D9_2偏导数09 4.6
偏导数的定义及其计算法
f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0 偏导函数的符号
f z z f ( x , y ) >>> , , , 或 . x x x x
偏导函数
f ( x x , y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 . f ( x , y ) lim x 0 0 x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
其中(x, y, z)是函数uf(x, y, z)的定义域的内点.
偏导函数
f ( x x , y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 . f ( x , y ) lim x 0 0 x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
二、高阶偏导数
二阶偏导数 如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数. 函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个
其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.
f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
存在, 则称此极限为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
2 2 z z z z ( ) f ( x , y ) , , ( ) f ( x , y ) xy xx 2 y x x y x x x 类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>
偏导数与高阶偏导数详细解法
第二节偏导数 教学目的： 使学生了解偏导数的概念；熟练掌握阶及二阶偏导数的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。
教学重点： 一阶及二阶偏导数的计算教学过程:一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z 二f(xy)如果只有自变量x 变化 而自变量y 固定 这时它就是x 的一元函 数这函数对x 的导数 就称为二元函数z 二f(xy)对于x 的偏导数定义设函数z=f(xy)在点(x o y o )的某一邻域内有定义 当y 固定在y o 而x 在X o 处有增量 x 时相应地函数有增量f(x o x y o) —f(x o y o ).如果极限f (X o X, y o ) - f (X o , y o )A x存在则称此极限为函数z=f(xy)在点(x o y o )处对x 的偏导数 记作例如f (X o ：x, y o ) - f(x o , y o )A x 类似地函数z 斗(xy)在点(x o y o )处对y 的偏导数定义为Hm f(x °,y o ：y)-f (x °,y o ) .y —.o y偏导函数如果函数zh(xy)在区域D 内每一点(xy)处对x 的偏导数都存在 那么这个偏 导数就是x 、y 的函数它就称为函数z=f(xy)对自变量x 的偏导函数 记作——zx 或 f x (x, y) ■ X x偏导函数的定义式：fx(x,y 円m f(x 2)7("cf — y —y o C X=X o -z x y=y o :z .x x=x ° 或 f x (x o , y o ) y mof x (x o ，yo ^.'r.o 记作各X’ * 0 x=X o ■z yy=y ° y To 或 f y (x o y o ). X =<o y =y °类似地可定义函数z=f(xy)对y的偏导函数记为Z/或f y(x，y) ‘-■y :y偏导函数的定义式:f y(x,y) = limf(x,y：y)-f(x,y)求兰时只要把y暂时看作常量而对x求导数求埜时只要把x暂时看作常量而对y ；x ；y 求导数，讨论下列求偏导数的方法是否正确？f x(><0，y o) = f x(x,y)x^ f y(x o，y o) = f y(X,y) xs .y=y°d df x(X o，y o) =【dxf (x,y o)〕xK fygy o)珂石fd o’y)]© ■偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数u=f(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为f (x ：x,y,z) —f(x,y,z)Ax其中(xyz)是函数u=f(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题，例1求z=x2+3xy+y2在点(1 . 