【精品解析】河南省洛阳市示范高中高三数学联考试题解析 理 (学生版)
河南省洛阳市高三数学第一次统一考试试题 理(含解析)
数学试卷（理A ）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】第I 卷（选择题，共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈ 的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12- C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7【答案】【解析】A 解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ=，故选 A.【思路点拨】由已知得sin cos θθ+=2sin cos θθ⇒=θ为第二象限角，所以sin -cos θθ=. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D. 【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan 555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83 B ．2 C ．．【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +== D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =++当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．5． 5C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==5,故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值.【题文】 第Ⅱ卷（非选择题，共90分），【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯= 【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y 轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin())2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为：1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】【解析】6解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 32442a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当C 最大，且此时 sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
【附15套精选模拟试卷】河南省洛阳市2020届高三第三次统一考试数学(理)试卷含解析
河南省洛阳市2020届高三第三次统一考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C 点，已知4AF =，3CBBF =u u u r u u u r，则p =（ ）A ．2B ．43C ．83 D ．42．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）A ．1B ．2C ．22 D ．123．运行下图程序框图，则输出框输出的是（ ）A ．12 B ．-1C ．2D ．04．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16πB ．14πC ．10πD ．8π 6．是一个平面，是两条直线，是一个点，若，，且，，则的位置关系不可能是( )A ．垂直B ．相交C ．异面D ．平行7．函数()32631f x ax x x =+-+在区间()1,2上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞-B ．7,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．73,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 8．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ）A ．3B ．13 C ．2 D ．129．若α，β均为锐角且1cos 7α=，()11cos 14αβ+=-，则3sin 22πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1-2 B ．12 C ．3-D ．310．ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅=u u u r u u u r，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3255AP AB AC λ=-u u u r u u u r u u u rR λ∈（），则AP u u u r 的最大值是A ．33B ．37C ．39D ．4111．如图所示是某几何体的三视图，则它的表面积是（ ）A ．7πB ．8πC ．(72)π+D ．(62)π+12．已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---，若函数()f x 在1(0,)2上无零点，则（ ） A ．[24ln 2,)a ∈-+∞ B ．(24ln 2,)a ∈-+∞C ．[12ln 2,)a ∈-+∞D ．(12ln 2,)a ∈-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省洛阳市第四中学2020年高三数学理联考试卷含解析
河南省洛阳市第四中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. i是虚数单位，复数的共轭复数是（）4+4i 3+3i 3+4iD解：由=．所以其共轭复数为3﹣4i．故选D．2. 已知，，，则、、大小关系是A．<< B．<< C．<< D．<<参考答案：D，，3. 设为虚数单位，则=（）A. B. C.D.参考答案：C4. 已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=( )A．﹣B．C．±D．﹣k参考答案：A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π），∴sinα==，∴sin（π+α）=﹣sinα=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．5. 已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：①②③④（其中正确命题的序号是A. ①④ B．②③C．②④ D.①③参考答案：B6. 下列程序表示的算法是 ( ）A．交换m与n的位置B．辗转相除法C．更相减损术D．秦九韶算法参考答案：B7. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：【答案】B【解析】【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．【解答】解：由题意可知z1=﹣2﹣i，z2=i．∴===﹣1+2i，复数对应的点位于第二象限．故选B．【点评】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义．8. 若a=ln2，，的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a参考答案：A【考点】定积分．【分析】利用对数函数的性质，判断a＞，b＜，利用定积分的性质求得c=，即可判断a、b和c的大小．【解答】解：a=ln2＞ln=， =＜， =sinx|=∴a＞c＞b，故选：A9. 圆上的点到直线的距离的最大值是（）A．B． C． D．0参考答案：A略10. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C试题分析：，又因为即，所以，解之得，故选C.考点：1.集合的表示；2.集合的运算.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望．参考答案：答案：解析：ξ的取值有0，1，2，，所以Eξ=12. 若函数的值域是，则实数的取值范围是___________．参考答案：试题分析：当时，，又因为函数的值域为，所以当时，能取遍的所有实数，由得，所以应填.考点：1.分段函数的表示；2.指数函数与对数函数的性质.【名师点睛】本题考查分段函数的表示方法与指、对数函数的图象与性质，属中档题；本题的难点是值域为，即与时两部分的值域的并集为全体实数，解决这个问题关键在于正确的转化，把当时，能取遍的所有实数转化为，考查学生的理解能力，体现子数学的化归与转化思想.13. 已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．参考答案：14. 在中，，的面积为，则__________。
河南省洛阳市2020届高三数学第二次统一考试试题理含解析
某某省某某市2020届高三数学第二次统一考试试题 理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的某某、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）．A. 50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦C. 1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D. (0,)A B =+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合AB 和A B ，分析选项即可得到答案.【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目, z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）．A. iB. i -C. 1i +D. 1i - 【答案】A 【解析】 【分析】先化简求出z ，即可求得答案. 【详解】因为(1)2z i -=，所以()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+ 所以111z i i -=+-= 故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）．A. 1225-B. 2425-C. 165D. 85【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值. 【详解】因为终边上有一点(3,4)P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.4.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A. 中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B. 折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C. 第30届与第29届奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降【答案】B【解析】 【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误； B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确； C.30届与第29届奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误； D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A. 8B. 4C. 2D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义得62pAF =+，即可解得结果. 【详解】因为262pAF p ==+，所以4p =.故选B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.6.执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A. 7?S ≥B. 21?S ≥C. 28?S ≥D. 36?S ≥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i == 第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8.故选：C【点睛】此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.7.下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）．A. ()ln f x x x =B. ()x x f x e e -=-C. ()sin 2f x x =D. 3()f x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可. 【详解】A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x xf x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x xx x f x f x e ee e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0xxf x e e-=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=，满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误； 故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A. 3- B. 6- C. 4D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=- 则DC则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）．A.5 C. D. 【答案】C 【解析】【分析】设M,N,P分别为1,AB BB和11B C的中点，得出11,AB BC的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出,,AC MQ MP和MNP∠的余弦值再求其正弦值即可.