精选中考数学复习第二部分热点专题突破专题六运动问题试题含解析

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中考数学二轮复习课件：专题6_运动变化问题(典例精析+考点训练_共115张PPT)(共115张PPT)

专题六运动变化问题
1．点的运动问题在三角形、特殊的四边形等一些图形上，有一个或几个动点，探究这些点在运动变化过程中伴随着的变化规律．对于此类问题，要注意用运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静．
2．线的运动问题动线几何类试题是指研究直线或线段按指定的路径进行平移或旋转过程中的变化关系和变化规律的一类综合性较强的试题．解决此类试题的关键是“动中取静”，即抓住静的瞬间，把一般情形转化为特殊情形，抓住变化中的不变量，巧妙地利用各变量之间的关系建模解决问题．
解：(1)连接 DE，DF，当 t＝2 时，H 正好是 AD 的中点，
∴EF 垂直平分 AD，即 EA＝ED，FA＝FD. 又∵EF 平行于 BC，由等腰三角形的性质，得 AE＝AF，即 AE＝ED＝DF＝FA， ∴四边形 AEDF 为菱形．
(2)如图，过点 E，F 分别作 EM⊥BC 于点 M 和 FN⊥BC 于点 N，
考点一点的运动问题
例 1(2014·河北)图①和②中，优弧 AB 所在⊙O
的半径为 2，AB ＝2 3. 点 P 为优弧 AB 上一点(点 P 不与 A，B 重合)，将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A′.
(1)点 O 到弦 AB 的距离是________，当 BP 经过点 O 时，∠ABA′＝________°； (2)当 BA′与⊙O 相切时，如图②，求折痕 BP 的长； (3)若线段 BA′与优弧 AB 只有一个公共点 B，设 ∠ABP＝α，确定 α 的取值范围．
3．图形的运动问题图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变．三角形、四边形的运动是常见的一种题型．要善于运用各种数学思想把问题转化为动点和动线问题，结合多种知识，建立方程、不等式或函数模型解决.

中考数学专题之运动型问题

运动型问题一、动点问题1、在如图所示的平面直角坐标系中，点P 是直线x y =上的动点，A(1,0），B(2,0）是x 轴上的两点，则PA+PB 的最小值为________________。

2、如图，在同一平面内，两块斜边相等的直角三角形Rt △ABC 和Rt △ADC 拼在，使斜边AC 完全重合，且顶点B 、D 分别在AC 的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm .(1）填空:AD=__________，DC=__________；(2）点M 、N 分别从A 点、C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD 、CB 上沿A →D ，C →B 方向运动，当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动，连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时，点N 到AD 的距离（用含x 的式子表示）；(3）在⑵的条件下，取DC 的中点P ，连接MP ，NP ，设△PMN 的面积为y 2cm ，在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出y 的最大值。

（参考数据；42615sin ,42675sin -=︒+=︒）。

3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，他们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒，(1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；(2）经过t 秒运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；(3）P 、Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形，若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由。

（24.25 ，结果保留一位小数）二、动线问题（抓住等量关系和变量关系，特别是注意一些不变量、不变关系或特殊关系）1、如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止，设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t 秒，下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是_____________。

2020年江西省中考数学第二轮专题复习教案及练习：专题六二次函数压轴题(含答案)

