人教版2020-2021数学九年级上册第24章圆培优训练

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【期末专项】人教版数学九年级上第24章圆解答题综合培优训练含答案

【期末专项复习】第24章：圆解答题综合培优训练1．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，延长AC至D，过D作⊙O切线，切点为E，且∠D＝90°，连接BE．DE＝12，（1）若CD＝4，求⊙O的半径；（2）若AD+CD＝30，求AC的长．2．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在上取点G，连结CG，DG，AC．求证：∠DGC＝2∠BAC．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．5．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．6．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．（1）求AF、AE的长；（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．7．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°．（1）如图1，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的度数；（2）如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD 的度数．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2AC，半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．9．如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．（1）求∠AOB的度数；（2）若线段CD的长为2cm，求的长度．10．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝4，点D是AB 的中点，连接DO并延长交⊙O于点P．（1）求劣弧PC的长（结果保留π）；（2）过点P作PF⊥AC于点F，求阴影部分的面积（结果保留π）．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．（1）求证：EM是⊙O的切线；（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．12．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F．（1）若∠A＝40°，求∠DEF的度数；（2）AB＝AC＝13，BC＝10，求⊙O的半径．13．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．（1）求证：DE＝EC；（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径14．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．15．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是∠ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）若AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求BD的长度．17．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（1）如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；（2）如图2，当点F是C D的中点时，求△CDE的面积．参考答案1．（1）解：连接OE，作OH⊥AD于H，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE．又∵∠D＝90°，∴四边形OHDE是矩形，设⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，OC2＝CH2+OH2，∴r2＝（r﹣4）2+144，∴半径r＝20．（2）解：∵OH⊥AD，∴AH＝CH．又∵AD+CD＝30，即：（AH+HD）+（HD﹣CH）＝30．∴2HD＝30，HD＝15，即OE＝HD＝OC＝15，∴在Rt△OCH中，CH＝＝＝9．∴AC＝2CH＝18．【点评】考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理．解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度．2．（1）证明：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即BC⊥AD，∵CD＝AC，∴AB＝BD，∴∠A＝∠D，∴∠CEB＝∠A，∴∠CEB＝∠D，∴CE＝CD．（2）解：连接AE．∵∠A BE＝∠A+∠D＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣50°＝40°．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．证明：连结AD，∵弦CD⊥直径AB，∴2∠BAC＝2∠BAD＝∠DAC（垂径定理），又∵∠DGC＝∠DAC（圆周角定理），∴∠BAC＝∠DGC，∴∠DGC＝2∠BAC．【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法与数形结合思想的应用．4．解：（1）连结AD，∵D是中点，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB是⊙O直径；（2）连结OE，∵∠C ＝60°，AB ＝AB ， ∴∠BAC ＝60°，∴∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∴∠OBE ＝30°，∵AB ＝8，∴OB ＝4，∴S 阴影＝S 扇形AOE +S △BOE ＝+×2×4＝π+4．（3）由（1）知AB 是⊙O 的直径，∴∠BEA ＝90°，∴∠EBC +∠C ＝∠CAD +∠C ＝90°，∴∠EBC ＝∠CAD ，∴∠CAB ＝2∠EBC ．【点评】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5．证明：（1）连接BO 并延长交⊙O 于点E ，连接DE ．∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°，∴∠EBD +∠E ＝90°，∵∠DBC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠E ，∴∠EBD +∠DBC ＝90°，即OB ⊥BC ，又∵点B 在⊙O 上，∴BC 是⊙O 的切线；（2）连接OD ，∵∠BOD ＝2∠A ＝60°，OB ＝OD ，∴△BOD 是边长为6的等边三角形，∴S △BOD ＝×62＝9，∵S 扇形DOB ＝＝6π，∴S 阴影＝S 扇形DOB ﹣S △BOD ＝6π﹣9．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD +∠DBC ＝90°和分别求出扇形DOB 和三角形DOB 的面积．6．解：（1）∵矩形ABCD 中AB ＝3，AD ＝4，∴AC ＝BD ＝＝5，∵AF •BD ＝AB •AD ，∴AF ＝＝，同理可得DE ＝，在Rt △ADE 中，AE ＝＝；（2）∵AF ＜AB ＜AE ＜AD ＜AC ，∴若以点A 为圆心作圆，B 、C 、D 、E 、F 五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F 在圆内，点D 、C 在圆外，∴⊙A 的半径r 的取值范围为2.4＜r ＜4．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7．解：（1）如图1，连接OD，∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝90°．∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°．∵D为弧AB的中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠ABD＝45°；（2）如图2，连接OD，∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°．由DP∥AC，又∠BAC＝40°，∴∠P＝∠BAC＝40°．∵∠AOD是△ODP的一个外角，∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝130°．∴∠ACD＝65°．∵OC＝OA，∠BAC＝40°，∴∠OCA＝∠BAC＝40°．∴∠OCD＝∠ACD﹣∠OCA＝65°﹣40°＝25°．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8．（1）证明：过C 作CF ⊥AB 于F ，∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝，BC ＝2AC ，∴BC ＝2，由勾股定理得：AB ＝＝5，∵△ACB 的面积S ＝×AB ×CF ＝×AC ×BC ，∴CF ＝＝2，∴CF 为⊙C 的半径，∵CF ⊥AB ，∴AB 为⊙C 的切线；（2）解：图中阴影部分的面积＝S △ACB ﹣S 扇形DCE ＝××2﹣＝5﹣π．【点评】本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF 的长是解此题的关键．9．解：（1）∵AM 为圆O 的切线，∴OA ⊥AM ，∵BD ⊥AM ，∴∠OAD ＝∠BDM ＝90°，∴OA ∥BD ，∴∠AOC ＝∠OCB ，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，∴∠AOB＝120°；（2）如图：过点O作OE⊥BD，垂足为E∵∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，∴OB＝OC＝BC∵OE⊥BD，∴BE＝CE＝BC＝OA∵OE⊥BD，且OA⊥AD，BD⊥AD∴四边形ADEO是矩形∴OA＝DE∴CD+CE＝OA＝2CE，且CD＝2cm∴CE＝2cm∴OA＝4cm∴的长度＝＝π【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．10．解：（1）连接OB，∵OA＝OB，点D是AB的中点，∴PD⊥AB，∵∠A＝30°，∴∠POC＝∠AOD＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝8，∴OC＝4∴劣弧PC的长＝＝π；（2）∵PF⊥AC，∠OPF＝30°，∴OF＝OP＝2，PF＝2，∴S＝﹣×2×2＝π﹣2．阴影【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，扇形面积计算，弧长的计算，掌握扇形面积公式和弧长公式是解题的关键．11．解：（1）连接OC，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠A+∠AFO+90°＝180°，∵∠ACE+∠AFO＝180°，∴∠ACE＝90°+∠A，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∴EM是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠BCE，∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A，∴∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝，∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC是解题的关键．12．（1）连OD，OF，如图，则OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠DOF＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，又∵∠DEF＝∠DOF＝×140°＝70°；（2）过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝BC＝×10＝5，则AM＝12，＝60，则S△ABC设圆O的半径的半径是r，则（13+13+10）•r＝60，解得：r＝．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．13．解：（1）连结AE，BD，∵E为的中点，∴＝，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠AEB是直径所对的圆周角，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△AEC和△AEB中，∴△AEC≌△AEB（ASA），∴CE＝BE，∴DE＝CE＝BE＝BC；（2）在Rt△CBD中，BD2＝BC2﹣CD2＝32，设半径为r，则AB＝2r，由（1）得AC＝AB＝2r，AD＝AC﹣CD＝2r﹣2，在Rt△ABD中AD2+BD2＝AB2，∴（2r﹣2）2+32＝（2r）2，解得：r＝4.5，∴⊙O的半径为4.5．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；（2）解：作AE⊥CD于E，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．15．（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝5．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．16．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，又∵∠DCF+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCF，∵BD是∠ABC的角平分线，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DEA＝∠F＝90°，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（AAS）（2）∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，BE＝BF，设AE＝CF＝x，则BE＝10﹣x，BF＝8+x，即10﹣x＝8+x，解得x＝1，在Rt△BFD，∠DBC＝30°，设DF＝y，则BD＝2y，∵BF2+DF2＝BD2，∴y2+92＝（2y）2，y＝3，BD＝6．【点评】考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是证明△AED ≌△CFD．17．解：（1）如图：连接OD∵DE与⊙O相切∴∠ODE＝90°∵AB∥DE∴∠AOD+∠ODE＝180°∴∠AOD＝90°∵∠AOD＝2∠C∠C＝45°∵∠CFB＝∠CAB+∠C∴∠CFB＝75°（2）如图：连接OC∵AB是直径，点F是CD的中点∴AB⊥CD，CF＝DF，∵∠COF＝2∠CAB＝60°，∴OF＝OC＝，CF＝OF＝，∴CD＝2CF＝，AF＝OA+OF＝，∵AF∥AD，F点为CD的中点，∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，∴DE＝2AF＝3，∴S＝×3×＝△CED【点评】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，属于基础题，中考常考题型．。

2020-2021学年人教版九年级数学上学期第24章圆单元测试卷(含答案)

24章圆测试卷(时间：120分钟分数：120分)得分：____________一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外 D．不能确定2．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是( ) A．2.5 B．5 C．3 D．103．如图，在⊙O中，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，M是AB上一点，则OM的最小值为( )A．4cm B．5cm C．6cm D．3cm（第3题图）（第4题图）（第5题图）（第6题图）4．如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是( ) A．50° B．55° C．60° D．65°5．如图，⊙O的直径AB＝8，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是( ) A．2 B．2 2 C．2 3 D．46．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( ) A． 2 B． 3 C．2 2 D．2 37．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为( ) A．60° B．50° C．40° D．20°（第7题图）（第8题图）（第9题图）8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为( )A．6 2 B．3 2 C．6 D．129．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于点M(0，－4)和N(0，－10)，则点P的坐标是( )A．(－4，－7) B．(－3，－7) C．(－4，－5) D．(－3，－5)10．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为( )A．2 3 B．3 3 C．4 3 D．6 311．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )A．π＋ 3 B．π－ 3 C．2π－ 3 D．2π－2 3（第11题图）（第12题图）（第14题图）12．△ABC 内接于半径为2的⊙O，∠BAC ＝60°，△ABC 的内心为E ，当点A 在优弧上运动时，则点E 运动的路径长为( )A ．2π3B ．4π3 C ．2π D．2 3 π二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为________． 14．如图，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上四点，∠ABD ＝20°，BD 是直径，则∠ACB ＝________． 15．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，点C ，D 在⊙O 上，若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝________．（第15题图）（第16题图）（第17题图）（第18题图）16．如图所示，A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°.AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是________．17．如图，在扇形AOB中，有∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC交AB 于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为________．18．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝4cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜16)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为________．三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(6分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.20．(6分)如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．21．(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(3，3)，C(4，2).(1)请在图中作出经过A，B，C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；(2)若D(1，4)，则直线BD与⊙M的位置关系是________．22．(8分)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．23．(9分)如图，已知CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC＝AB，∠A＝30°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，求BD的长．24．(9分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F.(1)请探索OF和BC的关系并说明理由；(2)若∠D＝30°，BC＝1，求圆中阴影部分的面积．(结果保留π)25．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC ＝CE.(1)求∠ACB的度数；(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G.若DE＝3，EG＝2，求AB的长．26．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE.(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．参考答案得分：____________一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外 D．不能确定2．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是(B)A．2.5 B．5 C．3 D．103．如图，在⊙O中，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，M是AB上一点，则OM的最小值为(D)A．4cm B．5cm C．6cm D．3cm（第3题图）（第4题图）（第5题图）（第6题图）4．如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是(A)A．50° B．55° C．60° D．65°5．如图，⊙O的直径AB＝8，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(D)A．2 B．2 2 C．2 3 D．46．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于(C) A． 2 B． 3 C．2 2 D．2 37．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为(B) A．60° B．50° C．40° D．20°（第7题图）（第8题图）（第9题图）8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为(A)A．6 2 B．3 2 C．6 D．129．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于点M(0，－4)和N(0，－10)，则点P的坐标是(A)A．(－4，－7) B．(－3，－7) C．(－4，－5) D．(－3，－5)10．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为(B)A．2 3 B．3 3 C．4 3 D．6 311．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为(D) A．π＋ 3 B．π－ 3 C．2π－ 3 D．2π－2 3（第11题图）（第12题图）（第14题图）12．△ABC 内接于半径为2的⊙O，∠BAC ＝60°，△ABC 的内心为E ，当点A 在优弧上运动时，则点E 运动的路径长为(B)A ．2π3B ．4π3C ．2π D．2 3 π三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(6分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.证明：∵AB＝BC，∴AB＝BC .∴∠BDC＝∠ADB，∴DB平分∠ADC.20．(6分)如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠AOB ＝50°，∠OBC ＝40°，求∠OAC 的度数．解：∵OB＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC＝40°，∴∠BOC ＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－40°－40°＝100°.∴∠AOC ＝∠AOB＋∠BOC＝50°＋100°＝150°.又∵OA＝OC ，∴∠OAC ＝180°－∠AOC 2＝15°.21．(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(3，3)，C(4，2).(1)请在图中作出经过A ，B ，C 三点的⊙M，并写出圆心M 的坐标；(2)若D(1，4)，则直线BD 与⊙M 的位置关系是________．解：如图所示，圆心M的坐标为(2，1).22．(8分)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．解：(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A.∵∠D＝2∠A，∴∠COD＝∠D.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°.(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2.在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD＝22＋22＝2 2 .∴BD＝OD－OB＝2 2 －2.23．(9分)如图，已知CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC＝AB，∠A＝30°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，求BD的长．(1)证明：连接OB.∵BC＝AB ，∠A ＝30°，∴∠C ＝∠A＝30°.又∵OC＝OB ，∴∠CBO ＝∠C＝30°.∴∠AOB ＝∠CBO＋∠C＝60°.在△ABO 中，∠A ＝30°，∠AOB ＝60°.∴∠ABO ＝90°，即AB⊥OB.又∵OB 为⊙O 的半径，∴AB 为⊙O 的切线．(2)解：∵OB＝2，∠BOD ＝60°，∴l BD ＝60π·2180 ＝23π.25．(10分)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，弦BD 交AC 于点E ，连接CD ，且AE ＝DE ，BC ＝CE.(1)求∠ACB 的度数；(2)过点O 作OF⊥AC 于点F ，延长FO 交BE 于点G.若DE ＝3，EG ＝2，求AB 的长．解：(1)∵∠A＝∠D，AE ＝DE ，∠AEB ＝∠DEC，∴△AEB ≌△DEC ，∴BE ＝CE.又∵BC＝CE ，∴BE ＝CE ＝BC ，∴△EBC 为等边三角形，∴∠ACB ＝60°.(2)∵OF⊥AC，∴AF ＝CF ，∵△EBC 为等边三角形，∴∠GEF ＝60°，∴∠EGF ＝30°.∵EG ＝2，∴EF ＝1，又∵AE＝DE ＝3，∴CF ＝AF ＝AE ＋EF ＝4，∴AC ＝8，CE ＝5，∴BC ＝5.过点B 作BM⊥AC 于点M ，∵∠BCM ＝60°，∴∠MBC ＝30°.∴CM ＝52 ，BM ＝BC 2－CM 2 ＝532， ∴AM ＝AC －CM ＝112， ∴AB ＝AM 2＋BM 2＝7.26．(10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作半圆O 交AC 于点D ，点E 为BC 的中点，连接DE.(1)求证：DE 是半圆O 的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE ＝2，求AD 的长．(1)证明：连接OD ，OE ，BD.∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴DE ＝BE ＝CE.在△OBE 和△ODE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ，OE ＝OE ，BE ＝DE.∴△OBE ≌△ODE(SSS).∴∠ODE ＝∠ABC＝90°.又∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 是半圆O 的切线．(2)解：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°.∴BC ＝12AC ，∠C ＝60°. ∵BC ＝2DE ＝4，∴AC ＝8.又∵∠C＝60°，DE ＝EC ，∴△DEC 为等边三角形，∴DC ＝DE ＝2.∴AD ＝AC －DC ＝6.1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。

人教版数学九年级上册第24章《圆》单元培优练习卷(含解析)

21．如图，在矩形 ABCD中，以 BC边为直径作半圆 O，OE⊥ OA交 CD边于点 E，对角线 AC与半圆 O的另一个交点为 P，连接 AE．（ 1）求证： AE是半圆 O的切线；（ 2）若 PA＝ 2，PC＝ 4，求 AE的长．
22．如图， AB为⊙ O的直径，且 AB＝4 ，点 C是上的一动点（不与 A， B 重合），过点 B 作⊙ O的切线交 AC的延长线于点 D，点 E 是 BD的中点，连接 EC．（ 1）求证： EC是⊙ O的切线；（ 2）当∠ D＝ 30°时，求阴影部分面积．
）
A． 2π﹣ 3
B． 2π+3
C． π﹣
D． π +
11．如图， AB是⊙ O的弦，作 OC⊥ OA交⊙ O 的切线 BC于点 C，交 AB于点 D．已知∠ OAB＝
20°，则∠ OCB的度数为（
）
A． 20°
B． 30°
C． 40°
D．50°
12．如图，四边形 ABCD中， CD∥ AB， E 是对角线 AC上一点， DE＝ EC，以 AE为直径的⊙ O
23．已知 AB是⊙ O的直径， C， D是⊙ O上 AB同侧的两点，∠ BAC＝ 25° （Ⅰ）如图①，若 OD⊥ AB，求∠ ABC和∠ ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点 C作⊙ O的切线，交 AB延长线于点 E，若 OD∥ EC，求∠ ACD的大小．
24．如图，以 Rt△ ABC的直角边 AB为直径的⊙ O 交斜边 AC于点 D，过点 D作⊙ O 的切线与 BC交于点 E，弦 DM与 AB垂直，垂足为 H．（ 1）求证： E 为 BC的中点；（ 2）若⊙ O的面积为 12π，两个三角形△ AHD和△ BMH的外接圆面积之比为 3，求△ DEC 的内切圆面积 S1 和四边形 OBED的外接圆面积 S2 的比．

人教版九年级上册第24章：圆单元培优测试(有答案)

人教版九年级上册圆单元培优测试一、单选题(共40分)1．(4分)圆是轴对称图形，它的对称轴有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条2．(4分)下列说法错误的是（）A ．等弧所对的圆心角相等B ．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C ．经过三点可以作一个圆D ．三角形的外心到三角形各顶点距离相等3．(4分)在直角坐标系中，⊙O 的圆心在原点，半径为3，⊙A 的圆心A 的坐标为（－3，1），半径为1，那么⊙O 与⊙A 的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．内切D ．相交4．(4分)一个圆锥的底面半径是4cm ，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（） A ．8cm B ．12cm C ．16cm D ．24cm5．(4分)如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，已知BCD ∠为120︒，则BOD ∠的度数为（） A ．100︒ B ．110︒ C ．120︒ D ．130︒6．(4分)下列说法正确的是（）A ．三点确定一个圆B ．一个三角形只有一个外接圆C ．和半径垂直的直线是圆的切线D ．三角形的外心到三角形三边的距离相等7．(4分)如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过B,C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=22,则AE 2+BE 2的值为（）A ．8B ．12C ．16D ．208．(4分)如图，在ABC ∆中，452ABC AB BC ︒∠===，．在同一平面内将ABC ∆绕点A 旋转到'ABC ∆的位置，使得点C 在''BC 上．其中点B 的运动路径为弧'BB ．则图中阴影部分的面积为（）A ．2πB ．12π-C ．2222π+- D ．2222π-+9．(4分)如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（）A ．3B ．41C ．72D ．410．(4分)如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P ．若AB ＝6，BC ＝33，则下列结论：①F 是CD 的中点；②⊙O 的半径是2；③AE ＝92CE ；④S 阴影＝32．其中正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(共24分)11．(4分)如图，AB 是⊙Ｏ的直径，BC 与⊙Ｏ相切于点B ，AC 交⊙Ｏ于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD=______度．12．(4分)小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为8cm ，母线长为25cm ，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 cm 2．（结果保留π）13．(4分)在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，若以点C 为圆心，以2cm 长为半径的圆与斜边AB 相切，那么BC 的长等于_____．14．(4分)如图，AB 为O 的直径，点C D 、在O 上．若40,CAB ∠=︒则D ∠的大小为______度． 15．(4分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠BCD ＝30°，CD ＝23，则阴影部分面积S 阴影＝_____．16．(4分)如图，Rt △ABC ，AB ＝3，AC ＝4，点D 在以C 为圆心3为半径的圆上，F 是BD 的中点，则线段AF 的最大值是_____．第11题图第12题图第14题图第15题图第16题图三、解答题(共86分)17．(本题8分)已知：A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，且弧BC=弧AD ，求证：AC =BD ．18．(本题8分)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 延长线相交于点P ．若∠COB ＝2∠PCB ，求证：PC 是⊙O 的切线．19．(本题8分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()A 3,3，()B 4,0，()C 0,1-．（1）以点C 为旋转中心，把ABC 逆时针旋转90，画出旋转后的△A B C '' （2分）（2）在（1）的条件下，①点A 经过的路径'AA 的长度为______(结果保留π)；（3分） ②点'B 的坐标为______．（3分）20．(本题8分)如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，点,D E 分别在,BA BC 的延长线上．（1）在CAD ∠的内部求作点P ，使得//CP AB ，AP AB =；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）（4分）（2）连接PB ，若5AC =，26BC =，求PB 的长．（4分）21．(本题8分)如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（4分）（2）∠C ＝45°，⊙O 的半径为2，求阴影部分面积．（4分）22．(本题10分)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接AC ，BC ，AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，点E 是劣弧BC 的中点，连接AE ，CE ．（1）求证：∠DAC ＝∠AEC ；（4分）（2）延长CE ，AB 交于点G ，使得GB ＝12AB ，若AC ＝2，求⊙O 的半径．（6分）23．(本题10分)如图，四边形ABCD 内接于O ，2BAC DAC ∠=∠，AB AC =，点F 在BD 的延长线上，且DF DC =，连接AF CF 、．（1）求证：AC BD ⊥；（4分）（2）求证：FC 是O 的切线．（6分）24．(本题12分)已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为弧AB 的中点，点D 为⊙O 上一点，连接CD ，交AB 于点M ，AE为∠DAM的平分线，交CD于点E．（1）如图1，连接BE，若∠ACD=22°，求∠MBE的度数；（3分）（2）如图2，连接DO并延长，交⊙O于点F，连接AF，交CD于点N．①求证：DM2+CN2=CM2；（6分）②如图3，当AD=1，时，请直接写出．．．．线段ME的长．（3分）25．(本题14分)如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，163）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．（1）求证：y轴是⊙G的切线；（2分）（2）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；（6分）（3）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长？（6分）知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

