2017秋人教版数学九年级上册22.2一元二次方程的解法综合练习
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题(附答案)
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）（1）；（2）；（3）；（4）。
4、一元二次方程根的判别式与其根的关系：综合练习： 1．观察下列方程: ①x2=1 ②3x2=1-x ③x(x-1)= x -1 ④ +2x-5=0 ⑤x2-y-1=0 ⑥x2-(x-3)2=9 其中是一元二次方程的是 . 2.把方程(x-2)(x+3)=5化为一元二次方程一般形式为 .其中二次项系数为 . 一次项系数为 . 常数项为 . 3.关于x的方程（m+2）xn-1-(2m-1)x-3=0,当时,它是一元二次方程,当时,它是一元一次方程. 1、用直接开平方法解方程：⑴x2=9 ⑵3x2=12 ⑶ 1/3 x2-3=0 ⑷ (3x+1)2=1 ⑸(2x-1)2 -9=0 ⑹x2+4x+4=1(7)．x2=16 (8) . 2x2 -6 =0 (9) (x+1)2=4(10) (3x+2)2=4 （11）3(x-1)2=15 （12）x2+6x+9=25能力提升： 1.关于x的方程（n-1）xn2+1-(2n+1)x-3=0,当n= 时,它是一元二次方程 2.解一元二次方程：(1) x2+2x+1=4 （2）x2+2x-3=0一元二次方程及解法（2）配方法步骤：举例说明题组训练： 1、把下列方程化为（x+ m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式（1）x2+2x=48；（2）x2－4x=12；（3）x2－6x+6=0；（4） 2、完成下列填空：x2+4x+4=(__+__)2 x2-8x+___=(__―__)2 4x2+__x+25=(___+__)2 16 x2+__x+1=(__+__)2 x2+10x+___=(__+__)2 x2-5x+___=(__―__)29x2-__x+25=(___+__)2 9 x2-¬__x+1=(__-__)2 3、用配方法解方程（1）x2-10x-11=0 （2）x2－6x+4= 0 （3）x2+4x－16= 0（4）x2－4x=12；（5）x2－6x=7 （6）x2+8x+2=0（7）x2－4x-5=0 （8） x2+5x+2=0 （9）3x2+2x－5=0（10）2y2+y－6=0 （11）3x2+8x-3=0 (12)-2x2=5x-3一元一次方程及解法（3）求根公式推导过程：（和应用求根公式的步骤）根的判别式与根的关系：跟踪训练：先用根的判别式判断根的情况再求解：（1）x -x-1=0；（2）5x +2=3x2；（3）y -6=5y(4)3t -2t-1=0 (5)4x(x-1)=x -1 （6）x2－6x+4= 0(7)3x +1=2 x （8）2y2+y－5= 0 （9）x2－4x=12；（10）3x2+6x=1 （11）2t2-7t－4=0； (12)x2-x-1=0(13)y2-6=5y (14)3t2-2t-1=0 (15)4x(x-1)=x2-1一元一次方程及解法（4）因式分解法解一元二次方程的原理： 1、填空（1）方程x2=x的解是。
九年级数学上册《第二十二章-二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版) 一、单选题1．根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解()A．x2＋3x－1＝0 B．x2＋3x＋1＝0C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝（）2．已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2 D．x1＜﹣1＜x2＜23．下列关于二次函数y=ax2−2xa+1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧4．若二次函数y=ax2+1的图象经过点(−2，0)，则关于x的方程a(x−2)2+1=0的实数根是（）A．x1=−2，x2=6B．x1=2，x2=−6C．x1=0，x2=4D．x1=0，x2=−45．根据下表的对应值，试判断一元二次方程ax2+bx+c=0的一解的取值范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c-0.06 -0.02 0.03 0.07A．3<x<3.23B．3.23<x<3.24C．3.24<x<3.25D．3.25<x<3.266．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−4,m)，(−3,n)若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，且−4<x1<−3，x2>0则下列结论一定正确的是（）>0A．m+n>0B．m−n<0C．m⋅n<0D．mn7．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若(−2，y1)，(5，y2)是图象上的两点，则y1>y2B．3a+c=0C．方程ax2+bx+c=−2有两个不相等的实数根D．当x>0时，y随x的增大而减小8．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+ 12b+14c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．方程x2﹣4x+3a2﹣2=0在区间[﹣1，1]上有实根．则实数a的取值范围是．10．已知抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c=0的根为．11．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为．12．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(3,0)，对称轴为直线x= 1 .则方程cx2+bx+a=0的两个根为.13．已知y=ax2+bx+c(a≠0)，y与x的部分对此值如下表：x ……－2 －1 0 2 ……y ……－3 －4 －3 5 ……则一元二次方程ax2+bx+c+3=0的解为．三、解答题14．利用函数的图象，求方程x2=2x+3的解．15．一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．16．已知二次函数y1＝mx2﹣nx﹣m+n（m＞0）．（Ⅰ）求证：该函数图象与x轴必有交点；（Ⅱ）若m﹣n＝3（ⅰ）当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，求m的取值范围；（ⅱ）点A（p，q）为函数y2＝|mx2﹣nx﹣m+n|图象上的动点，当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4的上方，求m的取值范围．17．利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．若有解，求出它的近似解（精确到0.1）．18．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y={ax2,0≤x≤30b(x−90)2+n,30≤x≤90，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？19．已知二次函数y=x2−2mx+m−1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有2个公共点；（2）如图，若该函数与x轴的一交点是原点，求另一交点A的坐标及顶点C的坐标；（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点P，使得PA+PC最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】﹣√153≤a≤√15310．【答案】x1=-1，x2=311．【答案】-312．【答案】x1=−1，x2=1313．【答案】x1=−214．【答案】解：抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示：抛物线与x轴交点横坐标分别是﹣1、3．则方程x2=2x+3的根是x1=﹣1，x2=3．15．【答案】解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值；当y=1时，x2+7x+9=1∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈﹣5.6或﹣1.4∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为x1≈﹣5.6，x2≈﹣1.4．16．