2020届湖南省长郡中学高三第五次模拟考试数学(文)

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2020届湖南省长沙市长郡中学2017级高三上学期第五次月考数学(文)试卷及解析

2020届长沙市长郡中学2017级高三上学期第五次月考数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一､选择题：1.设全集{|25,}U x x x Z =-≤<∈,{0,2,3,4}A =,{2,1,0,1,2}B =--,则图中阴影部分所表示的集合为（）A. {0,2}B. {3,4}C. {0,3,4}D. {2,1,0,1,2}-- 【答案】B【解析】首先将全集U 用列举法列举出来,在求阴影部分表示的集合可得答案.【详解】解：可得阴影部分所表示的集合为()U A B ∩,集合{0,2,3,4}A =,{3,4}UB =,则(){3,4}U A B ⋂=. 故选：B .2.已知R a ∈,则“1a >”是“11a <”的（） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】“a＞1”⇒“11a ＜”,“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”,由此能求出结果．【详解】a∈R,则“a＞1”⇒“11a ＜”,“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”, ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合,例如“p ⇒q ”为真,则p 是q 的充分条件． 2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ,q ⇒p 与非p ⇒非q ,p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ,则A 是B 的充要条件．3.2019年是中国成立70周年,也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日,全民齐心奋力建设小康社会,某校特举办“喜迎国庆,共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况,则下列说法正确的是（）A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差【答案】D【解析】根据茎叶图分别找出中位数,求出平均数,方差,即可判断.【详解】由茎叶图可得：甲组选手得分的平均数：x 甲7582838793845++++==, 乙组选手得分的平均数：x 乙7783858591845++++==, 两个平均数相等,所以A 选项错误；。

湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高三上学期月考数学

长郡中学2023届高三月考试卷数学本试卷共8页。

时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合||1|1,{} ==--∈A y y x x R ，{}3|log 1,=≥B x x ，则A∩=RBA ．{|1}≥-x xB ．{}|3<x xC ．}{|13-≤≤x xD ．{}|13-≤<x x2.若复数z 满足||2,3-=⋅=z z z z ，则2z 的实部为A -2B ．-1C ．1D ． 2★3.函数()()241--=-x x x e e f x x 的部分图象大致是★4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则⋅=EM ENA ． 12-B ．32-C ． -2D ．-3★5.随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升。

某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程，甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”事件B=“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C=“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则 A ． A 与B 为对立事件 B ．A 与C 互斥 C ． B 与C 相互独立D ． A 与C 相互独立★6.已知三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，底面△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，且23，π=∠=BC BCA ，三棱锥P-ABC的体积为3，过点A 作⊥AM PB 于M ，过M 作MN ⊥PC 于N ，则三棱锥P-AMN 外接球的体积为A ．323π B．3C．3D ．43π 7.若sin 2sin ,sin()tan()1αβαβαβ=+⋅-=，则tan tan αβ=A ．2B ．32C ． 1D ．128.已知函数f （x ），g （x ）的定义域为R 。

2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期高考模拟卷(二)数学(文)试题【解析版】.docx

2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期高考模拟卷(二)数学(文)试题一、单选题1.已知A = {xeN*|x<3}, 3 = {x| 亍一4x<o},则A B =()A. (1,2,3}B. {1,2}C. (0,3]D. (3,4]【答案】A【解析】先求解集合A,3,然后求解A B.【详解】因为A = {xeN*|xV3}={l,2,3} , B = |x|x2-4x<0j = {%|0<%<4},所以A 3 = {1,2,3}.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题, 侧重考查数学运算的核心素养.2.若复数Z],Z2在复平面内对应点的坐标分别为(2,1), (0,-1),则Z『Z2=()A. 2 + zB. 1 — 2zC. —1 — 2z D, —i【答案】B【解析】根据复数的几何意义可得Z] =2 + z',Z2 =T,再利用复数相乘，即可得到答案;【详解】Z] = 2 + z, = —z,Zj • z2 = (2 + z) - (―z) = 1 — 2z',故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的乘法运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知命题p'.^x^R, _?+2》+ 3<0，则命题P的否定是( )A. HxeR, x2 + 2x + 3>0B. \/xeR, x2 + 2% + 3<0C. X/xeR, X1 +2x + 3>0D. X/xeR, x2 +2x + 3>0【答案】C【解析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题。

的否定.【详解】命题P为特称命题，其否定为f NxwR, %2 + 2x + 3>0 -故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.4.已知a = f b — log2—, c = 2‘，则（）A.aVbVcB. b<c<aC. c<b<aD. b<a<c【答案】D] 。

2020届湖南省长沙市长郡中学高三第五次月考数学(理)试题及答案

长郡中学2020届高三月考试卷（五）一、选择题：1. 设常数a∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A∪B=R ，则a 的取值范围为（） A. （﹣∞，2） B. （﹣∞，2]C. （2，+∞）D. [2，+∞）2.已知复数10()3iz a a R i=+∈-，若z 为纯虚数，则2a i -=（） A. 5B.5 C. 2 D. 33.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .1312π+ B.134π+ C. 14π+D. 112π+ 4.设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（）A.13B. 3C. 6D. 95.若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++ ⎪⎝⎭，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（） A. 2B. 3C. 1lg99+D. 2lg99+6.函数sin ()2xxf x e =图象的大致形状是A. B.C. D.7.执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出S =（）A.511B.1011C.3655D.72558.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（）种 A. 27B. 36C. 33D. 309.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（） A. 31362+ B. 21343+ C. 51333+D. 61332+10.已知函数()sin()(0)f x A x ωϕϕπ=+<<的部分图象如图所示，若0()3f x =，05(,)36x ππ∈，则0sin x 的值为（）A.410+B.410C.310+D.11.设双曲线22221(0,0) x ya ba b-=>>的左焦点为1F，左顶点为A，过1F作x轴的垂线交双曲线于P、Q两点，过P作PM垂直QA于M，过Q作QN垂直PA于N，设PM与QN的交点为B，若B到直线PQ的距离大于a）A. B. )∞ C. D. )+∞12.已知函数2()22lnxf xx e x=-与()2lng x e x mx=+的图像有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A. (4,0)- B.1(,2)2C.1(0,)2D. (0,2)二、填空题：13.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为__________．14.已知261(2)()x axa++展开式中含4x项的系数为45，则正实数a的值为_________15.设双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点为F，直线l为双曲线C的一条渐近线，点F关于直线l 的对称点为P，若点P在双曲线C的左支上，则双曲线C的离心率为__________．16.数列{}n a满足112324221nna a a a n-+++⋯+=-，且数列{}n a的前n项和为n S，若实数λ满足对于任意n*∈N都有24nSλλ<<，则λ的取值范围是____．三、解答题：17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A=2c cos C．（1）求角C的大小；（2）若△ABC周长为3，求△ABC的内切圆面积S的最大值．18.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂中为G，G在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC==⊥==，E是BC的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值；（2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 19.为弘扬民族古典文化，学校举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确给改选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”．（1）求且的概率；（2）记，求的分布列，并计算数学期望． 20.已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点2(2,).2（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P Q ，两点，满足直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围．21.已知函数()e (0)axf x bx a =+<在点()()0,0f 处的切线方程为51y x =+,且()()1112f f ='+.(Ⅰ)求函数()y f x =的极值；(Ⅱ)若()23f x x >+在[]1,x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值.22.已知曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点(1,0)M ，倾斜角为6π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||MA MB +． 23.设函数()|23||1|f x x x =++-. （1）解不等式()4f x >；（2）若存在0312x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，使不等式01()a f x +>成立，求实数a 的取值范围.长郡中学2020届高三月考试卷（五）一、选择题：1. 设常数a∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A∪B=R ，则a 的取值范围为（） A. （﹣∞，2） B. （﹣∞，2]C. （2，+∞）D. [2，+∞）【答案】B 【解析】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2.已知复数10()3iz a a R i=+∈-，若z 为纯虚数，则2a i -=（） A. 5B.5 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】【分析】化简已知复数，由纯虚数的定义可得a 值，再由复数的模长公式可得结果．【详解】化简可得()()()10310333i i i z a a i i i +=+=+--+=()103110i a -+=a -1+3i ， ∵z 是纯虚数，∴a ﹣1＝0，解得a ＝1， ∴|1-2i |22125=+= 故选B.【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及纯虚数的概念及复数的模长公式，属于基础题． 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 1312π+B.134π+ C. 14π+D. 112π+【答案】D 【解析】【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【详解】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：1113412ππ⨯⨯=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：1 12112⨯⨯⨯=，故组合体的体积112V π=+，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键，属于中档题.4.设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（） A.13B. 3C. 6D. 9【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：2·,,6,3k k Z k ππωω=∈∴=又0ω>，所以当1k =时，ω的最小值是6，故选C.考点：正弦函数的性质.5.若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++ ⎪⎝⎭，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（） A. 2 B. 3 C. 1lg99+ D. 2lg99+【答案】B 【解析】试题分析：由()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭可得：，记，有，由累加法得：，数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为，故选B.考点：递推数列及数列求和. 6.函数sin ()2xxf x e =的图象的大致形状是A. B.C. D.【答案】A 【解析】令x =0可得()00f =，则排除C 、D ；()cos sin '2e xx xf x -=,当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos sin '02exx xf x -=>，当ππ,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos sin '02e xx x f x -=<，故排除B ，本题选择A 选项.7.执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出S =（）A.511B.1011C.3655D.7255【答案】A 【解析】因S ＝13，i ＝4＜10，所以S ＝13＋115＝25，i ＝6＜10，所以S ＝25＋135＝37，i ＝8＜10，所以S ＝37＋163＝49，i ＝10＝10，所以S ＝49＋199＝511，i ＝12＞10，输出S ＝5118.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（）种 A. 27 B. 36 C. 33 D. 30【答案】D 【解析】因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：233318C A ⨯=种； 3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有：132312C A ⨯=种；所以，选派方案共有18+12=30种．本题选择D 选项.9.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（） A. 31362+ B. 21343+ C. 51333+ D. 61332+【答案】D 【解析】【分析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案．【详解】如图，延长EF 与A 1B 1的延长线相交于M ，连接AM 交BB 1 于H ，延长FE 与A 1D 1的延长线相交于N ，连接AN 交DD 1 于G ，可得截面五边形AHFEG ．∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是边长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点， ∴EF ＝32，AG ＝AH 2264213=+=，EG ＝FH 223213=+=． ∴截面的周长为61332+．故选D ．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征及立体几何中的截面问题，补全截面图形是关键，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．10.已知函数()sin()(0)f x A x ωϕϕπ=+<<的部分图象如图所示，若0()3f x =，05(,)36x ππ∈，则0sin x 的值为（）334+ 334- 343+ 343-【答案】A 【解析】由题设中提供的图像信息可知42233T T ππππ=-=⇒=，则212πωπ==，所以()5sin()f x x ϕ=+，结合图像可知sin()13πϕ+=，则26k πϕπ=+，所以()5sin()6f x x π=+．则由题意00()5sin()36f x x π=+=，即03sin()65x π+=，又因为0536x ππ<<，所以0536666x πππππ+<+<+，即026x πππ<+<，所以094cos()16255x π+=-=-，故003341334sin sin[()]66525210x x ππ=+-=⨯+⨯=，应选答案A ． 