19.2.2_菱形_同步测控优化训练(含答案)(科组培优训练专用)
菱形练习题及答案
菱形练习题及答案一、菱形的定义和特征菱形是指具有四条边长度相等且相互平行的四边形。
其特征包括：1) 所有四个角都是直角；2) 对角线相等，且互相垂直。
在数学中，菱形常被用作练习几何图形的平面几何题目。
二、菱形练习题以下是一些菱形练习题，每个题目后附有解题答案，以帮助学生更好地理解和掌握菱形的性质。
1. 题目：菱形ABCD的对角线AC长度为8cm，角ADC的度数为60°，求菱形的面积。
解答：首先，由于对角线相等，可以得知BD的长度也为8cm。
由菱形的性质可知，对角线相互垂直，故角BDC的度数为90°。
于是，我们可以通过AD和BD的长度以及ADC的度数，计算出三角形ADC 的边长。
根据余弦定理，我们可以得到：AC² = AD² + DC² - 2 * AD * DC * cos(ADC)8² = AD² + AD² - 2 * AD * AD * cos(60°)64 = 2AD² - 2 * AD² * 0.564 = AD²得到 AD = 8cm，同理可得DC = 8cm。
因此，菱形ABCD的面积为1/2 * AD * DC = 1/2 * 8 * 8 = 32cm²。
2. 题目：菱形EFGH的对角线EF长度为10cm，角EFG的度数为120°，求菱形的周长。
解答：由菱形的性质可知，菱形的周长等于4倍对角线的长度。
因此，菱形EFGH的周长为4 * 10 = 40cm。
三、菱形练习题答案1. 菱形ABCD的面积为32cm²。
2. 菱形EFGH的周长为40cm。
通过以上两个练习题，我们可以巩固菱形的定义和性质，掌握计算菱形的面积和周长的方法。
总结：菱形作为一种常见的几何图形，在数学学习中经常出现。
通过练习菱形题目，我们可以巩固菱形的定义和特征，提高解题能力，并运用这些知识解决实际问题。
八年级数学下册同步测控优化训练(19.2.2菱形)
答案:D
4.菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，则菱形的周长是______________.
解析：由菱形的邻角互补，可知菱形的另一组内角是60°，60°内角所对的对角线是较短的.根据有
一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可推出菱形边长是10，因此菱形周长是40.
答案:40
5.如图所示,在菱形ABCD中,AC、BD相交于O,且AC∶BD=1∶ 3 ,若AB=2.求菱形ABCD的面积.
D.对角线相等且互相垂直的四边形
答案：C
3.(2020广东白云山区模拟,3)菱形的两条对角线长分别为6 cm、8 cm,则它的面积为( )
A.6 cm2
B.12 cm2
C.24 cm2
D.48 cm2
1 解析：S菱形= 2 ×6×8=24(cm2).
答案:C 4.如图,在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则
解：菱形两对角线将其分割为四个全等的直角三角形. 设AO=x,因为四边形ABCD为菱形,所以AO=CO,BO=DO,AC⊥BD.
又因为AC∶BD=1∶ 3 ,所以AO∶BO=1∶ 3 ,BO= 3x .
在Rt△ABO中,因为AB2=BO2+AO2,所以AB2=( 3x )2+x2=22.所以x=1.
A.6 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.2 cm
11
解析：OE是Rt△BOC的斜边BC上的中线,故OE= 2 BC= 2 AD=3 cm.[来源:]
答案:C
2.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是( )
A.梯形
B.矩形
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ菱形
D.正方形
解析：连结矩形的两条对角线，则相邻两边中点的连线是三角形的中位线.由三角形的中位线等于
(完整版)菱形练习题(含答案),推荐文档
A
H KG
E
F
B
DC
中点∴AE=CF , △≌AE△D CFB(SAS) ．
（2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE 是菱形． 证明： AD BD ，△ABD 是 Rt△ ， 且 AB 是斜边（或 ADB 90 ）, E 是 AB 的中点， DE 1 AB BE ．由题意可 EB ∥ DF 且 EB DF ，
∴
∴
．
4.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 证明：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF． ∴EO=FO．又 EF⊥AC，∴AC 是 EF 的垂直平分线． ∵EF 是 AC 的垂直平分线．∴四边形 AFCE 为菱形
2 四边形 BFDE 是平行四边形，四边形 BFDE 是菱形．
实战演练
1.一菱形周长是 20cm，两条对角线的比是 4∶3，则这菱形的面积是（ B ） A.12cm2
B.24cm2 C.48cm2
D.96cm2
2.如图，已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于
5.在 ABCD 中， E，F 分别为边 AB，CD 的中点，连接 DE，， BF BD ． （1）求证： △≌AD△E CBF ． （2）若 AD BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
人教版八年级数学下册18.2.2.2菱形的判定培优训练(含答案)
人教版八年级数学下册菱形的判断培优训练一、选择题（共 10 小题， 3*10=30 ）1．以下命题中，正确的选项是()A ．有一个角是60°的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形2．如图，在 ?ABCD 中， AC ，BD 交于点 O，AB ＝13， AC ＝24， DB＝ 10，则四边形ABCD 是 () A ．一般的平行四边形B．长方形C．菱形 D ．形状不可以确立3. 如图，以下条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为 ()①AC ⊥ BD ；②∠ BAD=90°；③ AB=BC ；④ AC=BD ．A 、①③B 、②③C、③④D、①②③4.如图，四边形 ABCD 的两条对角线订交于点 O，且相互均分．增添以下条件，仍不可以判断四边形ABCD 为菱形的是 ()A ．AC ⊥BD B．AB ＝ADC． AC ＝ BD D．∠ ABD ＝∠ CBD5. 如图，在 ?ABCD 中，对角线AC ，BD 订交于点O，增添以下条件不可以判断 ? ABCD 是菱形的只有()C．AC＝BD D．∠ 1＝∠ 26.如图，四边形 ABCD 的两条对角线订交于点 O，且相互均分，增添以下条件，仍不可以判断四边形ABCD 为菱形的是 ()A ．AC ⊥BD B．AB ＝ADC． AC ＝ BD D ．∠ ABD ＝∠ CBD7. 如图，将?ABCD 沿 AE 翻折，使点 B 恰巧落在 AD 上的点 F 处，则以下结论不必定建立的是()A ．AF＝EF B．AB ＝EFC．AE＝AF D．AF ＝BE8. 四边形的四边长按序为a、b、 c、 d，且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad ，则此四边形必定是()A.平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9．如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为()A ． 52 cmB ．40 cmC． 39 cm D ．26 cm10.如图，分别以 Rt△ABC 的斜边 AB 和直角边 AC 为边向△ABC 外作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE ， F 为 AB 的中点， DE 与 AB 交于点 G，EF 与 AC 交于点 H，∠ BAC ＝ 30°给.出以下结论：1二．填空题（共 8 小题， 3*8=24 ）11.如图，假如要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要增添一个条件，那么你增添的条件是_________．12.如图在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 订交于点 O，且 DE ∥AC ， CE∥ BD ，则四边形 OCED 的形状是 _________．13. 如图 ,在长方形 ABCD 中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG 为等腰直角三角形,则 EF 的长为 _________．14. 如图 ,在周长为 12 的菱形 ABCD 中 ,AE=1,AF=2, 若 P 为对角线BD 上一动点 ,则 EP+FP 的最小值为_________．15．以下命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线相互垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线均分一组对角的平行四边形是菱形．此中正确的选项是__________( 填序号 )．16.把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使极点 B 和极点 D 重合，折痕为 EF．若 BF=4 ，FC=2 ，17.如图 ,把长方形纸片 ABCD 折叠 ,使其对角极点 C 与 A 重合 .若长方形的长 BC 为 8,宽 AB 为 4,则折痕 EF 的长度为 _________．18. 在菱形 ABCD 中， AE 为 BC 边上的高，若AB=5 ， AE=4 ，则线段CE 的长为．三．解答题（共 7 小题，46 分）19．(6 分 )如图，在平行四边形ABCD 中， AC 均分∠ DAB ，AB ＝ 2 cm，求平行四边形ABCD 的周长为 .20． (6 分 ) 如图， E， F 是菱形 ABCD 对角线上的两点，且AE ＝ CF.求证：四边形BEDF 是菱形；21． (6 分 ) 如图，在△ABC 中， AD 均分∠ BAC ，过点 D 分别作 DE∥ AC 、 DF ∥AB ，分别交 AB 、 AC 于点 E、 F.求证：四边形 AEDF 是菱形．22． (6 分 ) 如图，在△ABC 中， AD 均分∠ BAC ，将△ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，睁开后折痕分别交AB ， AC 于点 E， F，连结 DE，DF.求证：四边形AEDF 是菱形．23． (6 分 ) 如图，在 ?ABCD 中，对角线AC ， BD 订交于点O，AB ＝ 5， AC ＝ 6， BD ＝ 8.(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)过点 A 作 AH ⊥BC 于点 H，求 AH 的长．24． (8 分 ) 如图，在矩形ABCD 中， E， F 分别是 BC ， AD 边上的点，且AE ＝ CF.(1)求证：△ABE ≌△ CDF；(2)当 AC⊥ EF 时，四边形 AECF 是菱形吗？请说明原因．25． (8 分 ) 如图，将一张矩形纸片ABCD 进行折叠，详细操作以下：第一步：先对折，使AD 与 BC 重合，获得折痕MN ，睁开；第二步：再折叠一次，使点 A 落在 MN 上的点 A′处，并使折痕经过点B，获得折痕BE，同时，获得线段 BA′， EA′，睁开，如图①；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点B′处，获得折痕EF，同时获得线段B′F，睁开，如图②.求证： (1) ∠ ABE ＝30°； (2)四边形 BFB′E为菱形．参照答案1-5DCACC6-10 CCCAC11.AB=AD 或 AC ⊥BD12.菱形13.10214.315.①③⑤16.6017.2518.2 或 819.解：如图．∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠ 1＝∠ 4，∠ 2＝∠ 3，∵ AC 均分∠ DAB ，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＝∠ 3，∴ AD ＝DC，四边形 ABCD 为菱形，∴四边形 ABCD 的周长＝ 4×2＝ 8.20.证明：连结 BD ，交 AC 于 O.∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝ OC，OB＝ OD ， AC ⊥BD ，∵ AE ＝ CF，∴ OE＝ OF，∴四边形 BEDF 是平行四边形，∵ EF⊥ BD ，∴四边形 BEDF 是菱形；21.证明：∵DE∥AC ，DF∥AB ，∴四边形 AEDF 是平行四边形．∵ AD 均分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD.∵DE ∥ AC ，∴∠ EDA ＝∠ CAD ，∴∠ EDA ＝∠ BAD ，∴四边形AEDF 是菱形．22.证明： (方法不独一 )由折叠性质知： AE ＝ DE，AF ＝ DF，∴∠ DAE ＝∠ EDA ，∠ ADF ＝∠ FAD ，∵∠ DAE ＝∠ FAD ，∴∠ DAE ＝∠ ADF ，∠ DAF ＝∠ EDA ，∴DF∥AE，DE∥AF ，∴四边形 AEDF 是平行四边形，∵ AE ＝ DE，∴四边形 AEDF 是菱形1 23. (1) 证明：∵在 ?ABCD 中，对角线AC ， BD 订交于点O， AB ＝ 5，AC ＝ 6， BD ＝8，∴ AO ＝2AC1＝ 3， BO＝2BD ＝ 4，∵AB ＝ 5，且 32＋ 42＝ 52，∴AO 2＋BO2＝AB 2，∴△ AOB 是直角三角形，且∠ AOB ＝ 90°，∴ AC ⊥ BD ，∴四边形 ABCD 是菱形．(2)解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC＝AB ＝ 5，1111∵ S△ABC＝2AC· BO＝2BC· AH，∴2× 6×4＝2× 5× AH，解得： AH ＝24 5.24.解： (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ B ＝∠ D ＝ 90°，AB ＝ CD， AD ＝BC ， AD ∥ BC，AE ＝ CF，在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中，AB ＝CD ，∴Rt△ABE ≌ Rt △CDF(HL)(2)解：当 AC ⊥ EF 时，四边形 AECF 是菱形，原因以下：∵△ ABE ≌△ CDF ，∴ BE ＝ DF，∵BC＝AD ，∴ CE＝AF ，∵CE∥ AF，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵ AC ⊥ EF，∴四边形AECF 是菱形∴∠ AEB ＝∠ A′EB.∵第三步折叠，点 B 落在 AD 上的点 B′处，获得折痕EF，同时获得线段B′F，∴∠ A′EB＝∠ FEB′.∵∠ AEB ＋∠ A′EB＋∠ FEB′＝ 180°，∴∠ AEB ＝∠ A′EB＝∠ FEB′＝ 60°，∴∠ ABE ＝30°(2) ∵沿 EA′所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点 B′处，∴BE ＝ B′E， BF＝B′F.∵AD ∥ BC，∴∠ BFE ＝∠ FEB′＝60°，∴△ BEF 是等边三角形，∴ BE ＝ BF，∴ BE ＝ B′E＝ B′F＝BF，∴四边形 BFB′E为菱形。
华师大版初中数学八年级下册《19.2.1 菱形的性质》同步练习卷(含答案解析
华师大新版八年级下学期《19.2.1 菱形的性质》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．用一长一短的两根木棒，在它们的中心处固定一个小螺钉，做成一个可转动的叉形架，四个顶点用橡皮筋连成一个四边形，转动木条，这个四边形变成菱形时，两根木棒所成角的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．菱形的周长为4，两个相邻内角度数为1：2，则该菱形的面积为（）A．B．C．2D．24．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°5．下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分6．某课外小组设计了一个菱形挂钟．如图，菱形的边长为12厘米，时钟的中心在菱形的交点上，∠ADC=120°，数字3，6，9，12分别在四个顶点ABCD上，则数字1的位置与D点的距离为（）A．3厘米B．4厘米C．3厘米D．6厘米7．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．28．如图，在菱形ABCD中，∠B=100°，O是对角线AC的中点，过点O作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N，则下列结论错误的是（）A．∠ACD=40°B．OM=ON C．AM+BN=AB D．MN=AC 9．如果菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积是（）A．12B．6C．5D．710．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．如图所示，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC 的中点，在下列结论中错误的是（）A．S△ADE=S△EODB．四边形BFDE是中心对称图形C．△DEF是轴对称图形D．∠ADE=∠EDO12．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相C．一组邻边相等D．对角线互相平分13．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是AD的中点，点P在对角线BD上，PE⊥AD，若BD=12cm，则PE的长为（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°15．如图，一张平行四边形纸片，AB＞BC，点E是AB上一点，且EF∥BC，若沿EF剪开，能得到两张菱形纸片，则AB与BC间的数量关系为（）A．AB=2BC B．AB=3BC C．AB=4BC D．不能确定二．填空题（共22小题）16．已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为．17．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH=．18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC=8cm，BD=6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t=s时，△PAB为等腰三角形．