湖南省高中数学第二章基本初等函数Ⅰ.3幂函数教案新人教A版必修
高中数学新人教版A版精品教案《幂函数》
幂函数
一、教材分析：
《幂函数》是普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修一第二章第三单元的内容从本单元所在教材中的地位来看，它起到了承上启下的作用承上：在本章前两单元学习的指数函数和对数函数为本单元学习铺设了研究方法：例如“数形结合”、“从特殊到一般”、“类比”；同时，初
中学习的正比例函数x y =、反比例函数x
y 1=和二次函数2x y =也为本单元的学习提供了基础启
下：幂函数为学生在选修中学习导数做了铺垫
通过对本单元的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待已经接触的函数，进一步熟悉研究一个函数的方法因而本单元是对学生研究函数的方法和能力的综合提升
本单元内容安排1课时 二、教学目标：
1通过具体实例，了解幂函数的概念，体会建立一个函数模型的过程
2通过数形结合的研究方法，掌握五个具体幂函数：,,,3
2
x y x y x y ===2
1
x y =，1-=x y 的图象及性质
3经历研究五个具体幂函数的图象及性质的过程，掌握研究一般幂函数的图象及性质的方法，进一步渗透从特殊到一般的思想，培养学生综合归纳、类比的能力 三、教学重点：
1幂函数的概念
2五个幂函数的图象及性质 四、教学难点：
归纳五个幂函数的图象的共同特征，并由此得到对一般幂函数的图象及性质的研究方法 五、教学手段和方式：
本节课主要采用“思考、探究”，问题教学的方式，老师设置问题进行引导，学生自主学习、思考进行概念学习，合作交流、综合归纳进行思想方法的掌握意在充分体现的学生主体地位，教师的主导地位，让学生充分享受学习的兴趣
六、教学过程：
七、板书设计。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数学案新人教A版必修1
2.3 幂函数学习目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 思考1：幂函数与指数函数的自变量有何区别？[提示] 幂函数是形如y ＝x α(α∈R )，自变量在底数上，而指数函数是形如y ＝a x(a >0且a ≠1)，自变量在指数上． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图231：图231思考2：幂函数图象不可能出现在第几象限？ [提示] 第四象限． 3．幂函数的性质[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数．( ) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3C ．y ＝3xD ．y ＝x －1C [只有y ＝3x 不符合幂函数y ＝x α的形式，故选C.]3．已知f (x )＝(m ＋1)x m 2＋2是幂函数，则m ＝( )A ．2B ．1C ．3D ．0D [由题意可知m ＋1＝1，即m ＝0，∴f (x )＝x 2.] 4．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________. 【导学号：37102308】12 [由f (2)＝22可知2α＝22， 即α＝－12，∴f (4)＝4－12＝12.][合 作 探 究·攻 重 难]幂函数的概念已知y ＝(m 2＋2m －2)x m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． [解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.α为常数的形式，为一个幂的形式，且需满足：指数为常数；底数为自变量；系数为[跟踪训练]1．(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )【导学号：37102309】A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________． (1)B (2)13 [(1)∵y ＝1x2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.]幂函数的图象及应用点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．[解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在，上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴简记为指大图低；在，＋上，指数越大，幂函数图象越远离轴简记为指大图高依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于3来判断[跟踪训练]2．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )【导学号：37102310】A B C D(2)若四个幂函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c，y ＝x d在同一坐标系中的图象如图232，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )图232A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c(1)C (2)B [(1)设幂函数的解析式为y ＝x a， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，所以2＝4a， 解得a ＝12，所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方．对照选项，故选C. (2)令a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B.]幂函数性质的综合应用 [探究问题]1．幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？提示：23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2. 3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x－0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.(1)比较下列各组中幂值的大小．①30.8,30.7；②0.213,0.233；③212，1.813；④1.212，0.9－12， 1.1. (2)探讨函数f (x )＝x －12的单调性.【导学号：37102311】思路探究：(1)构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解． (2)借助单调性的定义证明．[解] (1)①∵函数y ＝3x是增函数，且0.8＞0.7， ∴30.8>30.7.②∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. ③∵函数y ＝x 12是增函数，且2＞1.8，∴212>1.812. 