【答案】（Ⅰ）证明：∵△＝（﹣n）2﹣4m（﹣m+n）＝（n﹣2m）2≥0，∴该函数图象与x轴必有交点；解：（Ⅱ）（ⅰ）∵m﹣n＝3，∴n＝m﹣3．∴y1=mx2−nx−m+n＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3．当y1＝0时，mx2﹣（m﹣3）x﹣3＝0，解得x1＝1，x2=−3m．∴二次函数图象与x轴交点为（1，0）和（−3m ，0）∵当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，∴−3m<−m<1．又∵m＞0，∴0<m<√3；（ⅱ）∵y2=|mx2−nx−m+n|，m﹣n＝3，∴当x<−3m或x＞1时，y2＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3，当−3m≤x≤1时，y2＝﹣mx2+（m﹣3）x+3．∵当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4上方，∴当−1<−3m，即m＞3时，有m×（﹣1）2﹣（m﹣3）×（﹣1）﹣3≥﹣（﹣1）+4，解得m≥112．当−3m<−4，即m <34时，有﹣m×（﹣1）2+（m﹣3）×（﹣1）+3≥﹣（﹣1）+4 且﹣m×（﹣4）2+（m﹣3）×（﹣4）+3≥﹣（﹣4）+4，∴m≤720．又∵m＞0，∴0<m≤720．综上，0<m≤720或m≥11217．【答案】解：根据函数y=2x2﹣3x﹣4列表如下：x …﹣1 0 1 2 3 …y … 1 ﹣4 ﹣5 ﹣2 5 …描点，连线，画出函数y=2x2﹣3x﹣4的图象，如答图所示故方程2x2﹣3x﹣4=0的解为x1≈﹣0.8，x2≈1.8．18．【答案】（1）解：由图象可知，300=a×302，解得a= 13，n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣19∴y={13x2,0≤x≤30−19(x−90)2+700,30≤x≤90（2）解：由题意﹣19（x﹣90）2+700=684，解得x=78，∴684−6244=15，∴15+30+（90﹣78）=57分钟所以，馆外游客最多等待57分钟19．【答案】（1）证明：令y=0，即x2−2mx+m−1=0∴a=1，b=−2m∴Δ=b2−4ac=(−2m)2−4(m−1)∴Δ=4m2−4m+4=(2m−1)2+3>0∴不论m为何值，该函数的图象x轴有2个公共点；（2）解：已知函数y=x2−2mx+m−1过O(0，0)∴0=m−1解得：m=1∴y=x2−2x当y=0时解得： x 1=0 ∴A(2，0)由 y =x 2−2x 可得 y =(x −1)2−1 ∴C(1，−1) ； （3）存在．解：如图所示作 A(2，0) 关于 y 轴的对称点 A ′(−2，0) 设直线 A ′C ： y =kx +b ，且 A ′(−2，0) ∴{0=−2k +b −1=k +b解得： {k =−13b =−23∴y =−13x −23 当 x =0 时 ∴P(0，−23) ．。
秋九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.5 一元二次方程的
*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和或两根之积1．［2016·黄冈］若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－43D.432．［2016·某某］一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根分别为x 1，x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1x 2＝2知识点 2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值3．若α，β是一元二次方程x 2＋2x －6＝0的两根，则α2＋β2＝( )A ．－6B ．32C ．16D ．404．［2017·某某］若方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1(1＋x 2)＋x 2的值为________． 知识点 3 已知方程及方程的一个根求方程的另一个根5．［2017·某某］已知关于x 的方程x 2＋x －a ＝0的一个根为2，则另一个根是( )A ．－3B ．－2C ．3D ．66．［2016·潍坊］关于x 的一元二次方程3x 2＋mx －8＝0有一个根是23，求该一元二次方程的另一个根及m 的值．7．若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或28．［教材练习第3(1)题变式］［2017·某某］关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m的值为( )A ．－8B ．8C ．16D ．－169．［2017·某某］定义运算：a ★b ＝a (1－b )．若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关10．［2017·某某］已知方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 12＋x 22＝________．11．［2017·某某］已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 12－x 22＝10，则a ＝________．12．［2017·某某］已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)某某数k 的取值X 围；(2)若x 1，x 2满足x 12＋x 22＝16＋x 1x 2，某某数k 的值．13．若a ，b 是方程x 2＋x －2018＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b ＝( )A ．2018B ．2017C ．2016D ．201514．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0.(1)证明：无论m 为何值，方程都有两个实数根．(2)是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m 的值；若不存在，请说明理由．1．D [解析] ∵方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝－b a ＝43.故选D.2．C3．C [解析] 根据题意，得α＋β＝－2，αβ＝－6，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－2)2－2×(－6)＝16.故选C.4．5 [解析] 根据题意得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以x 1(1＋x 2)＋x 2＝x 1＋x 1x 2＋x 2＝x 1＋x 2＋x 1x 2＝4＋1＝5.故答案为5.5．A [解析] 设方程的另一个根为t ，根据题意得2＋t ＝－1，解得t ＝－3，即方程的另一个根是－3.故选A.6．解：设方程的另一个根为t .依题意得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23m －8＝0，解得m ＝10. 又23t ＝－83，所以t ＝－4. 故该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10.7．[全品导学号：15572076]C [解析] ∵x 1＋x 2＝m ＋6，x 1x 2＝m 2，x 1＋x 2＝x 1x 2， ∴m ＋6＝m 2，解得m 1＝3，m 2＝－2.∵方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋6)2－4m 2＝－3m 2＋12m ＋36＝0，解得m 1＝6，m 2＝－2，∴m ＝－2.故选C.8．C [解析] ∵关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，∴－m 2＝－1，n 2＝－2， ∴m ＝2，n ＝－4，∴n m ＝(－4)2＝16.故选C.9． A [解析] ∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，∴a ＋b ＝1，ab ＝14m . ∴b ★b －a ★a ＝b (1－b )－a (1－a )＝b (a ＋b －b )－a (a ＋b －a )＝ab －ab ＝0.故选A.10．23 [解析] ∵方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝1，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝(－5)2－2×1＝23.故答案为23.11. 