空间几何体复习题
空间几何体复习知识与经典例题练习
第一章 空间几何体一、知识点归纳（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。
(三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径）2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积1)3V S S h =++⨯下上（ ④球体的体积343V R π=222r rl Sππ+=二、例题例1下列说法中，正确的是( ) .（A ）有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱 （B ）棱柱的侧棱长一定相等, 侧面是平行四边形（C ）有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体叫棱锥（D ）有两个面是相互平行的相似多边形,其余各面都是梯形的多面体一定是棱台 例2下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④例3如图所示，在长方体////D C B A ABCD -中，用截面截下一个棱锥//DD A C -，求棱锥//DD A C -的体积与剩余部分得体积之比.例4如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.三、练习1下列命题中，正确的是（ ）.（A ）有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 （B ）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 （C ）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 （D ）棱台各侧棱的延长线交于一点2．对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A.2倍 B.42倍 C.22倍 D.21倍/AABCD /D /B/C3．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为（ ）A ．1:2:3B ．1:4:9C ．2:3:4D ．1:8:27 4、下列各组几何体中是多面体的一组是（ ） A 三棱柱 四棱台 球 圆锥 B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台 C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥 D 圆锥 圆台 球 半球 5．下列说法正确的是（ ）A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 6．若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 （ ） （A ） 圆锥 (B)棱柱 （C ）圆柱 (D)棱锥7、若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（ ） A 2 B 2.5 C 5 D 10 8．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）C.9．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对11、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。
高中数学 人教A版 必修2 第一章 空间几何体 高考复习习题(选择题201-300)含答案解析
A． B． C．50πD．200π
14．在菱形 中， ，将 沿 折起到 的位置，若二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的体积为（）
A． B． C． D．
15．已知球的直径 ， 是该球球面上的两点， ， ，则棱锥 的体积为（）
高中数学人教A版必修2第一章空间几何体高考复习习题（选择题201-300）含答案解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()
A． ＋1B． ＋3
11．在三棱锥 中，底面 是边长为2的正三角形，顶点 在底面 上的射影为 的中心，若 为 的中点，且直线 与底面 所成角的正切值为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
12．已知三棱锥 的每个顶点都在球 的表面上， 底面 ，且二面角 的正切值为4，则球 的表面积为
A． B． C． D．
A． B． C． D．
5．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为 ，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（）
高中几何体试题及答案解析
高中几何体试题及答案解析试题一：立体几何基础题题目：已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求该长方体的体积。
解析：长方体的体积可以通过其三个维度的乘积来计算，即体积V = a × b × c。
答案：V = abc。
试题二：空间向量在立体几何中的应用题目：在空间直角坐标系中，点A(1, 0, 0)，点B(0, 1, 0)，点C(0, 0, 1)，求三角形ABC的面积。
解析：空间直角坐标系中，三角形的面积可以通过向量叉乘来求解。
设向量AB = (-1, 1, 0)，向量AC = (-1, 0, 1)，向量AB与向量AC 的叉乘结果为向量AB × AC = (1, -1, 1)。
该向量的模即为三角形ABC的面积的两倍。
答案：三角形ABC的面积为√3。
试题三：圆锥体的体积计算题目：已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的体积。
解析：圆锥的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h来计算。
答案：V = (1/3)πr²h。
试题四：球体的表面积与体积题目：已知球体的半径为R，求球体的表面积和体积。
解析：球体的表面积可以通过公式A = 4πR²来计算，球体的体积可以通过公式V = (4/3)πR³来计算。
答案：球体的表面积A = 4πR²，球体的体积V = (4/3)πR³。
试题五：旋转体的体积题目：已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积。
解析：圆柱的体积可以通过公式V = πr²h来计算。
答案：V = πr²h。
结束语：通过上述试题及答案解析，我们可以看到高中几何体的计算涉及体积、面积和表面积等概念，这些计算在数学和物理等多个领域都有广泛的应用。
掌握这些基础知识对于解决更复杂的几何问题至关重要。
希望这些试题和解析能够帮助学生加深对立体几何概念的理解，并在解题过程中培养空间想象能力。
高中数学 立体几何 ——空间几何体
高中数学立体几何——空间几何体一、单选题1．如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．AC⊥平面ABB1A1B．CC1与B1E是异面直线C．A1C1⊥B1E D．AE⊥BB12．已知水平放置的ΔABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图A′B′C′，其中B′O′=C′O′= 1，A′O′=√3，那么原ΔABC的面积是()2A．B．C．D．3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．64．据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=2，三棱锥外接球表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π5．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．2 √2B．2√23C．4√23D．4√336．在空间直角坐标系中，方程x2+y2+z2=4所表示的图形是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．球7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．72B．66C．60D．308．已知l，m是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥mB．若l⊂α，m⊂β，α//β，则l//mC．若l//α，m⊂α，则l//mD．若l⊂α，m⊂α，且l//β，m//β，则α//β9．空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a，b，c，则下列四个命题中正确的有（）P1：若α⊥β，α⊥γ，则β//γ；P2：若a⊥b，a⊥c，则b//c；P3：若a⊥α，b⊥α，则a//b；P4：若a⊥α，b⊥β，α⊥β，，则a⊥b.A．P1，P2B．P2，P3C．P1，P3D．P3，P410．和直线l都垂直的直线a，b的位置关系是（）A．平行B．平行或相交C．平行或异面D．平行、相交或异面11．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为√26πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）A．√33B．√23C．32D．√2212．四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，则直线PB与平面PAC所成角为（）A．π6B．π4C．π3D．π213．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿矩形对角线BD将ΔBCD折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD中，当DA⊥BC时，BC⊥AC；②四面体ABCD的体积的最大值为245；③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为π3；④四面体ABCD的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编号为()A．①④B．①②C．①②④D．②③④14．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为√2，体积为43，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：2B．2：5C．1：3D．4：515．如图，四边形ABCD为矩形，AD=2AB，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折至△PAE的位置（点P∉平面AECD），设线段PD的中点为F，则在翻折过程中，下列论断不正确的是（）A ．CF// 平面 AEPB ．异面直线 CF 与 PE 所成角的大小恒定不变C ．AE ⊥DPD ．当平面 APE ⊥ 平面 AECD 时， AD 与平面 PDE 所成角为 30∘16．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A ．2+B ．C ．D ．1+17．四棱锥 P −OABC 中，底面 OABC 是正方形， OP ⊥OA ， OA =OP =a ． D 是棱 OP 上的一动点，E 是正方形 OABC 内一动点， DE 的中点为 Q ，当 DE =a 时， Q 的轨迹是球面的一部分，其表面积为 3π ，则 a 的值是（ ） A ．2√3B ．2√6C ．3√63D ．6二、填空题18．圆锥侧面展开图是弧长为2π、半径为√2的扇形，则该圆锥的体积为 . 19．若一个正六棱柱的底面边长为 a ，侧面对角线的长为 2a ，则它的体积为 ． 20．若直线AB ∩α=A ，则B α．（用数学符号语言填写）21．若三棱锥 A −BCD 中， AB =CD =6 ,其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为 ．22．我国古代数学中提到一种几何体叫做“刍甍”，刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也.