【详解】根据题意画出图形:设M,N,P分别为1,AB BB和11B C的中点，则11,AB BC的夹角为MN和NP夹角或其补角可知11522MN AB==，11222NP BC==.作BC中点Q，则PQM为直角三角形；11,2PQ MQ AC==ABC中，由余弦定理得22212cos4122172AC AB BC AB BC ABC⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭AC ∴=2MQ =在MQP △中，2MP ==在PMN 中，由余弦定理得222222cos 25MN NP PM MNP MH NP +-+-∠====-⋅⋅所以sin MNP ∠===故选：C【点睛】此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A.【答案】A 【解析】 【分析】直线l 的方程为bx y c a=-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【详解】由题意可知直线l 的方程为bx y c a=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =-将x by c =-代入双曲线方程2221y x b-=中，得到()4234120b y b cy b +--=设()()1122,,,A x y B x y则341212442,11b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =，可得122y y =-，故32442242121b cy b by b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩则22481b c b =-，解得219=b则3c ==所以双曲线离心率3c e a ==故选：A【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）． A. {|31}x x -<<- B. 1{|1}3x x -<<- C. {|3x x <-或1}x >- D. {|1x x <-或1}3x >- 【答案】D 【解析】 【分析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数()()33x f x g x =， 则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >- 故选：D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的X 围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的X围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形：若O为ABC的外心，则2===OA OB OC PO⊥平面ABC,可得PO OC⊥,即222PC PO OC+=，①正确; ABC若为等边三角形，⊥AP BC，又AP PB⊥可得AP⊥平面PBC，即AP PC⊥,由PO OC⊥可得222622PC PO OC AC+=+==，矛盾，②错误; 若90ACB ∠=︒，设PC与平面PAB所成角为θ可得2,2OC OA OB PC====，设C到平面PAB的距离为d 由C PAB P ABC V V--=可得11112223232d AC BC⋅⋅⋅=⋅即有222242AC BC AC BC d+⋅==，当且仅当2AC BC==取等号. 可得d22sin22dθ=即θ的X围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，③正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN 由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而122KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）230x dx n =⎰，则12(1)n x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式2x 的系数为__________． 【答案】8- 【解析】 【分析】先根据定积分求出n 的值，再用二项展开式公式即可求解.【详解】因为2234400112444x dx x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭⎰所以4n =4(1)x +的通项公式为41441r r r r rr T C x C x -+=⨯⋅= 当2r时，422234416r r r T C x C x x -=⨯⋅== 当3r =时，333444T C x x == 故12(1)n x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为4(2)68+-⨯=- 故答案为：8-【点睛】此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答） 【答案】23 【解析】 【分析】由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝23，得解．【详解】①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为45C =5， 综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝23， 故答案为23．【点睛】本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．()244f x x x =--.若()1f x <在区间()1,2m m --m 的取值X 围是__________．【答案】10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】 首先解不等式()1f x <，再由()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，即()()1,21,5m m --⊆-得到不等组，解得即可.【详解】解：()244f x x x =--且()1f x <，即2441x x --<解得15x -<<，即()1,5x ∈-因为()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，()()1,21,5m m ∴--⊆-111225m m m m -≤-⎧⎪∴-<-⎨⎪-≤⎩解得103x ≤<即10,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，3BD =，2CD =，则ABC 面积的最大值为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】由角平分线定理得AB BDAC CD=,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出ABC 面积的最大值.【详解】画出图形：因为3BD =，2CD =，由角平分线定理得32AB BD AC CD ==,设2,2,0,2AC x BAC παα⎛⎫=∠=∈ ⎪⎝⎭，则3AB x = 由余弦定理得：22249232cos 25x x x x α=+-⋅⋅⋅ 即2132512cos 2x α=-2175sin 232sin 23sin 221312cos 2ABC S x x x αααα∆=⋅⋅⋅=⋅=-()222222tan 75752sin cos 1tan 1tan 1312cos sin 13121tan αααααααα⋅⨯+==--⨯--⋅+ 2150tan 151125tan 125tan 2tan 150αααα⋅===++当且仅当125tan tan αα=，即1tan 5α=时取等号所以ABC 面积的最大值为15 故答案为：15【点睛】此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3(1,2,)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n -=+=；（2）3(1)212nn n ++-【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d=== 3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则 q 3===8，∴q=2，∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=3n+2n ﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2n ﹣1， ∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1）， 数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×= 2n ﹣1，∴数列{bn}的前n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．18.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将ACD 折起，使点D 到达点P 位置（P ∉平面ABC ）．（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：MH ∥平面ABP ；（2）若直线AB 与直线MN 所成角为4π，求二面角A PC B --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）7【解析】 【分析】(1)根据中位线证明平面MNQ 平面PAB ，即可证明MH ∥平面ABP ；（2）以QM ，QC ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接QM ，∵M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点， ∴QMAB ，又∵QM ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，∴QM平面PAB ，同理，QN ∥平面PAB ，∵QM ⊂平面MNQ ，QN ⊂平面MNQ ，QM QN Q =，∴平面MNQ 平面PAB ， ∵MH ⊂平面MNQ ， ∴MH ∥平面ABP ．（2）连接PQ ，在ABC 和ACD 中，由余弦定理可得，2222222cos 2cos AC AB BC AB BC ABCAC AD CD AD CD ADC⎧=+-⋅⋅∠⎨=+-⋅⋅∠⎩，由ABC ∠与ADC ∠互补，2AD AB CD ===，4BC =，可解得AC = 于是222BC AB AC =+， ∴AB AC ⊥，QM AC ⊥，∵QM AB，直线AB与直线MN所成角为4π，∴4QMNπ∠=，又1QM QN==，∴2MQNπ∠=，即QM QN⊥，∴QM⊥平面APC，∴平面ABC⊥平面APC，∵Q为AC中点，PQ AC⊥，∴PQ⊥平面ABC，如图所示，分别以QM，QC，QP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则(2,3,0)B-，(0,3,0)C，(0,0,1)P ，(2,3,1)PB =--，(0,3,1)PC=-．设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=，∴n PBn PC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即23030x zy z⎧-=⎪-=．令1y=，则3x=3z=PBC的一个法向量为(3,1,3)n=．又平面APC的一个法向量为(1,0,0)m=，∴21cos,||||7m nm nm n⋅<>==⋅，∴二面角A PC B--21．【点睛】此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.19.某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表质量指标[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计频数 2 18 48 14 16 2 100（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的22 列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？甲生产线乙生产线合计合格品考试附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．【答案】（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．【解析】【分析】(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出2K的观测值即可判断.【详解】（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：0.03250.08050.03250.03650.9⨯+⨯+⨯+⨯=．设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件A，事件A发生的概率为p，则由样本可估计0.9p=．那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件A 恰好发生2次，其概率为：2235(1)0.0081C p p -=． （2）22⨯列联表：2K 的观测值2200(9049610) 2.76518614100100k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ∵2.765 2.706>，()2 2.7060.100P K >=， ∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．由（1）知甲生产线的合格率为0.9，乙生产线的合格率为184814160.96100+++=， ∵0.960.9>，∴保留乙生产线较好．【点睛】此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.()()ln x f x a x e bx c x =-+-.（1）若3a =，0c 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减，求b 的取值X 围；（2）若2a =，4b =，4c =，求证：当1x >时，()168ln 2f x <-．【答案】（1）(,]e -∞-（2）见解析【解析】【分析】(1) ()f x 在(0,)+∞上单调递减等价于()f x 0'≤在(0,)+∞恒成立，分离参数即可解决.(2)先对()f x 求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.