又∵y ＝1.8x是增函数，且12>13，∴1.812>1.813，∴212>1.813. ④0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912， 1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y ＝x 12在[0，＋∞)上单调递增，∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.(2)f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)． 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2－12－x 1－12＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2x 1＋x 2.因为x 2>x 1>0，所以x 1－x 2<0， 且x 1x 2·(x 1＋x 2)>0， 于是f (x 2)－f (x 1)<0， 即f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上是减函数．中的[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列函数为幂函数的是( ) A ．y ＝2x 4B ．y ＝2x 3－1 C ．y ＝2xD ．y ＝x 2D [结合幂函数的形式可知D 正确．]2．幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式( )【导学号：37102312】A ．y ＝x －1B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x 3B [设f (x )＝x α，则2α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.选B.]3．函数y ＝x 54的图象是( )A B C DC [∵函数y ＝x 54是非奇非偶函数，故排除A 、B 选项．又54>1，故选C.]4．若f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围为________． (0，＋∞) [由f (x )的单调性可知α>0，即α的取值范围为(0，＋∞)．] 5．比较下列各组数的大小． (1)3－52与3.1－52；(2)4.125，3.8－23，(－1.9)－35.【导学号：37102313】[解] (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数， 又3<3.1，所以3－52>3.1－52. (2)4.125>125＝1，0<3.8－23<1－23＝1，而(－1.9)－35<0， 所以4.125>3.8－23>(－1.9)－35.。
必修1第二章基本初等函数数学：2.3《幂函数》教案(新人教A必修1)
2.3幂函数教学目的:使学生掌握幂函数的概念,会画幂函数的图象,能判定一个幂函数是增函 数还是减函数,能判断一个幂函数的奇偶性。
教学重点:幂函数的图象、幂函数的增减性的证明。
教学难点:幂函数增减性的证明。
教学过程一、新课引入课本P90,p=w, S=a 2, V=a 3 ,a=S 21,v=t -1,上述问题中的函数具有什么共同特征？二、新课上述问题中涉及的函数,都是形如y ＝x a 的函数。
一般地,函数y ＝x a 叫做幂函数(power function)。
其中x 是自变量,a 是常数。
当a ＝1,2,3,21,－1时,得到下列的幂函数,画出它们的图象,并观察图象, 将你发现的结论写在下表中:y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 21y ＝x －1 定义域 R R R ［0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞) 值域 R ［0,＋∞) R ［0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞)奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增 ［0,＋∞)增 增 增 (－∞,0)减(－∞,0)减 ［0,＋∞)减定点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)例1、证明幂函数f(x)＝x 在［0,＋∞)上是增函数。
证明:任取1x 、2x ∈［0,＋∞),且1x ＜2x ,则f(1x )－f(2x )＝21x x -＝212121))((x x x x x x ++-＝2121x x x x +-因为1x －2x ＜0,21x x +＞0,所以,f(1x )＜f(2x )即幂函数f(x)＝x 在［0,＋∞)上是增函数。
注意:证明函数的单调性时既可以用作差的方法,也可以用作比的方法,应用用比的 方法时应注意分母不为零,及去母时考虑符号问题。
作业:P92 1、2、3。
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案新人教A版必修(1)
幂函数【教学目标】1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质；2．了解几个常见的幂函数的性质，了解幂函数和指数函数的本质区别；3．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力．【重点难点】重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．难点：画幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．【教学过程】一、情景设置1．①如果正方体的边长为a，则正方体的体积V随a变化的函数关系是_______．②如果正方形的面积为S，则正方形的边长a随S变化的函数关系是_______．a=S 12③如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v随t变化的函数关系是_______．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，①你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？②它们是否都为指数函数？2．你能画出函数y=x，y=x2，y=x 12，y=x1，y=x3的图象吗？3．通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有？哪个象限可能有？这时可通过什么途径来判断？4．通过对以上五个函数图象的观察，你能得出它们的性质吗？(2) y=x，y=x3，y=x1是奇函数，y=x2是偶函数，y=x 12是非奇非偶函数；(3)在区间(0,+∞)上，y=x，y=x2，，y=x3，y=x 12都是增函数，y=x1是减函数；(4)在第一象限内，y=x1向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；(5)在第一象限内，y=x2，，y=x3向下凸，y=x 12向上凸．二、教学精讲例1．判断下列函数哪些是幂函数？①y=0.2x ；②y=2x 2；③y=x 2+x ；④y=-x 3；⑤y=x3 例2．已知y=(m 2)x 1m 21+2n 3是幂函数，求m ，n 的值．得⎩⎪⎨⎪⎧m 2+2m 2=1m 21≠02n 3=0解得⎩⎪⎨⎪⎧m=3n=32为例3．求下列幂函数的定义域，指出其奇偶性、单调性，并画它们的大致图象．①y=x 13；②y=x2；③y=21-x例4．比较下列各组数的大小： ①253-和251.3-；②4.125，328.3-，(-1.9)35 ：①253- >251.3-；②(-1.9)35<328.3-<4.125三、探索研究 四、课堂练习1． 若幂函数y=f(x)的图象过点(9,13)，则f(25)的值是______．152． 作出函数y=32-x的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质． 3． 比较大小 ①211.1-, 219.0- ②4316.0-,235.0-, 6.2538 ①211.1-<219.0- ②6.2538<235.0-<4316.0-【教学后记】。
