2020版高中数学第二章数列专题突破二数列的单调性和最大小项学案新人教B版

合集下载

第二章专题突破二数列的单调性和最大(小)项

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性．解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列．证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1 ＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数．且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *，∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项．反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值．解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ，解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为．答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1， ∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是．答案 (－11，－9)解析根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上．∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列答案 C解析令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当00)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减．又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ，当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第项．答案 5解析易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小．又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是．答案 (2,3)解析由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围．解因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n .(1)判断{a n }的单调性； (2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减， n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．解列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n≤5时数列递增；当n>5时数列递减，最大值为a5＝36，无最小值．。

第二章数列专题突破二数列的单调性和最大(小)项

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性．解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列．证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数．且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *， ∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项．反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值．解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ，解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为．答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1，∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是．答案 (－11，－9)解析根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D 解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上． ∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列答案 C解析令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当00)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减．又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ，当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第项．答案 5解析易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小．又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是．答案 (2,3)解析由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围．解因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n. (1)判断{a n }的单调性；(2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减，n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．解列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n ≤5时数列递增；当n >5时数列递减，最大值为a 5＝36，无最小值．。

2020学年高中数学第2章数列章末复习课学案新人教B版必修5(2021-2022学年)

第2章数列【例1】已知数列{n}中,n〉0，n是数列｛ｎ}的前项和，且n+＝2S n，求aｎ．［解］将a n＋错误!＝２Sｎ变形为a错误!＋１＝２S n aｎ。

将ａn＝Ｓn-Ｓn-1（n≥２)代入并化简,得S错误!-Ｓ错误!未定义书签。

＝1．由已知可求得Ｓ１=a1=1。

∴数列｛S错误!未定义书签。

｝是等差数列,公差为1,首项为1。

∴S错误!=１+（ｎ-1)·１=n．∵a n>０,∴Ｓn>0。

∴S n＝错误!未定义书签。

∴n≥2时,a n＝错误!未定义书签。

－错误!.而n=１时,a1＝1也适合上式.ﻬ∴数列｛ａn｝的通项公式为ａn=错误!未定义书签。

－n-1,ｎ∈N＋。

1.定义法．直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法,这种方法适用于已知数列类型的题目.2．已知S n求a n。

若已知数列的前n项和S n与a n的关系，求数列｛a n｝的通项aｎ可用公式a n＝错误!求解．3.由递推公式求数列通项法.（1）已知形如“a n+１＝ca n+d”的递推公式,一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求a n.(2)已知形如“aｎ+１＝ｐa n+ｐｎ＋１·q”的递推公式,一般转化为＼f（ａn＋１,p n＋1）＝错误!未定义书签。

＋q，利用＼f(a n,pｎ）为等差数列求ａn。

(3)已知形如“a n+１=a n＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求a n。

（４）已知形如“a n+1＝ｆ(n）·aｎ”的递推公式,则可考虑累乘法求a n.1.已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1－a n=3n-n,求数列{a n}的通项公式.[解]由a n+1-a n=３n-ｎ，得ａn-ａn－１=3n－1-(n－１),aｎ－1－a n－2=3n-2－（ｎ-2）,…ａ3-a2=32-2,a2－ａ1=3-1．当n≥2时,以上n－１个等式两边分别相加，得(aｎ-a n－１)＋（a n-1－aｎ－2)+…+（a2-a１)=３n－1+３ｎ-2+…+3-[（n－1)＋（n-２）+…+１]，即a n－a1＝错误!未定义书签。

2020届高中数学分册同步讲义(必修5) 第2章专题突破二数列的单调性和最大(小)项

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性．解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫－2＋3x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1 ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列．证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n ，则{a n }的最大项是( )A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6答案 C 解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数．且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *，∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项．反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值．解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ，解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ， a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立，∴k ＞⎝⎛⎭⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D 解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为．答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1， ∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是．答案 (－11，－9)解析根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是() A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是( )A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上．∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列答案 C解析令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当00)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减．又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ，当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第项．答案 5解析易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小．又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是．答案 (2,3)解析由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围．解因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n. (1)判断{a n }的单调性；(2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减，n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203， ∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．解列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n≤5时数列递增；当n>5时数列递减，最大值为a5＝36，无最小值．。

高中数学第二章《数列》全章教案新人教版必修

2.1 数列的概念与简单表示法（第 1 课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ . 课题导入三角形数： 1， 3， 6， 10，⋯正方形数： 1， 4， 9， 16， 25，⋯Ⅱ.讲授新课⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，⋯，第n 项，⋯ .例如，上述例子均是数列，其中①中，“ 4”是这个数列的第 1 项（或首项），“ 9”是这个数列中的第6项 .⒊数列的一般形式： a1 , a2 , a3 , , a n ,，或简记为 a n，其中 a n是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“1”是这个数列3的第“ 3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项111112345↓↓↓↓↓序号 1 2 3 45这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：a n 1来表示其对应关系n即：只要依次用 1， 2， 3⋯代替公式中的 n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋数列的通项公式：如果数列a n的第n项 a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0 ， 1， 0， 1， 0，⋯它的通项公式可以是a n 1 ( 1)n 1，也可以是 a n| cosn 1| .22⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项 .数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5. 数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N * （或它的有限子集 {1 ， 2，3，⋯， n} ）为定义域的函数a nf n( ) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

高考数学第二章第2节函数单调性导学案新人教版学案

005 题目：第二章函数的单调性与最值一、课标及考纲解读：函数的单调性是函数的重要的性质之一，定义的理解和图形的理解要结合起来。

关键是如何利用你学习的单调性知识处理具体的数学函数问题。

二、知识梳理1、函数的单调性的定义：单调性的定义：（1）（2） 2、单调区间的定义： 3函数的最值：（1）最大值：（2）最小值：（3）画图理解：4、判断函数单调性的方法：（1）定义法：（你举例子）（2）利用函数的运算性质：（举例子）（3）利用复合函数关系判断单调性（你举例子）例子：求函数)32(log )(22--=x x x f 的单调区间：（4）图像法：（5）奇偶性法：（6）导数法：求函数x x x x f +-=232)(的单调区间。

三、典例精析：考点一：函数单调性的判定和证明例1 证明函数：xx x f 1)(+=在()∝+,1上是增函数。

即时训练已知函数f(x)=a x+12+-x x (a ＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.考点二：复合函数单调性的判定例2求函数)32lg()(2+-=x x x f 的单调区间。

即时训练（1）求函数21)(x ax f -=的单调区间；(2) 求函数)4(log )(221x x x f -=的单调区间考点三函数的值域和最值的问题常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）例如：① 形如y ＝221x +，可采用法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用法或法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用法；④ y ＝x －x-1，可采用法；⑤ y ＝x －21x-，可采用法；⑥ y ＝xxcos 2sin -可采用法等.例3 求下列函数的最值和值域。

2020版数学人教B版必修5学案：第二章专题突破二 Word版含解析

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)． (2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法，即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2xx ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N ＋)．试判断数列的单调性．解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1.方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N ＋)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0.∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫－2＋3x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－2＋3x 2＋1＝3x 1＋1－3x 2＋1 ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n -2＋2×3n -1，n ∈N ＋.求证：{a n }为递增数列．证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n -1＋2×3n －(－3×2n -2＋2×3n -1) ＝3(2n -2－2n -1)＋2(3n －3n -1) ＝－3×2n -2＋4×3n -1＝2n -2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n -2－3， ∵n ≥1，n ∈N ＋，∴⎝⎛⎭⎫32n -2≥⎝⎛⎭⎫321-2＝23， ∴12×⎝⎛⎭⎫32n -2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n -2－3＞0，又2n -2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N ＋. ∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，则该数列前100项中的最大项与最小项的项数分别是________．答案 45,44解析 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞，2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N ＋时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n(n ∈N ＋)，则{a n }的最大项是( )A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数．且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N ＋. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数． (2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N ＋， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N ＋恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12.∴－a ＜12即a ＞－12.当n 为偶数时，a ＜1－12n .f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34.∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34.例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n +1，n ∈N ＋，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，请说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n +2－n ⎝⎛⎭⎫79n +1＝⎝⎛⎭⎫79n +1·7－2n 9，且n ∈N ＋，∴当n >3，n ∈N ＋时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N ＋时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793+1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794+1，所以第4项为最大项．反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N ＋，求{b n }的最大值．解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n +1－2n －92n ＝－2n ＋112n +1，且n ∈N ＋，∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5. 当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364.∴{b n }的最大值为b 6＝364.三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋. (1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围． (2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1) ⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N ＋⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ，解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N ＋，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1. ∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N ＋，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立，∴k ＞⎝⎛⎭⎫22n －1max ＝2，∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N ＋，则数列{a n }的最大项是( ) A ．103 B.8658 C.8258 D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，n ∈N ＋， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n -1－⎝⎛⎭⎫23n -1(n ∈N ＋)，则数列{a n }( ) A ．有最大项，没有最小项 B ．有最小项，没有最大项 C ．既有最大项又有最小项 D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n -1－⎝⎛⎭⎫23n -1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n -12－⎝⎛⎭⎫23n -1，令⎝⎛⎭⎫23n -1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n -1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( ) A ．10 B ．11 C ．10或11 D ．12 答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N ＋，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为________．答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n ≠0，∴a n a n －1＝2＞1，∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024. 5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是________．答案 (－11，－9) 解析根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0，2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列． 2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上．∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0] 答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N ＋)，a n ＝f (n )，则{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N ＋，则数列{log 0.5p n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列答案 C解析令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n +1>p n ，∴log 0.5p n +1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当00)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N ＋)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减．又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋kn ，若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12) 答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k3对任意的n ∈N ＋恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ，当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12. 二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第________项．答案 5解析易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小．又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项．10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填序号)． ①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n .答案 ①③解析可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x -6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N ＋，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．答案 (2,3)解析由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x -6，x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围．解因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N ＋恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n .(1)判断{a n }的单调性； (2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N ＋，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减， n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第________项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N ＋，所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．解列表n 1 2 3 4 5 6 78910 11 … a n20273235363532 27 2011…图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n ≤5时数列递增；当n >5时数列递减，最大值为a 5＝36，无最小值．。

