【解析版】广东省汕尾市2013年高考数学二模试卷(文科)

2013年广东省汕尾市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡上.1．（5分）cos150°的值为（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos30°，运算求得结果．解答：解：cos150°=cos（180°﹣30°）=﹣cos30°=﹣，故选D．点评：本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．2．（5分）（2013•汕尾二模）已知命题p、q均为真命题，则下列命题中的假命题是（）A．p或q B．p且q C．￢p且q D．￢p或q考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：由复合命题真假的规律结合已知可得结论．解答：解：∵命题p、q均为真命题，∴p或q，p且q均为真命题，故A、B都为真命题，由命题p、q均为真命题可得￢p为假，但可得￢p或q为真命题，￢p且q为假命题，故选C点评：本题考查复合命题的真假的判断，属基础题．3．（5分）（2013•汕尾二模）设全集U=R，A={x|x2+3x＞0}，B={x|lgx＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜3} C．{x|0＜x＜1} D．φ考点：其他不等式的解法；Venn图表达集合的关系及运算．专题：图表型．分析：由题意，阴影部分所表示的集合是（A∩B），化简集合A，B，即可得到结论．解答：解：由题意，阴影部分所表示的集合是A∩B，∵A={x|x2+3x＞0}，B={x|lgx＜0}，∴A={x|x＞0或x＜﹣3}，B={x|0＜x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，故选C．点评：本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（5分）（2013•汕尾二模）设向量，，则“x=2”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：向量，，若x=2，则，所以∥．若∥，则，x=±2．所以“x=2”是“∥”充分不必要条件．解答：解：∵向量，，若x=2，则，∴∥．若∥，则，x=±2．∴“x=2”是“∥”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，注意向量平行的条件的灵活运用．5．（5分）（2013•汕尾二模）函数的定义域为（）A．（1，+∞）B．（1，2）∪（2，+∞）C．[0，1）D．（0，+∞）考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：要求函数的定义域，须把使得原函数有意义的条件列出来，解不等式组，最后取交集即可．解答：解：由题意知，即，∴1＜x＜2或x＞2，所以原函数的定义域为：（1，2）∪（2，+∞）．故选B．点评：本题考查函数的定义域，偶次根式要求被开方数大于等于0，分式要求分母并不为0，对数要求真数大于0，零次幂要求底数不为0．6．（5分）已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：常规题型．分析：按照三视图的作法，直接判断左视图即可．解答：解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：故选A．点评：本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．7．（5分）（2013•汕尾二模）如图所示程序框图，输出结果是（）3 / 13A．5B．6C．7D．8考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i值．解答：解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型“循环结构第1次循环：S=0+1=1，i=2，a=1×2+1=3；第2次循环：S=1+3=4，i=3，a=3×3+4=13；第3次循环：S=4+13=17，i=4，a=13×4+17=69；第4次循环：S=17+69=86，i=5，a=69×5+86=431；第5次循环：S=86+431=517，i=6，a=431×6+517≥500；跳出循环，输出i=6．故选B．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．8．（5分）已知函数y=2x﹣a x（a≠2）是奇函数，则函数y=log a x是（）A．增函数B．减函数C．常数函数D．增函数或减函数考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：由奇函数的定义可得关于a的式子，解之可得对数函数的解析式，可判单调性．解答：解：因为函数y=2x﹣a x（a≠2）是奇函数，所以必有2x﹣a x=2﹣x﹣a﹣x，化简可得（2x﹣a x）（1﹣）=0∵a≠2，∴2x﹣a x≠0，必有有1﹣=0，解之可得a=，故y=log a x=是减函数故选B点评：本题考查函数单调性的判断与证明，色合计函数的奇偶性的应用，属基础题．9．（5分）（2010•福建）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n 等于（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的前n项和．