11.1计数的基本原理
高中数学：《计数原理》(理)知识点串讲
《计数原理》（理）知识点串讲一、基本计数原理1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的办法，在第二类办法中有2m 种不同的办法，…在第n 类办法中有n m 种不同的办法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的办法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法，…，做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．说明：①分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成．②两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事情，可类比物理中的“并联”电路来理解；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是相依的、不可缺少的，一个步骤只能完成事情的一部分，必须依次完成所有的步骤，才能完成这件事情，可类比物理中的“串联”电路来理解．③运用两个基本原理解题时，应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的“一件事”，弄清事件之间的关系是相依还是相斥，然后按照恰当的“对象”进行分类或分步，合理的设计相应的做事方式．分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”．这两个原理是解决排列组合问题的理论基础．二、排列与组合1．排列一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．说明：①排列的定义中包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排列”．②只有取出的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素不完全相同，或元素完全相同而顺序不同的排列属于不同排列．如1，2，3与2，3，4是不同排列；1，2，3与1，3，2也是不同排列．③排列中元素的有序性是判断一个具体问题是不是排列问题的标准，也是与组合问题的根本区别．例如：从1，2，3，5这四个数中每次任取两个数相加（或相乘），可得到多少个不同的和（积）？因为加法（乘法）满足交换律，它们的和（积）与顺序无关，如3+5=5+3，因此不是排列问题．如果从四个数中任取两个数相减（相除），一共有多少个不同的差（商）？因为减法（除法）不满足交换律，35355353⎛⎫-≠-≠ ⎪⎝⎭，取出的两个数就与顺序有关了，属于排列问题．2．排列数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的排列数，用符号mn A 表示．说明：排列和排列数是两个不同的概念：一个排列是取出的m 个元素按照一定顺序排成的一个具体的排列，是具体的“一件事”；排列数是一个数，是所有的具体排列的数目． 如：从1、2、3中每次任取出两个元素，组成一个两位数．所有的排列有12，13，23，21，31，32．其中每一个数都是一个排列，而排列数是236card()A B ==，{}121323213132B ，，，，，．（2）排列数公式：!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m n m m n n m =---+=∈N -，，≤． 说明：规定0!1=；乘积形式多用于数字计算，阶乘形式多用于证明恒等式；排列数性质：11m m n n A nA --=；111m m m n n n A mA A ---=+．3．组合一般地，从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的组合．说明：如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合．组合的定义中包含两个基本内容：一是取出元素；二是并成一组，并成一组表示将元素合在一起与元素取出的顺序无关．取出的元素是否有顺序，是区分排列和组合的根本依据．4．组合数（1）定义：从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素的所有的组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的组合数，用符号C m n 表示．（2）组合数公式(1)(1)C !m n n n n m m --+=，C m m n n m mA A =． 5．组合数的性质性质1：C C m n m n n -=；性质112:C C C m m m n n n -+=+． 说明：性质1突出了从n 个不同元素中取出m 个元素与从n 个不同元素中取出n m -个元素是一一对应关系，当2n m <时，不计算C m n 而改为计算C n m n -．性质2中注意它的变形公式的应用，如1212(1)C C C (1)m m m n n n n n n m m m -----==-，11C C mm n n m n --=等．6．解排列组合问题的方法（1）先要判断是组合问题还是排列问题，按照元素的性质分类，按照事件的发生过程分步，不重不漏．借助树形图，框图等形的工具直观帮助解题．总体上有三种方法：直接法（先安排特殊元素和特殊位置），间接法（正难则反），分类讨论法．（2）排列组合问题的16字方针，12个技巧．