全国版高考数学第三章三角函数解三角形3.5.1两角和差及倍角公式课时提升作业理
近年届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业(202
2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业A组——基础对点练1．设sin（π－θ）＝错误!,则cos 2θ＝（）A．±错误!B。
错误!C．－错误!D．－错误!解析：因为sin（π－θ)＝sin θ＝错误!，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝错误!,故选B.答案：B2．计算错误!的值为( ）A．－错误!B．错误!C.错误!D．－错误!解析:错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：B3．若tan α＝13，tan（α＋β）＝错误!，则tan β＝（)A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析：tan(α＋β）＝错误!＝错误!＝错误!,解得tan β＝错误!.答案：A4．（2018·西安质量检测）sin 45°cos 15°＋cos 225°·sin 165°＝（）A．1 B．错误!C。
错误!D．－错误!解析:sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋（－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°）＝sin 30°＝错误!.答案：B5．已知cos错误!＝－错误!，则sin错误!的值为( )A 。
高考总复习数学(理科)课时作业：第3章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式 Word版含解析
第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．(2015年重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( ) A.17B.16C.57D.562．(2016年新课标Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )(导学号 58940270) A.725 B.15C ．－15 D ．－7253．4cos 50°－tan 40°＝( ) A.2B.2＋32 C.3D ．2 2－14．已知函数f (x )＝2sin 2x ，为了得到函数g (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π8个单位长度 D ．向左平移π8个单位长度 5．(2015年上海)已知点A 的坐标为(4 3，1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.3 32B.5 32C.112D.1326．(2014年新课标Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．(导学号 58940271)7．(2016年新课标Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移______个单位长度得到．(导学号 58940272)8．(2016年上海)若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________.9．(2016年上海)方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0,2π]上的解为__________．10．(2015年浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________，单调递减区间是________．11．(2014年江苏)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．12．(2014年福建)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．A 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.故选A. 2．D 解析：cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2·⎝⎛⎭⎫352－1＝－725，且cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－2α＝sin 2α.故选D.3．C 解析：(1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40° ＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (120°－40°)－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.故选C. 4．D 解析：g (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将函数f (x )＝2sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度即可． 5．D 解析：设直线OA 的倾斜角为α，B (m ，n )(m ＞0，n ＞0)，则直线OB 的倾斜角为π3＋α，因为A (43，1)，所以tan α＝14 3，tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝n m ，n m ＝3＋14 31－3·14 3＝133 3，即m 2＝27169n 2，因为m 2＋n 2＝(4 3)2＋12＝49，所以n 2＋27169n 2＝49.所以n ＝132，或n ＝－132(舍去)．所以点B 的纵坐标为132. 6．1 解析：f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2cos x sin φ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，最大值为1.7.π3解析：因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以函数y ＝sin x －3cos x 的的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到． 8．±3 解析：试题分析：f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a 4，故函数f (x )的最大值为16＋a 2，由已知，16＋a 2＝5，解得a ＝±3.9.π6或5π6解析：3sin x ＝1＋cos 2x ，即3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以在区间[0,2π]上的解为π6或5π6. 10．π 3－22⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z 解析：f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22·sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以T ＝2π2＝π；f (x )min ＝32－22.单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .11．解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55. 故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)，得sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35. 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－3 3＋410. 12．解：f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π4＋π4＋1＝2×22＋1＝2. (2)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 若f (x )单调递增，则2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .。
高考数学一轮复习第三章第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时作业文(含解析)
第三节两角和与差及二倍角三角函数公式1 A.— B. 21 3 C.2 D .兀 答案:4,「. si n 2 0 = ?故选 D.1.计算 1-2sin 222.5 22.故选B.答案：B22.设 tan ( a + 3 )=5，tan 3 —A 3r 3A.—B.— 18 221313C^T D .- _ — 18 22解析： tann a + — 4 =tan ( a + 答案： B1 4，则 tan 7tna + —的值是（322.n cos^2— sin 12 n cos^2 + sin 12 =(4.右 tan=4，贝U sin 2 0 =(tan 0A.1B.1 C.3 D. 解析: 由tan0+tan 01= 4 得, sin 0 2 2sin 0 + cos 0cos cos 0 sin 0 sin 0 cos 04,即12sin 2解析: 原式=cos 45 O7t4卩）7t 7t3.求值:答案：Dsin 47 —sin 17 cos 30cos 17 °A.sin 47 ° —sin 17 ° cos 30cos 17 °sin (17°+ 30°)—sin 17 ° cos 30 cos 17 °sin 17° cos 30 ° + cos 17 ° sin 30 ° —sin 17 ° cos 30C.* 1 *D. _32解析:6.已知a,316 13A. —B. —65 6556 33C. lD. —65 65解析：••■ cos2cos 2 a725 cos(5 小a + 3) = 13，则sin 3=()• •• cos a = 5,sin a =厂・5■/ cos( a+ 3 ) 5 12=13 ,•( a + 3 )为锐角，Si n( a +3 )= 13.• sin 3 = sin [(a + 3 )—a ] = sin( a + 3)COS a —COS(a + 3 )sin12 3 5 4 16丄，丄—x x _ .故选A.13 5 13 5 65答案：A7. (2013 •上海卷)若cos xcos y + sin xsin y解析：cos x cos y+ sin x sin y = cos( x —y)=1 小=贝U cos(2x —2y) = ____________13，所以cos 2( x—y) = 2cos (x—y)—8. sin a-,cos 3 = 5，其中2a = 2cos a25'3 4又a为锐角,解析：0, n33a ,3€2 ， sina= 5,cos3= 5,44• •• cos asin53 =5.• •• cos(a + 3) = c os a cos 3--sin as in 3 = 0.n故nT a , 3 € 0, p,• • 0va + 3 Vn,a + 3= 2答案：n22sin a+ 1 sin 2 a13答案：兀 x 匹谑2 10.y 2 答案：冇n（1）求f 6的值;2(2) f (x ) = cos x + sin x cos x 1 + cos 2 x 1= 2+ 小sin 2 x 21 1=一+一 (sin 2 2 2x + cos 2 x ) 1 + 2 =2 + 2sinn 2x + 4 ,9.已知tan a=2,则2” _ 2sin a +1 3sin 解析：. sin 2 a 2si n a 2 2 2 2a + cos a 3tan a + 13X2+ 1 132X2 = 4.cos a 2tan a 10.已知a 为锐角，且 cosa + — = 5，贝U sin 4 57t解析：因为 a 为锐角，所以因为cos n 3+ —= 4 5,所以sin n a ------4贝U sin a = sinn n+4 — 4 =sin acos n一—cos4na+ 4 sin22- 311.已知函数f （x ） =cos 2x + sin xcos xR.⑵若sin a35, n且a€7t7tn解析：（1） f 6= cos 2p+ sin6n6 cos 67t1 — cos 2a n 1 2 .f 2 +24 = 2 +2 sinn n +12+4=+ 22sinsin1-2 + cos因为sin 35,n ，所以cos a一一7t所以f 2+24= 2+3 1—X———X5 2 52012.已知函数f(x) = sin > 0）的最小正周期为n(1)求3的值;na€ 0，g，3€1 5nf 23 + P1213，求sin ( a+ 3 )的值.解析: (1) V 函数f(x) = sin 3Xn+E的最小正周期为2n3 =n，(2)由(1)得f(x) = sinn 2x + —x +6 ，1 n• f -2a +6 = sin2 - ；a +=sin na = cosno, 2,• sin a =叮1 —cos45.=sinn . 1212 + 6 =sin( n+ 3 )= —sin 3=—13,• sin12 3 13•/ 3€7t…cos —\/1 —sin23 = 13'• sin( oc+3 ) = sin a cos 3 + cos a sin 34 =-X 53 12+5 X13= 65'1613cos 17 °1=sin 30 ° =故选 C.答案：C13。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业2 新人教A版必
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业2 新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业2 新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题（每小题3分,共18分）1。
(2013·江西高考)若sin=，则cosα= ( ）A.—B.-C. D。
【解析】选C.cosα=1—2sin2=1—=。
【变式训练】已知cosθ=，则cos2θ的值为（）A。
B.— C.-D。
【解析】选B。
cos2θ=2cos2θ-1=2×-1=-.2。
已知sin=，cos=-，则角α所在的象限是( )A。
第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C。
因为sinα=2sin cos=2××=—〈0，cosα=cos2-sin2=-=—<0，所以α是第三象限角.3。
已知tanα=，则等于( )A。
3 B.6 C.12 D.【解析】选A。
==2+2tanα=3。
故选A。
4.tanA+=m，则sin2A= （)A。
B。
C。
2m D。
【解析】选D。
由tanA+=m，得+=m,所以sinAcosA=，所以sin2A=2sinAcosA=。
5。
(2014·成都高一检测）在△ABC中，若|｜=2sin15°，||=4cos15°，且∠ABC=30°，则·的值为（)A。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数市赛课公开课一等奖省名师优质
[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确 使用公式． 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见 的是“切化弦”． 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
法二：令 α＝0，则原式＝14＋14＝12.]
