高一下学期数学期末考试试卷第33套真题
2023-2024学年安徽省黄山市高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年安徽省黄山市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有一组数据为：5，6，7，7，8，9，9，10，10，则该组数据的中位数是()A.6B.8C.9D.2.设m为直线，，两个不同的平面，则下列结论中正确的是()A.，且，则B.，且，则C.，且，则D.，且，则3.已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标是()A. B. C. D.4.设事件A与事件B满足：，，，则下列说法正确的是()A.事件与事件B不是相互独立事件B.事件A与事件不是相互独立事件C.事件A与事件B是相互独立事件D.事件与事件不是相互独立事件5.如果复数z满足，那么复数z可能是()A. B. C. D.6.“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为()A. B. C. D.7.中，，为AC中点，M为线段BC上靠近点C的四等分点，将沿BD翻折，使A到P的位置，且平面平面BCD，则异面直线PM与AB所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.定义域在的函数图象的两个端点为A、B，向量，设是图象上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数是定义在上的“k级线性近似函数”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似系数，现给出下列两个定义在上的函数：；；则这两个函数的线性近似系数的和为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是()A.用简单随机抽样从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本，个体m被抽到的概率是B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是C.当总体由有明显差异的几部分构成时，可以采用分层随机抽样D.若样本数据，，…，的标准差为9，则数据，，…，标准差为8110.如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则()A. B.C. D.11.如图，正方体的棱长为3，动点P在内，满足，则下列说法正确的是()A.B.与平面所成的角的正弦值为C.始终为钝角三角形D.点P的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2020年高一数学下学期期末试卷及答案(共三套)
2020年高一数学下学期期末试卷及答案（共三套）2020年高一数学下学期期末试卷及答案（一）一.选择题1.已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（）A. （﹣24，7）B. （﹣∞，﹣24）∪（7，+∞）C. （﹣7，24）D. （﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）2.设α、β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A. 若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βB. 若m∥n，n∥α，α∥β，则m∥βC. 若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αD. 若α∩β=n，m∥α，m∥β，则m∥n3.如图，网格纸上校正方形的边长为1，粗线画出的某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（）A. 16+4πB. 16+2πC. 48+4πD. 4 8+2π4.如图画的某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. 48﹣πB. 96﹣πC. 48﹣2π D. 96﹣2π5.直线mx+ y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A. m=﹣，n=﹣2B. m= ，n=2C. m= ，n=﹣2D. m=﹣，n=26.若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A. B. C. D.7.如图，在三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若AB=2 ，则此正三棱锥外接球的体积是（）A. 12πB. 4 πC. πD. 12π8.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A. cm3B. cm3C. 2cm3D. 4 cm39.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.10.若过点M（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+y2=4相较于两点A，B，且M为弦的中点AB，则|AB|为（）A. B. 4 C.D. 211.关于空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），有下列说法：①点P到坐标原点的距离为；②OP的中点坐标为（）；③点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）；④点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3）；⑤点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3）．其中正确的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 512.若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A. 4πB. 8πC. 16π D . 32π二.填空题13.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 ，则a=________．14.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是________．15.已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．16.如果曲线2|x|﹣y﹣4=0与曲线x2+λy2=4（λ＜0）恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是________．三.解答题17.曲线C：ρ2﹣2ρcosθ﹣8=0 曲线E：（t是参数）（1）求曲线C的普通方程，并指出它是什么曲线．（2）当k变化时指出曲线K是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线E截曲线C 所得弦长的最小值．18.如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19.如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．答案解析部分一.<b >选择题</b>1.【答案】C【考点】直线的斜率【解析】【解答】解：∵点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，∴（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0，化为（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24．故答案为：C．【分析】根据题意可知，把两个点代入直线方程可得（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0，解出a的值即可。
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题含解析
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆221:1O x y +=与圆222:30O x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．2003．若角α的终边过点(1,2)-，则sin2α=( ) A ．45B ．2-5C ．25D ．45-4．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y --= B ．10x y --= C ．30x y -+=D ．30x y +-=5．已知正实数x y 、满足224x y +=，则的最大值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．946．在某次测量中得到A 样本数据如下：43,50,45,55,60，若B 样本数据恰好是A 样本每个数都增加5得到，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．中位数C ．方差D ．平均数7．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论： ①函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图象关于直线512x π=对称；③函数()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④函数()f x 在7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．22x x s s >>甲乙甲乙，B ．22x x s s ><甲乙甲乙，C ．22x x s s 甲乙甲乙，D ．22x x s s <<甲乙甲乙，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (33)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。
2020-2021学年___高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年___高一(下)期末数学试卷(附答案详解)1.已知集合A={A∈A|−2≤A<2}，A={0,1}，则下列判断正确的是()A。
A∈AB。
A∩A=⌀C。
A⊆AD。
A⊆A2.已知A>0，则对于2−3A−A^2，说法正确的是()A。
有最小值2+4√3B。
有最小值2−4√3C。
有最大值2+4√3D。
有最大值2−4√33.已知AA=(1,A)，AA//AA，则|AA+AA|=()A。
√10B。
√5C。
2√5D。
104.已知A=log0.3 3，A=log0.3 4，A=30.3，则()A。
A<A<AB。
A<A<AC。
A<A<AD。
A<A<A5.为了得到函数A=cos5A，A∈A的图象，只需把余弦函数的图象A=AAAA，A∈A上所有的点的()A。
横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B。
横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变C。
纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D。
纵坐标缩短到原来的5倍，横坐标不变6.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分。
如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是()A。
这9年我国快递业务量有增有减B。
这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C。
这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D。
这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7.在空间四边形ABCD中，若AA⊥AA，AA⊥AA，则对角线AC与BD的位置关系为()A。
相交但不垂直B。
垂直但不相交C。
不相交也不垂直D。
无法判断8.若直线l经过A(2,1)，A(1,−A/2)(A∈A)两点，则直线l 的倾斜角A的取值范围是()A。
≤A≤π/4B。
π/4<A<π/2C。
π/4≤A<π/2D。
π/2<A≤3π/49.三条直线A+A=4，A−A=1，A+AA=3构成三角形，则a 的取值可以是()A。
2021年高一数学下学期期末考试试卷(含解析)
2021年高一数学下学期期末考试试卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值sin210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 945．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣28．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•=．12．已知sin（π+α）=，则cos2α=．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（xx春•深圳期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．16．（12分）（xx春•深圳期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．17．（14分）（xx春•深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？18．（14分）（xx春•深圳期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．19．（14分）（xx春•抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．20．（14分）（xx春•深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB 的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．xx学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．求值si n210°=（）A． B．﹣ C． D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．分析：通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．解答：解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D点评：本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．可以根据角的象限判断正负．2．已知角α的终边上一点P（1，），则sinα=（）A． B． C． D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义进行求解即可．解答：解：角α的终边上一点P（1，），则r=|0P|=2，则sinα=，故选：A点评：本题主要考查三角函数的定义，比较基础．3．函数f（x）=x•sin（+x）是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数考点：正弦函数的奇偶性；运用诱导公式化简求值．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：运用诱导公式化简解析式可得f（x）=﹣xcosx，由f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），即可得函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．解答：解：∵f（x）=x•sin（+x）=﹣xcosx，又f（﹣x）=﹣（﹣x）cos（﹣x）=xcosx=﹣f（x），∴函数f（x）=x•sin（+x）是奇函数．故选：A．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，正弦函数的奇偶性等知识的应用，属于基本知识的考查．4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以α表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（）A． 92 B． 93 C． 93.5 D． 94考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：先根据甲、乙两组的平均分相同，求出α的值，再求乙组的中位数即可．解答：解：∵甲、乙两个小组的平均分相同，∴=α=2∴乙组数学成绩的中位数为=93．故选：B．点评：本题考查了求平均数与中位数的应用问题，是基础题目．5．已知向量=（4，2），=（x，3），若∥，则实数x的值为（）A． 3 B． 6 C． D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．解答：解：向量=（4，2），=（x，3），若∥，可得12=2x，解得x=6．故选：B．点评：本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查．6．如图所示的程序框图，若输出的S是62，则①可以为（）A．n≤3？ B．n≤4？ C．n≤5？ D．n≤6？考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．解答：解：第一次，n=1，S=0，满足条件．S=0+21=2，n=2，第二次，n=2，S=2，满足条件．S=2+22=6，n=3，第三次，n=3，S=6，满足条件．S=6+23=14，n=4，第四次，n=4，S=14，满足条件．S=14+24=30，n=5，第五次，n=5，S=30，满足条件．S=30+25=62，n=6，第六次，n=6，S=62，不满足条件输出S=62，则①可以为n≤5？，故选：C点评：本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．﹣2考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件表示k﹣2，通过向量互相垂直⇔数量积为0，列出方程解得k．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，﹣3），∴k﹣2=k（1，1）﹣2（2，﹣3）=（k﹣4，k+6）．∵k﹣2与垂直，∴（k﹣2）•=k﹣4+k+6=0，解得k=﹣1．故选：A．点评：本题考查了向量的运算、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．8．若，则tanα•tanβ=（）A． B． C． D．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化．专题：计算题．分析：利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．解答：解：因为，所以；．故选D点评：本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．9．设非零向量，，满足+=，且==，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：把已知式子平方由数量积的运算易得向量夹角的余弦值，可得夹角．解答：解：由题意可得=（+）2，∴||2=||2+||2+2||||cosθ，其中θ为向量与的夹角，∵==，∴cosθ=﹣，∴向量与的夹角为故选：D点评：本题考查平面向量的夹角，属基础题．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：新定义．分析：本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．点评：本题是古典概型问题，属于高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则•= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积的坐标表示解答．解答：解：由已知得到•=2×（﹣3）+2×4=﹣6+8=2；故答案为：2．点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；=（x，y），=（m，n），则•=xm+yn．12．已知sin（π+α）=，则cos2α=．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式可求sinα，利用二倍角的余弦函数公式即可求值．解答：解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，∴sin，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．13．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是37 ．考点：系统抽样方法．专题：应用题．分析：由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽出的号码为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．解答：解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．故答案为：37．点评：本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号，注意要能从一系列样本中选择出来．本题还考查分层抽样，是一个抽样的综合题目．14．在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为1﹣．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），对应区域为边长为2的正方形，而使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的a，b范围是判别式△≥0，求出a，b满足范围，利用面积比求概率．解答：解：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），则对应区域面积为2×2=4，使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点a，b范围为4a2+4b2﹣4≥0，即a2+b2≥1，对应区域面积为4﹣π，由几何概型的概率公式得到使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为：；故答案为：1﹣．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确事件的区域面积，利用公式解答．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．15．（12分）（xx春•深圳期末）已知tanα=2（1）求tan2α的值；（2）求sin2α+sinα cosα﹣2cos2α的值．考点：三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的正切函数求解即可．（2）化简所求表达式为正切函数的形式，然后求解即可．解答：解：tanα=2（1）tan2α==；（2）sin2α+sinα cosα﹣2cos2α===．点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角的正切函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx春•深圳期末）已知cos（α+）=，≤α＜．（1）求sin（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由≤α＜．可得≤α+＜，根据cos（α+）=＞0，可得≤α+＜，利用同角三角函数关系式即可求sin（α+）．（2）由（1）可得，从而可求sinα，cosα，sin2α，cos2α的值，由两角和的余弦函数公式即可求得cos（2α+）的值．解答：解：（1）∵≤α＜．可得≤α+＜，∵cos（α+）=＞0，∴≤α+＜，∴sin（α+）=﹣=﹣．