专题六二次函数压轴题类型一二次函数与图形变换如图①，已知直线l：y＝－x＋2与y轴交于点A，抛物线y＝(x－1)2＋m 也经过点A，其顶点为B，将该抛物线沿直线l平移，使顶点B落在直线l上的点D处，点D的横坐标为n(n＞1)．(1)求点B的坐标；(2)平移后的抛物线可以表示为__________________(用含n的式子表示)；(3)若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a.①请写出a关于n的函数关系式；②如图②，连接AC、CD，若∠ACD＝90°，求a的值．【分析】(1)点B是抛物线顶点，要求点B的坐标，只需求抛物线解析式即可，将点A代入即可得解；(2)确定平移后的抛物线解析式，可根据抛物线平移规律直接得解；(3)①由点C是两抛物线交点，可联立解方程来确定a与n的关系；②由∠ACD＝90°，可过点C作y轴的垂线，构造三垂直模型利用相似来解．【自主解答】1．已知平面直角坐标系中两定点A (－1，0)、B (4，0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2(a ≠0)过点A ，B ，顶点为C ，点P (m ，n )(n ＜0)为抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；(3)若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t (0＜t ＜52)个单位长度，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值，并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2．(2019·陕西)在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：y ＝ax 2＋(c －a )x ＋c 经过点A (－3，0)和点B (0，－6)，L 关于原点O 对称的抛物线为L ′.(1)求抛物线L 的表达式；(2)点P 在抛物线L ′上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D ，若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标．3．已知二次函数y＝ax2－2ax－2的图象(记为抛物线C1)的顶点为M，直线l：y ＝2x－a与x轴、y轴分别交于A，B.(1)对于抛物线C1，以下结论正确的是________．①对称轴是：直线x＝1；②顶点坐标是(1，－a－2)；③抛物线一定经过两个定点．(2)当a>0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系式．(3)将二次函数y＝ax2－2ax－2的图象C1绕点P(t，－2)旋转180°得到二次函数的图象(记为抛物线C2)，顶点为N.①当－2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小，求t 的取值范围；②当a＝1时，点Q是抛物线C1上的一点，点Q在抛物线C2上的对应点为Q′，试探究四边形QMQ′N能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．类型二二次函数与几何图形综合如图，已知二次函数L 1：y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)和二次函数L2：y＝－m(x－3)2＋4m－1(m≥1)图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A，B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)．(1)函数y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)的顶点坐标为________；当二次函数L1，L2的y值同时随x的增大而增大时，x的取值范围是________；(2)当AD＝MN时，请直接写出四边形AMDN的形状；(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点．①求所有定点的坐标；②若抛物线L1的位置固定不变，通过左右平移抛物线L2，使得这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？【分析】(1)将抛物线化为顶点式即可得到顶点坐标；由图象可得y随x的增大而增大的x的取值范围；(2)判断四边形AMDN的形状，可先证明四边形AMDN是平行四边形，再由AD ＝MN得到其为矩形；(3)①求抛物线经过的定点，可将抛物线化为关于m的代数式，令m的系数为0，代入求出对应的y值即可；②由所得图形为菱形，可先判定定点构成的图形是平行四边形，再根据菱形得到邻边相等，对角线互相垂直平分，从而利用勾股定理求解．【自主解答】1．(2019·海南)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5经过A(－5，0)，B(－4，－3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B，C不重合)，设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2019·辽阳)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点C(3，0)，交y轴于点E(0，3)，动点P在对称轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大，最大值是多少？(3)若点M是平面内任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．第2题图备用图类型三二次函数与规律探索(2019·江西)特例感知(1)如图①，对于抛物线y 1＝－x 2－x ＋1，y 2＝－x 2－2x ＋1，y 3＝－x 2－3x ＋1，下列结论正确的序号是________．①抛物线y 1，y 2，y 3都经过点C (0，1)；②抛物线y 2，y 3的对称轴由抛物线y 1的对称轴依次向左平移12个单位得到；③抛物线y 1，y 2，y 3与直线y ＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．形成概念(2)把满足y n ＝－x 2－nx ＋1(n 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”．知识应用在(2)中，如图②.①“系列平移抛物线”的顶点依次为P 1，P 2，P 3，…，P n ，用含n 的代数式表示顶点P n 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C 1，C 2，C 3，…，C n ，其横坐标分别为－k －1，－k －2，－k －3，…，－k －n (k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．(3)在②中，直线y ＝1分别交“系列平移抛物线”于点A 1，A 2，A 3，…，A n ，连接C n A n ，C n －1A n －1，判断C n A n ，C n －1A n －1是否平行？并说明理由．图① 图②【分析】 (1)逐一判断3个结论的正确性即可；(2)①由抛物线y n 即可表示P n ，消去参数即可得到顶点P n 的横、纵坐标之间的关系式；②分别求出C n ，C n －1的横、纵坐标，利用两点距离公式求线段C n C n －1的长；(3)要判断C n A n 与C n －1A n －1是否平行，只需判断直线C n A n 与直线C n －1A n －1的解析式中自变量的系数是否相同即可．【自主解答】1．已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3和抛物线y n ＝n 3x 2－2n 3x －n (n 为正整数)． (1)抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴的交点坐标为____________，顶点坐标为________．(2)当n ＝1时，请解答下列问题：①直接写出y n 与x 轴的交点坐标__________，顶点坐标________．请写出抛物线y ，y n 的一条相同的图象性质________________；②当直线y ＝12x ＋m 与y ，y n 相交共有4个交点时，求m 的取值范围；(3)若直线y ＝k (k ＜0)与抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3，抛物线y n ＝n 3x 2－2n 3x －n (n 为正整数)共有4个交点，从左至右依次标记为点A ，点B ，点C ，点D ，当AB ＝BC ＝CD 时，求k ，n 之间满足的关系式．2．已知抛物线y n ＝－(x －a n )2＋b n (n 为正整数，且0＜a 1＜a 2＜…＜a n )与x 轴的交点为A (0，0)和A n (c n ，0)，c n ＝c n －1＋2，当n ＝1时，第1条抛物线y 1＝－(x －a 1)2＋b 1与x 轴的交点为A (0，0)和A 1(2，0)，其他依此类推．(1)求a 1，b 1的值及抛物线y 2的解析式．(2)抛物线y3的顶点B3的坐标为(______，______)；依此类推，第n条抛物线y n 的顶点B n的坐标为(______，________)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是____________．(3)探究下列结论：①是否存在抛物线y n，使得△AA n B n为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线x＝m(m＞0)与抛物线y n分别交于C1，C2，…，C n，则线段C1C2，C2C3，…，C n－1C n的长有何规律？请用含有m的代数式表示．3．如图，抛物线y1＝－x2＋c与x轴交于A，B两点，且AB＝2.(1)求抛物线y1的函数解析式，并直接写出y1的顶点坐标．(2)将y1先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，记为第一次操作，得到抛物线y2.按同样的操作方式，经过第二次操作，可得到抛物线y3，经过第三次操作，可得到抛物线y4，…，经过第(n－1)次操作可得到抛物线y n.①y1的顶点是否在y2上？请说明理由．②若抛物线y n恰好经过点B(不含y1)，求抛物线y n的解析式．③定义：当抛物线与x轴有两个交点时，定义：以这两个交点及抛物线顶点构成的三角形叫做该抛物线的“轴截三角形”．如△ABC是抛物线y1的“轴截三角形”．记抛物线y1，y2，y3，…，y n的“轴截三角形”的面积分别为S1，S2，S3，…，S n.当S n＝125时，求n的值．4．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线y＝－x2＋bx－3经过点(－1，0)，则b＝________，顶点坐标为______，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线表达式是___________．抽象感悟我们定义，对于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线y＝－x2－2x＋5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决(3)已知抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)．①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点(0，k＋12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k ＋22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点(0，k＋n2)(n为正整数)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n；….求A n A n＋1的长(用含n的式子表示)．类型四二次函数与新定义如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B 两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．(1)抛物线y ＝12x 2对应的碟宽为________；抛物线y ＝4x 2对应的碟宽为________；抛物线y ＝ax 2(a ＞0)对应的碟宽为________；抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)对应的碟宽为________；(2)抛物线y ＝ax 2－4ax －53(a ＞0)对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；(3)将抛物线y ＝a n x 2＋b n x ＋c n (a n ＞0)对应的准碟形记为F n (n ＝1，2，3…)，定义F 1，F 2，…，F n 为相似准碟形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n －1的相似比为12，且F n 的碟顶是F n －1的碟宽的中点，现将(2)中求得的抛物线记为y 1，其对应的准碟形记为F 1.①求抛物线y 2的表达式；②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…，F n 的碟高为h n ，则h n ＝________，F n 的碟宽右端点横坐标为________；F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．【分析】 (1)根据定义易算出抛物线y ＝12x 2，抛物线y ＝4x 2的碟宽，且都利用端点(第一象限)横、纵坐标相等求解．推广至含字母的抛物线y ＝ax 2(a ＞0)可类似求解．而抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)为顶点式，可看成由抛物线y ＝ax 2平移得到，则发现碟宽只和a 有关．(2)由(1)的结论，根据碟宽与a 的关系求解．(3)①由y 1，易推y 2.②由相似的性质得到h n 与h n －1，h n －1与h n －2，…h 2与h 1之间的关系，从而得到h n 即可；由等腰直角三角形性质得到F n 的碟宽与h n 之间的关系，即可得到F n 的碟宽右端点横坐标，先证明F n ，F n －1，F n －2的碟宽右端点在一条直线上，从而作出判断，再确定F 1，F 2的碟宽右端点所在直线即可求解．【自主解答】1．如图①，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上(点A 与点B 不重合)，我们把这样的两条抛物线L 1、L 2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．(1)抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；(2)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；(3)在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m＞0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D，若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．2．(2019·南昌二模)我们规定，以二次函数y＝ax2＋bx＋c的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的一次函数y＝2ax＋b叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的“子函数”，反过来，二次函数y＝ax2＋bx＋c叫做一次函数y ＝2ax＋b的“母函数”．(1)若一次函数y＝2x－4是二次函数y＝ax2＋bx＋c的“子函数”，且二次函数经过点(3，0)，求此二次函数的解析式及顶点坐标；(2)若“子函数”y＝x－6的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式；(3)已知二次函数y＝－x2－4x＋8的“子函数”图象直线l与x轴、y轴交于C、D 两点，点P在直线l上方的抛物线上，求△PCD的面积的最大值．3．(2019·南昌5月模拟)已知：抛物线C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y＝－(x＋1)2＋1与抛物线C2：y＝(x－2)2＋2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C 1与D .(1)已知抛物线：①y ＝－x 2－2x ，②y ＝(x －3)2＋3，③y ＝(x －2)2＋2，④y ＝x 2－x ＋12，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是________ (请在横线上填写抛物线的数字序号)；(2)如图①，当m ＝1，n ＝2时，证明AC ＝BD ；(3)如图②，连接AB ，CD 交于点F ，延长BA 交x 轴的负半轴于点E ，记BD 交x 轴于G ，CD 交x 轴于点H ，∠BEO ＝∠BDC .①求证：四边形ACBD 是菱形；②若已知抛物线C 2：y ＝(x －2)2＋4，请求出m 的值．图① 图②参考答案【例1】解：(1)当x ＝0时，y ＝－x ＋2＝2，∴A (0，2)，把A (0，2)代入y ＝(x －1)2＋m ，得1＋m ＝2，∴m ＝1.∴B (1，1)．(2)y ＝(x －n )2＋2－n .(3)①∵点C 是两条抛物线的交点，∴点C 的纵坐标可以表示为(a －1)2＋1或(a －n )2＋2－n ，∴(a －1)2＋1＝(a －n )2＋2－n ，即a 2－2a ＋1＋1＝a 2－2an ＋n 2＋2－n , 2an －2a ＝n 2－n ，∵n ＞1，∴a ＝n 2－n 2n －2＝n 2. ②如解图，过点C 作y 轴的垂线，垂足为E ，过点D 作DF ⊥CE 于点F .例1题解图∵∠ACD ＝90°，∴∠ACE ＝∠CDF .又∵∠AEC ＝∠DFC ，∴△ACE ∽△CDF ，∴AE EC ＝CF FD .又∵C (a ，a 2－2a ＋2)，D (2a ，2－2a )，∴AE ＝a 2－2a ，DF ＝a 2，CE ＝CF ＝a ，∴a 2－2a a ＝a a 2，∴a 2－2a ＝1，解得a ＝±2＋1，∵n ＞1，∴a ＝n 2＞12，∴a ＝2＋1.跟踪训练1．解： (1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －2(a ≠0)过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －2＝0，16a ＋4b －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2.∵y ＝12x 2－32x －2＝12(x －32)2－258， ∴C (32，－258)．(2)如解图①，以AB 为直径作⊙M ，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB 为钝角，第1题解图①易得M (32，0)，⊙M 的半径为52.设P ′是抛物线与y 轴的交点，∴OP ′＝2，∵MP ′＝OP′2＋OM 2＝52. ∵P 关于抛物线对称轴的对称点为点(3，－2)，∴当－1＜m ＜0或3＜m ＜4时，∠APB 为钝角．(3)存在．抛物线向左或向右平移，∵AB 、P ′C ′是定值，∴要使首尾依次连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长第1题解图②最短，只要AC ′＋BP ′最小．第一种情况：抛物线向右平移，AC ′＋BP ′＞AC ＋BP .第二种情况：向左平移，如解图②所示，由(2)可知P (3，－2)，又∵C (32，－258)，∴C ′(32－t ，－258)，P ′(3－t ，－2)，将BP ′平移至AP ″，∵AB ＝5，∴P ″(－2－t ，－2)，要使AC ′＋BP ′最短，只要AC ′＋AP ″最短即可，∵点C ′关于x 轴的对称点C ″的坐标为(32－t ，258)，设直线P ″C ″的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧－2＝（－2－t ）k ＋b ，258＝（32－t ）k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4128，b ＝4128t ＋1314，∴直线P ″C ″的解析式为y ＝4128x ＋4128t ＋1314，当P ″、A 、C ″在同一条直线上时，周长最小，∴－4128＋4128t ＋1314＝0，∴t ＝1541. 故将抛物线向左平移1541个单位长度时，首尾依次连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短．2．解：(1)将点A (－3，0)，B (0，－6)代入L 得⎩⎪⎨⎪⎧a （－3）2＋（c －a ）·（－3）＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－6，∴抛物线L 的表达式为y ＝－x 2－5x －6.(2)由题意，得∠PDO ＝90°，∠AOB ＝90°，由对称性可得L ′的表达式为y ＝x 2－5x ＋6.设点P 的坐标为(m ，m 2－5m ＋6)，当△DPO ∽△OAB 时，DP DO ＝OA OB ，即m 2－5m ＋6＝2m ，解得m 1＝1，m 2＝6，此时点P 的坐标为(1，2)或(6，12)；当△DPO ∽△OBA 时，DP DO ＝OB OA ，即2m 2－10m ＋12＝m ，解得m 3＝4，m 4＝32，此时点P 的坐标为(4，2)或(32，34)．第2题解图3．解：(1)①②③(2)由抛物线的顶点公式求得：顶点M (1，－a －2)．如解图①，当x ＝1时，y ＝2·1－a ＝2－a ，求得D (1，2－a )；当y ＝0时，0＝2x －a ，x ＝a 2，求得A (a 2，0)，∴DM ＝2－a －(－a －2)＝ 4，∴S ＝S △BMD －S △AMD ＝12DM (OC －AC )＝12DM ·AO ＝12·4·a 2＝a .即S ＝a (a >0)．(3)①当－2≤x ≤1时，C 1的y 的值会随x 的增大而减小，而C 1的对称轴为x ＝1, －2≤x ≤1在对称轴的左侧，C 1开口向上，∴a >0；同时C 2的开口向下，而当－2≤x ≤1时，y 的值会随x 的增大而减小，∴－2≤x ≤1要在C 2的对称轴右侧，令C 2的对称轴为x ＝m ，则m ≤2，而x ＝1和x ＝m 关于P (t ，－2)对称，∴P 到这两条对称轴的距离相等，∴1－t ＝t －m ，m ＝2t －1，∴2t －1≤－2，即t ≤－12.②当a ＝1时，M (1，－3)，作PE ⊥CM 于E ，将Rt △PME 绕P 旋转90°，得到Rt △PQF ，则△MPQ 为等腰直角三角形，∵N ，Q ′分别是点M ，Q 的中心对称点，∴四边形MQNQ ′为正方形．第一种情况，当t ≤1时，求得PE ＝PF ＝1－t ，ME ＝QF ＝1，CE ＝2，∴Q (t ＋1，－t －1)．把Q (t ＋1，－t －1)代入y ＝x 2－2x －2，得－t －1＝(t ＋1)2－2(t ＋1)－2, t 2＋t －2＝0，解得：t 1＝1，t 2＝－2；第二种情况，当t >1时，求得PF ＝PE ＝t －1，ME ＝QF ＝1，CE ＝2， ∴Q (t －1，t －3)，把Q (t －1，t －3)代入y ＝x 2－2x －2，得t －3＝(t －1)2－2(t －1)－2，t 2－5t ＋4＝0，解得t1＝1 (舍去)，t2＝4综上t＝－2或1或4.图①图②图③【例2】解：(1)(－1，－4m＋1)，－1＜x＜3(2)四边形AMDN是矩形．(3)①y＝mx2＋2mx－3m＋1＝m(x＋3)(x－1)＋1，∴当x＝－3或1时，y＝1，∴L1经过定点(－3，1)和(1，1)．y＝－m(x－3)2＋4m－1＝－m(x－5)(x－1)－1，∴当x＝5或1时，y＝－1，∴L2经过定点(5，－1)和(1，－1)．②L1经过定点(－3，1)和(1，1)，L2经过定点(5，－1)和(1，－1)，设E(－3，1)，F(1，1)，G(5，－1)，H(1，－1)，则组成的四边形EFGH是平行四边形．如解图，另设平移距离为x，根据平移后的图形是菱形，由勾股定理得42＝22＋(4－x)2，解得x＝4±23，故抛物线L2应平移的距离是4＋23或4－2 3.例2题解图跟踪训练1．解：(1)将点A ，B 坐标代入抛物线表达式得⎩⎪⎨⎪⎧25a －25b ＋5＝0，16a －4b ＋5＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝6， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋6x ＋5.(2)①令y ＝x 2＋6x ＋5＝0，得x 1＝－1，x 2＝－5，∴点C 的坐标为(－1，0)．由点B (－4，－3)得直线BC 的函数解析式为y ＝x ＋1，如解图①，过点P 作PG ∥y 轴交BC 于G ，第1题解图①设点P 的坐标为(t ，t 2＋6t ＋5)，则点G (t ，t ＋1)，∴PG ＝(t ＋1)－(t 2＋6t ＋5)＝－t 2－5t －4，∴S △PBC ＝12PG ·|x C －x B |＝32(－t 2－5t －4)＝－32(t ＋52)2＋278.∵－32<0，∴当t ＝－52时，△PBC 的面积最大，最大值为278.第1题解图②②设BP 交CD 于点H .当点P 在直线BC 下方时，∵∠PBC ＝∠BCD ，∴点H 在BC 的垂直平分线上，易得线段BC 的中点坐标为(－52，－32)，过该点与直线BC 垂直的直线设为y ＝－x ＋m ，则－32＝52＋m ，解得m ＝－4，∴直线BC 的垂直平分线的函数解析式为y ＝－x －4.可得直线CD 的函数表达式为y ＝2x ＋2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －4，y ＝2x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，∴点H 的坐标为(－2，－2)，直线BH 的函数解析式为y ＝12x －1.联立得⎩⎨⎧y ＝x 2＋6x ＋5，y ＝12x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－74，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3(舍去)， ∴点P 的坐标为(－32，－74)．当点P 在直线BC 上方时，∵∠PBC ＝∠BCD ，∴BP ∥CD ，∴直线BP 的表达式为y ＝2x ＋5，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋6x ＋5，y ＝2x ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－3(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴点P 的坐标为(0，5)．综上，所有点P 的坐标为(－32，－74)，(0，5)2．解：(1)将C (3，0)，E (0，3)代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧－32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3，∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴A (1，4)．设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ，将A ，C 代入得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝6，∴直线AC 的解析式为y ＝－2x ＋6.设P (1，4－t )，∵PD ⊥AB ，∴y D ＝4－t ，∴4－t ＝－2x ＋6，解得x ＝1＋t2，∴点D 的坐标为(1＋t2，4－t )．∵l ∥y 轴，∴x Q ＝1＋t2，∴y Q ＝－(1＋t2－1)2＋4＝4－14t 2，∴S △ACQ ＝S △ADQ ＋S △CDQ＝12DQ ·BC＝12(4－14t 2－4＋t )×2＝－14(t －2)2＋1，∴当t ＝2时，S △ACQ 最大，最大值为1.(3)存在，综合条件的M 点坐标为(2，2)，(－2，3＋14)，(4，17)．【解法提示】设点P (1，t )(t ＞0)，∵以P ，M ，E ，C 为顶点的四边形是菱形， ∴①当CE 为对角线时，PC ＝PE ，且PM 与CE 互相垂直平分，∴(1－0)2＋(t －3)2＝(3－1)2＋t 2，解得t ＝1，即点P 的坐标为(1，1)，由菱形中心对称性质可知，点M 的坐标为(2，2)；②CP ＝CE ＝32，即（3－1）2＋t 2＝32，解得t ＝14(负的已舍去)，即点P 的坐标为(1，14)，此时点M 的坐标为(－2，3＋14)；③EP ＝CE ＝32，即（1－0）2＋（t －3）2＝32，解得t ＝3＋17(负值已舍去)，∴此时点P 的坐标为(1，3＋17)，则点M 的坐标为(4，17)．【例3】解：(1)当x ＝0时，y 1＝y 2＝y 3＝1，∴①正确；y 1，y 2，y 3的对称轴分别是直线x 1＝－12，x 2＝－1，x 3＝－32，∴②正确；y 1，y 2，y 3与直线y ＝1的交点(除点C 外)的横坐标分别为－1，－2，－3，∴距离为1，都相等，∴③正确．故答案为①②③.(2)①y n ＝－x 2－nx ＋1＝－(x ＋n 2)2＋n 2＋44，∴顶点P n (－n 2，n 2＋44)．令顶点P n 的横坐标为x ＝－n 2，纵坐标y ＝n 2＋44，∴y ＝n 2＋44＝(－n 2)2＋1＝x 2＋1，即顶点P n 的纵坐标y 与横坐标x 满足关系式y ＝x 2＋1. ②令C n (x n ，y n )，C n －1(x n －1，y n －1)，x n －1＝－k －(n －1)＝－k －n ＋1，y n －1＝－x n －12－(n －1)x n －1＋1，x n ＝－k －n ，y n ＝－x n 2－nx n ＋1， ∵x n －1－x n ＝1，y n －1－y n ＝－x n －12－(n －1)x n －1＋1＋x n 2＋nx n －1＝(x n －x n －1)(x n ＋x n －1)＋n (x n －x n －1)＋x n －1＝－(－k －n ＋1－k －n ＋n )－k －n ＋1＝2k ＋n －1－k －n ＋1＝k .∴C n －1C n ＝（x n －1－x n ）2＋（y n －1－y n ）2＝1＋k 2. ∵C n －1C n ＝1＋k 2与n 无关， ∴相邻两点之间的距离为定值，定值为1＋k 2.(3)令y n ＝1得－x 2－nx ＋1＝1，解得x 1＝0，x 2＝－n ， ∴A n (－n ，1)，由②知C n (x n ，－x n 2－nx n ＋1)，设直线A n C n ：y ＝k n x ＋b n ，则k n ＝1－（－x n 2－nx n ＋1）－n －x n ＝x n （x n ＋n ）－n －（－k －n ）＝（－k －n ）（－k －n ＋n ）－n ＋k ＋n ＝k ＋n ，同理A n －1(－n ＋1，1)，C n －1(x n －1，－x n －12－(n －1)x n －1＋1)，设直线A n －1C n －1：y ＝k n －1x ＋b n －1，则k n －1＝k ＋n －1，∴k n －1≠k n ，∴直线C n A n 与直线C n －1A n －1不平行．跟踪训练1．解：(1)(－1，0)，(3，0)；(1，4)(2)①(－1，0)，(3，0)；(1，－4n 3)；对称轴为直线x ＝1[或与x 轴交点为(－1，0)，(3，0)]②当直线y ＝12x ＋m 与y 相交只有1个交点时，由⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x 2＋2x ＋3，整理得x 2－32x ＋m －3＝0， ∴b 2－4ax ＝(32)2－4(m －3)＝0，解得m ＝5716.当直线y ＝12x ＋m 与y n 相交只有1个交点时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝13x 2－23x －1，整理得2x 2－7x －(6＋6m )＝0， ∴b 2－4ax ＝72－4×2×(－6－6m )＝0，解得m ＝－9748，把点(－1，0)代入y ＝12x ＋m 得m ＝12，把(3，0)代入y ＝12x ＋m 得m ＝－32，如解图①，∴m 的取值范围是－9748<m <5716，且m ≠－32，m ≠12.(3)如解图②，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ，y ＝－x 2＋2x ＋3得x 2－2x ＋k －3＝0， ∴AD 2＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16－4k ，由⎩⎨⎧y ＝k ，y ＝n 3x 2－2n 3x －n得nx 2－2nx －(3n ＋3k )＝0， ∴BC 2＝(x 3－x 4)2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝16＋12k n ， ∵AB ＝BC ＝CD ，∴AD 2＝9BC 2，∴16－4k ＝9(16＋12k n )， ∴32n ＋27k ＋nk ＝0.图① 图② 2．解： (1)当n ＝1时，第1条抛物线y 1＝－(x －a 1)2＋b 1与x 轴的交点为A (0，0)，A 1(2，0)，∴y 1＝－x (x －2)＝－(x －1)2＋1，则a 1＝1，b 1＝1. 由c n ＝c n －1＋2可知，c 2＝c 1＋2＝2＋2＝4， ∴抛物线y 2与x 轴的交点为A (0，0)，A 2(4，0)， ∴y 2＝－x (x －4)＝－x 2＋4x .(2)3，9，n ，n 2，y ＝x 2；(3)①存在，由(1)(2)得A n (2n ，0)，B n (n ，n 2)．当△AA n B n 为等腰直角三角形时，n 2＝n ，解得n 1＝1，n 2＝0(舍去)．∴存在抛物线y n ，使得△AA n B n 为等腰直角三角形，此时抛物线为y 1＝－(x －1)2＋1.②∵y n ＝－x (x －2n )＝－x 2＋2nx ，当x ＝m (m ＞0)时，C n (m ，－m 2＋2mn )，C n －1(m ，－m 2＋2mn －2m )， ∴C n C n －1＝－m 2＋2mn －(－m 2＋2mn －2m )＝2m .∴C 1C 2＝C 2C 3＝…＝C n －1C n ＝2m .3．解： (1)∵AB ＝2，抛物线y 1＝－x 2＋c 的对称轴为直线x ＝0， ∴点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，将点A (－1，0)代入得c ＝1，则抛物线y 1的解析式为y 1＝－x 2＋1，顶点坐标为(0，1)．(2)①由平移性质得，抛物线y 2的顶点坐标为(1，2)，则抛物线y 2的函数解析式为y 2＝－(x －1)2＋2，当x ＝0时，y 2＝1，则y 1的顶点(0，1)在抛物线y 2上．②由题意，得抛物线y 3＝－(x －2)2＋3，y 4＝－(x －3)2＋4，y n ＝－(x －n ＋1)2＋n ，将点B (1，0)代入y n ，得－(1－n ＋1)2＋n ＝0，解得n ＝4或n ＝1(舍去)．∴抛物线y n 的解析式为y 4＝－(x －3)2＋4.③令y n ＝－(x －n ＋1)2＋n ＝0，解得x 1＝n －1－n ，x 2＝n －1＋n ，则S n ＝12[(n －1＋n)－(n －1－n)]·n ＝n·n ＝125，∵53＝125，∴n ＝5，即n ＝25.4．解：(1)－4；(－2，1)；y ＝(x －2)2＋1(2)y ＝－x 2－2x ＋5即y ＝－(x ＋1)2＋6，∴顶点为(－1，6)．∵点(－1，6)关于点(0，m )的对称点为(1，2m －6)，∴衍生抛物线为y ＝(x －1)2＋2m －6，则－(x ＋1)2＋6＝(x －1)2＋2m －6，化简得x 2＝－m ＋5，∵两抛物线有交点，∴－m ＋5≥0，∴m ≤5.(3)①y ＝ax 2＋2ax －b ＝a (x ＋1)2－a －b ，顶点为(－1，－a －b )．y ′＝bx 2－2bx ＋a 2＝b (x －1)2－b ＋a 2，顶点为(1，－b ＋a 2)．∵两抛物线交点恰好是顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a 2＝a·（1＋1）2－a －b ，－a －b ＝b·（－1－1）2－b ＋a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3，∴顶点分别为(－1，0)和(1，12)．∵(－1，0)，(1，12)关于衍生中心对称，∴衍生中心为它们的中点，∵－1＋12＝0，0＋122＝6，∴衍生中心为(0，6)．②由①可知衍生中心为抛物线y ＝a (x ＋1)2－a －b 的顶点与A 1，A 2，A 3，…，A 4的中点，∴A n (1，2k ＋2n 2＋a ＋b )，A n ＋1(1，2k ＋2(n ＋1)2＋a ＋b )，∴A n A n ＋1＝2k ＋2(n ＋1)2＋a ＋b －(2k ＋2n 2＋a ＋b )＝4n ＋2.【例4】解：(1)4；12；2a ；2a .例4题解图①【解法提示】 ∵a ＞0，∴y ＝ax 2的图象大致如解图①，其顶点为原点O ，记AB 为其碟宽，AB 与y 轴的交点为C ，连接OA ，OB .∵△OAB 为等腰直角三角形，AB ∥x 轴， ∴OC ⊥AB ， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ＝12×90°＝45°，∴△ACO 与△BCO 亦为等腰直角三角形，∴AC ＝OC ＝BC ，∴x A ＝－y A ，x B ＝y B ，代入y ＝ax 2，∴A (－1a ，1a )，B (1a ，1a )，C (0，1a )，∴AB ＝2a ，OC ＝1a ，即抛物线y ＝ax 2对应的碟宽为2a .①抛物线y ＝12x 2对应的a ＝12，得碟宽2a 为4；②抛物线y ＝4x 2对应的a ＝4，得碟宽2a 为12；③抛物线y ＝ax 2(a ＞0)对应的碟宽为2a ； ④抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)可看成抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的，∵平移不改变形状、大小、开口方向，∴抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)的准碟形与抛物线y ＝ax 2的准碟形全等． ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)对应的碟宽为2a ，∴抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)对应的碟宽为2a .(2)∵y ＝ax 2－4ax －53＝a (x －2)2－(4a ＋53)，∴同(1)，其碟宽为2a .∵抛物线y ＝ax 2－4ax －53的碟宽为6，∴2a ＝6，解得a ＝13.(3)①∵F 1的碟宽∶F 2的碟宽＝2∶1，∴2a 1＝4a 2.∵a 1＝13，∴a 2＝23.∵y 1＝13(x －2)2－3的碟宽AB 在x 轴上(A 在B 左边)，∴A (－1，0)，B (5，0)，∴F 2的碟顶坐标为(2，0)，∴y 2＝23(x －2)2.②∵F n 的准碟形为等腰直角三角形，∴F n 的碟宽为2h n .∵2h n ∶2h n －1＝1∶2，∴h n ＝12h n －1＝(12)2h n －2＝(12)3h n －3＝…＝(12)n －1h 1.∵h 1＝3，∴h n ＝32n －1. ∵h n ∥h n －1，且都过F n －1的碟宽中点，∴h 1，h 2，h 3，…，h n －1，h n 都在一条直线上，∵h 1在直线x ＝2上，∴h 1，h 2，h 3，…，h n －1，h n 都在直线x ＝2上，∴F n 的碟宽右端点横坐标为2＋32n －1. F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点在一条直线上，直线为y ＝－x ＋5.【解法提示】考虑F n －2，F n －1，F n 情形，如解图②，例4题解图②F n －2，F n －1，F n 的碟宽分别为AB ，DE ，GH ；C ，F ，I 分别为其碟宽的中点，都在直线x ＝2上，连接右端点，BE ，EH .∵AB ∥x 轴，DE ∥x 轴，GH ∥x 轴，∴AB ∥DE ∥GH ，∴GH 平行且等于FE ，DE 平行且等于CB ，∴四边形GFEH ，四边形DCBE 都为平行四边形，∴HE ∥GF ，EB ∥DC .∵∠GFI ＝12∠GFH ＝12∠DCE ＝∠DCF ，∴GF ∥DC ，∴HE ∥EB ，∵HE ，EB 都过E 点，∴HE ，EB 在一条直线上，∴F n －2，F n －1，F n 的碟宽的右端点在一条直线上，∴F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点在一条直线上．∵F 1：y 1＝13(x －2)2－3对应的准碟形右端点坐标为(5，0)，F 2：y 2＝23(x －2)2对应的准碟形右端点坐标为(2＋32，32)，∴可得过以上两点的直线为y ＝－x ＋5，∴F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点在直线y ＝－x ＋5上．跟踪训练1．解： (1)由y ＝－x 2＋4x －3可得A 的坐标为(2，1)，将x ＝4代入y ＝－x 2＋4x －3，得y ＝－3，∴B 的坐标为(4，－3)，设抛物线L 2的解析式为y ＝a (x －4)2－3.将A (2，1)代入，得1＝a (2－4)2－3，解得a ＝1，∴抛物线L 2的表达式为y ＝(x －4)2－3；(2)a 1＝－a 2，理由如下：∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上，∴可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ＝a 2（m －h ）2＋k k ＝a 1（h －m ）2＋n ，整理，得(a 1＋a 2)(m －h )2＝0，∵伴随抛物线的顶点不重合，∴m ≠h ，∴a 1＝－a 2.(3)抛物线L 1：y ＝mx 2－2mx －3m 的顶点坐标为(1，－4m )，设抛物线L 2的顶点的横坐标为h ，则其纵坐标为mh 2－2mh －3m ，∴抛物线L 2的表达式为y ＝－m (x －h )2＋mh 2－2mh －3m ，化简得，y ＝－mx 2＋2mhx －2mh －3m ，所以点D 的坐标为(0，－2mh －3m )，又点C 的坐标为(0，－3m )，可得|(－2mh －3m )－(－3m )|＝4m ，解得h ＝±2，∴抛物线L 2的对称轴为直线x ＝±2.2．解：(1)由题意得：a ＝1，b ＝－4，故抛物线的表达式为：y ＝x 2－4x ＋c ，将点(3，0)代入得：c ＝3，故抛物线的表达式为：y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，故抛物线的顶点坐标为(2，－1)；(2)设“子函数”y ＝x －6的“母函数”为：y ＝12x 2－6x ＋c ，则y ＝12(x 2－12x )＋c ＝12(x －6)2－18＋c ，故－18＋c ＝1，解得c ＝19，故“母函数”的表达式为：y ＝12x 2－6x ＋19；第2题解图(3)设点P (m ，－m 2－4m ＋8)，由题意，得直线l 的表达式为：y ＝－2x －4，故点C 、D 的坐标分别为(－2，0)、(0，－4)，如解图，过点P 作PQ ∥y 轴交直线CD 于Q ，则Q (m ，－2m －4)， ∴PQ ＝(－m 2－4m ＋8)－(－2m －4)＝－m 2－2m ＋12，∴S △PCD ＝12·PQ |x D －x C |＝12`(－m 2－2m ＋12)·2＝－(m ＋1)2＋13，∵点P 在CD 上方的抛物线上且－1<0，∴当m ＝－1时△PCD 的面积最大，最大值为13.3．(1)解：①y ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋12，②y ＝(x －3)2＋3＝(x －3)2＋(3)2，③y＝(x －2)2＋(2)2，④y ＝x 2－x ＋12＝(x －12)2＋(12)2，所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线；故答案为①与③；①与④；(2)证明：当m ＝1，n ＝2时，抛物线C 1：y ＝－(x ＋1)2＋1，抛物线C 2：y ＝(x －2)2＋4，∴A(－1，1)，B(2，4)，∵AC∥BD∥y轴，∴点C的横坐标为－1，点D的横坐标为2，当x＝－1时，y＝(x－2)2＋4＝13，则C(－1，13)；当x＝2时，y＝－(x＋1)2＋1＝－8，则D(2，－8)，∴AC＝13－1＝12，BD＝4－(－8)＝12，∴AC＝BD；(3)①证明：抛物线C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，则A(－m，m2)；抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，则B(n，n2)；当x＝－m时，y＝(－m－n)2＋n2＝m2＋2mn＋2n2，则C(－m，m2＋2mn＋2n2)；当x＝n时，y＝－(n＋m)2＋m2＝－2mn－n2，则D(n，－2mn－n2)；∴AC＝m2＋2mn＋2n2－m2＝2mn＋2n2，BD＝n2－(－2mn－n2)＝2mn＋2n2，∴AC＝BD，∴四边形ACBD为平行四边形．∵∠BEO＝∠BDC，而∠EHF＝∠DHG，∴∠EFH＝∠DGH＝90°，∴AB⊥CD，∴四边形ACBD是菱形；②∵抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，则B(2，4)，∴n＝2，∴AC＝BD＝2mn＋2n2＝4m＋8，而A(－m，m2)，∴C(－m，m2＋4m＋8)，∴BC2＝(－m－2)2＋(m2＋4m＋8－4)2＝(m＋2)2＋(m＋2)4.∵四边形ACBD是菱形，∴BC＝BD，∴(m＋2)2＋(m＋2)4＝(4m＋8)2，即(m＋2)4＝15(m＋2)2，∵m＞0，∴(m＋2)2＝15，∴m＋2＝15，∴m＝15－2.。

