第四节__分布的偏度和峰度
数据的偏度和峰度理解
数据的偏度和峰度理解数据的偏度和峰度是描述数据分布形态的两个重要统计量。
它们可以帮助我们进一步了解数据的分布特征，从而指导我们选择合适的统计分析方法和进行数据预处理。
1. 偏度（Skewness）：数据的偏度描述了数据分布的不对称性。
它可以告诉我们数据的分布是向左偏斜还是向右偏斜，以及偏斜的程度。
正偏态数据是指数据分布向右偏斜，即数据的右侧尾部比左侧尾部更长。
这意味着数据中较大的值较为常见。
正偏态数据的偏度大于0，偏度值越大，右偏的程度越严重。
负偏态数据是指数据分布向左偏斜，即数据的左侧尾部比右侧尾部更长。
这意味着数据中较小的值较为常见。
负偏态数据的偏度小于0，偏度值越小，左偏的程度越严重。
数据的偏度可以用下面的公式来计算：偏度 = 3 * (平均值 - 中位数) / 标准差偏度的取值范围为负无穷到正无穷。
当偏度为0时，表示数据分布是对称的，左右两侧的一侧尾部与另一侧尾部相似。
2. 峰度（Kurtosis）：峰度描述了数据分布的尖峭程度，即数据分布的峰值高低以及峰顶的平坦程度。
正常态曲线（正态分布）的峰度为3。
当数据的峰度大于3时，表示数据分布比正态分布更尖峭，峰顶更尖；当数据的峰度小于3时，表示数据分布比正态分布更平坦，峰顶更平坦。
数据的峰度可以用下面的公式来计算：峰度 = (数据的四阶矩 - 3 * 数据的方差的平方) / 数据的方差的平方峰度的取值范围从负无穷到正无穷。
当峰度为0时，表示数据分布与正态分布的峰度相同。
当峰度大于0时，表示数据分布比正态分布更尖峭；当峰度小于0时，表示数据分布比正态分布更平坦。
总结：偏度和峰度是描述数据分布形态的两个重要统计量。
偏度描述了数据分布的不对称性，可以帮助我们了解数据的左右偏斜程度；峰度描述了数据分布的尖峭程度，可以帮助我们了解数据的峰值高低和峰顶的平坦程度。
了解数据的偏度和峰度可以指导我们选择合适的统计分析方法，并进行必要的数据处理和变换，以满足分析的要求。
用偏度和峰度检验正态分布的方法
用偏度和峰度检验正态分布的方法引言正态分布是统计学中最常见的分布之一，也是许多统计推断和假设检验的基础。
在实际应用中，我们常常需要检验数据是否符合正态分布。
偏度（skewness）和峰度（kurtosis）是常用的两个统计量，可以用来判断数据的分布形态。
本文将介绍偏度和峰度的概念，并详细说明如何使用这两个统计量来检验数据是否符合正态分布。
1. 偏度偏度是描述数据分布对称性的统计量。
它衡量了数据分布的左右偏斜程度，可以判断数据是左偏、右偏还是近似对称。
偏度的定义如下：Skewness=∑(X i−X‾)3ni=1/nσ3其中，X i是样本观测值，X‾是样本均值，σ是样本标准差，n是样本容量。
偏度的取值范围为负无穷到正无穷。
当偏度为0时，表示数据分布近似对称；当偏度大于0时，表示数据分布右偏；当偏度小于0时，表示数据分布左偏。
2. 峰度峰度是描述数据分布尖锐程度的统计量。
它衡量了数据分布的峰态，可以判断数据是平顶、尖峭还是扁平。
峰度的定义如下：Kurtosis=∑(X i−X‾)4ni=1/nσ4其中，X i是样本观测值，X‾是样本均值，σ是样本标准差，n是样本容量。
峰度的取值范围为负无穷到正无穷。
当峰度为0时，表示数据分布为正态分布；当峰度大于0时，表示数据分布比正态分布更尖峭；当峰度小于0时，表示数据分布比正态分布更平顶。
3. 检验方法3.1 偏度检验偏度检验的原假设（H0）是数据分布的偏度等于0，即数据分布近似对称。
备择假设（H1）是数据分布的偏度不等于0，即数据分布不对称。
常用的偏度检验方法有两种：Shapiro-Wilk检验和Jarque-Bera检验。
3.1.1 Shapiro-Wilk检验Shapiro-Wilk检验是一种基于排序的统计检验方法，适用于小样本和大样本。
它的原假设是数据来自正态分布。
在Python中，可以使用SciPy库的shapiro函数进行Shapiro-Wilk检验。
第四节 数据集的峰度与偏度
K
N
3
X i 21.429 Fi
3 i 1
11
1 12.09
3
1689.25 0.956 1766.81
