2019_2020学年高二数学寒假第二次线上测试试题文

2019-2020学年高二数学寒假第二次线上测试试题 文一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z 满足(1)|34|z i i -=+，则z =（ ）A ．1722i -+ B ．1722i + C ．5522i - D ．5522i + 2．已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“3sin 3α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要3．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ）A ．11B ．12C ．13D ．144．若a r =2，b r =2，且（a b -r r ）a ⊥r ，则a r 与b r 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 5．袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列命题：①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； ②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； ③若两个变量间的线性相关关系越强，则相关系数r 的值越接近于1;④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③④D ．②③④7．若1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 22a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．34-B ．23-C ．12-D ．13-8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为34，焦距为10，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213218x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<10．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为（ ）A ．30-B ．30-C ．30 D ．30 11．已知P 是函数()2f x x =图象上的一点，过点P 作圆22430x y y +-+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．328-B ．223-C ．0D ．3212．若函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点，则b 的可能取值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6二、填空题（每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为__________.14．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，则33a b +=________． 15．已知三棱锥P-ABC 中，PAB △是面积为43的等边三角形，4ACB π∠=，则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P-ABC 外接球的表面积为_______．16．已知函数()x xx xe ef x e e ---=+，若正实数a ，b 满足(4)(1)0f a f b +-=，则42a b ab +的最小值为_______.三、解答题（17-21每小题12分，22或者23题10分）17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，3c =.（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围．18．在ABC V 中（图1），5AB =，7AC =，D 为线段AC 上的点，且4BD CD ==.以BD 为折线，把BDC V 翻折，得到如图2所示的图形，M 为BC 的中点，且AM BC ⊥，连接AC .（1）求证：AB CD ⊥；（2）求C ADM V -.19．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82820．已知函数()()2ln f x a b x x x x =---．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且()1f a =，求,a b 的值； （2）若1a =，()0f x ≥对()0,x ∈+∞恒成立，求b 的取值范围．21．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率为12，过椭圆1C 的左焦点1F ，且斜率为1的直线l ，与以右焦点2F 为圆心，半径为2的圆2C 相切. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦，且22MF F N λ=u u u u r u u u u r，求1MF N ∆的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.从22题，23题任选一题进行作答 22．选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.23．选修4-5：不等式选讲 已知正实数a b ，满足4a b += . （1）求14a b+ 的最小值.（2）证明：2211252a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭… 柳州高中2018级寒假测试数学文科试题（二）参考答案1．D 【详解】2234345i +=+=，∴55(1)551(1)(1)22i z i i i i +===+--+．故选：D ． 2．B 【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则3sin 3α=±，因此“1cos 23α=”是“3sin 3α=”的必要不充分条件．故选：B ． 3．B 【解析】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人． ∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人。