（2）由（1）可得≤α+＜，∴，∴sinα=sin[（α+）﹣]=（﹣﹣）=﹣，cosα=cos[（α+）﹣]=（﹣）=﹣，sin2α=2sinαcosα=2×=，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴cos（2α+）=（﹣﹣）=﹣．点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．17．（14分）（xx春•深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：x i2=280，x i y i=3487，=，=﹣（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（Ⅲ）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用平均数公式，可求，；（Ⅱ）求出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值；（Ⅲ）由回归直线方程预测，只需将x=20代入求解即可．解答：解：（Ⅰ）=（3+4+5+6+7+8+9）=6，=（66+69+73+81+89+90+91）=80，（Ⅱ）∵x i2=280，x i y i=3487，∴b==，a=，∴回归方程为y=x+，（Ⅲ）当x=20时，y≈175，故该周内某天的销售量为20件，估计这天可获纯利大约为175元．点评：本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程，属于中档题，解题关键是记住回归系数的求解公式．18．（14分）（xx春•深圳期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由函数图象可得T，由周期公式从而可求ω，由点（，0）在函数图象上，结合范围0≤φ＜2π，即可解得φ的值，从而得解；（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区．当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间．（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，π]，从而可求；当f（x）=2sin（3x+）时，由x∈[0，]，可得3x+∈[，2π]，从而可求f（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由函数图象可得：T=（）=π，解得：T==，从而可求ω=3，由点（，0）在函数图象上，所以：2sin（3×+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，由0≤φ＜2π，从而可得：φ=或．故可得：f（x）=2sin（3x+）或f（x）=2sin（3x+）．（Ⅱ）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[，]，k∈Z，当f（x）=2sin（3x+）时．由2k≤3x+≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[﹣，]，k∈Z，（Ⅲ）当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[0，2]．当f（x）=2sin（3x+）时，∵x∈[0，]，∴3x+∈[，2π]，可得：f（x）=2sin（3x+）∈[﹣2，]．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．19．（14分）（xx春•抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．解答：解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组 15 45 6025周岁以下组 15 25 40合计 30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．点评：本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．20．（14分）（xx春•深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+时，求△OAB 的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意可得f（x）=•=a（1+sin2x）+cos2x，代点可得a值；（2）由三角函数公式化简可得sin2x=，由x的范围可得x值，可得和的坐标，由夹角公式可得∠AOB的余弦值，进而可得正弦值，由三角形的面积公式可得；（3）可得h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），由偶函数可得2t+=kπ+，结合t的范围可得t值．解答：解：（1）由题意可得f（x）=•cos∠AOB=•=a（1+sin2x）+cos2x∵图象经过点（，2），∴a（1+sin）+cos=2a=2，∴a=1；（2）∵sin2x=sin（+α）•sin（﹣α）+，∴sin2x=sin（+α）cos（+α）+=sin（+2α）+=cos2α+=，∵x为锐角，∴x=，∴=（1，0），=（2，1），∴cos∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴△OAB的面积S=×=；（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），∵h（x）是偶函数，∴2t+=kπ+，∴t=+，k∈Z，又∵0＜t＜π，∴t=或．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．t33181 819D 膝32203 7DCB 緋27654 6C06 氆27207 6A47 橇 23273 5AE9 嫩j25952 6560 敠 ^l33905 8471 葱X。
2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知，若，则实数()A.8B.C.2D.3.在中，，则()A. B. C. D.4.平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则()A. B.0 C.1 D.25.已知是不重合的平面，是不重合的直线，下列命题中不正确．．．的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.在平面直角坐标系xOy中，已知，则的取值范围是()A. B. C. D.7.如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为是底面上一个动点，，则点Q所形成区域的面积为()A. B. C. D.8.已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为()A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒9.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、多选题：本题共1小题，共5分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则()A.函数是最小正周期为的奇函数B.函数关于对称C.函数在区间上单调递增D.函数的最大值不大于2三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数，则__________.12.已知函数若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是__________，__________只需写出一组13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为__________；表面积为__________.14.在中，，则__________，__________.15.如图，在棱长为2的正方体中，点M为AD的中点，点N是侧面上包括边界的动点，点P是线段上的动点，给出下列四个结论：①任意点P，都有；②存在点P，使得平面MPC；③存在无数组点N和点P，使得；④点P到直线的距离最小值是其中所有正确结论的序号是__________.四、解答题：本题共6小题，共72分。
高中数学高一下学期期末考试试卷(含答案)
高一期末测试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x <1}，B ={x|3x <1}，则( )A. B. A ∪B =R C. D. A ∩B =⌀2. 在下列区间中，函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,12) D. (12,1) 3. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为30°，且|a ⃗ |=√3，|b ⃗ |=2，则|a ⃗ −b ⃗ |等于( )A. 1B. √13C. 13D. √7−2√34. 设x ∈R ，向量a ⃗ =(3,x)，b ⃗ =(−1,1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a⃗ |=( ) A. 6 B. 4 C. 3√2 D. 3 5. 若sinα=−513，α为第四象限角，则tanα的值等于( )A. 125B. −125C. 512D. −5126. 在△ABC 中，a =2√3，c =2√2，A =60°，则C =( ) A. 30° B. 45° C. 45°或135° D. 60°7. 已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1=2a n +1，则a 4=( )A. 7B. 9C. 15D. 17 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3+a 9=16，则S 11=( )A. 88B. 48C. 96D. 176 9. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C的俯角分别为60o ，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A. 30√3B. 30(√3−1)C. 40√3D. 40(√3−1)10. 若函数y =x 2+(2a −1)x +1在区间(−∞,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. [−32,+∞)B. (−∞,−32]C. [32,+∞)D. (−∞,32]11. 已知f(x)是定义在上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，若实数a 满足f(2|a−1|)>f(−√2)，则a 的取值范围是( )A. (−∞,12) B. (−∞,12)∪(32,+∞) C. (12,32)D. (32,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，|a ⃗ |=√2，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______．13. 如图，在△OAB 中，C 是AB 上一点，且AC =2CB ，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ .(用a ⃗ ,b ⃗ 表示)14. 已知锐角α，β满足sinα=√55,sin(α−β)=−√1010，则β等于______．15. 数列{a n }前n 项和为S n =n 2+3n ，则{a n }的通项等于______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？17. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足：|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=4，且(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =−20．(1)求证：(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ； (2)求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且acosC +ccosA =2bcosA.(1)求角A 的值；(2)若b +c =√10,a =2,求△ABC 的面积S ．19.已知，，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；]上的最大值和最小值．(2)求函数f(x)在区间[0,π220.已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，满足b1=a2=2，a5+a9=14，b4=a15+1．(1)求数列{a n}，{b n}通项公式；(2)令c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2(n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{S n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题．先求出集合B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}={x|x<0}，∴A∩B={x|x<0}，所以A正确，D错误，A∪B={x|x<1}，所以B和C都错误，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．)<0，进而根据函数零点存在性定理可知函数f(x)=e x+由函数解析式可知f(0)·f(124x−3的零点所在的区间．【解答】解：∵函数f(x)=e x+4x−3在上连续，且易知f(x)在上是增函数，∴f(x)至多只有一个零点，∵f(0)=e0−3=−2<0，)=√e+2−3=√e−1=e12−e0>0，f(12∴f(0)·f(1)<0，2).∴由函数零点存在性定理可知函数f(x)=e x+4x−3的零点所在的区间为(0,12故选C．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．由向量数量积的定义可得a⃗·b⃗ 的值，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，且|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，=3，可得a⃗·b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cos30°=√3×2×√32则|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗=√3+4−2×3=1．故选：A．【解析】解：∵x∈R，向量a⃗=(3,x)，b⃗ =(−1,1)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−3+x=0，解得x=3，∴a⃗=(3,3)，∴|a⃗|=√9+9=3√2．故选：C．由a⃗⊥b⃗ ，求出x=3，从而a⃗=(3,3)，由此能求出|a⃗|.本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量垂直的性质的合理运用．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．属于基础题．利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．【解答】解：∵sinα=−513，α为第四象限角，∴cosα=√1−sin2α=1213，即tanα=sinαcosα=−512．故选D．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．由已知即正弦定理可得sinC=csinAa =√22，利用大边对大角可得0<C<60°，即可解得C的值．【解答】解：∵a=2√3，c=2√2，A=60°，∴由正弦定理可得：sinC=csinAa =2√2×√322√3=√22，∵c<a，可得：0<C<60°，∴C=45°．故选B．7.【答案】C【解析】解：∵a1=1，且a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2(a n+1)，∴数列{a n+1}是等比数列，首项与公比都为2．∴a n+1=2n，即a n=2n−1，则a4=24−1=15．故选：C．a1=1，且a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2(a n+1)，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：∵等差数列{a n}中，a3+a9=16，∴S11=a1+···+a11=11a6=11(a3+a9)=88，2故选：A．由题意、等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，化简并求出S11的值．本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式的灵活应用，考查整体思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意可知∠C=30°，∠BAC=30°，∠DAB=30°，AD=60m，=40√3．∴BC=AB=60cos30∘故选：C．由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义，属于中档题．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键，属于基础题．由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+(2a−1)x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+(2a−1)x+1的图象是开口向上，以直线x=−2a−1为对称轴，2又∵函数在区间(−∞,2]上是减函数，∴2≤−2a−1，2．解得a≤−32故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．根据偶函数的对称性可知f(x)在(0,+∞)递减，故只需令2|a−1|<√2即可．【解答】解：∵f(x)是定义在上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∵2|a−1|>0，f(−√2)=f(√2)，∴2|a−1|<√2=212，∴|a−1|<1，2解得12<a <32． 故选C ．12.【答案】−√22【解析】解：根据条件，a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为：|a ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=√2cos 2π3=−√22．故答案为：−√22．由条件，可得出a⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为|a ⃗ |cos 2π3，从而求出投影的值．考查向量夹角的概念，向量投影的概念及计算公式． 13.【答案】13a ⃗ +23b ⃗【解析】解：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +23b ⃗ ． 故答案为：13a⃗ +23b ⃗ 利用向量的线性运算即可．本题考查了向量的线性运算，属于基础题．14.【答案】π4【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，属于基础题．由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα、cos(α−β)的值，可得tanα，tan(α−β)的值，再利用两角和差的正切公式求得tanβ=tan[(α−(α−β)]的值． 【解答】解：∵锐角α，β满足sinα=√55,sin(α−β)=−√1010，∴cosα=√1−sin 2α=2√55，cos(α−β)=√1−sin 2(α−β)=3√1010， ∴tanα=sinαcosα=12，tan(α−β)=sin(α−β)cos(α−β)=−13，∴tanβ=tan[(α−(α−β)]=tanα−tan(α−β)1+tanα⋅tan(α−β)=12+131−12⋅13=1,故β=π4， 故答案为：π4．15.【答案】a n =2n +2【解析】【分析】本题考查数列的递推公式，数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2进行计算，解题时要注意公式中对n =1的检验．【解答】解：当n =1时，a 1=S 1=1+3=4，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+3n)−[(n −1)2+3(n −1)]=2n +2， 当n =1时，2×1+2=4=a 1，适合上式， ∴a n =2n +2．故答案为a n =2n +2．16.【答案】解：(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600−300050=12，所以这时租出了88辆车．(Ⅱ)设每辆车的月租金定为x 元， 则租赁公司的月收益为f(x)=(100−x−300050)(x −150)−x−300050×50，整理得f(x)=−x 250+162x −21000=−150(x −4050)2+307050．所以，当x =4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【解析】(Ⅰ)严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；(Ⅱ)从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．17.【答案】证明：(1)∵|b ⃗ |=4,(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =−20，∴a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=a ⃗ ⋅b ⃗ −16=−20， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−4，∵|a ⃗ |=2，∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =0， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ． (2)设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃗ ,b⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=−12，θ=1200.即向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°．【解析】(1)先计算a ⃗ ⋅b ⃗ ，再计算(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0即可得出结论；(2)代入夹角公式计算即可．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．18.【答案】解：(1)在△ABC 中，∵acosC +ccosA =2bcosA ， ∴sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosA ， ∴sin(A +C)=sinB =2sinBcosA ， ∵sinB ≠0，∴cosA=12，由A∈(0,π)，可得：A=π3；(2)∵cosA=12=b2+c2−a22bc，b+c=√10 , a=2，∴b2+c2=bc+4，可得：(b+c)2=3bc+4=10，可得：bc=2，∴S=12bcsinA=√32．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平方和公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sinB=2sinBcosA，结合sinB≠0，可求cos A，进而可求A的值．(2)由已知及余弦定理，平方和公式可求bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．19.【答案】解：，，由，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，由，得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；(2)由x∈[0,π2]可得：2x+π6∈[π6,7π6],当2x+π6=7π6时，函数f(x)取得最小值为2sin7π6+1=0,当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2sinπ2+1=3,故得函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．(1)由f(x)=a⃗⋅b⃗ ，根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；(2)在[0,π2]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f(x)的最大值和最小值．20.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， ∵a 2=2，a 5+a 9=14，∴a 1+d =2，2a 1+12d =14，解得a 1=d =1． ∴a n =1+(n −1)=n ．∴b 1=a 2=2，b 4=a 15+1=16=2×q 3， ∴q =2． ∴b n =2n ．(2)c n =a n ⋅b n =n ⋅2n ．∴数列{c n }的前n 项和T n =2+2×22+3×23+⋯+n ⋅2n ①， 2T n =22+2×23+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1②，∴①−②⇒−T n =2+22+⋯+2n −n ⋅2n+1=2(1−2n )1−22(2n −1)2−1−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2．∴T n =(n −1)⋅2n+1+2．【解析】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．(2)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．21.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2①． 则S n+1=2a n+1−2②， ②−①得a n+1=2a n ， 即a n+1a n=2，当n =1时，a 1=S 1=2a 1−2， 解得a 1=2，所以数列的通项公式为a n =2⋅2n−1=2n ， (Ⅱ)由于a n =2n ，则S n =21+22+⋯+2n ， =2(2n −1)2−1，=2n+1−2．T n =2(21+22+⋯+2n )−2−2−⋯−2， =2n+2−4−2n ．【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n 项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n 项和的公式的应用以及分组求和．。
