第3节 万有引力定律

第3节 万有引力定律●导学天地 学习要求● 基本要求● 1.了解万有引力定律发现的思路和过程，知道重物下落与天体运动的统一性.● 2.知道万有引力是一种存在于所有物体之间的吸引力.● 3.知道万有引力定律公式的适用范围.● 4.会用万有引力定律公式解决简单的引力计算问题. ● 发展要求 ● 1.了解万有引力定律在科学史上的意义.● 2.体会科学规律发现过程中猜想与求证的重要性. ● 说明● 不要求计算空心球体与质点间的万有引力.学法指导本节课讲述牛顿通过对月—地检验发现，地面物体受到地球的作用力，与月球受到地球的吸引力为同一种力，并且大胆的提出世界上任意两个物体之间都具有“与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的二次方成反比”的吸引力，经过直接或间接的检验，上述大胆的假设与推论成为科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律，表达式中G 叫做引力常量，适用于任何物体，直到牛顿发现万有引力定律一百多年后，英国物理学家卡文迪许才测出了这个常量，使万有引力定律更具有了实用价值.自主学习● 知识梳理 ●● 自主探究● 1.月—地检验 ● （1）检验目的：维持月球绕地球运动的力与地球上苹果下落的力是否为同一种力.● （2）检验方法：由于月球轨道半径约为地球半径的60倍.则月球轨道上物体受到的引力是地球上的 ● .根据 ，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度）应该是它在地面附近下落时的加速度（自由落体加速度）的2601.计算对比两个 就可以分析验证两个力是否为同一性质的力.● （3）结论：加速度关系也满足“反平方”规律.证明两种力为同种性质的力. ● 2.万有引力定律 ● （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的 成正比，与它们之间距离r 的 成反比. ● （2）公式： . ● （3）说明：式中G 是比例系数，叫做 ，适用于任何两个物体.英国物理学家 比较准确地测出了G 的数值，通常取● 1.月—地检验的结果有什么重要的意义？● ●● ● 2.万有引力定律中说到任何两个物体之间都存在引力，那么是不是所有引力都能用公式F=G 2rMm 来计算呢？● ● ● 3.由万有引力定律可知地面上的物体也应受到地球对它的引力，该引力是否就是物体受到的重力？ ●G= .引力常量是自然界中少数几个重要的物理常量之一. 理解升华重点、难点、疑点解析 1.月—地检验牛顿在思考使月球做圆轨道运动的向心力与地面物体所受的重力是否是同一性质的力时，曾提出过这样一个理想实验：设想有一个小月球非常接近地球，以至于几乎触及地球上最高的山顶，那么使这个小月球保持圆轨道运动的向心力当然就应该等于它在山顶处所受的重力，如果小月球突然停止做圆轨道运动，它就应该同山顶处的物体一样以相同的加速度下落.如果它所受的向心力不是重力，那么它就将在这两种力的共同作用下以更大的加速度下落，这与我们的经验是不符的.可见，重力和月球所受的向心力是同一性质的力.牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算了月球围绕地球做圆周运动的向心加速度为：a=224Tr π =2.74×10-3 m/s 2 假设地球周围物体受到的重力与维持月球绕地球转动的力是同一种性质的力，则物体的重力也应满足G ∝221rm m ，因为月球到地心的距离是地球表面物体到地心距离（地球半径）的60倍，所以当把物体放置在月球轨道上时，G 应为地面附近的2601，则此时的重力加速度为g ′=22601601=='m Gm G g ≈2.72×10-3 m/s 2，这一数值与月球绕地球转动的向心加速度十分接近，从而证明了假设的正确性，即使月球绕地球转动的力与地球对物体施加的重力是同一种性质的力，都是地球对物体的吸引力.以上结论为牛顿发现万有引力定律奠定了理论基础.2.万有引力定律（1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比.（2）公式：F=G221rm m 式中的质量的单位用kg ，距离的单位用m ，力的单位用N ，G 是比例系数，叫做引力常量.（3）适用条件：适用于任何两个物体.但公式F=G221r m m 只能用来计算两个可看作质点的物体间的万有引力，其中r 为两个质点间的距离；对于两个均匀球体，可等效为质量集中在球心的两个质点，r 是两球心间的距离；如果两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，两个物体均可视为质点.例如：如果两个物体相距无穷近，由公式F=G221r m m 可判断它们之间的引力就会无穷大，这种说法对吗？不对，因为两物体相距很近时，就不能看作质点，故公式F=G221r m m 就不能用来计算引力. （4）引力常量G①卡文迪许扭秤的设计原理：卡文迪许扭秤的工作原理是利用大球和小球间产生力矩，此力矩与金属丝力矩平衡.万有引力力矩使T 型架转动，T 型架转动时带动平面镜也发生转动，进而使入射到镜面上的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时移动距离，进而计算偏转角度，利用金属丝扭转力矩和扭转角度的关系，求出扭转力矩，从而求出大球和小球间的万有引力，利用F=G 2r Mm ，即G=MmFr 2，求出G.②测定G 值的意义：a.证明了万有引力的存在；b.使万有引力定律有了真正的实用价值.3.物体在地面上所受的引力与重力的区别与联系 地球在不停地自转、地球上的物体随地球自转而做圆周运动，自转圆周运动需要一个向心力，是重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力的原因，如图6-3-1万有引力为F ，重力为G ，自转向心力为F ′.