概率论文---古典概型浅析
概率论与数理统计-古典概型
{12 ,13,14 ,15 ,23,24 ,25 ,34 ,35 ,45}, A {12 ,13 ,23},
从而,
P( A) 3 0.3. 10
表达方法:
样本空间中基本事件总数: N
设 Ak 表示第k 次取得次品,则 Ak 包含的基本事件
总数为: M PNk11 M (N 1)(N 2)(N k 1),
于是,P( Ak
)
M
P k 1 N 1
PNk
M N
(N (N
1)( N 1)( N
2)(N 2)(N
k k
1) 1)
第一章 随机事件及其概率
§1.4 概率的古典定义
一、古典概型的定义
定义 设E是随机试验, 若E满足下列条件: 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同. 则称E为等可能概型. 等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
M N
.
P(Ak ) 与 k 无关!
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基 本事件都是等可能的.
定义 假设试验的样本空间 包含无穷多个基本
事件,其总量可用某种几何特征进行度量;事件A包含 的基本事件可用同样的几何特征度量. 事件A的概率定 义为:
P( A) A的的度度量量.
29876 10 9 8 7 6
1 5
这就是抽签的公正性
[例4] 一批产品共有N 件,其中有M 件次品.每次从
浅谈古典概型
学号:12124660145目录摘要 (1)引言 (2)第1章古典概型概述 (3)1.1古典概型的定义 (3)1.2古典概型的基本性质 (3)1.3古典概型的计算方法 (3)第2章运用古典概型应注意的问题 (5)2.1从等可能的角度去考察对象 (5)2.2在等可能的前提下注意结果的有限性 (5)第3章古典概型的几种基本模型 (6)3.1常见模型——不返回抽样 (6)3.2常见模型——返回抽样 (8)3.3常见模型——盒子模型 (11)3.4常见模型——分组模型 (13)3.5常见模型——随机取数模型 (15)总结 (17)参考文献 (18)摘要摘要古典概型是《概率论与数理统计》的重要内容之一,也是当代数学专业大学生学习数学必研究的内容之一。
本文从古典概型的有关定义与性质入手,并通过举例,详细的介绍了古典概型的几种基本模型,从而让读者对古典概型有更深层次的理解。
本文旨在通过对古典概型的基本模型的研究和探讨,开阔读者处理古典概型的视野,为以后解决古典概型的相关问题提供一些方法。
关键词:古典概率解题技巧模型1广东石油化工学院本科学年论文:浅谈概率中的古典概型引言古典概型的研究在历史上最先开始的,它简单,直观,不需做大量的重复试验,在经验事实的基础上,经过逻辑分析得出时事件的概率。
古典概率在概率论中占有相当重要的地位,因此,掌握古典概率的计算方法对于学好概率论有着重要的意义。
古典概型解题的很好掌握不仅可以为其它的概率的学习奠定基础,而且有助于直观的理解概率论中许多基本概念,古典概型是最基本的一种概率模型,也在实际中有广泛的应用,在本质上是研究等可能事件,即基本事件的概率模型.第1章古典概型概述3第1章古典概型概述在平时的基本概率题型中,通常会遇到一类型的题目,[]6例:一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1-10,把球搅匀,蒙上眼睛,从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平等的,我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说,10个球中的任一个被取出的机会是相等的,均为110.我们用i 表示取到i 号球,i =1,2,…10.则该试验的样本空间{}=1,2s ,...,10,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.这一类试验我们称之为古典概型. 那么何为古典概型?[]11.1古典概型的定义若随机试验满足下述两个条件:(1)它的样本空间只有有限多个样本点 (2)每个样本点出现的可能性相同称这种试验为有穷等可能随机试验或古典概型1.2古典概型的基本性质(1)等可能性:试验中每个基本事件发生的可能性相同 (2)有限性:试验的样本空间只包括有限个元素 (3)正则性:试验中每个事件的概率和加起来为1 (4)非负性:试验中每个事件的概率都是≥1[][][]2351.3古典概型的计算方法如果事件A 由k 个样本点组成,则定义事件A 的概率为:p (A )=A Ω事件所含样本点的个数中所有样本点的个数=kn简单的计算举例我们从上述中已经了解到什么是古典该概型,那么现在就以一道简单的题目加以说明。
浅析古典概率
浅析古典概率作者:侯立华来源:《环球市场》2019年第30期摘要:概率论与数理统计作为近代数学的重要分支,在生产生活实践中发挥着极其重要的作用。
古典概率是概率论的重要组成部分,与实际联系紧密,在学习古典概率的过程中,将不断提高分析问题、解决问题的能力。
本文就古典概率的发展历程、计算方法、实际应用三个方面进行阐述。
关键词:古典概率;样本空间;样本点概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学分支,是近代数学的重要组成部分。