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三角函数式的求值
角度 1 给角求值
2cos (1)
10°－sin sin 70°
20°＝(
)
A．12
B．
3 2
C． 3
D． 2
(2)sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________.
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(1)C (2)1 [(1)原式＝2cos30°－sin207°0°－sin 20°＝
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2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝_2_c_o_s2_α_－__1_＝_1_－__2_s_in_2_α_； 2tan α (3)tan 2α＝_1_－__t_an_2_α_.
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[知识拓展] 1．有关公式的变形和逆用
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(1)2 2cos α [原式＝2si2n2αscinosαα－－c2ocsoαs2α＝2 2cos α.] (2)原式＝2s－in2π4s－in2xxccooss22xπ4＋－12x
cosπ4－x ＝2sin12π41－－xscino2s2xπ4－x＝si12ncπ2o－s222xx＝12cos 2x.
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(对应学生用书第48页) [基础知识填充]
高考数学总复习第三章三角函数解三角形课时作业21两角和差及倍角公式文含解析新人教A版
高考数学总复习第三章三角函数解三角形课时作业21两角和差及倍角公式文含解析新人教A 版课时作业21 两角和、差及倍角公式1．(2019·新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20°sin70°的值是( C )A ．12B ．32C ． 3D ． 2解析：原式＝2cos 30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.2．(2019·山西五校联考)若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( B ) A ．2＋106 B ．22＋106C ．2－106D ．22－106解析：由cos θ＝23，θ为第四象限角，得sin θ＝－53， 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋53＝22＋106.故选B ． 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( C )A ．－118B ．118 C ．－1718D ．1718解析：由3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin α·cos α＝118，故sin2α＝－1718.故选C ．4．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( B )A ．α＜π4＜βB ．β＜π4＜αC ．π4＜α＜βD ．π4＜β＜α解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16＞0，∴π4＜α＜π2. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α＞π4，∴β＜π4＜α.5．在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( A )A ．－1665B ．－5665C ．±1665D ．±5665解析：∵B 为三角形的内角，cos B ＝35＞0，∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45，又sin A ＝513，∴sin B ＞sin A ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213， ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－1213×35＋513×45＝－1665. 6．(2019·福州质检)已知m ＝tan α＋β＋γtan α－β＋γ，若sin[2(α＋γ)]＝3sin2β，则m＝( D )A ．12B ．34C ．32D ．2解析：设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ， 则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ， 因为sin[2(α＋γ)]＝3sin2β， 所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )， 即2cos A sin B ＝sin A cos B ， 所以tan A ＝2tan B ， 所以m ＝tan Atan B＝2，故选D ．7．(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝4.解析：(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－ta n20°tan25°)＋tan20°·tan25°＝2，同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，所以原式＝4.8．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝22. 解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1， 可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)， 所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.9．(2019·运城模拟)已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝26＋16.解析：∵α为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴0＜α－π6＜π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16. 10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为58.解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝14. 所以cos2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2θ22＝116＋916＝58.11．已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x . (1)若α是第二象限角，且sin α＝63，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的定义域和值域． 解：(1)因为α是第二象限角，且sin α＝63， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－33， 所以tan α＝sin αcos α＝－2，所以f (α)＝(1－3×2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－332＝1－63. (2)函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z. 易得f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos 2x ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12.因为x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以2x ＋π6≠2k π＋7π6，k ∈Z ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≠－12，但当2x ＋π6＝2k π－π6，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×32＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.13．(2019·河南洛阳一模)设a ＝cos50°cos127°＋cos40°·sin127°，b ＝22(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( D ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．a ＞c ＞b解析：a ＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b ＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°， c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos78°＝sin12°， ∵sin13°＞sin12°＞sin11°，∴a ＞c ＞B ．14．(2019·江西南昌模拟)已知tan2α＝－22，且满足π4＜α＜π2，则2cos2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值是( C )A ． 2B ．－ 2C ．－3＋2 2D ．3－2 2解析：tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－22，整理可得2tan 2α－tan α－2＝0， 解得tan α＝－22或tan α＝ 2. 因为π4＜α＜π2，所以tan α＝ 2.则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos α－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝cos α－sin αcos αcos α＋sin αcos α ＝1－tan α1＋tan α＝1－21＋2＝22－3.故选C ．15．(2019·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即取值范围为[－1,1]．16．(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间； (2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z . ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，－π4＜α－π4＜3π4，∴α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1课时提升作业1新人教A版必修420170802220
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.cos(-15°)的值为( )A. B.C. D.-【解析】选C.cos(-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=³+³=.2.sinα=，α∈，则cos的值为( )A.-B.-C.-D.-【解析】选B.由sinα=，α∈，得cosα=-，故cos=cos cosα+sin sinα=³+³=-.3.设α，β为钝角，且sinα=，cosβ=-，则α+β的值为( )A. B. C. D.或【解析】选C.由α，β为钝角，即α，β∈，且sinα=，cosβ=-，得cosα=-=-，sinβ==，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-³-³=>0，又α，β∈，所以α+β∈(π，2π)，因此α+β=.二、填空题(每小题4分，共8分)4.已知cos=，则cosα+sinα的值为________.【解析】cos=cos cosα+sin sinα=cosα+sinα=(cosα+sinα)=，故cosα+sinα=.答案：5.sin(α+30°)cosα+cos(α+30°)sin(-α)=________.【解题指南】本题解题关键是将cosα改写成cos(-α).【解析】sin(α+30°)cosα+cos(α+30°)sin(-α)=sin(α+30°)cos(-α)+cos(α+30°)sin(-α)=sin[(α+30°)+(-α)]=sin30°=.答案：三、解答题6.(10分)(2015²揭阳高一检测)已知函数f(x)=2sin(x-)，x∈R.(1)求f的值.(2)设α，β∈，f=，f(3β+2π)=，求cos(α+β)的值. 【解析】(1)f=2sin=2sin=2³=.(2)f=，所以2sin=，所以sinα=，又因为f(3β+2π)=，所以2sin=，所以cosβ=，因为α，β∈，所以cosα=，sinβ=，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=³-³=.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015²三亚高一检测)化简cosx-sinx的结果是( )A.2cosB.2sinC.2sinD.2cos【解析】选D.cosx-sinx=2(cos cosx-sin sinx)=2cos.【一题多解】本题还可以采用以下方法cosx-sinx=2=2sin=2cos=2cos【拓展提升】辅助角公式asinα+bcosα=sin(α+φ).(1)作用：将形如asinα+bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式化为一个角的一种三角函数式，有利于三角函数式的化简，更是研究三角函数性质的常用工具.(2)记住形如asinα+bcosα的常用形式：sinα±cosα=sin，sinα±cosα=2sin，sinα±cosα=2sin.2.(2015²重庆高考)若tanα=2tan，则=( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.======，因为tanα=2tan，所以上式==3.二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知0<α<<β<π，sinα=，cos(α-β)=，则β的值为________.【解析】因为0<α<，sinα=，所以cosα=，因为cos(α-β)=，又<β<π，所以-π<-β<-，α-β∈(-π，0)，所以sin(α-β)=-，所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=³+³=-<0，所以β=.答案：4.在△ABC中，3sinA-4sinB=6，4cosB+3cosA=1，则C的大小为__________.【解题指南】根据题意，把已知的两等式两边平方后，左右相加，然后利用同角三角函数间的基本关系、两角和的正弦公式及诱导公式化简后即可得到sinC的值，利用特殊角的三角函数值及角C的范围即可求出C的度数.【解析】因为3sinA-4sinB=6，4cosB+3cosA=1，两式平方相加，可得9+16+24cos(A+B)=37，所以cos(A+B)=.因为A+B+C=π，所以cos(A+B)=-cosC，则cosC=-，0°<C<180°，故C=120°.答案：120°三、解答题5.(10分)若sin=，cos=，且0<α<<β<，求cos(α+β)的值.【解析】因为0<α<<β<，所以<+α<π，-<-β<0，又已知sin=，cos=，所以cos=-，sin=-.所以cos(α+β)=sin=sin=sin cos-cos sin=³-³=-.【补偿训练】已知a=(cosα，sinβ)，b=(cosβ，sinα)，0<β<α<，且a²b=，求证α=+β. 【证明】a²b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=，又0<β<α<，所以0<α-β<，所以α-β=，即α=+β.。
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课后作业文
解析因为0<α<π，cosα＝ ，所以sinα＝ ＝ ，故 <α< ，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝ < ，所以0<α＋β< 或 <α＋β<π.