即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体（如图）：矩形 ABCD ，棱 EF//AB ， AB =4 ， EF =2 ， △ADE 和 △BCF 都是边长2的等边三角形，则此几何体的表面积为 .23．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为.24．长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=√2，BC=AA1=1，则异面直线BD与AD1所成的角余弦值为.25．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为cm326．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面面积为.27．某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于；表面积等于．28．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．29．在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2，△ABC是正三角形，E为PC中点，有以下四个结论：①若PC⊥BE，则三棱锥P−ABC的体积为2√23；②若PC⊥BE，且三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为√6π；③若PA⊥BE，则三棱锥P−ABC的体积为2√33；④若PA⊥BE，且三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为12π．其中结论正确的序号为．30．已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m⊥α且n⊥α，则m⊥n；②若m⊥β且m⊥n，则n⊥β；③若m⊥α且m⊥β，则α⊥β；④若n⊥α且m不垂直于α，则m不垂直于n．其中正确命题的序号为．31．已知球O的表面积为20π，在以O为坐标原点的空间直角坐标系中，点A(0，1，a)(a>0)，B都在球O的球面上，且∠AOB=π3，写出点B的一个坐标：．32．如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形ABCD的边长为4，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC=∠FAB=90°，则该四棱锥外接球被平面PBC所截的圆面的面积为.33．已知四面体ABCD中，AB=3√3，其余各棱长均为6，则四面体ABCD外接球的表面积为.34．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．三、解答题35．正四面体所有棱长都为2，求它的高.36．在三棱锥C−ABD中，△ABD是边长为2的等边三角形，BC=1，BC⊥CD且平面CBD⊥平面ABD，P，E分别为线段BD、CD的中点.（1）求证：AE⊥CD；（2）求直线AP与平面ABC所成角的正弦值.37．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD= 2，E、F分别是PB、AC的中点.（1）证明：EF//平面PCD；（2）求三棱锥E−ABF的体积.38．如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱）ABC−A1B1C1内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点D在A1B1上，且A1D=3DB1．若AC=BC，（1）求证：平面COD⊥平面ABB1A1；（2）求平面COD与平面CBB1C1所成锐二面角的余弦值．39．如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB= 90∘, BE=BC, F为CE的中点，（1）求证：AE//平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面ACE．40．如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB= 60°，AB=2，AD=1（1）求证：PA⊥BD；（2）若∠PCD=45°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．41．已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN//平面PAD.42．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BA\user1∥平面PCD，平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，⊥APD为等腰直角三角形，PA=PD=√22CD=√2．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若三棱锥B﹣PAD的体积为13，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．43．已知四边形ABCD,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=30°.现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD,AD⊥CD.点P在线段AD上，平面BPC将三棱锥A−BCD分成两部分，V A−BPC:V A−BCD=1:2.（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若M为CD的中点，求M到平面BPC的距离.44．如图,在四棱锥P−ABCD中, PD⊥底面ABCD, AB∕∕CD,AB=2, CD=3, M为PC上一点,且PM=2MC．（1）求证：BM∕∕平面PAD；（2）若AD=2,PD=3, ∠BAD=π3,求三棱锥P−ADM的体积．45．已知正三棱锥S−ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点A′,B′,C′分别在正三棱锥的三条侧棱SA,SB,SC上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为18 cm，底面边长为15 cm，内接正三棱柱的侧面积为180 cm2.（1）求三棱柱的高；（2）当三棱柱的高小于三棱锥高的一半时，求三棱锥B′−ABC′的体积.46．如图，△ABC中，AC=BC=√22AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．（1）求证：GF∥底面ABC；（2）求证：AC⊥平面EBC；（3）求几何体ADEBC的体积V．47．如图示，边长为4的正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，M、Q分别是PC，AD 的中点．（1）求证：PA⊥面BDM（2）求多面体P﹣ABCD的体积（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使面PCN⊥面PQB？若存在，指出N的位置，若不存在，请说明理由．48．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2,AD=3，（⊥）设G,H分别为PB,AC的中点，求证：CH∥平面PAD；（⊥）求证：PA⊥平面PCD；（⊥）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.49．如图，已知直三棱柱A1B1C1−ABC中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，D，E，F分别为AC，BC，B1B的中点，C1F⊥A1B1，G为线段DE上一动点.（1）证明：C1F⊥A1G；（2）求二面角C1−A1G−B1的余弦值的最大值.50．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=AB=1，PA⊥底面ABCD，∠ABC=π3，E是PC的中点.（1）求证：PA//平面EBD；（2）求证：平面EBD⊥平面PAC；（3）设点Q是平面PCD上任意一点，直接写出线段BQ长度的最小值.（不需证明）答案解析部分1．【答案】D【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】因为三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,侧棱AA 1⊥底面ABC ， 底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点，所以对于A ,AC 与AB 夹角为60°,即两直线不垂直，所以. AC 不可能垂直于平面ABB 1A 1；故A 错误；对于B ,CC 1与B 1E 都在平面CC 1BB 1中不平行，故相交；所以B 错误； 对于C ,A 1C 1,B 1E 是异面直线；故C 错误；对于D ,因为几何体是三棱柱,并且侧棱AA 1⊥底面ABC ， 底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点，所以BB 1⊥底面ABC ,所以BB 1⊥AE ,AE ⊥BC ,得到AE ⊥平面BCC 1B 1,所以AE ⊥BB 1； 故答案为：D.【分析】主要考查空间中点，线，面的位置关系，（A ）证明线面垂直关键线线垂直，A 错；（B ）与共面，B 错；（C ）A 1C 1,B 1E 是异面直线，C 错；(D)线线垂直关键线面垂直，BB 1⊥底面ABC 可得，BB 1⊥AE ,AE ⊥BC ，则AE ⊥平面BCC 1B 1,所以AE ⊥BB 1；D 正确；2．【答案】B【知识点】斜二测画法直观图【解析】【解答】因为 S直观图S原图=√24 ，且若⊥A′B′C′的面积为 12×2×√32×√22=√64，那么⊥ABC 的面积为 √3 ， 故答案为：B ．【分析】根据直观图和原图的面积之间的关系S直观图S原图=√24直接得出原 ΔABC 的面积。
空间立体几何练习题(含答案)
第一章 空间几何体 [基础训练A 组]一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）AB2 C．5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ）A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。
3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的主视图 左视图 俯视图C 底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。
(word版)高中数学必修2第一章空间几何体试题(含答案),文档
高一数学必修2第一章复习题一、选择题：〔每题5分，共50分〕1.以下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的〔〕A B C D2．假设一个几何体的三视图都是等腰三角形，那么这个几何体可能是〔〕A．圆锥 B．正四棱锥 C．正三棱锥 D．正三棱台3.圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，那么V1：V2=〔〕A.1：3B.1：1C. 2：1D.3：14.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三局部的面积之比为〔〕：2：3 ：3：5 ：2：4 ：3：95.棱长都是1的三棱锥的外表积为〔〕A. 3B. 2 3 3 D. 4 36.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的外表积之比为〔〕A.8:27B.2:3C.4:9D.2:97.有一个几何体的三视图及其尺寸如下〔单位cm〕，那么该几何体的外表积及体积为：〔〕56俯视图主视图侧视图πcm2，12πcm3πcm2，12πcm3πcm2，36πcm3 D.以上都不正确8．以下几种说法正确的个数是〔〕①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行-1-④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1B．2C．3D．49．正方体的内切球和外接球的半径之比为〔〕A．3:1B．3:2C．2:3D．3:310．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4.再将它们卷成两个圆锥侧面，那么两圆锥的高之比为〔〕A．3∶4B．9∶16C．27∶64D．都不对请将选择题的答案填入下表：题号12345678910答案二、填空题:〔每题6分，共30分〕11．一个棱柱至少有_____个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱。