专题：常规题型．分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．10．（5分）（2013•汕尾二模）对于复数a、b、c、d，若集合S={a，b，c，d}具有性质：“对任意x，y∈S，都有xy∈S”，则当时，（cd）b的值是（）A．1B．﹣1 C．i D．﹣i考点：进行简单的合情推理．专题：计算题．分析：本题利用直接求解法，先根据集合的性质结合题目中的条件：得出b，c的值，进而得出d的值，从而得出答案．解答：解：由题意，可得a=1，b=﹣1，c=i，d=﹣i，或a=1，b=﹣1，c=﹣i，d=i，所以：（cd）b=（﹣i 2）﹣1=1，故选A．点评：本题属创新题，考查复数与集合的基础知识，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，若两题全答的，只计14题的得分．）11．（5分）（2013•汕尾二模）设，则g（g（0））=0．5 / 13考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：首先求出当x=0时g（0）的值，然后再根据分段函数定义域范围求出g（g（0））的值．解答：解：∵当x≤0时，g（x）=e x，∴当x=0时，g（0）=e0=1，∴g（g（0））=g（1），∵当x＞0时，g（x）=lnx，∴当x=1时，g（1）=ln1=0，∴g（g（0））=0，故答案为0．点评：本题主要考查函数的值的知识点，解答本题的关键是分清函数的定义域区间，此题难度不大．12．（5分）直线绕点（1，0）逆时针旋转30°所得的直线方程为x=1．考点：直线的一般式方程；旋转变换．分析：由直线的斜率求出倾斜角，根据旋转的性质求出旋转后直线的倾斜角，进而确定出该直线的斜率，由求出的斜率与坐标写出直线方程即可．解答：解：∵直线的斜率为，倾斜角为60°∴旋转后直线的倾斜角为30°+60°=90°又该直线过（1，0），则所求直线的方程为x=1．故答案为：x=1．点评：此题考查了直线的一般式方程，以及直线倾斜角与斜率的关系，求出所求直线的斜率是解本题的关键．13．（5分）同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖100块．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：本题通过观察前几个图案的规律进行归纳，在归纳时要抓住每个情况中反映的数量关系与序号之间的关系再进行概括．解答：解：根据题目给出的图，我们可以看出：1图中有黑色瓷砖12块，我们把12可以改写为3×4；2图中有黑色瓷砖16块，我们把16可以改写为4×4；3图中有黑色瓷砖20块，我们把20可以改写为5×4；从具体中，我们要抽象出瓷砖的块数与图形的个数之间的关系，就需要对3、4、5这几个数字进行进一步的变形，用序列号1、2、3来表示，这样12，我们又可以写为12=（1+2）×4，16又可以写为16=（2+2）×4，20我们又可以写为20=（3+2）×4，你是否注意到了1、2、3恰好是图形的序列号，而2、4在图中都是确定的，因此，我们可以从图中概括出第n个图有（n+2）×4，也就是，有4n+8块黑色的瓷砖．则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖4×23+8=100块．故答案为：100．点评：在处理这类问题时，我们要注意：从具体的、个别的情况分析起，从中进行归纳．14．（5分）（2013•汕尾二模）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C 上的点到直线（t 为参数）距离的最小值为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程，再利用圆心到直线的距离求解即可．解答：解：由ρ=2cosθ，得出ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x即曲线C的方程为（x﹣1）2+y2=1，直线l的方程是：x﹣y+=0圆的圆心（1，0），半径为1，可求圆心到直线的距离为：d==，则曲线C上的点到直线距离的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了极坐标、直角坐标方程、及参数方程的互化，圆中弦长计算．圆中弦长公式的应用．15．（2013•汕尾二模）已在点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，则∠ADF=45°．考点：弦切角．专题：计算题．分析：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，则∠B=∠EAC．又CD平分∠ACB，则∠ACD=∠BCD，两式相加，∠B+∠BCD=∠EAC+∠ACD，根据三角形外角定理，∠ADF=∠AFD，又∠BAE=90°，，△ADF是等腰直角三角形，所以∠ADF=∠AFD=45°．解答：解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，则∠B=∠EAC．又CD平分∠ACB，则∠ACD=∠BCD．所以∠B+∠BCD=∠EAC+∠ACD．根据三角形外角定理，∠ADF=∠AFD，因为BE是圆O的直径，则∠BAE=90°，△ADF是等腰直角三角形，所以∠ADF=∠AFD=45°．