高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象成长训练新人教A版必修4

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§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

§1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(难点).2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线(重点).3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系(难点).知识点正弦函数、余弦函数的图象函数y=sin x y=cos x 图象图象画法“五点法”“五点法”关键五点(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,-1),(2π,0)(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(2π,1)【预习评价】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)正弦函数y=sin x的图象向左右和上下无限伸展.( )(2)函数y=sin x与y=sin(-x)的图象完全相同.( )(3)函数y=cos x的图象关于(0,0)对称.( )提示(1)×,正弦函数y=sin x的图象向左右无限伸展,但上下限定在直线y=1和y=-1之间.(2)×,二者图象不同,而是关于x轴对称.(3)×,函数y=cos x的图象关于y轴对称.题型一“五点法”作图的应用【例1】利用“五点法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图.解(1)取值列表:X0π2π3π22πsin x010-101-sin x10121(2)描点连线,如图所示:规律方法用“五点法”画函数y=A sin x+b(A≠0)或y=A cos x+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤(1)列表:x0π2π3π22πsin x(或cos x)0(或1)1(或0)0(或-1)-1(或0)0(或1)yb(或A+b)A+b(或b)b(或-A+b)-A+b(或b)b(或A+b)(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y1),⎝⎛⎭⎪⎫π2,y2,(π,y3),⎝⎛⎭⎪⎫3π2,y4,(2π,y5),这里的y i(i=1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的.(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,不要用线段进行连接.【训练1】利用“五点法”作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图.解(1)取值列表如下:x0π2π3π22πcos x10-101-1-cos x-2-10-1-2(2)描点连线,如图所示.题型二利用正弦、余弦函数图象解不等式【例2】利用正弦曲线,求满足12<sin x≤32的x的集合.解首先作出y=sin x在[0,2π]上的图象.如图所示,作直线y=12,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6;作直线y =32,该直线与y =sin x ,x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知,在[0,2π]上,当π6<x ≤π3,或2π3≤x <5π6时,不等式12<sin x ≤32成立.所以12<sin x ≤32的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x |π6+2k π<x ≤π3+2k π,⎭⎪⎬⎪⎫或2π3+2k π≤x <5π6+2k π,k ∈Z .规律方法 用三角函数图象解三角不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象; (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集; (3)根据公式一写出不等式的解集.【训练2】 求函数f (x )=lg cos x +25-x 2的定义域.解 由题意,得x 满足不等式组⎩⎨⎧cos x >0,25-x 2≥0,即⎩⎨⎧cos x >0,-5≤x ≤5,作出y =cos x 的图象,如图所示.结合图象可得:x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-5,-32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32π,5.互动探究题型三 正弦、余弦曲线与其他曲线的交点问题【探究1】 当x ∈[0,4π]时,解不等式sin x ≥0.解 由函数y =sin x ,x ∈[0,4π]的图象可知,不等式sin x ≥0的解集为[0,π]∪[2π,3π].【探究2】 作出函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,4π]的图象.解 易知f (x )=⎩⎨⎧3sin x ,x ∈[0,π]∪[2π,3π],-sin x ,x ∈π,2π∪3π,4π,则f (x )的图象如图所示:【探究3】 求方程sin x +2|sin x |-|log 2x |=0解的个数.解 在同一坐标系内作出f (x )=sin x +2|sin x |和g (x )=|log 2x |的图象如图所示,易知f (x )与g (x )的图象有四个交点,故所给方程有四个根.规律方法 判断方程解的个数的关注点(1)确定方程解的个数问题,常借助函数图象用数形结合的方法求解.(2)当在同一坐标系中作两个函数的图象时,要注意其相对位置,常借助于函数值的大小来确定.【训练3】 方程x 2-cos x =0的实数解的个数是________. 解析 作函数y =cos x 与y =x 2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解.答案 2课堂达标1.函数y =-sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,3π2的简图是( )解析 函数y =-sin x 与y =sin x 的图象关于x 轴对称,故选D . 答案 D2.在同一平面直角坐标系内,函数y =sin x ,x ∈[0,2π]与y =sin x ,x ∈[2π,4π]的图象( )A .重合B .形状相同,位置不同C .关于y 轴对称D .形状不同,位置不同解析 根据正弦曲线的作法可知函数y =sin x ,x ∈[0,2π]与y =sin x ,x ∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.答案 B3.不等式cos x <0,x ∈[0,2π]的解集为________.解析 由函数y =cos x 的图象可知,不等式cos x <0[0,2π]的解集为(π2,3π2).答案 (π2,3π2)4.函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =-12的交点有________个.解析 作y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象及直线y =-12(图略),知两函数图象有两个交点.答案 两5.利用“五点法”作出下列函数的图象:(1)y =2-sin x (0≤x ≤2π);(2)y =-2cos x +3(0≤x ≤2π). 解 利用“五点法”作图 (1)列表:sin x010-102-sin x21232描点并用光滑的曲线连接起来,如图所示.(2)列表:X0π2π3π22π-2cos x-2020-2-2cos x+313531描点、连线得出函数y=-2cos x+3(0≤x≤2π)的图象:课堂小结1.对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似,在用描点法探究函数图象特征的前提下,若要求精度不高,只要描出函数图象的“关键点”,就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.2.作函数y =a sin x +b 的图象的步骤基础过关1.用“五点法”作函数y =2sin x -1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是( )A .0,π2,π,3π2,2πB .0,π4,π2,3π4,πC .0,π,2π,3π,4πD .0,π6,π3,π2,2π3解析 由“五点法”可知选A . 答案 A2.方程sin x =x10的根的个数是( )A .7B .8C .9D .10解析 在同一坐标系内画出y =x10和y =sin x 的图象如图所示:根据图象可知方程有7个根. 答案 A3.函数y =cos x +|cos x |,x ∈[0,2π]的大致图象为( )解析 由题意得y =⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ,0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π,0,π2<x <32π.显然只有D 合适. 答案 D4.若sin x =2m +1且x ∈R ,则m 的取值范围是________. 解析 ∵sin x ∈[-1,1],∴-1≤2m +1≤1,故-1≤m ≤0. 答案 [-1,0]5.不等式sin x <-12,x ∈[0,2π]的解集为________.解析 如图所示,不等式sin x <-12的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6,11π6.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6,11π66.用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y =2sin x ,x ∈[0,2π];(2)y =sin(x +π3),x ∈[-π3,5π3].解 (1)列表:x 0 π2 π 32π 2π2sin x0 20 -2描点、连线、绘图,如图所示.(2)①列表:x +π30 π2 π 32π 2πx-π3 π623π 76π 53π sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π30 1 0 -1 0②描点连线如图.7.根据y =cos x 的图象解不等式:-32≤cos x ≤12,x ∈[0,2π]. 解 函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象如图所示:根据图象可得不等式的解集为{x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}. 能力提升8.如图所示,函数y =cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )解析 当0≤x <π2时,y =cos x ·|t an x |=sin x ;当π2<x ≤π时,y =cos x ·|tan x |=-sin x ; 当π<x <3π2时,y =cos x ·|tan x |=sin x ,故其图象为C .答案 C9.若函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )A .4B .8C .2πD .4π解析 作出函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象,函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积,又∵OA =2,OC =2π,∴S 阴影部分=S 矩形OABC =2×2π=4π. 答案 D10.函数f (x )=⎩⎨⎧sin x ,x ≥0,x +2,x <0,则不等式f (x )>12的解集是________________.解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y =12图象,由图象易得:-32<x <0或π6+2k π<x <56π+2k π,k ∈N . 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫-32<x <0或π6+2k π<x <56π+2k π,k ∈N11.函数y =cos x +4,x ∈[0,2π]的图象与直线y =4的交点的坐标为________.解析 由⎩⎨⎧y =cos x +4,y =4,得cos x =0,当x ∈[0,2π]时,x =π2或3π2.∴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,4,⎝ ⎛⎭⎪⎫32π,4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,4,⎝ ⎛⎭⎪⎫32π,412.用“五点法”作出函数y =1-13cos x 的简图.解 (1)列表x 0 π2 π 3π2 2πcos x 1 0-1 01 1-13cos x231 43123(2)描点,连线可得函数在[0,2π]上的图象,将函数图象向左,向右平移(每次2π个单位长度),就可以得到函数y =1-13cos x 的图象,如图所示.13.(选做题)若方程sin x =1-a 2在x ∈[π3,π]上有两个实数根,求a 的取值范围.解 在同一直角坐标系中作出y =sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π的图象,y =1-a 2的图象,由图象可知,当32≤1-a 2<1,即-1<a ≤1-3时,y =sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π的图象与y =1-a 2的图象有两个交点,即方程sin x =1-a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π上有两个实根.。