高中数学第二章数列复习教案新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案

第二章数列整体设计教学分析本章知识网络本章复习建议本章教材的呈现方式决定了本章的复习方法，一方面让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用．数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式．由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们各有五个基本量：首项a1、公差d或公比q、项数n、通项a n、前n项和S n；两个基本公式——通项公式和前n项和公式将这五个基本量连接起来，应用函数与方程的思想方法，认识这些基本量的相互联系，由已知推求未知，构成了数列理论的基本框架，成为贯穿始终的主线．本章的重点是等差和等比数列的基本性质及其应用，难点是等差和等比数列的基本性质的综合应用．因此注意等差、等比数列与相应函数的关系也就成了复习的重点．数列在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一．由于数列内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，决定了数列在高考中地位的特殊性．这就要求我们在数列复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握等差与等比数列的基本性质，帮助学生自我架构数列知识框架，提高综合运用数列知识和方法的能力．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心，应弄清通项公式的意义——项数n的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值，及对数列进行一般性的研究．数列的递推式是数列的另一种表达形式，常见方法有错位相减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法，若涉及正负相间的数列求和常需分类讨论．在处理这类问题的时候要注意项数．数列一章是高中多个数学知识点的交汇，也是多个数学思想方法的聚会，因此本章教学要善于挖掘教材内容的延伸和拓展．本章小结中的题目，缺少代数、三角和几何的综合的基本练习题，在设计的例题中有所涉及．但仍不够，可再适当增加些．如三角形的三内角成等差数列等问题的探究．本章复习将分为两课时，第1课时重点是系统化本章知识结构，优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力；第2课时重点是灵活运用数列知识解决与数列有关的问题．为更好地理解教学内容，可借助信息技术复习本章内容．通过现代教育技术手段，给学生展示一个更加丰富多彩的“数列”内容．本章《新课程标准》要求是：1.数列的概念和简单表示法．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.2.等差数列、等比数列．(1)通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；(2)探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；(4)体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．三维目标1．通过本章复习，使学生理清本章知识网络，归纳整合知识系统，突出知识间内在联系，能用函数观点进一步认识数列．2．提高学生综合运用知识的能力，分析问题、解决问题的能力；培养学生自主复习及归纳的意识，激励学生思维创新．3．认识事物间的内在联系和相互转化，培养探索、创新精神．重点难点教学重点：等差数列、等比数列的概念、通项、前n项和，及它们之间的内在联系；灵活应用数列知识解决问题．教学难点：用函数的观点认识数列并用数列知识灵活解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.让学生阅读课本的小结内容．根据教材内容的呈现方式回答有关问题，同时也给学生以数列整体知识结构的记忆．由此展开新课．(幻灯片)思路 2.本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的研究，然后让学生根据本章学习的进程，回忆本章学习了哪些主要内容？用到了哪些思想方法？本章知识流程图留给学生自己操作．相比之下，这种引入对学生的思维要求较高，难度大，但却更能训练学生的创造性思维．教师可结合学生的活动出示相关多媒体课件．推进新课新知探究提出问题1怎样理解函数与数列的关系？2回忆等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质各是什么？3回忆“叠加法”“累乘法”“倒序相加法”“错位相减法”的含义是什么？4对任意数列{a n}，若前n项和为S n，则a n与S n具有怎样的关系？怎样理解这个关系式？它有哪些应用？活动：教师引导学生充分探究，自行总结，不要将归纳总结变成课堂上的独角戏，辅助课件可制成如下表格形式：数列等差数列等比数列定义通项公式递推公式性质前n项和公式点拨学生注意，重新复习数列全章更应从函数角度来认识数列，这是学好数列、居高临下地把握数列的锦囊妙计．深刻认识数列中数的有序性是数列定义的灵魂．数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时，对应的一列函数值．而数列的通项公式则是相应的函数解析式．反映到图象上，由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数，复习本章应突出数列的这一函数背景．对两类特殊数列——等差数列与等比数列的函数理解则是：等差数列是一次型函数，是最简单的递推数列；等比数列是指数型函数．它们具有函数的一般性质，都借助了数形结合的思想研究问题．关于等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的推导方法以及“叠加法”“累乘法”等，可由学生回忆并进一步理解，这里不再一一列出．教师应特别引导学生关注a n与S n的关系．对于任何数列{a n}，若前n项和为S n，则a n＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，S n －S n －1，n ＝1，n≥2，常因忽略对n ＝1的讨论或忽略n≥2这一条件而出错．这个关系式要深刻理解并灵活运用．用此关系式求a n 时，若S 1满足S n －S n －1的形式，则用统一的形式表示通项公式a n .若S 1不满足S n －S n －1的形式，则分段表示通项公式a n .因此这个关系式的应用有两个方面：既可用此式求通项公式a n ，又可将a n 转化为S n －S n －1的形式解决问题．应让学生明确用本章知识主要解决的问题是： ①对数列概念(包括通项、递推等)理解的题目；②等差数列和等比数列中五个基本量a 1，a n ，d(q)，n ，S n 知三求二的方程问题； ③数列知识在生产实际和社会生活中的应用问题．讨论结果：(1)～(4)略．应用示例例1设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，求q 的值．活动：这是一道关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的题，起点比较低，入手的路子宽．让学生独立思考，列式、求解，组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法．解法一：利用定义，∵{S n }是等差数列， ∴a n ＝S n －S n －1＝…＝S 2－S 1＝a 2. ∴a 1·qn －1＝a 1·q.∵a 1≠0，∴qn －2＝1.∴q＝1.解法二：利用性质，∵{S n }是等差数列，∴a n ＝S n －S n －1＝S n －1－S n －2＝a n －1， a 1·qn －1＝a 1·qn －2.∵a 1≠0，q≠0，∴q＝1.解法三：利用性质，∵2S 2＝S 1＋S 3，∴2(a 1＋a 2)＝a 1＋a 1＋a 2＋a 3，即a 2＝a 3.∴q＝1.点评：还可以用求和公式、反证法等．变式训练设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则 S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 答案：A解析：方法一：设等比数列的公比为q ，则S 10＝S 5＋S 5·q 5，S 15＝S 5＋S 5·q 5＋S 5·q 10，由S 10∶S 5＝1∶2，得1＋q 5＝12，q 5＝－12，∴S 15∶S 5＝1＋q 5＋q 10＝12＋14＝34.方法二：∵S 10∶S 5＝1∶2，∴S 10＝12S 5.∵(S 10－S 5)2＝(S 15－S 10)S 5， ∴(－12S 5)2＝(S 15－12S 5)S 5.∴S 15S 5＝34. 例2设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋4(n∈N *)． (1)写出这个数列的前三项；(2)证明数列除去首项后所成的数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列．活动：学生很容易解决第(1)题，第(2)题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”．(1)解：a 1＝S 1＝7，a 2＝S 2－S 1＝22＋2×2＋4－7＝5，a 3＝S 3－S 2＝32＋2×3＋4－(7＋5)＝7，即a 1＝7，a 2＝5，a 3＝7.(2)证明：∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ＞1，∴当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n ＋4－[(n －1)2＋2(n －1)＋4]＝2n ＋1. a n ＋1－a n ＝2(定值)，即数列{a n }除去首项后所成的数列是等差数列．点评：注意书写步骤的规范，理解第(2)题中n ＞1时的讨论，准确表达推理过程，理解重要关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，S n －S n －1，n ＝1，n≥2的应用．例3设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0， (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．活动：这是一道经典考题，很有训练价值．教师引导学生观察题目条件及结论，寻找解题的切入点，鼓励学生多角度思考．对于第(1)个问题，目标是关于d 的范围的问题，故应当考虑到合理地选用等差数列的前n 项和的哪一个公式．其次，条件a 3＝12可以得出a 1与d 的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少未知量的作用．在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d 的不等式．对第(2)个问题的思考，可以有较多的角度，让学生合作探究，充分挖掘题目中的条件，寻找更好的思路．积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法．教师收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程．解：(1)依题意有S 12＝12a 1＋12×12×11d＞0，S 13＝13a 1＋12×13×12d＜0，即2a 1＋11d ＞0，① a 1＋6d ＜0.②由a 3＝12，得a 1＝12－2d ，③将③式分别代入①②式，得24＋7d ＞0且3＋d ＜0， ∴－247＜d ＜－3为所求．(2)方法一：由(1)知d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由于S 12＝12a 1＋12×12×11d＝6(2a 1＋11d)＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 1＋12×13×12d＝13(a 1＋6d)＝13a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0.故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大．方法二：S n ＝na 1＋12n(n －1)d＝n(12－2d)＋12(n 2－n)d＝d2(n －5－24d 2)2－d5－24d 28.∵d＜0，∴(n－5－24d 2)2最小时，S n 最大．而当－247＜d ＜－3时，有6＜5－24d 2＜6.5，且n∈N ，∴当n ＝6时，(n －5－24d 2)2最小，即S 6最大．