x1+x2＝＝1，解得：k＝±．由k＞0得k＝；证明（ⅱ）由（ⅰ）知x1+x2＝，x1x2＝，∴＝（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）＝（x1﹣）•（x2﹣）+y1•y2，＝（x1﹣）•（x2﹣）+k2（x1﹣1）（x2﹣1），＝（1+k2）x1x2+（﹣﹣﹣k2）（x1+x2）+k2+，＝（1+k2）+（﹣﹣﹣k2）+k2+，＝+＝﹣4+＝﹣为定值．∴为定值．20．（14分）设函数f（x）＝2lnx+，g（x）＝2x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）在（0，e2]上恰有2个零点，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＝1时，若h（x）＝f（x）+2g（x）时，若对任意的正整数n在区间[]上始终存在m+5个数使得h（a1）+h（a2）+h（a3）+…+h（a m）＜h（a m+1）+h（a m+2）+h（a m+3）+h（a m+4）+h（a m+5）成立，试问：正整数m是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）＝﹣＝……………（2分）所以f′（1）＝1且f（1）＝1，由导数几何意义知f（x）在点（1，f（1））处切线方程为：y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0．………………………………（4分）（II）由g（x）＝2x﹣alnx＝0，∴＝………………………（5分）令p（x）＝，所以p′（x）＝，所以p（x）在（0，e）上单调递增，在（e，e2]上单调递减，所以当x＝e时，p（x）取得极大值，也是最大值．…………………（7分）因为p（e）＝，p（e2）＝且x→0时，p（x）→﹣∞，故≤＜，所以2e＜a≤e2………（9分）（III）由题意h（x）＝+4x，h′（x）＝．……………………（10分）因为x∈[，6+n+]，所以h′（x）≥0，所以h（x）在[，6+n+]单调递增，∴h（x）min＝h（）＝4，h（x）max＝h（6+n+）．由题意，mh（）＜5h（6+n+）恒成立．……………………………（12分）令k＝6+n+≥8，且h（k）在[6+n+，+∞）上单调递增，h min（k）＝，因此4m＜5×，而m是正整数，故m≤40，所以m＝40时，存在a1＝a2＝…＝a40＝，a m+1＝a m+2＝a m+3＝a m+4＝a m+5＝8时，对所有n满足题意，∴m max＝40．…（14分）。
天津市2018届高三数学上学期第二次段考试题文 精品
天津市2018届高三数学上学期第二次段考试题 文一、填空题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，则每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、a R ∈，且1a ii-+-为纯虚数，则a 等于C. 1D. 1-2、已知，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、已知向量,a b的夹角是3π，||2,||1a b == ，则||||a b a b +⋅- 的值是5D.4、如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+在区间5[,]66ππ-上的图象，为了得到这个图象，只需将()cos f x A x ω=的图象A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度C. 向右平移8π个单位长度D. 向左平移6π个单位长度5、若函数||()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值为A. 2B. 2-C. 1D. 1-6、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3cos B Cb c=-，则角A 的最大值为A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π7、若函数()sin()(0)2f x x πωω=->的图象关于点(,0)8π对称，且在(,0)4π-内有零点，则ω的最小值是A. 2B. 5C. 9D. 108、已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为'()y f x =，当0x ≠时，()'()0f x f x x+>，若1111(),3(3),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是 A. a b c << B. a c b << C. b c a << D.c a b <<二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，请将答案填在答题卡上） 9、若集合1{||1|2},{|0}x A x x B x x-=-<=≤，则A B =10、若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且和直线1y =相切，则圆C 的方程是11、已知222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩为偶函数，则2log (45)a y x x =--的单调递增区间为12、已知各项都为正数的等比数列{}n a ，且满足7562a a a =+，若存在两项,m n a a，使得14a =，则14m n+的最小是为13、ABC ∆中，,D E 分别为边,BC AC 的中点，且AD与BE夹角为120 ，则AB AC ⋅=14、已知函数8(1|1|),[0,2]()1(1),(2,)22x x f x xf x --∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若函数()()log a g x f x x =-有且只有三个零点，则实数a 的取值范围是三、解答题（本大题共6个小题，总分80分）15、（本题13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 （Ⅰ）求tan 2A 的值；（Ⅱ）若sin()23B c π+==，求ABC ∆的面积.16、（本题13分）已知函数2()2cos ()2sin()sin()644f x x x x πππ=-+-+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称中心； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.17、（本题13分）某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知一只花篮需要用铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要100米，铁丝300米，设该厂用所有原来编制个花篮x，y个花盆.（Ⅰ）列出,x y满足的关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盘可获利200元，那么怎样安排花篮与花盆的编制个数，可使得所得利润最大，最大利润是多少？18、（本题13分）已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足4(21)1n n S n a =++，数列满足111,21n n b b b +==+. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19、（本题14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22()n S n n n N *=-∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22,21()1,22n a n n k b k N n k n n*⎧=-⎪=∈⎨=⎪+⎩，求数列{}n b 的前n 项和n T .20、（本题14分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意1212,0,x x x x >≠，有1212()()2f x f x x x ->--恒成立，求a 的取值范围.参考答案1-8：DAABCADB 9、{|01}x x <≤ 10、22325(2)()24x y -++=11、(5,)+∞ 12、32 13、49- 14、15、()4tan sin()cos()2314sin (cos )22sin 2cos 2)sin 222sin(2)3f x x x x x x x x x x xx πππ=--=+-=-==-定义域为2{|,},22x x k k Z T ππππ≠+∈== （2）5,244636x x πππππ-≤≤-≤-≤，设23t x π=-， 因为sin y t =在5[,]62ππ--时单调递减，在[,]26ππ-时单调递增 由52632x πππ-≤-≤-，解得412x ππ-≤≤- 由2236x πππ-≤-≤，解得124x ππ-≤≤， 所以函数()f x 在(,)124ππ-上单调递增，在(,)412ππ--上单调递减.16、（1）()sin()sin()62sin coscos sinsin()6623cos 2)3f x x x x x x x x x ππωωπππωωωωωπω=-+-=---=-=-又()sin()0663f πππω=-=，所以,63k k Z ππωπ-=∈解得62,k k Z ω=+∈，又03ω<<，所以2ω=. （2）由（1）知()(2)3f x x π=-，将函数()y f x =的图象上个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数)3y x π=-的图象，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到)12y x π=-的图象，所以函数())12g x x π=-当32[,],[,]441233x x πππππ∈--∈-，所以sin()[12x π-∈，所以当4x π=-时，()g x 取得最小值32-17、（1）记“甲达标”的事件为A ，则22331111()()()2222P A C =⨯⨯+= （2）记X 的所有可能取值为2,3,4：224(2)()39P X ===;222312212111(3)()()()()33333333P X ==⨯+⨯+⨯+=2212212(4)()()33339P X ==⨯+⨯=.2212212(4)()()33339P X ==⨯+⨯=所以X 的分布列为:2349399EX =⨯+⨯+⨯=18 、（1）111111,431,1n S a a S a ==+=⇒=112,444(21)(21)n n n n n n a S S n a n a --≥=-=+--12123n n a n a n --⇒=- 12112121231212325n n n n n a a a n n a a n a a a n n -----⇒=⋅⋅⋅==---L L当1n =时，12111a =⋅-=，综上21n a n =-.由121n n b b +=+112(1)n n b b +⇒+=+，所以{1}n b +是以2位公比，2为首项的等比数列，所以12n n b +=，则21n n b =-.（2）(21)2n n c n =-，21232(21)2n n T n =⋅+⋅++-L ……①23121232(21)2n n T n +=⋅+⋅++-L ……②① -②整理得1(23)26n n T n +=-+19、（1）1111,220n S a a ==⇒=2212,222[(1)(1)]22n n n n a S S n n n n n -≥=-=-----=-1n a n ⇒=-，当1n =时，1110a =-=，所以1n a n =-（2）122,21()1,22n n n k b k N n k n n-+⎧=-⎪=∈⎨=⎪+⎩当n 为偶数时，21111()222n b n n n n ==-++13124021()()1111111(222)()2244622134(2)n n n n n T b b b b b b n n n n --=+++++++=++++-+-+-+-=++L L L L当n 为奇数时，1111211211234(1)34(1)n n n n n n n n T T b n n -+------=+=++=+++ 综上121,234(2)()211,2134(1)n n n nn k n T k N n n k n ++⎧-+=⎪+⎪=∈⎨--⎪+=-⎪+⎩20、（1）由2()3ln f x x x x =-+，则1'()23f x x x=-+'(1)0,(1)132f f ==-=-，所以切线方程为2y =-（2）1(1)(21)'()2(2)ax x f x ax a x x--=-++= 令'()0f x =1211,2x x a ⇒==当1a ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递增，min ()(1)2f x f ==-当10a e<≤时，()f x 在[1,]e 上单调递减，2min ()()(2)12f x f e ae a e ==-++=-2231e a e e e-⇒=>-（舍） 当11a e <<时，()f x 在1(1,)a 上单调递减，()f x 在1(,)e a上单调递增，min ()(1)2f x f <=-（舍） 综上，1a ≥（3）令12120x x x x >⇒->12112212()()2()2()2f x f x f x x f x x x x ->-⇔+>+-令()()2g x f x x =+，只要()g x 在(0,)+∞上单调递增即可.'()0g x ⇔≥在(0,)+∞上恒成立.2121'()'()220ax ax g x f x ax a x x-+⇔=+=-+=≥⇔2210ax ax -+≥在(0,)+∞上恒成立.当0a =时，10≥恒成立；当0a >时，原不等式21112088x x a a a⇔-≥-⇔-≥-⇒<≤ 当时，原不等式212x x a⇔-≤-，左边无最大值，不合题意（舍） 综上，08a ≤≤。
2018年天津市南开区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i为虚数单位，则复数＝（）A．﹣1+3i B．3+i C．3﹣i D．2+4i2．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y的最大值为（）A．11B．24C．36D．493．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b＝，c＝2，cos B＝，则a＝（）A．B．C．2D．34．（5分）函数f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）5．（5分）设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．4B．8C．24D．486．（5分）下列命题中，正确的是（）A．“lna＞lnb”是“10a＞10b”的充要条件B．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0且n≠0”C．存在x0＞0，使得x0＜sin x0D．若cosα≠，则α≠7．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25＝（）A．233B．282C．466D．6508．（5分）设△ABC是边长为1的正三角形，M是△ABC所在平面上的一点，且+2λ+＝，则当•取最小值时，λ的值为（）A．B．C．2D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.9．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为．10．（5分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是．11．（5分）二项式（）5的展开式中的常数项为．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则a＝．13．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴．两种坐标系中的长度单位相同，直线l：（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，则|EA|•|EB|＝．14．（5分）已知函数f（x）＝（）x，函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝若F（x）＝g（x）﹣f（|x|）﹣a恰有4个零点，则a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知x＝是函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）图象的一条对称轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．16．（13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．（Ⅰ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅱ）设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．（Ⅰ）求此三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，且当n≥2时，＝+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2（1﹣n）a n，证明：b22+b32+b42+..+b n+12＜．19．（14分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4的焦点，离心率等于．椭圆E的左焦点为F，过点M（﹣3，0）任作一条斜率不为零的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于x 轴的对称点为C．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△MBC面积的最大值．20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．（Ⅰ）若存在x∈[，e]，使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设0＜x1＜x2，证明：；（Ⅲ）证明：（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．2018年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i为虚数单位，则复数＝（）A．﹣1+3i B．3+i C．3﹣i D．2+4i【解答】解：＝．故选：B．2．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y的最大值为（）A．11B．24C．36D．49【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由z＝2x+3y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点A时，直线y＝﹣x+，的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，3），此时z＝2×1+3×3＝11，故选：A．3．