2019-2020年高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.2平面向量的基本定理及坐标表示课件
2020年高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4_3数系的扩充与复数的引入课件文人教A版
2．复数的几何意义
复数
z＝a＋bi(a，b∈R)
一一 对应
复平面内的点
Z(a，b)
形式的四则运算
(1)运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
根据OC＝λOA＋μOB，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴－ 2λ－λ＋μμ＝＝－3， 4， 解得λμ＝＝－2. 1， ∴λ＋μ＝1.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)， 由于|z|＝1，∴x2＋y2＝1，即点z(x，y)在单位圆上， ∴|z＋i|＝|x＋yi＋i|＝ x2＋y＋12 表示(x，y)与点(0，－1)的距离，如图，|z＋i|max ＝2.
考点二|复数的几何意义 (思维突破)
【例2】
(1)(2018·高考北京卷)在复平面内，复数
1 1－i
的共轭复数对应的点位于
() A．第一象限
B.第二象限
C．第三象限
D.第四象限
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为
→→→ A，B，C，若OC＝λOA＋μOB，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
把分子、分母分别乘以分母
除法
的共轭复数，然后分子、分
＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c＋di≠0) 母分别进行乘法运算
(2)复数加法的运算律：
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 ； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
2020版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4_4数系的扩充与复数的引入课件文新人教A版
(2)设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则 y≥x 的概率为( ) A．34＋21π B．12＋1π C．12－1π D．14－21π 解析 (2)由|z|≤1 知复数 z 在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0) 为圆心，1 为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且 满足 y≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足 y≥x 的概
【变式训练】
→ (1)如图，若向量OZ对应的复数为
z，则
z＋4z表示的复
数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析 (1)由题图可得 Z(1，－1)，即 z＝1－i，所以 z＋4z＝1－i＋1－4 i＝ 1－i＋1－41i＋1＋i i＝1－i＋4＋2 4i＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选 D。
)
A．2－i B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
解析 2－5 i2＝2－52i＋2＋i i2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是 3－ 4i。故选 C。
答案 C
二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i
必考部分
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．复数的有关概念
(1)复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部 和 虚部。
若 b＝0 ，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0 ，
2019年高考数学一轮： 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数的引入学案 理
第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真] (教师用书独具)1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．(对应学生用书第77页)[基础知识填充]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ←————→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) ←————→一一对应平面向量OZ →＝(a ，b )． 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)在复平面内，原点是实轴与虚轴的交点．( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2. (教材改编)如图441，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图441A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，∴复数z ＝－1－2i 所对应的复平面内的点为Z (－1，－2)，位于第三象限． 故选C ．]4．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－iD [3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.故选D ．]5．设i 是虚数单位，若复数(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________．2 [因为(2＋a i)i ＝－a ＋2i ，又其实部与虚部互为相反数，所以－a ＋2＝0，即a ＝2.](对应学生用书第77页)(1)(2018·合肥一检)设i 为虚数单位，复数z ＝1－i3－i的虚部是( )A ．15 B ．－15C ．1D ．－1(2)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(1)B (2)B [(1)复数z ＝(1－i)(3＋i)(3－i)(3＋i)＝4－2i 10＝25－15i ，则z 的虚部为－15，故选B ．(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B ．]复数的概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程不等式组即可解决复数模的问题可以根据模的性质把积、商的模转化为模的积、商易错警示：解题时一定要先看复数是否为a ＋ba ，b ∈的形式，以确定实部和虚部[跟踪训练] (1)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2018·长沙模拟(二))已知a 是实数，a －i2＋i是纯虚数，则a ＝( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1(1)C (2)A [(1)因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i.