福建省厦门市2020届高三第一次质量检测数学(文科)试题(含答案)

A． −1+ i
B． −1− i
C．1 + i
3．已知双曲线 E ： x2 − y2 = 1 的一个焦点是 (2,0) ，则 E 的渐近线方程为
k
A． y = 3 x 3
B． y = x
C． y = 2x
4．通过随机询问 100 名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表：
男
喜欢
40
不喜欢 10
15．已知倾斜角为
4
的直线 l
经过椭圆
E
的左焦点，以
E
的长轴为直径的圆与
l
交于
A
，
B
两点，若弦长
AB
等
于 E 的焦距，椭圆 E 的离心率为
．
16．如图，某景区有景点 A，B，C，D．经测量得，BC=6km， ABC = 120 ，
sin BAC = 21 ， ACD = 60 ， CD AC ，则 AD = 14
x + y − 2 0，
A． − 2
B． 0
C．1
6．已知 为第三象限角， cos − sin = − 10 ，则 cos 2 = 5
A． − 4 5
B． − 3 5
C． 3 5
7．我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称
为刍童．现有一个长、宽、高分别为 5、3、3 的长方体，将上
底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转 90 度，得到一
三边上运动，则 PE PF 的最大值为
A． 5 2
B． 11 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
C． 13 2
D． 17 2
13．已知向量 a =（2，1）， b =（x,4），若 a ⊥ b ，则 x 的值为______．
14．若曲线 y = ax2 + 3 在点 (1, a + 3) 处的切线与直线 x + y + 3 = 0 平行，则 a 的值为_______． x
9．函数 f (x) = ex − ln | x | 的部分图象大致为 x
A
B
C
10．如图，边长为 2 的正方形 ABCD中， E , F 分别是 AB , BC
的中点，将△AED,△DCF 分别沿 DE , DF 折起，使 A , C
两点重合于点 A1 ,则线段 A1B 的长为
A． 2
B． 2 3 3
在数列 an 中， a2 =5 ，且1， an ， an+1 成等差数列． （1）求证：数列an −1是等比数列； （2）设an 前 n 项和为 S n .求使得 log 2 Sn 10 成立的 n 的最大值．
18.（12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆 E 过点 F (0,1) ，且与直线 m ： y = −1相切．动圆圆心 E 的轨迹记为 C . （1）求轨迹 C 的方程； （2）过点 F 作斜率为 k(k 0) 的直线 l 交 C 于 A ， B 两点，使得 AB = 8 ，点 Q 在 m 上，且满足 QAQB = 1 , 求 △QAB 的面积.
当 n = 1 时，有 2a1 = a2 +1=6 ，得 a1 = 3 ，···········································································2 分
所以 an+1 −1 = 2(an −1)
，又
a1
−1
=
2
，所以
an+1 − 1 an −1
A．有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关” B．有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关” C．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别有关” D．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关”
x 2，
5．设
x
，
y
满足约束条件
y
1，
则 z = x − y 的最大值为
（1）若 a,b,c 0 ， f (0) = 1 ，证明： ab + bc + ac 1 ；
3
（2）若 a = b = 1，对于任意的 x
, 1 ， f ( x) 4 恒成立，求 c 的取值范围.
厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查参考答案
文科数学
一、选择题： CADAC DCACB CB
22
8
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4 − 4 ：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x = −2 ，曲线 C 的方程为 ( x −1)2 + y2 = 1，动点 P 到原点 O 的距离与到 l 的
km .现计划从
景点 B 处起始建造一条栈道 BM，并在 M 处修建观景台.为获得最佳观景效果，要
求观景台对景点 A、D 的视角 AMD = 120 .为了节约修建成本，栈道 BM 长度
的最小值为
km ．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分）
二、填空题：
13． −2
14．1
三、解答题：
15． 6 3
16． 6 7 ，10 3 − 2 21
17．本题主要考查等差、等比数列的定义，考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算；考查运算求解 能力；考查化归与转化思想等.满分 12 分.
解：（1）因为1， an ， an+1 成等差数列，所以 2an = an+1 +1 ， ······················································1 分
C．1
D． 6 3
11．若关于 x 的不等式 eax x3 在区间 e, e2 内有解，则实数 a 的取值范围是
A．
2
3 e
,+
B．
1 e
,
+
C．
6 e2
，+
D
D．
3 e
，+
12．已知△ABC 是边长为 2 3 的正三角形， EF 为该三角形内切圆的一条弦，且 EF = 3 .若点 P 在△ABC 的
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A = {−1，0，1,2,3}， B = {x | x(2x − 3) 0} ，则 A B =
A．{1}
B．{−1,2}
C．{−1,2,3}
2．设 z = 2 ，则 z 的共轭复数为 i −1
相等，进而可以得到 N 的估计值． 方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号 x1 ，x2 ，... ，xn 相当于从区间[0, N +1] 中
随机抽取 n 个整数，这 n 个整数将区间[0, N +1] 分为 (n +1) 个小区间：(0, x1), (x1, x2 ),, (xn , N +1) ．由于这 n
件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数）.
第 20 题图
21．（12 分）
已知函数 f (x) = ax2 − cos x ．
（1）当 a = 1 时，求函数 f (x) 的极值点； 2
（2）若 f (x) 在区间 ( − 3π , 3π ) 内有且仅有 4 个零点的充要条件为 a (N, M ) ，求证： M − N 2 ．
1− 2 所以 log2 Sn 10 即 2n+1 + n − 2 210 ， ················································································10 分 因为 (2n+1 + n − 2) − [2n + (n −1) − 2] = 2n +1 0 ，所以数列{2n+1 + n − 2} 为递增数列．
20.（12 分）
某批库存零件在外包装上标有从1到 N 的连续自然数序号，总数 N 未知，工作人员随机抽取了 n 个零件，它们 的序号从小到大依次为： x1 ， x2 ，... ， xn ．现有两种方法对零件总数 N 进行估计.
方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似
个数是随机抽取的，所以前 n 个区间的平均长度 xn 与所有 (n +1) 个区间的平均长度 N +1 近似相等，进而可以
n
n +1
得到 N 的估计值．
现工作人员随机抽取了 31个零件，序号从小到大依次为： 83 、135、 274 、 380、 668、 895、 955、 964、 1113、1174、1210、1344、1387、1414 、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、 2005、 2006、 2065、 2157、 2220、 2224 、 2396、 2543、 2791.
=
2
，
所以an −1 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列.····································································5 分
（2）由（1）知an −1 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列，