结论：偏度系数为正值，而且数值较大，说明农村居民家庭纯 收入的分布为右偏分布，即收入较少的家庭占据多数，而收入 较高的家庭则占少数，而且偏斜的程度较大
(Xi- X ) 3 Fi
-154.64 -336.46 -144.87 -11.84 0.18 23.16 89.02 171.43 250.72 320.74 1481.81
(Xi- X ) 4Fi
2927.15 4686.51 1293.53 46.52 0.20 140.60 985.49 2755.00 5282.94 8361.98 46041.33
1997年农村居民家庭纯收入数据
按纯收入分组（元） 500以下 500~1000 1000~1500 1500~2000 2000~2500 2500~3000 3000~3500 3500~4000 4000~4500 4500~5000 5000以上 户数比重（%） 2.28 12.45 20.35 19.52 14.93 10.35 6.56 4.13 2.68 1.81 4.94
右偏分布
尖峰分布
偏度
(概念要点)
1.数据分布偏斜程度的测度
2.偏度系数=0为对称分布 3.偏度系数> 0为右偏分布 4.偏度系数< 0为左偏分布 5. 计算公式为
3
X
i 1
K
i
X Fi
3 K
3 Fi
i 1
偏度
(实例)
【 例 3.26】 已 知 1997 年我国农村居 民家庭按纯收入分 组的有关数据如表 4.9。试计算偏度系 数
分布的偏度和峰度
项目
分布的偏度和峰度
三、分布的偏度和峰度
一、 偏度
1. 偏度的概念
偏度是指反映频数分布偏态方向和程度的指标。已 知频数分布，若用图形表示，则可以看出有的是对称的， 有的是非对称的（偏态）。偏度是对分布偏斜方向和程度 的测试，与平均数和标准差一样，也是反映频数分布性质 的一个重要指标。偏态通常分为两种：右偏(或正偏)和左 偏(或负偏)。当分布中心对称时，算术平均数、中位数和 众数是相等的；分布越偏，三者差距越大。
三、分布的偏度和峰度
一、 峰度
1. 峰度的概念
峰度是指频数分布曲线与正态分布 曲线相对平坦或尖峭的程度。它反映了 频数分布的各个度量集中于平均数左右 的相对程度，同偏度一样，峰度也是频 数分布的一个重要特征。
三、分布的偏度和峰度
2. 峰度的类型
峰度通常分为以下三种： （1）正态峰度。正态峰度又称标准峰度，是指次数分布 各变量值在平均数左右均匀分布时形成的正态曲线的峰度。 （2）尖顶峰度。尖顶峰度是指变量值的次数在众数周围 分布比较集中，使次数分布曲线比正态分布曲线顶峰更为隆 起尖峭。 （3）平顶峰度。平顶峰度是指变量值的次数在众数周围 分布较为分散，使次数分布曲线较正态分布曲线更为平缓。
第四节数据集的峰度与偏度课件
CHAPTER
金融数据分析中的峰度与偏度
要点一
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ要点二
详细描述
对于具有噪声的数据，可以采用平滑处理的方法，如移动平均、 指数平滑等，以减小噪声对分析结果的影响。
分箱处理
将连续的数据划分为若干个区间，将数据转换为分类变量，可以消 除数据的连续性对分析结果的影响。
特征选择
通过计算数据的峰度和偏度，可以发现数据中的重要特征，从而进 行特征选择，减少数据的维度，提高分析效率。
峰度 = (n*(∑(x^4 - 3*x^2*μ^2 + 2*μ^4))/(σ^4)) - 3
偏度的计算方法
偏度定义
偏度是描述数据分布对称性的统 计量，表示数据分布的不对称程度。
计算公式
偏度 = (n*(∑(x - μ)^3) / (σ^3)) / n
偏度标准化
为了便于比较不同数据集的偏度， 可以将偏度值标准化，即偏度标准 化 = (偏度 - 偏度的期望值) / 偏度 的标准差。
偏度的定 义
偏度
描述数据分布形态的统计量，表示数 据分布的不对称性。
计算公式
偏度 = (n * {(x_i - μ)}^3的平均值) / (σ^3)，其中n是样本数量，x_i是每个 样本值，μ是样本均值，σ是样本标准 差。
峰度与偏度的关系
峰度与偏度都是描述数据分布 形态的统计量，但关注点不同。
峰度关注数据分布的尖锐程度， 而偏度关注数据分布的不对称性。
偏度和峰度的定义