由 <α< ，知 <α＋β<π，
所以cos(α＋β)＝－ ＝－ ，
所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝ ，
3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式
[重点保分两级优选练]
A级
一、选择题
1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于()
A. B. C. D.
答案A
解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝ .故选A.
2. ＝()
10．(2018·河北模拟)已知θ∈ ，且sinθ－cosθ＝－ ，则 等于()
A. B. C. D.
答案D
解析由sinθ－cosθ＝－ ，得sin ＝ ，
∵θ∈ ，∴ －θ∈ ，
∴cos ＝ ，
∴ ＝ ＝
＝ ＝2cos ＝ .故选D.
二、填空题
11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝ ，则cos2α－sin2β＝________.
由－ <β<0，得 < － < ，则sin ＝ ，代入上式，得cos ＝ .故选C.
7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝ ，则 的值为()
A. B．－ C．3 D．－3
答案A
解析 ＝
＝
＝ ＝ .故选A.
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第3节第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式课时作业含解析新
第三章 三角函数、解三角形授课提示：对应学生用书第269页〖A 组 基础保分练〗1．(2021·南昌模拟)已知角α的终边经过点P (sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝( ) A.12 B ．32 C ．－12D ．－32〖答 案〗A2．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝( ) A.12 B ．33 C.23 D ．22 〖答 案〗B3.3cos 15°－4sin 2 15°cos 15°＝( ) A.12 B ．22 C ．1 D ． 2〖答 案〗D4．(2021·成都诊断性检测)已知tan α＝34，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A.43－310B ．43＋310C.4－3310D ．33－410〖答 案〗A5．(2021·济南模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B ．45C.35或45D ．34〖解 析〗∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＜0， 且cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4·sin π4＝45. 〖答 案〗B6．(2021·信阳模拟)函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5B ．92C.52D ．2〖解 析〗由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2 ＝52sin(x ＋φ)＋2⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43， 又因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为92.〖答 案〗B7．化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________.〖答 案〗12cos 2α8．(2021·厦门模拟)若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.〖解 析〗∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝15，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35，由上面两式，解得sin αcos β＝25，cos αsin β＝－15，则tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－2. 〖答 案〗－29．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 〖解 析〗(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4·sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2 α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.〖B 组 能力提升练〗1.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12 B ．32C. 3 D ． 2〖答 案〗C2．若cos α＝35，0＜α＜π，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )A.25 B ．75C.145 D ．－25〖答 案〗C3．(2021·江西八所重点中学联考)若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( )A.1110 B ．－1110C ．1D ．－1〖答 案〗D4．(多选题)已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列结论正确的是( ) A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝－12C ．β－α＝π3D ．β－α＝－π3〖解 析〗由已知得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β. 两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1， ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12，∴A 正确，B 错误．∵α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β ＞α，∴β－α＝π3，∴C 正确，D 错误．〖答 案〗AC5．化简：sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)＝________.〖答 案〗－tan(α－β)6．已知0<α<π2，且sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝________，sin 2 α＋sin 2αcos 2 α＋cos 2α＝________.〖解 析〗因为0<α<π2，且sin α＝35，所以cos α＝1－sin 2 α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝34，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝7.sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2 α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝916＋642－916＝3323.〖答 案〗733237．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．〖解 析〗(1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得sin α＝－45， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.8．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x 2·cos(x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，f ⎝⎛⎭⎫α2＋π8＋25cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α＝0，求cos α－sin α的值． 〖解 析〗(1)因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x2 cos(x ＋θ)是奇函数，所以⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x 2cos(x ＋θ)＝－⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x2·cos ()－x ＋θ， 化简、整理得，cos x cos θ＝0，则有cos θ＝0， 由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin x ·⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x 2.由f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝－12sin 2x ，f ⎝⎛⎭⎫α2＋π8＋25cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α＝0⇒ sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α， 因为cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝85cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝0或 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝58. 由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝0⇒α＝3π4所以cos α－sin α＝cos 3π4－sin 3π4＝－2；由cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝58，3π4＜α＋π4＜5π4， 得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－522⇒12(cos α－sin α)＝－522⇒cos α－sin α＝－52. 综上，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52. 〖C 组 创新应用练〗如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．〖解 析〗(1)由题意，OA ＝OM ＝1， 因为S △OAM ＝55，α为锐角， 所以sin α＝255，cos α＝55.又点B 的纵坐标是210. 所以sin β＝210，cos β＝－7210， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝⎛⎭⎫－7210＋255×210＝－1010. (2)因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，sin 2α＝2sin α·cos α＝2×255×55＝45，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 因为sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－22， 所以2α－β＝－π4.。
全国通用近年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业二十二3.5.1两角和、差及倍角公式理
（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时分层作业二十二3.5.1 两角和、差及倍角公式理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时分层作业二十二3.5.1 两角和、差及倍角公式理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层作业二十二两角和、差及倍角公式一、选择题（每小题5分，共35分）1。
（2018·成都模拟)计算:sin 20°cos10°-cos 160°·sin 10°=（)A. B.-C。
—D。
【解析】选D。
原式=sin 20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=。
2.已知sin=，则sin 2θ= ( )A。
-B。
- C.D。
【解析】选A.因为sin=,所以(sin θ+cosθ)=，两边平方得(1+sin 2θ）=，解得sin 2θ=-。
3.(2018·大庆模拟)已知α,β都是锐角,且sin αcosβ=cosα（1+sin β),则（)A.3α—β=B。
2α-β=C。
3α+β=D.2α+β=【解析】选B。
因为sin αcos β=cos α(1+sin β），所以sin(α—β）=cos α=sin,所以α—β=—α，即2α-β=。
高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业