方法三：由d ＜0，可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由S 12＞0，S 13＜0，有 12a 1＋12×12×11d＞0⇒a 1＋5d ＞－d2＞0； 13a 1＋12×13×12d＜0⇒a 1＋6d ＜0.∴a 6＞0，a 7＜0.故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大．方法四：同方法二得S n ＝d2(n －5－24d 2)2－d5－24d 28.∵d＜0，故S n 的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S 0＝0，且S 12＞0，S 13＜0，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12,13)内，于是抛物线的顶点在(6,6.5)内，而n∈N ，知n ＝6时，有S 6是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．点评：解完本例后，教师引导学生反思解法，充分发挥本例的训练功能．第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不大．第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值．方法一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k ＋1＜0；方法二是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法求解．它训练了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点；而方法三则是通过等差数列的性质，探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解．例4已知数列{a n }为12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，若b n ＝1a n a n ＋2，求{b n }的前n项和S n .活动：教师点拨学生解决问题的关键是找出数列的通项，根据数列的通项特点寻找解决问题的方法．显然a n ＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，b n ＝1a n a n ＋2＝4n n ＋2＝2(1n －1n ＋2)．由此问题得以解决．解：由题意，知a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋2＝4nn ＋2＝2(1n －1n ＋2)． ∴S n ＝2(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝3n 2＋5nn ＋1n ＋2.点评：本例巩固了数列的求和知识方法，通过探究，明确解决问题的关键是先从分析通项公式入手，找出规律，再用裂项法求解．变式训练等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d ＞0.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝6＋d q ＝64，S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n(n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.知能训练设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2.解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q.又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q＝2. ∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln23n＝3nln2. ∴{b n }是等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝nb 1＋b n2＝n 3ln2＋3nln22＝3nn ＋12ln2. 课堂小结1．由学生自己总结本节复习的内容与方法，回顾通过本节复习，对数列的认识提升了哪些？都有哪些收获？2．等差数列与等比数列涉及的知识面很宽，与其他内容的交汇较多，但不管怎样变化，只要抓住基本量，充分运用方程、函数、化归等数学思想方法，合理选用相关知识，任何问题都能迎刃而解．作业课本本章小结巩固与提高3、4、5.设计感想1．本教案设计加强了学生学习的联系．数学学习绝不是孤立的学习，数学学习的联系性表现为两个方面，一方面是数学与现实生活的联系，另一方面是数学内部之间的联系，表现为数学知识内容之间的相互联系．本教案设计充分体现了这一数学学习特征．2．本教案设计加强了学生的数学探索活动．数学学习不是简单的镜面式反映，而是经过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过交流、反思、调整等完成的．本章内容的复习设计，充分体现了学生是学习的主体这一特点，给学生留有了充分发挥和自主学习的空间．3．本教案设计突出了数学思想方法的训练，尤其突出了一般到特殊、特殊到一般的思想方法，函数思想、类比思想贯穿整章内容．另外还有数形结合思想、方程思想等．第2课时导入新课思路 1.(直接导入)上一节课我们总结了数列的有关概念、方法、公式等．本节继续通过例题探究、变式训练等活动，进一步加深和提高解决问题的灵活性．要求通过本节复习，对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成灵活熟练的解题技能．思路2.(练习导入)通过以下练习、讲评作为新课的切入点．某养猪场养的猪，第一年猪的重量增长率是200%，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的12.(1)当饲养4年后，所养的猪的重量是原来的多少倍？(2)如果由于各种原因，猪的重量每年损失预计重量的10%，那么经过多少年后，猪的重量开始减少？解：(1)依题意，猪的重量增长率成等比数列， ∴设原来猪重为a ，则四年后为a·(1＋200%)(1＋2·12)(1＋2·12·12)(1＋2·12·12·12)＝454a.答：4年后猪的重量是原来的454倍．(2)由a n ≥a n ＋1知a n ≥a n (1＋12n －1)(1－10100)，得2n －1≥9，∴n≥5.故5年后猪的重量会减少．推进新课新知探究提出问题1等差数列、等比数列有哪些重要性质？怎样运用这些性质快速解题？ 2怎样建立数列模型解决实际问题？3在具体的问题情境中，怎样识别数列的等差关系或等比关系，并用有关知识解决相应的问题？活动：教师引导学生对所学等差、等比数列的性质进行回忆，特别提示学生在使用等差数列与等比数列的性质解决问题时，一定要注意下标的起始以及下标间的关系，防止误用性质或求错结果．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，巧用性质、减少运算量在等差、等比数列的计算中非常重要．应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体解决．能够在运算时达到运算灵活、方便、快捷的目的，因而一直受到重视，高考中也一直作为重点来考查．数列应用题大致可分为三类：一类是有关等差数列的应用题，这类问题在内容上比较简单，建立等差数列模型后，问题常常转化成整式或整式不等式处理，计算较容易；二类是有关等比数列的应用题，这类问题建立模型后，弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按要求保留一定的精确度，注意答案要符合题设中实际问题的意义；三类是有关递推数列中可化成等差、等比数列的问题，这类问题要掌握将递推数列化成等差、等比数列求解的方法．解决数列应用题的一般方法步骤与解其他应用题相似．(1)审题，明确问题属于哪类应用题，弄清题目中的已知量，明确所求的结论是什么．(2)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来．(3)明确是等差数列模型还是等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n ，还是求S n ，n 是多少．国民经济发展中的大量问题：如人口增长，产量增加，土地减少，成本降低，存款利息，购物(如车子、房子)中的定期付款，经济效益等应用问题，都是数列所要解决的问题．因此，数列的有关知识，在应用上有着广泛的前景和用武之地．讨论结果：(1)(3)略．(2)建立数列模型的关键是分析题中已知量与未知数据之间的关系．应用示例例1已知公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3.试问：是否存在常数a 、b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．活动：教师引导学生观察本题的条件，与学生一起探究．由于本题涉及到两个数列{a n }和{b n }之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究a n 、b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量呢？由于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，所以应该先抓住基本量a 1、d 和q.由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3，可以列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2.解出d 和q ，则a n 、b n 就确定了．进一步探究：如果a n 和b n 确定了，那么a n ＝log a b n ＋b 就可以转化成含有a 、b 、n 的方程，如何判断a 、b 是否存在呢？如果通过含有n 、a 、b 的方程解出a 和b ，那么就可以说明a 、b 存在；如果解不出a 和b ，那么解不出的原因也就是a 和b 不存在的理由．解：设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，等比数列{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2.解得d ＝5，q ＝6.所以a n ＝5n －4，而b n ＝6n －1.若存在常数a 、b ，使得对一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立，即5n －4＝log a 6n －1＋b ，即5n －4＝(n －1)log a 6＋b ，即(log a 6－5)n ＋(b －log a 6＋4)＝0对任意n∈N *都成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧log a 6－5＝0，b －log a 6＋4＝0成立．解得a ＝615，b ＝1.所以存在常数a 、b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立．点评：本题的关键是抓住基本量：首项a 1和公差d 、公比q ，因为这样就可以求出a n和b n 的表达式．a n 和b n 确定，其他的问题就可以迎刃而解．可见，抓住基本量是解决等差数列和等比数列综合问题的关键．变式训练已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ＋n ，n 为奇数，a n －2n ，n 为偶数.(1)求a 2，a 3；(2)当n≥2时，求a 2n －2与a 2n 的关系式，并求数列{a n }中偶数项的通项公式．解：(1)a 2＝32，a 3＝－52.(2)∵a 2n －2＋1＝a 2n －2－2(2n －2)，即a 2n －1＝a 2n －2－2(2n －2)． ∵a 2n －1＋1＝12a 2n －1＋(2n －1)，即a 2n ＝12a 2n －2－(2n －2)＋(2n －1)，∴a 2n ＝12a 2n －2＋1.∴a 2n －2＝12(a 2n －2－2)．∴a 2n ＝－(12)n ＋2(n∈N *)．例2设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与1的等差中项等于S n 与1的等比中项，求数列{a n }的通项公式．活动：教师引导学生将文字语言转化为数学语言，即a n ＋12＝S n ，然后通过a n 与S n 的关系求通项．解：方法一：依题意，有S n ＝a n ＋124，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝14[(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2]．∴(a n ＋1－1)2－(a n ＋1)2＝0，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0. ∵a n ＞0， ∴a n ＋1－a n ＝2.又a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.方法二：∵a n ＋12＝S n ，∴S 1＝a 1＝1.当n≥2时，2S n ＝a n ＋1，即2S n ＝S n －S n －1＋1，即(S n －1)2－(S n －1)2＝0，∴(S n －S n －1－1)(S n ＋S n －1－1)＝0. 又∵a n ＞0，S 1＝1， ∴S n ＋S n －1－1≠0. ∴S n －S n －1＝1. ∴S n ＝n.从而a n ＝2S n －1＝2n －1.点评：利用数列通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2，与题设条件建立递推关系是本题求解的关键．例3已知数列{a n }满足3S n ＝(n ＋2)a n (n∈N *)，其中S n 为前n 项的积，a 1＝2. (1)证明数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n ＋1)． (2)求数列{1a n}的前n 项和T n .(3)是否存在无限集合M ，使得当n∈M 时，总有|T n －1|＜110成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．活动：教师引导学生分析题目中的已知条件：a n 与S n 的关系，结合题目中的结论，显然需利用a n ＝S n －S n －1(n≥2)消去S n ，由此打开解题的通道．可让学生自己探究操作，教师适时地给予点拨．解：(1)证明：由3S n ＝(n ＋2)a n ，得3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n≥2)．两式相减，得3a n ＝(n ＋2)a n － (n ＋1)a n －1，即(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1， ∴a n a n －1＝n ＋1n －1(n≥2)． ∴a n －1a n －2＝n n －2(n≥3)，…，a 3a 2＝42，a 2a 1＝31，a 1＝2. 叠乘，得a n ＝n(n ＋1)(n∈N *)． (2)1a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(3)令|T n －1|＝|n n ＋1－1|＝1n ＋1＜110，得n ＋1＞10，n ＞9.故满足条件的M 存在，M ＝{n|n ＞9，n∈N *}．例4已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{ak n }是公比为q 的等比数列，且k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值．活动：教师引导学生观察本题条件，共同探究．本题可把k 1＋k 2＋…＋k n 看成是数列{k n }的求和问题，这样我们着重考查{k n }的通项公式，这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”．从寻找新旧数列的关系着手，即可找到解决问题的切入点，使问题迎刃而解．解：设数列{a n }的公差为d ，d≠0，则a 5＝a 1＋4d ，a 17＝a 1＋16d. 因为a 1，a 5，a 17成等比数列，则(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)，即2d 2＝a 1d. 又d≠0，则a 1＝2d.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2d ＋(n －1)d ＝(n ＋1)d. 因为数列{ak n }的公比为q ，则q ＝a 5a 1＝5＋1d1＋1d ＝3，所以ak n ＝ak 1·3n －1＝a 1·3n －1＝2d·3n －1.又ak n ＝(k n ＋1)d ，则2d·3n －1＝(k n ＋1)d.由d≠0，知k n ＝2·3n －1－1(n∈N *)．因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n＝2·30－1＋2·31－1＋2·32－1＋…＋2·3n －1－1＝2(30＋31＋32＋…＋3n －1)－n ＝2·3n3－1－n ＝3n－n －1.点评：此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的．变式训练设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①∴当n≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②，得3n －1a n ＝13，a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝n a n，∴b n ＝n·3n.∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n.③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n ＋1.④④－③，得2S n ＝n·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )＝n·3n ＋1－31－3n1－3，∴S n ＝2n －13n ＋14＋34. 例5已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋1b n)(其中a ＞0且a≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与log a b n ＋13的大小，并证明你的结论．活动：这是一道1998年的全国高考题，至今解来仍很新颖．难度属中高档，教师与学生共同探究．首先，数列{b n }的通项容易求得，但是它是攀上这个题目顶端的第一个台阶，必须走好这一步．解：(1)设数列{b n }的公差是d ，由题意得 b 1＝1，10b 1＋12×10×(10－1)d ＝145，解得b 1＝1，d ＝3. ∴b n ＝3n －2. (2)由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋14)＋…＋log a (1＋13n －2)＝log a [(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)]，log a b n ＋13＝log a 33n ＋1，因此要比较S n 与log a b n ＋13的大小，可先比较(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)与33n ＋1的大小．取n ＝1，有(1＋1)＞33×1＋1，取n ＝2，有(1＋1)(1＋14)＞33×2＋1，……由此推测(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)＞33n ＋1.(*)若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：当a ＞1时，S n ＞log a b n ＋13，当0＜a ＜1时，S n ＜log a b n ＋13.〔对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考〕下面对(*)式加以证明：证法一：记A n ＝(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)(1＋13n ＋1)＝21×54×87×…×3n －13n －2，D n ＝33n ＋1，再设B n ＝32×65×98×…×3n 3n －1，C n ＝43×76×109×…×3n ＋13n ，∵当k∈N *时，k ＋1k ＞k ＋2k ＋1恒成立，于是A n ＞B n ＞C n .∴A 3n ＞A n ×B n ×C n ＝3n ＋1＝D 3n .∴A n ＞D n ，即(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)＞33n ＋1成立．由此证得：当a ＞1时，S n ＞log a b n ＋13. 当0＜a ＜1时，S n ＜log a b n ＋13.证法二：∵3n ＋1＝41×74×107×…×3n ＋13n －2，因此只需证1＋13k －2＞33k ＋133k －2对任意自然数k 成立，即证3k －13k －2＞33k ＋133k －2，也即(3k －1)3＞(3k ＋1)(3k －2)2，即9k ＞5.该式恒成立，故1＋13k －2＞33k ＋133k －2.取k ＝1,2,3，…，n 并相乘即得A n ＞D n .点评：(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等．有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用．例6假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?活动：教师引导学生认真审题，确定数列模型，深刻挖掘题目中的数量关系，这是解决本题的锦囊妙计．由题意知，第(1)题属等差数列模型，需求和．第(2)题属等比数列模型．解：(1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知，{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n n －12×50＝25n 2＋225n. 令25n 2＋225n≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数．∴n≥10.∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知，{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1.由题意可知a n ＞0.85b n ，有250＋(n －1)×50＞400×(1.08)n －1×0.85，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6.∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 点评：本题主要考查等差、等比数列的求和，不等式基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．变式训练某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防．规定每人每天早晚8时各服一片，现知道药片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的20%，在体内的残留量超过386毫克，就会产生副作用．(1)某人上午8时第1次服药，问到第二天上午8时服完药时，这种药在他体内还残留多少？(2)长期服用此药，这种药会不会产生副作用？解：(1)依题意建立数列模型，设此人第n 次服药后，药在体内的残留量为a n 毫克，则a 1＝220，a 2＝220＋a 1×(1－60%)＝220×1.4，a 3＝220＋a 2×(1－60%)＝343.2. 从而某人第二天上午8时服完药时，这种药在他体内还残留343.2毫克． (2)由a n ＝220＋0.4a n －1，得a n －1 1003＝0.4(a n －1－1 1003)(n≥2)，∴{a n －1 1003}是以a 1－1 1003为首项，以0.4为公比的等比数列．∴a n －1 1003＝(a 1－1 1003)·0.4n －1＜0.∴a n ＜1 1003≈386.故不会产生副作用．知能训练1．求数列8,88,888，…，的前n 项和．2．某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值．答案：1．解：∵a n ＝89(10n－1)，∴S n ＝89×(101－1)＋89×(102－1)＋…＋89×(10n－1)＝89×[(101＋102＋ (10))－n]＝89×10n ＋1－10－9n 9＝881×(10n ＋1－10－9n)．2．解：设原计划三年的产值分别为x －d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值分别为x －d ＋10，x ＋10，x ＋d ＋11.⎩⎪⎨⎪⎧x －d ＋x ＋x ＋d ＝300，x －d ＋10x ＋d ＋11＝x ＋102.解得x ＝100，d ＝10，x －d ＝90，x ＋d＝110.答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元．课堂小结1．由学生合作归纳本节所复习的内容与方法，站在全章的高度对数列的知识方法进行高度归纳与整合，并理出自己独到的见解及适合自己特点的解题风格．2．让学生通过能力性的小结，尽快地把课堂探究的知识转化为素质能力．并体会“问题是数学的心脏，探究是学习的中心”的含义．逐渐提高自己的数学素养，努力把自己锻炼。

2020版高中数学第二章数列 2.1.1 数列学案(含解析)新人教B版必修5

2.1.1 数列学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一数列及其有关概念1．按照一定次序排列起来的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….2.数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }．思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？答案不是．顺序不一样．知识点二通项公式如果数列的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一．知识点三数列的分类1．按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 2．按项的大小变化分类：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项都相等的数列叫做常数列．1．1,1,1,1是一个数列．( √ )2．数列1,3,5,7，…的第10项是21.( × ) 3．每一个数列都有通项公式．( × )4．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )题型一数列的分类例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n 答案 C解析 A ，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有C 符合题意．反思感悟判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)2010,2012,2014,2016,2018； (2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n -1，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(5)1,0，－1，…，sin n π2，…；(6)9,9,9,9,9,9.解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列．题型二由数列的前几项写出数列的一个通项公式例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8； (3)9,99,999,9999.解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝－1n +1n，n ∈N ＋.(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N ＋.(3)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n－1，n ∈N ＋.反思感悟要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5；(2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7777.解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝－1nn ×n ＋1，n ∈N ＋.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋12－1n ＋1，n ∈N ＋.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9999，即79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1000－1)，79×(10000－1)，即79×(10－1)，79×(102－1)，79×(103－1)，79×(104－1)，所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n－1)，n ∈N ＋.题型三数列通项公式的简单应用例3 (1)已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96，0.98，0.99中是该数列中某一项值的数应当有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析数列12，23，34，45，…的通项公式为a n ＝nn ＋1，0.94＝94100＝4750，0.96＝96100＝2425，0.98＝98100＝4950，0.99＝99100，2425，4950，99100都在数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1中，故有3个． (2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－10n ＋4. 问当n 为何值时，a n 取得最小值？并求出最小值．解 ∵a n ＝2n 2－10n ＋4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－172，∴当n ＝2或3时，a n 取得最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－8.反思感悟 (1)判断某数是不是该数列的项，相当于已知y 求x ，若求出的x 是正整数，则y 是该数列的项，否则不是．(2)利用函数的性质研究数列的单调性与最值．跟踪训练3 (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1nn ＋2(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______项．答案 10 解析 ∵1nn ＋2＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10. (2)已知数列{a n }中，a n ＝－n 2＋25n (n ∈N ＋)，则数列{a n }的最大项是第________项．答案 12或13解析 ∵a n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －2522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2522是关于n 的二次函数，又n ∈N ＋，∴当n ＝12或n ＝13时，a n 最大．归纳法求数列的通项公式典例观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n 个图中有_______小圆圈．答案 n 2－n ＋1解析观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1.故第n 个图中小圆圈的个数为(n －1)·n ＋1＝n 2－n ＋1.[素养评析] 归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题．本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律．1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列答案 D解析由数列的通项a n ＝nn ＋1知，a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1n ＋2n ＋1>0，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列，故选D. 2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝n ＋1，n ∈N ＋ C ．a n ＝n ＋2，n ∈N ＋ D ．a n ＝2n ，n ∈N ＋答案 B解析这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1，n ∈N ＋. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，n ∈N ＋，则125是这个数列的第________项．答案 8解析令2n 2－3＝125，解得n ＝8(n ＝－8舍去)．所以125是该数列的第8项．4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1n -1·n2n －1，n ∈N ＋，则a 1＝________；a n ＋1＝________.答案 1－1n·n ＋12n ＋1解析 a 1＝－11-1×12×1－1＝1，a n ＋1＝－1n +1-1·n ＋12n ＋1－1＝－1n·n ＋12n ＋1.5．写出数列：1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式．解该数列的通项公式为a n ＝(－1)n +1·(2n －1)，n ∈N ＋.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋－1n +12，n ∈N ＋，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1C ．12,0,12,0D ．2,0,2,0答案 A解析当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N ＋，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项答案 C解析解n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －12C ．a n ＝n n ＋12D ．a n ＝n 2＋1答案 C解析令n ＝1,2,3,4，代入A ，B ，C ，D 检验，即可排除A ，B ，D ，故选C. 4．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223 答案 C解析由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n2n ＋1，n ∈N ＋，当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021.5．已知a n ＋1－a n －3＝0，n ∈N ＋，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1＝a n ＋3＞a n ，n ∈N ＋，即该数列每一项均小于后一项，故数列{a n }是递增数列． 6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D 解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)， ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.7．数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式a n 等于( ) A.19(10n－1) B.13(10n－1) C.13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110nD.310(10n－1) 答案 C解析代入n ＝1检验，排除A ，B ，D ，故选C.8．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为( )A ．a n ＝n ，n ∈N ＋B ．a n ＝n ＋1，n ∈N ＋C ．a n ＝n ，n ∈N ＋D ．a n ＝n 2，n ∈N ＋答案 C解析 ∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…， ∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n ，…. 二、填空题9．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，3，5，7，________，11，…. 答案 3解析由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3. 10．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________________．答案 a n ＝2n＋1，n ∈N ＋11．323是数列{n (n ＋2)}的第________项．答案 17解析由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)． ∴323是数列{n (n ＋2)}的第17项．三、解答题12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数． (1)求{a n }的通项公式；(2)判断88是不是数列{a n }中的项？解 (1)设a n ＝kn ＋b ，k ≠0.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2，n ∈N ＋.(2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N ＋. ∴88不是数列{a n }中的项．13．在数列{a n }中，a n ＝n (n －8)－20，n ∈N ＋，请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．解 (1)因为a n ＝n (n －8)－20＝(n ＋2)(n －10)，所以当0<n <10，n ∈N ＋时，a n <0，所以数列{a n }共有9项为负． (2)因为a n ＋1－a n ＝2n －7，所以当a n ＋1－a n >0时，n >72，故数列{a n }从第4项开始递增． (3)a n ＝n (n －8)－20＝(n －4)2－36，根据二次函数的性质知，当n ＝4时，a n 取得最小值－36，即这个数列有最小值，最小值为－36.14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2-n，n 是奇数，11＋2-n ，n 是偶数(n ∈N ＋)，则a 3＋1a 4＝________.答案1916解析 a 3＝2-3＝18，a 4＝11＋2-4＝1617， ∴1a 4＝1716，∴a 3＋1a 4＝1916. 15．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1，n ∈N ＋. (1)求证：该数列是递增数列；(2)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项；若没有，请说明理由． (1)证明 ∵a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－33n ＋1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－33n ＋1＝3[3n ＋4－3n ＋1]3n ＋13n ＋4＝93n ＋13n ＋4＞0，n ∈N ＋，∴{a n }是递增数列． (2)解令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n >76，n <83.∴76<n <83， ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

高考数学一轮复习第二章函数2.2函数的单调性与最值教

2.2 函数的单调性与最值考纲要求1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．函数的单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A .如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是__________；当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是__________．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为__________．(2)用定义法证明函数单调性的步骤： ①任取x 1，x 2∈M ，且x 1＜x 2； ②作差，__________________； ③变形(通常是因式分解或配方)； ④定号(即判断差______的正负)；⑤下结论(即指出函数f (x )在给定区间M 上的单调性)．(3)如果函数y ＝f (x )在某个区间上是__________或__________，则称y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件对于任意x ∈I ，都有__________；存在x 0∈I ，使得__________. 对于任意x ∈I ，都有__________；存在x 0∈I ，使得__________．结论 M 为最大值 M 为最小值1．下列函数中，在(0,3)上是增函数的是( )．A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝－x ＋3C ．f (x )＝xD ．f (x )＝x 2－6x ＋4 2．下列函数f (x )中满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝1xC ．f (x )＝(x －2)2D ．f (x )＝ln(x ＋3)3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( )． A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．14．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是__________．5．(2012课标全国高考)设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__________.一、函数单调性的判断及应用【例1】已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a ＞0.(1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为单调减函数； (3)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围．方法提炼1．判断或证明函数的单调性，最基本的方法是利用定义或利用导数．利用定义的步骤是：设元取值→作差(商)变形→确定符号(与1比较大小)→得出结论；利用导数的步骤是：求导函数→判断导函数在区间上的符号→得出结论．2．两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定．3．对于复合函数y ＝f [g (x )]，如果内、外层函数单调性相同，那么y ＝f [g (x )]为增函数，如果内、外层函数单调性相反，那么y ＝f [g (x )]为减函数，即“同增异减”．4．函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．请做演练巩固提升1 二、求函数的单调区间【例2－1】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )．A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)【例2－2】求函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的单调区间．方法提炼1．求函数的单调区间与确定单调性的方法：(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(4)图象法：如果函数是以图象形式给出的，或者函数的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．2．求复合函数y ＝f [g (x )]的单调区间的步骤： (1)确定函数定义域；(2)将复合函数分解成两个基本初等函数； (3)分别确定两基本初等函数的单调性；(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．3．函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．请做演练巩固提升4 三、求函数的最值【例3－1】对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是__________．【例3－2】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＞0.(1)求f (1)的值，并判断f (x )的单调性；(2)若f (4)＝2，求f (x )在[5,16]上的最大值．方法提炼1．求函数值域与最值的常用方法：(1)先确定函数的单调性，再由单调性求值域或最值．(2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高、最低点，求出最值．(3)配方法：对于二次函数或可化为二次函数形式的函数，可用配方法求解．(4)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，再用基本不等式求出最值．(6)导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域或最值． 2．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小或f x 1f x 2与1的大小(f (x )＞0)．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．请做演练巩固提升2四、抽象函数的单调性与不等式【例4】已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x ＞0时，f (x )＞－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数；(2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式：f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4. 方法提炼1．函数的单调性与不等式有直接的联系，对函数单调性的考查常常与解不等式、求函数值域、图象等相结合．2．解有关抽象函数不等式问题的步骤：(1)确定函数f (x )在给定区间上的单调性(或奇偶性)； (2)将函数不等式转化为f (A )＜f (B )的形式；(3)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；(4)解不等式或不等式组求得解集．提醒：解此类问题易忽视A ，B 的取值范围，即忽视f (x )所在的单调区间的约束．请做演练巩固提升3未弄清分段函数的单调性而致误【典例】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是__________．解析：可结合函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象以及f (1－x 2)＞f (2x )的条件，得出1－x 2与2x 之间的大小关系，进而求得x 的取值范围．也可分1－x 2≥0,1－x 2＜0讨论求解．方法一：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)＞f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．方法二：当x ＜－1时，1－x 2＜0,2x ＜0，则f (1－x 2)＝1，f (2x )＝1，无解；当x ＝－1时，1－x 2＝0，则f (0)＝1，f (－2)＝1，不等式不成立；当－1＜x ≤0时，1－x 2＞0，f (1－x 2)＞f (2x )化为(1－x 2)2＋1＞1，恒成立，当0＜x ≤1时，1－x 2≥0,2x ＞0，原不等式化为(1－x 2)2＋1＞(2x )2＋1，即(x ＋1)2＜2，∴0＜x ＜2－1.当x ＞1时，1－x 2＜0，无解．综上知：－1＜x ＜2－1. 答案：(－1，2－1) 答题指导：1．在解答本题时有两大误区： (1)误将f (1－x 2)，f (2x )中的x当成分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0中的x ，从而造成失误；(2)仅考虑函数单调性，由f (1－x 2)＞f (2x )，得1－x 2＞2x ，却忽略了1－x 2＞0而失误． 2．解决分段函数的单调性问题时，还有以下几点，在备考中要高度关注： (1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系． (3)弄清最终结果取并还是交．1．(2012陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )．A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )．A ．12B ．14C ．2D ．4 3．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则满足f (18log x )＞0的x 的取值范围是__________．4．求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调区间．5．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，试判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)增函数减函数单调区间 (2)②令Δy ＝f (x 2)－f (x 1) ④Δy (3)增函数减函数2．f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M 基础自测 1．C 2.B3．B 解析：∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.故选B.4．(－1,0)∪(0,1) 解析：由函数f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴0＜x ＜1或－1＜x ＜0.5．2 解析：f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )ma x ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]ma x ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )ma x ＋g (x )min ＝2. 考点探究突破【例1】(1)解：由2f (1)＝f (－1)，可得22－2a ＝2＋a ，得a ＝23.(2)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－x 22＋1－a (x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1－a (x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . ∵0≤x 1＜x 21＋1，0＜x 2＜x 22＋1，∴0＜x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1＜1.又∵a ≥1，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在[0，＋∞)上为单调减函数． (3)解：任取1≤x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . ∵f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0.又x 1－x 2＜0，那么必须有x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a ＞0恒成立．∵1≤x 1＜x 2⇒2x 21≥x 21＋1，2x 22＞x 22＋1，∴2x 1≥x 21＋1，2x 2＞x 22＋1.∴2(x 1＋x 2)＞x 21＋1＋x 22＋1.∴x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1＞22.∴0＜a ≤22. 【例2－1】 A 解析：由题意得，在[0，＋∞)上f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，故f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且满足n ∈N *时，f (－2)＝f (2),3＞2＞1＞0，得f (3)＜f (－2)＜f (1)，故选A.【例2－2】解：令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0，则x ＜1或x ＞3.∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是单调减函数，在(3，＋∞)上是单调增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调减区间为(3，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．【例3－1】 32解析：本题实质上是一个求分段函数最值的问题，将函数化为分段函数，利用数形结合法求解．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.【例3－2】解：(1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，因此f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数，∴f (x )在[5,16]上的最大值为f (16)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (16)－f (4)，而f (4)＝2，所以f (16)＝4. ∴f (x )在[5,16]上的最大值为4.【例4】解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)，所以，函数f (x )在R 上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)．又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1＞3，解之，得x ＜－2或x ＞1，故原不等式的解集为{x |x ＜－2，或x ＞1}．演练巩固提升1．D 解析：选项A 中的函数是非奇非偶函数；选项B 中的函数是减函数；选项C 中的函数在每个单调区间上都是减少的；选项D 中的原函数可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，作出其图象如下图所示，由图象可知该函数既是奇函数又是增函数．2．C 解析：由题意可知函数f (x )＝a x＋log a x 在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，整理可得a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，故a ＝2，选C.3.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 解析：由f (x )＝f (－x )＝f (|x |)得f (|18log x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，于是|18log x |＞13⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－3log 2x ＞13⇒|log 2x |＞1⇒log 2x ＜－1或log 2x ＞1 ⇒0＜x ＜12或x ＞2.4．解：原函数等价于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0，作出如下函数图象：由函数图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．5．解：设x 1＞x 2＞0，则Δx ＝x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∵Δy ＝f (x 1)－f (x 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝Δx x 1x 2＞0，Δy ＞0，因此，函数f (x )是在(0，＋∞)上的单调增函数．。