11.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，左顶点为A ，过1F 作x 轴的垂线交双曲线于P 、Q 两点，过P 作PM 垂直QA 于M ，过Q 作QN 垂直PA 于N ，设PM 与QN 的交点为B ，若B 到直线PQ 的距离大于22a a b ++，则该双曲线的离心率取值范围是（） A. (1,2) B. (2)+∞ C. (1,22) D. (22,)+∞【答案】B 【解析】由题意设(,),(,0)P c t A a --，则2211,PN PAb e t b e k k a c-=-==-，故21QN k b e =-，由题设2211b e b e -<-，即22222(1)2c a b e e --⇒，所以2e >，应选答案B ．点睛：本题旨在考查双曲线的标准方程及有关几何性质等基础知识和基本方法的综合运用．求解时充分借助题设条件，运用等价化归与转化的数学思想及数形结合的思想和意识建立了不等式．最后通过解不等式，从而使得问题简捷、巧妙地获解．12.已知函数2()22ln x f x x e x=-与()2ln g x e x mx =+的图像有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（） A. (4,0)- B. 1(,2)2C. 1(0,)2D. (0,2)【答案】C 【解析】【分析】由题意可得m ＝﹣（x ＞0且x ≠e ）有4个不等实根，设h （x ）＝﹣，求得导数和极值点、最值，考虑x →+∞，→0，可得h （x ）的极限，即可得到所求m 的范围．【详解】解：函数与g （x ）＝2elnx +mx 的图象有4个不同的交点，即为mx ＝﹣2elnx ，即m ＝﹣（x ＞0且x ≠e ）有4个不等实根，设h （x ）＝﹣，导数h ′（x ）＝﹣，由h ′（x ）＝0，可得x ＝2elnx 或3x ＝2elnx 或x ＝e （舍去），由y ＝的导数为y ′＝，当x ＞e 时，函数递减，当0＜x ＜e 时，函数递增，可得x ＝e 处取得极大值，且为最大值，则x ＝2elnx 有两解，3x ＝2elnx 无解，当x ＝2elnx ，可得m ＝0，即为h （x ）的最小值，由x →+∞，→0，可得﹣＝﹣→，可得当0＜m ＜时，m ＝﹣（x ＞0且x ≠e ）有4个不等实根，故选：C ．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查分离参数法和构造函数法，以及极限思想，运用导数求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于难题．二、填空题：13.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为__________．【答案】25【解析】【分析】用（x ，y ）表示甲乙摸球的号码，将甲获胜的基本事件一一列出．再从中找出乙摸1号球的基本事件，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】用（x ，y ）表示甲乙摸球的号码，则甲获胜包括5个基本事件：（2，1），（2，1），（2，0），（2，0），（1，0）．在甲获胜的条件下，乙摸1号球包括2个基本事件：（2，1），（2，1）．则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率P 25=．故答案为25．【点睛】本题考查了条件概率及古典概型概率计算公式，考查了利用列举法找基本事件的方法，属于中档题．14.已知261(2)()x ax a++展开式中含4x 项的系数为45，则正实数a 的值为_________ 【答案】1或22【解析】【分析】求出二项式61()ax a+的通项公式，结合已知进行求解即可. 【详解】二项式61()ax a+的通项公式为：66261661()()r rr r r r r T C ax C a x a---+=⋅⋅=⋅⋅. 当64r -=时，即2r =，4x 项的系数为222615C a a ⋅=；当62r -=时，即4r =时，2x 的系数为：422615C a a --⋅=.因为261(2)()x ax a++展开式中含4x 项的系数为45，所以有22221515451a a a -⋅+=⇒=或212a =，而0a >，所以1a =，或2a =. 故答案为：1或2【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，考查了数学运算能力.15.设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，点F 关于直线l的对称点为P ，若点P 在双曲线C 的左支上，则双曲线C 的离心率为__________．【解析】【分析】先求得点F 到渐近线的距离，根据对称性，则可得PE 、PF,再利用双曲线的定义得到a 、b 的关系，进而求得结果.【详解】如图：由点F 关于直线l 的对称点为P ，可知FH ⊥OH ，又F (1,0)到渐近线l:y=bx a的距离为d bcb ==，即FH=b ，OH=a ，∴PF=2b，PE=2a ，由双曲线的定义可知2b-2a=2a ，∴b=2a，又c 2＝b 2+a 2＝5a 2， ∴e 5ca== 5【点睛】本题考查双曲线C 的离心率，考查双曲线的定义及简单几何性质的应用，关键是将对称问题转化为垂直平分的条件，属于中档题．16.数列 {}n a 满足112324221n n a a a a n -+++⋯+=-，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，若实数λ满足对于任意n *∈N 都有24n S λλ<<，则λ的取值范围是____．【答案】314λ≤< 【解析】【分析】先求出首项，把递推公式中的n 用1n -代换，这样两个等式相减，可以求出n a 的表达式，最后求出数列{}n a 的通项公式，再利用等比数列的前n 项和公式结合已知进行求解即可.【详解】当1n =时，11a =，当2n ≥()n *∈N 时，由112324221(1)n n a a a a n -+++⋯+=-，可得2123124223(2)n n a a a a n --+++⋯+=-，(1)(2)-得，12222n n n n a a --⋅=⇒=，因此有21,12,2()n nn a n n N -*=⎧=⎨≥∈⎩.当1n =时，122141414S λλλλλ<<<⇒<⇒<<；当2n ≥()n *∈N 时，1211()1213()31212n n n S ---=+=-<-，因此有23n S ≤<，而 24n S λλ<<对于任意n *∈N 恒成立，所以有43λ≥，且22λ<，解得34λ≤<.故答案为：314λ≤< 【点睛】本题考查了由递推公式求数列的通项公式，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.三、解答题：17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a cos B +b cos A =2c cos C ．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的周长为3，求△ABC 的内切圆面积S 的最大值．【答案】（1）C =3π（2）12π【解析】【分析】(1)先根据正弦定理化边为角，化简即得cos C =12，解得结果，(2)先根据余弦定理得3+ab =2（a +b ），再根据基本不等式得ab，即可求得内切圆面积S 的最大值．【详解】解：（Ⅰ）因a cos B +b cos A =2c cos C ⇔sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos C ，即sin （A +B ）=2sin C cos C ，而sin （A +B ）=sin C ＞0，则cos C =12，又C ∈（0，π），所以C =3π．（Ⅱ）令△ABC 的内切圆半径为R ，有12ab sin 3π=12•3R ，则Rab ，由余弦定理得a 2+b 2-ab =（3-a -b ）2，化简得3+ab =2（a +b ），而a +b3+ab．，则a ，b 至少有一个不小于3，这与△ABC 的周长为3矛盾；若ab≤1，则当a=b=1=c 时，R 取最大值36．综上，知△ABC的内切圆最大面积值为S max=π（36）2=12π．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题. 18.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂中为G，G在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC==⊥==，E是BC的中点．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）若F点是棱PC上一点，且DF GC⊥，求PF FC的值．【答案】（1）1010；（2）3. 【解析】试题分析：（1）依题意，可以以G点为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由向量的夹角公式即可求得两异面直线所成角的余弦值；（2）可设(0,,)F y z，由和共线得到点F坐标，求出其长度即可.试题解析：（1）以G点为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B，(0,2,0),(0,0,4)C P，故∵，∴GE 与PC 所成角的余弦值为1010．（2）解：设(0,,)F y z ，则，∵，∴，即33(,,)(0,2,0)23022y z y -⋅=-=，∴32y =，又，即3(0,,4)(0,2,4)2z λ-=-，∴1z =，故3(0,,1)2F ，，∴352352PFFC == 考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.19.为弘扬民族古典文化，学校举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确给改选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”．（1）求且的概率；（2）记，求的分布列，并计算数学期望．【答案】（1）1681；（2）分布列见解析，．【解析】试题分析：（1）回答6个问题总得分为20分,则正确4个，错误2个,再分情况讨论；（2）的取值为10，30，50,再算出取每个值时的概率,写出分布列,算出期望．试题解析：（1）当时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第1个问题回答正确，第2个问题回答错误，第3个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题正确的概率为，则．同时回答每个问题错误的概率为．故所求概率为．（2）由可知的取值为10，30，50．可有，故的分布列为：1030 50考点：1．概率加法公式；2．数学期望．20.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32的椭圆过点2(2,).（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P Q，两点，满足直线OP PQ OQ、、的斜率依次成等比数列，求OPQ∆面积的取值范围．【答案】（1）2214xy+=；（2）(0,1)．【解析】试题分析：（1）先设出椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，再根据条件离心率为3及椭圆上的点2，代入即可得到椭圆方程；（2）先设出直线l方程(0)y kx m m=+≠及1122(,)(,)P x y Q x y、，然后联立椭圆方程得到212122284(1),1414km mx x x xk k-+=-=++及2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m∆=-+-=-+>．再由直线OP PQ OQ、、的斜率依次成等比数列得到2222814k mmk-+=+，由0m≠得到12k=±．代入0∆>中及直线OP OQ、的斜率存在得到202m<<，且21m≠，然后由点到直线的距离公式及两点间距离公式得到OPQ∆面积12S PQ d==1S<，从而得到OPQ∆面积的取值范围．试题解析：（1）由题意可设椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，则2ca=（其中222c a b=-，0c>），且222112a b+=，故2,1a b==．所以椭圆的方程为2214xy+=．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．故可设直线l：(0)y kx m m=+≠，设1122(,)(,)P x y Q x y、，由22{44y kx mx y=++=，消去y得222(14)84(1)0k x kmx m+++-=，则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m∆=-+-=-+>，且212122284(1),1414km mx x x xk k-+=-=++，故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m=++=+++，因为直线OP PQ OQ、、的斜率依次成等比数列，所以2221212121212()y y k x x km x x mkx x x x+++⋅==，即2222814k mmk-+=+．又0m≠，所以214k=，即12k=±．由于直线OP OQ、的斜率存在，且0∆>，得202m<<，且21m≠，设d 为点O 到直线l 的距离，则d =，PQ ==所以222121(1)22m m S PQ d m +-==<=≠，故OPQ ∆面积的取值范围为(0,1)．考点：1．椭圆的标准方程及几何性质；2．直线与圆锥曲线的位置关系；3．点到直线的距离公式；4．基本不等式．21.已知函数()e (0)axf x bx a =+<在点()()0,0f 处的切线方程为51y x =+,且()()1112f f ='+.(Ⅰ)求函数()y f x =的极值；(Ⅱ)若()23f x x >+在[]1,x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值.【答案】(Ⅰ)()()ln666ln6f x f =-=-极小值，无极大值；(Ⅱ)5. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由函数的解析式可得()e6xf x x -=+，结合导函数与极值的关系可得()()ln6ln6e 6ln666ln6f x f =-=-=-极小值，无极大值.(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数m 的最大值是5. 试题解析：(Ⅰ)()e axf x bx =+，那么()'e axf x a b =+由()()()'051'112f f f ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得5e e 12a aa b a b b +=⎧⎨+++=⎩，化简得()()e 210aa -+= 由0a <得1,6ab =-=，∴()e 6xf x x -=+即()'e60xf x -=-+=，得ln6x =-，∴()f x 在(),ln6∞--单调递减，在()ln6,∞-+单调递增，∴()()ln6ln6e6ln666ln6f x f =-=-=-极小值，无极大值.(Ⅱ)()23f x x >+在[]1,x m ∈上恒成立，等价于2e 630x x x --+->在[]1,x m ∈上恒成立.设()2e 63x g x x x -=-+-，则()'e 26x g x x -=--+设()()'e 26x h x g x x -==--+，则()'e 2x h x -=-，∵1x m ≤≤，有()'0h x <， ∴()h x 在区间[]1,m 上是减函数，又∵()()()12314e 0,22e 0,3e 0h h h ---=->=->=-<， ∴存在()02,3x ∈，使得()()00'0h x g x ==，当01x x ≤<时，有()'0g x >，当0x x >时，有()'0g x <.∴()y g x =在区间[]01,x 上递增，在区间()0,x m 上递减，又∵()()()1231e 20,2e 50,3e 60,g g g ---=+>=+>=+> ()()()4564e 50,5e 20,6e 30.g g g ---=+>=+>=-<∴当15x ≤≤时，恒有()0g x >；当6x ≥时，恒有()0g x <； ∴使命题成立的正整数m 的最大值为5.22.已知曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点(1,0)M ，倾斜角为6π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||MA MB +．【答案】（1）C ：224x y x +=，:l ()112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数；（2）MA MB +=【解析】【分析】(1)由题意计算可得曲线C 的普通方程为224x y x +=．直线l：1{12x y t =+=（t 为参数）(2)联立直线的参数方程与二次曲线，解析弦长公式可得12MA MB t t +=-=.【详解】解：（1）对于:C 由4cos ρθ=得24cos ρθ=，所以曲线C 的普通方程为224x y x +=．由直线l 过点()1,0M ，倾斜角6π得1{12x y t =+=（t 为参数）．（2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l的参数方程1{12x y t =+=（t 为参数）代入曲线22:40C x y x +-=中，可得22114104t ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得：230t --=∴12t t +123t t =- ∴1212MA MB t t t t +=+=-==23.设函数()|23||1|f x x x =++-.（1）解不等式()4f x >；（2）若存在0312x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，使不等式01()a f x +>成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){|20}x x x <->或；(2)32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式分类讨论可得不等式的解集为{|20}x x x -或(2)原问题等价于()min 1a f x +>，结合(1)中的结论可得32x =-时，()min 52f x =，则实数a 的取值范围为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，试题解析：（1）由题得，()33223412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，则有32324x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩或31244x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩或1324x x >⎧⎨+>⎩ 解得2x <-或01x <≤或1x >，综上所述，不等式()4f x >的解集为{|20}x x x -或（2）存在0312x ，⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()01a f x +>成立等价于()min 1a f x +> 由（1）知，312x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()4f x x =+， ∴32x =-时，()min 52f x =，故512a +>，即32a > ∴实数a 的取值范围为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，。