第五节 两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业 A 组——基础对点练1．设sin(π－θ)＝13，则cos 2θ＝( )A ．±429 B.79C ．－429D ．－79解析：因为sin(π－θ)＝sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79，故选B.答案：B2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12B ．12 C.32D ．－32解析：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：B3．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B ．16 C.57D ．56解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.答案：A4．(2018·西安质量检测)sin 45°cos 15°＋cos 225°·sin 165°＝( )A ．1B ．12 C.32D ．－12解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋(－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.答案：B5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－78，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值为( )A.14 B ．78 C ．±14D ．±78解析：因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝78，所以有sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值为±14，故选C.答案：C6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，∴cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1. 答案：C7．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan(α＋π4)的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．－1或3解析：∵2sin 2α＝1＋cos 2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1， 即2sin αcos α＝cos 2α，①当cos α＝0时，α＝k π＋π2，此时tan(α＋π4)＝－1，②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝3，综上所述，tan(α＋π4)的值为－1或3.答案：D8．已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16 B ．13 C.12D ．23解析：cos(α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16.答案：A9．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14C.14D ．78解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.答案：A10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α的值是( ) A.2325 B ．15 C ．－15D ．－2325解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2325.答案：A11．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B ．34 C ．－34D ．－43解析：两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α，得到tan 2α＝－34. 答案：C12．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15 B ．14 C.13D ．12解析：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 答案：D13．已知tan α＝3，则cos 2α＝________.解析：cos 2α＝2cos 2α－1＝2·cos 2αsin 2α＋cos 2α－1＝2×1tan 2α＋1－1＝－45. 答案：－4514．(2018·长沙市模拟)已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为________．解析：由tan α－tan β＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＝α－βcos αcos β＝3，解得cosαcos β＝36，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，所以sin αsin β＝12－36，所以cos(α＋β)＝33－12. 答案：33－1215．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________．解析：∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π16．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是__________． 解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435， 即32sin α＋12cos α＝45， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45. 答案：－45B 组——能力提升练1．(2018·洛阳市模拟)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°·cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°， ∵sin 13°＞sin 12°＞sin 11°， ∴a ＞c ＞b . 答案：D2．(2018·吉林大学附中检测)若α∈(π2，π)，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－356 B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：∵3cos 2α＝sin(π4－α)，∴3(cos 2α－sin 2α)＝－22(sin α－cos α)，易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D. 答案：D3．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D ．π4<β<α解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.答案：B4．(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358B ．1＋538C.1－358D ．1－538解析：由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A. 答案：A5．(2018·贵阳监测)已知sin(π6－α)＝13，则cos[2(π3＋α)]的值是( )A.79 B ．13 C ．－13D ．－79解析：∵sin(π6－α)＝13，∴cos(π3－2α)＝cos[2(π6－α)]＝1－2sin 2(π6－α)＝79，∴cos[2(π3＋α)]＝cos(2π3＋2α)＝cos[π－(π3－2α)]＝－cos(π3－2α)＝－79.答案：D6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ②由①②可得cos α＋sin α＝－15，③由①③可得sin α＝35.答案：C7．已知sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即(12－32)sin α＝－(12－32)cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2 α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：D8．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6解析：由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋π4＝22·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，所以函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A.答案：A9．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C. 答案：C10．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210B ．210C.5210D ．7210解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－210. 答案：A11．已知1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝12，则tan θ＝( )A.43 B ．34 C ．－34D ．－43解析：因为1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2cos2θ22sin θ2cos θ2＋2sin2θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝1tanθ2＝12， 所以tan θ2＝2，于是tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：D12．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝__________.解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－15613．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝__________.解析：由题意得tan α＋ tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.答案：－2π314．(2018·邢台摸底考试)已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________.解析：依题意得tan α＝12，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝β－α＋tan α1－β－αα＝17.11 答案：1715．已知0<θ<π，tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________. 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ，∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1，∵0<θ<π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.答案：－15。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)课时提升作业1 新人教A版必修4
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·天津高一检测)若tanα=3，tanβ=，则tan(α-β)=( )A.-3B.-C.3D.【解析】选D.tan(α-β)===.【补偿训练】已知tanα=，tanβ=，并且α，β均为锐角，则α+2β的值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为tanα=<1，tanβ=<1，且α、β均为锐角，所以0<α<，0<β<.所以0<α+2β<.又tan2β==，所以tan(α+2β)===1.所以α+2β=.2.已知tan=2，tan=，则tan(α+β)=( )A.8B.C.12D.【解析】选C.因为tan=2，tan=，所以tan(α+β)=tan===12.3.tan10°tan20°+(tan10°+tan20°)的值等于( )A. B.1 C. D.【解析】选B.因为=tan30°=，所以tan10°+tan20°=(1-tan10°tan20°).所以原式=tan10°tan20°+1-tan10°tan20°=1.【补偿训练】已知tanα+tanβ=2，tan(α+β)=4，则tanα·tanβ=________.【解析】因为tan(α+β)=，所以1-tanαtanβ===，所以tanα·tanβ=1-=.答案：4.(2015·绵阳高一检测)设向量a=(cosα，-1)，b=(2，sinα)，若a⊥b，则tan等于( )A.-B.C.-3D.3【解析】选B.因为a⊥b，所以a·b=(cosα，-1)·(2，sinα)=2cosα-sinα=0，所以tanα==2，所以tan===.5.在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不能确定【解题指南】可借助公式T(α±β)，也可以采用切化弦求解.【解析】选B.由条件知，tanB>0，tanC>0，1-tanBtanC>0，所以tan(B+C)=>0.所以B+C为锐角，从而A为钝角.【一题多解】选B.因为0<tanBtanC<1，所以B，C均为锐角，所以<1，所以cos(B+C)>0，所以cosA<0，所以A为钝角.