江苏省苏州市第三十三中学2023年高一数学理下学期期末试卷含解析
江苏省苏州市第三十三中学2023年高一数学理下学期期末试卷专业课理论基础部分一、选择题：1.设A是R^2上的一个区域，且对任意a，b属于R，函数f(x,y)=ax+by在A上单调递增，则A一定是（）A. 一条直线C. 一个椭圆D. 一个矩形2.已知函数f(x)=x^3-3x，则f’(x)等于（）A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^2+33.若向量a=(2,3)，向量b=(1,k)，则向量a与向量b垂直的条件是（）4.设矩阵A=| a b |则A的行列式等于（）A. ac-bdB. ad-bcC. a2+b2D. c2+d25.若复数z=3+4i，则z的模等于（）二、判断题：1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f’(x)在区间[a,b]上非负。
（）2.两个向量垂直，当且仅当它们的点积为0。
（）3.矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。
（）4.复数z=a+bi（a,b属于R）的模等于|a|+|b|。
（）5.函数f(x)=e^x在区间（-∞，+∞）上单调递增。
（）三、填空题：1.若矩阵A=| a b |则A的转置矩阵为_______| a c |答案：| a b |2.函数f(x)=x3-3x的导数为_______f’(x)=3x2-3答案：3x^2+33.向量a=(2,3)，向量b=(1,k)，若向量a与向量b垂直，则k等于_______21+3k=0答案：-2/3四、简答题：1.请用定义证明：函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，当且仅当对于任意的x1，x2属于[a,b]，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)。
答案：（证明过程）2.请用公式计算矩阵A=| a b |答案：（计算过程）3.请解释复数的概念，并给出复数的模的定义。
答案：（解释过程）五、计算题：1.计算积分：∫(from 0 to π) sin(x)dx答案：（计算过程）2.计算行列式：| 1 2 |答案：（计算过程）3.解方程组：x^2 + y^2 = 10答案：（解题过程）六、作图题：1.作函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的图像。
2023北京西城区高一(下)期末数学试题及答案
2023北京西城高一（下）期末数学2023.7本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟，考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数1i z =+，则在复平面内z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．tan y x=C ．cos 2y x=D ．sin 2y x =3．在ABC △中，2a b =，60C =︒，c =a =（）A ．12B ．1C ．D ．4．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份()1,2,3,,12x x =⋅⋅⋅的关系可近似地用三角函数()()sin 306y a A x A π⎡⎤=+->⎢⎥⎣⎦来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A =（）A ．5B ．10C ．15D ．205．复数cos isin z αα=+，且2z 为纯虚数，则α可能的取值为（）A ．0B ．4πC ．3πD ．2π6．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（）A ．若m α∥，n α⊂，则m n ∥B ．若m α∥，n α∥，则m n ∥C ．若m α⊥，n α∥，则m n⊥D ．若m n ⊥，n α∥，则m α⊥7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,2P -，()3,4Q ，则cos POQ ∠=（）A ．53B ．55C ．53-D ．55-8．已知等边ABC △的边长为4，P 为ABC △边上的动点，且满足12AP AB ⋅≤，则点P 轨迹的长度是（）A ．7B ．9C ．10D ．119．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则“()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且AB =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,3-C ．[]2,3-D ．[]1,2-第二部分（选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()3,4-，则5z为______．12．设向量()1,2a = ，()4,b x =，若a b ⊥ ，则x =______．13．已知圆柱的底面半径为3，体积为323π的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为______，圆柱的体积为______．14．写出一个同时满足下列两个条件的函数()f x =______．①x ∀∈R ，()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；②x ∀∈R ，()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立．15．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段11B D 上，且11114D E B D =，给出下列四个结论：①存在点P ，使得平面11PB D ∥平面1C BD ；②存在点P ，使得11PB D △是等腰直角三角形；③若5PE ≤，则点P 轨迹的长度为④当13AP PC =时，则平面11PB D 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）已知2παπ<<，4sin 5α=．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos 2cos 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．（本小题13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1DD ，11C D 的中点．（Ⅰ）证明：1A B ⊥平面11ADC B ；（Ⅱ）证明：1B F ∥平面1A BE．18．（本小题14分）已知在ABC △中，cos cos 2cos a B b A c A +=．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若4c =，在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC △存在且唯一，求ABC △的周长．①ABC △的面积为；②a =AB 边上的高线CD 长为32．19．（本小题15分）已知函数()2sin 22cos 16f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）若函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围．20．（本小题15分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD AD ===，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ．（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离；（Ⅲ）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CNCS；若不存在，说明理由．21．（本小题15分）对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T ，若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数．（Ⅰ）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+．（Ⅱ）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（Ⅲ）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2TT ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-．若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅直接给出一个符合题意的a 的值，并证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．B 10．A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．-213．2，36π14．sin 2x （答案不唯一）15．①③④注：第13题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．三、解答题：本大题共6小题，共85分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．16．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为22sin cos 1αα+=，4sin 5α=，所以29cos 25α=，3cos 5α=±．又因为2παπ<<，所以3cos 5α=-．所以sin 4tan cos 3ααα==-．（Ⅱ）)22cos 22cos sin 52cos 42αααπα==+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题13分）（Ⅰ）证明：1111ABCD A B C D -，所以11B C ⊥平面11ABBA ．因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以111B C A B ⊥．因为11A ABB 为正方形，所以11A B AB ⊥，又因为1111B C AB B ⋂=，所以1A B ⊥平面11ADC B ．（Ⅱ）设11AB A B O ⋂=，连接OE ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11B A C D ∥，且11B A C D =，所以11B O C D ∥，且1112B OCD =．因为E ，F 分别1DD ，11C D 的中点，所以1EF C D ∥，且112EF C D =．所以1EF B O ∥，且1EF B O =．所以四边形1B OEF 为平行四边形．所以1B F OE ∥．又因为1B F ⊄平面1A BE ，OE ⊂平面1A BE ，所以1B F ∥平面1A BE ．18．（本小题14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=．所以()sin 2sin cos A B C A +=．因为A B C π++=，所以()sin sin A B C +=，所以sin 2sin cos C C A =．因为()0,C π∈，sin 0C ≠，所以2cos 1A =，即1cos 2A =．又因为()0,A π∈，所以3A π=．（Ⅱ）选择①因为ABC S =△1sin 2bc A =，即1422b ⨯⨯⨯=，所以5b =．又因为2222cos a b c bc A =+-，即2125162542a =+-⨯⨯⨯，所以a =，所以ABC △的周长为9．选择③因为AB 边上的高线CD 长为32，即3sin 2b A =，所以1b =．又因为2222cos a b c bc A =+-，即211162142a =+-⨯⨯⨯所以a =ABC △的周长为5+19．（本小题15分）解：（Ⅰ）2sin 2cos 11666f πππ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭．（Ⅱ）()231sin 22cos 1sin 22cos 2622f x x x x x x π⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭31sin 2cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，得36k x k ππππ-+≤≤+．所以()f x 的单调递增区间是(),36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（Ⅲ）因为[]0,x m ∈，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦．依题意2236m πππ<+<，解得11171212m ππ<<．所以m 的取值范围为11171212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．20．（本小题15分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥．因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，所以CD SA ⊥．（Ⅱ）因为平面EFM ∥平面SCD ，平面EFM ⋂平面ABCD EM =，平面SCD ⋂平面ABCD CD =，所以CD EM ∥，又因为E 为AD 的中点，所以M 为线段BC 中点．M 到平面SCD 的距离为32．（Ⅲ）存在，N 为SC 中点，连接EC ，DM 交于点O ，连接SE ．因为ED CM ∥，并且ED CM =，所以四边形EMCD 为平行四边形，所以EO CO =．又因为N 为SC 中点，所以NO SE ∥．因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，又SE ⊂平面SAD ，由已知SE AD ⊥，所以SE ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD ．又因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面ABCD ．所以存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，12CN CS =．21．（本小题15分）解：（Ⅰ）①否；②是．（Ⅱ）因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T +-=+++-+=+-+⎡⎤⎣⎦．所以，对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2T k π=，*k ∈N ．（Ⅲ）1a =．函数()()F x f x x b =--，则有：()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=．取3344TTb f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则有：3330444T T T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T TF F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有：()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T ．又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Z ，有：044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T TF kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34TmT +．综上所述，存在3344TTb f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点：14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，…，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452Tx x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=．。
2020-2021学年山东省枣庄市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年山东省枣庄市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 若z =21−i (i 为虚数单位)，则( )A. z 的虚部为iB. |z|=2C. z −=−1+iD. z 2为纯虚数2. 已知A ，B ，C ，D 为同一平面内的四点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. CB⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ C. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗3. 某学校要订制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格．据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如表所示： 校服规格 155 160 165 170 175 合计 频数40651689026389如果用一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，那么在平均数、中位数、众数、第25百分位数中，哪个量比较合适？( )A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 第25百分位数4. 有结论：①不共线的三点确定一个平面； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面． 其中公理(基本事实)的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知tanα=2，则cos2α=( )A. −35B. ±35C. 45D. ±456. 在复平面内，点A ，B 对应的复数分别为−3+5i ，3+2i.若C 为靠近点B 的线段AB 的三等分点，则点C 对应的复数是( )A. 1+3iB. −1+3iC. 5+iD. 1+4i7. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，B 1D 与平面ACD 1所成的角为α，B 1D 与BC 所成的角为β，则cos(α−β)=( )A. √33 B. √63C. √22D. √628.一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．记事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“摸出的两个球的标号之和为6”，事件D=“摸出的两个球的标号之和不超过4”，则()A. A与B相互独立B. A与D相互独立C. B与C相互独立D. B与D相互独立二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两球颜色相同”，N=“两球颜色不同”，则()A. R1⊆RB. R∩G=⌀C. R∪G=MD. M=N−10.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(cosθ,sinθ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是()A. 若a⃗//b⃗ ，则tanθ=1B. |a⃗+b⃗ |的最大值为√5C. |a⃗−b⃗ |的最大值为1+√2D. 存在唯一的θ使得|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |11.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，则()A. 第一次摸到红球的概率为25B. 第二次摸到红球的概率为25C. 两次都摸到红球的概率为120D. 两次都摸到黄球的概率为31012.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为√2，则()A. BC⊥平面EABB. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的体积为8√23π D. 平面EAB ⊥平面CDG三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 方程x 2+2x +2=0在复数范围内的解为x =______．14. 已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，圆台的高为√5，则圆台的侧面积为______． 15. 已知向量a⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−2,1)，则b ⃗ 在a ⃗ 上的投影向量为______． 16. 已知△ABC 中，BA ⊥BC ，BA =2，BC =4，P 为△ABC 内一点，且∠APB =3π4，则CP 的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在平行四边形ABCD 中，P 、Q 分别为线段BC 、CD 的中点．(1)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ，μ的值； (2)若AB =2，AD =1，∠BAD =60°，求AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值．