2020年长沙市长郡中学大联考高考数学模拟试卷(文科)(一)(有解析)

2020年长沙市长郡中学大联考高考数学模拟试卷(文科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2−7x+6<0,x∈Z}，N=(1,5)，则M∩N=()A. (1,5)B. {2,3，4}C. (1,6)D. {5}2.已知a为实数，若复数z=(a2−1)+(a+1)i为纯虚数，则a+i20201+i的值为()A. 1B. 0C. 1+iD. 1−i3.已知向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(2,x)，若a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则实数x的值为()A. 0B. 1C. 2D. 44.从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A. B. C. D.5.在△ABC中，已知b=2，a=3，cos A=−513，则sin B等于()A. 813B. 913C. 1013D. 11136.已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AB=2，PD=2√2，E为PD的中点，则异面直线EC与PB所成角的正弦值为A. √26B. √36C. √33D. √237.函数的图象大致为()A.B.C.D.8. 阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A. 18B. 20C. 21D. 409. 将函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为( )A. 7B. 6C. 5D. 410. 已知O 为原点，双曲线x 2a 2−y 2=1上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，交点分别为A ，B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. √52 D. 2√3311. 在四面体ABCD 中，AB =AC =2√3，BC =6，AD ⊥底面ABC ，△DBC 的面积是6，若该四面体的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π12. 已知函数f(x)={lnx, x >0−x 2−ax, x ⩽0，若方程f (x )=x +a 有2个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A. {a|−1⩽a <1或a >1}B. {a|a =−1或0≤a <1或a >1}C. {a ∥a =−1或a ≥0}D. {a|a ⩽−1或a ≥0}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={2x ,x <1f(x −1),x ≥1，则f(log 25)= ______ ．14. 化简：2sin(π−α)+sin 2αcos 2α2=_______．15. 已知P 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，则1|PF 1|+1|PF 2|的最小值为______ ．16. 平面四边形ABCD 中，已知对角线BD =16，CD =9，∠BDC =90°，sinA =45，则对角线AC的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 设数列{a n }满足a 1=2,a n+1−a n =3⋅22n−1(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n =na n ，求数列的前n 项和S n18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABC 是菱形，AB =2，∠BAD =60°，PA =3，点E 是PC 上一点． (1)求证：平面BED ⊥平面PAC ；(2)若E 是PC 中點，求三棱椎P −BDE 的体积．,a)(a>0)在C上，|AF|=319.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(p4(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)若直线AF与C交于另一点B，求|AF|的值．|BF|20.某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；(2)若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；(3)请根据频率分布直方图，求样本数据的中位数、平均数．21.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(其中α为参数)，曲线C2：(x−1)2+ y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；(2)若射线θ=π6(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．22.设函数f(x)=|x−2|−|x+3|．(1)求不等式f(x)<3的解集；(2)若f(x)的最大值为M，对正数x，y，z满足x+2y+z=M，求1x+y +1y+z的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查描述法、区间法表示集合，以及一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题．可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．解：M={x|1<x<6,x∈Z}={2,3，4，5}，N=(1,5)，∴M∩N={2,3，4}．故选：B．2.答案：D解析：本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题．利用复数z是纯虚数求出a，进行求解即可．解：复数z=(a2−1)+(a+1)i为纯虚数，可得a=1，a+i2020 1+i =1+11+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i．故选：D．3.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(2,x)，∴a⃗+b⃗ =(1,1+x)；∵a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=−1+1+x=0，解得x=0．故选：A．利用向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算，属于基础题．4.答案：C本题考查了古典概型.计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有9×8=72种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有5×4+4×5=40种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P =4072=59．故选C ．5.答案：A解析：本题考查了正弦定理和同角的三角函数的应用，属于基础题．根据正弦定理和同角的三角函数即可求出．解：由于A 是△ABC 的内角，故0<A <π， ∵cos A =−513， ∴sinA =√1−cos 2A =1213，∵b =2，a =3，由正弦定理可得sinB =bsinA a =23×1213=813，故选：A ．6.答案：C解析：本题考查利用空间坐标系，求异面直线所成的角，属于基础题目．解：以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则C (2,0,0),B (2,2,0),P(0,0,2√2),E(0,0,√2)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,√2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2√2)，，所以异面直线EC 和PB 所成角的正弦值为．7.答案：C解析：本题考查函数图像的识别，利用排除法即可得到结果，属于基础题．解：当−1e<x<0时，，所以，排除A，B，又因为x→+∞时，f(x)→0，排除D．故选C．8.答案：B解析：解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+⋯+2n+1+2+⋯+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9<15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+ 2+3=20≥15．∴输出S=20，故选：B．9.答案：C解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．求出平移后函数解析式，可得−ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，求得ω的最小值．解：∵将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin(ωx−ωπ6+π3)的图象关于y轴对称，∴−ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，则ω的最小值为5，故选：C．解析：解：渐近线方程是：x±ay=0，设P(m,n)是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay−m−an=0与OA方程：x−ay=0交点是A(m+an2,m+an2a)，|OA|=|m+an2|√1+1a2，P点到OA的距离是：d=√1+a2∵|OA|⋅d=1，∴|m+an2|√1+1a2⋅2=1，∵m2a2−n2=1，∴a=2，∴c=√5，∴e=√52．故选：C．求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．11.答案：D解析：本题考查三棱锥的外接球，考查空间想象能力，确定球的球心与半径是解题的关键，属于较难题．取CB的中点E，连接AE，DE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解：取CB的中点E，连接AE，DE，∵AB=AC=2√3，则AE⊥BC，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCA，AC，AB⊂平面BCA，则AD⊥AC，AD⊥AB，又AB=AC，则DC=DB，∴DE⊥BC，∵△DBC的面积是6，BC=6，∴DE=2，易求得AE=√AB2−(BC2)2=√3，∴AD=√DE2−AE2=1，取AD中点H，∴AH=12AD=12．设底面ABC的外接圆的圆心为G，设外接圆半径为r，则r2=32+(√3−r)2，可得外接圆半径r=2√3．作OG//AD，交AD的中垂线HO于O，则O为外接球的球心，半径为R=OA．可得：OA2=AH2+AG2，即R2=494．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=49π．故选：D．12.答案：B解析：先利用导数的几何意义求出当直线y =x +a 与曲线y =lnx 相切时a =1，当x ≤0时，f(x)=−x 2−ax ，令f(x)=x +a ，得(x +1)(x +a)=0，再对a 的值分情况讨论，分段分析方程f(x)=x +a 的实根的个数，从而得到a 的取值范围．本题主要考查了导数的几何意义，以及函数的零点与方程的根的关系，是中档题．解：当直线y =x +a 与曲线y =lnx 相切时，设切点为(t,lnt )，因为(lnx )′=1x ，所以切线的斜率k =1t =1，所以t =1，切点为(1,0)，代入y =x +a 得，a =−1．又x ≤0时，f (x )=−x 2−ax ，令f (x )=x +a ，得x +a =−x 2−ax ，即(x +1)(x +a )=0，所以①当a =−1时，lnx =x +a (x >0)有1个实根，此时(x +1)(x +a )=0(x ≤0)有1个实根，满足条件；②当a <−1时，lnx =x +a (x >0)有2个实根，此时(x +1)(x +a )=0(x ≤0)有1个实根，不满足条件；③当a >−1时，lnx =x +a (x >0)无实根，此时要使(x +1)(x +a )=0(x ≤0)有2个实根，应有−a ≤0且−a ≠−1，即a ≥0且a ≠1．综上所述，实数a 的取值范围是 {a ∥a =−1或0≤a <1或a >1}．故选：B ． 13.答案：54解析：解：log 25∈(2,3)，log 25−2<1．函数f(x)={2x ,x <1f(x −1),x ≥1，则f(log 25)=f(log 25−1)=f(log 25−2)=f(log 254)=2log 254=54．故答案为：54．判断log 25的范围，利用分段函数求解函数值即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，对数运算法则的应用，考查计算能力．14.答案：4sinα解析：本题考查三角函数的二倍角公式应用，属基础题；解：2sin(π−α)+sin2αcos 2α2=2sinα+2sinα·cosα12(1+cosα)=2sinα(1+cosα)12(1+cosα)=4sinα，故答案为4sinα．15.答案：2a解析：解：由题意，|PF 1|+|PF 2|=2a ，则∵|PF 1|+|PF 2|≥2√|PF 1||PF 2|∴|PF 1||PF 2|≤a 2(当且仅当|PF 1|=|PF 2|=a 时，等号成立)∴1|PF 1|+1|PF 2|≥2√1|PF 1|⋅1|PF 2|≥2a (当且仅当|PF 1|=|PF 2|=a 时，等号成立) ∴1|PF 1|+1|PF 2|的最小值为2a ，故答案为：2a ．利用椭圆的定义及基本不等式，可得|PF 1||PF 2|≤a 2(当且仅当|PF 1|=|PF 2|=a 时，等号成立)，再利用基本不等式，即可求1|PF 1|+1|PF 2|的最小值．本题考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.答案：27解析：解：根据题意，建立如图的坐标系，则D(0,0)，C(9,0)，B(0,16)，BD 中点为G ，则G(0,8)，设ABD 三点都在圆E 上，其半径为R ，在Rt △ADB 中，由正弦定理可得a sinA =1645=2R =20，即R =10，即EB =10，BG =8，则EG =6，则E 的坐标为(−6,8)，故点A在以点E(−6,8)为圆心，10为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，此时AC=10+EC=27；故答案为：27．根据题意，建立坐标系，求出D、C、B的坐标，设ABD三点都在圆E上，其半径为R，由正弦定理计算可得R=10，进而分析可得E的坐标，由于sin A为定值，则点A在以点E(−6,8)为圆心，10为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，计算即可得答案．本题考查正弦定理的应用，注意A为动点，需要先分析A所在的轨迹．考查分析问题解决问题的能力．17.答案：解：(1)由已知，当n≥1时，a n+1=[(a n+1−a n)+(a n−a n−1)+⋯+(a2−a1)]+a1=3(22n−1+22n−3+⋯+2)+2=22(n+1)−1，所以当n≥2时，a n=22n−1，而a1=2，满足a n=22n−1，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n−1．(2)由b n=na n=n⋅22n−1知S n=1×2+2×23+3×25+⋯+n⋅22n−1①，22⋅S n=1×23+2×25+3×27+⋯+n⋅22n+1②，①−②得(1−22)⋅S n=2+23+25+⋯+22n−1−n⋅22n+1=2−22n−1·221−22−n⋅22n+1=22n+1−23−n·22n+1，即S n=19[(3n−1)22n+1+2].解析：本题考查数列的递推关系，以及数列求和方法，属于中档题．(1)利用累加求和方法、等比数列的求和公式即可得出．(2)利用错位相减法即可得出．18.答案：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊆平面PAC∴BD⊥平面PAC，又BD⊆平面BDE，∴平面BDE ⊥平面PAC ；(2)解：∵E 是PC 的中点，∴V P−BDE =V C−BDE =V E−BCD =12V P−BCD =12(13×12×2×2×sin60°×3)=√32(或V P−BDE =V E−PBD =12V C−PBD =12V P−BCD )．解析：(1)证明PA ⊥BD ，AC ⊥BD ，推出BD ⊥平面PAC ，然后证明平面BDE ⊥平面PAC ，(2)E 是PC 的中点．利用等体积法V P−BDE =V C−BDE =V E−BCD =12V P−BCD ，求解即可．本题考查几何体轴中，平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19.答案：解法一：(Ⅰ)由抛物线的定义，得|AF|=p 4+p 2=3，2分解得p =4，3分所以C 的方程为y 2=8x.4分(Ⅱ)由(Ⅰ)，得A(1,a)，因为A(1,a)(a >0)在C 上，所以a 2=8，解得a =2√2或a =−2√2(舍去)，5分故直线AF 的方程为y =−2√2(x −2)，6分由{y =−2√2(x −2)y 2=8x消去y ，得x 2−5x +4=0，7分解得x 1=1，x 2=4，8分由抛物线的定义，得|BF|=4+2=6，9分所以|AF||BF|=12.10分解法二：(Ⅰ)由题意，可得{a 2=2p (p 4−p 2)2+a 2=92分解得{p =4a =2√23分所以C 的方程为y 2=8x.4分(Ⅱ)由(Ⅰ)，得A(1,2√2)，故直线AF 的方程为y =−2√2(x −2)，6分由{y =−2√2(x −2)y 2=8x消去y ，得x 2−5x +4=0，7分由韦达定理，得x 1x 2=4，又x 1=1，所以x 2=4，8分故|AB|=√(−2√2)2+1|x1−x2|=9，从而|BF|=|AB|−|AF|=6，9分所以|AF||BF|=12.10分．解析：解法一：(Ⅰ)由抛物线的定义，解得p，然后求解抛物线方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)，A(1,a)(a>0)在C上，求出a，求出直线AF的方程为y=−2√2(x−2)，由{y=−2√2(x−2)y2=8x求出B的坐标，然后求解|AF||BF|=12．解法二：(Ⅰ)由题意，可得{a2=2p(p4−p2)2+a2=9，求解可得抛物线方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)，得A(1,2√2)，故直线AF的方程为y=−2√2(x−2)，{y=−2√2(x−2)y2=8x，由韦达定理，求出B的坐标，然后求解距离的比即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数1×0.32×1800=576人．(2)样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：1×0.06×50+1×0.16×50=3+9=11人．(3)由图可知众数落在第三组[15,16)，是15+162=15.5，∴x=1100(13.5×6+14.5×16+15.5×38+16.5×32+17.5×8)=15.70．解析：(1)学校1800名学生中，由频率分布直方图能求出成绩属于第四组的人数．(2)由频率分布直方图能求出样本在这次百米测试中成绩良好的人数．(3)根据频率分布直方图，能求出样本数据的中位数、平均数．本题考查频数、众数、平均数的求法，考查频率分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.答案：解：(1)由{x=√3cosαy=sinα得x23+y2=1，所以曲线C1的普通方程为x23+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入(x−1)2+y2=1，得(ρcosθ−1)2+(ρsinθ)2=1，化简得曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；(2)依题意可设A(ρ1，π6)，B(ρ2，π6)，曲线C1的极坐标方程为ρ2+2ρ2sin2θ=3，将θ=π6(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程得12ρ2+ρ2=3，解得ρ1=√2．将θ=π6(ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程得ρ2=√3，所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√3−√2．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)根据交点的情况建立方程组，最后求出结果．22.答案：解：(1)当x≤−3时，原不等式可转化为：2−x+x+3=5<3不成立；当−3<x<2时，原不等式可转化为：2−x−x−3<3，解得x>−2，所以−2<x<2;当x≥2时，原不等式可转化为：x−2−x−3<3，恒成立，所以x≥2．故原不等式的解集为｛x|x>−2｝．(2)易得f(x)的最大值为5，由x+2y+z=M得，(x+y)+(y+z)=5,所以1x+y +1y+z=15(1x+y+1y+z)[(x+y)+(y+z)]=15(2+y+zx+y+x+yy+z)≥15(2+2√(y+z)(x+y)·(x+y)(y+z))=45.当且仅当x+y=y+z 取得等号．故所求最小值为45．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，属于中档题．(1)对x分类讨论，去绝对值，解得x的取值范围．(2)求出f(x)的最大值为5，运用“1‘’的代换以及基本不等式，即可得到答案．。

湖南省长沙市长郡中学2020届高三数学上学期第五次调研考试试题文(含解析)