19．如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=8，则菱形ABCD的面积为．20．菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为．21．如图，边长为2菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第6个菱形的边长为．22．菱形ABCD的周长为52cm，它的一条对角线长10cm，则另一条对角线的长是．23．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．24．如图，菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线相交于点F．若∠BCF=90°，则∠D的度数为．25．如图，菱形ABCD落在平面直角坐标系中，其中A点坐标（0，4），D点坐标（﹣3，0），则C点坐标是．26．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=10，E点在BD上，且AE=BE=3，那么这个菱形的边长等于．27．如图，菱形ABCD的周长为8，两邻角的比为2：1，则对角线的长分别为．28．已知菱形的周长为40，两条对角线长度之比为3：4，那么对角线的长度分别为．29．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为．30．若菱形的周长是20cm，相邻的两个内角的度数比是1：2，那么菱形中较短的一条对角线的长是cm．31．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．32．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=度．33．如图，菱形ABCD的边长为cm，菱形的四个顶点正好能放在间隔距离（相邻两条平行线间的距离）为1cm的一组平行线上，则菱形的面积为cm2．34．如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是．35．学校植物园沿路护栏的纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示，已知每个菱形图案的边长为cm，其中一个内角为60°．若d=26，该纹饰要用231个菱形图案，则纹饰的长度L=cm．36．如图所示，两个全等的菱形边长为1m，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA…的顺序沿菱形的边循环运动，行走2011m停下，则这个微型机器人停在点．37．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是．三．解答题（共13小题）38．如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．39．（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边AD上找点F，使DF=BE．（2）如图2，四边形ABCD是菱形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边DC上找点M，使DM=BE．40．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．求：菱形ABCD对角线AC，BD的长．41．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=24，BD=10，DE⊥AB于E，（1）求菱形ABCD的周长；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求DE的长．42．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．求：（1）对角线AC，BD的长；（2）菱形ABCD的面积．43．如图，菱形ABCD的周长为48cm，它的一条对角线BD长12cm．（1）求菱形的每一个内角的度数．（2）求菱形另一条对角线AC的长．44．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．45．如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠B=60°，从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以2cm/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以4cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当Q点运动点D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时，请求此时x的值是多少秒？46．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=24，BD=10，过O作OH⊥AB，垂足为H．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求OH的长．47．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF（1）AE和AF有何数量关系？证明你的结论．（2）过点C作CG∥EA交AF于点H，交AD于点G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．48．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．49．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP 交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．50．如图，已知两个菱形ABCD、CEFG，其中点A、C、F在同一直线上，连接BE、DG．（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；（2）证明：BE=DG．华师大新版八年级下学期《19.2.1 菱形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．用一长一短的两根木棒，在它们的中心处固定一个小螺钉，做成一个可转动的叉形架，四个顶点用橡皮筋连成一个四边形，转动木条，这个四边形变成菱形时，两根木棒所成角的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】根据菱形的判定方法即可解决问题；【解答】解：如图，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故选：A．【点评】本题考查菱形的判定，解题的关键是熟练掌握类型的判定方法，属于中考常考题型．2．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【分析】由菱形ABCD的周长为48cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC ⊥BD，又由E是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为48cm，∴AD=12cm，AC⊥BD，∵E是AD的中点，∴OE=AD=6（cm）．故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．菱形的周长为4，两个相邻内角度数为1：2，则该菱形的面积为（）A．B．C．2D．2【分析】求出两对角线的长度，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可求解．【解答】解：如图，AB=4÷4=1，∵两个相邻内角的度数的比为1：2，∴∠BAD=×180°=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴BO=×1=，在Rt△ABO中，AO===，∴AC=2AO=，∴菱形的面积为：AC•BD=×1×=故选：A．【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及菱形的四条边都相等的性质，根据度数求出以较短的对角线BD为边的三角形是等边三角形是解题的关键．4．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出∠ADC=∠B=70°，从而得出∠AED=∠ADE．又因为AD∥BC，故∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠AED，易得解．【解答】解：根据菱形的对角相等得∠ADC=∠B=70°．∵AD=AB=AE，∴∠AED=∠ADE．根据折叠得∠AEB=∠B=70°．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAE）÷2=55°．∴∠EDC=70°﹣55°=15°．故选：B．【点评】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．5．下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】由菱形的对角线互相平分且垂直，可得菱形对角线所在直线是对称轴，继而求得答案．【解答】解：∵菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分，∴对角线所在直线是对称轴．故A，B，D正确，C错误．故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．6．某课外小组设计了一个菱形挂钟．如图，菱形的边长为12厘米，时钟的中心在菱形的交点上，∠ADC=120°，数字3，6，9，12分别在四个顶点ABCD上，则数字1的位置与D点的距离为（）A．3厘米B．4厘米C．3厘米D．6厘米【分析】设时钟的中心为O点，数字1所在的位置是E点，连结AC、OD、OE，根据菱形的性质得出∠ODC=∠ODE=∠ADC=60°，OD⊥AC，∠DOE=∠AOD=30°．解Rt△ODC求出OD=CD=6cm，解Rt△ODE，求出DE=OD=3cm．【解答】解：设时钟的中心为O点，数字1所在的位置是E点，连结AC、OD、OE．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ODC=∠ODE=∠ADC=60°，OD⊥AC，∠DOE=∠AOD=30°．∵在Rt△ODC中，∠COD=90°，∠OCD=30°，∴OD=CD=6cm．∵在Rt△ODE中，∠OED=180°﹣∠DOE﹣∠ODE=180°﹣30°﹣60°=90°，∠DOE=30°，∴DE=OD=3cm．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求出∠OED=90°是解题的关键．7．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．2【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．8．如图，在菱形ABCD中，∠B=100°，O是对角线AC的中点，过点O作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N，则下列结论错误的是（）A．∠ACD=40°B．OM=ON C．AM+BN=AB D．MN=AC【分析】根据菱形的性质，对角线互相平分且垂直，各边平行且相等，然后判断各选项即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠B=100°，∴∠BCD=80°，∴∠BCA=∠DAC=40°，连接BD，如下图所示：∵在△DOM和△BON中，，∴△DOM≌△BON（AAS），∴OM=ON，DM=BN，∴AM+BN=AB，∵M不是AD的中点，∴MN≠AC，∴选项D是错误的，故选：D．【点评】本题考查菱形的性质，难度适中，解题关键是熟练掌握菱形的性质并灵活运用．9．如果菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积是（）A．12B．6C．5D．7【分析】根据菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度），求出即可．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，∴这个菱形的面积是：×3×4=6．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的性质，熟练根据菱形对角线求面积公式是解题关键．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．【解答】解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．11．如图所示，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC 的中点，在下列结论中错误的是（）A．S△ADE=S△EODB．四边形BFDE是中心对称图形C．△DEF是轴对称图形D．∠ADE=∠EDO【分析】由O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点，易证得四边形BFDE是菱形，△DEF是等腰三角形，即可判定B，D正确；又由等底等高三角形的面积相等，即可判定A正确，继而求得答案．【解答】解：A、∵E是OA的中点，∴AE=OE，∵△ADE与△EOD等高，∴S=S△EOD，△ADE故本选项正确；B、∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴四边形BFDE是中心对称图形；故本选项正确；C、∵OE=OF，AC⊥BD，∴△DEF是等腰三角形，∴△DEF是轴对称图形；故本选项正确；D、∵AD＞OD，AE=OE，∴∠ADE≠∠ODE，故本选项错误．故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质与判定、轴对称性与中心对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．12．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相C．一组邻边相等D．对角线互相平分【分析】对菱形和平行四边形的性质进行比较从而得到最后答案．【解答】解：根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，发现只有一组邻边相等只有菱形具有平行四边形不具有，故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质及平行四边形的性质，属于基础题，要注意掌握一些图形的基本性质．13．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是AD的中点，点P在对角线BD上，PE⊥AD，若BD=12cm，则PE的长为（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm【分析】连接AC，则可判定△ADC是等边三角形，然后可得出AD、ED的长度，继而在Rt△PED中可求出PE的长．【解答】解：由题意得，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，故可得△ADC是等边三角形，OD=OB=BD=6cm，在RT△AOD中，AD===4，又∵E是AD的中点，∴AE=ED=AD=2cm，在RT△PED中，PE=EDtan∠ADB=2×=2cm．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，利用菱形的对角线平分一组对角的性质求解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°﹣130°=50°，∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°﹣∠BAO=90°﹣25°=65°．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．15．如图，一张平行四边形纸片，AB＞BC，点E是AB上一点，且EF∥BC，若沿EF剪开，能得到两张菱形纸片，则AB与BC间的数量关系为（）A．AB=2BC B．AB=3BC C．AB=4BC D．不能确定【分析】根据菱形四边相等的性质，可得出AE=AD=BC=EB，从而可得出AB与BC 的关系．【解答】解：∵菱形的四边相等，∴AE=AD=BC=EB，即可得出AB=AE+EB=2BC．故选：A．【点评】本题考查菱形的性质及平行四边形的性质，属于基础知识的考察，关键是掌握平行四边形的对边相等及菱形的四边相等的性质．二．填空题（共22小题）16．已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为52．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，可知AO和BO的长，再根据勾股定理即可求得AB的值，由菱形的四个边相等，继而求出菱形的周长．【解答】解：已知AC=10，BD=24，菱形对角线互相垂直平分，∴AO=5，BO=12cm，∴AB==13，∴BC=CD=AD=AB=13，∴菱形的周长为4×13=52．故答案是：52．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，根据勾股定理求AB的值是解题的关键．17．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH=．【分析】先根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD=DH•AB，再解关于DH 的方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB==5，∵S=•AC•BD，菱形ABCDS菱形ABCD=DH•AB，∴DH•5=•6•8，∴DH=．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC=8cm，BD=6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t=5或8或s时，△PAB为等腰三角形．