214[解析] 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a ， 由x 12－x 22＝10得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10.∵x 1＋x 2＝5，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214. 故答案为214. 12．[解析] (1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝－4k ＋5≥0，解之即可得出实数k 的取值X 围；(2)由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2－1，将其代入x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝16＋x 1x 2中，解之即可得出k 的值．解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0，解得k ≤54， ∴实数k 的取值X 围为k ≤54. (2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2－1.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1x 2，∴(1－2k )2－2(k 2－1)＝16＋(k 2－1)，即k 2－4k －12＝0，解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k 的值为－2.13．B [解析] ∵a 是方程x 2＋x －2018＝0的根，∴a 2＋a －2018＝0，∴a 2＝－a ＋2018，∴a 2＋2a ＋b ＝－a ＋2018＋2a ＋b ＝2018＋a ＋b .∵a ，b 是方程x 2＋x －2018＝0的两个实数根，∴a ＋b ＝－1，∴a 2＋2a ＋b ＝2018－1＝2017.故选B.14．[解析] (1)求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；(2)根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值．解：(1)证明：∵关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0的判别式Δ＝(m －3)2＋4m (2m －3)＝9(m －1)2≥0，∴无论m 为何值，方程都有两个实数根．(2)设方程的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－(m －3)，x 1x 2＝－m (2m －3)，令x 12＋x 22＝26，得(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(m －3)2＋2m (2m －3)＝26，整理，得5m 2－12m －17＝0，解这个方程，得m ＝175或m ＝－1. 所以存在正数m ＝175，使方程的两个实数根的平方和等于26.。
22.2.1一元二次方程的解法(直接开平方法和因式分解法)
(2). χ2－1=0
(2). χ2－1=0
对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
还有其它的解法吗？
还可以这样解： （χ+1）（χ－1）=0 将方程左边分解因式，得 则必有： χ＋1=0，或χ－1=0. 分别解这两个一元一次方程，得 χ1=－1,χ2=1.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
x 5x 6 0 的两个解，求这个等腰
2
三角形的周长
5.若关于x的一元二次方程
(m 1) x 5x m 3m 2 0
因式分解法解方程的一般步骤：
1、利用因式分解法解下列方程： 1) χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25； 3）（2χ+3）2－25=0. ∴ χ=0,或χ－3=0， 解得 χ1=0，χ2=3. 2) 方程移项，得16χ2－25=0 方程左边分解因式，得 （4χ＋5）（4χ－5）=0 ∴ 4χ+5=0，或4χ－5=0，
解：1）方程左边分解因式，得χ（χ－3）=0.
5 解得 χ1=－ 4
5 ，χ2= 。 4
因式分解法解方程的一般步骤：
（2）因式分解:将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式： （3）得到两个一元一次方程：令每个因式分别为零
（1）移项:将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；
（4）解这两个一元一次方程得原方程的解。
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25 ∵3-2x是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
7 5 ∴x1= ， x = 2 4 4
典型例题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方 根，同样可以用直接开平方法求解 解：2x-1=
九年级数学上册《第二十二章 二次函数与一元二次方程》同步练习题附答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题附答案（人教版）姓名班级学号一、单选题1．利用函数图象求解：方程2x=x2-2x+2的解的个数为（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+bx+1=0的两个根，且满足0<x1<1，1<x2<2则b的取值范围是（）A．−6<b<−4B．−6<b<−2C．−3<b<−2D．−52<b<−23．已知关于x的方程x2+bx-c=0的两个根分别是x1= −23，x2= 83若点A是二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（）A．2 B．73C．83D．34．根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26y=ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.265．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=﹣1及部分图像（如图所示），由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（）A．﹣1.3 B．﹣2.3 C．﹣3.3 D．﹣4.36．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下面结论中不正确的是（）A．ac＜0 B．2a+b＝0C．b2＜4ac D．方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，37．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是A．有两个相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＜0；；④若方程ax2+bx+c﹣2＝0的两个根为x1和x2，则（x1+1）（x2﹣3）＜0，正确②2a﹣b＝0；③a＜﹣23的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题9．已知二次函数y＝－x2－2x+m图像的顶点在x轴上，则m＝．10．无论x取何值，二次函数y=x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为．11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax2+bx+c的两个根分别是x1=1.3和x2= 。
人教版九年级数学上册解一元二次方程 同步练习含答案【优选范本】
21.2专题训练 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n.(1)求m ，n 的值；(2)求x 为何值时，x 2＋4x ＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n ＝x 2＋2mx ＋m 2＋n ，∴2m ＝4，m 2＋n ＝9，∴m ＝2，n ＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形。
数学九年级上册 一元二次方程综合测试卷(word含答案)
