2018年高考总复习知识导学案(文科)2.5指数与指数函数

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【高考数学】2018年高考数学(人教文科)总复习(福建专用)配套课件：2.5指数与指数函数(配套PPT课件)

专题二
知识梳理
考点自测
2.5
指数与指数函数
考情概览备考定向必备知识预案自诊必备知识预案自诊关键能力学案突破
-8-
3.(2017北京,文5)已知函数 f(x)=3 A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数
x
1 �� ,则f(x)( 3
A.
5.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内为减函数,则实数a的取值范围是 (- 2,-1)∪(1, 2) . 解析:由 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)内为减函数,得 0<a2-1<1, 即 1<a2<2,即 1<a< 2或- 2<a<-1.
B )
解析:因为 f(x)的定义域为 R,f(-x)=3 所以函数 f(x)是奇函数. 又 y=3 和 y=x
-x
1 -�� 3
=
1 �� x -3 =-f(x), 3
1 �� 在 3
R 上都为增函数,
所以函数 f(x)在 R 上是增函数.故选 B.
专题二
知识梳理
考点自测
2.5
五年考题统计
命题规律及趋势高考对指数的考查主要是指数的运算,对指数函数的考查主要是指数函数的图象、性质的应用,命题多以指数函数为载体与函数的性质、方程、不等式等知识综合.命题的形式有比较大小、简单的指数方程、指数不等式等.
2013 全国Ⅰ,文 5 2013 全国Ⅱ,文 12 2014 全国Ⅰ,文 15 2015 全国Ⅰ,文 10 2015 全国Ⅰ,文 12 2016 全国Ⅰ,文 8 2017 全国Ⅲ,文 16

浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第2章第5讲指数与指数函数含解析

第5讲指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.知识梳理1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n＝1a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3.指数函数及其性质(1)概念；函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )(4)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).()解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴a x2＋1≥a.故y＝a x2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A.－9B.7C.－10D.9解析原式＝(26)12－1＝8－1＝7.答案 B3.函数y＝a x－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )解析函数y ＝a x－1a 是由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a>1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D. 答案 D4.(2015·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a 1，∴b <a <c . 答案 C5.指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 解析由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1，2)6.(2017·金华模拟)设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.解析由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.答案14 215考点一指数幂的运算【例1】化简：(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是()(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]. 答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】 (1)(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是()(2)方程2x＝2－x 的解的个数是________.解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1考点三指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1 (2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. (1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练3】 (1)(2015·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a 0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0，所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)，故b ＞a ＞c ，选B.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27][思想方法]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c的大小关系是( ) A.c <a 1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a 1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3.(2017·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a 25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于()A.1B.aC.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.(2017·温州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x >1，则f (f (2))＝________，不等式f (x －3)<f (2)的解集为________. 解析 f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， ∴f (f (2))＝12，当x －3>1时，即x >4时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3－1<12，解得x >5，当x －3≤1时，即x ≤4时，x －3<12，解得x <72，综上所述不等式f (x －3)<f (2)的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <72或x >5. 答案 12 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <72或x >5 8.(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________.解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e|x －2|，x <1. 当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.答案 e三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立.解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}.对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ).∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1.因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数. (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞) 解析因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1. 答案 D12.已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A.a <0，b <0，c <0B.a <0，b ≥0，c >0C.2－a <2cD.2a ＋2c <2解析作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，∵a f (c )>f (b )，结合图象知a <0，0<c <1，∴0<2a <1，1<2c <2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.答案 D13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x . 答案－2x (x <0)14.已知函数f (x )＝m ·6x －4x ，m ∈R .(1)当m ＝415时，求满足f (x ＋1)>f (x )的实数x 的范围； (2)若f (x )≤9x 对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的范围.解 (1)当m ＝415时，f (x ＋1)>f (x )，则415·6x ＋1－4x ＋1>415·6x －4x ，整理得43·6x >3·4x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >⎝ ⎛⎭⎪⎫322，解得x >2，即实数x 的取值范围是(2，＋∞). (2)因为对任意的x ∈R ，f (x )≤9x 恒成立，则m ·6x －4x ≤9x ，整理得m ≤4x ＋9x 6x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23x . 对任意的x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ≥2，则m ≤2，即实数x 的取值范围是(－∞，2]. 15.(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12.∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。

高考数学一轮总复习 2.5 指数与指数函数教案理新人教A版

2.5 指数与指数函数典例精析题型一指数及其运算【例1】计算：(1)214- •2133231)()1.0()4(---b a ab ； (2)(0.027)31-－(－17)－2＋(279)21－(2－1)0.【解析】(1)原式＝100442321•-·32a ·32-a·32-b ·32b ＝125.(2)原式＝(271 00031)-－(－1)－2(17)－2＋(25921)－1＝103－49＋53－1＝－45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数.【变式训练1】已知a ，b 是方程9x2－82x ＋9＝0的两根，求3131b a ba --－3131b a ba ++的值. 【解析】a ＋b ＝829，ab ＝1.原式＝231a 31b ＝2(ab)31＝2. 题型二指数函数性质的应用【例2】已知函数f(x)＝2x －12x ＋1，其中x ∈R.(1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明f(x)是R 上的增函数.【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x ∈R ，且f(－x)＝1212+---x x ＝1－2x 1＋2x＝－f(x)，所以f(x)为R 上的奇函数. (2)证明：设x1，x2∈R ，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝121211+-x x －121222+-x x=)2()2(2211112121+++++-x x x x ＜0，所以f(x)是R 上的增函数.【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围应分类讨论.【变式训练2】函数y＝ex ＋e －xex －e －x的图象大致为( )【解析】A.题型三指数函数的综合应用【例3】已知函数f(x)＝2x －12|x|.(1)若f(x)＝2，求x 的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】f(x)＝2x －12|x|＝⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,212x x x x(1)因为f(x)＝2，所以2x －12x＝2. 因为x≥0，所以2x ＝1＋2，解得x ＝log2(1＋2).(2)因为t ∈[1,2]，所以2tf(2t)＋mf(t)≥0可化为2t(22t －122t )＋m(2t －12t )≥0，即m(22t －1)≥－(24t －1).因为22t －1＞0，所以上式可化为m≥－(22t ＋1). 又因为－(22t ＋1)的最大值为－5，所以m≥－5.故使得2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立的实数m 的取值范围是[－5，＋∞). 【变式训练3】已知函数f(x)＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是( )A.a ＜0，b ＜0，c ＜0B.a ＜0，b≥0，c ＞0C.2－a ＜2cD.2a ＋2c ＜2 【解析】D. 总结提高1.增强分类讨论的意识，对于根式na 的意义及其性质要分清n 是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数a 的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论.2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制.3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.。

高三数学一轮复习学案2.5指数与指数函数

2.5指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.基础回顾1.指数幂的概念(1)根式如果一个数的ｎ次方等于a （ｎ＞１且ｎ∈*N ）那么这个数叫做a 的ｎ次方根.也就是，若a x n =，则x 叫做，其中ｎ＞1且ｎ∈*N .式子；叫做，这里ｎ叫做，a 叫做．(2)根式的性质①当ｎ为奇数时，正数的ｎ次方根是一个正数，负数的ｎ次方根是一个负数，这时，a 的ｎ次方根用符号表示.②当ｎ为偶数时，正数的ｎ次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的ｎ次方根用符号表示，负的ｎ次方根用符号表示.正负两个ｎ次方根可以合写为（a ＞０）. ③=n n a )( ． ④当ｎ为奇数时，=n n a ；当ｎ为偶数时，=n n a ｜a ｜＝．⑤负数没有偶次方裉.⑥零的任何次方根都是零.(3)分数指数幂的意义 ①)1,,0________(*>∈>=n N n m a an m 且 ②)1,,0________(*>∈>=-n N n m a a n m且(4)有理数指数幂的运算性质 ①),.0( ________Q s Q r a a a s r∈∈>=⋅②),.0( ________Q s Q r a a a s r ∈∈>=÷③),.0( ________Q s Q r a a s r ∈∈>=）（④),0.0( ________)(Q r b a ab s ∈>>=2.指数函数(1)指数函数的定义：一般地，函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量(2)指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象及性质：基础自测1.下列运算正确的是（）A.2332)()(a a -=-B.532)(a a -=-C.532)(a a =-D.632)(a a -=-2.若函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则有（）A.a ＝1或a ＝2B.a ＝1C.a ＝2D.10≠>a a 且3.设指数函数)(x f )10(≠>=a a a x 且，则下列等式不正确的是( )A.)()()(y f x f y x f ∙=+B. )()())((y f x f xy f n n n ∙=C.)()()(y f x f y x f =- D. )()(x f nx f n = 4.R x x f x ∈=,)21()(||,那么)(x f 是( ) A.奇函数且在(0,+ ∞)上是增函数B.偶函数且在(0,+ ∞)上是增函数C.奇函数且在(0,+ ∞)上是减函数D.偶函数且在(0,+ ∞)上是减函数5.函数{2),2(2,2)(<+≥-=x x f x x x f ，则f (－3)的值为 .例题选讲例1已知a ，b 是方程0462=+-x x 的两根，且a ＞b ＞0，求b a +的值.例2巳知函数R x x f x ∈=+,)21()(|2| (1）作出图象；(2)指出该函数的单调递增区间；(3)求值域例3指数函数x aby )(=的图象如图所示，求二次函数bx ax y +=2的顶点横坐标的取值范围.例4已知定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，142)(+=x xx f . (1)求)(x f 在[－1,1]上的解析式；(2)求证：)(x f 在(0,1)上是减函数.。

