7刚体力学

第7章 刚体力学
3.平面平行运动
平面平行运动演示
刚体中的任意一点始终在平行于某一固定平面的平面 内运动，称为刚体的平面平行运动。 4.绕固定点转动
刚体绕固定点转动
刚体运动时，只有一点固定不动，整个刚体围绕着通 过这点的某一瞬时轴线转动，称为刚体绕固定点转动。 5.一般运动
刚体一般运动演示
刚体的任意运动。可分为：基点的平动+绕基点的定点 转动。
第7章 刚体力学
四.刚体绕固定轴转动
1.定义 刚体内各点都绕同一直线作圆周运动。则这种 运动叫刚体绕固定轴转动，简称定轴转动。 转轴
ω
ω
· P
O
·
O
P
注意： 1.刚体内各质点的线速度与加速度一般不同。 2.刚体内各点的角位移、角速度与角加速度相同。
9
第7章 刚体力学
2. 刚体的角坐标、角速度、角加速度 角坐标: θ ⎯ 定轴转动时刚体 的位置状态 (标量) P θ r r dθ r O 角速度: ω = k = ωzk dt r r dω dω z r d 2θ r r 角加速度: β = = k = 2 k = β zk dt dt dt 3. θ , ωz , βz 之间的关系 微分关系:
第七章 刚体力学
§7-1. 刚体运动学 §7-2.定轴转动惯量 §7-3.定轴转动定律与角动量守恒定律 §7-4.定轴转动动能定理 §7-5.应用例题 §7-6. 守恒定律与对称性
1
第7章 刚体力学
§5-1. 刚体运动学
什么是刚体? 在力的作用下，大小和形状都保持不变的物体称为 刚体。 或在力的作用下，组成物体的所有质点之间的距 离始终保持不变的物体称为刚体。 刚体是力学中又一个十分有用的理想模型。是一个特 殊的质点系。 因此，有关质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚 体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。
⎧Iz = I x + I y y 由 1 2 ⎨ 得 I x = I y = mR ⎩ Ix = Iy 4 19
第7章 刚体力学
例1: 如图, 已知2质点的m, 求Iz.
z m l/2 l/2 m z
解: I = ∑ mi ri2 = 2m(l 2)2 = ml 2 2
例2：如图, 已知均匀圆环M, R，求Iz. 解:
η、σ、ρ分别为刚体质量的线密度、面密度、体密度. 决定I大小的三个因素：转轴位置、刚体质量、质量对 16 轴的分布。
第7章 刚体力学
三. 常用的几个I
C R m 均匀圆环：
I c = mR
2
C R
m
均匀圆盘：
1 I c = mR 2
2
A
C
l 2 l 2
m
均匀杆：
1 2 1 2 Ic = ml ，I A = ml 12 3
∫
L 2
−L 2
M 1 dx ) = ML 2 x ( L 12
2
M 解: dm = dx L
例5: 如图, 已知细棒M,L, 求Iz.
z dm
2
1 2 1 M L 2 ⎛ L⎞ 2 2 I = ∫ x dm = ∫ x dx = ML = ML + M ⎜ ⎟ 0 12 3 L ⎝2⎠
I = I C + md 2 ⇒ 推广得平行轴定理:
17
第7章 刚体力学
四. 计算I的几条规律
IC C d I m 1.对同一轴I具有可叠加性
I=
∑I
i
i
Ii =
∑ Δm r
i
2
i i
2.平行轴定理
平行
I = I c + md
2
刚体对任意已知轴的转动惯量，等于刚体对通过质 心并与该已知轴平行的轴的转动惯量加上刚体的质 18 量与两轴间垂直距离d平方的乘积。
7
第7章 刚体力学
2.刚体平动时的速度与加速度 由图所示A、B两点 r r d rB d rA d ( AB ) r r = + 有 r B = r A + AB 求导 dt dt dt r z Bn ∵ AB = C （常矢量） B2 r r B B1 r r d rB d rA = ⇒ v A = v B 再求导 ∴ rB dt dt An r r A A1 A2 O r r dv B dv A y = ⇒ aA = aB rA dt dt x 在任意时刻,平动刚体上各点的速度、加速度都相同。 可以把平动刚体当作质点运动研究.一般选刚体质心. 8
ω
b
dy o
u h
a y
ω
b
22
x
θ
Qu / a 2 + b2 = ( a sinθ − y ) / a sinθ
第7章 刚体力学
( a sin θ − y ) a 2 + b 2 y ∴u= a sin θ 把u代入转动惯量求in θ
2 2
dy
u h
a y
k 参考轴
dω z d 2θ dω z dθ , βz = = 2 = ωz ωz = dt dt dt dθ
10
第7章 刚体力学
积分关系: ω z (t ) = ω z (t0 ) + ∫t β z dt
0
t
θ ( t ) = θ ( t0 ) + ∫ ω z dt
t0
t
4. 刚体上任一点的速度、加速度
r vA
r r r r v i = vC + ω × rCi = 0
注意：1.瞬心位置可以在刚体之外;一般随时间也在变化. 2.选瞬心为基点，刚体运动学问题可简化.
13
第7章 刚体力学
6.质元角速度与基点选择无关：
r P r ω R • r r r r 选C基点: v P = vC + ω × Rr R′ C•r r r r C′ RC ′ 选C′基点: v P = vC ′ + ω′ × R′ • ω′ r r r r 注意 v C ′ = v C + ω × RC ′ R = RC ′ + R′ r r r r r r 代入 v C + ω × R = v C ′ + ω′ × R′ r r r r r r r r r vC + ω × R = vC + ω × ( R − R′ ) + ω′ × R′ r r r r r r ω′ × R′ − ω × R′ = 0 ω′ = ω
基面上各点均以同一角速度在旋转.
14
第7章 刚体力学
§7-2.定轴转动惯量 一.刚体对轴的角动量
由质点对轴的角动量得 L zi = ri m i v i 则刚体对轴的动量矩 mi为刚体中任意一质点
z
ω vi
ri mi
Lz =
∑L
i
zi
=
∑rm v
i i i
i
=
∑m r
i
2
i i
ω
= I zω
刚体绕固定轴转动的角动量，等于刚体对该轴的转动 惯量与角速度的乘积。 15
O r
F//
F F⊥ Y
θ
• 显然, 力通过O点时, 对O点的力矩为零. 力平 行或通过某轴时, 对该轴的力矩为零
24
第7章 刚体力学
二. 转动定律
如图, 设转轴Z 对惯性参照系无加速度. 对mi：az = 0。即F合 // = f i // + Fi // = 0
Fi ⊥ sin θ i + f i ⊥ sin ϕ i = m i ri β z
第7章 刚体力学
2.刚体运动的自由度 平动 ——3个自由度 绕固定轴转动 ——1个自由度 平面平行运动 ——3个自由度 绕固定点转动 ——3个自由度 一般运动 ——6个自由度
6
第7章 刚体力学
三.刚体的平动
1.定义 刚体运动时，若在刚体内所作的任意一条直线都始 终保持和自身平行，这种运动就称为刚体的平动。 A’’ A B A’ B’ 注意：1.刚体上每一点的轨迹不一定是直线。 2.刚体上各点的运动轨迹相同。 B’’
s r r r r dv d r r dω r s a= = (ω × r ) = × r + ω ×(ω × r ) dt dt dt
an = ω r r r r v =ω×r
2
υ =ω r υτ = ωzr dωz dυτ =r = rβ z aτ = dt dt
τ r O n P
ω
θ
参考轴
r r r a = aττ + an n
I = ∫ r 2 dm = R 2 ∫ dm = MR 2
L
例3：如图, 已知匀质园盘M, R，求Iz. 1 M R 2 r 2 π rdr = MR 2 解: I = π R 2 ∫0 2
z
20
第7章 刚体力学
例4: 如图, 已知细棒M, L, 求Iz. 解: I = ∫ x 2 dm
=
z
dm
第7章 刚体力学
二.转动惯量的定义
刚体对Z轴的转动惯量，等于刚体上各点的 质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积 之和。
z
Iz =
Iz =
Iz =
∑m r
i
2
i i
刚体质量分立分布 刚体质量连续分布
m
dm ri
∫
V
r 2 dm
r 2η dl ∫
Iz =
r 2σ ds ∫∫
I z = ∫∫∫ r 2 ρdV
第7章 刚体力学
§5-3. 刚体转动定律与角动量守恒定律 Z 一.力对轴和点的力矩
r r 如图, 力F 对Z轴的力矩 M Z r X 大小: M Z = F⊥ r sinθ r r r r r 方向: 与r、F⊥ 成右旋关系 M Z = r × F⊥ r r r r 同理, 力F 对X轴的力矩: M X = r × F// r r r r r 一般 r 不沿Y轴 ⇒ r × F// = M X + MY r 综上所述, F 对O点的力矩为 r r r r r r r × F = M X + MY + M Z = M O