故选C ．(2)复数a －i 2＋i ＝(a －i)(2－i)5＝2a －15－a ＋25i 是纯虚数，则2a －15＝0且－a ＋25≠0，解得a ＝12，故选A ．](1)(2018·石家庄质检(二))在复平面中，复数1(1＋i)2＋1对应的点在( ) 【导学号：79140161】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(1)D (2)A [(1)复数1(1＋i)2＋1＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i)(1－2i)＝15－25i ，其在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，位于第四象限，故选D ．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．]复数a ，⇔a ，b ⇔OZ→由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观的值等于( )A ．1B ．2C ．5D ．6(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(1)B (2)A [(1)复数z ＝(a －1)＋3i 在复平面内对应的点(a －1,3)在直线y ＝x ＋2上，3＝a －1＋2，a ＝2，故选B ．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.](1)(2018·广州综合测试(二))若复数z 满足(3＋4i －z )i ＝2＋i ，则z ＝( ) A ．4＋6i B ．4＋2i C ．－4－2iD ．2＋6i(2)(2018·石家庄一模)若z 是复数，z ＝1－2i1＋i ，则z ·z ＝( )A ．102B ．52C ．1D ．52(1)D (2)D [(1)由题意得3＋4i －z ＝2＋i i ＝i(2＋i)i2＝1－2i ，所以z ＝2＋6i ，故选D ． (2)因为z ＝1－2i 1＋i ＝(1－2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－12－32i ，所以z ＝－12＋32i ，所以z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝52，故选D ．]复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把记住以下结论，可提高运算速度2＝±2i；②a ＋；⑤i ＝i ；i4n ＋2＝－n ∈[跟踪训练] (1)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________. 【导学号：79140162】(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________． (1)1＋i (2)2 [(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009 ＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i1 009＝1＋i4×252＋1＝1＋i.(2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ， ∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴a b＝2.]。
近年届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入演练直击高
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第4讲数系的扩充与复数的引入1．(2018·连云港模拟))复数(1＋i）2的虚部是________．［解析] （1＋i）2＝2i,所以该复数的虚部为2。
［答案］ 22．复数z满足（z－3）（2－i）＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数错误!为________．［解析] 由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋错误!＝3＋错误!＝3＋2＋i＝5＋i,所以错误!＝5－i。
［答案］ 5－i3．设复数z的共轭复数为错误!,若z＝1－i（i为虚数单位),则错误!＋z2的值为________．[解析］依题意得错误!＋z2＝错误!＋(1－i)2＝错误!－2i＝i－2i＝－i。
［答案］－i4．在复平面内O为坐标原点，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA→和错误!，则|错误!｜＝________.［解析] 由复数的几何意义知，错误!＝（1，1），错误!＝(1，3)，则错误!＝错误!－错误!＝（1，3）－（1,1)＝(0，2），所以|错误!|＝2。
［答案］ 25．(2018·云南省师大附中月考改编)若复数z＝错误!的共轭复数是错误!＝a＋b i(a,b∈R）,其中i为虚数单位，则点(a，b)为________．[解析］因为z＝错误!＝－2－i，所以错误!＝－2＋i.［答案］ (－2，1）6．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R,i是虚数单位,则点P(a，b)到原点的距离等于________．[解析] 由已知a i＋2＝b－i，所以错误!所以点P（－1，2）到原点距离|OP｜＝错误!。
2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4讲
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四讲 数系的扩充与复数的引入
1 2 3
知 识 梳 理 考 点 突 破 名 师 讲 坛 思 想 方 法
4
知 识 梳 理
• 1．复数的有关概念 • (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中 a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。i是虚数单位。规 2 4 k ＝－ 1 由此可知： 定 i i ＝1.i4k 1. ＝i，i4k 2＝－1，i4k 3＝－i，
考 点 突 破
考点 1
复数的概念
1＋ai (1)(2017· 湖南三湘名校联盟联考)已知 为纯虚数(i 是虚数单位)， 1－i 则实数 a＝ 导学号 58532722 ( A A．1 B．－1 ) C．2 D．－2
z (2)(文)(2016· 全国Ⅲ)若 z＝4＋3i，则|z|＝ 导学号 58532723 ( D ) A．1 B．－1 4 3 C．5＋5i 4 3 D．5－5i
z2＋z1 ①交换律：z1＋z2＝_________________ ； z1＋(z2＋x3) ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝_________________.
1．两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小． 1＋i 1－i 2．(1± i) ＝± 2i； ＝i； ＝－i. 1－i 1＋i
2
(3)复数的几何表示： 复数 z＝a＋bi(a， b∈R) → 向量OZ.