2018年高考数学文一轮复习文档：第二章基本初等函数

第5讲指数与指数函数, )1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a mn＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编化简12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9B2.教材习题改编设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3B 因为x ＋x －1＝3.所以(x ＋x －1)2＝9，即x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7. 3．函数f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4.教材习题改编若a >1且a3x ＋1>a－2x，则x 的取值范围为________．因为a >1，所以y ＝a x为增函数，又a3x ＋1>a－2x，所以3x ＋1>－2x ，即x >－15.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，＋∞ 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b－3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【解析】 (1)由f (x )＝a x －b的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】 (1)D (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即 0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.⎝⎛⎭⎪⎫0，12指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围．(1)(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(2017·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________．【解析】 (1)因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .(2)当a ＜1时，41－a＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入不成立． (3)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.所以不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}．【答案】 (1)A (2)12(3){x |x ＞4或x ＜0}有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一比较指数幂的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC 因为指数函数y ＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C.角度二解简单的指数方程或不等式 2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________．因为2x 2－x<4，所以2x 2－x<22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三研究指数型函数的性质3．(2017·太原模拟)函数y ＝2x －2－x是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减A 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数．角度四求解指数型函数中参数的取值范围4．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.－32, )——利用换元法求解指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________．【解析】因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1＝2(2x )2－2x－1，令t ＝2x，x ∈，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立，当a ＞0时，开口向上，对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)必有一个根为正，所以a >0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．, )1．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1aD 解析] 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 2．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A ．B ．C ．D ．由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是()D 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，所以选D.4．(2017·德州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A ．a c ，所以b <c <a ，故选D.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a <1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3，1)． 6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在，则实数a ＝________．当a >1时，f (x )＝a x－1在上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在上为减函数，又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3.38．已知函数f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________．因为f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，所以e a －e －ae a ＋e －a ＝－12.所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.129．(2017·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．(0，1)∪(2，＋∞)10．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e. e11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x.要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56. 所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.12．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B 函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x>0，所以x ＝1.(2)当t ∈时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0，所以m ≥－(22t＋1)，因为t ∈，所以－(22t＋1)∈，故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