18. 如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是线段PA ，PC 的中点． (1)证明：平面BEF ⊥平面PBC ；(2)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线EF 与直线l 的位置关系，并说明理由．19.甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为p，乙每轮猜对的概率为q，p>q.在每轮活动中，甲和乙猜对与否，“星队”在互不影响，各轮结果也互不影响．甲和乙在第一轮都猜错的概率为16．第二轮中只猜对一个谜语的概率为12(1)求p，q；(2)求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率．20.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+√3bsinA=c+a．(1)求B；(2)若b=2，△ABC的面积为√3，求a，c．21.如图，在三棱柱ABC−A′B′C′中，点D是A′C′的中点，欲过(1)问应当怎样画线，并说明理由；(2)若三棱柱ABC−A′B′C′的体积为30，求该棱柱在所作截面与平面AB′D之间部分的体积．22.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准A，用水量不超过A的部分按平价收费，超出A的部分按议价收费．为了确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不用影响，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据(单位：t)，得到频率分布直方图(如图)．(1)求直方图中a的值，并估计该市居民月均用水量的平均值x−；(2)如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，请确定一户居民月均用水量的标准A．答案和解析1.【答案】D【解析】解：z =21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i ，所以z 的虚部为1，|z|=√1+1=√2，z −=1−i ，z 2=(1+i)2=2i 为纯虚数． 故选：D ．利用复数的除法运算求出z ，然后由虚部的定义、复数模的定义、共轭复数的定义以及纯虚数的定义进行判断即可．本题考查了复数的基本概念的理解与应用，考查了虚部的定义、复数模的定义、共轭复数的定义以及纯虚数的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B ．根据向量的减法的运算法则进行求解即可． 本题主要考查平面向量的基本运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：平均数为164.96，中位数为165，众数为165，第25百分位数为160； 显然，第25百分位数160不能代表该校高一年级男生所需校服的规格； 中位数不能描述数据的集中趋势，若选为数据的代表可靠性比较差；平均数可以用来描述一组数据的整体平均情况，但是容易受到极端数据的影响． 在本题的数据中，“165”的男生的频数最高，且明显高于其他规格，所以用众数165作为该校高一年级男生校服的规格比较合适． 故选：C ．利用平均数、中位数、众数、百分位数的统计意义判断．本题考查平均数、中位数、众数、百分位数的统计意义，属于基础题．【解析】解：公理2：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故选项①是公理， 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行，故选项②是公理，经过两条平行直线，有且只有一个平面，为共面的判定定理，故选项③是定理， 故公理的个数为2个． 故选：C ．根据已知条件，结合所学过的立体几何中的公理，进行分析判定，即可求解． 本题考查了立体几何中的公理，解题的关键是弄清公理和定理，难度系数低，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为tanα=2， 所以cos2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−221+22=−35． 故选：A ．由已知利用二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题主要考查了二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：设C(x,y)，∵点A ，B 对应的复数分别为−3+5i ，3+2i ，∴A(−3,5)，B(3,2)，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +3,y −5)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)， ∵C 为靠近点B 的线段AB 的三等分点，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{x +3=4y −5=−2，解得{x =1y =3， ∴C(1,3)，对应复数为1+3i ． 故选：A ．设C(x,y)，由C 为靠近点B 的线段AB 的三等分点得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后列关于x 、y 的方程组，求得x 、y 可求得点C 对应复数．本题考查复数表示方法及几何意义，考查数学运算能力，属于基础题．【解析】解：根据正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，根据三垂线定理： 由于：B 1D ⊥AD 1，B 1D ⊥D 1C ，故B 1D ⊥平面ACD 1，所以成的角为α=π2， B 1D 与BC 所成的角为β，设正方体的棱长为1，所以B 1D =√3，DC 1=√2，故cosβ=√3，故sinβ=√63，cos(α−β)=cos(π2−β)=sinβ=√63． 故选：B ．直接利用线面夹角和线线夹角的应用，三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：线面夹角和线线夹角的应用，三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意可知，P(A)=P(B)=612=12，P(C)=212=16，P(D)=412=13， P(AB)=212=16，P(BC)=112，P(CD)=0，P(AD)=112，P(BD)=312=14， 因为P(A)P(B)=12×12=14≠P(AB)，所以A 与B 不独立，故选项A 错误； 因为P(A)P(D)=12×13=16≠P(AD)，所以A 与D 不独立，故选项B 错误； 因为P(B)P(C)=12×16=112=P(BC)，所以B 与C 相互独立，故选项C 正确； 因为P(B)P(D)=12×13=16≠P(BD)，所以B 与D 不独立，故选项D 错误． 故选：C ．先利用古典概型的概率公式分别求出P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(AB)，P(BC)，P(CD)，P(AD)，P(BD)，然后再利用相互独立事件的概率公式依次判断四个选项，即可得到答案．本题考查了古典概型概率公式的应用以及相互独立事件的概率公式的应用，考查了理解推理能力，属于基础题．【解析】解：由题意，R=“两次都摸到红球”，R1=“第一次摸到红球”，所以R⊆R1，故选项A错误；因为R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，所以R∩G=⌀，故选项B正确；因为R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两球颜色相同”，故R或G表示摸的两个球的颜色相同，所以R∪G=M，故选项C正确；因为M=“两球颜色相同”，N=“两球颜色不同”，由对立事件的定义可知，M=N−，故选项D正确．故选：BCD．利用事件的含义以及对立事件的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了事件含义的理解与应用，对立事件定理的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：显然|b⃗ |≠0，当a⃗//b⃗ 时，有1×cosθ−1×sinθ=0，即sinθ=cosθ，所以tanθ=1，选项A正确．|a⃗+b⃗ |=√(1+cosθ)2+(1+sinθ)2=√3+2√2sin(θ+π4)，所以|a⃗+b⃗ |的最大值为√3+2√2，选项B错误，|a⃗−b⃗ |=√(1−cosθ)2+(1−sinθ)2=√3−2√2sin(θ+π4)，所以|a⃗−b⃗ |的最大值为√3+2√2，选项C错误，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |，则√3+2√2sin(θ+π4)=√2+1，即3+2√2sin(θ+π4)=3+2√2，所以sin(θ+π4)=1，又0≤θ≤π，所以θ=π4，选项D正确．故选：AD．根据两向量平行的充要条件即可判断选项A；又|a⃗+b⃗ |= +cosθ)2+(1+sinθ)2=3+22sin(θ+π)，⃗√(1−cosθ)2+(1−sinθ)2=√3−2√2sin(θ+π4)，从而可判断选项B、C；若|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |，则√3+2√2sin(θ+π4)=√2+1，解出θ的值即可判断选项D．本题考查平面向量的坐标运算与向量的模，考查学生的逻辑推理和运算求解能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：因为袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，所以第一次摸到红球的概率为25，故选项A正确；若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为25×14=110，若第一次摸到黄球，则第二次摸到红球的概率为35×24=310，所以第二次摸到红球的概率为25，故选项B正确；由选项B的分析可知，两次都摸到红球的概率为25×14=110，故选项C错误；两次都摸到黄球的概率为35×24=310，故选项D正确．故选：ABD．利用古典概型的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了古典概型的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：对于A，假设BC⊥平面EAB，于是BC⊥BE，即∠CBE=90°，由对称性可知，六边形CBEMQG为正六边形，∠CBE=120°，矛盾，故A错误；对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为23−13×12×1×1×1=203，故B正确；对于C，取正方形ACPM对角线交点O，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为R=√2，其体积V=43π×(√2)3=8√23π，故C正确；对于D，分别取MN、AB的中点R、T，连接ER、ET，则∠RET为平面EMN与平面EAB所成二面角的平面角，又平面GCD//平面EMN，所以∠RET为平面EAB与平面CDG所成二面角的平面角，由已知可得RT=2，ER=ET=√2−12=√62，不满足ER2+ET2=RT2，即平面EAB与平面CDG不垂直，故D错误．故选：BC．用反证法思想判断A；补齐八个角成正方体，再计算体积判断B；先找到球心与半径，再计算体积判断C；找到平面与平面所成角，再由勾股定理判断D．本题考查了正方体的性质，考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查多面体及其外接球体积的求法，属于中档题．13.【答案】−1±i【解析】解：由求根公式可得，x=−2±√22−4×1×22=−2±2i2=−1±i．故答案为：−1±i．利用求根公式以及虚数单位的定义求解即可．本题考查了实系数一元二次方程的复数根的求解，属于基础题．14.【答案】18π【解析】解：因为圆台的底半径为2，下底半径为4，圆台的高为√5，所以圆台的母线长为√(√5)2+(4−2)2=3，故圆台的侧面积为π(2×3+4×3)=18π．故答案为：18π．利用圆台的几何性质，求出母线长，然后由圆台的侧面积公式求解即可．本题考查了圆台的几何性质的应用，圆台侧面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．15.【答案】(−12,−12)【解析】解：∵a⃗=(1,1),b⃗ =(−2,1)，∴a⃗⋅b⃗ =−2+1=−1，∴b⃗ 在a⃗上的投影向量为：a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅a⃗|a⃗ |=−12(1,1)=(−12,−12)．故答案为：(−12,−12)．可求出a⃗⋅b⃗ =−1，然后将向量a⃗的坐标代入a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅a⃗|a⃗ |即可得出答案．本题考查了投影向量的定义及求法，向量坐标的数量积和数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】√26−√2【解析】解：如图：∵∠APB=3π4，∴P在如图所示圆O上，由圆周角的性质可得∠ADB=π−3π4=π4，∠AOB=π4×2=π2，∠OBA=∠OAB=π4，连接OC，可得OP+CP>OC，所以当P为OC与圆的交点时，CP取最小值，即CP=OC−OP，又OB=OP=2sin45°=√2，∴OC=√12+(4+1)2=√26，∴CP的最小值为√26−√2．故答案为：√26−√2．可先由∠APB=3π4确定点P在圆O的圆弧上，再由圆周角的性质得到△AOB是等腰直角三角形．根据三角形边的不等关系进行求解即可．本题考查了三角形的动点问题，圆周角以及三角形三边的不等关系的综合应用．属于中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，因为P 、Q 分别为BC 、CD 的中点，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 于是AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−12μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由平面向量基本定理，得{λ−12μ=112λ+μ=1解得λ=65，μ=25．(2)由(1)可知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√AB 2+14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2×12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√212； |BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2×12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1； AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−12×22+34×2×1×cos60°+12×12=−34． 所以cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AP⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−34√212×1=−√2114．【解析】(1)根据题意，由向量的线性运算法则，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由平面向量基本定理可得关于λ、μ的方程组，进而计算可得答案；(2)根据题意，求出AP⃗⃗⃗⃗⃗ 与BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模以及AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，由向量夹角公式计算可得答案． 本题考查向量数量积的性质以及计算，涉及向量夹角的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥PC ．因为C 是以AB 为直径的圆O 上的点， 所以AC ⊥BC ． 又PC ∩BC =C ， 所以AC ⊥平面PBC ．因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以EF//AC ． 所以EF ⊥平面PBC ．又EF ⊂平面BEF ，故平面BEF ⊥平面PBC ． (2)EF//l ．证明如下：由(1)，EF//AC.又AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， 所以EF//平面ABC ．又EF ⊂平面BEF ，平面BEF ∩平面ABC =l ， 所以EF//l ．【解析】(1)推导出AC ⊥PC ，AC ⊥BC ，AC ⊥平面PBC ，从而EF//AC ，进而EF ⊥平面PBC ，由此能证明平面BEF ⊥平面PBC ．(2)推导出EF//AC ，EF//平面ABC ，由此能证明EF//l ．本题考查面面垂直的证明，考查线线关系的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意可得，{(1−p)(1−q)=16p(1−q)+(1−p)q =12，解得pq =13，p +q =76，所以p ，q 是方程x 2−76x +13=0的两个实根， 又p >q ，解得p =23，q =12；(2)设A 1，A 2分别表示甲两轮猜对1个，2个谜语的事件， B 1，B 2分别表示乙两轮猜对1个，2个谜语的事件， 则P(A 1)=23×13+13×23=49， P(A 2)=23×23=49， P(B 1)=12×12+12×12=12， P(B 2)=12×12=14，设M 表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件， 由题意，P(M)=P(A 1B 2∪A 2B 1)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=49×14+49×12=13．【解析】(1)利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率公式，列出方程组，求解即可．(2)利用相互独立事件的概率公式以及分类计数原理进行分析求解，即可得到答案．本题考查了对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率公式的应用，分类计数原理的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由bcosA+√3bsinA=c+a，及正弦定理，得sinBcosA+√3sinBsinA=sinC+sinA，①因为C=π−(A+B)，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，②将②代入①得sinBcosA+√3sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB+sinA，即√3sinBsinA=sinAcosB+sinA．又sinA≠0，所以有√3sinB=cosB+1，即2√3sin B2cos B2=2cos2B2．因为B2∈(0,π2)，所以cos B2≠0，于是有√3sin B2=cos B2，即tan B2=√33．又B2∈(0,π2)，所以B2=π6，即B=π3．(2)由△ABC的面积为√3，得12acsinπ3=√3，即ac=4，由余弦定理，得b2=a2+c2−2accosπ3，即(a+c)2−2ac(1+cosπ3)=b2．将ac=4，b=2代入上式，得(a+c)2−2×4×(1+12)=4．解得a+c=4．所以a，c是方程x2−4x+4=0的两个实根，显然a=c=2．【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan B2=√33，由范围B2∈(0,π2)，即可求解B的值．(2)由已知利用三角形的面积公式可求ac=4，由余弦定理解得a+c=4，从而解答a，c的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)取线段AC的中点E，连接BE，C′B，C′E，则平面BEC′//平面AB′D(BE,C′B,C′E即为应画的线)．证明如下：∵D为A′C′的中点，E为AC的中点，∴AE=DC′，且AE//DC′，则四边形AEC′D为平行四边形，得DA//C′E．又DA⊂平面AB′D，C′E⊄平面AB′D，∴C′E//平面AB′D．连接DE，则DE//AA′，DE=AA′．又BB′//AA′，BB′=AA′，∴DE//BB′，DE=BB′，得四边形DEBB′是平行四边形，∴BE//B′D．又B′D⊂平面AB′D，BE⊄平面AB′D，∴BE//平面AB′D．又C′E∩BE=E，C′E⊂平面BEC′，BE⊂平面BEC′，故平面BEC′//平面AB′D；(2)设棱柱ABC−A′B′C′的底面积为S，高为h，则V三棱柱=Sℎ=30．V三棱锥A−A′BD =V三棱锥C′−BCE=13×(12S)×ℎ=16Sℎ=5．∴三棱柱夹在平面BEC′与平面AB′D之间部分的体积：V=V三菱柱ABC−A′B′C ′−V三棱锥A−A′B′D−V三棱锥C′−BCE=30−5−5=20．【解析】(1)取线段AC的中点E，连接BE，C′B，C′E，由面面平行的判定可证平面BEC′//平面AB′D；(2)由已知三棱柱的体积可求得三棱锥A−A′B′D与三棱锥C′−CBE的体积，作差即可求得棱柱在所作截面与平面AB′D之间部分的体积．本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．22.【答案】解：(1)因为频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，所以4×0.06+4×0.08+4×0.04+4×0.04+4×0.02+4×a+4×a=1，解得a=0.005．该市居民月均用水量的平均值：x−=3.2×(4×0.06)+7.2×(4×0.08)+11.2×(4×0.08)+11.2×(4×0.04)+ 15.2×(4×0.04)+19.2×(4×0.02)+23.3×(4×0.05)=9.84．(2)由频率分布直方图知月均用水量在13.2t以下的居民用户所占的比例为4×0.06+4×0.08+4×0.04=0.72．月均用水量在17.2t以下的居民用户所占的比例为0.72+4×0.04=0.88．=15.2．因此，第80百分位数一定位于[13.2,17.2)内，13.2+4×0.8−0.720.88−0.72因此，要使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，一户居民月均用水量的标准A 为15.2t．【解析】(1)利用频率分布直方图能求出a和平均数；(2)求出月均用水量小于13.2吨和小于17.2吨的百分比，计算出有80%的居民每月用水量不超过标准的值本题考查频数、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2024届新疆喀什第二中学数学高一下期末经典试题含解析
2024届新疆喀什第二中学数学高一下期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．13B ．32C ．34D ．32．数列{}n a 中，若12a =，123n n a a +=+，则10a =（ ） A ．29B ．2563C ．2569D ．25573．在区间[1,4]-内随机取一个实数a ，使得关于x 的方程2420x x a ++=有实数根的概率为（ ） A ．25B ．13C ．35D ．234．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，若51238a a =，则当n S 取最大值时，n 的值为（ ） A ．15B ．16C ．17D ．185．在等比数列{}n a 中，212a =，68a =，则4a =（ ） A ．4 B ．2 C ．4±D ．2±6．设M 和m 分别表示函数11cos 3y x =-+的最大值和最小值，则M m +等于（ ） A ．23B ．23-C ．2-D ．34-7．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则6a 等于是（ ） A ．4±B ．4C ．14±D ．148．过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=9．已知数列12:,,,n A a a a ⋅⋅⋅（120n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，3n ≥）具有性质P ：对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，对于命题： ① 若数列A 具有性质P ，则10a =；② 若数列1a ，2a ，3a （1230a a a ≤<<）具有性质P ，则1322a a a +=； 下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题10．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ） A ．45B ．925C ．1225D ．1325二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一数学下学期期末考试试题 33