概率论是数理统计的理论基础,数理统计则是概率论的重要应用,数理统计是通过观测收集的数据,对研究的随机现象的规律性做出合理的估计与判断。
概率论源于对赌博问题的研究,经过数百年的发展,已逐渐渗透到社会生活的各个方面,在自然科学、社会科学、工程技术及生产生活的诸多领域中起到了不可替代的作用,正如法国著名数学家拉普拉斯所说:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上是概率问题。
”概率论的发展经历了古典概率论、分析概率论和测度概率论三个阶段[1],本文就概率论中的古典概率问题作一简析。
一、古典概率的发展历程[2]古典概率经历了四个重要的发展时期:16世纪初至17世纪中叶的萌芽时期,代表人物是文艺复兴时期意大利数学家卡尔达诺,发表著作《论机会游戏》,给出了等可能事件发生概率的粗略定义:一个特殊结果的发生的概率等于得到这种结果的各种可能形式除以总范围;17世纪中叶的计算时期,主要代表有法国数学家帕斯卡、费马及荷兰数学家惠更斯,帕斯卡与费马解决著名的“分赌本”问题,惠更斯对他们的工作加以推广,并出版了《论赌博中的计算》一书,该著作被认为是最早的概率论著作;17世纪中叶至18世纪后叶应用的扩大时期,主要代表是瑞士的贝努利家族,主要著作是雅各布贝努利的《猜度术》,该书是概率论历史上的经典著作之一,这一时期,继雅各布贝努利之后,棣莫佛,蒲丰,高斯,泊松等为概率论的发展也做出了突出贡献;18世纪中后叶至19世纪初叶的全面总结与形成时期,代表人物是拉普拉斯,代表著作《概率的分析理论》,给出了古典概率的一般定义和概率计算的一般原理和应用,成为现在概率教科书中古典概率部分的核心内容。
古典概型概念
古典概型概念
1. 定义
若随机试验具备以下两个特征:
(1)每次试验的基本事件数是有限的;
(2)每个基本事件的发生是等可能的;
则称该试验为古典概型。
2. 古典概型公式
古典概率的计算问题可以转化为计数问题。
通过概念我们发现,古典概型的核心就是在计算中如何找分母---基本事件的所有情况数,找分子---符合事件要求的情况数,然后他们的比值就是事件A 发生的概率。
往往和我们前面学习的计数原理,排列组合紧密结合,用来计算数值。
古典概型是最经典的一种概率模型,在这种模型中基本事件只有有限个,并且每个基本事件都是等可能的。
在生活中我们常见的此类模型有掷骰子,摸球抽奖等
用古典概型计算概率的方法很简单:通过满足条件的基本事件数与基本事件总数相比就可以得到了。
古典概型
(3)恰有两位乘客在同一层离开,由于没有规定在哪一层离开,故有 种离开方式,有两人在某一层离开,有 种离开方式,其余4人的离开方式不在同一层离开,这有以下三种方式:4人在同一层离开共有 种离开方式;有3个人在同一层离开,另一个人在其余8层中的任一层离开,共有 种可能;4个人都不在同一层离开,共有 种结果.于是,有利结果数为
[例2] 一套五卷的选集,随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率.
解:以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号,这时一个放置的方式与一个向量(a,b,c,d,e)对应,而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值(而且不许重复取某一个值),故这种向量数共有5!=120.因为各卷书的安放是随机的,所以这120种放法是等可能的,这时就得到一个古典概型 ,而有利事件 发生只有两种可能性:或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1,所以
一、古典概型
一个随机试验,数学上是用样本空间 、事件域 和概率 来描述的.对一个随机事件 ,如何寻求它的概率 是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验,它具有下述特征:
对于一个试验 ,如果具有:
(1)样本空间 的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为 个,并记它们为 ,
(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有
.
[例7] 9名学生中有3名女生,将3名女生随机地分成3组,每组3人,求事件 :每一组有一名女生,及事件 :3 名女生在同一组中的概率.
解:(1)9名学生中有3名女生,将3名女生随机地分成3组,每组3人,共有 种分法.
对于事件 ,先将男生分到组里去,每组2名,这有 种,再将女生分到每一组,每组一名,共有3!种,因此 的有利样本点共有 种.所以
浅析古典概型的概率计算问题
解 : ( 1 ) 作 树状 图 , 如图 l :
乙一 丙 乙 甲一丙 丙 甲 一 乙
解 : 设 4个 白 球 的 编 号 分 别 为 l , 2 . 3 , 4; 2
个 红球 的 编号分 别 为 5 , 6。 从 袋 中 的 6个 球 中 任 意 取 2个 球 的 所 有 基 本 事 件 是 : ( 1 , 2) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4) ,
日中 值 班 , 每 人 值 班 1天 。 ( 1 ) 这 3 人 的 值 班 顺 序 有 多 少 利- 小 同 的 安 排方 法 ?
( 2 ) 甲 在 乙之 前 的 安 排 方 法 有 多 少 种 ? ( 3 ) 甲安 排 在 乙 之 前 的 概 率 是 多 少 ?