专题05 指数与指数函数-新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案

2.5指数与指数函数【学习目标】1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【要点整合】1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna－＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质3.有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论．求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数uy a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()xf y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()xf y a =在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．【典例讲练】题型一指数幂的运算【例1-1】若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a3C ．(－2)0＝－1D ．144()a－＝1a答案 D解析对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，144()a－＝1a ，故D 正确．【例1-2】化简：41223333322533338242a a bb a a a a a ab ab a -⎛⎫-⋅÷-⨯ ⎪⋅⎝⎭++＝ (a >0)．答案 a 2 解析原式＝11111251111333333336223331111111111223333353362[()(2)]2()(2).()(2)(2)()2a a b a b a a a a a a b a aa ab b a a a b b --⋅÷⨯⨯⨯+⋅+⋅-＝－＝归纳总结：【练习1-1】【答案】解：原式2123232322[()]1[()]()233=--+3441299=--+ 12=．【练习1-2】下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56a a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【分析】根据各式是否有意义，是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断．【答案】解：对于A ，0a ，而当0a <时，56a =无意义，故A 错误；对于B ，当0x <时，24x =B 错误；对于C ，31332224()b b ==，故C 错误．对于D ，52()a b --===D 正确．故选：D ．题型二指数函数的图象及应用【例2-1】函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D 解析由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x－b的图象是在y ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.【例2-2】若函数y ＝|4x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为____________．答案 (－∞，0]解析函数y ＝|4x －1|的图象是由函数y ＝4x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．归纳总结：【练习2-1】已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.【练习2-2】方程2x＝2－x的解的个数是．答案1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型三指数函数的性质及应用考点1 比较大小【例3-1】已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( ) A ．b <a <c B ．a 220，可知b 15<a 15<c 15，所以b <a <c . 归纳总结：【练习3-1】设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】对于函数2()5x y =，在其定义域上是减函数，3255>，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <. 在同一平面直角坐标系中画出函数3()5x y =和函数2()5x y =的图象，a c >. 从而bc a <<. 故A 正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论. 考点2 解简单的指数方程或不等式【例4-1】已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为．答案 12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.【练习4-1】若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为．答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．考点3 指数型函数性质综合应用【例5-1】函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为________．【答案】(0，2]【解析】设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，即可求解．由题意，设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，知当1t ≥-时，02y <≤，即函数221()2x xy -=的值域为(0,2]．【例4-2】求函数17218212+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的单调区间.解设t ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21>0，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增.令x⎪⎭⎫⎝⎛21≤4，得x ≥－2. ∴当－2≤x 1<x 2时，4≥112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>212x⎛⎫⎪⎝⎭，即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴17218212+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的单调增区间是[－2，＋∞).同理可得减区间是(－∞，－2].归纳总结：【练习5-1】若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞ C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】B【解析】由题得1222x xa <⋅-在（0,1）上恒成立，设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数，所以()12111a f ≤=⨯-=. 故选B ．【练习5-2】求函数176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调区间；解 176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数，∴y ＝176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在(－∞，3]上是增函数.在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数，∴176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=xxy在[3，＋∞)上是减函数.∴176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=xxy的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞).【课后作业】A 组基础题一、选择题1.化简()1111232240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（） A. a B. b C.abD.b a【答案】：A 【分析】根据指数幂运算法则进行化简即可.【详解】1111311131112322424242244a b a b a b a b a b a --⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题. 2.下下下下下下下下 A ．a = B ．01a =C ．4=- Dπ=-【答案】：D3.把(a -(a －1)移到根号内等于( )A.C.【答案】：C4.下下下下下下下下下下下( )A ．B ．C ．D ．【答案】：D5.已知集合{}|128xA x =<≤，{}0,1,2B =，则下列选项正确的是（）A. A B ⊆B. A B ⊇C. {}0,1,2AB = D. {}1,2AB =【答案】：D 【分析】计算{}03A x x =<≤，根据集合的包含关系，交集并集运算依次判断每个选项得到答案. 【详解】,{}{}|12803x A x x x =<≤=<≤，{}0,1,2B =，则A B ⊆/，A B ⊇/，AB 错误； {}03A B x x ⋃=≤≤，C 错误；{}1,2A B =，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了解指数不等式，集合的包含关系，交集并集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6.若不等式()2223122x axx a -+<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. (0,1)-B. 3(,)4+∞C. 3(0,)4D.3(,)4-∞【答案】：B7177)(m n mn =31243)3(-=-43433)(y x y x +=+3339=分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为222(3)x ax x a ->-+恒成立，利用判别式22(32)40a a ∆=--<，从而求得实数a 的取值范围.详解：不等式22231()22x axx a -+<恒成立，即222(3)11()()22x ax x a --+<，即222(3)x ax x a ->-+恒成立，即22(32)0x a x a +-+>恒成立，所以22(32)40a a ∆=--<，解得34a >，所以实数a 的取值范围是3(,)4+∞，故选B.点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得结果.7. 已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|124,}x B x x N =<≤∈，则A ∩B =（） A. ∅ B. (1,2] C. {2} D. {1,2}【答案】：C 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：集合{}2430A x x x =-+<{|13}x x =<<，{}02{|124,}{|222,}{|02,}1,2x x B x x N x x N x x x N =<≤∈=<≤∈=<≤∈=.所以{}2A B ⋂=. 故选：C【点睛】本题考查交集的运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.8.已知111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A. a b b a a b >>B. a b b a b a >>C. b a b b a a >>D. b b a a b a >>【答案】：A 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比较大小即可得答案.【详解】解：因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1a b >>，由于函数()1xy aa =>和函数()1b y x b =>在第一象限为增函数，所以a b a a >，b b a b >，故a b b a a b >>. 故选：A.【点睛】本题考查利用指数函数与幂函数的单调性比较大小，考查运算能力，是基础题. 9.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A. ()1,1- B. ()(),11,-∞-+∞C. ()0,1D. ()(),01,-∞⋃+∞【答案】：D 【分析】不等式即21x x >+．由于函数2xy =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，数形结合可得结论．【详解】解：不等式()0f x >，即21x x >+．由于函数2xy =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示：不等式()0f x >的解集是()(),01,-∞⋃+∞，故选：D ．【点睛】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题．10.函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（） A. B.C. D.【答案】：D 【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11.已知全集U =R ，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B C ⋂=（）A. {|20}x x -≤<B. 1{|2}2x x -≤<C. 1{|0}2x x ≤<D. {|03}x x ≤<【答案】：B 【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y C B x x -==≥∴=≥∴=<，所以()U A B C ⋂= 1{|2}2x x -≤<．考点：集合的交集、补集运算．12.设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】：A 【分析】分别考查指数函数1()3xy =及幂函数13y x =在实数集R 上单调性，即可得出答案．【详解】∵2133＞，由幂函数13y x =在实数集R 上单调递增的性质得113321()()33＞，∴a ＞c ．又由指数函数1()3x y =在实数集R 上单调递减的性质得213311()()33＜，∴c ＞b ．∴a ＞c ＞b ．故选：A ．【点睛】掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键．二、填空题13.=_________，220313e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ .【答案】：1π-； 4-【分析】根据指对数的运算求解即可.【详解】(1)11ππ=-=-(2) ()222033323141(8314)29e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-+=-+=-. 故答案为：1π- ；4-【点睛】本题主要考查了指数的基本运算,属于基础题型.14.计算210.00013427-- 【答案】：134【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题. 15.若2312a b ==，则21a b+= ．【答案】：1试题分析：由题意得23log 12,log 12a b ==，则121211log 2,log 3a b==，所以()2121212212log 2log 3log 231a b+=+=⨯=. 考点：对数运算及其应用.16.已知函数()()(),01,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()()22f x f x <-的解集为______.【答案】：()2,1- 【分析】先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果.【详解】,1x y e y x ==+都为单调递增函数，且001e =+()f x ∴在R 上单调递增，()()22f x f x <-， 22x x ∴<-，即()()220210x x x x +-<+-<，∴21x -<< 故答案为：()2,1-17.若[1,)x ∈-+∞，不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】：(,2)-∞【分析】设12,2xt ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，将原不等式转化成11,,2m t t t⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，从而求出m 的范围．【详解】令2x t =，∵[1,)x ∈-+∞，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵4210x x m -⋅+>恒成立，∴11,,2m t t t⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，∵12t t+≥，当且仅当1t =时，即0x =时，表达式取得最小值， ∴2m <，故答案为(,2)-∞．【点睛】本题考查与指数函数有关不等式的恒成立问题，可换元后转为含参数的一元二次不等式的恒成立问题，再利用参变分离可求参数的取值范围，此题需要学生有较好的逻辑分析能力，难度不大，属于基础题．三、解答题18.计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】：（1）4a （2）0.09 【分析】根据同底数幂、分数指数幂的运算性质即可求出（1）（2）答案. 【详解】（1）()()2115211115111033663262362226326344a b a b a b a b a b a +-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=⨯-÷-⨯== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()113232333250.359-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦550.090.0933=+-=.19.已知函数1()421x x f x a +=-⋅+．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值－8，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．【答案】：（1）5；（2）1718a ≤≤. 【分析】（1）2()(2)221x x f x a =-⋅+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，进而讨论a 与52的关系求解；（2）[1x ∈-，2]，∴令12[2x t =∈，4]，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，进而求解．【详解】解：（1）2()(2)221x x f x a =-⋅+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，①52a ≤时，2()42418max f x a =-⨯+=-，解得258a =（舍）②52a >时，2()12118max f x a =-⨯+=-，解得5a =， 5a ∴=；（2）[1x ∈-，2]，∴令12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，1122t a t =+≥=当且仅当122t t=，即1t =时等号成立，此时函数2()21g t t t =-+的图象如图，4t ∴=时，a 取得最大值178，综上[1a ∈，17]8．【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题． 