高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)习题课

高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)习题课
【证明】 f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=f(x),∴f(x)是周期 函数且 2 是它的一个周期.
(2)若函数
f(x)是以π2
为周期的偶函数,且
π f( 3
)=1,求
f(-167π
)
的值. 【思路分析】 将-176π利用周期性转化为π3 ,进而求值.
π 【解析】 ∵f(x)的周期为 2 ,且为偶函数,
【解析】 (1)∵x∈R,f(x)=sin(34x+3π2 )=-cos34x,∴f(- x)=-cos3(-4 x)=-cos34x=f(x).
∴函数 f(x)=sin(34x+3π2 )为偶函数. (2)f(x)=(1-c1o+s2sxi)nx+sinx=sin12+x+sinsixnx=sinx,但函数应满 足 1+sinx≠0,
思考题 3 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sinx-x tanx; (2)f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx); (3)f(x)=1c-oss2inxx; (4)f(x)= 1-cosx+ cosx-1. 【答案】 (1)偶函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是 奇函数又是偶函数
(1)①要判断奇偶性的函数是三角函数型的复合函数. ②sin(34x+3π 2 )=-cos34x.
(2)①所判断的函数是以公式形式给出的; ②f(x)的定义域可求,即 sinx+1≠0. 解答本题中的(1)可先利用诱导公式化简 f(x),再利用 f(-x) 与 f(x)的关系加以判断. 解答本题中的(2)可先分析 f(x)的定义域,然后再利用定义加 以分析.
∴函数的定义域为{x|x∈R,且 x≠2kπ+32π,k∈Z}. ∵函数的定义域不关于原点对称, ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数. 探究 3 (2)中易忽视 f(x)的定义域而进行非等价变形,得 f(x) =sinx(1+1+sinsxinx)=sinx,从而导致结果错误. 判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,再 看 f(-x)与 f(x)的关系.

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)

第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象.1.正弦曲线、余弦曲线2.“五点法”画图画正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是_________________________; 画余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,五个关键点是__________________________. 3.正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x =sin ⎝⎛⎭⎫x +π2,要得到y =cos x 的图象,只需把y =sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可.知识点归纳:1.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用,是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.2.五点法是画三角函数图象的基本方法,要熟练掌握,与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.一、选择题1.函数y =sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A .x 轴 B .y 轴C .直线y =xD .直线x =π22.函数y =cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后,得到函数y =g (x )的图象,则g (x )的解析式为( )A .-sin xB .sin xC .-cos xD .cos x3.函数y =-sin x ,x ∈[-π2,3π2]的简图是( )4.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4,3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4,π2∪⎝⎛⎦⎤5π4,3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4,π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4,7π4 5.若函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )A .4B .8C .2πD .4π 6.方程sin x =lg x 的解的个数是( )A .1B .2C .3D .4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7.函数y =sin x ,x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________.8.函数y =2cos x +1的定义域是________________. 9.方程x 2-cos x =0的实数解的个数是________.10.设0≤x ≤2π,且|cos x -sin x |=sin x -cos x ,则x 的取值范围为________. 三、解答题11.利用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y =1-sin x (0≤x ≤2π); (2)y =-1-cos x (0≤x ≤2π).12.分别作出下列函数的图象.(1)y=|sin x|,x∈R;(2)y=sin|x|,x∈R.能力提升13.求函数f(x)=lg sin x+16-x2的定义域.14.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围.§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2.(0,0),⎝⎛⎭⎫π2,1,(π,0),⎝⎛⎭⎫32π,-1,(2π,0) (0,1),⎝⎛⎭⎫π2,0,(π,-1),⎝⎛⎭⎫32π,0,(2π,1) 3.左 作业设计1.D 2.B 3.D 4.A [∵sin x >|cos x |,∴sin x >0,∴x ∈(0,π),在同一坐标系中画出y =sin x ,x ∈(0,π)与y =|cos x |,x ∈(0,π)的图象,观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4,34π.] 5.D [作出函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象,函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =2围成的平面图形,如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积,又∵|OA |=2,|OC |=2π, ∴S 平面图形=S 矩形OABC =2×2π=4π.]6.C [用五点法画出函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移2π个单位,得到y =sin x 的图象.描出点⎝⎛⎭⎫110,-1,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到y =lg x 的图象,如图所示.由图象可知方程sin x =lg x 的解有3个.]7.y =-cos x解析 y =sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x -π2=-sin ⎝⎛⎭⎫π2-x =-cos x ,∴y =-cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+23π,k ∈Z 解析 2cos x +1≥0,cos x ≥-12,结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π-23π,2k π+2π3,k ∈Z . 9.2解析 作函数y =cos x 与y =x 2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解.10.⎣⎡⎦⎤π4,5π4解析 由题意知sin x -cos x ≥0,即cos x ≤sin x ,在同一坐标系画出y =sin x ,x ∈[0,2π]与 y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,如图所示:观察图象知x ∈[π4,54π].11.解 利用“五点法”作图 (1)列表:X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x1121描点作图,如图所示.(2)列表:X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 -1 0 1 -1-cos x-2-1-1-2描点作图,如图所示.12.解 (1)y =|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π+π)-sin x (2k π+π<x ≤2k π+2π) (k ∈Z ).其图象如图所示,(2)y =sin|x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)-sin x (x <0),其图象如图所示,13.解 由题意,x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016-x 2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧-4≤x ≤4sin x >0,作出y =sin x 的图象,如图所示.结合图象可得:x ∈[-4,-π)∪(0,π).14.解 f (x )=sin x +2|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0,π],-sin x x ∈(π,2π].图象如图,若使f (x )的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,根据上图可得k 的取值范围是(1,3).。

高中数学 第一章 三角函数 1_4 三角函数的图象与性质 1_4.1 正弦函数余弦函数图像领学案(无答案)