【详解】（1）3a =，0c 时，()(3)x f x x e bx =-+，()(3)(2)x x x f x e x e b x e b '=-+-+=-+，∵()f x 在(0,)+∞上单调递减．∴(2)0x x e b -+≤，(2)xb x e ≤-． 令()(2)xg x x e =-， ()(2)(1)x x x g x e x e x e '=+-=-，01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>，∴()g x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数．∴min ()(1)e g x g ==-，∴b e ≤-．∴b 的取值X 围为(,]e -∞-．（2）若2a =，4b =，4c =时，()(2)44ln x f x x e x x =-+-，44()(2)4(1)x x x f x e x e x e x x ⎛⎫'=-+-+-=-- ⎪⎝⎭， 令4()x h x e x=-，显然()h x 在(1,)+∞上为增函数． 又(1)40h e =-<，2(2)20h e =->，∴()h x 有唯一零点0x ．且0(1,2)x ∈，01x x <<时，()0h x <，()0f x '>；0x x >时，()0h x ≥，()0f x '<，∴()f x 在()01,x 上为增函数，在()0,x +∞上为减函数．∴()()0max 0000()244ln xf x f x x e x x ==-+-． 又()00040x h x e x =-=，∴004x e x =，004x x e =，00ln ln4x x +=． ∴()()000000082444ln 444ln 4x f x e x x x x x =-+-=-+-- 001844ln 4x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭． 18244ln 4168ln 22⎛⎫<+--=- ⎪⎝⎭，()012x <<． ∴当1x >时，()168ln 2f x <-．【点睛】此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，||3AB =，2BM MA =．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率存在的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，(0,1)E ，求22||||EP EQ +的取值X 围．【答案】（1）2214x y +=（2）2564,25⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出,EP EQ ，得到EP EQ ⊥，所以222||||||EP EQ PQ +=，代入韦达定理即可求解.【详解】（1）设()0,0A x ，()00,B y ，则22009x y +=，设(,)M x y ，由2BM MA =得()00003222(0)3x x x x x y y y y y ⎧⎧==-⎪⎪⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎩⎩． 又由于223(3)92x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简得M 的轨迹C 的方程为2214x y +=． （2）设直线PQ 的方程为35y kx =-， 与C 的方程联立，消去y 得()222464140525k x kx +--=， >0∆，设()11,P x y ，()22,Q x y ， 则12224520k x x k +=+，1226425100x x k -⋅=+， 由已知()11,1EP x y =-，()22,1EQ x y =-，则()()12121212881155EP EQ x x y y x x kx kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()212128641525k x x k x x =+-++ ()2226482464125100552025k k k k k -=+⨯-⨯+++ 222264641926425625100k k k k---++=+ 0=，故直线EP EQ ⊥．()()222221212||||||14EP EQ PQ k x x x x ⎡⎤+==++-⎣⎦()()()()22222222641254246414520251002514k k k k k k k ++⎡⎤-⎛⎫=+-⨯=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥+⎣⎦()()242264429252514k k k ++=+，令214k t +=，则22222116442925444276625||2525t t t t PQ t t ⎡⎤--⎛⎫+⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎡⎤-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦== 24133176427252727t ⎡⎤⎛⎫=⨯--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 由于2141t k =+≥，101t<≤， 22564||25PQ ≤<． 所以，22||||EP EQ +的取值X 围为2564,25⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(0)3πθρ=>，直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点6,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线2C 交于点A ，曲线1C 与曲线2C 交于点B ，求PAB △的面积．【答案】（1）22cos 20ρρθ--=．60x -=（2）32【解析】【分析】(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标ρ的几何意义求解||AB ，再求点P 到直线AB 的距离即可算出三角形面积.【详解】解：（1）曲线221:(1)3C x y -+=，即22220x y x +--=． ∴22cos 20ρρθ--=．曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=．直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 6θρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为60x -=． （2）设,3A A ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,3B B ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴sin 336A ππρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得3A ρ=． 又22cos 203B B πρρ--=，∴2B ρ=（1B ρ=-舍去）．∴||321AB =-=．点P 到直线AB 的距离为6sin 336ππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭， ∴PAB △的面积为131322⨯⨯=． 【点睛】此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.[选修4-5：不等式选讲]()|3||1|f x x x =-+-．（1）若不等式()f x x m ≤+有解，某某数m 的取值X 围；（2）函数()f x 的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a b c n ++=，证明：48ab bc ac abc ++≥．【答案】（1）[1,)-+∞（2）见解析【解析】【分析】(1)分离m 得到()()31g x f x x x x x =-=-+--，求()g x 的最小值即可求得m 的取值X 围；（2）先求出n ，得到2a b c ++=，利用乘"1"变化即可证明不等式.【详解】解：（1）设34,1()()312,134,3x x g x f x x x x x x x x x -+≤⎧⎪=-=-+--=-+<<⎨⎪-≥⎩， ∴()g x 在(,3]-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增．故min ()(3)1g x g ==-．∵()m g x ≤有解，∴1m ≥-．即m 的取值X 围为[1,)-+∞．（2）()|3||1||(3)(1)|2f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立． ∴2n =，即2a b c ++=． ∵11444()114a a b b c c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++=++++++++ ⎪⎝⎭ 44616a b a c b c b a c a c b=++++++≥． 当且仅当12a =，12b =，1c =时等号成立． ∴1148a b c++≥，即48ab bc ac abc ++≥成立． 【点睛】此题考查不等式证明，注意定值乘"1"变化的灵活应用，属于较易题目.。
河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试数学(理)试题(精编含解析)
洛阳市2018—2019学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的虚部为（）A.-4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据已知求出复数z,再求及其虚部得解.【详解】由题得，所以，所以的虚部为.故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的计算和共轭复数的概念，考查复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，再结合集合补集交集的定义进行求解即可．【详解】，，则或，则，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键．3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A. 100，10B. 100，20C. 200，10D. 200，20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解】由题得样本容量为，抽取的高中生人数为人，则近视人数为人，故选：．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．4.在等比数列中，已知，则（）A. 6B.C. -8D. 8【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，所以，则，选D.5.已知向量，点，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：运用向量的加减运算可得=（5，5），运用向量的数量积的坐标表示，以及向量在方向上的投影为，即可得到所求值．详解：，点C（﹣1，0），D（4，5），可得=（5，5），•=2×5+1×5=15，| |=5，可得向量在方向上的投影为：=．故选：C．点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，由此计算体积即可．【详解】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，所以几何体的体积为；故选：．【点睛】本题考查了几何体的三视图,关键是正确还原几何体的形状，利用公式求体积．7.执行如图所示的框图，若输入的是7，则输出的值是（）A. 720B. 120C. 5040D. 1440【答案】C【解析】【分析】直接模拟程序框图运行程序即得解.【详解】由题得k=1,p=1,p=1,1＜7，k=2,p=2,2＜7,k=3,p=6,3＜7,k=4,p=24,4＜7,k=5,p=120,5＜7,k=6,p=720,6＜7,k=7,p=5040,7≥7，输出P=5040.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图和循环结构，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.欧阳修的《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），则正好落入孔中的概率是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．【详解】如图所示：，，．故选：B【点睛】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．9.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若6，则的面积为（）A. B. C. D. 4 【答案】A【解析】解：设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：，则：，由弦长公式可得：，三角形的面积为： .本题选择A选项.10.若，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设，再求出，利用幂函数的性质比较得解. 【详解】设，所以所以，，，因为函数y=在（0，+∞）单调递减，且，所以.故选：A【点睛】本题主要考查对数指数运算，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于函数以下说法正确的是（）A. 最大值为1，图象关于直线对称B. 在上单调递减，为奇函数C. 在上单调递增，为偶函数D. 周期为，图象关于点对称【答案】B【解析】【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.【详解】设点P(x,y)是函数图像上的任意一点，则点Q在函数y=f(x)的图像上，，对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是，所以图象不关于直线对称，所以该选项是错误的；对于选项B,，所以函数g(x)是奇函数，解，,所以函数在上单调递减，所以该选项是正确的；对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为，解所以函数图像的对称中心为,所以该选项是错误的.故选：B【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数,则实数的取值范围为（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】设，所以函数在为增函数，在为减函数，作函数的图象与直线，由其位置关系得：，解得，得解.