湖南省长沙市长郡中学2020届高三数学上学期第五次调研考试试题文（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知实数a满足，且，则A．2＋i B．-2＋i C．2-i D ．-2-i2．设集合，，则A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]3．“函数在区间上单调递增”是“”的A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数的图象过定点P，且角的终边过点P，始边与x轴的正半轴重合，则的值为A ．B ．C ． D．5．数列满足点在直线上，则前5项和为A． B． C． D．6．设点为坐标原点，点E（1，k），点P（x，y）满足，若目标函数的最大值为10．则实数k＝A．2 B．5 C． D ．7．我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，“物不知数”问题，原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．这类问题可以用计算机解决．记N r （MOD m），即正整数N除以正整数m 的余数为r，例如102（MOD 4）．执行如图所示的程序框图，则输出的i等于A．6 B ．5 C．8 D．78．已知命题为奇函数；命题，则下面结论正确的是A．是真命题 B．是真命题C．是假命题 D．是假命题9．已知抛物线上一点M（4，y0）（y0＞0）到焦点F的距离为5，直线l 过点N（-1，0），且l⊥OM，则直线l与抛物线C的交点个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个10．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有成立，当取最小值时A．在上是增函数 B．在上是增函数C．在上是减函数 D．在上是减函数11．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则的最大值A ．B ．C ．D ．12．对于任意的，关于x的方程在上有三个根，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ． D．二、填空题13．已知三棱锥A－BCD的四个顶点都在同一个球的球面上，AB＝，BC＝3，AC＝2，若三棱锥A－BCD体积的最大值为，则此球的表面积为____．14．设是函数的一个极值点，则____．15．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P为双曲线C上一点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线交于点Q，P、Q均位于第一象限，且P为QF2的中点，则双曲线C的离心率为____．16．已知直线与曲线至少有一个公共点，则的取值范围是____．三、解答题17．已知正项数列满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，记数列的前n项和为T n，求证：．18．如图，在多面体ABCPE中，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥BC，2PE＝BC，M是线段AE 的中点，N 是线段PA上一点，且满足AN ＝AP（0＜＜1）．（Ⅰ）若，求证：MN⊥PC；（Ⅱ）是否存在，使得三棱锥M－ACN与三棱锥B－ACP 的体积比为1：12？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i（百万元）和相应的销售额y i（百万元）进行了统计，其中i＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：，，，，，，，其中，i＝1，2，3，4，5．（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月广告投入220万元时的月销售额．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20．已知点F（2，0），动点P满足：点P到直线x＝－1的距离比其到点F的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过F作直线l垂直于x轴与曲线C交于A、B两点，Q是曲线C上异于A、B的一点，设曲线C在点A、B、Q处的切线分别为l1、l2、l3，切线l1、l2交于点R，切线l1、l3交于点S，切线l2、l3交于点T，若RST的面积为6，求Q点的横坐标．21．已知函数，其中a∈R ．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，设、为曲线上任意两点，曲线在点处的切线斜率为k，证明：．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线，设该直线与直线l交于点B，求的最值．2020届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第五次调研考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先利用复数相等得到，再利用复数的除法得到.【详解】因为，故.又，故选C.【点睛】本题考查复数相等的条件及复数概念，属于基础题.2．A【解析】【分析】算出两个集合后可求它们的交集.【详解】，，故，故选A.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.3．B【解析】【分析】考虑函数在上为单调递增时实数的取值范围后可得两者的关系.【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增，取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增”是“”的必要不充分条件.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.4．C【解析】【分析】先求出的坐标，再求出，最后利用倍角公式求出后可得.【详解】因为的图像过定点，所以，故，，故选C.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化或者诱导公式，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.5．A【解析】【分析】根据点在直线上可以得到，从而得到，故为等比数列，根据公式可求.【详解】因为在直线上，所以，故，所以当时，有即，又，故，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，，选A.【点睛】数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.6．C【解析】【分析】目标函数为，画出不等式组对应的可行域，分两种情形结合目标函数最值讨论动直线的位置可得实数的值.【详解】由题设，有，不等式组对应的可行域如图所示：其中，，，.当时，动直线过时有有最大值，且最大值为，故.当时，动直线过或时有最大值，过前者，则最大值为，不合题意；若为后者，，舍去.综上，，选C.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．7．C【解析】【分析】流程图的作用是求最小的正整数，满足除以的余数分别为．【详解】流程图是求最小的正整数，满足除以的余数分别为．除以余数为的正整数依次为，其中第一个除以余数分别为的正整数为，是第8个整数，故的输出值为，选C．【点睛】本题考查流程图，要求能从流程图中看出能其作用并给出输出值，属于基础题．8．B【解析】【分析】先判断命题都是真命题，故可得正确选项．【详解】对于，的定义域为，，进一步化简得到，故为奇函数，故为真命题．对于，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示，，，因为，故，即．故为真命题，综上，为真命题，选B．【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假必假”，的真假判断是“真假相反”．9．B【解析】【分析】利用焦半径公式计算出后可得的坐标和抛物线的方程，再计算出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程利用判别式可得它们交点的个数．【详解】，所以，又，故，直线．由可得，解得，故直线与抛物线只有一个交点．选B．【点睛】一般地，抛物线上的点到焦点的距离为；抛物线上的点到焦点的距离为.直线与抛物线的交点个数可通过联立直线方程和抛物线方程结合判别式来讨论.10．B【解析】【分析】根据函数的零点和对称轴得到的值，再根据恒成立可以得到的表达式，求出的最小值后再求函数的单调区间可得正确的选项.【详解】因为为函数的零点，故.因为是图像的对称轴，故，故，.因，故或者，所以或者， .因恒成立，故，若，故，所以，故；若，则，所以，故；所以，令，，故，所以在上为增函数，故选B.【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.11．D【解析】【分析】设的外接圆的圆心为，则，故，计算的最大值可求的最大值.【详解】设的外接圆的圆心为，则圆的半径为，，故.，故，当共线同向时取最大值.选D.【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量、与已知角的边有关的向量转化.另外，在三角形中，如果为三角形的重心，则.12．A【解析】【分析】原方程可以化成，取，，利用导数研究两个函数的单调性、极值和最值可得实数的取值范围.【详解】原方程可以化成，取，.，当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数；当时，，故在上为增函数；，，，，故，在上为增函数.因为关于的方程在有三个不同的实数根，故，故，解答，故选A.【点睛】复杂方程的解的问题，应结合方程的特点将已知方程转化为熟悉函数对应的方程，再把方程解的特征转化为函数应该具有的特征，最后利用导数研究函数的单调性、极值等结合函数特征得到参数的取值范围，13．16【解析】【分析】为直角三角形，设球的半径为，体积最大时，到的距离为，利用体积的最大值计算出后可得球的表面积．【详解】为直角三角形，设球的半径为，球心为，的中点为，则平面，因平面，故．三棱锥的最大体积为，解得，故球的表面积为，填．【点睛】几何体的外接球的问题，关键是确定出球心的位置和球的半径，后者的计算需要把直径或半径放置在可解的三角形中．14．【解析】【分析】利用可得的值，从而得打的值．【详解】因为为的极值点，故即，所以，故，填．【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点且．15．【解析】【分析】的坐标为，从而，代入双曲线方程后可得离心率．【详解】双曲线的一条渐近线的方程为，设其倾斜角为，右焦点，则，故．又，故，所以，代入双曲线方程有，从而．填．【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．16．【解析】【分析】直线过定点，曲线如图所示，计算出动直线与曲线在第二象限内的圆弧相切以及动直线与第一象限内、第四象限内的圆相切时对应的斜率可得的取值范围．【详解】直线过定点，曲线如图所示：其中，各圆弧所在圆的半径为，设过的动直线为即，考虑动直线与第二象限的曲线相切时有，解得或（舎）过曲线在第一象限内的圆弧所在的圆心作的平行线，与曲线在第一象限内的交点为，则，故直线分别与曲线在第一象限、第四象限内的圆弧相切，故当动直线与曲线至少有一个公共点时，若斜率存在（），则即，也就是；若斜率不存在，则．综上，，故填．【点睛】动直线中含有两个参数，因为两个参数是齐次的，故而可判断动直线过定点．曲线的方程具有这样的特点：若在曲线上，则也在曲线上，故曲线关于轴对称、关于轴对称、关于原点对称，故而可准确刻画曲线的形状．17．（Ⅰ）通项公式为；（Ⅱ）详见解析．【解析】【分析】（1）用数学归纳法可求的通项．（2）由（1）可得，利用基本不等式可以证明，从而可证．【详解】（1），，，从而猜测：，下面用数学归纳法证明：当时，有；设当时，有，则当时，有，所以当时，有；由数学归纳法可知，．（2），由基本不等式有，所以，所以，故．【点睛】求数列的通项的基本方法有累加法、累乘法、配凑法等，每一种方法都有对应的递推关系，如用累加法，用累乘法．也可以利用数学归纳法求通项（先猜后证）．数列不等式的证明，可先求和再对和进行估计，如果不能求和，则需要对通项进行放缩，使得得到的新数列的前和易求且易估计．18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在，；．【解析】【分析】（1）利用平面平面得到平面，从而得到，根据为中位线得到，故．（2）到平面的距离与到平面的距离之比为，因此到平面的距离与到平面的距离之比为，只需要就有，此时，故可得的值．【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，，故平面．因平面中，故．在中，由可以得到，而，所以，故．（2）当时，有．因为，所以．设到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，由为中点可得，又由可得，故，所以．【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.不同三棱锥的体积关系可考虑它们的底面面积之比和高之比，注意选择共面的几何图形计算面积之比，选择共线的点计算高之比.19．（Ⅰ）更适宜作为月销售额关于月广告投入的回归方程；（Ⅱ）月广告投入万元时的月销售额为万元．【解析】【分析】（1）根据散点图选择作为回归方程．（2）利用公式及所给数据计算回归方程后可估计月销售额．【详解】（1）根据散点图选择作为回归方程．（2）令，则，，故回归方程为，当月广告投入为万元时，月销售额为（万元）．答：选择作为回归方程，当月广告投入为万元时，月销售额约（万元）．【点睛】回归分析中，回归方程类型的确定是关键，应根据散点图的特征选择合适的拟合函数（要熟悉常见函数的图像）．20．（Ⅰ）直线的普通方程为，轨迹C的方程为；（Ⅱ）点的横坐标为．【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求出的方程．（2）求出两点的坐标后求出曲线在三点处的切线方程，求出交点的坐标后可计算面积，从而得到的坐标．【详解】（1）点到的距离与点到直线的距离相等，故的轨迹为抛物线，从而．（2）令，则，．当时，有，故抛物线在处切线的斜率为，故在处切线方程为．同理处切线方程为．故．若，则，舎；若，可设在第一象限，则抛物线在处切线的斜率为，故在处切线方程为．由得，同理，所以，，解得或（舎）．【点睛】（1）求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.（2）直线与抛物线的相切问题，可借助于导数来计算切线的斜率.21．（Ⅰ）当时，的增区间为；当时，在为增函数，在为减函数．（Ⅱ）详见解析．【解析】【分析】（1）分和两种情况分别讨论导数的符号可得函数的单调区间．（2）原不等式等价于，不妨设，则不等式又可以转化为即，利用导数可证该不等式．【详解】（1）当时，，故的增区间为．当时，若，则，故在为增函数；若，则，故在为减函数；综上，当时，的增区间为；当时，在为增函数，在为减函数．（2）当时，，．原不等式等价于，不妨设，则原不等式又等价于，该式可进一步化为：，因此原不等式等价于，下证该不等式成立．令，则，故在为增函数，所以即成立，综上，原不等式成立．【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．多元不等式的恒成立问题，可考虑对原有的不等式变形（若齐次化、换元等），使得多元不等式转化为一元不等式，从而可利用导数证明．22．（Ⅰ）直线的普通方程、曲线C的参数方程（是参数）；（Ⅱ）的最大值为6，最小值为2．【解析】【分析】（1）消去参数后可得直线的普通方程，利用两角差的余弦公式及得直角方程后可得曲线的参数方程．（2）先计算圆心到直线的距离的最大值和最小值，从而得到圆上的动点到直线的距离的最大值和最小值，所求的的最大值与最小值时前者的的倍．【详解】（1）直线的普通方程为．，故，从而，圆的标准方程为，其参数方程为（为参数）．（2）考虑点圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，因直线的倾斜角为，故是圆上的点到直线的距离的的倍，所以的最大值为，最小值为．【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．当动点在圆上变化时，我们可用圆的参数方程来表示动点坐标，这样把二元函数的最值问题转化一元函数的最值问题．。

2020年湖南省长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)

2020年湖南省长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 为虚数单位，集合A ={i 2,0，i 4，2}，集合B ={x ∈R|2x >1}，则A ∩B =( )A. {−1,2}B. {1,2}C. {0,1，2}D. {2}2. 若sinα=√33，0<α<π2，则cosα=( )A. −√63B. −12C. 12D. √633. 在区间[−2,2]上任取一个数a ，则函数f(x)=|x 2−4x +3−a|+a 在x ∈[0,4]上的最大值是3的概率为( )A. 34B. 14C. 45D. 254. 一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图(2)放置，若其正视图为等腰直角三角形(如图(3))，则该容器的体积为( )A. 12√6cm 3B. 4√6cm 3C. 27√2cm 3D. 9√2cm 35. 若数列{a n }中，a 1=1，a n+1+3a n =0，则a 5=( )A. −27B. 27C. −81D. 816. 与圆x 2+(y −2)2=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线有( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 6条7. 已知直线x −√3y =0与中心在原点的双曲线C 交于A ，B 两点，F 是C 的右焦点，若FA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为( )A. √2B. √3+1C. 2D. √3−18. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( ) A. −8 B. −6 C. −3 D. 39. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥BD 1，则点B 1和动点P 的轨迹形成的图形的周长是( )A. 3√2B. 4√2C. 3√3D. 4√310. 设函数f(x)=sin(ωx −π6)(ω∈N ∗)在[5π12,5π6]上单调递减，则ω的值是( )A. 1B. 1或2C. 3D. 211. 设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，B(0,b)，若直线FB 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为( )A. √2B. √5+12C. √5−1D. √5−1212. 已知函数f(x)=x −1x +alnx ，若存在m ，n ，使得f′(m)=f′(n)=0，且m ∈(0,1e ]，则f(m)−f(n)的最小值为( )A. 4eB. 2eC. 4e 2D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组关于(x,y)的数据具有线性相关性：(0,0.9)，(1,1.9)，(3,3.2)，(4,4.4).且y 与x 之间的回归方程为ŷ=b x ̂+1.则b =________． 14. 设x =θ是函数f(x)=3sinx −cosx 的一个极值点，则sin2θ+2cos 2θ=________．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，c =2a 且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =24，则△ABC 的面积是________．16. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA =3，△ABC 是边长为√3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村中60户农民种植苹果、40户农民种植梨、20户农民种植草莓(每户仅扶持种植一种水果)，为了更好地了解三种水果的种植与销售情况，现从该村随机选6户农民作为重点考察对象；(1)用分层抽样的方法，应选取种植苹果多少户？(2)在上述抽取的6户考察对象中随机选2户，求这2户种植水果恰好相同的概率．18.记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0，6S n=a n2+3a n−4．(I)求{a n}的通项公式；(II)设b n=a n2+a n+12，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+119.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF//BE，AB⊥BE，平面ABCD⊥平面ABEF，AB=BE=2AF=2．(1)求证：AC//平面DEF；(2)求几何体E−ACD的体积．20.已知点P是抛物线C:y=14x2−3的顶点，A，B是C上的两个动点，且PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =−4．(1)判断点D(0,−1)是否在直线AB上？说明理由；(2)设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．21.设函数f(x)=xe−x，g(x)=ax2−2ax+1．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a=−12时，方程f(x)=g(x)+m有三个实数解，求m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+cosα,y=2+sinα(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y=√3x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={i 2,0，i 4，2}=A ={−1，0，1，2}， B ={x ∈R|2x >1}={x|x >0}，则A ∩B ={1,2}，故选：B根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.答案：D解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．解：∵sinα=√33，0<α<π2，．故选D ．3.答案：A解析：本题考查几何概型中的长度模型，难点是对函数f(x)的最大值为3的分析，求得a 的条件.注意到f(x)=|x 2−4x +3−a|+a 在x ∈[0,4]上的最大值是max{f(0),f(2),f(4)}，f(0)，f(4)是与x 无关的两个数，并且根据a 的范围[−2,2]可得f(0)与f(4)=3，然后可确定f(2)≤3，进而得到a 的取值范围，再根据几何概型中的长度模型计算概率，属中档题．解：由二次函数性质得f(x)=|x 2−4x +3−a|+a 在x ∈[0,4]上的最大值是max{f(0),f(2),f(4)}，∵f(x)max=3，又∵a∈[−2,2]，∴3−a>0，∴f(0)=f(4)=|3−a|+a=3−a+a=3，∴f(2)≤3，即|−1−a|+a≤3，即|1+a|+a≤3，当a≥−1时，得2a≤2，a≤1；当a∈[−2,−1]时，|−1−a|+a=−1−a+a=−1≤3显然成立，∴−2≤a≤1．1−(−2)=3，2−(−2)=4，∴函数f(x)=|x2−4x+3−a|+a在x∈[0,4]上的最大值是3的概率为34，故选A．4.答案：D解析：解：如图(2)，△PMN是该四棱锥的正视图，由图(1)知：PM+PN=6，且PM=PN，由△PMN为等腰直角三角形，知MN=3√2，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO=12MN=3√22，∴该容器的体积为V P−ABCD=13×(3√2)2×3√22=13×18×3√22=9√2．故选：D．推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3√2，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能求出该容器的体积．解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断．5.答案：D。

2020届湖南省长郡中学高三第五次模拟考试数学(理)