【分析】求出BA的值，根据已知画出符合条件的三种情况：①当PA=AB=5cm时，②当P和C重合时，PB=AB=5cm，③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cm，∴AC⊥BD，AO=OC=4cm，BO=OD=3cm，由勾股定理得：BC=AB=AD=CD=5cm，分为三种情况：①如图1，当PA=AB=5cm时，t=5÷1=5（s）；②如图2，当P和C重合时，PB=AB=5cm，t=8÷1=8（s）；③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2，AP2=32+（4﹣AP）2，AP=；t=÷1=（s），故答案为：5或8或．【点评】本题考查了菱形性质和等腰三角形的判定的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况．19．如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=8，则菱形ABCD的面积为24．【分析】由菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半，即可求得菱形ABCD的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=×6×8=24．故答案为：24．【点评】此题考查了菱形的性质．解此题的关键是掌握菱形的面积等于其对角线乘积的一半定理的应用．20．菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为8．【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半，即可得出另一条对角线的长．【解答】解：设另一条对角线为x，由题意得，×x×4=16，解得：x=8．故答案为：8．【点评】本题考查了菱形的性质，属于基础题，注意掌握菱形的面积=对角线乘积的一半．21．如图，边长为2菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第6个菱形的边长为18．【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律不难求得第6个菱形的边长．【解答】解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=2，∴BM=1，∴AM==，∴AC=2AM=2，同理可得AC1=AC=6，AC2=AC1=6，AC3=AC2=18，AC4=AC3=18．故答案为：18．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．22．菱形ABCD的周长为52cm，它的一条对角线长10cm，则另一条对角线的长是24．【分析】先由菱形ABCD的周长求出边长，再根据菱形的性质求出OA，然后由勾股定理求出OB，即可得出BD．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，OA=AC=5，OB=BD，∵菱形ABCD的周长为52cm，∴AB=13，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OB===12，∴BD=2OB=24．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和运用勾股定理计算是解决问题的关键．23．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF 是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．【解答】解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AB=AD，∠A=60°，∵BM=AE，∴AD=ME，∵△DEF为等边三角形，∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，∴∠MEF=∠ADE，∴在△DAE和△EMF中，∴△DAE≌EMF（SAS），∴AE=MF，∠M=∠A=60°，又∵BM=AE，∴△BMF是等边三角形，∴BF=AE，∵AE=t，CF=2t，∴BC=CF+BF=2t+t=3t，∵BC=4，∴3t=4，∴t=故答案为：．或连接BD．根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到AE=BF，列出方程即可．【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形．24．如图，菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线相交于点F．若∠BCF=90°，则∠D的度数为60°．【分析】首先连接AC．由条件易得AE垂直平分CF，则AC=AF，易证得△AEF≌△DEC，则可得△ACD为正三角形，故∠D=60°．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=AC，∵∠BCF=90°，∴∠AEF=∠BCF=90°，即AD⊥CF，∵点E是AD的中点，∴AC=AF，∵AB∥CD，∴∠F=∠DCE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴CD=AF，∴AC=AD=CD，∴∠D=60°．故答案为：60°．【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．25．如图，菱形ABCD落在平面直角坐标系中，其中A点坐标（0，4），D点坐标（﹣3，0），则C点坐标是（2，0）．【分析】根据勾股定理得出AD的长，再利用菱形的性质得出CD的长，即可得出C点坐标．【解答】解：∵A点坐标（0，4），D点坐标（﹣3，0），∴AO=4，DO=3，∴AD=5，∴CD=5，则OC=2，∴C点坐标是：（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出CD的长是解题关键．26．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=10，E点在BD上，且AE=BE=3，那么这个菱形的边长等于．【分析】首先连接AC，得出BO的长以及EO的长，再利用勾股定理得出AO的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：连接AC，∵在菱形ABCD中，对角线BD=10，∴AC⊥BD，BO=5，∵AE=BE=3，∴EO=2，∴AO==，∴AB==．故答案为：．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出AO的长是解题关键．27．如图，菱形ABCD的周长为8，两邻角的比为2：1，则对角线的长分别为2和2．【分析】依题意，根据菱形的性质首先求出边长，然后推出对角线与菱形的两边构成的三角形为等边三角形，最后可解答．【解答】解：∵菱形的周长为8，∴菱形的边长是：8×=2，∵两个邻角的比是1：2，∴较大的角是120°，较小的角是60°，∴这个菱形的对角线AC所对的角是60°，由菱形的性质得到，AC与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，∴AC=2，BD=2××tan60°=2．故答案为：2和2．【点评】本题考查菱形性质的运用，属于基础题目，根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据等边三角形的性质求解．28．已知菱形的周长为40，两条对角线长度之比为3：4，那么对角线的长度分别为12，16．【分析】首先根据题意画出图形，然后设OA=3x，OB=4x，由菱形的性质，可得方程：102=（3x）2+（4x）2，继而求得答案．【解答】解：如图，∵菱形的周长为40，∴AB=10，OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，∵两条对角线长度之比为3：4，∴OA：OB=3：4，设OA=3x，OB=4x，在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2，∴102=（3x）2+（4x）2，解得：x=2，∴OA=6，OB=8，∴AC=12，BD=16，∴对角线的长度分别为：12，16．故答案为：12，16．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．29．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为8a．【分析】根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得AB=2OE，从而不难求得其周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵点E是AB的中点，∴AB=20E，则菱形ABCD的周长为8a．故答案为：8a．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及中位线的性质的理解及运用，属于基础题．30．若菱形的周长是20cm，相邻的两个内角的度数比是1：2，那么菱形中较短的一条对角线的长是5cm．【分析】由已知可求得较短的对角线与菱形的一组邻边组成一个等边三角形，从而得到较短的对角线的长等于其边长．【解答】解：如图，AB=20÷4=5cm，∵两个相邻内角的度数的比为1：2，∴∠BAD=×180°=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=5cm，∴BO=×10=cm，∴BD=5cm，在Rt△ABO中，AO==cm，∴AC=2AO=2×=5cm，∴菱形中较短的一条对角线的长是5cm．故答案为5．【点评】此题主要考查菱形的性质及等边三角形的判定的理解及运用，难度一般，如果不熟练菱形的性质，解答本题的时候可以先画出草图．31．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．【解答】解：连接BD、AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴∠ABO=90°﹣60°=30°，∵∠AOB=90°，∴AO=AB=×2=1，由勾股定理得：BO=DO=，∵A沿EF折叠与O重合，。
八年级数学下册菱形同步练习、含答案2(含答案)
菱形班级：___________________________姓名：___________________________作业导航理解并掌握菱形的性质及判别方法，会利用菱形的性质和判别方法进行推理说明和有关计算．一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线互相垂直D．对角线相等2．能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线相等且互相平分B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相平分D．一组对角相等且一条对角线平分这组对角3．菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（）A．168 cm2 B．336 cm2 C．672 cm2 D．84 cm24．菱形的周长为16，两邻角度数的比为1：2，此菱形的面积为（）A．43B．83C．103D．1235．下列语句中，错误的是（）A．菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B．菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C．菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D．菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到二、填空题6．菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______．7．菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______．8．菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______．9．菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______．10．菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1：3，那么菱形的边长为_______．三、解答题11．如图，AD是△ABC的角平分线．DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．12．□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？13．菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3：4，求菱形的面积．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH．参考答案一、1．C2．D3．B4．B5．D二、6．2 cm7．44厘米8．176 cm29．8 cm 5 cm10．4 cm三、11．四边形AEDF是菱形，AE=E D．12．□AFCE是菱形，△AOE≌△COF，四边形AFCE是平行四边形，EF⊥AC13．24 cm214．9.6 cm。
华东师大版八年级下册19.2.1菱形的性质同步练习含答案
华东师大版八年级下册第19章矩形、菱形与正方形19．2菱形19.2.1菱形的性质同步练习题1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.若△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是()A．25B．20C．15D．102．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是(3，4)，则顶点A，B的坐标分别是()A．(4，0)，(7，4) B．(4，0)，(8，4) C．(5，0)，(7，4) D．(5，0)，(8，4)3．已知菱形的周长为20 cm，两个邻角的比是1∶2，这个菱形较短的对角线的长是____cm.4．已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.求证：△ADE≌△CDF.5．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直6．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的边长AB等于()A．10 B.7 C．6 D．57．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝____．8．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．9．菱形既是图形，又是图形．10．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是()A．(3，1) B．(3，－1) C．(1，－3) D．(1，3)11．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE＝ED，则∠EBF等于()A．75°B．60°C．50°D．45°12．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝k x的图象上，则k的值为____．13．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE. 求证：OE＝BC.14．如图，在菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F.如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．15．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．416．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．答案：1. B2. D3. 54. 由AAS可证△ADE≌△CDF5. D6. D7. 12 58. 1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB綊CD，又∵BE＝AB，∴BE綊CD∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC(2)∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°，又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°9. 轴对称中心对称10. B11. B12. －613. ∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD＝90°，DC＝BC，∴四边形OCED是矩形，∴DC＝OE，∴OE＝BC14. 连结BD，∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC，AC⊥BD，又∵EF⊥AC，∴BD∥EF，∴四边形EFBD 为平行四边形，∴FB＝ED＝2，∵E是AD的中点，∴AD＝2ED＝4，∴菱形ABCD的周长为4×4＝1615. C16. (1)连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°，∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°，∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF(2)连结AC，由(1)得△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ACF＝12∠BCD＝∠B＝60°，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形。
人教版 八年级数学下册 18.2.2 菱形 培优练习(含答案)