卜人入州八九几市潮王学校奋斗二零二零—二零二壹第二学期期末考试题高一数学一、选择题:〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共计60分〕1.集合{}|(4)(2)0 M x x x =-+≥，{}|3 3 N x x =-≤<，那么M N ⋂=〔〕 A .[)3,3-B .[]3,2--C .[]2,2-D .[)2,32.经过点()3,0A 且直线斜率1k =的直线方程是〔〕A .30x y +-=B .30x y --=C .30x y ++=D .30x y -+=3.以()2,3C -为圆心，且过点()5,1B -的圆的方程为〔〕A .()()222325x y -++=B .()()222365x y ++-=C .()()222353x y ++-=D .()()222313x y -++=4.点A 在z 轴上，它到点()22,5,1的间隔是13，那么点A 的坐标是〔〕 A .()0,0,1-B .()0,0,0C .()0,0,1D .()0,0,135.某几何体的三视图如下列图〔单位：cm 〕，那么该几何体的体积〔单位：cm 3〕是() A .B C .D6.过点A(3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线方程为〔〕A .221+=x y B .72+-=x y C .2521+=x y D .2321+=x y 7.m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出β⊥m 的是〔〕 A .αβ⊥且m α⊥B .αβ⊥且α//mC .n m ⊥且//n βD .n m //且β⊥n8.两直线20ax y -+=与()210x a y a -++=平行，那么a =〔〕A .2-B .0C .2-或者1D .19.九章算术中,将底面为正方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;四棱锥P ABCD -为阳马；PA ⊥平面ABCD ,2,PA AB ==底面ABCD 为正方形，四棱锥P ABCD -四个顶点都在球O 的球面上,那么球O 的外表积为()A .πB πC 0πD .24π10.当点P 在圆221xy +=上变动时，它与定点()3,0Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是() A .()2234x y ++=B .()222341x y -+=C .()2231x y -+=D .()222341x y ++=11.如图，三棱柱111A B C ABC -中，1AA ⊥底面111A B C ,底面111A B C 是正三角形，E 是BC 的中点，那么以下表达正确的选项是〔〕A .1CC 与1B E 是异面直线.B .AE ,11BC 为异面直线，且AE ⊥11B C .C .AC ⊥平面11A B BAD .11A C //平面1AB E20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(1)2x y +-=上，那么ABP ∆面积的取值范围〔〕A .[]2,6B .[]1,5C .232,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .2,32⎡⎤⎣⎦ 二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共计20分〕,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩那么z x y =+的最小值为_______.()2,4A 与点B 关于直线:30l x y -+=对称，那么点B 的坐标为_____.)0,2(的圆C 与圆046422=+-++y x y x 相外切，那么圆C 的方程为 __________.16.如图，边长为2的正方体1111D C B A ABCD -，点E 为线段1CD 的中点，那么直线AE 与平面11BCD A 所成角的正切值为__________.三、解答题：〔本大题一一共6题，一共计70分〕17.〔此题总分值是10分〕ABC ∆的顶点)5,0(A ,)2,1(-B ,)4,3(--C . 〔1〕假设D 为BC 的中点，求线段AD 的长． 〔2〕求AB 边上的高所在的直线方程．18.〔此题总分值是12分〕记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，33-=a ，153-=S ． (1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.19.〔此题总分值是12分〕在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，5a =，ABC ∆的面积为103.〔1〕求,b c 的值；〔2〕求cos()3B π-的值.20.〔此题总分值是12分〕圆C 圆心在直线30x y -=上，且经过点()2,3A -，()1,0B -. 〔1〕求圆C 的方程；(2)求圆C 与圆M :122=+y x 的公一共弦的长.21. 〔此题总分值是12分〕在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆是边长为2的等边三角形，2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点.〔1〕求证：//OD 平面PAC ；〔2〕求证:OP ⊥平面ABC ；22.〔此题总分值是12分〕圆22C :8120x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=．〔1〕当直线l 与圆C 相切，求a 的值；〔2〕当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =时，求直线l 的方程．。
2019年最新高一第二学期数学期末试卷33及答案解析
高一第二学期数学期末试卷及答案解析高中数学考试时间：100分钟 考试范围：xxx姓名：__________班级：__________考号：__________△注意事项：1.填写答题卡请使用2B 铅笔填涂2.提前5分钟收答题卡一 、选择题（本大题共18小题，每小题5分，共90分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A ．22B ．55C ．1010D ．3222.直线310x y +-=的倾斜角是（ ）A ．1arctan 3；B ．arctan3；C ．1arctan 3π-；D ．arctan3π-。
3.设有直线和平面、.下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥,n ∥,则m ∥nB ．若m ,n ,m ∥,n ∥,则∥C ．若，m ,则mD ．若，m，m,则m ∥4.在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D与底面所成的角分别为60°和 45°，则异面直线 B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为（ ）A ．46 B ．36 C ．62 D ．63 5.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sinC ．1sin 2D ． 1sin 26.已知A 、B 是球心为O 的球面上的两点,在空间直角坐标系中,它们的坐标分别为O(0,0,0),()1,1,2-A,()2,2,0B 则A 、B 两点在该球面上的最短距离是( ) A. π32 B. π C. 2π D. 3π7.如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误．．的为（ ） . . ∥截面. . 异面直线与所成的角为8.直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（ ）A. 相离;B. 相交;C. 相切;D. 无法判定.9.（08年三校联考文） 长方体一个顶点上三条棱的长分别是6、8、10，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ） A. B.C.D.10.已知两条直线l 1:y ＝x ，l 2:ax –y ＝0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0，2π)内变动时，a 的取值范围是 A ．(0，1) B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3)D ．(1，3)11.直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直ABCD PQMN A AC BD ⊥B AC PQMN C AC BD =D PM BD 45C ．斜交D ．与,,a b θ的值有关12.三棱锥P —ABC 中，若PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，那么在三棱锥的侧面和底面中，直角三角形的个数为A ．4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个13.四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的表面积为 A.2222S a a =+ B. 2223S a a =+ C. 2242S a a = D. 2233S a a =+14.某四棱太的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是A ．4B ．错误!未找到引用源。
2022-2023学年浙江省丽水市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省丽水市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i 是虚数单位，复数i （1﹣2i ）＝（ ） A ．1+2iB ．1﹣2iC ．2+iD ．2﹣i2．已知向量a →=(1，2)，b →=(cosθ，sinθ)，且向量a →与b →平行，则tan θ的值为（ ） A ．−12B ．﹣2C ．12D ．23．甲、乙两人进行射击比赛，甲的中靶概率为0.4，乙的中靶概率为0.5，则两人各射击一次，恰有一人中靶的概率是（ ） A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.94．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差5．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）A ．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人B ．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人C ．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人D ．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多6．如图，A 、B 、C 三点在半径为1的圆O 上运动，且AC ⊥BC ，M 是圆O 外一点，OM ＝2，则|MA →+MB →+2MC →|的最大值是（ ）A ．5B ．8C ．10D ．127．一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，从中一次性随机摸出2个球，则下列说法正确的是（ ）A ．“恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”是互斥事件B ．“恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”是对立事件C ．“至少摸到1个红球”的概率大于“至少摸到1个白球”的概率D ．“恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个白球”是相互独立事件 8．将函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象向右平移π3ω个单位得到函数y ＝g （x ）的图象，点A ，B ，C 是y＝f （x ）与y ＝g （x ）图象的连续相邻的三个交点，若△ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，√33π)B ．(0，√22π)C ．(√33π，+∞)D ．(√22π，+∞)二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分．9．已知复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）在复平面内对应的点为Z ，则下列结论中正确的是（ ） A ．|z |2＝a 2+b 2 B ．z 2＝a 2+b 2C ．z ⋅z =a 2+b 2D ．|OZ →|2=a 2+b 210．已知m ，n 是异面直线，α，β是不同的平面，m ⊥α，n ⊥β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则下列关系不可能成立的是（ ） A ．α∥βB ．α⊥βC ．l ∥αD ．l ⊥α11．已知a →，b →是单位向量，则下列命题正确的是（ ） A ．若a →=(−√32，t)，则t =12B ．若a →，b →不共线，则(a →+b →)⊥(a →−b →) C ．若|a →−b →|≥√3，则a →，b →夹角的最小值是2π3D ．若a →，b →的夹角是3π4，则b →在a →上的投影向量是√22a →12．如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，BD ＝2，DE ＝1，点P 是线段EF 上的动点，则下列命题中正确的是（ ）A ．不存在点P ，使得直线DP ∥平面ACFB ．直线DP 与BC 所成角余弦值的取值范围是[0，√105] C ．直线DP 与平面ACF 所成角的取值范围是[0，π4]D ．三棱锥A ﹣CDE 的外接球被平面ACF 所截得的截面面积是9π8三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．13．若圆锥的母线长为2，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是 ． 14．已知tan α＝2，则sinα+2cosαsinα−cosα= ．15．如图，平面四边形ABCD 的斜二测直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′，A ′D ′＝D ′C ′＝1，那么原平面四边形中的边BC 的长是 ．16．如图，测量河对岸的塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个基点C 和D 进行测量，现测得CD ＝28米，∠CBD ＝30°，在点C 和D 测得塔顶A 的仰角分别为45°，30°，则塔高AB ＝ 米．17．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体．若该多面体的表面积是14√3，则该多面体外接球的表面积是 ．18．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD →=λAB →+μAC →，若AD →=5AF →，则λ﹣μ的值是 ．四、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（12分）杭州2022年第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行．随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升．为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神，某大学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图求出这100名学生中成绩低于60分的人数； （2）试估计这100名学生成绩的第75百分位数；（3）若采用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人成绩都在[80，100]的概率．20．（12分）已知函数f(x)=sin(x +π6)+sin(x −π6)+cosx +a 的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求使f(x)≥√3−1成立的x 的取值集合．21．（12分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AA 1、B 1C 1的中点，DC 1⊥BD ，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2．（1）求证：BC ⊥平面AA 1C 1C ； （2）求点E 到平面C 1BD 的距离．22．（12分）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD →=2DC →，BD ＝2，且（a ﹣c ）sin （A +B ）＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ）． （1）求B ；（2）当2a +c 取最大值时，求△ABC 的周长．23．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝2CD ＝4，P A ⊥CD ，在锐角△P AD 中，AD =PD =3√2，点E 在PD 上，PE ＝2ED ． （1）求证：PB ∥平面ACE ；（2）若AC 与平面PCD 所成的角为30°，求二面角P ﹣AC ﹣E 的正切值．2022-2023学年浙江省丽水市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i 是虚数单位，复数i （1﹣2i ）＝（ ） A ．1+2iB ．1﹣2iC ．2+iD ．2﹣i解：复数i （1﹣2i ）＝i ﹣2i 2＝2+i ， 故选：C ．2．已知向量a →=(1，2)，b →=(cosθ，sinθ)，且向量a →与b →平行，则tan θ的值为（ ） A ．−12B ．﹣2C ．12D ．2解：向量a →=(1，2)，b →=(cosθ，sinθ)，且向量a →与b →平行，则sin θ＝2cos θ，故tan θ=sinθcosθ=2． 故选：D ．3．甲、乙两人进行射击比赛，甲的中靶概率为0.4，乙的中靶概率为0.5，则两人各射击一次，恰有一人中靶的概率是（ ） A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.9解：记甲中靶为事件A ，乙中靶为事件B ，则P(A)=0.4，P(A)=1−0.4=0.6，P(B)=0.5，P(B)=1−0.5=0.5， 甲乙两人各射击一次恰有一人中靶，分甲中乙不中和甲不中乙中两种情况， 则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率为P =P(A)⋅P(B)+P(B)⋅P(A)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5． 故选：C ．4．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选：A ．5．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）A ．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人B ．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人C ．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人D ．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多解：由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200×（45%﹣30%）＝30，A 正确； 由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为200×45%×12=45＜50，B 正确；成绩前50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2＝18，因此高三最多有32人，C 正确；第51到100名的50人中，高一人数为200×45%×0.3＝27，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D 错误． 故选：D ．6．如图，A 、B 、C 三点在半径为1的圆O 上运动，且AC ⊥BC ，M 是圆O 外一点，OM ＝2，则|MA →+MB →+2MC →|的最大值是（ ）A ．5B ．8C ．10D ．12解：连接AB ，如下图所示：因为AC ⊥BC ，则AB 为圆O 的一条直径，故O 为AB 的中点，所以，MA →+MB →=(MO →+OA →)+(MO →+OB →)=2MO →，所以，|MA →+MB →+2MC →|=|2MO →+2(MO →+OC →)|=|4MO →+2OC →|≤4|MO →|+2|OC →| ＝4×2+2×1＝10，当且仅当M 、O 、C 共线且MO →、OC →同向时，等号成立， 因此，|MA →+MB →+2MC →|的最大值为10． 故选：C ．7．一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，从中一次性随机摸出2个球，则下列说法正确的是（ ）A ．“恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”是互斥事件B ．“恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”是对立事件C ．“至少摸到1个红球”的概率大于“至少摸到1个白球”的概率D ．“恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个白球”是相互独立事件解：对于A 选项，“恰好摸到1个红球”为1红1白，“至少摸到1个白球”包含：1红1白、2白， 所以“恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”不是互斥事件，A 错；对于B 选项，“恰好没摸到红球”为2白，“至多摸到1个白球”包含：2红、1红1白， 所以“恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”是对立事件，B 对； 对于C 选项，2个红球分别记为a 、b ，2个白球分别记为A 、B ，从2个红球和2个白球中一次性随机摸出2个球，所有的基本事件有：ab 、aA 、aB 、bA 、bB 、AB ， 其中事件“至少摸到1个红球”包含的基本事件有：ab 、aA 、aB 、bA 、bB ，其概率为56，事件“至少摸到1个白球”包含的基本事件有：aA 、aB 、bA 、bB 、AB ，其概率为56，所以“至少摸到1个红球”的概率等于“至少摸到1个白球”的概率，C 错； 对于D 选项，记事件E ：恰好摸到2个红球，事件F ：恰好摸到2个白球， 则P(E)=P(F)=16，P （EF ）＝0，则P （EF ）≠P （E ）•P （F ），所以“恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个白球”不是相互独立事件，D 错． 故选：B ．8．将函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象向右平移π3ω个单位得到函数y ＝g （x ）的图象，点A ，B ，C 是y＝f （x ）与y ＝g （x ）图象的连续相邻的三个交点，若△ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，√33π)B ．