2020届湖南省长郡中学高三第五次模拟考试高三数学理科试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集R U =，集合{}{}1|,lg |+====x y y B x y x A ，那么)(B C A U =( )A.φB.]10(，C.)10(，D.),1(+∞ 2. 下列选项中，说法正确的是( )A ．若0>>b a ，则b a 2121log log >B ．向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈共线的充要条件是0=mC ．命题“1*2)2(3,-⋅+>∈∀n nn N n ”的否定是“1*2)2(3,-⋅+≤∈∀n n n N n ”D ．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的充要条件3. 已知,2,1==→→b a ，且⎪⎭⎫⎝⎛-⊥→→→b a a ，则向量→a 在→b 方向上的投影为（）A.21B. 22C. 1D.24．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若26712a a a ++=，则9S =（） A ．20B ．27C ．36D ．455．已知mn 、是两条不同直线,αβ、是两个不同平面,下列命题中的假命题是（） A ．若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥B ．若α⊥m n m ,//则n α⊥C ．若m α⊥，β⊂m ，则αβ⊥ D ．若n m =⋂βαα,//,则n m // 6.将函数sin()12y x π=-的图象上所有的点向右平移4π个单位长度,再把图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，则所得图象的的一条对称轴方程为（） A ．524x π=B ．512x π= C ．6x π= D ．3x π=7．函数()()22ln xxf x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称g 10药品，他先将g 5的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将g 5的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ．大于g 10B ．小于g 10C ．大于等于g 10D ．小于等于g 109. 已知1a b >>，若ln ,ln ,ln x b b a y a a b z a b b =-=-=-，则（） A.z x y << B.z y x << C.x z y << D.y z x <<.10已知三棱锥ABC D -的所有顶点都在球O 的球面上,22,2===AC BC AB ,若三棱锥ABC D -体积的最大值为2,则球O 的表面积为（） A ．π8B ．π9C ．325πD ．9121π11.已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩ 其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．()2,1-- B ．()1,0- C ．()()2,11,0---D ．()0,112.将函数sin2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦B ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13.已知==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛∈απαππαcos ,534sin ,,2 .14．若0m >，0n >，1m n +=，且()10t t m n+>的最小值为9，则t =______.15. 如图，在等腰三角形ABC 中，已知|AB |=|AC |=1，∠A =120°，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，且μλ==,,其中）（、1,0∈μλ且14=+μλ，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则||的最小值是 . 16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1)2n n n n S a =--，*n N ∈，则12100S S S +++= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．（本题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，CD =ACD ∆的面积为2．（Ⅰ）求AC 的长；（Ⅱ）若AD AB ⊥，4B π∠=，求BC 的长．18.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为()()*121,N n a n n S S n n ∈-+=，且7,1,531+-a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（本题满分12分）已知函数()cos xf x e x =，x x xg sin 3cos )(+=. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.（Ⅱ）120,,0,22x x ππ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦使得不等式()()12g x f x m +≥成立，求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点. （Ⅰ）求证：AG ⊥平面ADF ；（Ⅱ）若AB =，求二面角D CA G --的余弦值．21.（本小题满分12分）已知函数()1,af x nx a R x =+∈（Ⅰ）当1a =-时，若直线y kx b =+是函数()f x 的图像的切线，求k b +的最小值；（Ⅱ）设函数()1()f x g x x-=，若()g x 在2[1,]e 上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负．22. （本题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221,93x y +=在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在C 上，点Q 在l 上，求PQ 的最小值．23. （本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】己知0a >，函数()f x x a =-.（Ⅰ）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；（Ⅱ）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.参考答案13.102-14.4 15.77 16.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1213110017．⑴∵23D π∠=，CD =ACD ∆的面积为2∴11sin 22ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯=∴AD =.................................................................................................................3分∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=∴AC =.....................................................................................................................6分 ⑵由（1）知ACD ∆中AD =CD =23D π∠=∴6π=∠DAC∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠= ............................................................................................8分又∵4B π∠=，AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC ACBAC B=∠2=,∴BC =分18.（1）∵，又∴……………………………………………………………..2分又成等比数列．∴，…………………………………….3分即，解得，………………………………………………………..5分∴。

2020届湖南省名校联盟高三第五次调研考试数学(文)试题

2020届湖南省名校联盟高三第五次调研考试文科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,22.＝A. ﹣1B. ﹣iC. 1D. i3.甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是 A. 甲B. 乙C. 丙D. 不确定 4.函数的最小正周期为A. B. C. D. 25.已知实数，满足约束条件，则的最小值为A.B.C.D.6.设向量(0,2),==r ra b ，则,a b 的夹角等于A.3πB.6π C.32π D.65π7.设，，则“”是“ ”的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.若，则)A.B.C.D.9.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是A. B.C.D. 10.已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差A. 4B. 3C. 2D. 111.在中，，，则的最大值为A.B.C.D.12.在三棱锥中，平面ABC ，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．14.已知函数在点处的切线方程为，则．15.角的终边与单位圆相交于，则______．16.如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC＝120︒，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）某机构用“10分制”调查了各阶层人士对某次国际马拉松赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于分，则称该被调查者的满意度为“极满意”，求从这16人中随机选取3人，至少有2人满意度是“极满意”的概率；18（本大题满分12分）数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.19.（本大题满分12分）在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.（1）证明：；（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.20.（本大题满分12分）设函数,其中为自然对数的底数．（1）若,求的单调区间;（2）若,求证:无零点．21.（本大题满分12分）已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，椭圆2C 的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线1C 和2C 在第一象限的交点，且5||2MF =．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）设,A B 为抛物线1C 上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y x =上，(3,2)P 为定点，求PAB ∆面积的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.（1）若点的极坐标为，求的值；（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，．（1）求的最小值（2）证明：．文科数学试题答案1.A2.A3.C4.D5.A6.A7.A8.C9.D 10.B 11.A 12.D13.6 14.4 15.16.17.由茎叶图可知：这组数据的众数为86，中位数．被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别为，，，．从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率．18.（1）∵．n=1时，可得a1＝4，n≥2时，．与．两式相减可得＝（2n﹣1）+1=2n，∴．n=1时，也满足，∴.（2）=∴S n，又，可得n>9，可得最小正整数n为10．19.（1）∵AM＝AD＝3，MD＝3，∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，∴AM⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AM⊥BD．（2）在棱AD上取一点N，使得ND＝1，∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，∴EC ND，又AB∥CD，∴EN∥AB，∵＝，∴FN∥AM，∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF⊂平面ENF，∴EF∥平面MAB，∵AM⊥平面ABCD，且FD＝MD，AM＝3，∴F到平面ABCD的距离d＝，∴V D﹣AEF＝V F﹣ADE＝＝1．20.（1）若,则,∴．令,则,当时,,即单调递增,又,∴当时,单调递减,当时,单调递增．∴的单调递减区间为,单调递增区间为．（2）当时,，显然无零点．当时,(i)当时,，显然无零点．(ii)当时，易证，∴,∴．令，则，令，得，当时，；当时，，故，从而，显然无零点.综上,无零点．21.（1）设椭圆2C 的方程为22221(0)x y a b a b-=>>，半焦距为c ．由已知，点(1,0)F ，则1c =．设点00(,)M x y 00(,0)x y >，据抛物线定义，得0||1MF x =+．由已知，0512x +=，则032x =．从而0y ==3(2M ．设点E 为椭圆的左焦点，则(1,0)E -，7||2ME ==．据椭圆定义，得752||||622a ME MF =+=+=，则3a =．从而2228b a c =-=，所以椭圆2C 的标准方式是22198x y+=．（2）设点(,)D m m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211224,4y x y x ==．两式相减，得2212124()y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+．因为D 为线段AB 的中点，则122y y m +=．所以直线AB 的斜率124422k y y m m===+．从而直线AB 的方程为2()y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=．联立222204x my m m y x⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，得222240y my m m -+-=，则21224y y m m =-．所以12||||AB y y =-==．设点P 到直线AB 的距离为d，则2d =．所以21|||64|2PAB S AB d m m ∆==-+．由240m m ->，得04m <<．t =，则23|6|622PABt t t t S ∆--==(0t 2)<≤．设36()2t t f t -=(02)t <≤，则263()2t f t -'=．由()0f t '>，得0t <<()f t 在上是增函数，在上是减函数，所以max ()f t f ==PAB ∆面积的最大值为 22.（1）由，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得到+3=12,所以曲线C 的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为，化为直角坐标为（-2，0）由直线l 的参数方程为：（t 为参数），知直线l 是过点P （-2， 0），且倾斜角为的直线，把直线的参数方程代入曲线C 得，．所以|PM |•|PN |＝|t 1t 2|＝4．（2）由曲线C 的方程为，不妨设曲线C 上的动点，则以P 为顶点的内接矩形周长l，又由sin （θ）≤1，则l ≤16；因此该内接矩形周长的最大值为16． 23.（1）因为，，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．（2）．- 11 -。

2020届湖南长郡中学高考仿真抢分模拟(五)文科数学

2020届湖南长郡中学高考仿真抢分模拟(五)文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P＝{(x，y)|y＝k}，Q＝{(x，y)|y＝2x}，已知P∩Q＝∅，那么k的取值范围是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，0]D．(1，＋∞)答案C解析由P∩Q＝∅可得，函数y＝2x的图象与直线y＝k无公共点，所以k∈(－∞，0]．2．“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析(綈p)∨q为真命题包括以下三种情况：p假q真、p假q假、p真q真；p ∧(綈q )为假命题包括以下三种情况：p 假q 真、p 假q 假、p 真q 真；所以“(綈p )∨q 为真命题”是“p ∧(綈q )为假命题”的充要条件．3．欧拉公式 e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知e a i 为纯虚数，则复数sin2a ＋i1＋i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 e a i ＝cos a ＋isin a 是纯虚数，所以cos a ＝0，sin a ≠0，所以a ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以2a ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin2a ＝0，所以sin2a ＋i 1＋i ＝i1＋i ＝i (1－i )2＝12＋12i ，在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12位于第一象限．4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A ．①②B ．②④C ．②③D ．①④ 答案 D解析从上下方向上看，△P AC 的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△P AC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△P AC的投影为④图所示的情况．5．(2019·河南洛阳月考)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n的值为()A．100 B．1000 C．90 D．900答案A解析由频率分布直方图可知，支出在[50,60)的同学的频率为0.03×10＝0.3，∴n＝300.3＝100.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A ．1＋22 B ．1－32 C ．1－3－22D ．1＋3－22答案 C解析 s ＝0，n ＝1<5，且n ＝1是奇数，则s ＝0－sinπ＝0；n ＝2<5，且n ＝2不是奇数，则s ＝0＋sin π2＝1；n ＝3<5，且n ＝3是奇数，则s ＝1－sin π3＝1－32；n ＝4<5，且n ＝4不是奇数，则s ＝1－32＋sin π4＝1－32＋22；n ＝5时结束循环，输出的s ＝1－32＋22＝1－3－22.7．已知3sin α－cos α＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝( )A ．0 B.43 C ．－43 D.23 答案 C解析依题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝π2，故α＋π3＝π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23；而⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝π，故⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－43. 8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若|PF |＝5，则△PFK 的面积为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 A解析由抛物线的方程y 2＝4x ，可得 F (1,0)，K (－1,0)，准线方程为x ＝－1，设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，即x 0＝4，不妨设P (x 0，y 0)在第一象限，则P (4,4)，所以S △PKF ＝12|FK |·|y 0|＝12×2×4＝4.9．如图，△GCD 为正三角形，AB 为△GCD 的中位线，AB ＝3AE ，BC ＝3BF ，O 为DC 的中点，则向量FE→，OF →夹角的余弦值为( )A.12 B ．－12 C ．－22 D.22 答案 B解析解法一：以O 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，设△GCD 的边长为4，则A (－1，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3，B (1，3)，C (2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，233， FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，33，OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，233，FE →·OF →＝－149，|FE →|＝273，|FO →|＝273，cos 〈FE→，OF →〉＝－149273×273＝－12.解法二：设△GCD 的边长为4，连接OE ，OA ，如图，易得△ADO 为正三角形，∠OAE ＝60°，AO ＝2，AE ＝23，由余弦定理得OE ＝273，同理得EF ＝273，OF ＝273，∴∠EFO ＝60°，∴cos 〈FE →，OF →〉＝cos120°＝－12.10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4×100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 C解析由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意，故跑第三棒的人是丙．11．已知点P为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S△IPF1－S△IPF2≥13S△IF1F2成立，则双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2]B．(1,2) C．(0,3]D．(1,3]答案D解析设△PF1F2的内切圆的半径为r，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝12|PF1|·r，S△IPF2＝12|PF2|·r，S△IF1F2＝12·2c·r＝cr，由题意，得12|PF1|·r－12|PF2|·r≥13cr，故c≤32(|PF1|－|PF2|)＝3a，故e＝ca≤3，又e>1，所以双曲线的离心率取值范围是(1,3]．12．已知函数f (x )＝2ax 3－3ax 2＋1，g (x )＝－a 4x ＋32，若对任意给定的m ∈[0,2]，关于x 的方程f (x )＝g (m )在区间[0,2]上总存在唯一的一个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1C ．(0,1)∪{－1}D ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18答案 B解析 f ′(x )＝6ax 2－6ax ＝6ax (x －1)， ①当a ＝0时，f (x )＝1，g (x )＝32，显然不可能满足题意；②当a >0时，f ′(x )＝6ax (x －1)， x ，f ′(x )，f (x )的变化如下：又因为当a >0时，g (x )＝－a 4x ＋32是减函数，对任意m ∈[0,2]，g (m )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2＋32，32，由题意，必有g (m )max ≤f (x )max ，且g (m )min >f (0)，故⎩⎪⎨⎪⎧32≤1＋4a ，－a 2＋32>1，解得18≤a ＜1；③当a <0时，g (x )＝－a 4x ＋32是增函数，不符合题意．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为________．答案 50 2 m解析根据三角形内角和为180°，所以∠BAC ＝30°，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB sin45°＝50sin30°. 解得AB ＝50 2 m.14．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤π，x ≥π6，y ≥0，则sin(x ＋y )的取值范围为________(用区间表示)．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分所示)．设z ＝x ＋y ，作出直线l ：x ＋y ＝z ，当直线l 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0时，z 取得最小值π6；当直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，z 取得最大值2π3，所以π6≤x ＋y ≤2π3，所以sin(x ＋y )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 15．已知14C 的半衰期为5730年(是指经过5730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系如下：b ＝a e －kx ，其中x 表示经过的时间， k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年．(已知log 20.767≈－0.4)答案 2292解析由b ＝a e －kx 及题意，得12＝e －5730k ，两边取2为底的对数可得，－1＝－5730k log 2e ，① 又0.767＝e －kx ，两边取2为底的对数可得， log 20.767＝－kx log 2e ，②②÷①可得0.4≈x5730，即x ≈2292.16．(2019·广东湛江测试二)圆锥 Ω的底面半径为2，母线长为4，正四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′的上底面的顶点A ′，B ′，C ′，D ′均在圆锥 Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥 Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为________．答案64327解析设正四棱柱的底面边长为x ，棱柱的高为h ，根据相似性可得22x2＝23－h23，解得h ＝43－6x 2(其中0＜x ＜22)．所以此正四棱柱的体积为V ＝x 2h ＝x 2·43－6x 2，V ′＝83x －36x 22，令V ′＝0，解得x ＝423，易得V ＝x 2·43－6x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，423上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫423，22上单调递减，所以此正四棱柱体积的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫4232×43－6×4232＝64327.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·四川教考联盟第三次诊断) (本小题满分12分)槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培．槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物．云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？(2)从A班不超过19的样本数据中随机抽取一个数据记为a，从B班不超过21的样本数据中随机抽取一个数据记为b，求a≥b的概率．解(1)A班样本数据的平均数为15×(9＋11＋14＋20＋31)＝17.由此估计A班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17；2分B班样本数据的平均数为15×(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19颗．故估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多. 5分(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，分别为9,11,14，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11,12,21. 6分从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21). 9分其中a ≥b 的情况有(11,11)，(14,11)，(14,12)三种，故a ≥b 的概率P ＝39＝13. 12分18．(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{log 13a n }是公差为－1的等差数列，且a 2＋2是a 1，a 3的等差中项．(1)证明：数列{a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和，且T n <M 恒成立，求实数M 的取值范围．解 (1)证明：依题意，log 13a n ＋1－log 13a n ＝－1，故log 13a n ＋1a n ＝－1，故a n ＋1a n＝3； 2分故数列{a n }是公比为3的等比数列．因为2(a 2＋2)＝a 1＋a 3，故2(3a 1＋2)＝a 1＋9a 1， 4分解得a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1. 6分(2)依题意，1a n ＝13n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，13为公比的等比数列， 8分故T n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n＝1＋13＋…＋13n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32， 10分故M ≥32，即实数M 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 12分19．(2019·湖南师大附中考前演练五)(本小题满分12分)在梯形ABCD 中(图1)，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过点A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，且AE ＝2DE ，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，使得CF ⊥FE ，且DE ∥CF ，得空间几何体ADE －BCF (图2)．直线AC 与平面ABFE 所成角的正切值是22.(1)求证：BE ∥平面ACD ； (2)求多面体ADE －BCF 的体积．解 (1)证明：如图，设BE 交AF 于点O ，取AC 的中点H ，连接OH ，DH ，因为四边形ABFE 为矩形，则OH 是△AFC 的中位线，所以OH ∥CF 且OH ＝12CF ， 2分设DE ＝x ，则AE ＝2x ，CF ＝3－x ，因为直线AC 与平面ABFE 所成角的正切值是22，所以tan ∠CAF ＝CFAF ＝3－x (2x )2＋22＝22，解得x ＝1，所以DE ＝1，AE ＝2，CF ＝2.因为DE ∥CF 且DE ＝12CF ，所以DE ∥OH 且DE ＝OH ，所以四边形DEOH 为平行四边形，DH ∥EO ，又因为EO ⊂平面ABFE ，DH ⊄平面ABFE ，DH ⊂平面ACD ，所以EO ∥平面ACD ，即BE ∥平面ACD . 5分(2)由已知CF ⊥FE ，CF ⊥BF ，EF ∩BF ＝F ，得CF ⊥平面BEF ，又CF ⊂平面CDEF ，所以平面CDEF ⊥平面BEF ，又AE ⊥EF ，所以AE ⊥平面CDEF ， 7分由(1)知DE ＝1，AE ＝2，CF ＝2，所以S 矩形ABFE ＝4，S △CDE ＝12×1×2＝1， 10分则V ADE －BCF ＝V C －ABFE ＋V A －CDE ＝13×4×2＋13×2×1＝103. 12分20．(2019·吉林长春质量监测二)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(a －1)ln x －ax －x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为－2，求实数a 的值．解 (1)因为a ＝2时，f (x )＝ln x －2x －x ，所以f ′(x )＝1x ＋2x 2－1，又f (2)＝ln 2－3，f ′(2)＝0，所以所求切线方程为y ＝ln 2－3. 4分 (2)因为f ′(x )＝－(x ＋1)(x －a )x 2(1≤x ≤3)， 5分当a ≤1时，f ′(x )＜0，f (x )在[1,3]上单调递减，此时f (x )max ＝f (1)＝－a －1＝－2，a ＝1， 7分当a ≥3时，f ′(x )＞0，f (x )在[1,3]上单调递增，此时f (x )max ＝f (3)＝a ln 3－ln 3－a3－3＝－2， a ＝ln 3＋1ln 3－13(舍去)； 9分当1＜a ＜3时，f (x )在(1，a )上单调递增，在(a,3)上单调递减，此时f (x )max ＝f (a )＝a ln a －ln a －1－a ＝－2，a ＝e. 综上a ＝1或a ＝e. 12分21．(2019·东北三省四市一模)(本小题满分12分)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，B 1，B 2是椭圆C 的短轴端点，且B 1到焦点的距离为32，点M 在椭圆C 上运动，且点M 不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形MB 2NB 1的面积的最大值．解 (1)∵e ＝22，∴a ＝2c ，又a 2＝b 2＋c 2＝(32)2，∴a 2＝18，b 2＝9， ∴椭圆C 的方程为x 218＋y 29＝1. 4分 (2)解法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)， ∵MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2，B 1(0，－3)，B 2(0,3)， ∴直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ， ① 直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x, ② 6分由①②解得x ＝y 20－9x 0，又x 2018＋y 209＝1，∴x ＝－x 02，则四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|·(|x |＋|x 0|)＝12×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 02＋|x 0|＝3×32|x 0|， 9分∵0＜x 20≤18，∴当x 2＝18时，S 的最大值为3×32×32＝2722. 12分解法二：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)，则直线NB 1：y ＝－1k x －3, ①则直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1， 6分则直线MB 2的斜率kMB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k ，∴直线NB 2：y ＝2kx ＋3. ② 由①②解得x N ＝－6k2k 2＋1， 9分则四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|·(|x M |＋|x N |)＝12×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722，当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722. 12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos θ，y ＝3＋7sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(1)试判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)若直线θ＝π3(ρ∈R )与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点，求|AM |·|AN |的值．解 (1)曲线C 的普通方程为x 2＋(y －3)2＝7，圆心C (0，3)，半径r ＝7， 2分直线l 的普通方程为x ＋3y －2＝0， 3分 ∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0＋3×3－2|12＋(3)2＝12<r ，∴直线l 与圆C 相交.5分(2)曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρsin θ－4＝0，将θ＝π3代入ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，得ρ＝1， 7分将θ＝π3代入ρ2－23ρsin θ－4＝0得ρ2－3ρ－4＝0，则ρ1＝4， ρ2＝－1. 8分∴|AM |＝ρ1－ρ＝3，|AN |＝ρ－ρ2＝2， 9分 ∴|AM |·|AN |＝3×2＝6.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝ln (|x －2|＋|ax －a |)(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的值域；(2)若∀x ∈R ，都有f (x )＋1≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln (|x －2|＋|x －1|)， ∵|x －2|＋|x －1|≥|(x －2)－(x －1)|＝1， 3分∴ln (|x －2|＋|x －1|)≥ln 1＝0，即函数f (x )的值域为[0，＋∞). 5分 (2)由f (x )＋1≥0，即ln (|x －2|＋|ax －a |)≥－1，得|x －2|＋|ax －a |≥1e ，令g (x )＝|x －2|＋|ax －a |，则函数g (x )的最小值g (x )min ＝{g (1)，g (2)}min ， 7分∴只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥1e ，g (2)≥1e ，9分解得a ≤－1e 或a ≥1e ，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞. 10分。

2020届湖南省长沙市长郡中学高三第五次月考数学(文)试题及答案

长郡中学2020届高三月考试卷（五）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|25,}U x x x Z =-≤<∈，{0,2,3,4}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. {0,2}B. {3,4}C. {0,3,4}D. {2,1,0,1,2}--2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3.2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差4.记 S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为（） A. 1B. 2C. 4D. 85.函数f (x )在（-∞，+∞）单调递减，且为奇函数，若f (1)=-1，则满足-1≤_f (x -2）≤1的x 的取值范围是（）A. []22-,B. []1,1-C. []0,1D. []1,36.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA. 3144AB AC -u u uv u u u v B. 1344AB AC -u u uv u u u v C. 3144+AB AC u u uv u u u vD. 1344+AB AC u u uv u u u v7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A. 1B. 2C. 3D. 48.如图所示的四个正方体中，,A B 正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号为（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①②③9.函数3()e xf x x =的图象大致为A. B.C. D.10.将函数()sin 22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于()g x 的结论错误．．的是（） A. ()g x 的最小正周期为πB.()g x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()g x 的图象关于直线512x π=对称 D. ()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增 11.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线xy e =的切线，则b =（） A. 0B. 1C. 0或1D. 0或1-12.已知A ，B 是圆22:82160C x y x y +--+=上两点，点P 在抛物线22x y =上，当APB ∠取得最大值时，||AB =（）A.5535255 二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13.在复平面内，复数(1)12i i z i+=-所对应的点位于第_________象限. 14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>23则它的一条渐近线被圆()2248x y ++=所截得的弦长等于_____.15.已知等腰△ABC 的面积为4，AD 是底边BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成一个直二面角，则三棱锥A 一BCD 的外接球的表面积的最小值为______．16.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，其中第一项是02，接下来的两项是0122、，再接下来的三项是012222、、，……，以此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是________．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =，33ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 18.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE距离.19.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M ，当M ≥85时，产品为一级品；当75≤M <85时，产品为二级品；当70≤M <75时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（1）从A 配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y 与质量指标M 满足如下条件：22,85,5,7585,7075,t M y t M t M ≥⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩其中t ∈1(0,)7，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？ 20.已知函数()1f x x =-，()()1xg x ax e =-．（Ⅰ）记()()x f x h x x e=-，试判断函数()h x 的极值点的情况；（Ⅱ）若()()af x g x >有且仅有两个整数解，求实数a的取值范围．21.已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F ，抛物线23x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A B 、两点，点A F B 、、在直线:4g x =上的射影依次为D K E 、、. （1）求椭圆C的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==u u u vu u u v u u u vu u u v，当m 变化时，证明：12λλ+为定值；（3）当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.22.在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 1普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 2的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB 2，求α的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤；（2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭长郡中学2020届高三月考试卷（五）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|25,}U x x x Z =-≤<∈，{0,2,3,4}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. {0,2}B. {3,4}C. {0,3,4}D. {2,1,0,1,2}--【答案】B 【解析】【分析】首先将全集U 用列举法列举出来，在求阴影部分表示的集合可得答案.【详解】解：可得阴影部分所表示的集合为()U A B ∩ð，集合{0,2,3,4}A =，{3,4}U B =ð，则(){3,4}U A B ⋂=ð.故选：B .【点睛】本题考查集合的交、补运算及学生的识图能力，是基础题. 2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a＞1”⇒“11a＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选A．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．3.2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图分别找出中位数，求出平均数，方差，即可判断.【详解】由茎叶图可得：甲组选手得分的平均数：x 甲7582838793845++++==，乙组选手得分的平均数：x 乙7783858591845++++==，两个平均数相等，所以A 选项错误；甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，所以B 、C 错误；甲组选手得分的方差：2s甲()()()()()()2222212167584828483848784938455=⨯-+-+-+-+-=，乙组选手得分的方差：2s 乙()()()()()()222221100778483848484858491842055=⨯-+-+-+-+-==，所以甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差. 故选：D【点睛】此题考查根据茎叶图的数字特征，求平均数，中位数，方差.4.记 S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为（） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{a n }的公差为d ,运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即得解. 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4+a 5=24，S 6=48，可得1112724,665482a d a d +=+⨯⨯= 解得：14,2d a ==- 故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5.函数f (x )在（-∞，+∞）单调递减，且为奇函数，若f (1)=-1，则满足-1≤_f (x -2）≤1的x 的取值范围是（）A. []22-,B. []1,1-C. []0,1D. []1,3【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性的性质可得()11f -=，利用函数得单调性即可得解. 【详解】根据题意，f (x )为奇函数，若f (1)=-1，则()11f -=， f (x )在（-∞，+∞）单调递减，且1(2)1(1)(2)(1)f x f f x f -≤-≤∴≤-≤- 故：12113x x -≤-≤∴≤≤ 故选：D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA. 3144AB AC -u u uv u u u vB. 1344AB AC -u u uv u u u vC. 3144+AB AC u u uv u u u vD. 1344+AB AC u u uv u u u v【答案】A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+u u u v u u u v u u u v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+u u u v u u u v u u u v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1113124444BA BA AC BA AC u uu v u u u v u u u v u u u v u u u v =++=+，所以3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥；跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8.如图所示的四个正方体中，,A B 正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号为（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①②③【答案】D 【解析】【分析】逐个判断后可得正确的选项. 【详解】由题意结合正方体的性质：如图①，平面ABC ∥平面MNP ，则//AB 平面MNP ，①正确；如图②，平面ABC ∥平面MNP ，则//AB 平面MNP ，②正确；如图③，平面ABC ∥平面MNP ，则//AB 平面MNP ，③正确；如图④，平面AB ∩平面MNP =A ，则④错误；故选：D .【点睛】本题考查线面平行的判断，可以根据面面平行得到线面平行，本题属于中档题. 9.函数3()e xf x x =的图象大致为A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值求出函数的值，利用函数的导数判断函数的单调性，即可得到函数的图象．【详解】解析：当0x <时，3e 0x x <，故排除选项B ；()1e>1f =，故排除D ；()()322e x f x x x =+'，令()0f x '=，得0x =或2x =-，则当x 变化时，()(),f x f x '变化情况如下表：又因为()00f '=，故()f x 在0x =的切线为x 轴，故排除选项A ，所以选C.【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．10.将函数()sin 22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于()g x 的结论错误．．的是（） A. ()g x 的最小正周期为πB. ()g x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()g x 的图象关于直线512x π=对称 D. ()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增【答案】C 【解析】【分析】按照函数平移后的规律将()g x 的函数解析式写出，一一判断各个选项可得答案.【详解】解：()sin 2sin 2sin 2cos2224f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()2212412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A ：T π=，()g x 的最小正周期为π，故A 正确；对于B ：024g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()g x 的图象关于点,024π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ：5112g π⎛⎫=⎪⎝⎭，不是取最值，故()g x 的图象不关于直线512x π=对称，故C 错误；对于D ：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,121212x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可得()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故D 正确. 故选：C .【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像与性质及函数的平移，根据已知条件得出平移后的函数解析式式解题的关键.11.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线xy e =的切线，则b =（） A. 0 B. 1 C. 0或1D. 0或1-【答案】C 【解析】【分析】设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+的切点为()11,x y ，与x y e =的切点为()22,x y ，可得切点的斜率，注意运用两点的斜率，解方程可得切点和斜率，进而得到切线方程，可得b 的值.【详解】解：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+的切点为()11,x y ，与xy e =的切点为()22,x y .故211x e x =，且21211e ln 21x x x x x --=-，消去2x 得到()1111ln 10x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，故11x e =或11x =，故111,1x e y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或111,2,x y =⎧⎨=⎩故切线为y ex =或1y x =+， ∴0b =或者1b =，故选：C .【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，相对不难，注意运算的准确性.12.已知A ，B 是圆22:82160C x y x y +--+=上两点，点P 在抛物线22x y =上，当APB ∠取得最大值时，||AB =（）A.5B.5C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出圆C 的圆心与半径，可得当PA ，PB 是圆C 的切线时，APB ∠取得最大值，即A ，B 是圆C 的切点，利用距离公式及函数的导数求解最值，然后转化求解即可.【详解】解：依题意可得，当PA ，PB 是圆C 的切线时，APB ∠取得最大值，即A ，B 是圆C 的切点，设2APB α∠=，202x P x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.∵圆22:82160C x y x y +--+=， ∴圆心(4,1)C ，半径为1，从而1sin PCα=， ∵()2222000404181724x x PC x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令4()8174x f x x =-+，则3()8f x x '=-.∴当2x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,2)-∞上为减函数；当2x >时，()0f x '>，即函数()f x 在(2,)+∞上为增函数.∴min ()(2)5f x f ==，即min PC =∴max (sin )5α=，此时APB ∠最大.∴2cos 2cos 5AB AC αα===. 故选：A .【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合及导数在函数单调性中的应用，考查学生利用数形结合的思想解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13.在复平面内，复数(1)12i i z i+=-所对应的点位于第_________象限. 【答案】三【解析】【分析】化简复数为a bi +的形式，然后判断复数的对应点所在象限. 【详解】解：∵(1)(1)(12)3112(12)(12)55i i i i z i i i i +-++===----+，∴z 所对应的点31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限，故答案为：三.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算及复数的几何意义，相对不难.14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>则它的一条渐近线被圆()2248x y ++=所截得的弦长等于_____. 【答案】4 【解析】【分析】根据双曲线的离心率先求出双曲线的渐近线方程，先求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可.【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>c a =43=，所以b a =，故双曲线的渐近线方程为y x =30y ±=，又圆()2248x y ++=的圆心为()40-，，半径为r = 所以圆心到任一条渐近线的距离为2d ==，因此，弦长为4=. 故答案为4【点睛】本题主要考查圆的弦长，熟记双曲线的简单性质，以及几何法求弦长的公式即可，属于常考题型. 15.已知等腰△ABC 的面积为4，AD 是底边BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成一个直二面角，则三棱锥A 一BCD的外接球的表面积的最小值为______．【答案】. 【解析】【分析】由题意可知DA ，DB ，DC 两两互相垂直，然后把三棱锥补形为长方体求解．【详解】设AD a =，2BC b =，则由面积可得ab=4；由已知，BD ⊥平面ADC ，将三棱锥补形为一个长方体，则三棱锥A BCD -的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a 、b 、b ，则球的直径2R =则球的表面积为()22242S R a b ππ==+，因222ab =≥+，故min S =.故答案为.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，考查了基本不等式求最值的方法，是中档题．16.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，其中第一项是02，接下来的两项是0122、，再接下来的三项是012222、、，……，以此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是________．【答案】440 【解析】【分析】由题意先将此数列分组，再求得前n 组的项之和为S =122n n +--及项数，由题意可知12n +为2的整数幂，只需将2n --消去即可，再分别讨论即可得解.【详解】解：由题意可知，将1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，可分为02，()012,2，()0122,2,2，()01232,2,2,2，()012342,2,2,2,2...()0123412,2,2,2,2...2n -，根据等比数列前n 项和公式，求得每组和分别为121-，221- ，321-，421-，...21n -，每组含有的项数为：1,2,3,...n ，总共的项数为(1)2n n N +=，所有组的项之和为121S =-221+-321+-421+-...21n++-12(12)2212n n n n +-=-=---，由题意可知：12n +为2的整数幂，只需将2n --消去即可，则①12(2)0n ++--=，解得1n =，总共有1(11)232⨯++=项，不满足100N >， ②124(2)0n +++--=，解得5n =，总共有5(51)3182⨯++=项，不满足100N >， ③1248(2)0n ++++--=，解得13n =，总共有13(131)4952⨯++=项，不满足100N >， ④124816(2)0n +++++--=，解得29n =，总共有29(291)54402⨯++=项，满足100N >，即该软件的激活码是440，故答案为440.【点睛】本题考查了等比数列前n 项和公式及分组求和法，重点考查了对数据的分析处理能力，属综合性较强的题型.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5+【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）1313sin 362222ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⋅⇒= 又2222cos a b ab C c +-=Q2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为57+考点：正余弦定理解三角形.18.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离. 【答案】(1)见解析(2) 15 【解析】【详解】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE , 因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OMCD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE , 所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE I 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF , 所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离. 取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠====o,所以,EH AD BH AD ⊥⊥,因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE I 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥, 因为3EH BH ==,所以6BE =所以2216156222BDES ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭V , 设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为1133422BDM BCD S S ===V V , 所以由E BDM M BDE V V --=,得13115333h =⨯⨯解得15h =即F 到平面BDE 15． 19.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M ，当M ≥85时，产品为一级品；当75≤M <85时，产品为二级品；当70≤M <75时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（1）从A 配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y 与质量指标M 满足如下条件：22,85,5,7585,7075,t M y t M t M ≥⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩其中t ∈1(0,)7，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？【答案】（1）35；（2）投资B 配方的产品平均利润率较大【解析】【分析】（1）本题为古典概率，计算从这5件产品中任取3件总的方法数，恰好取到1件二级品的方法数，即得解；（2）分别计算(),()E A E B ，作差法比较即可.【详解】（1）由题意知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a ,b ，有3件为一级品，记为x ,y ,z从这5件产品中任取3件共有10种取法： (,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b x a b y a b z a x y a x z a y z b x y b x z b y z x y z 其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到一件二级品的概率为：63105= （2）由题意，A 配方生产的产品平均利润率 22(1030)5(4020)()20.6100t t E A t t +⨯++==+ B 配方生产产品平均利润率 2225(1015)5(4030)() 1.30.7100t t t E B t t ++⨯++⨯==+ 所以2()()0.70.10.1(71)E A E B t t t t -=-=-因为107t <<，所以()()E A E B < 所以投资B 配方的产品平均利润率较大.【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题. 20.已知函数()1f x x =-，()()1xg x ax e =-．（Ⅰ）记()()x f x h x x e =-，试判断函数()h x 的极值点的情况；（Ⅱ）若()()af x g x >有且仅有两个整数解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）22,121e e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭【解析】【分析】（Ⅰ）求导后可知()h x '的符号由()2x x e x ϕ=+-的符号决定；根据()x ϕ的单调性，结合存在性定理可知存在唯一的()00,1x ∈，使得()00x ϕ=，从而得到()h x 得单调性，根据极值与单调性的关系可确定极值点；（Ⅱ）将所求不等式化为()1ah x <；当0a =和0a <时，根据（Ⅰ）的结论可验证出都有无穷多个整数解，不合题意；当0a >时，若1a ≥，由x ∈Z 时，()1h x ≥可知无整数解，不合题意；若01a <<，可知()()211221112h e a h e a ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪-=-+≥⎪⎩，解不等式组求得结果. 【详解】（Ⅰ）由()1x x h x x e -=-得：()2x x e x h x e+-'= 设()2xx e x ϕ=+-，则()x ϕ在R 上单调递增又()01ϕ=-，()110e ϕ=->∴存在唯一的()00,1x ∈，使得()00x ϕ=，即()00h x '=∴当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>()h x ∴在()0,x -∞上单调递减；在()0,x +∞上单调递增0x x ∴=为()h x 的极小值点，无极大值点（Ⅱ）由()()af x g x >得：11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即()1ah x < ①当0a =时，01<恒成立，()()af x g x >有无穷多个整数解，不合题意②当0a <时，()1h x a >，10a< ()01h =Q ，()11h = ∴当x ∈Z 时，由（Ⅰ）知：()1h x ≥()1h x a∴>有无穷多个整数解，即()()af x g x >有无穷多个整数解，不合题意 ③当0a >时，()1h x a <i.当01a <<时，11a>，又()()011h h == ∴两个整数解为：0,1()()211221112h e a h e a ⎧=-≥⎪⎪∴⎨⎪-=-+≥⎪⎩，解得：22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭ ii.当1a ≥时，11a≤ 当x ∈Z 时，由（Ⅰ）知：()1h x ≥ ()1h x a∴<无整数解，不合题意综上所述：22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解极值点个数、根据整数解个数求解参数范围的问题；与整数解有关的范围问题的求解关键是能够确定自变量为整数时函数的值域，进而根据整数解个数确定临界整数所对应的函数值的范围，从而得到不等关系.21.已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F，抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A B 、两点，点A F B 、、在直线:4g x =上的射影依次为D K E 、、.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，当m 变化时，证明：12λλ+为定值；（3）当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析；（3）5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题设条件求出椭圆的右焦点F 与上顶点坐标，即可得出b 、c 的值，再求出2a 的值即可求得椭圆C 的方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出12y y +与12y y ，再根据12,MA AF MB BF λλ==u u u v u u u v u u u v u u u v 及10,M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可表示出12λλ+，化简即可得证；（3））当0m =时，易得AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，可猜想：m 变化时，AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再证明猜想成立即可.试题解析：（1）∵:1l x my =+过椭圆C 的右焦点F ，∴右焦点()1,0F ，即21c =，又∵2x =的焦点(为椭圆C 的上顶点，∴b =222234b a b c ==+=，，∴椭圆C 的方程22143x y +=；（2）由22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩得，()2234690m y my ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121222693434m y y y y m m 、+=-=-++， ∵121,,0,MA AF MB BF M m λλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ， ∴()()111112222211,1,,,1,x y x y x y x y m m λλ⎛⎫⎛⎫+=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1212111,1my my λλ=--=--， ∴1212221269822/34343y y m m my y m m λλ++=--=--=-++，综上所述，当m 变化时，12λλ+的值为定值83-；（3）当0m =时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，易知AE 与BD 是相交于点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，猜想AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明如下： ∵11112533,,,222AN x y my y NE y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ， ∵()()121121222333369022223434m my y y y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-=---= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴//AN NE u u u v u u u v ，即A N E 、、三点共线.同理可得B N D 、、三点共线，则猜想成立，即当m 变化时，AE 与BD 相交于定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；（2）求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 2的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB，求α的值.【答案】（1）()2224x y -+=，()2224x y +-=,；（2）34πα=【解析】【分析】（1）由曲线C 1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C 2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C 1化为极坐标方程4cos ρθ=，设1122(,),(,)A B ραρα，从而12||||AB ρρ=-计算即得解.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩,消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+=曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ=故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=,设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB12|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<< 3424πππαα∴-=∴= 【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤；（2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)1[,1)6.(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>Q 且 0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩010*********22x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩ 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）解法1： 1,x y +=Q 且0,0x y >>， ()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225x y y x =++59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. 解法2： 1,x y +=Q 且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y x x y ++=⋅ 1x y xy xy+++= 21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当且仅当12x y ==时，等号成立. 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.。

2020年湖南省长郡中学等湘豫名校高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)