( 1 ) 事 件 A一 “ 取 出 的 2个 球 都 是 白 球 ” ;
( 2, 5), ( 2, 6),( 3。 4), ( 3, 5),( 3, 6) ,( 4, 5) ,
丙 一 乙 同 的 排 法 共 有 6种 。 ( 2 ) 『 } 1 树状 罔 得 , 甲 在 乙 之 前 的 安 排 方 法
有 3种 。
( 4, 6 ) , ( 5. 6 ) . 总 共 1 5个 基 本 事 件 。
( 3, 5 ) , ( 3 , 6) , ( 4。 5 ) . ( 4, 6 ) 。所 以 取 出 的 2 个 球 一 个 是 白球 , 一 个 是 红 球 的 概 率 为 Pf
…
一
旦
数学论文--古典概型.doc
古典概型中样本空间的选取数学与应用数学专业学生张媛媛指导教师徐伟摘要:在古典概型计算中由于样本点总数的计算必须在已经确定的样本空间进行,如何选取适当的样本空间是研究古典概型的首要问题。
即使为同一问题,考虑的角度不同,得到的样本空间也不同。
如果对古典概型的样本空间只作抽象的描述,不便于真正理解不同问题样本空间的联系和区别,以至于在求事件概率时,选取错误的样本空间,滥用古典概型公式,论文正是基于这一目的,在正确思路和有关基础理论的基础上,通过对典型的例子进行研究,分析其一般原则和最佳样本空间的构思,通过结构对称压缩法构造恰当的样本空间,选择最佳的样本空间,简化古典概率的求解。
关键词:古典概型概率样本空间排列组合The selecting of sample space in the classical probability modelStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Zhang YuanyuanTutor XuweiAbstract: In the classical probability model,the calculation of the sample points must be conducted in sample space what have been identified .How select the appropriate sample space of classical probability model .Even for the same problem. Only for the abstract description about sample space in the probability model .Due to the different research questions,Sample space is also different. It is difficult to understand the links and differences between the different sample space .When seeking the probability of something will lead to selection the wrong sample space and abuse sample space .The purpose of this paper is based on the correct ideas and theories about the underlying .By studying about typical example to analyze the general principles and best sample space. Construct the appropriate sample space by a symmetrical compression method to choose the best sample space and simplify the solution of classical probability model .Key words: classical probability model; probability; sample space;引言古典概型是概率论中最重要的内容之一,在概率论中占有很重要的地位。
浅谈古典概型及其解题方法
海南大学毕业论文(设计)题目:浅谈古典概型及其解题方法学号:*************** 姓名:覃怀森年级:12 级学院:信息科学技术学院系别:数学系专业:数学与应用数学专业指导教师:***摘要(是对论文内容的概括总结)古典概型在概率论中占据着极为重要的地位。
它既是概率论的基础入门,又是学习概率论过程的难点所在,因为其直白简洁的概念和计算公式,让我们更难掌握精准的解题方法。
古典概型之所以难以理解是因为:首先,古典概型涉及到的实际问题千变万化,需要敏锐的洞察力和深人细致的分析,才能解决古典概型问题;其次,古典概型的计算涉及到诸如加法原理、乘法原理、排列、组合等数学知识,特别是加法原理、乘法原理的应用很容易混淆,而排列与组合则更难,都可能导致错误的计算结果。
古典概型本身尽管复杂有关,但更重要的是:对古典概型的理解不深、不透彻,从而思考问题不得要领。
(第二段可以简写)对古典概型及其解题方法的研究,能系统地加深对概率论的理解和应用。
本文通过系统的学习古典概型的概念和解题方法,达到更深层次对古典概型的的理解和更好的运用。
(对论文干了什么工作可以写更详细点)在概率论中我们最先学到的知识就是古典概型,古概型是概率论的起源,是一切概率问题的基础,如何看清古典概型的本质是需要研究的问题,我们要让让古典概型这个既熟悉又陌生的名字,努力使之成为懂的人爱之越深,不懂的人不再一脸茫茫然。
在此,需要我们系统的去深入学习和理解。