高中数学 第一章 三角函数 1_4 三角函数的图象与性质 1_4.1 正弦函数余弦函数图像领学案(无答案)
问题2、在下图中连出正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象
问题3、依据函数 ( )的图象,如何作出 ( )的图象?在下图中画出 (
【探究点二】问题4、由诱导公sin( )=
问题5、如何利用函数 与函数 的关系去作出 ( )的图象?在下图中画出y=cosx( )的图象
问题6:在正弦函数、余弦函数x∈[0,2π]的图象上,起关键作用的是哪五个点?
【学1】阅读教材31页,认真理解以下画正弦函数y=sinx x[0,2]图像的步骤:
第一步:在直角坐标系的x轴上任取一点 ,以 为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.(预备:取自变量x值—弧度制下角与实数的对应).
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
学习
目标
掌握用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象,继而学会用诱导公式平移正弦曲线获得余弦函数图象。通过Βιβλιοθήκη 析掌握五点法画正(余)弦函数图象。
学习
疑问
学习
建议
【相关知识点回顾】作函数图像最基本的方法.
【知识转接】画出各象限终边角的正弦线.
【预学能掌握的内容】在正弦函数、余弦函数x∈[0,2π]的图象上,起关键作用的是哪五个点?
第二步:在单位圆中画出对应于角 , , ,…,2π的正弦线(等价于“列表”).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”:描以下12个点
、 、 、 ……).
第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象.(等价于“连线”)
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:_____________________________;

1.4.1_正弦函数、余弦函数的图象

1.4.1_正弦函数、余弦函数的图象

正弦函数:y sin x

xR


正弦曲线
y
1


-1






x
余弦函数:y cos x


(2 ,1)
( , 1)

2 , 0)
3 ( , 0) 2
与x轴的交点: (
第一章 三角函数
题型探究
五点作图法

例1
用“五点法”作出下列函数的简图. y=sinx+1,x∈[0,2π].
x
sinx 1+sinx
y 2 1

0
0 1
π 2 1 2
π
0 1
3π 2 -1 0

0 1
y=1+sinx,x[0, 2]
第一章 三角函数
函数图象的应用
例4 (本题满分 10 分)根据正弦函数的图象, 1 求满足 sinx≥ 的 x 的范围. 2
1 【解】 在同一坐标系内画出 y=sinx 和 y= 2 的图象,如图所示: 3分
第一章 三角函数
由图看到在 x∈[0,2π]内, 1 π 5π 满足 sinx≥ 的 x 为 ≤x≤ . 2 6 6 7分
描点作图法的步骤: (1)列表(2)描点(3)连线
沙漏试验
探究一:函数y sin x, x 0, 2 图象的作法
作法: (1) 等分; (2) 作正弦线; y
第一章 三角函数
(3) 平移; (4) 连线.
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高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教A版必修4

高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教A版必修4
心思在如何在课件中贯彻案例的设计意图上、如何增强课件的实效性上,既是技术上的进步,也是理论上的深化,通过几个相关案例的制作,课件的概 念就会入心入脑了。 折叠多媒体课件 多媒体教学课件是指根据教师的教案,把需要讲述的教学内容通过计算机多媒体(视频、音频、动画)图片、文字来表述并构成的课堂要件。它可以生动、 形象地描述各种教学问题,增加课堂教学气氛,提高学生的学习兴趣,拓宽学生的知识视野,10年来被广泛应用于中小学教学中的手段,是现代教学发 展的必然趋势。
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.无数个
解析:设 f(x)=-x,g(x)=sin x,在同一直角坐标系中画出 f(x)和 g(x)的图象,
如图所示.
由图知 f(x)和 g(x)的图象仅有一个交点,则方程 x+sin x=0 仅有一个根. 答案:B
3.已知 cos x≥12且 x∈[0,2π],求 x 的取值范围. 解析:函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示,
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
考纲定位
重难突破
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的 重点:1.利用“五点法”画
方法.
正、余弦函数的图象.
2.掌握、余函数图象之间
步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正、
的区别与联系.
余弦曲线.
[双基自测] 1.正弦曲线在(0,2π]内最高点坐标为________,最低点坐标为________. 解析:由正弦曲线知,正弦曲线在(0,2π]内最高点为π2,1,最低点为32π,-1. 答案:π2,1 32π,-1
2.用五点作图法作 y=1-cos x,x∈(0,2π]的图象时,其中第二个关键点的坐标 为________. 解析:由五点作图法的规则知第二个关键点坐标为π2,1. 答案:π2,1

高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2.1正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性课件新

高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2.1正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性课件新
第二十二页,共24页。
2.函数
y=sin2
0211π-2
010x是(
)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析:y=sin2
0211π-2
010x=sinπ2-2
010x+1
005π
=-sinπ2-2
010x=-cos2
010x,
所以为偶函数.
答案:B
第二十三页,共24页。
结论 函数 f(x)叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件 周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期
第三页,共24页。
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y=sinx
y=cosx
周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
最小正周期


奇偶性
奇函数
偶函数
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[化解疑难] 正确理解函数的周期性
(1)关于函数周期性的理解,应注意以下三点: ①存在一个不等于零的常数 T; ②对于定义域内的每一个值,都有 x+T 属于这个定义域; ③满足 f(x+T)=f(x). (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其 周期也不一定唯一. (3)如果 T 是函数 f(x)的一个周期,则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x) 的周期.
第十一页,共24页。
(2)法一:因为 f(x)=|sinx|, 所以 f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|=f(x),所以 f(x)的周期为 π. 法二:因为函数 y=|sinx|的图象如图所示. 由图象可知 T=π.

高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(周期性)课堂导学三点剖析1.周期的概念及求函数的周期【例1】求下列函数的周期:(1)y=sin2x;(2)y=3cos x 21;(3)y=2sin(2x-3π). 思路分析:本题主要考查y=Asin(ωx+φ).y=Acos(ωx+φ)的周期的求法.利用周期函数定义及诱导公式求函数的周期.解:(1)由于f (x+π)=sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x=f(x),所以由周期函数的定义知,原函数的周期为π.(2)由于f(x+4π)=3cos [12(x+4π)]=3cos(x 21+2π)=3cos x 21=f(x),所以,由周期函数的定义知,原函数的周期为4π.(3)由于f(x+π)=2sin [2(x+π)-3π]=2sin [2x+2π-3π]=2sin(2x-3π)=f(x),由周期函数的定义知,原函数的周期为π.温馨提示由上例可以看到函数的周期仅与x 的系数有关.一般地,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A 、ω、φ为常数,A≠0,ω>0)的周期T=2πω,若y=f(x)的周期为T ,则y=f(ωx)的周期为||ωT.2.周期函数概念的理解【例2】判断下列函数是否是周期函数?如果是,求出它的一个周期.(1)y=lgx;(2)y=sinx.思路分析:判断一个函数是否是周期函数,须根据定义,看是否存在一个常数T ,使得f(x+T)=f(x).解:(1)取定义域内一个值x 0=1.由于f(x 0+T)=lg(x 0+T)=lg(1+T)≠lg1(T≠0的常数),于是f(x)=lgx 不是周期函数.(2)∵对定义域内任一x ,有sin(x+2k π)=sinx,(k∈Z ,k≠0),∴y=sinx 是周期函数,周期为2k π(k∈Z ,k≠0).温馨提示判断一个函数是周期函数,关键是能找到常数T (T≠0),使得对定义域内的任一x ,有f(x+T)=f(x).判断一个函数不是周期函数,只要在定义域内找一个特殊值x 0,验证f (x 0+T )≠f(x 0).就可以说明f(x)不是周期函数.3.周期函数的定义【例3】①存在T=2π使sin(4π+2π)=sin 4π成立,所以2π是y=sinx 的一个周期. ②f(2x+T)=f(x)对定义域内的任意x 都成立,所以2T 是f(x)的周期.(T≠0) ③周期函数不一定有最小正周期.④周期函数的周期不止一个.以上命题是真命题的是.答案:②③④温馨提示理解周期函数的概念要注意以下三点:(1)存在一个常数T≠0;(2)对其定义域内的每一个x 值,x+T 属于定义域;(3)当x 取定义域内每个值时,f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期. (1)y=3sin(2x+6π); (2)y=2cos(π2x-3π). 解:(1)T=22π=π. (2)T=ππ22=π2. 变式提升1求y=|sinx|的周期.解:将y=sinx 的图象中y≥0的部分保持不变,将y <0部分的图象翻折到x 轴的上方,即得y=|sinx|的图象,(如下图所示).由y=|sinx|的图象知其周期为π.温馨提示由数形结合法可知y=|Asin(ωx+φ)|(A 、ω、φ是常数,ω>0)的周期为y=Asin(ωx+φ)(A 、ω、φ为常数,ω>0)的周期的一半.类题演练2下列四个函数为周期函数的是( )A.y=3B.y=3x 0C.y=sin|x| x∈RD.y=sin1x x∈R 且x≠0答案:A变式提升2已知定义在实数集上的函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x).判断y=f(x)是否是周期函数.若是周期函数,求出它的一个周期.解:∵f(x+4)=f [2+(x+2)]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x).∴f(x)是周期函数,且周期是4.类题演练3函数y=f(x),x∈[-2,2]图象如下图所示,f(x)是周期函数吗?解析:在周期函数y=f(x)中,T是周期,若x是定义域内的一个值,则x+kT(k∈Z且k≠0)也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集,而且定义域一定无上界或者无下界.答案:不是变式提升3函数y=a sinx的图象是怎样的呢?是否是周期函数?若是,它的最小正周期又是什么呢?解析:∵y=a sin(x+2kπ)=a sinx,即存在常数T=2kπ(k∈Z),使得f(x+T)=f(x),∴y=a sinx是周期函数,且最小正周期为2π.因此,它的图象应是每隔2π个单位长度是相同的.。