【详解】设，则当时，，当时，， 所以函数在为增函数，在为减函数，的解集为等价于的解集为，即当且仅当在区间上函数的图象在直线的上方，函数的图象与直线的位置关系如图所示，由图可知：， 解得：，故选:【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和图像，考查利用导数研究不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若，则的展开式中，含项的系数为__________．【答案】【解析】 【分析】先根据求出n=6,再求的的系数，最后求含项的系数.【详解】由题得，所以，设的通项为，当该项的系数为,当该项的系数为,所以含项的系数为135-2×1215=-2295. 故答案为：-2295【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_________． 【答案】乙【解析】【分析】推导出丙是团支书，年龄从大到小是乙丙团支书，由此得到乙不是学委，故乙是班长．【详解】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书，丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙丙学委，由此得到乙不是学委，故乙是班长．故答案为：乙．【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，是基础题．15.若数列满足，且对于任意的都有，则__________．【答案】【解析】【分析】先利用累加法求出数列的通项，再利用裂项相消法求解.【详解】由题得所以，适合n=1.所以，所以.故答案：【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________．【答案】【解析】如图，延长相交于，连接，交于，延长相交于，连接交于，可得截面五边形，是边长为的正方体，且分别是棱的中点，，截面的周长为，故答案为.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，已知内角，，所对的边分别为，，，向量，，且，为锐角.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，再化简得到角大小；（2）先利用正弦定理得，且.再利用三角函数的图像和性质求的面积的最大值.【详解】（1）∵，，且.∴，.∴. 因为B 为锐角，所以,所以所以.（2）由（1）知，在中，由正弦定理得.所以，且.所以. 当且仅当即时面积有最大值.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=,PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。
2020-2021学年河南省洛阳市汝阳县高三(上)联考数学试卷(理科) (解析版)
2020-2021学年河南省洛阳市汝阳县高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若复数z＝2﹣i，则|iz2﹣1|＝（）A．2B．3C．D．182．已知集合A＝{x|x2﹣5x≤0}，B＝{x|x＞1}，若C⊆（A∩B），则集合C可以为（）A．（1，5）B．[1，5]C．（1，+∞）D．（﹣1，5）3．已知tanα＝2，则＝（）A．B．2C．D．±4．已知a＝log30.4，b＝log0.30.4，c＝20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．已知点P为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，且点P到x轴的距离比它到焦点的距离小3，则p＝（）A．3B．6C．8D．126．我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产，各旅游景区也逐渐恢复开放．某4A 景区对重新开放后的月份x与该月游客的日平均人数y（单位：千人/天）进行了统计分析，得出如表数据：月份（x）4578日平均人数（y） 1.9 3.2t 6.1若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为＝x﹣2，则表中t的值为（）A．4.7B．4.8C．5D．无法确定7．若函数f（x）＝2x3﹣25x+2﹣m是定义在R上的奇函数，则f（x）的图象在点（m，f（m））处的切线方程为（）A．x+2y﹣70＝0B．x﹣y+32＝0C．2x﹣y+30＝0D．x+y+32＝08．古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例，如图为希腊的一古建筑．其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD、EBCF、FGHC、FGJI、LGJK、MNJK均近似为黄金矩形，若A与D间的距离大于18.7m，C与F间的距离小于12m，则该古建筑中A与B间的距离可能是（）（参考数据：≈0.618，0.6182≈0.38，0.6183≈0.236）A．29m B．29.8m C．30.8m D．32.8m9．执行如图所示的程序框图，设所有输出数据构成的集合为A，若从集合A中任取一个元素a，则满足函数f（x）＝2x2﹣ax+2020在区间[1，+∞）内单调递增的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，记关于x的方程f（x）＝t（﹣2＜t＜﹣1）在区间[0，]上所有解的和为θ，则tanθ＝（）A．﹣B．C．﹣D．tan2t11．已知实数x，y满足（x﹣3）2+y2＝，则的最小值为（）A．B．1C．D．212．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”，如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑堵”．底面△ABC是以AB为斜边的直角三角形且AB＝5，AC＝3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为（）A．B．C．30πD．45π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【精品解析】河南省洛阳市示范高中高三数学联考试题解析 理 (教师版)
精品解析：洛阳市示范高中2012届高三联考数学（理）试题解析（教师版）【试题总体说明】本套试题整体上符合高考考纲的要求，侧重于基础的同时，也能体现同学们是不是灵活的运用知识解决相关的 问题，能会分析问题和解决问题的能力，体现的比较突出。
试题看似亲切，但是要注意到一些细节问题，整体上难度适合中等生，或者中等以上的学生来解决该试题。
试题的知识点含量比较多，可以说是面面俱到，重点问题重点考查，难点问题也有所突破。
是一份比较成功的试卷。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数212m z -=+ii （m R ∈，i 是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】解：因为m 2i (m 2i)(12i)m 4(22m)iz 12i (12i)(12i)5-----+===++- 当m>4时，则实部大于零，虚部必然要小于零，不能为第一象限。
当m<4时，则虚部可正可负，因此选A2．下列函数中，在(1, 1)内有零点且单调递增的是( ) A ．12log y x B ．21xyC ．212yx D ． 3y x故选B3．阅读右侧的算法框图，输出结果S 的值为 A ．1 B ．3C. 12 D ．3【答案】D【解析】解：因为根据已知条件，可得S=32,n=2; S=3 3S=32,n=5; S=0,n=6; S=0,n=7; 3,n=8;则可知S 的值是周期为6的一个循环，则当n=2011时，符合题意，此时是周期的整数倍多1，因此就是第二项即3, 4．先后连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量（m ，n ）与向量（-1，1）的夹角90θ>︒ 的概率是（ ）A ．12 B ．13C ．712D ．512【答案】D【解析】解：因为先后连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量（m ，n ）与向量（-1，1）的夹角090m n 0n m θ>∴-+<∴<，而所有的情况有36种，则减去m>n 的情况就是(6,1),(6,2) (6,3 (6,4) (6,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (4,1) (4,2) (4,3) (3,1) (3,2) (2,1)共15种，则由古典概型可知，概率为1553612=5．已知tan 2α=，则2cos 2(sin cos )ααα-的值为 （ ）A ．3-B ．3C ．2-D ．2【答案】A【答案】A【解析】解：由三视图可知该三视图中三棱锥的高为2，底面积是正三角形边长为2，侧面是两个等腰直角三角形，腰长为2，另一个侧面是腰长为222的等腰三角形，利用三角形面积公式可以得到结论。
河南省洛阳市2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析
河南省洛阳市2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为0.080.08log 0.042log 0.20.20a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，所以0.20.211log log 0.3a b ==且0.2log y x =在()0,∞+0.3< 所以11a b>，所以b a >，又因为0.21a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，所以b a c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.2．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】由题意，直线l 的斜率为06133PF k k +===+，可得直线l 的方程为3y x =-，把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b-=，可得2222222()690b a x a x a a b -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212226a x x a b +=-，由AB 的中点为()3,6P --，可得22266a a b=--，解答222b a =， 又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得3,6a b ==，所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 3．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4 B ．8C ．9D ．27【答案】D 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，则323,233AD AM AD ===， 226PM PA AM ∴=-=， 1362312P ABC V -∴=⨯⨯=， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ， 则13443P ABC O ABC V V r --==⨯⨯， 解得：612r =； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ， 则MN PM R =-或R PM -，AN R =， 在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：222AM MN AN +=，22163R R ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得64R =， 3Rr∴=， 3327V R v r∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.4．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.5．已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin α=，则sin 2α=( ) A ．45B ．35C ．35-D ．45-【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，即可求出1m =-，得出(3,1)P -，得出sin α和cos α，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果. 【详解】根据题意，sin 10m α==，解得1m =-， 所以(3,1)OP =-u u u r，所以sin ,cos 1010αα=-=， 所以3sin 22sin cos 5ααα==-. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.6．已知,a r b r 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-r r r 与br 的夹角为150o,则b r 的取值范围是（ ）A ．B ．[1,3]C ．D ．[3,2]【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==u u u ru u ur r r 则AC DB a b ==-u u u r u u u rrr，因为a b -r r与b r的夹角为150o ，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得sin 30sin b a θ=︒r r ，所以sin 2sin sin 30a b θθ=⨯=︒r r ，所以02b <≤r ，故选C ．考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．7．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若2AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A 2B ．3C ．23D 23【答案】B 【解析】 【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得222b AB a==，由1b =，可得2a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(3,0),(3,0)F F -， 所以21211223622ABF S AB F F =⋅⋅=⋅⋅=V 三角形ABF 2的周长为()()22112242422262C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+=+=设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积11623222S C r r r =⋅⋅=⋅⋅=， 所以326r =，解得3r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.8．