关键词:古典概型,样本空间,基本事件,解题方法Abstract做相应修改Classical probability plays a very important role in the theory of probability. It is not only the basis of probability theory, but also is learning probability on the process difficulty, because the concept and formula of the straightforward and simple, let us have more difficulty to grasp accurate method of solving problems.Classical probability type because it is difficult to understand .the reasons: first, classical probability relates to a kaleidoscope of practical problems and need keen insight and deep and careful analysis, in order to solve the classical type of probability; secondly, the classical probability calculations related to such as the addition principle, the principle of multiplication, permutation and combination, mathematical knowledge, especially it is easy to get confused about the application of the principle addition and multiplication, and arranged and combination is more difficult and may lead to incorrect results. , classical probability itself although complex, but more important is: on the classical probability type understanding is not deep, not thorough and think to no avail.The understanding and application of the theory of probability can be systematically studied by the research of the classical model and its solution method. In this paper, through the systematic study of the concept of classical concept and problem-solving methods, to achieve a deeper understanding of the classical model and better use of. In probability theory, we first learn the knowledge is the classical type of probability, the ancient probability is probability theory origin, is the basis of all probability problems, how to see the essence of classical probability is a need to study the problem, we must let the classical type of probability that both familiar and unfamiliar names, efforts to become people who understand the love more deep, do not understand the people no longer look blankly. Here, we need to go deep into the system to learn and understand.keywords:Classical probability model, Sample space, Basic event, Symmetry .目录1.古典概型的基本概念 (1)1.1古典概型的意义 (1)1.2古典概型的特点 (1)1.3古典概型的运用 (1)1.3.1博彩领域的运用 (1)1.3.2保险赔偿问题的运用 (2)1.3.3生活中概率问题的运用 (3)1.3.4抽签的公平性运用 (4)1.4古典概型的基本解题思想 (4)2.古典概型的解题方法和分类 (5)2.1古典概型题型的分类 (5)2.2古典概型的解题方法 (5)2.2.1选取不同的样本空间解题 (6)2.2.2利用排除(间接)法解题 (7)2.2.3利用对立事件解题 (7)2.2.4利用对称性解题 (8)2.2.5利用化归思想方法解题 (8)3.总结 (10)4.致谢 (11)参考文献 (12)1、古典概型的基本概念和解题方法1.1古典概型的基本概念如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的,且每个单位事件发生的可能性均相等,则这个随机试验叫做拉普拉斯试验,这种条件下的概率模型就叫古典概型。
古典概型
一、古典概型一个随机试验,数学上是用样本空间、事件域和概率来描述的.对一个随机事件,如何寻求它的概率是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验,它具有下述特征:对于一个试验,如果具有:(1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为个,并记它们为,(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有通常就称这种数学模型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位,一方面,因为它比较简单,许多概念既直观而又容易理解,另一方面,它又包括了许多实际问题,有很广泛的应用.对上述的古典概型,它的样本空间,事件域为的所有子集的全体,这时,连同在内,共含有个事件,并且从概率的有限可加性知于是对任意一个随机事件,如果是个基本事件的总和,即则=中所含的基本事件数/ 基本事件总数=中有利事件数/ 基本事件总数(中所含的基本事件数,习惯上常常称为的有利事件数).不难验证,上述的概率的确具有非负性、规范性和有限可加性.