中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型六二次函数与几何图形综合题试题-人教版初中九年级

题型六二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．(2017·某某)在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧．(1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．(2017·某某模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2016·某某)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.类型二二次函数与图形面积1．(2017·某某)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·某某)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).3．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式．(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．类型三二次函数与线段问题1．(2017·某某)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，1AM ＋1AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·某某模拟)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标.3．(2017·某某)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.类型四二次函数与三角形相似1．(2016·某某)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.3．如图①，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM 面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E(0，233)作x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△Q与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.题型六第23题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．设P(a ，b)，则Q(a ＋4，b)或(a －4，b)， ①当Q(a ＋4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a ＋4)2＋2(a ＋4)－3，解得a ＝－2，∴b ＝a 2－2a －3＝4＋4－3＝5， ∴P 1(－2，5)，Q 1(2，5)． ②当Q(a －4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a －4)2＋2(a －4)－3，解得a ＝2.∴b ＝4－4－3＝－3， ∴P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－2，5)，Q 1(2，5)； P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3). 2．解：(1)∵抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23， ∴其梦想直线的解析式为y ＝－233x ＋233，联立梦想直线与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－233x ＋233y ＝－233x 2－433x ＋23，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴A(－2，23)，B(1，0)；(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形，如解图①，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，在y ＝－233x 2－433x ＋23中，令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC ＝（－2＋3）2＋（23）2＝13，由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝23，∴ON ＝23－3或ON ＝23＋3，当ON ＝23＋3时，则MN ＞OD ＞CM ，与MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为(0，23－3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如解图②，在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝23，∴tan ∠DAM ＝MDAD ＝3，∴∠DAM ＝60°，∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°，又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3， ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝332，∴此时N 点坐标为(32，332)；综上可知N 点坐标为(0，23－3)或(32，332)；(3)①当AC 为平行四边形的边时，如解图③，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ，在△ACK 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACK ＝∠EFH ∠AKC ＝∠EHF AC ＝EF，∴△ACK ≌△EFH(AAS )， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝23，∵抛物线对称轴为x ＝－1，∴F 点的横坐标为0或－2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F(0，233)，此时点E 在直线AB 下方，∴E 到x 轴的距离为EH －OF ＝23－233＝433，即E 点纵坐标为－433，∴E(－1，－433)；当F 点的横坐标为－2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴线段AC 的中点坐标为(－52，3)，设E(－1，t)，F(x ，y)，则x －1＝2×(－52)，y ＋t ＝23，∴x ＝－4，y ＝23－t ，代入直线AB 解析式可得23－t ＝－233×(－4)＋233，解得t ＝－433，∴E(－1，－433)，F(－4，1033)；综上可知存在满足条件的点F ，此时E(－1，－433)、F(0，233)或E(－1，－433)、F(－4，1033).3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4， ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2) 设点Q 的坐标为(m ，0)，如解图①，过点E 作EG ⊥x 轴于点G. 由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2，∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26，∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m ＋2)(4－2m ＋43)＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m－1)2＋3，又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q(1，0)；图①图②(3)存在．在△ODF 中． (ⅰ)若DO ＝DF ，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2，又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)，由－12x 2＋x ＋4＝2，得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由等腰三角形的性质得：OM ＝MD ＝1，∴AM ＝3， ∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)，由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，此时，点P 的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，与OF ≥22矛盾， ∴AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2，此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3). 4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n ＝4，∴y ＝－43x ＋4，令y ＝0，解得x ＝3，∴A(3，0)，∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴c ＝－2，6＋3b －2＝0，解得b ＝－43，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2；(2)∵点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上， ∴P(m ，23m 2－43m －2)，∵PD ⊥x 轴，BD ⊥PD ，∴点D 坐标为(m ，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m 2－43m －2＋2|，当△BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝BD ， ∴|m|＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∴m 2＝(23m 2－43m)2，解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝72，m 3＝12，∴当△BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或12；(3)∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5， ∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35，①当点P′落在x 轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P ′D ′＝PD ＝23m 2－43m ，在Rt △P ′D ′N 中，cos ∠ND ′P ′＝ND′P′D′＝cos ∠PBP ′＝35，∴ND ′＝35(23m 2－43m)，在Rt △BD ′M 中，BD ′＝－m ，sin ∠DBD ′＝D′M BD′＝sin ∠PBP ′＝45，∴D ′M ＝－45m ，∴ND ′－MD′＝2，∴35(23m 2－43m)－(－45m)＝2，解得m ＝5(舍去)或m ＝－5，如解图②，同①的方法得，ND ′＝35(23m 2－43m)，MD ′＝45m ，ND ′＋MD′＝2， ∴35(23m 2－43m)＋45m ＝2， ∴m ＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)，②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ， ∴∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，同①的方法得：P′N＝45(23m 2－43m)，BM ＝35m ，∵P ′N ＝BM ，∴45(23m 2－43m)＝35m ，解得m ＝258或m ＝0(舍去)，∴P(258，1132)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)或P(258，1132).类型二二次函数与图形面积1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B(1，0)，如解图①，过D 作DM ∥y 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN ，设D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M(a ，12a ＋2)，∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴S 1S 2＝DMBN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45； ∴当a ＝－2时，S 1S 2有最大值，最大值是45；②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P(－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC)＝43，如解图②，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，情况一：∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝12，令D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－32a ，∴－12a 2－32a －a ＝12，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2， ∴x D ＝－2，情况二：∠FDC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠FDC ＝43，设FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k FG ＝12，∴FG ＝6k ，∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝455k ， DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR RC ＝1155k 255k ＝－a －12a 2－32a ，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2911， ∴点D 的横坐标为－2或－2911.2．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)，设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M(2，32)；②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，在0＜x ＜3对应的抛物线上任取一点E ，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E(x ，x 2－4x ＋3)，则F(x ，－x ＋3)， ∵0＜x ＜3，∴EF ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ，∴S △CBE ＝S △EFC ＋S △EFB ＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x 2＋3x)＝－32(x －32)2＋278，∴当x ＝32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为(32，－34)，即当E 点坐标为(32，－34)时，△CBE 的面积最大.3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l 为x ＝－1，∴B(－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q. ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°， ∴∠BPM ＝∠NBQ.又∵∠BMP ＝∠BQN ＝90°，PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ ，∴PM ＝BQ.∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于点A(1，0)和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－3，0)，点Q 的坐标为(－1，0)， ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3，解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P 的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．如解图②，连接AC ，PC.可设点P 的坐标为(x ，y)(－3＜x ＜0)，则y ＝x 2＋2x －3， ∵点A(1，0)，∴OA ＝1.∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3，即点C(0，－3)，∴OC ＝3. 由(2)可知S四边形PBAC＝S △BPM ＋S四边形PMOC＋S △AOC ＝12BM·PM＋12(PM ＋OC)·OM＋12OA·OC＝12(x＋3)(－y)＋12(－y ＋3)(－x)＋12×1×3＝－32y －32x ＋32，将y ＝x 2＋2x －3代入可得S 四边形PBAC ＝－32(x 2＋2x －3)－32x ＋32＝－32(x ＋32)2＋758.∵－32＜0，－3＜x ＜0，∴当x ＝－32时，S 四边形PBAC 有最大值758，此时，y ＝x 2＋2x －3＝－154.∴当点P 的坐标为(－32，－154)时，四边形PBAC 的面积最大，最大值为758.4．解：(1)把y ＝0代入直线的解析式得x ＋1＝0，解得x ＝－1，∴A(－1，0)． ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴B 的坐标为(3，0)．将x ＝0代入抛物线的解析式得y ＝－3，∴C(0，－3)．设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将C(0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3； (2)如解图①，连接OP.将x ＝0代入直线AD 的解析式得y ＝1，∴OD ＝1. 由题意可知P(t ，t 2－2t －3)． ∵S 四边形DCPB ＝S △ODB ＋S △OBP ＋S △OCP ，∴S ＝12×3×1＋12×3×(－t 2＋2t ＋3)＋12×3×t ，整理得S ＝－32t 2＋92t ＋6，配方得：S ＝－32(t －32)2＋758，∴当t ＝32时，S 取得最大值，最大值为758；(3)如解图②，设点D′的坐标为(a ，a ＋1)，O ′(a ，a)．当△D′O′E 的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB ′＝1∶2. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝1， ∴E(a ＋1，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得(a ＋1)2－2(a ＋1)－3＝a ，整理得：a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋172或a ＝1－172，∴O ′的坐标为(1＋172，1＋172)或(1－172，1－172)，∴OO ′＝2＋342或OO′＝34－22， ∴△DOB 平移的距离为2＋342或34－22，当△D′O′E 的面积∶△D ′EB ′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB ′＝2∶1. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝2，∴E(a ＋2，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a ＋2)2－2(a ＋2)－3＝a ，整理得：a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1＋132或a ＝－1－132.∴O ′的坐标为(－1＋132，－1＋132)或(－1－132，－1－132)．∴OO′＝－2＋262或OO′＝2＋262.∴△DOB 平移的距离为－2＋262或2＋262.综上所述，当△D′O′B′沿DA 方向平移2＋342或2＋262单位长度，或沿AD 方向平移34－22或－2＋262个单位长度时，ED ′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 类型三二次函数与线段问题1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a ＝3，解得a ＝－13.令y ＝0，得ax 2－23ax －9a ＝0，∵a ≠0，∴x 2－23x －9＝0，解得x ＝－3或x ＝3 3. ∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(33，0)，∴抛物线的对称轴为x ＝3； (2)解：∵OA ＝3，OC ＝3， ∴tan ∠CAO ＝3，∴∠CAO ＝60°. ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO ＝30°， ∴DO ＝33AO ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)，设点P 的坐标为(3，a)．∴AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2. 当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2，解得a ＝0或a ＝2， ∴点P 的坐标为(3，0)或(3，2)．当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2，解得a ＝－4. ∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);(3)证明：设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得－3m ＋3＝0，解得m ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. 设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1，得kx ＋1＝0，解得：x ＝－1k ，∴点N 的坐标为(－1k ，0)，∴AN ＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立，解得x ＝2k －3，∴点M 的横坐标为2k －3.如解图，过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2k －3＋ 3.∵∠MAG ＝60°，∠AGM ＝90°， ∴AM ＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝k －323k －2＋2k 23k －2＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32. 2．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1，∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y ＝34×4－1＝2，∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA ＝43，在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO ＝∠DEF ，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos ∠DEF ＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin ∠DEF ＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l ＝2(DF ＋EF)＝2×(45＋35)DE ＝145DE ，∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t ，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE ＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l ＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l ＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285；(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1的横坐标为m ，则O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝712，如解图④，设A 1的横坐标为m ，则B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋m ，将点A(－1，1)代入y ＝kx ＋m 中，即－k ＋m ＝1， ∴k ＝m －1，∴直线AF 的解析式为y ＝(m －1)x ＋m. 联立直线AF 和抛物线解析式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2my 2＝2m 2－m ， ∴点G 的坐标为(2m ，2m 2－m)． ∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为(2m ，0)． ∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ＝12x(x －1)，∴点E 的坐标为(1，0)．设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将A(－1，1)，E(1，0)代入y ＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝1k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12b 1＝12，∴直线AE 的解析式为y ＝－12x ＋12.设直线FH 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，将F(0，m)、H(2m ，0)代入y ＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝m 2mk 2＋b 2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－12b 2＝m， ∴直线FH 的解析式为y ＝－12x ＋m.∴FH ∥AE ；(3)解：设直线AB 的解析式为y ＝k 0x ＋b 0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝k 0x ＋b 0中，⎩⎪⎨⎪⎧－k 0＋b 0＝14k 0＋b 0＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝1b 0＝2， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(t －2，t)，点Q 的坐标为(t ，0)．当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP′⊥x 轴于点P′，过点M 作MM′⊥x 轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．∵QM ＝2PM ， ∴QM′QP′＝MM′PP′＝23，∴QM ′＝43，MM ′＝23t ，∴点M 的坐标为(t －43，23t)，又∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴23t ＝12(t －43)2－12(t －43)，解得t ＝15±1136，当点M 在线段QP 的延长线上时，同理可得出点M 的坐标为(t －4，2t)， ∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴2t ＝12×(t －4)2－12(t －4)，解得t ＝13±892.综上所述：当运动时间为15－1136秒、15＋1136秒、13－892秒或13＋892秒时，QM ＝2PM.类型四二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如解图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D 、E 两点，则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，EC ＝3， ∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，即∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， ∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2＋2x|，由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝32， ∵MN ⊥x 轴于点N ∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△MNO 和△ABC 相似时有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ONAB，①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x|2＝|x|32，即|x|×|－x ＋2|＝13|x|，∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形， ∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时N 点坐标为(53，0)或(73，0)，②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|2，即|x|×|－x ＋2|＝3|x|，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1，此时N 点坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0).2．解：(1)把A 、C 两点坐标代入直线y ＝－ax ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13c ＝1， ∴直线的表达式为y ＝13x ＋1，把A 点坐标和a ＝－13代入抛物线解析式可得9×(－13)－3b ＋1＝0，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋1；(2)∵点D 为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t ，－13t 2－23t ＋1)，则F(t ，13t ＋1)，∴DF ＝－13t 2－23t ＋1－(13t ＋1)＝－13t 2－t ＝－13(t ＋32)2＋34.∵－13＜0，∴当t ＝－32时，DF 有最大值，最大值为34，此时D 点坐标为(－32，54)；(3)设P(m ，－13m 2－23m ＋1)，如解图，∵P 在第四象限，∴m ＞0，－13m 2－23m ＋1＜0，∴AN ＝m ＋3，PN ＝13m 2＋23m －1，∵∠AOC ＝∠ANP ＝90°，∴当以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似时有△AOC ∽△PNA 和△AOC ∽△ANP ，①当△AOC ∽△PNA 时，则有OC NA ＝AO PN ，即1m ＋3＝313m 2＋23m －1，解得m ＝－3或m ＝10，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝10，此时P 点坐标为(10，－39)；②当△AOC ∽△ANP 时，则有OC NP ＝AO AN ，即113m 2＋23m －1＝3m ＋3，解得m ＝2或m ＝－3，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝2，此时P 点坐标为(2，－53)；综上可知P 点坐标为(10，－39)或(2，－53).3．解：(1)将A 、G 点坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋33＝0，a －b ＋33＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝23，∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋23x ＋33； (2)如解图①，作ME ∥y 轴交AB 于E 点，当x ＝0时，y ＝33，即B 点坐标为(0，33)，直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋33，设M(n ，－3n 2＋23n ＋33)，E(n ，－3n ＋33)， ME ＝－3n 2＋23n ＋33－(－3n ＋33)＝－3n 2＋33n ， S △ABM ＝12ME·AO＝12(－3n 2＋33n)×3＝－332(n －32)2＋2738，当n ＝32时，△ABM 面积的最大值是2738；(3)存在；理由如下：OE ＝233，AP ＝2，OP ＝1，BE ＝33－233＝733，当y ＝233时，－3x ＋33＝233，解得x ＝73，即EF ＝73，将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)， ∵OB ⊥EF ，∴点B′在直线EF 上，∵C 点横坐标绝对值等于EO 长度，C 点纵坐标绝对值等于EO －PO 长度， ∴C 点坐标为(－233，233－1)，如解图，过F 作FQ ∥B′C，交EC 于点Q ，则△FEQ ∽△B′EC，由BE EF ＝B′E EF ＝CEEQ ＝3，可得Q 的坐标为(－23，－33)；根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q′(－23，533)也符合条件.4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185， ∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P(t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)，∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋3y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝365，∴C(0，3)，D(7，365)，分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①，则CE ＝t ，DF ＝7－t ，∴S △PCD ＝S △P ＋S △PDN ＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72)2＋102940， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积最大，最大值为102940；②存在．∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°， ∴当△Q 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM两种情况， ∵CQ ⊥PN ，垂足为Q ，∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35，∵P(t ，35t 2－185t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)，∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185t －3，当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95)；当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t ＝349或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527).。