故答案为：45°点评：本题考查有关圆的角的计算．根据图形寻找角的关系，合理进行联系与转化是此类题目的关键．7 / 13三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）一个袋子里装有编号为1，2，3，4，5的5个大小形状均相同的小球，从中任取两个小球．（I）请列举出所有可能的结果；（II）求两球编号之差的绝对值小于2的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意列举可得可能结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所有可能结果共10种，符合题意得包含（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）四种结果，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得所有可能结果为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所有可能结果共10种，设两球编号之差的绝对值为X，则X的值只能为1，包含（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）四种结果．…（8分）故所求的概率为…（11分）故所求两球编号之差的绝对值小于2的概率为．…（12分）点评：本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．17．（13分）（2013•汕尾二模）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用三角函数的定义求出sinα、cosα和tanα的值，利用两角和与差正弦公式化简sin2α﹣tanα并求出其值．（II）首先化简函数f（x），然后利用诱导公式以及两角和与差公式得出y=2sin（2x﹣）﹣1，进而求正弦函数的特点求出结果．解答：解：（Ⅰ）因为角α终边经过点，所以，，…（3分）（Ⅱ）∵f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα=cosx，x∈R…（7分）∴y max=2﹣1=1，…（12分）此时，即…（13分）点评：此题考查了二倍角的正弦、三角函数定义、同角三角函数间的基本关系、诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．18．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥D﹣PAC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据四边形ABCD为矩形，得到DA∥BC，结合BC⊥PB得到DA⊥PB，再由DA⊥AB且AB、PB是平面PAB内的相交直线，证出DA⊥平面PAB；（2）根据正弦定理的面积公式，算出△PAB=，由DA⊥平面PAB且AD∥BC证出BC⊥平面PAB，得BC是三棱锥C﹣PAB的高线，由此算出V C﹣PAB =，最后根据等底等高的棱锥体积相等，得到V D﹣PAC=V C﹣PAB =．解答：解：（Ⅰ）∵四边形ABCD为矩形，∴DA⊥AB，且DA∥BC，…（1分）∵∠PBC=90°，得BC⊥PB，∴DA⊥PB…（3分）又∵AB∩PB=B，AB、PB⊂平面PAB∴DA⊥平面PAB，…（5分）（Ⅱ）∵PA=1，AB=2，∠PAB=120°，∴根据正弦定理，得△PAB的面积为S△PAB =×1×2×sin120°=，…（7分）由（1）DA⊥平面PAB，且AD∥BC．可得BC⊥平面PAB，∴BC是三棱锥C﹣PAB的高线，…（9分）因此，可得V C﹣PAB =S△PAB•BC=××1=，…（10分）∵V D﹣PAC=V P﹣DAC=V P﹣ABC=V C﹣PAB…（12分）∴三棱锥D﹣PAC的体积V D﹣PAC=V C﹣PAB =…（13分）点评：本题给出底面为矩形且一个侧面与底面垂直的四棱锥，求证线面垂直并求锥体的体积，着重考查了线面垂直的判定定理、用正弦定理求三角形的面积和锥体体积公式等知识，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的首项a1＞0，9 / 13（Ⅰ）若，请直接写出a2，a3的值；（Ⅱ）若，求证：{}是等比数列并求出{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a n+1＞a n对一切n∈N+都成立，求a1的取值范围．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用，，n取1，2，即可求得a2，a3的值；（Ⅱ），两边取倒数，可得数列{}是首项为，公比为的等比数列，由此可得{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a n+1＞a n对一切n∈N+都成立，可得，又a1＞0，即可求a1的取值范围．解答：（Ⅰ）解：∵，，∴=，…（2分）（Ⅱ）证明：由题意知a n＞0，，∴，∵=…（4分）所以数列{}是首项为，公比为的等比数列…（5分）∴，∴…（7分）（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：即…（9分）由a1＞0，知a n＞0，故a n+1＞a n，得…（11分）即得，…（13分）又a1＞0，则0＜a1＜1…（14分）点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．