二、填空题(每小题5分，共15分)6.tan105°=________.【解析】tan105°=tan(60°+45°)======-2-.答案：-2-【补偿训练】=________.【解析】原式===tan(45°-15°)=tan30°=.答案：7.(2015·江苏高考)已知tanα=-2，tan(α+β)=，则tanβ的值为________. 【解题指南】将β作为β=(α+β)-α，利用两角差的正切公式求解.【解析】tanβ=tan[(α+β)-α]=.因为tanα=-2，tan(α+β)=，所以上式==3.答案：3【补偿训练】若tan(α+β)=，tan =，则tan=________.【解析】因为α+=(α+β)-，所以tan =tan=tan()tan()41tan()tan()4πα+β-β-π+α+ββ-==.答案：8.在平面直角坐标系xOy中，已知以x轴非负半轴为始边的角α，β的终边分别经过点(-4，3)，(3，4)，则tan(α+β)=________.【解析】由题意结合三角函数的定义可得tanα=-，tanβ=，由两角和的正切公式可得tan(α+β)===.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知sinα=，α为第二象限角，且tan(α+β)=1，求tanβ的值. 【解析】由sinα=，α为第二象限角，得cosα=-，则tanα=-，所以tanβ=tan[(α+β)-α]===7.10.已知tan(π+α)=-，tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值.(2)求tanβ的值.【解析】(1)因为tan(π+α)=-，所以tanα=-，因为tan(α+β)==，所以tan(α+β)==.(2)因为tanβ=tan[(α+β)-α]=，所以tanβ==.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若α=20°，β=25°，则(1+tanα)(1+tanβ)的值为( )A.1B.2C.1+D.1+【解析】选B.因为tan 45°=tan(20°+25°)==1，所以tan 20°+tan 25°=1-tan 20°tan 25°，所以(1+tanα)(1+tanβ)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°·tan 25°=1+1-tan 20°tan 25°+tan 20°tan 25°=2.2.若tanα=lg(10a)，tanβ=lg，且α+β=，则实数a的值为( )A.1B.C.1或D.1或10【解析】选C.因为tan(α+β)=1，所以==1.所以lg10+lga -lga=1-(lg10+lga)(-lga)所以(lga)2+lga=0，所以lga=0或lga=-1，即a=1或.【误区警示】解答本题容易因为对数运算性质应用不当导致运算错误.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·开远高一检测)已知cosθ=-，θ∈，则tan=________. 【解析】因为cosθ=-，θ∈，所以sinθ=-=-，所以tanθ==.所以tan===-.答案：-4.若α+β=，tanα+(tanαtanβ+c)=0(c为常数)，则tanβ=________.【解析】因为α+β=，所以tan(α+β)==，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=，所以tanα+tanαtanβ+c=-tanβ+c=0，所以tanβ=(c+1).答案：(c+1)三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·吉林高一检测)设α，β∈，tanα，tanβ是一元二次方程x2+3x+4=0的两个根，求α+β的值.【解析】由根与系数的关系得：所以tan(α+β)===.又由α，β∈，且tanα<0，tanβ<0(因为tanα+tanβ<0，tanαtanβ>0)得α+β∈(-π，0)，所以α+β=-.6.已知tan=2，tanβ=，(1)求tanα的值.(2)求的值.【解题指南】(1)利用两角和的正切公式将tan=2左边展开，转化为关于tanα的方程求tanα.(2)先用两角和的正弦和余弦公式展开化简原式，然后利用同角三角函数的商关系转化为两角差的正切，并用公式求值.【解析】(1)因为tan=2，所以=2，所以=2，解得tanα=.(2)====tan===.。
2021年高考数学 3.5同角三角函数的基本关系式与两角和与差的三角函数课时提升作业 理 北师大版
2021年高考数学 3.5同角三角函数的基本关系式与两角和与差的三角函数课时提升作业理北师大版一、选择题1.(xx·安庆模拟)已知=-,那么的值是( )(A) (B)- (C)2 (D)-22.(xx·九江模拟)已知cos(π+x)=,x∈(π,2π),则tanx等于( )(A)- (B)- (C) (D)3.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则θ为( )(A)kπ(k∈Z) (B)kπ+(k∈Z)(C)kπ+(k∈Z) (D)-kπ-(k∈Z)4.(xx·渭南模拟)若x=是f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)图像的一条对称轴,当ω取最小值时( )(A)f(x)在(0,)上是增加的(B)f(x)在(-,)上是减少的(C)f(x)在(0,)上是减少的(D)f(x)在(-,)上是增加的5.(xx·延安模拟)若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为( )(A)1 (B)2 (C)+1 (D)+26.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=( )(A) (B)-(C) (D)-二、填空题7.(xx·阜阳模拟)已知cos(-100°)=m,则tan80°= .8.已知函数f(x)=sinx-cosx,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围是.9.已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),则tanβ的最大值是.三、解答题10.已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x-),x∈R.(1)求f(x)最小正周期和最小值.(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求证:[f(β)]2-2=0.11.(能力挑战题)已知幂函数g(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是增加的,又f(x)=sinx+mcosx,F(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1,f′(x)是f(x)的导函数.(1)若tanx=,求F(x)的值.(2)把F(x)图像的横坐标缩短为原来的一半后得到H(x),求H(x)的递减区间.12.(1)①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(2)已知cosα=-,α∈(π,π),tanβ=-,β∈(,π),求cos(α+β).1.【解析】选A.设=t,则=,∴·=-,∴-===-1,∴t=,即=.2.【解析】选D.∵cos(π+x)=-cosx=,∴cosx=-,又π<x<2π,∴sinx=-=-,∴tanx==.3.【解析】选D.由已知得,f(x)=2[cos(3x-θ)-sin(3x-θ)]=2sin(-3x+θ)=-2sin(3x--θ).∵f(x)是奇函数,∴--θ=kπ(k∈Z).故θ=-kπ-(k∈Z).4.【解析】选D.f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+),由x=是y=f(x)的一条对称轴知ω+=kπ+(k∈Z),所以ω=6k+2(k∈Z),又ω>0,故ω的最小值为2,此时f(x)=2sin(2x+).当x∈(0,)时,2x+∈(,π),故f(x)不单调,故A,C错误;当x∈(-,)时,2x+∈(-,),故f(x)是增加的,故D正确,B错误.5.【解析】选B.y=(1+tanx)cosx=cosx+sinx=2sin(x+),由0≤x<,得≤x+<,故当x=时,有最大值2.6.【解析】选C.对于cos(α+)=cos[(+α)-(-)]=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-),而+α∈(,),-∈(,),因此sin(+α)=,sin(-)=,则cos(α+)=×+×=.7.【解析】cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=m,∴cos 80°=-m,∴m<0,∴sin80°==,∴tan80°==-.答案:-8.【解析】f(x)=sinx-cosx=2sin(x-),由f(x)≥1,得sin(x-)≥,∴2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),∴2kπ+≤x≤2kπ+π(k∈Z).答案:[2kπ+,2kπ+π](k∈Z)9.【解析】由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得sin(α+β)cosα=2cos(α∴tan(α+β)=2tanα,∴tanβ=tan(α+β-α)===.由题意知,tanα>0,∴+2tanα≥2(当且仅当=2tanα,即tanα=时等号成立),∴tanβ的最大值为=.答案:【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用(1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用.(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换,出现和或差的形式,即出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,分子分母同除,切函数化成弦函数等技巧.10.【思路点拨】(1)将f(x)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式求解.(2)由条件求得β的值后再证明.【解析】(1)f(x)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin=sinx-cosx=2sin(x-),∴f(x)的最小正周期T=2π,最小值f(x)min=-2.(2)由已知得cosαcosβ+sinαsinβ=,cosαcosβ-sinαsinβ=-,两式相加得2cosαcosβ=0,∵0<α<β≤,∴cosβ=0,则β=,∴[f(β)]2-2=4sin2-2=0.【变式备选】函数f(x)=sin2x--.(1)若x∈[,],求函数f(x)的最值及对应的x的值.(2)若不等式[f(x)-m]2<1在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)=sin 2x--=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,∵x∈[,],∴≤2x-≤,当2x-=,即x=时,f(x)max=0,当2x-=,即x=时,f(x)min=-.(2)方法一:∵[f(x)-m]2<1(x∈[,])f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[,]),∴m>f(x)max-1且m<f(x)min+1,故m的取值范围为(-1,).方法二:∵[f(x)-m]2<1m-1<f(x)<m+1,∴m-1<-且m+1>0,故-1<m<,故m的取值范围是(-1,).11.【思路点拨】由函数为偶函数求得m,进而得f(x)及f′(x),然后根据条件求解.【解析】(1)幂函数g(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是增加的,-m2+2m+3>0⇒-1<m<3,又m∈Z,函数g(x)为偶函数,故m=1.∴f(x)=sinx+cosx,f′(x)=cosx-sinx,∴F(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1=2(cosx-sinx)cosx-1=cos 2x-sin 2x=-=-=.(2)由(1)知:F(x)=cos 2x-sin 2x=cos(2x+),∴H(x)=cos(4x+).令2kπ≤4x+≤2kπ+π,k∈Z得:-≤x≤+,k∈Z,∴H(x)的递减区间为[-,+](k∈Z).12.【思路点拨】(1)①建立坐标系,利用两点间的距离公式证明;②利用诱导公式及两角和的余弦公式证明.(2)直接利用公式求解.【解析】(1)①如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox轴非负半轴,交☉O于点P1,终边交☉O于点P2;角β的始边为OP2,终边交☉O于点P3,角-β的始边为OP1,终边交☉O于点P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2,展开并整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ).∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.②由①易得,cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα.sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)=sinαcosβ+cosαsinβ.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(2)∵α∈(π,π),cosα=-,∴sinα=-.∵β∈(,π),tanβ=-,∴cosβ=-,sinβ=.cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-)×(-)-(-)×=.29930 74EA 瓪 %40561 9E71 鹱•26442 674A 杊20107 4E8B 事Y26358 66F6 曶B33671 8387 莇[#30545 7751 睑31885 7C8D 粍。