人教版 八年级数学下册 18.2.2 菱形 培优练习（含答案）一、单选题（共有9道小题）1.如图，下列哪个条件能使□ABCD 成为菱形的（ ）①AC ⊥BD ②AB ∥CD ③AB=BC ④AB=CDA. ①③B.②③C.③④D.①②③ 2.下列命题中，正确的是（ ） A ．梯形的对角线相等 B ．菱形的对角线不相等 C ．矩形的对角线不能互相垂直 D ．平行四边形的对角线可以互相垂直3.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A ．20B ．24C ．40D ．484.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线互相分5.以下四个命题正确的是（ ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 菱形对角线相等C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 平行四边形的四条边相等6.平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，下列条件中能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）①ABC=90°②AC ⊥BD ③AB=BC④AC 平分∠BAD⑤AO=DOA.②③④B.①②③C.③④⑤D.①②⑤A BCD O ABCD7.如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA8.如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤A BCDEFP FEDCBA9.如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G 、H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）A.25B. 35C.5D.6 二、填空题（共有7道小题）10.木工做菱形窗框时总要保持四条边框一样长，道理是_______________________ ． 11.顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．12.如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是 ，面积是 。
(培优)菱形矩形正方形和梯形含答案
（培优）菱形、矩形、正方形和梯形含答案（培优）菱形、矩形、正方形和梯形菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可．解：∵FH`∥GE，FG∥EH，∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知：△GEF≌△HFE．∴FG=FH，EG=EH．∴四边形GEHF为菱形．∴EF、GH互相垂直平分．练习11．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，?∠BAE=18°，则∠CEF=________．(1) (2) (3) 长为6，则菱形的面积为________．2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，?则∠EAB=________．答案: 练习11．18° 2．363．连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M．设正方形边长为a，则AC=BD=AE=2a 又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，∴BO=EM=12BD=a． 221在Rt△AEM中，AE=2a，EM= ∴∠CAE=30°．则∠EAB=15°．2a． 2 例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，?如图，若折痕EF长为6，求另一边长．分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于EF=6，求AB的长的问题．解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y．在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2．E，若25?x225?x2 得y=，AE=5-y=．10101125?x26 又在Rt△AOE中，AO=AC=，EO=EF=．2222 代入AE=AO+OE得，22225?x2225?x2262（）=（）+（）．1022 即x4+25x2-150=0．解之得，x2=5，x2=-30（舍去）∴x=5．练习21．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，?设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是__________．(4) (5)2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF?交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是________．23．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使AD=2，求AG．答案: 练习2 1．752cm． 162．纸条长为6cm，宽为23cm． 3．作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），∴AG=BM=2（2-1）．例3 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，?垂足为M，AM=AB，则有EF=BE+DF，为什么？分析要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．理由：连结AE、AF．由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，∴△ABE≌△AME．∴BE=ME．同理可得，△ADF≌△AMF．∴DF=MF．∴EF=ME+MF=BE+DF．3练习31．如图6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，?其边长分别为3cm和5cm，则△CDE的面积为________cm2．(6) （7）2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________．3．如图，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，并且P点到CD边的距离也等于10，求正方形ABCD的面积？答案: 练习31．6cm． 2．36．3．过P作EF⊥AB于F交DC于E．设PF=x，则EF=10+x，BF= 由PB=PF+BF．可得：10=x+ 故x=6．S正方形ABCD=16=256．例4 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠C=30°，求AD：BC的值．分析添加辅助线，使等腰梯形ABCD?的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问题．解：过D作DF∥AB交BC于F，过D作DE⊥BC于E，则四边形ABFD为平行四边形．设AD=a，则AD=BF=a．∵BD平分∠ABC，∴AD=AB=DF=DC=a．在Rt△DEC中，∠C=30°，∵DE=22222221（10+x）． 212（x+10）． 4a3，EC=a． 224又∵EC=DF=3a， 233a+a=（1+3）a．22 ∴BC=BF+EF+EC=a+∴AD：BC=a：（1+3）a=（3-1）：2 练习41．用长为1、4、4、5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_______．2．用一块面积为900cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为牢固起见，?用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么梯形对角线至少需______cm．3．如图，一块直角梯形的钢板，两底长分别是4cm、?10cm，?且有一个内角为60°，问是否能将铁板任意翻转，使从一个直径为8.7cm的圆洞中穿过？答案: 练习41．63或10． 2．302．3．过D作DE⊥BC于E，则BE=4，EC=6，由∠C=60°，知CD=2EC=12，DE=3EC=63，由于BC>8.7，DE>8.7，故这两个方向不能穿过圆洞．过B作BF⊥CD，有CF=1BC=5． 2 得BF=53=75<75.69=8.7．故沿CD方向可穿过圆洞．例5 如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE?⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，求PE+PF的长．分析连结PO，则PE、PF可分别看作是OD、OA边上的高，而OA=OD，故只需求出△AOP、△DOP的面积即可．解：连结OP．由矩形ABCD，AD=12，AB=5．∴AC=BD=2OA=2OB=13．∴OA=OD=6．5．而S矩形=12×5=60．5感谢您的阅读，祝您生活愉快。
《菱形的判定与性质》培优训练(附答案)
八年级数学下册《6.1菱形的判定与性质》培优训练（附答案）1．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ＝4，BD ＝43，E 为AB 的中点，点P 为线段AC 上的动点，则EP+BP 的最小值为（ ）A ．4B ．25C ．27D ．82．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）A ．33 B ．27 C ．43 D ．223+3．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ABC=60°，点E 在AD 上，且AE=2，点P 是对角线BD 上的一个动点，则PE+PA 的最小值是 ．4．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若DC ＝25，AC ＝4，求OE 的长．5．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积6．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，连接CE ．（1）如图1，当点P 在菱形ABCD 内部时，则BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ．（2）如图2，当点P 在菱形ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图2，连接BE ，若AB ＝23，BE ＝219，求AP 的长．7．如图，菱形ABCD 中，4AB =，E 为BC 中点，AE BC ⊥，AF CD ⊥于点F ，CG ∥AE ，CG 交AF 于点H ，交AD 于点G ．（1）求菱形ABCD 的面积；（2）求CHA ∠的度数．8．四边形ABCD 为菱形，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上(1) 若AE=CF ，求证：EB=BF(2) 若AD=4，DE=CF ，且△EFB 为等边三角形，求四边形DEBF 的面积(3) 若∠DAB=60°，点H 在边BC 上，且BH=HC=2．若∠DFA=2∠HAB ，直接写出CF 的长9．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，E 、F 在菱形的边BC ，CD 上．（1）证明：BE=CF ．（2）当点E ，F 分别在边BC ，CD 上移动时（△AEF 保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．10．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，分别交BC ，CD 于E ，F ，EH AB ⊥于H .连接FH ，求证：四边形CFHE 是菱形.11．在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAB=60°，且AB=4，求OE的长．12．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别是边AB，AD上的点，且满足∠BCE=∠DCF，连结EF．（1）若AF=1，求EF的长；（2）取CE的中点M，连结BM，FM，BF．求证：BM⊥FM．13．在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．14．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。
菱形练习题及答案
菱形练习题及答案菱形练习题及答案在学习过程中，练习题是一种非常有效的学习工具。
它们可以帮助我们巩固知识，提高技能，并加深对所学内容的理解。
菱形练习题是一种常见的练习题形式，它可以帮助我们培养逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍一些常见的菱形练习题及其答案。
一、数学题1. 请计算以下数列的和：1，3，5，7，9。
解答：这是一个等差数列，公差为2。
根据等差数列求和公式，首项为1，末项为9，共有5个数。
因此，数列的和为(1+9)×5÷2=25。
2. 请计算以下数列的和：2，4，8，16，32。
解答：这是一个等比数列，公比为2。
根据等比数列求和公式，首项为2，公比为2，共有5个数。
因此，数列的和为2×(1-2^5)÷(1-2)=-62。
二、语文题1. 请将下列词语按照拼音的顺序排列：苹果，香蕉，橙子，草莓。
解答：按照拼音的顺序排列，应该是草莓，橙子，苹果，香蕉。
2. 请用正确的词语填空：他_____了一本书。
解答：根据句子的语境，应该填写“读”。
三、科学题1. 请解释以下物理概念：重力。
解答：重力是地球或其他天体对物体产生的吸引力。
它是由物体的质量决定的，质量越大，重力越大。
重力的大小可以通过质量和距离的关系来计算，公式为F=GMm/r^2，其中F是重力的大小，G是万有引力常数，M和m分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离。
2. 请解释以下生物概念：光合作用。
解答：光合作用是植物和一些细菌利用光能将二氧化碳和水转化为有机物和氧气的过程。
它是一种光能转化为化学能的过程，是地球上生物圈中最重要的能量来源。
光合作用通过叶绿素等色素吸收光能，然后将其转化为化学能，用于合成有机物。
同时，光合作用还释放出氧气，维持了地球上氧气的含量。
练习题是学习的重要组成部分，通过解答练习题，我们可以巩固所学知识，提高解决问题的能力。
菱形练习题是一种常见的练习题形式，它可以培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。
菱形 华东师大版八年级下册同步练习(含答案)
【优编】初中数学华东师范大学八年级下册第十九章19.2.2.菱形的判定同步练习一、单选题1．下列命题中，为假命题的是()A．两组邻边分别相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．5 3．如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∥ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC4．下列命题是真命题的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形5．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线相等B．正方形的对称轴有四条C．平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形D．菱形的对角线互相垂直且平分6．已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC=BD C．∠ABC=90°D．∠ABC=∠BAC7．下列命题正确的是（）A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是菱形8．用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形二、填空题9．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2√3，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），将∥BMN沿直线MN折叠，若点B的对应点B'恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为.10．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是．11．如图，矩形ABCD的面积为2016，E、F、G、H分别是边AB,CD的三等分点，则图中阴影四边形的面积为;若AB·BC=2016，AD:AB=8:9，则阴影四边形的周长为.12．如图四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件使它成为菱形（只需添加一个）13．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和2√5，则此平行四边形的面积为．14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，若要使四边形ABCD是菱形，则可以添加的条件是．三、解答题15．如图，已知∥ABC，AB=AC，将∥ABC沿边BC翻折，得到的∥DBC与原∥ABC拼成四边形ABDC．求证：四边形ABDC是菱形．16．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知直线y= −43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B。
八年级数学下19.2.2菱形的判定同步练习(华师大版附答案和解释)