12．图〔1〕为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图〔2〕中的三视图表示的实物为_____________。
高中几何体试题及答案大全
高中几何体试题及答案大全试题一：直线与平面的关系题目：在空间直角坐标系中，直线l过点A(1, 2, 3)且与向量(2, -1, 0)平行。
求证：直线l与平面x - 2y + z = 6平行。
答案：首先，直线l的参数方程可以表示为：\[ x = 1 + 2t, \quad y = 2 - t, \quad z = 3 \]其中\( t \)为参数。
接下来，将直线l的参数方程代入平面方程x - 2y + z = 6，得到：\[ (1 + 2t) - 2(2 - t) + 3 = 6 \]\[ 1 + 2t - 4 + 2t + 3 = 6 \]\[ 4t = 6 \]\[ t = \frac{3}{2} \]由于直线l的参数方程中，参数\( t \)可以取任意实数，而代入平面方程后，\( t \)有唯一解，这表明直线l与平面x - 2y + z = 6平行。
试题二：立体几何体积计算题目：一个正方体的边长为a，求其外接球的体积。
答案：正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长度，即：\[ 2R = a\sqrt{3} \]其中\( R \)为外接球的半径。
由此可得外接球的半径为：\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]球的体积公式为：\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \]代入\( R \)的值，得到正方体外接球的体积为：\[ V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 =\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2} \]试题三：圆锥曲线问题题目：已知椭圆的方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中a > b > 0。
求椭圆的焦点坐标。
答案：椭圆的焦点位于主轴上，根据椭圆的性质，焦点到椭圆中心的距离为c，满足以下关系：\[ c^2 = a^2 - b^2 \]假设焦点位于x轴上，焦点的坐标为\( (c, 0) \)和\( (-c, 0) \)。
空间几何体知识点总结与练习题
空间几何体的表面积和体积圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。
V Sh =柱 （S 为底面面积，h 为柱体的高）圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为0360rlθ=⨯，S 圆锥侧=rl π， S 圆锥表=()r r l π+，其中为r 圆锥底面半径，l 为母线长。
13V Sh =锥 （ S 为底面面积，h 为高）圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于 圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为0360R rlθ-=⨯，S 圆台侧=()r R l π+，S 圆台表=22()r rl Rl R π+++.''1()3V S S S S h =++台 （S ，'S 分别上、下底面积，h 为高）球：334R π=球Ｖ，Ｓ＝４πR 2一、 选择题1．在棱柱中（ ）A ．只有两个面平行B ．所有的棱都平行C ．所有的面都是平行四边形D ．两底面平行，且各侧棱也互相平行2．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面 3个不同的位置，则数字l 、2、3对面的数字是（ ）A ．4、5、6B ．6、4、5C ．5、4、6D ．5、6、4 3. 三视图均相同的几何体有（ ） Ａ．球Ｂ．正方体 Ｃ．正四面体Ｄ．以上都对4.已知正ABC △的边长为a ，那么ABC △的平面直观图ABC △'''的面积为（ ） Ａ．234a Ｂ．238a Ｃ．268a Ｄ．2616a 5.利用斜二测画法得到：① 三角形的直观图是三角形； ② 平行四边形的直观图是平行四边形； ③ 正方形的直观图是正方形； ④ 菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（ ） Ａ．①②Ｂ．①Ｃ．③④Ｄ．①②③④6．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（ ）7. 若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ） Ａ．圆柱 Ｂ．三棱柱 Ｃ．圆锥Ｄ．球体8.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ ）A ．21B ．1C ．2D ．39.中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ：B 为（ ）A ．11：8B ．3：8C ．8：3D ．13：810.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．ππ221+B ．ππ421+C ．ππ21+D ．ππ241+11.已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（ ）A.22B.332 C.324 D.334 12.如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2,则左视图的面积为（ ） A ．2a 2B ．a 2C ．23a D ．243a13.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）aaaA.B. C.D.二、填空题14.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是15.如图，用一平面去截球所得截面的面积为 2cm 2，已知 球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3.16.如图，长方体ABCD —A 1B l C l D 1中，AD ＝3，AA l ＝4，AB ＝5，则从A 点沿表面到C l 的最短距离为______．17.一个几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）为 3cm ．理第11题图318.已知右图的三视图中正方形的边长为a ，则该几何体的体积是19.下面三视图的实物图形的名称是20．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是．参考答案1-5 DCDDA 6-10 ACDAA 11-13 DCB14.12π 15.π34 16. 7417.33π+18.3724aπ19.四棱锥20. 18侧视图正视图俯视图。
【高考压轴题】空间立体几何经典大题汇编100题（含答案）
【⾼考压轴题】空间⽴体⼏何经典⼤题汇编100题（含答案）【⾼考压轴题】空间⽴体⼏何经典⼤题汇编100题（含答案)未命名⼀、解答题1．直三棱柱'''ABC A B C -中，底⾯ABC 是边长为2的正三⾓形，'D 是棱''A C 的中点，且'AA =.（1）若点M 为棱'CC 的中点，求异⾯直线'AB 与BM 所成⾓的余弦值；（2）若点M 在棱'CC 上，且'A M ⊥平⾯''AB D ，求线段CM 的长.2．如图，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，CF ⊥平⾯ABC ，AB BC ⊥，45BAC ∠=?，CF DE =，,G H 分别为,AC BC 的中点.（1）求证：//BD 平⾯FGH ；（2）求平⾯FGH 与平⾯ACFD 所成⾓（锐⾓）的⼤⼩.3．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==12AB AA ==，E 是棱1CC 的中点.(1)求证：平⾯1A AB ⊥平⾯1A BE ； (2)求⼆⾯⾓1A BE A --的余弦值.4．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平⾯,,ABCD AB AD CD BC ==. （1）求证：平⾯PBD ⊥平⾯PAC ；（2）若120,60B A D B CD ∠=∠=，且P B P D ⊥，求⼆⾯⾓B PC D --的平⾯⾓的⼤⼩.5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 是矩形，11AB B C ⊥，平⾯1A BC ⊥平⾯11AB C .（1）求证：11AB A B ⊥；（2）若113B C =，4AB =，160ABB ?∠=，求⼆⾯⾓1A A C B --的余弦值.6．如图，在正⽅体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,CC B C 的中点．（1）求证：1A F //平⾯1AD E ；（2）求⼆⾯⾓1D E A DC --余弦值.7．在多⾯体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正⽅形，//EF AB ，1DE EF ==，2DC BF ==，30EAD ?∠=.（Ⅰ）求证：AE ⊥平⾯CDEF ；（Ⅱ）在线段BD 上确定⼀点G ，使得平⾯EAD 与平⾯FAG 所成的⾓为30?. 8．已知四棱锥P ABCD -中，平⾯PCD ⊥平⾯ABCD ，且22PD PC BC ===， 2,3BCD ABD π∠=是等边三⾓形，AC B D E =. (1)证明：PC ⊥平⾯PAD ； (2)求⼆⾯⾓P AB C --的余弦值.9．已知直⾓梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，22AB AD CD ===，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，且//EF AB ，沿EF 将EFCD 折起并连接成如图的多⾯体CD ABFE -，折后BE ED ⊥．（Ⅰ）求证：AE FC ⊥；（Ⅱ）若折后直线AC 与平⾯ABFE 所成⾓θABCD ⊥平⾯FCB ．10．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平⾯ABCD ，且90ABC BCD ∠=∠=?，22SA AB BC CD ====，E 是边SB 的中点．（1）求证：AE ⊥平⾯SBC ；（2）若F 是线段SB 上的动点（不含端点）：问当BF FS为何值时，⼆⾯⾓D CF B--余弦值为10-． 11．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，侧⾯11BCC B ABC ⊥底⾯. (Ⅰ)若,M N 分别是1,AB AC 的中点，求证：11//MN BCC B 平⾯； (Ⅱ)若三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底⾯ABC 所成的⾓为60?，问在线段11A C 上是否存在⼀点P ，使得平⾯111B CP ACC A ⊥平⾯?若存在，求1C P 与1PA 的⽐值，若不存在，说明理由．12．已知某⼏何体直观图和三视图如图所⽰，其正视图为矩形，侧视图为等腰直⾓三⾓形，俯视图为直⾓梯形.（1）求证：BN 11C B N ⊥平⾯；（2）11sin C N CNB θθ设为直线与平⾯所成的⾓,求的值；（3）设M 为AB 中点，在BC 边上找⼀点P ，使MP //平⾯1CNB 并求BPPC的值. 13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是棱,BC AB 的中点，点F 在1CC 棱上，且AB AC =，13AA=，2BC CF ==.（1）求证：1//C E 平⾯ADF ；（2）当2AB =时，求⼆⾯⾓111A C E B --的余弦值.14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，90BCA ?∠=．（1）求异⾯直线1BA 与1CB 夹⾓的余弦值；（2）求⼆⾯⾓1B AB C --平⾯⾓的余弦值．