2021年高考数学 3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时提升作业 文 新人教A版
2021年高考数学 3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时提升作业 文 新人教A版一、选择题1.函数f(x)=1-2sin 2x 是( )（A ）最小正周期为2π的奇函数（B ）最小正周期为2π的偶函数（C ）最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数2.（xx ·揭阳模拟）在△ABC 中，tan A+tan B+=tan A ·tan B ，则C 等于( ) 2A B C D 3364ππππ（）（）（）（）3.若tan α=lg(10a),tan β=lg,且α+β=,则实数a 的值为( )（A ）1 （B ）（C ）1或 （D ）1或104.函数f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数，则θ为( )（A ）k π(k ∈Z) （B ）k π+ (k ∈Z)（C ）k π+(k ∈Z) （D ）-k π- (k ∈Z)5.已知cos α=,cos(α+β)=- ,且α，β∈(0,)，则cos(α-β)的值等于( )()()()()11123A B C D 22327- -6.（xx ·湛江模拟）若钝角α满足cos α=-,则tan()的值为( )（A）3 （B）-3 （C）（D）-二、填空题7.化简:sin2x+2sin xcos x+3cos2x=_______.8.（xx·泰州模拟）已知sin α=,cos β=,其中α,β∈(0,)，则α+β=_______.9.（能力挑战题）已知：0°＜α＜90°,0°＜α+β＜90°,3sin β=sin(2α+β),则tan β的最大值是________.三、解答题10.（xx·惠州模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω＞0,0≤≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f(x)的解析式.(2)若α∈(-,),f(α+)=,求sin(2α+)的值.11.（xx·中山模拟）已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω＞0,0＜＜π)的最小正周期为π，且f()=.（1）求ω, 的值.（2）若f()=- (0＜α＜π),求cos 2α.12.(能力挑战题)函数f(x)=(1)若x∈［,］，求函数f(x)的最值及对应的x的值.(2)若不等式［f(x)-m］2＜1在x∈［, ］上恒成立，求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选D.∵f(x)=1-2sin2x=cos 2x,∴T==π.∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.2.【解析】选A.由题意得，tan A+tan B=-（1-tan Atan B），∴,即tan(A+B)=- ,∴tan C=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)= ,∵0＜C＜π,∴C=.3.【思路点拨】利用两角和的正切公式求出tan(α+β)的值，然后转化成关于lg a的一元二次方程求得lg a的值，进而求出a的值.【解析】选C.tan(α+β)=1⇒⇒lg2a+lg a=0,所以lg a=0或-1,即a=1或.4.【解析】选D.由已知得，f(x)=2［cos(3x-θ)-sin(3x-θ)］=2sin(-3x+θ)=-2sin(3x--θ).∵f(x)是奇函数，∴--θ=kπ,k∈Z.故θ=-kπ-,k∈Z.5.【解析】选D.∵α∈(0, ),∴2α∈(0,π).∵cos α=,∴cos 2α=2cos2α-1=-,∴sin 2α=∵α，β∈(0,),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=∴cos(α-β)=cos［2α-(α+β)］=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)6.【解析】选B.∵cos α=-,α∈(,π),∴sin α=, tan α=-,∵=-tan(α+)=-tan［2()］=∵α∈(,π),∴7.【解析】原式=2sin xcos x+2cos2x+cos2x+sin2x =sin 2x+1+cos 2x+1=sin(2x+)+2答案：sin(2x+)+28.【解析】∵α,β∈(0, ),sin α=,cos β=，∴cos α=,sin β=.∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=0.∵α,β∈(0, ),∴0＜α+β＜π.∴α+β=.答案：9.【解析】由3sin β=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)，化简得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α,∴tan(α+β)=2tan α,∴tan β=tan(α+β-α)==由题意知，tan α＞0,∴+2tan α≥2（当且仅当=2tan α,即tan α=时等号成立），∴tan β的最大值为.答案：【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用(1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键，公式可以正用、逆用、变形应用.(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换，出现和或差的形式，即出现能逆用公式的条件；有时通过两式平方相加减,利用平方关系式，切函数化成弦函数等技巧.10.【解析】(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π,∴T=2π,则ω= =1.∴f(x)=sin(x+).∵f(x)是偶函数，∴=kπ+ (k∈Z),又0≤≤π,∴=.则f(x)=cos x.(2)由已知得cos(α+)=,∵α∈(-,),∴α+∈(0,).则sin(α+)=.∴sin(2α+)=-sin(2α+)=-2sin(α+)cos(α+)=-.11.【思路点拨】（1）利用T=得ω,利用f()得.(2)利用f()=-代入解析式f(x)并化简，再构造角即可求cos 2α.【解析】（1）由函数的最小正周期为π，可知=π,所以ω=2.又由f()=,得2sin()=,所以cos =,又∈(0,π),所以=.(2)由f()=-，得sin(α+)=-.因为α∈(0,π),所以α+∈(,),又sin(α+)=-＜0,所以cos(α+)=-,所以cos 2α=sin(+2α)=2sin(+α)cos(+α)=.【变式备选】若向量m=(sin ωx,0)，n=(cos ωx,-sin ωx)(ω＞0)，在函数f(x)=m·(m+n)+t的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当x∈［0,］时，f(x)的最大值为1.（1）求函数f(x)的解析式.（2）求函数f(x)的单调递增区间.【解析】（1）由题意得f(x)=m·(m+n)+t=m2+m·n+t=3sin2ωx+sin ωx·cos ωx+t=-cos 2ωx+sin 2ωx+t=sin(2ωx-)+ +t.∵对称中心到对称轴的最小距离为，∴f(x)的最小正周期为T=π.∴=π,∴ω=1.∴f(x)= sin(2x-)++t,当x∈［0, ］时，2x-∈［-,］，∴当2x-=，即x=时,f(x)取得最大值3+t.=1,∵当x∈［0, ］时，f(x)max∴3+t=1,∴t=-2,∴f(x)= sin(2x-)-.(2)由（1）知-.2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,2kπ-≤2x≤2kπ+π,kπ-≤x≤kπ+π,∴函数f(x)的单调递增区间为［kπ-,kπ+π］(k∈Z).12.【思路点拨】（1）先利用所学公式把f(x)变换成f(x)=Asin(ωx+)+b的形式.利用所给x 的范围，求得最值及对应x的值.（2）利用不等式变换转化成不等式恒成立问题求解.【解析】(1)f(x)= sin 2x-=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,∵x∈［,］,∴≤2x-≤,当2x-=，即x=时，f(x)=0,max=-.当2x-=，即x=时，f(x)min(2)方法一：∵［f(x)-m］2＜1（x∈［,］）⇔f(x)-1＜m＜f(x)+1(x∈［,］),∴m＞f(x)max -1且m＜f(x)min+1,故m的取值范围为（-1，）.方法二：∵［f(x)-m］2＜1⇔m-1＜f(x)＜m+1,∴m-1＜-且m+1＞0,故-1＜m＜,故m的取值范围是(-1, ).28780 706C 灬20659 50B3 傳24315 5EFB 廻 Z du24146 5E52 幒 x^i。
高考数学 3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时提
【全程复习方略】（广东专用）2014高考数学 3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时提升作业 文 新人教A 版一、选择题1.函数f(x)=1-2sin 2x 是( )（A ）最小正周期为2π的奇函数（B ）最小正周期为2π的偶函数（C ）最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数2.（2013·揭阳模拟）在△ABC 中，·tan B ，则C 等于( ) 2A B C D 3364ππππ （）（）（）（） 3.若tan α=lg(10a),tan β=lg 1a ,且α+β=4π,则实数a 的值为( ) （A ）1 （B ）110（C ）1或110（D ）1或104.函数θ)-sin(3x-θ)是奇函数，则θ为( )（A ）k π(k ∈Z) （B ）k π+6π (k ∈Z) （C ）k π+3π(k ∈Z) （D ）-k π-3π (k ∈Z) 5.已知cos α=13,cos(α+β)=- 13,且α，β∈(0,2π)，则cos(α-β)的值等于( ) ()()()()11123A B C D 22327- - 6.（2013·湛江模拟）若钝角α满足cos α=-35,则tan(24απ+)的值为( ) （A ）3 （B ）-3 （C ）13 （D ）-13 二、填空题7.化简:sin 2x+2sin xcos x+3cos 2x=_______.8.（2013·泰州模拟）已知sin α=35,cos β=35,其中α,β∈(0,2π)，则α+β=_______. 9.（能力挑战题）已知：0°＜α＜90°,0°＜α+β＜90°,3sin β=sin(2α+β),则tan β的最大值是________.三、解答题10.（2013·惠州模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω＞0,0≤ϕ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f(x)的解析式.(2)若α∈(-3π,2π),f(α+3π)=13,求sin(2α+53π)的值.11.（2013·中山模拟）已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω＞0,0＜ϕ＜π)的最小正周期为π，且f(4π. （1）求ω, ϕ的值.（2）若f(2α)=-65 (0＜α＜π),求cos 2α.12.(能力挑战题)函数f(x)=1cos 2x 1.222+-- (1)若x ∈［4π,2π］，求函数f(x)的最值及对应的x 的值. (2)若不等式［f(x)-m ］2＜1在x ∈［4π, 2π］上恒成立，求实数m 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.∵f(x)=1-2sin 2x=cos 2x,∴T=222ππ=ω=π. ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.2.【解析】选A.由题意得，1-tan Atan B ），∴tan A tan B 1tan Atan B+=-即,∴tan C=tan ［π-(A+B)］∵0＜C ＜π,∴C=3π. 3.【思路点拨】利用两角和的正切公式求出tan(α+β)的值，然后转化成关于lg a 的一元二次方程求得lg a 的值，进而求出a 的值.【解析】选C.tan(α+β)=1⇒tan tan 1tan tan α+β-αβ 1lg(10a)lg a 111lg(10a)lg a+==-g ⇒lg 2a+lg a=0,所以lg a=0或-1,即a=1或110.4.【解析】选D.由已知得，f(x)=2［2cos(3x-θ)-12sin(3x-θ)］=2sin(3π-3x+θ) =-2sin(3x-3π-θ).∵f(x)是奇函数，∴-3π-θ=k π,k ∈Z.故θ=-k π-3π,k ∈Z.5.【解析】选D.∵α∈(0, 2π),∴2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos 2α=2cos 2α-1=-79,∴sin 2α9=∵α，β∈(0,2π),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β=∴cos(α-β)=cos ［2α-(α+β)］=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)7123()().939327=-⨯-+=6.【解析】选B.