2)处的偏导数，解—=2x 3y z =3x 2y . z & cyXT =21 3 2=8 ]z例2求z=x2sin 2y的偏导数解—=2xsin2y — -2x2cos2y . & cy例 3 设z=x y(x Qx^)求证――1—■ =2zy ex In x 內证—=yx y A— =x y I nx,x ：y——1 -yx y^ —x y I nx 二x y x y=2z .y :x In x : y y In x例4求x^y^z2的偏导数解』- ______X 仝 [.一__________ y ____ & +'x2+ y2+z2r by Jx2+y2+z2=_yx”31 22 = 7 .例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)•求证空乂 .兀_1证因为p = R L P 一马. "vw V 2V=RL 卫卫p ：:T pT pV 汀 VT = R 亍 R 所以8汎汀=_RT RV-RT-I討贡④ V 2 p R pV ^例5说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商 二元函数z=f(xy)在点(x o y o )的偏导数的几何意义：f x (x o y o )=[f(x y o )]x 是截线z=f(x y o )在点M o 处切线T x 对x 轴的斜率 f y (x o y o ) =[f(x o y)]y 是截线z=f(x o y)在点M o 处切线T y 对y 轴的斜率偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在 该点连续例如 xyf(x,y) = x 2 y 2I 0 在点(0 0)有f x (0. 0)=0 f y (o. 0)=0但函数在点(0 0)并不连续“提示：f(x,O) =0 f (0, y^of x (O,O)=f [f(x,0)]=0 f y (0, 0^-d [f(0, y)H0 . dx dy当点P(x y)沿x 轴趋于点(0 0)时有lim f(x, y)=lim f (x, 0) = lim 0 =0 (x,y) >(0,0) X r 0 x >0当点P(x y)沿直线y=kx 趋于点(0 0)时有因此.lim f (x,y)不存在 故函数f(xy)在(0 0)处不连续(x,y)T(0,0) 类似地可定义函数z=f(xy)对y 的偏导函数 记为 冷 f zy 或 f y (x,y) • x 2 y 2" x 2 y 2 =0 lim 2 ' 2(x,y)—?(o,o )x 2 y 2y=kx=lim 2 x >0 x 2 kx 2_ k 2x 2 k 2偏导函数的定义式恥心肩“™高阶偏导数 设函数Z 二f(xy)在区域D 内具有偏导数^ = f x (x, y)迸二 f y (x,y).那么在D 内f x (xy)、f y (xy)都是xy 的函数如果这两个函数的偏导数也存在 贝U 称它们 是函数x 二f(xy)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z 二f(xy)在区域D 内的偏导数f x (xy)、f y (xy)也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数z=f(xy)的二阶偏导数按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数2手(孑•手(勺=2 2 其中ry (：xU x y (x ，y) 称为混合偏导数；：(；：Z )_ ；：2Z 1 ( ：：Z) _ r 2Z ( :：Z) _ ：：2z ；：( ；：z )_ ；：2z :x ；:x ；:x 2 : y . x .x :y ；x ； y y ； x ；:y ；y ；:y 2同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数‘ 例 6 设 z=x 3y 2-3xy 3-xy V 求 f 、-f 、 - x 和 L x 2 ：x 3 :yx : xy解/ =3x 2y 2 -3y 3 -y Z =2x f y-9xy 2 -x :x :y C 2Z 62 ^z 6 2， 2 =6x y 3=6 .x:x -2-2 6^丫-9丫2-1x 6x 2y-9y 2 -1 x x .y y x -2 “2由例6观察到的问题 x xoycx cxcy 定理如果函数z=f(xy)的两个二阶混合偏导数 昙及三在区域D 内连续•那么在该 tycx cxcy区域内这两个二阶混合偏导数必相等.x : x ； x 2 :y x :x