八年级数学下19.2.2菱形的判定同步练习（华师大版附答案和解释）华师大版数学八年级下册第十九第二节1922菱形的判定同步练习一、选择题1、下列说法中，错误的是（）A、平行四边形的对角线互相平分B、对角线互相平分的四边形是平行四边形、菱形的对角线互相垂直D、对角线互相垂直的四边形是菱形2、如图，矩形ABD的对角线A、BD相交于点，E∥BD ，DE ∥A ，若A＝4，则四边形DE的周长（）A、4B、6、8D、103、如图，菱形ABD的对角线的长分别为2和，P是对角线A上任一点（点P不与点A、重合）且PE∥B交AB于E ，PF∥D交AD于F ，则阴影部分的面积是（）A、2B、、3D、4、如图，在平行四边形ABD中，A平分∠DAB ，AB＝2，则平行四边形ABD的周长为（）A、4B、6、8D、12、如图，将等边△AB沿射线B向右平移到△DE的位置，连接AD、BD ，则下列结论：①AD＝B；②BD、A互相平分；③四边形AED是菱形；④BD⊥DE；其中正确的个数是（）A、1B、2、3D、46、如图△AB中，AD是角平分线，DE∥A交AB于E ，DF∥AB 交A于F ，若AE＝4，那么四边形AEDF周长为（）A、12 B、16、20D、227、下列命题中，真命题是（）A、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B、有一条对角线平分对角的四边形是菱形、菱形是对角线互相垂直平分的四边形D、菱形的对角线相等8、如图，是菱形ABD的对角线A、BD的交点，E、F分别是A、的中点．下列结论：①S△ADE＝S△ED；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABD的面积为EF×BD；④∠ADE＝∠ED；⑤△DEF是轴对称图形；其中正确的结论有（）A、个B、4个、3个D、2个9、平面直角坐标系中，四边形ABD的顶点坐标分别是A（－3，0）、B（0，2）、（3，0）、D（0，－2），四边形ABD是（）A、矩形B、菱形、正方形D、梯形10、如图，在矩形ABD中，E ，F分别是AD ，B中点，连接AF ，BE ，E ，DF分别交于点，N ，四边形EFN是（）A、正方形B、菱形、矩形D、无法确定11、下列说法正确的是（）A、对角线相等的平行四边形是菱形B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形是菱形D、有一个角是直角的平行四边形是菱形12、如图，在平行四边形ABD中，添加下列条不能判定平行四边形ABD是菱形的是（）A、AB＝BB、A⊥BD、BD平分∠ABD、A=BD13、下列说法中，正确的是（）A、同位角相等B、对角线相等的四边形是平行四边形、矩形的对角线一定互相垂直D、四条边相等的四边形是菱形14、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A、等腰梯形B、正方形、矩形D、菱形1、如图，在△AB中，点D、E、F分别在边AB、B、A上，且DE ∥A ，DF∥BA ．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BA＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BA ，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥B且AB=A ，那么四边形AEDF是菱形；其中，正确的有（）A、①②③④B、②③④、③④D、④二、填空题16、如图，在△AB中，∠AB＝90°，BD为A的中线，过点作E⊥BD 于点E ，过点A作BD的平行线，交E的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG＝BD ，连接BG、DF ．若AG＝13，F＝6，则BG＝________．17、如图，在四边形ABD中，对角线A ，BD交于点，A＝，B＝D ，添加一个条使四边形ABD是菱形，那么所添加的条可以是________（写出一个即可）．18、如图，在菱形ABD中，过对角线BD上任一点P ，作EF∥B ，GH∥AB ，下列结论正确的是________．（填序号）①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPF的周长．19、如图，两张宽为1的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABD ，已知∠BAD＝60゜，则重叠部分的面积是________2 ．20、如图在Rt△AB 中，∠AB＝90°，A＝4，B＝3，D为斜边AB上一点，以D、B为边作平行四边形DEB ，当AD＝________，平行四边形DEB为菱形．三、综合题21、如图，在Rt△AB中，∠AB＝90°，D、E分别为AB ，A边上的中点，连接DE ，将△ADE绕点E旋转180°得到△FE ，连接AF ，A ．求证：四边形ADF是菱形；22、如图，四边形ABD中，∠A＝90°，AD∥B ，BE⊥D于E交AD的延长线于F ，D＝2AD ，AB＝BE ．(1)求证：AD＝DE ．(2)求证：四边形BFD是菱形．23、如图，在△AB中，D、E分别是AB、A的中点，BE＝2DE ，过点作F∥BE交DE的延长线于F ．求证：四边形BFE是菱形24、如图，在四边形ABD中，AB＝AD ，B＝D ，E是D上一点，BE交A于F ，连接DF ．(1)证明：∠BA＝∠DA ，∠AFD＝∠FE ．(2)若AB∥D ，试证明四边形ABD是菱形．2、已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN ，DE＝DN ．(1)将两个矩形叠合成如上图，求证：四边形ABD是菱形；(2)若菱形ABD的周长为20，BE＝3，求矩形BEDG的面积．答案解析部分一、选择题1、【答案】D【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】根据平行四边形和菱形的性质得到A、B、均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选D．【分析】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．2、【答案】【考点】菱形的判定与性质，矩形的性质【解析】【解答】∵E∥BD ，DE∥A ，∴四边形DE是平行四边形，∵四边形ABD是矩形，∴BD＝A＝4，A＝，B＝D ，∴D ＝＝A＝2，∴四边形DE是菱形，∴四边形DE的周长为：4＝4×2＝8．【分析】首先由E∥BD ，DE∥A ，可证得四边形DE是平行四边形，又由四边形ABD是矩形，根据矩形的性质，易得＝D＝2，即可判定四边形DE是菱形，继而求得答案．3、【答案】B【考点】三角形的面积，菱形的判定与性质【解析】【解答】∵PE∥B交AB于E ，PF∥D交AD于F ，∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AE的面积等于△FP的面积，∴阴影部分的面积等于△AB的面积，∵△AB的面积等于菱形ABD的面积的一半，又∵菱形ABD的面积为A•BD＝，∴图中阴影部分的面积为÷2＝2．【分析】由四边形AFPE为平行四边形，可得△AE的面积＝△FP的面积，所以阴影部分的面积等于△AB的面积，因为△AB的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．4、【答案】【考点】菱形的判定与性质【解析】【解答】∵四边形ABD为平行四边形，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵A平分∠DAB ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD＝D ，四边形ABD为菱形，∴四边形ABD的周长＝4×2＝8．【分析】在平行四边形ABD中，A平分∠DAB ，利用平分线的性质可证△AD ，△AB为等腰三角形，又AB＝D ，则四边形ABD为菱形，根据菱形的性质求周长．、【答案】D【考点】等边三角形的性质，菱形的判定与性质，平移的性质【解析】【解答】∵△AB、△DE是等边三角形，∴∠AB＝∠DE＝60°，A＝D ，∴∠AD＝180°－∠AB－∠DE＝60°，∴△AD是等边三角形，∴AD＝A＝B ，故①正确；由①可得AD＝B ，∵AB＝D ，∴四边形ABD是平行四边形，∴BD、A互相平分，故②正确；由①可得AD＝A＝E＝DE ，故四边形AED是菱形，即③正确；∵四边形AED是菱形，∴A⊥BD ，∵A∥DE ，∴∠BDE＝∠D＝90°，∴BD⊥DE ，故④正确；综上可得①②③④正确，共4个，故选D．【分析】先求出∠AD＝60°，继而可判断△AD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得A⊥BD ，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE＝∠D＝90°，进而判断④正确．6、【答案】B【考点】平行四边形的性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】∵DE∥A ，DF∥AB ，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD ，∵AD是△AB的角平分线，∴∠EAD ＝∠FAD ，∴∠EAD＝∠EDA ，∴EA＝ED ，∴平行四边形AEDF是菱形，∴四边形AEDF周长为4AE＝16，故选B．【分析】由角平分线的定义及平行四边形的性质，可得∠EAD＝∠DAF＝∠ADE ，进而可得AE＝ED ，由平行四边形的性质可得答案．7、【答案】【考点】菱形的判定与性质【解析】【解答】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A选项错误；有一条对角线平分对角的四边形不一定是菱形，故B选项错误；菱形的对角线是互相垂直平分的四边形，故选项正确；菱形的对角线不一定相等，故D选项错误．【分析】本题考查了菱形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握菱形有关判定与性8、【答案】B【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】①正确∵E、F分别是A、的中点．∴AE＝E ，∵S△ADE＝×AE×D＝×E×D＝S△ED∴S△ADE＝S△ED；②正确，∵四边形ABD是菱形，E ，F分别是A ，的中点，∴EF⊥D ，E ＝F ，∵D＝D ，∴DE＝DF ，同理：BE＝BF ，∴四边形BFDE 是菱形；③正确，∵菱形ABD的面积＝A•BD ，又∵E、F 分别是A、的中点，∴EF＝A ，∴菱形ABD的面积＝EF•BD；④不正确，由已知可求得∠FD＝∠ED ，而无法求得∠ADE＝∠ED；⑤正确，∵EF⊥D ，E＝F ，D＝D ，∴△DE≌△DF ，∴△DEF是轴对称图形；∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．【分析】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．9、【答案】B【考点】坐标与图形性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】图形如图所示：∵A（－3，0）、B（0，2）、（3，0）、D（0，－2），∴A＝，B＝D ，∴四边形ABD为平行四边形，∵BD⊥A ，∴四边形ABD为菱形，故选B．【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABD ，再根据图形特点进行判断．10、【答案】B【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定与性质【解析】【解答】∵四边形ABD为矩形，∴AD∥B ，AD＝B ，又∵E ，F分别为AD ，B中点，∴AE∥F ，AE＝F ，ED∥BF ，DE＝BF ，AE∥BF ，AE＝BF ，∴四边形AEF为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，四边形ABFE为平行四边形，∴AF∥E 即F∥EN ，BE∥FD ，即E∥FN ，∴四边形EFN为平行四边形，又∵四边形ABFE为平行四边形，∠AB为直角，∴ABFE为矩形，∴AF ，BE互相平分于点，∴E＝F ，∴四边形EFN为菱形．【分析】求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD ，即E∥FN，同理可证EN∥F ，得出四边形EFN为平行四边形，求出E＝F ，根据菱形的判定得出即可．11、【答案】B【考点】菱形的判定【解析】【解答】对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误；故选B．【分析】利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．12、【答案】D【考点】平行四边形的性质，菱形的判定【解析】【解答】∵四边形ABD是平行四边形，∴当AB＝B时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABD是菱形，故A选项正确；当A⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABD是菱形，故B选项正确；当BD平分∠AB时，易证得AB＝AD ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABD是菱形，故选项正确；由排除法可得D选项错误．【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．13、【答案】D【考点】平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的性质【解析】【解答】两直线平行时，同位角才相等．故A选项错误；对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形的对角线相等，故B选项错误；矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直．故选项错误；根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形．故D选项正确；故选D．【分析】本题考查了菱形、平行四边形的判定，矩形的性质等．熟记四边形的性质和定义是解题的关键．14、【答案】D【考点】等边三角形的性质，菱形的判定【解析】【解答】由题意可得到的四边形的四条边相等，即是菱形，故选D．【分析】本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．1、【答案】A【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定【解析】【解答】∵DE∥A ，DF∥BA ，∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；若∠BA＝90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；若AD平分∠BA ，则DE＝DF；所以平行四边形是菱形；故③正确；若AD⊥B ，AB＝A；根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BA；由③知：此时平行四边形AEDF是菱形，故④正确；所以正确的结论是①②③④．【分析】此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；一组邻边相等的平行四边形是菱形．二、填空题16、【答案】【考点】菱形的判定【解析】【解答】∵AG∥BD ，BD＝FG ，∴四边形BGFD是平行四边形，∵F⊥BD ，∴F⊥AG ，又∵点D是A中点，∴BD＝A＝DF ，∴四边形BGFD是菱形，设GF＝x ，则AF＝13－x ，A＝2x ，∵在Rt△AF中，∠FA＝90°，∴，即，解得：x＝，即BG＝．【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD ，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF＝x ，则AF＝13－x ，A＝2x ，在Rt△AF中利用勾股定理可求出x的值．17、【答案】AB＝AD（答案不唯一）．【考点】菱形的判定【解析】【解答】∵A＝，B＝D ，∴四边形ABD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条是AB＝AD（答案不唯一）．【分析】利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．18、【答案】①②④【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】∵图中有三个菱形，如菱形ABD、菱形HPFD、菱形BEPG ，∴①正确；∵EF∥B ，GH∥AB ，∴四边形BEPG 是平行四边形，∴PE＝BG ，PG＝BE ，在△BEP和△PGB中，，∴△BEP≌△PGB（SSS），∴②正确；∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；∵四边形ABD是菱形，∴AB∥D ，AD∥B ，∵EF∥B ，GH ∥AB ，∴AD∥EF∥B ，AB∥GH∥D ，∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFG是平行四边形，∵四边形ABD 是菱形，∴∠EBP＝∠GBP ，∵PE∥BG ，∴∠EPB＝∠GBP ，∴∠EBP＝∠EPB ，∴BE＝PE ，∴PE＝PG ，同理HP＝PF ，∴四边形AEPH的周长等于四边形GPF的周长，∴④正确；故答案为：①②④．【分析】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是比较容易出错．19、【答案】【考点】菱形的判定与性质【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E ，BF⊥D于点F ，根据题意得：AD∥B ，AB∥D ，BE＝BF＝1，∴四边形ABD是平行四边形，∵∠BAD＝∠BD＝60°，∴∠ABE＝∠BF＝30°，∴AB＝2AE ，B＝2F ，∵AB2＝AE2＋BE2 ，∴AB＝，同理：BF＝，∴AB＝B ，∴四边形ABD是菱形，∴AD＝，∴S菱形ABD＝AD•BE＝（2）．【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E ，BF ⊥D于点F ，由题意可得四边形ABD是平行四边形，继而求得AB ＝B的长，判定四边形ABD是菱形，则可求得答案．20、【答案】【考点】勾股定理，菱形的判定【解析】【解答】如图，连接E交AB于点．∵Rt△AB中，∠AB ＝90°，A＝4，B＝3，∴AB＝（勾股定理）．若平行四边形DEB为菱形时，E⊥BD ，且D＝B ，D＝B ．∵AB•＝A•B ，∴＝．∴在Rt△B中，根据勾股定理得，B＝，∴AD＝AB－2B＝．【分析】首先根据勾股定理求得AB＝；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知D＝B ，D＝B；最后Rt△B中，根据勾股定理得，B的值，则AD＝AB－2B ．三、综合题21、【答案】解答：证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△FE ，∴AE＝E ，DE＝EF ，∴四边形ADF是平行四边形，∵D、E分别为AB ，A边上的中点，∴DE是△AB的中位线，∴DE∥B ，∵∠AB＝90°，∴∠AED＝90°，∴DF⊥A ，∴四边形ADF是菱形．【考点】三角形中位线定理，菱形的判定，旋转的性质【解析】【分析】根据旋转可得AE＝E ，DE＝EF ，可判定四边形ADF是平行四边形，然后证明DF⊥A ，可得四边形ADF是菱形．22、【答案】（1）解答：证明：∵∠A＝∠DEB＝90°，在Rt△BDA与Rt△BDE中，，∴△BDA≌△BDE ，∴AD＝DE ．（2）解答：证明：∵AD＝DE ，D＝DE＋E＝2AD ，∴DE＝E ，又∵AD∥B ，∴△DEF≌△EB ，∴DF＝B ，∴四边形BFD为平行四边形，又∵BE⊥D ，∴四边形BFD是菱形．【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【分析】（1）由，利用“HL”可证△BDA≌△BDE ，得出AD＝DE；（2）由AD＝DE ，D＝DE＋E＝2AD ，可得DE＝E ，又AD∥B ，可证△DEF≌△EB ，得出四边形BFD为平行四边形，再由BE⊥D证明四边形BFD是菱形．23、【答案】解答：证明：∵D、E分别是AB、A的中点，∴DE∥B ，B＝2DE ．∵F∥BE ，∴四边形BFE是平行四边形，∵BE＝2DE ，B＝2DE ，∴BE＝B ，∴平行四边形BFE是菱形．【考点】三角形中位线定理，菱形的判定与性质【解析】【分析】由题意易得，EF与B平行且相等，故四边形BFE 是平行四边形．又邻边EF＝BE ，则四边形BFE是菱形．24、【答案】（1）解答：证明：在△AB和△AD中，，∴△AB≌△AD（SSS），∴∠BA＝∠DA ，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD＝∠AFB ，∵∠AFB＝∠FE ，∴∠AFD＝∠FE ．（2）解答：证明：∵AB∥D ，∴∠BA＝∠AD ，又∵∠BA＝∠DA ，∴∠AD＝∠AD ，∴AD＝D∵AB＝AD ，B＝D ，∴AB＝B＝D＝AD ，∴四边形ABD是菱形．【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【分析】（1）首先利用SSS定理证明△AB≌△AD可得∠BA ＝∠DA ，再证△ABF≌△ADF ，可得∠AFD＝∠AFB ，进而得到∠AFD＝∠FE；（2）首先证明∠AD＝∠AD ，再根据等角对等边可得AD＝D ，再有条AB＝AD ，B＝D可得AB＝B＝D＝AD ，可得四边形ABD是菱形．2、【答案】（1）解答：证明：作AR⊥B于R ，AS⊥D于S ，由题意知：AD∥B ，AB∥D ，∴四边形ABD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN ，DE＝DN ，∴AR＝AS ，∵AR•B＝AS•D ，∴B＝D ，∴平行四边形ABD 是菱形．（2）解答：解：∵菱形ABD的周长为20，∴AD＝AB＝B=D＝，∵BE＝3，∴AE＝4，∴DE＝＋4＝9，∴矩形BEDG的面积为：3×9＝27．【考点】菱形的判定与性质，矩形的性质【解析】【分析】（1）作AR⊥B于R ，AS⊥D于S ，根据题意先证出四边形ABD是平行四边形，再由B＝D得平行四边形ABD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．。
