基于滑模控制的分数阶混沌系统的自适应同步

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混沌系统的主动自适应滑模修正投影同步

关键词：混沌系统
修正投影同步
主动控制自适应滑模控制
外部干扰
中图分类号：ＴＰ３９１＋．９
文献标志码：Ａ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＢａｓｅｄｏｎＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ，ａｎｅｗｋｉｎｄｏｆａｃｔｉｖｅｓｌｉｄｉｎｇｍｏｄｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａｎｄｐａｒａｍｅｔｅｒｕｐｄａｔｉｎｇｒｕｌｅｓａｒｅｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｂｏｔｈｄｒｉｖｅｓｙｓｔｅｍａｎｄｒｅｓｐｏｎｓｅｓｙｓｔｅｍｄｉｓｔｕｒｂｅｄｂｙｕｎｋｎｏｗｎｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ．Ｂｙａｄｏｐｔｉｎｇｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｄａｐｔｉｖｅｒａｔｅ，ｔｈｅｕｎｋｎｏｗｎ
混沌系统的主动自适应滑模修正投影同步
颜闽秀。等
混沌系统的主动自适应滑模修正投影同步
ＡｃｔｉｖｅＡｄａｐｔｉｖｅＳｌｉｄｉｎｇＭｏｄｅＭｏｄｉｆｉｅｄＰｒｏｊｅｃｔｉｖｅＳｖｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ
ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｍｅｈｏｔｄｐｒｏｐｏｓｅｄｉｓｖｅｒｉｉｅｆｄｂｙｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｓ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｈａｔｔｈｅｔｍｅｔｈｏｄｅｆｅｃｔｉｖｅｌｙｒｅｓｏｌｖｅｓ

混沌系统的控制与同步

混沌系统的控制与同步一、《混沌系统的基本概念及研究现状》本文首先介绍混沌系统的基本概念，包括混沌现象的定义、混沌系统的特点和混沌系统的分类等。

在此基础上，进一步分析了混沌系统的研究现状，包括混沌系统的数学模型和研究方法等。

同时，对于混沌系统的控制与同步问题，提出了重要的研究意义和应用前景。

混沌系统是现代非线性科学的重要研究对象之一，具有很多独特的特性。

混沌现象的定义就是指混沌系统的演化过程具有不可预测的性质，而混沌系统的特点则包括灵敏依赖于初始条件、复杂的周期轨道结构和高维的状态空间等。

混沌系统的分类包括：一维映射系统、连续动力系统、时变动力系统和离散时间系统，每种系统都有其独特的研究方法和应用场景。

混沌系统的控制与同步问题是混沌系统研究的重要方向之一，也是当前热门的研究领域。

在工程应用中，混沌系统的控制与同步问题具有广泛的应用前景，尤其是在通信、图像处理、密码学等领域有着很大的应用潜力。

因此，深入研究混沌系统的控制与同步问题，对于推动混沌系统原理的深入发展，实现混沌应用的工业化具有积极的意义。

总而言之，对于混沌系统的基本概念及研究现状的探讨，有助于了解混沌现象的本质以及混沌系统的一些基本特征，从而为混沌系统的控制与同步问题的研究奠定了基础。

二、《混沌系统的数学模型及控制方法》本文针对混沌系统的数学模型和控制方法进行了详细的分析，包括混沌系统数学模型的建立、混沌系统的各种控制方法以及混沌系统的控制效果评价等。

同时，本文还对混沌系统控制中常用的反馈控制、开环控制，混沌控制理论及其应用等相关内容进行了介绍。

混沌系统的数学模型建立对于混沌系统研究具有至关重要的作用，数学模型不仅是混沌系统研究的基础，而且也是设计混沌控制系统的核心。

混沌系统的控制方法包括：开环控制、反馈控制、预测控制等，其中反馈控制是最为常见和有效的一种控制方法。

混沌控制理论及其应用可以用于传统的混沌系统，也可以应用于更为复杂的混沌网络系统、混沌系统的外部控制和混沌系统的同步问题等。

反步自适应方法实现混沌系统的同步

第７第２２卷期
文章编号：０６— ３８２１）２—０７０１０９４（０００１５— ５
计
算
机
仿
真
２０月０年２１
反步自适应方法实现混沌系统的同步
王宇野，红珍，许郭黎利
（哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨１００）５０１摘要：针对基于滞环非线性参数未知的多涡卷混沌系统，出了一种自适应反步变结构的控制方案来实现其同步。通过逐提步修正的方法设计镇定控制器，在每一步把状态坐标的变化、不确定参数的调节函数和一个Ｌａｕｏｙｐｎｖ函数的虚拟系统的镇定函数联系起来，以达到实现系统的全局调节。采用所设计的控制器实现了两个混沌系统的同步控制，使得误差系统在有限时间内到达所设定的滑模面，并沿着滑模面渐进收敛到原点，同时估计出系统中存在的未知参数。由于自适应算法和滑
模方法的使用，制器对参数扰动和外部干扰具有较强的抑制作用，论分析和仿真结果验证了所提出方法的有效性。控理
关键词：自适应；反步控制；多涡卷；滞环；滑模控制
中图分类号：Ｐ７Ｔ２３文献标识码：Ａ
ｉｅｉｎｄｂｔｐ—ｂｓｄｓｇｅｙａｓｅｙ—ｓｅｒｃｄｒｎｅｌｃｎｔｐｐｏｅｕｅｉｔｒａｉｇ，ａａｈｓｅｔｃｔｐ，ａｃｏｄｎｔａｓｒａｉｎａｄｔｅｄｓｇｆａｅｏｒｉａｅｔｎｆｍｔｎｈｅｉｎｏｒｏｏ