(0，√22π)C ．(√33π，+∞)D ．(√22π，+∞)解：依题意，g(x)=f(x −π3ω)=sin[ω(x −π3ω)]=sin(ωx −π3)，函数y ＝f （x ），y ＝g （x ）周期T =2πω， 在同一坐标系内作出函数y ＝f （x ），y ＝g （x ）的图象，如图，A ，B ，C 为连续三交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点， 由对称性知，△ABC 是以AC 为底边的等腰三角形，2AD =AC =T =2πω， 由sinωx =sin(ωx −π3)，整理得sinωx =−√3cosωx ， 又sin 2ωx +cos 2ωx ＝1，解得sinωx =±√32，于是点A ，B 的纵坐标y A ，y B 有y A =−y B =√32，即BD =2|y B |=√3，要使△ABC 为锐角三角形，当且仅当π4＜∠BAC ＜π2， 即tan ∠BAC =BD AD =√3ωπ＞1，解得ω＞√33π， 所以ω的取值范围是(√33π，+∞)．故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分．9．已知复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）在复平面内对应的点为Z ，则下列结论中正确的是（ ） A ．|z |2＝a 2+b 2 B ．z 2＝a 2+b 2C ．z ⋅z =a 2+b 2D ．|OZ →|2=a 2+b 2解：因为z ＝a +bi （a ，b ∈R ），故|z|=|OZ →|=√a 2+b 2，故|OZ →|2=a 2+b 2，|z |2＝a 2+b 2 而z ⋅z =(a +bi)(a −bi)=a 2+b 2，故ACD 正确．取a ＝1，b ＝1，故z ＝1+i ，则z 2＝2i ，a 2+b 2＝2，z 2≠a 2+b 2，故B 错误． 故选：ACD ．10．已知m ，n 是异面直线，α，β是不同的平面，m ⊥α，n ⊥β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则下列关系不可能成立的是（ ）A ．α∥βB ．α⊥βC ．l ∥αD ．l ⊥α解：若α∥β，m ⊥α可得m ⊥β，又n ⊥β，可得m ∥n ，与m ，n 是异面直线矛盾，故A 不可能成立； 若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 可能异面或相交，故B 可能成立； 当m ⊥α，n ⊥β，直线 l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，当直线与两个平面的交线平行且在平面外时，满足l ∥α，如图，故C 可能成立；当l ⊥α时，由m ⊥α知m ∥l ，这与l ⊥m 矛盾，故D 不可能成立． 故选：AD ．11．已知a →，b →是单位向量，则下列命题正确的是（ ） A ．若a →=(−√32，t)，则t =12B ．若a →，b →不共线，则(a →+b →)⊥(a →−b →) C ．若|a →−b →|≥√3，则a →，b →夹角的最小值是2π3D ．若a →，b →的夹角是3π4，则b →在a →上的投影向量是√22a →解：对于选项A ，因为向量a →是单位向量， 所以|a →|=√(−√32)2+t 2=1，得t =±12，故选项A 错误；对于选项B ，(a →+b →)⋅(a →−b →)=a →2−b →2=1−1=0，所以(a →+b →)⊥(a →−b →)，故选项B 正确； 对于选项C ，|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√2−2cos〈a →，b →〉≥√3，得cos〈a →，b →〉≤−12，则〈a →，b →〉∈[2π3，π]，所以a →，b →夹角的最小值是2π3，故选项C 正确；对于选项D ，b →在a →上的投影向量是|b →|cos〈a →，b →〉a →=−√22a →，故选项D 错误．故选：BC ．12．如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，BD ＝2，DE ＝1，点P 是线段EF 上的动点，则下列命题中正确的是（ ）A ．不存在点P ，使得直线DP ∥平面ACFB ．直线DP 与BC 所成角余弦值的取值范围是[0，√105] C ．直线DP 与平面ACF 所成角的取值范围是[0，π4]D ．三棱锥A ﹣CDE 的外接球被平面ACF 所截得的截面面积是9π8解：取EF 中点G ，连DG ，令AC ∩BD ＝O ，连FO ，如图，在正方形ABCD 中，O 为BD 中点，而BDEF 是矩形，则DO ∥GF 且DO ＝GF ， 即四边形DGFO 是平行四边形，即有DG ∥FO ，而FO ⊂平面ACF ， DG ⊄平面ACF ，于是得DG ∥平面ACF ，当点P 与G 重合时，直线DP ∥平面ACF ，故A 错误； 因平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ， ED ⊥BD ，ED ⊂平面BDEF ，所以ED ⊥平面ABCD ， 因为BF ∥ED ，所以BF ⊥平面ABCD ， 因为AD ，AB ，BC ，BD ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥AD ，ED ⊥BD ，BF ⊥AB ，BF ⊥BC ，因为BD ＝2，DE ＝1， 所以AD =√2，EA =√3，DF =√5，AF =CF =√3，又BC ∥AD ，所以直线DP 与BC 所成角为∠ADP （或其补角），因为DA ⋅DP →=DA →⋅(DE →+EP)=DA ⋅(DE →+λEF)=λDA ⋅DB →=2√2λcos45°=2λ(0≤λ≤1)， 而|DP →|2=(DE →+λEF →)2=1+4λ2，|DA →|=√2，所以|DP →|=√1+4λ2，当λ＝0时，cos∠ADP=DA→⋅DP→|DA→|⋅|DP→|=2λ√2√1+4λ=0，当0＜λ≤1时，cos∠ADP=DA→⋅DP→|DA→|⋅|DP→|=2λ√2√1+4λ=2√2√4+1λ2≤22⋅5=√105，综上，0≤cos∠ADP≤√105故B正确；设D到平面ACF的距离为d，因为AF=FC=√3，AC＝BD＝2，所以S△AFC=12AC⋅OF=12×2×√2=√2，又S△ABC=12AB⋅BC=12×√2×√2=1，由等体积法，V B−AFC=V F−ABC=13dS△AFC=13FB⋅S△ABC，即√2d=1，解得d=√22，设直线DP与平面ACF所成角为θ，当P与G重合时，直线DP∥平面ACF，直线DP与平面ACF所成角θ＝0，当P点由G向E，F运动时，θ变大，当运动到E时，因为DE∥BF，所以sinθ=dBF=√22，由0≤θ≤π2知，θ=π4，当运动到F时，sinθ=dDF=√22√5=√1010＜√22，综上知，θ∈[0，π4]，故C正确；在△ACF中，AF=CF=√BC2+BF2=√3，显然有FO⊥AC，sin∠FAC=FOAF =√BO2+BF2AF=√23，由正弦定理得△ACF外接圆直径2R=CFsin∠FAC=3√2，R=32√2，以DA，DC，DE为长宽高作长方体，如图，则三棱锥A﹣CDE的外接球即为长方体的外接球，三棱锥A﹣CDE的外接球被平面ACF所截得的截面是△ACF的外接圆，其面积为πR2=9π8，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．13．若圆锥的母线长为2，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是 2√23π ．解：因为圆锥的母线长为2，轴截面是等腰直角三角形， 故圆锥的高为√2且底面半径为√2， 故体积为13×π×(√2)2×√2=2√23π．故答案为：2√23π． 14．已知tan α＝2，则sinα+2cosαsinα−cosα= 4 ． 解：∵tan α＝2，则 sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1=2+22−1=4，故答案为：4．15．如图，平面四边形ABCD 的斜二测直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′，A ′D ′＝D ′C ′＝1，那么原平面四边形中的边BC 的长是 √6 ．解：在等腰梯形A ′B ′C ′D ′中，∠D ′A ′B ′＝45°，A ′D ′＝D ′C ′＝1， 则A ′B ′=2⋅A ′D ′cos ∠D ′A ′B ′+D ′C ′=√2+1， 由斜二测画法规则知，四边形ABCD 的顶点A 与原点O 重合，点B ，D 分别在x 轴、y 轴上，DC ∥AB ，且AD =2A ′D ′=2，DC =D ′C ′=1，AB =A ′B ′=√2+1，如图，显然四边形ABCD 为直角梯形，于是得BC =√AD 2+(AB −DC)2=√6． 故答案为：√6．16．如图，测量河对岸的塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个基点C 和D 进行测量，现测得CD ＝28米，∠CBD ＝30°，在点C 和D 测得塔顶A 的仰角分别为45°，30°，则塔高AB ＝ 28 米．解：设AB ＝h 米，在△ABC 中，BC =ABtan45°=ℎ， 在△ABD 中，BD =ABtan30°=√3ℎ，在△BCD 中，CD 2＝CB 2+DB 2﹣2CB •DB •cos30°， 即282=ℎ2+(√3ℎ)2−2ℎ⋅√3ℎ⋅√32， 所以h 2＝282， 解得h ＝28（米）． 故答案为：28．17．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体．若该多面体的表面积是14√3，则该多面体外接球的表面积是 11π ．解：由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的13，设原正四面体的棱长为a ，则其表面积为4×√34×a 2=√3a 2，由图易知该多面体与原正四面体相比较，表面积少了8个边长为13a 的正三角形的面积， 所以该多面体的表面积为√3a 2−8×√34×(13a)2=7√3a 29=14√3，所以a =3√2． 如图，O 1是下底面正六边形ABCDEF 的中心，O 2是上底面正三角形MNG 的中心，由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心O 在原正四面体的高PO 1上， O 2G =√2×√32×23=√63，O 1O 2=23PO 1=23√(3√2)2−(3√2×√32×23)2=4√33．设球O 的半径为R ，在Rt △OO 1A 中，OA 2=O 1A 2+OO 12，所以R 2=2+OO 12，在Rt △OO 2G 中，OG 2=OO 22+O 2G 2，所以R 2=O 2G 2+(4√33−OO 1)2=23+(4√33−OO 1)2， 所以OO 12+2=23+(4√33−OO 1)2，解得OO 1=√32，所以R =√OO 12+2=√112，所以该多面体外接球的表面积S ＝4πR 2＝11π． 故答案为：11π．18．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD →=λAB →+μAC →，若AD →=5AF →，则λ﹣μ的值是2031．解：∵AD →=5AF →， 不妨设DF ＝4AF ＝4， ∴BD ＝AF ＝1，AD ＝5， 由题意得∠ADB ＝120°，∴AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB =25+1−2×5×1×(−12)=31， ∴AB =√31，延长AD 交BC 于M ， 记∠AMB ＝α，∠DAB ＝θ，则cosθ=AD 2+AB 2−BD 22AD⋅AB=2×5×31=11√3162，∴sinθ=√9362，又由题意易知∠DBM ＝∠DAB ，则α＝120°﹣θ， 在三角形DBM 中，由正弦定理得BM sin∠MDB=DM sin∠DBM=BD sin∠DMB，即BM sin60°=DMsinθ=1sin(120°−θ)，DM =sinθsin(120°−θ) =sinθ32cosθ+12sinθ=16，∴BM =sin60°sin(120°−θ)=√32√32cosθ+12sinθ=√316=16BC ， ∴AM =AD +DM =316， AD =3031AM ，∵BM →=16BC →，即AM →−AB →=16(AC →−AB →)，整理得AM →=56AB →+16AC →，所以AD →=3031AM →=3031(56AB →+16AC →)=2531AB →+531AC →，又∵AD →=λAB →+μAC →， 则λ=2531，μ=531， ∴λ−μ=2031． 故答案为：2031．四、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（12分）杭州2022年第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行．随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升．为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神，某大学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图求出这100名学生中成绩低于60分的人数； （2）试估计这100名学生成绩的第75百分位数；（3）若采用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人成绩都在[80，100]的概率．解：（1）由频率分布直方图中数据可知：（0.002+0.016）×10×100＝18（人）（2）成绩小于80的频率为10×（0.002+0.016+0.022+0.030）＝0.7，成绩在[80，90）的频率为10×0.020＝0.2，因为0.7＜0.75＜0.9，所以这100名学生成绩的第75百分位数在[80，90）内，所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为80+10×0.75−0.70.9−0.7=82.5． （3）因为成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的学生人数所占比例为3：2：1， 所以从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人． 记抽取成绩在[70，80）的3人为a ，b ，c ，成绩在[80，100]为D ，E ，F ．从这6人中随机抽取2人的所有可能为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，D ），（a ，E ），（a ，F ），（b ，c ），（b ，D ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，D ），（c ，E ），（c ，F ）（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），共15种， 抽取的2人成绩都在[80，100]的是（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），共3种， 抽取的2人成绩都在[80，100]的概率为315=15．20．（12分）已知函数f(x)=sin(x +π6)+sin(x −π6)+cosx +a 的最大值为1． （1）求常数a 的值；（2）求使f(x)≥√3−1成立的x 的取值集合． 解：（1）f(x)=sin(x +π)+sin(x −π)+cosx +a=√32sinx +12cosx +√32sinx −12cosx +cosx +a =√3sinx +cosx +a =2sin(x +π6)+a ，由于函数的最大值是1，所以2+a ＝1， 即a ＝﹣1．（2）由f(x)=2sin(x +π6)−1≥√3−1， 所以sin(x +π6)≥√32， ∴π3+2kπ≤x +π6≤2π3+2kπ，k ∈Z ，解得π6+2kπ≤x ≤π2+2kπ，k ∈Z ，∴x 的取值集合为{x|π6+2kπ≤x ≤π2+2kπ，k ∈Z}． 21．（12分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AA 1、B 1C 1的中点，DC 1⊥BD ，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2．（1）求证：BC ⊥平面AA 1C 1C ； （2）求点E 到平面C 1BD 的距离．（1）证明：连接CD ，因为AC ＝1，AA 1＝2，D 是AA 1的中点，所以CD =√2，C 1D =√2，则CD 2+C 1D 2=CC 12，所以CD ⊥C 1D ，又DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，DC ，BD ⊂平面BCD ， 所以DC 1⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC ，又CC 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC ，CC 1∩DC 1＝C 1，CC 1，DC 1⊂平面AA 1C 1C ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ； （2）解：如图，由BC ⊥平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，BC ⊥AC ， 又CC 1⊥AC ，CC 1∩BC ＝C ，CC 1，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以AC ⊥平面BB 1C 1C ，因为AC ＝BC ＝1，所以AB =√2，则BD =√3，BC 1=√12+22=√5，所以BD 2+DC 12=BC 12，所以BD ⊥DC 1，设点E 到平面C 1BD 的距离为h ， ∵V E−C 1BD =V D−BC 1E ， ∴13S △C 1BD ⋅ℎ=13S △BC 1E ⋅AC ，即ℎ×12×√2×√3=1×12×12×2×1，解得ℎ=√66，所以点E 到平面C 1BD 的距离为√66． 22．（12分）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD →=2DC →，BD ＝2，且（a ﹣c ）sin （A +B ）＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ）． （1）求B ；（2）当2a +c 取最大值时，求△ABC 的周长．解：（1）因为A +B +C ＝π，所以（a ﹣c ）sin （A +B ）＝（a +c ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ）， 由正弦定理可得（a +c ）c ＝（a ﹣b ）（a +b ），整理得到：a 2+c 2﹣b 2＝ac ，所以cosB =a 2+c 2−b 22ac =12，而B ∈（0，π），故B =π3．（2）因为AD →=2DC →，故BD →−BA →=2(BC →−BD →)，故BD →=13BA →+23BC →，所以BD →2=4=19BA →2+49BC →2+49BA →⋅BC →， 故36=c 2+4a 2+4accosπ3=c 2+4a 2+2ac ， 整理得到(2a +c)2=36+2ac ≤36+(2a+c)24， 故2a +c ≤4√3，当且仅当a =√3，c =2√3时等号成立．故此时b =√3+12−√3×2√3=3，对应的△ABC 的周长为3+3√3．23．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝2CD ＝4，P A ⊥CD ，在锐角△P AD 中，AD =PD =3√2，点E 在PD 上，PE ＝2ED ． （1）求证：PB ∥平面ACE ；（2）若AC 与平面PCD 所成的角为30°，求二面角P ﹣AC ﹣E 的正切值．（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ， ∵CD ∥AB ，∴DO OB=CD AB=12=DE EP，∴OE ∥PB ，又∵OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， ∴PB ∥平面ACE ．（2）解：在平面P AD 内作AF ⊥PD ，F 为垂足，连接CF ， ∵CD ⊥AD ，CD ⊥P A ，AD ∩P A ＝A ，AD ，P A ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD ，又∵AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ，又∵AF ⊥PD ，CD ∩PD ＝D ，CD ，PD ⊂平面PCD ， ∴AF ⊥平面PCD ，∴∠ACF 就是AC 与平面PCD 所成的角，即∠ACF ＝30°，∵AC =√AD 2+CD 2=√22，∴AF =√222，DF =5√22，PF =√22，PA =√6，第21页（共21页） ∵CD ⊥平面P AD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD ，在平面P AD 内过P 作PM ⊥AD 于M ，交AE 于点K ，在平面ABCD 内过M 作MH ⊥AC 于H ，连接PH ，HK ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，PM ⊥AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PM ⊂平面P AD ，∴PM ⊥平面ABCD ，又∵AC ⊂平面ABCD ，∴PM ⊥AC ，又∵MH ⊥AC ，MH ∩PM ＝M ，MH ，PM ⊂平面PMH ，∴AC ⊥平面PMH ，又∵PH ，HK ⊂平面PMH ，∴AC ⊥PH ，AC ⊥HK ，∴∠PHK 即为二面角P ﹣AC ﹣E 的平面角，求得PM =√222，AM =√22，∵∠MAH ＝∠CAD ，∠MHA ＝∠CDA ，∴△MAH ∽△CAD ，∴MH CD =AM AC ，∴MH =√1111，∴tan ∠PHM =PM MH =11√22， 在平面P AD 内过E 作ET ⊥AD 于T ，则ET ∥KM ，ET =13PM =√226，DT =5√26，AT =13√26， 则KM ET =AM AT =√2213√26=313，∴KM =√2226，∴tan ∠KHM =1126√2， ∴tan ∠PHK =tan(∠PHM −∠KHM)=tan∠PHM−tan∠KHM 1+tan∠PHM⋅tan∠KHM =44√249， ∴二面角P ﹣AC ﹣E 的正切值是44√249．。
2023-2024学年安徽省六安市霍山中学高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年安徽省六安市霍山中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z在复平面内对应的点是，则()A.iB.C.1D.2.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的周长为()A.4aB.8aC.6aD.3.已知非零向量与同向，则()A.必定与同向B.必定与同向C.必定与是平行向量D.与不可能是平行向量4.已知、是两个平面，m、n是两条直线，下列四个命题：①若，则或②若，则，③若，且，则④若n与和所成的角相等，则其中，所有真命题的编号是()A.①③B.②③C.①②③D.①③④5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是()A.A与B互为对立事件B.C.A与B相等D.A与B互斥6.一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的表面积为()A. B. C. D.7.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为、，在水平面上测得，C、D两地相距500m，则电视塔AB的高度是()A.B.400mC.D.500m8.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截面的面积为()A.1B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则()A.这组数据的众数为4B.这组数据的极差为3C.这组数据的平均数为2D.这组数据的分位数为110.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则为钝角三角形D.若，则为等腰三角形或者直角三角形11.已知梯形ABCD，，，，，P是线段BC的中点.将沿着BD所在的直线翻折成四面体ABCD，翻折的过程中下列选项正确的是()A.BD与AP始终垂直B.当直线AP与平面BCD所成角为时，C.四面体体积的最大值为D.四面体ABCD的外接球的表面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