二、几个古典概型的例子[例1]在盒子中有十个相同的球,分别标为号码,从中任取一球,求此球的号码为偶数的概率.解法1令={取得球的标号为}则故基本事件总数为.又令={所取球的号码为偶数}显然所以中含有5个基本事件,从而解法2令,其中这时,由的对称性即得这两种解法都是正确的,但二者的样本空间(从而事件域)是不同的,严格地说,两者所描述的随机试验是不同的.例如,对于第二种解法来说,={所取球的号码为4}并不属于事件域,也就是说,不是一个事件,从而也就没有概率可言. 但对于第一种解法来说,是事件,而且.因此提请读者注意,为求一个事件的概率,样本空间可以有不同的取法,但一定要认清,基本事件总数和有利事件数的计算都要在同一个样本空间中进行,否则要引起混淆并导致谬误![例2] 一套五卷的选集,随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率.解:以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号,这时一个放置的方式与一个向量(a,b,c,d,e)对应,而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值(而且不许重复取某一个值),故这种向量数共有5!=120.因为各卷书的安放是随机的,所以这120种放法是等可能的,这时就得到一个古典概型,而有利事件发生只有两种可能性:或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1,所以[例3] 设有任意个人,每个人都等可能地被分配到个房间中的任一间去住,求下列事件的概率:(1)指定的个房间各有一个人住;(2)恰好有个房间,其中各住一个人.解:(1)因为每一个人有个房间可供选择,所以个人住的方式共有种,它们是等可能的.在第一个问题中,指定的个房间各有一个人住,其可能总数为个人的全排列,于是(2)个房间可以在个房间中任意选取,其总数有个,对选定的个房间,按前述的讨论可知有种分配方式,所以恰好有个房间,其中各住一个人的概率为这个例子常称为“分房问题”.如把例子中的“人”理解为“粒子”, “房间”理解为粒子所处的能级,那么“分房问题”所描述的模型就是统计物理学中的马克斯威尔-波尔兹曼统计.如果个人不可分辨的,那么上述模型即对应于玻色-爱因斯坦统计; 如果粒子不可分辨的,并且每一个“房间”里最多只能放一个“粒子”,这时就得到费米-狄拉克统计.这三种统计在物理学中有各自的适用范围.由以上的例题我们看到,求解古典概型问题的关键是在寻求基本事件总数和有利事件数,但正面求这两个数并不那么容易的,有时要研究一些技巧.要掌握这些技巧,当然需要一些艰苦的训练.[例4] 某班级有个人,问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大?解假定一年按365天计算,把365天当作365个“房间”, 那么问题就可以归结为例3,这时“个人的生日全不相同”就相当于例3中的(2): “恰好有个房间,其中各住一个人”.令={个人中至少有两个人的生日在同一天}则={个人的生日全不相同}由例3的(2)知而于是这个例子是历史上有名的“生日问题”,对不同的一些值,计算得相应的值如下表:上表所列的答案是足以引起多数读者惊奇的,因为“一个班级中至少有两个人的生日相同”这种情形发生的概率,并不如大多数人直觉想象的那么小,而是相当大.由表中可以看出,当班级中的人数为23时,就有半数以上的班级会发生上述事情,而当班级中的人数达到50时,竟有97%的会发生上述事件.当然,这里讲的“半数以上”、“有97%”都是就概率而言,正如前面中所讨论的那样,只是在大数次重复下(这就要求班级的数目相当多),才可以理解为频率.这个例子告诉了我们,“直觉”并不很可靠,这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性.[例5] 袋子中有只黑球,只白球,它们除颜色不同外,其他方面没有差别,现在把球随机地一只只地摸出来,求第次摸出来的一只球是黑球的概率.解法1:把只黑球与只白球都看作是不同的(对它们进行编号),若把摸出的球依次放在排列成一条直线的个位置上,则可能的排列相当于把个元素进行全排列,总数为,把它们作为样本点全体.有利场合数为,这是因为第次摸得黑球有种取法,而另外次摸球相当于只球进行全排列,有种构成法,故所求概率为这个结果与无关.回想一下,就会发现这与我们平常生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签,对各队机会均等,与抽签先后次序无关.解法2:把只黑球看作是没有区别的,把只白球也看作是没有区别的.仍把摸出的球依次放在排列成一条直线的个位置上,因若把只黑球的位置固定下来,则其他位置必然是白球,而黑球的位置可以有。
古典概型研究报告论文范文
古典概型研究报告论文范文古典概型研究报告论文范文摘要:本研究旨在探讨古典概型在概率论和统计学中的应用和意义。
通过对古典概型的定义和特点进行详细阐述,我们发现古典概型在解决实际问题中具有重要的应用价值。
然而,古典概型也存在一些局限性,需要在实际应用中加以注意。
本研究通过案例分析,进一步揭示古典概型的局限性,并提出了一些改进措施。
本论文旨在为古典概型的研究和应用提供参考,并希望有助于相关领域的进一步发展。
关键词:古典概型,概率论,统计学,应用,局限性1. 引言概率论和统计学是数学中重要的分支学科,广泛应用于各个领域。
在概率论和统计学中,古典概型是最基础、最简单的一种概率模型。
它通过对事件发生的可能性进行计数,从而提供了一种简单而有效的方法来推测事件的概率。
然而,在实际应用中,古典概型也存在一些局限性,需要我们加以注意和改进。
本文将通过详细阐述古典概型的定义和特点,以及通过案例分析探讨古典概型在概率论和统计学中的应用和意义,从而全面了解古典概型在实际问题中的可行性和局限性。
2. 古典概型的定义和特点古典概型是指每个样本点发生的概率相等的概率模型。
它具有以下特点:(1)每个样本点发生的概率相等;(2)样本空间是有限的,且每个样本点是互不重复的。
古典概型常用于简单的排列组合问题,如选择球的颜色、抛掷硬币等。
通过古典概型,我们可以计算出每种可能性下事件的概率,并进行推断和预测。
3. 古典概型在概率论中的应用古典概型在概率论中具有广泛的应用。
首先,古典概型可以用于计算事件的概率。