(优秀经典)1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件新人教A版必修4

(优秀经典)1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件新人教A版必修4
③用___光__滑__的__曲__线___顺次连接这五个点,得正弦曲线在[0,2π]上的简图. y=sinx,x∈[0,2π]的图象向__左____、__右____平行移动(每次 2π 个单位长度), 就可以得到正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象.
3.正弦曲线、余弦曲线 (1)定义:正弦函数y=sinx,x∈R和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫 做_正__弦_____曲线和余__弦______曲线. (2)图象:如图所示.
[解析] (1)列表
x
0
π 2
π
3 2π

sinx
0
1
0
-1
0
sinx-1
-1
0
-1
-2
-1
描点,连线,如图
(2)列表:
x
0
π 2
π
3 2π

cosx
1
0
-1
0
1
2+cosx
3
2
1
2
3
描点连线,如图
『规律总结』 用“五点法”画函数 y=Asinx+b(A≠0)或 y=Acosx+b(A≠0)
[解析] (1)首先用五点法作出函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象,再作出y= cosx关于x轴对称的图象,最后将图象向上平移1个单位.如图(1)所示.
(2)首先用五点法作出函数y=sinx,x∈[0,4π]的图象,再将x轴下方的部分 对称到x轴的上方.如图(2)所示.
『规律总结』 函数的图象变换除了平移变换外,还有对称变换.如本 例.一般地,函数f(x)的图象与f(-x)的图象关于y轴对称;-f(x)的图象与f(x)的 图象关于x轴对称;-f(-x)的图象与f(x)的图象关于原点对称;f(|x|)的图象关于 y轴对称.