【新结构】2023-2024学年江西省萍乡市高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
【新结构】2023-2024学年江西省萍乡市高一下学期7月期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为()A.2B.2iC.D.2.()A. B. C. D.3.已知非零向量，，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.把函数的图象按向量平移后，得到新图象的解析式为()A. B.C. D.5.如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量()A. B. C. D.6.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则的面积为()A. B. C.或 D.7.如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为的单位：，若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则的值为()A. B. C. D.8.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题为真命题的是()A.若向量，，满足，，则B.化成弧度数为C.若向量，满足，，，则D.在时刻，时针与分针所夹的锐角为，则10.已知复数，，则()A.B.在复平面内对应的点位于第一象限C.D.为纯虚数11.在棱长为2的正方体中，M为的中点，则下列说法正确的有()A.若点O为线段BD的中点，则异面直线MO与所成角的余弦值为B.若点N为线段BC上的动点含端点，则的最小值为C.若点P为线段的中点，则平面AMP与正方形的交线长为D.若点Q在正方形内含边界，且，则Q的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的高为__________.13.如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有800年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三点A，B，C 处测得古树顶点P的仰角分别为，，，若米，则该古树的高度为__________米.14.已知函数的图象如图所示，则__________；上两点的横坐标分别为，，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
精品解析：北京市西城区高一下学期期末数学试题(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高一第二学期期末数学试卷一､选择题1. 下列各角中，与27°角终边相同的是（ ）A. 63° B. 153°C. 207°D. 387°【答案】D 【解析】【分析】写出与27°终边相同角的集合，取k 值得答案.【详解】与27°角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z a a =°+×°Î，取1k =，可得387a =°.∴与27°角终边相同的是387°.故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2. 圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为（ ）A. 220cm p B. 210cm p C. 228cm p D. 214cm p 【答案】A 【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可.【详解】圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为()222520cm S p p =´´=侧.故选：A【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题.3. sin 2p a æö+=ç÷èø（ ）A. sin a B. cos aC. sin a- D. cos a-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式得答案.【详解】依题意sin cos 2p a a æö+=ç÷èø.故选：B【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础题.4. 设(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则a =（ ）A. 23p -或23p B. 3p-或3pC. 3p-或23pD. 23p -或3p 【答案】A 【解析】【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】因为(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则23p a =-或23p.故选：A【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.5. 设a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则2a b +=r r （ ）A. 3 C. 6D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则a +==r 故选：B【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.6. 下列四个函数中，以p 为最小正周期，且在区间0,2p æöç÷èø上为增函数的是（ ）A. sin 2y x =B. cos 2y x =C. tan y x= D. sin2x y =【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，sin 2y x =没有单调性，故排除A .在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，cos 2y x =单调递减，故排除B .在区间0,2p æöç÷èø上，tan y x =单调递增，且其最小正周期为p ，故C 正确；根据函数以p 为最小正周期，sin 2x y =的周期为2412pp=，可排除D .故选：C .【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.7. 已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为q，则cos q =，又因为0180q °££°，所以45q =°．故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8. 设a ，()0,b p Î，且a b >，则下列不等关系中一定成立的是（ ）A. sin sin a b < B. sin sin a b> C. cos cos a b< D. cos cos a b>【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数以及余弦函数在()0,p 上的单调性求解即可.【详解】因a ，()0,b p Î，且a b >，而sin y x =在()0,p 上有增有减；故sin a 与sin b 大小关系不确定，cos y x =在()0,p 上单调递减；若a b >，则cos cos a b <成立；故选：C【点睛】本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.9.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移j (02pj <£)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则j =（ ）A.6p B.4p C.3pD.2p【答案】C 【解析】【分析】由图可知，17248g f p p æöæö==ç÷ç÷èøèø()()sin 2x g x j =-，于是推出为1717sin 22424g p p j æöæö=-=ç÷ç÷èøèø1722124k p p j p -=+或324k p p +，k Z Î，再结合02p j <£，解之即可得j 的值.【详解】由图可知，17sin 22488g f pp p æöæöæö==´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，因为()f x 的图象向右平移j 个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x j =-，所以171717sin 2sin 2242412g pp p j j æöæöæö=-=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以1722124k p p j p -=+或17322124k p pj p -=+，k Z Î，解得712k p j p =-或3k pj p =-，k Z Î，因02p j <£，所以3pj =.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.10.棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台.小棱锥的体积记为y ，棱台的体积记为x ，则y 与x 的函数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】设棱锥的体积为V ，则y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故而得解.为【详解】设棱锥的体积为V ，则V 为定值，所以y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象，属于基础题.二､填空题11. 已知圆的半径为2，则5p的圆心角所对的弧长为______.【答案】25p 【解析】【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解.【详解】由弧长公式可得2255l r pp a ==´=.故答案为：25p 【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.12. 在平面直角坐标系xOy 中，角a 和角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3a =，则sin b =______.【答案】13-【解析】【分析】由题意可得()sin sin b a =-，由此能求出结果.【详解】∵在平面直角坐标系xOy 中，角a 与角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，∴()1sin sin sin 3b a a =-=-=-，故答案为：13-【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.13. 向量a r ，b r满足1b =r ，1a b ×=r r .若()a b b l -^r r r ，则实数l =______.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可.【详解】解：∵()a b b l -^r r r ，∴()20a b b a b b l l -×=×-=r r r r r r ，即10l -=，解得1l =.故答案为：1.【点睛】本题考查了向量垂直求参数，考查了向量数量积的定义，属于基础题.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.【答案】(1). 12p 【解析】【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.【详解】解：正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r ，则()2222222212r =++=，解得r =，故球直径为.球的表面积为2412S p p =´´=.故答案为：12p .【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15. 已知函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î给出下列三个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 有且仅有3个零点；③()f x 的值域是[]1,1-.其中，正确结论的序号是______.的【答案】②③【解析】【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.【详解】函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p -£<ì=í££î，①由于()()1,sin 0f fp p p -=-==，所以()f x 是非奇非偶函数，所以①不正确；②()0f x =，可得2x p=-，0x =，x p =，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；③函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î，()f x 的值域是[]1,1-，正确；正确结论的序号是：②③.故答案为：②③.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.16.设函数()()sin 06f x x p w w æö=+>ç÷èø，若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k p p p w p -+=-，k Z Î，解方程可得w 的最小值.【详解】解：若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k pppw p -+=-，k Z Î，即有26k w =-，k Z Î，由0>w ，可得w 的最小值为2，此时0k =.故答案为：2.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.三､解答题17. 已知0,2p a æöÎç÷èø，且4cos 5a =.（1）求tan a 的值；（2）求2sinsin 22aa +的值.【答案】（1）34；（2）5350.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin a ，再由商的关系求得tan a ；（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.【详解】（1）∵0,2a p æöÎç÷èø，且4cos 5a =，∴3sin 5a ==，则sin 3tan cos 4a a a ==；（2）∵3sin 5a =，4cos 5a =，∴21cos sinsin 22sin cos 22a a a a a -+=+4134535225550-=+´´=.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.18. 如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积；（2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .求解PO ，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =×=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△.∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =´´´°=△则正三棱锥P ABC -的表面积为；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .且13OD AD ==.在Rt POD V 中，PO ==.∴正三棱锥P ABC -的体积为13ABC S PO ×=△【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.19. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C p =，sin A =.（1）求sin B 的值；（2）若5c a -=，求ABC V 的面积.【答案】（12）52.【解析】【分析】（1）先根据sin A =cos A 的值，再由4B A p =-得到sin sin 4B A p æö=-ç÷èø，根据两角和与差的公式可求得sin B 即可；（2）由34C p =可求得sin C 的值，进而根据正弦定理可求得a ，c 的关系，再由5c a -=-可求出a ，c 的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.【详解】解：（1）因为34C p =，sin A =，所以cos A ==由已知得4B A p=-.所以sin sin sin cos cos sin 444B A A A p p p æö=-=-==ç÷èø（2）由（1）知34C p =，所以sin C =且sin B =由正弦定理得sin sin a A c C ==.又因为5c a -=-，所以5c =，a =.所以15sin 522ABC S ac B ===△.【点睛】本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于中档题.20. 已知函数()cos2sin cos x f x x x=+.（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间02p éùêúëû，上的最大值；（3）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ；（2）1；（3）()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.【解析】【分析】（1）由分母不为零得到sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø求解.（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()4f x x p æö=+ç÷èø，再利用余弦函数的性质求解. （3）由（2）知()4f x x p æö=+ç÷èø，利用余弦函数的性质，令 224k x k p p p p £+£+求解.【详解】（1）因sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø，解得4x k pp +¹，所以()f x 的定义域是|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ为（2）因为()22cos2cos sin sin cos sin cos x x x f x x x x x-==++，cos sin x x =-，4x p æö=+ç÷èø又0,2x p éùÎêúëû，所以3,444x p p p éù+Îêúëû，cos 4x p éæö+Îêç÷èøë，所以()f x 区间02p éùêúëû，上的最大值是1；（3）令 224k x k p p p p £+£+，解得 32244k x k p p p p -££+， 所以()f x 的单调递减区间.是()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.21. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点.（1）在图中作出平面1AD E 和底面ABCD 的交线，并说明理由；（2）平面1AD E 将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.【答案】（1）答案见解析；（2）7:17.【解析】【分析】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，可证F Î平面ABCD 且F Î平面1AD E ，得到平面1AD E Ç平面ABCD AF =；（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，证明1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.求出棱台1CGE DAD -的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.【详解】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，∵F DC Î，DC Ì平面ABCD ，则F Î平面ABCD ，∵1F D E Î，1D E Ì平面1AD E ，∴F Î平面1AD E .∴平面1AD E Ç平面ABCD AF =.（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，∴1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.1111-77178833F DAD F CGE F DAD DAD CGE DAD V V V S FD ---=-==´´=△棱台.∴另一部分几何体的体积为3717233-=.∴两部分的体积比为7:17【点睛】本小题主要考查面与面位置关系，考查几何体体积的求法.22. 如图，在扇形OAB 中，120AOB Ð=°，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ^，求PA PB ×uuu r uuu r 的值；（2）求PA PB ×uuu r uuu r 的最小值.【答案】（1）2-；（2）2-.【解析】【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB Ð=°，120APB Ð=°，再在POB V中，由余弦定理可求得PB =uuu r cos PA PB PA PB APB ×=×Ðuuu r uuu r uuu r uuu r ，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有a 的式子表示出PA PB ×uuu r uuu r，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.【详解】（1）当OA OP ^时，如图所示，的∵120AOB Ð=°，∴1209030POB Ð=°-°=°，18030752OPB °-°Ð==°，∴7545120APB Ð=°+°=°，在POB V中，由余弦定理，得222222cos 22222cos308PB OB OP OB OP POB =+-×Ð=+-´´´°=-∴PB ==uuu r ，又PA OA ==uuu r ，∴1cos 22PA PB PA PB APB æö×=×Ð=´-=-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r （2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB Ð=°，2OB =，∴(B -，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，则()()22cos ,2sin 12cos 2sin PA PB a a a a ×=--×---uuu r uuur 2222cos 4cos 4sin a a a a=--+-+2cos 24sin 26p a a a æö=--+=-++ç÷èø.∵20,3p a éùÎêúëû，∴5,666p p p a éù+Îêúëû，1sin ,162p a æöéù+Îç÷êúèøëû，∴当62ppa +=，即3pa =时，PA PB ×uuu r uuu r取得最小值为2-.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．。