人教版九年级上册第24章《圆》单元培优卷含答案

人教版九年级上册第24章《圆》单元培优卷难度系数：0.50一．选择题1．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠A＝∠B＝20°，则∠AOB等于（）A．40°B．60°C．80°D．100°2．下列说法中，不正确的个数是（）①直径是弦；②经过圆内一定点可以作无数条直径；③平分弦的直径垂直于弦；④过三点可以作一个圆；⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点．A．1个B．2个C．3个D．4个3．⊙O的半径为3，锐角三角形ABC内接于⊙O，且BC＝3．则∠A的度数为（）A．30°B．150°C．30°或150°D．不能确定4．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（）A．5πB．10πC．20πD．40π5．如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（）A．50°B．55°C．65°D．70°6．如图，⊙O的直径AB＝6，若∠BAC＝50°，则劣弧AC的长为（）A．2πB．C．D．7．如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若＝2＝2，则下列说法正确的是（）A．AB＝AE B．AB＝2AE C．3∠A＝2∠C D．5∠A＝3∠C 8．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（）A．5B．2C．5或2D．2或﹣19．如图，⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则⊙O的半径为（）A．2B．C．3D．10．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距为，分别以B、D、F为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．二．填空题11．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于°．12．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝75°，则∠AOC＝．13．用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设．14．如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B都是格点，若图中扇形AOB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为．15．P是⊙O内一点，⊙O的半径是15，OP＝9，则过P点且长度是整数的弦共有条．16．如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为．三．解答题17．如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝EC．18．如图，已知，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M（不包括A，B两点），以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C．求证：∠ACB为定值．19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D．点E在⊙O上．（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆．（1）求⊙O的半径；（2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且P A＝2，请直接写出⊙P的半径的长．21．如图所示，AB是圆O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．（1）判断直线BD和圆O的位置关系，并给出证明；（2）当CE＝5，BC＝8时，求圆O的半径．22．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°（1）求证：BD＝CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．24．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16①求⊙O的半径；②求△ABC的内心到点O的距离．参考答案1．解：连接OC．∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，同理，∠A＝∠ACO∴∠ACB＝∠A+∠B＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．故选：C．2．解：①直径是特殊的弦．所以①正确，不符合题意；②经过圆心可以作无数条直径．所以②不正确，符合题意；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．所以③不正确，符合题意；④过不在同一条直线上的三点可以作一个圆．所以④不正确，符合题意；⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点．所以⑤正确，不符合题意．故选：C．3．解：如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∵⊙O的半径为3，BC＝3．∴OB＝OC＝BC＝3，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝BOC＝30°，∴∠A的度数为30°，4．解：圆锥的侧面积为：π×2×5＝10π．故选：B．5．解：连接OB，OC∵∠ADC＝55°，∴∠AOC＝2∠ADC＝110°，∴弧AC＝110°，∵AD是半圆的直径，∴∠COD＝70°，∵C是弧BD的中点，∴∠BOD＝2∠COD＝140°，∴∠BAD＝∠BOD＝70°，故选：D．6．解：如图，连接CO，∵∠BAC＝50°，AO＝CO＝3，∴∠ACO＝50°，∴∠AOC＝80°，∴劣弧AC的长为＝，故选：D．7．解：∵＝2＝2，∴∠BOD＝∠EOC＝∠DOE，∵∠BOD+∠EOC+∠DOE＝180°，∴∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝67.5°，同理，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，∴∠A＝45°，∵BC为直径，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴AB＝AE，故A、B错误；3∠A＝135°，2∠C＝135°，∴3∠A＝2∠C，C正确；5∠A＝225°，3∠C＝202.5°，∴5∠A≠3∠C，D错误；故选：C．8．解：设直角三角形ABC内切圆的圆心为点I，半径为r，三边上的切点分别为D、E、F，连接ID、IE、IF，得正方形，则正方形的边长即为r，如图所示：当BC为直角边时，AC＝＝10，根据切线长定理，得AD＝AF＝AB﹣BD＝6﹣r，CE＝CF＝BC﹣BE＝8﹣r，∴AF+FC＝AC＝10，即6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2；当BC为斜边时，AC＝＝2，根据切线长定理，得BD＝BF＝6﹣r，CE＝CF＝2﹣r，∴BC＝BF+CF＝6﹣r+2﹣r＝8，解得r＝﹣1．答：这个三角形的内切圆的半径是2或﹣1．故选：D．9．解：设DE与⊙O相切于点N，连接OD、OE、ON，作DM⊥OE于M，如图所示：则ON⊥DE，DE＝2，OD＝OE，∠DOE＝＝45°，∵DM⊥OE，∴△ODM是等腰直角三角形，∴DM＝OM，OE＝OD＝DM，设OM＝DM＝x，则OD＝OE＝x，EM＝OE﹣OM＝（﹣1）x，在Rt△DEM中，由勾股定理得：x2+（﹣1）2x2＝22，解得：x2＝2+，∵△ODE的面积＝DE×ON＝OE×DM，∴ON＝＝＝＝+1，即⊙O的半径为：1+；故选：B．10．解：如图，连接OB，OA，作OM⊥AB于点M，则OM＝．∵∠AOB＝＝60°，AO＝OB，∴BO＝AB＝AO，AM＝AB＝AO，OM＝，∴，∴AO＝1，∴BO＝AB＝AO＝1，∴S△AOB＝AB×OM＝×1×＝，∵S扇形AOB＝＝，∴阴影部分面积是：（﹣）×6＝π﹣．故选：A．二．填空题11．解：如图，∵弦BC垂直平分半径OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．故答案为：60°或120°．12．解：在优弧AC上取点E，连接AE，CE，∵∠ABC＝180°﹣∠E，∠ABC＝180°﹣∠CBD，∠CBD＝75°，∴∠E＝∠CBD＝75°．∴∠AOC＝2∠E＝150°，故答案为：150°．13．解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，故答案为：这两个角所对的边相等．14．解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AO＝＝，∵∠AOB＝90°，∴＝2πr，∴r＝．故答案是：．15．解：如图示，作AB⊥OP于P，AP＝BP，在Rt△AOP中，OP＝9，OA＝15，AP＝＝12，∴AB＝24，故过点P的弦的长度在24和30之间，根据圆的对称性可得，二者之间的每个整数值的弦各2条，共10条，所以过点P的弦中长度为整数的弦的条数为10+2＝12条．故答案为12．16．解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝22+（4﹣x）2，∴x＝2.5，∴CP＝2.5；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝2，PM＝4，在Rt△PBM中，PB＝＝2，∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2．综上所述，CP的长为2.5或4﹣2．故答案是：2.5或4﹣2．三．解答题17．证明：如图，连接AD，∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠BAD＝∠CDA，∴AE＝DE，又∵AB＝CD，∴AE＝CE．18．证明：连接AM，BM，由题意得：M是内心，∴AM平分∠CAB，BM平分∠ABC，∴∠CAM＝∠BAM，∠CBM＝∠ABM，∴∠AMB＝180°﹣∠BAM﹣∠ABM，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣∠AMB，△ABC中，∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ACB）＝180°﹣2∠BAM﹣2∠ABM＝180°﹣2（180°﹣∠AMB）＝2∠AMB﹣180°，∵所在圆是个定圆，弦AB和半径都是定值，∴∠AMB为定值，∴∠ACB为定值2∠AMB﹣180°．19．解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴弧AD＝弧BD，∴∠DEB＝∠AOC＝×40°＝20°；（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AC＝BC，即AB＝2AC，在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，则AB＝2AC＝8．20．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上，∵BC＝4，∴BD＝BC＝2，∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2，∴AD＝＝6，设OA＝OB＝r，则OD＝6﹣r．∵在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，即（6﹣r）2+22＝r2．解得r＝，即⊙O的半径为，（2）当⊙P也经过B、C两点，则设PB＝r，P A＝2，则PD＝6﹣2＝4或6+2＝8，BD＝2，∴PB＝＝2或PB＝＝2．所以⊙P的半径的长为2或2．21．解：（1）直线BD和⊙O相切．证明：∵∠AEC＝∠ODB，∠AEC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ODB，∵OD⊥BC，∴∠DBC+∠ODB＝90°，∴∠DBC+∠ABC＝90°，∴∠DBO＝90°，∴直线BD和⊙O相切；（2）∵OD⊥BC，BC＝8，∴BF＝CF＝4，在Rt△CEF中，EF＝＝3，设圆O的半径为r，则OF＝r﹣3，在Rt△OBF中，OB2＝OF2+BF2，即r2＝（r﹣3）2+42，解得，r＝，即圆O的半径为．22．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠C＝180°﹣∠BAD＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DBC＝∠C，∴DB＝DC；（2）解：连接OB、OC，∵∠DBC＝∠C＝75°，∴∠BDC＝30°，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BDC＝60°，∴的长＝＝π．23．解：（1）相切，理由如下：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠CED＝90°．∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．（2）由（1）知∠ADC＝90°，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得AD＝＝4．∵S ACD＝AD•CD＝AC•DE，∴×4×3＝×5DE．∴DE＝．24．解：（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF∵AF是直径∴∠ACF＝90°∴∠F+∠F AC＝90°，∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC∴∠EAC＝∠F∴∠EAC+∠F AC＝90°∴∠EAF＝90°，且AO是半径∴直线AE是⊙O的切线．（2）①如图，连接AO，∵D为AB的中点，OD过圆心，∴OD⊥AB，AD＝BD＝AB＝8，∵AO2＝AD2+DO2，∴AO2＝82+（AO﹣6）2，∴AO＝，∴⊙O的半径为；②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，∵OD⊥AB，AD＝BD∴AC＝BC，且AD＝BD∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB∴点H是△ABC的内心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB∴MH＝NH＝DH在Rt△ACD中，AC＝＝＝BC，∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH，∴×16×6＝×10×MH+×16×DH+×10×NH，∴DH＝，∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH），∴OH＝﹣（6﹣）═5．。

人教版九年级上册数学第24章圆培优训练(含答案)

人教版九年级数学第24章圆培优训练一、选择题1. 如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果∠A=70°，那么∠DOE 的度数为( )A .35°B .38°C .40°D .42°2. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝59°，则∠C 等于( )A ．29°B ．31°C ．59°D ．62°3. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠1＝45°，则∠2等于( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．40°4. 2019·唐山乐亭期末如图，圆锥的底面半径OB ＝6 cm ，高OC ＝8 cm ，则这个圆锥的侧面积是( )A ．30 cm 2B ．60π cm 2C ．30π cm 2D ．48π cm 25. 已知⊙O的面积为9π cm2，若点O 到直线l 的距离为π cm ，则直线l 与⊙O的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定6. 改编如图①所示物体由两个圆锥组成，在从正面看到的形状图中(如图②)，∠A ＝90°，∠ABC ＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为( )A ．2 B. 3C.32D.27. 已知正六边形的半径为r ，则它的边长、边心距、面积分别为( ) A.233r ，r ，3r 2 B ．r ，r2，23r 2 C.33r ，r ，3r 2D ．r ，3r 2，332r 2二、填空题8. 【题目】（2020·营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为．9. 如图，AB 为⊙O的直径，CD ⊥AB.若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD 的距离为________．10.若若若若若若若若若若若若3 cm 若若若若若若若若若若若若120°若若若若若若若若若________cm .11. 如图所示，有一直径是2 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC ，则： (1)AB 的长为________米；(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．12.(2019•河池)如图，PA 、PB 是的切线，A、B 为切点，∠OAB=38°，则∠P=__________．13. （2020·福建）一个扇形的圆心角是90︒，半径为4，则这个扇形的面积为______.（结果保留π）14. (2019•十堰)如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为__________．三、解答题15. 当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接(不能转动)，当杆AB 绕点A 转动90°时，雨刷CD 扫过的面积是图中阴影部分的面积，现量得CD ＝90 cm ，∠DBA ＝20°，AC ＝115 cm ，DA ＝35 cm ，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．O ︒AB 6AB =A 60︒B C16. （2020·临沂）若若1O若若若若1r若2O若若若若2r.若1O若若若若若12r r+若若若若若若若若若若若若12O O若若若P若若若若若1212O O若若若若若若若若若若若若若A若若若1O A若2O A若1O A若1O若若B若若若B若2O A若若若若BC若12O O若若C.若1若若若若BC若2O若若若若若2若若12r=若21r=若126O O=若若若若若若若若若.17. (2019•辽阳)如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．(1)求证：是⊙的切线；(2)若，求阴影部分的面积．BE O A D OAE AD DE A BE C EAC EDA∠=∠AC OCE AE==人教版九年级数学第24章圆培优训练-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]∵∠A=70°，∴∠B+∠C=110°，∴∠BOE+∠COD=220°，∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180°=40°，故选C.2. 【答案】B3. 【答案】C4. 【答案】B5. 【答案】C[解析] 由题意可知，圆的半径为3 cm.∵圆心到直线l的距离为π cm＞圆的半径3 cm，∴直线l与⊙O相离．故选C.6. 【答案】D[解析] ∵∠A＝90°，∠ABC＝105°，∴∠ABD＝45°，∠CBD＝60°，∴△ABD是等腰直角三角形，若CBD是等边三角形．设AB的长为R，则BD的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR，∴l＝2R，∴下面圆锥的侧面积为1 2·2R·2R＝ 2.故选D.7. 【答案】D二、填空题8. 【答案】15【解析】在圆锥中，底面半径r，高h，母线长l满足r2+h2=l2，因为r=3，h=4，可求得l=5（负值舍去）．而圆锥的侧面积公式是S侧=rl，所以上述圆锥侧面积为×3×5=15．9. 【答案】310. 【答案】9若若若若若n若360rl若120若360×3l若若若l若9.11. 【答案】(1)1(2)14 [解析] (1)如图，连接BC.∵∠BAC ＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC ＝ 2. ∵AB ＝AC ，AB2＋AC2＝BC2＝2， ∴AB ＝1(米)．(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米．根据题意，得2πr ＝90·π·1180，解得r ＝14.12. 【答案】76【解析】∵是的切线，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：76．13. 【答案】π4【解析】本题考查了扇形面积的计算，S=2904360π⨯=π4．14. 【答案】【解析】由图可得，图中阴影部分的面积为：，故答案为：．三、解答题15. 【答案】解：由题意可知若ACD ≌△AC′D′，所以可将若AC′D′旋转到若ACD 处，使阴影部PA PB 、O PA PB PA OA =⊥，90PAB PBA OAP ∠=∠∠=︒，90903852PBA PAB OAB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒180525276P ∠=︒-︒-︒=︒6π22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=6π分面积成为一部分环形面积，可通过两扇形面积之差求得，即雨刷CD 扫过的面积S 阴影＝S 扇形ACC′－S 扇形ADD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm2)．答：雨刷扫过的面积为3000π cm2.16. 【答案】证明：（1）连接AP ，过点2O 作直线BC 的垂线，垂足为点M ，如下图：∵线段12O O 的中点是点P ，以1212O O 的长为半径画弧∴121212O P O P AP O O ===∴∠PAO1＝∠PO1A ，∠PAO2＝∠PO2A ，∴∠O1A O2=∠PAO1+∠PAO2＝90°∴△O1A O2是直角三角形∵2O A BC ∴∠O1A O2=∠ABC ＝90°又∵∠O2MB=90°∴四边形ABM O2是平行四边形∴O2M ＝AB= O1A －O1B=2r ∴BC 是2O 的切线；（2）∵12r =，21r =，126O O =， ∴O1A =123r r +=又∵∠O1A O2=90°∴cos ∠A O1 O2=1123162O A O O ==∴∠A O1 O2=60° 在Rt △B O1 C中：1tan602BC BO =⨯==设O1 O2与1O 的交点为点N ，则阴影部分的面积为：11216022==223603BO CBO N S SS ππ⨯-⨯⨯=阴影扇形.【解析】（1）证切线常用的方法有“作垂线证半径”和“作半径证垂直” ，考虑到题目中的已知条件，用“作垂线证半径”更简便一些，为此我们可以过点2O 作直线BC 的垂线，垂足为点M ；同时考虑到∠O1A O2可能是直角，可以连接AP 用等腰三角形的等角对等边和三角形内角和定理进行证明；条件中还给出了平行线，因此可以证明∠ABC ＝90°，则四边形ABM O2是平行四边形，最后证明O2M ＝AB= O1A －O1B=2r ，问题得以解决.MNM（2）求阴影部分的面积，可以根据割补法来求.解决问题的关键是分别求出△BO1C 和扇形BO1N 的面积，根据已知条件，可以先求出O1A =123r r +=，然后根据三角函数求出∠A O1 O2的度数，需要的数据再通过三角函数求出，问题得解.17. 【答案】(1)如图，连接，过作于，∴， ∴， ∵，∴，∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙的切线． (2)∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，OAO OF AE ⊥F 90AFO ∠=︒90EAO AOF ∠+∠=︒OA OE =12EOF AOF AOE ∠=∠=∠12EDA AOE ∠=∠EDA AOF ∠=∠EAC EDA ∠=∠EAC AOF ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒EAC EAO CAO ∠+∠=∠90CAO ∠=︒OA AC ⊥ACO CE AE ==C EAC ∠=∠EAC C AEO ∠+∠=∠2AEO EAC ∠=∠OA OE =AEO EAO ∠=∠∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，∴，在中，， ∴， ∴阴影部分的面积．2EAO EAC ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒30EAC ∠=︒60EAO ∠=︒OAE △OA AE =60EOA ∠=︒OA=2πAOE S =扇形Rt OAE△sin 3OF OA EAO =⋅∠==11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△=2π-。