y:Z = f xy (x, y).2 补評話mx’y)弓許■2Z”yy (x " -3 ：2类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数z = ln . x2—y2满足方程寻•岂=0 . ex cy 证因为z=ln ... x2- y2=2"n" ' y2)所以:z x :z y___________.:x _________ x2y2；:y x2 y2匕(x2y2)-x2x y2-x2戸一(x2y2)2—(x2y2)2悬(x2y2)-y 2y x2-y2旷 (x2y2)2 _(x2y2)2'-2-2 2 2 2 2因此驚+吟=x —y 2+ y 2 -o ■ $2 cy2(x2+y2)2(x2+y2)2例8•证明函数u二1满足方程总•总•岂=0 .r ex2內2ezr其中r = J x2y2z2.证:u _ _丄工—_丄x _ __x_ dx r2ex r2r r3E2u _ 1 +3x 宜=1 +3x2_x2r3r4；x r3r5-2 / -2因此T U Uex2cy2cz2r3-x ' (r3)r6r3-x3r21LExr6同理专：：2u _ —丄.3^:z2r3r5_ _ 3 3(x2y2- z2)r53 3r2—3-0r3 r5r r(。
二阶偏导表示方法
二阶偏导表示方法【实用版3篇】篇1 目录1.二阶偏导表示方法概述2.二阶偏导数的定义和性质3.二阶偏导表示法的应用场景4.二阶偏导表示法的优缺点5.总结篇1正文一、二阶偏导表示方法概述二阶偏导表示法是一种数学方法，用于描述函数的局部性质。
它通过计算函数在某一点附近的变化率，从而描述函数在该点附近的变化情况。
二阶偏导表示法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
二、二阶偏导数的定义和性质二阶偏导数是指函数在某一点附近的变化率，它描述了函数在该点附近的变化情况。
二阶偏导数的计算方法有多种，如拉格朗日乘数法、高斯-塞德尔法等。
三、二阶偏导表示法的应用场景二阶偏导表示法可以用于描述各种物理现象，如热传导、流体流动等。
在工程领域，二阶偏导表示法也常用于分析和设计各种机械系统和控制系统。
此外，二阶偏导表示法还可以用于优化问题，如最优化问题和非线性规划问题。
四、二阶偏导表示法的优缺点二阶偏导表示法的优点在于它可以提供更精确的局部性质描述，从而更好地理解和解决各种实际问题。
但是，它也存在一些缺点，如计算复杂度高、需要大量的计算资源等。
五、总结二阶偏导表示法是一种重要的数学方法，它可以用于描述函数的局部性质，并广泛应用于数学、物理、工程等领域。
篇2 目录I.二阶偏导数的定义和性质II.二阶偏导数的表示方法III.二阶偏导数的应用篇2正文I.二阶偏导数的定义和性质二阶偏导数是一种用于描述函数在某一点附近变化率的数学工具。
它可以帮助我们更好地理解函数的局部性质，以及如何使用它来解决问题。
II.二阶偏导数的表示方法二阶偏导数的表示方法有多种，其中最常见的是使用雅可比行列式。
具体来说，如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的二阶偏导数为$A_{xx}$、$A_{xy}$、$A_{yy}$，则雅可比行列式可以表示为：$J = begin{vmatrix} frac{partial f}{partial x} u0026frac{partial f}{partial y} frac{partial f}{partial x} u0026 frac{partial f}{partial y} end{vmatrix} = A_{xx} -A_{xy}frac{partial f}{partial x} + A_{yy}frac{partial f}{partial y}$III.二阶偏导数的应用二阶偏导数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
偏导数计算公式二阶
偏导数计算公式二阶偏导数是多元函数微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点沿着某个方向的变化率。
在实际问题中，我们常常需要计算函数的二阶偏导数，以了解函数的曲率和凹凸性质。
本文将介绍如何使用偏导数计算公式来计算函数的二阶偏导数。
一、一阶偏导数的定义。
首先，我们来回顾一下一阶偏导数的定义。
对于一个二元函数f(x, y)，它的偏导数可以分别表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
其中，∂f/∂x表示在点(x, y)处，沿着x轴方向的变化率；∂f/∂y表示在点(x, y)处，沿着y轴方向的变化率。
偏导数的计算公式如下：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx, y) f(x, y)] / Δx。
∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y+Δy) f(x, y)] / Δy。
其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。
通过这些公式，我们可以计算出函数在某一点处的偏导数值。
二、二阶偏导数的定义。
接下来，我们将介绍二阶偏导数的定义。
二阶偏导数描述了函数的曲率和凹凸性质，它可以帮助我们更全面地了解函数的性质。
对于二元函数f(x, y)，它的二阶偏导数可以表示为∂²f/∂x²、∂²f/∂y²和∂²f/∂x∂y。
其中，∂²f/∂x²表示在点(x, y)处，沿着x轴方向的曲率；∂²f/∂y²表示在点(x, y)处，沿着y轴方向的曲率；∂²f/∂x∂y表示在点(x, y)处，沿着x和y方向的交叉变化率。
二阶偏导数的计算公式如下：∂²f/∂x² = ∂/∂x (∂f/∂x)。
∂²f/∂y² = ∂/∂y (∂f/∂y)。
∂²f/∂x∂y = ∂/∂x (∂f/∂y)。
通过这些公式，我们可以计算出函数在某一点处的二阶偏导数值。
二阶偏导数的计算过程比较复杂，需要通过对一阶偏导数的连续求导来实现。
高阶混合偏导数
高阶混合偏导数
高阶混合偏导数是多元函数的偏导数的进一步推广。
它们用于描述函数在多个变量上的变化率。
高阶混合偏导数可以分为二阶、三阶以及更高阶的情况。
二阶高阶混合偏导数指的是对一个函数进行两次偏导数。
例如，对于一个二元函数f(x,y)，我们可以分别对x和y求偏导数，得到f 关于x的一阶偏导数∂f/∂x和f关于y的一阶偏导数∂f/∂y。
进一步地，我们可以对这两个一阶偏导数再次求偏导数，得到f关于x的二阶偏导数∂²f/∂x²、f关于y的二阶偏导数∂²f/∂y²以及两者的混合偏导数∂²f/∂x∂y和∂²f/∂y∂x。
三阶以上的高阶混合偏导数的求法与二阶类似，只是需要对一阶和二阶偏导数进行进一步的求导操作。
高阶混合偏导数在数学和物理学的各个领域中都有广泛的应用。
它们可以用于描述函数的曲率、切线、最值点以及函数在空间中的变化情况。
通过计算高阶混合偏导数，我们可以了解函数的更多性质，从而在实际问题中做出合理的分析和决策。
需要注意的是，在实际计算高阶混合偏导数时，需要遵循一定的计算规则和方法。
这些计算规则和方法可以通过数学教材和相关学科的教学资料进行学习和理解。
全微分求偏导数的方法
全微分求偏导数的方法宝子，今天咱们来唠唠全微分求偏导数这事儿 。
全微分呢，就像是一个大礼包，里面藏着偏导数的小秘密 。
假如咱们有个函数z = f(x,y)，它的全微分dz=(∂ z)/(∂ x)dx+(∂ z)/(∂ y)dy。
这里面的(∂ z)/(∂ x)和(∂ z)/(∂ y)就是我们心心念念的偏导数啦。
比如说，给你一个具体的全微分表达式dz = 2xdx+3ydy。
那你看，和全微分公式一对，就很容易发现(∂ z)/(∂ x)=2x，这就像是从一堆宝藏里一眼就挑出了属于x的那份宝贝 。
同理，(∂ z)/(∂ y)=3y。
再举个稍微复杂点的例子哈。
要是dz=(x^2+y^2)dx+(2xy)dy。
那对于x求偏导数的时候呢，就只看含有dx的那部分式子和它前面的系数，所以(∂ z)/(∂ x)=x^2+y^2。
对于y求偏导数呢，就看dy前面的式子，(∂ z)/(∂ y)=2xy。
宝子，你可别觉得这很难哦。
就想象你在拆一个特别有趣的拼图 ，全微分是已经拼好的一大部分，你要做的就是把关于x和y的那两块小拼图找出来，也就是偏导数啦。
而且呀，这种方法就像是一把万能钥匙 ，很多函数都可以用这个思路去求偏导数呢。
有时候呢，可能函数会稍微变个样，比如z = e^xsin y。
那它的全微分dz=e^xsin ydx + e^xcos ydy。
这样一来，(∂ z)/(∂ x)=e^xsin y，(∂ z)/(∂ y)=e^xcos y。
是不是感觉也挺简单的呀 。
宝子，全微分求偏导数就是这么个有趣又好理解的事儿，只要你掌握了这个小窍门，以后遇到这类问题就可以轻松搞定啦 。
多元函数的偏导数与梯度下降算法
多元函数的偏导数与梯度下降算法多元函数的偏导数是一种计算在多个变量上的函数的变化率的方法。
它在许多领域中起着重要作用，特别是在优化问题和机器学习中。
梯度下降算法是一种常用的优化算法，用于找到函数的最小值。
首先，让我们了解一下多元函数的偏导数的概念。
我们考虑一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其中xi表示第i个自变量。
函数f的偏导数表示在其他变量保持不变的情况下，函数f对第i个变量的变化率。
偏导数通常用∂f/∂xi表示。
对于多个自变量的函数，我们可以计算每个自变量的偏导数。
偏导数在优化问题中起着重要的作用。