2020版数学人教B版必修5学案：第二章+专题突破三+Word版含解析

专题突破三数列通项公式的求法求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法.一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式例1 由数列的前n 项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，…； (2)12，23，34，45，56，…； (3)2，52，134，338，8116，…；(4)12，16，112，120，130，…. 解 (1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为a n ＝4＋(－1)n ，n ∈N ＋.(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为a n ＝nn ＋1，n ∈N ＋. (3)数列可化为1＋1,2＋12，3＋14，4＋18，5＋116，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋12n -1，n ∈N ＋.(4)数列可化为11×2，12×3，13×4，14×5，15×6，…，所以它的一个通项公式为a n ＝1n (n ＋1)，n ∈N ＋.反思感悟这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一．跟踪训练1 由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，－7,13，－19,25，…； (2)14，37，12，713，916，…； (3)1，－85，157，－249，….解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n +1(6n －5)，n ∈N ＋.(2)数列化为14，37，510，713，916，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为a n ＝2n －13n ＋1，n ∈N ＋.(3)数列化为22－13，－32－15，42－17，－52－19，…，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n +1(n ＋1)2－12n ＋1，n ∈N ＋.二、利用递推公式求通项公式命题角度1 累加、累乘例2 (1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N ＋都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求通项公式； (2)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n (n ≥2)．即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝n (n ＋1)2，n ∈N ＋. (2)由条件知a n ＋1a n ＝nn ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1，代入上式得(n －1)个等式，累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n (n ≥2)．∴a n a 1＝1n ，又∵a 1＝23，∴a n ＝23n . 又a 1＝23也适合上式，∴a n ＝23n，n ∈N ＋.反思感悟形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下：第一步将递推公式写成a n ＋1－a n ＝f (n )；第二步当n ≥2时，依次写出a n －a n －1，…，a 2－a 1，并将它们叠加起来；第三步得到a n －a 1的值，解出a n ；第四步检验a 1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．叠乘法类似．跟踪训练2 在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝n －1(n ＝2,3,4，…)，求{a n }的通项公式．解 ∵当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…，a n－a n －1＝n －1，这n －1个等式累加得，a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2，故a n ＝n (n －1)2＋a 1＝n 2－n ＋22且a 1＝1也满足该式，∴a n ＝n 2－n ＋22(n ∈N ＋)．命题角度2 构造等差(比)数列例3 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，则a n ＝________.答案 2×3n -1－1解析设a n ＋1＋A ＝3(a n ＋A )，化简得a n ＋1＝3a n ＋2A . 又a n ＋1＝3a n ＋2，∴2A ＝2，即A ＝1. ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3.∴数列{a n ＋1}是等比数列，首项为a 1＋1＝2，公比为3. 则a n ＋1＝2×3n -1，即a n ＝2×3n -1－1.反思感悟形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设递推公式可改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )；第二步由待定系数法，解得t ＝q p －1；第三步写出数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋q p －1的通项公式；第四步写出数列{a n }通项公式．跟踪训练3 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，a 1＝6，求数列{a n }的通项公式．解设a n ＋1＋λ×5n +1＝2(a n ＋λ×5n )，①将a n ＋1＝2a n ＋3×5n 代入①式，得2a n ＋3×5n ＋λ×5n +1＝2a n ＋2λ×5n ，等式两边消去2a n ，得3×5n ＋λ×5n +1＝2λ×5n ，两边除以5n ，得3＋5λ＝2λ，则λ＝－1，代入①式得a n ＋1－5n +1＝2(a n －5n )．②由a 1－51＝6－5＝1≠0及②式得a n －5n ≠0，则a n ＋1－5n +1a n －5n＝2，则数列{a n －5n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则a n －5n ＝2n -1，故a n ＝2n -1＋5n (n ∈N ＋)．命题角度3 预设阶梯转化为等差(比)数列例4 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N ＋. (1)证明：数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明由a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N ＋.因为a 1－1＝1≠0，所以a n －n ≠0，所以a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝4，所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列． (2)解由(1)，可知a n －n ＝4n -1，n ∈N ＋，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n -1＋n ，n ∈N ＋.反思感悟课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深．跟踪训练4 在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)，整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)解由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2，n ∈N ＋.三、利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式例5 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N ＋，则a n 等于( ) A ．2n +1B ．2n C ．2n -1D ．2n -2 答案 A解析因为S n ＝2a n －4，所以n ≥2时，S n -1＝2a n -1－4，两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n -1，整理得a n ＝2a n －1，因为S 1＝a 1＝2a 1－4，即a 1＝4，所以a na n －1＝2.所以数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列，则a n ＝4×2n -1＝2n +1，故选A. 反思感悟已知S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )的解题步骤：第一步利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式；第二步利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式；第三步若求出n ≥2时的{a n }的通项公式，则根据a 1＝S 1求出a 1，并代入n ≥2时的{a n }的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．如果求出的是{a n }的递推公式，则问题化归为例3形式的问题．跟踪训练5 在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式a n .解由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，得当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式作差得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，得(n ＋1)a n ＋1＝3na n (n ≥2)，即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2，故当n ≥2时，na n ＝2·3n -2.于是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ·3n -2，n ≥2，n ∈N ＋.1．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n -1＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 答案 C解析对n ＝1,2,3,4进行验证，知a n ＝2sin n π2不合题意，故选C.2．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N ＋)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N ＋)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N ＋)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N ＋)答案 C解析注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.答案 1n解析因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.当n ＝1时，a 1＝1也满足a n ＝1n .综上a n ＝1n.4．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，n ∈N ＋，则它的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2n ＋2，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2n ＋2，n ≥2.5．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式是________．答案 a n ＝4n -1解析依题意a 1＋4a 1＋42a 1＝21，所以a 1＝1，所以a n ＝a 1q n -1＝4n -1.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n .求{a n }的通项公式．解因为S n ＝2n 2－3n ，所以当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)＝2n 2－7n ＋5，所以a n ＝S n －S n －1＝4n －5，n ≥2，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，满足a n ＝4n －5，所以a n ＝4n －5，n ∈N ＋.7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.证明{a n }是等比数列，并求其通项公式．解由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.所以{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，所以a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1，n ∈N ＋.一、选择题1．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N ＋)，则a 100的值是( ) A ．9900B ．9902C ．9904D ．11000 答案 B解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2×99×(99＋1)2＋2＝9 902.2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n ，则这个数列的第n 项为( )A ．2n －1B ．2n ＋1C.12n －1D.12n ＋1答案 C解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2a n ，a 1＝1，∴1a n ＋1－1a n＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差为2，首项1a 1＝1.∴1a n＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1.3．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．n (n ＋1)C.n2n －1D.n (n ＋1)2n答案 C解析 ∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n +1a n ＋1＝2n a n ＋2，即2n +1a n ＋1－2n a n ＝2. 又21a 1＝2，∴数列{2n a n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2n a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ， ∴a n ＝n2n -1.4．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n 等于( )A.4n －3B.4nC.4n －1D ．8n 答案 A解析 ∵a 2n ＋1－a 2n ＝4，∴数列{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3. 又a n >0，∴a n ＝4n －3.5．已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n ∈N ＋)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }的通项公式a n 等于( ) A.n 2B.⎝⎛⎭⎫12n C ．21-2n D ．2n 答案 B解析因为S n ＝1－a n ， ① 所以S n ＋1＝1－a n ＋1，②②－①得a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ，所以a n ＋1＝12a n .n ＝1时，a 1＝1－a 1，解得a 1＝12，所以{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，所以a n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n -1＝⎝⎛⎭⎫12n.6．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂为4个并死去1个，两小时后分裂为6个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数为( ) A ．2100－1B ．2100＋1C ．299－1D ．299＋1 答案 B解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝2，∴a n ＝2n -1＋1，∴a 101＝2101-1＋1＝2100＋1. 二、填空题7．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 答案 2n -1解析当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)， ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n -1，n ∈N ＋.8．等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝2·3n -1解析当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18. 所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n -1.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n解析当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n －1·n －1n －2·…·32·21＝n ，n ＝1时，a 1＝1也符合此式．10．数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 答案 2－1n解析 ∵a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，a 1＝1，∴a 2－a 1＝12×1＝1－12，a 3－a 2＝13×2＝12－13，a 4－a 3＝14×3＝13－14，…，a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n .以上各式累加，得a n －a 1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1－1n . ∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，当n ＝1时，2－1n＝1＝a 1，∴a n ＝2－1n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－1n.11．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n -1解析当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n -1.三、解答题12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，数列{b n }中，b 1＝1，且点(b n ＋1，b n )在直线y ＝x －1上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．解 (1)∵a n ＋1＝2a n ＋3， ∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)， ∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2，又∵a 1＋3＝4，∴数列{a n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝4·2n -1＝2n ＋1，∴a n ＝2n +1－3，n ∈N ＋. (2)∵(b n ＋1，b n )在直线y ＝x －1上， ∴b n ＝b n ＋1－1，即b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝1， ∴数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴b n ＝n ，n ∈N ＋.13．已知S n ＝4－a n －12n -2，求a n 与S n .解 ∵S n ＝4－a n －12n -2， ∴S n －1＝4－a n －1－12n -3，n ≥2，当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n -3－12n -2.∴a n ＝12a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n -1. ∴a n⎝⎛⎭⎫12n －a n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＝2， ∴2n a n －2n -1a n －1＝2，∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1. ∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1，∴a 1＝1，∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n .∴a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n -1，n ∈N ＋， ∴S n ＝4－a n －12n -2＝4－n ·12n -1－12n -2＝4－n ＋22n -1.14．若数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，则它的通项公式a n 为________________．答案 a n ＝123n －解析由题意知a n >0，将a n ＋1＝a 2n 两边取对数得lg a n ＋1＝2lg a n，即lg a n ＋1lg a n ＝2，所以数列{lg a n }是以lg a 1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg a n ＝(lg a 1)·2n －1＝lg 123n －，即a n ＝123n －.15．已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝4a n a n ＋2(n ∈N ＋)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－12是等比数列．(2)求{a n }的通项a n .(1)证明因为a n ＋1＝4a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋24a n＝14＋12a n.所以1a n ＋1－12＝12⎝⎛⎭⎫1a n －12. 又a 1＝1，所以1a 1－12＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －12是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解由(1)知1a n －12＝12·⎝⎛⎭⎫12n -1＝12n ，即1a n ＝12n ＋12，所以a n ＝2n ＋12＋2n .。

2020高中数学第二章《数列的概念》学案(1)大纲人教版

数列的观点 1一、学习目标：1、认识数列及有关观点、数列的分类，认识数列是一种特别的函数，会用列表法和图象法表示数列．2、理解数列通项公式的观点，会依据通项公式写出数列的前几项，会依据简单数列的前几项写出数列的通项公式．二、预习成效1．数列是按必定的序次摆列的一列数，数列的一般形式可写成 a 1, a 2 , a 3 , , a n , , 简记为________，此中 a n 是数列 { a n } 的第 ________项．2．假如数列 { a n } 的________与 ________之间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．已知数列 { a n } 的通项公式为 a nnn，则数列的前3 项分别为 ____、_ ___ 、 ___ ．14．已知数列的前 5 项分别为 1， 3，7， 15，31，则该数列的一个通项公式为 ___________．三、问题研究问题 1．在前方的章节中，我们学习了会合，比如会合A {1,2,3} 。

本节中，我们所要学习的数列一般简记为 { a n } ，那么数列的观点和记号a n与会合观点和记号有什么差别呢？练习：以下说法能否正确？1、数列： 1， 2，3 与 3， 2， 1 是同一数列２、数列： 1， 2， 3 与 1，2， 3，是同一数列 3、， -1 ， 0， 1， 2， 3， 4， 5 是无量数列问题 2、在函数意义下，数列能够看作定义域为正整数集N （或其有限子集）的函数，当自变量挨次取 1，2，3，时所对应的一列函数值。

数列既然能够看作一列函数值，那么这个 “函数”怎样表示？必定有分析式吗？你可否举出一些有分析式的例子？n n 1 2项和第 3项．【例 1】已知数列的第n 项 a n 为，写出这个数列的首项、第2【例 2】已知数列 { a n } 的通项公式，写出这个数列的前 5 项，并作出它的图像．思虑他们的单一性。

高中数学第二章单调性2学案北师大版必修1

高中数学第二章单调性2学案北师大版必修1 使用说明：1．认真阅读学习目标，仔细阅读课本，提前预习，完成自主学习部分。

2．课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分。

3．带“*”号题为难题，可选做，其它题为必做、必会题。

4．每天晚点前小组长将学案阅、评，并交科代表处，科代表晚点下速交老师。

学习目标：1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习重点：求函数的最值。

学习难点：求最值的方法。

学习过程：一、自主学习1、函数2()(0)f x ax bx c a =++>的最小值为，2()(0)f x ax bx c a =++<的最大值为 .2、求2y x =-在区间[3，6]上的最大值和最小值.小结：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.3、作出函数223y x x =-+的简图，研究当自变量x 在下列范围内取值时的最大值与最小值．（1）10x -≤≤；（2）03x ≤≤ ；（3）(,)x ∈-∞+∞.4、求y x =+.二、合作探究5、求函数2y x =.6、一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？7、求3,[3,6]2x y x x +=∈-的最大值和最小值.三、课堂检测1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（）.A. －1B. 0C. 1D. 22. 函数|1|2y x =++的最小值是（）.A. 0B. －1C. 2D. 33. 函数y x = ）.4. 已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在区间(,0)-∞上，当1x =-时，()f x 有最小值3，则在区间(0,)+∞上，当x = 时，()f x 有最值为 .5. 函数21,[1,2]y x x =-+∈-的最大值为，最小值为 .※ 学习小结1. 函数最大（小）值定义；.2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.※ 知识拓展求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求2()f x x ax =-+在区间[,]m n 上的值域，则先求得对称轴2a x =，再分2a m <、22a m n m +≤<、22m n a n +≤<、2a n ≥等四种情况,由图象观察得解.。

2020版数学人教A版必修5学案：第二章专题突破二 Word版含解析

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)． (2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2xx ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性．解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1.方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0.∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫－2＋3x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1 ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列．证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23， ∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *. ∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44. 所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( )A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数．且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数． (2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12.∴－a ＜12即a ＞－12.当n 为偶数时，a ＜1－12n .f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34.∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34.例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *，∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项．反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值．解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5. 当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364.∴{b n }的最大值为b 6＝364.三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围． (2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)． (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ，解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立，∴k ＞⎝⎛⎭⎫22n －1max ＝2，∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( ) A ．103 B.8658 C.8258 D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( ) A ．有最大项，没有最小项 B ．有最小项，没有最大项 C ．既有最大项又有最小项 D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( ) A ．10 B ．11 C ．10或11 D ．12解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为．答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a na n －1＝2＞1，∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024. 5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是．答案 (－11，－9) 解析根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列． 2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．以上都不是解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0， ∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上．∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列答案 C解析令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当00)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n (n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减．又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋kn ，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12) 答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ，当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12. 二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第项．答案 5解析易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小．又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项．10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)． ①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n .答案 ①③解析可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是．答案 (2,3)解析由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8. 故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围．解因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n .(1)判断{a n }的单调性； (2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减， n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．解列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n ≤5时数列递增；当n >5时数列递减，最大值为a 5＝36，无最小值．。