数学九年级上册 一元二次方程综合测试卷（word 含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7k =±详见解析 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=1472k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．2．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】解：（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根为m ，n ，∴m ＋n ＝5，mn ＝5，==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D，（1）点C的坐标为；（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2−4m（m＞8）即可；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m ＞8时，0.5m 2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27； 当S=6，0＜m ＜8时，﹣0.5m 2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B 的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．4．阅读以下材料，并解决相应问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在求解某些特殊方程时，利用换元法常常可以达到转化的目的，例如在求解一元四次方程42210x x -+=，就可以令21x =，则原方程就被换元成2210t t -+=，解得 t = 1，即21x =，从而得到原方程的解是 x = ±1材料二：杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现，它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列，下图为杨辉三角形：……………………………………（1）利用换元法解方程：()()222312313+-++-=x x x x（2）在杨辉三角形中，按照自上而下、从左往右的顺序观察， an 表示第 n 行第 2 个数（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 个数，n c 表示第(n )1-行第 3 个数，请用换元法因式分解：()41-⋅+n n n b a c【答案】（1）317x -+=或317x --= 或x=-1或x=-2；（2）()41-⋅+n n n b a c =（n 2-5n+5）2【解析】（1）设t=x 2+3x-1，则原方程可化为：t 2+2t=3，求得t 的值再代回可求得方程的解； （2）根据杨辉三角形的特点得出a n ，b n ，c n ，然后代入4（b n -a n ）•c n +1再因式分解即可．【详解】（1）解：令t=x 2+3x-1则原方程为：t 2+2t=3解得：t=1 或者 t=-3当t=1时，x 2+3x-1=1解得：317x -+= 或317x --= 当t=-3时，x 2+3x-1=-3解得：x=-1或x=-2∴方程的解为：3172x -+= 或3172x --= 或x=-1或x=-2 （2）解：根据杨辉三角形的特点得出：a n =n-1(1)(2)2n n n b --=(2)(3)2n n n c --= ∴4（b n -a n ）•c n +1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n 2-5n+4）（n 2-5n+6）+1=（n 2-5n+4）2+2（n 2-5n+4）+1=（n 2-5n+5）2【点睛】本题主要考查因式分解的应用．解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．5．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．” （1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x 1=2n ，x 2=﹣4n ．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n，x2=﹣4n．6．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：1[300a+200(5-a)]≥200×3.2解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.7．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x （3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE ≌△ABO （AAS ），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D （4，7）；（2）过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，同上可证得△BCM ≌△ABO ，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C （7，3），设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0，k 、b 为常数），代入B （3，0），C （7，3）得，，解得，∴y=x ﹣；（3）存在．点P 与点B 重合时，P 1（3，0），点P 与点B 关于点C 对称时，P 2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数9．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF .（1）当32BG =时，求AE 的长；（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.【答案】（1）92AE =；（2）62EF =；（3）185BG =. 【解析】【分析】 （1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．【详解】（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，由勾股定理，得()()222632x x =-+，解得92x =，即92AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，此时四边形AEGF 是正方形，∴折痕226662EF =+=.（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，则有：AF=FG=FC ，CH=DF=GH设AF=FG=FC=x ，则DF=10-x=CH=GH在Rt △CFH 中∵CF 2=CH 2+FH 2∴x 2=62+（10-x ）2解得：x=345，∴DF=CH=GH=10-165，即BG=10-165×2=185，②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，∴此方程没有实数根．综上可知：BG=185．【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．10．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）方案②【解析】试题分析：首先设下调的百分率为x，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1-x）2=3240解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去）答：平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520＞316000 ∴方案②更优惠考点：一元二次方程的应用。
22.2-一元二次方程解法(直接开平方法)-
2
3 2 x 3 5;
2
2 2 4 x 1 3; 3
注意：解方程时，应先把方程变形为：
p 0 ; 2 mx n p p 0
x2 p
1、用直接开方法解方程：
你会变 吗？
2
32x 5 12 22x 5 4
合作学习
共同回顾
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的什 么？ 即 x a （a≥0）则x叫做a的平 方根，表示为： x a
2
下列各数有平方根吗?若有,你能求出它的平方根吗?
25 ;
3 25 0 ; ; 2 ; -3; 4 16
例题解析： 例1、解方程 先移项，得：
x 4 0
2
2、用直接开方法解方程：
93m 5 3 0
2
1 3m 5 3
2
3m 5 0; 无论m取何值，
2
此方程无解。
方程
ax c 0 a 0 一定有解吗?