2021-2022学年新疆克拉玛依市高级中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年新疆克拉玛依市高级中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数Z =3+2i ，则它的共轭复数Z 在复平面上对应的点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】由共轭复数概念可得Z ，然后由复数的几何意义可得. 【详解】因为32i z =+，所以32i z =-所以Z 在复平面上对应的点为3,2)-（，在第四象限. 故选：D2．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m = A ．−8 B ．−6 C ．6 D ．8【答案】D【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥， ∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 3．设直线,,a b c ，若a 与b 是异面直线，a 与c 平行，则b 与c 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交C ．平行或异面D ．相交或异面【答案】D【分析】借助正方体模型，找出三条直线,,a b c ，符合题意，判断,b c 的位置关系. 【详解】考虑正方体1111 ABCD A B C D -中，如图所示直线11A B 看做直线a ，直线BC 看做直线b ，即直线a 和直线b 是异面直线， 若直线11C D 看做直线c ，可得a ，c 平行，则b ，c 异面； 若直线AB 看做直线c ，可得a ，c 平行，则b ，c 相交.若b ，c 平行，由a ，c 平行，可得a ，b 平行，这与a ，b 异面矛盾，故b ，c 不平行. 故选：D.4．若复数()2421i 1z m m =+--为纯虚数，则实数m =（ ）A ．2B ．12±C ．12D ．12-【答案】D【分析】根据纯虚数的定义有2410210m m ⎧-=⎨-≠⎩，即可求参数值.【详解】由题设2410210m m ⎧-=⎨-≠⎩，可得m =12-.故选：D5．随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表: 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200n2100 1000根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是A ．715B ．25C ．1115D ．1315【答案】C【解析】由题意得,4500200210010001200n=---=,随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为120021003300+=,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为330011450015=,即可求得答案.【详解】由题意得,4500200210010001200n=---=,随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为120021003300+=,∴随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为330011 450015=.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为11 15.故选:C【点睛】本题考查了用频率估计概率,解题关键是频率和概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6．已知复数324i1iz+=-，则z=（）A．5B．10C．23D．25【答案】B【分析】根据复数四则运算法则计算即可.【详解】()()324i1i24i24i3i1i1i2z-++-====---，()223110z=+-=；故选：B.7．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图，由茎叶图所给信息，可判断以下结论正确的是（）A．若1a=，则甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差B．若3a=，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C．若5a=，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数D．若7a=，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差【答案】D【分析】根据极差，平均数，中位数，方差的定义，在给定条件下分别计算两组数据的极差，平均数，中位数，方差，由此判断正确选项.【详解】若1a =，甲地区考核得分的极差为9475-，乙地区考核得分的极差为9374-， 即甲乙两地区考核得分的极差都是19，故A 错； 若3a =，甲地区考核得分的平均数为()175+78+81+8485889293949+++++ 乙地区考核得分的平均数为()174+77+80+8487839393919+++++ 则甲地区考核得分的平均数为85.6，乙地区考核得分的平均数为84.6，故B 错； 若5a =，将甲乙两地各企业考核得分按从小到大顺序排列如下： 甲地区：75,78,81,84,85,88,92,93,94； 乙地区：74,77,80,83,84,87,91,93,95则甲地区考核得分的中位数为85，乙地区考核得分的中位数为84，故C 错； 若7a =时将甲乙两地各企业考核得分按从小到大顺序排列如下： 甲地区：75,78,81,84,85,88,92,93,94； 乙地区：74,77,80,83,84,87,91,93,97甲地区考核得分的平均数为5859，乙地区考核得分的平均数为1859，甲地区考核得分的方差为：222222222155555444410+7+4+1++2+6+7+89999999999⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 化简可得甲地区考核得分的方差大约为40.69， 乙地区考核得分的方差为：222222222111111888811+8+5+2+1+1+5+7+119999999999⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦化简可得甲地区考核得分的方差大约为51.43，故甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，D 对 故选：D.8．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线AB 与CD 所成的角为（ ）A．30B．45C．60D．90【答案】C【分析】把展开图还原成正方体，由于//AB CD且相等，故异面直线AB与CD所成的角就是CE和CD 所成的角，由于ECD是等边三角形可得答案.【详解】把展开图还原成正方体如图所示，由于//AB CD且相等，故异面直线AB与CD所成的角就是CE和CD所成的角，故ECD∠(或其补角)为所求，再由ECD是等边三角形，可得60ECD∠=.故选：C.9．已知某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取1%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（）A．200，25 B．200，2500 C．8000，25 D．8000，2500【答案】B【分析】由扇形分布图观察小学生在整个样本中占40％，可得样本的容量为80=20040%，再以此推出样本中高中生的人数为20025=⨯%50，结合抽样比和条形图中高中生的近视率占比可算出该地区高中生的近视人数.【详解】由由扇形分布图结合分层抽样知识易知样本容量为80=20040%， 则样本中高中生的人数为20025=⨯%50，易知总体的容量为50=50001%， 结合近视率条形图得该地区高中生近视人数为500050=⨯%2500. 故选：B.10．据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥外接球表面积为（ ）A ．10πB ．12πC ．14πD ．16π【答案】B【分析】用补形法还原为正方体问题，然后用公式求解. 【详解】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径22244432PCAP AB BC R ++++====所以三棱锥外接球表面积244312S R πππ==⨯=. 故选：B.11．下列叙述：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；③抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于12；④在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率；则所有正确结论的序号是（ ） A ．①②④ B ．①③ C ．②④ D ．①②【答案】A【分析】根据互斥事件，对立事件和独立重复事件的相关定义，逐个选项进行判断，可得答案. 【详解】对于①．某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是不可能同时发生的事件，所以是互斥事件，故①正确．对于②．甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”包括：1人射中，1人没有射中和2人都射中，由对立事件的定义：“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件．故②正确． 对于③．抛掷一枚硬币n 次，属于独立重复事件，每次出现正面向上的概率为12，出现反面向上的概率为12，所以连续出现4次正面向上，第5次出现反面向上的概率为12，故③不正确． 对于④，在相同条件下，试验次数越多，频率就会稳定在概率附近，故④正确； 故选：A12．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =332()42⨯-=-，故选：B ．二、填空题13．已知(5,1),(3,2)OA OB →→=-=，则AB →在复平面对应的复数是________． 【答案】23i -+【分析】利用向量减法的定义直接相减，然后写成复数即可.【详解】(3,2)(5,1)(2,3)AB OB OA →→→=-=--=-，则对应的复数为23i -+. 故答案为：23i -+.14．若数据123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅的方差为0.1，则数据123101,101,101,,101n x x x x +++⋅⋅⋅+的方差为________． 【答案】10【分析】由方差的性质可直接求得结果.【详解】由方差的性质可知：123101,101,101,,101n x x x x +++⋅⋅⋅+的方差为2100.110⨯=. 故答案为：10.15．向量()1,3a =-在向量()1,2b =方向上的投影向量为________． 【答案】()1,2--【分析】利用投影向量的定义可求解． 【详解】根据投影向量的定义可得， ()()161,21,255⋅-⨯==--⨯a b b b b ． 故答案为：()1,2--．16．在一次知识竞赛中，共有20道题，两名同学独立竞答，甲同学对了12个，乙同学对了8个，假设答对每道题都是等可能的，那么任选一道题，恰有一人答对的概率________．【答案】1325##0.52 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求得正确答案. 【详解】依题意，恰有一人答对的概率为12128820202020⨯+⨯=1325. 故答案为：1325三、解答题17．如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ，AB AD ⊥，2AB =，1CD AD ==．将直角梯形ABCD绕边AB 所在的直线旋转一周．(1)画出旋转后形成的几何体的直观图，并说明该几何体是由哪些简单几何体组成； (2)求旋转形成的几何体的表面积．【答案】(1)直观图见解析，该几何体由一个圆锥和一个同底的圆柱组成 (2)()32S π=+【分析】(1)根据题意作直观图； (2)对几何组合体计算其表面积即可.【详解】（1）旋转形成的几何体直观图如图所示，该几何体由一个圆锥和一个同底的圆柱组成；（2）因为圆锥的底面半径为1，高为1，母线长2BC =12122π2π⨯⨯ ，圆柱的底面半径为1，高为1，侧面积为2112ππ⨯⨯= ，底面积为21ππ⨯= ， 所以旋转形成的几何体表面积为：(2232S ππππ=+= .18．柜子里有3双不同的鞋，如果从中随机取出2只，那么 (1)写出试验的样本空间．(2)求事件D “取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率． 【答案】(1)()(){()()()()()()1211121112212221Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a ab a b ac a c a b a b a c =()()()()()()()}22121112212212,,,,,,,,,,,,,a c b b b c b c b c b c c c(2)25【分析】（1）列举出所有可能的情况即可得到样本空间；（2）列举出事件D 所有可能的结果，利用古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）记第1双鞋左右脚编号为12,a a ，第2双鞋左右脚编号为12,b b ，第3双鞋左右脚编号为12,c c ， 则样本空间为()(){()()()()()()1211121112212221Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a ab a b ac a c a b a b a c =()()()()()()()}22121112212212,,,,,,,,,,,,,a c b b b c b c b c b c c c .（2）由（1）知：()15n Ω=，()()()()()(){}121221211221,,,,,,,,,,,D a b a c a b a c b c b c =，()6n D ∴=，()62155P D ∴==.19．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，3a =，7b =，()tan B π+=（1）求sin A 的值； （2）求ABC 的面积.【答案】（1）sin A （2. 【分析】（1）由()tan B π+可求出sin B ，利用正弦定理可求出sin A ；（2）由余弦定理可求出c ，再借助于三角形面积即可求出结果.【详解】解析：（1）()tan tan B B π+==23B π=，由正弦定理得372sin sin 3Aπ=，∴sin A（2）由余弦定理得22222cos 3b a c ac π=+-，整理得23400c c +-=，解得5c =或8-（舍去）， ABC 的面积113153sin 352224ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△. 20．2022年2月8日，中国选手谷爱凌在北京冬奥会女子大跳台项目决赛中以之前从未有人在正式比赛中完成的“左转1620”动作一举夺得冠军，为中国代表团揽入一枚里程碑式的金牌．受奥运精神的鼓舞，某滑雪俱乐部组织100名滑雪爱好者进行了一系列的大跳台测试，并记录他们的动作得分（单位：分），将所得数据整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该100名射击爱好者的射击平均得分（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(3)该俱乐部计划招募成绩位列前10%的滑雪爱好者组成集训队备战明年的滑雪俱乐部联盟赛，请根据图中信息，估计集训队入围成绩（记为k ）．【答案】(1)0.025(2)76(3)90k ≥【分析】（1）根据频率和为1列式求解；（2）用该组区间的中点值估计，代入1ni i i x x f ==∑计算；（3）根据题意入围成绩的临界值为[]85,95m ∈，则()850.0200.1m -⨯=计算求解．【详解】（1）由题意可得：()100.0050.0100.0400.0201a ++++=，解得0.025a =（2）由题意可得：50100.00560100.01070100.02580100.04090100.02076x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=估计该100名射击爱好者的射击平均得分76（3）根据频率分布直方图可知：[]85,95的频率为100.0200.2⨯=设入围成绩的临界值为[]85,95m ∈，则()850.0200.1m -⨯=，即90m =估计集训队入围成绩90k ≥21．在如图1所示的等腰梯形CDEF 中，2,222DE CD EF ===+，将它沿着两条高,AD BC 折叠成如图2所示的四棱锥E ABCD -（,E F 重合），点,M N 分别为线段,AB DE 的中点.(1)证明：MN ∥平面BEC ；(2)求证：平面BEC ⊥平面DEA .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取EC 的中点G ，连接NG ，BG ，由平面几何知识证得四边形MBGN 是平行四边形，继而有//MN BG ，再运用线面平行的判定定理可得证；（2）由勾股定理证得BE AE ⊥，继而由线面垂直的判定定理证得DA ⊥平面AEB ，再由线面垂直的性质和判定可证得BE ⊥平面DAE ，运用面面垂直的判定定理可得证.【详解】（1）证明：取EC 的中点G ，连接NG ，BG ，因为点,M N 分别为线段,AB DE 的中点.所以1//,2NG DC NG DC =， 又1//,2AB DC MB AB =， 所以//,NG BM NG BM =，所以四边形MBGN 是平行四边形，所以//MN BG ，又MN ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，所以MN ∥平面BEC ；（2）证明：因为等腰梯形CDEF 中，2,2DE CD EF ===+所以2,2AE BF CF AB ====，所以在ABE 中满足222AE BE AB +=，所以BE AE ⊥，又,,DA AE DA AB AEAB A ⊥⊥=， 所以DA ⊥平面AEB ，所以DA BE ⊥，又DA AE A =，所以BE ⊥平面DAE ，又BE ⊂平面BCE ，所以平面BEC ⊥平面DEA .22．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m 、n 满足：(2m a =，(),2sin n b B =，且m n ∥．(1)求角A ；(2)若2a =，求b c +的取值范围．【答案】(1)3A π=(2)(4⎤⎦【分析】（1）根据平行向量的坐标表示得出边与角的关系式，再利用正弦定理即可求出角A ；（2）利用正弦定理将边表示成角的形式，即4sin 6b c B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据三角形形状和辅助角公式，即可求出b c +的取值范围.【详解】（1）因(2m a = (),2sin n b B =，且m n ∥，于是有2a B =，即2sin a B =，在ABC 中，由正弦定理得：2sin sin A B B ，而sin 0B >，于是得sin A =，又A 为锐角， 所以3A π=．（2）ABC 是锐角三角形，由（1）知3A π=，23C B π=-，于是有02B π<<，且2032B ππ<-<，从而得62B ππ<<， 而2a =，由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====，则b B ，23c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则有21sin sin 4cos 4sin 326b c B B B B B ππ⎫⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎥⎭+=+-=+=+⎪⎝⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 而2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即4b c +≤,所以b c +的取值范围(4⎤⎦．。
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高一下学期数学期末考试试卷
一、选择题
1. 直线y=x+1的倾斜角为（）
A . 1
B . ﹣1
C .
D .
2. 若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
A . ＜
B . a2＞b2
C . ab＞b2
D . a3＞b3
3. 点P（1，2）到直线x﹣2y+5=0的距离为（）
A .
B .
C .
D .
4. 在数列{an}中，a1=1，an•an﹣1=an﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*），则a3的值是（）
A .
B .
C .
D . 1
5. 直线a与平面α不垂直，则下列说法正确的是（）
A . 平面α内有无数条直线与直线a垂直
B . 平面α内有任意一条直线与直线a 不垂直
C . 平面α内有且只有一条直线与直线a垂直
D . 平面α内可以找到两条相交直线与直线a垂直
6. 公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=8，若a2•am=4，则m的值为（）
A . 8
B . 9
C . 10
D . 11
7. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与C1D所成的角为（）
A .
B .
C .
D .
8. 若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）
A . 0
B . 1
C .
D . 2
9. 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2acosB=c，则该三角形一定是（）
A . 等腰三角形
B . 直角三角形
C . 等边三角形
D . 等腰直角三角形
10. 《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示（网格纸上正方形的边长为1），则该“堑堵”的表面积为（）
A . 8
B . 16+8
C . 16+16
D . 24+16
11. 设定点A（3，1），B是x轴上的动点，C是直线y=x上的动点，则△ABC周长的最小值是（）
A .
B . 2
C . 3
D .
12. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=
，则的值为（）
A . 2
B .
C . 4
D . 5
13. 若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2017积数列”，且a1＞1，则当其
前n项的乘积取最大值时n的值为（）
A . 1008
B . 1009
C . 1007或1008
D . 1008或1009
二、填空题
14. 已知直线l的斜率为2，且在y轴上的截距为1，则直线l的方程为________．
15. △ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则角C的大小为________．
16. 正方体的各项点都在同一个球的球面上，若该正方体的体积为8cm3，则其外接球的表面积为________cm2 ．
17. 已知a＞0，b＞0，a+2b=3，则+ 的最小值为________．
18. 设x＞y＞z，且+ ＞（n∈N*）恒成立，则n的最大值为________．
三、解答题
19. 已知等差数列{an}满足a3=3，前6项和为21．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=3 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
20. 已知△ABC的顶点A（2，4），∠ABC的角平分线BM所在的直线方程为y=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0．
（1）求AC所在的直线方程；
（2）求顶点C的坐标．
21. 如图，要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°．∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，请利用所测数据计算A、B之间的距离．
22. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC⊥平面PCD．
23. 已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且csinA= acosC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．
24. 已知函数g（x）=x2+bx+c，且关于x的不等式g（x）＜0的解集为（﹣
，0）．
（1）求实数b，c的值；
（2）若不等式0≤g（x）﹣＜对于任意n∈N*恒成
立，求满足条件的实数x的值．
25. 已知圆C的圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．
（1）求圆C的方程；
（2）过圆内一点P（2，﹣3）的直线l与圆交于A、B两点，求弦长AB的最小值．。