高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质

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1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质(单调性和奇偶性)课堂导学三点剖析1.正余弦函数的单调性、奇偶性与最值 【例1】求下列函数的单调区间: (1)y=sin(x-3π); (2)y=cos2x. 思路分析:本题主要考查复合函数的单调区间的求法.可依据y=sinx(x∈R )和y=cosx(x∈R )的单调区间及复合函数单调性原则求单调区间.解:(1)令u=x-3π,函数y=sinu 的递增、递减区间分别为[2k π-2π,2k π+2π],k∈Z,[2k π+2π,2k π+π23],k∈Z .∴y=sin(x -3π)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.2k π-2π≤x -3π≤2k π+2π,k∈Z ,2k π+2π≤x -3π≤2k π+23π,k∈Z ,得2k π-6π≤x≤2k π+π65,k∈Z ,2k π+65π≤x≤2k π+116π,k∈Z .∴函数y=sin(x-3π)的递增区间、递减区间分别是[2k π-6π,2k π+π65],k∈Z ,[2k π+65π,2k π+116π],k∈Z .(2)函数y=cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定2k π-π≤2x≤2k π(k∈Z ),2k π≤2x≤2k π+π,k∈Z . ∴k π-2π≤x≤k π,k∈Z ,k π≤x≤k π+2π,k∈Z. ∴函数y=cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别为[k π-2π,k π],k∈Z,[k π,k π+2π],k∈Z . 【例2】求函数y=3-2sin(x+6π)的最大、最小值及相应的x 值.思路分析:使函数y=3-2sin(x+6π)取得最大、最小值的x 就是使得函数y=sin(x+6π)取得最小、最大值的x.解:当sin(x+6π)=1 即x+6π=2k π+2π,x=2k π+3π时,y 取最小值,y 的最小值为3-2=1.当sin(x+6π)=-1即x+6π=2k π-2π,x=2k π-23π时,y 取最大值,y 的最大值为3+2=5.温馨提示求形如y=Asin(ωx+φ)+B 或y=Acos(ωx+φ)+B 的单调区间或最值时,我们用整体换元思想.A 、ω>0时,则ωx+φ直接套正余弦函数的增减区间和取最大、最小值的x 的集合,解得x 的范围即可. 2.判断函数的奇偶性【例3】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|sinx|+cosx; (2)f(x)=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+;(3)y=1sin -x ;(4)y=1cos cos 1-+-x x .思路分析:本题主要考查奇偶性的判定.判断奇偶性的方法.①判断定义域是否关于原点对称;②判断f(-x)与f(x)的关系. 解:(1)函数的定义域为R , f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x) =|-sinx|+cosx=|sinx|+cosx=f(x). ∴函数为偶函数.(2)由1+sinx+cosx≠0得 x≠π+2k π,且x≠π23+2k π,k∈Z . ∴函数的定义域不关于原点对称. ∴函数f(x)=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+为非奇非偶函数.(3)∵sinx -1≥0, ∴sinx=1,x=2k π+2π(k∈Z ). 函数定义域不是关于原点对称的区间,故为非奇非偶函数. (4)∵1-cosx≥0且cosx≥1,∴cosx=1,x =2k π(k∈Z ).此时,y=0,故该函数既是奇函数,又是偶函数. 温馨提示判断函数的奇偶性,要特别注意函数的定义域.如果定义域不关于原点对称,则为非奇非偶函数,若定义域关于原点对称.再通过化简判断f(-x)与f(x)的关系,如f(x)=f(-x)且f(x)≠-f(x),则该函数为只偶非奇函数;如:f(-x)=-f(x)且f(-x)≠f(x),则该函数为只奇非偶函数;如f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则该函数为既奇又偶函数; 如f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则该函数为非奇非偶函数.3.y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)型函数中,A 、ω的正负对求单调区间及最值的影响 【例4】求函数的单调区间:y=2sin(4π-x). 思路分析:令4π-x=u,则u=4π-x 在x∈R 上是减函数,由复合函数同增异减原则,要求原函数的递增区间,4π-x 必须套sinu 的减区间.解:y=2sin(4π-x)化为y=-2sin(x-4π).∵y=sinu(u∈R )的递增、递减区间分别为[2k π-2π,2k π+2π],k∈Z . [2k π+2π,2k π+23π],k∈Z .∴函数y=-2sin(x-4π)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π,k∈Z .2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π,k∈Z.得2k π+43π≤x≤2k π+47π,k∈Z .2k π-4π≤x≤2k π+43π,k∈Z .∴函数y=sin(4π-x)的单调递增区间、单调递减区间分别为[2k π+43π,2k π+47π],k∈Z .[2k π-4π,2k π+43π],k∈Z .各个击破类题演练1 求函数y=3sin(2x+4π)的单调递增区间. 解:令2x+4π=u ,则 y=3sinu 的单调增区间为[2k π-2π,2k π+2π],k∈Z , 即2k π-2π≤2x+4π≤2k π+2π,∴k π-π83≤x≤k π+8π. ∴y=3sin(2x+4π)的单调递增区间是[k π-83π,k π+8π],k∈Z .变式提升1比较下列各组数的大小. (1)sin16°与sin154°; (2)cos3,cos43π,sin4,cos 65π. 解:(1)因为sin154°=sin(180°-26°)=sin26°.函数y=sinx 在[0,2π]为增函数,而26°>16°.所以sin26°>sin16°,即sin154°>sin16°. (2)因为sin4=cos(2π-4)=cos(4-2π),函数y=cosx 在[0,π]为减函数,而 43π<4-2π<65π<3<π. 所以cos 43π>cos(4-2π)>cos 65π>cos3.即cos 43π>sin4>cos 65π>cos3.类题演练2函数f(x)=3sin(π5x+3π)的最大值为____________,相应的x 取值集合为____________. 解析:最大值为3,此时π5x+3π=2k π+2π,k∈Z ,∴x=10k+65,k∈Z .答案:3 {x|x=10k+65,k∈Z }变式提升2求下列函数的最大值与最小值及相应的x. (1)y=acosx+b;(2)y=cos 2x+sinx-2.解:(1)①若a >0,当cosx=1,即x=2k π时,y 取最大值,y 的最大值为a+b ; 当cosx=-1,即x=2k π+π时,y 取最小值,y 的最小值为b-a.②若a <0,当cosx=1即x=2k π时,y 取最小值,y 的最小值为a+b ; 当cosx=-1即x=2k π+π时,y 取最大值,y 的最大值为b-a. 总上知y 的最大值为|a|+b ,最小值为-|a|+b. (2)y=1-sin 2x+sinx-2=-sin 2x+sinx-1=-(sinx-21)2-43, 当sinx=12,即x=2k π+6π或x=2k π+π65(k∈Z )时,y 取得最大值,y 的最大值为-43;当sinx=-1即x=2k π-2π时,y 取得最小值,y 的最小值为-3. 类题演练3判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)=cos(2π-x)-x 3sinx;(3)f(x)=xxx sin 1cos sin 12+-+.解:(1)函数的定义域R 关于原点对称. f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x). ∴f(x)是偶函数.(2)函数f(x)的定义域R 关于原点对称,又f(x)=cosx-x 3sinx∴f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cosx-x 3sinx=f(x). ∴f(x)为偶函数.(3)函数应满足1+sinx≠0, ∴函数的定义域为{x∈R |x≠2k π+23π,k∈Z }, ∴函数的定义域关于原点不对称, ∴函数既不是奇函数也不是偶函数. 变式提升3(1)已知f(x)=ax+bsin 3x+1(a 、b 为常数),且f(5)=7,求f(-5). (2)如果函数y 1=a-bcosx(b >0)的最大值是32,最小值是21-,那么函数y 2=-4asin3bx 的最大值是( )A.-2B.2C.32 D.-32 解:(1)因为f(-x)-1=a(-x)+bsin 3(-x)=-(ax+bsin 3x)=-[f(x)-1],所以f(-5)=-6.(2)由题意a+b=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+,21,23b a b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==,1,21b a∴y 2=-2sin3x.∴y 2的最大值为2. 答案:(1)-6 (2)B 类题演练4 函数y=2sin(6π-2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是( )A.[0,3π] B.[12π,127π]C.[3π,65π] D.[65π,π]解:2sin(6π-2x)=-2sin(2x-6π),当2k π+2π≤2x -6π≤2k π+π23,即k π+3π≤x≤k π+65π(k∈Z ),当k=0时得在[0,π]上的单调增区间为[3π,65π].答案:C变式提升4求函数y=cos(6π-x 21)的单调递增区间. 解:∵y=cos(6π-2x)=cos(2x-6π),令2x-6π=u ,则y=cosu 的单调递增区间为 [2k π-π,2k π],k∈Z ,即2k π-π≤2x -6π≤2k π,k∈Z , ∴k π-π125≤x≤k π+12π,k∈Z ,∴函数y=cos(6π-x 21)的单调递增区间为[k π-π125,k π+12π],k∈Z .。