15．已知正三棱柱中，、分别为的中点，设.（1）求证：平⾯平⾯；（2）若⼆⾯⾓的平⾯⾓为，求实数的值，并判断此时⼆⾯⾓是否为直⼆⾯⾓，请说明理由.16．在直三棱柱中，13,2,AA AB BC AC D ====是AC 中点. （Ⅰ）求证：1B C //平⾯1A BD ；（Ⅱ）求点1B 到平⾯1A BD 的距离；（Ⅲ）求⼆⾯⾓11A DB B --的余弦值.17．如图,在三棱柱ABC -111A B C 中,侧棱与底⾯垂直,090BAC ∠=,AB AC =1AA =2=,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.(1)证明:1A M ⊥MC ;(2)求⼆⾯⾓N MC A --的正弦值.18．如图，四边形ABCD 是正⽅形，EA ⊥平⾯ABCD ，//EA PD ，22AD PD EA ===，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点.（1）求证：//FG 平⾯PED ；（2）求平⾯FGH 与平⾯PBC 所成锐⼆⾯⾓的⼤⼩；（3）在线段PC 上是否存在⼀点M ，使直线FM 与直线PA 所成的⾓为3π若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.19．已知五边形ABCDE 是由直⾓梯形ABCD 和等腰直⾓三⾓形ADE 构成，如图所⽰， AB AD ⊥， AE DE ⊥， AB CD ，且224AB CD DE ===，将五边形ABCDE 沿着AD 折起，且使平⾯ABCD ⊥平⾯ADE .（Ⅰ）若M 为DE 中点，边BC 上是否存在⼀点N ，使得MN 平⾯ABE ？若存在，求BNBC的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求⼆⾯⾓A BE C --的平⾯⾓的余弦值.20．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多⾯体中，四边形ACDF 是菱形，60,,//FAC AC BC AB DE ∠=?⊥， //,2,1,BC EF AC BC BF ===（1）求证：BC ⊥平⾯ACDF ；（2）求⼆⾯⾓C AE F --的余弦值.21．在PABC 中，4PA =，PC =45P ∠=?，D 是PA 中点（如图1）.将PCD ?沿CD 折起到图2中1PCD ?的位置，得到四棱锥1P ABCD -.（1）将PCD ?沿CD 折起的过程中，CD ⊥平⾯1P DA 是否成⽴？并证明你的结论；（2）若1P D 与平⾯ABCD 所成的⾓为60°，且1PDA ?为锐⾓三⾓形，求平⾯1P AD 和平⾯1P BC 所成⾓的余弦值.22．四棱锥P ABCD -中，侧⾯PDC 是边长为2的正三⾓形，且与底⾯垂直，底⾯ABCD 是60ADC ∠=?的菱形，M 为PB 的中点，Q 为CD 的中点.（1）求证：PA CD ⊥；（2）求AQ 与平⾯CDM 所成的⾓.23．如图，在正⽅体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是棱BC ，A 1B 1，B 1C 1的中点．（1）求异⾯直线EF 与DG 所成⾓的余弦值；（2）设⼆⾯⾓A —BD —G 的⼤⼩为θ，求 |cos θ| 的值．24．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 60DAB DBF ∠=∠=?，且F A F C =.（1）求证：AC ⊥平⾯BDEF ；（2）求直线AF 与平⾯BCF 所成⾓的正弦值.25．如图，在正⽅体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上⼀点，且异⾯直线1B E 与BG 所成⾓的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平⾯1B EF 与平⾯11ABC D 所成锐⼆⾯⾓的余弦值.26．如图，ABC ?中，02,4,90AC BC ACB ==∠=，,D E 分别是,AC AB 的中点，将ADE ?沿DE 折起成PDE ?，使⾯PDE ⊥⾯BCDE ，,H F 分别是PD 和BE 的中点，平⾯BCH 与PE ，PF 分别交于点,I G .（1）求证：//IH BC ；（2）求⼆⾯⾓P GI C --的正弦值.27．如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =点F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD沿着对⾓线AC 折成⼆⾯⾓D AC B '--，使得D B '=．（Ⅰ）求证：当AF =D F BC '⊥；（Ⅱ）试求CF 的长，使得⼆⾯⾓A D F B -'-的⼤⼩为4π．28．如图，在三棱锥P ABC -中，,,CP CA CB 两两垂直且相等，过PA 的中点D 作平⾯α∥BC ，且α分别交PB ，PC 于M 、N ，交,AB AC 的延长线于,E F ．（Ⅰ）求证：EF ⊥平⾯PAC ；（Ⅱ）若2AB BE =，求⼆⾯⾓P DM N --的余弦值.29．如图1，在M B C △中，24BM BC ==，BM BC ⊥，A ，D 分别为BM ，MC 的中点．将MAD △沿AD 折起到PAD △的位置，使90PAB ∠=，如图2，连结PB ，PC ．（Ⅰ）求证：平⾯PAD ⊥平⾯ABCD ；（Ⅱ）若E 为PC 中点，求直线DE 与平⾯PBD 所成⾓的正弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在⼀点G ，使⼆⾯⾓G AD P --求出PGPC的值；若不存在，请说明理由．30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平⾯ABCD ，底⾯ABCD 是菱形.（1）求证：BD ⊥平⾯PAC ；（2）若PA AB BD ==，求PC 与平⾯PBD 所成⾓的正弦值.31．如图，四棱锥P ABCD -中，底⾯ABCD 为梯形，PD ⊥底⾯ABCD ，//,,1,AB CD AD CD AD AB BC ⊥===过A 作⼀个平⾯α使得//α平⾯PBC .（1）求平⾯α将四棱锥P ABCD -分成两部分⼏何体的体积之⽐；（2）若平⾯α与平⾯PBC PA 与平⾯PBC 所成⾓的正弦值.32．如图⼏何体ADM-BCN 中，ABCD 是正⽅形，CD //NM ，,AD MD CD CN ⊥⊥，MDC ∠=120o ，30CDN ∠=，24MN MD ==.（Ⅰ）求证：//AB CDMN 平⾯；（Ⅱ）求证：DN AMD ⊥平⾯；（Ⅲ）求⼆⾯⾓N AM D --的余弦值.33．如图所⽰，在四棱锥P ABCD -中，底⾯ABCD 为正⽅形，PA ⊥平⾯ABCD ，且1PA AB ==，点E 在线段PC 上，且2PE EC =. （Ⅰ）证明：平⾯BDE ⊥平⾯PCD ；（Ⅱ）求⼆⾯⾓P BD E --的余弦值.34．在如图所⽰的多⾯体ABCDE 中，AB ⊥平⾯ACD ，DE ⊥平⾯ACD ，AC AD CD DE 2AB 1G =====，，为AD 中点，F 是CE 的中点. （1）证明：BF 平⾯ACD （2）求点G 到平⾯BCE 的距离.35．如图所⽰，四棱锥P ABCD -的侧⾯PAD ⊥底⾯ABCD ，底⾯ABCD 是直⾓梯形，且//,AB CD AB AD ⊥,12CD PD AD AB ===,E 是PB 中点.（1）求证：CE ⊥平⾯PAB ；（2）若4CE AB ==，求直线CE 与平⾯PDC 所成⾓的⼤⼩.36．如图，在四棱锥E ABCD -中，ABD ?是正三⾓形，BCD ?是等腰三⾓形，120BCD ∠=，EC BD ⊥．（1）求证：BE DE =；（2）若AB =AE =EBD ⊥平⾯ABCD ，直线AE 与平⾯ABD 所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓B AE D --的余弦值．37．如图1，在平⾏四边形11ABB A 中，160ABB ∠=?，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，现把平⾏四边形11ABB A 1沿C 1C 折起如图2所⽰，连接1B C 、1B A 、11B A ．（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB =11C AB A --的正弦值．38．如图,已知四棱锥S ABCD -中,底⾯ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=?,SA SD SB ===点E 是棱AD 的中点,点F 在棱SC 上,且SF SC λ=,SA //平⾯BEF .（1）求实数λ的值;（2）求⼆⾯⾓S BE F --的余弦值.39．如图所⽰，在四棱锥P ABCD -中，平⾯PAD ⊥平⾯ABCD ，底⾯ABCD 是正⽅形，且PA PD =，90APD ?∠=.（Ⅰ）证明：平⾯PAB ⊥平⾯PCD ；（Ⅱ）求⼆⾯⾓A PB C --的余弦值.40．如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.41．如图，直⾓梯形BDFE 中，||EF BD ，BE BD ⊥，EF =等腰梯形ABCD 中，||AB CD ，AC BD ⊥，24AB CD ==，且平⾯BDFE ⊥平⾯ABCD . （1）求证：AC ⊥平⾯BDFE ；（2）若BF 与平⾯ABCD 所成⾓为4π，求⼆⾯⾓B DF C --的余弦值.42．在如图所⽰的⼏何体中，正⽅形ABEF 所在的平⾯与正三⾓形ABC 所在的平⾯互相垂直，//CD BE ，且2BE CD =，M 是ED 的中点．（1）求证：//AD 平⾯BFM ；（2）求⾯EDF 与⾯ADB 所成锐⼆⾯⾓的⼤⼩．43．如图，四⾯体中，分别是的中点，（1）求证：平⾯;（2）求直线与平⾯所成⾓的正弦值.44．如图，已知正⽅体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，CC '，AA '，C D ''的中点.（1）求证：EF 平⾯GHD ；（2）求直线EF 与BD '所成的⾓.45．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底⾯ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ?为正三⾓形，且侧⾯P AB ⊥底⾯ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上.（I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平⾯ACM ；（II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使⼆⾯⾓M EC D --的⼤⼩为60°，若存在，求出PMPD的值；若不存在，请说明理由．46．长⽅形ABCD 中，2AB AD =，M 是DC 中点（图1）．将△ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中：（1）求证：平⾯ADM ⊥平⾯ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得⼆⾯⾓E AM D --为⼤⼩为π4，说明理由． 47．如下图，在空间直⾓坐标系O xyz -中，正四⾯体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD 的顶点,,A B C 分别在x 轴，y 轴，z 轴上.（Ⅰ）求证：//CD 平⾯OAB ；（Ⅱ）求⼆⾯⾓C AB D --的余弦值.48．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平⾯ABCD ,底⾯ABCD 为梯形， //AD BC ,AB DC ==1122AD AA BC ===，点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：//CQ 平⾯1PAC ；（Ⅱ）求⼆⾯⾓1C AP D --的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点E ，使PE 与平⾯1PAC 所成⾓的正弦值是21若存在，求BE 的长；若不存在，请说明理由.49．如图在棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，PD ⊥⾯ABCD ，2PB =，PB 与⾯PCD 成045⾓，PB 与⾯ABD 成030⾓.（1）在PB 上是否存在⼀点E ，使PC ⊥⾯ADE ，若存在确定E 点位置，若不存在，请说明理由；（2）当E 为PB 中点时，求⼆⾯⾓P AE D --的余弦值.50．