∵cos α=-35,α∈(2π,π),∴sin α=45,tan α=-43,∵1tan α=-tan(α+2π)=-tan ［2(24απ+)］=22tan()324,41tan ()24απ+-=-απ-+∵α∈(2π,π), ∴3(,),tan() 3.242424απππαπ+∈∴+=- 7.【解析】原式=2sin xcos x+2cos 2x+cos 2x+sin 2x=sin 2x+1+cos 2x+1sin(2x+4π)+2sin(2x+4π)+2 8.【解析】∵α,β∈(0,2π),sin α=35,cos β=35， ∴cos α=45,sin β=45. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =45×35-35×45=0. ∵α,β∈(0, 2π),∴0＜α+β＜π. ∴α+β=2π. 答案：2π 9.【解析】由3sin β=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)，化简得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α,∴tan(α+β)=2tan α,∴tan β=tan(α+β-α)=tan()tan 1tan()tan α+β-α+α+βα=2tan 1.112tan 2tan tan α=+α+αα由题意知，tan α＞0, ∴1tan α+2tan α≥（当且仅当1tan α=2tan α,即tan α=2时等号成立）， ∴tan4=.答案：4【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用(1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键，公式可以正用、逆用、变形应用.(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换，出现和或差的形式，即出现能逆用公式的条件；有时通过两式平方相加减,利用平方关系式，切函数化成弦函数等技巧.10.【解析】(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π,∴T=2π,则ω=2T π=1.∴f(x)=sin(x+ϕ).∵f(x)是偶函数，∴ϕ=k π+2π(k ∈Z),又0≤ϕ≤π,∴ϕ=2π.则f(x)=cos x.(2)由已知得cos(α+3π)=13,∵α∈(-3π,2π),∴α+3π∈(0,56π).则sin(α+3π)=3.∴sin(2α+53π)=-sin(2α+23π)=-2sin(α+3π)cos(α+3π)=-9.11.【思路点拨】（1）利用T=2πω得ω,利用f(4π)=ϕ.(2)利用f(2α)=-65代入解析式f(x)并化简，再构造角即可求cos 2α.【解析】（1）由函数的最小正周期为π，可知2πω=π,所以ω=2.又由f(4π,得2sin(2π+ϕ,所以cos ϕ=2,又ϕ∈(0,π),所以ϕ=4π.(2)由f(2α)=-65，得sin(α+4π)=-35. 因为α∈(0,π),所以α+4π∈(4π,54π),又sin(α+4π)=-35＜0, 所以cos(α+4π)=-45, 所以cos 2α=sin(2π+2α)=2sin(4π+α)cos(4π+α)=2425.【变式备选】若向量m sin ωx,0)，n =(cos ωx,-sin ωx)(ω＞0)，在函数f(x)=m ·(m +n )+t 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当x ∈［0,3π］时，f(x)的最大值为1.（1）求函数f(x)的解析式.（2）求函数f(x)的单调递增区间.【解析】（1）由题意得f(x)=m ·(m +n )+t=m 2+m ·n +t=3sin 2ωsin ωx · cos ωx+t=32-32cos 2ωωx+tωx-3π)+ 32+t. ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π， ∴f(x)的最小正周期为T=π. ∴22πω=π,∴ω=1.∴3π)+32+t, 当x ∈［0, 3π］时，2x-3π∈［-3π,3π］， ∴当2x-3π=3π，即x=3π时, f(x)取得最大值3+t.∵当x ∈［0, 3π］时，f(x)max =1, ∴3+t=1,∴t=-2,∴3π)-12.(2)由（1）知()f x )3π=--12. 2k π-2π≤2x-3π≤2k π+2π,k ∈Z, 2k π-6π≤2x ≤2k π+56π,k π-12π≤x ≤k π+512π, ∴函数f(x)的单调递增区间为［k π-12π,k π+512π］(k ∈Z). 12.【思路点拨】（1）先利用所学公式把f(x)变换成f(x)=Asin(ωx+ϕ)+b 的形式.利用所给x 的范围，求得最值及对应x 的值.（2）利用不等式变换转化成不等式恒成立问题求解.【解析】 sin 2x-1cos 2x 122+-=2sin 2x-12cos 2x-1=sin(2x-6π)-1,∵x ∈［4π,2π］,∴3π≤2x-6π≤56π,当2x-6π=2π，即x=3π时，f(x)max =0,当2x-6π=56π，即x=2π时，f(x)min =-12.(2)方法一：∵［f(x)-m ］2＜1（x ∈［4π,2π］）⇔f(x)-1＜m ＜f(x)+1(x ∈ ［4π,2π］),∴m ＞f(x)max -1且m ＜f(x)min +1,故m 的取值范围为（-1，12）.方法二：∵［f(x)-m ］2＜1⇔m-1＜f(x)＜m+1,∴m-1＜-12且m+1＞0,故-1＜m ＜12,故m 的取值范围是(-1, 12).。
高中数学精讲优练课型第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时提升作业新人教版
课时提升作业(二十七)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·天津高一检测)若tanα=3，tanβ=，则tan(α-β)=( )A.-3B.-C.3D.【解析】选D.tan(α-β)===.【补偿训练】已知tanα=，tanβ=，并且α，β均为锐角，则α+2β的值为( ) A. B. C. D.【解析】选A.因为tanα=<1，tanβ=<1，且α、β均为锐角，所以0<α<，0<β<.所以0<α+2β<.又tan2β==，所以tan(α+2β)===1.所以α+2β=.2.已知tan=2，tan=，则tan(α+β)=( )A.8B.C.12D.【解析】选C.因为tan=2，tan=，所以tan(α+β)=tan===12.3.tan10°tan20°+(tan10°+tan20°)的值等于( )A. B.1 C. D.【解析】选B.因为=tan30°=，所以tan10°+tan20°=(1-tan10°tan20°).所以原式=tan10°tan20°+1-tan10°tan20°=1.【补偿训练】已知tanα+tanβ=2，tan(α+β)=4，则tanα·tanβ=________.【解析】因为tan(α+β)=，所以1-tanαtanβ===，所以tanα·tanβ=1-=.答案：4.(2015·绵阳高一检测)设向量a=(cosα，-1)，b=(2，sinα)，若a⊥b，则tan等于( )A.-B.C.-3D.3【解析】选B.因为a⊥b，所以a·b=(cosα，-1)·(2，sinα)=2cosα-sinα=0，所以tanα==2，所以tan===.5.在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不能确定【解题指南】可借助公式T(α±β)，也可以采用切化弦求解.【解析】选B.由条件知，tanB>0，tanC>0，1-tanBtanC>0，所以tan(B+C)=>0.所以B+C为锐角，从而A为钝角.【一题多解】选B.因为0<tanBtanC<1，所以B，C均为锐角，所以<1，所以cos(B+C)>0，所以cosA<0，所以A为钝角.二、填空题(每小题5分，共15分)6.tan105°=________.【解析】tan105°=tan(60°+45°)======-2-.答案：-2-【补偿训练】=________.【解析】原式===tan(45°-15°)=tan30°=.答案：7.(2015·江苏高考)已知tanα=-2，tan(α+β)=，则tanβ的值为________.【解题指南】将β作为β=(α+β)-α，利用两角差的正切公式求解.【解析】tanβ=tan[(α+β)-α]=.因为tanα=-2，tan(α+β)=，所以上式==3.答案：3【补偿训练】若tan(α+β)=，tan =，则tan=________.【解析】因为α+=(α+β)-，所以tan =tan=tan()tan()41tan()tan()4πα+β-β-π+α+ββ-==.答案：8.在平面直角坐标系xOy中，已知以x轴非负半轴为始边的角α，β的终边分别经过点(-4，3)，(3，4)，则tan(α+β)=________.【解析】由题意结合三角函数的定义可得tanα=-，tanβ=，由两角和的正切公式可得tan(α+β)===.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知sinα=，α为第二象限角，且tan(α+β)=1，求tanβ的值.【解析】由sinα=，α为第二象限角，得cosα=-，则tanα=-，所以tanβ=tan[(α+β)-α]===7.10.已知tan(π+α)=-，tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值.(2)求tanβ的值.【解析】(1)因为tan(π+α)=-，所以tanα=-，因为tan(α+β)==，所以tan(α+β)==.(2)因为tanβ=tan[(α+β)-α]=，所以tanβ==.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若α=20°，β=25°，则(1+tanα)(1+tanβ)的值为( )A.1B.2C.1+D.1+【解析】选B.因为tan 45°=tan(20°+25°)==1，所以tan 20°+tan 25°=1-tan 20°tan 25°，所以(1+tanα)(1+tanβ)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°·tan 25°=1+1-tan 20°tan 25°+tan 20°tan 25°=2.2.若tanα=lg(10a)，tanβ=lg，且α+β=，则实数a的值为( )A.1B.C.1或D.1或10【解析】选C.因为tan(α+β)=1，所以==1.所以lg10+lga -lga=1-(lg10+lga)(-lga)所以(lga)2+lga=0，所以lga=0或lga=-1，即a=1或.【误区警示】解答本题容易因为对数运算性质应用不当导致运算错误.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·开远高一检测)已知cosθ=-，θ∈，则tan=________. 【解析】因为cosθ=-，θ∈，所以sinθ=-=-，所以tanθ==.所以tan===-.答案：-4.若α+β=，tanα+(tanαtanβ+c)=0(c为常数)，则tanβ=________.【解析】因为α+β=，所以tan(α+β)==，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=，所以tanα+tanαtanβ+c=-tanβ+c=0，所以tanβ=(c+1).答案：(c+1)三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·吉林高一检测)设α，β∈，tanα，tanβ是一元二次方程x2+3x+4=0的两个根，求α+β的值.【解析】由根与系数的关系得：所以tan(α+β)===.又由α，β∈，且tanα<0，tanβ<0(因为tanα+tanβ<0，tanαtanβ>0)得α+β∈(-π，0)，所以α+β=-.6.已知tan=2，tanβ=，(1)求tanα的值.(2)求的值.【解题指南】(1)利用两角和的正切公式将tan=2左边展开，转化为关于tanα的方程求tanα.(2)先用两角和的正弦和余弦公式展开化简原式，然后利用同角三角函数的商关系转化为两角差的正切，并用公式求值.【解析】(1)因为tan=2，所以=2，所以=2，解得tanα=.(2)====tan===.。
高考数学总复习 3.5两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版