通过计算函数在某一点的偏导数，我们可以确定函数在该点的最陡峭的方向。
如果我们想要找到函数的最小值，我们可以采取一步朝着最陡峭的方向，并重复此过程直到到达函数的最小值。
然而，对于复杂的函数，计算偏导数可以变得非常困难。
这就是梯度下降算法的用武之地。
梯度下降算法利用了偏导数的概念，但不需要显式计算偏导数。
相反，它通过迭代地更新变量的值，以朝着函数最小值的方向前进。
梯度下降算法的基本思想是从一个随机的初始点开始，根据函数的梯度（即偏导数的向量）的方向和大小来更新变量的值。
在每一步中，算法都会沿着梯度的反方向向下移动一小步，并重复此过程直到达到收敛条件。
在梯度下降算法中，学习率是一个非常重要的参数。
学习率决定了每一步更新变量的幅度。
如果学习率设置得太小，算法收敛的速度会很慢；如果学习率设置得太大，算法可能无法收敛。
因此，选择合适的学习率是一个需要注意的问题。
在实际应用中，梯度下降算法通常用于求解优化问题，例如线性回归和逻辑回归等机器学习算法。
通过最小化损失函数，梯度下降算法能够找到最优的模型参数，从而使得模型在给定数据上的预测与实际值尽可能接近。
尽管梯度下降算法在许多情况下都是一个有效的优化方法，但它也存在一些问题。
例如，当函数有多个局部最小值时，梯度下降算法可能会陷入局部最小值而无法找到全局最小值。
多元函数与偏导数
多元函数与偏导数多元函数是指含有多个自变量的函数。
在数学分析中，我们经常研究多元函数的性质和变化规律。
其中，偏导数是一种重要的工具，用于描述多元函数在各个自变量方向上的变化率。
一、多元函数的定义多元函数是指具有多个自变量的函数，可以表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f表示根据这些自变量求得的函数值。
多元函数可以有不同的定义域和值域，可以是实数域或复数域上的。
二、偏导数的定义偏导数是用来描述多元函数在某个自变量方向上的变化率。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，偏导数可以分为两种类型：偏导数和高阶偏导数。
1. 一阶偏导数对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi，即在自变量xi方向上的变化率。
2. 高阶偏导数多元函数的高阶偏导数是指对一阶偏导数再次进行偏导数运算所得到的结果。
例如，多元函数的二阶偏导数表示为∂²f/∂x²，表示对自变量x的一阶偏导数再次取导数。
三、偏导数的计算偏导数的计算过程相对于一元函数而言稍微复杂一些，需要注意的是，计算偏导数时应将其他自变量视为常数。
1. 一阶偏导数的计算对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，计算一阶偏导数时，需要将其他自变量视为常数，只对当前自变量求导。
2. 高阶偏导数的计算高阶偏导数的计算过程与一阶偏导数类似，多次对不同自变量进行偏导数运算即可。
四、偏导数的应用偏导数在数学分析和实际问题求解中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 求取函数的极值点通过计算多元函数的偏导数，可以求取函数的极值点。
极值点一般对应着函数的驻点，即一阶偏导数为零的点。
2. 判定函数的连续性通过研究偏导数的连续性，可以判断多元函数是否连续。
若偏导数在某点处连续，则函数在该点处连续。
3. 研究函数的曲线和表面偏导数可以描述多元函数曲线和表面的变化率和切线方向，通过研究偏导数，可以揭示函数图像的性质和特点。
高阶偏导数的几何意义 -回复
高阶偏导数的几何意义
表示固定面上一点的切线斜率。
偏导数f'x(x0,y0)表示固定面上一点对x轴的切线斜率；偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y轴的切线斜率。
高阶偏导数：如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。
二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
注意：
f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导。
当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果与先后次序无关。
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。
偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
D9-2正项级数1
1 1 x1 p 1 p
n 1
1
1 1
p
1 ( n p1
1)
o
1 234 x 11
1 1 ， p1
2p 3p
即sn有界, 则p 级数收敛.