如图所⽰，在底⾯为正⽅形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111,2,3AA A B A D AB AA B π===∠=.（1）证明：平⾯1A BD ⊥平⾯11A BC ；（2）求直线1AC 与平⾯1DBC 所成⾓的正弦值.51．如图，在等腰梯形ABCD 中，060ABC ∠=，上底2CD =，下底4AB =，点E 为下底AB 的中点，现将该梯形中的三⾓形BEC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B AECD -.（1）在四棱锥B AECD -中，求证：AD BD ⊥；（2）若平⾯BEC 与平⾯AECD 所成⼆⾯⾓的平⾯⾓为0120，求直线AE 与平⾯ABD所成⾓的正弦值.52．如图，已知四棱锥P ABCD - 中，//,,3,4,4,AB CD AB AD AB CD AD AP ⊥====060PAB PAD ∠=∠=.（1）证明：顶点P 在底⾯ABCD 的射影在BAD ∠的平分线上；（2）求⼆⾯⾓B PD C --的余弦值.53．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平⾯11AAC C ，12AA AB AC ===，160A AC ∠=.过1AA 的平⾯交11B C 于点E ，交BC 于点F .(l)求证：1A C ⊥平⾯1ABC ；(Ⅱ)求证：四边形1AA EF 为平⾏四边形； (Ⅲ)若是23BF BC =，求⼆⾯⾓1B AC F --的⼤⼩． 54．如图，在四棱锥P ABCD -中，底⾯ABCD 为梯形，平⾯PAD ⊥平⾯,//,ABCD BC AD ,PA PD ⊥,60,AB AD PDA E ⊥∠=为侧棱PD 的中点，且2,4AB BC AD ===.（1）证明：//CE 平⾯PAB ；（2）求⼆⾯⾓A PB C --的余弦值.55．如图1，梯形ABCD 中，AD BC ∥，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E。
高中数学空间几何体综合复习题(含答案)
高一数学空间几何体综合复习题一、选择题：1.下列四种说法中正确的是 ( )A.棱柱的某些侧棱延长后可能相交B.棱锥的侧面可以是梯形C.棱台的所有侧棱延长后交于同一点D.所有面都是三角形的几何体是棱锥2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A ．163πB ．323π C ．16π D ．24π3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 43B. 52C. 73D ．34．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B ．43π C ．46π D ．63π5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A ． 90π B ．63π C ．42π D ．36π6．如图（1）、（2）、（3）、（4）是四个几何体的三视图，这四个几何体依次分别是( )正视图 侧视图正视图 侧视图 正视图 侧视图正视图 侧视图（1）（2）（3）（4）俯视图俯视图俯视图俯视图A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台7．在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（） A.23π 错误!未找到引用源。
B. 43π 错误!未找到引用源。
C. 53π 错误!未找到引用源。
D. 2π8．已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积是 ( )A.32216π B ．3216π C ．32210π D ．3210π9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π410. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ．2B ．2C ．3D ．211. 正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( ) A.3B.32C.1D.3212．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z 大于零)，则四面体P—EFQ 的体积( )A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关二、填空题13．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________．14. 已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为________．15. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．16.如图4，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr=________．第16题三、解答题：17. 某个几何体的三视图如图所示（单位：m ） （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积．18. 如图是一个几何体的正视图和俯视图．（Ⅰ）试判断该几何体是什么几何体；(Ⅱ)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；（Ⅲ）求出该几何体的体积．19. 如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,BCD CD BD ⊥.（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；(Ⅱ)若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20. 如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(Ⅰ)求证：平面ABEF ⊥平面BCDE ； (Ⅱ)求五面体ABCDEF 的体积．21.如图，已知四棱锥A BCDE -，1AB BC AC BE ====，2CD =，CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （Ⅲ）求四棱锥A BCDE -的体积．[来源:学科网]22. 如图(1)所示，在直角梯形ABEF 中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF 沿CD折起，使平面DCEF ⊥平面ABCD ，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示． (Ⅰ)求证：BE ∥平面ADF ； (Ⅱ)求三棱锥F －BCE 的体积．参考答案一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C BABBCCABBCD二、填空题13. 3＋3 14. 15. 92π 16. 。
高考数学一轮复习《空间几何体》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《空间几何体》练习题（含答案）一、单选题1．降水量（precipitation[amount]）：从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）水，未经蒸发､渗透､流失，而在水平面上积聚的深度.降水量以mm 为单位，气象观测中一般取一位小数，现某地10分钟的降雨量为13.1mm ，小王在此地此时间段内用口径为10cm 的圆柱型量筒收集的雨水体积约为（ ）（其中π 3.14≈）A ．331.0210mm ⨯B ．331.0310mm ⨯C ．531.0210mm ⨯D ．531.0310mm ⨯2．某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的表面积(单位：2cm )是（ ）A ．()256122cm +B ．()248162cm + C ．()280122cm + D ．()272162cm + 3．阿基米德（Archimedes ，公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的数学家，物理学家和天文学家，在他墓碑上刻着的一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，如图所示，则在该几何体中，圆柱表面积与球表面积的比值为（ ）A ．32B ．43C ．32或23D ．234．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A ．33πB ．2πC ．3πD ．4π5．某圆锥的母线长为2，高为423，其三视图如下图所示，圆锥表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆锥表面上的点N 在侧视图上的对应点为B ，则在此圆锥侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．2B ．22C ．823+D ．223- 6．已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．323B ．163C ．4D ．87．已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．1128．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．810+16B ．40C ．810++24D ．489．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是侧面11CC B B 上的一个动点（包含边界），则下面结论正确的有（ ）①若点E 满足1AE B C ⊥，则动点E 的轨迹是线段；②若点E 满足130EA C ∠=，则动点E 的轨迹是椭圆的一部分；③在线段1BC 上存在点E ，使直线1A E 与CD ．所成的角为30；④当E 在棱1BB 上移动时，1EC ED +的最小值是352+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为A ．4πB ．12C ．1D ．211．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于443+，则球O 的体积等于（ ）A ．3223πB ．1623πC ．823πD ．423π 12．一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．36B ．48C ．64D ．72二、填空题13．如果用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高等于____． 14．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，3AB BC AC ==，若四面体ABCD 体积的3________.15．“方锥”，在《九章算术》卷商功中解释为正四棱锥.现有“方锥”S ABCD -，其中4AB =，SA 与平面ABCD 32，则此“方锥”的外接球表面积为________. 16．棱长为6的正方体内有一个棱长为x 的正四面体，正四面体的中心（正四面体的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x 的最大值为______．三、解答题17．如图，已知直三棱柱111ABC A B C ，其底面是等腰直角三角形，且22AB BC ==14AC AA ==.(1)求该几何体的表面积；(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值.18．如图是一个以111A B C为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知11112A B B C==，11190A B C∠=︒，14AA=，13BB=，12CC=，求该几何体的体积．19．如图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．（单位：cm）20．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2PA AB ==，2AD =，过点B 作BE ⊥AC ，交AD 于点E ，点F ，G 分别为线段PD ，DC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面BEF ；(2)求三棱锥F -BGE 的体积．21．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，AC =23，△ADE 为等腰直角三角形，∠AED =90°，平面ADE ⊥平面ABCD ，且EF //AB ，EF =1.（1）证明：AC ⊥平面BDF ；（2）若G 为棱BF 的中点，求三棱锥G —DEF 的体积.22．如图，在三棱锥-P ABC 中，2AB BC ==，22PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．23．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ＝SC ，D 为AC 的中点，SD ⊥AB ．(1)证明：平面SAC ⊥平面ABC ；(2)若△BCD 是边长为3的等边三角形，点P 在棱SC 上，PC ＝2SP ，且932S ABC V -=，求三棱锥A －PBC 的体积．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，7PA PD ==，O F 、分别为AD AB 、的中点，PF AC ⊥.（1）求证：面POF ⊥面ABCD ；（2）求三棱锥B PCF -的体积。