分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件

第61卷第6期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .62023年11月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )N o v 2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022435分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件毛北行,王东晓(郑州航空工业管理学院数学学院,郑州450046)摘要:设计4种形式简单的滑模面及控制输入,研究分数阶大气混沌系统的滑模同步,得到分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件,并通过数值仿真对结论进行验证.结果表明,分数阶大气混沌系统一定条件下主从系统可取得滑模同步.关键词:大气混沌;分数阶;滑模;同步中图分类号:O 482.4 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)06-1448-09F o u r S u f f i c i e n t C o n d i t i o n s f o r S l i d i n g M o d e S yn c h r o n i z a t i o no f F r a c t i o n a l -O r d e rA t m o s p h e r i cC h a o t i c S ys t e m s MA OB e i x i n g ,WA N G D o n gx i a o (C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s ,Z h e n g z h o uU n i v e r s i t y o f A e r o n a u t i c s ,Z h e n gz h o u 450046,C h i n a )A b s t r a c t :W ed e s i g n e df o u rs i m p l ef o r m so fs l i d i n g m o d es u r f a c e sa n dc o n t r o l i n pu t s ,s t u d i e dt h e s l i d i n g m o d es y n c h r o n i z a t i o n o ft h ef r a c t i o n a l -o r d e ra t m o s p h e r i cc h a o t i cs y s t e m s ,o b t a i n e df o u r s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs l i d i n g m o d es y n c h r o n i z a t i o n o ft h ef r a c t i o n a l -o r d e ra t m o s p h e r i cc h a o t i c s y s t e m s ,a n d v e r i f i e dt h ec o n c l u s i o n st h r o u g h n u m e r i c a ls i m u l a t i o n .T h er e s u l t ss h o w t h a tt h e m a s t e r -s l a v es y s t e m o ft h ef r a c t i o n a l -o r d e ra t m o s p h e r i cc h a o t i cs y s t e m sc a na c h i e v es l i d i n g m o d e s yn c h r o n i z a t i o nu n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s .K e y w o r d s :a t m o s p h e r i c c h a o s ;f r a c t i o n a l -o r d e r ;s l i d i n g m o d e ;s y n c h r o n i z a t i o n 收稿日期:2022-11-10.第一作者简介:毛北行(1976 ),男,汉族,硕士,教授,从事混沌同步的研究,E -m a i l :b x m a o 329@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11801528;41906003).1 引言与预备知识目前混沌研究已取得较多的结果[1-5],由于大多数实际系统均需用分数阶微分描述,且分数阶系统大量存在于工程实际中,因此随着分数阶微积分的引入,分数阶系统的滑模同步控制已引起人们广泛关注[6-8],其研究结果在生物㊁化学㊁医疗卫生㊁通讯和物理等领域应用广泛[9-12].滑模方法因其良好的鲁棒性能,被迅速引入到混沌系统同步控制中[13-14],并在气象学和天气预测中应用广泛.如文献[15]研究了大气混沌系统的系统仿真及动力学行为;文献[16]研究了分数阶大气混沌系统的比例积分滑模同步;文献[17]研究了分数阶不确定大气系统的自适应滑模同步,但设计的滑模面及控制量形式较复杂且不易实现.基于此,本文设计4种形式简单的滑模面及控制输入,得到分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件.定义1[18-19] C a pu t o 分数阶微分定义为D q t x (t )=1Γ(n -q )ʏtt 0(t -τ)n -q -1x (n )(τ)d τ, n -1<q <n ɪℤ+. 分数阶大气混沌系统[16-17]可描述为D q t x =α(y -x )+γw ,D q t y =c x -x z -y ,D q tz =x y -βz ,D qt w =-x -αw ìîíïïïïïï.(1) 当α=1,β=0.7,γ=1.5,c =26,q =0.947时,系统(1)的吸引子和混沌吸引子分别如图1和图2所示.图1 系统(1)的吸引子F i g .1 A t t r a c t o r s o f s ys t e m (1)图2 系统(1)的混沌吸引子F i g .2 C h a o t i c a t t r a c t o r o f s ys t e m (1) 定义从系统为D q t x 1=α(y 1-x 1)+γw 1+u 1(t ),D q t y 1=c x 1-x 1z 1-y 1,D qt z 1=x 1y1-βz 1+u 2(t ),D q t w 1=-x 1-αw 1ìîíïïïïïï,(2) 主从系统的同步误差为e 1=x 1-x ,e 2=y1-y ,e 3=z 1-z ,e 4=w 1-w ,则有D q t e 1=α(e 2-e 1)+γe 4+u 1(t ),D q t e 2=c e 1+x z -x 1z 1-e 2,D q t e 3=x 1y 1-x y -βe 3+u 2(t ),D qt e 4=-e 1-αe 4ìîíïïïï.(3) 引理1[18-19] 若x (t )连续可微,则有12D q t x 2(t )ɤx (t )T D q t x (t ),∀q ɪ(0,1).9441 第6期毛北行,等:分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件引理2[19] 设V (t )=12(z 21(t )+z 22(t )),若存在常数k >0,使得D q t V (t )ɤ-k z 21(t ),则z 21(t )ɤ2V (0)E q ,1(-2k t q ),从而l i m t ңɕz 1(t ) =0.2 主要结果定理1 构造滑模面s (t )=e 3+e 1,控制量u 1=-βe 1-α(e 2-e 1)-γe 4,u 2=x y -x 1y 1,则系统(1)和系统(2)滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 3=-e 1.代入式(3)第3个方程可得e 3ң0,从而e 1ң0,代入式(3)第2个方程可得x z -x 1z 1=(x z -x 1z )+(x 1z -x 1z 1)=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D q t e 2=-e 2,即e 2ң0.因此式(3)第4个方程可写为D q t e 4=-αe 4,即e 4ң0.当不在滑模面上运动时,构造V (t )=12s 2,根据引理1求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s =s (D q t e 3+D q t e 1)=s [x 1y 1-x y -βe 3+u 2(t )+α(e 2-e 1)+γe 4+u 1(t )]ɤ-βs (e 3+e 1)=-βs 2<0,从而得s (t )ң0.定理2 构造滑模面s (t )=e 4-e 1,控制量u 1=-(γ+1)e 1-αe 4-α(e 2-e 1),u 2=x y -x 1y1,则系统(1)和系统(2)滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 4=e 1.代入式(3)第4个方程可得D q t e 4=-(1+α)e 4,所以e 4ң0,从而e 1ң0,将控制器u 2(t )代入式(3)第3个方程可得D q t e 3=-βe 3,即e 3ң0.代入式(3)第2个方程可得x z -x 1z 1=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D qt e 2=-e 2,即e 2ң0.当不在滑模面上运动时,构造V (t )=12s 2,根据引理1求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s =s (D q t e 4-D q t e 1)=s [-e 1-αe 4-α(e 2-e 1)-γe 4-u 1(t )]ɤ-γs 2<0,从而得s (t )ң0.以式(1)为主系统,设计从系统为D q t x 1=α(y 1-x 1)+γw 1+Δf 1(y )+d 1(t )+u 1(t ),D q t y 1=c x 1-x 1z 1-y 1,D q t z 1=x 1y 1-βz 1+Δf 2(y )+d 2(t )+u 2(t ),D q t w 1=-x 1-αw 1ìîíïïïïïï,(4)其中Δf i (y )为不确定项,y (t )=(x 1,y1,z 1,w 1)T,d i (t )为系统外部扰动,u i (t )为控制输入,定义e 1=x 1-x ,e 2=y 1-y ,e 3=z 1-z ,e 4=w 1-w ,得到误差系统D q t e 1=α(e 2-e 1)+γe 4+Δf 1(y )+d 1(t )+u 1(t ),D q t e 2=c e 1+x z -x 1z 1-e 2,D q t e 3=x 1y 1-x y -βe 3+Δf 2(y )+d 2(t )+u 2(t ),D q t e 4=-e 1-αe 4ìîíïïïïïï.(5) 假设1 Δf i (y (t ))ɤm i ,d i (t )ɤn i (i =1,2),其中m i ,n i >0为未知参数.假设2 Δf 2(y )+d 2(t )ɤβe3.定理3 在假设1和假设2成立下,构造滑模面s (t )=e 3+e 1,控制量u 1=-βe 1-α(e 2-e 1)-γe 4-(^m 1+^n 1+η1)s , u 2=x y -x 1y 1-(^m 2+^n 2+η2)s .若s >1,构造自适应律0541 吉林大学学报(理学版) 第61卷D q t ^m i =s 2,^m i (0)=^m i 0,D q t ^n i =s 2,^n i (0)=^n i 0{;(6)若0ɤs ɤ1,构造自适应律D q t ^m i =1,^m i (0)=^m i 0,D q t ^n i =1,^n i (0)=^n i 0{,(7)其中^m i 和^n i 分别为m i 和n i 的估计值,ηi >0,则主从系统(1)和(4)取得自适应滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 3=-e 1,代入式(5)第3个方程可得D q t e 3=-βe 3+Δf 2(y )+d 2(t )-(^m 2+^n 2+η2)s ,由于s =0,因此方程变为D q t e 3=-βe 3+Δf 2(y )+d 2(t ).由假设2可得e 3ң0,即e 1ң0.代入式(5)第2个方程可得x z -x 1z 1=(x z -x 1z )+(x 1z -x 1z 1)=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D q t e 2=-e 2,即e 2ң0.因此式(5)第4个方程可写为D q t e 4=-αe 4⇒e 4ң0.当不在滑模面上运动时,若s >1,其自适应律为式(6),构造V (t )=12s 2+12ð2i =1(^m i -m i )2+12ð2i =1(^n i -n i )2,求分数阶导数可得D qtV ɤs D qts +ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i -n i )s 2=s (D qt e 3+D q t e 1)+ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i -n i )s 2=s -β(e 3+e 1)+ð2i =1{Δf i (y )+d i (t )+u i (t [])}+ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i -n i )s 2ɤð2i =1(m i+n i )s 2-ð2i =1(^m i +^n i +ηi )s 2+ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i-n i)s 2-βs2=-(η1+η2+β)s 2<0,由引理2可得s (t )ң0.若0ɤs ɤ1,其自适应律为式(7),构造V (t )=12s 2+12ð2i =1(s ^m i -m i )2+12ð2i =1(s ^n i -n i )2,求分数阶导数可得D qtV ɤs D q ts +ð2i =1(s ^m i -m i )s +ð2i =1(s ^n i -n i )s =s (D qt e 3+D q t e 1)+ð2i =1(s ^m i -m i )s +ð2i =1(s ^n i -n i )s =s -β(e 3+e 1)+ð2i =1{Δf i (y )+d i (t )+u i (t [])}+ð2i =1(s ^m i-m i )s +ð2i =1(s ^n i -n i )s ɤð2i =1(m i +n i )s -ð2i =1(^m i +^n i +ηi )s 2+ð2i =1(s ^m i -m i )s +1541 第6期毛北行,等:分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件ð2i =1(s ^n i-n i )s -βs 2=-(η1+η2+β)s 2<0,由引理2可得s (t )ң0.定理4 在假设1和假设2成立下,构造滑模面s (t )=e 4-e 1,控制量u 1=-(γ+1)e 1-αe 4-α(e 2-e 1)+(^m 1+^n 1+η1)s , u 2=x y -x 1y 1.若s >1,构造自适应律D q t ^m 1=s 2,^m 1(0)=^m 10,D q t ^n 1=s 2,^n 1(0)=^n 10{;(8)若0ɤs ɤ1,构造自适应律D q t ^m 1=1,^m 1(0)=^m 10,D q t ^n 1=1,^n 1(0)=^n 10{,(9)其中^m 1和^n 1分别为m 1和n 1的估计值,η1>0,则主从系统(1)和(4)取得自适应滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 4=e 1,代入式(5)第4个方程可得D q t e 4=-(1+α)e 4,所以e 4ң0,从而e 1ң0.将控制器u 2(t )代入式(5)第3个方程可得D q t e 3=-βe 3+Δf 2(y )+d 2(t ).由假设2可得e 3ң0,代入式(5)第2个方程可得x z -x 1z 1=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D q t e 2=-e 2,因此e 2ң0.当不在滑模面上运动时,若s >1,其自适应律为式(8),构造V (t )=12s 2+12(^m 1-m 1)2+12(^n 1-n 1)2,求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s +(^m 1-m 1)s 2+(^n 1-n 1)s 2=s [-e 1-αe 4-α(e 2-e 1)-γe 4-Δf 1(y )-d 1(t )-u 1(t )]+(^m 1-m 1)s 2+(^n 1-n 1)s 2ɤ-γs (e 4-e 1)+(m 1+n 1)s 2+(^m 1-m 1)s 2+(^n 1-n 1)s 2-(^m 1+^n 1+η1)s 2=-(γ+η1)s 2<0.由引理2可得s (t )ң0.若0ɤs ɤ1,其自适应律为式(9),构造V (t )=12s 2+12(s ^m 1-m 1)2+12(s ^n 1-n 1)2,求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s +(s ^m 1-m 1)s +(s ^n 1-n 1)s =s [-e 1-αe 4-α(e 2-e 1)-γe 4-Δf 1(y )-d 1(t )-u 1(t )]+(s ^m 1-m 1)s +(s ^n 1-n 1)s ɤ-γs (e 4-e 1)+(m 1+n 1)s +(s ^m 1-m 1)s +(s ^n 1-n 1)s -(^m 1+^n 1+η1)s 2=-(γ+η1)s 2<0.由引理2可得s (t )ң0.3 数值仿真用MA T L A B 仿真程序进行仿真,选取系统参数为α=1,β=0.7,γ=1.5,c =26,q =0.947,初始值设为(x ,y ,z ,w )=(2.2,6.5,2.5,2.5),(x 1,y1,z 1,w 1)=(3,4,3,4.5),由定理1和定理2分别构造滑模面s (t )=e 3+e 1和s (t )=e 4-e 1,控制量分别按定理1和定理2选取,由定理3和定理4分别构造滑模面s (t )=e 3+e 1和s (t )=e 4-e 1,控制量和自适应律分别按定理3和定理4选取,定理3和定理4中η=1.5,不确定项分别为Δf 1=0.1s i n (y 1-y )和Δf2=0.1t a n (w 1-w ),外部扰动项分别为d 1(t )=t a n [1/(10(1+t ))]和d 2(t )=s i n [1/(10(1+t ))],混沌系统^m 1(0)=1,^m 2(0)=1,^n 1(0)=0.5,^n 2(0)=0.5,m 1=0.3,n 1=0.3,m 2=0.2,n 2=0.2.2541 吉林大学学报(理学版) 第61卷定理1~定理4的系统误差曲线分别如图3~图6所示.由图3~图6可见,初始时的曲线误差较大,但系统误差最终趋近原点.定理1~定理4的控制量曲线分别如图7~图10所示,4个定理中均只需设计2个控制器,而一般的滑模方法均需设计4个控制器.由图7~图10可见,控制量随系统误差趋近于零而逐渐稳定在坐标原点附近,表明大气混沌系统的驱动响应系统取得了滑模同步.在定理3和定理4中,针对滑模函数不同取值设计了不同的滑模自适应律,若不分区间设计滑模自适应律,则在仿真部分无法避免符号函数导致的抖振现象,分区间设计可较好避免这种现象,该问题的解决对了解和掌握大气混沌运动规律及天气气象预报与海洋渔业捕捞均将发挥重要作用.图3 定理1的系统误差曲线F i g .3 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r em1图4 定理2的系统误差曲线F i g .4 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r e m23541 第6期毛北行,等:分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件图5 定理3的系统误差曲线F i g .5 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r em3图6 定理4的系统误差曲线F i g .6 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r e m4综上,本文研究了分数阶大气混沌系统的滑模同步,通过引入分数阶微积分将受控系统建模为分数阶微分方程得到大气混沌系统取得滑模同步的4个充分条件,并通过MA T L A B 仿真程序对结论进行验证,结果表明,分数阶大气混沌系统在一定条件下主从系统可取得滑模同步.4541 吉林大学学报(理学版) 第61卷图7定理1的控制量曲线F i g.7C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r em1图8定理2的控制量曲线F i g.8C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r em2图9定理3的控制量曲线F i g.9C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r em3图10定理4的控制量曲线F i g.10C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r e m4参考文献[1] C H E NC,L IL X,P E N G H P,e t a l.F i n i t e-T i m eS y n c h r o n i z a t i o no f M e m r i s t o r-B a s e d N e u r a lN e t w o r k sw i t hM i x e dD e l a y s[J].N e u r o c o m p u t i n g,2017,235(16):83-89.[2] S HA O K Y,X U Z H,WA N G T T.R o b u s tF i n i t e-T i m eS l i d i n g M o d eS y n c h r o n i z a t i o no fF r a c t i o n a l-O r d e rH y p e r-C h a o t i cS y s t e m sB a s e do nA d a p t i v eN e u r a lN e t w o r ka n dD i s t u r b a n c e sO b s e r v e r[J].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fD y n a m i c s a n dC o n t r o l,2021,27(9):541-549.[3] Z HA N G MJ,Z A N G H Y,B A IL Y.A N e w P r e d e f i n e d-T i m eS l i d i n g M o d eC o n t r o l S c h e m e f o rS y n c h r o n i z i n gC h a o t i cS y s t e m s[J].C h a o s,S o l i t o n s a n dF r a c t a l s,2022,164(11):2745-2754.[4] X U G W,Z HA OSD,C H E 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n a l-O r d e rC h a o t i cS y s t e m s[J].J o u r n a l o f J i l i n U n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2022,60(5):1183-1188.)[11]毛北行,王东晓.不确定分数阶R u c k l i d g e系统自适应滑模同步[J].南开大学学报(自然科学版),2020,53(6):59-64.(MA O B X,WA N G D X.S e l f-a d a p t i v eS l i d i n g M o d eS y n c h r o n i z a t i o no f U n c e r t a i n F r a c t i o n a l-O r d e r R u c k l i d g eS y s t e m s[J].A c t aS c i e n t i a r u m N a t u r a l i u m U n i v e r s i t a t i sN a n k a i e n s i s,2020,53(6):59-64.) 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参数未知的分数阶混沌系统的自适应同步

ｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＫｕｎｍｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅＡｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＫｕｎｍｉｎｇＹｕｎｎａｎ，６５００９３，Ｃｈｉｎａ）【Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓａｄａｐｔｉｖｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌ－ｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｕｎｋｎｏｗｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｃｈａｏｔｉｃ
（１．ＫｕｎｍｉｎｇＦｉｒｅＳｅｒｖｉｃｅｓＴｒａｉｎｉｎｇＳｃｈｏｏｌｏｆＭｉｉｓｎｔｒｙｏｆＰｕｂｌｉｃＳｅｃｕｒｉｔｙ，ＫｕｎｍｉｎｇＹｕｎｎａｎ，６５０２０８，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
【摘要】针对一类混沌系统，研究了参数未知的混沌系统的自适应同步。以分数阶混沌系统的稳定性定理和混沌系统间的自适应反馈控
制为基础．通过设置未知参数的辨识规则和构造恰当的线性反馈控制器．从而实现了参数未知的分数阶Ｃｈｅｎ混沌系统同给定信号的分数阶Ｃｈｅｎ混沌系统的追踪控制与同步通过数值仿真证实了该方法的有效性【关键词】自适应反馈控制；混沌同步：自适应同步

基于自适应滑模变结构控制参数不确定永磁同步电机混沌控制

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｃｈａｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｐｅｒｍａｎｅｎｔｍａｇｎｅｔｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｍｏｔｏｒｗｉｔｈｕｎｃｅｒｔａｉｎｐａｒａｍ—
中图分类号：ＴＨ１６５；ＴＧ６５９文献标识码：Ａ
ＣｈａｏｓＣｏｎｔｒｏｌｏｆＰｅｒｍａｎｅｎｔＭａｇｎｅｔＳｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓＭｏｔｏｒｗｉｔｈＰａｒａｍｅｔｅｒＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓＢａｓｅｄｏｎＡｄａｐｔｉｖｅＳｌｉｄｉｎｇＭｏｄｅ
文章编号：１００１ — ２２６５（２０１３）１１ —００５５— ０３
基于自适应滑模变结构控制参数不确定永磁同步电机混沌控制木
胡龙龙，杨晓辉，江智军
（南昌大学信息工程学院，南昌３３００３１）
ｈａｓａｇｏｏｄｄｙｎａｍｉｃｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｎｄｓｔｅａｄｙｓｔａｔｅａｃｃｕｒａｃｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｕｎｃｅｒｔａｉｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ；ＰＭＳＭ；ｃｈａｏｓ；ａｄａｐｔｉｖｅｓｌｉｄｉｎｇｍｏｄｅｃｏｎｔｒｏｌ