2020中考数学复习测试：热点专题突破专题六%E3%80%80开放型

专题六开放型条件开放类[类型解读]条件开放类问题的三种类型(1)补充条件型:题目给出部分条件,然后再添加一个(或几个)条件,使结论成立.(2)探索条件型:题目只给出结论,通过分析给出的结论特征,发现使结论成立的条件.(3)条件变化型:在原有条件与结论的基础上,题目的结论发生变化,需要补充条件.[例1](2019绍兴)在屏幕上有如下内容:如图,△ABC内接于☉O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后,编制一道题目,并解答.(1)在屏幕内容中添加条件∠D=30°,求AD的长.请你解答.(2)以下是小明、小聪的对话:小明:我加的条件是BD=1,就可以求出AD的长.小聪:你这样太简单了,我加的是∠A=30°,连接OC,就可以证明△ACB与△DCO全等.参考此对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(可以添线添字母),并解答.解决条件开放型问题的一般思路:从结论出发,执果索因,逆向思维,逐步探求结论成立的条件.强化运用1:(2019齐齐哈尔)如图,已知在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,BF=CE,点B,F,C,E在同一条直线上,若使△ABC≌△DEF,则还需添加的一个条件是(只填一个即可).结论开放类[类型解读]结论开放型问题的两种类型(1)结论是否成立型:这类探索问题的设问,常以适合某种条件的结论“成立”“不成立”等语句加以表述.从给出的已知条件出发,经过推理证明能够推出结论是否成立.(2)判断猜想型:这类问题设问通常有两条线段有何关系(探索相等、平行或垂直),两个角是否相等,这个三角形是什么特殊的三角形,这个四边形是什么特殊的四边形等.它与传统题的区别在于:探索问题的结论过程往往也是解题过程.[例2]小敏思考解决如下问题:原题:如图1,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图2.此时她证明了AE=AF,请你证明;(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图3,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.解决结论开放型问题,要充分利用题目中给出的条件合理地猜想,正确地推理,就会获得所求的结论.强化运用2:(2019贵阳)(1)数学理解:如图①,△ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D 作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,求AB,BE,AF之间的数量关系;(2)问题解决:如图②,在任意直角△ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB=BE+AF,求∠ADB的度数;(3)联系拓广:如图③,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,NB的数量关系.存在性开放类[类型解读]存在性开放问题常见的四种类型(1)特殊点存在性开放问题:图形中存在特殊的点,该点满足题目中的某些条件,通过探索,推理证明或运算说明该点存在.(2)特殊三角形存在性开放问题:图形中存在着特殊的三角形(等腰三角形或直角三角形),通过探索,推理证明或运算说明该特殊三角形存在.(3)相似三角形存在性开放问题:图形中存在着与原三角形相似的三角形,通过探索,推理证明说明该三角形存在.(4)特殊四边形存在性开放问题:图形中存在着特殊的四边形,通过探索,推理证明或运算说明该特殊四边形存在.[例3](2019辽阳)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC 的边BC在x轴上,∠ABC=90°,以A 为顶点的抛物线y=-x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB交AC于点D,过点D作平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形,若存在,请求出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.解决存在性问题,需先假设存在,再进行推演,若得出推演结果,则说明结论存在;若推出矛盾,则推翻假设,说明结论不存在.2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(-1,0),C(0,-3).(1)求该抛物线的解析式;(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标;(3)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.(2019咸宁)若整式x2+my2(m为常数,且m≠0)能在有理数范围内分解因式,则m的值可以是(写一个即可).2.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,3),(n,3),若直线y=2x与线段AB有公共点,则n的值可以为.(写出一个即可)3.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)第2题图第3题图4.(2019舟山)如图,在矩形ABCD中,点E,F在对角线BD上.请添加一个条件,使得结论“AE=CF”成立,并加以证明.5.(2019温州)如图,在7×5的方格纸ABCD中,请按要求画图,且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A,B,C,D重合.(1)在图1中画一个格点△EFG,使点E,F,G分别落在边AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.(2)在图2中画一个格点四边形MNPQ,使点M,N,P,Q分别落在边AB,BC,CD,DA上,且MP=NQ.6.如图,已知二次函数的图象过点O(0,0),A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.(1)求该二次函数的解析式;(2)若M是OB上的一点,作MN∥AB交OA于点N,当△ANM面积最大时,求点M的坐标;(3)P是x轴上的点,过P作PQ⊥x轴,与抛物线交于点Q.过A作AC⊥x轴于点C,当以点O,P,Q 为顶点的三角形与以点O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标.专题六开放型专题突破[例1]解:(1)如图,连接OC,∵CD为切线,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∵∠D=30°,∴OD=2OC=2,∴AD=AO+OD=1+2=3.(2)(答案不唯一)添加∠DCB=30°,求AC的长.解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵∠ACO+∠OCB=90°,∠OCB+∠DCB=90°,∴∠ACO=∠DCB,∵∠ACO=∠A,∴∠A=∠DCB=30°,在Rt△ACB中,BC=AB=1,∴AC=BC=.强化运用1:AB=DE(答案不唯一)[例2]证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,∵∠EAF=∠B,∴∠EAF+∠C=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∴∠AFC=∠AFD=90°,在△AEB和△AFD中,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF.(2)由(1)得∠PAQ=∠EAF=∠B,AE=AF,∴∠EAP=∠FAQ,在△AEP和△AFQ中,∴△AEP≌△AFQ(ASA),∴AP=AQ.强化运用2:解:(1)AB=(AF+BE).理由如下:∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠A=∠B=45°,AB=AC,∵四边形DECF是正方形,∴DE=DF=CE=CF,∠DFC=∠DEC=90°,∴∠A=∠ADF=45°,∴AF=DF=CE,∴AF+BE=BC=AC,∴AB=(AF+BE).(2)如图,延长AC到点M,使FM=BE,连接DM,∵四边形DECF是正方形,∴DF=DE,∠DFC=∠DEC=90°,∵BE=FM,∠DFC=∠DEB=90°,DF=ED,∴△DFM≌△DEB(SAS),∴DM=DB,∵AB=AF+BE,AM=AF+FM,FM=BE,∴AM=AB,又DM=DB,AD=AD,∴△ADM≌△ADB(SSS).∴∠DAC=∠DAB=∠CAB,同理,得∠ABD=∠CBD=∠ABC,∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°,∴∠DAB+∠ABD=(∠CAB+∠CBA)=45°,∴∠ADB=180°-(∠DAB+∠ABD)=135°. (3)∵四边形DECF是正方形,∴DE∥AC,DF∥BC,∴∠CAD=∠ADM,∠CBD=∠NDB,∠MDN=∠AFD=90°,∵∠DAC=∠DAB,∠ABD=∠CBD,∴∠DAB=∠ADM,∠NDB=∠ABD,∴AM=MD,DN=NB,在Rt△DMN中,MN2=MD2+DN2,∴MN2=AM2+NB2.[例3]解:(1)将点C(3,0),E(0,3)的坐标分别代入二次函数解析式,得解得故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)由(1)知y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴点A的坐标为(1,4),设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(1,4),C(3,0)代入,得解得∴直线AC的解析式为y=-2x+6,由题意,知AP=t,∴BP=4-t(0≤t≤4).把y=4-t代入y=-2x+6得4-t=-2x+6,解得x=1+.∴点D的坐标为1+,4-t.把x=1+代入y=-x2+2x+3,得y=-1+2+2×1++3=-+4,∴点Q的坐标为1+,-+4.∴QD=y Q-y D=-+4-(4-t)=-+t,∴S△ACQ=S△ADQ+S△CDQ=QD·(x Q-x A)+QD·(x C-x Q)=QD·(x C-x A)=×-+t×(3-1)=-+t=-(t-2)2+1(0≤t≤4).∴当t=2时,△ACQ的面积最大,最大面积为1.(3)设点P的坐标为(1,m),点M的坐标为(x,y),①当EC是菱形一条边时,且点M在直线AB右侧时,点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C,则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M,则1+3=x,m-3=y,而MP=EP,得1+(m-3)2=(x-1)2+(y-m)2,解得y=m-3=,故点M的坐标为(4,);当点M在直线AB左侧时,同理,得点M的坐标为(-2,3+);②当EC是菱形一对角线时,则EC的中点即为PM的中点,则x+1=3,y+m=3,而PE=PC,即1+(m-3)2=4+m2,解得m=1,故x=2,y=3-m=3-1=2,故点M的坐标为(2,2).综上,点M的坐标为(4,)或(-2,3+)或(2,2).强化运用3:解:(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入抛物线解析式,得解得则该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)设直线BC的解析式为y=kx-3,把B(-1,0)代入得-k-3=0,即k=-3,∴直线BC的解析式为y=-3x-3,∵A(3,0),B(-1,0),C(0,-3),∴AB=4,BC=,BO=1,如图,∵以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,∴AM⊥BC,∴∠AMB=∠COB=90°.∵∠ABM=∠CBO,∴△ABM∽△CBO,∴=,∴=,∴BM=,设M点的坐标为(m,-3m-3).则BM2=(-1-m)2+(3m+3)2=,解得m1=-,m2=-(不合题意,舍去)∴M点的坐标为-,-.(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形.设Q(x,0),P(n,n2-2n-3),当四边形BCQP为平行四边形时,由B(-1,0),C(0,-3),则-1+x=0+n,0+0=-3+n2-2n-3,解得n1=1+,n2=1-,当n=1+时,n2-2n-3=3,即P1(1+,3);当n=1-时,n2-2n-3=3,即P2(1-,3).当四边形BCPQ为平行四边形时,则-1+n=0+x,0+n2-2n-3=-3+0,解得n3=0,n4=2,当n=0时,不合题意,舍去;当n=2时,n2-2n-3=-3,即P3(2,-3).当四边形BQCP为平行四边形时,x+n=-1+0,0+n2-2n-3=-3+0,解得n5=0,n6=2,则P4(2,-3).综上可得,存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标为(1+,3)或(1-,3)或(2,-3).专题精练1.-1(答案不唯一)2.2(答案不唯一)3.∠BDF=∠A(答案不唯一)4.解:(答案不唯一)添加的条件是BE=DF.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABD=∠BDC,又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF.5.解:(1)(答案不唯一)满足条件的△EFG,如图1,2所示.(2)(答案不唯一)满足条件的四边形MNPQ如图所示.6.解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x=3,∴点B的坐标为(6,0),设抛物线解析式为y=ax(x-6),把A(8,4)代入,得4=8a(8-6),解得a=,∴抛物线解析式为y=x(x-6)=x2-x.(2)设M(t,0),直线OA的解析式为y=x,设直线AB的解析式为y=kx+b,把B(6,0),A(8,4)代入得,解得∴直线AB的解析式为y=2x-12,∵MN∥AB,∴设直线MN的解析式为y=2x+n,把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=-2t,∴直线MN的解析式为y=2x-2t,解方程组得则N t,t,∴S△AMN=S△AOM-S△NOM=×4t-t×t=-t2+2t=-(t-3)2+3,当t=3时,S△AMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0).(3)设点P(m,0),则点Q m,m2-m,当△PQO∽△COA时,=,即=,∴PQ=2PO,即m2-m=2|m|,解方程m2-m=2m,得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,0);解方程m2-m=-2m,得m3=0(舍去),m4=-2,此时P点坐标为(-2,0).当△PQO∽△CAO时,=,即=,∴PQ=PO,即m2-m=|m|,解方程m2-m=m,得m5=0(舍去),m6=8(舍去),解方程m2-m=-m,得m7=0(舍去),m8=4,此时P点坐标为(4,0).综上所述,P点坐标为(14,0)或(-2,0)或(4,0).。