当然，真实情况不会有这么大偏差.图6-3-1（1）物体在一般位置时F ′=mr ω2，F ′、F 、G 不在一条直线上（2）当物体在赤道上时，F ′达到最大值F max ′ F max ′=mR ω2，此时重力最小： G min =F-F ′=G2RMm -mR ω2. （3）当物体在两极时F ′=0 G=F ，重力达最大值G max =G2R Mm. 可见，只有在两极时重力等于万有引力，其他位置重力要小于万有引力.由于自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力.例题评析应用点一：万有引力定律公式的理解例1：如图6-3-2所示两球间的距离为r ，两球的质量分布均匀，大小分别为m 1、m 2，半径大小分别为r 1、r 2，则两球的万有引力大小为 （ ）图6-3-2A.G221rm m B.G2121r m m C.G22121)(r r m m +D.G2221)(r r r m m ++试解： .（做后再看答案，效果更好.） 思路分析： 公式F=G221r m m 中r 的物理意义应是两物体质心间的距离，而不是物体表面间的距离.解析： 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由公式可知两球间万有引力应为22121)(r r r m m G++，D 选项正确.答案为D. 思维总结：（1）万有引力定律适用于质点或两个均匀球体之间的万有引力. （2）均匀球体之间万有引力的计算应取两球心间距离. 拓展练习1-1： 若两物体之间的距离r 趋于零时，根据公式F=G221rm m ，请探究分析两物体间的万有引力将如何变化？应用点二：万有引力定律的应用例2已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图6-3-3所示，有一半径为R 的均匀球体，球心为O 1，质量为8M ，今自其内挖去一个半径为2R的小球，形成球形空腔的球心为O 2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O 3，图中O 1、O 2、切点和O 3四点共线，求此时小球与大球剩余部分之间的万有引力.图6-3-3思路分析： 将均匀球体挖去一小球后变成了不均匀的球体，此时不能直接用万有引力定律公式来计算两球间的万有引力大小，但我们利用割补法来求解.解析： 小球质量为：m=大小V V ·8M=3334)2(34R R ππ·8M=M大球对小球O 3的万有引力为F 1=G222932)23(8R M G R M M ⋅=⋅ 小球O 2对小球O 3的万有引力为F 2=G 222RM G R M M =⋅ 小球O 3与大球剩余部分之间的万有引力为：F=F 1-F 2=22923R GM .答案：22923R GM思维总结：对于有规则几何形状、质量分布均匀的物体，它们之间的距离为几何中心的距离；对于质量分布不均匀的规则物体应具体情况具体分析，解题中注意发散思维的应用，本题的创新之处有两个：其一出题新，由质点间的引力和均匀球体的引力扩展到了有空腔的球体上；其二，解题的思路新，巧妙地运用了割补法来求解.拓展练习2-1： 如图6-3-4所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F ，如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且r=2R，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为（ ）图6-3-4A.2F B.8F C.F 87D.4F 应用点三：重力和万有引力的关系例3：设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R （R 是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g ，则g/g 0为 （ ）A.1B.1/9C.1/4D.1/16 试解： .（做后再看答案，效果更好.）思路分析： 地球周围的物体受到地球的万有引力随高度的增加而减小，在忽略地球的自转时重力等于万有引力.解析： 地面上：G2R mM =mg 0. ①离地心4R 处：G2)4(R Mm=mg②由①②两式得：161)4(20==R R g g .答案为D. 思维总结：（1）切记在地球表面的物体：mg=G2r Mm成立的条件是忽略地球的自转. （2）物体在离地面一定高度处，所受的万有引力通常也用mg 表示，只是g 随高度的增加而减小，不再等于地面附近的g.拓展练习3-1： 设地球表面重力加速度为g ，月心到地心的距离是地球半径的60倍，试计算月球的向心加速度.● 自我反馈 ● 自主学习● 1.2601牛顿第二定律 结果● 2.乘积 二次方 F=G 221rm m 引力常量 卡文迪许 6.67×10-11 N ·m 2/kg 2 ● 例题评析● 拓展练习1-1： 略 ● 拓展练习2-1： C ● 拓展练习3-1：36001g ●演练广场夯实基础1.月—地检验的结果说明 （ ） A.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质力 B.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种类型的力 C.地面物体所受地球的引力只与物体质量有关，即G=mgD.月球所受地球的引力除与月球质量有关外，还与地球质量有关 2.下列说法中正确的是 （ ） A.万有引力定律是卡文迪许发现的B.卡文迪许扭秤是用来验证万有引力定律是否正确的C.被人们称为“能称出地球质量的人”是牛顿D.