分数阶混沌系统的控制与同步研究

分数阶混沌系统的控制与同步探究摘要：分数阶系统具有很好的非线性特性和长记忆能力，在混沌系统的探究中得到广泛应用。

本文主要探讨了分数阶混沌系统的控制与同步问题。

起首介绍了分数阶系统和混沌现象的基本观点，随后分别探讨了分数阶系统的控制方法和同步方法。

通过模拟试验验证了这些方法的有效性。

最后，总结了探究结果并指出了将来的进步方向。

1.引言随着现代科学技术的进步，混沌系统的探究引起了广泛的关注。

混沌系统是一类非线性动力学系统，具有高度复杂的行为和随机性，表现出的熵较高。

分数阶系统是近年来探讨的热点之一，其具有更广泛的记忆特性和非线性特性，能够更好地描述实际系统的动力学行为。

因此，分数阶混沌系统的控制和同步问题成为了探究的重点。

2.分数阶系统的基本观点分数阶系统是指微分与积分阶数不仅仅为整数，而是介于0和1之间的实数。

分数阶微分方程是描述分数阶系统的基本工具。

混沌系统是一类具有无法猜测的行为和极其敏感的初始条件的系统。

分数阶混沌系统介于分数阶系统和混沌系统之间，兼具了两者的特性。

3.分数阶混沌系统的控制方法针对分数阶混沌系统的控制问题，探究者提出了多种方法。

其中一种常用的方法是基于反馈控制理论的方法。

通过在系统中引入适当的反馈控制项，可以有效地控制系统的混沌行为。

另一种方法是基于最优控制理论的方法，通过求解最优控制问题，可以获得使系统行为稳定或特定性能指标最优的控制策略。

4.分数阶混沌系统的同步方法分数阶混沌系统的同步问题是指如何使两个或多个分数阶混沌系统的状态变量在某种意义上达到一致。

同步方法可以分为无控制同步和有控制同步两种。

无控制同步是指系统自身通过耦合作用实现同步，而有控制同步是利用外部控制手段实现同步。

常用的同步方法有时间延迟复杂网络同步、自适应控制同步和非线性控制同步等。

5.模拟试验与结果分析为验证分数阶混沌系统的控制和同步方法的有效性，进行了一系列模拟试验。

通过对分数阶混沌系统进行控制和同步，分析了系统的动力学行为和性能指标。

基于主动滑模控制实现一类含有非匹配不确定混沌系统的同步

网络的同步法 [ 7 ] 、基于 T - S模糊模型的同步
[8]
假设响应系统
y �= ( A +ΔA ( t) ) y + f ( y ) + u
T n
、主动控制同步法
等 . 以上各种方法大多
R
n
(2)
以参数和结构确定的混沌系统作为研究对象设计同步方法 , 当系统中存在参数不确定性和外部扰动时 , 混沌系统的敏感性将造成系统状态极大的差异 . 滑模控制作为一种特殊的非线性控制策略 , 对系统参数变化和噪声干扰具有良好的鲁棒性能 , 为此 , 文献 [ 11 ]将主动控制和滑模控制策略相结合 , 研究了一类不确定参数满足匹配条件的混沌系统的同步问题 , 文献 [ 12 ]设计了一个主动滑模控制器 , 实现参数完全己知情况下 , 不同混沌系统之间的同步 . 在上述研究的基础上 , 本文研究了一类非匹配不确定混沌系统的同步问题 , 将主动控制与滑模控制相结合 , 采用非奇异变换 , 将不确定系统分解成两个子系统 ,第一个子系统与控制变量无直接关系 ,第二个子系统的维数与控制输入的维数一致 , 利用 LM I方法 ,给出了误差系统滑动模态稳定的充分条件 ,并在此基础上 , 设计了滑模控制器 , 通过对 R �ssler系统的仿真研究 , 验证了所给控制器的有效性 .
317
u ( t) = Bw ( t) - F ( x, y)
式 ( 5) 可重新写成
e �= (A +ΔA ( t) ) e + Bw ( t) ( 7)
2 xT y ≤ rxT x +
1
r
y y
T
( 18 )

分数阶超混沌系统的自适应函数投影同步

由于函数投影同步的思想是驱动系统和响应系统以一定的比例函数进行同步，且比例函数的选择具有并
一
定的灵活性，因此将函数投影同步运用到保密通信中可更好地加强保密通信中信息的安全性，而引从
起越来越多的学者的关注。
Ｔｒｃｉｎｌ—ｏｄｅｙｅｃａｔｃＳｙｔｍｓａｔｏａ — ｒｒＨｐｒｈｏｉｓｅ
ＬＵＪｎ—ｇｈｓｓＨｕｉｎＩｓｔｔｏｅｈｏｏｙＨｕｉｎＪｎｓ２０３ＣｉａＦｃｌｆｈｍｔｓａｄＰｙｉ，ａｉｎｔｕｅｆｃｎｌ，ａａｉｇｕ２３０，ｈｎ）ｙＭａｃｃｙｉＴｇａ
踪控制的思想，利用分数阶系统稳定性理论分别讨论了分数阶系统的函数投影同步和分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的混沌同步问题。文献［２基于滑模控制理论和自适应控制理论，究了分数阶１］研混沌系统的同步问题。文献［３基于分数阶系统稳定性理论，计了控制器和未知参数的辨识规则，１］设实现了分数阶超混沌系统的同步。然而，目前为止，论关于具有未知参数的分数阶超混沌系统的函数到讨
ｉｇｃｎｒｌｎｏｔｏ
Ｏ引言
自ＰｃｒＣｒｌ提出混沌同步原理以来，ｅｏａ和ａｒｌｏ混沌同步问题引起了人们的广泛关注。在同步问题的研究中，出了许多同步的方式，提如完全同步、同步、后同步、相滞广义同步、投影同步和函数投影同步等。

不确定Duffing混沌系统的同步控制

带有不确定项的受控系统为：
｛２一１一２１Ｙ＋ｃ（＋＝Ｐ１ＰＹ一ｑｏｍ）Ｙｓ
（ｆ０＋ｌ厂，＋） “ ）
（）２
其中，＝， ‘ Ｒ：，】∈ 】和【Ｙ。Ｒ为状态变量；、
３２自适应模糊滑模变结构控制稳定性分析．定义系统不确定性及扰动上界的参数估计误差为
＝一，
其中，ｓｎ・为符号函数；ｉ（ｇ）
Ｉｆｙｆｌｄｔｌ ∥ Ａ（，＋ｌ（＜））
为切换控制器的增益，是系统
因为为一常量，所以有＝＝ｌ。ｌ／
１概述
混沌一直是非线性科学研究的热点课题之一，一度被认为是不可控和不可预测的。混沌同步是混沌系统应用的关键技术，２世纪９０Ｏ年代初，自文献［］１驱动一响应的混沌同步以来，混沌同步的研究吸引了来自各个领域的注意力。近年来，人们相继提出了各种混沌同步控制方法，如自适应控制Ｊ。、Ｂｎ — ａｇ控制＿、反馈控制ＪａｋｔｐｎａｇＢｎ４Ｊ、Ｂｃｓｐｉｅｇ控制［７６］－等。由于滑模控制以其具有对参数干扰的强鲁棒性及算法简单等特点而被广泛应用于控制领域。滑模变结构控制与常规控制Ｊ
△ （，代表不确定性；ｄｆ为外部干扰；“为控制变量。当厂ｔ）（）
选取Ｐ＝一．、Ｐ＝０ｌ１２１．ｑ．、：１５、＝１９．，Ｄｆｎ统７时ｕｆｇ系ｉ
处于混沌状态，其相平面轨迹如图１所示。
的根本区别在于控制的不连续性，即一种随系统结构随时变化的开关特性。在实际工作中，系统不可避免地要受到外界

基于模糊自适应的反馈控制方法

基于模糊自适应的反馈控制方法基于模糊自适应的反馈控制方法导言：在控制系统中，反馈控制是一种常用的控制方法，它通过不断监测系统输出信号与期望输出信号之间的差异，并将其作为控制器的输入，以调节系统的行为。

然而，由于实际系统存在不确定性和非线性等问题，传统的反馈控制方法往往难以获得良好的控制效果。

为了解决这一问题，基于模糊自适应的反馈控制方法应运而生，它能够根据系统的实际情况自动调整控制器的参数，从而提高系统的鲁棒性和性能。

正文：1. 模糊控制的基本原理：模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，它通过模糊化输入和输出变量，并利用模糊规则库来实现控制策略的制定。

模糊控制器通常包括模糊化模块、模糊推理模块和解模糊化模块。

模糊化模块将输入变量映射到模糊集合上，模糊推理模块根据模糊规则库进行推理，生成模糊输出，解模糊化模块将模糊输出映射到实际的控制量上。

2. 自适应控制的基本原理：自适应控制是一种根据系统的实时信息来调整控制器参数的方法。

它通过不断地观测和估计系统的状态和参数，使用合适的自适应算法来更新控制器的参数，以使系统能够在不确定性环境下获得良好的控制性能。

3. 基于模糊自适应的反馈控制方法：基于模糊自适应的反馈控制方法将模糊控制和自适应控制相结合，利用模糊控制器的灵活性和自适应控制器的鲁棒性，实现对系统的精确控制。