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案新人教A版必修1
§2.3.1幂函数一．教学目标：1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质;(3)通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图能力；进一步体会数形结合的思想。
2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研究幂函数的图象和性质. 3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．教学重难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三.教学准备（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;（2）教学用具：多媒体四．教学过程：【引入新知】阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.思考：以上各题目的函数关系分别是什么？具有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论：【课堂探究】比较下列两组函数有什么区别？αx y==，其中x是自变量，α是常数.1、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα思考：（1）你学过的函数中哪些是幂函数？（2）一次函数、二次函数都是幂函数吗？注意：幂函数解析式的结构特征？在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：观察图象，说一说它们有什么共同特征？结论：在第一象限内，当a>0时，图象随x增大而上升当a<0时，图象随x增大而下降共同特征：【课堂训练】例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数点评：幂函数的解析式的形式，特征可归纳为“两个系数为１，只有１项。
”例2．证明幂函数()[0,]f x x =+∞在上是增函数注意:掌握证明函数单调性的方法和基本模式.【课时小结】1.学习了幂函数的概念；2.掌握幂函数在第一象限内的图象特征，能根据奇偶性完成整个函数的图象;3.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小.【课后作业】P79 习题2.3 第1、2题五、板书设计六、课后反思§2.3.1幂函数1、由实例（1）~（5）得出幂函数的定义；2、探究幂函数的图象和性质；3、总结幂函数的图象和性质；4、例题分析和课堂练习。
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案新人教A版必修1
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案新人教A版必修12．3 幂函数[目标] 1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点] 幂函数的定义、图象和性质． [难点] 利用幂函数的性质解决有关问题.知识点一 幂函数的概念[填一填]一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y ＝2x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝(x ＋1)3是幂函数吗？ 提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数． 2．幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)有何区别？提示：幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x中，底数是常数，指数是自变量． 知识点二 幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x12 的图象如下图．[答一答]3．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x 12 .(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.4．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．知识点三幂函数的性质[填一填]五类幂函数的性质[答一答]5．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？提示：α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数；α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数．类型一 幂函数的概念[例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m －13为幂函数，则m 等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．－2[答案] (1)B (2)C[解析] (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.(2)由幂函数的定义可知m 2－3m ＋3＝1， 即m 2－3m ＋2＝0.解得m ＝1或m ＝2.故选C.幂函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1] (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( C )A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)已知函数y ＝(m 2＋2m －2)xm ＋2＋2n －3是幂函数，则m ＝－3或1，n ＝32.解析：(1)由幂函数定义知k ＝1，把⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入y ＝x α得α＝12，∴k ＋α＝32.选C.(2)因为函数y ＝(m 2＋2m －2)xm ＋2＋2n －3是幂函数，由幂函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得m ＝－3或1，n ＝32.类型二 幂函数的图象[例2] 下图是幂函数y ＝x m、y ＝x n与y ＝x －1在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1 [答案] B[解析] 由y ＝x m 的图象是横卧抛物线形，知0<m <1；由y ＝x n的图象是双曲线，知n <0.