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 的边长为3，则OG 3=，∴四面体A BCD -的外接球的半径R ===∴球O 的表面积为220π4π3⨯=． 故选A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则A B =I （ ）A ．[-1,0]B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【详解】2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤， ∴{|01}A B x x =I ≤≤． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.10．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.11．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值． 【详解】解：()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++Q 在复平面内所对应的点在虚轴上，2a 10∴-=，即1a 2=． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．设函数()22cos cos f x x x x m =++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()17,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m =（ ） A ．12B ．32C ．1D ．72【答案】A 【解析】 【分析】由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值． 【详解】()22cos cos f x x x x m =++1cos22x x m =+++2sin(2)16x m π=+++，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-，∴()[,3]f x m m ∈+，由题意17[,3][,]22m m +=，∴12m =． 故选：A ． 【点睛】本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省洛阳市第九中学2021年高三数学理联考试卷含解析
河南省洛阳市第九中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有( )A．450 B．460 C．480 D．500参考答案：C略2. 设函数的图象过点（，–3），则a的值A．2 B．–2 C．– D．参考答案：A略3. 是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则的值等于（）A．B．C．D．参考答案：B略4. 已知函数，则的值是（）A.9B.C.－9D.－参考答案：B略5. 直线与圆相交于两点（），且是直角三角形（是坐标原点），则点与点之间距离的最大值是A． B．C． D．参考答案：C略6. 已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），则( )A．a+b=0 B．a﹣b=0 C．a+b=1 D．a﹣b=1参考答案：C【考点】二倍角的余弦；对数的运算性质；余弦函数的定义域和值域．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意，可先将函数f（x）=sin2（x+）化为f（x）=，再解出a=f（lg5），b=f （lg）两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案【解答】解：f（x）=sin2（x+）==又a=f（lg5），b=f（lg）=f（﹣lg5），∴a+b=+=1，a﹣b=﹣=sin2lg5故C选项正确故选C【点评】本题考查二倍角的余弦及对数的运算性质，解题的关键是对函数的解析式进行化简，数学形式的化简对解题很重要7. 对两个变量y和x进行线性回归分析，得到一组样本数据：则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到线性回归方程为必过样本点的中心B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D．残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高。
参考答案：C8. 如图所示程序框图中，输出（）A．45 B．-55 C．-66 D．66参考答案：B试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：，故选B.考点：程序框图.9. 已知函数，其中为自然对数的底数，若有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B． C. D．参考答案：C10. 已知双曲线的左右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆交C的右支于两点，若的一个内角为60°，则C的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：C分析：由条件可知△PQF1为等边三角形，从而可得出P点坐标，代入双曲线方程化简得出离心率．详解：设双曲线方程为由对称性可知△PQF1为等腰三角形，若△PQF2的一个内角为60°，则△PQF1是等边三角形，∴△F1PQ的一个内角为600°，∴∠PF2Q=120°，设PQ交x轴于A，则|AF1|= |F1P|=c，|PA|=c，不妨设P在第二象限，则P（﹣2c，c），代入双曲线方程可得：∴令a=1可得：4c4﹣8c2+1=0，解得c 2=1+ 或c 2=1﹣（舍）．∴c=或c=﹣（舍）．∴e=.故答案为：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.312试题分析：前19行共有个数，所求两数为第78和第79个奇数，因此和为.考点：新定义，数列的项.12. 数列满足，，，则．参考答案：【知识点】数列递推式．D1解析：∵数列{a n }满足a 1=2，?n∈N *，a n+1=，∴=﹣1，=，=2，…∴数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又2015=671×3+2， ∴a 2015=a 2=﹣1． 故答案为：﹣1．【思路点拨】由已知条件根据递推公式，利用递推思想依次求出数列的前4项，从而得到数列{a n }是以3为周期的周期数列，又2015=671×3+2，由此能求出a 2015．13. 已知ΔABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,若a = 1, 2cos C + c = 2b ,则ΔABC 的周长的取值范围是__________.参考答案：略14. 若命题“，使得”为假命题，则实数的范围 ▲ ．参考答案：15. 设全集是实数集，，，则图中阴影部分表示的集合等于____________.（结果用区间形式作答）参考答案：16. 在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组，表示的区域，E 是到原点的距离不大于l 的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是 。
2022年河南省洛阳市东方高级中学高三数学理联考试题含解析
2022年河南省洛阳市东方高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设{a n}是有穷数列，且项数n≥2．定义一个变换Ψ：将数列a1，a2，a3，…，a n变成a3，a4，…，a n，a n+1，其中a n+1=a1+a2是变换所产生的一项．从数列1，2，3…，22016开始，反复实施变换Ψ，直到只剩下一项而不能变换为止，则变换所产生的所有项的和为（）A．2016 B．22015+24031C．2016 D．2016参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】利用Ψ变换的意义，从数列1，2，3，…，22016开始，反复实施变换Ψ22015次得到：1+2，3+4，…，+22016；…依此类推，反复实施变换Ψ22016﹣2015次得到：1+2+3+…+22015，++…+，再经过一次η变换即可得到1+2+3+…+22016，因为经过每一次Ψ变换得到所有项的和为22015+24031，共需要经过1+2+…+22015+1=22016次Ψ变换，即可得到答案．【解答】解：从数列1，2，3，…，22016开始，反复实施变换Ψ22015次得到：1+2，3+4，…，+22016；对上述数列反复实施变换Ψ22014次得到1+2+3+4，5+6+7+8，…，+++22016；…依此类推，反复实施变换Ψ22016﹣2015次得到：1+2+3+…+22015，++…+，再经过一次Ψ变换即可得到1+2+3+ (22016)∵经过每一次Ψ变换得到所有项的和都为=22015+24031，共需要经过1+2+…+22015+1=次Ψ变换．则变换所产生的所有项的和为2016．故选：C．2. 已知定义在上的函数满足：对任意，都有成立，且，设，则三者的大小关系是------------------------------------------------（★ ）A． B．C．D．参考答案：C3. 某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是A.y＝2x－2B.y＝()xC.y＝log2xD.y＝(x2－1)参考答案：D4. 已知函数的图象经过区域，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．参考答案：C略5. 若，是第三象限的角，则（）A．B．C．D．参考答案：D由，是第三象限的角，所以，.故选D.6. 已知数列的通项公式是，则＝( )A．70 B．28 C．20 D．8参考答案：C7. a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9的大小关系是( )A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a参考答案：A【考点】指数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】由指数函数，对数函数的单调性，确定0＜a=log0.70.8＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1．【解答】解：0＜a=log0.70.8＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1．故选A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，属于基础题．8. 下列函数中, 在区间上为增函数的是( )A. B. C. D.参考答案：A 9. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1,x2,…,x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1,2,…,n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．－1 B．0 C．D．1参考答案：D10. 已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若命题“x∈R，”为假命题，则实数a的取值范围是_____．参考答案：[-1,7]12. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1各个顶点都在球面上，，，过棱AB作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．参考答案：5易知球的半径为，取中点，则当截面与垂直时，截面面积最小，此时球心到截面的距离为．13.若定义在区间内的函数满足，则实数的取值范围是___________________。
2021年河南省洛阳市第十三中学高三数学理联考试题含解析
2021年河南省洛阳市第十三中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，3，则输出v的值为（）A．20 B．61 C．183 D．548参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为183．【解答】解：初始值n=4，x=3，程序运行过程如下表所示：v=1i=3 v=1×3+3=6i=2 v=6×3+2=20i=1 v=20×3+1=61i=0 v=61×3+0=183i=﹣1 跳出循环，输出v的值为183．故选：C．2. 若（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A. 2iB. －2iC. －2D. 2参考答案：D【分析】计算出，即可求出复数z的虚部．【详解】复数的虚部是2故选D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，其关键是熟练掌握其运算法则．3. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月份C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元（注：结余=收入-支出）参考答案：D读图可知A、B、C均正确，对于D，前6 个月的平均收入＝45万元．4. 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）A．B．C．D．0参考答案：A【考点】向量在几何中的应用；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得?的值．【解答】解：取AB的中点C，连接OC，，则AC=，OA=1∴sin =sin∠AOC==所以：∠AOB=120°则?=1×1×cos120°=．故选A．【点评】本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及向量的数量积公式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．5. 已知命题，使，则（）A．，使B．，使C．，使D．，使参考答案：D全称命题的否定式特称命题，所以选D.6. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（）参考答案：C【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。