高考数学总复习 3.5两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式提高分课时作业（含2013年模拟题） 新人教A 版【考点排查表】考查考点及角度 难度及题号 错题记录基础 中档 稍难 两角和与差的三角函数 28,911二倍角的三角函数 1,3 6,7,10 12角的变换及求角问题4 5 13一、选择题1．(2011·辽宁高考)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79. 【答案】 A 2.2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A.12B.32 C.3D. 2【解析】 原式＝2cos 30°－20°－sin20°sin70°＝ 3.【答案】 C3.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是( ) A ．4cos 4－2sin 4B ．2sin 4 C ．2sin 4－4cos 4 D ．－2sin 4 【解析】 原式＝4cos 24＋2sin 4－cos 42＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|， ∵5π4＜4＜3π2，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4. ∴原式＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4. 【答案】 D 4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6【解析】∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∵cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，sin α＝55， ∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝255， ∴sin β＝sin[ α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4.【答案】 C5．已知A 、B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B 等于( ) A.5π4B.7π4 C.5π4或7π4 D.9π4【解析】 由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22， 又∵π2＜A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，∴A ＋B ＝7π4. 【答案】B6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α的值为()A.13B ．－13 C.79D ．－79【解析】∵c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，故c os ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79. 【答案】 D 二、填空题7. (2013·临沂模拟)在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C2＋cos 2A 的值为________．【解析】 sin2B ＋C2＋cos 2A ＝sin2π－A 2＋cos 2A ＝cos 2A 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝2cos 2A ＋12cos A －12，代入cos A ＝13可得．【答案】 －198．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．【解析】 原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30° ＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30° ＝tan 45°＝1. 【答案】19．已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)的值为________．【解析】 由a ·b ＝25，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝25，即1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，即sin α＝35.又α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34，∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.【答案】17三、解答题10．(2013·衡阳模拟)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．【解】 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4.∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105，两边平方并整理得1＋sin α＝85.∴sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.∴cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45. ∴tan α＝sin αcos α＝34.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β ≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.【解】 (1)f (x )＝sin x cos 7π4＋cos x sin 7π4＋cos x cos 3π4＋sin x sin 3π4＝2sin x－2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴f (x )的最小正周期T ＝2π，最小值f (x )min ＝－2. (2)证明：由已知得cos αcos β＋sin αsin β＝45，cos αcos β－sin αsin β＝－45，两式相加得 2cos αcos β＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴cos β＝0，则β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.12．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．【解】 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α2cos 2α－1cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1可得sin 2α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010.四、选做题13．已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(12，－12)． (1)若a ·b ＝22，a ·c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值．【解】 (1)∵a ·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)＝22，① a ·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14，② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12， ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝2tan αtan 2α＋1＝34，∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. ∴tan α＝8± 82－4×3×36＝8±286＝4±73. 又∵cos α－sin α＝12，∴cos α＞sin α， 又∵α为锐角， ∴0＜tan α＜1， ∴tan α＝4－73.。
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两角和、差及倍角公式
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.sin163°sin223°+sin253°sin313°= ( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.sin163°sin223°+sin253°sin313°=
-sin17°cos47°+cos17°sin47°
=sin=.
【加固训练】
(2016·广州模拟)= ( )
A. B. C.2 D.
【解析】选C.==2.
2.已知α∈,sinα=,则tan等于( )
A. B.7 C.- D.-7
【解析】选A.因为α∈,sinα=,所以cosα=-,所以tanα=-,所以tan ===.
3.(2016·咸阳模拟)函数f=sinx-cos的值域为( )
A.[-2,2]
B.[-,]
C.[-1,1]
D.
【解析】选B.因为f=sinx-cos
=sinx-
=sinx-cosx=sin,
所以值域为[-,].
【一题多解】本题还可以采用如下解法:
选B.方法一:因为f=sinx-cos
=sinx-sin=2cos sin
=sin∈.
方法二:因为f=sinx-cos
=sin-cos
=sin cos-cos sin-cos
=sin-cos
=sin,
所以值域为[-,].
4.设tan(α+β)=,tan=,则tan的值是( )
A. B. C. D.
【解析】选B.tan
=tan
=
==.
5.(2016·武汉模拟)已知α为第三象限的角,cos2α=-,则tan
= ( )
A.-
B.
C.7
D.-7
【解析】选A.因为α为第三象限的角,
所以2α∈(2(2k+1)π,π+2(2k+1)π)(k∈Z),
又因为cos2α=-<0,
所以2α∈(k∈Z),
于是有sin2α=,tan2α==-,
所以tan===-.
6.已知tan=,则tanα等于( )
A.-
B.-1
C.-
D.
【解析】选C.tanα=tan
===-.
7.若=,则tan2α等于( )
A. B.- C. D.-
【解析】选D.因为===,所以tanα=2,所以tan2α===-. 【加固训练】已知=1,tan(β-α)=-,则tan(β-2α)= .
【解析】因为=1,所以2tanα=1,即tanα=.所以tan(β-2α)=
tan(β-α-α)===-1.
答案:-1
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,则cosβ的值为. 【解析】因为α∈,α+β∈,cosα=,cos(α+β)=-,
所以sinα===,
sin(α+β)===.
所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=. 答案:
9.设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α的值是.
【解析】根据题意sin2α=-sinα,可得2sinαcosα=-sinα,可得cosα=-,
tanα=-,所以tan2α===.
答案:
10.函数f=sin-2sinφcos的最大值为.
【解析】因为f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)·cosφ+cos(x+φ)·sinφ-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)·cosφ-cos(x+φ)·sinφ
=sinx≤1.所以最大值为1.
答案:1
(20分钟40分)
1.(5分)(2016·南昌模拟)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的
是( )
A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称
B.y=f(x)的图象关于x=对称
C.f(x)的最大值为
D.f(x)既是奇函数,又是周期函数
【解析】选C.f(x)=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx-2sin3x,
令t=sinx,-1≤t≤1,则g(t)=2t-2t3,
g′(t)=2-6t2,令g′(t)=2-6t2=0,解得
t=-或t=.比较两个极值点和两个端点,
g(-1)=0,g(1)=0,g<0,
g=,f(x)的最大值为,故C错误.
2.(5分)(2016·惠州模拟)计算4cos50°-tan40°= ( )
A. B. C. D.2-1
【解题提示】先切化弦,然后通分化简求解即可.
【解析】选C.
4cos50°-tan40°=4cos50°-
=
==
=
==.
【加固训练】tan20°+4sin20°= .
【解析】tan20°+4sin20°
=
=
=
==.
答案:
3.(5分)(2016·九江模拟)已知函数f(x)=cos,x∈R,若cosθ=,
θ∈,则f的值为.
【解析】f=cos=cos=cos2θ-sin2θ,若cosθ=,θ∈,则sinθ=-,
cos2θ=2cos2θ-1=-,
sin2θ=2sinθcosθ=-,
所以f=cos2θ-sin2θ=.
答案:
【加固训练】(2016·抚州模拟)已知α,β∈,sin(α+β)=-,
sin=,则cos= .
【解析】由已知α,β∈,
得α+β∈,β-∈,
所以cos>0,cos<0,
所以cos=,cos=-,
所以cos=cos
=cos cos+sin sin
=×+×=-.
答案:-
4.(12分)(2016·重庆模拟)已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π),x∈R的最大值是1,其图象经过点M.
(1)求f(x)的解析式.
(2)已知α,β∈,且f(α)=,f(β)=,求f(α-β)的值.
【解析】(1)依题意有A=1,则f(x)=sin(x+φ),将点M代入得sin=,而0<φ<π,所以+φ=π,所以φ=,
故f(x)=sin=cosx.
(2)依题意有cosα=,cosβ=,而α,β∈,所以sinα==,
sinβ==,
f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=.
5.(13分)已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.
(1)求A的值.
(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈,求f.
【解题提示】(1)属于给角求值问题,把代入解析式求解A.
(2)可利用两角和与差的正弦和诱导公式及同角三角函数的关系求解. 【解析】(1)由f=Asin
=Asin=A=可得A=3.
(2)f(θ)-f(-θ)=,
则3sin-3sin=,
3-3=,sinθ=. 因为θ∈,所以cosθ=,
f=3sin=3sin
=3cosθ=.
【加固训练】(2016·洛阳模拟)已知<α<π,tanα+cotα=-.
(1)求tanα的值.
(2)求的值.
【解析】(1)由tanα+cotα=-得
3tan2α+10tanα+3=0,即tanα=-3或
tanα=-,又因为<α<π,
所以tanα=-.
(2)
=
=
===-.。