20.已知集合{}2(2)(1)(21)0A x x m x m m =-++-+≤.集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.（Ⅰ）当1m =时，求AB ；（Ⅱ）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】：（Ⅰ）{|24}A B x x ⋃=-≤≤（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞【分析】（Ⅰ）把1m =代入，求出集合A ，再利用指数的单调性求解集合B ，根据集合的并运算即可求解.（Ⅱ）讨论m 的取值范围，求出集合A ，根据集合的包含关系可得12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩ 或21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，{}2|30{|03}A x x x x x =-≤=≤≤，1||381{|24}9x B x y x x x ⎧⎪⎧⎫===≤≤=-≤≤⎨⎨⎬⎩⎭⎪⎩，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤.（Ⅱ）集合{}2|(2)(1)(21)0{|(1)(21)0}A x x m x m m x x m x m =-++-+≤=+---≤若0m ≥，则{|121}A x m x m =-≤≤+,∵B A ⊆,∴12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3m ≥，若0m <，则{|211}A x m x m =+≤≤-.∵B A ⊆，∴21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，∴m 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.21.已知函数32()31x x a a f x bx ⋅+-=++是定义在R 上的奇函数，a ，b R ∈（1）判断函数f (x )的单调性；（2）若对任意的k ∈R ，不等式22(2)(1)0f k t f kt t -+++≥恒成立，求实t 数的取值范围.【答案】：（1）()f x 是R 上的增函数.（2）2,[2,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由()f x 是上R 的奇函数求出1a =，0b =，然后()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++，即可判断出其单调性（2）由()()22210f k t f kt t -+++≥得()()()222211f k t f kt t f kt t -≥-++=---，然后得出2221k t kt t -≥---即可【详解】（1）因为()f x 是上R 的奇函数所以()00f =所以2031a a +-=+，所以1a =所以()3131x xf x bx -=++又()()11f f -=-所以111131313131b b ----=-+++ 所以0b =所以()3131-=+x xf x 因为()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++ 所以()f x 是R 上的增函数（2）因为()f x 是R 上的增函数且是奇函数，由()()22210f k t f kt t -+++≥所以()()()222211f k t f kt t f kt t -≥-++=---所以2221k t kt t -≥---即22210k kt t t ++-+≥对任意k ∈R 恒成立只需()224210t t t ∆=--+≤，所以23840t t -+≥解之得2t ≥，或23t ≤所以实数t 的取值范围是[)2,2,3⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【点睛】解抽象函数的不等式时，怎么利用函数的单调性和奇偶性将f 去掉是解题的关键.22.已知函数()11439x xm f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当2m =-时，求函数f (x )在(－∞,0)上的值域；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，总有()6f x ≤成立，求实数m 的取值范围. 【答案】：（1）()3,+∞ （2）(],1-∞ 【分析】（1）利用换元法，把函数转化为二次函数，根据二次函数的图像与性质即可求解.（2）由()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，采用分离参数法化为1233x x m ≤⋅-，然后求1233x x⋅-的最小值即可求解. 【详解】（1）当2m =-时，设13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),0x ∈-∞，∴()1,t ∈+∞， ∴()()222413t t t y g t -+=-=+=，对称轴1t =，图像开口向上， ∴()g t 在()1,t ∈+∞为增函数， ∴()3g t >，∴()f x 的值域为()3,+∞. （2）由题意知，()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，即11239xxm ⎛⎫⎛⎫⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1233xxm ≤⋅-在[)0,x ∈+∞恒成立，则只需当[)0,x ∈+∞时，min1233xx m ⎛⎫≤⋅-⎪⎝⎭，设3x t =，()12h t t t=-，由[)0,x ∈+∞得1t ≥，设121t t ≤<，则()()()()12121212210t t t t h t h t t t -+-=<，所以()h t 在[)1,+∞上递增，即()h t 在[)1,+∞上的最小值为()11h =，所以实数m 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题主要考查指数型复合函数的值域、不等式恒成立求参数的取值范围以及根据函数的单调性求最值，综合性比较强，属于中档题.B 组能力提升能一、选择题1.设函数1()1,()22x f x x g x t =-=⋅-，若存在[],0,2m n ∈，使得()()f m g n =成立，则实数t 的取值范围是（）A. 13,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 13,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 13,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】：D 【分析】将条件转化为值域有交集，然后分类讨论求出t 的范围．【详解】∵[],0,2m n ∈，使得()()f m g n =成立，即()f x 和()g x 的值域有交集．[][]()1,0,2,()1,1f x x x f x =-∈∴∈-．∵()122xg x t =⋅-，当0t =时，()11222xg x t =⋅-=，满足题意；当0t >时，()122xg x t =⋅-在区间[]0,2上单调递增， []1110,2,()2,4222x x g x t t t ⎡⎤∈∴=⋅-∈--⎢⎥⎣⎦．∵()f x 和()g x 的值域有交集，∴112t -≤，即302t <<； ③0t <时，()122xg x t =⋅-在区间[]0,2上单调递减， 111[0,2],()24,222x x g x t t t ⎡⎤∈∴=⋅-∈--⎢⎥⎣⎦．∵()f x 和()g x 的值域有交集，∴112t -≥-，即102t <<；综上：1322t -≤≤；故选D ．【点睛】本题考查函数值域的求法及集合关系的讨论，注意根据等式关系转化为集合之间的关系，此类问题属于中档题.2.已知函数,1()(41)4,1x a x f x a x a x ⎧≥=⎨-+<⎩是(－∞, +∞)上的减函数，那么a 的取值范围是（）A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,74⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,74⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】：D 【分析】根据函数的单调性,列出不等式,求解即可.【详解】由题意,函数()f x 是(,)-∞+∞上的减函数,则101410414a a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≤-+⎩,解得1174a ≤<. 故选:D.【点睛】本题考查了函数的单调性,考查了分段函数的性质,属于基础题. 3.下列四个结论中，正确结论的个数为（）个．（1）函数()f x x =与函数()g x =（2）若函数()xf x a a =-（0a >且1a ≠）的图象没有经过第二象限，则1a >；（3）当()1,2x ∈时，关于x 的不等式240x mx ++<恒成立，则实数m 的取值范围为5m <-；（4）若函数()()2211x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则2M m +=．（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】：B 【分析】（1）由函数相等的概念即可判断；（2）根据指数函数的图像即可判断；（3）根据二次函数图像与性质即可判断；（4）根据函数奇偶性即可判断【详解】解：对于（1）两个函数的定义域相同，但()g x x ==，则两函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以（1）错误；对于（2）由指数函数的图像可知，当1a >时，函数()xf x a a =-（0a >且1a ≠）的图像必不经过第二象限，所以（2）正确；对于（3），令2()4f x x mx =++，由于当()1,2x ∈时，关于x 的不等式240x mx ++<恒成立，则(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，解得5m ≤-，所以（3）错误；对于（4），()()22212111x x f x x x +==+++，令22()()1x g x x R x =∈+，因为2222()()()11x xg x g x x x --==-=--++，所以()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，所以max min ()1()12M m g x g x +=+++=，所以（4）正确故选：B【点睛】此题考查函数相等的判断，指数函数的图像，二次函数的图像和性质、函数的奇偶性及其应用，属于基础题4.已知函数7(13)10,(7)(),(7)x a x a x f x a x --+≤⎧=⎨>⎩是定义域R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 11(,)32B. 16(,]311C. 12[,)23D. 16(,]211【答案】：B 【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解. 【详解】若f （x ）是定义域（-∞，+∞）上的减函数，则满足 ()7701130713101a a a a a -⎧⎪-⎨⎪-+≥⎩＜＜＜＝即0113611a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪≤⎪⎩＜＜＞，整理得16311a <≤.故选B 【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键. 二、填空题5.已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .【答案】：92试题分析：由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数(0)xy a b b =+>的图象上，所以 a ＋b ＝3．1＜a ＜3，0＜b ＜2．4114114114192()[(1)]()(5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥----当且仅当72,33a b ==时取等号考点：指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值 6.对任意x ∈R ，不等式()()442223x xxx a b --+++≤恒成立，则+a b 的最大值是______.【答案】【分析】设22x x t -+=，则2t ≥，()2223f t at bt a =+--，计算(10f ≤得到a b +≤，再验证等号成立得到答案. 【详解】设22x x t -+=，则2t ≥，()()442223x xxx a b --+++≤，即()2223a t bt -+≤恒成立，设()2223f t at bt a =+--，则((()1230f a b +=++-≤，解得a b +≤. 现在验证，存在,a b使等号成立，341a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，则3,42a b ==，此时()2f t =1t =+()(max 10f x f ==. 满足条件，故+a b.故答案为：34.7.函数114x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为________；奇偶性为_________（填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）.【答案】：[)0,+∞ ；偶函数【分析】(1)分0,0x x ≥<两种情况讨论即可. (2)将x 代换为x -再判断奇偶性即可.【详解】(1)当0x ≥时11144x x y -+-⎛⎫== ⎪⎝⎭为增函数,当0x <时()111144x x y --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为减函数.故单调增区间为[)0,+∞.(2)因为111144x x y --+-+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.且定义域为R .故奇偶性为偶函数.故答案为：(1) [)0,+∞; (2) 偶函数三、解答题8.已知函数133()31x x f x +-=+.（1）判断函数f (x )的单调性并用定义法证明；（2）若对于任意的实数t ，不等式()()2240f t t f t k -++>恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围. 【答案】：（1）()f x 是R 上的增函数，证明见解析；（2）2k >；（3）3m ≤.【分析】（1）用定义法判断单调性即可,注意“作差”、“变形”、“定号”和“下结论”;（2）先判断函数的奇偶性,利用奇偶性可将不等式转化为()()224f t t f t k ->--,然后结合函数的单调性可得224t t t k ->--恒成立,结合二次函数的性质可求出实数k 的取值范围; （3）函数()g x 有零点,可得()()91430xxf m f ++-⋅=有解,结合函数的单调性和奇偶性可得方程9143x x m +=-+⋅有解,参变分离得9431x x m =-+⋅-,求出9431x x -+⋅-的取值范围即可.【详解】（1）由题意,1336()33131x x xf x +-==-++,且()f x 的定义域为R , 任取12,R x x ∈,且12x x <,则()()()()()122121121163366333131x x x x x x f x f x -++-=-=++, ∵12,R x x ∈,且12x x <,∴12033x x <<,12330x x -<,()()2131310xx++>, 故()()12f x f x <,所以函数()f x 是R 上的增函数.（2）由题意,113333()()3113x x x xf x f x -++----===-++, 又()f x 的定义域为R ,所以函数()f x 是R 上的奇函数.∴不等式()()2240f t t f t k -++>可化为()()()2224f t t f t k f t k ->-+=--,即()()224f t t f t k ->--恒成立,∵函数()f x 是R 上的增函数,∴224t t t k ->--,即对于任意的实数t ,2240t t k -+>恒成立, 则()2480k ∆=--<,解得2k >.（3）函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点,则()()91430xxf m f ++-⋅=有解,∵函数()f x 是R 上的奇函数, ∴()()()9143143xxxf m f f +=--⋅=-+⋅有解,∵函数()f x 是R 上的增函数,∴9143x x m +=-+⋅,即9431x x m =-+⋅-有解,令3x a =,则0a >,241m a a =-+-,令()2()410h a a a a =-+->,则()h a 在()0,2上单调递增,在[)2,+∞上单调递减,故()h a 的最大值为224213-+⨯-=,()h a 的值域为(],3-∞.所以,当3m ≤时,方程241m a a =-+-有解,即函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用,考查函数零点的应用,考查方程有解问题,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.9.已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设函数()()g x f x x=. （1）求a 、b 的值；（2）不等式(2)20x xf k -⋅≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）方程2(21)(3)021xx f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】：（1）1,0a b ==；（2）0k ≤；（3）0k > 【分析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a 与0的大小讨论，列出方程，即可求a ，b 的值；（2）转化不等式f （2x ）﹣k •2x ≥0，为k 在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k 的取值范围；（3）化简方程f （|2x﹣1|）+k （221x--3）＝0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k 的取值范围．【详解】解：（1）g （x ）＝a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， ∵a ＞0，∴g （x ）在[2，3]上为增函数，故()()3421g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得96144411a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩，⇔10a b =⎧⎨=⎩． ∴a ＝1，b ＝0（2）方程f （2x ）﹣k •2x ≥0化为2x 12x+-2≥k •2x ， k ≤1212(2)2x x+- 令12x=t ，k ≤t 2﹣2t +1， ∵x ∈[﹣1，1]，∴t 122⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，记φ（t ）＝t 2﹣2t +1， ∴φ（t ）min ＝φ（1）＝0，∴k≤0．（3）由f（|2x﹣1|）+k（221x--3）＝0得|2x﹣1|1221kx++--（2+3k）＝0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），∵方程|2x﹣1|1221kx++--（2+3k）＝0有三个不同的实数解，∴由t＝|2x﹣1|的图象（如图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，记φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则()()012010tkφφ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩＞＜或()()01201023012tkkϕϕ⎧⎪=+⎪=-=⎨⎪+⎪⎩＞＜＜∴k＞0．【点睛】本题考查函数恒成立，二次函数闭区间上的最值的求法，考查转化思想与数形结合的思想．。

2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数课件理2017041501166

第8讲指数(zhǐshù)与指数(zhǐshù) 函数
第一页，共31页。
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解指数函数模型的实际背景．
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
零的 n 次方根是零
当 n 是偶函数时，正数的 n 次方根有 ___两__个___，这两个数互为__相__反___数_
n ± a(a>0)
负数没有偶次方根
第四页，共31页。
(2)两个重要公式
a
①n
an＝|a|＝
n为奇数
a －a
a≥0， a<0
n为偶数
②(n a)n＝____a____(注意：a 必须使n a有意义)．
第五页，共31页。
2．有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
m
①正分数指数幂：an
＝___n__a_m__(a>0，m，n∈N*，且
n>1)；
1
1
m
②负分数指数幂：a－n
＝___a_mn____＝___n_a_m___(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
③0 的正分数指数幂等于____0____，0 的负分数指数无幂意___义___(y__ìy．ì)
∴m21
－m－2
1
＝m2
－m－2
1
m＋1 m－1＋1＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15.
m2 －m－2
m2 －m－2
第十八页，共31页。
•二指数函数的图象(tú xiànɡ)及应用

2018年高三一轮复习《指数与指数函数》导学案

一轮复习学案指数与指数函数☆学习目标：1．掌握指数函数的图象和性质；2．掌握指数形式的复合函数的图像、定义域、值域, 单调性、奇偶性．重点：指数函数的图象及性质的简单应用．☻基础热身：(1).如果函数2()(31)x x f x a a a =--(0a >且1a ≠)在区间[)0,+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围为( ).A 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ .B ⎫⎪⎪⎣⎭ .C (0 .D 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (2).设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是( ) .A )0,(-∞ .B ),0(+∞.C )3log ,(a -∞ .D ),3(l o g +∞a . (3).设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是( ) .A (01)， .B (12)， .C (23)， .D (34)，． ☻知识梳理：1．指数函数的定义：函数叫做指数函数.2．指数函数的图象和性质：☆ 案例分析：例1.(1)设0x >，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的关系是( ) .A 1b a << .B 1a b << .C 1b a << .D 1a b <<(2) 若函数m y x +=+-12的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是( ).A 2-≤m .B 2-≥m .C 1-≤m .D 1-≥m 例2. 已知22x x +≤214x -⎛⎫ ⎪⎝⎭, 求函数22x x y -=-的值域.例3. 设函数f(x)=lg 1243x xa ++⋅,其中a ∈R,如果当x ∈(–∞,1)时，f(x)有意义，求a 的取值范围例4. 已知311()12x f x x a ⎛⎫=+⋅ ⎪-⎝⎭（0a >，且1a ≠）. (1)求()f x 的定义域；(2)讨论()f x 的奇偶性；(3)求a 的范围，使()0f x >在定义域恒成立.例5. 已知函数2()1x x f x a x -=++(1)a >，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根参考答案基础热身：(1).B; (2).C; (3).B. 例1. (1)A; (2).A例2.]22,22[22161161----例3. )0,43(- 例4.(1)),0()0,(+∞⋃-∞; (2) 奇函数; (3)1>a 例5 证明：（1）设121x x -<<，则1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++， ∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<， ∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<，且1a >，∴12x x a a <，∴120x x a a -<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；另法：∵1a >，(1,)x ∈-+∞ ∴223()()ln 01(1)x x x f x a a a x x -''=+=+>++∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201x x a x -+=+，即00000023(1)31111x x x a x x x --+===-+++， ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+, 而由1a >知01x a < ∴①式不成立；当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，而0x a > ∴①式不成立综上所述，方程()0f x =没有负数根。

2018-2019年最新高三数学课标一轮复习课件：2.5 指数与指数函数PPT课件

n>1).
0
,0 的负分数指数幂无意义.
(2)有理指数幂的运算性质 ①aras= ar+s (a>0,r,s∈Q); ②(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q); ③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
第二章
知识梳理双击自测
2.5 指数与指数函数
考情概览知识梳理核心考点学科素养
图象特征
第二章
知识梳理双击自测
2.5 指数与指数函数
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-7-
定义域值域单调性性质函数值变化规律
R (0,+∞) 在 R 上递减当 x=0 时, y=1 当 x<0 时, y>1 ; 当 x>0 时, 0<y<1
在 R 上递增当 x<0 时, 0<y<1 ; 当 x>0 时, y>1
关闭
= 2.
解析
答案
第二章
知识梳理双击自测
2.5 指数与指数函数
考情概览知识梳理核心考点学科素养
-10-
3.设
1 -1.5 .9 .48 0 0 y1=4 ,y2=8 ,y3= ,则( 2
)
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
关闭
因为 y1 =4 =2 , y2 =8 调性可知应选 D.
0 .9
1 .8
0 .48
=2
1 .44
, y3 =
1 -1 . 5 2
=21 .5 , 所以由函数 y=2x 的单

高考数学一轮复习总教案：2.5 指数与指数函数

2.5 指数与指数函数典例精析题型一指数及其运算【例1】计算：(1)214-•2133231)()1.0()4(---b a ab ；(2)(0.027)31-－(－17)－2＋(279)21－(2－1)0.【解析】(1)原式＝100442321•-·32a ·32-a·32-b ·32b ＝125.(2)原式＝(271 00031)-－(－1)－2(17)－2＋(25921)－1＝103－49＋53－1＝－45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数.【变式训练1】已知a ，b 是方程9x2－82x ＋9＝0的两根，求3131b a ba --－3131b a ba ++的值. 【解析】a ＋b ＝829，ab ＝1.原式＝231a 31b ＝2(ab)31＝2. 题型二指数函数性质的应用【例2】已知函数f(x)＝2x －12x ＋1，其中x ∈R.(1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明f(x)是R 上的增函数.【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x ∈R ，且f(－x)＝1212+---x x ＝1－2x1＋2x＝－f(x)，所以f(x)为R 上的奇函数.(2)证明：设x1，x2∈R ，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝121211+-xx －121222+-x x=)2()2(2211112121+++++-x x x x ＜0，所以f(x)是R 上的增函数. 【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围应分类讨论. 【变式训练2】函数y ＝ex ＋e －xex －e －x的图象大致为( )【解析】A.题型三指数函数的综合应用【例3】已知函数f(x)＝2x－1 2|x|.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.【解析】f(x)＝2x－12|x|＝⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,212xxxx(1)因为f(x)＝2，所以2x－12x＝2.因为x≥0，所以2x＝1＋2，解得x＝log2(1＋2).(2)因为t∈[1,2]，所以2tf(2t)＋mf(t)≥0可化为2t(22t－122t)＋m(2t－12t)≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1).因为22t－1＞0，所以上式可化为m≥－(22t＋1).又因为－(22t＋1)的最大值为－5，所以m≥－5.故使得2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立的实数m的取值范围是[－5，＋∞).【变式训练3】已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是()A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b≥0，c＞0C.2－a＜2cD.2a＋2c＜2【解析】D.总结提高1.增强分类讨论的意识，对于根式na的意义及其性质要分清n是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数a的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论.2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制.3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.。

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数课件文

4
知识点一指数与指数幂的运算
1．根式
(1)根式的概念：
根式如果________，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个____数，负数的 n 次方根是一个 ____数当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有 ____个，它们互为______
符号表示
n a
＝
a>0，m，n∈N＋，且mn 为既约分数.
②负分数指数幂
－
a
m n
＝____(a>0，m，n∈N＋，且mn 为既约分数)．
7
③ 0 的正分数指数幂等于 ____ ， 0 的负分数指数幂 __________________________________________________________ ______________．
第二章
函数、导数及其应用
1
第五节指数与指数函数
2
1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
3
主干知识·整合 01
课前热身稳固根基
14
4．函数 y＝ 1－12x的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需 1－12x≥0，即12x≤1，∴x≥0，即定义域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
15
5．函数 y＝ax＋2 012＋2 011(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 ________．
解析：∵y＝ax(a>0 且 a≠1)恒过定点(0,1)，∴y＝ax＋2 012＋2 011 恒过定点(－2 012，2 012)．

高三数学一轮复习精品学案2：2.5 指数与指数函数

2.5 指数与指数函数自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次实数方根．也就是，若x n＝a，则x叫做______________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做____________，a叫做____________．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝________(a>0，s，t∈Q)．②(a s)t＝_______(a>0，s，t∈Q)．③(ab)t＝_______(a>0，b>0，t∈Q)．3．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域值域性质(1)过定点________(2)当x>0时，______；当x<0时，________(2)当x>0时，________；当x<0时，______(3)在(－∞，＋∞)上是______(3)在(－∞，＋∞)上是______自我检测1．下列结论中正确的有________(填序号)．①当a<0时，322()a＝a3；②na n＝|a|；③函数y＝12(2)x －(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.2．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则a＝________.3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图象，则a，b，c，d的大小关系为____________．4．若a>1，b>0，且a b＋a－b＝22，则a b－a－b的值为________．5．函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是________(填序号)．①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.探究点一有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a 0)的结果为____________．探究点二指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x +1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________．探究点三指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间『－1,1』上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想例 (14分)已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈『－1,1』时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．『答题模板』『答案』(1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．『3分』 (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．『6分』当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．『9分』故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．『10分』 (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴在区间『－1,1』上为增函数，∴f (－1)≤f (x )≤f (1)，∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a ＝－1.∴要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1』．『14分』『突破思维障碍』本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．『易错点剖析』在(2)中，函数的单调性既与a x －a－x有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑aa 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a ＝133()4-，b ＝143()4-，c ＝343()2-，则a 、b 、c 的大小关系为______________．2．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围为________． 3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x ∈Z |12<2x ＋1<4}，则M ∩N ＝________.4．(2011·扬州模拟)定义运算ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a >b ，则函数f (x )＝12x 的值域为________．5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围为________．6．(2011·镇江模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围为________．7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________. 8．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是『0,2』，则实数a 的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·常州模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．(14分)(2010·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为『0,1』．(1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间『0,1』上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．(14分)函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1』上y >0恒成立，求a 的取值范围．答案自主梳理1．(1)a的n次实数方根根式根指数被开方数(2)①na②na－na±na③a⑤a2.(1)①na m②1mna1na m③0(2)①a s＋t②a st③a t b t3.R(0，＋∞)(1)(0,1)(2)y>10<y<1(2)0<y<1y>1(3)增函数(3)减函数自我检测1．④『解析』只有④正确．①中a<0时，322()a>0，a3<0，所以322()a≠a3；②中，n为奇数时且a<0时，na n＝a；③中定义域为『2，73)∪(73，＋∞)．2．2『解析』∵y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．3．b<a<d<c『解析』y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0. 4．2『解析』(a b－a－b)2＝(a b＋a－b)2－4＝4，∵a>1，b>0，∴a b>1,0<a－b<1，∴a b－a－b＝2.5．④『解析』由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.课堂活动区例1解题导引 1.指数幂的化简原则(1)化负数指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．『答案』∵a ，b 是方程的两根，而由9x 2－82x ＋9＝0解得x 1＝19，x 2＝9，且a <b ，故a ＝19，b ＝9，(1)化去负指数后求解． a －1＋b－1ab－1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋bab 1ab＝a ＋b . ∵a ＝19，b ＝9，∴a ＋b ＝829，即原式＝829.(2)原式＝a 72×13·a －32×13÷(a (－83)×12·a 153×12)＝a 76－12－(－43＋52)＝a －12.∵a ＝19，∴原式＝3. 变式迁移1 ab『解析』原式＝11363211233a b a bab a b-＝3111111226333ab+-++--＝ab －1＝a b.例2 解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．『答案』(1)方法一由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1， x ≥－1，3x ＋1， x <－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x (x <0) y ＝3x ＋1(x <－1)．如图所示．方法二 ①由y ＝(13)|x |可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x 的图象，保留x ≥0的部分，当x <0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y＝(13)|x |的图象． ②将y ＝(13)|x |向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 『－1,1』『解析』分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈『－1,1』．例3 解题导引 1.指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解：设t ＝a x ，则y ＝f (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. (1)当a >1时，t ∈『a －1，a 』，∴y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，满足 a >1； (2)当0<a <1时，t ∈『a ，a －1』， ∴y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13，满足0<a <1.故所求a 的值为3或13.变式迁移3 (1)解：由2x －1≠0⇒x ≠0，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明 f (x )＝(12x －1＋12)x 3可化为f (x )＝2x ＋122x －1·x 3，则f (－x )＝2－x ＋122－x－1(－x )3 ＝2x ＋122x－1x 3＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．(3)证明当x >0时，2x >1，x 3>0，所以(12x －1＋12)x 3>0.因为f (－x )＝f (x )，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )>0. 综上所述，f (x )>0.课后练习区 1．c (34)－14>(34)0，即a >b >1，又0<c <1，∴c <b <a . 2．(－1,1)『解析』由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.3．{－1} 4．(0,1』『解析』当x <0时，0<2x <1，此时f (x )＝2x ∈(0,1)；当x ≥0时，2x ≥1，此时f (x )＝1. 所以f (x )＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x <0，1 x ≥0.其值域为(0,1』．5．(0，12)『解析』方程|a x －1|＝2a 有两个不等实根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 有两个不同交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，从图象观察可知只有0<2a <1时，符合题意，即0<a <12.6．『13，1)『解析』据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1.7．－1『解析』设g (x )＝e x ＋a e －x ，则f (x )＝xg (x )是偶函数． ∴g (x )＝e x ＋a e －x 是奇函数．∴g (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. 8.3『解析』当a >1时，f (2)＝2，∴a 2－1＝2，a ＝3，经验证符合题意；当0<a <1时，f (0)＝2，即1－1＝2，无解．∴a ＝ 3.9．『答案』(1)∵f (x )是定义在R 上奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，…………………………………………………(2分) 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴a ＝2，b ＝1.……………………………………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(8分) 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．…………………………………………………………………………(10分) 因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. 故k 的取值范围为(－∞，－13)．………………………………………………………(14分) 10．『答案』方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.…………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间『0,1』上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，………………………………………………………………………(10分)即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2. ……………………………………………………………………………………………(14分)方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.……………………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间『0,1』上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0成立，………………………(10分) 所以只需要λ≤2·2x 恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(14分)11．『答案』由题意得1＋2x ＋4x a >0在x ∈(－∞，1』上恒成立，即a >－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1』上恒成立．………………………………………………(6分)又因为－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ，设t ＝(12)x ，∵x ≤1，∴t ≥12且函数f (t )＝－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋14(t ≥12) 在t ＝12时，取到最大值． ∴(12)x ＝12即x ＝1时，－1＋2x 4x 的最大值为－34，………………………………………(12分) ∴a >－34. 故a 的取值范围为(－34，＋∞)．………………………………………………………(14分)。

人教A版高三数学(文科)一轮复习2.5指数函数教案

第五节指数函数[考纲传真] (教师用书独具)1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．(对应学生用书第16页) [基础知识填充]1．根式的性质 (1)(na )n ＝a ．(2)当n 为奇数时，na n ＝a ．(3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂：a ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a＝1a m n ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质[ 指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝ax ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞B ．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．图2-5-1 [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4(－4)4＝－4.( )(2)(－1)＝(－1)＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．化简[(－2)6] －(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9B [原式＝(26)－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( ) A ．22 B ． 2 C ．14D ．4B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C ．法二：当a ＞1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，A ，B ，D 都不合适；当0＜a ＜1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，因为0＜a ＜1，故排除选项D ．]5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．(1,2) [由题意知0＜2－a ＜1，解得1＜a ＜2.](对应学生用书第17页)化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214 －(0.01)0.5；[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝.[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [变式训练1] 化简求值：(1)(0.027)－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫279－(2－1)0；[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 00013－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫259－1 ＝103－49＋53－1＝－45.＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.(2)若曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围.【导学号：79170029】(1)B [y ＝e －|x －1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x －1|，因此原函数的图象是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |的图象向右平移一个单位得到的，故选B ．](2)曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．[规律方法] 指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.[变式训练2] (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图2-5-2，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )图2-5-2A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．(1)D(2)1[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]角度1(1)(2018·贵阳模拟)已知a＝2，b＝4，c＝25，则()A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b(2)(2018·兰州模拟)不等式2x2－x＜4的解集为________．(1)A(2){x|－1＜x＜2}[(1)因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜C．(2)由2x2－x＜4得2x2－x＜22.所以x2－x＜2，解得－1＜x＜2.]角度2 复合函数的单调性、值域或最值已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【导学号：79170030】[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，则g (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间[－2，＋∞)上单调递减，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，因此f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)由f (x )有最大值3知，ax 2－4x ＋3有最小值－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. [规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．。

创新导学案2018高考数学人教B版文科总复习演练提升

A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·湖南株洲二中月考)如图，设a ，b ，c ，d ＞0，且不等于1，y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小顺序为( )A ．a ＜b ＜c ＜dB ．b ＜a ＜c ＜dC ．b ＜a ＜d ＜cD ．a ＜b ＜d ＜c【解析】由题意得，根据指数函数的图象与性质，可作直线x ＝1，得到四个交点，自下而上可知指数函数的底数依次增大，即b ＜a ＜d ＜c .故选C.【答案】 C2．(2017·河南三市一模)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )【解析】 f (x )＝2|x －1|的图象是由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到的，由此得到正确选项为B.【答案】 B3．(2017·湖北宜昌一模)如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)经过点E ，B ，则a ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3【解析】设点E (t ，a t )，则点B 坐标为(2t ，2a t )．因为2a t ＝a 2t ，所以a t ＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t ×2t ＝4t ＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝ 2.故选A.【答案】 A4．(2017·株洲模拟)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 a ＝21.2＞21＝2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2＝215＜21＝2，215＞20＝1，故1＜b ＜2，c ＝log 54＜log 55＝1.故c ＜b ＜a .【答案】 A5．(2016·浙江)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R .( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b ，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b D ．若f (a )≥2b ，则a ≥b 【解析】依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ，又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b .故选B. 【答案】 B6．(2017·浙江温州瑞安四校联考)计算0.25－1×⎝⎛⎭⎫3212×⎝⎛⎭⎫27414－10×(2－3)－1＋1＋⎝⎛⎭⎫1300－12＝________．【解析】原式＝⎝⎛⎭⎫14－1×⎝⎛⎭⎫32×33212－102－3＋1＋30012＝4×32－10(2＋3)＋1＋103＝6－20＋1＝－13.【答案】－137．(2017·江苏徐州沛县歌风中学期中)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．【解析】设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0＜t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，14.∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－14，0.故函数的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－14，14 8．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≥0，f （－x ），x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．【解析】当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x ＜0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.【答案】 09．(2017·长春模拟)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1.故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1，故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1＜0，不成立．当a ＜0时，开口向下，对称轴m ＝14a＜0，过点(0，－1)，不成立．当a ＞0时，开口向上，对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以，a＞0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．10．(2017·上海松江区期末)已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a ＞0，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．【解析】 (1)∵f (x )为偶函数， ∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )．即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x ＜－b .①当a ＞1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， ∴－b ≤2，b ≥－2.②当0＜a ＜1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a ＞1且b ≥－2.B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2016·课标全国Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b【解析】因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，所以423＜523，即a ＜c ，又因为函数y ＝4x在R 上单调递增，所以425＜423，即b ＜a ，所以b ＜a ＜c ，故选A.【答案】 A12．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．【答案】 B13．(2017·福建四地六校联考)y ＝2·a |x －1|－1(a ＞0，a ≠1)过定点________．【解析】由题根据指数函数性质令|x －1|＝0，可得x ＝1，此时y ＝1，所以函数恒过定点(1，1)．【答案】 (1，1)14．(2017·皖北协作区联考)函数f (x )＝1－e x 的值域为________．【解析】由1－e x ≥0，e x ≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}．所以0＜e x ≤1，－1≤－e x ＜0，0≤1－e x ＜1，函数f (x )的值域为[0，1)．【答案】 [0，1)15．(2017·广元模拟)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1，1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0，1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1，1)上有实数解？【解析】 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1，0)，则－x ∈(0，1)， f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )，∴f (x )＝－2x4x ＋1，∴f (x )＝⎩⎨⎧－2x4x ＋1，x ∈（－1，0），0，x ＝0，2x 4x＋1，x ∈（0，1）.(2)设0＜x 1＜x 2＜1，f (x 1)－f (x 2)＝（2x 1－2x 2）＋（2x 1＋2x 2－2x 2＋2x 1）（4x 1＋1）（4x 2＋1）＝（2x 1－2x 2）（1－2x 1＋x 2）（4x 1＋1）（4x 2＋1），∵0＜x 1＜x 2＜1，∴2x 1＜2x 2，2x 1＋x 2＞20＝1， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(0，1)上为减函数． (3)∵f (x )在(0，1)上为减函数， ∴2141＋1＜f (x )＜2040＋1，即f (x )∈⎝⎛⎭⎫25，12. 同理，f (x )在(－1，0)上时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，－25. 又f (0)＝0，当λ∈⎝⎛⎭⎫－12，－25∪⎝⎛⎭⎫25，12，或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1，1)上有实数解．。

【步步高】2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义：第二章2.5指数与指数函数

1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质【知识拓展】1．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1a )．2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn个a 相乘．( × )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × )(5)函数21x y a +=(a >1)的值域是(0，＋∞)．( × )(6)函数y ＝2x－1是指数函数．( × )1．(2016·临安中学期末)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( )A ．(0,1)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,2) 答案 B解析由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2,3)． 2．已知a ＝(35)13-，b ＝(35)14-，c ＝(32)34-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a (35)14->(35)0，即a >b >1，又c ＝(32)34-<(32)0＝1，∴c <b <a .3．计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42________. 答案 2解析原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 4．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8，∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．题型一指数幂的运算例1 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a23÷(a23-－23b a )×a ·3a 25a ·3a.解 (1)原式＝{[(641 000)15]52-}23－(278)13－1＝[(410)3]152()523⨯-⨯－[(32)3]13－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝a 13[(a 13)3－(2b 13)3](a 13)2＋a 13·(2b 13)＋(2b 13)2÷a 13－2b 13a×(a ·a 23)12(a 12·a 13)15＝a 13(a 13－2b 13)×aa 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23＝a 2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．化简(14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________. 答案 85解析原式＝2×23·a 32·b32-10·a 32·b32-＝21＋3×10－1＝85. 题型二指数函数的图象及应用例2 (1)已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2答案 (1)B (2)D解析 (1)如图，观察易知，a ，b 的关系为a f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)(2017·湖州调研)已知函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象可能是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案(1)A(2)[－1,1]解析(1)由f(x)的单调性知0<a<1，又x＝0时，a－b>1，x＝1时，a1－b<1，∴0<b<1，对照图象知g(x)的图象可能是A.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．题型三指数函数的性质及应用命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·绍兴模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)(－3,1)解析 (1)选项B 中，∵y ＝0.6x 是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a －7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， ∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. ∴0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3,1)．命题点2 复合函数的单调性例4 (1)已知函数f (x )＝22x m-(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221x x -+-的单调减区间为_____________________________________．答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝22x m-在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]．引申探究函数f (x )＝142xx +-的单调增区间是________．答案 [0，＋∞)解析设t ＝2x ，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，∴函数f (x )＝142xx +-的单调增区间是[0，＋∞)．命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[1a ，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[a ，1a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}(2)已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)B (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)，所以[－12a ，－1)[－8,1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2．指数函数底数的讨论典例 (2016·金华模拟)已知函数y ＝b ＋22x x a +(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52，则a ，b 的值分别为________．错解展示解析令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0. ∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a≤b ＋a t ≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 答案 2,2现场纠错解析令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1,0]． ①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1,0]上为增函数，∴a t∈[1a ，1]，b ＋22x x a +∈[b ＋1a ，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. ②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈[1，1a]，则b ＋22x x a +∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎨⎧ b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎨⎧ a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝23，b ＝32.答案 2,2或23，32纠错心得与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1．(2016·宁波模拟)设2x ＝8y ＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( ) A ．18 B ．21 C ．24 D ．27答案 D解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3， ∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.2．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )答案 B解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除C 、D.又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A.故选B.3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a答案 A解析由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c. 又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为() A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞)答案 C解析由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故选C.5．(2015·山东)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解．∴x 的取值范围为(0,1)．*6.(2016·富阳模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(0,1]D ．(－∞，1] 答案 B解析由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域为f (x )，x ∈[－2,2]的值域的子集．经分析知f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a ＋1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0. 综上可得－1≤a ≤1.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析当x <1时，由e x －1≤2，得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立；当x ≥1时，由x 13≤2，得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是(－∞，8]．8．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9．(2016·武汉模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．答案 [－14，14] 解析设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14. ∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]．∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0]．故函数的值域为[－14，14]． 10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1,2)解析原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 11．已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝(23)－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12．已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3x x --+，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3 ＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2)．设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2)．当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2)．所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为[34，3716]． (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)． ①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合，舍去；②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合，舍去)； ③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合，舍去．综上所述，实数λ的值为 2.。

2018版高考数学总复习函数导数及其应用2.5指数与指数函数模拟演练文

2018版高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数模拟演练文[A 级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·长沙模拟]下列函数中值域为正实数的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 D ．y ＝ 1－2x答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的值域是正实数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数．答案 D 解析3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －1的值域为( ) A ．(－∞，4] B ．(0，＋∞) C ．(0,4] D ．[4，＋∞)答案 C解析设t ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，则t ≥－2.因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 是关于t 的减函数，所以y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4.又y >0，所以0<y ≤4.故选C.5．[2017·西安模拟]函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，所以选D.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2的递增区间是________．答案 (－∞，1]解析令u ＝x 2－2x ＋2，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 是减函数，而u ＝x 2－2x ＋2的递减区间为(－∞，1]．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x ＋2的递增区间是(－∞，1]． 7．[2015·山东高考]已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案－32解析 ①当0<a <1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f－＝0，f＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.②当a >1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f－＝－1，f ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32.答案113解析∴x ＋2＋x －1＝9，∴x ＋x －1＝7， ∴(x ＋x －1)2＝49，∴x 2＋x －2＝47，∴x ＋x －1－4x 2＋x －2－8＝7－447－8＝113. 9．[2017·厦门质检]已知指数函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)过点(－2,9)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (2m －1)－f (m ＋3)<0，求实数m 的取值范围．解 (1)将点(－2,9)代入到f (x )＝a x 中得a －2＝9，解得a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(2)由f (2m －1)<f (m ＋3)得⎝ ⎛⎭⎪⎫132m －1<⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋3，∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为减函数，∴2m －1>m ＋3，解得m >4， ∴实数m 的取值范围为(4，＋∞)．10．[2017·青岛模拟]已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5] ，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．[B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·长春模拟]若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案 D解析不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x－a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.12．已知x ，y ∈R ，且2x ＋3y >2－y ＋3－x，则下列各式中正确的是( ) A ．x －y >0 B ．x ＋y <0 C ．x －y <0 D ．x ＋y >0 答案 D解析因为2x ＋3y >2－y ＋3－x ，所以2x －3－x >2－y －3y .f (x )＝2x －3－x ＝2x－13x 为单调递增函数，f (x )>f (－y )，所以x >－y ，即x ＋y >0.13．[2017·南昌模拟]已知函数y ＝9x＋m ·3x－3在区间[－2,2]上单调递减，则m 的取值范围为________．答案 m ≤－18解析设t ＝3x ，则y ＝t 2＋mt －3，因为x ∈[－2,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9.又因为y ＝9x＋m ·3x－3在[－2,2]上递减，t ＝3x 在[－2,2]上递增，所以y ＝t 2＋mt －3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9上递减．得－m 2≥9，解得m ≤－18.14．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.。

高考数学总复习专题2.5 指数与指数函数导学案理-人教版高三全册数学学案

第五节指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 知识梳理 1.根式 (1)根式的概念若 x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a 当n 为奇数且n ∈N *时，x ＝±n a 当n 为偶数且n ∈N *时.(3)两个重要公式：①(na )n＝a (n >1，且n ∈N ＋)．②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数且n >1，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数且n >1.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：mna ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂：m na－＝1m na＝na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a m·a n＝am ＋n(a ＞0，m ，n ∈Q )；②(a m )n ＝a mn(a ＞0，m ，n ∈Q )； ③(ab )m＝a m b m(a ＞0，b ＞0，m ∈Q )． 3.指数函数及其性质(1)概念；函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数知识拓展1．指数函数图像的画法画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.2.指数函数的图像与底数大小的比较判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．典型例题考点一指数幂的运算【例1】化简：(1) (1)⎝⎛⎭⎪⎫－278－23＋0.002－12－10×(5－2)－1＋π0；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12.【答案】（1）－1679；（2）－5ab4ab2规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【变式训练1】化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5；(2)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5.【答案】（1）1615；（2）1a【解析】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .考点二指数函数的图象及应用【例2】(1)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点(－1,3)，则f (2)＝________. 【答案】19【解析】依题意可知a －1＝3，解得a ＝13，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，所以f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19.(2)函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为________. 【答案】 [0，＋∞)【解析】要使函数有意义，需满足1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥0，得x ≥0.(3)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )【答案】A【解析】 f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足. (4)当k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？【答案】当k <0时，方程无解；当k ＝0或k ≥1时，方程有一解；当0<k <1时，方程有两解．【解析】函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．(5)[2017·河北衡水模拟]若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．【答案】[－1,1]【解析】曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示．由图象可得，如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则－1≤b ≤1.故b 的取值范围是[－1,1]．【题点发散1】若将本例(3)中“|y |＝2x＋1”改为“y ＝|2x－1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．【解析】曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 的图象如图所示．由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．【题点发散2】若将本例(3)改为：函数y ＝|2x－1|在(－∞，k ]上单调递减，求k 的取值范围．【解析】因为函数y ＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．规律方法(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 【变式训练2】（1）函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有a ＝________. 【答案】2【解析】根据定义有a 2－3a ＋3＝1，解得a ＝2或a ＝1(舍去)． (2) 当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝a x －2－3的图像必过定点________．【答案】(2，－2)【解析】令x －2＝0，则x ＝2，此时f (x )＝1－3＝－2，故函数f (x )＝ax －2－3的图像必过定点(2，－2)．(3)方程2x＝2－x 的解的个数是________. 【答案】1【解析】方程的解可看作函数y ＝2x和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.(4)(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是( )【答案】A【解析】因为当x ≤0时，2x≤1；当x >0时，2x>1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(5)[2017·陕西西安模拟]函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )A B C D【答案】 D【解析】当a >1时1函数单调递增，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，故选D.考点三指数函数的性质及应用【例3】（1）已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223 ，b ＝2－ 43 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 ，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a 23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12 43 <⎝ ⎛⎭⎪⎫1223 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13，即b <a <c .（2）设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝3x－9，则f (x －3)>0的解集是( ) A ．{x |x <－2或x >2} B ．{x |x <－2或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <1或x >5}【答案】 D【解析】当x ≥0时，由f (x )＝3x－9>0得x >2，所以f (x )>0的解集为{x |x >2或x <－2}．将函数f (x )的图象向右平移3个单位，得到函数f (x －3)的图象，所以不等式f (x －3)>0的解集为{x |x <1或x >5}．选D.（3）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】 C【解析】当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1. 故实数a 的取值范围是(－3,1)，故选C.(4)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a ＞0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3 D ．13或3 【答案】 D当0＜a ＜1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14，解得a ＝13或－15(舍去)．综上知，a ＝3或a ＝13.(5)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值.【答案】①递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)；② a ＝1；③ a ＝0。

高考数学一轮复习 2.5指数函数精品学案

第五节指数函数【高考新动向】一、考纲点击1．了解指数函数模型的实际背景；2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点； 4．知道指数函数是一类重要的函数模型。

二、热点、难点提示1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类讨论思想和数形结合思想.3.多以选择、填空题形式出现,但若以e 为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现. 【考纲全景透析】 1．根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果nx a =,那么x 叫做a 的n 次方根1n n N *>∈且当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数零的n 次方根是零当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数 0)a >负数没有偶次方根（2）．两个重要公式①(0)(0)n an x a aa a n a a ⎧⎪=⇒=≥⎧⎨=⎨⎪-<⎩⎩为奇数为偶数；②()n a a =注意。

2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正整数指数幂:()n n a a aa n N *=∈个;②零指数幂:01(0)a a =≠;③负整数指数幂:1(0,);p p a a p N a -*=≠∈④正分数指数幂:0,,1)mna a m n N n *=>∈>、且;⑤负分数指数幂:1(0,,1) mnm n mna a m n N naa-*==>∈>、且⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=ax a>1 0<a<1图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。

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——[悟· 技法]—— 指数函数图象可解决的两类热点问题 (1)求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． (2)求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．
－
解析：令 t＝|2x－m|，则
m t＝|2x－m|在区间 2 ，＋∞上单调
m 递增，在区间－∞， 2 上单调递减；而
|2x－m|
y＝2t 在 R 上为增函数，
m 所以，若函数 f(x)＝2 在[2，＋∞)单调递增，则有 2 ≤2，即 m≤4，所以 m 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]
考向一指数幂的运算[自主练透型] [例 1] 求值与化简：
3 (1)2
1 3
7 ×－60＋8
1 4
× 2＋( 2× 3)6－ b3 a3 .
4
3
；
(2)
a27＝110. (2)
2 (1)原式＝3
1 3
)
2 a －3a＋2＝0，即 a>0且a≠1.
得 a＝2. 答案：C
(
3 2 2 3．(2017· 山东德州一模)已知 a＝(5) ，b＝(5) ，c＝(5) ，则 ) A．a<b<c B．c<b<a C．c<ac，∴b<c<a，故选
考向三指数函数的综合应用[互动讲练型] [例 3] (1)(2015· 江苏卷)不等式 2 x －x <4 的解集为________； 1 －x ＋2x＋1 (2)求 f(x)＝(2) 的单调区间．
2
2
[解析] (1)∵2
x 2－x
<4，∴2
x 2－x
<22，
∴x2－x<2，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2. (2)u＝－x2＋2x＋1 在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上为减函数； 1u 而函数 y＝2 在 R 上为减函数， ∴f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上为增函数． [答案] (1){x|－1<x<2}(或(－1,2))
2 5
3 5
2 5
2 5
D. 答案：D
4．设函数 f(x)＝a |x|(a>0，且 a≠1)，f(2)＝4，则( A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
－
)
1 解析：由 a ＝4，a>0，得 a＝2， 1－|x| ∴f(x)＝2 ＝2|x|. 又∵|－2|>|－1|，∴2|－2|>2|－1|，即 f(－2)>f(－1)．答案：A
[小题热身] 1 ．化简 ) A．a B．ab C．a b
2
(a>0 ， b>0) 的结果是 1 D.a
(
解析： 1 a. 答案：D
＝
2．函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( A．a＝1 或 a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0 且 a≠1
2 a －3a＋3＝1，解析：由已知 a>0且a≠1，
符号表示
备注 n>1 且 n ∈N* 零的 n 次方根是零负数没有偶次方根
当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个② 正数， ________ 负数的 n 次方根是一个③________. 负数
n
a
两个，当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有④________ n ± a 相反数它们互为⑤________
——[悟· 技法]—— 指数函数的单调性、最值问题的解法研究指数函数的单调性时注意分 a>1 和 0<a<1 两类讨论．对于复合函数的单调性问题应用“同增异减”的原则．求最值时既要看“内外层函数”的单调性，也要分别看其取值情况，有时结合图象更加直观．
——[通· 一类]—— 4．(2015· 山东卷)设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b， c 的大小关系是( ) A．a<b<c B．a<c0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝⑮________( a>0，r，s∈Q)． ars (3)(ab)r＝⑯________( arbr a>0，b>0，r∈Q)．
4．指数函数的图象与性质 a>1 图象定义域值域性质
——[通· 一类]—— 1．求值与化简： 3 1 －2 0 2 －(0.01)0.5； (1)25 ＋2 · 4
1 2
(2)
(a>0，b>0)．
1 4 1 1 2 1 1 解析：(1)原式＝1＋4×9 －100 ＝1＋4×3－10＝1＋6－ 1 16 10＝15.
——[通· 一类]—— 2．(2017· 深圳模拟)若函数 y＝ax＋b 的部分图象如图所示，则( ) A．0<a<1，－1<b<0 B．0<a<1,0<b<1 C．a>1,0<b<1 D．a>1，－1<b<0
解析：由图象可以看出，函数为减函数，故 0<a<1，因为函数 y＝ax 的图象过定点(0,1)，函数 y＝ax＋b 的图象过定点(0,1＋ b)，由图象知 0<1＋b<1，所以－1<b<0，故选 A. 答案：A
(2)两个重要公式 ⑥ a n n a ⑦ (ⅰ) a ＝ |a|＝ ⑧ －a n
n
a≥0 a<0
n为奇数 n为偶数
；
n a (ⅱ)( a) ＝⑨________(注意 a 必须使 a有意义)．
2．分数指数幂 n m a (1)正数的正分数指数幂是： a ＝⑩________( a>0，m，n∈ 1 N*，n>1)． m 1 (2) 正数的负分数指数幂是： a ＝ ⑪ ________ ＝⑫ an n m ________( a>0，m，n∈N*，n>1)． a 0 (3)0 的正分数指数幂是⑬________ ，0 的负分数指数幂无意义．
×1＋2 ×2 ＋
3 4 1 4
2 －3
1 3
＝2＋
a · 5 2 b
3
3
5 4
b3 a3
＝a · b ＝a ＝a a.
3 3 2 12 3 2 15 10
5 4
4
——[悟· 技法]—— 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．提醒：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
解析：因为函数 y＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以 1>0.60.6>0.61.5，即 b<a<1. 因为函数 y＝x0.6 在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以 1.50.6>10.6＝1，即 c>1. 综上，b<a<c. 答案：C
5．已知函数 f(x)＝2|2x m|(m 为常数)．若 f(x)在区间[2，＋∞) 上是增函数，则 m 的取值范围是________．
1 2 1 2
考向二指数函数的图象及应用[互动讲练型] [例 2] 已知函数 f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且 f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2
[解析] 作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又 a<b<c ，且 f(a)>f(c)>f(b) ，结合图象知 f(a)<1 ， a<0 ， c>0 ，∴ 0<2a<1,2c>1， ∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，f(c)＝|2c－1|＝2c－1. 又 f(a)>f(c)，即 1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2. [答案] D
3．k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？
解析：函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当 k<0 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当 0<k<1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．
解析：∵y＝ax(a>0 且 a≠1)恒过定点(0,1)， ∴y＝ax－2 016＋2 016 恒过定点(2 016,2 017)．答案：(2 016,2 017)