河南省洛阳市高三数学下学期尖子生第一次联考试题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
河南省洛阳市2016届高三下学期尖子生第一次联考理科数学试卷解析一、 选择题1. 若非空集合{|135},{|116}A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤ 则满足(A )A B ⊆的所有实数a 的集合是（）A.[0,7]B.C. [3,7]D. 答案：C解析：(A )A B ⊆等价于A 是B 的子集 A 集合非空等价于135a a +≤- 综上解得37a ≤≤ 2. 设复数2()1a i z i+=+ 其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为 A.-32 B. -32i C. -12 D. -12i 答案：A解析：22212(1)22a ai a a iz i +-+-==3. 如果圆222x y n += 至少覆盖曲线()()xf x x R nπ=∈的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：B解析：最小范围内的至高点坐标为(2n 原点到至高点距离为半径22/432n n n =+⇒=4. 双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，双曲线C 与抛物线24y x =的准线交于A,B 两点，若AB=4，则双曲线C 的实轴长为（）答案：C解析：此乃等轴双曲线22221y x a a-=抛物线准线方程x=-1，因此交点为(1,2)-± 代入坐标解得2a=2 35. 在ABC ∆中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，且cos2B+3cos(A+C)+2=0,3b = 那么ABC ∆周长的最大值是A. 3B. 23C.33D. 43 答案：C解析：化简为22cos 3cos 10B B -+= 因此1cos ,23B B π== 由余弦定理得223233a c ac ac ac +-=≥-⇒≤ 从而周长32333a c ac ++≤+≤6. 已知52345012345(21)x a a x a x a x a x a x -=+++++ 则23452345a a a a +++=（） A.10 B.5 C.1 D.0 答案：D解析：看似二项式展开，实则是导数题目求导得42341234510(21)2345x a a x a x a x a x -=++++ 令x=0得110a =令x=1得234523450a a a a +++= 7. 设函数|lg |1||,1()0,1x x f x x -≠⎧=⎨=⎩ 则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解的充要条件是A. b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c=0D. b>0且c=0 答案：C解析：二次方程有最多有两个解如图所示，12()0()0f x f x =>且 从而两根和-b>0且两根积c=0 8. 将曲线C:7sin()cos()88y x x ππ=-+上每一点向右平移a>0个单位，得到曲线C ’，若曲线C ’的一个最低点横坐标为π/4，且当2132[,],b N*88b b x ππ++∈∈时，曲线C ’上任意两点连线斜率恒大于0，则b 值为（）A.1B. 2C. 3D. 4 答案：A解析：化简曲线C:1sin(2)24y x π=+平移得到C ’: 1sin(2())24y x a π=-+ 把最低点坐标1(,)42π-代入C ’得到58a π=，即1sin 22y x =-函数在给定区间单调递增，因此21323[,][,]8844b b ππππ++⊆ 解得1423b ≤≤ 故选A9. 在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组,01x y x y ≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x+y=0上任意一点，O 为坐标原点，则||OP OQ +的最小值为 A.55 B. 23 C. 22D.1 答案：A解析：考查向量加法几何意义 即平行线间距的最小值10. 执行如图所示的程序框图，若f(x)在[-1,a]上的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是 A. (0,1] B. [1,3] C. [1,2] D. [3,2]答案：B解析：流程图转化为分段函数 找到临界点(1,0)和 11. 数列{}n a 满足112(2)2,(*)1n n n a a a n N n ++==∈+ 则2015122014...a a a a =+++ A.10081007 B. 20151007 C. 20162015 D. 20152014 答案：A解析：考查数列递推公式12(1)n n a n a n -+= 因此11211212(1)223......2(1)212n n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----+⨯=⋅=⨯=+-使用错差法得2n n S n =因此目标函数等于20142014201621008201421007⨯=⨯ 12. 已知函数1()e ,()ln22xx f x g x ==+，,(0,)a R b ∀∈∃∈+∞使()()f a g b = 则b-a 的最小值为A. 1B. 212e - C. 2ln 2- D. 2ln 2+ 答案：D 解析：令1e ln022ab x =+=>，则 1/2ln ,2x a x b e -==，从而1/22ln x b a e x --=-构造函数1/2()2ln x h x ex -=-，求导得1/21'()2x h x e x -=-，解得极值点12x =因此b-a 的最小值为h(1/2)=2+ln2 二、 填空题13. 在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与xy e =的图像关于直线y=x 对称，函数f(x)的图像与g(x)的图像关于y 轴对称，若f(m)=-1，则m 的值为___答案：－1/e 解析：()ln g x x =14. 设椭圆C 的左右焦点分别为F1F2，过F1的直线与C 相交于P,Q ，若PF2=F1F2，3|PF1|=4|QF1|，则椭圆C 的短轴与长轴长度之比为___ 答案：26/7解析：12212,222PF PF a PF c PF a c +==⇒=-由余弦定理得222(22)(2)(2)1cos 4(22)22a c c c a c e c a c c e θ-+---===⨯- 由焦点弦分成比例得22341cos (1cos )(1cos )7b b e a e a e θθθ=⇒=--综上得到222526177b e e a =⇒=-=15. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___ 答案：36π解析：几何体的直观图如图所示 AE=3,EF=2,FB=1,EF=5,EC=3 平面ABD ⊥平面ABC易证，标记两角均为直角，故E 为外接球球心 R=3，故2436S R ππ==16. 如图所示，作一个边长为1的正△ABC ，且AB 与x 轴的夹角为5°，易知向量和0AB BC CA ++=，令与x 轴同向的单位向量为i ，则有()cos5cos125cos 2450i AB BC CA ⋅++=︒+︒+︒=，仿照以上方法，推广以上结论可得12cos cos ...cos 0n a a a +++=，若1a a = 则n a =___ 答案：略解析：观察正三边形有三项，角度呈等差数列，公差为120°公差与多边形内角的补角一一对应，即(2)2n d n nπππ-=-= 推广后得到正n 边形有n 项，角度依旧等差，12(1)(1)n n a a n d nπα-=+-=+ 三、 解答题17. 已知正项数列{}n a 的前6项和为Sn ，满足2(1)S (0,1)n n p p a p p -=->≠，设1(*)2log n p nb n N a =∈-(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设数列1{}n n b b +的前n 项和为Tn ，是否存在正整数m ，使得11,*n m m T n N b b +<∈恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由. 解析：2111n 1,(1)p a p a a p =-=-⇒=错差法211(1)S n n p p a ---=-，得到11(1)/1/n n n n n p a a a a a p ---=-⇒= 等比数列{}n a 的通项公式2n n a p -=11111n n n b b b n n n +=⇒=-+，因此1111n n T n n =-=++ 111m m n n b b +<+恒成立等价于11(1)m m ≥+ 令1()(1)f x x x =+，则2221'()(1)x f x x x +=-+注意f(1)=1/2，且x ≥1函数单调递减，因此不存在符题意的m 最小值18. 一个袋中装有黑球、白球和红球共n 个，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中任意摸出一个球，得到黑球的概率是2/5，现从中任意摸出2个球.(1)当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大？最大概率是多少？ (2)当n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率为4/7，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望.解析：设n 个球中黑球i 个，白球j 个，则红球有n-i-j 个摸1个得黑球概率是2/5，则i=2n/5 (1) 摸2个至少有1个黑球概率为1122()(1)/21610(1)/22525i n i in C C C i n i i i n P C n n n -+-+--===-- 求导为负，因此随着n 的增大，概率在减小，故最大概率P(5)=0.7 (2) 依题意得11215152154(15)5247j j C C C P j or C -+==⇒=，取j=5 此时黑球个数i=6，故红球有15-5-6=4个 因此随机变量X 可能的取值为0,1,221121555(0)105C P X C === 1111421544(1)105C C P X C === 242156(2)105C P X C === X 0 1 2 P55/10544/1056/1054465612105105105EX =⨯+⨯= 19. 如图，四棱锥P-ABCD 底面为等腰梯形，AB//CD ，A C⊥BD，垂足为H ，PH⊥底面ABCD ，E为AD 的中点. (1)求证：BC⊥PE；(2)若60APB ADB ∠=∠=︒ 求二面角H-PE-D 的余弦值. 解析：PH⊥底面ABCD ，PH ⊥BCRT △ADH 中，斜边中线HE=DE ，对顶角代换 得到两角互余，因此EH ⊥BC BC ⊥平面PEH 上的直线PE (2)等边△EDH 中，边长＝13以H 为原点建系，则111(0,0,0),(0,0,1),(,,0),(0,,0)2233H P E D --平面HPE 法向量m 满足m HE m HP ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得(2,23,0)m = 平面DPE 法向量n 满足0n DE n DP ⋅=⎧⎨⋅=⎩解得(2,23,2)n =-- 1241cos ,4128125m n -<>==++ 20. 已知直线l 与椭圆221:14y C x +=交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，向量1122(2,),b (2,)a x y x y == 且a b ⊥.(1)若直线l 过点(0,3)-，求直线l 的斜率；(2)AOB ∆的面积是否为定值，若是，求出定值，若不是，试说明理由. 解析：(1)设直线方程为3y kx =-，11223,3y kx y kx =-=- 联立椭圆方程2244x y += 得22(4)2310k x kx +--=121222231,44k x x x x k k -+==++ 两向量数量积为零121240x x y y += 解得22k =(2)由(1)知，设定直线方程是解题关键，因此可设截距式直线方程y kx m =+，联立方程得到222(4)240k x kmx m +++-=212122224,44km m x x x x k k--+==++ 两向量数量积为零12124()()0x x kx m kx m +++= 解得2224k m =-AOB ∆的面积可表示为2121212||||||()422m m S x x x x x x =⨯-=+- 综上可得S=1，故面积为定值21. 已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+(1)求函数的单调区间； (2)若不等式1(1)n ae n++≤对任意的*n N ∈都成立，求a 的最大值.解析：无参函数求单调区间，要多次求导222(1)ln(1)2'()(1)x x x x f x x ++--=+，令2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++-- '()2ln(1)2g x x x =+-，令()2ln(1)2h x x x =+- 2'()1xh x x-=+ 注意：'(0)'(0)'(0)0h g f ===当10x -<<时'()0,'()'(0)0,'()'(0)0h x g x g f x f ><=>=，故f(x)单调递增 当0x ≥时'()0,'()'(0)0,'()'(0)0h x g x g f x f <>=<=，故f(x)单调递减 综上，函数f(x)的单调区间为(1,0),(0,)-↑+∞↓23.选修4-4：参数方程极坐标在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=> 已知过点P(-2,-4)的直线l 的参数方程为：2242x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于M,N 两点. (1)写出曲线C 的直角方程和直线l 极坐标方程； (2)若PM,MN,PN 成等比数列，求a 的值. 解析：222sin2cos 2a y ax ρθρθ=⇒=直线方程24(cos sin )2x y ρθθ+=+⇒-=等比中项2MN PM PN =⋅，由直线参数方程参数意义可知21212()||t t t t -=因此联立直线与曲线方程得2)3280t t a -++=1212328t t t t a⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ 由等比中项解得23401a a a +-=⇒=。