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b＝，c＝2，cos B＝，则a＝（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵b＝，c＝2，cos B＝，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：5＝a2+4﹣2×，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，∴解得：a＝3或﹣（舍去）．故选：D．4．（5分）函数f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）【解答】解：要使函数有意义，则得，即﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）＝log0.5（2﹣x）（2+x）＝log0.5（4﹣x2），设t＝4﹣x2，则y＝log0.5t是减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，等价为求函数t＝4﹣x2，的单调递减区间，∵函数t＝4﹣x2，的单调递减区间为[0，2），∴f（x）的单调递增区间为（0，2），故选：C．5．（5分）设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．4B．8C．24D．48【解答】解：∵设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，∴e＝＝＝5，解得a2＝1，∴c＝5，∴|F1F2|＝2c＝10，∵3|PF1|＝4|PF2|，∴设|PF2|＝x，则|PF1|＝|PF2|＝x，由双曲线的性质知x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，∴∠F1PF2＝90°，∴△PF1F2的面积＝×6×8＝24．故选：C．6．（5分）下列命题中，正确的是（）A．“lna＞lnb”是“10a＞10b”的充要条件B．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0且n≠0”C．存在x0＞0，使得x0＜sin x0D．若cosα≠，则α≠【解答】解：对于A，lna＞lnb时，a＞b＞0，∴10a＞10b，充分性成立；10a＞10b时，a＞b，lna＞lnb不一定成立，即必要性不成立；是充分不必要条件，A错误；对于B，命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”，它的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，∴B错误；对于C，设f（x）＝x﹣sin x，则f′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0，即x＞sin x在（0，+∞）上恒成立；它的否定命题：存在x0＞0，使得x0＜sin x0是假命题，C错误；对于D，α＝时，cosα＝是真命题，∴它的逆否命题：若cosα≠，则α≠也是真命题，D正确．故选：D．7．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25＝（）A．233B．282C．466D．650【解答】解：S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，可知a4＝4，a5＝6，a6＝8，a7＝6，a8＝8，a9＝10，a10＝8，a11＝10，a12＝12，即：2，4，6，4，6，8，6，8，10，8，10，12，10，12，14，12，14，16，14，16，…数列{a n}的前25项和：2+2×4+3（6+8+10+12+14+16+18）+20＝30+3×＝282．故选：B．8．（5分）设△ABC是边长为1的正三角形，M是△ABC所在平面上的一点，且+2λ+＝，则当•取最小值时，λ的值为（）A．B．C．2D．3【解答】解：如图，∵，，+2λ+＝，∴，得．∴，∴＝＝设，则．当t＝，即，也就是时，•取最小值．故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.9．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为160．【解答】解：在分层抽样中每个个体被抽到的概率相同，则，即n＝160，即总体中的个体数为160，故答案为：16010．（5分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是24．【解答】解：由程序框图知；第一次循环k＝1，p＝1•1＝1；第二次循环k＝2，p＝1•2＝2；第三次循环k＝3，p＝2•3＝6；第四次循环k＝4，p＝4•6＝24．不满足条件k＜4，跳出循环体，输出p＝24．故答案为：24．11．（5分）二项式（）5的展开式中的常数项为﹣80．【解答】解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•，令﹣＝0，求得r＝3，∴展开式的常数项为×（﹣8）＝﹣80，故答案为：﹣80．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则a＝2．【解答】解：由已知三视图得到几何体为长方体割去一个角，如图所以其体积为•a﹣•a•••＝，解得a＝2，故答案为：2．13．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴．两种坐标系中的长度单位相同，直线l：（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，则|EA|•|EB|＝1．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），∴ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，∴x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．把直线l：（t为参数）代入曲线C的方程可得：t2﹣3t+1＝0，∴t1+t2＝3，t1t2＝1．∴|EA|•|EB|＝t1t2＝1．故答案为：1．14．（5分）已知函数f（x）＝（）x，函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝若F（x）＝g（x）﹣f（|x|）﹣a恰有4个零点，则a的取值范围是（2，2.375）．【解答】解：由函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g（x），则g（x）＝g（﹣x），g（x+2）＝﹣g（x），g（x+4）＝﹣g（x+2）＝g（x），函数g（x）的周期为4，x∈[0，2]时，g（x）＝，则在区间[﹣2，0]上，有g（x）＝，分别作出函数y＝g（x）在[﹣2，2]的图象，并左右平移4个单位，8个单位，…，可得y＝g（x）的图象，再作y＝（）|x|+a的图象，注意上下平移．当经过A（1，2.5）时，a＝2.5﹣0.5＝2，经过B（3，2.5）时，a＝2，5﹣0.53＝2.375．则平移可得2＜a＜2.375时，图象共有4个交点，即F（x）＝g（x）﹣f（|x|）﹣a恰有4个零点．故答案为：（2，2.375）．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知x＝是函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）图象的一条对称轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）＝1+cos2x+a sin2x＝sin（2x+θ）+1，tanθ＝．∵x＝是函数的对称轴，∴2×+θ＝，k∈Z．∴θ＝kπ，那么tan（kπ）＝tan＝，∴a＝．（Ⅱ）由可知（Ⅰ）函数f（x）＝2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]上，∴2x+∈[，]上，∴﹣1≤sin（2x+）≤1．故得函数f（x）在区间[0，]上的取值范围是[﹣1，3]．16．（13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．（Ⅰ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅱ）设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有C93种结果，而满足条件取出的3个球得分之和恰为1分有两种种结果，包括取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，有C21C32种结果．“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，有C22C41种结果，其中它们之间是互斥事件，∴P（B+C）＝P（B）+P（C）＝＝．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝．∴X的分布列为：X的数学期望EX）＝＝1．17．（13分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．（Ⅰ）求此三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点为O，连接OD由正三棱柱的结构特征得OA⊥平面BCC1B1，且OA＝．所以∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C所成的角，即∠ADO＝45°．所以OD＝．所以侧棱的长为2．（Ⅱ）如图，以O为原点，OC为x轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B（﹣1，0，0），C（1，0，0），D（1，，0），＝（﹣1，0，﹣），＝（1，，﹣），设＝x，y，z）是平面ABD的一个法向量，则由，取z＝﹣1，得＝（，﹣，﹣1），面BCD的一个法向量＝（0，0，1），∴cos＜＞＝＝＝﹣．而所求二面角为锐角，即二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．（Ⅲ）∵＝（﹣1，0，），∴点C到面ABD的距离为：d＝＝．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，且当n≥2时，＝+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2（1﹣n）a n，证明：b22+b32+b42+..+b n+12＜．【解答】（I）证明：当n≥2时，＝+2．∴﹣＝2.＝2，∴数列{}是等差数列，公差为2，首项为2．∴＝2+2（n﹣1）＝2n，∴S n＝．∴n≥2时，a n＝S n﹣S n＝﹣＝﹣．﹣1∴a n＝．（II）证明：n≥2时，b n＝2（1﹣n）a n＝．∴n≥3时，＝＜＝，∴b22+b32+b42+..+b n+12＜+……+＜+＝﹣＜．19．（14分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4的焦点，离心率等于．椭圆E的左焦点为F，过点M（﹣3，0）任作一条斜率不为零的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于x 轴的对称点为C．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△MBC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程：（a＞b＞0），由抛物线x2＝4的焦点（0，），则b＝，椭圆的离心率e＝＝＝，则a＝，∴椭圆E的方程：；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x+3）．联立，整理得（1+3k2）x2+18k2x+27k2﹣6＝0，△＝（18k2）2﹣4（1+3k2）（27k2﹣6）＞0，解得k2＜．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1＝k（x1+3），y2＝k（x2+3）．∵F（﹣2，0），C（x1，﹣y1）．∴＝（x1+2，﹣y1），＝（x2+2，y2）．∵（x1+2）y2﹣（x2+2）（﹣y1）＝（x1+2）k（x2+3）+（x2+2）k（x1+3）＝k[2x1x2+5（x1+x2）+12]，＝k（++12）＝＝0．∴＝λ，则直线BC过椭圆的左焦点F，由题意可知：S＝|MF||y1|+|MF||y2|＝|MF||y1+y2|＝|k（x1+x2）+6k|＝＝≤＝．当且仅当k2＝＜，取“＝”成立，∴k2＝时，△MBC面积取得最大值．20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．（Ⅰ）若存在x∈[，e]，使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设0＜x1＜x2，证明：；（Ⅲ）证明：（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．【解答】解（Ⅰ）由题意知，2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a≤2lnx+x+．若存在x∈[，e]使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，只需a小于或等于2lnx+x+的最大值．设h（x）＝2lnx+x+（x＞0），则h′（x）＝．当x∈[，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．由h（）＝﹣2++3e，h（e）＝2+e+，h（）﹣h（e）＝2e﹣﹣4＞0，可得h（）＞h（e）．所以，当x∈[，e]时，h（x）的最大值为h（）＝﹣2++3e，故a≤﹣2++3e．（Ⅱ）证明：构造函数G（x）＝，（0＜x＜x2）．G′（x）＝lnx﹣ln，∵，0＜x＜x2．∴，∴G（x）＜0∴函数G（x）＝，（0＜x＜x2）单调递减．∴G（x）＞G（x2）＝0∴G（x1）＞G（x2）＝0，⇒＞0∴；（Ⅲ）证明：令H（x）＝1﹣xf′（x）＝1﹣xlnx﹣x，则H′（x）＝﹣lnx﹣2 x∈（0，e﹣2）时，H′（x）＞0，x∈（e﹣2，+∞）时，H′（x）＜0∴H（x）＝1+e﹣2．令m（x）＝，，x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，∴m（x）＞m（0）＝1+e﹣2∴（1﹣xf′（x））＜m（x）＝．∴（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．。
2017-2018届天津市南开区高三二模理科数学试卷及答案
南开区2017-2018-2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（理工类） 05本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I卷l至2页，第II卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：l.答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科p涂在答题卡上；2．每小题选出答案赢，翊铅笔把答题．f上对应题翻的答案标号涂关．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3.本卷共8小题，每小题5分，共40分，参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)i 是虚数单位，复数242(1)412i i i i =（）． (A)0 (B)2(C) -4i (D) 4i(2)“1sin 2a”是“1cos22a ”的( )， (A)充分丽不必要条件 (B)必要两不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)如果执行右面的程序框图，那么输出的S=( )。
(A) 22 (B) 46(c) 94 (D)190(4)偶函数()f x 在区间0,a （a>0）上是单凋函数，且(0)()0f f a ．则方程()0f x 在区间,a a 内根的个数是( ). (A)l (B)2(C)3 (D)0(5)若11()11n x 的展开式中第三项系数等于6，则n 等于( )．(A)4 (B)8(C) 12 (D) 16(6)在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ．C 的对边，22232,sin sin sin 2C A B C A sinBsinC ，则cosC=( )．(A)18 (B)716 (C)74 ( D)716(7)设圆22:3C xy ，直线:360l x y ，点00(,)P x y ∈l ，若存在点Q ∈C ，使60OPQ 。
（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )．(A)1,12 B.60,5 (C)0,1 (D)13,22(8)如图，在△ABC 中，2CM MB ，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若,AP mAB AQ nAC ，则mn+m 的最小值为( )．(A) 63 (B)23(C)6 (D)2南开区2013～2017-2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答题纸（理工类）第Ⅱ卷注意事项：。
2018年天津市河北区高三数学二模(文)试题(解析版)
河北区2017－2018学年度高三年级总复习质量检测（二）数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为R，集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出，再求即可得到结论．详解：∵，∴，∴．故选B．点睛：本题考查集合的补集和交集运算，属于容易题，主要考查学生的运算能力和运用数形结合解题的能力．2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先由三视图得到几何体，并分析出几何体的特征，然后再求出其体积．详解：由三视图可得该几何体为三棱柱，且底面为边长是2的等边三角形，高为1，故其体积为．故选A．点睛：（1）在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．（2）在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．3. 命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据含有量词的命题的否定求解即可．详解：由题意得，命题的否定为：．故选C．点睛：全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．4. 从数字1，2，3，4，5中任取2个组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】可以构成的两位数的总数为20种,因为是“任取”两个数,所以每个数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的两位数有以4开头的:41,42,43,45共4种;以5开头的:51,52,53,54共4种.所以所求概率为.本题选择B选项.5. 己知点A(-1，0)、B(1，0)分别为双曲线的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM 是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由条件可得，不妨设点M在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM中，且，由此可得点M的坐标，然后根据点M在双曲线上可得，故可得曲线方程．详解：由题意得，故双曲线的方程为．设点M在双曲线的右支上且在第一象限，则在等腰△ABM中，有且，∴点M的横坐标为，纵坐标为，∴点M的坐标为．又点在双曲线上，∴，解得，∴双曲线的方程为．故选D．点睛：对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．6. 若函数在上单调递减，则的取值不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵函数在上单调递减，．在上单调递减，求得，故选D．考点：正弦函数的单调性【名师点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属中档题．解题时利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得的减区间，结合条件可得，，由此求得的范围，从而得出结论．7. 若正数a，b满足，则的最小值为（）A. 1B. 6C. 9D. 16【答案】B【解析】分析：由得，由此可得，，将代入所求值的式子中，利用基本不等式可求得最小值．详解：∵正数满足，∴，解得．同理．∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为6．故选B．点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．8. 已知函数，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f (a)=f (b)=f (c)=f (d)=m.则以下三个结论：①m∈[l，2)；②a+b+c+d∈，其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f (x)=x+m恰有三个不相等的实数解。
2018年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(理科)
2018年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1. 已知集合＝，＝，则为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】解不等式求得集合、，根据交集的定义写出．【解答】集合＝＝，＝＝，则＝＝．2. 已知，满足不等式组，则目标函数＝的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得最小值．【解答】由约束条件作出可行域如图，设可行域内一点，由图可知，直线＝经过点时取到最大值，经过点时取到最小值，联立，解得，∴的最小值为＝，3. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】负值＝，＝，＝，判断条件成立，执行＝＝，＝＝，＝；判断条件成立，执行＝＝，＝＝，；判断条件成立，执行＝＝，＝＝，；判断条件不成立，算法结束，输出．此时＝，不成立．故判断框中应填入的条件是．4. 已知为实数，直线＝，：＝，则“＝”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据直线平行的等价条件，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当＝时，两直线方程分别为直线＝，＝满足，即充分性成立，当＝时，两直线方程分别为＝，和＝，不满足条件．当时，则，由得＝得＝或＝，由得，则＝，即“＝”是“”的充要条件，5. 已知函数＝的最小正周期为，将＝的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据函数的周期求，结合三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可．【解答】∵函数＝的最小正周期为，∴，得＝，则＝，将＝的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则＝＝，∵图象关于轴对称，∴，则，，当＝时，，则或，即的一个值可能为，6. 已知定义在上的函数＝，则三个数＝，＝（），＝，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】求出的导数，得到函数在上为单调增函数，再求出、的范围，则答案可求．【解答】定义在上的函数＝是偶函数，时，＝，＝，∴在时递增，∵，，又＝，＝（），＝，∴，故选：．7. 双曲线的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】运用双曲线的对称性由条件可设的坐标，由向量共线定理可得的坐标，再由，在双曲线上，满足双曲线的方程，即可得到双曲线的离心率．【解答】由＝，可得＝，由，可设，设，∴，∵，∴，解得，，∵，在双曲线上，∴，消去整理可得，∴．8. 已知函数定义在上的函数，则下列说法中正确的个数有（）①关于的方程，有个不同的零点②对于实数，不等式恒成立③在上，方程＝有个零点④当，时，函数的图象与轴围成的面积为A. B. C. D.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】根据函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合分别判断即可．【解答】作出函数的图象，如图：当＝时，方程等价为＝，∴对应方程根的个数为个，而＝个，∴ ①错误；由不等式等价为，在恒成立，作出函数的图象如图，则不等式恒成立，∴ ②正确；由函数表达式可知＝，＝，＝．由＝得，设，则＝，∴在上，方程＝有个零点，∴ ③错误；令＝得，＝，当时，函数的图象与轴围成的图形是一个三角形，其面积为：＝，∴ ④错误．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.________为虚数单位，设复数________满足________，则________的虚部是【答案】,,,,【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由，得．∴的虚部是．以直角坐标系的原点为极点，________轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线极坐标方程为，它与曲线，（为参数）相交于两点________、________，则________＝________．【答案】,,,,【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把直线极坐标方程、曲线参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得弦长．【解答】把直线极坐标方程化为普通方程是＝，曲线参数方程化为普通方程是＝，圆心为，半径为，圆心到直线＝的距离为，则弦长＝．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积________．【答案】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，球的半径为圆锥的底面半径均为，圆锥的高为，故四分之一球的体积为：，半圆锥的体积为：，故组合体的体积；若________________＝（其中________），则________________的展开式中________的系数为________．【答案】,,,,,,【考点】微积分基本定理定积分二项式定理及相关概念【解析】由微积分基本定理求得，代入，写出二项展开式的通项，由的指数为求得值，则答案可求．【解答】由＝，如图，得＝，即＝．∴＝，．由＝，得＝．∴的展开式中的系数为．已知________________，二次三项式________________+________对于一切实数________恒成立，又________，使________________＝成立，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】反证法与放缩法【解析】由条件求得，＝，由此把要求的式子化为，利用基本不等式即可求出答案．【解答】∵已知，二次三项式对于一切实数恒成立，∴，且＝，∴．再由，＝，可得＝，∴＝，即＝，∴，∵，当且仅当时取等号故的最小值为，已知直角梯形________中，________________，________＝，________＝，________＝，________＝，________是腰________上的动点，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】建立坐标系，设出的坐标，表示出，的坐标，结合二次函数的性质求出其最小值即可．【解答】分别以，为，轴，建立直角坐标系：如图示：，∵＝，＝，＝，是腰上的动点，∴，，，，则设，故，，故，故，而＝＝，故的最小值是，三、解答题：本大题6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．【答案】锐角中，，∴，由正弦定理得，∴，又＝，∴，又，∴；由，利用正弦定理得＝；又的面积为，∴，解得＝；由余弦定理＝＝，解得＝．【考点】三角形的面积公式【解析】（1）根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得的值，从而求得的值；（2）由题意，利用正弦定理与三角形的面积公式求得的值，再由余弦定理求得的值．【解答】锐角中，，∴，由正弦定理得，∴，又＝，∴，又，∴；由，利用正弦定理得＝；又的面积为，∴，解得＝；由余弦定理＝＝，解得＝．某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于、、三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目．（1）求个人来自两个不同专业的概率；（2）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望．【答案】令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，，，∴个人来自两个不同专业的概率：＝＝．随机变量有取值为，，，，＝，＝，＝，＝，∴的分布列为：．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，利用列举法能求出个人来自两个不同专业的概率．（2）随机变量有取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．【解答】令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，，，∴个人来自两个不同专业的概率：＝＝．随机变量有取值为，，，，＝，＝，＝，＝，∴的分布列为：．如图，四边形与均为菱形，＝，且＝＝．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】设与交于点，连结，∵四边形是菱形，∴，且为的中点，∵＝，∴，又＝，平面，平面，∴平面．连结，∵四边形是菱形，且＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∵、、两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图，设＝，∵四边形为菱形，＝，∴＝，＝，∵为等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，∴，∵二面角的余弦值为．设，则＝，∴，化简，得＝，解得或（舍），∴线段的长为．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）设与交于点，连结推导出，且为的中点，，由此能证明平面．（2）连结，由、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．（3）设，，则＝，利用向量法能求出线段的长．【解答】设与交于点，连结，∵四边形是菱形，∴，且为的中点，∵＝，∴，又＝，平面，平面，∴平面．连结，∵四边形是菱形，且＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∵、、两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图，设＝，∵四边形为菱形，＝，∴＝，＝，∵为等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，∴，∵二面角的余弦值为．设，则＝，∴，化简，得＝，解得或（舍），∴线段的长为．已知数列的前项和满足＝，为常数，，（1）求的通项公式；（2）设＝，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，，若数列的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围．【答案】时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．∴数列为等比数列，首项与公比为．则＝．＝，可得：＝，＝，＝，∵数列为等比数列，∴＝，可得：．由（2）可得：．，∴数列的前项和为，∵对任意的满足，∴，化为：，解得：或．∴实数的取值范围是：或．【考点】数列的求和【解析】（1）时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．利用等比数列的通项公式可得．（2）＝，可得：＝，＝，＝，利用等比数列的性质可得．（3）由（2）可得：．，利用裂项求和方法、数列的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．∴数列为等比数列，首项与公比为．则＝．＝，可得：＝，＝，＝，∵数列为等比数列，∴＝，可得：．由（2）可得：．，∴数列的前项和为，∵对任意的满足，∴，化为：，解得：或．∴实数的取值范围是：或．已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交于轴上方的，两点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线的斜率；设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值．【答案】由，可得，从而，整理可得＝，故，：由（1）得＝＝，所以椭圆的方程可写为＝设直线的方程为＝，即＝．由已知设，，则它们的坐标满足方程组消去整理，得＝．依题意，＝，而，①，②，由题设知，点为线段的中点，所以＝③联立①③解得，将，代入②中，解得．解法一：由可知＝，，当时，得，由已知得．线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得，故综上所述．解法二：由可知＝，，当时，得，由已知得．由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形．由直线的方程为，知点的坐标为．因为＝，所以＝，解得＝（舍），或．则，所以．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）由，可得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．由题意知椭圆的方程可写为＝，设直线的方程为＝，设，，则它们的坐标满足方程组，整理，得＝．再由根的判别式和根与系数的关系求解．解法一：当时，得，线段的垂直平分线的方程为直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．由此可以推导出值．解法二：由椭圆的对称性可知，，三点共线，由已知条件能够导出四边形为等腰梯形．由此入手可以推导出值．【解答】由，可得，从而，整理可得＝，故，：由（1）得＝＝，所以椭圆的方程可写为＝设直线的方程为＝，即＝．由已知设，，则它们的坐标满足方程组消去整理，得＝．依题意，＝，而，①，②，由题设知，点为线段的中点，所以＝③联立①③解得，将，代入②中，解得．解法一：由可知＝，，当时，得，由已知得．线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得，故综上所述．解法二：由可知＝，，当时，得，由已知得．由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形．由直线的方程为，知点的坐标为．因为＝，所以＝，解得＝（舍），或．则，所以．已知函数，＝的最大值为．（1）求实数的值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当＝时，令＝，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】∵函数＝的最大值为，∴，＝，由＝＝，得，当时，，当时，，∴ x＝＝＝，解得＝．的定义域是，＝，①＝即＝时，，故在递增，②若，而，故，则当时，，，时，，故在递减，在，递增，③若，即时，同理在递减，在，递增；由（1）知＝，故＝，令＝＝，则＝对恒成立，故在区间内递增；故＝恒成立，故函数在区间递增，假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，令＝，则＝对恒成立，故函数在区间递增，故＝恒成立，故，在递增，故方程在区间内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间，使得函数在区间上的值域为．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（3）假设存在，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，根据函数的单调性判断即可．【解答】∵函数＝的最大值为，∴，＝，由＝＝，得，当时，，当时，，∴ x＝＝＝，解得＝．的定义域是，＝，①＝即＝时，，故在递增，②若，而，故，则当时，，，时，，故在递减，在，递增，③若，即时，同理在递减，在，递增；由（1）知＝，故＝，令＝＝，则＝对恒成立，故在区间内递增；故＝恒成立，故函数在区间递增，假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，令＝，则＝对恒成立，故函数在区间递增，故＝恒成立，故，在递增，故方程在区间内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间，使得函数在区间上的值域为．试卷第21页，总21页。
【数学】天津市部分区2018年高三质量调查(二)数学(文)试题含解析
天津市部分区2018年高三质量调查（二）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据交集与补集的定义计算即可．详解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={2，3，4，5}，集合N={4，5，6}，∴M∩N={4，5}，集合∁U（M∩N）={1，2，3，6，7}．故选：D．点睛：本题考查集合的交并补运算，属于基础题.2. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．详解：由变量x、y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为2×1+1=3．故选：C．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 15B. 37C. 83D. 177【答案】B【解析】分析：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量i的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果．详解：执行程序，可得，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，符合，输出；故选：B点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由双曲线的一条渐近线方程得，求出抛物线y2=24x的准线l：x=﹣6，得到双曲线的半焦距c=6，由此利用双曲线的简单性质能求出双曲线的方程．详解：∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线l：x=﹣6上，∴，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为．故选：C．点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线方程，属于基础题.5. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：“|x﹣5|＜4”⇔﹣4＜x﹣5＜4⇔1＜x＜9，即可判断出结论．详解：“|x﹣5|＜4”⇔﹣4＜x﹣5＜4⇔1＜x＜9，∴“x＞﹣1”是“|x﹣5|＜4”的必要不充分条件．故选：B．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6. 已知向量与的夹角为，，若，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B详解：，，；∴==﹣25λ﹣5（λ﹣1）+4=﹣6；解得．故选：B．点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.7. 将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据平移关系求出g（x）的解析式，结合函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．详解：将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜＜）个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣2），若g（x）在区间[0，]上单调递增，则2kπ﹣≤2x﹣2≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣+2≤2x≤2kπ++2，k∈Z，即kπ﹣+≤x≤kπ++，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣+，kπ++]，k∈Z，∵若g（x）在区间[0，]上单调递增，∴满足，即，则﹣kπ﹣≤≤﹣kπ+，k∈Z，当k=0时，﹣≤≤，又因为：0＜＜所以的取值范围是（0，]，故选：D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 由求增区间;由求减区间.8. 设函数是定义在上的奇函数，且当时，.记，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据x＞0时f（x）解析式即可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（x）为奇函数即可得出，然后比较的大小关系，根据f（x）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a，b，c的大小关系．详解：x＞0时，f（x）=lnx；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；∵f（x）是定义在R上的奇函数；=；，；∴；∴；∴a＜b＜c；即c＞b＞a．故选：A．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 已知为虚数单位，复数，则的虚部为_______.【答案】【解析】分析：把已知等式变形，再直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．详解：由z（1+i）=2﹣3i，得，则z的虚部为．故答案为：．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.10. 已知函数，为的导函数，则_______.【答案】【解析】分析：根据商的导数的计算公式求出f′（x），然后便可得出f′（1）的值．详解：；∴．故答案为：．点睛：考查基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法．11. 已知直线恒过定点，且以为圆心，5为半径的圆与直线相交于两点，则弦的长为_______.【答案】【解析】分析：求出直线过的定点坐标C，以及圆心到直线的距离d，根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可．详解：：由得，即直线恒过定点C（﹣1，﹣2），以C为圆心，5为半径的圆的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=25，圆心到直线的距离d==，则AB的长度为|AB|=2=2=2，故答案为：2点睛：当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.12. 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为_______.【答案】【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥与半个圆柱的组合体，由此求出它的体积即可．详解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为四棱锥，下部为半个圆柱的组合体，四棱锥的高为2，底面矩形的宽为2，长为4，圆柱的高为4，底面半径为1，∴该组合体的体积为故答案为．点睛：本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题，是基础题目．13. 已知函数的图象过点，则的最小值为_______.【答案】9【解析】分析：由函数y=alog2x﹣b（a＞0，b＞0）的图象图象过点（），⇒2a+b=1，可得=（2a+b）（）=4++1+，即可详解：∵函数y=alog2x﹣b（a＞0，b＞0）的图象过点（），∴alog2﹣b=﹣1⇒2a+b=1，∴=（2a+b）（）=4++1+，（当且仅当，即a=b时取等号）．故答案为：9．点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14. 已知函数，若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】分析：作出函数y=f（x）和y=x+b的图象．利用两个图象的交点个数问题确定b 的取值范围．详解：若0≤x≤2，则﹣2≤x﹣2≤0，∴f（x）=f（x﹣2）=1﹣|x﹣2+1|=1﹣|x﹣1|，0≤x≤2．若2≤x≤4，则0≤x﹣2≤2，∴f（x）=f（x﹣2）=1﹣|x﹣2﹣1|=1﹣|x﹣3|，2≤x≤4．若4≤x≤6，则2≤x﹣2≤4，∴f（x）=f（x﹣2）=1﹣|x﹣2﹣3|=1﹣|x﹣5|，4≤x≤6．∴f（1）=1，f（2）=0，f（3）=1，f（5）=1，设y=f（x）和y=x+b，则方程f（x）=x+b在区间[﹣2，6]内有3个不等实根，等价为函数y=f（x）和y=x+b在区间[﹣2，6]内有3个不同的零点．作出函数f（x）和y=x+b的图象，如图：当直线经过点F（4，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+b为y=x﹣，当直线经过点D（5，1），E（2，0）时，两个图象有3个交点；当直线经过点O（0，0）和C（3，1）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+b为y=x，当直线经过点B（1，1）和A（﹣2，0）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+b为y=x+，∴要使方程f（x）=x+b，两个图象有3个交点，在区间[﹣2，6]内有3个不等实根，则b∈（]，故答案为：（]．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知的内角所对的边分别为，且.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】(1)， (2)【解析】分析：（1）根据题意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得c和sinA的值；（2）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，计算即可．详解：（1）由余弦定理，得，又，所以，解得在中，，由正弦定理得，所以，.（2）因为，则为锐角，所以，∴，.所以点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.16. 某区的区人大代表有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为，乙校教师记为，丙校教师记为，丁校教师记为.现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名. （1）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；（2）求教师被选中的概率；（3）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.【答案】(1)见解析(2) (3)【解析】分析：（1）某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D．从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大政策宣讲团，利用列举法能求出组成人员的全部可能结果．（2）组成人员的全部可能结果中，利用列举法求出A1被选中的结果有5种，由此能求出教师A1被选中的概率．（3）利用列举法求出宣讲团中没有乙校代表的结果有2种，由此能求出宣讲团中没有乙校教师代表的概率．详解：（1）从6名教师代表中选出3名教师组成十九大政策宣讲团，组成人员的全部可能结果有：，，，，，，，，，，，共有12种不同可能结果.（2）组成人员的全部可能结果中，被选中的结果有，，，，共有5种，所以所求概率.（3）宣讲团没有乙校代表的结果有：，共2种结果，所以所求概率为.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.17. 在等腰梯形中，，直线平面，，点为的中点，且，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)见解析（3）【解析】分析：（1）取FC中点N，连接EN，推导出四边形EDCN是平行四边形，从而EN DC，连接NG，推导出四边形EAGN是平行四边形，从而EA∥NG，由此能证明AE∥平面GCF．（2）由DC AG，得四边形AGCD为平行四边形，从而AD=GC，推导出AC⊥BC，AC⊥CF，从而AC⊥平面BCF，由此能证明平面ACF⊥平面BCF．（3）推导出ED∥平面GCF，AE∥平面GCF，从而平面ADE∥平面GCF，进而直线FB与平面ADE所成角也为直线FB与平面GCF所成角．由此能求出直线FB与平面ADF所成角正弦值．详解：（1）证明：取中点，连接，因为，，所以平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以平行且等于，连接平行且等于，又平行且等于，所以平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）∵平行且等于，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∵，∴为等边三角形，∵，∴，由余弦定理得，所以即，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）因为，平面，平面，所以平面，由（1）知平面，且，所以平面平面，所以直线与平面所成角也为直线与平面所成角.由（2）知，设为中点，连接,所以.因为平面，所以，因为，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为，在直角中，，所以直线与平面所成角的正弦值为.点睛：用几何法求求空间角的步骤：①作：利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；②证：证明作出的角为所求角；③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；④作出结论，将问题转化为几何问题．18. 已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，. （1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1) (2)【解析】分析：（1）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意得：1+d=1+q，q2=2（1+2d）﹣6，解得：d=q=2，即可．（2）证明：因为c n===，T n=．即可得．详解：（1）设数列的公比为，数列的公差为由题意得，解得，所以（2）证明：因为所以，因为，所以又因在单调递增，所以当时，取最小值，所以.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：19. 已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于两点，且与轴，轴交于两点.（i）若，求的值；（ii）若点的坐标为，求证：为定值.【答案】(1) (2)（i）（ii）见解析【解析】分析：（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出a2=4，b2=2，则椭圆方程可得，（2）（i）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出，（ii）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．详解：（1）因为满足，由离心率为，所以，即，代入得.又椭圆的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，，以上各式联立解得，则椭圆方程为（2）（i）直线与轴交点为，与轴交点为，联立消去得，，设，则又，由得解得，由得（ii）由（i）知，所以，，，为定值所以为定值.点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20. 设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上恰有2个零点，求的取值范围；（3）当时，若对任意的正整数在区间上始终存在个整数使得成立，试问：正整数是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2) (3)【解析】分析：（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）得到=，令p（x）=，结合函数的单调性求出a的范围即可；（3）求出h（x）的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最值，从而求出m的范围即可．详解：（1）函数的定义域为，所以所以且由导数几何意义知在点处的切线方程为，即（2）由，∴令，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值.因为，，且时，，故，所以（3）由题意，，因为，所以所以在上单调递增，∴，由题意，恒成立令，且在上单调递增，因此，而是正整数，故，所以时，存在，时，对所有满足题意，∴.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ）A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 .16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OP Q ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46|||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m ∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ， 令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）xax y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+=对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xax x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x ax a x x -<+，整理得01ln 000<++-x ax a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('xx a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--= 因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ；②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n(11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a aa （*）令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=eaa e e m 解得112-+>e e a .综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ， 即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。
2018年天津市河北区高考数学二模试卷(文科)