方针是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合；技巧是：相邻问题捆绑法（莫忘松绑），不相邻问题插空法，多排问题直排法，定序问题可能法，定位问题优先法，有序分配问题先整体后局部分步法，多元问题分类法，构造模型处理法，至少、至多问题间接法，选排问题先选后排法，局部与整体问题排除法，复杂问题转化法．（3）分组问题的求法：设有m n 个元素，平均分成n 组，每组m 个，则有(1)(2)C C C C mm m mm n n m n m mnn A --种分法；平均分成n 组，再分配到n 个位置，有(1)(2)C C C C mm m m mn n m n m m--种分法．若不平均分组或不平均分组再分配，如：6个元素分成3组，一组1个，二组2个，三组3个，则有123653C C C ；若再将这3组分配给3个位置，则有12336533C C C A 种分法．三、二项式定理1．二项展开式在011222()C C C C C n n n n r n r r n n n n n n na b a a b a b a b b ---+=++++++中，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中各项的系数C (012)r n r n =，，，，叫做二项式系数．式中的C r n r r n a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=（0r n ≤≤，r ∈N ，n +∈N ），此公式称为二项展开式的通项公式． 说明：①其右端展开式共有1n +项．②通项公式1(0)r n r r r n T C a b r n r n -++=∈∈N N ，，≤≤表示的是第1(0)r r n +≤≤项．③a 与b 的位置不能互换，对于任意实数a 与b ，上面的等式恒成立．④二项式系数指01r n n n n n C C C C ，，，，，，二项展开式的系数与a b ，前面的系数有关．2．杨辉三角杨辉三角是我国古代数学的研究成果，它给我们提供了一种研究问题的数学模型，从不同的角度观察研究模型，就可以得到二项式系数的性质：一是对称性，结合公式m n m n n C C -=理解；二是增减性与最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，最大为2nnC ；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n n n C C -+=；三是各项的二项式系数的和等于2n ，即012r n n n n n n C C C C +++++=，它表明集合S 含有n 个元素，那么它的所有的子集（包括空集）的个数为2n 个．另外，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即1350242n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．3．二项展开式的应用（1）利用通项公式1(0)r n r r r n T C a b r n r n -++=∈∈N N ，，≤≤求指定项、特征项（常数项，有理项等）或特征项的系数．（2）近似计算，当a 与1相比较很小且n 不大时，常用近似公式(1)1n a na ±≈±，使用公式时要注意a 的条件以及对计算精确度的要求．（3）整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形，把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式的因式或只有一、二项不能整除．（4）求展开式的各项的系数和，对形如()n ax b +，2()()n ax bx c a b c ++∈R ，，的式子求其展开式的各项的系数和常用赋值法，即只需令1x =即可，奇数项的系数和为(1)(1)2f f +-，偶数项的系数和为(1)(1)2f f --． （5）最大系数与系数最大项的求法，如求()()nax b a b +∈R ，，展开式的系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式的各项系数分别为121n A A A +，，，，设第r 项的系数最大，应有11r r r r A A A A -+⎧⎨⎩，，≥≥，由此解出r 即可．。
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A.9种
B.18种 C.12种
D.36种
-22-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)分两类:①当取1时,1只能为真数,此时对数值为0; ②不取1时,分两步:取底数,有5种不同的取法;取真数,有4种不同的
取法.
其中log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加
分步、相乘
不同点 每类方案中的每一 每步依次完成才算完成这件事情 种方法都能独立地 (每步中的每一种方法都不能独立
完成这件事
地完成这件事)
注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,缺一不可
知识梳理 考点自诊
随堂巩固
-4-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(2)按区域 1 与 3 是否同色分类:
①区域 1 与 3 同色;先涂区域 1 与 3,有 4 种方法,再涂区域 2,4,5(还有
3 种颜色),有A33种方法. 所以区域 1 与 3 同色,共有 4A33=24 种涂色方法.