2021届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试(1月)数学(理)试题(解析版)参照模板
百度文库精品文档洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =( )A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=( )A. 0B. 1C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.【详解】由于复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题. 3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:百度文库精品文档根据上述图表信息，下列结论错误的是( )A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆 【答案】D 【解析】 【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项. 【详解】对于A 选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量 6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A 选项结论正确.对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确.对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确. 对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为( ) A.14B.12C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是( ) A.126B.122C.117D.115【答案】B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6.圆22 2410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是( ) A. 1 B. 3C. 5D. 9【答案】B 【解析】 【分析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值.【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12215254333b a a b ⎛⎫≥+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22,1b a a b a b===时等号成立. 故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值. 7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=(e为自然对数的底数)的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题. 8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为( )A. 33033+B. 3309+C. 123D.991022+ 【答案】A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为23，则底面积为33，侧棱长为13，则可求侧面积为330，所以可得表面积.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD ==，AB=AC=BC=333ABCS =又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则22223213AS AH SH +=+则在等腰SAB 中12310302SABS=⨯=所以侧面积为3033033+A . 【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为( ) 5 B. 517D.179【答案】C【解析】 【分析】根据12 2F F OP =判断出三角形12F F P 是直角三角形，利用214tan PF F ∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于12 22F F OP c ==，所以三角形12F F P 是直角三角形.所以12121222221212424PF tan PF F PF PF PF a PF PF F F c ⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179c a =，即3c e a ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是( )A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a c b >>.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是( ) A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误. 延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为( ) A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t at +-≥恒成立，即2240t at +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】 【分析】 利用()222a b a b+=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a a b b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9- 【解析】 分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】 【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以0002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】 【分析】先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围.【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+.由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln xh x x=-，()'ln 1x h x x -=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e ≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e≤-.②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a . ③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==.综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭.故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】(1)b =(2)3(+ 【解析】 【分析】(1)结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.(2)利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-. 将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即3tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+3322(36)2sinB cosB sin B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，即3sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,23]b c +∈ 所以周长a b c ++范围是3 3 (],33+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)51,52⎤⎥⎣⎦ 【解析】 分析】(1)利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .(2)建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD ⊥2221203BD AB AD AB AD cos =+-⋅⋅︒=，2BC =.又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF(2)解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设03()EM m m =≤≤，则()()3,0,0,0,1,0,000),(,B C D ，(()3,3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x =00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(130330x y m x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令3x =，则3,3y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,3()n m =. 设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>(,nBD n BDm ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为1,52⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA . 【答案】(1)240x y -+=.(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程. (2)由(1)求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA . 【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩①又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=- 由2AP PB =得:122x x =- 代人①解得12k =∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=. (2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +---114PA k x =-， ()22221221228422BQx x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212212112188022x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 20.设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+. 【答案】(1)单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)k e >，证明见解析 【解析】 【分析】(1)当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间. (2)先求得()f x 的导函数()()()'1x e x fx kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232xf x e x x x =--+ ()()() 1x f x e x x '∴=--.百度文库精品文档令()(),'1xxh x e x h x e =-=-，()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <， ()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21xx x f x ex e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()xg x e kx =-，0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <. ()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11xe kx =得11x lnk lnx =+，由33x e kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x xln x x x ->+令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>=∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+>【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下: 考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名. (1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由. 参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】(1)266分或267分.(2)能获得高薪职位.见解析 【解析】 【分析】(1)利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. (2)计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位. 【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ.令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥= 即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭.则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥=⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，01801.