一一 对应 一一 对应
复平面内的点 Z(a， b)
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(a＋c)＋(b＋d)i ； ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________ (a－c)＋(b－d)i ； ②减法：z －z ＝(a＋bi)－(c＋di)＝_________________
2019-2020年高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标26数系的扩充与复数的引入
2019-2020年高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标26数系的扩充与复数的引入[解密考纲]主要考查复数的四则运算，其中复数的除法运算是常考考点，多以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．(xx·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( B ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．3＋3i解析 依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i.故选B ．2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( D ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i解析 根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. 3．i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( C )A ．－2B ．－1C ．0D ．12解析 ∵＋－＋－＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg 1＝0.故选C ．4．已知复数z ＝(a 2－1)＋(a －1)i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( C )A ．0B ．1C ．－1D ．±1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.5．满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( B ) A ．12＋12i B ．12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析 去掉分母，得z ＋i ＝z i ，所以(1－i)z ＝－i ，解得z ＝－i 1－i ＝12－12i.故选B ．6．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )(i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．－12解析 由题意可得1－a i 1＋a i ＝－35＋45i ，即－a21＋a2＝1－a 2－2a i 1＋a 2＝－35＋45i ，∴1－a 21＋a2＝－35，－2a 1＋a 2＝45，∴a ＝－2.故选B ． 二、填空题7．(xx·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为__－2__.解析 因为a －i 2＋i ＝a －－＋－＝2a －1－a ＋5为实数，所以a ＋2＝0，即a＝－2.8．(xx·浙江卷)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝__5__，ab ＝__2__.解析 ∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2.9．若复数z 满足(1＋2i)z ＝|3＋4i|(i 为虚数单位)，则复数z ＝__1－2i__. 解析 ∵(1＋2i)z ＝|3＋4i|＝5， ∴z ＝51＋2i ＝－＋－＝1－2i.三、解答题 10．计算：(1)－1＋＋i 3；(2)＋2＋－2＋i； (3)1－i ＋2＋1＋i －2；(4)1－3i 3＋2.解析 (1)－1＋＋i 3＝－3＋i －i ＝－3＋i－i·i＝－1－3i.(2)＋2＋－2＋i＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i＝－5＝15＋25i. (3)1－i ＋2＋1＋i－2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋2＝3＋－3＋2＝－i 3＋i＝－3－3＋3－＝－1－3i 4＝－14－34i. 11．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)． 12．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若 z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解析 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.2019-2020年高考数学大二轮总复习增分策略第四篇第1讲集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[问题1] 已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或32．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|y＝f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集．[问题2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.3．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．[问题3] 设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________________________________________．4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.[问题4] 满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．5．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[问题5] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B等于( )A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．[问题6] 已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________________________________________________________________________________________________________________________________________.7．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A 是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.[问题7] 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．8．要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[问题8] 若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是________________．例1 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．错因分析集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B⊆A，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B＝∅的情况，导致漏解．解因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－＞0，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1； ②当∅≠BA 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0， 解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.