②区域 1 与 3 不同色:第一步,涂区域 1 与 3,有A24种涂色方法;第二步,
11.1 分类加法计数原固
-2-
1.两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
结论 依据
完成一件事,可以 有 n类不同的方案 .在第 1 类方案中有 m1 种不同的方 法,在第 2 类方案中有 m2 种不 同的方法,……在第 n 类方案 中有 mn 种不同的方法 完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的 方法
随堂巩固
计数的基本原理
----
彰会，有多少种不同的选法？
巩 固 新
解 (1) 依分类计数原理，不同的选法种数是 N＝8＋6＋9＝23；
知
(2) 依分步计数原理，不同的选法种数是
N＝8×6×9＝432．
总
1、本节课学习了哪些主要内容？ 分类计数原理
结
分步计数原理
反
思
2、分类计数原理与分布计数原理的共同点是什么；
----
不同点是什么？
共有多少种不同的方法
N＝m1＋m2＋…＋mn
例1 书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文
书 18 本，下层有不同的物理书 7 本.现从中任取一本书，
问有多少种不同的取法？
有三类取法
共有多少种不同的取法
第 1 类，从上层 15 本数学 书任取一本，有 15 种取法
任 取
第 2 类，从中层 18 本语文
青
火车
岛
飞机
汽车
济
火车
北
南
汽车
京
思考： (1)：本题中要完成一件什么事？
(2)：由 青岛返回北京有 2 个步骤， 第一步：由 青岛到 济南，有 3 种不同
的走法；
第二步：由济南到 北京，有 2 种不
同的走法． (3)：完成这件事有多少种不同的方法？
解 3 × 2＝6 (种)．
分步计数原理（乘法原理）
有 n 个步骤
共有多少种不同的方法
完
成
一→
件 事
第 1 步 有
m1
种→
不 同 的 方 法
第
2
步
有
m2
种 不
→ …→
同
的
方
法
基本计数原理
基本计数原理
基本计数原理是组合数学中的一个基本概念，它用于计算由一系列独立事件组成的样本空间中某个事件发生的总数。
简而言之，基本计数原理告诉我们，如果一个任务可以通过若干个步骤完成，第 i 个步骤有 n（i）种选择方式，那么完成整个任务
的总方法数为 n(1) × n(2) × ... × n(k) 。
举个例子来说明基本计数原理的应用。
假设我们要选择一件衣服的颜色和一双鞋子的颜色，衣服有红、黄、蓝三种颜色可选，鞋子有黑、白两种颜色可选。
如果我们按照基本计数原理来计算，衣服的选择有 3 种，鞋子的选择有 2 种，那么整个搭配的方式就有 3 × 2 = 6 种。
在实际应用中，基本计数原理常常用于解决组合、排列、分配等问题。
例如，我们要将 5 台电脑分配给 3 个班级，每个班级至少分配一台电脑。
这个问题可以通过基本计数原理求解。
首先，我们可以将其中一台电脑分配给每个班级，这样每个班级至少有一台电脑。
然后，剩余的两台电脑可以按照自由分配的原则，每个班级都可以选择或不选择。
因此，总的分配方案数为 C(3,1) × 2² = 12。
基本计数原理在计算中的应用十分广泛，可以帮助我们解决各种复杂的计数问题。
它是组合数学中的重要基础，也是深入理解概率论、组合优化等领域的基石。
2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：11.1计数原理
张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：11.1计数原理一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理※相关链接※1．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；2．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
※例题解析※〖例〗在1到20这20个整数中，任取两个相加，使其和大于20，共有几种取法？思路解析：采用列举法分类，先确定一个加法，再利用“和大于20”确定另一个加数。
解答：当一个加数是1时，另一个加数只能是20，1种取法。
当一个加数是2时，另一个加数可以是19，20，2种取法。
当一个加数是3时，另一个加数可以是18，19，20，3种取法。
……当一个加数是10时，另一个加数可以是11，12，……，20，10种取法。
当一个加数是11时，另一个加数可以是12，13，……，20，9种取法。
……当一个加数是19时，另一个加数是20，1种取法。
由分类加法计数原理可得共有1+2+3+……+10+9+8+……=100各取法。
（二）分步乘法计数原理的应用※相关链接※1．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。
2．解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。
※例题解析※〖例〗某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。
某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)11.1基本计数原理课件 理 新人教B版
【例2】(2012·烟台模拟)如图，电路中共有7个电阻与一个电 灯A，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况？
【解题指南】每条支线至少同时有一个电阻断路，灯A就不亮. 故应分别计算三条支线电阻断路情况，再用分步乘法计数原理 求解.