20．（14分）已知为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，记点P的轨迹为曲线г．（Ⅰ）求曲线г的方程；（Ⅱ）判断原点O关于直线x+y﹣1=0的对称点R是否在曲线г包围的范围内？说明理由．（说明：点在曲线г包围的范围内是指点在曲线г上或点在曲线г包围的封闭图形的内部．）（Ⅲ）设Q是曲线г上的一点，过点Q的直线l 交x 轴于点F（﹣1，0），交y 轴于点M，若，求直线l 的斜率．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由题意利用椭圆的定义即可得出；（II）解法一：利用轴对称（垂直平分）的知识可求出：原点O关于直线x+y﹣1=0的对称点为R（m，n），再判断是否成立即可．解法二：同解法一求出点R（m，n），进而得到直线OR的方程，与椭圆方程联立即可得出交点G，H．判断点R是否在在线段GH上即可．（III）由已知可得直线l的方程，可得点M的坐标，由Q，F，M 三点共线，及，即可得出点Q的坐标，代入椭圆方程即可得到直线l的斜率．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，点P 到两定点的距离之和为定值4，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆．又，所以．故所求方程为．（Ⅱ）解法一：设原点O关于直线x+y﹣1=0的对称点为R（m，n），由点关于直线的对称点的性质得：，解得即R（1，1）．此时，∴R在曲线г包围的范围内．解法二：设原点O关于直线x+y﹣1=0的对称点为R（m，n），由点关于直线的对称点的性质得：，解得即R（1，1），∴直线OR的方程：y=x设直线OR 交椭圆于G和H，11 / 13由得：或即，．显然点R在线段GH上．∴点R在曲线г包围的范围内．（Ⅲ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k，直线l 的方程为y=k（x+1）．则有M（0，k），设Q（x1，y1），由于Q，F，M三点共线，且，根据题意，得（x1，y1﹣k）=±2（x1+1，y1），解得．又点Q在椭圆上，所以．解得k=0，k=±4．综上，直线l 的斜率为k=0，k=±4．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、轴对称性质、点与椭圆的位置关系、向量关系等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．21．（14分）（2013•汕尾二模）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，e）上的单调情况；（Ⅲ）试推断方程|2x（x﹣lnx）|=2lnx+x是否有实数解．若有实数解，请求出它的解集．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；转化思想；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由题意，对函数f（x）=x+lnx求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；（II）由于函数f（x）=ax+lnx系数中带有参数a，可先求导，对参数a的取值范围进行讨论，确定出区间（0，e）上的单调情况；（III）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x（x﹣lnx）|=2lnx+x可变为|x﹣lnx|=，再分别研究方程两边对应函数的性质，即可作出判断．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+…（1分）当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…（3分）∴f（x）max=f（1）=﹣1…（4分）（Ⅱ）∵f′（x）=a+，x∈（0，e），∈…（5分）①若a≥，则f′（x）＞0，从而f（x）在（0，e）上增函数…（6分）②若a＜，则由f′（x）＞0＞0，即0＜x＜由f′（x）＜0＜0，即＜x＜e．…（7分）∴f（x ）在上增函数，在为减函数…（8分）综合上面得：当a ≥时，f（x）在（0，e）上增函数；当a ＜时，f（x ）在上增函数，在为减函数．（Ⅲ）|2x（x﹣lnx）|=2lnx+x⇔|x﹣lnx|=…（9分）由（Ⅰ）知当a=﹣1时f（x）max=f（1）=﹣1，即﹣x+lnx≤﹣1∴|x﹣lnx|≥1…（10分）又令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e∴g（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）∴g（x）max=g（e）=＜1，∴g（x）＜1…（12分）∴|x﹣lnx|＞g（x），即|x﹣lnx|＞…（13分）∴方程|x﹣lnx|=即方程|2x（x﹣lnx）|=2lnx+x没有实数解．…（14分）点评：本题考查导数综合运用，解题的关键是理解导数与函数性质的相关对应，本题考查了灵活转化的能力，计算能力，分类讨论的思想，综合性强，难度较高，是高考中考查能力的常用试题，题后应用心体会本题中所使用的转化技巧及分类的标准．13 / 13。