作直线x ＝x 0(0<x 0<1)，与y ＝x n 、y ＝x －1的图象分别交于点A 、B ，由“点低指数大”知n <－1.故选B.在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．[变式训练2] 幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x 12的图象经过的区域对应的序号有( D )A．④⑦ B．④⑧C．③⑧ D．①⑤解析：∵x－x＝x(x－1)，当0<x<1时，x－x<0，即x<x<1，∴幂函数y＝x 12的图象经过区域①；当x>1时，x－x>0，即x>x>1，∴幂函数y＝x 12的图象经过区域⑤.类型三幂函数的性质应用[例3] 比较下列各组中三个数的大小．[分析] 本题考查幂函数及指数函数的单调性．比较幂值大小的方法[变式训练3] 比较下列各组中两个值的大小：1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( B ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－12．如果幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为( D ) A.12B ．2C ．1D ．4 解析：设f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，解得α＝－12.∴f (x )＝x －12 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝4. 3．函数y ＝x 13的图象是( B)解析：∵函数y ＝x13是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A ，D.当x >1,0<α<1时，y ＝x α在直线y ＝x 下方，排除C ，选B.4．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为－12.解析：∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12.5．比较下列各题中两个幂的值的大小：解：(1)∵y ＝x 12 为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9，∴1.1 12 >0.9 12.——本课须掌握的三大问题1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．学习至此，请完成课时作业22学科素养培优精品微课堂与幂函数有关的简单不等式问题开讲啦与幂函数有关的不等式是形如[f (x )]α>[g (x )]α的不等式，通常利用幂函数y ＝x α的定义域和单调性将其转化为关于x 的不等式组来求解．[典例] 已知幂函数y ＝xp －3(p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1) p 3 <(3－2a ) p3的实数a 的取值范围．[分析] 先根据y ＝x p －3的单调性和奇偶性及p ∈N *确定p 的值，再利用函数y ＝x p3 的单调性列不等式求解．[解] 因为函数y ＝x p －3在(0，＋∞)上是减函数，所以p －3<0, 即p <3，又因为p ∈N *，所以p ＝1或p ＝2.因为函数y ＝xp －3的图象关于y 轴对称，所以p －3是偶数，所以p ＝1，即y ＝x －2，(a＋1) 13 <(3－2a ) 13 .因为函数y ＝x 13 在(－∞，＋∞)上是增函数，所以a ＋1<3－2a ，即a <23，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23. [对应训练] 已知f (x )＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．解：由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，∴－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3. 又n＝2k，k∈Z，∴n＝0或n＝2.当n＝0或n＝2时，f(x)＝x 13 .∵f(x)＝x 13在R上单调递增，∴f(x2－x)>f(x＋3)等价于x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．。
高中数学 第2章 基本初等函数(1)(幂函数)示范教案 新人教A版必修1
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
高中数学 第二章 基本初等函数(I)幂函数教案 新人教A版必修1
课题：§2.3幂函数
教学目标：
知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
教学重点：
重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．
难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：
问题引入．
教学过程与操作设计：。
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数的定义和性质；2. 掌握幂函数的图像和几何特征；3. 学会运用幂函数解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、分析和探究，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；2. 利用信息技术辅助教学，提高学生对幂函数图像的理解和应用能力。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力；2. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的应用意识。
二、教学重点与难点重点：1. 幂函数的定义和性质；2. 幂函数的图像和几何特征；3. 幂函数在实际问题中的应用。
难点：1. 幂函数的性质的推导和证明；2. 幂函数图像的分析和理解；3. 幂函数在实际问题中的灵活运用。
三、教学过程1. 导入：1.1 复习相关概念：函数、指数函数、对数函数；1.2 提问：幂函数在实际生活中有哪些应用？2. 知识讲解：2.1 引入幂函数的概念；2.2 讲解幂函数的性质；2.3 分析幂函数的图像和几何特征。
3. 案例分析：3.1 分析实际问题，引入幂函数；3.2 利用幂函数解决实际问题。
4. 课堂练习：4.1 练习幂函数的性质和图像分析；4.2 运用幂函数解决实际问题。
四、作业布置1. 复习幂函数的定义和性质；2. 分析幂函数的图像和几何特征；3. 运用幂函数解决实际问题。
五、教学反思本节课通过引入幂函数的概念，讲解幂函数的性质，分析幂函数的图像和几何特征，以及运用幂函数解决实际问题，旨在培养学生对幂函数的理解和应用能力。
在教学过程中，注意引导学生观察、分析和探究，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
利用信息技术辅助教学，提高学生对幂函数图像的理解和应用能力。
在作业布置方面，注重巩固所学知识，培养学生的自主学习能力。