p
级数
n1
1 np
当p 当p
1时, 1时,
收敛 发散
10
p 1，1 0 的速度比 p 1时 速度快 np
P
级
数
n1
1 np
当p 当p
1时, 1时,
★基本审敛法
1.由定义：lim n
sn
存在(不存在)
级数收敛(发散);
2.
lim
n
un
0
un
n1
发散.
3.按基本性质
对收敛级数而言.性质2，性质4 对一般级数而言.性质1，性质3
如：(1)若 n1
(2)若 n1
un发散(收敛)，则 cun (
n1
un发散， vn收敛，则
n1
n1
vn发散. 若小的发散 大的也发散
n1
n1
9
例3.讨论p 级数1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的敛散性( p 0).
解：设p 1，
1 np
1 , 由于 1发散,
n
n1 n
设p 1，由图可知
则p 级数发散.
y
y
1 xp
(
p
1)
1 1
sn 1 2p 3p
1 np
1
n dx 1 xp
2n 3n 2n
的敛散性.3ຫໍສະໝຸດ 2n1解:lim
n
D92偏导数60417
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法
先代后求
• 求一点处偏导数的方法 先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
2z ) y x
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
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例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 设
方程
确定 u 是 x , y 的函数 ,
连续, 且
求
解:
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y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
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二、高阶偏导数
设函数 zfx ,y在区域 D内具有偏导数
z x
fxx,
y,
yz fyx,y,
则在 D内 fxx,y和 fyx,y都是 x、y的函数.如果 这两个函数的偏导数存在, 则称它们是函数 zfx ,y
的二阶偏导数.
按照对变量求导次序的不同,共有下列四个二阶偏导数:
定理 1 如果函数 zfx ,y的两个二阶混合偏导数
2z yx
及
x
2z
y
在区域 D内连续, 则在该区域内有
2z yx
2z xy
.
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混合偏导数相等的条件 证 略. 定理表明: 二阶混合偏导数在连续的条件下与求偏导 的次序无关, 这给混合偏导数的计算带来方便. 对二元以上的多元函数, 我们也可类似定义高阶偏导 数. 而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与 求偏导的次序无关.
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作业
P63 1{1、3、5、7、9、11}； 3； 5{1、3}； 7；
结束
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一、偏导数的定义及其计算法
z x
x x0 y y0
,
f x
x x0 y y0
,
z x x0 x y y0
或 fxx0,y0.
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一、偏导数的定义及其计算法
z
x
x x0 y y0
,
f x
x x0 y y0
,
z x x0 x y y0
或
fxx0,y0 .