2020年秋人教版九年级上册第24章《圆》培优练习卷含答案

2020年人教版九年级上册第24章《圆》培优练习卷一．选择题1．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定（）A．与x轴和y轴都相交B．与x轴和y轴都相切C．与x轴相交、与y轴相切D．与x轴相切、与y轴相交2．若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（）A．B．C．D．以上答案均不正确3．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OA i B i∁i D i E i，则正六边形OA i B i∁i D i E i（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣2）D．（2，1）4．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE ＝BF，，OE＝1，则BC的长为（）A．2B．3C．4D．55．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD+CD的值为（）A．3B．2C．+1D．不能确定6．如图，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接P A，PB，则△P AB面积的最小值是（）A．5B．10C．15D．207．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN＝2，AB＝a，则△P AB周长的最小值是（）A．2+a B．+a C．1+a D．2+a8．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（）A．B．C．2D．二．填空题9．已知⊙O1与⊙O2的半径是方程3（x﹣2）＝x（x﹣2）的两根，那么当⊙O1与⊙O2相切时，圆心距O1O2的值是．10．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长．11．如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为4cm，分别以OA、OB为直径画圆，则图中阴影部分的面积为．12．如图，AC＝1，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°，且AC⊥弦BC．若点P在弧BC上，点E、F分别在AB、AC上．则PE+EF+FP的最小值为．13．如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB ＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为．14．在⊙O中，AB是直径，AB＝4，C是圆上除A、B外的一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是．三．解答题15．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，⊙O过点D，与AB相切于点A，与CD相交于点E，且AB＝DE．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为5，求四边形ABCD的面积．16．如图，AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD ＝30°．（1）求证：DP是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．17．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB 的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．18．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．19．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．20．如图，AB是⊙O的直径，弦BC、DE的延长线交于点F，AB⊥DE于H，连接BE、CE．（1）求证：∠BEC＝∠F．（2）连OE，若OE∥BC，CE＝13，DE＝24，求⊙O的半径．参考答案一．选择题1．解：∵点（3，4），∴点到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，∴在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定与x轴相切，与y 轴相交，故选：D．2．解：设△DOA的内切圆半径为r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长为L，则S△AOB＝L•3＝L，S△BOC＝L•4＝2L，S△COD＝L•6＝3L，S△DOA＝Lr，∵S△AOB•S△COD＝S△COD•S△DOA，∴L•3L＝2L•Lr，∴r＝．3．解：由题意旋转8次应该循环，∵2020÷8＝252…4，∴∁i的坐标与C4的坐标相同，∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，∴C4（1，﹣），∴顶点∁i的坐标是（1，﹣），故选：A．4．解：如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．∵AB⊥CD，∴＝，∵＝，∴＝，∴OC⊥AF，∴∠AJO＝∠CEO＝90°，∵∠AOJ＝∠COE，OA＝OC，∴△AJO≌△CEO（AAS），∴AE＝CJ，∵AB是直径，∴∠F＝∠CJT＝90°，∵AE＝BF，∴BF＝CJ，∵∠CTJ＝∠BTF，∴△CTJ≌△BTF（AAS），∴CT＝BT，∵TH⊥AB，CD⊥AB，∴TH∥CE，∴EH＝BH，∵＝，∴∠TBF＝∠TBH，∵∠F＝∠THB＝90°，BT＝BT，∴△BTF≌△BTH（AAS），∴BF＝BH，∵AE＝BF，∴AE＝BH，∵OA＝OB，∴OE＝OH＝1，∴EH＝BH＝2，∴AE＝BH＝2，∴AB＝6，OC＝OB＝3，∴EC＝＝＝2，∴BC＝＝＝2，故选：A．5．解：如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDE＝∠BDF，∵∠DEB＝∠DFB＝90°，DB＝DB，∴△BDE≌△BDF（AAS），∴BE＝BF，DE＝DF，∵∠AEB＝∠F＝90°，BA＝BC，BE＝BF，∴Rt△BEA≌Rt△BFC（HL），∴AE＝CF，∴AD+DC＝DE+AE+DF﹣CF＝2DF，∵∠BDF＝∠BAC＝30°，BD＝，∴BF＝BD＝，∴DF＝＝＝，∴DA+DC＝3，故选：A．6．解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．∵C（1，0），直线AB的解析式为y＝x+3，∴直线CH的解析式为y＝﹣x+，由解得，∴H（﹣，），∴CH＝＝3，∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，∴EH＝3﹣1＝2，当点P与E重合时，△P AB的面积最小，最小值＝×5×2＝5，故选：A．7．解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，P A，AA′，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，P A＝P A′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝，∴A′B＝2．∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B＝2，∴△P AB周长的最小值是2+a，故选：D．8．解：设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a．∵BC、CD、MN是切线，∴BE＝CE＝CF＝DF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，在Rt△CMN中，∵MN＝x+y，CN＝a﹣y，CM＝a﹣x，∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2，∴ax+ay+xy＝a2，∵S△AMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△CMN﹣S△ADN＝4，∴4a2﹣×2a×（a+x）﹣（a﹣x）（a﹣y）﹣×2a×（a+y）＝4，∴a2﹣（ax+ay+xy）＝4，∴a2＝4，∴a＝2或﹣2（负值舍去），∴AB＝2a＝4，∴⊙O的半径为2．故选：C．二．填空题9．解：3（x﹣2）﹣x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3﹣x）＝0，所以x1＝2，x2＝3，即⊙O1与⊙O2的半径分别为2、3，所以当⊙O1与⊙O2相切时，圆心距O1O2的值是2+3＝5或3﹣2＝1．故答案为1或5．10．解：连接BM，则AB＝BE＝BM，设BM＝R，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝BE，∠B＝∠BCD＝90°，∵DM＝VE，∴CM＝BC，∵的长为2π，∴＝2π，解得：R＝4，即BM＝BE＝CD＝AB＝4，在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC2+CM2＝BM2，BC＝CM＝2，∴CE＝4﹣2，故答案为：4﹣2．11．解：如图，连接AB，OC，过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，∵OB＝OA，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵OA是直径，∴∠ACO＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∵CE⊥OA，∴OE＝AE，OC＝AC，∴Rt△OCE≌Rt△ACE（HL），∵S扇形OEC＝S扇形AEC，∴与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，同理可得，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦BC所围成的弓形面积，∴S阴影＝S△AOB＝×4×4＝8（cm2）．故答案为8cm2．12．解：连接AP，O，OA．分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF．∴AM＝AP＝AN，∵∠MAB＝∠P AB，∠NAC＝∠P AC，∵∠BAC＝∠P AB+∠P AC＝∠MAB+∠NAC＝60°，∴∠MAN＝120°∴M、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上，设AP＝r，易求得：MN＝r，∵PE＝ME，PF＝FN，∴PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝r，∴当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值∵AP+OP≥OA，∴AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值，在Rt△ABC中，∵AC＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝，作OH⊥AC交AC的延长线于H．在Rt△OCH中，∵OC＝，∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝，CH＝OH＝，在Rt△AOH中，AO＝＝＝，此时AP＝r＝﹣，∴PE+EF+PF的最小值为﹣3，故答案为﹣3．13．解：如图，连接OA．∵P A，PB是⊙O的切线，∴∠OPB＝∠OP A＝∠APB＝35°，P A⊥OA，∴∠OAP＝90°，∴∠POA＝90°﹣35°＝55°，∵OQ∥PB，∴∠POQ＝180°﹣∠OPB＝145°，∴AOQ＝360°﹣145°﹣55°＝160°，∵OQ＝OA，∴∠OQA＝∠OAQ＝（180°﹣∠AOQ）＝10°，故答案为10°．14．解：如图，连接OD，OE，OC，OM．∵＝，＝，∴∠AOD＝∠DOC，∠EOC＝∠EOB，∵AB是直径，∴∠AOB＝180°，∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，∵OD＝OE＝2，∴DE＝2，∵DM＝ME，∴OM＝DE＝，∵OC＝2，∴2﹣≤CM，当C，A重合时，CM的值最大，最大值为，∵C是圆上除A、B外的一点，故答案为2﹣≤CM＜．三．解答题15．解：（1）连接AE，∵∠D＝90°，∴AE是⊙O的直径，过O作OF⊥BC于F，∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝90°，∴∠OAB＝∠B＝∠OFB＝90°，∴四边形ABFO是矩形，∴AB＝OF，∵∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，∴∠DAB＝120°，∴∠DAE＝30°，∴DE＝AE＝AO，∵AB＝DE，∴OF＝OA，∴BC与⊙O相切；（2）由（1）知，AB＝AO＝5，AE＝10，过E作EH⊥BC于H，则BH＝AE＝10，EH＝AB＝5，∵∠C＝60°，∴CH＝EH＝，∴BC＝10+，在Rt△ADE中，∵DE＝AB＝5，∴AD＝DE＝5，∴四边形ABCD的面积＝+（10+10+）×5＝50+．16．（1）证明：连接OD∵∠ACD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴∠BOD＝60°，∵∠APD＝30°，∴∠ODP＝90°，即PD⊥OD，∴PD是⊙O的切线；（2）解：∵在Rt△POD中，OD＝3cm，∠APD＝30°，∴PD＝3，∴图中阴影部分的面积＝×3×3﹣×π×32＝﹣π．17．（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（SAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF＝＝＝，∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．18．解：（1）∵⊙C经过坐标原点，∴∠AOB＝90°，∴AB是⊙C的直径．（2）∵四边形AOMB是圆内接四边形，∠BMO＝120°，根据圆内接四边形的对角互补得到∠OAB＝60°，∴∠ABO＝30°，∵点A的坐标为（0，4），∴OA＝4，∴AB＝2OA＝8，⊙C的半径AC＝＝4；∵C在第二象限，∴C点横坐标小于0，设C点坐标为（x，y），由半径AC＝OC＝4，即＝，则＝＝4，解得，y＝2，x＝﹣2或x＝2（舍去），故⊙C的半径为4、圆心C的坐标分别为（﹣2，2）．19．（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝BAD，在△ANE与△ADE中，∵，∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN；（2）解：∵AB＝4，AE⊥CD，∴AE＝2，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，∴r＝2x﹣1＝3．20．（1）证明如图，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AB⊥DE，∴∠BHF＝90°，∴∠F+∠ABC＝90°，∠ABC＝90°，∴∠F＝∠BAC，∵∠BEC＝∠BAC，∴∠BEC＝∠F．（2）解：连接AE，OE，设OA＝OE＝r．∵OE∥BC，∴∠OEB＝∠EBC，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OBE＝∠EBC，∴＝，∴AE＝EC＝13，∵AB⊥DE，∴DH＝EH＝12，AH＝＝＝5，在Rt△OEH中，∵OE2＝OH2+EH2，∴r2＝122+（r﹣5）2，∴r＝，∴⊙O的半径为．。

人教版九年级数学上册第24章圆章末同步培优、能力提升练习卷(含答案)

人教版九年级数学上册第24章圆章末同步培优、能力提升练习卷(含答案)一、选择题1．若P 为半径长是6cm 的⊙O 内一点，OP ＝2cm ，则过P 点的最短的弦长为( )． A ．12cmB ．cm 22C ．cm 24D ．cm 282．四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，若∠ADC ＝120°，则∠ACB 等于( )． A ．30°B ．40°C ．60°D ．80°3．若⊙O 的半径长是4cm ，圆外一点A 与⊙O 上各点的最远距离是12cm ，则自A 点所引⊙O 的切线长为( )． A ．16cmB ．cm 34C ．cm 24D ．cm 644．⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ．若AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为( )． A ．2cmB ．14cmC ．2cm 或14cmD ．2cm 或10cm5．⊙O 中，∠AOB ＝100°，若C 是上一点，则∠ACB 等于( )． A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°6．三角形的外心是( )． A ．三条中线的交点B ．三个内角的角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条高的交点7．如图，A 是半径为2的⊙O 外的一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦BC ∥OA ，则的长为( )．7题图A ．π32B ．π38C ．πD ．3π328．如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿，，，路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是( )．8题图A ．甲先到B 点B ．乙先到B 点C ．甲、乙同时到B 点D ．无法确定9．如图，同心圆半径分别为2和1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积为( )．9题图A ．πB ．π34C ．2πD ．4π10．某工件形状如图所示，圆弧的度数为60°，AB ＝6cm ，点B 到点C 的距离等于AB ，∠BAC＝30°，则工件的面积等于( )．10题图A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π11．如图，⊙O 1的弦AB 是⊙O 2的切线，且AB ∥O 1O 2，如果AB ＝12cm ，那么阴影部分的面积为( )．11题图A ．36πcm 2B ．12πcm 2C ．8πcm 2D ．6πcm 2二、填空题12．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC ＝60°，则∠B ＝______．12题图13．如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B ，C 两点恰好落在扇形AEF 的弧上时，的长度等于______．13题图14．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为________．14题图15．若圆锥的底面半径是2cm ，母线长是4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2． 16．如图，在△ABC 中，AB ＝2，,2 AC 以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则∠BAC 的度数是______．16题图17．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则以直线AB为轴旋转一周所得的几何体的表面积为______．18．已知半径为2cm的两圆外切，半径为4cm且和这两个圆都相切的圆共有______个．三、解答题19．已知：如图，P是△ABC的内心，过P点作△ABC的外接圆的弦AE，交BC于D点．求证：BE ＝PE．20．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径．求证：∠BAM＝∠CAP．21．如图，⊙O中，＝，点C在上，BH⊥AC于H．求证：AH＝DC＋CH．22．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB＝AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．23．已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于C点，AB＝12cm．求两个圆之间的圆环面积．24.如图，以的边为直径作交斜边于点，连接并延长交的延长线于点，点为的中点，连接．判断与的位置关系并说明理由；若的半径为，∠，求的长．25.现有一块块直径为的圆形铁片，若它做成一个有盖的油桶，并尽可能的用好这块铁片，工人师傅在圆形铁片上截取两个圆（即两底）和一个矩形（侧面），如图．若把作为油桶的高时，则油桶的底面半径等于多少？当把作为油桶的高时，油桶的底面半径与中的相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，请求出．参考答案1．D ． 2．A ． 3．B ． 4．C ． 5．D ． 6．C ． 7．A ． 8．C ． 9．C ． 10．B ． 11．A ．12．30°． 13．cm.3π14．cm.32 15．8πcm ．16．105°． 17．πcm.58418．五．19．提示：连结BP ． 20．提示：连结BM ．21．提示：延长CH 到E ，使CE ＝CD ，连结BE ，证：△ABH ≌△EBH ． 22．cm 64或cm.3423．36cm 2．提示：连结OC、OA．24.解：根据题意，得，即，∴．与中的不相等．连接、．根据题意，得，，∴，即．24.证明：连接，，∵为直径，且，∴，又∵，∴，∴，∴∠∠，∴．25.解：如图①，连接，即为所求角平分线；如图②，连接并延长，与交于点，连接，即为所求角平分线∵是直径，∴半圆半圆又∵，∴，∴，∴∠∠，即平分∠．。

人教版2020-2021学年九年级数学上册第24章圆训练巩固练习

人教版2020-2021学年九年级数学上册第24章圆训练巩固练习一、选择题1.已知两圆的半径分别为8和5，圆心距为5，那么这两圆的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离 2.已知⊙O 中最长的弦为8cm ，则⊙O 的半径为( )cm ．A ．2B ．4C ．8D ．163.如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A ．130°B ．100°C ．50°D ．65°4.如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ＝OB ，⊙O 的直径为8，AB ＝10，则OA 的长为（）A ．3B ．6C ．39D ．415.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，已知50ABO ∠=°，则ACB ∠的大小为（）A ．40°B ．30°C ．45°D ．50°6.如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ；若∠A ＝23°，则∠D 的度数是( )A．23°B．44°C．46°D．57°7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则扇形AEF的面积为（）A．B．C．D．8.如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．169.如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5º，AB＝2，则半径OB等（）A ．1B ．22C ．2D ．210.图，在ABC 的外接圆上，,,AB BC CA 所对的圆心角的度数比为12:13:11．在BC 上取一点D ，过D 分别作直线,AC AB 的平行线，交BC 于,E F 两点，则EDF ∠的度数为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°11.如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是（）A ．π-1B ．π-2C ．12π-1D ．12π-2 12.如图，ABC ∆是等腰三角形，3AC BC ==，以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC 、BC 相切于点D 、E ，于AB 分别相交于点G 、H ，且DG 的延长线与CB 的延长线交于点F ，分析下列四个结论：①3HG =；②BG BF =；③32322AH BG ==-．其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个二、填空题 13.若四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A＝120°，则∠C 的度数是___．14.若圆的半径为6cm ，圆中一条弦长为63cm ，则此弦中点到此弦所对弧的中点的距离为_______cm . 15.已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为．16.如图所示，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若60APB ∠，⊙O 的半径为3，则阴影部分的面积为_______.17.赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约10米，则桥弧AB 所在圆的直径＝米．18.如图，四边形ABCD 是菱形，∠B =60°，AB =1，扇形AEF 的半径为1，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是______．APB O19.如图，把一个直角三角形ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=A运动到点A″的位置时，线段AB扫过的图形面积是__．20.如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠BOE＝54°，则∠C＝．三、解答题21.如图，在⊙ABC中，AB=AC，∠ABC= 30︒，点O在边BC上，⊙O经过点A，且与BC 相交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB=22.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC．D是的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．（1）求证：BC＝2DE；（2）若AC＝6，AB＝10，求DF的长．23.如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.（1）求BC的长；（2）求弦BD的长.24.如图，已知直线：333y x=+与直角坐标系xOy的x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为x轴正半轴上一点，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于B点，交x轴于C、D 两点，与y轴交于另一点E.求圆心M的坐标；25.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD⊥CE 于点D，AC 平分∠DAB．（1）求证：直线CE 是⊙O 的切线；（2）若AB＝10，CD＝4，求BC 的长．26.如图,，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。