河北省中考数学复习第二部分热点专题突破专题六运动问题试题含解析

专题六运动问题几何运动中的函数问题例1 (2018，唐山路北区二模，导学号5892921)把Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图①摆放(点C 与点E 重合)，点B ，C(E)，F 在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF ＝90°，∠DEF＝45°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，EF ＝9 cm .如图②，△DEF 从图①的位置出发，以1 cm /s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动．在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2 cm /s 的速度沿BA 匀速移动，当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动，DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t s (0＜t ＜4.5)．例1题图解答下列问题：(1)当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？ (2)连接PE ，设四边形APEC 的面积为y cm 2，求y 与t 之间的函数关系式．是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，请求出y 的最小值；若不存在，请说明理由；(3)是否存在某一时刻t ，使P ，Q ，F 三点在同一条直线上？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【思路分析】 (1)因为点A 在线段PQ 的垂直平分线上，所以AP ＝AQ ，用含t 的式子表示出这两条线段的长解方程即可得解．(2)过点P 作PM ⊥BC ，将四边形APEC 的面积表示为S △ABC －S △BPE 即可求解．(3)由相似三角形的性质即可求解．解：(1)∵点A 在线段PQ 的垂直平分线上， ∴AP ＝AQ.∵∠DEF ＝45°，∠ACB＝90°， ∠DEF ＋∠ACB＋∠EQC＝180°， ∴∠EQC ＝45°. ∴∠DEF ＝∠EQC. ∴CE ＝CQ.由题意，知CE ＝t ，BP ＝2t. ∴CQ ＝t.∴AQ＝8－t.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝10. ∴AP ＝10－2t. ∴10－2t ＝8－t. 解得t ＝2.∴当t ＝2时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上． (2)如答图①，过点P 作PM⊥BE，交BE 于点M. ∴∠BMP ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △PBM 中，sin B ＝AC AB ＝PMPB ，∴810＝PM 2t .∴PM ＝85t.∵BC ＝6，CE ＝t ，∴BE＝6－t. ∴y ＝S △ABC －S △BPE ＝12BC ·AC －12BE ·PM ＝12×6×8－12×(6－t)×85t ＝45t 2－245t ＋24 ＝45(t －3)2＋845. ∵a ＝45，∴抛物线开口向上．∴当t ＝3时，y 最小＝845.∴存在一个t 值，且当t ＝3时，四边形APEC 的面积最小，最小面积为845 cm 2.(3)存在某一时刻t ，使P ，Q ，F 三点在同一条直线上．如答图②，过点P 作PN⊥AC，交AC 于点N. ∴∠ANP ＝∠ACB＝∠PNQ＝90°. ∵∠PAN ＝∠BAC， ∴△PAN∽△BAC. ∴PN BC ＝AP AB ＝AN AC . ∴PN 6＝10－2t 10＝AN 8. ∴PN ＝6－65t ，AN ＝8－85t.∵NQ ＝AQ －AN ，∴NQ ＝8－t －⎝ ⎛⎭⎪⎫8－85t ＝35t.∵∠ACB ＝90°，B ，C ，E ，F 四点在同一条直线上， ∴∠QCF ＝90°.∴∠QCF ＝∠PNQ. ∵∠FQC ＝∠PQN，∴△QCF∽△QNP. ∴PN FC ＝NQ CQ. ∴6－65t 9－t ＝35t t. 解得t ＝1.∴存在一个t 值，且当t ＝1时，P ，Q ，F 三点在同一条直线上．例1答图针对训练1 (2018，黄冈，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，点B ，C 在第一象限，∠C ＝120°，边长OA ＝8.点M 从原点O 出发沿x 轴正半轴以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，点N 从点A 出发沿边AB →BC →CO 以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，过点M 作直线MP 垂直于x 轴并交折线OCB 于点P ，交对角线OB 于点Q ，点M 和点N 同时出发，分别沿各自路线运动，点N 运动到原点O 时，M 和N 两点同时停止运动．(1)当t ＝2时，求线段PQ 的长； (2)求t 为何值时，点P 与点N 重合；(3)设△APN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及t 的取值范围．训练1题图【思路分析】 (1)解直角三角形求出PM ，QM 即可解决问题．(2)根据点P ，N 的路程之和等于24，构建方程即可解决问题．(3)分四种情况考虑问题即可．解：(1)当t ＝2时，OM ＝2.在Rt △OPM 中，易知∠POM ＝60°，∴PM ＝OM ·tan 60°＝2 3.在Rt △OMQ 中，∠QOM ＝12∠POM ＝30°，∴QM ＝OM ·tan 30°＝233.∴PQ ＝PM －QM ＝23－233＝433. (2)当t ≤4时，点P 在OC 上，点N 在AB 上，∴点P ，N 在边BC 上相遇，t >4. 由题意，得8＋(t －4)＋2t ＝8×3. 解得t ＝203.(3)①当0＜t ＜4时，S ＝12×8×32×2t ＝43t .②当4≤t ＜203时，S ＝12[8－(t －4)－(2t －8)]×4 3＝－63t ＋40 3.③当203＜t ＜8时，S ＝12[(t －4)＋(2t －8)－8]×4 3＝63t －40 3.④当8≤t ≤12时，如答图， S ＝S 菱形ABCO －S △AON －S △ABP －S △PNC＝323－12(24－2t )×43－12[8－(t －4)]×43－12(t －4)×32(2t －16)＝－32t 2＋123t －56 3. 综上所述，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧43t （0<t <4），－63t ＋403⎝⎛⎭⎪⎫4≤t <203，63t －403⎝ ⎛⎭⎪⎫203<t <8，－32t 2＋123t －563（8≤t ≤12）.训练1答图针对训练2 (导学号5892921)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．过点P 作PD ⊥AC 于点D (点P 不与点A ，B 重合)，作∠DPQ ＝60°，边PQ 交射线DC 于点Q .设点P 的运动时间为t s.(1)用含t 的代数式表示线段DC 的长； (2)当点Q 与点C 重合时，求t 的值；(3)设△PDQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为S ，求S与t 之间的函数关系式．训练2题图【思路分析】 (1)先求出AC 的长，用三角函数求出AD 的长，进而可得出结论．(2)利用AD ＋DQ ＝AC ，即可得出结论．(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论．解：(1)在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝4，∴AC ＝2 3. ∵PD ⊥AC ，∴∠ADP ＝∠CDP ＝90°. 在Rt △ADP 中，AP ＝2t ， ∴DP ＝t ，AD ＝AP ·cos A ＝2t ·32＝3t . ∴DC ＝AC －AD ＝23－3t (0＜t ＜2)． (2)在Rt △PDQ 中，∵∠DPQ ＝60°， ∴∠PQD ＝30°＝∠A . ∴PA ＝PQ . ∵PD ⊥AC ， ∴AD ＝DQ .∵点Q 与点C 重合， ∴AD ＋DQ ＝AC .∴2×3t ＝2 3. ∴t ＝1.(3)当0＜t ≤1时，S ＝S △PDQ ＝12DQ ·DP ＝12×3t ·t ＝32t 2.当1＜t ＜2时，如答图，训练2答图CQ ＝AQ －AC ＝2AD －AC ＝23t －23＝23(t －1)．在Rt △ECQ 中，∠CQE ＝30°，∴CE ＝CQ ·tan ∠CQE ＝23(t －1)×33＝2(t －1)． ∴S ＝S △PDQ －S △ECQ＝12×3t ·t －12×23(t －1)×2(t －1) ＝－332t 2＋43t －2 3.∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2（0<t ≤1），－332t 2＋43t －23（1＜t ＜2）.几何图形运动形成的路径问题1. 直线型问题例2 (2018，邯郸模拟，导学号5892921)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠ABC ＝120°.动点P 从点B 出发，沿BC →CD 边以每秒1个单位长度的速度运动，到点D 时停止，连接AP ，点Q 与点B 关于AP 所在直线对称，连接AQ ，PQ .设运动时间为t s.例2题图(1)菱形ABCD 的对角线AC (2)当点Q 恰在AC 上时，求t 的值； (3)当CP ＝3时，求△APQ 的周长；(4)直接写出在整个运动过程中，点Q 运动的路径长．【思路分析】 (1)连接BD 交AC 于点O ，依据在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠ABC ＝120°，求出AO 的长，即可得到菱形ABCD 对角线AC 的长．(2)依据点Q 与点B 关于AP 所在直线对称，可得△AQP ≌△ABP ，进而得出PQ ＝PB ，AQ ＝AB ＝6，∠AQP ＝∠ABC ＝120°，进而可知∠CPQ ＝90°，CQ ＝2PQ ＝2PB ＝2t ，即可得到t 的值．(3)当CP ＝3时，有两种情况：①P 是BC 的中点；②P 是CD 的中点．分别依据△APQ 的周长＝△ABP 的周长＝AB ＋BP ＋AP ，进行计算即可．(4)点Q 运动的路径为以点A 为圆心，6为半径，圆心角为120°的弧，进而得到点Q 运动的路径长为120π·6180＝4π.解：(1)6 3 (2)如答图①.∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°， ∴∠BCD ＝60°.∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴∠ACB ＝30°.∵点Q 与点B 关于AP 所在直线对称， ∴△AQP ≌△ABP .∴PQ ＝PB ，AQ ＝AB ＝6，∠AQP ＝∠ABC ＝120°. ∴∠CPQ ＝∠AQP －∠ACB ＝90°. 在Rt △CPQ 中，∠ACB ＝30°，∴CQ ＝2PQ ＝2PB ＝2t ，即63－6＝2t . 解得t ＝33－3.(3)当CP ＝3时，有两种情况．①当P 是BC 的中点时，如答图②，过点A 作AE ⊥BC ，交CB 的廷长线于点E . 在Rt △ABE 中，∠ABE ＝60°， ∴BE ＝12AB ＝3，AE ＝32AB ＝3 3.在Rt △AEP 中，AE ＝33，EP ＝3＋3＝6， ∴AP ＝AE 2＋PE 2＝（33）2＋62＝37.∴△APQ 的周长＝△ABP 的周长＝AB ＋BP ＋AP ＝6＋3＋37＝9＋37.②当P 是CD 的中点时，如答图③，连接BD ，则△BCD 是等边三角形． ∴∠BPC ＝90°.在Rt △BPC 中，BP ＝CP ·tan C ＝3 3.易证∠ABP ＝90°，由勾股定理可得AP ＝37.∴△APQ 的周长＝△ABP 的周长＝AB ＋BP ＋AP ＝6＋33＋37.综上所述，当CP ＝3时，△APQ 的周长为9＋37或6＋33＋37.(4)由题意，得点Q 的运动路径为以点A 为圆心，6为半径，圆心角为120°的弧． ∴点Q 运动的路径长为120π×6180＝4π.例2答图针对训练3 (2018，石家庄长安区模拟，导学号5892921)如图，正方形ABCD 的边长为6，点P 从点B 出发沿边BC →CD 以每秒2个单位长度的速度向点D 匀速运动，以BP 为边作等边三角形BPQ ，使点Q 在正方形ABCD 内或边上，当点Q 恰好在AD 边上时，点P 停止运动．设运动时间为t s.(1)当t ＝2时，点Q 到BC(2)如图①，当点P 在BC 边上运动时，求的最小值及此时t 的值； (3)如图②，当点Q 在AD 边上时，求出t 的值； (4)直接写出点Q 运动路线的长．训练3题图【思路分析】 (1)先求出BP ＝4，∠PBQ ＝60°，进而可得出结论．(2)先判断出CQ ⊥BQ 时，CQ 最小，再用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．(3)先判定Rt △BAQ ≌Rt △BCP ，再由勾股定理建立方程即可得出结论．(4)判断出点Q 的运动路线长等于点P 的运动路线长即可得出结论．解：(1)2 3(2)当点P 在BC 边上运动时，有∠QBC ＝60°. 根据垂线段最短，当CQ ⊥BQ 时，CQ 最小．如答图．在Rt △BCQ 中，∠QBC ＝60°， ∴∠BCQ ＝30°. ∴BQ ＝12BC ＝3.∴BP ＝BQ ＝3.∴CQ ＝BQ ·tan ∠QBC ＝33，t ＝32.训练3答图(3)当点Q 在AD 边上时，CP ＝2t －6. ∵BA ＝BC ，BQ ＝BP ，∠A ＝∠C ＝90°， ∴Rt △BAQ ≌Rt △BCP (HL)． ∴AQ ＝CP ＝2t －6. ∴DQ ＝DP ＝12－2t .∵BP ＝PQ ，在Rt △PDQ 和Rt △BCP 中，由勾股定理可得DQ 2＋DP 2＝QP 2，BC 2＋CP 2＝BP 2，∴2(12－2t )2＝62＋(2t －6)2.解得t 1＝9＋33(不合题意，舍去)，t 2＝9－3 3. ∴t ＝9－3 3.(4)∵△PBQ 是等边三角形，∴点Q 运动路线的长等于点P 运动路线的长．由(3)知，t ＝9－3 3.∴点Q 运动路线的长为2(9－33)＝18－6 3. 针对训练4 (2017，河北，导学号5892921)平面内，如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，tan A ＝43，P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ .(1)当∠DPQ ＝10°时，求∠APB 的度数；(2)当tan ∠ABP ∶tan A ＝3∶2时，求点Q 与点B 间的距离；(结果保留根号)(3)若点Q 恰好落在▱ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积．训练4题图【思路分析】 (1)按点Q ，B 与PD 的位置关系讨论确定∠APB 的度数．(2)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，连接BQ ，由三角函数值的比确定AH ，BH ，PH 的长，再由勾股定理计算出QB 的长．(3)根据题意分类讨论点Q 所在位置并画出满足题意的图形进而计算出扇形面积．解：(1)当点Q 与点B 在PD 异侧时，由∠DPQ ＝10°，∠BPQ ＝90°，得∠BPD ＝80°. ∴∠APB ＝180°－∠BPD ＝100°.当点Q 与点B 在PD 同侧时，如答图①， ∠APB ＝180°－∠BPQ －∠DPQ ＝80°.综上所述，当∠DPQ ＝10°时，∠APB 的度数为80°或100°.训练4答图(2)如答图②，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，连接BQ . ∵tan ∠ABP ∶tan A ＝PH HB ∶PHAH＝3∶2，∴AH ∶HB ＝3∶2.∵AB ＝10，∴AH ＝6，HB ＝4.在Rt △PHA 中，PH ＝AH ·tan A ＝8. ∴PQ ＝PB ＝PH 2＋HB 2＝82＋42＝4 5. ∴在Rt △PQB 中，QB ＝2PB ＝410. (3)16π或20π或32π. 2. 与圆有关的问题例3 (2018，石家庄裕华区一模，导学号5892921)如图①，图②，在⊙O 中，OA ＝1，AB ＝3，将弦AB 与弧AB 所围成的弓形(包括边界的阴影部分)绕点B 顺时针旋转α(0°≤α≤360°)，点A 的对应点是A ′.(1)点O 到线段AB 的距离是（ 12 ），∠AOB ＝__120°__，点O 落在阴影部分(包括边界)时，α的取值范围是__30°≤α≤60°__；(2)如图③，线段A ′B 与弧ACB 的交点是D .当∠A ′BA ＝90°时，说明点D 在AO 的延长线上；(3)当直线A ′B 与⊙O 相切时，求α的值并求此时点A ′运动路径的长度．例3题图【思路分析】 (1)前两空利用垂径定理和特殊角的三角函数值解答．第三空，当A ′B 与OB 重叠时，α取最小值．当弧A ′B 绕点B 顺时针旋转到过圆心O 时得到α的最大值．(2)连接AD ，利用圆周角定理进行证明．(3)利用切线的性质求得α的值，并利用弧长公式求得点A ′运动路径的长度．解：(1)12120° 30°≤α≤60° (2)如答图，连接AD.例3答图∵∠A′BA ＝90°， ∴AD 为直径． ∴AD 过圆心O.∴点D 在AO 的延长线上． (3)当A′B 与⊙O 相切时，∠OBA ′＝90°，此时∠ABA′＝90°＋30°＝120°或∠ABA′＝90°－30°＝60°. ∴α＝120°或300°.当α＝120°时，点A′运动路径的长度为120π·3180＝23π3.当α＝300°时，点A′运动路径的长度为300π·3180＝53π3.针对训练5 (2018，石家庄长安区模拟，导学号5892921)在扇形AOB 中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA ＝OB ＝8.(1)如图①，过点O 作OE ⊥OB ，交弧AB 于点E ，再过点E 作EF ⊥OA 于点F ，则FO 的长是FEO ＝ 60° ；(2)如图②，设P 为弧AB 上的动点，过点P 作PM ⊥OA 于点M ，PN ⊥OB 于点N ，点M ，N 分别在半径OA ，OB 上，连接MN .①求点P 运动的路径长； ②MN 的长度是否是定值？(3)在(2)中的条件下，若点D 是△PMN 的外心，直接写出点D 运动的路径长．训练5题图【思路分析】 (1)先求出∠AOE ，即可得出结论．(2)①当点M 与点O 重合时，∠PMB ＝30°.当点N 与点O 重合时，∠PNA ＝30°.进而可求出点P 运动路径所对的圆心角是120°－30°－30°＝60°，最后用弧长公式即可得出结论．②先判断出P ，M ，O ，N 四点均在同一个圆上，进而可得出结论．(3)先判断出△PMN 的外接圆的圆心的运动轨迹，最后根据弧长公式即可得出结论．解：(1)4 3 60°(2)①点P 在弧AB 上运动，其路径也是一段弧．由题意，可知当点M 与点O 重合时，∠PMB ＝30°；当点N 与点O 重合时，∠PNA ＝30°.∴点P 运动路径所对的圆心角是120°－30°－30°＝60°. ∴点P 运动的路径长为60π·8180＝8π3.②如答图，连接PO ，取PO 的中点H ，连接MH ，NH .∵在Rt △PMO 和Rt △PNO 中，H 是斜边PO 的中点， ∴MH ＝NH ＝PH ＝OH ＝12PO ＝4.∴根据圆的定义，可知P ，M ，O ，N 四点均在同一个圆，即⊙H 上． ∵∠MON ＝120°，∠PMO ＝∠PNO ＝90°， ∴∠MPN ＝60°.∴∠MHN ＝2∠MPN ＝120°. 过点H 作HK ⊥MN ，垂足为K .由垂径定理，得MK ＝KN ＝12MN ，∠MHK ＝60°.∵在Rt △HMK 中，MH ＝4，∴MK ＝2 3.∴MN ＝2MK ＝4 3.∴MN 的长度是定值．(3)点D 运动的路径长为4π3.训练5答图图形的滚动问题1. 几何图形在直线上运动例4 (2018，资阳模拟，导学号5892921)如图，△ABC 为等边三角形，且点A ，B 的坐标分别是(－2，0)，(－1，0)．将△ABC 沿x 轴正方向翻滚，翻滚120°为一次变换．如果这样连续经过2 018次变换后，等边三角形ABC 的顶点C 的坐标为__(2_016，0)__．例4题图【解析】由题意，得C 1(0，0)，C 2(0，0)，C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C 4(3，0)，C 5(3，0)，C 6⎝ ⎛⎭⎪⎫92，32，….3次为一组循环，2 018÷3＝672……2，672×3＝2 016，∴经过2 018次变换后，等边三角形ABC 的顶点C 的坐标为(2 016，0).针对训练6 (导学号5892921)如图，在扇形铁皮AOB 中，OA ＝20，∠AOB ＝36°，OB 在直线l 上．将此扇形沿l 按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动)，当OA 第一次落在l 上时，停止旋转，则点O 所经过的路线长为( C )训练6题图A. 20πB. 22πC. 24πD. 20π＋105－10【解析】点O 所经过的路线长为90π·20180＋36π·20180＋90π·20180＝24π. 针对训练7 (导学号5892921)如图，一个长为4 cm 、宽为3 cm 的矩形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板点A 位置的变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A 滚到点A 2位置时走过的路径长为( B )训练7题图A. 7π2 cmB. 23π6cmC. 4π 3 cmD. 5π2cm 【解析】 ∵矩形长为4 cm ，宽为3 cm ，∴其对角线长为5 cm.第一次是以点B 为旋转中心，5 cm 为半径旋转90°，此次点A 走过的路径长是90π·5180＝5π2(cm)．第二次是以点C 为旋转中心，4 cm 为半径旋转60°，此次走过的路径长是60π·4180＝4π3(cm)．∴点A 走过的路径长是5π2＋4π3＝23π6(cm). 针对训练8 (导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，一半径为2的圆的圆心的初始位置在(0，2)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上以每秒π3的速度沿x 轴正方向滚动，8 s 后点P 到x 轴的距离为__3__．训练8题图【解析】如答图，设圆心为点O ′，作O ′A ⊥x 轴于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，O ′F ⊥PD于点F .设优弧AP 的圆心角为n °.由题意，得8π3＝n π·2180.解得n ＝240.∴∠PO ′A ＝120°.∵∠O ′AD ＝∠FDA ＝∠O ′FD ＝90°，∴四边形O ′ADF 是矩形．∴DF ＝O ′A ＝2，∠FO ′A＝90°.∴∠FO ′P ＝30°.在Rt △O ′PF 中，PF ＝12O ′P ＝1，∴PD ＝PF ＋DF ＝1＋2＝3.∴点P 到x 轴的距离为3.训练8答图针对训练9 (2018，唐山三模，导学号5892921)如图，直线l 经过平面直角坐标系的原点O ，且与x 轴正方向的夹角是30°，点A 的坐标是(0，1)，点B 在直线l 上，且AB ∥x轴，则点B ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线l 上，再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线l 上，顺次旋转下去……则点A 6的横坐标是（ 92＋932）.训练9题图【解析】 ∵点A 的坐标是(0，1)，∠BOx ＝30°，AB ∥x 轴，∴AB ＝3，AO ＝1.∴点B的坐标为(3，1)．由题意，得点A 1的横坐标为32＋3，点A 2的横坐标为32＋332，点A 3的横坐标为3＋532，点A 4的横坐标为3＋33，点A 5的横坐标为92＋43，点A 6的横坐标为92＋932. 2. 几何图形在折线上运动例5 (导学号5892921)如图，等边三角形和正方形的边长都是a ，在图形所在的平面内，将△PAD 以点A 为中心沿逆时针方向旋转，使AP 与AB 重合，如此继续分别以点B ，C ，D 为中心将三角形进行旋转，使点P 回到原来位置为止，则点P 从开始到结束所经过路径的长为( C )例5题图A. 7π2aB. 13π4aC. 19π6aD. 825πa 【解析】如答图，点P 所经过的路径是半径为a ，圆心角分别为210°，210°和150°的三段圆弧．故总长度为210π·a 180×2＋150π·a 180＝19π6a .例5答图针对训练10 (导学号5892921)将半径为2 cm 的圆形纸板沿着挖空的部分方格纸板(小方格的边长为2 cm)的内侧滚动一周，回到开始位置后，圆心经过的路线的长度约为( B )训练10题图A. 36 cmB. 42.28 cmC. 40.28 cmD. 40 cm【解析】如答图，圆心经过的路线为8条线段以及2条圆弧．因为小方格的边长为2 cm ，所以圆心经过的路线的长度为2×(5＋1＋1＋2＋4＋1＋2＋2)＋2×902180π⋅＝36＋2π≈42.28(cm)．训练10答图。