该方法的基本思路是：首先，通过模糊化输入和输出变量，构建模糊规则库，确定模糊控制器的初始参数。

然后，利用模糊控制器来控制系统的行为，并通过反馈信号来不断地优化模糊控制器的参数。

具体而言，反馈信号会根据系统的实际输出与期望输出之间的差异来调整控制器的输出，使系统逐渐趋向期望状态。

同时，利用自适应控制的方法，根据系统的状态和参数变化，自动调整模糊控制器的参数，以提高系统的控制性能。

通过不断地迭代优化，模糊自适应控制器能够逐步逼近最优解，从而实现对系统的良好控制。

4. 优势和应用：相比传统的反馈控制方法，基于模糊自适应的反馈控制方法具有以下优势：- 系统鲁棒性强：能够应对系统的不确定性和非线性特性，具有较强的适应能力；- 控制性能好：能够根据系统的实际情况自动调整控制器的参数，使系统能够在不同工况下保持良好的控制性能；- 易于实现和调试：模糊控制器的设计和调试相对简单，能够快速应用于实际系统。

不确定分数阶PMSM混沌系统自适应滑模控制

不确定分数阶PMSM混沌系统自适应滑模控制林飞飞;曾喆昭【摘要】针对参数不确定分数阶永磁同步电机混沌系统,研究在含非线性不确定项和外部扰动情况下的控制问题.结合自适应控制理论和滑模控制理论,通过选取一种具有较强鲁棒性的分数阶积分滑模面,设计自适应滑模控制器.该控制器可在参数不确定项、非线性不确定项和外部扰动的上界未知的情况下,实现局部渐进稳定.数值仿真结果验证了该控制器的有效性.【期刊名称】《电力科学与技术学报》【年(卷),期】2018(033)002【总页数】7页(P66-72)【关键词】分数阶;永磁同步电机;分数阶积分滑模面;自适应滑模控制【作者】林飞飞;曾喆昭【作者单位】长沙理工大学电气与信息工程学院 ,湖南长沙 ,410004;长沙理工大学电气与信息工程学院 ,湖南长沙 ,410004【正文语种】中文【中图分类】TM341;TP273永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)具有结构简单、体积小、运行可靠、能量转换效率高和响应快等优点[1-2]，因此，在航空航天、家用电器和工业自动化设备等领域得到了广泛的应用。

PMSM是典型的多变量、强耦合非线性系统，在满足一定参数和变量条件下会呈现混沌现象[3]，主要表现为转速和转矩的间歇振荡、系统不规则的电磁噪声和控制性能不稳定等。

这些不规则运动严重影响到系统的稳定性和运行质量，因此，控制PMSM混沌系统对PMSM的稳定运行具有重要的实际意义。

关于PMSM混沌系统控制人们提出大量的控制方法，主要有滑模控制[4]、非线性比例控制[5]、自适应反步控制[6]等。

分数阶微积分和整数阶微积分几乎同时出现，距今已有300多年的历史。

随着计算机技术的发展和有效的计算方法的出现，分数阶微积分被广泛地应用到物理学、工程实际等领域。

其中，分数阶混沌系统成为人们研究的热点，例如分数阶Lorenz系统[7]、分数阶Duffing系统[8]、分数阶Chen系统[9]、分数阶Chua系统[10]。

(完整版)Lorenz混沌系统的自适应同步控制本科毕业设计

2015年度本科生毕业论文（设计）Lorenz混沌系统的自适应同步控制院－系: 数学学院数学与应用数学系专业: 数学与应用数学年级: 2011级学生姓名: 木三刀导师及职称: 李达（教授）2015年5月2010 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate Synchronization of Lorenzsystem by adaptivecontrolDepartment:College of MathematicsMajor:Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2011Student’s Name: Mu SadaoTutor:Li Da（Professor）Finished by June, 2015毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。

对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。

有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。

学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。

保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名：指导教师签名：日期：日期：李雪毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主席（组长）摘要本文考虑Lorenz混沌系统的自适应同步问题。

通过设计一个适当的自适应控制器，利用Lyapunov函数的稳定性理论并通过严格的数学证明得到自适应同步的充分条件。

超混沌系统滑模自适应同步控制及其在保密通信中的应用

ＳｉｎｏｌｄｉｇＭｄｅＡｄｐｔｖｎｃｏｚｔｏｎｒｆＨｙｐｅｃｏｉａｉｅＳｙｈｒｎｉａｉｎＣｏｔｏｌｏｒｈａｔｃＳｓｅｎｄＩｓＡｐｐｌｃｔｏｎＳｅｕｒｙｔｍａｔｉａｉｎｉｃｅＣｏｍｕｃｔｏｎｍｎｉａｉ
Ｎａｊｇ２０１，Ｃｉａｎｉ１０６ｈｎｎ
２．Ｃｒｍｉａｎｅｔｇｔｏｐｒｍｅ，ＮａｊｎｏｅｔＰｏｉｅＣｏｌｇ，Ｎａｊｎ１０２ｉｎｌｖｓｉａｉｎＤｅａｔｎｔＩｎｉｇＦｒｓｌｌｅｅｃｎｉｇ２０４，Ｃｈｎｉａ
文章编号：２５８９（０００ — １５００５ —２７２１）２０ —８１
超混沌系统滑，吴庆宪姜长生－－，
１．南京航空航天大学自动化学院，南京２０１１０６
２南京森林公安高等专科学校侦查系，南京２０４．１０２
ＭＥｏｇ，ＷＵＱｎ —ｉｎ．ＪＡＮｈｎ —ｈｎＩｎ，Ｒ－ｉｇｘａＩＧＣａｇｓｅｇ
』ｏｌｅｏｕｏｔｎＥｇｎｅｉｇＮａｊｇＵｉｅｓｔｆＡｅｏａｔｓａｄＡｓｒｎｕｉｓ．ＣｌｇｆＡｔｍａｉｎｉｅｒ，ｎｉｎｖｒｉｏｒｎｕｉｎｔｏａｔ，ｅｏｎｎｙｃｃ
ｎｚｙｒｈｏｉｙｔｍｓｗｉｈｔｅｓｍｅｓｒｔｒ．Ｗｈｎｓｎｈｏｉａｉｎｉａｈｉｖｄｈｉｅｉｎｌｃｎｉｅｈｐｅｃａｔｃｓｓｅｔｈａｔｕｃｕｅｅｙｃｒｎｚｔｏｓｃｅｅ，ｔｅｈｄｄｎｓｇａａｂｅｔｒｄｅｅｔｖｌｔｔｅｒｃｉｉｇｅｄｅｒｓｏｅｆｃｉｅｙａｈｅｅｖｎｎ．Ｎｕｒｃｓｍｕａｉｎｓｏｆｃｉｅｅｓｏｈｒｐｓｄｔｃｎｑｅｍｅｉｉｌｔｏｈｗｓｅｅｔｖｎｓｆｔｅｐｏｏｅｅｈｉｕ．

新分数阶混沌系统的电路设计和同步控制

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岔图中出现由密集点构成的区域,系统处于混沌状
态.
考虑到分数阶混沌系统(
1)中含有 x2z 这种交
叉高阶项时,系统(
1)可能对 x 变量的初始值非常
敏感.现在改变x 变量的初始值x0 绘制分岔图,来
确认该模型动力学特性是否依赖于 x 变量的初始
Zhou 等 19 提出了具
有复杂共存吸引子的分数阶混沌系统.这些研究成

混沌系统控制与同步技术研究

混沌系统控制与同步技术研究混沌系统是指某些动力学系统在一定条件下所呈现出的不稳定、高度复杂、且无规律可循的状态。

这种状态在自然界中广泛存在，在机械、化学、物理、生物等各个领域都有着广泛的应用。

但是，由于混沌系统具有高度的复杂性和敏感性，所以深入研究和掌控混沌系统的控制和同步技术对于提高社会发展的科学水平和人类的生产生活水平都有着重要的意义。

混沌系统控制是指通过外部干扰手段对混沌系统的状态进行控制，使其呈现出所需的状态。

混沌系统同步则是指通过耦合机制将多个混沌系统的混沌状态变得相同或相似。

混沌系统的控制和同步技术应用广泛，如在通信系统中让多个混沌发生器产生相同频率的混沌信号，形成保密的加密通讯信道；在力学系统中实现控制，可以用于降防楼房等工程实现振动的干扰控制。