2
a0
1当
c x ; a
2
c a
0时，方程的根是 x ;
(b≥0）的形 式,再求解
1 （4） 2 x 0 2
2
再显身手
( x a) b
例2、 解方程: (1) (2)
将方程化成 2 (b≥0）的形 式,再求解
x 1
2
4 0
2
12(2 x) 9 0
解下列方程：
1 x 9 0;
2
2
16 x 49 0;
c a
2当
c a
0时，原方程无实数根。
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题附答案-人教版
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题附答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．根据抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（）A．x2﹣1=﹣3x B．x2+3x+1=0 C．3x2+x﹣1=0 D．x2﹣3x+1=02．若二次函数y=ax2+bx−1的最小值为-2，则方程|ax2+bx−1|=2的不相同实数根的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．53．若方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（）A．x＝－3 B．x＝－2 C．x＝－1 D．x＝14．已知抛物线y=x2+(2a-1)x+1-2a与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)，且-1 < x1< 0，0 < x2<12，则实数a的取值范围是（）A．a>12B．a<34C．a>12或a<34D．12<a<345x 1.98 1.99 2.00 2.01y=ax2+bx+c-0.06 -0.05 -0.03 0.01判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个根x的范围是（）A．1.00<x<1.98B．1.98<x<1.99C．1.99<x<2.00D．2.00<x<2.016．抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）.若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t ＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．﹣4≤t＜0 B．﹣4≤t＜5 C．0＜t＜5 D．0≤t＜57．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=-12．下列结论中，正确的是（）A ．abc ＞0B ．a+b=0C ．2b+c ＞0D ．4a+c ＜2b8．如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b 2﹣4ac=0，②2a ﹣b=0，③a+b+c ＜0；④c ﹣a=3，其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题9．已知抛物线 y =x 2+bx +c 与 x 轴交点的坐标分别为 (−1,0) ， (3,0) ，则一元二次方程 x 2+bx +c =0 的根为 .10．若关于 x 的二次函数 y =−x 2+2x +m −3 的函数值恒为负数，则 m 的取值范围为 ． 11．如图，已知二次函数y= 13 x 2+ 23 x −1的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，点P 是抛物线上的一个动点，记△APC 的面积为S ，当S=2时，相应的点P 的个数是 .12．二次函数 y =ax 2+bx +c(a ≠0) 的部分图象如图所示，对称轴为直线 x =1 ，则关于x 的方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的解为 .13．利用函数图象求方程﹣x2+2x+2=0的实数根（精确到0.1），要先作函数的图象，如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是﹣0.7、2.7，所以方程﹣x2+2x+2=0的实数根为x1≈，x2≈．三、解答题14．若二次函数y=x2+bx−3的对称轴为直线x=1，求关于x的方程x2+bx−3=5的解.15．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A和点B的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1.（1）若抛物线与x轴交于原点，求k的值；（2）当﹣1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求k的取值范围.16．已知二次函数y=-x2+2x+3（1）将此二次函数化为y=a(x−ℎ)2+k的形式；（2）在所给的坐标系上画出这个二次函数的图象；（3）观察图象填空；①方程-x2+2x+3＝0的解为；②y<0时，x的取值范围是；③y随x的增大而增大时，x的取值范围是.17．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A，B(4，0)（点A在点B的左侧），且经过点(−3，7)，与y轴交于点C .（1）求b，c的值.（2）将线段OB平移，平移后对应点O′和B′都落在拋物线上，求点B′的坐标. 18．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；（2）直接写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（3）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围.19．我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2=0方程的根所在的范围．第一步：画出函数y=x2﹣2x﹣2=0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0，当x=﹣1时，y=1＞0所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围：取x= −1+02=−12，因为当x= −12对，y＜0．又因为当x=﹣1时，y＞0，所以−1<x1<−12（1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3（2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得b−a⩽14．参考答案1．A2．B3．C4．D5．D6．B7．D8．C9．x1=−1x2=310．m＜211．212．x1=3x2=−113．y=﹣2x2+2x+2 ；﹣0.7 ；2.714．解：∵二次函数y=x2+bx−3的对称轴为直线x=1∴x=−b2a =−b2×1=1解得b=−2.将b=−2代入x2+bx−3=5中，得：x2−2x−3=5解得x1=−2x2=4.15．解：当y=0时，x2−2x−3=0解得x1=−1x2=3所以A(−1，0)B(3，0)．16．（1）解：y=−(x2−2x)+3=−(x2−2x+1−1)+3=−(x−1)2+4；（2）解：如图所示（3）x 1=−1 x 2=3；x <−1 或 x >3；x <1(x ≤1)17．（1）解：将点 B(4，0) 、 (−3，7) 代入二次函数解析式 y =x 2+bx +c 得{16+4b +c =09−3b +c =7解得 {b =−2c =−8；（2）解：由（1）得二次函数的解析式为 y =x 2−2x −8 ，由题意可得 OB =4设平移后点 O ′ 和 B ′ 的坐标分别为 (x 1，m) (x 2，m) 则 x 1，x 2 为一元二次方程 x 2−2x −8=m 的两个根（ x 1<x 2 ），且 x 2−x 1=4 ∴x 2−2x −8−m =0由根与系数的关系可得： x 2+x 1=2 x 1x 2=−8−m ∴{x 2+x 1=2x 2−x 1=4 解得 {x 1=−1x 2=3∴x 1x 2=−1×3=−8−m ∴m =5 ∴B ′(3，−5) .18．（1）解：当 y =0 时，函数图象与 x 轴的两个交点的横坐标即为方程 ax 2+bx +c =0 的两个根，由图可知方程的两个根为 x 1=1 x 2=3（2）解：根据函数图象，在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而减小，此时 x >2 . （3）解：如图：方程 ax 2+bx +c =k 有两个不相等的实数根，即函数 y =ax 2+bx +c(a ≠0) 与直线 y =k 有两个交点 此时 k <2 .19．（1）解：因为当x=2时，y=﹣2＜0，当x=3时，y=1＞0 所以可确定方程x 2﹣2x ﹣2=0的一个根x 2所在的范围是2＜x 2＜3；（2）解：取x= 2+32=2.5，因为当x=2.5时，y＜0．又因为当x=3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3取x= 2.5+32=2.75，因为当x=2.75时，y＞0．又因为当x=2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75因为2.75﹣2.5= 14．取x= 2.5+2.752=2.625，因为当x=2.625时，y＜0．又因为当x=2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75因为2，75﹣2，625= 140＜14所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2的范围。
人教版九年级上册数学第22章 二次函数 用二次函数的图象解一元二次方程 (不等式)
(2)解法二：利用二次函数的图象与坐标轴的交点求解．如图①，方程x2－x－1＝ 0的根是二次函数y＝______________的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2 就是方程的解．
x2－x－1
(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．
①方程x2－x－1＝0的根是二次函数y＝________的图象与直线y＝________的交
12．(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝－12x2 ＋2x＋6 的图象交 x 轴于点 A，B.
(1)求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值 范围．
解：令 y＝0，则－12x2＋2x＋6＝0，解得 x1＝－2，x2＝6. ∴A(－2，0)，B(6，0)． 由函数图象得，当 y≥0 时，－2≤x≤6.
人教版九年级上
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第2课时 用二次函数的图象解一元二
次方程 (不等式)
提示：点击 进入习题
1 见习题 2D 3C 4B 5D
答案显示
6 x1＜x＜x2；x<x1或x＞x2 7D 8B 9 x＜－3或x＞1 10 见习题
11 见习题 12 见习题
答案显示
【答案】x＜－3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx＞1
10．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请 你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个根． (1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．
解：公式法：∵a＝1，b＝－1，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0. ∴x＝1±2 5，即 x1＝1＋2 5，x2＝1－2 5.(所选方法不唯一)
人教版数学九年级上册 一元二次方程计算综合练习【含答案】
人教版数学九年级上册一元二次方程计算综合练习【含答案】例1 用直接开平方法解下列方程分析用直接开平方法解方程,要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负常数的形式,再根据平方根的定义求解.解：移项得：将方程各项都除以4得：∵是64的平方根∴∴例2 用直接开平方法解下列方程。
解：∴，点拨：对于无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过应注意二次根式的化简。
例3 用配方法解方程解：移项得：配方得：解这个方程∴，点拨: 配方法是解一元二次方程的重要方法,是导出求根公式的关键.熟练掌握完全平方式是用配方法解题的基础. 对于二次项系数是1的方程, 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方.例4 用配方法解方程：分析因为二次项系数不为1, 所以要先将方程各项同时除以二次项系数后,再配方.解：方程两边同除以3得方程两边同时加上一次项系数一半的平方∴∴∴点拨: “方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步,是配方法的关键, “将二次项系数化为1” 是进行这一关键步骤的重要前提.例5 用公式法解方程解：移项得：∵∴∴∴，用公式法解方程移项得：∵∴∴∴点拨：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般式；（2）确定出，，的值；（3）求出的值（或代数式）；（4）若，则可用求根公式求出方程的解，这样可以减少许多不必要的计算. 另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用, 其中也包括不完全的一元二次方程.例6 用因式分解法解下列方程。
解: 移项得：把方程左边因式分解得：∴或∴点拨: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
例7 用因式分解法解下列方程解：把方程左边因式分解为：∴或∴点拨: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
人教版九年级数学上册第二十二单元降次--一元二次方程的解法同步练习2带答案
人教版九年级数学上册第二十二单元《降次--一元二次方程的解法》同步练习2带答案◆随堂检测一、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，那么（ ）A 、0>aB 、0≠aC 、1=aD 、0≥a二、用配方式解以下方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）A 、522=-x xB 、5422=-x xC 、542=+x xD 、522=+x x3、方程x x x =-)1(的根是（ ）A 、2=xB 、2-=xC 、0,221=-=x xD 、0,221==x x4、已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，那么方程的另一个根是______________．五、用适当的方式解以下方程：（1）0672=+-x x ；（2）)15(3)15(2-=-x x ；（3）0362=+-x x ；（4）22510x x --=.◆典例分析 解方程022=--x x .分析:此题是含有绝对值的方程,能够转化为一元二次方程求解.转化的方式能够不同,请同窗们注意转化的技术.解法一:分类讨论（1）当0≥x 时，原方程化为022=--x x ， 解得：,21=x 12-=x （不合题意，舍去）（2）当0<x 时，原方程化为022=-+x x解得：21-=x ,12=x （不合题意，舍去）∴原方程的解为2,221-==x x .解法二:化归换元 原方程022=--x x 可化为220x x --=, 令y x =，那么220y y --=（0y ≥），解得12,y =21y =-（舍去），当12y =时,2x =,∴2x =±,∴原方程的解为2,221-==x x .◆课下作业●拓展提高一、方程062=--x x 的解是__________________．二、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，那么a =_______． 3、1二、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________．4、今世数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（ ）A 、4B 、2C 、-2D 、-4五、已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，求代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值．六、阅读材料，解答问题： 材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,咱们能够视2(1)x -为一个整体. 然后设21x y -=,原方程可化为2540y y -+=①.解得121,4y y ==.当11y =时，211x -=,即22x =，∴x =当24y =时，214x -=,即25x =，∴x =∴原方程的解为1234x x x x ====解答问题：（1）填空：在由原方程取得①的进程中利用_______法，达到了降次的目的，表现了_______的数学思想.（2）解方程4260x x --=. ●体验中考一、（2020年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．二、（2020年湖北襄樊）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a是一元二次方程2230x x +-=的根，那么ABCD 的周长为（ ）A ．4+．12+．2+ D ．212+3、（2020年，凉山）已知反比例函数ab y x =，当0x >时，y 随x 的增大而增大，那么关于x 的方程220ax x b -+=的根的情形是（ ）A ．有两个正根B ．有两个负根C ．有一个正根一个负根D ．没有实数根(提示：此题综合了反比例函数和一元二次方程根与系数的关系两个重要的知识点，请认真试探，细心解答.)4、（2020年，齐齐哈尔）三角形的每条边的长都是方程2680x x --=的根,那么三角形的周长是_________________．(点拨：此题综合考查了一元二次方程的解法和三角形的有关知识，专门要注意应用三角形任意两边之和大于第三边那个定理.)参考答案：◆随堂检测一、B. 依据一元二次方程的概念可得.二、C.3、D. 注意不能在等式两边同除以含有未知数的式子.此题用因式分解法好.4、2+依据一元二次方程根与系数的关系可得224x =∴方程的另一个根是22x =.五、解：（1）用因式分解法解0672=+-x x 得:121,6x x ==；（2）用因式分解法解)15(3)15(2-=-x x 得:1214,55x x ==； （3）用配方式解0362=+-x x 得:1233x x ==（4）用公式法解22510x x --=得:125544x x +==. ◆课下作业●拓展提高一、123,2x x ==-. 选用因式分解法较好. A DC EB二、2-或1 将1x =-代入方程2220x ax a +-=得:220a a +-=,解得122,1a a =-=.3、答案不唯一：如2230x x +-=.4、A. 当2357x x ++=时，即232x x +=，∴代数式223923(3)23224x x x x +-=+-=⨯-=.应选A.五、解：∵2310x x +-=，∴231x x +=. 化简:223539(2)3623(2)2x x x x x x x x x x ---÷+-=÷---- 3213(2)(3)(3)3(3)x x x x x x x x --=⨯=-+-+∵∵∴ 21113(3)313x x ===+⨯， ∴代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值是13． 六、解:（1）换元法,转化.（2）设2x y =,原方程可化为260y y --=①.解得123,2y y ==-.当13y =时，即23x =,∴x =当22y =-时，22x =-无解.∴原方程的解为12x x ==●体验中考一、答案不唯一，如21x = 二、A.解析：此题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a 是一元二次方程2230x x +-=的根，∴1a =，∴AE=EB=EC=1，∴AB=，BC=2，∴ABCD 的周长为4+A 。
人教版九年级数学上册：《一元二次方程的解法》课后练习及详解
专题：一元二次方程的解法（1）重难点易错点解析题一：题面：已知，关于x 的方程(a5)x 22ax 1是一元二次方程，则a金题精讲题一：题面：方程x(x-2)+ x 2=0 的解是（）A.2B. 2,1C.1D.2,1满分冲刺题一：题面：解下列方程：4( x 3)2x( x 3)0题二：题面：在一大片空地上有一堵墙（线段 AB ），现有铁栏杆 40m，准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃．（1）如果墙足够长，那么应如何设计可使矩形花圃的面积最大？（2）如果墙 AB=8m，那么又要如何设计可使矩形花圃的面积最大？课后练习详解重难点易错点解析题一：答案： a 5.详解：方程 (a 5)x221既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知ax数的最高次数是2，因此，二次项系数 a 5 0,故a 5.金题精讲题一：答案： D。
详解：先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可由 x(x 2)+( x2)=0 ，得 (x 2)(x+1)=0 ，∴ x 2=0 或 x+1=0 ，∴ x1=2， x2=1。
故选 D。
满分冲刺题一：答案： x13, x24.详解： ( x3)[4( x3)x]0, ( x 3)(3x 12) 0, x 3 0或 3x12 0,解得 x13, x24题二：答案：（ 1）矩形的面积最大是200m2（ 2）矩形花圃面积最大是144m2详解：（ 1）设 DE=x，那么面积x x21S=x(20) =+20x =2222(x-2 0) +200∴当 DE =20m 时，矩形的面积最大是200 m2（ 2）讨论①设DE=x，那么面积S=x(20x )（0＜x≤8）2=1(x 20)2+20022∴当 DE =8m 时，矩形的面积最大是128m ．设 BF=x，那么 AF=x+8， AD =16 x2那么矩形的面积S=(x+8)(16 x) = x +8x+1282= (x 4) +144∴当 x=4 时，面积S 的最大值是144．∴按第二种方法围建的矩形花圃面积最大是144m2专题：一元二次方程的解法（2）重难点易错点解析一元二次方程20，a≠0的条件。
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法和因式分解法作业
15．(复习题 18 变式)已知 9a2－4b2＝0，求代数式ba －ba －a2＋abb2 的值．
解：由题意得(3a＋2b)(3a－2b)＝0，∴ba ＝－32 或ba ＝32 ， ∵原式＝－2ab ，当ba ＝－32 时，原式＝3，∴当ba ＝32 时，原式＝－3
8．(凉山州中考)若关于 x 的方程 x2＋2x－3＝0 与x＋2 3 ＝x－1 a
有一个解相同，则 a 的值为( C )
A．1
B．1 或－3
C．－1 D．－1 或 3
9．(2019·内江)一个等腰三角形的底边长是6， 腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是( A) A．16 B．12 C．14 D．12或16 10．小华在解一元二次方程2x(x－5)＝6(x－5)时， 只得出一个根是x＝3，则被他漏掉的一个根是x＝____5．
6．利用因式分解法解方程： (1)(巴中中考)3x(x－2)＝x－2；
解：x1＝2，x2＝13
(2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0. 解：x1＝3，x2＝35
7．若实数 x，y 满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0，则 x2＋y2 的值为( －1 D．－2 或－1
11．已知方程(x－2)2＝1的根也是方程x2－2mx＋1＝0的根， 则m＝_____53__或__1__．
12．(2019·十堰)对于实数a，b，定义运算“◎”如下： a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝___－__3_或__4_．
人教版数学九年级上册 一元二次方程综合测试卷(word含答案)
人教版数学九年级上册 一元二次方程综合测试卷（word 含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长． 【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)， 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ， 将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1）， 将点H 代入122y x =-+，得： 11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =． 根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ， 将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=， ∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+， 解得：x=2t-10， ∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2t t --， ∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASGS AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-， 由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)， ∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4， ∴点D （2，1），AC=255 易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动； 当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇； 当12﹤t ﹤1时， 12+12÷（1+4）=35秒， ∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤； 当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处； 当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤ 当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界）， 综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．2．如图，在平面直角坐标系中，()4,0A -，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形，4,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在x 轴上一定点，P 为x 轴上一动点，且点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒43个单位长度运动，已知P 点运动时间为t ． (1)点C 坐标为________，P 点坐标为________；(直接写出结果，可用t 表示) (2)当t 为何值时，BDP ∆为等腰三角形；(3)P 点在运动过程中，是否存在t ，使得ABD OBP ∠=∠，若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由！【答案】（1）（4，4），（43t ，0）；（2）1101-，4； （3）存在，3109t【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质和根据P 点的运动速度，利用路程公式求解即可； （2）分三种情况：①当BD BP 时，②当BD DP =时，③当BP DP =时，分别讨论求解，即可得出结果； （3）过D 点作DF BP 交BP 于点F ，设OP x =，则可得224BPx ，43DPx ，453DF,利用1122BDPS DP BO BP DF ，即可求出OP 的长，利用路程公式可求得t 的值。