在教学反思中，要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行针对性教学，提高教学效果。
六、教学拓展1. 介绍幂函数在其他领域的应用，如物理学、化学、经济学等；2. 探讨幂函数与其他函数的关系，如指数函数、对数函数等；3. 引导学生进行课外阅读，了解幂函数的历史和发展。
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案新人教A版必修
2.3幂函数1.知识与技能(1)理解幂函数的概念,会画幂函数的图象;(2)结合几个幂函数的图象,了解幂函数图象的变化情况和简单性质.2.过程与方法(1)类比研究一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的过程与方法,研究幂函数的图象和性质.引导学生通过观察、归纳、抽象,概括幂函数的性质,培养学生概括抽象和识图能力.能运用幂函数的概念解决简单的问题;(2)使学生领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观(1)通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣;(2)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;(3)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.难点:从幂函数的图象中概括其性质.重难点的突破:以学生熟知的函数y=x,y=x2,y=,y=x3,y=为切入点,类比指数函数及对数函数的概念得出幂函数的概念.通过学生自主作图,并观察五个具体的幂函数的图象,经小组讨论并结合多媒体的直观演示,师生共同总结出函数y=xα的图象特征.“幂”的由来数学史上很早就借用“幂”字,起先用于表示面、面积,后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811—1882)译成《代微积拾级》一书,创设了不少数学专有名词,如函数、极限、微分、积分等,并把“Power”这个词译为“幂”,这样“幂”就转译为若干个相同数之积.大约到15世纪,人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积,直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势.1636年,苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法,他用罗马数字表示指数,写在底数的右上角,如以A iii表示A3,这种记法与现在相比较,除了数字采用罗马数字外,其他完全一样.一年以后,法国数学家笛卡儿进行了改进,将罗马数字改用阿拉伯数字,成了今天的样子.此后由英国数学家渥里斯、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号,从而使幂的概念及符号发展的更完善了.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》(263年)中使用了“幂”字,一直用到现在.一数自乘,中国古代称之为“方”,“乘方”一语是宋代以后开始使用的.一个数的乘方指数在中国古代是用这个数在筹算(或记录筹算的图表)中的位置来确定的,某个位置上的数要自乘多少次是固定的,也可以认为这是最早的指数记号.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
幂函数教案人教版数学高一上必修第二章
第二章 基本初等函数（1）2.3 幂函数1 教学目标1.1 知识与技能：[1] 理解并掌握幂函数的概念。
[2] 了解幂函数的图像和性质，并掌握了解幂函数的图像和性质，并掌握11,232,,,,y x y x y x y x y x -=====这五个常见幂函数的图像和性质。
1.2过程与方法 ：[1] 通过实例观察得出幂函数的概念和一般形式； [2] 通过画图掌握五个常见幂函数的图像和性质。
1.3 情感态度与价值观 ：[1] 通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。
[2] 通过学习幂函数以及相关练习，培养学生逻辑思维。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点 [1] 幂函数的概念2.2 教学难点[1] 五个常见幂函数的图像和性质。
3 专家建议此节为高中数学基本初等函数1中的一个函数幂函数，一定要让学生充分理解幂函数的概念，并能区分它和指数函数的区别。
可对比指数函数和对数函数教学，巩固其的定义域，值域，图像和单调性等问题。
4 教学方法实例探究——归纳总结——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。
6 教学过程6.1 引入新课 [1] 幂函数的概念【师】这节课是这一章的最后一节，之前我们学习了指数函数和对数函数，这节课我们来学习幂函数。
【板书】第二章 基本初等函数（1） 2.3 幂函数 大家先看下面这几个具体问题。
【板演/PPT 】1.如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数；2.如果正方形的边长为ｘ，面积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;3.如果正方体的棱长为ｘ, 正方体的体积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;4.如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;5.如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. 【师】我们已经明确了上述问题所涉及的函数关系， 你能找出它们有什么共同的特征吗？ 【生】（1）都是以自变量x 为底数； （2）指数为常数；（3）幂的系数为1;x 的系数为1 （4）只有一项；（5）都是形如a y x =的函数。
2021_2022学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案3新人教A版必修1
教学教法分析●三维目标1．知识与技能(1)理解幂函数的概念，会画幂函数的图象；(2)结合几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和简单性质．2．过程与方法(1)类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．能运用幂函数概念解决简单的问题；(2)使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；(2)进一步渗透数形结合与类比的思想方法；(3)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．●重点难点重点：从五个具体的幂函数中认识概念和性质．难点：从幂函数的图象中概括其性质．重难点的突破：以学生熟知的函数y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x3，y＝x12为切入点，类比指数函数及对数函数的概念得出幂函数的概念．通过学生自主作图，并观察五个具体的幂函数的图象，经小组讨论并结合多媒体的直观演示，师生共同总结出函数y ＝x α的图象特征.课前自主导学课标解读1.掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易混点)3．能利用幂函数的性质来解决实际问题．(难点)知识1幂函数的概念【问题导思】1．函数y ＝2x 与y ＝x 2有何不同？【提示】 在函数y ＝2x 中，常数2为底数，自变量x 为指数，故为指数函数；而在函数y ＝x 2中，自变量x 为底数，常数2为指数，故为幂函数．2．函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1及y ＝x 12解析式有何共同特征？【提示】 指数为常数；底数是自变量，自变量的系数为1；幂x α的系数为1；只有1项．一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识2幂函数的图象及性质【问题导思】在同一平面直角坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x \f(1,2)，y ＝x －1的图象如图.1．它们的图象都过同一定点吗？ 【提示】 是的，都过定点(1,1)．2．上述五个函数，在(0，＋∞)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？ 【提示】在(0，＋∞)内是增函数的有：y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x12. 在(0，＋∞)内是减函数的有：y ＝x －1.3．上述5个函数的图象关于原点对称，是奇函数的有哪几个？图象关于y 轴对称，是偶函数的呢？【提示】 图象关于原点对称是奇函数的有：y ＝x ，y ＝x 3，y ＝x －1；图象关于y 轴对称，为偶函数的是y ＝x 2.幂函数的性质幂函数y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1定义域RR R [0，＋∞) {x |x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数性单调性在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数公共点(1,1)课堂互动探究类型1幂函数的概念已知函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．【思路探究】已知函数――→对照y ＝x α――→列方程组求m ，n【自主解答】 ∵函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，由幂函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝12n －3＝0，解得m ＝－3或1，n ＝32.1．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式．反之，若一个函数具有这种形式，则该函数必为幂函数．2．判断函数解析式以根式形式给出的函数是否为幂函数，要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9,3)，则f (100)＝________.【解析】 由题意可知f (9)＝3，即9α＝3，∴α＝12，∴f (x )＝x 12， ∴f (100)＝10012＝10.【答案】 10类型2幂函数的图象已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图2－3－1所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b图2－3－1 【思路探究】利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质结合所给图象分析判断a ，b ，c 的大小关系【自主解答】 由幂函数的图象特征知，c <0，a >0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b . 综上所述，可知c <b <a . 【答案】 A1．本题也可采用特殊值法，如取x ＝2，结合图象可知2a >2b >2c ，又函数y ＝2x 在R 上是增函数，于是a >b >c .2．对于函数y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝±1，12，2，3而言，其图象有以下特点：(1)恒过点(1,1)，且不过第四象限．(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数．(3)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑧D ．①⑤【解析】 ∵x －x ＝x (x －1)，当0<x <1时，x －x <0，即x <x <1，∴幂函数y ＝x 12的图象经过“卦限①”；当x >1时，x －x >0，即x >x >1，∴幂函数y ＝x 12的图象经过“卦限⑤”．【答案】 D类型3幂函数的性质及应用比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； 25，3.8－23和(－1.9)－35. 【思路探究】幂的结构―――――――――――――――→借助幂函数的单调性或中间量幂的大小.【自主解答】 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23. 函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又23>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23.25>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；(－1.9)－35<0， 所以(－1.9)－35<3.8－2325.1．比较幂的大小的三种常用方法2．利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f (x )的解析式．【解】 ∵f (x )＝x m －3在(0，＋∞)上是减函数，∴m －3<0，∴m <3. 又∵m ∈N *，∴m ∵f (x )＝x m －3是偶函数，∴m －3是偶数． ∴m ＝1.∴f (x )＝x －2.思想方法技巧巧用幂函数的性质求参数的范围(12分)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．【思路点拨】据题中条件→列出不等式组→求出m →利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a【规范解答】 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 4分 又m ∈N *，∴my 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. 8分∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ， 10分 解得23<a <32或a1．本题涉及到幂函数的单调性、奇偶性、图象等问题，解题的关键是准确把握幂函数的图象，实质上，抓住了幂函数的图象也就抓住了性质．2．分类讨论思想．本题中依“a ＋1,3－2a ”是否在同一区间为分类标准，从而做到不重不漏，学习中应注意分类意识的培养．课堂小结1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y ＝x α(α为常数)的形式．