2020年湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合1，，其中i为虚数单位，C为复数集合，则A. B. C. D.2.若，则A. 0B. 1C.D. 33.已知实数a满足：命题P：函数在上单调递减．则命题P为真命题的概率为A. B. C. D.4.中国气象局规定：一天24小时里的降雨的深度当做日降水量，表示降水量的单位通常用毫米．1毫米的降水量是指单位面积上水深1毫米．在连续几天的暴雨天气中，某同学用一个正四棱柱形的容器来测量降水量．已知该正四棱柱的底面边长为20cm，高40cm，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，24小时后，测得容器中水深10cm，则该同学测得的降水量约为取A. 毫米B. 127毫米C. 509毫米D. 100毫米5.已知数列满足，，，则A. B. C. 2048 D. 10246.已知圆C：，则在x轴和y轴上的截距相等且与圆C相切的直线有几条A. 3条B. 2条C. 1条D. 4条7.已知双曲线的方程为，右焦点为F，直线l：与双曲线交于A，B两点，则A. B. C. D.8.已知x，y满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.9.棱长为1的正方体中P为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点P的轨迹的长度为A. B. C. D.10.设函数在上单调递减，则的值是A. 1B. 1或2C. 3D. 211.已知、是双曲线的左、右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线上，则双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.12.已知函数，若存在，使得，则的最小值为A. B. 1C. D. 无最小值二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知一组关于的数据具有线性相关性：，，，，且y与x之间的回归方程为，则______．14.设是函数的一个极值点，则______．15.在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，且，，则三角形ABC的面积为______．16.在直角梯形ABCD中，，，满足，，，沿BD 将三角形BDC折起，把C折到P点，使平面平面ABD，则三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在全面建成小康社会的决胜阶段，让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们党的庄严承诺．在“脱真贫、真脱贫”的过程中，精准扶贫助推社会公平显得尤其重要．若某农村地区有200户贫困户，经过一年扶贫后，对该地区的“精准扶贫”的成效检查验收．从这200户贫困户中随机抽出50户，对各户的人均年收入单位：千元进行调查得到如下频数表：人均年收入频数231020105若人均年收入在元以下的判定为贫困户，人均年收入在元元的判定为脱贫户，人均年收入达到8000元的判定为小康户．用样本估计总体，估计该地区还有多少户没有脱贫；为了了解未脱贫的原因，从抽取的50户中用分层抽样的方法抽10户进行调研．贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少？从被抽到的脱贫户和小康户中各选1人做经验介绍，求小康户中人均年收入最高的一户被选到的概率．18.已知数列，前n项和为求数列的通项公式；已知数列，求其前n项和．19.如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，且平面平面ABCD．求证：平面ABE；若直线BE与平面ABCD所成的角为，求三棱锥的体积．20.已知线段AB的长为2，点A与点B关于原点对称，圆M经过点A，B且与直线相切．求圆心M的轨迹方程；直线l与M的轨迹交于不同的两点C，异于原点，若，判断直线l是否经过定点若经过，求出该定点，否则说明理由．21.已知函数，其中．若函数存在三个不同的零点，求t的取值范围；若函数存在三个不同的零点a，b，c；且求证：．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为是参数，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为：．写出曲线C的普通方程、直线l的直角坐标方程；直线l与x、y轴交于A，B两点；P为曲线C上的一个动点，求三角形PAB的面积的最大值．23.已知．解关于x的不等式；对任意的都有恒成立，求a的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为1，，1，，，故A．故选：B．先分别求出集合A，B，然后结合交集的运算即可求解．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础试题．2.答案：D解析：解：，，，，，，．故选：D．将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求，结合范围，即可求解，，从而计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.答案：A解析：解：因为；若P为真命题：则有对称轴；命题P为真命题的概率为：；故选：A．先求出a的范围，再求出P为真命题对应的a的范围，即可求解结论．本题主要考查几何概型的应用问题，属于基础题目．4.答案：A解析：解：由题意，水的体积，容器口的面积，降雨量．故选：A．由题意求出容器中水的容积，除以圆的面积得答案．本题考查数学在实际生活中的应用，考查棱柱体积与圆面积的求法，是基础题．5.答案：C解析：解：数列满足，可得，即，，，是等比数列，首项为4，公比为2，所以．故选：C．利用数列的递推关系式，推出是等比数列，然后转化求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，是基本知识的考查，基础题．6.答案：A解析：解：若直线不过原点，其斜率，设其方程为，则，解得或，当时，直线过原点；若过原点，把代入，即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条，故选：A．先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论．本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解．7.答案：C解析：解：由双曲线的方程可得右焦点设，，联立直线与双曲线的方程，整理可得，解得或，代入直线的方程可得或0，即，，所以，故选：C．由双曲线的方程可得右焦点F的坐标，将直线与双曲线联立求出交点A，B的坐标，进而求出数量积的值．本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的综合，和数量积的运算，属于中档题．8.答案：A解析：解：如图可行域：令，平移直线可知当直线过时，取得最大值，1，经过时，有最小值，，所以Z的取值范围：故选：A．根据二元一次不等式组画出可行域，目标函数几何意义的纵截距相反数，平移目标函数观察Z取值范围．本题考查线性规划问题，属常规题较简单，解题的关键是画好可行域，弄清z所对应的几何意义．9.答案：C解析：解：P点的轨迹为过点C与直线垂直的截面与正方体的交线，就是图形中点三角形，它的周长为：．故选：C．画出正方体，利用已知条件，判断P的轨迹，然后求解轨迹长度．本题考查直线与平面垂直的位置关系的应用，平面的基本性质，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．10.答案：D解析：解：函数在上单调递减，，，或．当时，在上不单调，故只有，故选：D．由题意利用正弦函数的单调性以及周期性，可得，由此求得的范围，检验可得答案．本题主要考查正弦函数的单调性以及周期性，属于中档题．11.答案：D解析：解：如图：垂直直线，交点为H，到双曲线的一条渐近线的距离为：，中，，抛物线的焦点坐标，，，，，可得，，，点P在抛物线上，可得：，，，．故选：D．利用已知条件画出图形，求出P的坐标，代入抛物线方程，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于一般题．由函数，画出图象：根据，可得：，，则设利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：由函数，画出图象：，，由图可知：．，，．则．设．，可得函数在上单调递减，在上单调递增．．故选：C．13.答案：解析：解：；，2，满足回归直线方程，可得：，解得．故答案为：．求出样本中心，代入回归直线方程，求解即可．本题考查回归直线方程的应用，是基本知识的考查．14.答案：解析：解：，，．．故答案为：．根据极值点处的导数为零，求出的值，然后再借助于三角恒等变换求出结论．本题考查极值点处的性质、三角恒等变换等基础知识与方法．属于中档题．15.答案：解析：解：，由正弦定理可得：，，，，，，可得，，又，可得，，解得，可得，．故答案为：．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求，可得，又根据平面向量数量积的运算，余弦定理可求，进而解得，从而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，平面向量数量积的运算，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：解析：解：在直角梯形ABCD中，，，满足，，，所以：，；可得：；即为等边三角形；三棱锥中，取BD的中点E，连接PE，则；且；因为平面平面ABD，平面ABD；故球心O在PE上；；三棱锥的外接球的表面积为：；故答案为：根据已知先得到为等边三角形；进而判断球心所在位置，求出半径即可得到结论．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.答案：解：用样本估计总体，，该地区还有20户未脱贫．贫困户抽到：人，脱贫户抽到：人，小康户3抽到：人．从被抽到的脱贫户和小康户中各选1人做经验介绍，基本事件总数，小康户中人均年收入最高的一户被选到包含的基本事件个数，小康户中人均年收入最高的一户被选到的概率．解析：用样本估计总体，能估计该地区还有多少户没有脱贫．利用分层抽样能求出贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数．从被抽到的脱贫户和小康户中各选1人做经验介绍，基本事件总数，小康户中人均年收入最高的一户被选到包含的基本事件个数，由此能求出小康户中人均年收入最高的一户被选到的概率．本题考查频数、概率的求法，考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：当时，，当时，，又当时也满足，数列的通项公式为；由知，故，．解析：利用求出，再检验当时也适合，从而求得；先求出，再利用分组求和、裂项相消法求和求出．本题主要考查数列通项公式的求法及分组求和、裂项相消法求和，属于基础题．19.答案：证明：取BC中点G，连接GA，GF，GD，，，，，，．四边形ABGD与四边形AGCD均为平行四边形．，，又，，，，则四边形AGEF为平行四边形，得．平面ABE，平面ABE，平面ABE；，平面ABE，平面ABE，平面ABE．又，平面平面ABE，而平面GDF，平面ABE；解：，平面平面ABCD，平面EDCF，平面平面，平面ABCD，为直线BE与平面ABCD所成角，得，，由知平面ABE，．解析：取BC中点G，连接GA，GF，GD，由已知可得四边形ABGD与四边形AGCD均为平行四边形，得到，，又，，可得四边形AGEF为平行四边形，得，得到平面ABE；再证明平面ABE，由平面与平面平行的判定可得平面平面ABE，从而得到平面ABE；由已知证得平面ABCD，可得为直线BE与平面ABCD所成角，得，求得，由知平面ABE，再由等体积法求三棱锥的体积．本题考查空间中直线与平面、平面与平面平行的判定及性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：设，由题意可得圆心M在AB的中垂线上，所以半径，因为圆M与直线相切．所以圆的半径，所以，整理可得；若直线l与x轴垂直，设l的方程，则，，因为，，显然不成立；所以l与x轴不垂直，设直线l的方程为，设，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，，，，所以，所以，所以，所以直线l恒过定点．解析：设点M的坐标，由半径相等可得M的轨迹方程；由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出直线OC，OD的斜率．由斜率之和为2可得直线l恒过定点．本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的求法，属于中档题．21.答案：解：由可得，设，则，当或时，，单调递减，当时，，单调递增，故，，且恒成立，由题可知与有3个不同的交点，故，由题意可得，要证，只要证，又在上单调递减，故只要证，因为，只要证，令，，则由可知，在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，所以，即，所以，所以，从而原不等式成立．故．解析：由已知分离参数可得，已知函数的零点可转化为两函数的交点问题，可构造函数，结合导数分析函数的特征性质，可求；由题意可得，要证，只要证，结合在上单调性，故只要证，结合，构造函数，，结合复合函数的单调性可证．本题主要考查了利用导数与函数的性质求解函数的零点问题及不等式的证明，体现了转化思想的应用．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，消去参数可得曲线C的普通方程为．由可得，即直线l的直角坐标方程为．设点，则P到直线l的距离其中所以，当且仅当，即，时取等号，又，的最大值为．解析：将曲线C的参数方程消去参数化为普通方程，将，代入极坐标方程，得到直线l的普通方程．设曲线C上的动点，利用点线距公式以及三角函数的有界性求出最值，代入三角形的面积公式中即可．本题考查参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程在最值中的应用，属于中档题．23.答案：解：即，等价为或或，解得或或，综上可得，原不等式的解集为或；对任意的都有恒成立，即为，设，当时，，递减；当时，，递增，当时，，递增，且，可得在递增，可得在处取得最小值1，则，可得a的最大值为1．解析：由题意可得，由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；由题意可得，设，去绝对值，结合一次函数的单调性，可得的最小值，即可得到所求a的最大值．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

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2020届湖南省长郡中学高三第五次模拟考试高三数学（文科）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.1．已知集合{}{}2|4,|3A x R x B x N =∈≤=∈≤，则A B =A ．(]0,2B ．[]0,2C ．{}1,2D ．{}0,1,22．已知双曲线的渐近线方程为x y 33±=，一个焦点()0,2F ，则该双曲线的虚轴长为 A ．1 B ．3 C ．2 D ．323．若a R ∈，则“复数32aiz i-=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知实数x ，y 满足0010360x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，，则23z y x =-的最大值为A ．0B ．2C ．4D ．6 5．如图所示的流程图中，输出d 的含义是 A.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离 B.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的平方 C.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的倒数 D.两条平行线间的距离6．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,3432=+=a a S ，则公比=qA ．4±B ．4C ．2±D ．2 7．函数2ln x x y -=的图象大致为8.直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为A ．6π B ．3π C ．2πD ．32π9．已知等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，G 为EF 的中点，若记=，AD b =，则AG = A ．3384a b +B ．3182a b +C ．1324a b +D ．1348a b +10．已知()f x 是奇函数，且当0>x 时()24xf x =-，则不等式()02>-x f 的解集为A ．{}|04x x x <>或B ．{}|024x x x <<>或 C ．{}|04x x x <>或 D ． {}|22x x x <->或 11．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在(]0,2上恰有一个最大值1和一个最小值1-，则ω的取值范围是A ．513,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．513,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．713,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．713,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置. 13．已知53cos -=α，παπ≤≤2，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．14. 已知21,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若021=⋅PF 且212PF PF =，则C 的离心率为．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其首项11a =，且满足()32n n S n a =+，则n a =_______． 16．已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面,ABCD PE BC ⊥于点E ，2,3,6,1====PE BC AB EC ，则四棱锥P ABCD -外接球的半径为______.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。

17．（12分）设三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且1cos 2a Cbc =-. （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 面积S 的最大值.18．（12分）已知{}n a 为公差不为0的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()2,1n nan n n n b c a b ==+-，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ，2AB AC ==，13AA =．（1）证明：1AB CC ⊥；（2）若点P 为11B C 的中点，求三棱锥1P ABA -的体积．20.（12分）已知抛物线x y P 4:2=的焦点为F ，经过点()0,4H 作直线与抛物线P 相交于B A ,两点,设()()2211,,,y x B y x A ． (1)求21y y 的值；(2)是否存在常数a ,当点M 在抛物线P 上运动时,直线a x =都与以MF 为直径的圆相切？若存在,求出所有a 的值；若不存在,请说明理由．21．（12分）已知函数1()ln ,(0,)f x a x a a R x=+≠∈. （1）若1a =，求()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：1cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数，[0,)απ∈)，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程;（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 若PQ =l 的斜率.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()214f x x x =++- （1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式2()48f x x a a +-<-有解，求实数a 的取值范围.参考答案一选择题：5032三、解答题：17．解：（1）由正弦定理：1cos 2a C b c =-可化为1sin cos sin sin 2A CBC =- ………1分即1sin cos sin()sin2A C A C C =+- (2)分即1sin cos sin cos cos sin sin 2A C A C A C C =+- ………………………………3分所以1cos sin sin 02A C C -= ………………………………4分又sin 0C ≠, 所以1cos 2A = ………………………………5分因为0πA <<，所以π3A = ………………………………6分（2）由余弦定理得2231cos 22b c A bc +-== 即223b c bc +=+ 所以32bc bc +≥，所以3bc ≤ ………………………………10分所以三角形ABC 面积11sin 322S bc A =⨯⨯≤ ………………12分18．解：（1）139,,a a a 成等比数列，所以2319,a a a = ………………………………1分即()()211128a d a a d +=+，即21a d d =. ………………………………3分因为0d ≠，所以12da ==， ………………………………4分所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=. ………………6分（2）由题意得：224n nn b ==，()()21424nnn n c n n =+-=+-， ………………8分所以()()()()()()1414224412145nn nn n S n n +⎡⎤---++-⎣⎦=+=+---. ………………12分 19. 解：（1）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ，所以1A M ABC ⊥平面， ………………………………2分又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥， …………………3分又因为AB AC ⊥，而111A M A ACC ⊂平面，11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M =，…4分所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面，所以1AB CC ⊥． ………………6分（2）解：如图，因为P 是11B C 的中点，所以1111111111112222222222323P ABA C ABA B AA C B AA C V V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯=…………………………10分111111111122222323C ABA B AA C B AA C V V V ---===⨯⨯⨯⨯=………………………12分 20.解：(1)法一：依题意过点()0,4H 的直线可设为4+=my x ，……………………1分由⎩⎨⎧=+=x y my x 442，得01642=--my y ， ……………………3分设()()2211,,,y x B y x A ，则1621-=y y ， …………………4分∴y 1y 2＝－16. …………………………………5分法二:∵A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，H(4,0)，∴(x 2－4，y 2)． …………1分 ∵A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，H(4,0)在一条直线上，∴(x 1－4)y 2－(x 2－4)y 1＝0. …………2分 ∵A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都在抛物线y 2＝4x 上，∴x 1＝y 214，x 2＝y 224， …………3分∴⎝⎛⎭⎫y 214－4y 2－⎝⎛⎭⎫y 224－4y 1＝0，即y 1y 24(y 1－y 2)＝－4(y 1－y 2)． …………4分根据已知得y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－16. …………5分(2)存在． …………6分 ∵F 是抛物线P 的焦点， ∴F(1,0)．设M(x ，y)，则MF 的中点为N ⎝⎛⎭⎫x ＋12，y 2，|MF|＝1＋x. …………7分∵直线x ＝a 与以MF 为直径的圆相切的充要条件是N ⎝⎛⎭⎫x ＋12，y 2到直线x ＝a 的距离等于|MF|2，即⎪⎪⎪⎪x ＋12－a ＝1＋x2，∴ax ＝a 2－a. …………9分 ∵对于抛物线P 上的任意一点M ，直线x ＝a 都与以MF 为直径的圆相切， ∴关于x 的方程ax ＝a 2－a 对任意的x≥0都要成立． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a 2－a ＝0，解得a ＝0. …………11分 ∴存在常数a ，并且仅有a ＝0满足“当点M 在抛物线P 上运动时，直线x ＝a 都与以MF 为直径的圆相切”． …………12分 21．解：（1）1a =， ∴1()ln ,(0)f x x x x =+> ∴22111'()x f x x x x-=-+= ………1分令'()0f x =，得1x =当x 变化时，(),'()f x f x 的变化情况如下表：分 ∴当1x =时，函数()f x 有极小值1；函数()f x 的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞； ………………5分（2）若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使0()0f x <成立，即()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0 ………………6分221()1'(),(0)a x a a f x a x x x -=-+=≠令'()0f x =，得1x a = …………7分①当0a <时，'()0f x < ∴函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e e=+=+ ∴由1()0f e a e =+<得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- ………8分②当0a >时，（i ）当1e a ≤即10a e<≤时，'()0f x ≤∴函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>显然，这与()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不符 ……9分（ii ）当10e a<<即1a e >时当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()ln f a a a a =+………10分∴由11()ln0f a a aa=+<，得a e >，即(,)a e ∈+∞ ……………11分 ∴综上述，实数a 的取值范围是1(,)(,)e e-∞-+∞． ………………12分22.解：（1）24cos ,4cos ρθρρθ=∴=， ………1分由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=. ……… 3分所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. ………4分（2）把 1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y x +=，整理得26cos 50t t α-+= ………5分设其两根分别为 12,t t ，则12126cos ,5,t t t t α+== ………6分12PQ t t ∴=-=== ………7分得cos α=，566ππα=或， ………9分所以直线l 的斜率为3±. ………10分23.解：（1）由已知得13321()542334x x f x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，，，当21x <-时，3361x x -+≤⇒≥- 112x ∴-≤<-当142x -≤≤时，561x x +≤⇒≤ 112x ∴-≤≤当4x >时，3363x x -≤⇒≤舍综上得()6f x ≤的解集为[]1,1- …………5分（2）()421289f x x x x +-=++-≥2()48f x x a a +-<-有解289a a ∴->，(9)(1)0a a -+>1a ∴<-或9a >a ∴的取值范围是(),1(9,)-∞-+∞. …………10分。

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