【规范解答】每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到
对其中一边分类讨论；(2)对十位数字进行分类或对个位数字
进行分类.
【规范解答】(1)用x，y表示另两边长，且不妨设1≤x≤y≤11，
要构成三角形，必须x＋y≥12. 当y取值11时，x＝1,2,3，„，11，可有11个三角形；当y取值 10时，x＝2,3，„，10，可有9个三角形；„当y取值6时，x只 能取6，只有一个三角形． 由分类加法计数原理知：符合条件的三角形个数是： 11+9+7+5+3+1=36(个)，故共有36个.
第一节 基本计数原理
三年8考
高考指数:★★★
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些
简单的实际问题.
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是考查重点，在考查
两个计数原理的同时还考查分类讨论的思想；
2.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题
进行分类讨论.
【易错误区】对“至多”与“至少”的理解出现偏差致误 【典例】(2011·北京高考)用数字2，3组成四位数，且数字2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有______个.(用数字作答) 【解题指南】先求出所有的四位数的个数，再去掉不满足条件的.
【规范解答】用数字2，3可以组成24=16个四位数.其中，只由2可
高考计数原理知识点总结
高考计数原理知识点总结高考的数学考试中，计数原理是一个非常重要的知识点。
计数原理涉及到对各种情况下的计数方法的掌握和运用。
通过对计数原理的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提升解题能力。
在本文中，将对高考计数原理的相关知识点进行总结。
一、基本计数原理基本计数原理是计数原理的基础，也是其他计数原理的出发点。
基本计数原理指的是：当一个事件可以分解为若干个独立的步骤时，每个步骤的取法总数之乘积就是整个事件的取法总数。
例如，从A、B、C三个城市中选择一个作为旅游目的地，再从目的地城市的旅游景点中选择一个进行游览。
根据基本计数原理，这个问题的解决步骤可以分为两步，首先是选择旅游目的地的步骤，共有3种选择；其次是选择旅游景点的步骤，共有景点数种选择。
据此，整个问题的解决步骤就是3×景点数。
二、排列与组合排列与组合是计数原理中的两个重要概念。
排列指的是从一组元素中按照一定顺序选取若干个元素进行排列的方法；组合则是从一组元素中无序地选取若干个元素进行组合的方法。
1. 排列排列的概念可以通过一个简单的例子来加以说明。
假设有4个小朋友A、B、C、D要站成一排，那么有多少种不同的排列方法呢？根据排列的定义，首先有4种选择选取第一个位置的小朋友，然后在剩下的3个小朋友中选择一个放在第二个位置，再在剩下的2个小朋友中选择一个放在第三个位置，最后剩下的一个小朋友放在最后一个位置。
据此，整个问题的解决步骤就是4×3×2×1，即4的阶乘。
排列的计算公式可以用数学符号简洁地表示为：A(4,4)=4！。
2. 组合与排列不同，组合不考虑元素的先后顺序。
如果要从A、B、C、D这4个小朋友中选取2个小朋友玩游戏，那么有多少种不同的组合呢？根据组合的定义，首先有4种选择选取第一个小朋友，然后在剩下的3个小朋友中选择一个作为第二个小朋友。
由于不考虑元素的先后顺序，所以(A,B)和(B,A)被视为同一种情况，即同一个组合。
计数原理(优秀课件)
THANKS
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在社会科学中，分类计数原理可以应用于 社会调查和统计分析等方面，例如调查问 卷的数据分析和人口统计等。
03
分步计数原理
定义与解释
定义
分步计数原理，也称为分治法，是计数原理中的一种基本方法。它基于将一个复杂问题分解为若干个 简单子问题，然后分别对每个子问题进行计数，最后将各个子问题的计数结果相乘得到总计数。
同样地，我们考虑第一个学 生有5门课程可以选择，第 二个学生也有5门课程可以 选择，依此类推，直到最后 一个学生。根据分步计数原 理，总的不同选课方案为 $5 times 5 times 5 times ... times 5 = 5^{30}$。
应用场景
应用场景1
在组合数学中，分步计数原理常被用于解决排列组合问题。例如，在求解排列数、组合数 或概率分布时，可以通过将问题分解为若干个子问题，然后利用分步计数原理进行计算。
首先，我们考虑第一个学生 有5门课程可以选择，第二 个学生也有5门课程可以选 择，依此类推，直到最后一 个学生。根据分步计数原理 ，总的不同选课方案为 $5 times 5 times 5 times ... times 5 = 5^{30}$。
一个班有30名学生，每个学 生需要从5门课程中选1门课 程。问有多少种不同的选课 方案？
应用场景2
在计算机科学中，分步计数原理被广泛应用于算法设计和数据结构。例如，在求解图论中 的路径、遍历等问题时，可以利用分步计数原理来计算不同路径的数量。
应用场景3
在实际生活中，分步计数原理也被广泛应用于各种场景。例如，在制定计划或决策时，可 以将整个过程分解为若干个子步骤或子任务，然后利用分步计数原理来计算完成整个任务 所需的总时间或总成本。