4．B 【解析】2()202a b a a a b a b a b -⊥=-⋅=-⋅=⇒⋅=r r r r r r r r Q r r ,2cos 2||22a b a b a b ⋅∴〈⋅〉===⋅⨯r r r r u u r r ,所以a 与b 的夹角是4π. 5．B 【解析】试题分析：所有不同方法数有种,所求事件包含的不同方法数有种,因此概率,答案选B.6．B 【详解】解：①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，由方差的计算公式可得样本的方差不变，故正确；②在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故正确； ③r 的绝对值越接近于1，故错误；④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，判断“X 与Y 有关系”的把握越大，故错误.故选：B ． 7．C 【详解】解：∵1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则cos 2cos 222a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭212sin 4πα⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭111242=-+⨯=-8．D 【详解】Q 焦距为10，5c =，∴曲线的焦点坐标为()5,0±，Q 双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为34， 34b a ∴=，2225a b =+，解得4a =，3b =，所求的双曲线方程为：221169x y -=． 9．C 【详解】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<.10．D 【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC ．过点A 作AE ∥CB ，又CB ⊥AB ，则AP ，AB ，AE 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AE ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (4，0，0)，C (4，−2，0)．因为D 为PB 的中点，所以D (2，0，1)．故CP u u u v =(−4，2，2)，AD u u u v =(2，0，1)．所以cos 〈AD u u u v ，CP u u u v 〉=AD CP AD CP⋅⋅u u u v u u u vu u uv u u u v ==−.设异面直线PC ，AD 所成的角为θ，则cos θ=|cos 〈AD u u u v ，CP u u uv 〉|=.11．A 【详解】解：如图设点M 为圆22430x y y +-+=的圆心，坐标为(02)，，圆的半径为1，1sin APM PMAM PM∴∠==，222cos 12sin 1APB APM PM ∴∠=-∠=-，222222(||1)||c 1)(3os APB PM PA PB P PM P A MB P P M∴⋅=⋅⋅-∠=⋅+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，设2||PM t =，则23y PA PB t t=⋅=+-u u u r u u u r ，设2(,)P x x ，则22222242377(2)3|4()244|x x x x x PM =+-=-+=-+≥，故74t ≥，23y t t =+-在7[,)4+∞上单调递增，min 83734287y -=∴=+-，12．A 【详解】()2=b x ax bf x x a x x-+'-+=,函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点, 即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根.所以2=4012210420a b a a b a b ⎧->⎪⎪<<⎪⎨⎪-+>⎪-+>⎪⎩V 以为b 纵坐标，a 为横坐标画出不等式满足的平面区域.曲线214b a =与直线1b a =-相切于点(2,1)， 曲线214b a =与直线24b a =-相切于点(4,4).根据选项，则b 的可能取值在选项中只能为3.故选：A. 13．-2【详解】如图，作出可行域，由图象可知，当目标函数过点C ()1,0-时，函数取值最小值，()min 2102z =⨯--=-.故答案为：-214．293【详解】由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,则331729433a b +=+=．故答案为：29315．1123π【详解】当平面CAB ⊥平面PAB 时，三棱锥P-ABC 的体积达到最大； 记点D ，E 分别为APB △，ACB △的外心，并过两个三角形的外心作三角形所在平面的垂线，两垂线交于点O ，则点O 即为三棱锥P-ABC 外接球的球心，AO 即为球的半径；因为PAB S ∆=4AB =；在ACB △中，45ACB ∠=︒，则90AEB =︒∠，由正弦定理可2ABAE sin ACB=∠，故AE EB EC ===记AB 的中点为F ，则113323OE DF PF AB ===⨯=，故OA ==211243S R ππ==．故答案为：1123π16．8【详解】∵()x x x x e e f x e e ---=+，∴()()x xx xe ef x f x e e----==-+，∴()f x 是奇函数． 又()x x x x e e f x e e ---=+2211x xe e -=+2211x e =-+，设12x x <，则1222x x e e <，即1222111x x e e <+<+， ∴12222211x x e e >++，∴1222221111x x e e -<-++，即12()()f x f x <，∴()f x 是R 上的增函数．∴由(4)(1)0f a f b +-=得(4)(1)(1)f a f b f b =--=-，∴41a b =-，即41a b +=．14a b =+≥=∴116ab ≤．当且仅当4a b =，即11,82a b ==时，等号成立．∴42a b ab +11812216ab =≥=⨯，∴42a b ab+的最小值为8． 故答案为：8．17．【详解】（1）根据余弦定理得222222a c b a b c ac+-+=整理得222a b c ab +-=-【2分】，2221cos 22a b c C ab +-∴==-【2分】， ()0,C π∈Q 23C π∴=【2分】（2）依题意得BCD ∆为等边三角形，所以ABD ∆的周长等于23a b ++由正弦定理32sin sin sin 3a b cA B C====，所以2sin ,2sin a A b B ==，【1分】 24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin()3A A π=+-23sin()6A π=+ 【2分】0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，(,)662A πππ∴+∈，1sin()(,1)62A π∴+∈，2(3,23)a b \+?