2024年山西中考数学专题讲解——专题一、二次函数压轴题——六、运动产生的角度问题

轴的距离；若不存在，请说明理由．
y
A
O
B
M
x
四、例题讲解
【分析】
2 2 4
（1）抛物线： y x x 2 ；
3
3
3
（2）考虑到 tan ABO ，但 tan 2ABO 并不可求，以及 A B 平分∠OBM 也并不容易转化，
2
故考虑其他思路．
思路 1：构造全等三角形．
作△AOB 关于 AB 的对称的△ANB ，BN 与抛物线的交点即为 M 点．
-3）。
（1）抛物线的解析式为
；
四、例题讲解
已知：抛物线y=a(x+1)(x-3)与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，
-3）。
（2）若点P是抛物线上的动点，且满足
∠PCB =45°，请求出点P的坐标；
四、例题讲解
已知：抛物线y=a(x+1)(x-3)与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，
设 H 点坐标为（3，m），则 A H=-m， BH
令 m
3 0
2
m 2
13

故 H 点坐标为 3, ．
4

2
3 0
13
，解得： m ．
4
2
m 2
2
四、例题讲解
y
A
O
B
M
x
H
5
由 B 、H 两点坐标求直线 BH 解析式： y x 2 ，
C（0，-3）。
（9）若点P在抛物线上，满足∠PCB =∠ACB，
求点P的坐标；
四、例题讲解
已知：抛物线y=a(x+1)(x-3)与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点

中考数学动点问题专题练习(含答案)

动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ（D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。

2024年中考数学压轴题型-专题06 与二次函数有关问题的压轴题之六大题型(解析版)6

专题06与二次函数有关问题的压轴题之六大题型目录【题型一二次函数图象和性质之选择题】 (1)【题型二二次函数的图象与系数的关系】 (4)【题型三二次函数图象和性质之解答题】 (8)【题型四二次函数与几何图形的综合问题】 (14)【题型五二次函数中的新定义型问题】 (25)【题型六实际问题与二次函数的综合问题】 (32)【题型一二次函数图象和性质之选择题】【题型二二次函数的图象与系数的关系】例题：（2023·浙江·一模）如图所示为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，对称轴是直线1x =，下列结论：A ．1B ．2【答案】C 【分析】利用抛物线图像与性质进行判断，根据函数图像开口方向确定y 轴交点的确定c ，取特殊点代入函数，根据函数图像确定关于【详解】解：抛物线与x 轴有∴2=40b ac ∆->，A．2B．3【答案】B【分析】根据图象的开口方向，对称轴，与号，判断②；根据对称性，判断x次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线【题型三二次函数图象和性质之解答题】（2）设()()1200M x N x ，，，，令0y =，则2420mx mx m -+-=，二次函数2420y mx mx m m =-+-≠（），与x 轴交于不同点∴方程2420mx mx m -+-=有两个不相等的实数根，∴()()()2Δ4424320m m m m m =---=+>，又∵0m <，∴320m +<，解得：23m <-44m x x -221m x x -【题型四二次函数与几何图形的综合问题】例题：（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系xOy 中有三个点：()()()1,2,1,6,1,4A B C -，二次函数()230y ax bx a =++≠的图象恰好经过这三个点之中的两个点．(1)试推断二次函数23y ax bx =++的图象经过点、、A B C 之中的哪两个点？请简要说明理由；(2)求常数a 与b 的值；(3)将二次函数23y ax bx =++的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移(0)t t >个单位长度，如果平移后所得新二次函数的图象顶点为D ，且经过点()1,4C ，连AB 、AD BD 、，请判断ABD △的形状，并证明你的判断【答案】(1)点A 、B 在抛物线上，理由见解析(2)1a =，2b =(3)等腰直角三角形，见解析【分析】（1）∥BC y 轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上，求得AC 的解析式，交y 轴于点()0,3，抛物线与y 轴也交于点()0,3，故C 不符要求，由此解答即可；（2）把A 、B 点的坐标代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入()1,4得出D 点的坐标，再判断三角形的形状．【详解】（1）∵()()1614B C ，，，，∴∥BC y 轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上，【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．1．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，已知抛物线动点()(),004C m m <<在x 轴上，于点E ．(1)求点A ，B 的坐标．(2)当2m =时，求线段PE (3)当BOE △是以BE 为腰的等腰三角形时，求【答案】(1)()(4,0,0,3A B∴92,2P⎛⎫⎪⎝⎭，22OP⎛=+⎝设直线OP的解析式为y=∴922k=，403m nn+=⎧⎨=⎩，过点E 作⊥EN OA 于点N 则EN PC P ，2,ON EN =∴tan EN PC POC ON OC ∠==∵()(),004C m m <<，过点E作EG OA⊥于点G 则EG PC OBP P，∴25 EG AE AGOB AB AO===，∴2 345 EG AG==，(1)求线段OC的长；(2)求该抛物线的函数关系式；是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得BCP件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)23(1)求c 的值及顶点M 的坐标，(2)如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位()03t <<得到对应的矩形分别与函数24y x x c =-+的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG A B ''⊥①当2t =时，求QG 的长；②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t ，使得PGQ △的面积为1？若存在，求出此时在，请说明理由．，当点G 在点Q 的下方时，(22224QG t t t t =-+--+52（在03t <<的范围内）．或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．【题型五二次函数中的新定义型问题】(1)判断点()1,3，()2,8，()3,7是否为函数52y x =-图象关于(2)如图1，抛物线222y x bx =++与x 轴交于A ，B 两点（A∴222x x bx c +++=，22x x bx --∴整理得：222x bx x c ++=-+或⎩(1)写出函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为(2)若函数243y x x =-++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过(3)以如正方形ABCD 的顶点分别为：(,),(,),(,),(,)A a a B a a C a a D a a ----，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =-的“迭代函数”的图象与正方形6x∴函数6yx=关于直线2x=-的“迭代函数”的图象与正方形ABCD当第一象限有两个公共点时，第三个交点在第三象限，当x=-当第三象限有两个公共点时，第三个公共点在第一象限，函数图象正好经过正方形的顶点，此时6a=，综上所述：若函数6yx=关于直线2x=-的“迭代函数”的图象与正方形6a=．②如图：若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数定有两个交点它们是(1,6)、(6,1)；根据正方形和“迭代函数”的图象对称性，I ．当1n ≥时，“迭代函数”的图象与正方形ABCD II ．当01n <<时，“迭代函数”的图象与正方形III ．当0n <，若第三象限由两个公共点，则第二象限无公共点，此时点(1,6)关于x n =对称点在正方形外，即：12(1--此时点(1,6)--在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数即：52n <-时，“迭代函数”的图象与正方形ABCD 在第三象限有两个公共点，第二象限无公共点，Ⅳ．当0n <，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，【题型六实际问题与二次函数的综合问题】①销售量不超过12万件时，利润为45②当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额－总成本）【答案】(1)y关于x的函数表达式为(1)求出启航阶段()m s 关于()s t 的函数表达式（写出自变量的取值范围）(2)已知途中阶段龙舟速度为5m /s ．①当90s t =时，求出此时龙舟划行的总路程，②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，85.20s t ≤(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s 将速度从5m /s 提高到5训练所需时间（精确到0.01s ）．【答案】(1)21(020)8s t t =<≤(2)①龙舟划行的总路程为400m ；②该龙舟队能达标．(3)该龙舟队完成训练所需时间为109.07s4(1)请直接写出A ，B 的坐标．(2)排球第一次被垫起后，在区域内侧离边界水平距离明理由．(3)第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度恰好达标，求抛物线【答案】(1)311(,)28，37(,)24-(2)该女生此次垫球不达标．理由见解析(3)221y x x =--+(1)若小明投篮的初始速度为t=时，则①当0.5s②记篮球的水平方向距离为(2)在又一次投篮中，当篮球在空中飞行的水平方向距离为次投篮的篮球的初始速度(1)【种植计划】小王在调查某类水果时发现，当每平方米种植每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减小0.25的产量？最大产量是多少？请自行设函数变量，解决问题．(2)【场地规划】小王挑选了房屋侧面的空地作为大棚场地．用来侧面加固的材料一共可以图约材料，小王打算让大棚其中一面靠房屋外墙，如图为多少？(3)【顶棚设计】在确定矩形场地规划的情况下，如图曲线满足抛物线形状，小王需要给内部两侧距离中心线标系，计算日照灯的安装高度．【答案】(1)每平方米计划种植6株时，能获得最大产量，最大产量为1350kg (2)12.5米(3)3.76米【分析】（1）设每平方米种植增加x 株，总产量为y ，根据题意可以得到()()150420.25y x x =⨯+-，将二次函数的解析式化解为顶点式即可得到答案；（2）根据矩形的面积即可求出垂直墙面一边的长度；（3）设二次函数的解析式为2y ax k =+，先根据图2得数据求出解析式，再将2x =代入即可求得答案．【详解】（1）解：设每平方米种植增加x 株，总产量为ykg ，根据题意得()()150420.25y x x =⨯+-，∴()237.521350y x =--+，∴当2x =株时，y 有最大值，且1350y =kg ，∴每平方米计划种植6株时，能获得最大产量，最大产量为1350kg ，（2）解：设与墙垂直一面的长度为多少m 米，根据题意得12150m ⨯=平方米，解方程得12.5m =米，∵12.52123740⨯+=<∴与墙垂直一面的长度为12.5米；（3）解：直角坐标系建立如下图所示，设二次函数的图像解析式为：2y ax k =+，由题意可得，抛物线过点()0,4，∵外墙长为12米，∴抛物线过点()6,1.8，t （秒）00.51 1.52 2.53 3.54H （米）19.751619.752119.75169.751(1)请解释图（2）中点A 所表示的实际意义；(2)①请将表格中的(),t h 的各组数值作为点的坐标，在图（3）的坐标系中，描出各点，连线，画出高度与时间t 的函数图象，由图象可知h 是t 的_______函数；②求h 关于t 的函数关系式；(3)当速度不足12米/秒时，求h 的取值范围．【答案】(1)点A 表示经过2秒物体的速度降为0米/秒，此时物体是上抛过程中的最高点(2)①图见解析，二次；②()25221h t =--+(3)13.821h <≤【分析】（1）根据速度与时间的关系及函数图象，即可解答；（2）①画出函数图象，即可解答；②设函数关系式为：()2221h a t =-+，再把()01，代入关系式，即可求解；（3）首先可求得1020v t =-+，把12v =代入解析式，可求得0.8t =，再代入()25221h t =--+，即可求解．【详解】（1）解：点A 表示经过2秒物体的速度降为0米/秒，此时物体是上抛过程中的最高点；（2）解：①描出各点，连线，画出高度h 与时间t 的函数图象，如下：由图象可知：h 是t 的二次函数，故答案为：二次；②解：由表可知二次函数的顶点坐标是()221，，可设函数关系式为：()2221h a t =-+，把()01，代入上式，得：()210221a =-+，解得：5a =-，∴h 关于t 的函数关系式是：25(2)21h t =--+；（3）解：设20v kt =+把点()20A ，代入上式，得：0220k =+，解得10k =-，1020v t ∴=-+，把12v =代入上式，得：121020t =-+，解得0.8t =，(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．t=时，求第一象限内水柱的函数表达式．①若1②用含t的代数式表示a．(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足4a。