计数原理基本知识点
计数原理基本知识点1. 分类计数原理： 做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有m 1 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种不同的方法， ，在第n 类办法中有 m n 种不同的方法 那么完成这件事共有Nm 1 m 2L mn 种不同的方法2. 分步计数原理： 做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有m 1 种不同的方法，做第二步有 m 2 种不同的方法， ，做第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N m 1 m 2L m n种不同的方法3．排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．．．．．．．．． 4．排列数的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素的所有排列的个数叫 做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号A n m 表示5．排列数公式 ：m( 1)( 2)(1) （A nL n mm, n N , m n）n n n6 阶乘： n!表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘 规定 0!1．7．排列数的另一个计算公式：A n m = n!( n m)!8 组合的概念： 一般地，从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合9．组合数的概念： 从 n 个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 ．用符号 C m 表示．．．．n10．组合数公式：m A nmn(n 1)(n 2)L (n m 1)C nA m mm!或 C m nn! (n, m N ,且 mn)m! (n m)!11 组合数的性质1： C n m C n n m ．规定： C n 01 ；12 ．组合数的性质 2： C n m 1 ＝ C n m + C n m 1 1．二项式定理及其特例：（1）( a b)n C n0a n C n1a n b L C n r a n r b r L C n n b n (n N ) ，（2）(1 x)n 1 C n1x L C n r x r L x n.2．二项展开式的通项公式：T r 1 C n r a n r b r3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）(a b)n展开式的二项式系数，当 n 依次取 1,2,3 时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除 1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C n m C n n m）．直线r n2 是图象的对称轴．n（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项C n2取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项n 1 n 1C n 2 ， C n 2 取得最大值．（3）各二项式系数和：∵ (1 x) n 1 C n1 x L C n r x r L x n，令 x 1 ，则2n C n0 C n1 C n2 L C n r L C n n［特别提醒］1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式T r 1 C n r a n r b r ，注意 (a b)n与 (b a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。
《计数的基本原理》
组合数公式
详细描述
当一个事件的发生与另一个事件的发生没有依存关系时，两个事件都要发生的方法数是两个事件各自发生的方法数的乘积。
实例Байду номын сангаас
有圆形、三角形、正方形三种图形，从中任取两个图形，有多少种不同的取法？
结论
#O5
#2022
总结计数原理的重要性
掌握计数原理对于数学和统计学的学习和研究至关重要，它为我们提供了解决问题的有效工具和方法。
排列计数原理
#O3
#2022
排列计数原理的定义
排列计数原理是组合数学中的基本原理之一，用于计算不同元素的排列方式数量。
排列计数原理是指从n个不同元素中取出m个元素（0<m≤n），按照一定的顺序排成一列，这一排列方式称为从n个不同元素中取出m个元素的排列，记作n(m)。
排列计数原理的公式
排列计数原理的公式为：n(m) = n! / (n-m)!，其中"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
计数原理的分类
根据计数对象的性质或特征，可以分为直接计数和间接计数。 分类一 根据计数对象之间的关系，可以分为独立计数和相关计数。 分类二
计数原理的应用场景