万有引力常量是一个有单位的常量3.两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F ，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为 （ ）A.2FB.4FC.8FD.16F4.一个质子由两个u 夸克和一个d 夸克组成.一个夸克的质量是7.1×10-30 kg ，求两个夸克相距1.0×10-16 m 时的万有引力.5.如果已知地球的质量m=5.98×1024 kg ，太阳的质量M=1.97×1030 kg ，地球到太阳的距离R=1.49×1011 m ，那么太阳对地球的引力有多大？6.两艘轮船，质量都是1.0×104 t ，相距10 km ，它们之间的万有引力是多大？将这个力与轮船所受的重力比较，看看相差多少.7.已知地球半径为R ，将一物体从地面移到离地面高h 处时，物体所受万有引力减少到原来的一半，则h 为 （ ）A.RB.2RC.2RD.（2-1）R8.地球质量约为火星质量的9倍，地球半径约为火星半径的2倍，那么在地球表面重力为600 N 的人到火星表面上的体重变为 .9.地球半径为R ，在离地面h 高处和离地面H 高处重力加速度之比为 . 能力提升10.某星球的半径与地球半径之比为2∶1，质量之比为1∶5，假如某人在星球上和地球上跳高，则他在星球上和在地球上以相同的初速度竖直向上跳起的高度之比是多少？11.月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的1/6，一根绳子在地球表面能拉着3 kg 的重物产生最大为10 m/s 2的竖直向上的加速度，g 地=10 m/s 2，将重物和绳子均带到月球表面，用该绳子能使重物产生沿月球表面竖直向上的最大加速度为 （ ）A.60 m/s 2B.20 m/s 2C.18.3 m/s 2D.10 m/s 212.某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以a=21g 的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物相互挤压力为90 N 时，卫星距地球表面有多远？（地球半径R 地=6.4×103 km ，g 取10 m/s 2）13.一半径为R ，质量为M 的均匀球体，其球心O 与另一质量为m 的质点B 距离为l ，如图6-3-5所示，若切除以OA 的中点为球心、质量为m ′、以R 为直径的球体C ，求剩余部分对质点B 的万有引力？图6-3-5拓展阅读卡文迪许实验卡文迪许测引力常量时所做的实验，即卡文迪许实验.在牛顿发现万有引力定律100年后，英国物理学家卡文迪许（H.Cavendish ）于1789年巧妙地利用扭秤测出了引力常量.卡文迪许的实验装置如图6-3-6所示.图6-3-6在一根金属丝下倒挂着一个T 形架，架的水平横梁两端各装一个质量为m 的小球，T 形架的竖直部分装有一面小平面镜，两个小球由于受到质量均为M 的两个大球的吸引而转动，使金属丝发生扭转.当吸引力的力矩跟金属丝的扭转力矩平衡时，T 形架停止不动.根据平面镜反射的光点在标尺上移动的距离可算出金属丝的扭转角度，结合事先测定的金属丝扭转角度跟扭转力矩的关系，就可以算出扭转力矩，从而算出引力F 和引力常量.卡文迪许测定的引力常量G=6.754×10-11 N ·m 2/kg 2.在以后的八九十年间，竟无人超过他的测量精度.引力常量的测定是验证万有引力定律的一个重要实验，它使万有引力定律有了真正的实用价值.卡文迪许把他的这个实验说成是“称地球的重量”（应该是“称地球的质量”）.有了G 值后，我们还可以“称”出太阳或其他星球的质量.参考答案演练广场1.AD2.D3.D4.3.36×10-37 N5.解析：根据公式F=G2R Mm，代入数据有： F=6.67×10-11×2112430)1049.1(1098.51097.1⨯⨯⨯⨯ N=3.54×1022 N.答案：3.54×1022 N 6.解析：根据公式F=G221rm m ，代入数据有： F=6.67×10-11×2427)10()100.1(⨯ N =6.67×10-5 N.假设当地的重力加速度g=10 m/s 2，重力G=mg=1.0×107×10 N=1.0×108 N ，重力远远大于万有引力.答案：6.67×10-5 N 重力远远大于万有引力 7.D8.解析：在火星表面的重力由万有引力提供ma=2R GMm∴表面的加速度为 a=2RGMg a =2火火R M ×地地M M 2=91×4=94 ∴ma=94mg=94×600 N ≈266.7 N. 答案：266.7 N 9.（hR H R ++）210.解析：根据公式mg=2R GMm得星球表面的加速度为 g=2RGM， ∴地星g g =2星星R M ×地地M R 2=51×（21）2=201，根据运动学公式h=gv 22，得地星h h =星地g g =20.答案：20∶111.C12.解析：卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面为h ，这时受到地球的万有引力为G2)(h R Gm+地在地球表面2地R GMm=mg ①在上升至地面h 时，F N -G2)(h R Mm+地=ma②由①②得22)(地地R h R +=m aF m gN -h=（maF mgN --1）R 地代入数据h=1.92×104 km. 答案：1.92×104 km13.解析：质量为M 的均匀球体对B 点的引力大小为 F 1=G2lMm质量为m ′的均匀球体对B 点的引力大小为： F 2=G2)2(R l mm -' 剩余部分对B 的万有引力为F=F 1-F 2=G 2lMm-G 2)2(R l mm -'. 答案：G 2lMm -G 2)2(R l mm -'。