菱形专题培优训练
菱形专题培优训练(总3页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除四边形--菱形专题培优训练一．选择题（共8小题）1．（2011?聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm22．（2012?恩施州）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（）第2题第3题第6题A．B．2C．3D．3．（2012?孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD =AB2其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2010?陕西）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）A．16 B．8C．4D．15．（2001?嘉兴）菱形的边长为4cm，一个内角为30°，这个菱形的面积为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm26．（2011?衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）7．（2008?丽水）如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE 翻折，使点A落在边BC上，记为A′．若四边形ADA′E是菱形，则下列说法正确的是（）A．D E是△ABC的中位线B．A A′是BC边上的中线C．A A′是BC边上的高D．A A′是△ABC的角平分线第7题第8题8．（2010?安顺）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1B．2C．D．二．填空题（共9小题）9．菱形的周长为20 cm，两邻角的比为2：1，则较短的对角线的长为_________ cm．10．（2012?鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是_________ ．11．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为_________ ．12．（2003?温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________ ．13．（2005?黑龙江）已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为_________ ．14．（2011?内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA 的中点，当四边形ABCD的边至少满足_________ 条件时，四边形EFGH是菱形．三．解答题（共13小题）18．（2012?自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F 分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．19．（2010?鞍山）①如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；②如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC，交CE的延长线与点F．求证：AB垂直平分DF．20．（2008?烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．22．（2010?遵义）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．25．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．26．如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若∠AED=2∠EAD，AC=6．求DE的长．。
菱形基础知识点及同步练习、含答案
学科：数学教学内容：菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.定理1四边都相等的四边形是菱形.定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【重点难点解析】1. 菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形.2•菱形的面积=底X高=对角线乘积的一半.A .重点、难点提示1. 理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2. 经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3. 了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4. 体会特殊与一般的关系.B.考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一.一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质. 除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）③每一条对角线都平分一组内角. （出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴. （不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形.【难题巧解点拨】例 1 :如图4-24，在△ ABC 中，/ BAC=90 ° , AD 丄BC 于 D , CE 平分/ ACB，交AD于G ,交AB 于E , EF 丄BC 于F .求证：四边形 AEFG 是菱形.思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形 是平行四边形，再证一组邻边相等.证明：•••/ BAC=90 ° , EF 丄 BC , CE 平分/ ACB , ••• AE=EF ，/ CEA= / CEF .（这是略证，并不是完整的证明过程） •/ AD 丄 BC , EF 丄 BC ,• - EF // AD ,（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）•••/ CEF= / AGE ,（两直线平行，内错角相等） •••/ CEA= / AGE ,• AE=AG ,• EF // AG ，且 EF=AG ,•四边形AEFG 是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又••• AE=EF ,•平行四边形 AEFG 是菱形.例2:已知菱形的周长为 20cm , —条对角线长为 5cm ，求菱形各个角的度数.已知：菱形 ABCD 中，AB+BC+CD+DA=20cm ，对角线 AC=5cm .求/ ADC 、/ ABC 、 / BCD 、/ DAB 的度数.思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25 .解：在菱形ABCD 中，•/ AB=BC=CD=DA ，又 AB+BC+CD+DA=20cm • AB=BC=CD=DA=5cm 又 T AC=5cm ，AEFG••• AB=BC=AC , CD=DA=AC ,•••△ABC和厶DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）•••/ ADC= / ABC=60。
《 菱形的性质与判定》同步优化训练
夯实基础一、选择题1．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，AC，AF，则图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．在△ABC中，AB≠AC，D是边BC上的一点，DE∥CA交AB于点E，DF∥BA交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件( )A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC D．AD＝BC4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中一定成立的是( )．A．AC=2OE B．BC=2OEC．AD=OE D．OB=OE5．如图，已知菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．若∠B=30°，AE=3，则菱形ABCD的面积为( )二、填空题6．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长7．如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为8．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，AB∥DC，AD=BC=CD，点E为AB上一点，9．已知菱形的两条对角线中较长的是较短的2倍，其面积为16，则这个菱形的边长为________．10．菱形有一个内角是120°，有一条对角线长为6，则菱形的边长是________．三、解答题11．∠如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足．且BE=CE，AB=2．求：（1）BAD的度数；（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长．12．已知:如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．(1)求证:AE=EC．(2)当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．13．在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE=CF．(1)求证:△ADE≌△CBF．(2)若DF=BF，求证:四边形DEBF为菱形．能力提升一、选择题1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有( )A．4对B．6对C．8对D．10对2．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为( )A．22B．24C．48D．443．下列命题中正确的是( )．A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝30°，BD＝8，则下列结论：①∠DAB＝60°；②∠ADB＝60°；③OD＝4；④AD＝8；⑤OC＝其中正确的有( )．A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠BAD的大小是( )A．25°B．50°C．60°D．80°二、填空题6．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，如图4，其他三边长为________；周长为________．7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为(8，4)，则C点的坐标8．已知点A，B，C，D在同一平面内，下面列有6个条件：①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DAB与∠DCB．从这6个条件中选出( 直接填写序号)__________3个，能使四边形ABCD是菱形．9．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，10．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠三、解答题11．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证:OE=BC．12．如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于E，F，EH⊥AB于H．连接FH．求证:四边形CFHE是菱形．13．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．拓展提升1．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．(1)求证:△AOE≌△COF．(2)若∠EOD=30°，求CE的长．2．两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A′B′C′)如图(1)所示放置在同一平面上(∠C＝∠C′＝90°，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°)，斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图(2)是滑动过程中的一个位置．(1)在图(2)中，连接BC′，B′C，求证：△A′BC′≌△AB′C．(2)三角板Ⅰ滑动到什么位置(点B′落在AB边的什么位置)时，四边形BCB′C′是菱形？说明理由．参考答案夯实基础一、选择题1．D．解析：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC，∠BAC=∠CAD，AD∥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°，∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．∴剪口与折痕所成的角的度数应为30°或60°．2．C．解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B，AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°，∵∠BAD=2∠B，∴∠B=60°，∴∠D=∠B=60°，∴△ABC与△ACD是全等的等边三角形．∵E，F分别为BC，CD的中点，∴BE=CE=CF=DF=AB．在△ABE与△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠ACB=60°，BE=CE，∴△ABE≌△ACE(SAS)，同理，△ACF≌△ADF≌△ABE，∴图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有3个．3．B4．B5．A．解析：∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∵∠B=30°，AE=3，∴AB=6，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=6，∴菱形ABCD的面积=BC·AE=6×3=18．二、填空题6．4．解析：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=8，AC与BD交点O是BD的中点，7．CB=BF(答案不唯一)．解析：根据题意可得出:四边形CBFE是平行四边形，当CB=BF时，平行四边形CBFE是菱形，当BE⊥CF;BC=BF时，也都可以得出四边形CBFE为菱形8．∠CEB=∠B(答案不唯一)．解析：可添加的条件为AE=AD或∠CEB=∠B等(答案不唯一);以∠CEB=∠B为例，证明:∵∠CEB=∠B，∴BC=CE=AD;∵∠A=∠B，∴∠A=∠CEB=∠B;∴CE平行且等于AD，即四边形AECD是平行四边形;又∵AD=DC，∴平行四边形ADCE是菱形．9．解析：设菱形的两条对角线的长分别是x，2x．由菱形的面积为16，可得2x·x＝32，所以x＝4，2x＝8．所以菱形的对角线的一半分别为2，4．所以菱形的边长为=10．6或三、解答题11．解：（1）∵AE⊥BC，且BE=CE，∴△ABC为等边三角形，∠B=∠D=60°，∴∠BAD=∠BCD=120°．(2)AC=AB=2，周长为：4×2=8．12．解：(1)连接AC．∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC，∴AE=EC．(2)点F是线段BC的中点．