在Minitab的图形化汇总中，偏度和峰度分别表示什么意思？
偏度（Skewness）是对随机变量分布不对称性的度量，用β表示，其计算公式为：
其中，μ为均值，σ为标准差
它的含义是：当分布完全对称时，，正态分布对称，时，分布为正偏，也称为右偏，它的分布中高于均值的尾部有向右延伸严重的情形；当时，分布为负偏，也称左偏，它的分布中低于均值的尾部向左延伸严重。
峰度（Kurtosis）度量随机变量中不中间部分的陡峭程度及两端尾部的厚重程度，也可以简单当作分布平坦性的度量，其计算公式为：
其中，μ为均值，σ为标准差
在比较两个分布的峰度时，一定要让它们有相同的均值和方差。
当数据为正态分布时，其峰度为0，峰度为正数表示数据分布比正态分布中间顶峰更峭，两尾更重；负峰度表示数据分布中间比正态分布顶峰更平，两尾更轻。
标准正态分布的偏度和峰度
标准正态分布的偏度和峰度【整理】
正态分布的偏度是统计数据分布偏斜方向和程度的度量，是统计数据分布非对称程度的数字特征，表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。
直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度；
峰度是表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。
峰度衡量实数随机变量概率分布的峰态。
峰度高就意味着方差增大是由低频度的大于或小于平均值的极端差值引起的。
偏度的衡量是相对于正态分布来说，正态分布的偏度为0，即若数据分布是对称的，偏度为0。
若偏度大于0，则分布右偏，即分布有一条长尾在右；若偏度小于0，则分布为左偏，即分布有一条长尾在左（如下图）；同时偏度的绝对值越大，说明分布的偏移程度越严重。
统计学中的偏度与峰度的概念与计算
统计学中的偏度与峰度的概念与计算统计学中的偏度与峰度是描述数据分布形态的重要概念。
偏度衡量了数据分布的不对称性，而峰度则反映了数据集中程度以及尖峰或平坦的特征。
本文将详细介绍偏度与峰度的定义、计算方法以及其在统计分析中的应用。
一、偏度的概念与计算偏度是描述分布形态偏斜程度的统计量。
它可以取正值、负值或者零。
当偏度为零时，表示数据分布左右对称；当偏度为正值时，表示数据分布向右偏斜；当偏度为负值时，表示数据分布向左偏斜。
在统计学中，常用的偏度计算方法有三种：皮尔逊偏度、Fisher偏度和矩偏度。
1. 皮尔逊偏度（Pearson's skewness）:皮尔逊偏度是偏度的最常用计算方法。
它通过数据的均值、标准差和三阶中心矩来计算。
其计算公式如下：偏度 = 3 * (均值 - 中位数) / 标准差其中，中位数是数据的中间值，处于数据的中央位置。
2. Fisher偏度（Fisher's skewness）：Fisher偏度是在皮尔逊偏度的基础上进行修正的计算方法。
由于皮尔逊偏度的分子存在较大波动，为了消除这种波动的影响，Fisher引入了一个修正系数（第三个标准偏差的立方）来修正偏度的计算公式。
其计算公式如下：偏度 = 3 * (均值 - 中位数) / (标准差 * 第三个标准偏差的立方)3. 矩偏度（Moment skewness）：矩偏度使用样本矩代替总体矩来计算偏度。
样本矩是指数据的各阶原点矩或中心矩。
矩偏度的计算公式如下：偏度 = (1 / 样本容量) * Σ((数据值 - 均值)的3次方) / (标准差的3次方)二、峰度的概念与计算峰度是描述数据分布形态尖峰或平坦程度的统计量。
它可以分为正态峰度和非正态峰度。
1. 正态峰度：正态峰度是以正态分布（也称为钟形曲线）作为基准来进行计算的。
对于正态分布，其峰度定义为3。
当峰度大于3时，表示数据分布较为尖峭（尖峰），而当峰度小于3时，表示数据分布较为平坦。
解析偏度与峰度在数据分布中的意义
解析偏度与峰度在数据分布中的意义统计学中，偏度（skewness）和峰度（kurtosis）是用来描述数据分布形态的重要指标。
它们能够提供关于数据集的偏斜程度和尖峰程度的信息，帮助我们更好地理解和分析数据。
本文将对偏度和峰度在数据分布中的意义进行解析。
一、偏度的意义偏度是用来衡量数据分布的不对称性的统计量。