计数原理在组合数学中有着广泛的应用，如排列、组合、概率等。
组合数学
在统计学中，计数原理用于统计数据的收集、整理和描述。
统计学
在计算机科学中，计数原理用于算法设计、数据结构、离散概率等。
C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘，即一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘是1。
P(n, m) = n^m，表示从n个不同元素中取出m个元素（放回）的排列数。
计数原理
计数原理知识结构分类加法计数原理计数原理分步乘法计数原理排列的定义排列、组合排列排列数公式排列的应用排列组合的计组合的定义综合应用数组合组合数公式原组合数性质理组合数的应用二项式定理应用二项式定理二项展开式的通项应用二项式系数的性质应用重点难点本章重点难点是两原理及排列、组合、二项式的应用。
学法指导1、对于计数原理要在弄懂原理、学透概念、学全方法上下功夫；2、对于二项式定理，要在体会恒等式、公式的学法上下功夫。
高考分析与预测本章是高考数学相对独立的内容，也是密切联系实际的一部分。
在高考中，注重基本概念，基础知识和基本运算的考查。
试题难度不大，多以选择、填空的形式出现。
排列组合的试题会以现实生活中的生产问题、经济问题为背景，不会仅是人或数的排列。
以排列组合应用题为载体，考查学生的抽象概括能力，分析能力，综合解决问题的能力。
二项式着重考查展开式和系数的应用。
将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点，应引起重视。
§11.1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理新课标要求分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。
了解计数与现实生活的联系，会解决简单计数问题重点难点聚焦归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题，正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”。
高考分析及预测计数原理是高中数学中独立性较强的一部分，也是密切联系实际的一部分，是高考必考内容，每年都有1—2道有关的试题，题型一般为选择题和填空题，考查基础知识、思维能力，多数题难度与教材习题难度相当，但也有个别难度较大。
再现型题组1.某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同的选法有（）。
A.50B.60C.24D.6162.5个高中毕业生报考三所重点院校，每人报且只报一所，则不同的报名方法有（ ）种。
复旦大学计算机科学与工程系 吴永辉 离散数学 排列组合基础知识
二项式定理证明方法
证明方法1 证明方法2
二项式定理证明方法1
通过n个对象的r-组合数可得出表达式(a+b)n的 展开式。 在n个因子中选k个b和n-k个a，可得项an-kbk。 因为从n个对象中选择k个共有C(n, k)种方法， 所以项an-kbk共有C(n, k)个。 所以(a+b)n =C(n, 0)anb0+C(n, 1)an-1b1+ C(n, 2)an-2b2+…….+ C(n, n-1)a1bn-1+ C(n, n)a0bn
2 二项式定理的推论 1)推论11.2 对任何正整数n，有： C(n, 0)+C(n, 1)+……+C(n, n)=2n
证明：令x=y=1，根据二项式定理，则有2n =(1+1)n=C(n, 0)+C(n, 1)+……+C(n, n) 。
2)推论11.3 对任何正整数n，有： C(n, 0)-C(n, 1)+C(n, 2)-……+(-1)nC(n, n)=0
二、二项式系数及组合恒等式
1 定理 定理11.6（二项式定理） （二项式定理） 设n为正整数，对一切x和y有：
(x + y) =
n
∑
n k =0
C (n, k ) x y
k
n−k
Pascal三角形/杨辉三角形
Pascal三角形/杨辉三角形 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 。。。。。。。。
组合数学在研究记数时经常要用到最基 本的原理：加法原理和乘法原理。
11.1 基本计数原理
1 加法原理 1）定理11.1（加法原理） 设A和B是有限集合S的两个互不相 交的子集，且A∪B=S，则|S|=|A|+|B|。
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2)密码为4位,每位是0到9这10个数字 中的一个,或是从A到Z这26个英文 字母中的1个,这样的密码共有多少 个? (2)设置四位密码,每一位上都可以从 0到9这10个数字或从A到Z这26个 英文字母中的1个中取一个,共有 10+26=36种取法. 根据分步计数原理,四位密码的个数 是 36×36×36×36＝1679616
完成一件事,需要分成n个步骤， 分步计数原理： 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不 同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 种不同的方法。
N=m1×m2×…×mn
注:本原理又称乘法原理.