高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2

高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正、余弦函数的性质1.掌握y =sin x ,y =cos x 的性质:周期性、奇偶性,了解其图象的对称性. 2.掌握y =sin x ,y =cos x 的单调性,会结合它们的图象说出单调区间,并能根据单调性比较大小.3.掌握y =sin x ,y =cos x 的最大值、最小值,会求简单三角函数的值域或最值,并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合.1.正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质如下表所示:____当x =____________时,y 取最大值1正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为(k π,0)(k ∈Z ),即正弦曲线与x 轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x =k π+π2(k ∈Z ),所有对称轴垂直于x 轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.【做一做1】 已知函数y =sin x ,x ∈R ,则下列说法不正确的是( ) A .定义域是RB .最大值与最小值的和等于0C .在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上是减函数 D .最小正周期是2π2.余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示:__当x =________时,y 取最大值1余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π2,0(k ∈Z ),即余弦曲线与x 轴的所有交点;余弦曲线也是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x =k π(k ∈Z ),所有对称轴垂直于x 轴,且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值.【做一做2】 已知函数y =cos x ,x ∈R ,则下列说法错误的是( ) A .值域为[-1,1]B .是奇函数C .在定义域上不是单调函数D .在[0,π]上是减函数答案:1.R [-1,1] 2k π+π2(k ∈Z ) 2k π-π2(k ∈Z ) 2π 奇 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π2,2k π+3π2【做一做1】 C2.R 2k π(k ∈Z ) 2k π+π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k -1)π,2k π] [2k π,(2k +1)π]【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析:(1)定义域是R ,反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点.(2)正、余弦函数的单调性,反映在图象上是曲线的上升与下降的情况.(3)正、余弦函数的周期性,反映在图象上是曲线有规律地重复出现.相邻两对称中心的间隔是半个周期,相邻两对称轴的间隔也是半个周期,相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期.(4)正、余弦函数的奇偶性,反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称,即sin(-x )=-sin x ,cos(-x )=cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值,反映在图象上,就是曲线的最高点和最低点.题型一 判断三角函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=sin x cos x ;(2)f (x )=1+sin x -cos 2x1+sin x.分析:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断f (-x )与f (x )的关系,进而可确定函数的奇偶性.反思:1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义,定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提.另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (-x )之间关系时的应用.2.本例(2)中,易忽视f (x )的定义域,违背定义域优先的原则,而进行非等价变形,得f (x )=sin x (1+sin x )1+sin x=sin x ,从而导致结果错误.题型二 求三角函数的单调区间【例2】 求函数y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π4的单调递减区间. 反思:求函数y =A sin(ωx +φ)的单调区间时,利用整体思想,把ωx +φ看成一个整体,借助于正弦函数的单调区间来解决.题型三 求三角函数的值域(最值) 【例3】 求下列函数的值域: (1)y =3-2cos 2x ,x ∈R ;(2)y =cos 2x +2sin x -2,x ∈R .分析:(1)将2x 看成一个整体,利用余弦函数的值域求得;(2)把sin x 看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数的值域.反思:求三角函数的值域的方法:①化为y =A sin(ωx +φ)+b 或y =A cos(ωx +φ)+b (A >0),则其值域为[-A +b ,A +b ].如本例(1)小题;②把sin x 或cos x 看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域,如本例(2)小题.题型四 比较三角函数值的大小 【例4】 比较下列各组数的大小: (1)sin 194°与cos 160°;(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.分析:(1)先将异名三角函数化为同名三角函数,并且利用诱导公式化到同一单调区间上.(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小,然后利用正弦函数单调性求解.反思:比较三角函数值大小的步骤:①异名函数化为同名函数;②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比较大小.题型五 易错辨析易错点 忽视x 的系数是-1【例5】 求y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 的单调递增区间.错解:令π3-x =t ,∵y =sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ), ∴2k π-π2≤π3-x ≤2k π+π2(k ∈Z ),解得-2k π-π6≤x ≤-2k π+56π,即2k π-π6≤x ≤2k π+5π6(k ∈Z ),即y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π6,2k π+5π6(k ∈Z ). 错因分析:在π3-x 中,x 的系数-1是负数,应整体代入正弦函数的单调递减区间,求原函数的单调递增区间.答案:【例1】 解:(1)定义域为R .f (-x )=sin(-x )cos(-x )=-sin x cos x =-f (x ),∴f (x )是奇函数.(2)要使函数有意义,自变量x 的取值应满足1+sin x ≠0, ∴sin x ≠-1.∴x ≠2k π+32π,k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ,且x ≠2k π+3π2,k ∈Z .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=1+sin π2-cos2π21+sinπ2=1,但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2无意义,∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数. 【例2】 解:由于函数y =2sin x 的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π2,2k π+3π2(k ∈Z ). 令2k π+π2≤3x +π4≤2k π+3π2,得2k π3+π12≤x ≤2k π3+5π12(k ∈Z ). 故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3+π12,2k π3+5π12(k ∈Z ). 【例3】 解:(1)∵-1≤cos 2x ≤1,∴-2≤-2cos 2x ≤2. ∴1≤3-2cos 2x ≤5,即1≤y ≤5.∴函数y =3-2cos 2x ,x ∈R 的值域为[1,5].(2)y =cos 2x +2sin x -2=-sin 2x +2sin x -1=-(sin x -1)2.∵-1≤sin x ≤1,∴函数y =cos 2x +2sin x -2,x ∈R 的值域为[-4,0]. 【例4】 解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°, cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°,∴sin 14°<sin 70°, 从而-sin 14°>-sin 70°,即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos 3π8=sin π8,∴0<cos 3π8<sin 3π8<1.而y =sin x 在(0,1)内递增,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 【例5】 正解:∵y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x =-sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3,∴要求原函数的单调递增区间,只需求y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3的单调递减区间.令2k π+π2≤x -π3≤2k π+3π2(k ∈Z ),∴2k π+5π6≤x ≤2k π+116π(k ∈Z ).∴y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+5π6,2k π+116π(k ∈Z ).1.函数y =sin 2cos xx+是( )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数2.下列关系式中正确的是( ) A .sin 11°<cos 10°<sin 168°B .sin 168°<sin 11°<cos10°C .sin 11°<sin 168°<cos 10°D .sin 168°<cos 10°<sin11°3.函数y =sin 2x -cos x 的值域是__________. 4.函数y =3-2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________,此时自变量x 的取值集合是__________.5.求函数y =π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间.答案:1.A 定义域为R ,f (-x )=sin()2cos()x x -+-=sin 2cos xx-+=-f (x ),则f (x )是奇函数.2.C ∵sin 168°=sin(180°-168°)=sin 12°,cos 10°=sin 80°, sin 11°<sin 12°<sin 80°, ∴sin 11°<sin 168°<cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x =t ,-1≤t ≤1,则y =1-cos 2x -cos x =-t 2-t +1=21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于-1≤t ≤1,则有-1≤y ≤54. 4.5 {x |x =3k π+π,k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭=-1时,y max =3-2×(-1)=5.此时x 的取值集合为{x |x =3k π+π,k ∈Z }. 5.解:y =π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π+π2≤x -π4≤2k π+3π2 (k ∈Z ),得 2k π+3π4≤x ≤2k π+7π4(k ∈Z ).函数y =π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).。

高中数学 第一章 三角函数 1.4 正弦函数和余弦函数的

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1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义学习目标重点难点1.记住任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 2.准确把握任意角的不同三角函数的定义方法.3.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.4.记住三角函数值在各个象限的符号并会灵活解题.重点:任意角的正弦函数、余弦函数的定义(包括这两种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号).难点:已知角α终边上一点,求角α的各三角函数值.疑点:三角函数的正弦线、余弦线的作法.1.单位圆在直角坐标系中,以______为圆心,以________为半径的圆,称为单位圆. 2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义如图所示,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆交于点P (u ,v ),那么点P 的____v 叫作角α的正弦函数,记作________;点P 的______u 叫作角α的余弦函数,记作______.通常,我们用x 表示自变量,即x 表示角的大小,用y 表示函数值,这样我们就定义了任意角三角函数y =sin x 和y =cos x ,它们的定义域为________________,值域为______.预习交流1在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ,y ),它与原点的距离是r (r =x 2+y 2>0).怎样用x ,y ,r 表示sin α,cos α?预习交流2(1)已知角α的终边经过P ⎝⎛⎭⎪⎫32,12,则sin α=__________,cos α=__________. (2)若点P (-3,-1)是角A 终边上的一点,则sin A =__________,cos A =__________. 3.正弦函数、余弦函数在各象限的符号预习交流3(1)三角函数在各象限的符号由什么决定?(2)填空(比较大小):sin 195°____0,cos 140°____0.答案:1.原点 单位长2.纵坐标 v =sin α 横坐标 u =cos α 全体实数 [-1,1]预习交流1:提示:sin α=y r ,cos α=x r. 预习交流2:(1)12 32(2)-1010 -31010解析:x =-3,y =-1,r =10, ∴sin A =-110=-1010, cos A =-310=-31010.3.+ + - - + - - +预习交流3:(1)提示:由三角函数的定义可知,三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定.(2)< <1.利用定义求任意角的正弦、余弦值已知角α的终边在射线y =2x (x >0)上,求角α的正弦函数值、余弦函数值.思路分析:解答本题可先设角α终边上任一点的坐标,然后借助于三角函数的定义加以解决.在直角坐标系的单位圆中,α=6. (1)画出角α;(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标.(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以两种:①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三角函数的定义直接求出相应的三角函数值.②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标(a ,b ),则对应角的正弦值sin α=b a 2+b2,余弦值cos α=aa 2+b 2.(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.2.判断三角函数值的符号及角所在的象限判断符号:(1)sin 340°cos 265°;(2)若sin 2α>0,且cos α<0,试确定α所在的象限.思路分析:依据正弦函数、余弦函数在各个象限的符号作出判断.(1)如果sin α>0,且cos α<0,则α是第______象限角; (2)如果cos α>0,且sin α<0,则α是第______象限角; (3)如果sin αcos α>0,则α是第__________象限角; (4)如果sin αcos α<0,则α是第__________象限角.(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆:一全正,二正弦,三正切,四余弦(是正的).(2)对于确定α角所在象限问题,应首先界定题目中所有三角函数的符号,然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限,则它们所在象限的公共部分即为所求.3.三角函数的定义域问题求下列函数的定义域: (1)y =sin x +cos x sin x;(2)y =lg sin 2x +9-x 2.思路分析:考虑分式的分母不为0,对数的真数大于0,偶次根号下不为负,建立不等式(组),解之即可.函数y =sin x +-cos x 的定义域是( ). A .(2k π,(2k +1)π)(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π2,2k +1π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π2,k +1π(k ∈Z )D .[2k π,(2k +1)π](k ∈Z )求解三角函数定义域的解题策略求解含有三角函数式的函数的定义域问题,和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的,即通过列不等式或不等式组,然后解不等式或不等式组,最后写出函数的定义域.凡涉及三角函数的定义域问题,在求解时,必须考虑到三角函数本身一定有意义.在求解一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以通过取特殊值或画数轴来解决.答案:活动与探究1:解:方法一:设α的终边与单位圆的交点为P (x ,y ),则y =2x (x >0).又因为x 2+y 2=1, 所以⎩⎪⎨⎪⎧x =55,y =255.于是sin α=y =255,cos α=x =55.方法二:在角α终边上任取一点P (x ,y )(x >0),则|OP |=x 2+y 2=x 2+4x 2=5|x |. 又x >0,所以|OP |=5x .所以sin α=y x 2+y 2=y 5x =255,cos α=x x 2+y2=x5x=55. 迁移与应用:解:(1)如图所示.(2)∵sin α=12,cos α,∴角α的终边与单位圆的交点坐标为122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,如图所示.活动与探究2:解:(1)∵340°是第四象限角,265°是第三象限角,∴sin 340°<0,cos 265°<0.∴sin 340°cos 265°>0. (2)∵sin 2α>0,∴2k π<2α<2k π+π(k ∈Z ),∴k π<α<k π+π2(k ∈Z ).当k 为偶数时,设k =2m (m ∈Z ),有2m π<α<2m π+π2(m ∈Z );当k 为奇数时,设k =2m +1(m ∈Z ),有2m π+π<α<2m π+3π2(m ∈Z ).∴α为第一或第三象限角.又由cos α<0,可知α为第三象限角.迁移与应用:(1)二 (2)四 (3)一或三 (4)二或四活动与探究3:解:(1)要使函数有意义,需sin x ≠0, ∴x ≠k π.∴函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π,k ∈Z }.(2)要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0,9-x 2≥0.由sin 2x >0得2k π<2x <2k π+π(k ∈Z ),即k π<x <k π+π2(k ∈Z ).①由9-x 2≥0得-3≤x ≤3.②由式①②得-3≤x <-π2或0<x <π2.故函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-3≤x <-π2或0<x <π2.迁移与应用:B 解析:要使函数有意义,需⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,-cos x ≥0,∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,cos x ≤0,∴2k π+π2≤x ≤2k π+π,k ∈Z .1.已知sin α=-12,cos α=32,则角α终边所在的象限是( ).A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2.角α的终边经过点P (0,b ),则( ). A .sin α=0 B .sin α=1C .sin α=-1D .sin α=±1 3.若α是第三象限角,则|sin α|sin α-cos α|cos α|=( ).A .0B .1C .2D .-24.如果cos x =|cos x |,那么角x 的取值范围是__________.5.若点P (-4a,3a )(a ≠0)为角α终边上一点,求sin α,cos α.答案:1.D 解析:sin α=-12<0,∴α在第三或第四象限;cos α=32>0,∴α在第一或第四象限. ∴α终边所在的象限是第四象限. 2.D 解析:r =|b |,∴sin α=b r =b|b |=±1. 3.A 解析:∵α是第三象限角, ∴sin α<0,cos α<0. ∴|sin α|sin α-cos α|cos α|=-1+1=0.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ) 解析:由题意知,cos x ≥0, ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2,k ∈Z . 5.解:r =|OP |=(-4a )2+(3a )2=5|a |,当a >0时,r =5a ,α角在第二象限,故sin α=y r =3a 5a =35,cos α=x r =-4a 5a =-45.当a <0时,r =-5a ,α角在第四象限,故sin α=-35,cos α=45.。

高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时问题导学一、正弦、余弦函数的单调区间问题活动与探究1求函数y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调区间.迁移与应用1.已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π上递减,则ω的取值范围是( ) A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,54 B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,34 C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12 D .[0,2] 2.求下列函数的单调递减区间.(1)y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x ;(2)y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3.用整体替换法求函数y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)的单调区间时,如果式子中x 的系数是负数,先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求单调区间,求单调区间时需将最终结果写成区间的形式.二、正弦、余弦函数的最值(值域)问题活动与探究21.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合,并分别写出最大值、最小值: (1)y =3-2sin x ;(2)y =cos x3.2.函数y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6-π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A .2- 3B .0C .-1D .-1- 3迁移与应用求下列函数的值域:(1)y =cos 2x +2sin x -2;(2)y =cos 2x -sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4.1.形如y =a sin x +b 的函数最值或值域问题,一般利用正弦函数的有界性求解. 2.形如y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)的最值或值域问题,要注意ωx +φ的范围,结合相应函数的单调性求解.3.形如y =A sin 2x +B sin x +C 或y =A cos 2x +B cos x +C (或可化为此形式)的函数转化为二次函数求解.三、正弦、余弦函数的对称性活动与探究3函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4的图象的一条对称轴是( )A .x =π4B .x =π2C .x =-π4D .x =-π2迁移与应用函数y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3图象的一个对称中心是( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12,0 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫π12,0 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0正弦型函数y =A sin(ωx +φ)(x ∈R )图象的对称轴满足ωx +φ=2k π±π2(k ∈Z ),对称中心的横坐标满足ωx +φ=k π(k ∈Z );余弦型函数y =A cos(ωx +φ)(x ∈R )图象的对称轴满足ωx +φ=k π(k ∈Z ),对称中心的横坐标满足ωx +φ=2k π±π2(k ∈Z ).当堂检测1.下列区间中是函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4的单调递增区间的是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,πB .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4C .[-π,0]D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2 2.下列关系式中正确的是( ) A .sin 11°<cos 10°<sin 168° B .sin 168°<sin 11°<cos 10° C .sin 11°<sin 168°<cos 10° D .sin 168°<cos 10°<sin 11°3.函数y =2sin 2x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6的值域为( )A .[-2,2]B .[-1,0]C .[0,3]D .[0,1]4.函数y =3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π4在x =______时,y 取最大值.5.函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π3的周期为π时,f (x )在y 轴右侧的第一条对称轴为__________.课前预习导学 【预习导引】R R [-1,1] [-1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π2,2k π+3π2 [2k π-π,2k π] [2k π,2k π+π] π2+2k π -π2+2k π 2k π 2k π+π (k π,0),k ∈Z x =π2+k π,k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+k π,0,k ∈Z x =k π,k ∈Z预习交流 提示:正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数.正弦函数在第一象限不是单调增函数.即使终边相同的角,它们也能相差2π的整数倍.课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析:令z =2x -π3,借助y =2sin z 的单调性求解.解:令z =2x -π3,函数y =2sin z 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2+2k π,π2+2k π(k ∈Z ), 递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+2k π,3π2+2k π(k ∈Z ). ∴当原函数递增时,-π2+2k π≤2x -π3≤2k π+π2(k ∈Z ),解得-π12+k π≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ), 即原函数递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12+k π,5π12+k π(k ∈Z ). 当原函数递减时,π2+2k π≤2x -π3≤3π2+2k π(k ∈Z ),解得5π12+k π≤x ≤11π12+k π(k ∈Z ),即原函数递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12+k π,11π12+k π(k ∈Z ).迁移与应用 1.A 解析:取ω=2时,f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4,可求得f (x )的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8+k π,5π8+k π(k ∈Z ),显然ω=2不合题意.取ω=1时,f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4,可求得f (x )的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4+2k π,5π4+2k π(k ∈Z ),则ω=1符合题意,从而排除B 、C 、D ,故选A .2.解:(1)y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =-2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4,令z =x -π4,而函数y =-2sin z 的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ). ∴原函数递减时,得2k π-π2≤x -π4≤2k π+π2(k ∈Z ),得2k π-π4≤x ≤2k π+3π4(k ∈Z ).∴原函数的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π4,2k π+3π4(k ∈Z ). (2)令z =2x +π3,而函数y =cos z 的递减区间是[2k π,2k π+π](k ∈Z ).∴原函数递减时,可得2k π≤2x +π3≤2k π+π(k ∈Z ),解得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ).∴原函数的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ).活动与探究2 1.思路分析:借助正弦、余弦函数的值域及取得最值时相应的x 值求解;(2)中令z =x3,用换元法求解.解:(1)∵-1≤sin x ≤1,∴当sin x =-1,即x =2k π+3π2,k ∈Z 时,y 有最大值5,相应x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =2k π+3π2,k ∈Z. 当sin x =1,即x =2k π+π2,k ∈Z 时,y 有最小值1,相应x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =2k π+π2,k ∈Z. (2)令z =x 3,∵-1≤cos z ≤1,∴y =cos x3的最大值为1,最小值为-1.易知y =cos z 取得最大值时的z 的集合为{z |z =2k π,k ∈Z },由x3=2k π,得x =6k π,∴使函数y =cos x3取得最大值的x 的集合为{x |x =6k π,k ∈Z }.同理可得使函数y =cos x3取得最小值的x 的集合为{x |x =(6k +3)π,k ∈Z }.2.思路分析:可利用0≤x ≤9,求出πx 6-π3的范围,利用正弦函数的单调性求出最值.A 解析:由0≤x ≤9可得,-π3≤π6x -π3≤7π6,所以-3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x -π3≤2,所以最大值为2,最小值为-3,最大值与最小值之差为2-3.迁移与应用 解:(1)y =cos 2x +2sin x -2=-sin 2x +2sin x -1=-(sin x -1)2. ∵-1≤sin x ≤1,∴函数y =cos 2x +2sin x -2的值域为y ∈[-4,0].(2)y =cos 2x -sin x =1-sin 2x -sin x=-⎝⎛⎭⎪⎫sin x +122+54. ∵-π4≤x ≤π4,∴当x =-π6,即sin x =-12时,y ma x =54;当x =π4,即sin x =22时,y min =12-22.故函数y =cos 2x -sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4的值域为y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12-22,54.活动与探究3 思路分析:根据正弦(余弦)函数的周期性知,过函数图象的最高点或最低点与x 轴垂直的直线均是对称轴.C 解析:函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4的图象的对称轴是x -π4=k π+π2,k ∈Z ,即x =k π+3π4,k ∈Z .当k =-1时x =-π+3π4=-π4.故选C .迁移与应用 B 解析:∵y =cos x 的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π2,0(k ∈Z ),令2x +π3=kx+π2(k ∈Z ),解得x =k π2+π12(k ∈Z ). ∴函数y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3的对称中心是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2+π12,0(k ∈Z ).故B 正确. 【当堂检测】1.B 解析:∵函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ),由2k π-π2≤x +π4≤2k π+π2,得2k π-3π4≤x ≤2k π+π4(k ∈Z ). 令k =0,得-3π4≤x ≤π4,∴只有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4,故选B .2.C 解析:cos 10°=sin 80°,sin 168°=sin 12°. sin 80°>sin 12°>sin 11°, 即cos 10°>sin 168°>sin 11°.3.C 解析:∵0≤x ≤π6,∴0≤2x ≤π3,∴0≤sin 2x ≤32,∴y ∈[0,3]. 4.4k π+π2(k ∈Z ) 解析:当函数取最大值时12x -π4=2k π(k ∈Z ),x =4k π+π2(k ∈Z ).5.x =π12 解析:由已知2πω=π,∴ω=2,∴f (x )=sin(2x +π3).令2x +π3=k π+π2(k ∈Z ),解得x =k π2+π12(k ∈Z ).∴f (x )在y 轴右侧的第一条对称轴为x =π12.。

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1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
主动成长
夯基达标
1.函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图象是( )
图1-4-8
解析:y=sinx y=-sinx y=1-sinx.
答案:B
2.函数y=-cosx的图象与余弦函数的图象( )
A.只关于x轴对称
B.只关于原点对称
C.关于原点、x轴对称
D.关于原点、坐标轴对称
解析:关于x轴对称.
答案:A
3.对于函数f(x)=下列四个命题中,错误的个数为( )
①该函数的值域为[-1,1]②当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,该函数取得最大值1 ③该函数是以π为最小正周期的周期函数④当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)
<0
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:画出f(x)的图象如图.黑体为函数图象.
①值域为[-,1];②当x=2kπ+或x=2kπ时,取得最大值;③最小正周期为2π;④正确.
答案:C
4.使sinx<cosx成立的一个区间是( )
A.[-,]
B.[-,]
C.[-,]
D.[0,π]
解析:在同一坐标系中画出y=sinx与y=cosx的图象便得.
答案:A
5.方程2|x|=cosx的实根有( )
A.无数个
B.3个
C.2个
D.1个
解析:在同一坐标系中画出y=2|x|与y=cosx的图象,如图,交点为(0,1).
答案:D
6.根据正弦函数的图象解不等式sin2x≥(x∈[0,π]).
解:作出正弦函数的图象.
由图象易知x∈[].
7.作出函数y=|sinx|的图象,你能由函数y=sinx的图象,通过变换方法得到函数y=|sinx|的图象吗?
解:y=|sinx|=
比较函数y=|sinx|的图象与函数y=sinx的图象可知,当2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z时,两个函数图象重合;当2kπ+π<x<2kπ+2π,k∈Z时,两个函数图象关于x轴对称.
所以,保留函数y=sinx在x轴上方及与x轴的交点的图象,将其在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,就可以得到函数y=|sinx|的图象.
8.用五点法作出函数y=2sin(2x+)的图象.
解:(1)列表:列表时2x+取值 0,,π,,2π,再求出相应的x值和y值.。

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