下文将从混沌系统控制和同步技术的研究现状、方法及应用等方面来对这个主题进行探讨。

一.混沌系统控制技术的研究现状混沌系统控制技术的主要研究思路包括传统的线性控制、非线性控制、自适应控制、混杂控制等。

其中，线性控制方法是最早被引入混沌系统中的一种方法，通过反馈作用来调控混沌系统，但是这种方法只能对某些类型的混沌系统产生有效的控制作用。

非线性控制方法是针对混沌动力学方程的非线性特性所提出的一种控制方法，其思路是通过控制系统的结构和参数来实现混沌系统的控制。

非线性控制方法依赖于混沌系统本身的结构和动态特性，能够对很多混沌系统产生有效的控制效果。

自适应控制是一种动态自适应性的控制方法，其思路是通过不断地学习现有控制结果，对控制系统的参数进行调整和改变，以适应外界环境的变化和内部状态的变化。

自适应控制方法被广泛应用于混沌系统中，可以有效地控制复杂的非线性系统。

混杂控制是基于混沌滑模理论的一种控制方法，通过构建混沌观测器和滑模控制器来实现混沌系统的控制。

它采用新的变量反馈方法实现非线性控制和同步，具有优异的性能和精度。

二.混沌系统同步技术的研究现状混沌系统同步技术的研究思路主要包括基于控制的同步方法、基于耦合的同步方法、基于反馈的同步方法、自适应同步方法等。

基于矩阵理论的分数阶超混沌系统切换同步

基于矩阵理论的分数阶超混沌系统切换同步初奇璇;张环宇;岳立娟【摘要】基于矩阵理论，结合主动控制方法，设计一个合适的控制器，通过开关控制将其加在不同的系统上，实现新的分数阶超混沌系统与分数阶超混沌 Lorenz 系统间的切换同步。

基于波特图的频域近似方法，设计分数阶超混沌系统同步电路，电路仿真结果进一步证明了理论分析和数值模拟的正确性。

%Based on the matrix theory,combined with active control method,we designed a suitable controller. Controller applied to the different systems by changing switches, the switching synchronization between new fractional-order hyperchaotic system and fractional-order hyperchaotic Lorenz system was realized. Applying frequency domain approximation method based on Bode diagram,we designed synchronization circuits of fractional-order hyperchaotic systems.The results of circuit simulation further verify the correctness of theoretical analysis and numerical simulation.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(054)002【总页数】8页(P361-368)【关键词】矩阵理论;切换同步;电路仿真【作者】初奇璇;张环宇;岳立娟【作者单位】东北师范大学物理学院，长春 130024;东北师范大学物理学院，长春 130024;东北师范大学物理学院，长春 130024【正文语种】中文【中图分类】O545分数阶微积分理论在物理、生物及保密通讯等领域应用广泛．目前，分数阶混沌同步控制问题已引起人们广泛关注，如文献［1－3］研究了Chen系统、Rossler系统及Lorenz系统阶数为分数时的混沌状态；文献［4］研究了基于滑膜控制实现分数阶混沌系统的投影同步；文献［5］研究了非线性耦合分数阶Chen混沌系统和网络的同步问题；文献［6］研究了新分数阶混沌系统的异构同步；文献［7－8］研究了混沌系统的切换同步；文献［9］研究了一类关联混沌系统及其切换与内同步机理；文献［10－11］研究了一类四维混沌系统切换混沌同步与一类关联混沌系统的分时切换混沌同步．但上述研究主要考虑了整数阶混沌系统的切换，对分数阶混沌系统及针对控制器切换的研究目前报道较少．本文根据分数阶混沌系统稳定性理论和矩阵理论，设计一个控制器，通过开关控制将其加在不同的系统上，从而实现新分数阶超混沌系统与分数阶超混沌Lorenz系统间的切换同步．该控制器的设计方法简单，不用计算系统的Lyapunov指数，切换同步灵活新颖．最后利用波特图的频域近似方法设计切换同步电路，并证明了控制器的有效性及切换同步的可行性．目前，对分数阶微积分的定义较多，常用的Caputo定义为其中：m－1＜q＜m；Γ（·）为Gamma函数分数阶系统定义如下：其中：0＜q＜1；U（X，Y）为非线性控制器；系统误差量定义为则误差系统为定理1 若加入合适的非线性控制器U（X，Y），使误差系统变为其中A（X，Y）＝（aij（X，Y））n×n，i，j＝1，2，…，n，且满足：1）aij（X，Y）＝－aji（X，Y）（i，j＝1，2，…，n，i≠j）；2）aii（X，Y）＝λi≥0（i＝1，2，…，n）且λi不全为0．则分数阶误差系统（5）是渐近稳定的，分数阶系统（2）和（3）可实现同步．证明：若λ为A（X，Y）的任意一个特征值，则存在其对应的特征向量γ，使得对式（6）两边同时取共轭转置得从而取正定矩阵将A（X，Y）和P代入式（8）可得其中由于Q为半正定矩阵，因此对任意非零向量γ有从而即误差系统的系数矩阵任意特征值均满足根据分数阶系统稳定性理论，误差系统（5）是渐近稳定的，证毕．新分数阶超混沌系统［12］与分数阶超混沌Lorenz系统［13］吸引子分别如图1和图2所示．根据分数阶系统稳定理论和定理1，设计一个控制器，通过两个开关控制使其加在不同的系统上，实现新分数阶超混沌系统与分数阶Lorenz系统的切换同步，图3为切换同步的框图．根据图3将新分数阶超混沌系统与超混沌Lorenz系统改写为和其中：u1（t），u2（t），u3（t），u4（t）为控制器；S1和S2为控制开关，根据图3框图中两个系统的需要，若用数值“1”和“0”分别表示开关S1和S2的“开”和“关”两种状态，则误差系统为设计控制器如下：根据开关的状态不同，讨论以下3种状态：1）当（S1，S2）＝（0，0）时，两个开关为断开状态，由于控制器未加在系统上，因此两个系统各自工作，在q＝0．95时为超混沌状态，新分数阶超混沌系统与分数阶超混沌Lorenz系统的吸引子分别如图1和图2所示．2）当（S1，S2）＝（0，1）时，新分数阶超混沌系统独自工作，控制器加在超混沌Lorenz系统上，误差系统中的A（X，Y）变为由于式（16）满足定理1，因此当（S1，S2）＝（0，1）时，超混沌Lorenz系统随时间的变化与新分数阶超混沌系统同步，结果如图4所示．3）当（S1，S2）＝（1，0）时，控制器加在新分数阶超混沌系统上，超混沌Lorenz独自工作，图5为驱动系统和响应系统的同步相图．由图5可见，当（S1，S2）＝（1，0）时，新分数阶超混沌系统随时间的变化与Lorenz系统同步．在分数阶混沌系统仿真电路设计中，分数阶积分算子的电路设计目前多采用波特图的频域近似方法，文献［14］给出了分数阶q＝0．1～0．9，近似误差分别为2dB和3dB的1／sq展开式，本文设计取q＝0．95［2］，其分数阶积分算子的传递函数为由于阶数为q的分数积分算子可在频域中由传递函数描述，因此可用如下单元电路实现的展开式［15］：a，b间等效电路的系统函数为其中n为展开式s的最高阶．由式（17）和式（18），当q＝0．95，n＝3时，计算可得其单元电路如图6所示．由于运算放大器输出幅度限制，因此在设计电路前应先将系统（12），（13）的状态向量压缩20倍，设计驱动系统及响应系统切换同步电路分别如图7和图8所示．利用Multisim10对新分数阶超混沌系统与分数阶超混沌Lorenz系统同步电路进行仿真，其中选的运算放大器为3288RT，电源电压为±15V，其他阻值在图7和图8中已标记．图9和图10为电路仿真结果．由图9和图10可见，电路实验结果与数值模拟结果相符，表明电路设计与数值模拟的结果正确．综上，本文基于矩阵理论与分数阶系统稳定性理论，给出了非线性控制器的设计方法．该设计方法简单新颖，不用计算系统的Lyapunov指数．采用主动控制方法，结合所提出的稳定性条件，设计非线性控制器，实现了新分数阶超混沌系统与分数阶超混沌Lorenz系统间的切换同步．最后利用波特图的频域近似方法，设计模拟电路进行电路仿真，进一步证明了控制器的有效性与切换同步的可行性．该构造电路的方法也适应于其他分数阶混沌系统，具有普适性．【相关文献】［1］唐婷婷，谭文，刘超．分数阶Chen系统的混沌同步控制及其应用［J］．微计算机信息，2010，26（11－3）：265－267．（TANG Tingting，TAN Wen，LIU Chao．Synchronization Control of Fractional－Order Chen System and Its Application ［J］．Microcomputer Information，2010，26（11－3）：265－267．）［2］ LI Chunguang，CHEN Guanrong．Chaos and Hyperchaos in the Fractional－OrderRössler Equations［J］．Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2004，34（1／2／3／4）：55－61．［3］罗润梓，魏正民，邓述程．分数阶Lorenz混沌系统的修正投影同步［J］．南昌大学学报（工科版），2009，31（1）：22－28．（LUO Runzi，WEI Zhengmin，DENG Shucheng．Modified Projective Synchronization of the Fractional Lorenz Chaotic System ［J］．Journal of Nanchang University（Engineering ＆Technology），2009，31（1）：22－28．）［4］刘丁，闫晓妹．基于滑模控制实现分数阶混沌系统的投影同步［J］．物理学报，2009，58（6）：3747－3752．（LIU Ding，YAN Xiaomei．Projective Synchronization of Fractional－Order Chaotic Systems Based on Sliding Mode Control［J］．Acta Phys Sin，2009，58（6）：3747－3752．）［5］许碧荣．非线性耦合分数阶Chen混沌系统和网络的同步［J］．计算机工程与应用，2013，49（20）：82－86．（XU Birong．Synchronization of Nonlinear Coupling Fractional－Order Chen’s Chaotic Systems and Networks［J］．Computer Engineering andApplications，2013，49（20）：82－86．）［6］黄丽莲，辛方，王霖郁．新分数阶混沌系统的异结构同步及其电路仿真［J］．系统仿真学报，2012，24（7）：1479－1484．（HUANG Lilian，XIN Fang，WANG Linyu．Circuit Simulation and Synchronization of New Fractional－Order Chaotic System［J］．Journalof System Simulation，2012，24（7）：1479－1484．）［7］吴晓强，陈彩云，岳立娟．一类参数不确定时滞混沌系统的反同步［J］．吉林大学学报（理学版），2011，49（5）：922－928．（WU Xiaoqiang，CHEN Caiyun，YUE Lijuan．Anti－synchronization for a Class of Delayed Chaotic Systems with Uncertain Parameters［J］．Journal of Jilin University（Science Edition），2011，49（5）：922－928．）［8］毛北行，张玉霞．具有非线性耦合复杂网络系统的有限时间混沌同步［J］．吉林大学学报（理学版），2015，53（4）：757－761．（MAO Beixing，ZHANG Yuxia．Finite－Time Chaos Synchronization of Complex Networks Systems with Nonlinear Coupling ［J］．Journal of Jilin University（Science Edition），2015，53（4）：757－761．）［9］周小勇，乔晓华，朱雷，等．一类关联混沌系统及其切换与内同步机理研究［J］．物理学报，2013，62（19）：190504．（ZHOU Xiaoyong，QIAO Xiaohua，ZHU Lei，et al．A Class of Associated Chaotic System，Its Switching and Internal Synchronization Mechanism［J］．Acta Phys Sin，2013，62（19）：190504．）［10］刘扬正，姜长生，林长圣．一类四维混沌系统切换混沌同步［J］．物理学报，2007，56（2）：707－712．（LIU Yangzheng，JIANG Changsheng，LIN Changsheng．Chaos Switch－Synchronization for a Class of 4－D Chaotic Systems［J］．Acta Phys Sin，2007，56（2）：707－712．）［11］刘扬正，姜长生，林长圣．一类关联混沌系统的分时切换混沌同步［J］．物理学报，2008，57（2）：709－713．（LIU Yangzheng，JIANG Changsheng，LIN Changsheng．Division Time Chaos Switch－Synchronization for a Class Interrelated Chaotic Systems［J］．Acta Phys Sin，2008，57（2）：709－713．）［12］ Wu X J，Lu H T，Shen S L．Synchronization of Fractional－Order Hyperchaotic System［J］．Phys Lett A，2009，373（27）：2329－2337．［13］ WANG Xingyuan，SONG Junmei．Synchronization of the Fractional Order Hyperchaos Lorenz Systems with Activation Feedback Control［J］．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2009，14（8）：3351－3357．［14］ Ahmad W M，Sprott J C．Chaos in Fractional－Order Autonomous Nonlinear Systems［J］．Chaos，Solitions and Fractals，2003，16（2）：339－351．［15］王发强，刘崇新．分数阶临界混沌系统及电路实验的研究［J］．物理学报，2006，55（8）：3922－3927．（WANG Faqiang，LIU Chongxin．Study on the Critical Chaotic System with Fractional Order and Circuit Experiment［J］．Acta Phys Sin，2006，55（8）：3922－3927．）。