易错点2 忽视区间端点取舍例2 记f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a ＜1)的定义域为B .若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．错因分析 在求解含参数的集合间的包含关系时，忽视对区间端点的检验，导致参数范围扩大或缩小． 解 ∵2－x ＋3x ＋1≥0，∴x －1x ＋1≥0. ∴x ＜－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 由(x －a －1)(2a －x )＞0，得(x －a －1)(x －2a )＜0. ∵a ＜1，∴a ＋1＞2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)． ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1， 即a ≥12或a ≤－2，而a ＜1，∴12≤a ＜1或a ≤－2. 故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[12，1)．易错点3 混淆充分条件和必要条件例3 若p ：a ∈R ，|a |＜1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，但不满足p ，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件错因分析 解答本题易出现的错误是颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件而致误．解析 p ：a ∈R ，|a |<1⇔－1＜a ＜1⇒a －2＜0，可知满足q 的方程有两根，且两根异号，所以p 是q 的充分条件，但p 不是q 的必要条件，如当a ＝1时，q 中方程的一个根大于零，另一个根小于零，但不满足p .本题也可以把命题q 中所有满足条件的a 值求出来，再进行分析判断，实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于0，对于本题就是a －2＜0，即a ＜2，故选A. 答案 A易错点4 “或”“且”“非”理解不清例4 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－12，－4)∪[4，＋∞) B ．[－12，－4]∪[4，＋∞) C ．(－∞，－12)∪(－4,4) D ．[12，＋∞)错因分析 当p 或q 为真命题时，p ，q 之间的真假关系判断错误．解析 命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，解得a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，解得a ≥－12.因为p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则命题p 和q 一真一假．当p 真q 假时，a ＜－12；当p 假q 真时，－4＜a ＜4，故选C. 答案 C1．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 为( ) A ．－1 B ．2C ．－1或2D ．1或－1或22．设全集U ＝R ，A ＝{x |xx －2＜0}，B ＝{x |2x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}3．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B．a <1 C ．a ≥2 D．a >24．(xx·天津)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知集合A ＝{x ∈R |x －4x ＋1≤0}，B ＝{x ∈R |(x －2a )(x －a 2－1)＜0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．{1}∪[2，＋∞)D ．(1，＋∞)6．已知p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，q ：y ＝(2a －1)x为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤23 B ．0<a <12 C.12<a ≤23 D.12<a <17．已知集合A ＝{－1，m }，B ＝{x |x ＞1}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________． 8．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合M ＝{(x ，y )|y ＋2x －2＝1}，N ＝{(x ，y )|y ≠x －4}，那么(∁U M )∩(∁U N )＝______.9．已知条件p ：x 2＋2x －3>0，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为__________． 10．给出如下四个结论：①若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题；②“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b－1”； ③“∀x ∈R ，x 2＋x ≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0≤1”； ④“x ＞0”是“x ＋1x≥2”的充要条件．其中正确的是________．学生用书答案精析第四篇 回归教材，纠错例析，帮你减少高考失分点 1．集合与常用逻辑用语 要点回扣 [问题1] B [问题2] ∅ [问题3] {0，12，13}[问题4] 7 [问题5] C[问题6] 否命题：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ； 1命题的否定：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b [问题7] 充分不必要[问题8] (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析 不等式即(x 2＋x )a －2x －2>0，设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2.研究“任意a ∈[1,3]，恒有f (a )≤0”．则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23.则实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.查缺补漏1．C [因为B ⊆A ，所以a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 若a 2－a ＋1＝3，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，满足题意； 当a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，满足题意． 若a 2－a ＋1＝a ，即a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1， 此时集合A 中有重复元素1，舍去． 由以上，可知a ＝－1或a ＝2.故选C.]2．B [A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{ x | x ＜1}，由题图可知阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A＝{ x|1≤x ＜2}．]3．C [∵B ＝{ x |1< x <2}，∴∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}，又∵A ＝{x |x <a }，且A ∪(∁R B )＝R ，利用数轴易知应有a ≥2，故选C.]4．A [由| x －2|＜1得，1＜x ＜3，由x 2＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3⇒x ＜－2或x ＞1，而x ＜－2或x ＞1⇏1＜x ＜3，所以，“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A.]5．C [由x －4x ＋1≤0，得A ＝{x ∈R |－1＜x ≤4}，B ＝{x ∈R |(x －2a )(x －a 2－1)＜0}＝{x ∈R |2a ＜x ＜a 2＋1}．