2018版高考数学文江苏专用一轮复习练习 第二章 函数概

第9讲函数模型及其应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；
④对数函数模型．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模
型是________(填序号).
量是均匀的，故为一次函数模型．
答案①
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________(填序号)．
解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误．答案①
3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．
解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，
B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，
当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，
t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.
答案 10
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部
分)，则其边长x 为________m.
解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得
y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.
答案 20
5．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢
慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，
∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，
即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，
则t ＝24，所以再经过16 min.
答案 16
6．A ，B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东
向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是
，B 的速度是
，经过________h ，AB 间的距离最短．
解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝(145－40x )2＋(16x )2＝
1 856t 2－11 600t ＋1452(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.
答案 258
7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外
每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．
解析 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x (x ＋1)x ＝x ＋100x ＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2 x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x
，即x ＝10时取等号． 答案 10
8．(2016·四川卷改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司
2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)．
解析 设第x 年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x ＝200， ∴1.12x ＝2013，∴x ＝log 1.122013＝log 1.1220－log 1.1213＝lg 20lg 1.12－lg 13lg 1.12＝(lg 2＋lg 10)－(lg 1.3＋lg 10)lg 1.12＝0.3＋1－0.11－10.05
＝3.8. 即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元． 答案 2019
二、解答题
9．(2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正
四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍．
(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？
解 (1)V ＝13×62×2＋62×2×4＝312(m 3)．
(2)设PO 1＝x ，
则O 1B 1＝62－x 2，B 1C 1＝2·62－x 2，
∴SA 1B 1C 1D 1＝2(62－x 2)，
又由题意可得下面正四棱柱的高为4x .
则仓库容积V ＝13x ·2(62－x 2)＋2(62－x 2)·4x ＝
263
x (36－x 2)． 由V ′＝0得x ＝23或x ＝－23(舍去)．
由实际意义知V 在x ＝23(m)时取到最大值，
故当PO 1＝2 3 m 时，仓库容积最大．
10．(2017·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的
总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 (1)每吨平均成本为y x (万元)．
则y
x＝
x
5＋
8 000
x－48≥2
x
5·
8 000
x－48＝32，
当且仅当x
5＝
8 000
x，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元．
则R(x)＝40x－y＝40x－x2
5＋48x－8 000
＝－x2
5＋88x－8 000
＝－1
5(x－220)
2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，
R(x)有最大值为－1
5(210－220)
2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
能力提升题组
(建议用时：30分钟)
11．(2017·南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段
数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于1
20，说明理由．
解(1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.
(2)法一依题意x＝0.2a，
所以P＝mx
y＝
x
k(ax＋5)
＝
0.2a
k(0.2a2＋5)
＝
a
k(a2＋25)
≤
a
3(a2＋25)
＝
1
3⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a＋
25
a
≤
1
3×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2a×
25
a
＝130<120.
P 不可能大于120.
法二 依题意x ＝0.2a ，
所以P ＝mx y ＝x k (ax ＋5)＝0.2a k (0.2a 2＋5)＝a k (a 2＋25)
. 假设P >120，则ka 2－20a ＋25k <0.
因为k ≥3，所以Δ＝100(4－k 2)<0，不等式ka 2－20a ＋25k <0无解，假设不成
立．P 不可能大于120.
12．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，
经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x (单位：元，x >0)时，销
售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过20，则q (x )＝1 260x ＋1
；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20≤x ≤180时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数)．
(1)求函数q (x )的表达式；
(2)当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．
解 (1)当20≤x ≤180时，由⎩⎨⎧ a －b ·20＝60，a －b ·180＝0，
得⎩⎨⎧ a ＝90，b ＝3 5. 故q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 260x ＋1，0<x ≤20，
90－35x ，20<x <180，0，x ≥180.
(2)设总利润f (x )＝x ·q (x )，
由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 126 000x x ＋1，0<x ≤20，
9 000x －3005·x x ，20<x <180，0，x ≥180，
当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1
，
又f (x )在(0,20]上单调递增，
所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000.
当20<x <180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，
f ′(x )＝9 000－4505·x ，
令f ′(x )＝0，得x ＝80.
当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，
当80<x <180时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，
所以当x ＝80时，f (x )有最大值240 000.
当x ≥180时，f (x )＝0.
综上，当x ＝80元时，总利润取得最大值240 000元．
13．(2017·苏北四市调研)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均
为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5 千米，BC ＝8 千米，CD ＝3 千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/时．
(1)若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；
(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．
解 (1)由题意得AD ＝12 千米，
⎪⎪⎪⎪⎪⎪126－16v ≤14
， 解得649≤v ≤647，
故乙的速度v 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫649，647. (2)设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．
由于乙先到达D 地，故16v <2，即v >8.
①当0<v t ≤5，即0<t ≤5v 时，
f (t )＝(6t )2＋(v t )2
－2×6t ×v t ×cos ∠DAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 2－485v ＋36t 2. 因为v 2－485v ＋36>0，所以当t ＝5v 时，f (t )取最大值 ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫v 2－485v ＋36×⎝ ⎛⎭
⎪⎫5v 2≤25，解得v ≥154. ②当5<v t ≤13，即5v <t ≤13v 时，
f (t )＝(v t －1－6t )2＋9＝(v －6)2⎝ ⎛
⎭⎪⎫t －1v －62＋9. 因为v >8，所以1v －6
<5v ，(v －6)2>0，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值， 所以(v －6)2⎝ ⎛⎭
⎪⎫13v －1v －62＋9≤25，解得398≤v ≤394. ③当13≤v t ≤16，即13v ≤t ≤16v 时，
f (t )＝(12－6t )2＋(16－v t )2
因为12－6t >0,16－v t >0，所以f (t )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，16上单调递减， 所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，
⎝ ⎛⎭⎪⎫12－6×13v 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫16－v ×13v 2≤25，解得398≤v ≤394. 因为v >8，所以8<v ≤394.
综上所述，v 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤8，394.。