基于滑模变结构的表面式永磁同步电机速度与位置控制

基于滑模变结构的表面式永磁同步电机速度与位置控制一、本文概述本文旨在探讨基于滑模变结构的表面式永磁同步电机（Surface-Mounted Permanent Magnet Synchronous Motor, SPMSM）速度与位置控制的研究。

滑模变结构控制作为一种先进的非线性控制方法，具有快速响应、强鲁棒性和易于实现等优点，在电机控制领域得到了广泛应用。

SPMSM作为一种高性能的电机类型，具有高功率密度、高效率和优良的动态性能，因此在工业自动化、电动车辆和航空航天等领域具有广泛的应用前景。

本文将详细介绍基于滑模变结构的SPMSM速度与位置控制策略，包括滑模变结构控制的基本原理、SPMSM的数学模型、滑模控制器的设计以及实验验证等方面。

通过理论分析和实验研究，本文旨在揭示滑模变结构控制在SPMSM速度与位置控制中的有效性，并为其在实际应用中的推广提供理论依据和技术支持。

本文还将对滑模变结构控制在实际应用中可能遇到的问题和挑战进行探讨，以期为未来相关研究提供参考和借鉴。

二、滑模变结构控制理论基础滑模变结构控制（Sliding Mode Variable Structure Control，简称SMVSC）是一种非线性控制方法，具有对系统参数摄动和外部干扰不敏感的特性，因此在电机控制领域得到了广泛应用。

SMVSC的核心思想是通过设计合适的滑模面和控制律，使系统状态在滑模面上做滑动运动，从而实现对系统的高性能控制。

对于表面式永磁同步电机（Surface-Mounted Permanent Magnet Synchronous Motor，简称SPMSM）的速度与位置控制，滑模变结构控制能够有效地处理系统中的不确定性和非线性因素，提高系统的鲁棒性。

在SPMSM的控制中，滑模面通常设计为电机速度和位置的函数，通过调整控制律使得系统状态在滑模面上滑动，从而实现速度和位置的精确控制。

鲁棒性强：滑模变结构控制对系统参数摄动和外部干扰具有很强的抑制能力，因此在实际应用中能够保持良好的控制性能。

T混沌系统的自适应同步及其保密通信

ｒｐｉａｔｕｅｏｍｕｉｉｉｅｔｆｒｔｇｌｏｔｓｔｔｅｈｏｉｓｔａｅｐｌｄｏｈｏｉｓｃｒｍｎｃｔｎｂｊｃｉｇｎｏｍａｉｎｉａｉｔｌ－ａｓｆｈａｔｓｍ．Ｔｅｉｕａｏｓｌａｅｔｃｃｅｃａｏｙｎｎｉｏｓｎｍｕｉｔｅｏｎｃｃｙｅｈｍｌｔｎｅｕｔｓｉｒｓ
ａｂａ６ｃｂ＞。＋ｂ＋－ａｃＯ
不失一般性，虑非线性驱动系统为考
０引言
混沌是存在于自然界中的一种普遍运动形式，在确定是系统中产生的不规则运动，基本特征是具有对初始条件的其敏感性。人们在研究混沌理论和应用的过程中，步认识到逐混沌的研究价值和应用价值，着对混沌的深入研究和实际随工程的需要，种非线性混沌系统也被相继提出，各并得到了广泛研究。这些系统的提出，方面有利于理解非线性动力系一统的复杂行为，另一方面也为混沌在信息处理、密通讯等工保程技术领域内的应用提供了支持，有十分重要的意义。近具年来的大量研究工作表明，沌与工程技术联系越来越密切，混
ｓｏｔａ，ｔｅｍｅｈｄｒａｉｅｙｃｏｉａｉｎｏｔｅｃａｔｃｙｔｍａｉ，ａｄｔｅｉｆｒｔｎｓｇａａｅｅｏｅｅｏｔｅｒｃｉｅｈｗｔｈｔｏｌｓｓｈｎｚｔｆｈｈｏｉｓｅｅｓｌｈｅｚｎｒｏｓｙｎｏｍａｉｉｌｎｂｃｖｒｄｆｍｅｖｒｈｎｏｎＣｒｒｈｅ

自适应分数阶Lur’e混沌系统同步在保密通信的研究

n n t t
变量， u ( t ) ∈ R 为控制输入， A1 ∈ R n×n A2 ∈ R n×n B1 ∈ R n×m B2 ∈ R n×m D1 ∈ R n×m D2 ∈ R n×m 和 C ∈ R l×n 为已知常
n
( t ) ≤ µ 。 h > 0, µ > 0 为常数。数的矩阵， d1 ( t ) 为时变时滞且满足 0 ≤ d1 ( t ) ≤ h1 d 1 1
k = θ s2
定理 1：从任何初始值出发，误差系统(5) (6)在控制器(9)和自适应律(10)的作用下渐近稳定[7]。考虑以下 Lyapunov 函数[8]：
(10)
1 1 V (t ) = s2 + k − k∗ 2 2θ
其中， k ∗ > λ2 λ3 将上式求导可得：
(
)
2
(11)
k ( t ) = ss + k − k∗ V = s k da z + k − k∗ a θ dt
(3)
η2 j ( D2 j e ) ϕ2 j ( D2 j ( e + z ) ) − ϕ2 j ( D2 j ( z ) ) δ− = ≤δ+ j ≤ j D2 j e D2 j ( e + z ) − D2 j ( z )
其中，如图 1 所示 e, z ∈ R n ， Dij e ≠ 0, i= 1, 2, j= 1, 2, , m ， Dij 为 Di 的第 j 行向量。
(
)θ
(
)
= s ( f 2 ( x, z ) − ks ) + k − k ∗ s 2 ≤ λ2 s z − ks + k − k
2
(