2018 年天津市河北区高考数学二模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1.已知全集为 R，集合 A={ x|x＞ 0} ，B={ x|x＜ 1} ，则集合（ ?R A）∩B 等于（）A. { x|x＜0}B. { x|x≤0}C. { x|x＞1}D. { x|x≥1}2.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. D. 23. 命题p：“ ?x≥0 2x＞ x2”的否定￢ p 为（），A. ?x0＜ x 2B. ?x≥0x＜x2 0，≤x02D. ?x≥0 2x≤x2C. ?x，4.从数字 1，2，3，4，5 中任取 2 个组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于 30 的概率是（）A. B. C. D.5.已知点A -10）、B10a0 b＞）的左、右顶（，（，）分别为双曲线（＞，点，点M 在双曲线上，且△ABM 是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）2=12=1 C.2D.22A. x -B. x -x - =1x -y =16.f x=cos ωx-sin ωxω 0-）上单调递减，则ω若函数（）（＞）在（的取值不可能为（）A. B. C. D.A. 1B. 6C. 9D. 168. 已知函数f x）=，若存在互不相等的实数a b c d f （，，，，满足（a） =f （b） =f（ c） =f（ d）=m．则以下三个结论：① m∈[1， 2）；②a+b+c+d∈[e-3+e-1-2， e-4-1），其中 e 为自然对数的底数；③关于 x 的方程 f（ x）=x+m 恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共 6 小题，共30.0 分）9.高三某班有学生 56 人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知 5 号、 33 号、 47 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为 ______．10.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是 ______．11.若复数为纯虚数（ i 为虚数单位），则实数 a 的值为 ______．12.若点P m2）在以F为焦点的抛物线y2（，=4x 上，则 |PF |等于 ______ ．13.f x=f3a-1 ≥8f a a的取值范围是______已知函数（），若（）（），则实数．14.在直角梯形ABCD中，已知BC AD，AB AD AB=AD =4，BC=2，若P为线段CD∥⊥ ，上一点，且满足=，=5，则λ的值为 ______．三、解答题（本大题共 6 小题，共80.0 分）15.在△ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b，c，若 B=2C， 2b=3c．（Ⅰ）求 cosC 的值；（Ⅱ）求 sin（ 2C+ ）的值．16.某颜料公司生产A，B 两种产品，其中生产每吨 A 产品，需要甲染料 1 吨，乙染料4 吨，丙染料 2 吨，生产每吨 B 产品，需要甲染料 1 吨，乙染料 0 吨，丙染料5 吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50 吨、 160 吨和 200 吨，如果 A 产品的利润为 300 元 / 吨， B 产品的利润为 200 元 /吨，设公司计划一天内安排生产 A 产品 x 吨， B 产品 y 吨．（Ⅰ）用 x， y 列出满足条件的数学关系式，并在如图的坐标系中画出相应的平面区域；（Ⅱ）该公司每天需生产A、B 产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？17. 如图，在三棱柱ABC-A1 1 1中，点 P， G 分别是 AA1， B1 1B C C的中点，已知 AA1⊥平面ABC， AA1=B1C1=3， A1B1=A1C1=2 ．（Ⅰ）求异面直线A1G 与 AB 所成角的余弦值；（Ⅱ）求证： A1G⊥平面 BCC1B1；（Ⅲ）求直线PC1与平面 BCC1B1所成角的正弦值．18.已知等差数列 { a n} 中， a1=1，且 a1，a2，a4+2 成等比数列．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式及前n 项和 S n；（Ⅱ）设 b n=，求数列{ b n}的前2n项和T2n．19.已知函数 f（ x） = -ax+（a-1 ）ln x，其中 a＞ 2．（Ⅰ）讨论函数 f（ x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1， x2∈（ 0， +∞）， x1≠x2，恒有，求a的取值范围．20. 设椭圆C：=1 a b0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为 A，在 x （＞＞轴负半轴上有一点B，满足 F1为线段 BF2的中点，且 AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）若过 A、 B、F 2三点的圆与直线l： x- y-3=0 相切，求椭圆 C 的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ ）的条件下，过右焦点 F 2作斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在 P（ m，0）使得以 PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出 m 的取值范围，如果不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：?R A={x|x ≤ 0}；∴（?R A ）∩ B={x|x ≤ ．0}故选：B．进行交集、补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算．2.【答案】A【解析】解：由三视图知：几何体为直三棱柱，其中侧棱长为 1，底面时边长为 2 的正三角形，∴几何体的体积 V==．故选：A．几何体为直三棱柱，根据三视图判断侧棱长和底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命 题，所以，命题 p ：“? x ≥0，2x ＞x 2”的否定￢p 为 ?x 02≤x0 ，故选：C ．利用全称命 题的否定是特称命 题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命 题的否定关系，是基本知 识的考查．4.【答案】 C【解析】解：从数字 1，2，3，4，5 中任取 2 个，组成一个没有重复数字的两位数共有=20 个，其中这个两位数小于 30 的个数为 ?=8 个（十位1，2 中任选 1 个，个位其余 4个数选 1个），故所求概率 P=1-=故选：C ．由排列组合的知识分别可得总的个数和小于 30 的数的个数，由概率公式可得．本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列 组合的知识，属基础题．5.【答案】 D【解析】解：双曲线-=1（a ＞0，b ＞0），如图所示，|AB|=|BM| ，∠ABM=120° ，过点 M 作 MN ⊥x 轴，垂足为 N ，则∠MBN=60° ，在 Rt △BMN 中，|BM|=|AB|=2a ，∠MBN=60° ，即有 |BN|=2acos60 °=a ，|MN|=2asin60 °=a ，故点 M 的坐标为 M （2a ，a ），代入双曲 线方程得-=1，即为 a 2=b 2，则 a=b=1，∴双曲 线的标准方程：x 2-y 2=1，故选：D ．由题意画出图形，过点 M 作 MN ⊥x 轴，得到 Rt △BNM ，通过求解直角三角形得到 M 坐标，代入双曲线方程可得 a 与 b 的关系，结合 a ，b ，c 的关系，求出a=b ．由 a=1，即可求得双曲线的标准方程．本题考查双曲线的简单性质：离心率，注意运用点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．6.【答案】 D【解析】解：∵函数 f （x ）=cos ωx -sin ωx=cos （ωx+ ）（ω＞ 0）在（- ， ）上单调递 减，∴2k π≤ω x+＜≤ 2k π，+π求得-+ ≤ x ≤ +（k ∈Z ）．∵f （x ）在（- ，）上单调递减，∴- ≤- ，且 ≥ ，求得 0＜ω≤ ，故选：D ．利用两角和的余弦公式化 简函数的解析式，再利用余弦函数的 单调性求得 f（x ）的减区间 ，结 合条件可得，- ≤- ，且 ≥ ，由此求得 ω的范 围，从而得出结论．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的 单调性，属于基础题．7.【答案】 B【解析】解：∵正数 a ，b 满足，∴a ＞ 1，且b ＞ 1；变形为=1，∴ab=a+b ，∴ab-a-b=0，∴（a-1）（b-1）=1，∴a-1=；∴a-1＞0，∴= +9（a-1）≥2 =6，当且仅当=9（a-1），即a=1±时取“=”（由于a ＞1，第7页，共 17页故选：B ．正数 a ，b 满足，可得a ＞1，且b ＞1；即a-1＞ 0，且b-1＞ 0；由变形为 a-1=；化 为 +9（a-1）应用基本不等式可求最小 值．本题考查了基本不等式的灵活 应用问题，应用基本不等式 a+b ≥2时，要注意条件 a ＞0，且b ＞0，在a=b 时取“=”．8.【答案】 C【解析】解：作出函数的图象如图，若直线 y=m 与函数 y=f （x ）的图象相交于四个不同的点，由 图可知 m ∈[1，2），故（1）正确；设 y=m 与函数 y=f （x ）的交点自左至右依次为 a ，b ，c ，d ，由 -2-lnx=1，得 x=e -3，由-2-lnx=2，得x=e -4，∴c ∈（e -4，e -3] ，又 -2-lnc=2+lnd ，∴cd=e -4，∴a+b+c+d=-2+c+在（e -4，e -3]上是递减函数，-3-1-4∴a+b+c+d ∈[e +e -2，e -1），设斜率为 1 的直线与 y=lnx+2 相切于（x 0，lnx 0+2），则由，可得x 0=1，则切点为（1，2），此时直线方程为 y-2=1 ×（x-1），即y=x+1 ，∴当 m=1时，直线 y=x+m 与函数 y=f （x ）有4 个不同交点，即关于 x 的方程 f （x ）故（3）错误．∴正确结论的个数是 2 个．故选：C．由题意画出函数 y=f （x）的图象，数形结合逐一分析三个结论得答案．本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强，是难题．9.【答案】19【解析】解：高二某班有学生 56 人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，则样本间隔为：=14，∵5 号、33 号、47 号学生在样本中，∴样本中还有一个学生的编号为：5+14=19 号．故答案为：19 号．求出样本间隔为：=14，由 5 号、33 号、47 号学生在样本中，由此能求出样本中另外一个学生的编号．本题考查样本编号的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽抽样的性质的合理运用．10.【答案】30【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1满足条件 i＜ 6，执行循环体，i=3，S=6满足条件 i＜ 6，执行循环体，i=5，S=16满足条件 i＜ 6，执行循环体，i=7，S=30故答案为：30．由已知中的程序 语句可知：该程序的功能是利用循 环结构计算并输出变量 S的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框 图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题．11.【答案】 1【解析】解：∵复数= = 为纯虚数，故有 a-1=0，且 a+1≠0，解得 a=1，故答案为：1．利用两个复数代数形式的乘除法法 则求得 z 的值，再根据它是纯虚数，求得实数 a 的值 ．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数 单位 i 的幂运算性质，属于基础题．【答案】 412.【解析】线 y 2 =4x 的准 线 方程 为：x=-1， 解：抛物∵P 到焦点 F 的距离等于 P 到准线的距离，点 P （m ，2 ），可得12=4m ，解得m=3，P （3，2），∴P 到焦点 F 的距离是 |PF|=3+1=4． 故答案为：4．确定抛物 线 y 2=4x 的准线方程，利用 P 到焦点 F 的距离等于 P 到准线的距离，即可求得 结论．本题考查 抛物线 的性质，考查抛物线定义的运用即抛物 线上的点到焦点的距离等于到准 线的距离，属于基础题．13.或 a ≥1【答案】 a解：∵f （x ）=，∴f （-x ）=f （x ），即函数f （x ）是偶函数，在[0，+∞）上为增函数，则不等式 f （3a-1）≥8f （a ），等价为 f （|3a-1|）≥f（2|a|），∴|3a-1| ≥ 2|a|，解得 a 或 a ≥1．故答案为 a或 a ≥1．根据条件判断函数 f （x ）的奇偶性和单调性即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．14.【答案】【解析】解：分别以边 AD ，AB 所在直线为 x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐 标系，则：A （0，0），B （0，4），C （2，4），D （4，0）；设 P （x ，y ），则：，；∵；∴（x-4，y ）=λ（-2，4）① ，x 2+y 2-4y=5② ；22λ+16λ=5；∴由① 得 x=4-2λ，y=4 λ，带入② 得：（4-2λ） -16 解得，或 ；据题意知 0≤λ≤1；故答案为 ： ．可分 别 以 边 AD ，AB 所在的直 线为 x 轴 ，y 轴 标系，根据条件即可得，建立坐设 这样由 即可出 A （0，0），B （0，4），C （2，4），D （4，0），可 P （x ，y ）， 得出 x=4-2λ，y=4λ，而由 即可得出 x 2 2①，这样将λ，+y -4y=5 x=4-2带值．y=4λ 入① 式即可解出 λ的考查通过建立坐 标系，利用坐标解决向量 问题的方法，能求平面上点的坐 标，根据点的坐 标可求向量的坐 标，以及向量坐标的数乘和数量 积的运算．15.【答案】 解：（ 1）根据题意， △ABC 中， 2b=3c ，则有 2sinB=3sinC ，又由 B=2C ，则 2sin2C=3sinC ， 变形可得 4sinCcosC=3sinC ， 又由 0＜ sinC ＜ 1，解可得 cosC= ；（ 2）由（ 1）的结论， cosC= ，则 sinC== ，sin2C=2sinCcosC=， cos2C=2cos 2C-1= ，则 sin （ 2C+ ） = （ sin2C+cos2C ）= ×（+ ） =．【解析】（1）根据题意，由正弦定理可得 2sinB=3sinC ，又由B=2C ，则 2sin2C=3sinC ，即可得 4sinCcosC=3sinC ，进而变形可得答案．（2）由（1）的结论，计算可得 sinC 的值，由二倍角公式可得 sin2C 、cos2C 的值，进而由和角公式分析可得答案．本题考查三角形中的几何 计算以及三角函数的恒等 变形，属于基础题．16.【答案】 解：（ Ⅰ ）设生产 A 产品 x吨， B 产品 y 吨，则（ x ，由，可得 x=40， y=10 ，结合图形可得x=40， y=10 时， z max=14000 ．答：该公司每天需生产A、 B 产品各40， 10吨可获得最大利润，最大利润14000 元．【解析】（Ⅰ）设生产 A 产品 x 吨，B 产品 y 吨，列出约束条件，画出可行域．（Ⅱ）再根据约束条件的可行域，再利用利润 z=300x+200y 的几何意义求最值即可．本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）∵A1B1∥AB，∴∠GA1B1是异面直线A1G与AB 所成的角，∵A1 111 1 1 的中点，B =AC =2，G为 B CA111，∴ G⊥BCcos GA1 1= ．∴ ∠ B ==∴异面直线A1G 与AB 所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）在三棱柱ABC-A1 B1 C1中，∵AA1⊥平面 ABC，∴AA 1⊥A1G，∴BB 1⊥A1G，又A1G⊥B1C1，BB1∩B1C1=B1，∴A1G⊥平面 BCC 1B1．解：（Ⅲ）取 BC 的中点 H ，连结 AH， HG ，取 HG 的中点 O，连结 OP、OC1，∵PO∥A1G，∴PO⊥平面 BCC1B1，∴∠PC1O 是 PC 1与平面 BCC1B1所成的角，由已知得PC 1与平面 BCC1B1所成角，由已知得PC 1== ， PO=A1G=，∴sin∠PC1O= =．∴PC 1与平面 BCC1B1所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）由A 1B1∥AB ，得∠GA 1B1是异面直线A 1G 与 AB 所成的角由此能求出异面直线 A1G 与 AB 所成角的余弦值．（Ⅱ）推导出 AA 1⊥A1G，BB 1⊥A 1G，A 1G⊥B1C1，由此能证明 A 1G⊥平面（Ⅲ）取BC 的中点 H ，连结 AH ，HG ，取HG 的中点 O ，连结 OP 、OC 1，则 PO ⊥平面 BCC 1B 1，∠PC 1O 是 PC 1 与平面 BCC 1B 1 所成的角，由此能求出 PC 1 与平面 BCC 1B 1 所成角的正弦 值．本题考查异面直线所成角的余弦 值的求法，考查线面垂直的 证明，考查线面角的正弦 值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形 结合思想，是中档题．18.【答案】 解：（I ）设等差数列 { a n } 的过程为 d ，∵a 1=1，且 a 1，a 2，a4+2 成等比数列．∴ =a 1?（ a 4 +2），即（ 1+d ） 2=1×（ 1+3d+2），化为： d 2-d-2=0 ，解得 d=2 或 -1． 其中 d=-1 时， a 2 =0，舍去． ∴d=2．a n =1+2 （ n-1） =2n-1，S n ==n 2．（ Ⅱ ）设 b n ==，n==16 ， b 2∴ 为偶数时，=8；n 为奇数时，==，b 1= ．∴数列 { b n } 的奇数项是首项为 ，公比为 ．数列 { b n } 的偶数项是首项为 8，公比为 16．∴数列 { b n } 的前 2n 项和 T 2n =+=．【解析】（I ）设等差数列 {a n } 的过程为 d ，由 a 1=1，且a 1，a 2，a 4+2 成等比数列．可得=a 1?（a 4+2），化为：d 2-d-2=0，解得 d=2 或 -1．其中 d=-1 时，a 2=0，舍去．再利用通项公式与求和公式即可得出．设=，对 n 分类讨论，利用等比数列的求和公式即可（Ⅱ） b n =得出．本题考查了等差数列与等比数列的通 项公式与求和公式、分 类讨论方法，考19.x∈（0， +∞），【答案】解：（Ⅰ）函数 f（ x）的定义域为f ′（ x） =x-a+ =，令 f'（ x） =0，则 x2-ax+a-1=0 ，即（ x-1） [x-（ a-1） ]=0 ， x=1 或 x=a-1，因为 a＞ 2，所以 a-1＞ 1当 x∈（ 0，1）， f'（x）＞ 0，函数 f（x）为增函数；当x∈（ 1，a-1）， f'（ x）＜ 0，函数 f （x）为减函数；当x∈（ a-1，+∞）， f'（ x）＞ 0，函数 f（ x）为增函数；（Ⅱ）设 x1＞ x2，则不等式等价于f（x1）-f（x2）＞x2-x1，整理得到 f （ x1）+x1＞f （ x2）+x2，令 g（ x）=f（ x）+x= x2-ax+（ a-1） lnx+x，即函数 g（x）在 x∈（ 0， +∞）上为增函数，g′（ x）=x-（ a-1） +，不等式 x-（ a-1） +≥0恒成立，而 x+ ≥2，所以 2≥a-1，因为 a＞ 2，所以≤2? 2＜ a≤5．【解析】（Ⅰ）确定函数的定义域，求导数，利用导数的正负，求出函数 f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的 x ，x ∈（0，+∞），x≠x，恒有，等价于 f1212x）-f （x2）＞x，令g（x）=f（x ）+x=x2（12-x1-ax+（a-1）lnx+x 即函数 g（x ）在x∈（0，+∞）上为增函数，求导数，结合基本不等式，即可求实数 a 的取值范围；本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查恒成立问题，属于难题，综合性强．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意知F1（-c，0），F2（ c， 0）， A（ 0，b）∵F1为 BF2的中点， AB⊥AF2，222∴Rt△ABF 2中， BF2 =AB +AF2，（ 4c）2=（）2+a2，又 a2=b2+c2，∴a=2 c，故椭圆的离心率 e= = ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知= ，得 c= a，Rt △ABF 2 的外接圆圆心为（ - a ， 0），半径 r =a ，所以=a ，解得 a=2 ，∴c=1， b= ，所求椭圆方程为+ =1；（ Ⅲ ）由（ Ⅱ ）知 F 2（ 1，0）， l ： y=k （ x-1）， 设 M （ x 1， y 1）， N （ x 2， y 2），由 y=k （ x-1）和 3x 2+4y 2=12 ，代入得（ 3+4k 2） x 2-8k 2x+4k 2-12=0 ， 则 x 1+x 2=，y 1+y 2=k （x 1+x 2-2），+=（ x 1+x 2-2m ，y 1 +y 2），由于菱形对角线垂直，则（ + ）? =0，故 x 1+x 2-2m+k （ y 1+y 2） =0，即 x 1+x 2-2m+k 2（ x 1+x 2-2） =0，2-2） =0，-2m+k （ 由已知条件知 k ≠0，∴m== ，∴0＜ m ＜ ，故 m 的取值范围是 0＜ m ＜ ．【解析】（Ⅰ）由题意知 F 1（-c ，0），F 2（c ，0），A （0，b ），由F 1 为 BF 2 的中点，由 AB ⊥AF 2，知 Rt △ABF 2 中，BF 22=AB 2+AF 22，由此能求出椭圆的离心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）知= ，得c= a ，于是 F 2（ a ，0），B （- a ，0），Rt △ABF 2 的外接圆圆心为（- a ，0），半径r=a ，所以 =a ，由此能求出椭圆方程；（Ⅲ）由F 2（1，0），l ：y=k （x-1），设 M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由y=k （x-1）和3x 2+4y 2=12，得（3+4k 2）x 2-8k 2x+4k 2-12=0，由此能求出 m 的取值范围．本题主要考查椭圆标 准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。
2018年天津市河西区高考数学二模试卷(文科)
2018年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知全集U={2，3，4，5，6，7}，集合A={4，5，7}，B={4，6}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2}B．{2}C．{2，5}D．{5，7}2．(★)一个口袋内装有大小相同的5个球，其中2个白球，2个红球，1个黑球，从中一次摸出两个球，则摸出的两个球中没有红球的概率是（）A．B．C．D．3．(★)如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为（）A．3B．-3C．2D．-24．(★)设x∈R，则“|x-2|＜1”是“x 2-x-6＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(★★)设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（-π），f（），f（π2）的大小关系是（）A．f（）＜f（π2）＜f（-π）B．f（）＜f（-π）＜f（π2）C．f（π2）＜f（）＜f（-π）D．f（-π）＜f（）＜f（π2）6．(★★★)已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P在双曲线的右支上，若|PF 1|-|PF 2|=2，且双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线的方程为（）A．=1B．x2-4y2=1C．x2-D．4x2-y2=17．(★★)已知函数f（x）= sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（）A．g（x）在[]上是增函数B．g（x）的图象关于直线x=-对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[]时，函数g（x）的值域是[-2，1]8．(★★★)已知函数f（x）+2= ，当x∈（0，1]时，f（x）=x 2，若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）-t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．(★★)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3+4i= ，则a+b= ．10．(★★★)已知圆C经过点A（2，-1）且和直线x+y=1相切，圆心在直线y=-2x上，则圆C的方程为．11．(★★)已知正实数x，y满足x ，则的最小值为．12．(★★)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为8，面A 1 B 1C 1D 1在一个半球的底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球的球面上，则此半球的体积为．13．(★★★)已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是．14．(★★★)在△ABC中，∠A=60°，| |=2，点D在边AB上，点E在边BC上，= ，= ，若= ，则| |= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．(★★★)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A= ，b 2-a 2= ．（Ⅰ）求tanC的值；（Ⅱ）求tan（2C- ）的值．16．(★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如表：分别用x，y表示每周生产空调器、彩电的台数．（Ⅰ）用x、y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问每周应生产空调器器、彩电、冰箱各多少台时才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）空调器彩电冰箱17．(★★★★)如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90°，AB=1，AD=2，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点，AN⊥CF，垂足为N．（Ⅰ）求证：AN⊥平面CDF；（Ⅱ）求异面直线BF与PC所成角的正切值；（Ⅲ）求三棱锥B-CEF的体积．18．(★★★★)已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，满足（a n-S n-1）2=Sn S n-1，且a 1=1．（Ⅰ）求证：数列{S n}是等比数列；（Ⅱ）设b n=（log 4S n）•S n，求数列{b n}的前n项和T n．19．(★★★)已知椭圆C 1的方程为（a＞b＞0），离心率e= ，其一个焦点在抛物线C 2：y 2=2px（p＞0）的准线上，且抛物线C 2与直线l：x-y+ =0相切．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）若点M，N为椭圆C 1上的两个不同的点，T为平面内任意一点，满足：=，直线OM与ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|TF 1|+|TF 2|为定值？若存在，求点F 1，F 2的坐标；若不存在，则说明理由．20．(★★★)已知函数f（x）=x 3+ax 2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b 2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于- ，求实数a的取值范围．。
天津市2018年高考数学二轮复习 题型练2选择检测 文
题型练2 选择、填空综合练(二)能力突破训练1.设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.6B.5C.4D.32.复数=()A.iB.1+iC.-iD.1-i3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()4.(2017天津河西区高三质量调查)若存在实数x,使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是()A.[-2,1]B.[-2,2]C.[-2,3]D.[-2,4]5.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.下列四个命题中真命题的个数是()①“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”③“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题④命题p:∀x∈[1,+∞),lg x≥0,命题q:∃x0∈R,+x0+1<0,则p∨q为真命题A.0B.1C.2D.37.已知实数x,y满足约束条件则z=2x+4y的最大值是()A.2B.0C.-10D.-158.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π9.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.10.(2017全国Ⅰ,文14)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.11.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.12.已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.13.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为.14.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.思维提升训练1.设集合A={x|x+2>0},B=,则A∩B=()A.{x|x>-2}B.{x|x<3}C.{x|x<-2或x>3}D.{x|-2<x<3}2.复数z=(i为虚数单位)的虚部为()A.2B.-2C.1D.-13.定义域为R的四个函数y=x2+1,y=3x,y=|x+1|,y=2cos x中,偶函数的个数是()A.4B.3C.2D.14.已知x,y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.15.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()6.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C.T=6,φ=D.T=6,φ=7.设a,b是两个非零向量,则使a·b=|a|·|b|成立的一个必要不充分条件是()A.a=bB.a⊥bC.a=λb(λ>0)D.a∥b8.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.B.C.D.9.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.10.(2017全国Ⅲ,文14)双曲线=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.11.(2017江苏,4)下图是一个算法流程图.若输入x的值为,则输出y的值是.12.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是.13.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为.14.设{a n}是集合{2s+2t|0≤s<t,且s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,…,将数列{a n}各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表:则a99等于.##题型练2选择、填空综合练(二)能力突破训练1.B由题意,A∩Z={1,2,3,4,5},故其中的元素个数为5,选B.2.A解析=i,故选A.3.D解析如图,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D.4.D5.A解析关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t∈,则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t∈恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t∈时,y max=10,所以a>10.关于q:只需a-2>1,即a>3.故p是q的充分不必要条件.6.D解析由x=1,得x2-3x+2=0,反之,若x2-3x+2=0,则x=1或x=2,①是真命题;全称命题的否定是特称命题,②是真命题;原命题的逆命题为“若a<b,则am2<bm2”,当m=0时,结论不成立,③是假命题;命题p是真命题,命题q是假命题,④是真命题,故选D.7.B解析实数x,y满足约束条件对应的平面区域为如图ABO对应的三角形区域,当动直线z=2x+4y经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,所以选B.8.C解析△AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R,所以V O-ABC=R2×R=36,解得R=6,故S球=4πR2=144π.9.30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+×6=4≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.10.y=x+1解析设y=f(x),则f'(x)=2x-,所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.11.32解析第一次循环,输入a=1,b=2,判断a≤31,则a=1×2=2;第二次循环,a=2,b=2,判断a≤31,则a=2×2=4;第三次循环,a=4,b=2,判断a≤31,则a=4×2=8;第四次循环,a=8,b=2,判断a≤31,则a=8×2=16;第四次循环,a=16,b=2,判断a≤31,则a=16×2=32;第五次循环,a=32,b=2,不满足a≤31,输出a=32.12.(,+∞)解析作出函数f(x)=的图象,如图.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>.故所求实数m的取值范围是(,+∞).13.-66解析因为a n=1-2n,S n==-n2,=-n,所以数列的前11项和为=-66.14.7解析由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.思维提升训练1.D解析由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A∩B={x|-2<x<3},故选D.2.B解析z==1-2i,得复数z的虚部为-2,故选B.3.C解析由函数奇偶性的定义,得y=x2+1与y=2cos x是偶函数,y=3x与y=|x+1|既不是奇函数也不是偶函数,故选C.4.A解析作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l0:y=2x,可得在点A(1,1)处z取得最大值,最大值为-1.5.B解析已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B正确,故选B.6.C解析由图象易知A=2,T=6,∴ω=.又图象过点(1,2),∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.7.D解析因为a·b=|a|·|b|cos θ,其中θ为a与b的夹角.若a·b=|a|·|b|,则cos θ=1,向量a与b方向相同;若a∥b,则a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|,故选D.8.B解析设AB=a,则由AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B知7=a2+4-2a,即a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC边上的高为AB·sin B=3×.9. 解析由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=×2×1=,高为1,所以该几何体的体积为V=Sh=×1=.10.5解析由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±x.由题意得,解得a=5.11.-2解析由题意得y=2+log2=2-4=-2,答案为-2.12. 解析由已知得a与b的夹角为60°,不妨取a=(1,0),b=(1,).设e=(cos α,sin α),则|a·e|+|b·e|=|cos α|+|cos α+sin α|≤|cos α|+|cos α|+|sin α|=2|cos α|+|sin α|,取等号时cos α与sin α同号.所以2|cos α|+|sin α|=|2cos α+sin α|=|sin(α+θ)|.显然|sin(α+θ)|≤.易知当α+θ=时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sin α,cos α同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为.13. 解析∵SC是球O的直径,∴∠CAS=∠CBS=90°.∵BA=BC=AC=1,SC=2,∴AS=BS=.取AB的中点D,显然AB⊥CD,AB⊥SD,∴AB⊥平面SCD.在△CDS中,CD=,DS=,SC=2,利用余弦定理可得cos∠CDS==-,故sin∠CDS=,∴S△CDS=,∴V=V B-CDS+V A-CDS=×S△CDS×BD+S△CDS×AD=S△CDS×BA=×1=.14.16 512解析用(s,t)表示2s+2t,则三角形数表可表示为第一行3(0,1)第二行5(0,2)6(1,2)第三行9(0,3)10(1,3)12(2,3)第四行17(0,4)18(1,4)20(2,4)24(3,4)第五行33(0,5)34(1,5)36(2,5)40(3,5)48(4,5)…因为99=(1+2+3+4+…+13)+8,所以a99=(7,14)=27+214=16 512.。
天津市2018年高考数学二轮复习 综合能力训练 文
综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设全集为R,集合A={x∈R|x2<4},B={x|-1<x≤4},则A∩(∁R B)=()A.(-1,2)B.(-2,-1)C.(-2,-1]D.(-2,2)2.若复数z=,其中i为虚数单位,则=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.函数f(x)=sin(-2x)的一个递增区间是()A.B.C.D.4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a1-a4=0,则=()A.-8B.8C.5D.155.已知命题p:∃x0∈R,使;命题q:∀x∈,tan x>sin x.下列是真命题的是()A.(p)∧qB.(p)∨(q)C.p∧(q)D.p∨(q)6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出y的值为()A.2B.7C.8D.1287.已知双曲线=1(a>0,b>0),斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.28.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.10.设变量x,y满足约束条件的最小值是.11.(2017全国Ⅰ,文15)已知α∈,tan α=2,则cos=.12.设函数f(x)=|x+2|+|x-2|,x∈R,则不等式f(x)≤6的解集M=.13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为a2∶a3∶a4,则该三角形的面积为.14.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=,cos A=-.(1)求sin C和b的值;(2)求cos的值.16.(13分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.17.(13分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,矩形DCBE所在的平面垂直于☉O所在的平面,AB=4,BE=1.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE的体积最大时,求点C到平面ADE的距离.18.(13分)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x,已知甲、乙两组的平均成绩相同.(1)求x的值,并判断哪组学生成绩更稳定;(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.19.(14分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.20.(14分)已知函数f(x)=2x-+b ln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x+y-8=0.(1)求a,b的值,并求函数f(x)的单调递增区间;(2)设g(x)=f(x)-,试问过点(2,2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.##综合能力训练1.C解析A={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵B={x|-1<x≤4},∴∁R B={x|x>4或x≤-1},则A∩(∁R B)={x|-2<x≤-1}.2.B解析z==1+i,故=1-i.3.D解析f(x)=-sin 2x,由2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),当k=-1时,可知选项D符合.4.C解析 8a1-a4=0⇒q3=8⇒q=2,=1+q2=5.故选C.5.D解析x=-1时,2x>3x,∴命题p是真命题;tan x=,x∈;∵0<cos x<1,sin x>0,∴>1,>sin x,即tan x>sin x,∴命题q是真命题,∴p是假命题,(p)∧q是假命题,q是假命题,(p)∨(q)是假命题,p∧(q)是假命题,p∨(q)为真命题.6.C解析当x=1时,不满足条件“x≥2”,则y=9-1=8.即输出y=8,故选C.7.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即.由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1.∴,e2=1+.∴e=.故选A.8.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-.若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-.9.1解析∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,∴已知切点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为=5-a,∴5-a=3a+1,解得a=1.10.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.11. 解析由tan α=2,得sin α=2cos α.又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.因为α∈,所以cos α=,sin α=.因为cos=cos αcos+sin αsin,所以cos.12.[-3,3]解析不等式即|x+2|+|x-2|≤6,而|x+2|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2,2对应点的距离之和,-3和3对应点到-2,2对应点的距离之和正好等于6,故不等式的解集为M=[-3,3].13. 解析∵{a n}是等差数列,∴a=0,S n=n2,∴a2=3,a3=5,a4=7.设三角形最大角为θ,由余弦定理,得cos θ=-,∴θ=120°.∴该三角形的面积S=×3×5×sin 120°=.14.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.15.(1)解在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=.又由及a=2,c=,可得sin C=.由a2=b2+c2-2bc cos A,得b2+b-2=0.因为b>0,故解得b=1.所以sin C=,b=1.(2)解由cos A=-,sin A=,得cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sin A cos A=-,所以,cos=cos 2A cos-sin 2A sin.16.解 (1)设数列{a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,由题意q>0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N*;数列{b n}的通项公式为b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有c n=(2n-1)·2n-1,设{c n}的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-S n=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,S n=(2n-3)·2n+3,n∈N*.17.(1)证明∵AB是直径,∴BC⊥AC,又四边形DCBE为矩形,∴CD⊥BC.∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD,∴DE⊥平面ACD,又DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD.(2)解由(1)知V C-ADE=V E-ACD=×S△ACD×DE=×AC×CD×DE=×AC×BC≤×(AC2+BC2)=×AB2=,当且仅当AC=BC=2时等号成立,∴当AC=BC=2时,三棱锥C-ADE体积最大为.此时,AD==3,S△ADE=×AD×DE=3,设点C到平面ADE的距离为h,则V C-ADE=×S△ADE×h=,∴h=.18.解 (1)×(9+9+11+11)=10,×(8+9+10+x+12)=10,解得x=1.又[(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-10)2]=1;[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=,∴,∴甲组成绩比乙组成绩更稳定.(2)记甲组4名同学为A1,A2,A3,A4;乙组4名同学为B1,B2,B3,B4;分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),共16个基本事件,其中得分之和低于20分的共有6个基本事件,∴得分之和低于20分的概率是P=.19.(1)解由抛物线的定义,得|AF|=2+.因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA=,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等, 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r=.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d==r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.20.解 (1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2+.依题设,f(1)=5,f'(1)=-3,∴a=-3,b=-2.∴f'(x)=2-,令f'(x)>0,又x>0,∴x>.∴函数f(x)的单调增区间为.(2)g(x)=f(x)-=2x-2ln x,g'(x)=2-.设过点(2,2)与曲线g(x)相切的切线的切点坐标为(x0,y0),则y0-2=g'(x0)(x0-2),即2x0-2ln x0-2=(x0-2),∴ln x0+=2.令h(x)=ln x+-2,则h'(x)=,当h'(x)=0时,x=2.∴h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.∵h=2-ln 2>0,h(2)=ln 2-1<0,h(e2)=>0,∴h(x)的图象与x轴有两个交点,∴过点(2,2)可作2条曲线y=g(x)的切线.。
天津市2018年高考数学二轮复习 题型练3大题专项 三角函数、解三角形综合问题检测 文
题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.已知函数f(x)=sin x-2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最小值.2.在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.4.(2017北京,文16)已知函数f(x)=cos-2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.##题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解 (1)因为f(x)=sin x+cos x-=2sin,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π.当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间上的最小值为f=-.2.解 (1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B=.由正弦定理知,所以AB==5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos B cos+sin B sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-=-.因为0<A<π,所以sin A=.因此,cos=cos A cos+sin A sin=-.3.(1)证明根据正弦定理,可设=k(k>0).则a=k sin A,b=k sin B,c=k sin C.代入中,有,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin A sin B=sin C.(2)解由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1),sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.4.(1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin=-.所以当x∈时,f(x)≥-.5.解 (1)由已知可得f(x)=a=a sin,∵BC==4,∴T=8,∴ω=,由题中图象可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2.(2)由(1)知f(x0)=2sin,即sin.∵x0∈,∴x0+,∴cos,∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=2.6.解 (1)∵m=,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=·(sin x,cos x)=sin x-cos x=sin=0.又x∈,∴x-.∴x-=0,即x=.∴tan x=tan=1.(2)由(1)和已知得cos==sin,又x-,∴x-,即x=.。
天津市高三数学上学期第二次段考试题文(new)
天津市2018届高三数学上学期第二次段考试题 文一、填空题（本大题共8个小题，每小题5分,共40分，则每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、a R ∈,且1a ii-+-为纯虚数，则a 等于 2。
2- C 。
1 D. 1-2、已知，则“”是“”的A.充分不必要条件 B 。
必要不充分条件 C 。
充要条件 D.既不充分也不必要条件3、已知向量,a b 的夹角是3π,||2,||1a b ==，则||||a b a b +⋅-的值是 2123。
5 D 。
264、如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+在区间5[,]66ππ-上的图象，为了得到这个图象，只需将()cos f x A x ω=的图象A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度C. 向右平移8π个单位长度D 。
向左平移6π个单位长度5、若函数||()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-,且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值为A. 2 B 。
2- C. 1 D. 1-x yO6π-3π56π6、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3cos B Cb c=-,则角A 的最大值为 A. 6π B 。
4π C. 3π D. 2π7、若函数()sin()(0)2f x x πωω=->的图象关于点(,0)8π对称，且在(,0)4π-内有零点,则ω的最小值是A 。
2 B. 5 C 。
9 D. 108、已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为'()y f x =，当0x ≠时,()'()0f x f x x+>，若1111(),3(3),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是 A 。
a b c << B 。
天津市2018年高考数学二轮复习题型练7大题专项解析几何综合问题检测文20171214344
题型练7 大题专项(五)解析几何综合问题1.已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE 与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.2.已知椭圆C:=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.3.(2017全国Ⅰ,文20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.4.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB 为直径的圆在y轴上截得的弦长为2.(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设=λ1=λ2,试问λ1+λ2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆C上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T,满足=t(O 为坐标原点),求实数t的取值范围.6.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且同向.①若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;②设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.##题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.解 (1)椭圆C的标准方程为+y2=1.所以a=,b=1,c=.所以椭圆C的离心率e=.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,所以可设A(1,y1),B(1,-y1).直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).令x=3,得M(3,2-y1).所以直线BM的斜率k BM==1.(3)直线BM与直线DE平行.证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知k BM=1.又因为直线DE的斜率k DE==1,所以BM∥DE.当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1).设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=(x-2).令x=3,得点M.由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.所以x1+x2=,x1x2=,直线BM的斜率k BM=.因为k BM-1====0.所以k BM=1=k DE,所以BM∥DE.综上可知,直线BM与直线DE平行.2.解 (1)由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.又c=,所以离心率e=.(2)设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-,从而|BM|=1-y M=1+.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得x N=-,从而|AN|=2-x N=2+.所以四边形ABNM的面积S=|AN|·|BM|====2.从而四边形ABNM的面积为定值.3.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.4.解 (1)由已知:直线m的方程为y=x-,代入y2=2px,得x2-3px+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且线段AB的中点为,由已知()2+=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l:y=kx+2(k≠0),则D,联立得k2x2+4(k-1)x+4=0.由Δ>0得k<.设F(x3,y3),G(x4,y4),则x3+x4=,x3x4=.=λ1⇒(x3,y3-2)=λ1,=λ2⇒(x4,y4-2)=λ2,所以λ1==-,λ2=-.则λ1+λ2=-=-.将x3+x4=,x3x4=代入上式得λ1+λ2=-1.即λ1+λ2为定值-1.5.解 (1)由题意,以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x-c)2+y2=a2,∴圆心到直线x+y+1=0的距离d==a.(*)∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴b=c,a=b=c,代入(*)式得b=c=1,∴a=b=,故所求椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l方程为y=k(x-2),设P(x0,y0),将直线方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,∴Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)=-16k2+8>0,∴k2<.设S(x1,y1),T(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由=t,当t=0时,直线l为x轴,点P在椭圆上适合题意;当t≠0时,得∴x0=,y0=.将上式代入椭圆方程,得=1,整理,得t2=.由k2<知,0<t2<4,∴t∈(-2,0)∪(0,2),综上可得t∈(-2,2).6.解 (1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以=1.②联立①②得a2=9,b2=8.故C2的方程为=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).①因同向,且|AC|=|BD|,所以,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤将④⑤代入③,得16(k2+1)=,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.②证明:由x2=4y得y'=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=.令y=0得x=,即M,所以.而=(x1,y1-1),于是-y1+1=+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.。
天津市2018年高考数学二轮复习题型练10大题综合练检测文
题型练10 大题综合练(二)1.在等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.2.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.3.为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50]上的女生数与体重在区间(50,60]上的女生数之比为4∶3.(1)求a,b的值;(2)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.4.如图,四边形ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于点F,且点F在CE上.(1)求证:AE⊥BE;(2)求三棱锥D-AEC的体积;(3)设点M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.5.(2017山东,文21)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N 的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.6.已知函数f(x)=a ln x-ax-3(a∈R).(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2在区间(t,3)内总不是单调函数,求m的取值范围;(3)求证:×…×(n≥2,n∈N*).##题型练10大题综合练(二) 1.解 (1)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=.所以{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知,b n=.当n=1,2,3时,1≤<2,b n=1;当n=4,5时,2≤<3,b n=2;当n=6,7,8时,3≤<4,b n=3;当n=9,10时,4≤<5,b n=4.所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.2.解 (1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1图2(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y 轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.3.解 (1)样本中体重在区间(45,50]上的女生有a×5×20=100a(人),样本中体重在区间(50,60]上的女生有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)(人),依题意,有100a=×100(b+0.02),即a=×(b+0.02).①根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)×5=1,②解①②得:a=0.08,b=0.04.(2)样本中体重在区间(50,55]上的女生有0.04×5×20=4人,分别记为A1,A2,A3,A4,体重在区间(55,60]上的女生有0.02×5×20=2人,分别记为B1,B2.从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B 1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).其中体重在(55,60]上的女生至少有一人共有9种情况:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).记“从样本中体重在区间(50,60]上的女生随机抽取两人,体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M,则P(M)=.4.(1)证明∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE,∴AE⊥BC.又BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE.(2)解在△ABE中,过点E作EH⊥AB于点H,则EH⊥平面ACD.由已知及(1)得EH=AB=,S△ADC=2.故V D-AEC=V E-ADC=×2.(3)解在△ABE中过点M作MG∥AE交BE于点G,在△BEC中,过点G作GN∥BC交BC于点N,连接MN,则由,得CN=CE.∵MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面AED,∴MG∥平面ADE.∵GN∥BC,BC∥AD,∴GN∥平面ADE.∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面ADE.∴当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时,MN∥平面ADE.5.解 (1)由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2),又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,所以a2=4,b2=2.因此椭圆方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由Δ>0得m2<4k2+2.(*)且x1+x2=-,因此y1+y2=,所以D,又N(0,-m),所以|ND|2=,整理得|ND|2=,因为|NF|=|m|,所以=1+.令t=8k2+3,t≥3,故2k2+1=,所以=1+=1+.令y=t+,所以y'=1-.当t≥3时,y'>0,从而y=t+在[3,+∞)上单调递增,因此t+,等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,所以≤1+3=4,由(*)得-<m<且m≠0.故.设∠EDF=2θ,则sin θ=.所以θ的最小值为,从而∠EDF的最小值为,此时直线l的斜率是0.综上所述,当k=0,m∈(-,0)∪(0,)时,∠EDF取到最小值.6.(1)解当a=-1时,f'(x)=(x>0),由f'(x)>0,得x∈(1,+∞);由f'(x)<0,得x∈(0,1),∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);单调递减区间为(0,1).(2)解∵f'(x)=(x>0),∴f'(2)=-=1.∴a=-2,f(x)=-2ln x+2x-3,g(x)=x3+x2-2x.∴g'(x)=3x2+(m+4)x-2.∵g(x)在区间(t,3)内不是单调函数,且g'(0)=-2,∴由题意知,对于任意的t∈[1,2],g'(t)<0恒成立,∴∴-<m<-9.(3)证明由(1)知,当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),即-ln x+x-1>0,∴0<ln x<x-1对一切x∈(1,+∞)恒成立.∵n≥2,n∈N*,则有0<ln n<n-1,∴0<,∴×…××…×(n≥2,n∈N*).∴×…×(n≥2,n∈N*).。
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题型练2 选择、填空综合练(二)能力突破训练1.设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.6B.5C.4D.32.复数=()A.iB.1+iC.-iD.1-i3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()4.(2017天津河西区高三质量调查)若存在实数x,使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是()A.[-2,1]B.[-2,2]C.[-2,3]D.[-2,4]5.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.下列四个命题中真命题的个数是()①“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”③“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题④命题p:∀x∈[1,+∞),lg x≥0,命题q:∃x0∈R,+x0+1<0,则p∨q为真命题A.0B.1C.2D.37.已知实数x,y满足约束条件则z=2x+4y的最大值是()A.2B.0C.-10D.-158.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π9.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.10.(2017全国Ⅰ,文14)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.11.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.12.已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.13.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为.14.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.思维提升训练1.设集合A={x|x+2>0},B=,则A∩B=()A.{x|x>-2}B.{x|x<3}C.{x|x<-2或x>3}D.{x|-2<x<3}2.复数z=(i为虚数单位)的虚部为()A.2B.-2C.1D.-13.定义域为R的四个函数y=x2+1,y=3x,y=|x+1|,y=2cos x中,偶函数的个数是()A.4B.3C.2D.14.已知x,y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.15.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()6.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C .T=6,φ=D .T=6,φ=7.设a ,b 是两个非零向量,则使a ·b =|a |·|b |成立的一个必要不充分条件是( ) A .a =b B .a ⊥bC .a =λb (λ>0)D .a ∥b8.在△ABC 中,AC=,BC=2,B=60°,则BC 边上的高等于( ) A . B . C . D .9.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .10.(2017全国Ⅲ,文14)双曲线=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x ,则a= .11.(2017江苏,4)下图是一个算法流程图.若输入x 的值为,则输出y 的值是 .12.已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,a ·b =1.若e 为平面单位向量,则|a ·e |+|b ·e |的最大值是 .13.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为 .14.设{a n }是集合{2s +2t|0≤s<t ,且s ,t ∈Z }中所有的数从小到大排列成的数列,即a 1=3,a 2=5,a 3=6,a 4=9,a 5=10,a 6=12,…,将数列{a n }各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表:3 5 6 9 10 12 …则a99等于.##题型练2选择、填空综合练(二)能力突破训练1.B由题意,A∩Z={1,2,3,4,5},故其中的元素个数为5,选B.2.A解析=i,故选A.3.D解析如图,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D.4.D5.A解析关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t∈,则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t∈恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t∈时,y max=10,所以a>10.关于q:只需a-2>1,即a>3.故p是q的充分不必要条件.6.D解析由x=1,得x2-3x+2=0,反之,若x2-3x+2=0,则x=1或x=2,①是真命题;全称命题的否定是特称命题,②是真命题;原命题的逆命题为“若a<b,则am2<bm2”,当m=0时,结论不成立,③是假命题;命题p是真命题,命题q是假命题,④是真命题,故选D.7.B解析实数x,y满足约束条件对应的平面区域为如图ABO对应的三角形区域,当动直线z=2x+4y经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,所以选B.8.C解析△AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R,所以V O-ABC=R2×R=36,解得R=6,故S球=4πR2=144π.9.30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+×6=4≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.10.y=x+1解析设y=f(x),则f'(x)=2x-,所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.11.32解析第一次循环,输入a=1,b=2,判断a≤31,则a=1×2=2;第二次循环,a=2,b=2,判断a≤31,则a=2×2=4;第三次循环,a=4,b=2,判断a≤31,则a=4×2=8;第四次循环,a=8,b=2,判断a≤31,则a=8×2=16;第四次循环,a=16,b=2,判断a≤31,则a=16×2=32;第五次循环,a=32,b=2,不满足a≤31,输出a=32.12.(,+∞)解析作出函数f(x)=的图象,如图.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>.故所求实数m的取值范围是(,+∞).13.-66解析因为a n=1-2n,S n==-n2,=-n,所以数列的前11项和为=-66.14.7解析由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.思维提升训练1.D解析由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A∩B={x|-2<x<3},故选D.2.B解析z==1-2i,得复数z的虚部为-2,故选B.3.C解析由函数奇偶性的定义,得y=x2+1与y=2cos x是偶函数,y=3x与y=|x+1|既不是奇函数也不是偶函数,故选C.4.A解析作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l0:y=2x,可得在点A(1,1)处z取得最大值,最大值为-1.5.B解析已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B正确,故选B.6.C解析由图象易知A=2,T=6,∴ω=.又图象过点(1,2),∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.7.D解析因为a·b=|a|·|b|cos θ,其中θ为a与b的夹角.若a·b=|a|·|b|,则cos θ=1,向量a与b方向相同;若a∥b,则a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|,故选D.8.B解析设AB=a,则由AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B知7=a2+4-2a,即a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC边上的高为AB·sin B=3×.9. 解析由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=×2×1=,高为1,所以该几何体的体积为V=Sh=×1=.10.5解析由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±x.由题意得,解得a=5.11.-2解析由题意得y=2+log2=2-4=-2,答案为-2.12. 解析由已知得a与b的夹角为60°,不妨取a=(1,0),b=(1,).设e=(cos α,sin α),则|a·e|+|b·e|=|cos α|+|cos α+sin α|≤|cos α|+|cos α|+|sin α|=2|cos α|+|sin α|,取等号时cos α与sin α同号.所以2|cos α|+|sin α|=|2cos α+sin α|=|sin(α+θ)|.显然|sin(α+θ)|≤.易知当α+θ=时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sin α,cos α同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为.13. 解析∵SC是球O的直径,∴∠CAS=∠CBS=90°.∵BA=BC=AC=1,SC=2,∴AS=BS=.取AB的中点D,显然AB⊥CD,AB⊥SD,∴AB⊥平面SCD.在△CDS中,CD=,DS=,SC=2,利用余弦定理可得cos∠CDS==-,故sin∠CDS=,∴S△CDS=,∴V=V B-CDS+V A-CDS=×S△CDS×BD+S△CDS×AD=S△CDS×BA=×1=.14.16 512解析用(s,t)表示2s+2t,则三角形数表可表示为第一行3(0,1)第二行5(0,2)6(1,2)第三行9(0,3)10(1,3)12(2,3)第四行17(0,4)18(1,4)20(2,4)24(3,4)第五行33(0,5)34(1,5)36(2,5)40(3,5)48(4,5)…因为99=(1+2+3+4+…+13)+8,所以a99=(7,14)=27+214=16 512.。