空间几何体 专题总结及练习卷
空间几何体一、多面体：由若干个__________围成的几何体叫做多面体。
1、柱、锥、台的结构特征1）、棱柱：有两个面互相______，其余各面都是______，且每相邻两个四边形的公共边都______，由这些面所围成的多面体。
（三棱柱、四棱柱、五棱柱）性质: ①底面互相______．②侧面都是______ . ③侧棱平行且相等．2）、棱锥：有一个面是______，其余各面都是有一个公共顶点的______，由这些面所围成的多面体。
性质: ①侧面都是______.②平行于底面的截面与底面______，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.3）、棱台：用一个_______________的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分.性质：①上下底面是相似的平行多边形.②侧面是______.③侧棱交于原棱锥的顶点.二、旋转体：一个平面图形绕着它所在的平面内的____________旋转所形成的封闭几何体叫作旋转体。
4）、圆柱：以_____________________为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的旋转体.性质：①底面是全等的______；②母线与轴______；③轴与底面圆的半径______； ④侧面展开图是一个______。
5）、圆锥：以____________________为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的旋转体.性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个______.6）、圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分性质：①上下底面是两个______；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形.7）、球体：以__________________为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体.性质：①球的截面是______；②球面上__________________等于半径.三、空间几何体的三视图主 视 图 左视图正视图(反映了物体的高度和长度) 俯视图(反映了物体的长度和宽度)侧视图(反映了物体的高度和宽度)四、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x______,且长度______；②原来与y 轴平行的线段仍然与y______，长度为____________。
一轮复习专题38 空间几何体(同步练习)
专题38空间几何体（同步练习）一、基础概念例1-1．下列说法正确的是()。
A、如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等B、五棱锥只有五条棱C、一个棱柱至少有五个面D、棱台的各侧棱延长后交于一点【答案】CD【解析】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，A错误，五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共10条棱，B错误，∵一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确，∵棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，∴棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确，故选CD。
例1-2．下列说法中正确的是()。
A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C、有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台D、有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥【答案】D【解析】①若一个几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，这个几何体不一定是棱柱，②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，③若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它不一定是棱台，①如图所示的几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但这个几何体不是棱柱而是两个棱柱组合的几何体，其原因是不具备条件“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”；②未必是棱锥、如图所示的几何体，满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥，因为它不满足条件“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”。
③未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体，截面与底面之间的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否为棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否为梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点。
例1-3．下列图形不是正方体表面展开图的是()。
A 、B 、C 、D 、【答案】C 【解析】图C 不能围成正方体。
高中数学空间几何体历年高考题汇总及解析
---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线-------------------------------------------------------------空间几何体试题成绩课程名称高考数学二轮复习模拟考试开卷闭卷√教研室高三数学组A卷√B卷复习时间年月日时分至时分适用专业班级班级姓名学号考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。
答案写在答题纸上，写在试题纸上无效。
A卷一、选择题1．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20π D．28π2．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()试 题 共 页 第 页3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－π4 B ．8－π2 C ．8－πD ．8－2π4．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172B ．210 C. 132D ．310---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 5．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1 B．2C．3 D．46．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A．45，8 B．45，83C．4(5＋1)，83D．8，87．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()A．4 B．5C．3 2 D．3 3试题共页第页8．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12 B．6C．4 D．29．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于()A．34＋6 5 B．6＋65＋4 3C．6＋65＋413 D．17＋6 510．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A．2 B.92C.32D．3---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 11．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108 cm3B．100 cm3C．92 cm3D．84 cm312．如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．5＋ 3 B．5＋2 3C．4＋2 2 D．4＋2 3二、填空题13．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为________．14．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________．试题共页第页15．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________．16．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线-------------------------------------------------------------B卷一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6 B．33C．23D．3 2．某个几何体的三视图如图所示，其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为()A．92＋24π B．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π3．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为()A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2试题共页第页4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．8＋23B．8＋83C．12＋43D．16＋4 3 5．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是()A．5 B.132C.6013D．86．在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB 的面积分别为10,5,4，则该三棱锥外接球的表面积为()A．141π B．45πC．35π D．24π7．如图，圆锥的底面直径AB＝2，母线长VA＝3，点C在母线VB上，且VC ＝1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()A.13B. 7B.433 D.332---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 8．