通过对每个样本点发生的概率进行计数,我们可以得到每种可能性下事件的概率。
其次,古典概型还可以用于计算条件概率。
在给定某个条件下,我们可以根据古典概型计算出满足条件的样本点数目,从而计算出条件概率。
最后,古典概型还可以用于计算事件的互斥和独立性。
通过对事件之间的互斥和独立性进行判断,我们可以得到更加准确和可靠的概率计算结果。
4. 古典概型的局限性古典概型在实际应用中存在一些局限性。
关于古典概型的几点思考
关于古典概型的几点思考古典概型是概率论中的一种基本概念,也是最早被研究和应用的概率模型之一。
其核心思想是在样本空间中,所有基本事件具有相同的概率。
该概念不仅在数学领域得到广泛应用,还十分适用于各种实际情况中的概率问题。
本文将就古典概型进行一些思考和探讨。
概率与古典概型在古典概型中,样本空间每个基本事件出现的概率都相等,即$P(event_i)=\\frac{1}{n}$,其中n为样本空间元素总数。
古典概型的随机性质使得其应用非常灵活,因为在不了解某些信息的情况下,我们可以根据古典概型去计算概率。
比如,在投掷骰子的游戏中,假设使骰子朝上的每一个面具有等概率出现的机会,则每面的概率都为 $\\frac{1}{6}$。
这是最简单的古典概型之一,也可以解释为一个大小为6的样本空间中每个基本事件的概率是相等的。
因此,投掷掷子的概率可以通过古典概型来计算。
在实际应用中,古典概型虽然难以模拟真实环境下的复杂问题,但是受制于其分析简单、计算方便的特点而广泛应用于现实生活中的各种场景中,例如考试问题、投票问题、依赖性问题等等。
古典概型的限制尽管古典概型计算方便,但它的应用范围也存在一定的限制。
主要体现在以下方面:•适用于离散型变量:古典概型主要应用于离散型变量的概率计算,而连续型变量的概率计算则需要使用其他的方法,比如概率密度函数;•只适用于互不影响状态:古典概型只适用于各状态之间互不影响的情况。
当一个事件的概率依赖于其他事件的发生情况时,古典概型就不再适用,需要考虑其他的概率模型。
古典概型的应用对于古典概型的应用,在不同领域具有不同的特点。
本文将重点介绍几项实际应用中常见的例子,分别是:1. 投掷一枚硬币投掷一枚硬币是古典概型应用的经典例子。
在投掷硬币的过程中,样本空间只有两个元素,即正面或反面,出现的概率均为$\\frac{1}{2}$。
这一问题通常用来介绍古典概型的基本概念,以及把握事件的基本概率。
2. 投掷多枚硬币投掷多枚硬币是一个求复合概率的问题。
古典概型总结文案范文
在数学的广阔领域中,概率论如同璀璨的星辰,照亮了我们对随机现象的认知之路。
古典概型作为概率论的基础,为我们揭示了简单随机实验中概率计算的规律。
本文将带领大家回顾古典概型的基本概念、特征以及应用,以期对这一重要分支有一个全面而深刻的理解。
一、古典概型的定义古典概型,又称等可能概型,是指在有限个基本事件中,每个事件发生的概率都相等的概率模型。
在这种模型中,样本空间是有限的,每个基本事件的出现都是等可能的。
二、古典概型的特征1. 样本空间有限:在古典概型中,样本空间所包含的基本事件数目是有限的,可以一一列举。
2. 等可能性:每个基本事件发生的概率相等,即每个基本事件的出现都是等可能的。
3. 互斥性:样本空间中的基本事件是互斥的,即任意两个基本事件不会同时发生。
三、古典概型的计算公式古典概型的概率计算公式为:P(A) = N(A) / N(S),其中P(A)表示事件A发生的概率,N(A)表示事件A包含的基本事件数目,N(S)表示样本空间中基本事件的数目。
四、古典概型的应用1. 日常生活:古典概型在日常生活中有着广泛的应用,如掷骰子、抽签等。
2. 经济领域:在保险、投资等领域,古典概型可以帮助我们预测和评估风险。
3. 工程领域:在工程领域,古典概型可以用于分析和评估各种随机现象。
4. 统计学:在统计学中,古典概型是构建概率分布的基础。
五、总结古典概型作为概率论的基础,为我们提供了计算概率的方法和理论框架。
通过对古典概型的学习和应用,我们可以更好地理解和应对现实生活中的随机现象。
在今后的学习和工作中,让我们不断拓展古典概型的应用领域,为我国概率论的发展贡献力量。
高中数学古典概率问题探讨
高中数学古典概率问题探讨【摘要】本文主要探讨了高中数学中关于古典概率的基本概念、公式推导、实例分析、解决方法和应用。
在引言部分简要介绍了古典概率的由来和重要性。
接着,在正文中详细讨论了古典概率的定义和基本概念,推导了古典概率公式,并通过实例分析展示了古典概率在实际问题中的应用。
介绍了解决古典概率问题的方法,包括计算概率、排列组合等技巧。
在结论部分总结了文章内容,并展望了古典概率在高中数学教育和实际生活中的重要性和应用前景。
通过本文的阐述,读者将更好地理解古典概率的概念和方法,提高数学问题解决的能力。
【关键词】高中数学、古典概率、基本概念、公式推导、问题实例分析、解决方法、应用、引言、结论和展望1. 引言1.1 引言在数学中,概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具。
而古典概率则是最古老的概率理论之一,它基于随机试验的结果空间和样本空间的概念,通过对试验的研究和观察,得出事件发生的可能性大小。
古典概率的推导和分析是高中数学课程中重要的内容,通过学习古典概率,可以帮助学生理解概率的基本原理和计算方法,并应用到生活和工作中。
本文将从古典概率的基本概念入手,系统地介绍古典概率的定义、性质和运算规则,然后对古典概率公式进行推导和分析,帮助读者更深入地理解概率计算的原理。
随后,我们将通过实例分析古典概率问题,探讨古典概率问题的解决方法,并探讨古典概率在实际生活和工作中的应用。
通过本文的研究,相信读者能够对古典概率有更深入的了解,进而更好地应用于实际情境中解决问题。
希望本文能为高中数学学习者提供一定的参考和帮助。
2. 正文2.1 古典概率的基本概念在高中数学中,概率是一个非常重要的概念,而古典概率是最为基础的一种概率计算方法。
古典概率是指在试验中每个基本事件出现的可能性是相同的情况下,根据事件的总数和有利事件的总数来计算事件发生的概率。
在古典概率中,我们首先需要了解基本概念,其中包括样本空间、随机事件、基本事件等。
概率论-古典概型
若甲乙必须从左到右排 (去序法)
6! 2!
5.组合:从n个不同元素取 r 个组成一组(去序)
( 从n个不同元素一次取 r 个)
不同取法有
C
r n
Anr r!
n! 种 r!(n r)!