【数学】2020版高中数学第二章函数章末复习课学案新人教B版必修1

【关键字】数学第二章函数学习目标 1.构建知识网络，理解其内在联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．1．知识网络2．重要技能(1)运算技能主要表现在求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等．(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力．识图主要体现在给出函数图象，要能从中读出相关信息，能根据函数解析式或性质，画出相应图象．(3)推理技能主要体现在给出函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的函数问题．课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等．(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律．(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作．3．数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题．(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域．(3)分类讨论在函数中，主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨．(4)数形结合主要体现在借助函数图象研究函数性质．类型一函数概念及性质例1 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．反思与感悟建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束．追踪训练1 如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径A→B→C→M在正方形边上运动所经过的路程为x，△APM的面积为y.(1)求y＝f(x)的解析式及定义域；(2)求△APM面积的最大值及此时点P位置．例2 已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值；(3)解不等式f(x)－f(－x)>2.反思与感悟(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用．追踪训练2 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．类型二函数图象的画法及应用例3 对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．反思与感悟画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．追踪训练3 已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.求x∈[－3,5]时，f(x)＝的所有解的和．类型三二次函数的图象及性质例4 已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值是1，且g(x)＋f(x)是奇函数，求f(x)的表达式．反思与感悟(1)对于二次函数，根据题目条件选择恰当的解析式的形式．(2)二次函数是典型的轴对称图形，用好对称轴是解决问题的一个关键．(3)研究二次函数在给定区间上的最值问题，往往需要讨论对称轴与区间的关系．在分类讨论时，要按照一定顺序，注意不重不漏．追踪训练4 已知函数f(x)＝x2－x ＋.(1)写出函数f(x)图象的顶点坐标及单调递增、递减区间；(2)是否存在实数a ，当a ＞1时，f(x)的定义域和值域都是[1，a]，若存在，求出a ，若不存在，说明理由．1．函数f(x)＝ax2＋bx ＋c ，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上的零点( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有2．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值，最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f (1f 3)的值为( ) A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 4．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f (－32)与f (a 2＋2a ＋52)的大小关系是( )A ．f (－32)>f (a 2＋2a ＋52) B ．f (－32)<f (a 2＋2a ＋52) C ．f (－32)≥f (a 2＋2a ＋52) D ．f (－32)≤f (a 2＋2a ＋52) 1．集合是函数乃至整个现代数学的基础，学习时要侧重符号语言的理解与准确表达，集合的并交补运算是重要的基本技能．2．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．3．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．4．(1)函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除．(2)应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题．②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．答案精析题型探究例1 解 (1)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意设y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝4时，y ＝16，当x ＝7时，y ＝10，得到16＝4k ＋b,10＝7k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝24，∴y ＝－2x ＋24.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ∈N ＋，y ＝－2x ＋24≥0.解得定义域为{x ∈N ＋|0≤x ≤12}．(2)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S 节车厢，则S ＝xy ＝x (－2x ＋24)＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72，x ∈[0,12]且x ∈N ＋.所以当x ＝6时，S max ＝72，此时y ＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920. 故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920. 跟踪训练1 解 (1)根据题意得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，0<x <1，34－x 4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ＜52.f (x )的定义域为(0,1)∪[1,2)∪[2，52)＝(0，52)．(2)易知f (x )在(0,1)上为增函数，在[1，52)上为减函数， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝34－14＝12. 例2 (1)证明由f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )可得 f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．在R 上任取x 1>x 2，令x ＋y ＝x 1，x ＝x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．∵x 1>x 2，∴x 1－x 2>0.又x >0时，f (x )<0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0.由定义可知f (x )在R 上是减函数．(2)解 ∵f (x )在R 上是减函数；∴f (x )在[－3,3]上也是减函数；∴f (－3)最大，f (3)最小．又f (1)＝－23， ∴f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝3×(－23)＝－2. ∴f (－3)＝f (4－3)－f (4)＝f (1)－f (3)－f (1)＝－f (3)＝2.即f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.(3)解由(2)知f (－3)＝2，f (x )－f (－x )>2即f (x )>f (－x )＋2＝f (－x )＋f (－3)＝f (－3－x )，由(1)知f (x )在R 上为减函数，∴f (x )>f (－3－x )⇔x <－3－x ，解得解集为{x |x <－32}．跟踪训练2 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．例3 解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |.则f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．图象关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＝x －12－1，x ≥0，x 2＋2x ＝x ＋12－1，x <0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1，无最大值．单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．跟踪训练3 解当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，∴f (－x )＝－x . 又∵f (x )为奇函数，∴x ∈[－1,0]时，f (x )＝－f (－x )＝x .即x ∈[－1,1]时，f (x )＝x .又由f (x )＝f (2－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f (x )在[－3,5]上的图象如下：在同一坐标系内画出y ＝12的图象，由图可知在[－3,5]上共有四个交点，∴f (x )＝12在[－3,5]上共有四个解，从左到右记为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1与x 4，x 2与x 3关于直线x ＝1对称，∴x 1＋x 42＝1，x 2＋x 32＝1.∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4.例4 解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则g (x )＋f (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3为奇函数，故有(a －1)x 2＋bx ＋c －3＝－[(a －1)x 2－bx ＋c －3]，∴(a －1)x 2＋bx ＋c －3＝－(a －1)x 2＋bx －(c －3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，c －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝3.∴f (x )＝x 2＋bx ＋3＝(x ＋b 2)2＋3－14b 2， ∵f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，∴需分下列3种情况讨论：①当－1≤－b 2≤2，即－4≤b ≤2时， 3－b 24＝1，b 2＝8，b ＝±22，∵b ＝22＞2，∴b ＝－22，∴f (x )＝x 2－22x ＋3.②当－b 2＞2，即b ＜－4时，f (x )的最小值是f (2)． ∴f (2)＝7＋2b ＝1，b ＝－3，舍去．③当－b 2＜－1，即b ＞2时，f (x )的最小值是f (－1)． ∴f (－1)＝4－b ＝1，b ＝3.∴f (x )＝x 2＋3x ＋3.综上所述，f (x )＝x 2－22x ＋3，或f (x )＝x 2＋3x ＋3.跟踪训练4 解 (1)∵f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x 2－2x ＋3)＝12(x －1)2＋1， ∴f (x )的顶点坐标为(1,1)，单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)．(2)假设存在实数a 满足条件．∵x ＝1是f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴，故[1，a ]是函数f (x )的递增区间且⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝1，f a ＝a .∵f (a )＝12a 2－a ＋32，∴12a 2－a ＋32＝a ， ∴a ＝1或a ＝3.又a ＞1，∴a ＝3.∴存在实数a ＝3，使f (x )的定义域和值域均为[1，a ]．当堂训练1．C 2.A 3.C 4.C 5.C此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)． (2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法，即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2xx ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N ＋)．试判断数列的单调性．解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1.方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N ＋)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴an ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝n ＋1－n －n ＋n ＋2＝－3n ＋n ＋＜0.∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝x 2－x 1x 1＋x 2＋，∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n -2＋2×3n -1，n ∈N ＋.求证：{a n }为递增数列．证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n -1＋2×3n－(－3×2n -2＋2×3n -1) ＝3(2n -2－2n -1)＋2(3n－3n -1) ＝－3×2n -2＋4×3n -1＝2n -2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2－3， ∵n ≥1，n ∈N ＋，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫321-2＝23，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2≥8＞3，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2－3＞0，又2n -2＞0，∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N ＋. ∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n －2018n －2019，则该数列前100项中的最大项与最小项的项数分别是________．答案 45,44 解析 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44<2019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N ＋时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2019－2018x －2019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n (n ∈N ＋)，则{a n }的最大项是( )A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，112，⎝ ⎛⎭⎪⎫112，＋∞上都是增函数．且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N ＋. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，且n ∈N ＋，∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)na ＜1－12n 对任意n ∈N ＋恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34 解析设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12.∴－a ＜12即a ＞－12.当n 为偶数时，a ＜1－12n .f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34.∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34.例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫79n +1，n ∈N ＋，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，请说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫79n +2－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫79n +1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79n +1·7－2n 9，且n ∈N ＋，∴当n >3，n ∈N ＋时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N ＋时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫793+1<a 4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫794+1，所以第4项为最大项．反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N ＋，求{b n }的最大值．解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n +1－2n －92n ＝－2n ＋112n +1，且n ∈N ＋， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5. 当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364.∴{b n }的最大值为b 6＝364.三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋. (1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围． (2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1) ⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N ＋⇔λ>－3.∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ，解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N ＋，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列， ∴对任意n ∈N ＋，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立，∴k ＞⎝⎛⎭⎪⎫22n－1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N ＋，则数列{a n }的最大项是( ) A ．103 B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋2×29216＋3，n ∈N ＋，∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49n -1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1(n ∈N ＋)，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49n -1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -12－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1，令⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( ) A ．10B ．11C ．10或11D ．12 答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N ＋，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为________．答案 1024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n ≠0，∴a na n －1＝2＞1， ∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是________．答案 (－11，－9) 解析根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0，2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1， ∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列． 2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0， ∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第4项或第5项答案 D解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上．∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N ＋)，a n ＝f (n )，则{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0. 6．已知p >0，n ∈N ＋，则数列{log 0.5p n}是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列答案 C解析令a n ＝log 0.5p n.当p >1时，p n +1>p n，∴log 0.5p n +1<log 0.5p n，即a n ＋1<a n ；当00)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N ＋)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减．又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12) 答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N ＋恒成立，则k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －13≥3－n ， k－n3n≥3－n ，当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12. 二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第________项．答案 5解析易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小．又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项．10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填序号)． ①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n.答案 ①③解析可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a x －3，x ≤7，a x -6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N ＋，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．答案 (2,3)解析由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a x －3，x ≤7，a x -6，x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8. 故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f f ，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围．解因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N ＋恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n.(1)判断{a n }的单调性； (2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫n ＋11n＝1＋11n ＋1－11n ＝n n ＋－11n n ＋，且n ∈N ＋，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减，n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第________项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎪⎫0，163上单调递减，且n ∈N ＋，所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．解列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n ≤5时数列递增；当n >5时数列递减，最大值为a 5＝36，无最小值．。

2020版高中数学第二章数列专题突破二数列的单调性和最大小项学案新人教B版

第二章 专题突破二数列的单调性和最大(小)项

第二章 数列 专题突破二 数列的单调性和最大(小)项

2020学年高中数学第2章数列章末复习课学案新人教B版必修5(2021-2022学年)

2020届高中数学分册同步讲义(必修5) 第2章 专题突破二 数列的单调性和最大(小)项

高中数学第二章《数列》全章教案新人教版必修

高考数学 第二章第2节函数单调性导学案 新人教版 学案

2020版数学人教B版必修5学案：第二章 专题突破二 Word版含解析

高中数学 第二章 数列复习教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案

2020版高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列学案(含解析)新人教B版必修5

高考数学一轮复习 第二章函数2.2函数的单调性与最值教