当数据分布呈现左偏时，偏度值为负；当数据分布呈现右偏时，偏度值为正。
偏度为零表示数据分布相对对称。
偏度的意义在于，它能够帮助我们判断数据分布的形态。
对于对称分布，偏度值接近于零，说明数据集中的正负偏差相对均衡；而对于偏斜分布，偏度值与其方向相关，可以指示数据在分布中的倾向性。
例如，对于金融市场的收益率数据，负偏度表示市场下跌的风险大于上涨的风险，正偏度则相反。
此外，偏度还可以用来判断数据集是否服从正态分布。
正态分布的偏度为零，因此当偏度值显著偏离零时，可以怀疑数据不符合正态分布。
这对于许多统计模型的适用性判断具有重要意义。
二、峰度的意义峰度用来衡量数据分布的尖峰程度，描述数据集在分布中的集中度。
峰度值高表示数据集分布尖峭，尾部较短；峰度值低表示数据集分布平坦，尾部较长。
峰度为零表示数据分布的尖峰程度与正态分布相似。
峰度的意义在于，它能够帮助我们判断数据分布的尖峰程度。
对于金融市场的收益率数据，高峰度可能意味着市场风险较高，价格波动较大；而低峰度则可能表示市场风险较低，价格波动较小。
峰度还可以用来判断数据分布的尾部情况。
正态分布的峰度为零，当峰度值大于零时，表示数据集的尾部较为厚重，存在较多的极端值；当峰度值小于零时，表示数据集的尾部较为轻薄，极端值较少。
这对于风险管理和异常值检测等应用具有重要意义。
三、偏度和峰度的应用偏度和峰度作为数据分布的重要指标，广泛应用于各个领域。
在金融领域，偏度和峰度可以用来评估投资组合的风险和收益特征，帮助投资者制定合理的投资策略。
在市场调研中，偏度和峰度可以用来分析消费者行为和市场需求的分布特征，为企业决策提供参考。
第四节__分布的偏度和峰度
第四节 分布的偏度和峰度一、统计动差描述统计总体分布的变异状况，除了用第二节所介绍的各种变异指标外，在许多场合还利用统计k 阶动差（动差也称矩，是物理学的概念在统计分析中的运用)更进一步地刻划分布的形态特征。
k 阶动差的一般形式为∑∑==n i i ni i k ff x 11，称之为原点矩，通常用k μ表示。
显然，当k 等于1时，即1阶的原点动差就是算术平均数；当k 等于2时，2阶的原点动差就是平方平均数如果把原点移到算术平均数的位置，就可以得到一个以频数分配各组标志值x i 对平均数x 的K 阶中心动差，或称中心矩，通常用k v 表示。
∑∑-===ni i n i i k i k f f x x 11)(ν (3.34) 当k =0时，即零阶中心动差0ν=1；当k =1时，即一阶中心动差1v =0；当K =2时，即二阶中心动差2ν=2σ。
二、偏度偏度是用于衡量分布的不对称程度或偏斜程度的指标。
如果用矩法方式测定，偏度指标α是变量的三阶中心动差除以标准差三次方，用公式表示为：()232333ννσνα==(3.35)当分布对称时，它的所有奇数阶中心矩均为0，要判断分布是否对称，可考虑用奇数阶中心矩测定。
一阶中心矩恒为0，五阶以上的中心矩计算较为繁琐，偏度指标α就是以三阶中心动差来测定的。
由于三阶中心矩含有计量单位，为消除计量单位的影响，以3σ除之。
正态分布曲线左右完全对称，三阶中心动差3ν等于0，即α=0。
当分布不对称时，则三阶中心动差不为0，其分布的偏斜程度使α大于0或小于0。
如图3-12所示，当α=0时为正态分布；当α>0时为正偏斜；当α<0时为负偏斜。
图3-12 三、峰度 峰度是用于衡量分布的集中程度或分布曲线的尖峭程度的指标。
峰度指标β的计算公式如下：3)(34444-∑∑-=-=f f x x σσνβ分布曲线的尖峭程度与偶数阶中心矩的数值大小有直接的关系，2ν是方差，以四阶中心动差4ν度量分布曲线的尖峭程度。
偏度和峰度
你的位置：第四章| 第七节|五、偏度与峰度五、偏度与峰度（一）偏度偏度是指次数分布非对称的偏态方向程度。
为了精确测定次数分布的偏斜状况，统计上采用偏斜度指标。
计算偏斜度有不同的方法，现介绍其中比较简单的一种方法。
由前述介绍可知，在对称分布条件下，=M e=M0；在偏态分布条件下，三者存在数量（位置）差异。
其中，Me居于中间，与M0分居两边，因此，偏态可用与M0的绝对差额（距离）来表示，即与M0的绝对差额越大，表明偏斜程度越大；与M0的绝对差额越小，则表明偏斜程度越小。