2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y ＝x α(α为常数)同五个函数(y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x12)图象与性质的关系． 3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．当堂双基检测1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5x B ．y ＝x 5 C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3【解析】 函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．【答案】 B2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 3D ．y ＝x 12【解析】 结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3及y ＝x 12的图象可知，幂函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．【答案】 B3．若幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.【解析】 设幂函数f (x )＝x α，则由题意可知f (2)＝2α＝14，∴α＝－2，∴f (x )＝x －2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4.【答案】 44．比较下列各组中两个值的大小： 3535； (2)3.5－23与5.3－23.【解】 (1)∵幂函数y ＝x 35在(0，＋∞)上单调递增，且1.5<1.6，∴3535.(2)∵幂函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调递增，且0.6<0.7，∴.(3)∵幂函数y ＝x －23在(0，＋∞)上单调递减，且3.5<5.3，∴3.5－23>5.3－23. (4)∵幂函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调递减，且0.18>0.15，∴.课后知能检测一、选择题1．下列函数中，定义域为R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1【解析】 对A ，由y ＝x －2＝1x 2，知x ≠0； 对B ，由y ＝x 12＝x ，知x ≥0； 对D ，由y ＝x －1＝1x，知x ≠0. 故A ，B ，D 中函数的定义域均不为R ，从而选C.【答案】 C2．函数y ＝x 53的图象大致是( )【解析】 ∵函数y ＝x 53在(0,0)处有定义，且该函数为奇函数，故排除选项A 、D ，又53>1，故排除选项C.【答案】 B3．下列命题中正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域上是增函数D ．幂函数的图象不可能在第四象限【解析】 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R}，其图象为两条射线，故A 选项不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故选项B 不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C 不正确；当x >0，α∈R 时，y ＝x α>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D 正确．【答案】 D4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >bC ．a <b <cD ．b >c >a【解析】 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在R 上是减函数，又35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2535<⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a <b . 又∵函数y ＝x 25在R 上是增函数，且35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即c >b ，∴a <b <c . 【答案】 C图2－3－35．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是递减的，且f (－2)＝0，如图2－3－3所示，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)【解析】 由图可得在(－∞，0)上，f (x )<0的解集为(－2,0]．因为f (x )为偶函数，所以x 的取值范围为(－2,2)．【答案】 D二、填空题6．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为________． 【解析】 ∵函数y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， 故该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4. 【答案】 47．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．【解析】 当α＝－1或α＝12时，所得幂函数的定义域不是R ； 当α＝1或α＝3时，所得幂函数的定义域为R 且为奇函数．【答案】 {1,3}8．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18，则满足f (x )＝－27的x 值等于________． 【解析】 设f (x )＝x α，由题意可知2α＝18，α＝－3，即f (x )＝x －3. 由x －3＝－27可知x ＝－13.【答案】 －13 三、解答题 9．(2014·济南高一检测)已知函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 23－1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性．【解】 由题意得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0.∴m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，y ＝x 13，定义域为R ， y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数． 当m ＝1时，y ＝x －23，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 由于y ＝x －23＝1x 23＝13x 2，∴函数y ＝x －23为偶函数． 又－23<0，∴y ＝x －23在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 10．点(2，2)与点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )图象上，当x 为何值时，有 (1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )?【解】设f (x )＝x α，g (x )＝x β，则(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1.∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；②当x ＝1时，f (x )＝g (x )；③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．11．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(其中a >0且a ≠1)．(1)由5＝2＋3，请你探究g (5)能否用f (2)，g (2)，f (3)，g (3)来表示；(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广．【解】 (1)∵g (5)＝a 5－a －52，而f (2)g (3)＋g (2)f (3)＝a 2＋a －22·a 3－a －32＋a 2－a －22·a 3＋a －32＝14(a 5＋a －a －1－a －5＋a 5－a ＋a －1－a －5)＝12(a 5－a －5)， ∴g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由(1)可得g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明：f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＝14(a x ＋y ＋a y －x －a x －y －a －y －x ＋a x ＋y －a y －x ＋a x －y －a －x －y ) ＝12(a x ＋y －a －x －y )＝g (x ＋y ).。
湖南省高中数学第二章基本初等函数Ⅰ.1.1指数与指数幂的运算1教案新人教A版必修3
§2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时) 一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．教学重难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．教学准备1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四、教学过程：一、新课引入通过教材P48的引例1和引例2，让学生感受指数函数。
设计目的：学生想学习指数函数，就必须先弄懂指数与指数幂的运算。
二、知识回顾1、整数指数幂的定义：2、整数指数幂运算性质三、讲授新课1、根式类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.n 次方根：一般地，若nx a =，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n 次方根中，正数用n a 表示，如果是负数，用n a -表示，n a 叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？填空:(1)25的平方根等于__________(2)27的立方根等于__________(3)-243的五次方根等于___________ (4)16的四次方根等于________(5)a6的三次方根等于________(6)0的七次方根等于_________小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.n n n a n a a n a n a ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n n a n a a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n 00n =2、探究n n a a =n n a 通过探究得到结论：n n n a a = n 为偶数, ,0||,0n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩34334(3)27(8)|8|8-=-=--=-=小结：当n 为偶数时，n n a 误：===-=-336644555423()3(2()2()1(）（）四、例题与练习例1、求下列各式的值（1）(1)(2)(3) (4)分析：当n ||a =，然后再去绝对值.五、课时小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握公式：3．作业：P 59习题2.1 A 组 第1题五、板书设计六、课后反思。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.3.1幂函数
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质;
(3)通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图
能力；进一步体会数形结合的思想。
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研究幂函数的图象和性质. 3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．教学重难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
三.教学准备
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;
（2）教学用具：多媒体
四．教学过程：
【引入新知】
阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
思考：以上各题目的函数关系分别是什么？具有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论：【课堂探究】
比较下列两组函数有什么区别？
α
x y=
=，其中x是自变量，α是常数.
1、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα
思考：
（1）你学过的函数中哪些是幂函数？
（2）一次函数、二次函数都是幂函数吗？
注意：幂函数解析式的结构特征？
在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：
观察图象，说一说它们有什么共同特征？
结论：
在第一象限内，当a>0时，图象随x增大而上升当a<0时，图象随x增大而下降
共同特征：
【课堂训练】
例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数
点评：幂函数的解析式的形式，特征可归纳为“两个系数为１，只有１项。
”
f x=+∞上是增函数
例2．证明幂函数()[0,]
注意:掌握证明函数单调性的方法和基本模式.
【课时小结】
1.学习了幂函数的概念；
2.掌握幂函数在第一象限内的图象特征，能根据奇偶性完成整个函数的图象;
3.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”
的幂的大小.
【课后作业】
P79 习题2.3 第1、2题
五、板书设计
六、课后反思
敬请批评指正。