解 把 y和 z看作常数, 对 x求导得
r
x
x,
x
x2 y2 z2 r
利用函数关于自变量的对称性, 可得
偏导数与高阶偏导数详细解法
第二节 偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。
教学重点：一阶及二阶偏导数的计算 教学过程：一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数. 定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00y y x x x z ==, 或),(00y x f x .例如x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000.类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000,记作00y y x x y z==∂∂, 00y y x x y f ==∂∂, 00y y x x yz ==,或f y (x 0, y 0).偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, xf ∂∂, x z , 或),(y x f x.偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf∂∂, z y , 或),(y x f y .偏导函数的定义式: y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.求xf∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求y f ∂∂时, 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数.讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？0),(),(00y y x x x x y x f y x f ===, 00),(),(00y y x x y y y x f y x f ===.0]),([),(000x x x y x f dxd y x f ==, 0]),([),(000y y y y x f dy d y x f ==.偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim ),,(0,其中(x , y , z )是函数u =f (x , y , z )的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解 y x x z 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z,7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz .例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数. 解 y x xz 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂.例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: z y z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证 1-=∂∂y yx xz , x x y z y ln =∂∂.z x x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-.例4 求222z y x r ++=的偏导数.解 r x z y x x x r =++=∂∂222; r y z y x y y r =++=∂∂222.例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),求证:1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pTT V V p . 证 因为V RT p =, 2V RT V p-=∂∂; p RT V =, p R T V =∂∂;RpV T =, R V p T =∂∂; 所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT RV p R V RT p T T V V p . 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率. f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示:0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ;0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y . 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有22222022 )0,0(),(1lim lim kk x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→. 因此, ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf∂∂, z y , 或),(y x f y .偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0.二. 高阶偏导数 设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x=∂∂, ),(y x f y z y =∂∂,那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂,),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂,),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂.其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数.22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂, y x z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, 22)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂. 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33xz ∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2.解 y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392;2226xy xz =∂∂, 2336yx z =∂∂;196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x xy z .由例6观察到的问题:yx zx y z ∂∂∂=∂∂∂22定理 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z . 证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以22yx x x z +=∂∂, 22y x yy z +=∂∂,222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂,222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z . 例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z uy u x u , 其中222z y x r ++=.证: 32211r x r x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂, 52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂. 同理 5232231r y r y u +-=∂∂, 5232231rz r z u +-=∂∂. 因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂ 033)(3352352223=+-=+++-=rr r r z y x r .提示: 6236333223)()(rx r rx r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂.。
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f1( x0 , y0 ) .
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
解法2: z
x 2 6x 4 y 2
z x (1, 2)
z
x 1 1 3 y
y
2
z y (1, 2)
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y ） 求证 例2. 设 z x ( x 0, 且 x 1 ， x z 1 z 2z y x ln x y
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类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为
( y
z ) n 1 x y
n
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3 z . 例5. 求函数 z e x 2 y 的二阶偏导数及 2 y x z z 解: 2 e x2y e x2y y x 2 2z z 2 e x2y e x2y 2 x y x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
z f , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) y y
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
作业
P69 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）
第三节 目录
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备用题 设
确定 u 是 x , y 的函数 ,
方程
连续, 且
解:
求
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例如, f ( x, y )
x2 y2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y2 0
x4 4x2 y 2 y 4 y , x2 y2 0 f x ( x, y ) ( x2 y 2 )2 0, x2 y2 0 4 2 2 4 x 4x y y x , x2 y2 0 f y ( x, y ) ( x2 y 2 )2 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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P130 题6 z 1 , (1) 2 x x y
2
z 2y y x y2
2
z 1 z 2( x y ) z 2y , , 2 2 2 2 2 2 x ( x y ) x y ( x y ) y ( x y 2 )2
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
证:
x z 1 z y x ln x y
2z
例3. 求 的偏导数 . (P65 例4) 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
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(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !
p V T RT 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
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定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
证明 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法
显然
0 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
z x2y 2e y x 3 2 z z ( ) 2 e x2y y x 2 x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
2
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2 z 4 e x2y 2 y
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第九章
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
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例6. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
2
3 x r 1 3 x2 1 u 3 4 3 5 r x r r x2 r 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2 2 2 u u u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
x
x
f y ( x, y , z ) ?
f z ( x, y , z ) ?
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z
M0
z f ( x, y )在点 M 处的切线 是曲线 0 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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思考与练习
解答提示: P130 题 5
P130 题 5 , 6
当 x 2 y 2 0 时，
x2 y f x ( x, y ) 2 2 x x y
x 2 y x 2( x 2 y 2 ) f y ( x, y ) 2 2 2 y x y ( x y 2 )2 即 x＝y＝0 时, d f x (0,0) f ( x,0) x0 dx d f y (0,0) f (0, y ) y0 dy
2 2
z y 1 z x y ln x yx , (2) y x 2 2 z z y .2 x y 1 y x y .1 ln x y( y 1) x , 2 x y x 2z x y ln 2 x 2 y
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f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy