湖北省钟祥市第一中学2016届高三数学5月适应性考试试题(一)文

钟祥一中2016届高三五月适应性考试（一）数学（文科）试题考试时间：2016年5月10日 15：00—17：00★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第II 卷时, 用0．5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1|1,|M x N y y x ⎧⎫=≥==⎨⎬⎩⎭，则M N = （ ） A ．（0,1） B ．[0,1] C ．[)0,1 D ． (]0,12．一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A ． 28+B ． 24+C ． 18+D ． 18+3．已知正项数列{a n }中，a 1=l ，a 2=2，212122-++=n n n a a a （n≥2）则a 6=A ．16B ．4C ．D ．454．若复数z 满足201520161zi i i=++( i 为虚数单位），则复数z= A ．1 B ．2 C ．I D ．2i5．下列命题中假命题的是A ． ∃x 0∈R,lnx 0 <0B ．∀x∈(-∞,0)，e x>x+1C ．∀x>0,5x >3xD ．∃x 0∈(0,+∞) ,x 0<sinx 0 6．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T 是A ．1B ．2C ．3D ．47．将向量1a u r =(x 1，y 1)，2a u u r =(x 2，y 2)，…n a u u r =(x n ,y n )组成的系列称为向量列{n a u u r}，并定义向 量列{n a u u r }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+u u r u r u u r u u r．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。

若向量列{n a u u r}是等差向量 列，那么下述四个向量中，与21s 一定平行的向量是A ． 10a uu rB ．11a uu rC ． 20a uu rD ． 21a uu r8．双曲线M ：2222x y a b-=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F 1，F 2，抛物线N ：y 2=2px( p>0)的焦点为F 2，点P 为双曲线M 与抛物线N 的一个交点，若线段PF 1的中点在y 轴上，则 该双曲线的离心率为 ABC．12D9．已知不等式组341004,3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2+ y 2 =1的两条切线且切点分别为A ，B ，当∠PAB 最大时，cos∠PAB= A ．54B ．12C ．51D53 10．若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为( )A ．32-B ．23-C ．32D ．2311．如图，点P 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的表面上运动，且P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等。

如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是12．定义在区间(0，+∞)上的函数f (x)使不等式2f (x)<)(x f x '<3f (x)恒成立，其中)(x f '为f (x)的导数，则A ．8<(2)(1)f f <16 B ．4<(2)(1)f f <8 C ．3<(2)(1)f f <4 D ．2<(2)(1)f f <3 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图所示，分别以A ，B ，C 为圆心，在△ABC 内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC 内任取一点P ，如果点P 落在阴影内的概率为13，那么△ABC 的面积是 ． 14．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8．设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n 为 ．15．已知函数），若正实数a ，b 满足f (2a)+f (b-l)=0，则11a b+的最小值是____。

16．如图，在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，S 为△ABC 的面积，圆O 是△ABC 的外接圆，P 是圆O 上一动点，当取得最大值时，PA PB ⋅uu r uu r的最大值为____．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数f(x) =2cosx(sinx-cosx)+m(m∈R)，将y=f(x)的图像向左平移4π个单位后得到y=g(x)的图像，且y=g(x)在区间[0, 4π] （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,若g(43B)=l ，且a+c=2，求△ABC 的周长l 的取值范围．18．（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数； （Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．19．（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ， 30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABD C -'． （Ⅰ）当2'=D C 时，求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）当BD AC ⊥'时，求三棱锥ABD C -'的高．20．（本小题满分12分）如图，已知点F 1，F 2是椭圆C l ：22x +y 2 =1的两个焦点，椭圆C 2：22x +y 2=λ经过点A DCB①'CBA②F 1，F 2，点P 是椭圆C 2上异于F 1，F 2的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆C 1的交点分别是A ，B 和C ，D ．设AB 、CD 的斜率分别为k ，k'． （Ⅰ）求证kk'为定值； （Ⅱ）求|AB|·|CD|的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数f(x) =lnx-mx+m ． （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若f(x)≤0在x∈(0，+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，对任意的0<a<b ，求证：()()1(1)f b f a b a a a -<-+。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：平面几何选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：（Ⅰ）∠DE A=∠DFA; （Ⅱ）AB 2= BE·BD -AE·AC23．（本小题满分10分）选修4--4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2sin cos θρθ=（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P(0，2)作斜率为l 直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求11||||PA PB +的值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数f (x )＝|ax －1|＋|x +2|，a ＞0． （Ⅰ）若a =1，解不等式f (x )≤5； （Ⅱ）若f (x )≥2，求a 的最小值．钟祥一中2016届高三五月适应性考试（一）答案二、填空题13． 6π。

14． 1－12n ＋1－1． 15． 3+22 16．323+17．解：（Ⅰ）由题设得()sin 2cos 21)14f x x x m x m π=--+=--+，())]1)1444g x x m x m πππ∴=+--+=+-+， 因为当[0,]4x π∈时，32[,]444x πππ+∈，所以由已知得242x ππ+=，即8x π=时，m a x ()1g x m =+-1m =； ………6分 （Ⅱ）由已知33()sin()1424g B B π+=，因为三角形中33022B π<<，所以374244B πππ<+<，所以33244B ππ+=，即3B π=，又因为2a c +=，由余弦定理得：222222223()2cos ()3()14a cb ac ac B a c ac a c ac a c +=+-=+-=+-≥+-=，当且仅当1a c ==时等号成立，又2b a c <+= ，12b ∴≤<，所以ABC ∆的周长[3,4)l a b c =++∈ ，故△ABC 的周长l 的取值范围是[3,4)． ………12分18．【解析】（Ⅰ）设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x 2分 由5.0120.0)5(40.0=⨯+-⨯x ，解得425.x =∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是425.（米）． …………………4分 （II ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4 ． 从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（A 1，C 3），（A 1，C 4），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 1，C 4），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（B 2，C 4），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 1，C 4），（C 2，C 3），（C 2，C 4），（C 3，C 4）共21个基本事件． ……… 7分其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个．…10分所以该运动员得1分的概率P=62217=． ……………… 12分19．解（1）当C D '=时，取AB 的中点O ，连,C O DO '，在Rt ACB ∆，Rt ADB ∆，2AB =，则1C O DO '==，又C D '= ，∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…2分又C O AB '⊥ ，AB OD O = ，,AB OD ⊂平面ABD ，C O '∴⊥平面ABD ，……………………4分又C O '⊂ 平面ABC ' ∴平面C AB '⊥平面DAB ． …………………5分 （2）当AC BD '⊥时，由已知AC BC ''⊥，∴AC '⊥平面BDC '，…………………7分又C D '⊂ 平面BDC '，∴AC C D ''⊥，△AC D '为直角三角形，由勾股定理，1C D '===……………………9分而△BDC '中，BD=1,BC '=BDC '为直角三角形，111122BDC S '=⨯⨯= …10分三棱锥C ABD '-的体积111332BDCV S AC ''=⨯⨯=⨯ ．112ABD S =⨯= ，设三棱锥C ABD '-的高为h ，则由2331⨯⨯h 解得36=h ．……12分 20．解：（Ⅰ）因为点12,F F 是椭圆1C 的两个焦点，故12,F F 的坐标是12(1,0),(1,0)F F -； 而点12,F F 是椭圆2C 上的点，将12,F F 的坐标带入2C 的方程得， 12λ=设点P 的坐标是：00(,)P x y ，直线1PF 和2PF 分别是,(0,0)k k k k ''≠≠． 0000(1)(1)y y kk x x '=∙+- （1）又点P 是椭圆2C 上的点，故2200122x y += （2）联合（1）（2）两式得12kk '=-（3）……．…… 4分 （Ⅱ）直线1PF 的方程可表示为：(1)y k x =+ (0k ≠) （4）结合方程（4）和椭圆1C 的方程，得到方程组22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （5）……． 5分由方程组（5）得 2222(12)4220k x k x k +++-= （6）ABC'OD1122(,),(,)A x y B x y 依韦达定理知，方程（6）的两根满足22121222422;1212k k x x x x k k-+=-=++ （7）……． 6分 依（7）式得12|AB x x =-=．(8) (8)分同理可求得CD ……． 10分由（8）（9）两式得4222224[451]194(1)1(12)244k k AB CD k k k++∙==+≤+++当且仅当k =时等号成立．故AB CD ∙的最大值等于92． (12)21． 解：（Ⅰ）'11()((0,))mx f x m x xx-=-=∈+∞，当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； 当0m >时，由'11()0mx f x m xx-=-=>，得1(0,)x m∈，] 由'11()0mxf x m x x-=-=<，得1(,)x m ∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m∈，单调递减区间为1(,)m +∞ …………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m ≤0时，f （x ）在(0,)+∞上递增，f （1）=0，显然不成立；当m ＞0时，max 11()()ln 1ln 1f x f m m m mm==-+=--只需ln 10m m --≤即可，令()ln 1g x x x =--，则'11()1x g x xx-=-=，(0,)x ∈+∞ 得函数()g x 在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．∴min ()(1)0g x g ==()0g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，也就是ln 10m m --≥对(0,)m ∈+∞恒成立，∴ln 10m m --=，解1m =，∴若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则1m =…8分（Ⅲ）证明：ln()()ln ln ln ln 1111b f b f a b a a b b a a b b a b a b a a a--+--==-=⋅-----，由（Ⅱ）得()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时去等号，又由0a b <<得1b a >，所以有 0ln 1b ba a <<-，即ln 11ba ba<-．则2ln 1111111(1)(1)1ba a ab a a a a a a a a--⋅-<-==<++-， 则原不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立 …………… 12分22．证明：(1)连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF ⊥AB ，∠EFA=90°，则A 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠DEA=∠DFA ；……5分(2)由(1)知，BD·BE=BA·BF， 又△ABC ∽△AEF，∴，即AB·AF=AE·AC，∴BE·BD -AE·AC=BA·BF -AB·AF=AB(BF -AF)=AB 2。