若B ≠∅，则在数轴上可以看出2a ≥4，所以a ≥2；若B ＝∅，只能a ＝1，综上选C.]6．C [p ⇔a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23，q ⇔a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23.] 7．(1，＋∞)解析 因为A ∩B ≠∅且－1∉B ，所以必有m ∈B ，所以m ＞1.8．{(2，－2)}解析 由题意，知M ＝{(x ，y )|y ＝x －4(x ≠2)}，M 表示直线y ＝x －4上的点集，但是除掉点(2，－2)，∁U M 表示直线y ＝x －4外的点集，且包含点(2，－2)；N 表示直线y ＝x －4外的点集，∁U N 表示直线y ＝x －4上的点集，所以(∁U M )∩(∁U N )＝{(2，－2)}．9．[1，＋∞)解析 由x 2＋2x －3>0可得x >1或x <－3，“綈p 是綈q 的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，故a ≥1.10．②④解析 ①若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 不一定都是真命题，所以①不正确；②“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”，所以②正确；③“∀x ∈R ，x 2＋x ≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＜1”，所以③不正确；④“x ＞0”是“x ＋1x≥2”的充要条件，所以④正确．。
2020高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4-4数系的扩充与复数的引入模拟演练文
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4-4数系的扩充与复数的引入模拟演练文[A级基础达标](时间：40分钟)1．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )A．2 B． 3C．D．1答案B解析解法一：由已知＝2，得＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2.∴＝2.∵a>0，∴a＝.解法二：∵＝＝|a＋i|＝＝2，∴a＝.2．[2016·北京高考]复数＝( )A．i B．1＋iC．－i D．1－i答案A解析＝＝＝＝i，故选A.3．[2016·全国卷Ⅲ]若z＝1＋2i，则＝( )A．1 B．－1C．i D．－i答案C解析∵z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴＝＝i，故选C.4．[2015·湖南高考]已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案D解析由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i.5．[2017·安徽模拟]设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A 解析 设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则由z·i＋2＝2z 得(a ＋bi)(a －bi)i ＋2＝2(a ＋bi)，即(a2＋b2)i ＋2＝2a ＋2bi ，所以2a ＝2，a2＋b2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋bi ＝1＋i.6．[2016·天津高考]i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析 ∵z＝＝1－i ，∴z 的实部为1.7．若＝1－bi ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋bi|＝________. 答案5 解析 ∵a，b∈R，且＝1－bi ，则a ＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i ，∴∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， ∴|a ＋bi|＝|2－i|＝＝. 8．[2014·湖南高考]满足＝i(i 为虚数单位)的复数是________． 答案 －i 2解析 由已知得z ＋i ＝zi ，则z(1－i)＝－i ，即z ＝＝＝＝－.9．[2017·金华模拟]已知z∈C，解方程z·－3i ＝1＋3i.解 设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则(a ＋bi)(a －bi)－3i(a －bi)＝1＋3i ，即a2＋b2－3b －3ai ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ a2＋b2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得或∴z＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z ＝bi(b∈R)，是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 (1)因为z ＝bi(b∈R)，所以＝＝＝＝＋i.又因为是实数，所以＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．[B级知能提升](时间：20分钟)11．复数z为实数的充分不必要条件是( )A．z＝B．|z|＝zC．z2为实数D．z＋为实数答案B解析z＝⇔z∈R.|z|＝z⇒z∈R，反之不行，例如z＝－2.z2为实数不能推出z∈R，例如z＝i.对于任何z，z＋都是实数．故选B.12．复数m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析∵m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，设在复平面内对应的点M的坐标为(x，y)，则消去m得x－3y－1＝0，因为直线x－3y－1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．答案 3解析∵|z－2|＝＝ 3∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.14．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解存在．设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z＋＝a＋bi＋5a＋bi＝a ＋bi.又z ＋3＝a ＋3＋bi 实部与虚部互为相反数，z ＋是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a2＋b2＝0，a ＋3＝－b ，因为b≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a2＋b2＝5，a ＝－b －3， 解得或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
2019-2020年高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入课件文
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
2．复数相等 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c 且 b＝d (a，b，c，d∈R)． 3．共轭复数 a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c 且 b＝－d(a，b，c，d∈R)． 4．复数的模 向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z|或|a＋bi| ，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2 (r≥0，r∈ R)．
则|x＋yi|＝(
)
A．1
B． 2
C． 3
D．2
解析 ∵x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi，
∴xy＝ ＝11， ， ∴|x＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12＝ 2.故选 B.
4．下面是关于复数 z＝－12＋i的四个命题：
p1：|z|＝2; p2：z2＝2i；
p3：z 的共轭复数为 1＋i; p4：z 的虚部为－1.
(2)[2016·北京高考]设 a∈R.若复数(1＋i)(a＋i)在复平面 内对应的点位于实轴上，则 a＝___－ __1___.
2019-2020年高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入课件文北师大版
[五年考情]
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主 要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量 积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题 的形式出现，难度较小． 2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针 引线的载体作用． 3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个 特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．
2019/7/20
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2019/7/20
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[导学心语] 1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1) 向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合 和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用． 2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面 向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用． 3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运 算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法．
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
2019-2020年高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算课件文
触类旁通 平面向量线性运算的一般规律
(1)用已 知向量来表示另外一些 向量是用向量解题的 基 本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利 用平面几何的一些定理．
(2)在求 向量时，要尽可能转化 到平行四边形或三角 形 中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转 化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
命题角度 3 利用向量的线性运算求参数 例 4 [2017·江苏模拟]设 D，E 分别是△ABC 的边 AB， BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23B1 C.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为____2____．
[解析] D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋23(B→A＋A→C) ＝－16A→B＋23A→C，所以 λ1＝－16，λ2＝23，即 λ1＋λ2＝12.
O→D＝O→A＋A→B＋B→C＋C→D
运算律
(1)交换律： a＋b＝ b＋a (2)结合律： (a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法
求 a 与 b 的相 反向量－b 的
和的运算叫 做 a 与 b 的差
a－b＝a ＋(－b)
考点 3 向量的数乘与向量共线定理 1．向量的数乘 (1)长度：|λa|＝ |λ||a| . (2)方向 当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ； 当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 ； 当 λ＝0 时，λa＝ 0 ，其方向是任意的．
∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b ＝5(a＋b)＝5A→B.
∴A→B，B→D共线． 又∵它们有公共点 B，∴A，B，D 三点共线．
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)
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
[解析] ∵B→A＝(－3，－1)，∴B→C＝B→A＋A→C＝(－7，
－4)，选 A 项．
触类旁通 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算 的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应 先求向量的坐标．
考点 3 平面向量的坐标运算
1．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2)
，
a－b＝
(x1－x2，y1) ，|a|＝ x21＋y21.
2．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A→B＝
(x2－x1，y2－y1)
，
|A→B|＝
4．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可 表示成xx12＝yy12.( × )
二、小题快练
1．[2015·四川高考]设向量 a＝(2,4)与向量 b＝(x,6)共线，
则实数 x＝(
)
A．2
B．3
C．4
D．6
解析 由 4x＝12 得 x＝3，选 B.
2．[课本改编]若向量B→A＝(1，－3)，C→A＝(3，－8)，则
＝12λ＋μA→B＋λ＋12μA→D，
于是得12λ＋ λ＋12μμ＝ ＝11， ，
即λμ＝ ＝2332， ，
故 λ＋μ＝43.
考向 平面向量的坐标表示
例 2 [2015·全国卷Ⅰ]已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C＝
(－4，－3)，则向量B→C＝(
x2－x12＋y2－y12
.
考点 4 平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 ；
a
(2)若 a≠0，则与 a 平行的单位向量为 ±|a| .
[必会结论] 1．若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三 点共线的充要条件是 λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合， 都可以得出第三个条件且 λ＋μ＝1 常被当作隐含条件运用． 3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基 底可以有无穷多组．
解析 建立如图所示的直角坐标 系，由题意知 a⊥b，且 a 与 b 是单位 向量，∴可设O→A＝a＝(1,0)，O→B＝b＝ (0,1)，O→C＝c＝(x，y)，
∴c－a－b＝(x－1，y－1)． ∵|c－a－b|＝1， ∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点 C(x，y)的轨迹是以点 M(1， 1)为圆心，1 为半径的圆． 而|c|＝ x2＋y2，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝ 2 ＋1.
板块二 典例探究·考向突破
考向 平面向量基本定理的应用 例 1 [2017·杭州测试] 如图，以向量O→A＝a，O→B＝b 为邻边作▱OADB，B→M＝13B→C，C→N＝13C→D，用 a，b 表示O→M， O→N，M→N.
[解] ∵B→A＝O→A－O→B＝a－b，B→M＝16B→A＝16a－16b， ∴O→M＝O→B＋B→M＝16a＋56b.∵O→D＝a＋b， ∴O→N＝O→C＋13C→D＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b， ∴M→N ＝ O→N －O→M ＝23 a ＋ 23b － 16 a －56 b ＝12a － 16 b.综上， O→M＝16a＋56b，O→N＝23a＋23b，M→N＝12a－16b.
4．[2015·江苏高考]已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)， 若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为__－ __3____．
解析 ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝ ＝－ 9，8， ∴nm＝ ＝52， ， ∴m－n＝2－5＝－3.
(3)设 O 为坐标原点，∵C→M＝O→M－O→C＝3c， ∴O→M＝3c＋O→C＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵C→N＝O→N－O→C＝－2b， ∴O→N＝－2b＋O→C＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴M→N＝(9，－18)．
解 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴－ －63mm＋ ＋n8＝ n＝5－ ，5， 解得mn＝ ＝－ －11.，
【变式训练 1】 在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别 是边 CD 和 BC 的中点．若A→C＝λA→E＋μA→F，其中 λ，μ∈R，
4 则 λ＋μ＝____3____.
解析 选择A→B，A→D作为平面向量的一组基底，则A→C＝
A→B＋A→D，A→E＝12A→B＋A→D，A→F＝A→B＋12A→D，又A→C＝λA→E＋μA→F
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原 则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．
【变式训练 2】 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3， －4)．设A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，且C→M＝3c，C→N＝－2b，
(1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求 M、N 的坐标及向量M→N的坐标．
考向 平面向量共线的坐标表示 例 3 平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝ (4,1)． (1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k. [解] (1)由题意，得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
所以2－mm＋＋n＝ 4n＝ 2，3，
满分策略
1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量
大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种
情况．
2.若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能
表示成x1＝y1，因为 x2 y2
x2，y2
有可能等于
0，所以应表示为
x1y2
－x2y1＝0.
3.使用平面向量基本定理时一定要注意两个基向量不
(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相 应的 t 值；若不能，请说明理由．
解 (1)A→B＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)，则 O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，∴t＝－23； 若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，∴t＝－13； 若 P 在第二象限，则12＋ ＋33tt<>00， ， ∴－23<t<－13.
答题启示 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向 量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出 x＋y 的最大值. 引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法 坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用 代数的方法研究向量问题奠定了基础.
跟踪训练 已知 a，b 是单位向量，a·b＝0.若向量 c 满足|c－a－b| ＝1，则|c|的最大值为___2_＋ __1__．
得mn＝ ＝8995.，
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0. ∴k＝－1136.
触类旁通 利用两向量共线解题的技巧
(1)一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可 设所求向量为 λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于 λ 的方 程，求出 λ 的值后代入 λa 即可得到所求的向量．
由O→C＝xO→A＋yO→B，得cosα＝x－12y， sinα＝ 23y，
所以 x＝cosα＋ 33sinα，y＝2 3 3sinα， 所以 x＋y＝cosα＋ 3sinα＝2sinα＋π6， 又 α∈0，23π，所以当 α＝π3时，x＋y 取得最大值 2.
2B→C＝(
)
A．(－4,10)
B．(－2,5)
C．(4,5)
D．(8,10)
解析 B→C＝B→A＋A→C＝(1，－3)＋(－3,8)＝(－2,5)，故
2B→C＝(－4,10)．
3．[2016·全国卷Ⅱ]已知向量 a＝(m,4)，b＝(3，－2)， 且 a∥b，则 m＝__－ __6____.
解析 因为 a∥b，所以m3 ＝－42，解得 m＝－6.
[双基夯实] 一、疑难辨析 判 断 下 列 结 论 的 正 误 ． ( 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”) 1．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) 2．若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2， μ1＝μ2.( √ ) 3 ． 在 等 边 三 角 形 ABC 中 ， 向 量 A→B 与 B→C 的 夹 角 为 60°.( × )
[解题视点] 可以建立平面直角坐标系，将向量坐标 化，求出点 A，B 的坐标，用三角函数表示出点 C 的坐标， 最后转化为三角函数求最值．
[解] 以 O 为坐标原点，O→A所在的直线为 x 轴建立平 面直角坐标系，如图所示，
则 A(1,0)，B－21， 23.
设∠AOC＝αα∈0，23π，则 C(cosα，sinα)，
共线.
板块三 启智培优·破译高考
题型技法系列 7——解析法(坐标法)在向量中的应用 [2017·湖南模拟]给定两个长度为 1 的平面向量O→A和
O→B，它们的夹角为23π.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的A︵B 上
运动．若O→C＝xO→A＋yO→B，其中 x，y∈R，求 x＋y 的最大 值．
第4章 平面向量、数系的扩充与 复数的引入