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［ 13 ］
、新超混
（1）
沌系统
［ 14 ］
中，通过计算机数值仿真发现，当系统的
D = d / d t 是 Caputo 微分算子， x = （ x1 ， x2 ，这里， x 3 ） T 是系统（ 1 ）的状态向量 . 将系统（ 1 ）看作驱动系统，不加控制的响应系统为 Dq t y = f（ y ）， y2 － x2 ， y3 － x3 ）令误差 e = y － x = （ y 1 － x 2 ，
［ 17 ］［ 16 ］
e2 ， e 3 ），则由系统（ 2 ）和（ 1 ）可得误差系统为 Dq t e = g （ e） . 上式改写为 Dq e2 ， e3 ）， t e1 = g 1 （ e1 ， Dq e2 ， e3 ）， t e2 = g 2 （ e1 ， Dq e2 ， e3 ） . t e3 = g 3 （ e1 ，为描述新的设计理论和方法，需要下面的假设 . 假设 1 系统（ 4 ）中的第一、第三式在 e 2 = 0 的邻域内光滑连续，且子系统（4）
（ 10 ）
0， 1］， 0 < q < 1 . 以系统（ 10 ）为驱动系其中， α ∈［
（ 8 ）式渐近稳定，显然选取 c > 0 ，即 lim e 2 = 0 . 由假
Dq t y 2 = （ 28 － 35 α ） y 1 + （ 29 α － 1 ） y 2 － y 1 y 3 ，（9） Dq t y2 = y1 y2 －（ α + 8 ） y3 / 3 ，则误差系统（ e = y － x ）为 Dq t e 1 = （ 25 α + 10 ）（ e 2 － e 1 ）， Dq t e 2 = （ 28 － 35 α ） e 1 + （ 29 α － 1 ） e 2 － x 1 e 3 － y 3 e 1 ， Dq t e3 = x 1 e2 + y 2 e1 －（ α + 8 ） e3 / 3 . 显然，若 e 2 = 0 ，系统（ 12 ）的二维子系统 Dq t e 1 = －（ 25 α + 10 ） e 1 ，（ 12 ）（ 11 ）
t→ ∞
从任意初值出发的受控误差系统（ 5 ）， lim e i = 0 ，（ i = 1 ， 2， 3） .
∫ ce （ τ） dτ，控制器
1 0
t
加在响应系统（误差系统）的第一个方程上，分数阶系统（ 2 ）和（ 1 ）渐进同步 .
即在自适应控制器作用下分数阶系统（ 2 ）和（ 1 ）渐进同步 . 证明
q －1 所设计的滑模面为 s = D t e2 +
3. 仿真示例
为了验证所提理论的正确性和有效性，我们首先选取分数阶统一混沌系统进行数值模拟 . 分数阶统一混沌系统
［ 24 ］
∫ ce （ τ） dτ.
2 0
t
当系统发生滑模运动时，需满足如下
物理学报
Acta Phys. .
Vol. 60 ，No. 5 （ 2011 ）
050510
基于滑模控制的分数阶混沌系统的自适应同步
曹鹤飞
1）2）
*
张若洵
1）3） 050016 ）
1 ）（河北师范大学物理科学与信息工程学院，石家庄 2 ）（石家庄学院物理系，石家庄 3 ）（邢台学院初等教育学院，邢台 050035 ） 054001 ）
T T
阶数为分数的时候，系统仍呈现混沌状态，且更能反映系统所呈现的物理现象 . 分数阶混沌系统的同步控制由于在保密通信
［ 15 ］
、信号处理和系统控制及其他领域比整数阶混
（2） = （ e1 ，（3）
更诱人的应用前景和发展前沌系统拥有更突出、途，已引起广泛关注 . 人们提出了许多分数阶混沌如驱动 -响应法系统的同步方法，法法
物理学报
Acta Phys. Sin.
Vol. 60 ，No. 5 （ 2011 ）
050510
Dq 0， e3 ）， t e1 = g 1 （ e1 ， Dq 0， e3 ） . t e3 = g 3 （ e1 ， e3 关于 e1 = 0 ， e3 = 0 是一致指数稳对所有的 e 1 ，定的 . 假设 2 由于（ 4 ）是两个混沌系统的误差系统，故存在足够大的正数 M ，满足 g 2 （ e1 ， e2 ， e3 ） ≤ λ 1 | e1 | + λ 2 | e2 | + λ 3 | e3 | ≤ M （ | e1 | + | e2 | + | e3 | ） . 为了使系统（ 4 ）稳定在平衡点 e = 0 ，即系统（ 2 ）与（ 1 ）同步，我们采用下面控制方法： Dq e2 ， e3 ）， t e1 = g 1 （ e1 ， Dq e2 ， e3 ） t e2 = g 2 （ e1 ，－ k （ | e 1 | + | e 2 | + | e 3 | + 1 ） sign （ s ）， Dq e2 ， e3 ）， t e3 = g 3 （ e1 ，
q t
= Dq s t e 2 + ce 2 = 0 . 由（ 7 ）的第二个方程得 Dq t e 2 = － ce 2 . 设 1，可得 lim e 1 = 0 ，lim e 3 = 0 . 即
t→ ∞ t→ ∞ t→ ∞
Dq t x2 = x1 x2 －（ α + 8 ） x3 / 3 ，统，响应系统为 Dq t y 1 = （ 25 α + 10 ）（ y 2 － y 1 ），
lim e i = 0 ，（ i = 1， 2， 3） .
下面证明从任意初始条件出发的误差系统（ 5 ）满足滑模条件 s = 0. 选取 Lyapunov 函数为 V（ t） = 1 2 1 * s + （ k － k* ） 2 ，其中 k > M . 2 2
V （ t ）对时间的导数为（ t） = ss + （ k － k* ） k V
、滑模控制
［ 19 ， 20 ］
、 Lyapunov 方程法
［ 21 ］
［ 18 ］
、自适应控制法
［ 22 ］
、主
动控制法
［ 23 ］
、非线性反馈控制法
和广义同步
等.
滑模控制具有快的响应性、良好的动态特性和对外界变化的不灵敏性等很多诱人的优点 . 最近， 17 ］文献［采用主动滑模控制实现了分数阶混沌系统的同步，但控制器比较复杂，消去了非线性项，控
关键词：滑模控制，分数阶混沌系统，单一控制器，自适应同步
PACS ： 05. 45. Xt
制代价太大 . 本文我们设计了含有分数阶积分的滑
1. 引
言
模面，并提出了单一自适应滑模控制器实现一类三维分数阶混沌系统的同步的方法 . 数值模拟结果证实了所提方法的有效性 .
q －1 的 . 则滑模面选为 s = D t e 1 +
（5） k的
邻域内光滑连续，且子系统
c > 0. ∫ ce （ τ） dτ 为滑模面，
2 0
t
自适应率为 = θ （ | e1 | + | e2 | + | e3 | + 1 ） | s | ， k （ θ 为大于零的常数） . 定理 1 当 t → ∞ ，其轨线收敛于零，即
条件： s =D
q －1 t
为
e2 +
∫ ce （ τ） dτ = 0 ，
2 0
t
D x 1 = （ 25 α + 10 ）（ x 2 － x 1 ）， Dq t x 2 = （ 28 － 35 α ） x 1 + （ 29 α － 1 ） x 2 － x 1 x 3 ，（7）（8）
t→ ∞
050510-2
物理学报
Acta Phys. Sin.
Vol. 60 ，No. 5 （ 2011 ）
050510
Dq t e3 = y 2 e1 －（ α + 8 ） e3 / 3 .
（ 13 ）
e 3 关于 e 1 = 0 ， e 3 = 0 是一致指数稳定对所有的 e 1 ，的（因为系统（ 13 ）系数矩阵的特征值均为负） . 故系统（ 12 ）满足假设 1 ，受控的误差系统（ 12 ）为 D e = （ 25 α + 10 ）（ e 2 － e 1 ）， Dq t e 2 = （ 28 － 35 α ） e 1 + （ 29 α － 1 ） e 2 － x 1 e3 － y 3 e1 － k （ | e1 | + | e2 | + | e 3 | + 1 ） sign （ s ）， Dq t e3 = x 1 e2 + y 2 e1 －（ α + 8 ） e3 / 3 . 即受控的响应系统为 Dq t y 1 = （ 25 α + 10 ）（ y 2 － y 1 ） Dq t y 2 = （ 28 － 35 α ） y 1 + （ 29 α － 1 ） y 2 － y 1 y 3 － k （ | e1 | + | e2 | + | e 3 | + 1 ） sign （ s ）， Dq t y2 = y1 y2 －（ α + 8 ） y3 / 3 ，其中 s = D