要点: 1.分步；
2.每步缺一不可,依次完成； 3. N
m1 m2 mn (各步方法之积)
课本P179,练习A 学案:P78 当堂训练
小结:
1.分类计数与分步计数原理是两个最基本， 也是最重要的原理，是解答排列、组合问 题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基 础.
2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理
的关键是“分类”还是“分步”，也就是 说“分类”时，各类办法中的每一种方法 都是独立的，都能直接完成这件事，而 “分步”时，各步中的方法是相关的，缺 一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完
(2)在图(2)中,按要求接通电路必须分两步进行:第一步, 合上A中的一只开关;第二步,合上B中的一只开关。故 有
2×3=6 种不同方法。
答:在图 (1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有5种不同的
方法；图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路,有6种不同的方 法.
例3:为了确保电子信箱的安全,在注册时通常要 设置电子信箱密码.在网站设置的信箱中, 1)密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一 个数字,这样的密码共有多少个?
3) 密码为4～6位,每位均为0到9 这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个?
(3)设置一个由0到9这10个数字组成的4～ 6位密码,有3类方式,其中设置4位密码 、5 位密码、6位密码的个数 分别为104，105， 106,根据分类计数原理,设置由0到9这10个 数字组成的4～6位密码个数是 104+105+106=1110000
1、
P180，T1,2，3
2、 学案P78 课后巩固
3、预习P180-P184排列,看例题，然 后完成学案P84,P85 尝试练习
2)密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个, 或是从A到Z这26个英文字母中的1个,这样的 密码共有多少个?
3) 密码为4～6位,每位均为0到9这10个数字中 的一个数字,这样的 密码共有多少个?
1)密码为4位,每位均为0到9这10个数 字中的一个数字,这样的 密码共有 多少个?
解:(1) 设置四位密码,每一位上 都可以从0到9这10个数字中取 一个,有10种取法,根据分步计数 原理,四位密码的个数是 10×10×10×10＝10000
N=m1+m2+…+m n
注:本原理又称加法原理.
要点: 1.分类；
2.互相独立 3.N
m1 m2 mn (各类方法之和)
上海
问题2.增加杭州游,从南京到杭州的路有 三条,由杭州到上海的路有两条.问:从南 京经杭州到上海有多少种不同的方法？
杭州
宁波
由问题二,你能归纳猜想出一般结论吗？
原理示意图：
m1
A
m2
……
B
mn
加法原理
A
m1
m2
…...
mn
B
乘法原理
例1:某班共有男生28名,女生20 名,从该班选出学生代表参加 校学代会. (1)若学校分配给该班1名代表, 有多少种不同的选法? (2)若学校分配给该班2名代表, 且男女生代表各1名,有多少种 不同的选法?
例2:(1)在图 (1)的电路中,只合上一只开关以接 通电路,有多少种不同的方法?
(2)在图(2)的电路中,合上两只开关以接通 电路,有多少种不同的方法?
(1) 在图 (1)的电路中,只合上一只开关 以接通电路,有多少种不同的方法?
(1)在图(1)中按要求接通电路,只要 在A中的两个开关或B中的三个开 关中合上一只即可,故有 2+3=5 种不同的方法.
(2)在图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路, 有多少种不同的方法?
一、问题情境
上海
问题1.从南京到上海,有3条公路,2条铁路, 那么从南京到上海共有多少种不同的方法 ?
上海
宁波
由问题一,你能归纳猜想出一般结论吗？
分类计数原理: 完成一件事, 有n类方式, 在第一 类方式,中有m1种不同的方法,在第二类方式,中 有m2种不同的方法，……，在第n类方式,中有 mn种不同的方法. 那么完成这件事共有 种不同的方法。