人教版数学九年级上册第24章《圆》培优测试卷

人教版数学九年级上册第24章《圆》培优测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定2．如图，平面上⊙O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若⊙O的半径为2cm，且O 点到其中一条直线的距离为2.2cm，则这条直线是（）A．L l B．L2C．L3D．L43．半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（）A．4πB．5πC．6πD．8π4．如图，点A、B、C、P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（）A．70°B．60°C．40°D．35°5．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．206．下列结论中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B ．相等的圆心角所对的弧相等C ．平分弦的直径垂直于弦D ．圆是中心对称图形7．如图，⊙O 的半径为2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连结OB ，OC ，若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（）A B ．C ． D ．48．若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =55°，则∠BCD 的度数为（）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°9．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连结AC ，EB ，CH ，则EH 的长为（）A ．B ．18C ．D ．1210．如图，⊙O 的直径AB =2，C 是弧AB 的中点，AE ，BE 分别平分∠BAC 和∠ABC ，以E 为圆心，AE 为半径作扇形EAB ，π取3，则阴影部分的面积为（）A ﹣4B ．﹣4C ．6﹣54D二、填空题11．△ABC为半径为5的⊙O的内接三角形，若弦BC=8，AB=AC，则点A到BC的距离为_____．12．点A到⊙O的最小距离为1，最大距离为3，则⊙O的半径长为_____．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为_____．14．如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，AE DE、的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为．15．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，使得AC=AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，则AE=_____．16．如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为_____．三、解答题17．已知直线l与⊙O相交于点E、F，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．18．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，求弦DC的长．19．已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．（1）仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：①，②，③，（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；（2）若∠A=30°，CD=2，求⊙O的半径r．20．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA＝DF＝（结果保留根号和π）21．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图当PQ∥AB时，求PQ的长；（2）当点P在BC上移动时，线段PQ长的最大值为______；此时，∠POQ的度数为______．22．如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE 的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：∠BAD=∠PCB；（2）求证：BG∥CD；（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB，∠COD=23°，求∠P的度数．参考答案1．A【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【详解】解：∴⊙O 的半径为4cm ，如果圆心O 到直线l 的距离为3.5cm ，∴3.5＜4，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交，故选A ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．2．C【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r ，则直线和圆相切；当d<r ，则直线和圆相交；当d>r ，则直线和圆相离，进行分析判断．【详解】因为圆心O 点到所求直线的距离2.2cm>半径2cm ，所以此直线和圆相离,即为直线l 3.故选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟记圆心到直线的距离与半径关系是正确解答此题关键. 3．A【分析】直接利用扇形弧长公式l=180n r π ，r=6，n=120代入就可以求出弧长．【详解】弧长l=120?6180=4π. 故选A.【点睛】本题考查弧长的计算，熟记公式是解答关键，注意与扇形面积公式的区别.4．A【解析】【分析】题目所求是∠P，观察分析图可知∠AOB和∠P分别是弧AB所对的圆心角和圆周角；根据圆周角定理有：一条弧所对的圆心角是圆周角的两倍；由于∠CDO和∠CEO都为90°，∠DCE已知，则易求∠DOE也就是∠AOB的度数；求出∠AOB的度数后，由圆周角定理就容易求出∠P的度数了.【详解】∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°.又∵∠DCE=40°，∴∠AOB=∠DOE=360°-90°-90°-40°=140°.由圆周角定理可知：∠P=12∠AOB=70°.∴选A【点睛】本题考查圆周角定理，熟记定理、找对同弧所对的圆心角和圆周角是解答关键.5．D【分析】连接OC，由垂径定理可知，点E为CD的中点，且OE⊥CD，在Rt△OEC中，根据勾股定理，即可得出OC，从而得出直径．【详解】连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴CE=12CD=8，∵OE=6．在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC2=OE2+EC2，即OC2=62+82解得：OC=10∴直径AB=2OC=20．故选D．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.6．D【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧；故A错误；B. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故B错误；C. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；故C错误；D. 圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心，故D正确；故选D.【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理及其推论，中心对称图形等知识，熟练掌握有关性质是解答关键.7．B【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【详解】过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A,∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12(180°−∠BOC)=30°，∵⊙O的半径为2，∴BD=OB·cos∠∴故答案为【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理.熟练掌握定理是解答关键. 8．B【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠A 的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．【详解】连结AD ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=55°， ∴∠A=90°−55°=35°， ∴∠BCD=∠A=35°.故答案为35°.【点睛】本题考查圆周角定理，找对同弧所对的圆周角是解题关键.9．B【分析】直接利用等边三角形、直角三角形的性质进而得出CO ，HO 的长即可得出EH 的长．【详解】解:连接 CO ，∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC=60° ， OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，此时 AC ⊥BE ，∵ ，∴∠OCH=30°，∴cos30°= HC CO 解得： CO=12 ，故 OH=6 ，则 EO=OC=12 ， HO=6 ，故 EH=EO+OH=12+6=18.故选B.【点睛】本题考查正多边形和圆，熟练掌握正六边形性质是解答关键. 10．A【解析】∵O的直径AB=2，∴∠C=90°，∵C是弧AB的中点，∴AC BC，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB=∠EBA=22.5°，∴∠AEB=180°−12(∠BAC+∠CBA)=135°，连接EO，∵∠EAB=∠EBA，∴EA=EB，∵OA=OB，∴EO⊥AB，∴EO为Rt△ABC内切圆半径，∴S△ABC=12(AB+AC+BC)⋅EO=12AC⋅BC，∴−1，∴AE 2=AO 2+EO 2=12−1)2，∴扇形EAB 的面积△ABE 的面积=12AB ⋅−1，∴弓形AB 的面积=扇形EAB 的面积−△ABE 的面积，∴阴影部分的面积=12O 的面积−弓形AB 的面积=32−(224-，故选：A.11．8或2【分析】分两种情况考虑：当三角形ABC 为锐角三角形时，过点A 作AH 垂直于BC ，根据题意得到AH 过圆心O ，连接OB ，在直角三角形OBH 中，由OB 与BH 长，利用勾股定理求出OH 的长，进而可求出AH 的长；当三角形ABC 为钝角三角形时，同理求出AH 的长即可；【详解】作AH ⊥BC 于H ，连结OB ，如图，∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=4，AH 必过圆心，即点O 在AH 上，在Rt △OBH 中，OB=5，BH=4，∴=3，当点O 在△ABC 内部，如图1，AH=AO+OH=5+3=8，当点O 在△ABC 内部，如图2，AH=AO ﹣OH=5﹣3=2，∴综上所述，点A 到BC 的距离为8或2，故答案为8或2．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理及其推论，熟练掌握三角形的外接圆的性质和垂径定理是解答关键，还要注意分类讨论.12．1或2【分析】分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．【详解】点在圆内，圆的直径为1+3=4，圆的半径为2；点在圆外，圆的直径为3−1=2，圆的半径为1，故答案为1或2.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外.13．33°【详解】过点E 作EF ⊥BD 于点F ，连接AD ，∵点E 在BD 的垂直平分线上，∴BE =ED ,直线EF 必过圆心，EF //AD ，∵24,ABC ∠=∴66,BOF AOE BAD ∠=∠=∠= ∴18066572BAE ，-∠== 90ADB ∠=，∴180180576657,DAC BAE BAD ∠=-∠-∠=--=∴180180579033.C DAC ADC ∠=-∠-∠=--=故答案为33.【点睛】属于圆的综合题，考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，垂径定理，比较基础.14．32 a．【分析】作DE的中垂线交CD于G，则G为DE的圆心，H为AE的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得GE=FG=54a，根据四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，即可得到Rt△OEG中，OE=34a，即可得到EF=32a．【详解】如图，作DE的中垂线交CD于G，则G为DE的圆心，同理可得，H为AE的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，设GE=GD=x，则CG=2a-x，CE=a，Rt△CEG中，（2a-x）2+a2=x2，解得x=54 a，∴GE=FG=54 a，同理可得，EH=FH=54 a，∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，∴GO=12BC=a，∴Rt△OEG中，34a =，∴EF=32 a，故答案为32 a．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．15 1【分析】连接AD，则根据已知可证△CDE∽△CAD，△CDE∽△CAD，∴CD：CA=CE：CD，即CD2=CA•CE，再利用已知条件AB=AC=2，利用勾股定理得OC的长，从而求得EC，再求AE=AC-EC. 【详解】连接AD，如图，∵AC为切线，∴AB⊥AC，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠DAC+∠DAB=90°，∠DAB+∠B=90°，∴∠DAC=∠B，∵∠B=∠ODB=∠EDC，∴∠DAC=∠EDC，而∠DCE=∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴CD：CA=CE：CD，即CD2=CA•CE，在Rt△AOC中，∴1，∵AC=AB=2∴2CE=1）2，解得CE=3∴AE=AC﹣CE=2﹣（31．1．【点睛】本题考查切线性质，相似三角形对应边成比例，两角分别相等的两个三角形相似，等腰三角形的性质.16．2 3π【分析】连接AF、DF，根据圆的性质：同圆或等圆的半径相等判断出△ADF是等边三角形，再根据正方形和等边三角形的性质求出∠BAF=30°，同理可得弧DE的圆心角是30°，然后求出弧EF的圆心角是30°，再根据弧长公式求出弧EF的长，然后根据对称性，图中阴影部分的外围四条弧都相等列式计算即可得解．【详解】如图，连接AF、DF，由圆的定义，AD=AF=DF，所以，△ADF是等边三角形，∵∠BAD=90°∠FAD=60°，∴∠BAF=90°−60°=30°，同理,弧DE的圆心角是30°，∴弧EF的圆心角是90°−30°×2=30°，∴弧EF的长=301180π⨯=6π，由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，所以,图中阴影部分的外围周长=6 ×4=23π. 【点睛】本题考查弧长的计算，正方形的性质，熟记弧长计算公式是解答关键17．18°【分析】连接BE ，根据圆周角定理可知∠AEB=90°，再由直角三角函数的性质得出∠AED 的度数，根据余角的定义即可得出结论．【详解】解：连接BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°， ∴∠AED +∠BEF =90°， ∵∠AED +∠DAE =90°， ∴∠BEF =∠DAE =18°， ∵=，∴∠BAF =∠BEF =18°．【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握定理是解答关键．18．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAD=∠BCD=90°；然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆周角相等，求出∠CBD=∠CAD=30°；根据圆内接四边形对角互补，求出∠BDC=60°；再根据等弦所对的圆周角相等，求出∠ADB=∠ADC ，从而求出∠ADB=30°；解直角三角形求出BD ；再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．【详解】解：∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =∠BCD =90°， ∵∠BAC =120°， ∴∠CAD =120°﹣90°=30°， ∴∠CBD =∠CAD =30°，又∵∠BAC =120°， ∴∠BDC =180°﹣∠BAC =180°﹣120°=60°， ∵AB =AC ，∴∠ADB =∠ADC ，∴∠ADB =∠BDC =12×60°=30°，在Rt △ABD 中，AB ×，BD =2AB在Rt △BCD 中，CD =12BD ．【点睛】本题考查圆周角定理，含30°角的直角三角形性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系．19．（1）结论：DF =FE ，BD =BE ，△BDF ≌△BEF ，∠A =∠E 等；（2）【分析】（1）结论可以有：①DF =FE ，BD =BE ，②△BDF ≌△BEF ，③∠A =∠E ，∠BDF=∠BEF ④BC ⊥AB ，AD ⊥BD ，DE ∥BC 等；由BC 是 O 的切线，DF ⊥AB ，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE ∥BC 和垂径定理知，弧BD=弧BE ，DF=FE ，BD=BE ，由等边对等角得∠E=∠EDB ；再由圆周角定理得∠A=∠E ，可证△BDF ≌△BEF ，△BDF ∽△BAD ；等．（2）当∠A=30°时，BD=12AB=r ，∠C=60°，再根据Rt △BCD 中，tan60°可求得．【详解】解：（1）结论：DF =FE ，BD =BE ，△BDF ≌△BEF ，∠A =∠E 等；理由：∵AB 是直径，DE ⊥AB ，∴DF=EF，弧BD=弧BE，∴BD=BE，∴Rt△BDF≌Rt△BEF（HL），根据圆周角定理可知：∠A=∠E．故答案为DF=EF，BD=BE，Rt△BDF≌Rt△BEF；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠A=30°，∴BD=ABsinA=ABsin30°=12AB=r；又∵BC是⊙O的切线，∴∠CBA=90°，∴∠C=60°；在Rt△BCD中，CD=2，∴BDCD=tan60°，∴r．【点睛】切线的性质, 直角三角形全等的判定, 圆周角定理.20．（1）证明见解析（2）2﹣6π【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD，求出答案．【详解】（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）解：连接OC与CD，∵DA＝DF，∴∠BAD＝∠F，∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°，∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∵OD⊥EF，∠F＝30°，∴∠DOF＝60°，在Rt△ODF中，DF＝∴OD＝DF•tan30°＝6，在Rt△AED中，DA＝，∠CAD＝30°，∴DE＝DA•sin30°＝EA＝DA•cos30°＝9，∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°，由CO＝DO，∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝60°，∴∠DCO ＝∠AOC ＝60°，∴CD ∥AB ，故S △ACD ＝S △COD ，∴S 阴影＝S △AED ﹣S 扇形COD ＝2160962360π⨯⨯⨯6π-．【点睛】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S △ACD ＝S △COD 是解题关键．21．（1；（260° 【分析】连结OQ ，如图1，由PQ ∥AB ，OP ⊥PQ 得到OP ⊥AB ，在Rt △OBP 中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°，然后在Rt △OPQ 中利用勾股定理可计算出；（2）连结OQ ，如图2，在Rt △OPQ 中，根据勾股定理得到PQ= PQ ，则当OP 的长最小时，PQ 的长最大，根据垂线段最短得到OP ⊥BC ，则OP=12OB=32，所以PQ 长的最大值【详解】解：（1）解：（1）连结OQ ，如图1，∵PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ，∴OP ⊥AB ，在Rt △OBP 中，∵tan ∠B =OP OB，∴OP =3tan 30°在Rt△OPQ中，∵OPOQ=3，∴PQ；（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，PQ，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP=12OB=32，∴PQ2,在Rt△QPO中，tan∠POQ=PQOP=232则∠POQ=60°，故答案为2，60°．【点睛】本题考查勾股定理, 解直角三角形．解答本题关键是熟练掌握并能综合运用圆周角定理, 勾股定理, 解直角三角形.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）97°【分析】（1）根据邻补角定义和圆内接四边形对角互补、等边对等角即可证出结论.（2）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由圆内接四边形的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；（3）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，最后由PC=PB，得出∠P=180°﹣2×（832）°=97°．【详解】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB；（2）证明：由（1）得∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∵∠ABC=90°，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB DH，∴tan ∠ACB =AB BC ∴∠ACB =60°，连接OD ，∵∠COD =23°，OD =OC ， ∴∠OCD =12（180°﹣23°）=（1572）°， ∴∠PCB =180°﹣∠ACB ﹣∠OCD =（832）°， ∵PC =PB ，∴∠P =180°﹣2×（832）°=97°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，平行四边形的判定，三角函数．综合运用知识的能力是解答关键.。

人教版数学九年级上册培优测试题：第24章《圆》

人教版数学九年级上册培优测试题：第24章《圆》学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．⊙O中，弧AB的长度为弧MN的2倍，则下列关于弦的结论正确的是（）A．AB＞2MN B．AB=2MNC．AB＜2MN D．AB与2MN的大小不能确定2．已知：如图，O为⊙O的圆心，点D在⊙O上，若∠AOC＝110°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．110°C．125°D．72.5°3．如图所示，AB为⊙O的直径，P点为其半圆上一点，∠POA=40°，C为另一半圆上任意一点（不含A、B），则∠PCB的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（）A．60°B．55°C．50°D．45°5．如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAC=25°，则∠ADB的度数为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°6．如图，在⊙O 中，∠OAB=45°，圆心O 到弦AB 的距离OE=2cm ，则弦AB 的长为（）A ．2 cmB ．3 cmC ．4D ．4 cm7．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为AB 的中点，若AB=2，则图中阴影部分的面积是（）A ．2πB ．122π+C ．4πD ．124π+ 8．如图，ΔABC 中，AB =AC ，∠A =40O ，延长AC 到D ，使CD =BC ，点P 是ΔABD 的内心，则∠BPC =（）A ．105°B ．110°C ．130°D ．145°9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（）A ．133B ．92CD ．10．如图，AC ⊥BC ，AC=BC=4，以AC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ，过点O 作BC 的平行线交两弧于点D 、E ，则阴影部分的面积是（）A ．53π-B ．543π-C ．3π-D ．3π﹣4二、填空题 11．如图，⊙O 的直径垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A=15°，半径为2，则CD 的长为__．12．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB ，则PA 的长为_____．13．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB （阴影部分）的面积为_____．14．已知⊙O 的半径为7cm ，直线l 1∥l 2，且l 1与⊙O 相切，圆心O 到l 2的距高为8cm ，则l 1与l 2的距离为____cm ．15．一个扇形的面积是125πcm，半径是3cm，则此扇形的弧长是_____．16．如图，在扇形MON中，圆心角∠MON=60°，边长为2的菱形OABC的顶点A，C，B 分别在ON，OM和MN上，且ND∥AB，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积是_____．三、解答题17．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米，（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，求它的跨度A′B′．18．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C，与AB 的延长线交于点D，DE⊥AD 且与AC 的延长线交于点E．（1）求证：DC=DE；（2）若AD=2ED，AB=3，求BD的长．19．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．(1)求证：BD平分∠ABC；(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．22．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）23．在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别是（﹣1，0）和（2，0），以OC为直径作圆⊙P，AB切⊙P于点B，交y轴于点E．点M是劣弧BO上一动点，CM交BP于点N，BM交x轴于点D．（1）求点E的坐标；（2）当点M在弧BO上运动时，PD﹣PN的值是否变化？为什么？参考答案1．C【解析】【分析】取AB的中点C,连接AC,BC,根据已知条件得到AC BC MN==,得到AC=BC=MN, 根据三角形的三边关系即可得到结论.【详解】解:如图,取AB的中点C,连接AC,BC,∴12AC BC AB==,12MN AB=,∴AC BC MN==,∴AC=BC=MN,在△ABC中有，AB<AC+BC，∴AB<2MN所以C选项是正确的.【点睛】本体主要考查同圆过等圆中相等的圆弧则所对的弦也相等. 2．C【解析】如图，在优弧AC上取点B，连接AB，CB，∵∠AOC=110°，∴∠ADC=12∠AOC=55°，∴∠ADC=180°−∠ADC=125°.故选C.3．C【解析】【分析】根据平角定义,得∠BOP= o 180-∠AOP= o 140,再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,得∠PCB=12∠POB=o 70. 【详解】解:∠POA=40°，∴∠BOP= o 180-∠AOP= o 140 ∴∠PCB=12∠POB=o 70，故选C.【点睛】本题主要考查圆周角定理,明确圆周角所对的弧所对的圆心角.4．C【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数, 再由圆周角定理得出∠DCE 的度数,根据三角形外角的性质即可得出结论.【详解】解:四边形ABCD 内接于⊙O,∠ABC=110°, ∴∠ADC=180o - ∠ABC=o o o 180-110=70，=DF BC , ∠BAC=o 20,∴∠DCE=∠BAC=o 20,∴∠E=∠ADC - ∠DCE=o 7070 - o 20=o 50.故选C.【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及圆心角、弧、弦的关系，需灵活运用各知识求解. 5．C【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠COB=o 50, 根据平行线的性质得到∠C=∠COB=o 50, 由等腰三角形的性质得到∠CAO=∠C=o 50, 根据圆周角定理即可得到结论.【详解】解:∠BAC=o 25,∴∠COB=o 50,AC//OB, ∴∠C=∠COB=o 50,,OC=OA, ∴∠CAO=∠C=o 50,,∴AOC=o 80, ∴∠AOB=o 130,∴∠ADB=12∠AOB=o 65, 故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理, 平行线的性质, 等腰三角形的性质, 熟练掌握圆周角定理是解题的关键.6．D【解析】【分析】首先由垂径定理可知: AE=BE, 然后再在Rt △AOE 中,由等腰三角形的知识可求得AE=OE=2cm, 从而可求得弦AB 的长.【详解】解：在⊙O ，OE ⊥AB,∴AE=EB,在Rt △AOE 中,∠OAB=45° ∴△AEO 是等腰三角形,∴AE=OE=2cm.∴AB=2AE=2x2=4cm.故选D.【点睛】本题主要考查垂经定理，后利用三角形的性质可求出答案.7．C【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=o 90,则可判断△ACB 为等腰直角三角形,接着判断△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形,于是得到AOC BOC S S ≅,然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积.【详解】解:AB 为直径,∴∠ACB=o 90, C 为的中点, ∴AC=BC,AC=BC,∴△ACB 为等腰直角三角形,∴OC ⊥AB,∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形,∴AOC BOC S S ≅,OA=1,∴AOC S S =阴影扇形=290113604ππ⋅⋅=, 所以C 选项是正确的.【点睛】本题主要考查扇形的计算公式，需灵活配合三角形的知识求解.8．D【分析】已知P 为△ABD 的内心，则P 点必在∠BAC 的角平分线上，由于AB=AC ，根据等腰三角形的性质可知：P 点必在BC 的垂直平分线上，即BP=PC ，△BPC 也是等腰三角形，欲求∠BPC ，必先求出∠PBC 的度数．等腰△ABC 中，已知了顶角∠A 的度数，可求得∠ABC 、∠ACB 的度数；由于CB=CD ，∠ACB 是△ABC 的外角，由此可求出∠D 和∠CBD 的度数；由于P 是△ABD 的内心，则PB 平分∠ABD ，由此可求得∠PBD 的度数，根据∠PBC=∠PBD-∠CBD可求出∠PBC的度数，由此得解．【详解】解：△ABC中，AB=AC，∠A=40°；∴∠ABC=∠ACB=70°；∵P是△ABD的内心，∴P点必在等腰△ABC底边BC的垂直平分线上，∴PB=PC，∠BPC=180°-2∠PBC；在△CBD中，CB=CD，∴∠CBD=∠D=12∠ACB=35°；∵P是△ABD的内心，∴PB平分∠ABD，∴∠PBD=12∠ABD=12（∠ABC+∠CBD）=52.5°，∴∠PBC=∠PBD-∠CBD=52.5°-35°=17.5°；∴∠BPC=180°-2∠PBC=145°．故选D．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质．9．A【解析】试题解析：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5-2-MN=3-MN，在R t△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，∴NM=43，∴DM=3+43=133，故选B．考点：1.切线的性质；3.矩形的性质．10．A【分析】连接CE.可得S阴影=S扇形ACE-S扇形AOD-S△OCE.根据已知条件易求得AO=OC=OD=2, AC=BC=4,可得∠COE=o60，OE=所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.【详解】解：如图：连接CE，可得S阴影=S扇形ACE-S扇形AOD-S△OCE，由已知条件可得，AO=OC=OD=2，又AC=BC=4，∴∠COE=o60，可得OE=S扇形ACE=2604360π⋅⋅8=3π，S扇形AOD2902==360ππ⋅⋅，S △OCE=1=22⨯⨯∴ S 阴影=S 扇形ACE-S 扇形AOD-S △OCE =8-3ππ=53π 故选A.【点睛】本题主要考查扇形面积公式、三角形面积公式，牢记公式并灵活运用可求得答案. 11．2【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠BOC 的值，再根据三角函数求出CE 的长，最后由垂径定理得到CD ＝2CE,求得CD 的长.【详解】根据圆周角定理，∵∠A=15°，∴∠BOC ＝30°，∴CE ＝OC ⋅sin ∠BOC ＝2×＝1，∵⊙O 的直径垂直于弦CD ，垂足为E ，∴CD ＝2CE ＝2.【点睛】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，熟练掌握这些知识是解答本题的关键.12．【分析】连接OA,连接OB 交PA 于点D,可得∠BAP=∠BPA=∠ACB=o 30,而∠AOB=2∠ACB=o 60,所以∠OAP=o 30，在RT △OAD 中可求得AD 的长，继而求出PA 的长.【详解】解：如图,连接OA,连接OB 交PA 于点D, 因为PB=AB, 所以由垂径定理,OB ⊥AP,∠BAP=∠BPA=∠ACB=o 30,而∠AOB=2∠ACB=o 60,所以∠OAP=o 30， OA 为圆的半径,即OA=5,所以AD = cos ∠OAP xOA = 5以AP=2AD=故答案：【点睛】本题主要考查圆中的计算问题和三角函数. 13．18【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，∴弧BAF的长=3×6﹣3﹣3═12，∴扇形AFB（阴影部分）的面积=12×12×3=18．故答案为18．【点睛】本题考查正多边形和圆；扇形面积的计算．14．1或15【解析】【分析】观察题目信息, 题目只说明了两条直线之间的位置关系, 没有说明两条直线在圆的同侧还是异侧，分两种情况讨论即可.【详解】解：当两条直线在圆的同侧时, 两条直线的距离为8 - 7 =1;当两条直线在圆的异侧时, 两条直线的距离为8+7=15.故两条直线之间的距离为1cm或15cm.【点睛】本题考查圆与直线的位置关系, 需分同侧和异侧讨论.15．8 5π【解析】【分析】根据扇形面积公式1S 2l r 扇形=⋅⋅求解即可【详解】根据扇形面积公式1S 2l r 扇形=⋅⋅. 可得：121352l π=⨯⨯， 85l π=，故答案：85π. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积和弧长之间的关系, 利用扇形弧长和半径代入公式1S 2l r 扇形=⋅⋅即可求解, 正确理解公式是解题的关键. 注意在求扇形面积时, 要根据条件选择扇形面积公式.16．6﹣【解析】【分析】由扇形的面积计算公式结合三角形、平行四边形的面积计算公式计算即可.【详解】解：如图连接OB,过C 点做OB 的垂线，垂足为E 点，由四边形OABC 为菱形，∠MON=60°，可得∠COB=∠BOA=12∠COA=30o ，可得OCB OAB S S =,OBM OBN S S =扇形扇形,在RT△OCE 中，OC=2, ∠COB=30o ,可得,则OB=即圆的半径为可得：OCB OAB S S ==112⨯OBM OBN S S =扇形扇形π，OCB OAB S S =,OBM OBN S S =扇形扇形CMB ABN S S ∴=,∴阴影部分的面积即为四边形ABDN 的面积，由BD∥AN,AB∥DN,可得四边形ABDN 为平行四边形，过点B 做BF⊥AN,可得∴·2)6ABDN S AN BF ===-故阴影部分的面积为6-.【点睛】本题主要考查扇形的计算公式、三角形和平行四边形的面积公式，综合性较强，需综合运用所学知识求解.17．(1) r=34；(2) A′B′=32【解析】【分析】(1)连结OA,利用r 表示出OD 的长,在Rt △AOD 中根据勾股定理求出r 的值即可;(2)连结OA',在Rt △A'EO 中,由勾股定理得出A'E 的长,进而可得出A'B'的长.【详解】（1）连接OA ，由题意得：AD=AB=30，OD=（r ﹣18）在Rt △ADO 中，由勾股定理得：r 2=302+（r ﹣18）2，解得，r=34；（2）连接OA′，∵OE=OP ﹣PE=30，∴在Rt △A′EO 中，由勾股定理得：A′E 2=A′O 2﹣OE 2，即：A′E 2=342﹣302，解得：A′E=16．∴A′B′=32．【点睛】本题主要圆的垂经定理的应用，注意与勾股定理相结合求解.18．（1）证明见解析.（2）1.【解析】试题分析：（1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出DCE E ∠=∠，进而得出答案；（2）设BD x =，则3 1.5AD AB BD x OD OB BD x ，，=+=+=+=+ 利用勾股定理得出BD 的长．试题解析：(1)证明：连接OC ，∵CD 是O 的切线，90OCD ∴∠=，90ACO DCE ，∴∠+∠= 又,90ED AD EDA ⊥∴∠=，90EAD E ∴∠+∠=，∵OC =OA ，∴∠ACO =∠EAD ，故∠DCE =∠E ，∴DC =DE ，(2)设BD =x ，则AD =AB +BD =3+x ，OD =OB +BD =1.5+x ，在Rt EAD 中，∵2AD ED =，11(3)22ED AD x ∴==+，由(1)知,1(3)2DC x =+，在Rt OCD 中，222OC CD DO +=，则22211.5[(3)](1.5)2x x ++=+，解得：13x =- (舍去),21x =，故BD =1.19．（1）证明见解析（2）4【解析】解：（1）证明：∵∠APC 和∠ABC 是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC ．又∵在△ABC 中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．∴∠ACB=180°﹣∠BAC ﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．∴△ABC 是等边三角形．（2）连接OB ，∵△ABC 为等边三角形，⊙O 为其外接圆，∴O 为△ABC 的外心．∴BO 平分∠ABC ．∴∠OBD=30°.∴OD=8×12=4．（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC 的每一个内角都等于600，从而得证．（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD ，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×12=420．（1）13；（2）【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；（2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长．【详解】（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8，∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，x2=（x﹣8）2+122，解得：x=13．（2）∵OM=OB，∴∠M=∠B，∴∠DOE=2∠M，又∠M=∠D，∴∠D=30°，在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，∴考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．21．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得CD AD=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．【详解】（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴CD AD=，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°﹣∠OEA ﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，在Rt △ACB 中，BC=12AB ， ∵OD=12AB ， ∴BC=OD ．22．（1）见解析；（2）43π【分析】（1）连接OD ，由BC 是⊙O 的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB ，OB=OD ，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD 为⊙O 的切线．（2）在Rt △OBF 中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD 的长，∠BOD 的度数，又由OBD BOD S S S ∆=-阴影扇形，即可求得答案．【详解】解：（1）证明：连接OD ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC=90°．∵CD=CB ，∴∠CBD=∠CDB ．∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB ．∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD ⊥CD ．∵点D 在⊙O 上，∴CD 为⊙O 的切线．（2）在Rt △OBF 中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，．∵OF ⊥BD ，∴，∠BOD=2∠BOF=120°，∴2BOD OBD 120214S S S 136023ππ∆⋅⋅=-=-⋅=-阴影扇形23．（1）E （02）PD ﹣PN 值不变，理由见解析【分析】 (1) 根据切线的性质和直角三角形的边关系解答即可;(2) 连接OB,根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得出OD=PN, 进而解答即可.【详解】（1）∵A （﹣1，0），C （2，0），∴OA=1，OC=2，∵以OC 为直径作⊙P ，∴OP=PC=OC=1=OA ，∴AP=2，∵AB 切⊙P 于点B ，∴∠APB=90°，BP=OP=1， ∴BP=AP ，则在直角△ABP 中，∠BAP=30°， ∴直角△AEO 中，OE=，∴E （0，3）（2）判断：PD ﹣PN 值不变，理由：连接OB，由（1）可知∠APB=90°，BP=AP，则∠BAP=30°，∠APB=60°，∵BP=OP，∴△OBP为等边三角形，∴OB=BP=PC，∠BOP=∠BPO=60°，∵∠BOD+∠BOP=∠BPO+∠CPN，∴∠BOD=∠CPN，∵∠OBM与∠OCM为同所对的圆周角，∴∠OBM=∠OCM，在△OBD与△PCN中，，∴△OBD≌△PCN（ASA），∴OD=PN，∴PD﹣PN=PD﹣OD=PO=1，∴PD﹣PN 值不变．【点睛】本题考查了圆的综合题: 熟练掌握圆周角定理、切线的性质和直线与圆的位置关系的判定方法; 理解坐标与图形性质; 会运用勾股定理和三角形全等进行几何计算.。

人教版九年级上册第24章《圆》单元培优训练题含答案

人教版九年级上册第24章《圆》单元培优训练题难度：较难一．选择题1．已知两圆的半径分别为8和5，圆心距为5，那么这两圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．外离2．如图，点A、B、C在⊙O上，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＝∠ACBB．∠AOB＝2∠ACBC．∠ACB的度数等于的度数D．∠AOB的度数等于的度数3．如图，在⊙O中，＝，∠C＝70°，则∠A的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．50°4．如图，点A、B、C是⊙O上的点，OB∥AC，连结BC交OA于点D，若∠ADB＝60°，则∠AOB的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°5．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．166．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（）A．5B．2C．5或2D．2或﹣1 7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则扇形AEF的面积为（）A．B．C．D．8．在半径为3cm的⊙O中，若弦AB＝3cm，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．30°B．45°C．30°或150°D．45°或135°9．如图，⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则⊙O的半径为（）A．2B．C．3D．10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（）A．17B．18C．19D．20二．填空题11．一个扇形的圆心角为135°，面积为6π，则此扇形的弧长为．12．已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为．13．如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径为．14．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠BOE＝54°，则∠C＝．15．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ABD＝42°，则∠BCD的度数是．16．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE＝∠ADF．若⊙O的半径为，CD＝4，则弦EF的长为．17．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝米．18．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是．三．解答题19．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于E．（1）求证：AC∥OD；（2）求证：OE＝AC．20．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC．D是的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．（1）求证：BC＝2DE；（2）若AC＝6，AB＝10，求DF的长．21．如图△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，连接CD．（1）求BD的长；（2）射线DO交直线AC于点E，连接BE，求BE的长．22．如图，点A，点C在以BD为直径的⊙O上过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，且∠DAE＝∠ABD．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为5．CD＝6，求AD的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点D，延长DO交⊙O 于点F，连接OC，AF．（1）求证：OD＝AC；（2）填空：①当∠B＝时，四边形OCAF是菱形；②当∠B＝时，AB＝2OD．24．数学活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆的弯道组成（如图）．其中400米跑道最内圈周长为400米，两端弯道最内圈的半径R＝36米．（1）求跑道中一段直道的长度（π取3.14）；（2）在活动中发现跑道最外圈周长y（米）随跑道总宽度x（米）的变化而变化，请求出y与x的函数关系式；（3）若跑道最外圈周长为460米，那么最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？25．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．参考答案一．选择题1．解：∵两圆的半径分别为8和5，圆心距为5，则8+5＝13，8﹣5＝3，∵3＜5＜13，∴两圆相交，故选：C．2．解：A、根据圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，故本选项不符合题意；B、根据圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，故本选项符合题意；C、∠ACB的度数等于的度数的一半，故本选项不符合题意；D、∠AOB的度数等于的度数，故本选项不符合题意；故选：B．3．解：∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣2×70°＝40°，故选：C．4．解：设∠ACB＝x°，则∠AOB＝2∠ACB＝2x°，∵OB∥AC，∴∠OBD＝∠ACB＝x°，∵∠ADB＝60°，∴∠AOB+∠OBD＝∠ADB＝60°，即2x+x＝60，解得x＝20，则∠AOB＝2x°＝40°，故选：B．5．解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．6．解：设直角三角形ABC内切圆的圆心为点I，半径为r，三边上的切点分别为D、E、F，连接ID、IE、IF，得正方形，则正方形的边长即为r，如图所示：当BC为直角边时，AC＝＝10，根据切线长定理，得AD＝AF＝AB﹣BD＝6﹣r，CE＝CF＝BC﹣BE＝8﹣r，∴AF+FC＝AC＝10，即6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2；当BC为斜边时，AC＝＝2，根据切线长定理，得BD＝BF＝6﹣r，CE＝CF＝2﹣r，∴BC＝BF+CF＝6﹣r+2﹣r＝8，解得r＝﹣1．答：这个三角形的内切圆的半径是2或﹣1．故选：D．7．解：连接AC．由题意AC＝＝，∵∠EAF＝45°，AE＝AF＝AC＝，∴S扇形AEF＝＝π，故选：B．8．解：如图所示，连接OA，OB，则OA＝OB＝3cm，∵B＝3cm，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，故选：D．9．解：设DE与⊙O相切于点N，连接OD、OE、ON，作DM⊥OE于M，如图所示：则ON⊥DE，DE＝2，OD＝OE，∠DOE＝＝45°，∵DM⊥OE，∴△ODM是等腰直角三角形，∴DM＝OM，OE＝OD＝DM，设OM＝DM＝x，则OD＝OE＝x，EM＝OE﹣OM＝（﹣1）x，在Rt△DEM中，由勾股定理得：x2+（﹣1）2x2＝22，解得：x2＝2+，∵△ODE的面积＝DE×ON＝OE×DM，∴ON＝＝＝＝+1，即⊙O的半径为：1+；故选：B．10．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，∴H、I是AC、BC的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，∴PH+QI＝13﹣7＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，故选：C．二．填空题11．解：设扇形的半径为R．由题意：＝6π，解得R＝4，∴扇形的弧长＝＝3π，故答案为3π．12．解：∵三角形三边分别为3、4、5，∴32+42＝52，∴三角形是直角三角形，如图，设Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，∵∠C＝90°，∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝3﹣r，BD＝BN＝4﹣r，∴4﹣r+3﹣r＝5，解得r＝1，∴AN＝2，在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝，∴OM＝．则该三角形内心与外心之间的距离为．故答案为：．13．解：连接OC，如图所示：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，OC＝r，在Rt△OCE中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．14．解：连接OD，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC，∴∠ODE＝∠C+∠DOC＝2∠C，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝2∠C，∴∠EOB＝∠C+∠E＝3∠C＝54°，∴∠C＝18°，故答案为18°．15．解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝42°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝132°．故答案为132°．16．解：连接OA，OC，过点O作OG⊥CD于点G，根据垂径定理，得CG＝DG＝CD＝2，在Rt△OCG中，OC＝，根据勾股定理，得OC2＝CG2+OG2，即＝4+OG2，∴OG＝＝，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∵弦CD∥AB，∴OA⊥CD，∴点A、O、G三点共线，∴AG＝AO+OG＝+＝4，在Rt△ACG中，根据勾股定理，得AC＝＝＝2．∵∠CDE＝∠ADF．∴∠CDE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF．∴∠EDF＝∠ADC，∴＝，∴EF＝AC，∴EF＝2．故答案为：2．17．解：根据垂径定理，得AD＝AB＝20米．设圆的半径是R，根据勾股定理，得R2＝202+（R﹣10）2，解得R＝25（米），∴⊙O的直径为50米．故答案为50．18．解：连接AD，∵D为BC中点，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，①正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠ADC，即AD⊥BC，又BD＝CD，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，②正确；∵DE⊥AC，且DO∥AC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线，∴④正确；∴∠ODA+∠EDA＝90°，∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；∵D为BC中点，AD⊥BC，∴AC＝AB，∵OA＝OB＝AB，∴OA＝AC，∴③正确，故答案为：①②③④⑤．三．解答题19．证明：（1）∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∵AO＝DO，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD；（2）过O作OF⊥AC于F∵DE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AFO＝∠DEO＝90°，∵AC∥OD，∴∠FOD＝∠AFO＝90°，∴∠F AO+∠FOA＝90°，∠FOA+∠EOD＝90°，∴∠F AO＝∠EOD，在△AFO和△OED中，，∴△AFO≌△OED（AAS），∴AF＝OE，∵OF⊥AC，OF过O，∴AF＝CF＝AC，∴OE＝AC．20．（1）证明：延长DE交⊙O于点G，如图所示：∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，∴DE＝GE，＝，∵D是的中点，∴＝＝，∴＝，∴BC＝DG＝2DE；（2）解：连接BD、OD，如图所示：∵＝，∴∠DBC＝∠BDF，∴DF＝BF，∵AB为⊙O的直径，AB＝10，∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝5，∴BC＝＝＝8，由（1）得：DE＝BC＝4，∵DE⊥AB，∴OE＝＝＝3，∴BE＝OB﹣OE＝2，设DF＝BF＝a，则EF＝4﹣a，在Rt△BEF中，由勾股定理得：22+（4﹣a）2＝a2，解得：a＝，∴DF＝．21．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵，AC2+BC2＝AB2，∴（4）2+BC2＝（2BC）2，∴BC＝4，∵BC为直径，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝∠A＝30°，∴BD＝BC＝2；（2）∵OD＝OB，∴∠CBD＝∠EDB＝60°，∴∠DOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOB＝60°，∵∠OCE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，∴∠CEO＝30°，∵OC＝OB＝BC＝＝2，∴OE＝2CO＝4，∴CE＝＝＝2，∴BE＝＝＝2．22．解：（1）证明：如图，连接OA，∴OA＝OB，∴∠ABD＝∠OAB，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠OAB＝∠DAE，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠OAB+∠OAD＝90°，∴∠DAE+∠OAD＝90°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（2）作OF⊥BC于点F，∵OA⊥AE，AE∥BC，∴点A、O、F在同一条直线上，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠AED＝90°，∴四边形AECF是矩形，∴AF＝EC，AE＝FC，∵⊙O的半径为5，即BD＝10，∵CD＝6，∴BC＝＝8，∴BF＝FC＝4，OF＝CD＝3，∴CE＝AF＝AO+OF＝5+3＝8，∴DE＝CE﹣CD＝8﹣6＝2，∵AE＝FC＝4，∴AD＝＝2．23．解：（1）证明：∵OD⊥BC于点D，∴CD＝BD，∵AO＝BO，∴OD是△ACB的中位线，∴OD＝AC；（2）解：当∠1＝30°时，四边形OCAF是菱形．理由如下：∵∠1＝30°，AB是直径，∴∠BCA＝90°，∴∠2＝60°，而OC＝OA，∴△OAC是等边三角形，∴OA＝OC＝CA，又∵D，O分别是BC，BA的中点，∴DO∥CA，∴∠2＝∠3＝60°而OC＝OA＝AF．∴△OAF是等边三角形，∴AF＝OA＝OF，∴OC＝CA＝AF＝OF，∴四边形OCAF是菱形；②当∠1＝45°时，AB＝2OD，∵∠1＝45°，∵OD⊥BC于点D，∴△BOD是等腰直角三角形，∴OB＝OD，∴AB＝2OB＝2OD．故答案为：30°，45°．24．解：（1）设直道的长度为x米，由题意可得，2π×36+2x＝400，即2×3.14×36+2x＝400，解得x＝86.96，即跑道中一段直道的长度是86.96米；（2）由题意可得，y＝2π（36+x）+86.96×2＝2×3.14×（36+x）+173.92＝400+6.28x，即y与x的函数关系式是y＝6.28x+400；（3）当y＝406时，460＝6.28x+400，解得x≈9.55，9.55÷1.2≈7.96，即最多能铺设道宽为1.2米的跑道7条．25．解：（1）如图，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴33+42＝52，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，由题意可知：图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ，∴OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，∴四边形AFOD为正方形，∴AF＝AD＝OF＝OD＝a，根据切线长定理可知：BF＝BQ＝3﹣a，CD＝CQ＝4﹣a，∴3﹣a+4﹣a＝5，解得a＝1；（2）①由题意可知：点O是△ABC的内心，∴∠ABM＝∠CBM，∵MA⊥AB，MB⊥BC，∴∠A＝∠BNM＝90°，∴∠BMA＝∠BMN；②如图，作OE⊥MN于点E，∵∠BMA＝∠BMN，∵OD⊥AC，∴OD＝OE，∴OE为圆O的半径，∴MN为圆O的切线，∴直线MN与图形G的公共点个数为1．。

(新版)新人教版2020-2021年九年级数学上册第24章圆测试卷

24章圆学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）1.下列判断中正确的是（）A.长度相等的弧是等弧B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦2.如图，甲顺着大半圆从A地到B地，乙顺着两个小半圆从A地到B地，设甲、乙走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（）A.a=bB.a<bC.a>bD.不能确定3.将一个半径为5cm面积为15πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥容器的高为（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm4.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧BC上一点，若∠CEA=28∘，则∠ABD=( )A.14∘B.28∘C.56∘D.80∘5.已知：如图，⊙O的两条弦AE、BC相交于点D，连接AC、BE．若∠ACB=60∘，则下列结论中正确的是（）A.∠AOB=60∘B.∠ADB=60∘C.∠AEB=60∘D.∠AEB=30∘6.已知圆锥的底面半径为9cm，高线长为12cm，则圆锥的侧面积为（）A.135πB.108πC.450πD.540π7.如图，⊙O阴影部分为残缺部分，现要在剩下部分裁去一个最大的正方形，若OP=2，⊙O半径为5，则裁去的最大正方形边长为多少？（）A.7B.6C.5D.48.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A.13B.12C.34D.19.如图，MN为⊙O的弦，∠M=50∘，则∠MON等于（）A.50∘B.55∘C.65∘D.80∘10.下面给出五个命题(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，且与每一个外角相等(5)正n边形的中心角a n=360∘n其中真命题有（）A.2个B.3个C.4个D.5个11.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=50∘，则∠A的度数为（）A.80∘B.60∘C.50∘D.40∘12.如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20∘，则∠DBA为（）A.50∘B.20∘C.60∘D.70∘13.如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S阴影S空白=( )A.3B.4C.5D.614.如图，Rt △ABC 中，AB =AC =4，以AB 为直径的圆交AC 于D ，则图中阴影部分的面积为（）A.2πB.π+1C.π+2D.4+π4二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）15.已知扇形AOB 的半径是5米，AB 弧的长度为6米，那么扇形AOB 的面积是________米2．16.如图，∠APB =30∘，点O 是射线PB 上的一点，OP =5cm ，若以点O 为圆心，半径为1.5cm 的⊙O 沿BP 方向移动，当⊙O 与PA 相切时，圆心O 移动的距离为________cm ．17.农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房（如图所示），则需塑料布y(m 2)与半径R(m)的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分）________．18.如图，AB是半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转45∘，点A旋转到A′的位置，已知图中阴影部分的面积为4π，则点A旋转的路径长为________．19.如图，在平面直角坐标系中，⊙O′与两坐标轴分别交于点A、B、C，已知：A(6, 0)、B(−2, 0)，则点C的坐标为________．20.如图，矩形ABCD中，AB=π，点E、F分别为AD、BC的中点，以A为圆心，AE为半径画弧，交BF于点G，以E为圆心，AE为半径画弧，交FC于点H，交EF的延长线于点M，若两个阴影部分的面积相等，则AD的长为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，已知扇形的圆心角为120∘，面积为300π．(1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？22.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB三个顶点的坐标分别为O(0, 0)，A(1, 3)，B(2, 2)，将△AOB绕点O逆时针旋转90∘后，点A，O，B分别落在点A′，O′，B′处．(1)在所给的直角坐标系xOy中画出旋转后的△A′O′B′；(2)求点B旋转到点B′所经过的弧形路线的长．23.如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．(1)判断EF与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，∠EAC=60∘，求AD的长．24.现有一块块直径为2m的圆形铁片，若它做成一个有盖的油桶，并尽可能的用好这块铁片，工人师傅在圆形铁片上截取两个圆（即两底）和一个矩形（侧面），如图．(1)若把BC作为油桶的高时，则油桶的底面半径R1等于多少？(2)当把AB作为油桶的高时，油桶的底面半径R2与(1)中的R1相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，请求出R2．25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC=CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．求证：AE=CE．26.如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．(1)分别出图①和图②中∠BPC的角平分线；(2)结合图②，说明你这样理由．答案1.C2.A3.C4.B5.C6.A7.B8.B9.D10.A11.D12.D13.C14.C15.1516.217.y=30πR+πR218.√2π19.(0, 2√3)20.821.这个圆锥的高是20√2．22.解：(1)∵△AOB绕点O逆时针旋转90∘后得到△A′O′B′∴OA′⊥OA，OB′⊥OB，A′B′⊥AB，OA′=OA，OB′=OB，A′B′=AB∴可画出△A′OB′的图形，如下图所示：(2)点B旋转到点B′所经过的弧形，如图所示：∵OB=2√2，∠BOB′=π2∴弧BB′=OB×∠BOB′=√2π∴点B旋转到点B′所经过的路线的长√2π．23.证明：(1)如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF // AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF // AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90∘，即：∠0CE+∠FCE=90∘，∴∠0EC+∠FE C=90∘，即：∠FEO=90∘，∴FE为⊙O的切线；(2)如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60∘，OA=OE，∴∠EOA=60∘，∴∠COD=∠EOA=60∘，∵在Rt△OCD中，∠COD=60∘，OC=3，∴CD=2√3，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，CD=2√3，AC=4，∴AD=2√7．24.解：(1)根据题意，得2R1+2R1+AB=2，即2−4R1=2πR1，∴R1=1π+2≈0.1945(m)．(2)R2与(1)中的R1不相等．连接OB、OO2．根据题意，得OB2=(12BC)2+(12AB)2，BC=2πR2，∴12=(1−2R2)2+(πR2)2，即R2=4π2+4≈0.2884(m)．25.证明：连接AG，CF，∵AB为直径，且AB⊥CG，∴AC^=AG^，又∵AC=CF，∴AC^=CF^，∴AG^=CF^，∴∠ACG=∠CAF，∴AE=CE．26.解：(1)如图①，连接AP，即为所求角平分线；如图②，连接AO并延长，与⊙O交于点D，连接PD，即为所求角平分线(2)∵AD是直径，∴半圆ABD=半圆ACD又∵AB=AC，∴AB^=AC^，∴BC^=BD^，∴∠BPD=∠CPD，即PD平分∠BPC．。

人教版数学九年级上册第二十四章《圆》培优单元测试卷(含解析)

人教版数学九年级上册第二十四章《圆》培优单元测试卷（含解析）一．选择题1．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（）A．2πB．3πC．6πD．8π2．如图，AB为⊙O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E．若点C恰好是的中点，BE＝6，则PC的长是（）A．6﹣8 B．3﹣3 C．2 D．12﹣63．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）A．2πB．3πC．4πD．π4．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6 B．7 C．7D．127．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣168．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H．若AE＝3，则EG的长为（）A．B．C．D．9．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（）A．B．πC．50 D．50π10．如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB＝∠ABD＝45°，若BC＝8，CD＝4，则AC的长为（）A．8.5 B．5C．4D．11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转60°，直角边AC扫过的面积等于（）A．24πB．20πC．18πD．6π12．如图，矩形ABCD中，BC＝2，C D＝1，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二．填空题13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．16．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是．17．半径为6的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．18．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．三．解答题19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．22．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是多少？23．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝60°，求证：AH＝AO．（初二）24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．（2）求证：DF＝EF25．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点．（1）求证：∠ACD＝∠DEC；（2）延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长．参考答案一．选择题1．解：圆锥的侧面积＝×2π×1×3＝3π，故选：B ．2．解：连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，∵＝，∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°，∴∠ABD ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∴OD ⊥FB ，∴OF ＝DF ，∴BF ∥DE ，∴OB ＝BE ＝6∴CF ＝FB ＝OB •cos30°＝6×＝3，在Rt △POD 中，OF ＝DF ，∴PF ＝DO ＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP ＝CF ﹣PF ＝3﹣3．故选：B ．3．解：∵ABCDEF 为正六边形，∴∠COB ＝360°×＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝BC ＝6，弧BC的长为＝2π．故选：A．4．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．6．解：连接DO，EO，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴OE ⊥AC ，OD ⊥BC ，CD ＝CE ，BD ＝BF ＝3，AF ＝AE ＝4 又∵∠C ＝90°，∴四边形OECD 是矩形，又∵EO ＝DO ，∴矩形OECD 是正方形，设EO ＝x ，则EC ＝CD ＝x ，在Rt △ABC 中BC 2+AC 2＝AB 2故（x +2）2+（x +3）2＝52，解得：x ＝1，∴BC ＝3，AC ＝4，∴S △ABC ＝×3×4＝6，故选：A ．7．解：连接OA 、OB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOB ＝90°，∠OAB ＝45°，∴OA ＝AB cos45°＝4×＝2，所以阴影部分的面积＝S ⊙O ﹣S 正方形ABCD ＝π×（2）2﹣4×4＝8π﹣16．故选：B ．8．解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF＝OA＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，AC⊥EF，EG＝EF＝∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r•sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r＝AE＝3，∴r＝∴OI＝，∴CI＝OC﹣OI＝，∵EF⊥AC，∠BCA＝45°∴∠IGC＝∠BCI＝45°∴CI＝GI＝∴EG＝EI﹣GI＝故选：B．9．解：圆锥的侧面积＝•5•5＝．故选：A．10．解：延长CD到E，使得DE＝BC，连接AE，如右图所示，∵∠ACB＝∠ABD＝45°，∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，∵∠BAC+∠CAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝90°，∵ACD＝45°，BC＝DE＝8，CD＝4，∴∠ACE＝45°，CE＝12，∴AC＝AE＝6，故选：D．11．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝AB＝6，∠ABC＝60°，＝﹣＝﹣＝18π．∴S阴影故选：C．12．解：连接OE交BD于F，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD为矩形，OA＝OD＝1，而CD ＝1，∴四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形，∴BE ＝1，∠DOE ＝∠BEO ＝90°∵∠BFE ＝∠DFO ， OD ＝BE ，∴△ODF ≌△EBF （AAS ），∴S △ODF ＝S △EBF ，∴阴影部分的面积＝S 扇形EOD ＝＝．故选：C ．二．填空题（共6小题）13．解：∵圆锥的底面圆的周长是5πcm ，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为5πcm ，∴＝5π，解得：n ＝150故答案为150°．14．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S 阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．15．解：连接OC交AB于E．∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠BAO＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝55°，∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°，故答案为35°．16．解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，连接AB、BC、CD、AD，则四边形ABCD是正方形，连接OB，如图所示：则正方形ABCD的对角线＝2OA＝4，O A⊥OB，OA＝OB＝2，∴AB＝2，过点O作ON⊥AB于N，则NA＝AB＝，∴圆的半径为，∴四叶幸运草的周长＝2×2π×＝4π；故答案为：4π．17．解：设该扇形的圆心角为n2，则＝12π，解得：n＝120，故答案为：120．18．解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（3，4），∴OC＝＝5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OA＝OB＝8，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为16，故答案为16．三．解答题（共7小题）19．（1）证明：连接OD、CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OD，CD，∵BD是⊙O切线，∴∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODE＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BDE＝∠OCD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCD，∴∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．20．解：（1）直线DE与⊙O相切，连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）过O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝OA＝1，∴AF＝2，∴四边形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝DF＝1．21．证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵O C∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴（2）连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4∵∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB ∴△ACE∽△BCA∴∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2，∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB＝＝2∴⊙O的半径为（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB∴∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+2）∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴即∴PH＝，OH＝∴HQ＝＝∴PQ＝PH+HQ＝22．解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OE＝1，CE＝DE＝，∴CD＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣2×1＝﹣23．证明：（1）过O作OF⊥AC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，则FN∥AD，AH＝2FN，MN∥BE，∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，∴OM∥AD，BE∥OF，∵M为BC中点，N为CH中点，∴MN∥BE，∴OM∥FN，MN∥OF，∴四边形OMNF是平行四边形，∴OM＝FN，∵AH＝2FN，∴AH＝2OM．（2）证明：连接OB，OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOM＝60°，∴∠OBM＝30°，∴OB＝2OM＝AH＝AO，即AH＝AO．24．（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝∠ADB＝90°，又∵∠DAB＝∠HAD，∴△DAB∽△HAD，∴＝即＝，∴AH＝3.6．（2）证明：∵＝，∴∠DAC＝∠DBA，∵DH⊥AB，∴∠FDE+∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAC＝90°，∴∠DEF＝∠DEF，∴DF＝EF．25．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠DEC＝∠B，∴∠ACD＝∠DEC．（2）证明：连结OE∵E为BD弧的中点．∴∠DCE＝∠BCE，∵OC＝OE，∴∠BCE＝∠OEC，∴∠DCE＝∠OEC，∴OE∥CD，∴△POE∽△PCD，∴＝，∵PB＝BO，DE＝2∴PB＝BO＝OC∴＝＝，∴＝，∴PE＝4．人教版数学九年级上册第24章《圆》单元培优练习卷（含解析）一．选择题1．面积为6π，圆心角为60°的扇形的半径为（）A．2 B．3 C．6 D．92．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°3．如图：已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．若∠COA＝60°，∠CDO＝70°，∠ACD的度数是（）A．60°B．50°C．30°D．10°4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长是（）A．4πB．2πC．πD．5．如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）A．B．C．D．6．如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）A．2 B．C．D．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝16，∠BAC＝∠BOD，则⊙O 的半径为（）A．4B．8 C．10 D．68．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径的延长线上，若BD＝AD，AC＝3，CD＝（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.59．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOC＝110°，则∠ADC＝（）A．55°B．110°C．125°D．70°10．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝CD，以点D为圆心，BD长为半径作，若AC＝6，则图中阴影部分的面积是（）A．2π﹣3B．2π+3C．π﹣D．π+11．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°12．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O 与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接BD，若DE＝4，则BD的长为（）A．4 B．4C．8 D．813．在正六边形ABCDEF中，若边长为3，则正六边形ABCDEF的边心距为．14．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，P为AC的中点，连接P D，BC＝6，DP ＝4．O为边BA上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于．15．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝42°，则∠CAD＝16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，其中AC＝2，以AC为直径的⊙O交AB 于点D，则圆周角∠A所对的弧长为（用含π的代数式表示）17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，BC是半圆O的直径，则图中阴影部分的面积为．18．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，以点A为圆心的扇形FAG与菱形的边BC相切于点E，则图中的弧长是．19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．20．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．21．如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．（1）求证：AE是半圆O的切线；（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长．22．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．23．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．24．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．参考答案一．选择题1．解：设扇形的半径为r．由题意：＝6π，∴r2＝36，∵r＞0，∴r＝6，故选：C．2．解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．3．解：∵OA＝OC，∠COA＝60°，∴△ACO为等边三角形，∴∠CAD＝60°，又∵∠CDO＝70°，∴∠ACD＝∠CDO﹣∠CAD＝10°．故选：D．4．解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝135°，∴∠D＝45°，∵∠AOC＝2∠D，∴∠AOC＝90°，则l＝＝2π，故选：B．5．解：设AD＝x，∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，∴BD＝BE＝1，∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x＝，即AD的长度为．故选：D．6．解：∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD＝AB，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC＝BD＝AB，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．故选：D．7．解：∵∠BAC＝∠BOD，∴，∴AB ⊥CD ，∵AE ＝CD ＝16，∴DE ＝CD ＝8，设OD ＝r ，则OE ＝AE ﹣r ＝16﹣r ，在Rt △ODE 中，OD ＝r ，DE ＝8，OE ＝16﹣r ，∵OD 2＝DE 2+OE 2，即r 2＝82+（16﹣r ）2，解得r ＝10．故选：C ．8．解：∵CD 是⊙O 的切线，∴∠CDB ＝∠CAD ，又∠C ＝∠C ，∴△CDB ∽△CAD ，∴＝＝，即＝，解得，CD ＝2，故选：C ．9．解：由圆周角定理得，∠B ＝∠AOC ＝55°，∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠ADC ＝180°﹣∠B ＝125°，故选：C ．10．解：∵在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BD ＝CD ，AC ＝6， ∴AC ⊥BD ，OC ＝3，BD ＝CD ＝BC ，BD ＝2OB ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BDC ＝60°，OB ＝，∴BD ＝2，∴图中阴影部分的面积是：S 阴＝S 扇形CDB ﹣S △CDB ＝﹣×2×3＝2π﹣3，故选：A ．11．解：连接OB ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∴∠DBC＝70°，∵∠AOC＝90°，∴∠ODA＝∠BDC＝70°，∴∠OCB＝40°，故选：C．12．解：如图，连接OD，设⊙O的半径为r，∵⊙O与边CD相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，即∠3+∠ODE＝90°，∵AE为直径，∴∠ADE＝90°，∴∠ODA+∠ODE＝90°，∴∠ODA＝∠3，而∠ODA＝∠1，∴∠1＝∠3，∵ED＝EC＝4，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠2＝∠CAB，∴∠1＝∠CAB∴＝，∴AE⊥BD，∵∠1＝∠2，DF⊥AC，∴AF＝CF，∴CF＝﹣4＝r﹣2，∵∠DEF＝∠AED，∠DFE＝∠ADE，∴△EDF∽△EAD，∴DE：EA＝EF：DE，即4：2r＝（r﹣2）：4，整理得r2﹣2r﹣8＝0，解得r＝﹣2（舍去）或r＝4，∴EF＝r﹣2＝2，在Rt△DEF中，DF＝＝2，∴DB＝2DF＝4．故选：B．二．填空题（共6小题）13．解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OA，OB，则△OAB是等边三角形，过O作OH⊥AB于H，∴∠AOH＝30°，∴OH＝AO＝，故答案为：．14．解：∵∠ADC＝90°，P是AC中点，∴AC＝2DP＝8，又∵BC＝6，∴AB＝10，则CD＝＝＝，∴BD＝＝，如图1，若⊙O与CD相切，则⊙O的半径r＝BD＝；如图2，若⊙O与CP相切，则BO＝OE＝r，AO＝10﹣r，由OE⊥AC知OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴＝，即＝，解得r＝；如图3，若⊙O与DP所在直线相切，切点F，则OF⊥DP，即∠OFD＝∠ACB＝90°，OB＝OF＝r，∴OD＝BD﹣BO＝﹣r，∵∠ODF＝∠ADP＝∠A，∴△ODF∽△BAC，∴＝，即＝，解得r＝；综上，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于或或，故答案为：或或．15．解：连接OC，OD，如图所示．∵∠CAB＝42°，∴∠COB＝84°．∵＝，∴∠COD＝（180°﹣∠COB）＝48°，∴∠CAD＝∠COD＝24°．故答案为：24°．16．解：连接OD，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∴∠COD＝2∠A＝120°，∵AC＝2，∴圆周角∠A所对的弧长为：＝，故答案为：．17．解：如图，连接OF．S阴＝（S扇形OFC﹣S△OFC）+（S△ABC﹣S△OFC﹣S扇形OBF）＝﹣•×+×2×﹣××﹣＝﹣+﹣＝+，故答案为： +．18．解：连接AE，如图，∵以点A为圆心的扇形FAG与菱形的边BC相切于点E，∴AE⊥BC，在Rt△ABE中，∵AB＝2，∠B＝45°，∴∠BAE＝45°，AE＝AB＝×2＝2，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA＝90°，∴的弧长＝＝π．故答案为π．三．解答题（共6小题）19．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD；（2）解：连接OD，∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE＝35°，∴∠DAB＝∠CAE＝35°，∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，∴的长＝＝π．20．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．21．（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，∵OE⊥OA，∴∠AOE＝90°，∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，∴∠BAO＝∠COE，∴△ABO∽△OCE，∴＝，∵OB＝OC，∴，∵∠ABO＝∠AOE＝90°，∴△ABO∽△AOE，∴∠BAO＝∠OAE，过O作OF⊥AE于F，∴∠ABO＝∠AFO＝90°，在△ABO与△AFO中，，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴OF＝OB，∴AE是半圆O的切线；（2）解：连接PF，FC，FO并延长交⊙O于G，则∠G＝∠ACF，∠G+∠PFG＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠AFG+∠PFG＝90°，∴∠AFP＝∠G＝∠ACF，∵∠FAP＝∠A CF，∴△AFP∽△ACF，∴＝，∴AF2＝AP•AC，∴AF＝＝2，∴AB＝AF＝2，∵AC＝6，∴BC＝＝2，∴AO＝＝3，∵△ABO∽△AOE，∴，∴＝，∴AE＝3．22．解：（1）如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE，∵OC ＝OB ，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△OBE （SSS ），∴∠OCE ＝∠OBE ，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD ＝90°，∴∠OCE ＝∠ABD ＝90°，∵OC 为半径，∴EC 是⊙O 的切线；（2）∵OA ＝OB ，BE ＝DE ，∴AD ∥OE ，∴∠D ＝∠OEB ，∵∠D ＝30°，∴∠OEB ＝30°，∠EOB ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∵AB ＝4，∴OB ＝2，∴．∴四边形OBEC 的面积为2S △OBE ＝2×＝12，∴阴影部分面积为S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC ＝12﹣＝12﹣4π．23．解：（Ⅰ）连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝25°，∴∠ABC ＝65°，∵OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°，∴∠ACD ＝∠AOD ＝＝45°， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝70°；（Ⅱ）连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠COE＝2∠BAC＝50°，∴∠OEC＝40°，∵OD∥CE，∴∠AOD＝∠COE＝40°，∴∠ACD＝AOD＝20°．24．解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠A DO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC ＝90°，即BC 是圆的切线，∴∠DBC ＝∠CAB ，∴∠EDB ＝∠EBD ，则∠BDC ＝90°，∴E 为BC 的中点；（2）△AHD 和△BMH 的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD 、BM ，∴AD ：BM ＝，而△ADH ∽△MBH ，∴DH ：BH ＝，则DH ＝HM ，∴HM ：BH ＝， ∴∠BMH ＝30°＝∠BAC ，∴∠C ＝60°，E 是直角三角形的中线，∴DE ＝CE ，∴△DEC 为等边三角形，⊙O 的面积：12π＝（AB ）2π，则AB ＝4，∠CAB ＝30°，∴BD ＝2，BC ＝4，AC ＝8，而OE ＝AC ＝4，四边形OBED 的外接圆面积S 2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC 边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC 的内切圆面积S 1和四边形O BED 的外接圆面积S 2的比为：．人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(3)一、填空题（每题3分，共30分）1．如图1所示AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若OA=2cm，OC=1cm，则AB长为______．•图1 图2 图32．如图2所示，⊙O的直径CD过弦EF中点G，∠EOD=40°，则∠DCF=______．3．如图3所示，点M，N分别是正八边形相邻两边AB，BC上的点，且AM=BN,则∠MON=_________________度．4．如果半径分别为2和3的两个圆外切，那么这两个圆的圆心距是_______．5．如图4所示，宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）•则该圆的半径为______cm．图4 图5 图66．如图5所示，⊙A的圆心坐标为（0，4），若⊙A的半径为3，则直线y=x与⊙A•的位置关系是________．7．如图6所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠A=______．8．圆锥底面圆的半径为5cm，母线长为8cm，则它的侧面积为________．（用含的式子表示）9．已知圆锥的底面半径为40cm，•母线长为90cm，•则它的侧面展开图的圆心角为_______．10．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A，C为圆心的两圆相切，点D在⊙C内，点B 在⊙C外，那么⊙A的半径r的取值范围为________．二、选择题（每题4分，共40分）11．如图7所示，AB是直径，点E是AB中点，弦CD∥AB且平分OE，连AD，∠BAD度数为（）A．45° B．30° C．15° D．10°图7 图8 图912．下列命题中，真命题是（）A．圆周角等于圆心角的一半 B．等弧所对的圆周角相等C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．过弦的中点的直线必经过圆心13．（易错题）半径分别为5和8的两个圆的圆心距为d，若3<d≤13，•则这两个圆的位置关系一定是（）A．相交 B．相切 C．内切或相交 D．外切或相交14．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（）A．3cm B．6cm C．9cm15．半径相等的圆的内接正三角形，正方形边长之比为（）A．1 B． C．3：2 D．1：216．如图8，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB•的延长线交于点P，则∠P等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°17．如图9所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x•轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）A．（-4，0） B．（-2，0） C．（-4，0）或（-2，0） D．（-3，0）18．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．154π B．152π C．54π D．52π19．如图10所示，AE切⊙D于点E，AC=CD=DB=10，则线段AE的长为（）A． B．15 C． D．2020．如图11所示，在同心圆中，两圆半径分别是2和1，∠AOB=120°，•则阴影部分的面积为（）A ．4πB ．2πC ．34π D ．π 三、解答题（共50分）21．（8分）如图所示，CE 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CE 于D ，若CD=2，AB=6，求⊙O•半径的长．22．（8分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC•边上的中点，连结PE ，PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由．23．（12分）已知：如图所示，直线PA 交⊙O 于A ，E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径AB ．（1）求证：AC 平分∠DAB;（2）若AC=4，DA=2，求⊙O 的直径．24．（12分）“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，•摩天轮的半径为20m ，匀速转动一周需要12min ，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m ）．（1）经过2min后小雯到达点Q如图所示，此时他离地面的高度是多少．（2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中．25．（10分）如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，求四边形ABCD的面积．答案:1．．20° 3．45 4．5 5．1346．相交7．20° 8．40 cm2 9．160° 10．1<r<8或18<r<2511．C 12．B 13．D 14．A 15．B 16．B 17．D 18．D 19．C 20．B21．解：连接OA ，∵CE 是直径，AB ⊥CE ，∴AD=12AB=3． ∵CD=2，∴OD=OC-CD=OA-2．由勾股定理，得OA 2-OD 2=AD 2，∴OA 2-（OA-2）2=92，解得OA=134，∴⊙O 的半径等于134． 22．解：相切，证OP ⊥PE 即可．23．解：（1）连BE ，BC ，∠CAB+∠ABC=90°，∠DCA=∠ABC ，∴∠DAC ，∠CAB ，AC 平分∠DAB ．（2）DA=2，AC=4，∠ACD=30°，∠ABC=∠DCA=30°，∵AC=4，∴AB=8．24．（1）10.5 （2）13×12=4（min ）． 25．解：连结OA 交BD 于点F ，连接OB ．∵OA 在直径上且点A 是BD 中点，∴OA ⊥BD ，•在Rt △BOF 中，由勾股定理得OF 2=OB 2-BF 2，1.2,1,ABD OA AF S ∆==∴=∴= ∵点E •是AC 中点，∴AE=CE ．又∵△ADE 和△CDE 同高，∴S △CDE =S △ADE ，同理S △CBE =S △ABE ，∴S △BCD =S △CDE +S △CBE =S △ADE +S △ABE =S △ABD∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD。

人教版数学九年级上册《第二十四章圆》培优单元试题(含答案)

图形阴影部分的面积是（ )第二十四章：圆培优单元试题.选择题（共10小题）1.下列说法：（1 ）长度相等的弧是等弧,（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4 ）直径是圆中最长的弦. 其中正确的有（A. 1个B. 2个C.D. 4个2•如图，O 为D 是，:.上的点.若/ BO G 40 ，则/ D B. 120° C. 130 °D. 140 °3.如图，■' AB 是O O 的直径，C D 是O O 上两点，/ AOC= 130，则/ D 等于（的大小为（ )A. 11 0°B. 35°C. 25°D. 15°BCD= 25°,则/ B等于(B. 65°C. — O75 D. 90°5.如图，等边三角形ABC的边长为2, CDL AB于D,若以点C为圆心，CD为半径画弧，则CD切O O于点C,若/A. 25°图形阴影部分的面积是（)E6.如图，已知O O 的直径 AE= 10cm / B =Z EAC 则AC 的长为9.如图，四边形 ABCD 内接于O O,点I 是厶ABC 的内心，/ AIC = 124。

，点E 在AD 的延长 10.如图，矩形 ABCDK E 是BC 上一点，连接 AE 将矩形沿 AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接 AF,在AF 上取点O 以O 为圆心，OF 长为半径作O O 与AD 相切于点P.若AB =6, BC= 3讥，则下列结论：① F 是CD 的中点」；②O O 的半径是2:③AE=^CE ④S 阴影=卡.其中正确的个数为（）B. 2- n c. 2 - ”兀B. 5 : cmC. 5dg cmD. 6cm5, 圆心A 的坐标是（1, 2），点P 的坐标是（ 5, 2），那么点P 的位置为 A.在O A 内 B.在O A 上 C.D.不能确定 &已知O o 的直径为13cm 圆心O 到直线I 的距离为8cm 则直线i 与O o 的位置关系是（） A.相交 B.相切 C. 相离 D.相交或相切CDE 的度数为（C. 68°D. 78°D7.若O A 的半径为线上，则/62°二.填空题（共6小题） 11•如图，四边形 ABCD^接于O O, AD BC 的延长线相交于点 E , AB DC 的延长线相交于点F ,设/ A = a ,则/曰/F = ________________ （用含a 的式子表示）.12.如图，A 、B 、CD 均在O O 上，E 为BC 延长线上的一点，若/ A = 102。

人教版数学九年级上册第24章《圆》培优检测题(含祥细答案)

人教版数学九年级上册第24章《圆》培优检测题（含祥细答案）一．选择题1．已知⊙O的半径OA长为，若OB＝，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．C．D．2．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°3．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．6π4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．25．如图：已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．若∠COA＝60°，∠CDO＝70°，∠ACD的度数是（）A．60°B．50°C．30°D．10°6．对于以下图形有下列结论，其中正确的是（）A．如图①，AC是弦B．如图①，直径AB与组成半圆C．如图②，线段CD是△ABC边AB上的高D．如图②，线段AE是△ABC边AC上的高7．如图，BC为⊙O的直径，AB＝OB．则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点且不与点A、B重合．若OP 的长为整数，则符合条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN的周长为（）A．6 B．6C．6D．910．如图，△ABC是半径为1的⊙O的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（）A．3 B．C．D．11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°12．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A．3 B．C．D．413．在⊙O中，AC为直径，过点O作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，连接BC，若AB＝，ED＝，则BC＝．14．如图，△ABC的周长为16，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为．15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为．16．在正六边形ABCDEF中，若边长为3，则正六边形ABCDEF的边心距为．17．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．18．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：∠A＝∠DOB；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．20．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点的切线交CB的延长线于点P，过点B 的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．（1）求证：BF＝EF；（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求PA的长度．21．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交A C于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．22．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，且AB＝BD，DB的延长线交⊙O于点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）CF与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若BF+CF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长度．23．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）24．如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD ＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．25．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．（1）求证：CE＝AE；（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝，AB＝，则DE的长为．26．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的一点，过C点的切线于BA的延长线交于D点，E为CD上一点，连EA并延长交⊙O于H，F为EH上一点，且EF＝CE，CF 交延长线交⊙O于G．（1）求证：弧AG＝弧GH；（2）若E为DC的中点，sim∠CDO＝，AH＝2，求⊙O的半径．参考答案一．选择题1．解：∵⊙O的半径OA长为，若OB＝，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：A．2．解：连接OA，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOP＝∠B+∠OAB，∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．故选：B．3．解：该扇形的弧长＝＝3π．故选：C．4．解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度＝×2＝．故选：C．5．解：∵OA＝OC，∠COA＝60°，∴△ACO为等边三角形，∴∠CAD＝60°，又∵∠CDO＝70°，∴∠ACD＝∠CDO﹣∠CAD＝10°．故选：D．6．解：A、AC不是弦，故错误；B、半圆是弧，不包括弧所对的弦，故错误；C、线段CD是△ABC边AB上的高，正确；D、线段AE不是△ABC边AC上的高，故错误，故选：C．7．解：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝OB，∴BC＝2AB，∴sin C＝＝，∴∠C＝30°．故选：A．8．解：连接OA，作OC⊥AB于C，则AC＝AB＝4，由勾股定理得，OC＝＝3，则3≤OP＜5，OP＝3有一种情况，OP＝4有两种情况，则符合条件的点P有3个，故选：B．9．解：分别过正六边形的顶点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，则∠EAM＝∠NBF＝30°，EF＝AB＝2，∵AM＝BN＝2＝1，∴EM＝FN＝1＝，∴MN＝++2＝3，∴△PMN的周长3×3＝9，故选：D．10．解：连接BD，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∵四边形BCDE是矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2，CD＝BD＝1，∴BC＝＝，∴矩形BCDE的面积＝BC•CD＝×1＝；故选：C．11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEB ＝∠D ＝80°，∴∠EAC ＝∠AEB ﹣∠ACE ＝30°，故选：C ．12．解：连接BP ，如图，当y ＝0时， x 2﹣4＝0，解得x 1＝4，x 2＝﹣4，则A （﹣4，0），B （4，0）， ∵Q 是线段PA 的中点，∴OQ 为△ABP 的中位线，∴OQ ＝BP ，当BP 最大时，OQ 最大，而BP 过圆心C 时，PB 最大，如图，点P 运动到P ′位置时，BP 最大，∵BC ＝＝5，∴BP ′＝5+2＝7，∴线段OQ 的最大值是．故选：C ．二．填空题（共6小题）13．解：∵OD ⊥AB ，∴AE ＝EB ＝AB ＝，设OA ＝OD ＝r ，在Rt △AOE 中，∵AO 2＝OE 2+AE 2，∴r 2＝（）2+（r ﹣）2，∴r＝，∴OE＝﹣＝，∵OA＝OC，AE＝EB，∴BC＝2OE＝，故答案为．14．解：∵AB、AC的延长线与圆分别相切于点F、E，∴AF＝AE，∵圆O与BC相切于点D，∴CE＝CD，BF＝BD，∴BC＝DC+BD＝CE+BF，∵△AB C的周长等于16，∴AB+AC+BC＝16，∴AB+AC+CE+BF＝16，∴AF+AE＝16，∴AF＝8．故答案为：8．15．解：连接OG，DF，∵BC＝2，E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∵AB＝3，AF＝1，∴BF＝2，由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝，∴DF＝EF，在Rt△DAF和Rt△FBE中，，∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL）∴∠ADF＝∠BFE，∵∠ADF+∠AFD＝90°，∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°，∵FD＝FE，∴∠FED＝45°，∵OG＝OE，∴∠GOE＝90°，∴劣弧的长＝＝π，故答案为：π．16．解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OA，OB，则△OAB是等边三角形，过O作OH⊥AB于H，∴∠AOH＝30°，∴OH＝AO＝，故答案为：．17．解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，∴∠BAD ＝60°．∵AD ＝AB ＝2，∴△ABD 是等边三角形．∴DE ＝AD ＝1，∠ODE ＝∠ADB ＝30°，∴OD ＝＝．故答案为 18．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S 阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．三．解答题（共8小题）19．（1）证明：连接OC ，∵D 为的中点，∴＝，∴∠BOD ＝BOC ，∵∠BAC ＝BOC ，∴∠A ＝∠DOB ；（2）解：DE 与⊙O 相切，理由：∵∠A ＝∠DOB ，∴AE ∥OD ，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．20．（1）证明：连接OA，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°，∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∴∠E＝∠EAF，∴AF＝EF，∴BF＝EF；（2）解：连接AB，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，又∵tan∠P＝，即，∴PB＝，∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P，∴△APB∽△CPA，∴，即PA2＝PB•PC，∴，解得PA＝．21．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．22．解：（1）CF与⊙O相切．连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝BD，∴∠A＝∠D，又∵OA＝OB，∴OC是△ABD的中位线．∴OC∥BD，∴∠OCF＝∠CFD＝90°，即CF⊥OC．∴CF与⊙O相切；（2）过点O作OH⊥BE于点H，则∠OCF＝∠CFH＝∠OHB＝90°，∴四边形OCFH是矩形，∴OC＝FH，OH＝CF，设BH＝x，∵OC＝5，BF+CF＝6，∴BF＝5﹣x，OH＝CF＝6﹣（5﹣x）＝x+1，在Rt△BOH中，由勾股定理知：BH 2+OH 2＝OB 2，即x 2+（x +1）2＝52，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（不合题意，舍去）．∴BH ＝3，∵OH ⊥BE ，∴BH ＝EH ＝BE ，∴BE ＝2BH ＝2×3＝6．23．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝∠BCG ＝∠AFB ＝90°，∴∠BAF +∠ABF ＝90°，∠ABF +∠EBF ＝90°，∴∠EBF ＝∠BAF ，在△ABE 与△BCG 中，，∴△ABE ≌△BCG （ASA ）；（2）解：连接OF ，∵∠ABE ＝∠AFB ＝90°，∠AEB ＝55°，∴∠BAE ＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF ＝2∠BAE ＝70°，∵OA ＝3，∴的长＝＝．24．（1）证明：连接OA ，则∠COA ＝2∠B ，∴∠B ＝∠D ＝30°，∴∠COA ＝60°，∴∠OAD ＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴OA ⊥AD ，即CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵BC ＝4，∴OA ＝OC ＝2，在Rt △OAD 中，OA ＝2，∠D ＝30°，∴OD ＝2OA ＝4，AD ＝2，所以S △OAD ＝OA •AD ＝×2×2＝2，因为∠COA ＝60°，所以S 扇形COA ＝＝π，所以S 阴影＝S △OAD ﹣S 扇形COA ＝2﹣．25．证明（1）∵AB ＝AC ，AC ＝CD ∴∠ABC ＝∠ACB ，∠CAD ＝∠D∵∠ACB ＝∠CAD +∠D ＝2∠CAD∴∠ABC ＝∠ACB ＝2∠CAD∵∠CAD ＝∠EBC ，且∠ABC ＝∠ABE +∠EBC ∴∠ABE ＝∠EBC ＝∠CA D ，∵∠ABE ＝∠ACE∴∠CAD ＝∠ACE∴CE ＝AE（2）①当∠ABC ＝60°时，四边形AOCE 是菱形；如图，连接OE∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE∴△AOE≌△EOC（SSS）∴∠AOE＝∠COE，∵∠ABC＝60°∴∠AOC＝120°∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC∴△AOE，△COE都是等边三角形∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，∴四边形AOCE是菱形故答案为：60°②如图，过点C作CN⊥AD于N，∵AE＝，AB＝，∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD ∴AN＝DN在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，∴EN＝∴AN＝AE+EN＝＝DN∴DE＝DN+EN＝故答案为：26．（1）证明：如图，连接AC，BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAO＝90°，∵CD为⊙O的切线，∴∠ECA+∠ACO＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠ECA＝∠B，∵EF＝CE，∴∠ECF＝∠EFC，∵∠ECF＝∠ECA+∠ACG，∠EFC＝∠GAF+∠G，∵∠ECA＝∠B＝∠G，∴∠ACG＝∠GAF＝∠GCH，∴；（2）解：∵CH是⊙O的直径，∴∠CAH＝90°，∵CD是⊙O的切线，∴∠EC O＝90°，设CO＝2x，∵sim∠CDO＝＝，∴DO＝6x，∴CD＝＝4，∵E为DC的中点，∴CE＝＝2，EH＝＝2，∵∠ECH＝∠CAH，∠CHA＝∠EHC，∴△CAH∽△ECH，∴，∴CH2＝AH•EH，∴AH＝，∵AH＝2，∴，∴x＝3，∴⊙O的半径CO＝2x＝6．人教版九年级数学上册第24章圆单元测试题一、选择题(每小题3分，共18分)1．在⊙O 中，∠AOB ＝84°，弦AB 所对的圆周角度数为( ) A ．42° B ．138°C ．69°D ．42°或138°2．如图1，在半径为4的⊙O 中，弦AB ∥OC ，∠BOC ＝30°，则AB 的长为( ) A ．2 B ．2 3 C ．4 D ．4 3图1 图23．如图2，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O ，并且分别与x 轴、y 轴交于点B ，C ，已知B (8，0)，C (0，6)，则⊙A 的半径为( )A ．3B ．4C ．5D ．84．若100°的圆心角所对的弧长为5π cm ，则该圆的半径R 等于( )A ．5 cmB ．9 cm C.52 cm D.94cm5．已知OA 平分∠BOC ，点P 在OA 上，如果以点P 为圆心的圆与OC 相离，那么⊙P 与OB 的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定6．如图3，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB ，AC 于点E ，D ，DF 是半圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G .若AF 的长为2，则FG 的长为( )A ．4B ．3 3C ．6D ．2 3图3 图4二、填空题(每小题4分，共28分)7．如图4，若AB 是⊙O 的直径，AB ＝10 cm ，∠CAB ＝30°，则BC ＝________cm. 8．如图5，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，以点A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则∠BAC 的度数是________．图59.如图6，已知在正方形ABCD 中，AB ＝2，以点A 为圆心，半径为r 画圆，当点D 在⊙A内且点C在⊙A外时，r的取值范围是________．图610．如图7，某同学用纸板做了一个底面圆直径为10 cm，高为12 cm的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计)，则做这个玩具所需纸板的面积是________cm2(结果保留π)．图7 图811.如图8，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦AE的垂直平分线交⊙O于点C，交AE于点F，CD⊥AB于点D，BD＝1，AE＝4，则AD的长为________．12．半圆形纸片的半径为1 cm，用如图9所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________cm.图9 图1013．如图10，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C 旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为________．三、解答题(共54分)14．(8分)如图11，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝12，∠ABC＝∠DAC，求AC的长．图1115．(10分)如图12，BE是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点C.(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O的半径．图1216．(10分)如图13，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，AO＝1.(1)求∠C的度数；(2)求图中阴影部分的面积．图1317．(12分)如图14，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，P(4，2)是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)求点B的坐标．图1418．(14分)如图15，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE 上的一点，且CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．图15详解详析1．D2．D [解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AD ＝DB .∵AB ∥OC ，∠BOC ＝30°， ∴∠B ＝∠BOC ＝30°.∵在Rt △DOB 中，∠B ＝30°，OB ＝4， ∴OD ＝2.∴DB ＝42－22＝2 3. ∴AB ＝2DB ＝4 3.3．C [解析] 连接BC .∵∠BOC ＝90°， ∴BC 为⊙A 的直径，即BC 过圆心A . 在Rt △BOC 中，OB ＝8，OC ＝6，根据勾股定理，得BC ＝10，则⊙A 的半径为5. 4．B [解析] 由100πR180＝5π，求得R ＝9.5．A6．B [解析] 连接OD .∵DF 为半圆O 的切线，∴OD ⊥DF . ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 又∵OD ＝OC ，∴△OCD 为等边三角形，∴∠CDO ＝∠A ＝60°，∠DOC ＝∠ABC ＝60°， ∴OD ∥AB ，∴DF ⊥AB .在Rt △AFD 中，∵∠ADF ＝90°－∠A ＝30°，AF ＝2，∴AD ＝4. ∵O 为BC 的中点，易知D 为AC 的中点， ∴AC ＝8，∴FB ＝AB －AF ＝8－2＝6.在Rt △BFG 中，∠BFG ＝90°－∠B ＝30°， ∴BG ＝3，根据勾股定理，得FG ＝3 3. 故选B.7．5 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.又∵AB ＝10 cm ，∠CAB ＝30°， ∴BC ＝12AB ＝5 cm.8．105° [解析] 设⊙A 与BC 相切于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC . 在Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝1，所以∠B ＝30°，因而∠BAD ＝60°.同理，在Rt △ACD 中，得到∠CAD ＝45°，因而∠BAC 的度数是105°.9．2＜r ＜2 210．65π [解析] 如图，过点P 作PO ⊥AB 于点O ，则O 为AB 的中点，即圆锥底面圆的圆心．在Rt △PAO 中，PA ＝OP 2＋OA 2＝122＋52＝13.由题意，得S 侧面积＝12lr ＝12×底面圆周长×母线长＝12×π×10×13＝65π，∴做这个玩具所需纸板的面积是65π cm 2.故答案为65π.11．4 [解析] ∵CF 垂直平分AE ，∴AF ＝12AE ＝2，∠AFO ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ODC ＝∠AFO ＝90°. 又∵OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COD ， ∴△AOF ≌△COD (AAS)， ∴CD ＝AF ＝2.设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r －1.由勾股定理，得OC 2＝OD 2＋CD 2，即r 2＝(r －1)2＋22，解得r ＝52，∴AD ＝AB －1＝2×52－1＝4.故答案为4.12. 3 [解析] 如图，连接MO 交CD 于点E ，则MO ⊥CD ，连接CO .∵MO ⊥CD ，∴CD ＝2CE .∵对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合， ∴ME ＝OE ＝12OC ＝12cm.在Rt △COE 中，CE ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32(cm)， ∴折痕CD 的长为2×32＝3(cm)． 13．4 [解析] 连接OE ，延长EO 交CD ′于点G ，过点O 作OH ⊥B ′C 于点H ，则∠OEB ′＝∠OHB ′＝90°.∵矩形ABCD 绕点C 旋转所得矩形为A ′B ′CD ′，∴∠B ′＝∠B ′CD ′＝90°，AB ＝CD ＝5，BC ＝B ′C ＝4，∴四边形OEB ′H 和四边形EB ′CG 都是矩形，OE ＝OD ＝OC ＝2.5， ∴B ′H ＝OE ＝2.5，∴CH ＝B ′C －B ′H ＝1.5， ∴CG ＝B ′E ＝OH ＝OC 2－CH 2＝2.52－1.52＝2.∵四边形EB ′CG 是矩形，∴∠OGC ＝90°，即OG ⊥CD ′， ∴CF ＝2CG ＝4. 故答案为4.14．解：连接CD .∵∠ABC ＝∠DAC ，∴AC ︵＝CD ︵，∴AC ＝CD . ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ACD ＝90°.∴AC 2＋CD 2＝AD 2，即2AC 2＝AD 2.∴AC ＝22AD ＝6 2. 15．解：(1)如图，连接OA .∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径，∴OA ⊥AC ， ∴∠OAC ＝90°.∵∠ADE ＝25°，∴∠AOE ＝2∠ADE ＝50°，∴∠C ＝90°－∠AOE ＝90°－50°＝40°. (2)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝2∠C . ∵∠OAC ＝90°，∴∠AOC ＋∠C ＝90°，∴3∠C ＝90°，∴∠C ＝30°，∴OA ＝12OC .设⊙O 的半径为r . ∵CE ＝2，∴r ＝12(r ＋2)，解得r ＝2，∴⊙O 的半径为216．解：(1)∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴AD ︵＝BD ︵，∴∠C ＝12∠AOD .∵∠AOD ＝∠COE ，∴∠C ＝12∠COE .又∵AO ⊥BC ，∴∠C ＋∠COE ＝90°， ∴∠C ＝30°.(2)连接OB ，由(1)知∠C ＝30°， ∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝120°. 在Rt △AOF 中，AO ＝1，∠AOF ＝60°， ∴∠A ＝30°，∴OF ＝12，∴AF ＝32，∴AB ＝2AF ＝ 3.故S 阴影＝S 扇形OAB －S △OAB ＝13π－34.17．解：(1)证明：∵⊙O 的半径为2，∴OA ＝2. 又∵P (4，2)，∴PA ∥x 轴，即PA ⊥OA ，则PA 是⊙O 的切线．(2)连接OP ，OB ，过点B 作BQ ⊥OC 于点Q . ∵PA ，PB 为⊙O 的切线，∴PB ＝PA ＝4，可证得Rt △PAO ≌Rt △PBO ，∴∠APO ＝∠BPO . ∵AP ∥OC ，∴∠APO ＝∠POC ， ∴∠BPO ＝∠POC ，∴OC ＝PC .设OC ＝PC ＝x ，则BC ＝PB －PC ＝4－x ，OB ＝2.在Rt △OBC 中，根据勾股定理，得OC 2＝OB 2＋BC 2，即x 2＝22＋(4－x )2，解得x ＝52，∴BC ＝4－x ＝32.∵S △OBC ＝12OB ·BC ＝12OC ·BQ ， ∴BQ ＝2×32÷52＝65. 在Rt △OBQ 中，根据勾股定理，得OQ ＝OB 2－BQ 2＝85， ∴点B 的坐标为(85，－65)． 18．解：(1)证明：∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD ，∴BD ＝CD .∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴点A ，D 都在线段BC 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分BC ，∴BE ＝CE .(2)四边形BFCD 是菱形．理由：由(1)知AD 垂直平分BC ，∴BF ＝CF .∵CF ∥BD ，∴∠DBE ＝∠FCE ，∠BDE ＝∠CFE .又∵BE ＝CE ，∴△BDE ≌△CFE ，∴BD ＝CF .又∵BD ＝CD ，BF ＝CF ，∴BD ＝CD ＝CF ＝BF ，∴四边形BFCD 是菱形．(3)连接OB .∵BC ＝8，AD ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝4.∵AD ＝10，∴OB ＝OD ＝5.在Rt △OBE 中，由勾股定理，得OE ＝OB 2－BE 2＝3，∴DE ＝OD －OE ＝2，∴CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5.人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(7)一．选择题1．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为（）A．26°B．52°C．54°D．56°2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（）A．22°B．26°C．32°D．34°3．已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点A（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．与⊙O的位置关系无法确定4．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°5．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆6．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是cm，则这个正六边形的周长是（）A． cm B．12cm C． cm D．36 cm7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长（）A．2πB．πC．D．4π8．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠ACB＝110°，则∠P的度数是（）A．55°B．30°C．35°D．40°9．如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q10．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥CD交AB于F，若AE＝2BF，DF＝2，则⊙O的半径长为（）A．B．4C．D．二．填空题11．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为．12．如图所示，AB是⊙O的直径．PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P ＝40°，则∠B等于．13．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为．14．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为．15．如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是．16．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．17．已知点A是圆心为坐标原点O且半径为3的圆上的动点，经过点B（4，0）作直线l⊥x 轴，点P是直线l上的动点，若∠OPA＝45°，则△BOP的面积的最大值为．18．如图，已知⊙O的半径为m，点C为直径AB延长线上一点，BC＝m．过点C任作一直线l，若l上总存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于．三．解答题19．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点的切线交CB的延长线于点P，过点B 的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．（1）求证：BF＝EF；（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求PA的长度．20．如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点，点C，D在⊙O上，且PD是⊙O的切线，PC＝PD．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，DO＝PO，求图中阴影部分的面积．21．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）22．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．（1）求证：OP∥BC；（2）过点C作⊙O的切线CD，交A P的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O 的直径．23．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：DF＝DG．24．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．25．【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ ⊥ON．（1）求∠POB的度数；（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取3.1）参考答案一．选择题1．解：∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∵∠OBC＝26°，∴∠AOB＝2∠C＝52°，故选：B．2．解：连接CO，∵∠A＝68°，∴∠BOC＝136°，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣136°）＝22°．故选：A．3．解：∵OA＝3cm＜5cm，∴点A在⊙O内．故选：A．4．解：∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．故选：C．5．解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；故选：C．6．解：设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：∵O是正六边形ABCDEF的中心，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝60°，AO＝BO＝2cm，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12cm．故选：C．7．解：连接OA、OC，如图．∵∠B＝135°，∴∠D＝180°﹣135°＝45°，∴∠AOC＝90°，则劣弧AC的长＝＝2π．故选：A．8．解：在优弧AB上取点D，连接BD，AD，OB，OA，∵∠ACB＝110°，∴∠D＝180°﹣∠ACB＝70°，∴∠AOB＝2∠D＝140°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠AOB﹣∠OBP＝40°．故选：D．9．解：连接OM，ON，OQ， OP，∵MN、MQ的垂直平分线交于点O，∴OM＝ON＝OQ，∴M、N、Q再以点O为圆心的圆上，OP与ON的大小不能确定，∴点P不一定在圆上．故选：C．10．解：连接AD，CF，作CH⊥BD于H，如图所示：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠BDF+∠BDC＝90°，∠CBD+∠DBA＝90°，∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，∴△ADF∽△BDC，∴＝＝，∵∠DAE+∠DAB＝90°，∠E+∠DAE＝90°，∴∠E＝∠DAB，∴△ADE∽△BDA，∴＝，∴＝，即＝，∵AB＝BC，∴AE＝AF，∵AE＝2BF，∴BC＝AB＝3BF，设BF＝x，则AE＝2x，AB＝BC＝3x，∴BE＝＝x，CF＝＝，由切割线定理得：AE2＝ED×BE，∴ED＝＝＝x，∴BD＝BE﹣ED＝，∵CH⊥BD，∴∠BHC＝90°，∠CBH+∠BCH＝∠CBH+∠ABE，∴∠CBH＝∠ABE，∵∠BAE＝90°＝∠BHC，∴△BCH∽△EBA，∴＝＝，即＝＝，解得：BH＝x，CH＝x，∴DH＝BD﹣BH＝x，∴CD2＝CH2+DH2＝x2，∵DF⊥CD，∴CD2+DF2＝CF2，即x2+（2）2＝（）2，解得：x＝，∴AB＝3，∴⊙O的半径长为；故选：A．二．填空题11．解：连接CO，∵CD切⊙O于点C，∴CO⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝26°，∴∠OCB＝90°﹣26°＝64°，∵CO＝BO，∴∠ABC＝∠OCB＝64°．故答案为：64°．12．解：∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POA＝90°﹣40°＝50°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO＝25°，故答案为：25°．13．解：连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，由垂径定理得，点H为△ABC的外接圆的圆心，∵A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），∴点H的坐标为（2，1），则△ABC外接圆的半径＝＝2，故答案为：2．14．解：由题意：BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，∴S＝＝．扇形BAC故答案为．15．解：设OE交DF于N，如图所示：∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，∴△ONF是等腰直角三角形，∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠MEN＝45°，∴△EMN是等腰直角三角形，∴MN＝EN，∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，∴△MEF的面积＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；故答案为：2﹣．16．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．17．解：当PA是⊙O的切线时，OP最长，则PB最长，故△BOP的面积的最大，连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∵∠OPA＝45°，∴△OPA是等腰直角三角形，∴OA＝PA＝3，∴OP＝3，在Rt△BOP中， PB＝＝＝，∴△BOP的面积的最大值为×4×＝2，故答案为2．18．解：∵PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互相垂直，∴∠MON＝90°，∴四边形PMON是正方形，根据勾股定理求得OP＝m，∴P点在以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O上，以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，如图所示，∵PC是大圆⊙O的切线，∴OP⊥PC，∵OC＝2m，OP＝m，∴PC＝＝m，∴OP＝PC，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP的最大值等于45°，．故答案为45°．三．解答题19．（1）证明：连接OA，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°，∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∴∠E＝∠EAF，∴AF＝EF，∴BF＝EF；（2）解：连接AB，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，又∵tan∠P＝，即，∴PB＝，∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P，∴△APB∽△CPA，∴，即PA2＝PB•PC，∴，解得PA＝．20．（1）证明：连接OC，在△PDO与△PCO中，，∴△PDO≌△PCO（SSS），∴∠PCO＝∠PDO，∵PD是⊙O的切线，∴∠PDO＝90°，∴∠PCO ＝90°，∴PC 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠PDO ＝90°，DO ＝PO ，∴∠POD ＝60°，∴∠DOC ＝120°，∵⊙O 的半径为2，∴PD ＝OD ＝2，∴图中阴影部分的面积＝S四边形PDOC ﹣S 扇形DOC ＝2××2×2﹣＝4﹣．21．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝∠BCG ＝∠AFB ＝90°，∴∠BAF +∠ABF ＝90°，∠ABF +∠EBF ＝90°，∴∠EBF ＝∠BAF ，在△ABE 与△BCG 中，，∴△ABE ≌△BCG （ASA ）；（2）解：连接OF ，∵∠ABE ＝∠AFB ＝90°，∠AEB ＝55°，∴∠BAE ＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF ＝2∠BAE ＝70°，∵OA ＝3，∴的长＝＝．22．（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴＝∴∠AOP＝∠COP，∴∠AOP＝∠AOC，又∵∠ABC＝∠AOC，∴∠AOP＝∠ABC，∴PO∥BC；（2）解：连接PC，∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP，∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP，∵OA＝OP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，在Rt△PCD中，PD＝PC，又∵PC＝OP＝AB，∴PD＝AB，∴AB＝4PD＝4．23．证明：（1）∵点D为△BCE的内心，∴BD平分∠EBC．∴∠EBD＝∠CBD．又∵∠DBE＝∠BAD，∴∠CBD＝∠BAD．又∵AB是〇O直径，∴∠BDA＝90°．在Rt△BAD中，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．又∵AB为直径，∴BC是〇O的切线；（2）连接ED，如图，则ED平分∠BEC，∴∠BED＝∠CED．∵∠EFD为△BFD的外角。

人教版九年级数学上册第24章圆的培优训练(含答案)

第24章圆的培优1 如图，AB为O O的直径，CD是弦,AB丄CD于点E, OF丄AC于点F , BE = OF .(1)求证：△ AFO ◎△ CEB;(2)若BE = 4, CD = 8 二，求：①O O的半径；②求图中阴影部分的面积.2. 如图，AB是O O的直径，AC是弦，0D丄AB交AC于点D.若/ A= 30°, OD = 2.求CD的长.3. 如图，AB是O O的直径，AC丄AB, E为O O上的一点，AC= EC,延长CE交AB的延长线于点D .(1)求证：CE为O O的切线；(2)若OF丄AE, OF = 1，/ OAF = 30°,求图中阴影部分的面积. (结果保留n)4. 如图，在厶ABC中，分别以A, B为圆心，AC, BC为半径在厶ABC的外侧构造扇形CAE , 扇形CBD，且点E, C, D在同一条直线上，=60°,= 90°.(I)求/ ACB的度数.A, B到直线ED的距离的和.5•如图，在Rt△ ABC中，/ A = 90°, O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD，已知BD = 2, AE= 3, tan/ 2(1)求证：AE是O的切线；(2 )求图中两部分阴影面积的和.6.已知：如图，在 O O 中，直径 BC = 8, M 为AB 的中点，/ ABC = 30°，点E 时圆上任3意一点，MF 丄ME 交BC 于F .(1)求劣弧AC 的长；7.一条排水管的截面如右图所示，截面中有水部分弓形的弦 AB 为—- cm ,弓形的高为6cm .(1)求截面O O 的半径.&如图，在△ ABC 中，AB = AC , O O 是厶ABC 的外接圆，D 为弧AC 的中点, 长线上一点，/ DAE = 105°.E是BA 延 (1)求/ DAC 的度数;(2 )若0 O 的半径为3，求弧BC 的长.AB 的长.6.已知：如图，在 O O 中，直径 BC = 8, M 为AB 的中点，/ ABC = 30°，点E 时圆上任3 9. AB 是O O 的直径，PA 切O O 于点A , PO 交O O 于点C ,连接BC ,若/ P = 30 (1) 求/ B 的度数；(2) 若PC = 2,求BC 的长.10.如图，点I 是厶ABC 的内心，BI 的延长线与△ ABC 的外接圆O O 交于点D ，与AC 交于点E ,延长 CD 、BA 相交于点F ，/ ADF 的平分线交 AF 于点G .(1)求证： DG // CA ;(2)求证： AD = ID ;(3)若 DE = 4, BE = 5,求 BI 的长.11•如图，在Rt △ ABC 中，/ ACB = 90°, D 是AC 上一点，过B , C , D 三点的O O 交AB 于点E ,连，接ED , EC ,点F 是线段AE 上的一点，连接 FD ，其中/ FDE = Z DCE .(1) 求证：DF 是O O 的切线.(2) 若D 是AC 的中点，/ A = 30°, BC = 4,求DF 的长.D12.如图，AB是O O的直径，CA与O O相切于点A,且CA= BA .连接0C ,过点A作AD丄0C于点E,交O 0于点D，连接DB .(1)求证：△ ACEBAD;(2)连接CB交O0于点M，交AD于点N •若AD = 4，求“ MN的长.13.如图，△ ABC 中，/ C= 90°,/ ABC= 2/ A,点O 在AC 上，OA= OB,以O 为圆心,OC为半径作圆.(1)求证：AB是O O的切线；(2)若BC = 3,求图中阴影部分的面积.14•如图，M , N是以AB为直径的O O上的点，且厂.，弦MN交AB于点C, BM平分/ ABD, MF丄BD于点F .(1)求证：MF是O O的切线；(2)若CN = 3, BN= 4,求CM 的长.15.如图，△ ABC内接于O O, AB = AC, BO的延长线交AC于点D,且/ DOC = Z DCO ,E是弧AC上的一点，过点C作CF丄AE交AE的延长线于点F，连接OA(1)求证：AO丄BC;(2 )若3 / CAF = 2 / ABC，求证：CF是O O的切线；(3 )若0 O的半径为1，求CD的长.参考答案1. ( 1)证明：T AB为O O的直径，AB丄CD,••• BC= BD,•••/ A=Z DCB,••• OF 丄AC,.•./ AFO = Z CEB ,•/ BE= OF ,AFO也厶CEB (AAS).(2)①•/ AB为O O的直径，AB丄CD ,设OC= r，贝U OE= r - 4,••• r2=( r - 4) 2+(4 二)2•• r = 8.②连结OD .•/ OE= 4= OC ,•/ OCE= 30°,/ COB = 60°,•••/ COD = 120°,•/△ AFO也厶CEB ,•S^AFO = S^BCE,…S阴=S扇形OCD—S^OCDA2•解：连接BC,如图，•/ OD 丄AB,•••/ AOD = 90°,•••/ A= 30°,•AD = 2OD = 4, OA= 二OD = 2 二, T AB是O O的直径，•••/ ACB= 90 ° ,••• BC^—AB = 2 二，2•- AC= “ f. BC = 2] X “ j .：= 6,•CD = AC- AD = 6 - 4= 2 .3. ( 1)证明：连接OE ,•/ AC= EC，OA = OE,•••/ CAE=Z CEA，/ FAO=Z FEO ,•/ AC丄AB,.•./ CAD = 90°,•••/ CAE+ / EAO = 90°,•••/ CEA+ / AEO = 90°,即/ CEO= 90°,•OE 丄CD ,•CE为O O的切线；(2)解：I/ OAF = 30°, OF = 1••• AO= 2;••• AF =二即AE="；•-甘“ i.皑-二•// AOE= 120 ° , AO = 2;• ^ " : "；…_二卩」总’二石"HF4•解：(1)v在厶ABC中，分别以A, B为圆心，AC, BC为半径在厶ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C, D在同一条直线上，=60°,： = 90°,•••/ EAC= 60°，/ CBD = 90° , AE= AC, BC = BD,/ CBD)= 45°,•••/ ACB= 180 ° -/ ACE -/ BCD = 180°- 60 ° - 45°= 75(2) ■-过 A 作AQ丄EC 于Q,：过 B 作BF丄CD 于F，则/ AQC = / BFD = 90°,•// ACE= 60 °，/ BCD = 45 ° ,•••/ QAC= 30°,/ FBC = / BCD = 45°,•/ AC= 2, BC = 4,CQ = —AC=丄1= 1,2 2 £由勾股定理得：AQ=pf/_ ：=甘、，2BF2= 42,解得：BF = 2 二，AQ+BF = 一+2 匚,所以点A, B到直线ED的距离的和是一+25. ( 1)证明：连接0E .•••AB与圆0相切，••• 0D 丄AB .•••在Rt A BDO 中，BD = 2, tan/BOD = -OD 3•OD = 3.•// A= 90°, OD 丄AB,•AE// OD .•/ OD = AE = 3, AE / OD ,•四边形AEOD为平行四边形，•AD // EO.•/ DA丄AE,•OE丄AC.又•/ OE为圆的半径，•AC为圆O的切线.(2)解：T OD // AC,•一• :■-:即」--,• EC= AC —AE = 7.5 — 3 = 4.5,3+黔.9兀_ 39-9兀 4 ^T~ 4 6•解：（1连接AO ,•••直径 BC = 8,••• AO = 4,•••/ ABC = 30 ° ,•••/ AOC = 60°,（2）连接AC ,•/ BC 是O O 的直径,•••/ CAB = 90 ° ,AB = BC = 4 _, 2••• M 为AB 的中点，BM = AB = 2 二，•/ MF 丄 ME ,• FM =— BM =二，BF = 3,■_L延长EM 交O O 于N ,过 O 作OH 丄EN 于H ，连接 ON ,则 OH = PM =二 HM = OF = 4- 3 = 1 ,• NH = HE ，• EM = EH - HM = V I 「1.7 .解：（1）设O O 半径为r ，作OC 丄AB 于C 点，交弧AB 于D 点•••AB = 12 乙J9OJI X 3三360•劣弧AC 的长= X4 ~~180•/ CD = 6,解得：r = 12 (cm)答：截面O O的半径为12cm.(2)连接AD ,AD = OA= OD•••△AOD是等边三角形，•••/ AOD = 60° 同理/ BOD = 60°•••/ AOB= 120 °•弧长丄"i - ■.r..：答：截面中有水部分弓形的弧AB的长为8冗cm .&解：(1)v AB= AC,•/ ABC=Z ACB,•••D为「.的中点，•，•••/ CAD = Z ACD ,2,：，•••/ ACB= 2 / ACD ,又DAE = 105°,•/ BCD = 105°,•/ ACD = .. X 105°= 35°,•••/ CAD = 35°；(2)•/ DAE = 105。

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人教版2020-2021数学九年级上册第24章圆培优训练一．选择题（共10小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD+CD的值为（）A．3B．2C．+1D．不能确定2．如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（）A．B．C．D．﹣3．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（）A．B．C．4D．54．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（）A．B．C．D．5．若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（）A．B．C．D．以上答案均不正确6．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上一点，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，过F做作圆O的切线EF，BF交CD于G．则以下说法其中正确的是（）A．MB＝3B．EF＝4C．FD∥AB D．EF＝EG7．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．B．7﹣4C．D．18．模型结论：如图①，正△ABC内接于⊙O，点P是劣弧AB上一点，可推出结论P A+PB ＝PC．应用迁移：如图②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2，F是△DEG 内一点，则点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为（）A．B．5C．3D．9．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错10．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8二．填空题（共12小题）11．如图，⊙O的半径为1，点D为优弧上一动点，AC⊥AB交直线BD于C，且∠B＝30°，当△ACD的面积最大时，∠BAD的度数为．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为，线段DH长度的最小值为．13．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，与y轴相切的⊙M与x轴交于A、B两点，AC为⊙M 直径，AC＝10，AB＝6，连结BC，点P为劣弧上点，点Q为线段AB上点，且MP ⊥MQ，MP与BC交于点N．则当NQ平分∠MNB时，点P坐标是．15．如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB ＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为．16．如图，已知⊙O的半径为2，正方形ABCD的边长为2，过点O作OM⊥AB，垂足为M，AM＝BM，若阴影部分的面积为2，则OM长为．17．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P 运动的时间为t秒，则当t＝秒时，⊙P与坐标轴相切．18．如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于．19．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是．20．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为．21．如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的圆O分别交BC，CD于点E，F．若AB＝13，BC＝14，CE＝9，则线段EF的长为．22．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，将扇形OAB绕边OB的中点D 顺时针旋转90°得到扇形O'A'B'，弧A'B′交OA于点E，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共28小题）23．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．24．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．25．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．26．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．27．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．28．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．29．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB 的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．30．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．31．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E 是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，求的最大值．32．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．33．如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．34．如图，以▱ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连结BF．过点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．35．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，＝，△ACD的面积为6，求BD的长．36．如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．（1）求证：PM是⊙O的切线；（2）若，求的值．37．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O半径r＝3，DE＝4，求AD的长．38．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．39．以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连结EF、OE．（1）求证：EF是⊙的切线；（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．40．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上．（1）若设△ABC的三边为a，b，c（其中∠A对边为a，∠B对边为b，∠C对边为c），试用含a，b，c的代数式表示AD，BD的长（2）证明：正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．41．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD （1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．42．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m 的值．43．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连结OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．44．如图，已知，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M（不包括A，B两点），以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C．求证：∠ACB为定值．45．如图所示，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，以CD为弦作一与AB相切的圆，分别交CA，CB于点M，N．（1）求证：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的长度．46．如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC 的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．47．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．48．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．（1）求证：AB＝BF．（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．49．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD，CD．（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB＝∠ADC，求证：BP与⊙O相切；（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD 为⊙O的直径，当∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6时，求⊙O半径的长．50．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．。

人教版2020-2021数学九年级上册 第24章 圆 培优训练

【期末专项】人教版数学九年级上第24章圆解答题综合培优训练含答案

2020-2021学年人教版九年级数学上学期第24章圆 单元测试卷(含答案)