理由:∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC，∴∠EAC=∠ACE，∵∠CEF=60°，∴∠EAC=30°，∴AF是△ABC的角平分线，∴BF=CF，∴点F是线段BC的中点．13．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，∵在△ADE和△CBF中，∵AD=BC，∠A=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE=CF，∴DF=EB，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵DF=FB，∴四边形DEBF为菱形．能力提升一、选择题1．C．解析：图中全等三角形有:△ABO≌△ADO，△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO，△AOD≌△COD，△AOD≌△COB，△DOC≌△BOC，△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC，共8对．2．B．解析：∵AD∥BE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE=6，又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，∴△BDE是直角三角形，B缺少平行四边形的条件；选项C对角线相等只能判定它是矩形；只有选项D正确．4．D5．B．解析：连接BD，并延长AE交BD于点O，∵AE=BE=DE=BC=DC，∴四边形BCDE是菱形，又∵AB=AD，BE=DE，AE=AE，∴△ABE≌△ADE，∴AE为∠BAD的平分线且AE⊥BD，∴EO平分∠BED．∵∠C=100°，∴∠BED=100°，∴∠BAE=25°，∴∠BAD=50°．二、填空题6．a4a7． (3，4)．解析：过点B作BD⊥OA于D，∵四边形OABC是菱形，∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA，设AB=x，则OA=x，AD=8-x，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，即x2=(8-x)2+16，解得:x=5，∴BC=5，∴C点的坐标为(3，4)．8．(答案不唯一，只要正确即可)①②⑤或③④⑤等．∴AB=AD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，过A作AM⊥EF，∵∠AEF=60°，∴∠EAM=30°，2AM==3，10．①③④．解析：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC，∵∠BAC=30°，∴∠F AE=∠ACB=90°，AB=2BC，∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EF A，∴FE=AB，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠F AE=90°，∴∠DFB=∠EAF，∵∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EF A(AAS)，∴AE=DF，∵FE=AB=AD，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形;故②不正确;三、解答题11．求证:OE=BC．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∴CE=OD，CE∥OD．∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ．∴CE =OB ，CE ∥OB ．∴四边形OBCE 是平行四边形．∴OE =BC ．12．证明：∵∠ACB =90°，AE 平分∠BAC ，EH ⊥AB ，∴CE =EH ，在Rt △ACE 和Rt △AHE 中，AE =AE ，CE =EH ，由勾股定理得:AC =AH ，∵AE 平分∠CAB ，∴∠CAF =∠HAF ，在△CAF 和△HAF 中，∵AC =AH ，∠CAF =∠HAF ，AF =AF ，∴△CAF ≌△HAF (SAS )，∴∠ACD =∠AHF ，∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠CDA =∠ACB =90°，∴∠B +∠CAB =90°，∠CAB +∠ACD =90°，∴∠ACD =∠B =∠AHF ，∴FH ∥CE ，∵CD ⊥AB ，EH ⊥AB ，∴CF ∥EH ，∴四边形CFHE 是平行四边形，∵CE =EH ，∴四边形CFHE 是菱形．13．解：四边形PQMN 是菱形．证明：连接AC ，BD ．∵PQ 为△ABC 的中位线，∴PQ ∥AC ，PQ ＝12AC ． 同理MN ∥AC ，MN ＝12AC ， ∴MN ∥PQ ，MN ＝PQ ．∴四边形PQMN 为平行四边形．在△AEC和△DEB中，AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，∴∠AEC＝∠DEB．∴△AEC≌△DEB(SAS)．∴AC＝BD．∴PQ＝1122AC BD＝PN．∴PQMN为菱形．拓展提升1．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．(1)求证:△AOE≌△COF．(2)若∠EOD=30°，求CE的长．解：(1)在菱形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，∴△AOE≌△COF(AAS)．(2)在菱形ABCD中，∵∠BAD=60°，AB=AD=2，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=2，∠ADB=60°，∵AC⊥BD，∴∠AOD=90°，OB=OD=1，∵∠EOD=30°，∴∠EOD+∠ADB=90°，∵AD ∥BC ，∴∠BFO =∠OED =90°，∴∠CFO =90°，2．两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC )和Ⅱ(△A ′B ′C ′)如图(1)所示放置在同一平面上(∠C ＝∠C ′＝90°，∠ABC ＝∠A ′B ′C ′＝60°)，斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图(2)是滑动过程中的一个位置．(1)在图(2)中，连接BC ′，B ′C ，求证：△A ′BC ′≌△AB ′C ．(2)三角板Ⅰ滑动到什么位置(点B ′落在AB 边的什么位置)时，四边形BCB ′C ′是菱形？说明理由．证明：（1）∵A ′B ＝A ′B ′－BB ′，AB ′＝AB －BB ′，A ′B ′＝AB ，∴A ′B ＝AB ′．按题意，在△A ′BC ′和△AB ′C 中，,,,A C AC A A A B AB ''=⎧⎪'∠=∠⎨⎪''=⎩∴△A ′BC ′≌△AB ′C (SAS )．(2)解：当B ′落在AB 的中点时，四边形BCB ′C ′是菱形．∵∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∴BC ∥B ′C′．∵BC ＝B ′C ′，∴四边形BCB ′C ′是平行四边形．∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴BC＝12 AB．∴当B′在AB的中点时，CB′＝12AB＝BC．∴这时四边形BCB′C′是菱形．。
(完整word版)华师大版八年级下《19.2.1菱形的性质》同步练习含答案解析
华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.1菱形的性质同步练习一、选择题1．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC ＝45°，OC B 的坐标为（ ）A 1）B ．（1C 1，1）D ．（11）答案：C解答：作CE ⊥x 轴于点E ，∵四边形OABC 是菱形，OC OA ＝OC ，又∵∠AOC ＝45°，∴△OCE 为等腰直角三角形，∵OC ，OE ＝CE ，又∵222OE CE OC +=，∴OE ＝CE ＝1，∴点C 的坐标为（1，1），又∵BC ＝OA ，∴B 的横坐标为OE ＋BC＝1+B 的纵坐标为CE ＝1，则点B 1，1），故选C ．分析：根据菱形的性质，作CE ⊥x 轴，先求C 点坐标，然后求得点B 的坐标．2．如图：在菱形ABCD 中，AC ＝6，BD ＝8，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8 答案：A解答：由菱形的性质知：AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝3，OB ＝12BD ＝4，在Rt △OAB 中，AB ＝5==，所以菱形的边长为5．分析：根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出．3．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．5答案：D解答：∵AB＝BC，∠B＋∠BCD＝180°，∠BCD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝5．分析：根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC＝AB．4．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A．24 B．20 C．10 D．5答案：B解答：如图，∵AC＝6，BD＝8，∴OA＝3，BO＝4，∴AB＝5，∴这个菱形的周长是20，故选B．分析：菱形的边长和对角线的一半组成直角三角形，根据勾股定理求得其边长，从而求出菱形的周长即可．5．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）A．3cm2B．4cm2 C2D．2答案：D解答：由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长则菱形的面积＝22⨯=2，故选D．分析：根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式：菱形的面积＝12×两条对角线的乘积，即可求得菱形的面积．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a答案：C解答：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB＝2a，则菱形ABCD的周长为8a，故选C．分析：根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即AB＝2OE，从而不难求得其周长．7．如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）A．DA＝DE B．BD＝CEC．∠EAC＝90°D．∠ABC＝2∠E答案：B解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CE，AB＝DA，又∵BD∥AE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DA＝AB＝DE，故A正确；∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴∠OAD＋∠ODA＝90°，又∵BD∥AE，∴∠EAD＝∠ODA，∴∠EAD＋∠OAD＝90°，即∠EAC＝90°，故C正确；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝2∠ABD，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴∠E＝∠A BD，∴∠ABC＝2∠E，故D正确；所以选B．分析：依题意推出∠OAD＋∠ODA＝90°，四边形ABDE是平行四边形，然后基于推论得出AB＝DA＝DE，∠E＝∠ABD，∠EAD＋∠ODA＝90°，则∠EAC＝90°，∠ABC＝2∠E．8．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（）A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABD是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD答案：C解答：菱形是特殊的平行四边形，故A正确，根据菱形的性质：对角线互相平分且平分对角得B、D正确，所以选C．分析：此题主要考查菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；以及和平行四边形的联系．9．如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为，则∠1等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B解答：铁钉A、B之间的距离就是一个菱形的对角线的长，即，又因为菱形的边长为20cm，根据菱形的性质以及勾股定理，利用含30度角的直角三角形求出∠1＝60°，故本题选B．分析：首先铁钉A、B之间的距离就是一个菱形的对角线的长，又已知菱形的边长为20cm，根据菱形的性质以及勾股定理，利用含30度角的直角三角形可求解．10．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（）A．6cm B．C．3cm D．答案：A解答：根据菱形的性质可得较短的对角线与菱形的两边组成一个等边三角形，从而得到较短的对角线等于菱形的边长，已知菱形的边长为6cm，则较短的对角线的长为6cm，故选A．分析：本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定的理解及运用．11．菱形的周长等于高的8倍，则此菱形的较大内角是（）A．60°B．90°C．120°D．150°答案：D解答：设菱形的边长为a，高为h，则依题意，4a＝8h，即a＝2h，延长最大角的一边，让其邻边和高构造直角三角形，∵有一直角边是斜边的一半，∴菱形的较大内角的外角为30°，∴菱形的较大内角是150°，故选D．分析：熟悉菱形的性质，及一些特殊的直角是解题的关键，画出图形再解题有助于理清思路．12．在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（）A．AO⊥BO B．∠ABD＝∠CBD C．AO＝BO D．AD＝CD答案：C解答：菱形的对角线互相垂直平分，所以A正确；一条对角线平分一组对角，所以B正确；菱形的对角线不相等，所以C不正确；菱形的四边均相等，所以D正确；故选C．分析：根据菱形的对角线垂直、平分且平分每一组对角的性质对各个选项进行验证．13．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（）A．4.5cm B．4cm C．cm D．答案：C解答：由已知可得，菱形的边长为5cm，两邻角分别为60°，120°，又菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可得30°的角，所对边为2.5cm，则此条对角线长5cm，根据勾股定理可得，另一对角线长的一半为cm，则较长的对角线长为，2故本题选C．分析：根据菱形的性质求出菱形的边长以及两邻角的度数，又根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线的长．14．已知菱形的两条对角线长分别为4cm和10cm，则菱形的边长为（）A．116cm B．29cm C．D cm答案：D解答：因为菱形的两条对角线互相垂直平分，所以AC⊥BD，AO＝CO＝2cm，BO＝CO＝5cm，由勾股定理得AB=，故本题选D．分析：根据菱形的性质：两条对角线相互垂直且互相平分，求出AO＝CO＝2，BO＝CO＝＝5，然后根据勾股定理求出AB的长．15．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（）cm2D．2A．25cm2B．16cm2C．2答案：C解答：由已知可得，菱形的边长AB＝5cm，∠A＝45°，∠D＝135°，作BE⊥AD于E，cm，则菱形的面积为则△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理可得BE＝AE＝25=2，故选C．分析：首先由已知得出∠A和∠D的度数以及AB的长，然后作BE⊥AD于E，得出△ABE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可得BE＝AE则易求出菱形的面积．二、填空题x-=的解，则菱形ABCD的周16．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程40长为．答案：16x-=得：x＝4，∴菱形的边长为4，∴菱形ABCD的周长为4×4＝16．解答：∵解方程40x-=的解，解方程求得x的值，即可求得菱形ABCD的周长．分析：边AB的长是方程4017．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为．答案：（2+）解答：过点D作DE⊥x轴，垂足为E，在菱形ABCD中，∠ABC＝45°，∴∠DCE＝∠ABC＝45°，又∵在Rt△CDE中，CD＝2，∴CE＝DE，∴O E＝OC＋CE＝2+D坐标为（2+）．分析：根据坐标意义，点D坐标与垂线段有关，过点D向x轴垂线段DE，则OE、DE长即为点D坐标．18．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是cm．答案：8解答：在菱形ABCD中，AB＝5cm，AC＝6cm，因为对角线互相垂直平分，所以∠AOB＝90°，==cm，∴BD＝2BO＝8cm．AO＝3cm，在Rt△AOB中，BO4分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是3cm ；根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4cm ，则另一条对角线的长是8cm ．19．已知菱形ABCD 的对角线AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，则菱形的边长是 cm ．答案：5解答：菱形ABCD 的对角线AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，∴OA ＝OC ＝12AC ＝162⨯＝3cm ，OB＝OC ＝12BD ＝182⨯＝4cm ，由勾股定理得AB 5==cm ． 分析：根据菱形性质与勾股定理解题即可．20．如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P 是其中的一个顶点，以点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．