，【2分】所以ABD ∆的周长的取值范围是(23,33)．【1分】18．【详解】（1）证明：在图1中有：7AC =，4BD CD ==，所以3AD =∴在ABD ∆中，5AB =，3AD =，4BD =222AD BD AB ∴+=，所以BD CD ⊥【2分】在图2中有：在ABC ∆中，AM BC ⊥，M 为BC 的中点5AB AC ∴==，在ABD ∆中，5AC =，4CD =，3AD =222AC CD AD ∴=+，所以CD AD ⊥，【2分】翻折后仍有BD CD ⊥ 又AD 、BD ⊂平面ABD ，AD BD D =I ，⊥CD 平面ABD 【1分】AB ⊂Q 平面ABD ，所以CD AB ⊥【1分】（2）解：由（1）可知CD 、BD 、AD 两两互相垂直.1111(34)442232C ADM M ACD B ACD V V V ---===⋅⋅⋅⋅⋅=【6分】19．【详解】(1)由题中表格可知,50名男顾客对商场服务满意的有40人， 所以男顾客对商场服务满意率估计为1404505P ==【3分】, 50名女顾客对商场满意的有30人，则女顾客对商场服务满意率估计为2303505P ==【3分】 (2)由列联表可知22100(40203010)1004.762 3.8417030505021K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，【5分】所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【1分】20．【详解】（1）()()2ln f x a b x x x x =---，()()2ln 2f x a b x x -'=--，【2分】由()()()111220f a b a f a b ⎧=--=⎪⎨=--='⎪⎩，得01a b =⎧⎨=-⎩，【2分】（2）因为1a =，()()21ln f x b x x x x =---，【1分】()0f x ≥等价于1ln 1x b x x ≤--【1分】，令()1ln 1x g x x x =--，()2ln x g x x='，【2分】当()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递减，【1分】 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，【1分】 所以()()min 10g x g ==，所以(],0b ∈-∞.【2分】21．【详解】（1）设1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，则直线l 的方程为：y x c =+，即0x y c -+=.【1分】∵直线l 与圆2C 相切，∴圆心2F 到直线l 的距离为22d ==，解之得1c =.【1分】 ∵椭圆1C 的离心率为12，即112a =，所以2a =，所以222413b ac =-=-=【1分】 ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=.【1】（2）由（1）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，由题意得直线MN 的斜率不为0，故设直线MN 的方程为：1()x ty t =+∈R ，代入椭圆方程22143x y +=化简可得()2243690t y ty ++-=，【1分】 ()223636430t t ∆=++>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个不等根， ∴122643t y y t -+=+，122943y y t -=+.【1分】∴1MF N V 的面积1121212MF N S F F y y ∆=⋅⋅-=1212122y y y y ⨯⨯-=- ()212124y y y y =+-=22222691214434343t t t t t --+⎛⎫⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭【1分】设21t m +=，则1m ≥，221t m =-，则223431t m +=+，121231MF N mS m =⨯+V .【1分】令2()(1)31m f m m m =≥+，则()22213()031m f m m '-=<+恒成立，【1分】 则函数()f m 在[1,)+∞上为减函数，故()f m 的最大值为1(1)4f =，【1分】 所以1MF N V 的面积的最大值为11234⨯=，当且仅当1m =，即0t =时取最大值，【1分】 此时直线MN 的方程为1x =，即直线MN 垂直于x 轴，此时22MF F N =u u u u r u u u u r，即1λ=.【1分】22．【详解】（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，【2分】 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.【2分】（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，【2分】联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+【2分】， 所以32cos cos sin OA OB ααα-=-- 2cos 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，【1分】 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB-∈-.【1分】23．【详解】（1）因为4a b += ，所以141414544a b b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【2分】因为00a b >>， ，所以44b a a b +… （当且仅当4b a a b = ，即48,33a b == 时等号成立），【2分】 所以14195(54)444b a a b ⎛⎫++⨯+= ⎪⎝⎭…【1分】 （2）证明：2222111141122a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…【2分】 因为4a b += ，所以1111111()2(22)1444a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭… 【2分】 故2211252a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭… （当且仅当2a b == 时，等号成立）【1分】。