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案-人教版
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案-人教版一、单选题1．若二次函数y=ax²+1图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）²+1=0实数根为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=-2，x2=6C．x1= 32，x2= 52D．x1=-4，x2=02．已知关于x的方程x2+1=kx有一个正的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0C．k≤0 D．k≥03．下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项中正确的是（）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2 D．2.2＜x1＜2.44．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解分别为x1，x2，则x1+x2的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．如果二次函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数，a≠0)的部分图象如图所示，它的对称轴过点(－1，0)，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个正根可能是( )A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.56．二次函数y=−x2+bx+c的图象如图，则一元二次方程−x2+bx+c−4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c−3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根8．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，若方程ax2+bx+c=0的两个根为x1= 1，x2=−5，下列结论中：①bc>0；②b=4a；③a−b+c>0；④5b+4c=0 .其中所有正确的结论有（）A．①②B．③④C．②③④D．②③二、填空题9．无论x取何值，二次函数y=x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为．10．一元二次方程3x2+x−10=0的两个根是x1=−2，x2=5，那么二次函数y=3x2+x−10与3x轴的交点坐标是．11．二次函数y=x2−6x+m（m是常数）的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，则关于x的一元二次方程x2−6x+m=0的根是．12．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是．13．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是．三、解答题14．若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．15．已知二次函数的图象经过最高点（2，5）和点（0，4）.（1）试确定此二次函数的解析式；x2+x+1=0的根的情况.（画出简图）（2）请你用图象法判断方程−1416．某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系：w=-2x+80.设这种商品的销售利润为y (元).(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在不亏本的前提下，销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?17．已知二次函数y=x2﹣4x．（1）在给出的直角坐标系内用描点法画出该二次函数的图象；（2）根据所画的函数图象写出当x在什么范围内时，y≤0？（3）根据所画的函数图象写出方程：x2﹣4x=5的解．x2 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=13于点B、C，求BC的长.19．已知，二次函数y=−x2+bx+c的图象，如图所示，解决下列问题：（1）关于x的一元二次方程−x2+bx+c=0的解为；（2）求出抛物线的解析式；（3）x为何值时y<0．参考答案1．A2．B3．C4．D5．B6．C7．A8．C9．a >−5410．(−2,0)11．x1=−112．﹣1＜x2＜013．x1＝﹣3，x2＝114．解：根据抛物线与x轴只有一个交点，得到方程x2+3x+2a=0有两个相等的实数根，．则Δ=b2−4ac=32−4×2a=0，解得a=9815．（1）解；∵二次函数最高点也是函数的顶点（2，5）∴函数的表达式为y=a（x-2）2+5把（0，4）代入上式，解得：a=- 14∴二次函数的解析式为：y=- 1x2+x+44x2+x+4=3（2）解：原方程变形为：- 14x2+x+1=0根的情况∴上述问题转化为- 14∴函数值为3的点有2个则方程- 1x2+x+1=0由两个不相等的实数根.416．解：（1）y=w（x-20）=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600则y=-2x2+120x-1600．由题意，有{x≥20−2x+80≥0解得20≤x≤40．故y与x的函数关系式为：y=-2x2+120x-1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；（2）∵y=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200∴当x=30时，y有最大值200．故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（3）当y=150时，可得方程-2x2+120x-1600=150整理，得x2-60x+875=0解得x1=25，x2=35．∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x2=35不合题意，应舍去．故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．17．解：（1）y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（2，﹣4）如图（2）当0≤x≤4时，y≤0．（3）由图象可知，x2﹣4x=5的解为x1=﹣1，x2=5．18．解：BC=619．（1）解：观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点∴方程的解为x1=-1，x2=3故答案为：-1或3；（2）解：设抛物线解析式为y=-（x-1）2+k∵抛物线与x轴交于点（3，0）∴（3-1）2+k=0解得：k=4∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4即：抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（3）解：抛物线与x轴的交点（-1,0），（3,0），当y＜0时，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜-1。
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1文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 22.2一元二次方程的解法综合练习
【学习目标】：能够熟练采用适当方法解一元二次方程。
【学习重点】：公式法解一元二次方程。
学习难点：配方法解一元二次方程。
【学习内容】：p25-p39
1、用直接开方法解下列方程：（5分钟）
（1）
9)12(2=-x （2）02522=-+）（x 2、用配方法解下列方程：（5分钟）
(3) 0542=-+x x (4)24810x x -+=
（5）0362
=+-x x （6）24120x x +-= 3、用公式法解下列方程（5分钟）
（7）1)4(2=+x x （8） 03722
=+-x x （12）42)2)(1(+=++x x x （13）
025)2(10)2(2=++-+x x 5、用适当的方法解下列方程：
（14）(x +6) 2—9= 0 （ 15）2704x x --= （16）0)4()52(22=+--x x
（17）05632
=-+x x （18）()()752652x x x +=+ 【课堂反思】_________________________________________________________________
22．2一元二次方程解法课堂检测
1.用适当方法解方程：（每小题20分，共100分）
(1) 3（2x —1）2—6= 0 (2) 231022x x -+=
(3) 0942=--x x (4)3(1)2(1)x x x -=-
(5) 3x (2－3x)=1。