(相当于将n个元素分成两组)
推广1. n个元素分成k组,每组有rk个元素,(r1 rk n)
解 设A {至少有1人生日在元旦 }
P( A) 1 P( A)
A {无人生日在元旦}
key
:
1
36435 36535
Ex13.某班有n个同学(n 365),求至少有人两数位同至学少的有生两日人在
同一天的概率.(一年按365天计)
同生日的概率
设A {至少有两人生日在同一天 }
到达时间(与6点之差) . 根据题意有 0 x 60 ,0 y 60 ,
将( x, y)看作平面上的一个点,则样本空间可取作
{(x, y) | 0 x 60, 0 y 60}
y
60 A
15
事件A发生当且仅当( x, y) ,且 | x y | 15 , 0 15
它的特点是称为古典概型最简单的一类试验模型个基本事件复合成的个基本事件中的某是由全部若事件的基本事件数称为有利于a可以如下计算概率有利于a的基本事件数试验的基本事件总数可列可加性具有非负性规范性和容易验证上述概率确正面出现的概率观察做抛一枚硬币的试验正面至少出现一次的概计算正面只出现一次及掷两次将一枚匀称的硬币连续正面只出现一次设事件这里我们先简要复习一下计算古典概型所用到的基本计数原理加法原理设完成一件事有m种方式第一种方式有n种方法第二种方式有n种方法无论通过哪种方法都可以完成这件事则完成这件事总共有种方法
浅析古典概型解题--毕业论文
【标题】浅析古典概型解题【作者】谭冰玲【关键词】古典概型随机取样方式样本空间选取【指导老师】简大权【专业】数学与应用数学【正文】1.引言古典概型是概率论发展初期的主要研究对象,在概率论中占有相当重要的地位,是各类概率模型中最基本的一种,起着奠基性的作用。
古典概型概括了产品质量抽样检验等许多实际问题,并在理论物理的研究中有重要作用。
古典概型是初等概率论中最基本的内容之一,其习题历来是初等概率论的习题中的重点部分。
设一个随机试验的全部基本事件(样本点)只有有限个:其中每一个基本事件的出现可能性都相同(等可能性),即。
一个随机事件可表示为样本空间的一个子集,且它的概率为,其中是所包含的样本点的个数(有利场合的个数)。
这就是古典概型。
古典概型的习题大多是求某个随机事件的概率。
求古典型随机试验中事件的概率主要有两个步骤:第一步是选取适当的样本空间,使它满足有限、等可能的要求,且把表示为的某个子集;第二步则是计算(样本点总数)及(有利场合的个数)。
虽然说古典概型的概念直观,计算公式简单,但是往往因不得要领而发生计算错误。
这是因为:首先,古典概型涉及到的问题千变万化,需要敏锐的洞察力和细致的分析,才能抽象成古典概型问题;其次,古典概型的计算涉及到加法原理、乘法原理、排列、组合等数学知识,特别是加法原理、乘法原理的应用很容易混淆,而排列与组合更难区别。
因而古典概型习题难解,思想方法独特,技巧性强,不易掌握规律。
因此,本文对古典概型题所涉及到的随机取样的方式,样本空间的选取及思考方法进行初步探究,得出解古典概型习题的一些有用的方法。
2.古典概型解题2.1随机取样的方式假设有个元素:。
若简记为,则,称为总体。
现从总体中一个一个地接连取出个元素,称此过程为次随机取样。
随机取样的方式有返回和不返回、有次序和无次序之分。
返回取样:每次从总体中任意取出一个元素,并在下次取样之前又放回总体。
不返回取样:每次从总体中任意取出一个元素,取出的元素均不再放回总体。
对古典概型的理解
对古典概型的理解对古典概型的理解古典概型是最简单,⽽且最早被⼈们所认识的⼀种概率模型,⼤约在1812年著名数学家拉普拉斯就已经注意并研究了古典概型概率的计算。
古典概型的特点:⑴所有的基本事件只有有限个;⑵每个基本事件发⽣的概率相等,⑶不需要通过⼤量重复的试验,只要通过对⼀次试验可能出现的结果进⾏分析即可.古典概型的教学应让学⽣通过实例理解,教师⼀定分析清楚,“有限性”和“等可能性”的含义。
教学中不但要把重点放在“如何计数”上,同时还要⿎励学⽣⾃已动⼿做实验,亲⾃去体会这种模型的作⽤。
现在我们来看两个随机试验的概率模型是不是古典概型。
1.向⼀个圆⾯内随机地投射⼀个点,如果该点落在圆内任意⼀点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么?因为试验的所有可能结果是圆⾯内所有的点,试验的所有可能结果数是⽆限的,虽然每⼀个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满⾜古典概型的第⼀个条件有限性。
所以,不是古典概型。
(1)2.任取⼀些种⼦,⽤A表⽰"种⼦发芽",B表⽰"种⼦不发芽",则对于事件A和B,尽管它们都是基本事件,但⼀般来说不是等可能的,所以这个随机事件也不是古典概型.古典概型的应⽤:例1 随意抛掷⼀枚均匀硬币两次,求两次出现相同⾯的概率。
分析:硬币落地后会出现四种结果:分别记作(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)。
每种结果出现的概率相等, P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=1/4。
两次出现相同⾯的概率为。
这个问题完全可以让学⽣亲⾃动⼿去完成,然后再总结出现的结果。
教师还可以给出以下问题让学⽣分析:⼀袋中装有1个⽩球和1个⿊球,每个球除颜⾊外都相同,从袋⼦中任意摸出⼀个球,记下球的颜⾊后放回袋⼦中,摇动均匀⼿再从袋⼦中任意摸出⼀个球,两次都是颜⾊相同的球的概率。
这个问题是否符合古典概型的特征呢?是不是古典概型问题呢?这样让学⽣初步学会把⼀些实际问题化为古典概型,不同问题归结为同⼀个概率模型的思想,逐渐养成分析问题的意识,充分体现了以学⽣为主体,培养学⽣的亲⾃动⼿的能⼒,观察与总结问题的能⼒。
古典概型概率
古典概型概率
古典概型概率是由法国数学家保罗·科尔贝于1812年提出,是有限随机实验中计算概率的一种理论。
它认为随机实验的可能性取决于该实验所包含的样本空间无外乎两个:实验成功或失败。
对于一个有限的样本空间来说,如果注意到其中某些成功的情况数量(即S1),则失败情况的数量也就已经定义好了(即F=N-S1)。
因此,可以将该随机实验的成功概率表述为S1/N。
古典概型概率通常用来估计一件特定事件发生的几率。
例如在随机试验中用一个面值为6的正方体来代表6个不同情况时,如果要估计在这6 个情况中出现特定情况的几率,则可以使用古典概型概率估计这一特征情况出现的几率是1/6.
总之,古典概型概率是利用样本量少但是样本数量单一、容易数量化的情况来估计特征情况出现的几���;考量到不同因子影响、分布开展大量样本测得、不易数量化时对此理论进行扩展使之通用性加强.。
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浅析古典概型
1018202班于春旭1101800214
经过一学期的概率论与数理统计的学习,从最开始的随机事件与概率到多维随机变量,再到数理统计,参数估计。
对于概率的一些基本知识已经有所掌握。
那么回过头来,让我们去分析一下概率论中最为基础的也是最为贴近平时生活的一种概型,古典概型。
所谓古典概型是一种概率模型。
古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形,即基本空间由有限个元素或基本事件组成,其个数记为n,每个基本事件发生的可能性是相同的。
若事件A包含m个基本事件,则定义事件A发生的概率为p(A)=m/n,也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数,这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义,或称之为概率的古典定义。
历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。
计算古典概率,可以用穷举法列出所有基本事件,再数清一个事件所含的基本事件个数相除,即借助组合计算可以简化计算过程。
例如:掷一次硬币的实验(质地均匀的硬币),只可能出现正面或反面,由于硬币的对称性,总认为出现正面或反面的可能性是相同的;如掷一个质地均匀骰子的实验,可能出现的六个点数每个都是等可能的;又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验,也属于这个模型。
是概率论中最直观和最简单的模型;概率的许多运算规则,也首先是在这种模型下得到的。
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。
相较于其他概型,古典概型有以下特点:1、实验的样本空间只包括有限个元素;2、实验中每个基本事件发生的可能性相同。
求古典概型的概率的基本步骤:(1)算出所有基本事件的个数n;(2)求出事件A包含的所有基本事件数m;(3)代入公式P(A)=m/n,求出P(A)。
古典概率模型是在封闭系统内的模型,一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定,其他事件概率也会跟着发生改变。
概率模型会由古典概型转变为几何概型。
除开以上的基础内容外,关于古典概型,可以做一些的简单案例解析,以便与我们更好地理解。
众所周知,古典概型起源于赌博,所以有许多经典问题都十分生活化。
而且有些问题的解题思路灵活,方法十分直观简单,这也正是古典概型的魅力所在。
以下是几个例子:1.分赌本问题
最初吸引数学家研究赌博问题的就是分赌本问题:甲、乙两人赌技相同,各出赌注500元。
约定:谁先胜三局,则谁拿走全部1000元。
现在赌了三局,甲两胜一负,因故要中止赌博,问这1000元要如何分才公平?
这个问题在当时持续了很长一段时间没有得到解决,且众说纷纭。
有人认为按已胜的局数分,即甲拿2/3,乙拿1/3,但仔细分析,这样分是不合理的,因为设想再继续赌下去,结果无非是以下四种:甲甲,甲乙,乙甲,乙乙。
把已赌过的三局与此对照,可以看出,对前三个结果,都是甲先胜三局,因而得1000元,只在最后一个结果中乙才得1000元,在赌技相同的情况下,这四个结果出现的可能性相等,即甲、乙最终获胜的可能性之比为3:1(或甲最终获胜的概率为3/4,乙最终获胜的概率为1/4),所以全部赌本按这个比例来分,即甲分750元,乙分250元才算公平合理。
这个例子告诉我们,看问题不能只看表面,而应深入地分析,才能揭开问题的本质。
由此便又想到另一个比赛问题,在100名选手中进行淘汰赛,最后产生1名冠军,问要进行几场比赛? 一般的想法是第一轮要进行50场比赛,留下50名选手;第二轮……但这个过程漫长繁琐。
换一个角度来想这个问题,比赛一场淘汰一人,最后只剩下一人(冠军),这意味着要淘汰99人,所以要比赛99场,就这么简单。
2.对称法
对称性被广泛应用于古典概型的问题中,因为古典概型中的等可能性决定了在这个模型下的事件概率具有某种对称性。
它的优点是可以避开纠缠不清的种种关系,直接得到结果。
例如:甲、乙两人掷均匀硬币,其中甲掷 n+1次,乙掷n次,求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数的概率?用A1表示甲掷出正面的次数,A2表示甲掷出反面的次数,B 1表示乙掷出正面的次数,B2表示乙掷出反面的次数。
由于硬币是均匀的,所以掷硬币后所得到的结果具有对称性,显然P(A1> B 1)=P(A2> B2),而掷硬币的所有结果也无非这两类: A1> B 1 及A2> B2,故P(A1> B 1)=P(A2> B2)=1/2
另一个问题的分析方法也是同样:将标号为1、2、3、4的四个小球随意地排成一排,求1号球排在2号球的右边(不一定相邻)的概率?由于1号球不是排在2号球的右边就是排在2号球的左边,二者必居其一。
而交换1号球和2号球的位置其左右也正好发生交换,所以排在左边与排在右边的排法数是相同的各占其中的1/2,故1号球排在2号球的右边的概率是1/2(当然1号球排在2号球的左边的概率也是1/2)。
以上只是简单的几个例子,却也体现了古典概型在生活中的一些问题中的简单应用。
相较于复杂的概率解析问题,古典概型因其简单明了而更加贴近生活。
同时,古典概型之中含有最简单初级的博弈思想,一些生活中的问题可以用古典概型做出简单地诠释,也便于我们做出最优的选择。
学习概率论与数理统计之后,在掌握复杂的解题思想以及解题方法之余,更多的去做一些初等问题的思考,有助于我们对于概率论的整体的思想的体悟,古典概型便是一个最初级的手段,掌握并灵活运用,是帮助我们更加深入理解概率论的有效方法。
于春旭 1101800214。