2019年中考数学二轮专题复习(专题六运动问题)

课
时
由题意，可设抛物线的函数解析式为 y
跟踪
专
＝ax2＋bx＋ 3，
检测
题突
把 A(1，0)，B(－3，0)的坐标分别代入
破
y＝ห้องสมุดไป่ตู้x2＋bx＋ 3，得
a9＋a－b＋3b＋3＝3＝0，0，
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步步高中考简易通
专题解读
a＝－解得
33，
b＝－2 3 3.
∴抛物线的函数解析式为 y＝－ 33x2－233x＋ 3.
【例题2】 (2011·浙江衢州)已知两直线l1，l2分别经过点A(1，0)，点B(－3，0)，并且当两直线同时
专题
相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点
解读
A、B、C的抛物线的对称轴与直线l1交于点K，
课
去直线l2交于点E，抛物线顶点为D，对称轴与x
时跟
轴交于点F，如图所示．
踪检
测
突
破
运动变化过程中相互依存，相互制约．考查学生
的分类讨论、转化、数形结合、函数与方程等思
想方法.
上页下页返回
步步高中考简易通
思路分析
专
题解
解决这类题的基本思路是“以静制动”：即将运
读
动的元素看成静止的元素；解题时，要对几何元
课时
跟
素的运动的全过程有一个清晰、完整的认识，不
踪
检
专题
管点动、线动还是形动，都要从特殊情形入手，
跟踪
专
(3)利用等边三角形的判定方法得出△ABK为正三角
检测
题
突
形，以及易知△KDC为等腰三角形，从而得出

河北省中考数学复习第二部分热点专题突破专题六运动问题试题(含解析)

专题六运动问题几何运动中的函数问题例1 (2021 ，唐山路北区二模，导学号5892921)把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与点E重合)，点B，C(E)，F在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm.如图②，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动．在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t s(0＜t＜4.5)．例1题图解答以下问题：( 1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？( 2)连接PE，设四边形2APEC的面积为ycm，求y与t之间的函数关系式．是否存在某一时刻t，使面积y最小？假设存在，请求出y的最小值；假设不存在，请说明理由；( 3)是否存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上？假设存在，请求出此时t的值；假设不存在，请说明理由．【思路分析】(1)因为点在线段的垂直平分线上，所以，用含的式子表示PQAP AQ1出这两条线段的长解方程即可得解． (2)过点P作PM⊥BC，将四边形APEC的面积表示为 S△ABCS△BPE即可求解．(3)由相似三角形的性质即可求解．解：(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP＝AQ.∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，DEF＋∠ACB＋∠EQC＝180°，∴∠EQC＝45°.∴∠DEF＝∠EQC.∴CE＝CQ.由题意，知CE＝t，BP＝2t.∴CQ＝t.∴AQ＝8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB＝10.∴AP＝10－2t.10－2t＝8－t.解得t＝2.∴当t＝2时，点A在线段PQ的垂直平分线上．如答图①，过点P作PM⊥BE，交BE于点M.∴∠BMP＝90°.在Rt△ABC和Rt△PBM中，sin8PM8∴＝.∴PM＝t.1 02t5∵BC＝6，CE＝t，∴BE＝6－t.y＝S△ABC－S△BPE1 12BC·AC－2BE·PM1 1 8＝2×6×8－2×(6－t)×5t4224＝5t－5t＋24AC PM B＝AB＝PB，＝4(t－3)2＋84.5 5∵a＝4，∴抛物线开口向上．584∴当t＝3时，y最小＝5.842∴存在一个t值，且当t＝3时，四边形APEC的面积最小，最小面积为5cm.(3)存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上．如答图②，过点P作PN⊥AC，交AC于点N.∴∠ANP＝∠ACB＝∠PNQ＝90°.∵∠PAN＝∠BAC，∴△PAN∽△BAC.PN AP AN∴＝＝.BC AB AC2P N 10－2t A N∴＝10＝.6868∴PN＝6－t，AN＝8－t.85 59∵NQ＝AQ－AN，103∴NQ＝8－t－8－5t＝5t.∵∠ACB＝90°，B，C，E，F四点在同一条直线上，∴∠QCF＝90°.∴∠QCF＝∠PNQ.∵∠FQC＝∠PQN，∴△QCF∽△QNP.PN NQ∴＝.6FC CQ736－5t5t9－t＝t.解得t＝1.∴存在一个t值，且当t＝1时，P，Q，F三点在同一条直线上．例1答图针对训练1(2021 ，黄冈，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC 的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，点N从点A出发沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，过点作直线垂直于轴并交折线于点，交对M MP OCB P角线OB于点Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．当t＝2时，求线段PQ的长；求t为何值时，点P与点N重合；(3 )设△的面积为，求之间的函数关系式及的取值范围．APN S3训练1题图【思路分析】(1)解直角三角形求出PM，QM即可解决问题．(2)根据点P，N的路程之和等于24，构建方程即可解决问题．(3)分四种情况考虑问题即可．解：(1)当t＝2时，OM＝2.在Rt△OPM中，易知∠POM＝60°，∴PM＝OM·tan60°＝23.1在Rt△OMQ中，∠QOM＝2∠POM＝30°，2 3∴QM＝OM·tan30°＝3.∴PQ＝PM－QM ＝22343 3－3＝3.当t≤4时，点P在OC上，点N在AB上，∴点P，N在边BC上相遇，t>4.由题意，得8＋(t－4)＋2t＝8×3.201解得t＝3.23①当0＜t＜4时，S＝2×8×2×2t＝43t.20②当4≤t＜3时，1S＝[8－(t－4)－(2t－8)]×432＝－6 3t＋40 3.20③当3＜t＜8时，1S＝2[(t－4)＋(2t－8)－8]×4363t－403.④当8≤t≤12时，如答图，S＝S菱形ABCO－S△AON－S△ABP－S△PNC41113＝323－2(24－2t)×43－2[8－(t－4)]×43－2(t－4)×2(2t－16) 3＝－2t＋123t－563.43〔0<<4〕，t263t＋4034≤t<3，综上所述，S＝2<t<8，63t－4033－3t2＋123t－563〔8≤t≤12〕.2训练1答图针对训练2(导学号 5892921)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为ts.用含t的代数式表示线段DC的长；当点Q与点C重合时，求t的值；(3)设△PDQ与△ABC重叠局部图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．5训练2题图【思路分析】(1) 先求出AC的长，用三角函数求出AD的长，进而可得出结论．(2)利用AD＋DQ＝AC，即可得出结论．(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论．解：(1)在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，∴AC＝2 3.∵PD⊥AC，∴∠ADP＝∠CDP＝90°.在Rt△ADP中，AP＝2t，3∴DP＝t，AD＝AP·cos A＝2t·2＝3t.∴＝－＝23－3(0＜＜2)．DCACAD在Rt△PDQ中，∵∠DPQ＝60°，∴∠PQD＝30°＝∠A.∴PA＝PQ.∵PD⊥AC，∴AD＝DQ.∵点Q与点C重合，∴AD＋DQ＝AC.2×3t＝23.t＝1.△PDQ1132(3)当0＜t≤1时，S＝S＝2DQ·DP＝2×3t·t＝2t.当1＜t＜2时，如答图，6训练2答图CQ ＝AQ －AC ＝2AD －AC ＝2 3t －23＝2 3(t －1)．在Rt△ECQ 中，∠CQE ＝30°，3∴CE ＝CQ ·tan∠CQE ＝23(t －1)×3＝2(t －1)．∴S ＝S △PDQ－S △ECQ1 1t －1)×2(t －1)＝×3t ·t －×23(22＝－323t 2＋4 3t －23.23t 2〔0<t ≤1〕， ∴S ＝3322t ＋43t －23〔1＜t ＜2〕.几何图形运动形成的路径问题7直线型问题例2(2021 ，邯郸模拟，导学号5892921)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°.动点P从点B出发，沿BC→CD边以每秒1个单位长度的速度运动，到点D时停止，连接AP，点Q与点B关于AP所在直线对称，连接 AQ，PQ.设运动时间为 ts.例2题图菱形ABCD的对角线AC的长为63；当点Q恰在AC上时，求t的值；当CP＝3时，求△APQ的周长；直接写出在整个运动过程中，点Q运动的路径长．【思路分析】(1)连接BD交AC于点O，依据在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，求出的长，即可得到菱形对角线的长．(2)依据点与点关于所在直线对称，AO ABCD AC AP可得△AQP≌△ABP，进而得出PQ＝PB，AQ＝AB＝6，∠AQP＝∠ABC＝120°，进而可知∠CPQ＝90°，CQ＝2PQ＝2PB＝2t，即可得到t的值．(3)当CP＝3时，有两种情况：①P是BC的中点；②P是CD的中点．分别依据△APQ的周长＝△ABP的周长＝AB＋BP＋AP，进行计算即可．(4)点Q运动的路径为以点A为圆心，6为半径，圆心角为120°的弧，进而得到点Q运动的路径120π·6＝4π.长为180解：(1)63(3)如答图①.(4)∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，(5)∴∠BCD＝60°.(6)∵AC是菱形ABCD的对角线，(7)∴∠ACB＝30°.(8)∵点Q与点B关于AP所在直线对称，(9)∴△AQP≌△ABP.(10)∴PQ＝PB，AQ＝AB＝6，∠AQP＝∠ABC＝120°.(11)∴∠CPQ＝∠AQP－∠ACB＝90°.(12)在Rt△CPQ中，∠ACB＝30°，(13)∴CQ＝2PQ＝2PB＝2t，即6 3－6＝2t.(14)解得t＝3 3－3.当CP＝3时，有两种情况．8①当是的中点时，如答图②，过点作⊥，交的廷长线于点.BC AEBC CB在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，13∴BE＝2AB＝3，AE ＝2AB＝33.在Rt△中，＝33，＝3＋3＝6，AEP AE EP222∴AP＝AE＋PE＝〔33〕＋6＝37.∴△APQ的周长＝△ABP的周长＝AB＋BP＋AP＝6＋3＋3 7＝9＋3 7.②当P是CD的中点时，如答图③，连接 BD，那么△BCD是等边三角形．∴∠BPC＝90°.在Rt△BPC中，BP＝CP·tan C＝33.易证∠ABP＝90°，由勾股定理可得 AP＝3 7.∴△APQ的周长＝△ABP的周长＝AB＋BP＋AP＝6＋3 3＋3 7.综上所述，当CP＝3时，△APQ的周长为9＋3 7或6＋3 3＋3 7. 由题意，得点Q的运动路径为以点A为圆心，6为半径，圆心角为120°的弧．∴点Q运动的路径长为120π×6＝4π.180例2答图针对训练3(2021，石家庄长安区模拟，导学号5892921)如图，正方形ABCD的边长为6，点P从点B出发沿边BC→CD以每秒2个单位长度的D匀速运BP为边作速度向点动，以等边三角形，使点在正方形内或边上，当点恰好在边上时，点停止运动．设运BPQ ABCD AD动时间为ts.(1)当t＝2时，点Q到BC的距离为23；(2)如图①，当点P在BC边上运动时，求CQ的最小值及此时t的值；(3)如图②，当点Q在AD边上时，求出t的值；直接写出点Q运动路线的长．9训练3题图【思路分析】(1) 先求出BP＝4，∠PBQ＝60°，进而可得出结论．(2)先判断出CQ⊥BQ时，CQ最小，再用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．(3)先判定Rt△BAQ≌Rt△BCP，再由勾股定理建立方程即可得出结论．(4)判断出点 Q的运动路线长等于点P的运动路线长即可得出结论．解：(1)2 3当点P在BC边上运动时，有∠QBC＝60°.根据垂线段最短，当CQ⊥BQ时，CQ最小．如答图．在Rt△BCQ中，∠QBC＝60°，∴∠BCQ＝30°.1∴BQ＝2BC＝3.∴BP＝BQ＝3.3∴CQ＝BQ·tan∠QBC＝3 3，t＝.2训练3答图当点Q在AD边上时，CP＝2t－6.∵BA＝BC，BQ＝BP，∠A＝∠C＝90°，10Rt△BAQ ≌Rt△BCP(HL)． AQ ＝CP ＝2t －6. ∴DQ ＝DP ＝12－2t.∵BP ＝PQ ，在Rt△PDQ 和Rt△BCP 中，由勾股定理可得∴2(12－2t)2＝62＋(2t －6)2. 222222DQ ＋DP ＝QP ，BC ＋CP ＝BP ，解得t1＝9＋3 3(不合题意，舍去 )，t2＝9－3 3.t ＝9－33.∵△PBQ 是等边三角形， ∴点Q 运动路线的长等于点P 运动路线的长．由(3)知，t ＝9－33.∴点Q 运动路线的长为2(9－33)＝18－63.针对训练4(2021，河北，导学号5892921)平面内，如图，在?ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，4PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ.tanA ＝，P 为AD 边上任意一点，连接3当∠DPQ ＝10°时，求∠APB 的度数；当tan∠ABP ∶tan A ＝3∶2时，求点Q 与点B 间的距离；(结果保存根号)(3)假设点Q 恰好落在?ABCD 的边所在的直线上，直接写出 PB 旋转到PQ 所扫过的面积．训练4题图【思路分析】(1)按点Q，B与PD的位置关系讨论确定∠APB的度数．(2)过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ，由三角函数值的比确定AH，BH，PH的长，再由勾股定理计算出QB的长．(3)根据题意分类讨论点Q所在位置并画出满足题意的图形进而计算出扇形面积．解：(1)当点与点异侧时，PD由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°，得∠BPD＝80°.∴∠＝180°－∠＝100°. APBB PD当点Q与点B在PD同侧时，如答图①，∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°.综上所述，当∠＝10°时，∠的度数为80°或100°.DPQ APB11训练4答图如答图②，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，连接BQ. PHPH∵tan∠ABP ∶tan A ＝∶＝3∶2，HBAH∴AH ∶HB ＝3∶2. ∵AB ＝10， ∴AH ＝6，HB ＝4.在Rt△PHA 中，PH ＝AH ·tan A ＝8.2 2 22＝45. ∴PQ ＝PB ＝PH ＋HB ＝8＋4 ∴在Rt△PQB 中，QB ＝2PB ＝410.(3)16π或20π或32π.与圆有关的问题例3(2021，石家庄裕华区一模，导学号5892921)如图①，图②，在⊙O 中，OA ＝1，AB3，将弦AB 与弧AB 所围成的弓形(包括边界的阴影局部)绕点B 顺时针旋转α(0°≤α≤360°)，点A 的对应点是 A ′. 1(2) 点O 到线段AB 的距离是〔〕，∠AOB ＝__120°__，点O 落在阴影局部(包括边界)2(3)时，α的取值范围是__30°≤α≤60°__；(4) 如图③，线段A ′B 与弧ACB 的交点是D.当∠A ′BA ＝90°时，说明点D 在AO 的延长(5)线上；当直线A ′B 与⊙O 相切时，求α的值并求此时点A ′运动路径的长度．12例3题图【思路分析】(1)前两空利用垂径定理和特殊角的三角函数值解答．第三空，当A′B与OB重叠时，α取最小值．当弧A′B绕点B顺时针旋转到过圆心O时得到α的最大值．(2)连接AD，利用圆周角定理进行证明．(3)利用切线的性质求得α的值，并利用弧长公式求得点A′运动路径的长度．1解：(1)2120°30°≤α≤60°(2)如答图，连接AD.例3答图∵∠A′BA＝90°，∴AD为直径．∴AD过圆心O.∴点D在AO的延长线上．(3)当A′B与⊙O相切时，∠OBA′＝90°，此时∠ABA′＝90°＋30°＝120°或∠ABA′＝90°－30°＝60°.∴α＝120°或300°.120π· 3 2 3π＝3当α＝120°时，点A′运动路径的18长度为013π·5π300.当α＝300°时，点A′运动路径的长度为180＝针对训练 5(2021，石家庄长安区模拟，导学号 5892921)在扇形AOB 中，圆心角∠AOB120°，半径OA ＝OB ＝8.如图①，过点O 作OE ⊥OB ，交弧AB 于点E ，再过点E 作EF ⊥OA 于点F ，那么FO 的长是 43，∠FEO ＝60°；如图②，设P 为弧AB 上的动点，过点P 作PM ⊥OA 于点M ，PN ⊥OB 于点N ，点M ，N 分别在半径OA ，OB 上，连接MN.①求点P 运动的路径长； ②MN 的长度是否是定值？在(2)中的条件下，假设点D 是△PMN 的外心，直接写出点D 运动的路径长．训练5题图【思路分析】(1) 先求出∠AOE ，即可得出结论．(2)①当点 M 与点O 重合时，∠PMB ＝30°.当点N 与点O 重合时，∠PNA ＝30°.进而可求出点P 运动路径所对的圆心角是 120°－30°－30°＝60°，最后用弧长公式即可得出结论．②先判断出P，M，O，N四点均在同一个圆上，进而可得出结论．(3)先判断出△PMN的外接圆的圆心的运动轨迹，最后根据弧长公式即可得出结论．解：(1)4 3 60°①点P在弧AB上运动，其路径也是一段弧．由题意，可知当点M与点O重合时，∠PMB＝30°；当点N与点O重合时，∠PNA＝30°.∴点P运动路径所对的圆心角是120°－30°－30°＝60°.∴点P运动的路径长为60π·88π180＝3.②如答图，连接PO，取PO的中点H，连接MH，NH. ∵在Rt△PMO和Rt△PNO中，H是斜边PO的中点，1∴MH＝NH＝PH＝OH＝2PO＝4.∴根据圆的定义，可知 P，M，O，N四点均在同一个圆，即⊙H上．∵∠MON＝120°，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MPN＝60°.∴∠MHN＝2∠MPN＝120°.过点H作HK⊥MN，垂足为K.141由垂径定理，得MK＝KN＝2MN，∠MHK＝60°.∵在Rt△HMK中，MH＝4，∴MK＝2 3.∴MN＝2MK＝4 3.∴MN的长度是定值．4π(3)点D运动的路径长为.3训练5答图图形的滚动问题几何图形在直线上运动例4(2021，资阳模拟，导学号5892921)如图，△为等边三角形，且点的坐标ABC A分别是(－2，0)，(－1，0)．将△ABC沿x轴正方向翻滚，翻滚120°为一次变换．如果这样连续经过2021次变换后，等边三角形的顶点的坐标为__(2_016，0)__．ABC15例4【解析】由意，得C1(0，0)，C2(0，0)，C33，3，C4(3，0)，C5(3，0)，C69，3，⋯.3 222次一循，2021÷3＝672⋯⋯2，672×3＝2021，∴2021次后，等三角形ABC的点C的坐(2021，0).6(学号5892921)如，在扇形皮AOB中，OA＝20，∠AOB＝36°，OB在直上．将此扇形沿按方向旋(旋程中无滑)，当第一次落在上，OA停止旋，点O所的路(C)6A.20π B.22πC.24π D.20π＋105－10【解析】点O所的路90π·2036π·2090π·20＋180＝24π. 1801807(学号5892921)如，一个4cm、3cm的矩形木板在桌面上做无滑的翻(方向)，木板点位置的化→1→2，其中第二次翻被桌面上一A A A小木住，使木板与桌面成30°的角，点A到点A2位置走的路径(B)16训练7题图.7πB.23π2cm cm6 4π5π.3cmD.2cm【解析】∵矩形长为4cm，宽为3cm，∴其对角线长为5cm.第一次是以点B为旋转中心，5cm为半径旋转90π·55π90°，此次点A走过的路径长是(cm)．第二次是以点C为18060π·44π旋转中心，4cm为半径旋转60°，此次走过的路径长是(cm)．∴点A走过的路18035π4π23π径长是＋3＝6(c m).针对训练8(导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，一半径为2的圆的圆心的初始位置在(0，2)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上以每秒π的速度沿x轴正方3向滚动，8s后点P到x轴的距离为__3__．训练8题图【解析】如答图，设圆心为点O′，作O′A⊥x轴于点A，PD⊥x轴于点D，O′F⊥PD17于点.弧的心角8πnπ·2＝240.∴∠′＝120°.°.由意，得.解得AP n180POA3∵∠O′AD＝∠FDA＝∠O′FD＝90°，∴四形O′ADF是矩形．∴DF＝O′A＝2，∠FO′A190°.∴∠FO′P＝30°.在Rt△O′PF中，PF＝2O′P＝1，∴PD＝PF＋DF＝1＋2＝3.∴点P到x的距离3.8答9(2021，唐山三模，学号5892921)如，直l平面直角坐系的原点O，且与x正方向的角是30°，点A的坐是(0，1)，点B在直l上，且AB∥x，点B的坐是(3，将△ABO点B旋到△A1BO1的位置，使点A的，1)点A落在直l上，再将△ABO点A旋到△ABO的位置，使点O的点111121O2落在直l上，次旋下去⋯⋯点A63的横坐是〔2＋2〕.9【解析】∵点A的坐是(0，1)，∠BOx＝30°，AB∥x，∴AB＝3，AO＝1.∴点B的坐(3，1)．由意，得点A1的横坐3333＋3，点A2的横坐＋，点A3的横22218533＋33，点A的横坐标为93，点A的横坐标为93坐标为3＋，点A的横坐标为2＋42＋2. 456几何图形在折线上运动例5(导学号5892921)如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将△以点为中心沿逆时针方向旋转，使AP与重合，如此继续分别以点，，PAD ABB C中心将三角形进行旋转，使点P回到原来位置为止，那么点P从开始到结束所经过路径的长为(C)例5题图7πB.13πC.19πD.25aa a2468【解析】如答图，点P所经过的路径是半径为a，圆心角分别为210°，210°和150°210π·a×2＋150π·a19πa.的三段圆弧．故总长度为180180＝6例5答图针对训练10( 导学号5892921)将半径为2cm的圆形纸板沿着挖空的局部方格纸板(小方格的边长为2cm)的内侧滚动一周，回到开始位置后，圆心经过的路线的长度约为(B)19训练10题图A.36cm B C D.40cm【解析】如答图，圆心经过的路线为8条线段以及2条圆弧．因为小方格的边长为2cm，所以圆心经过的路线的长度为2×(5＋1＋1＋2＋4＋1＋2＋2)＋2×902＝36＋2π≈42.28(cm)．180训练10答图20。