答案：2，4解答：如图（1）所示，∵PD ＝1，每个菱形有一个角是60°，∴PC ，∵∠A PB ＝90°，∴斜边CD ＝2，CB =DA =AB ＝4；如图（2）所示，MN ==综上所述，可能的直角三角形斜边的长有2，4，图（1）图（2）分析：根据已知求得PD，PC的长，再根据勾股定理即可求得斜边的长．三、解答题21．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD 的周长为24，求OH的长．答案：3解答：解：由题意可得AD＝6，在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，∴OH＝12AD＝3．分析：根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD的中点，从而求得OH的长．22．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，求∠CPB的度数．答案：72°解答：解：如下图，先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC＝72°，可得∠BAD＝180°－72°＝108°，根据菱形对角线的对称性可得∠ABD＝∠ADB＝12∠ADC＝1722⨯︒，EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP＝∠ADB＝36°，∴∠PAB＝∠DAB－∠DAP＝108°－36°＝72°，在△BAP中，∠APB＝180°－∠BAP－∠ABP＝180°－72°－36°＝72°，由菱形对角线的对称性可得∠CPB＝∠APB＝72°．分析：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的；灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．23．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，求∠CDF的度数．答案：60°解答：解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵FE垂直平分AB，∠BAF＝12×80°＝40°∴∠ABF＝∠BAF＝40°，∵∠ABC＝180°－80°＝100°，∠CBF＝100°－40°＝60°，∴∠CDF＝60°．分析：连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF＝∠CDF，根据已知可注得∠CBF的度数，则∠CDF也就求得了．24．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，求∠EAF．答案：60°解答：解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AFC＋∠AEC＝180°，∴∠C＋∠EAF＝180°，又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠EAF＝∠B，又∵BE＝12BC，AB＝BC，∴BE＝12AB，∴∠BAE＝30°，∴∠B＝60°，∴∠EAF＝60°．分析：画出图形，根据菱形的性质求出∠C＋∠EAF＝180°，又因为∠B＋∠C＝180°，推出BE＝12BC，AB＝BC，BE＝12AB，最后可推出∠EAF＝60°．25．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC．答案：55°解答：解：延长PF交AB的延长线于点G，，在△BGF与△CPF中，CBF PCF BF CFBFG CFP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△B GF≌△CPF，∴GF＝PF，∴F为PG中点．又∵EP⊥CD，∴∠B EP＝90°，∴EF＝12 PG，∵PF＝12PG（中点定义），∴EF＝PF，∴∠FEP＝∠EPF，∵∠BEP＝∠EPC＝90°，∴∠BEP－∠FEP＝∠EPC－∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°－∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝1 2（180°－70°）＝55°，∴∠FPC＝55°．分析：延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠ABC，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．。
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19.2.2菱形一、课前预习 (5分钟训练)1．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线___ ___的平行四边形是菱形．一、做一做1.菱形和矩形一定都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.每条对角线平分一组对角2.下列条件能判定四边形是菱形的是( )A.对角线相等的四边形B.对角线互相垂直的四边形C.对角线互相垂直平分的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形3.菱形的两条对角线长分别为6 cm、8 cm,则它的面积为( )A.6 cm2B.12 cm2C.24 cm2D.48 cm24.如图,在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则（1）AB=AD=_______________=_______________，即菱形的_______________相等.（2）图中的等腰三角形有________________________，直角三角形有______________，△AOD≌________________≌_______________≌_______________，由此可以得出菱形的对角线_______________，每一条对角线_______________.（3）菱形是轴对称图形，它的对称轴是_______________.5、在菱形ABCD中，AC＝6，DB＝8，则菱形的面积为 .6、菱形的周长是9.6，两个邻角之比为1：2，则这个菱形较短的对角线长为 .7、菱形的一边与两条对角线所构成的两角比5：4，则它的各内角度数为 .二、课中强化(10分钟训练)1.如图,已知菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,OE ∥DC,交BC 于点E,AD=6 cm,则OE 的长为( )A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm 2.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形 3.用两个边长为a 的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.矩形D.菱形4.菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，则菱形的周长是______________.5.如图所示,在菱形ABCD 中,AC 、BD 相交于O,且AC ∶BD=1∶3,若AB=2.求菱形ABCD 的面积.三、课后巩固(30分钟训练) 1.下列结论正确的是( )A.邻角相等的四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2.菱形的周长为32 cm,一个角的度数是60°,则两条对角线的长分别是( ) A.8 cm 和34 cm B.4 cm 和38 cm C.8 cm 和38 cm D.4 cm 和34 cm 3.在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是( )A.90°B.180°C.270°D.360°4.在菱形ABCD 中,AE ⊥BC,AF ⊥CD,垂足为E 、F,且BE=EC,CF=FD,则∠AEF 等于( ) A.120° B.45° C.60° D.150°5.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC=4,BD的长为( )A.32 D.88 B.34 C.36.如图,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由.7.如图,已知过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.9.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证:四边形AFCE是菱形.6.如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.7.如图,在一张长12 cm、宽5 cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？8.北京101中学的学生为迎接2008年奥运会,美化校园,在周长为12 m,夹角为60°的菱形花坛里栽十株花.试证明:不论如何安排,至少有两株花的距离小于3m.参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.菱形和矩形一定都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.每条对角线平分一组对角 答案：B2.下列条件能判定四边形是菱形的是( )A.对角线相等的四边形B.对角线互相垂直的四边形C.对角线互相垂直平分的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形 答案：C3.菱形的两条对角线长分别为6 cm 、8 cm,则它的面积为( )A.6 cm 2B.12 cm 2C.24 cm 2D.48 cm 2 解析：S 菱形=21×6×8=24(cm 2). 答案:C4.如图,在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，则（1）AB=AD=_______________=_______________，即菱形的_______________相等. （2）图中的等腰三角形有________________________，直角三角形有______________，△AOD ≌________________≌_______________≌_______________，由此可以得出菱形的对角线_______________，每一条对角线_______________. （3）菱形是轴对称图形，它的对称轴是_______________. 答案:（1）BC CD 四条边（2）△ABD 、△ABC 、△ADC 、△BCD △AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA △AOB △COB △COD 垂直平分 平分一组对角 （3）对角线所在的直线 二、课中强化(10分钟训练)1.如图,已知菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,OE ∥DC,交BC 于点E,AD=6 cm,则OE 的长为( )A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm 解析：OE 是Rt △BOC 的斜边BC 上的中线,故OE=21BC=21AD=3 cm. 答案:C2.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析：连结矩形的两条对角线，则相邻两边中点的连线是三角形的中位线.由三角形的中位线等于第三边的一半及矩形两条对角线相等可得中点四边形的各边都相等，故顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形. 答案:C3.用两个边长为a 的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.矩形D.菱形解析：因为等边三角形的三条边都相等，所以用它拼成的四边形的四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形，因此选D. 答案:D4.菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，则菱形的周长是______________.解析：由菱形的邻角互补，可知菱形的另一组内角是60°，60°内角所对的对角线是较短的.根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可推出菱形边长是10，因此菱形周长是40. 答案:405.如图所示,在菱形ABCD 中,AC 、BD 相交于O,且AC ∶BD=1∶3,若AB=2.求菱形ABCD 的面积.解：菱形两对角线将其分割为四个全等的直角三角形.设AO=x,因为四边形ABCD 为菱形,所以AO=CO,BO=DO,AC ⊥BD. 又因为AC ∶BD=1∶3,所以AO ∶BO=1∶3,BO=x 3.在Rt △ABO 中,因为AB 2=BO 2+AO 2,所以AB 2=(x 3)2+x 2=22.所以x=1. 所以AO=1,BO=3.所以AC=2,BD=32. 所以菱形的面积为21×2×32=32. 6.如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E.又点F 在DE 的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF 是菱形.答案:证明：∵∠ACB=90°，DE 是BC 的中垂线， ∴E 为AB 边的中点. ∴CE=AE=BE. ∵∠BAC=60°， ∴△ACE 为正三角形.在△AEF 中，∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°，而AF=CE ， 又CE=AE, ∴AE=AF.∴△AEF 也为正三角形. ∴∠CAE=∠AEF=60°. ∴AC EF.∴四边形ACEF 为平行四边形.又CE=AC ，∴平行四边形ACEF 为菱形.7.如图,在一张长12 cm 、宽5 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？解：（方案一）S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×21×6×25=30（cm 2）. （方案二）设BE=x ，则CE=12-x, ∴AE=22225x AB BE +=+.因为四边形AECF 是菱形，则AE 2=CE 2, ∴25+x 2=(12-x)2. ∴x=24119. ∴S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×21×5×24119≈35.21(cm 2). 经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大. 三、课后巩固(30分钟训练) 1.下列结论正确的是( )A.邻角相等的四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 解析：根据菱形的判定定理:对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 答案:D2.菱形的周长为32 cm,一个角的度数是60°,则两条对角线的长分别是( )A.8 cm 和34 cmB.4 cm 和38 cmC.8 cm 和38 cmD.4 cm 和34 cm 解析：因菱形四边相等,所以每边都为8,其对角线平分一组对角,根据一个角是60°,可求得. 答案:C3.在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是( )A.90°B.180°C.270°D.360° 解析：由菱形为中心对称图形可知B 正确. 答案:B4.在菱形ABCD 中,AE ⊥BC,AF ⊥CD,垂足为E 、F,且BE=EC,CF=FD,则∠AEF 等于( )A.120°B.45°C.60°D.150° 解析：因为AE 垂直平分BC,所以AB=AC. 又因为AB=BC,所以△ABC 为等边三角形. ∠BAC=60°,∠EAC=30°.同理可证∠FAC=30°,△AEF 是等边三角形,所以∠AEF=60°. 答案:C5.如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,AC=4,BD 的长为( )A.38B.34C.32D.8 解析：∵ABCD 为菱形,∴AB=BC. 又∵∠ABC=60°,∴△ABC 为等边三角形. ∴AB=BC=AC=4,∠ABO=30°,∠AOB=90°. 在△AOB 中,OB=22AO AB =32.∴BD=BO+OD=34. 答案:B6.如图,在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由.解：添加条件：对角线相等. 理由：连结AC 、BD.在△ABC 中， ∵AE=BE ，BF=CF ， ∴EF 为△ABC 的中位线. ∴EF=AC 21. 同理可得FG=BD 21，GH=AC 21，HE=BD 21. 又∵AC=BD （添加条件）, ∴EF=FG=GH=HE. 故四边形EFGH 为菱形.7.如图,已知过平行四边形ABCD 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG 、FH 与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.答案:证明：在ABCD中，OD=OB，OA=OC，AB∥CD，∴∠OBG=∠ODE.又∵∠BOG=∠DOE，∴△OBG≌△ODE.∴OE=OG.同理OF=OH.∴四边形EFGH是平行四边形.又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是菱形.8.北京101中学的学生为迎接2008年奥运会,美化校园,在周长为12 m,夹角为60°的菱形花坛里栽十株花.试证明:不论如何安排,至少有两株花的距离小于3m.答案:证明：如图,把菱形花坛分成9个菱形,由此可得至少有一个小菱形里要栽两株花,因为小菱形的对角线长为3m,所以至少有两株花的距离小于3m.9.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证:四边形AFCE是菱形.答案:证明：∵EF垂直平分AC,∴EF⊥AC,AO=CO.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC.∴∠AEO=∠CFO.∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.集英汇才普知承德∴四边形AECF是平行四边形.又∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形.- 11 -。