已知长方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球面上，且AB ＝3AD，AA1＝2AD，则四棱锥D1-ABCD的体积为()A.263 B.463C.π3 D.2π39．已知Rt△ABC，其三边长分别为a，b，c(a>b>c)．分别以三角形的边a，b，c所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2，S3和V1，V2，V3.则它们的关系为()A．S1>S2>S3，V1>V2>V3 B．S1<S2<S3，V1<V2<V3C．S1>S2>S3，V1＝V2＝V3 D．S1<S2<S3，V1＝V2＝V310．正三角形ABC的边长为23，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为3，此时四面体ABCD的外接球的半径为()A. 13B.132C．23 D. 3 11．已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝2，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为23，则这个球的表面积为()A.125π6B．8π C.25π4 D.25π1612．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎪⎫324，52B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52试题共页第页B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52二、填空题13．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的正弦值为________．14．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3.蚂蚁从A点沿侧面经过棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则蚂蚁爬过的路程最短为________．15．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝a3，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD 的中点．若平面P AD⊥平面ABCD，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，则四棱锥P-ABCD与三棱锥P-QBM的体积之比是________．---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线-------------------------------------------------------------A卷答案解析一、选择题1．解析：由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图)，设球的半径为R，则78×43πR3＝28π3，故R＝2，从而它的表面积S＝78×4πR2＋34×πR2＝17π答案：A2．解析：由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．该几何体的侧视图为选项B答案：B3．解析：由三视图可知，该几何体的体积是一个四棱柱的体积减去半个圆柱的体积，即V＝2×2×2－12×π×12×2＝8－π.故选C.答案：C4．解析：由题意知，该三棱柱可以看作是长方体的一部分，且长方体同一顶点处的三条棱长分别为3、4、12，又∵三棱柱的外接球即为长方体的外接球，(2R)2＝32＋42＋122，∴R＝132.故选C.答案：C5．解析：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为试题共页第页12，如图所示，其中AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，则AB＝10.要使该石材加工成的球的半径最大，只需球与直三棱柱的三个侧面都相切，则半径r等于直角三角形ABC的内切圆半径，即r＝6＋8－102＝2，故能得到的最大球的半径为2，故选B.答案：B6．解析：由题意知该四棱锥为正四棱锥，其底面边长为2，正四棱锥的高为2，故侧面三角形的高为 5.所以该四棱锥的侧面积为4×12×2×5＝45，体积为13×22×2＝83，故答案B.答案：B7．答案：D8．解析：该几何体为四棱锥P-ABCD，其中P A⊥平面ABCD，如图，则该几何体的体积为V＝13×2×12×(2＋1)×2＝2.答案：D9．解析：由三视图得该几何体的直观图如图，其中，ABCD为矩形，AD＝6，AB＝2，平面P AD⊥平面ABCD，△P AD---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 为等腰三角形，且此四棱锥的高为4，故该几何体的表面积等于6×2＋2×12×2×5＋12×6×25＋12×6×4＝34＋65，故选A.答案：A10．解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为12×(1＋2)×2＝3，四棱锥的高为x，因为该几何体的体积为3，所以13×3x＝3，解得x＝3，故选D.答案：D11．解析：由三视图可知原几何体是一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体切去一个三棱锥，因此该几何体的体积＝6×3×6－13×4×12×4×3＝108－8＝100(cm3)，故选B.答案：B12．解析：由三视图可知该几何体是一个六面体ABCDEFG，其中底面ABCD 为正方形，AF∥CG.且AF＝CG＝1，DE∥AF，且DE＝2AF，易计算出EF＝BF＝BG＝EG＝2，所以四边形EFBG为菱形，其对角线长分别为2和6，故该几何体的表面积S＝1×1＋12×1×1×2＋12×(1＋2)×1×2＋12×6×2＝5＋3，故选A.答案：A二、填空题13．解析：该几何体是一个单位正方体被截去了一部分，其直观图如图所示，试题共页第页其体积为1－13×12×1×1×1＝56.答案：5614．解析：由题可知该几何体由两个相同的半圆柱和一个长方体拼接而成，因此该几何体的体积V＝1×2×4＋π×12×2＝8＋2π.答案：8＋2π15．解析：由三视图可知，该几何体的外接球与长、宽、高分别为2、2、2的长方体的外接球相同，故所求球的半径R＝1222＋12＋22＝2，其表面积S ＝4πR2＝8π.答案：8π16．解析：在长方体(长为23，宽、高均为1)中作出此三棱锥，如图所示，则V P-ABC＝13×12×23×1×1＝33.答案：33---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线-------------------------------------------------------------B卷答案解析一、选择题1．解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝⎝⎛⎭⎪⎫12×2×3×3＝3 3.答案：B2．解析：依题意，题中的几何体是在一个长方体的上表面放置了半个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是5、4、4，圆柱的底面半径是2，高是5，因此该几何体的表面积等于3×(4×5)＋2×(4×4)＋π×22＋12×(2π×2)×5＝92＋14π，故选C.答案：C3．解析：由题意可得正视图的面积等于矩形ADD1A1面积的12，侧视图的面积等于矩形CDD1C1面积的12，又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，即正视图与侧视图的面积之比是1∶1，故选A.答案：A4．解析：该几何体是一个四棱柱，其直观图如图所示，其中上、下、左、右四个面是边长为2的正方形，前、后两个面均是底边长为2，高为3的平行四边形，故其表面积为4×2×2＋2×2×3＝16＋4 3.答案：D5．解析：∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．过点B1作B1E⊥A1B试题共页第页于E点(图略)．∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，即线段B1E的长即为所求．在Rt△A1B1B 中，B1E＝A1B1·B1BA1B＝12×552＋122＝6013，因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离是6013，故选C.答案：C6．解析：三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，由题意得，ab＝20，ac＝10，bc＝8，解得，a＝5，b＝4，c＝2，所以球的直径为25＋16＋4＝35，它的半径为352，球的表面积为4π·⎝⎛⎭⎪⎫3522＝45π.故选B.答案：B7．解析：把圆锥的半侧面展开，侧面展开图中，半径r＝3，故圆心角∠AVB＝π3，如图，在△VAC中，根据余弦定理得AC＝32＋12－2×3×1×12＝7，此即为蚂蚁爬行的最短距离．答案：B8．解析：设AD＝x，长方体的外接球的半径为R，则AD2＋AB2＋AA21＝(2R)2，又4πR2＝16π，∴x2＋(3x)2＋(2x)2＝4R2＝16，解得x＝2，∴四棱锥D1-ABCD 的体积V＝13AA1·S四边形ABCD＝13×22×3×2×2＝463.故选B.答案：B9．解析：S1＝π·bca·(b＋c)，V1＝13π⎝⎛⎭⎪⎫bca2a，S2＝πac＋πc2，V2＝13πbc2，S3＝πab ＋πb2，V3＝13πb2c.由a>b>c，可得S1<S2<S3，V1<V2<V3.---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 答案：B10．解析：球心O一定在与平面BCD垂直且过底面正三角形中心O′的直线上，也在平面ADO中AD的垂直平分线上，如图．OE＝O′D＝3×32×23＝1，DE＝12AD＝12×23×32＝32，故所求外接球的半径r＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝132.答案：B11．解析：∵AB＝BC＝2，AC＝2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆的圆心为边AC的中点O1，如图所示，若使四面体ABCD体积取得最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又OO1⊥平面ABC，∴点D是直线OO1与球上方的交点时体积最大．设球的半径为R，则由体积公式有O1D＝2.在Rt △AOO1中，R2＝1＋(2－R)2，解得R＝54，故球的表面积S＝25π4，故选C.答案：C12．解析：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，则平面A1MN ∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．在△A1MN中，A1M＝A1N＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫122试题共页第页＝52，MN＝⎝⎛⎭⎪⎫122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝22.当点P位于点M，N时，A1P最大，为52；当点P位于MN的中点时，A1P最小，为⎝⎛⎭⎪⎫522－⎝⎛⎭⎪⎫242＝324，所以324≤A1P≤52.答案：B二、填空题13．解析：设圆锥的高为h，底面半径为r，母线与轴所成角为θ，则S侧＝12·2πr·r2＋h2，S底＝πr2，因为S侧＝3S底，所以πr·r2＋h2＝3πr2，得r2＋h2＝3r，即8r2＝h2，所以tan θ＝122，sin θ＝13.答案：1314．解析：将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开如图所示，则有A′A′1＝3，AA′1＝(AA′)2＋(A′A′1)2＝310.所以蚂蚁爬过的路程最短为AA′1.答案：31015．解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ.---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ.∴PMPQ＝APPD＝12，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，∴PMBD＝APAD＝13，∴PM＝13BD，又BD＝2a，∴PQ＝223a.答案：223a16．解析：过点M作MH∥BC交PB于点H.∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD.∵P A＝PD＝AD＝AB＝2，∠BAD＝60°，∴PQ＝BQ＝ 3.∴V P-ABCD＝13PQ·S菱形ABCD＝13×3×2×3＝2.又PQ⊥BC，BQ⊥AD，AD∥BC.∴BQ⊥BC，又QB∩QP＝Q，∴BC⊥平面PQB，由MH∥BC，∴MH⊥平面PQB，MHBC＝PMPC＝23，∵BC＝2，∴MH＝43，∴V P-QBM＝V M-PQB＝13×12×3×3×43＝23，∴V P-ABCD∶V P-QBM＝3∶1.答案：3∶1。