当>M0，说明偏斜的方向为右（正）偏；当<M0，则说明偏斜的方向为左（负）偏。
由于偏态是以绝对数表示的，具有原数列的计量单位，因此不能直接比较不同数列的偏态程度。
为了使不同数列的偏态值可比，可计算偏态的相对值，即偏斜度（α）又称为偏态系数，就是将偏态的绝对数用其标准差除之。
公式为：（4-55）偏斜度是以标准差为单位的算术平均数与众数的离差，故其取值范围一般在0与±3之间。
α为0表示对称分布，α为+3与-3分别表示极右偏态和极左偏态。
（二）峰度峰度是指次数分布曲线顶峰的尖平程度，是次数分布的又一重要特征。
统计上，常以正态分布曲线为标准，来观察比较某一次数分布曲线的顶端正党风尖顶或平顶以及尖平程度的大小。
根据变量值的集中与分散程度，峰度一般可表现为三种形态：尖顶峰度、平顶峰度和标准峰度。
当变量值的次数在众数周围分布比较集中，使次数分布曲线比正态分布曲线顶峰更为隆起尖峭，称为尖顶峰度；当变量值的次数在众数周围分布较为分散，使次数分布曲线较正态分布曲线更为平缓，称为平顶峰度。
可见，尖顶峰度或平顶峰度都是相对正态分布曲线的标准峰度而言的。
峰度的测定，一般是采用统计动差方法，即以四阶中心动差V4为测定依据，将V4除以其标准差的四次方σ4，以消除单位量纲的影响，便于不同次数分布曲线的峰度比较，从而得到以无名数表示的相对数，即为峰度的测定值（β）。
第四节 分布偏态与峰度
72521.25 1 12.089 4
3.4
由于a4 ＝3．4>3，说明我国农村居民家庭纯收入的 分布为尖峰分布，说明低收入家庭占有较大的比重。
பைடு நூலகம்
峰度系数是离差四次方的平均数，再除以标准差 的四次方，其计算公式为式中：
K
( X i X )4 Fi
a4 i1
N 4
式中：a4 表示峰度系数，
4
是标准差的四次方。
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第三章 数据分布特征的描述
第四节
二
• 公式中将离差的四次方除以 4，是为了将 峰度系数转化成相对数。用峰度系数说 明分布的尖峰和扁平程度，是通过与正 态分布的峰度系数进行比较而言的。
面向21世纪 课程教材
第三章 数据分布特征的描述
第四节
一
第四节 分布偏态与峰度的测度
• 集中趋势和离散程度是数据分布的两个重要特征， 但要全面了解数据分布的特点，还需要知道数据分 布的形状是否对称、偏斜的程度以及分布的扁平程 度等。偏态和峰度就是对这些分布特征的进一步描 述。
一、偏态及其测度
• 偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。在第一节中 曾经讲到，利用众数、中位数和均值之间的关系就 可以判断分布是左偏还是右偏。显然，判别偏态的 方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏 态系数了。偏态系数的计算方法有很多，这里仅介 绍其中比较常用的一种。
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第三章 数据分布特征的描述
第四节
一
例：已知1997年我国农村居民家庭按纯收入分组的 有关数据如下表。试计算偏态系数。
农村居民家庭按纯收入分组的数据（见书P37）
K
K
a3
偏度和峰度的计算
偏度和峰度的计算偏度(skewness)和峰度(kurtosis)：偏度能够反应分布的对称情况，右偏（也叫正偏），在图像上表现为数据右边脱了⼀个长长的尾巴，这时⼤多数值分布在左侧，有⼀⼩部分值分布在右侧。
峰度反应的是图像的尖锐程度：峰度越⼤，表现在图像上⾯是中⼼点越尖锐。
在相同⽅差的情况下，中间⼀⼤部分的值⽅差都很⼩，为了达到和正太分布⽅差相同的⽬的，必须有⼀些值离中⼼点越远，所以这就是所说的“厚尾”，反应的是异常点增多这⼀现象。
偏度的定义：样本X的偏度为样本的三阶标准矩其中µ是均值，δ为标准差，E是均值操作。
µ3是三阶中⼼距，κt是t th累积量偏度可以由三阶原点矩来进⾏表⽰：样本偏度的计算⽅法：⼀个容量为n的数据，⼀个典型的偏度计算⽅法如下：其中¯x为样本的均值（和µ的区别是，µ是整体的均值，¯x为样本的均值）。
s是样本的标准差，m3是样本的3阶中⼼距。