(济南)中考数学题型突破题6 运动型问题

【课程目标】 1、知识与能力：（1）知道英国宪章运动的基本史实及其性质；（2）了解马克思主义诞生的条件和标志；（3）了解马克思、恩格斯的革命活动，概述《共产党宣言》的历史意义；（3）掌握巴黎公社出现的背景、政权性质；（4）讲述“五月流血周”和创作国际歌的主要过程，感受巴黎公社的革命精神；（5）分析巴黎公社的历史影响和失败的原因；
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第17课国际工人运动与马克思主义的诞生
一、英国的宪章运动 1、宪章运动产生的原因 2、中心内容 3、历史影响二、马克思主义的诞生 1、前提条件 2、标志——《共产党宣言》的发表三、巴黎公社
英国宪章运动
Chartism
1836-1848
第六单元
无Байду номын сангаас阶级的斗争和资产阶级统治的加强
【单元特征】
马克思主义的产生是19世纪的重大历史事件，它开辟了人类历史发展的新纪元。但由于其理论内容的深刻性，本主题主要选择了马克思和恩格斯的革命活动作为学习的切入点，而对《共产党宣言》这一标志着马克思主义产生的重要理论文献则只要求学生能概括和初步理解其重大的历史意义就可以了。这里通过了解马克思和恩格斯的革命活动，使学生初步理解马克思和恩格斯的革命活动和革命理想，为今后接受马克思主义准备条件。
要求取得普选权，工人参与国家管理
宪章派的大集会
1848年2月标志着马克思主义的诞生
的仙翅枕头铲，随着妃赫瓜中士的颤动，狗毛状的仙翅枕头铲像提琴一样在双腿上冷峻地安排出朦胧光球……紧接着妃赫瓜中士又念起磨磨叽叽的宇宙语，只见他五光十色的护手中，威猛地滚出五十串珍珠状的教鞭，随着妃赫瓜中士的耍动，珍珠状的教鞭像秤砣一样念动咒语：“木脚吲唰，脸盆吲唰，木脚脸盆吲唰……『黄宝疯魔窗纱语录』！！！！”只见妃赫瓜中士的身影射出一片深橙色金光，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的金橙色光蟹，似玉光一样直奔亮红色幻影而来！，朝着蘑菇王子晶莹洁白的牙齿直摇过来。紧跟着妃赫瓜中士也飞耍着咒符像篦子般的怪影一样向蘑菇王子直摇过来蘑菇王子猛然把犹如白色亮玉般的牙齿摇了摇，只见七道萦绕的如同琵琶般的彩影，突然从飘洒如风的、酷似雄狮模样的亮黑色头发中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，绿宝石色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的惨窜骷髅味在加速的空气中跳跃。接着犹如仙猿般的手臂奇特紧缩闪烁起来……修长灵巧的手指喷出浅黑色的飘飘暗气……灵快如风的神脚闪出湖青色的点点神香……紧接着镶嵌着无数奇宝的瓜皮滑板立刻弹出凶粉病态色的麦花鸽睡味……神奇的星光肚脐喷出精灵海跳声和哈呵声……晴朗明亮的声音朦朦胧胧窜出浓梦水晶般的漫舞。最后旋起俊朗英武的脖子一扭，猛然从里面射出一道玉光，他抓住玉光绝妙地一转，一件黄澄澄、亮晶晶的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边膨胀，一边发出“吱吱”的异响……！突然间蘑菇王子狂魔般地使自己犹如雕像一样的下巴跳动出烟橙色的粉条味，只见他直挺滑润的鼻子中，酷酷地飞出四十簇旋舞着∈追云赶天鞭←的柱子状的仙翅枕头罐，随着蘑菇王子的扭动，柱子状的仙翅枕头罐像夜蛾一样在双腿上冷峻地安排出朦胧光球……紧接着蘑菇王子又念起咿咿呀呀的宇宙语，只见他镶着十九颗怪异宝石的黑色金边腰带中，飘然射出五十片摇舞着∈追云赶天鞭←的火花状的死鬼，随着蘑菇王子的甩动，火花状的死鬼像荷叶一样念动咒语：“森林哄哩喂，小子哄哩喂，森林小子哄哩喂……∈神音蘑菇咒←！高人！高人！高人！”只见蘑菇王子的身影射出一片褐黄色幽光，这时西南方向突然出现了五片厉声尖叫的米黄色光牛，似银光一样直奔亮黄色粼光而去。，朝着妃赫瓜中士土灰色华灯似的牙齿直摇过去。紧跟着蘑菇王子也飞耍着咒符像篦子般的怪影一样向妃赫瓜中士直摇过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡橙色的闪光，地面变成了湖青色、景物变成了深黄色、天空变成了亮橙色、四周发出了悠闲的巨响！蘑

2021年中考数学专题复习6 运动型问题专题

1.(2021·内蒙古赤峰)如图，一根长为5米的竹竿AB斜立于墙AC的右侧，底端B与墙角C的距离为3米，当竹竿顶端A下滑x米时，底端B 便随着向右滑行y米，反映y与x变化关系的大致图象是( )2.(2021·广东东莞)如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是( )3.(2021·浙江丽水)如图，AB=4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE=12DB ，作EF ⊥DE 并截取EF=DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C.设BE=x ，BC=y ，则y 关于x 的函数解析式是( )A.y=-12x x 4-B.y=-2xx 1-C.y=-3x x 1-D.y=-8xx 4-4.(2021·泰安)如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点B 的坐标为(2，0)，点A 在第一象限内，将△OAB 沿直线OA 的方向平移至△O ′A ′B ′的位置，此时点A ′的横坐标为3，则点B ′的坐标为( )A.(4，，C.(4，，在第一象限的分支5.(2021·湖北荆州)如图，已知:点A是双曲线y=2x上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限.随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点(k<0)上运动，则k的值是____________.C始终在双曲线y=kx6.(2021·福建三明)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，则AP 的最小值是________.7.(2021·贵州安顺)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为________.8.(2021·莱芜)如图，过A(1,0)，B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4-x 于C，D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O，C，D三点.(1)求抛物线的表达式；(2)点M为直线OD上的一动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；(3)若△AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上，且不与点D重合)，在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S.试求S的最大值.9.(2021·四川乐山)如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，.tan A=43(1)求CD边的长；(2)如图2，直线CD沿箭头方向平行移动，交DA于点P，交CB于点Q(点Q运动到点B停止)，设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.参考答案1.A2.D3.A4.A5.-66.8.解:(1)当x=1时，y=4-1=3， ∴点C(1,3).当x=3时，y=4-3=1,∴点D(3,1).∴c 0,a b c 3,9a 3b c 1,=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得4a ,313b ,3c 0.⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴y=-24x 3+133x. (2)存在这样的点M ，使得以A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形. 由题意易求直线OD 的解析式为y=13x ， ∴可设点M(x, 13x), 则点N(x,-43x 2+133x). 当点M 在OD 之间运动时: MN=-43x 2+133x-13x=-43x 2+4x,此时只要MN=AC ，四边形AMNC 是平行四边形. ∴-43x 2+4x=3,∴x 1=x 2=32. 当点M 在OD 之外运动时: MN=13x-(-43x 2+133x)= 43x 2-4x, 此时只要NM=AC ，四边形AMNC 是平行四边形. ∴43x 2-4x=3,∴x 1,x 2.∴点M 的横坐标是32或32+或2.(3)设△OAC 平移后为△O ′A ′C ′,各边与x 轴、直线OD 的交点为E,F,G,H.∵点C ′在直线CD 上， ∴设C ′(m,4-m ，)，1≤m ＜3, 易知E(m,0),F(m,m3). 由题易知直线OC 的解析式为y=3x, ∴可设直线O ′C ′的解析式为y=3x+b. 则4-m=3m+b,∴b=4-4m, ∴y=3x+4-4m.∴当y=0时，0=3x+4-4m, ∴x=4m 43-,即点H(4m 43-,0). 由题得1y x,3y 3x 44m,⎧=⎪⎨⎪=+-⎩ 解得3m 3x ,2m 1y .2-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴点G(3m 32-,m 12-). ∴重叠部分的面积是S=S △OEF -S △OHG =12×m×m 3-12×4m 43-×m 12- =-16 (m-2)2+13.∵1≤m ＜3,∴m=2时，S 有最大值是13.9.解:(1)如图3，分别延长AD ，BC 相交于点E ，在Rt △ABC 中，∵tan A=43，AB=3，BC=2，∴BE=4，EC=2，AE=5.又∵∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°， ∴∠A=∠ECD.由tan A=43，得cos A=35， ∴cos ∠ECD=CD EC =35. ∴CD=65.(2)如图4，由(1)可知 tan ∠ECD=tan A=43， ∴ED=85.由PQ ∥DC ，可知△EDC ∽△EPQ ， ∴ED DCEP PQ=. 即86558PQ x 5=+，则PQ=63x 54+. ∵S 四边形PQCD =S △EPQ -S △EDC ，∴y=12PQ·EP-12DC·ED=12×(65+34x)×(85+x)-12×65×85=38x2+65x，∴当Q点到达B点时，点P在M点处，由EC=BC，DC∥PQ，∴DM=ED=85.∴自变量x的取值范围为0<x<85.。

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