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分. (2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈， 即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. (1)求圆C 的参数方程；(2)若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】(1)33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)；(2)225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)已知得，圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；(2)结合(1)得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解. 【详解】(1)由已知得，圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =， 所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)． (2)由(1)得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=， 即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23.设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)见解析(2)(,3)-∞【解析】【分析】(1)利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形.(2)将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+，即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。
2021年河南省洛阳市第十第一中学高三数学理联考试卷含解析
2021年河南省洛阳市第十第一中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“对任意,都有”的否定为（）A．对任意,都有B．不存在,都有C．存在,使得D．存在,使得参考答案：D略2. 已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且，则（）A. 16B. 8C. 4D. 2参考答案：C【分析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．【详解】设正数的等比数列{a n}的公比为，则，解得，，故选C．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．3. 若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则=（）A . 4+2ΔxB .4Δx C． 4 D . 2Δx参考答案：A4. 已知函数，则f（f（0））的值为A、－1 B、0 C、1 D、2参考答案：Cf(0)＝1，f(f(0))＝f (1)＝2－1＝1．故选C．5. 已知夏数，则(A) (B) (C)l (D)2参考答案：C略6. 函数f（x）=lnx+x2﹣10的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：C【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据连续函数f（x）=lnx+x2﹣10，满足f（2）=ln2﹣6＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，可得函数f（x）=lnx+x2﹣10的零点所在的区间．【解答】解：∵连续函数f（x）=lnx+x2﹣10，f（2）=ln2﹣6＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，∴函数f（x）=lnx+x2﹣10的零点所在的区间是（2，3）．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．7. 双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为A．6 B．2 C． D．2参考答案：D8. A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且，则的取值集合是( )．A． B． C． D．参考答案：C9. 过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是A． B．C． D．参考答案：D10.在的展开式中，含x的项的系数是A．55 B．－55 C．56 D．－56参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则．参考答案：12. （﹣2）7展开式中所有项的系数的和为．参考答案：﹣1【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由于二项式各项的系数和与未知数无关，故令未知数全部等于1，代入二项式计算．【解答】解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查求二项式各项的系数和的方法，利用了二项式各项的系数和与未知数无关，故令未知数全部等于1，代入二项式计算．13. 若一个球的体积为4π，则它的表面积为 .参考答案：12π14. 如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。
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精品解析：洛阳市示范高中2012届高三联考数学（理）试题解析（学生版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数212m z -=+ii （m R ∈，i 是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，在(1, 1)内有零点且单调递增的是( )A ．12log y x B ．21xyC ．212yx D ． 3y x3．阅读右侧的算法框图，输出结果S 的值为 A ．1 B ．3C. 12 D ．324．先后连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量（m ，n ）与向量（-1，1）的夹角90θ>︒ 的概率是（ ）A ．12B ．13C ．712D ．5125．已知tan 2α=，则2cos 2(sin cos )ααα-的值为 （ ）A ．3-B ．3C ．2-D ．27．.由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形的面积为A.121 B.41C. 31D.1278．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++的值是A ．24B ．19C ．36D ．409已知抛物线222222(0)1x y y px p a b=>-=与双曲线)0,0(>>b a 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．215+ B ．12+ C ．13+D ．2122+10．三棱锥ABC S -的顶点都在同一球面上，且4,22=====SC BC SB AC SA ，则该球的体积为 A ．π3256B ．π332 C ．π16 D ．π64第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则x －3y 的最大值是 _______ .14．函数()sin cos ()f x x x x R =+∈的图象向左平移m ()m R +∈个单位后，得到函数()y f x '=的图象，则m 的最小值为____ ___15．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是16．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：父亲身高x （cm ） 173 170 176 儿子身高y （cm ） 170176182因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值范围．18．（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。
（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。
20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)22,1(P ，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）动直线),(031:R n m n ny mx l ∈=++交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T 。
若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分） 已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当12a时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当0=a 时，对于任意的,2n N n +∈≥且，证明：不等式1111321(2)(3)(4)()42(1)n f f f f n n n +++++-+请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时请写清题号。
23. (本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程．已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）.（Ⅰ）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；（Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设()ln(|1||2|3)f x x m x =-+--（m R ∈）（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若当714x ≤≤，()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．答 案)42sin(22cos 2sin π-=-=C C C ， …………（10分）∵π320<<C ，∴πππ1213424<-<-C ，∴1)42sin(22≤-<-πC ，∴2)42sin(21≤-<-πC ，∴)(C f 的值域是]2,1(-． …………（12分）所以随机变量ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 3 4 5P148 18724 13 316 12410分故117131801234548824316243E ξ=+++++=………………………12分∴平面PAE ⊥平面PAB ………………………6分 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥． 由（Ⅰ）知AE CD ⊥，又PAAE A =∴CD ⊥平面PAE ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAE ．…………………………8分 ∴平面PAE 是平面PAB 与平面PCD 的公垂面．所以，APE ∠就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角．……9分在Rt PAE ∆中，222347PE AE PA =+=+=，即7PE =．……………10分又2PA =，∴227cos 77APE ∠==． 所以，平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为277．…………12分理（Ⅱ）解法二：以A 为原点，AB 、AE 分别为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角故平面PAB 的一个法向量为1(0,1,0)n =．……………………8分设平面PCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则2200n PE n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即3200z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令2y =，则23)n =． …………………10分∴12121227cos ,7n n n n n n ===．所以，平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为27．……………12分20．（1）1222=+y x ………………………4分（2）i ）若n=0，1 ,0:22=+=y x x l 圆ii ）若m=0,916)31( ,31:22=++-=y x y l 圆且过定点（0,1）………………………6分iii ）222222104160(2)033922mx ny n m m n x mnx n x y ⎧++=⎪≠⇒++-=⎨⎪+=⎩时 当0a <时，令2221'()1ax x a f x ax x a x -++-=>0-+-+>0得，解得111x x a><-或（舍去），此时函数()f x 在(1,)+∞上增函数，在(0,1)上是减函数；当102a <<时，令2221'()1ax x a f x ax x a x -++-=>0-+-+>0得，解得1112x <<- 此时函数()f x 在1(1,1)a -上是增函数，在(0,1)和1(1,)a-+∞上是减函数 ………6分 （II ）由（I ）知：0a =时，1()1(1,)f x Lnx x=+-+∞在上是增函数，1()()0x f x f x ∴>>=时设221()()(1)(1)g x f x x Lnx x x x=--=+-> 则332221121(1)(221)'()2x x x x x g x x x x x x -+--+-+=--==又90,,,,BCD OCD OCD OCD BCD E CBD EBC ∠+∠=︒∠=∠∴∠=∠∠=∠又从而点P 到直线 的距离是 ]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.---------10分。