另外⼀种定义如下：k3是三阶累积量κ3的唯⼀对称⽆偏估计(unique symmetric unbiased estimator)（k3和κ3写法不⼀样）。
k2=s2是⼆阶累积量的对称⽆偏估计。
⼤多数软件当中使⽤G1来计算skew，如Excel，Minitab，SAS和SPSS。
峰度的定义：峰度定义为四阶标准矩，可以看出来和上⾯偏度的定义⾮常的像，只不过前者是三阶的。
样本的峰度计算⽅法：样本的峰度还可以这样计算：其中k4是四阶累积量的唯⼀对称⽆偏估计，k2是⼆阶累积量的⽆偏估计（等同于样本⽅差），m4是样本四阶平均距，m2是样本⼆阶平均距。
同样，⼤多数程序都是采⽤G2来计算峰度。
python使⽤pandas来计算偏度和峰度import pandas as pdx = [53, 61, 49, 66, 78, 47]s = pd.Series(x)print(s.skew())print(s.kurt())它是⽤上⾯的G1来计算偏度G2来计算峰度，结果如下：0.7826325504212567-0.2631655441038463参考：维基百科给出了偏差的计算公式维基百科给出峰度的计算公式Processing math: 100%。
数据分布的峰度与偏度
数据分布的峰度与偏度数据分布如果用直线将直方图每个柱顶的组中值连接起来，可以得到一条形状和直方图相仿的近似曲线，如图 7-43 所示。
图7-43绘制直方图曲线想象一下，如果数据量越来越大，每组数据的组距越来越小，柱形越来越细，那么曲线会越光滑，如图7-44所示左图所示。
如果数据量足够大，柱形图的组距最终缩减成一个数值，就会得到变成一条平滑的曲线，这条曲线也可以看作数据频次的分布，也称为密度分布曲线，如图 7-44 所示。
图 7-44 密度分布曲线密度分布曲线的实际意义和直方图是一样的，只是把组距缩小成了一个点，如图 7-45所示。
数据点所在位置表示数值是 16 的数据点出现的频次为15，这条线上的每一个点都代表相应数值在数据组中出现的次数。
图7-45密度分布曲线实际意义偏度ENJOY THE SUMMER假设某班级中少部分学生的成绩特别优秀，总是得 90 分以上的高分；另有少部分学生总是不及格；剩下大部分学生的成绩都是中等水平，得分在 60 分至90 分，把该班的学生成绩分布画成曲线，如图 7-46 所示。
图7-46学生成绩分布图中曲线和横轴之间的面积就是学生图 7-46 学生成绩分布总人数，60 和 90 所在线、横轴和曲线所围成的面积是 60 分至 90 分的学生人数。
如果某次考试难度很大，那么多数学生分数将偏低，就会出现图7-47 中左图的分布；与之相反，如果考试难度很低，那么多数学生分数将偏高，就会出现图 7-47 中右图的分布。
图7-47偏移的分布仔细观察两个分布图，曲线的波峰向左边倾斜是由于中位数大于均值，表现在图上是长尾在右侧，这种情况称为右偏或正偏；曲线的波峰向右倾斜是由于均值大于中位数，表现在图上是长尾在左侧，这种情况称为左偏或负偏。
峰度峰度指分布曲线的形态是陡峭还是平缓。
那么什么样的峰是陡峭的，什么样的峰是平缓的？偏度是以均值和中位数的相对位置决定了正偏还是负偏，峰度的比较标准是标准正态分布。
峰度与偏度
峰度peakness；kurtosis又称峰态系数。
表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。
直观看来，峰度反映了尾部的厚度。
峰度以bk表示，Yi是样本测定值，Ybar是样本n次测定值的平均值，s为样本标准差。
正态分布的峰度为3。
bk<3称分布具有不足的峰度，bk>3称分布具有过度的峰度。
若知道分布有可能在峰度上偏离正态分布时，可用峰度来检验分布的正态性。
次数分配较常态分配曲线平坦者,为低阔峰分配g20.g2=0时为常态分配.简单来讲，峰度是描述分布形态的陡缓程度。
峰度为3表示与正态分布相同，峰度大于3表示比正态分布陡峭，小于3表示比正态分布平坦。
在实际应用中，通常将峰度值做减3处理，使得正态分布的峰度0。
因此，在使用统计软件进行计算是，应注意该软件默认的峰度值计算公式。
如Eviews默认的正态分布峰度为3。
偏度skewness表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。
直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度。
偏度以bs表示，xi是样本观测值，xbar是样本n次观测值的平均值。
正态分布的偏度为0，两侧尾部长度对称。
bs<0称分布具有负偏离，也称左偏态，此时数据位于均值左边的比位于右边的少，直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长，因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长；bs>0称分布具有正偏离，也称右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的少，直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长，因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长；而bs接近0则可认为分布是对称的。
若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时，可用偏离来检验分布的正态性。
右偏时一般算术平均数>中位数>众数，左偏时相反，即众数>中位数>平均数。
正态分布三者相等。
对于n个样本值的偏度，计算方法如下：计算公式这里xi 是第i个样本，, sd是样本标准差. g1 是总体偏度的有偏估计。
正态分布峰度偏度 推导
正态分布峰度偏度推导正态分布是统计学中常见的一种概率分布模型，也称为高斯分布。
它具有对称的钟形曲线，由两个参数完全确定，即均值和标准差。
正态分布的峰度和偏度是描述其形状特征的重要指标。
我们来介绍一下峰度。
峰度是用来衡量概率分布曲线在峰值附近的陡峭程度的统计量。
对于正态分布来说，峰度为3，代表它的曲线相对陡峭且较为集中。
峰度大于3表示曲线更陡峭，峰度小于3表示曲线相对平缓。
峰度的计算方法是通过计算数据分布的四阶中心矩来得到的。
中心矩是指关于均值的矩，其中一阶中心矩为0，二阶中心矩为方差，三阶中心矩为偏度，四阶中心矩为峰度。
峰度的计算公式较为复杂，涉及到高阶的统计计算，但我们可以通过计算样本数据的峰度来近似估计正态分布的峰度。
接下来，我们来介绍一下偏度。
偏度是用来衡量概率分布曲线的对称性的统计量。
对于正态分布来说，偏度为0，代表它的曲线是对称的。
偏度大于0表示曲线右偏，偏度小于0表示曲线左偏。
偏度的计算方法是通过计算数据分布的三阶中心矩来得到的。
三阶中心矩也称为偏度矩，它描述了数据分布的偏斜程度。
偏度的计算公式较为简单，可以通过样本数据的计算得到。
正态分布的峰度和偏度是用来描述其形状特征的重要指标。
峰度衡量了曲线的陡峭程度，峰度大于3表示曲线更陡峭，峰度小于3表示曲线相对平缓；偏度衡量了曲线的对称性，偏度大于0表示曲线右偏，偏度小于0表示曲线左偏。
正态分布的峰度和偏度在实际应用中具有重要的意义。
通过对数据分布的峰度和偏度进行分析，我们可以了解到数据的形状特征，进而进行合理的数据处理和统计推断。
例如，在金融领域，对股票收益率的分布进行峰度和偏度分析可以帮助投资者评估风险和收益的潜在特征；在质量管理中，对产品尺寸的分布进行峰度和偏度分析可以帮助企业优化生产工艺和控制产品质量。
正态分布的峰度和偏度是描述其形状特征的重要指标。
峰度衡量了曲线的陡峭程度，峰度大于3表示曲线更陡峭，峰度小于3表示曲线相对平缓；偏度衡量了曲线的对称性，偏度大于0表示曲线右偏，偏度小于0表示曲线左偏。
偏度和峰度的计算
偏度和峰度的计算一、偏度（Skewness）偏度是用来度量数据分布的对称性或偏斜程度的统计指标。
当数据分布左偏时，它的尾部将会向左延伸，数据集中的值将偏向右侧；相反，当数据分布右偏时，尾部向右延伸，数据将偏向左侧。
标准正态分布的偏度为0，正偏斜的数据的偏度将大于0，负偏斜的数据的偏度将小于0。
计算偏度的公式如下所示：其中，n表示数据点的数量，X表示每个数据点的值，μ表示均值，σ表示标准差。
偏度的计算结果有以下几种可能：1.偏度为0，代表数据分布是对称的。
2.偏度大于0，代表数据右偏斜，也称为正偏斜，即数据分布的右尾部相对于左尾部更长，数据集中的值更多地偏向右侧。
3.偏度小于0，代表数据左偏斜，也称为负偏斜，即数据分布的左尾部相对于右尾部更长，数据集中的值更多地偏向左侧。
应用示例：例如，假设我们研究了一组学生的体重数据。
通过计算数据的偏度，我们可以了解数据分布的形状。
如果偏度为0，意味着数据的分布是对称的，体重集中在平均值附近，无论是超重还是偏轻的学生数量是相等的。
然而，如果偏度大于0，我们可以推断数据分布是右偏的，体重较重的学生较多。
相反，如果偏度小于0，则数据分布可能是左偏的，体重较轻的学生较多。
二、峰度（Kurtosis）峰度是用来度量数据分布尖锐或平坦程度的统计指标。
它描述了数据集的尾部和峰值相对于正态分布的情况。
正态分布的峰度为3，如果数据分布的峰度大于3，说明该分布的曲线较尖锐，峰值较高；而如果峰度小于3，说明该分布的曲线较平坦，峰值较低。
计算峰度的公式如下所示：其中，n表示数据点的数量，X表示每个数据点的值，μ表示均值，σ表示标准差。
峰度的计算结果有以下几种可能：1.峰度为3，代表数据分布的形状与正态分布相同，无论是尖锐还是平坦。
2.峰度大于3，代表数据分布的峰值较高且尾部较尖锐。
3.峰度小于3，代表数据分布的峰值较低且尾部较平坦。
应用示例：假设我们研究了一组学生的考试成绩数据。
通过计算数据的峰度，我们可以了解数据分布的形状。
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第四节 分布的偏度和峰度
一、统计动差
描述统计总体分布的变异状况，除了用第二节所介绍的各种变异指标外，在许多场合还利用统计k 阶动差（动差也称矩，是物理学的概念在统计分析中的运用)更进一步地刻划分布的形态特征。
k 阶动差的一般形式为∑∑==n i i n
i i k f
f x 11
，称之为原点矩，通常用k μ表示。
显然，当k 等于1时，即1阶的原点动差就是算术平均数；当k 等于2时，2阶的原点动差就是平方平均数
如果把原点移到算术平均数的位置，就可以得到一个以频数分配各组标志值x i 对平均数x 的K 阶中心动差，或称中心矩，通常用k v 表示。
∑∑-=
==n
i i n i i k i k f f x x 11)(ν (3.34) 当k =0时，即零阶中心动差0ν=1；
当k =1时，即一阶中心动差1v =0；
当K =2时，即二阶中心动差2ν=2
σ。
二、偏度
偏度是用于衡量分布的不对称程度或偏斜程度的指标。
如果用矩法方式测定，偏度指标α是变量的三阶中心动差除以标准差三次方，用公式表示为：
()2
32333ννσνα==
(3.35)
当分布对称时，它的所有奇数阶中心矩均为0，要判断分布是否对称，可考虑用奇数阶中心矩测定。
一阶中心矩恒为0，五阶以上的中心矩计算较为繁琐，偏度指标α就是以三阶中心动差来测定的。
由于三阶中心矩含有计量单位，为消除计量单位的影响，以3σ除之。
正态分布曲线左右完全对称，三阶中心动差3ν等于0，即α=0。
当分布不对称时，则三阶中心动差不为0，其分布的偏斜程度使α大于0或小于0。
如图3-12所示，当α=0时为正态分布；当α>0时为正偏斜；当α<0时为负偏斜。
图3-12 三、峰度 峰度是用于衡量分布的集中程度或分布曲线的尖峭程度的指标。
峰度指标β的计算公式如下：
3)(34444-∑∑-=-=f f x x σσνβ
分布曲线的尖峭程度与偶数阶中心矩的数值大小有直接的关系，2ν是方差，以四阶中心动差4ν度量分布曲线的尖峭程度。
4ν含有计量单位，其计量单位同4σ。
为消除计量单位的影响，将4ν除以4σ，就得到无量纲的相对数。
因为衡量分布的集中程度或分布曲线的尖峭程度是以正态分布的峰度作为比较标准的，在
正态分布条件下，344≡σν，将各种不同分布的尖峭程度与正态分布比较，即44σν减
3，就得峰度指标β的测定公式。
当峰度指标β>0时，表示分布比正态分布更集中在平均数周围，分布呈尖峰状态；0=β分布为正态分布；β<0时，表示分布比正态分布更分散，分布呈低峰态，如图3-13所示：
图3-13 Ⅰ(α=0)
II (α>0)
Ⅲ(α< 0)
Ⅱ(β>0) Ⅰ(β=0) Ⅲ (β<0)
x。