高中几何体试题及答案
高中几何体试题及答案试题一：正方体的体积和表面积计算某正方体的边长为a，求该正方体的体积和表面积。
解答：正方体的体积 V = a³正方体的表面积 S = 6a²试题二：圆柱的体积和表面积计算已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积和表面积。
解答：圆柱的体积V = πr²h圆柱的表面积S = 2πrh + 2πr²试题三：圆锥的体积和表面积计算已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的体积和表面积。
解答：圆锥的体积V = (1/3)πr²h圆锥的表面积 S = πr(r + l)，其中l是圆锥的斜高，可通过勾股定理计算：l = √(r² + h²)试题四：球的体积和表面积计算已知球的半径为R，求球的体积和表面积。
解答：球的体积V = (4/3)πR³球的表面积S = 4πR²试题五：棱锥的体积计算已知一个正四棱锥的底面边长为a，高为h，求棱锥的体积。
解答：正四棱锥的体积 V = (1/3)ah²试题六：棱柱的体积和表面积计算已知一个正六棱柱的底面边长为a，高为h，求棱柱的体积和表面积。
解答：正六棱柱的体积 V = 6a²h正六棱柱的表面积S = 6a(a + √3h)试题七：椭圆的面积计算已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，求椭圆的面积。
解答：椭圆的面积A = πab试题八：双曲线的面积计算已知双曲线的实轴为2a，虚轴为2b，求双曲线的面积。
解答：双曲线的面积A = πa(b + a)结束语：以上试题涵盖了高中几何体的常见体积和面积计算问题，希望同学们能够熟练掌握这些基本公式，并能够灵活运用到实际问题中去。
通过不断的练习和思考，相信你们能够在几何学领域取得优异的成绩。
2024届新高考数学高频考点专项练习：专题十一 考点29 空间几何体
专题十一考点29空间几何体1.如图，已知圆柱的底面圆的半径为2，高为2，AB ，CD 分别是两底面的直径，AD ，BC 是母线.若一只小虫从点A 出发，从侧面爬行到点C ，则小虫爬行路线的最短长度是（）.A.2B.C.3D.2.下列几何体是棱台的是（）。
A. B.C. D.3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.14 B.12 C.14 D.124.用斜二测画法画水平放置的ABC △的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C .已知点O'是斜边B'C'的中点，且1A O ，则ABC △中BC 边上的高为（）A.1B.2D.5.已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m ，四棱锥的高为8m .如果按1: 500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（）A.4cm,1cm,2cm,1.6cmB.4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC.4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD.4cm,0.5cm,1cm,0.8cm6.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为12π，则该圆锥的体积为（）A.4π B. C. D.7.已知四棱锥P ABCD 的体积是，底面ABCD 是正方形，PAB △是等边三角形，平面PAB 平面ABCD ，则四棱锥P ABCD 的外接球的体积为（）A. B.π2 C.π2 D.8.如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D 的底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD CD ，且24AD BC ，CD ，P ，O ，E 分别为11A D ，AD ，PC 的中点，PAD的体积为（）△为正三角形，则三棱锥E POBA.4B.3C.2D.19.（多选）下列结论中正确的是（）A.半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B.直角三角形绕一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D.圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台10.（多选）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切）.A.正四棱锥的底面边长近似为3米B.平方米D.正四棱锥的体积近似为立方米C.正四棱锥的侧面积近似为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为11.________.12.已知水平放置的ABC △按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中2B O C O，A O ，则原ABC △的面积为________.13.正四面体ABCD 的棱AB 中点为O ，平面BCD 截球O所得半径为CD 相切，则球O 的表面积为___________.14.已知三棱锥A BCD 中，点A 在平面BCD 上的射影与点D 重合，4AD CD .若135CBD ，则三棱锥A BCD 的外接球的体积为____________.15.已知圆锥的轴截面PAB 是边长为a 的正三角形，AB 为圆锥的底面直径，球O 与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V ___________；若M ，N 是圆锥底面圆上的两点，且2a MN ，则平面PMN 截球O 所得截面的面积为_________________.答案1.B2.D3.C4.D5.C6.C7.A8.C9.BD10.BD11.12.13.1814.15.94；2π60 a。
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立体几何复习题
一、多面体的概念和性质
1、下列说法正确的是___________________________
（1）有一面是多边形，其余面为平行四边形的几何体是棱柱
（2）棱柱侧面都是平行四边形；
（3）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
（4）底面是矩形的直平行六面体是长方体
（5）棱长都相等的长方体叫做正方体；
（6）侧棱长与底面边长相等的正四棱柱是正方体
（7）底面是矩形的直棱柱是长方体
（8）侧面都是长方形的棱柱是长方体
（9）直平行六面体是长方体
（10）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；
（11）正四面体是四棱锥 （12）正棱锥的棱都相等
（13）三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥
（14）底面是正多边形的棱锥是正棱锥
（15）棱台的侧棱延长后交于一点；
（16）上下底面为相似的正多边形的棱台一定的是正棱台；
（17）用一个平面去截棱锥，夹在底面和截面间的几何体是棱台；
（18）棱台的上下底面边长之比等于棱台的高与截得此棱台的棱锥的高的比
2、棱柱中的数量关系
（1）长方体的全面积是11，所有棱长之和是24，则这个长方体的一条对角线的长为______.
（2）若长方体三个面的面积分别是2，3，6，则长方体的体积等于_________
（3）底面是菱形的直棱柱，对角线D B '和C A '的长为9,15，侧棱长为5，则底面边长为
（4）长方体长宽高分别是5、4、3，一蚂蚁从对角线一端点沿表面走到另一端点，走过的最短
距离为______
3、棱锥中的数量关系
（1）已知正三棱锥的底面边长分别为6，侧棱为4，求该棱锥的斜高、高、表面积、体积
（2）已知正四棱锥的底面边长分别为2，侧棱长为2，求该棱锥的斜高、高、表面积、体积
4、棱台中的数量关系
（1）棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则此棱锥的高被分为两段之比是__________.
（2）棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高的比为
（3）正四棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，则棱台的高、斜高、表面积、体积
（4）已知一正三棱台的两底边长分别为30cm 和20cm,且其侧面积等于两底面积之和，求棱台高.
（5）棱台的两个底面面积分别是245和80，截得这个棱台的棱锥的高为35，求这个棱台的体积。
二、旋转体的概念和性质
1、圆柱
（1）作圆柱的内接正三棱柱,又作这个三棱柱的内切圆柱,那么这两个圆柱的侧面积之比为
（2）轴截面为正方形的圆柱侧面积为16π，那么圆柱的体积为
2、圆锥
（1） 轴截面为等边三角形的圆锥,它的侧面积与全面积之比等于
（2）一个半径为15cm,圆心角为216°的扇形,卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的高为
（3）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的母线与底面所成角为
3、圆台
（1）如果圆台上、下底面半径的比是3:5,那么被它的中截面截成的上、下两圆台的侧面积之比
是
（2）体积为354cm 的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥
的体积为
（3）一个圆台的母线长为12厘米，两底面面积分别为2
225,4cm cm π，圆台的高是 ，
截得圆台的圆锥的母线长是
4、球
（1）下列四个命题中正确的是（ ）A.球面上三点可以确定球的大圆B.球面上三点可以确定球
的小圆C.球面上三点可以确定球的大圆或小圆D.经过球面上两点的球的大圆有且仅有1个
（2）正方体的全面积为2a ，它的定点在一个球面上，则这个球的表面积是
（3）如果圆柱和圆锥的底面直径和高都与球的直径相等，那么圆柱、球、圆锥的体积比是 .
（4）过球的半径中点，作一个垂直于这个半径的截面，截面面积是248cm π，球半径是______ （5）已知球的两平行截面的面积分别是ππ40049，且两个截面的距离为9，球半径是_________
（6）半径为15的球的两个平行截面圆的半径分别是9和12，则两截面间的距离是_________.
（7）过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截
面的面积是________
（8）两球表面积之差为48π，大圆周长之和为12π，则两球直径之差为 .
（9）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 .
三、投影、直观图和三视图
1、如图，E 、F 分别是面11A ADD 和11B BCC 的中心，E EFD 1在各面射影可能是___________
2、由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，请问这几何体小正方体中的个数是_________
3、求下列几组三视图的几何体体积
4、如图是一个简单的组合体的直观图与三视图.下面是一个棱长为4的正方体，正上面放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是___________
5、如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .。