线性代数专复习题特别提示该课程可以参照答疑视频进行复习
线性代数综合复习资料
《线性代数》综合练习资料第一章 n 阶行列式一、判断题1．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。
（ × ） 2．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。
（ × ） 3．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号 ( √ ). 4. 已知n 阶矩阵A 各列元素之和为0，则A ＝0 ( √ ) 5．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( √ )6、齐次线性方程组有非零解，则系数行列式的值一定为零。
（ √ ）7、1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ （ × ）二.填空题：1．多项式=)(x P 333322221111x c b a x c b a xcb a （其中a,b,c 是互不相同的数）的根是 ,,x a x b x c === .2.. 三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 0 。
3、(),____1________.nn ij ij D a a D a a ===-=-若则4.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且|A |=3，|B|=2，C=00A B⎛⎫⎪⎝⎭，则|C |=______()16nm-⋅_____. 5、设四阶行列式3214214314324321，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则_______3331=+A A ，_______3432=+A A .根据定义求即可 6 ．已知4阶行列式D 的第一行元素分别是－1，1，0，2；第四行元素对应的余子式依次为5，x ，7，4，则x ＝ 3-7、已知n 阶行列式100110111 =D ，则D 的所有元素的代数余子式之和等于 n .三.选择题1、设）（则B a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D =---===333231312322212113121111333231232221131211324324324,1 （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）12．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4， 则D= ( A )（A ） -15 （B ） -5 （C ） 5 （D ） 1 3、已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ A ）（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―24、n 阶行列式D 不为零的充分必要条件是（ D ）（A ）D 中至少有n n -2个元素不为零 （B ）D 中所以元素都不为零（C ）D 的任意两列元素之间不成比例 （D ）以D 为系数行列式的非齐次线性方程组有唯一解5．如果行列式02002000110011=kk k ，则（ A ）。
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3PPT课件
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支， 研究线性方程组、向量空间、 矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值 法、逼近法等基本方法，培养学生运用计 算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通 过实例展示数学建模在解决实际问题中的 应用和价值。
THANK YOU
感谢聆听
05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持 矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行 推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性 等基本性质，这些性质在行列式的计 算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数， 对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素 相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首 先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。
线性代数期末复习知识点资料整理总结
行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12答案B解析2.余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj njD a A a A a A =+++ ()1,2,,;1,2i n j n ==定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠ ()1,2,,;1,2i n j n == 例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____;213122322333a A a A a A ++=___0___.4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-（3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212nn(1)λλλλλλ-=- （4）三角行列式1111121n 2122222n1122nnn1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素33=1，按该行展开,D=3333,不用忘记B 。
考研数学一2024线性代数历年题目精讲
考研数学一2024线性代数历年题目精讲线性代数作为数学的一个重要分支，在考研数学一科目中占有非常重要的地位。
了解历年考研线性代数题目的出题特点，能够帮助我们更好地备战考试。
本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年题目进行精讲，以帮助考生更好地理解和掌握相关知识点。
一、基础知识概述在开始具体的题目精讲之前，我们先来回顾一下线性代数的基础知识。
线性代数的核心概念包括向量、矩阵和线性方程组等。
在解题过程中，需要熟悉向量的运算法则、矩阵的性质和运算规则，以及线性方程组的求解方法等。
二、历年考研题目分析与解答2.1 2020 年考研数学一真题考研数学一2020年真题中的线性代数部分包含了诸多经典的题型。
我们选取其中的一个题目进行详细解析，以便说明解题思路和方法。
题目：已知向量组${\alpha}_1={a+3b，2a-b，5a+4b}、{\alpha}_2={3a+5b，5a+2b，12a-7b}、{\alpha}_3={4a-b，a+3b，3a-5b}$，求向量组${\alpha}_1、{\alpha}_2、{\alpha}_3$的秩和一个极大线性无关组。
解答：要求向量组${\alpha}_1、{\alpha}_2、{\alpha}_3$的秩和一个极大线性无关组，首先需要理解秩的概念。
秩是指线性无关的向量组中所含向量的最大个数。
根据线性代数的基本理论，我们可以通过行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵的特点来确定秩。
将向量组${\alpha}_1、{\alpha}_2、{\alpha}_3$写成矩阵形式如下：$\begin{pmatrix} a+3b & 2a-b & 5a+4b \\ 3a+5b & 5a+2b & 12a-7b \\ 4a-b & a+3b & 3a-5b \end{pmatrix}$利用行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵：$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$观察阶梯形矩阵可以发现，矩阵中非零行的行数即为矩阵的秩。
2021年 线代大题 数二 解析
2021年线代大题数二解析一、题目分析2021年的线性代数大题数二是一个涉及线性空间、线性变换和矩阵的综合性题目。
题目内容包括线性空间的定义和性质、线性变换的定义和性质、矩阵的特征值和特征向量等内容。
在解答这道大题时，我们需要全面理解线性代数的相关概念，并灵活运用这些概念进行分析和求解。
二、线性空间的性质与定义我们来探讨线性空间的性质与定义。
线性空间是指一个集合，其中定义了加法和数量乘法运算，并满足一定的性质，例如封闭性、结合律、分配律等。
在解答题目时，我们需要明确线性空间的定义，并根据定义来判断给定的集合是否构成线性空间。
还需要深入了解线性空间的性质，例如零向量的存在唯一性、加法逆元的存在唯一性等，这些性质在后续的分析中将起到重要作用。
三、线性变换的性质与定义我们需要深入讨论线性变换的性质与定义。
线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，并满足保持加法和数量乘法运算的性质。
在解答题目时，我们需要理解线性变换的定义及其基本性质，例如线性变换的可逆性、零空间和值域的性质等。
通过对线性变换的深入理解，我们可以更好地应用线性变换的理论知识来解决实际问题。
四、矩阵的特征值和特征向量我们要讨论矩阵的特征值和特征向量。
矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们对于描述矩阵的性质和行为起到了关键作用。
在解答题目时，我们需要掌握求解矩阵特征值和特征向量的方法，理解它们的几何和代数意义，并能够灵活运用这些知识来分析和解决与线性空间和线性变换相关的问题。
五、个人观点和总结从以上内容可以看出，2021年线代大题数二涉及的内容深度和广度都较大，需要我们在掌握线性代数基础知识的基础上，能够灵活应用这些知识来分析和解决复杂的问题。
在解答这道大题时，我深刻认识到了线性代数在数学和实际问题中的重要性，也意识到自己在理解和运用线性代数知识时还存在不足之处，需要进一步加强学习和实践。
2021年线代大题数二考察了我们对线性代数的全面理解和灵活运用能力，需要我们不断深化对线性代数概念和方法的理解，才能更好地应对这类综合性的数学问题。
《线性代数》考试复习题及解答
《线性代数》考试复习题一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√)解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是： 用正交变换化二次型Ax x T为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型.二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111 a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值. 2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆； (C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3， 所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ).(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221 . 解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T=,那么B C A 2=)，所以选(D) .方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T -+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221, 所以选(D) .方法3 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T=，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ，即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a .5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2.7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量.解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(21420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量.解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n nn n n nnnE A 00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n , 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x xx x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y x A 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件.解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00000101-1010101y x y x E A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1） 求A 的特征值与特征向量;（2） 求矩阵A . 解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数；1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,，即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-AP P ，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(333351011)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++, 所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似.证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TT T T T B A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+，而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A .4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B TT T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x TT T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x TT +=λ， 而当0≠x 时，有0>x x T， 0≥)()(Ax Ax T，从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x T T T λ，即矩阵B 为正定矩阵.。
《线性代数(理)》综合复习资料.doc
《线性代数（理）》综合复习资料填空题a x 1入 C]2冏 b 、 c x +勺1、已知行列式 a 2 b 2 c 2=4,则 2a 2 b 2 c 2 + b 2a 3b 3c 32a 3 伙 c 3 + h 3（1 1、2、2阶方阵力=的逆矩阵为A"二 ______________匕3丿4、行列式D =<0>々）、0 ,&2 = 20 ,则Q =1 9<o >1用线性表示的表达式 5=2,/表示B 的转置，贝卜Q 2 6、已知4= 0 3 J °0、2 ,齐次方程组Ar = 0有非零解，贝畀=a tb 、c }4舛 2$ - q C]7、若 a 2 b 2 c 2—1 ,则 4a 22b 2 一 c 2 c 2a3 ”3 C34曲 2b 3 — c 3 C3兀-10 x 行列式0 0a b0 -1 Xc的第4行第3列元素C 的代数余子式-1439、若徐冬是线性方程组Ax = b的两个解，则A（5+$2）= ______________alb\q2a {2b { 2q 10、设 a 2 b 2C2=a ,则 2a 22b 2 2c 2a3 /?32禺 2优 2C 3二.选择题<1 1 1 )/ 、 (1 >1、要使非齐次方程组 0 11 兀2 — 1 有无穷多个解，必须<0 0<7-2, /丿3一3丿A. a = 2, b = 3B. a = 2, b 主3C. a H 2, b = 3D. d H 2，b 壬 32、假设人B 皆为〃阶可逆方阵，则卜•列式子不成立的是 ______ A. （AB ）'1=8 ^~]B. （仙尸=川矿】 c. \AB \ = \A \\B D. \AB\^O3、设4阶方阵A 的秩为3,则下列说法正确的是 _________ A. A 的所有3阶子式都为零 B. A 的所有3阶子式都不为零 c. |A |HO% 11、设 a 2a. b 、 b 22a1 1 1<1 0 -n / 、12、齐次方程组0 1i 兀2<o 0 o 丿0 的通解（即所有解）可表示*b2$a3为 _________________D・|A|= O,但至少有一个3阶子式不为零4、设A为“阶可逆方阵，则A的秩厂必定满足_________ ；A.r = nB.r = n-lC.r <nD.r <n-\5、设为农阶方阵，则下列等式成立的是______________ ；A.AB — BAB.\A + B\=\A\+\B\C.若AB = 0则A = 0或B = 0D.若\AB\ = 0则|A| = 0或0| = 06、设3维向量ma j9a2,a3线性相关，则下列说法不正确的是______________A.其中的任意两个向量都线性相关B.对于任意一个3维向量0,向量组0,少,42，^3必线性相关C.6^,03小必有一个向量可以用其余两个线性表示D.存在不全为零的你込,心，使得k{a{ + k2a2 + k3a3 = 07、设A,B为同阶方阵，则必有_______ :A.\A + B\=\A\+\BB.AB = BAC.\AB\=\A\\BD.(A + B)-1 = A_1+5_,8、若A为”阶方阵，且同乂0,贝ij非齐次方程组Ax = b的解的情况为—A.无解B.不能断定冇解C.有唯一解D.有无穷多个解r l 1 1 r9、矩阵 2 2 2 2 的秩为<3 3 3 3/A. 1B. 2C. 3D. 41()、设A为加x n阶矩阵，则线性方程组Ax = b有解的充分必要条件为 _______ ；A.7?(A) = mB./?(A) = nC.R(A,b) = mD.R(A,b) = R(A)这里R(A), R(A,b)分别表示矩阵A,增广矩阵(A,b)的秩11、___________________________________________________________ 设4是斤阶可逆矩阵，4*是伴随矩阵，则下列等式成立的是_____________________ ；A.\A\ = A*B.|矿c. |A|H=A*D. WW12、设A是斤阶方阵，则它的〃个列向量匕，也,・・・,色线性无关的充分必要条件为_______ :A.列向量组中任何一个向量都不能由其余的兀一1个向量线性表示B.a v a2,...,a n均不为零向量C.列向量组中任何两个向量的对应分量不成比例D.|A| = 0三、计算题2 4 11 4 3-11 1、计算行列式D =0 02 40 013<1 1 P3、已知A = 1 2 1<1 1 3丿<-4 -1() ()、了-2、 2>已知A =1 30 '*51 --1'§2 - 1<36 1；k _3><0>（1）求码,街2<r©了3、已知向最组© =-i ,也=30 ,&4 =-i/丿<0>（1）求向量组的秩;（2）给出分别与爲,§2对应的特征值人,人;求矩阵X ,使得4（E + X ） = E ；4、3 3 3 02 2 0 2 5、计算行列式D = 10 110 111‘1 -1 7、已知4= 2 -1<-3 4‘1〕〔1)8、已知向量组Q]= 1 ,也=-1 心=3 ,夠=-1 ,（1）求向量组的秩;（2）求向量组的一个授大无关组; -1 -1 -1 -11 -1 -1 1-1)-3 ,求-1 -1< 1 -1 —1 16、已知A = 求屮;2 10 00 2 10 9、计算行列式0=“0 0 2 1 10 0/1<1 2、'a b'10、己知矩阵A =与3 =可交换，即AB = BA,求a, b ；L 1 -1; 3 2；\1 -n11、已知A = 0 1 1,且满足 A~ + AX — E = 0 ,<0 （）—i丿(1)求A -1；(2) 求矩阵X ；<1 -1 1 -1、12、已知矩阵人= 1 2 3 1<3 3 7 1 )7（1）求A 的秩;(2) 求A 的列向最组的一个最人无关组;1 0 0— 0 2 013、已知£)=0 0 3 1 2 3求其第4行元素的代数余了式Z 和，即求A 41 + A 42 + A43 + A44 ；<01 0、14、已知人= -11 ,求从屮+2A ：<0 -1 0><0 1 2、15、已知A = 1 1 4 , 求4二<2 -1°丿‘1 -13 1 -32 16、已知矩阵人=-1 0 -1 4-2、 -61()21 5 -1《线性代数(理)》综合复习资料参考答案填空题1、8(3 —1)2、1-2 14、-245、486、——37、88、X29、2b10> Sa11、-2a212、Jt(l,-l,l)r选择题题目 1 ? 3 4 5 6 答案 A B D A D A 题目7 8 9 1() 11 12 答案 C C A D B A 三、计算题2 44 3 1、计算行列式D =0 00 01-12111431 12 4 4 13 -解:D =0 0 20 0 1 1 2 41 0 -54 ~ 0 03 0 01-3211-5-3 -12 4 =-201 3一0、解：（1）対=23丿'-2、<-4 -10 ()、<5> 了-2、2、己知人= 1 3 0 -1 '§2 - 1<3 6 1丿<_3> <0>（1）求码,街2（2）给出分别与§2对应的特征值人,人；(1 1 3、已知A= 1 2J 1 1)1 ,求矩阵X ,使得A(E + X) = E；3;/解：X =A~[-E⑵码=—2鼻% 1(A£) =(11所以 X =A^]-E5 2 -1 ~2 '3 2 :-1-1-1 7~2 0 1 2)_n ~2_丄~2>< 1、 （0）r 、已知向量组© =-1= 3 s =,&4 =-i/丿<0>0 ~2a0 31、<1 0 3 1 ) 解：3 0 -1 T0 3 3 0<42 14 0丿<0 2 2 一4丿‘1 0 3 1、 t 01 1 0 ()00 —2,\7所以，（1）向量纟R 的秩为3（2） a ly a 2,a 4 （或）为其一个最大无关组 3 3 3 02 2 0 2 5、计算行列式D = 10 11 0 111解：对行列式进行初等变换，然后展开化为3阶行列式所以，A 10=(A 2)5=210E(1 -1 -1]7 > 已知A= 2 —1 -3曰44丿3 3 2 2 D = 1 00 11 0110 2 -2 00 3 0 -30 1 113 0 1 12 =-3 1 -2 0 0 -3 =-181 16、 -1 -1-1 -1 -1-1 1 -1 -1 1< 1 -1—1 1已知A =求屮;<1-1 解：A 2=-1 1 _1-1<-1-1-1 _1)-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1-1-1 1丿 —-1-1 -1 1 -1—1、-1 -10、 0 =4E求川;< 1 -1 -1 1 0 0><1 -1 -1 1 0 ()) 解:(A,E) =2 -1 -3 0 1 00 1 -1 -2 1 0<-344 0 0 1丿<0 113 00 1i_ 丄2 2 j_ 1 ~2 Lp 0所以丄11 2(5 _1丁<1><08、已知向量组e = 1 ,&2 =-1 S =3 ,也= -1 ,丄<1；.-1 \ 7(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表示;仃 1 1 1、< 1 0 2 0>继续初等行变换得1-13-1—>0 1-1()J 1 1 T 丿J) 00 1丿由此，= 2a x - a 22 01 2 0 1 0 09、计算行列式D =•0 0 A 1<1 1 1 1、q1 1 1 ) 解： 1 -13 -10 -2 2 -2J 11 -1<0 0 0 -2/所以，向量组的秩为3a^a 2.a 4为其一个最大无关组2、 11 0 0 2解：利用性质进行行变换后再展开，化为3阶行列式(a + 6 b + 4、解：AB =— 3 b _ 2丿(a + b 2a-b\ BA =54比较，得a-3 = 5./?-2 = 4,所以Q=&b = 611、已知A -1]1 , FL满足+ AX — E = O , (1)求A 1；-I求矩解：(1) (A,E) =<1 0 <0 -1-1—2、所以，A-1r l<0‘0T丿-2-roo>2 10 A D =0 01 0 0 0 01 0 _ 0A 1 - 00 A 110 -才2 1 00 2 10 0 210 -才2 1 0 =A4-1 0 2 1(\ 1()、已知矩阵4 =11 b\可交换，即AB = BA f求Q, b 2丿p -1 1 -1] 12、已知矩阵A = 12 3 1、3 3 7 1 丿<1 一1 1 -1、<1 -1 1 -1]解：A：二 1 2 3 1 T 0 3 2 23 7 1 <0 64 4丿7 \7<1 —--1 1 -1、T 0 3 2 2<o 0 0 0丿(1)求A的秩; (2)求A的列向量组的一个授大无关组;所以，A的秩为2A的任意两列都是列向量组的一个最大无关组10 0-10 2 0 013、已知/)=0 0 3 -112 3 4求其第4行元素的代数余子式之和, 即求A4I + A42 + A43 + A44；1 0 02 解：A41 + A42 + A43 + = 0 -1 0 0 3 -1 1 11 11 0 按第2行展开= 20 31 1 -1 -1 1<0 1 014、已知A = -1 0 1<0 -1 0 求A?, A’ +24 ；=14了0 1 0、厂0 1 0、<-l 0 解：A2 =-1 0 1 -1 0 1 =0 -2 0 <o -1 0> -1 0丿<1 0 -b15、已知A -1 (3 (1)求A 的秩；(2)求A 的列向量组的一个最大无关组; <1 -1 3 -2、 <1 -1 3 -2、1 -32 -6 0 -2 -1 -4解：A = 1 5 -I 10 0 6 -4 12<3 1 4 2丿<0 4 -5 8丿 ’ 0 1 ()、(-1 0 1 、 ‘0-2 0、 川= -1 0 10-2 0 = 2 0-2<0 -1 」 o i 丿<0 2 0 , -2A 所以 A 3+2A = O O'所以,A"1 12><1—2、 已知矩阵4=10 解:(A,E)=-1-1-1-1-212>‘1-1 3 0-2 -1 T 00 1 、0 0 0 所以，（1） A 的秩为3 （2）第1,2,3列（或第1,3,4列）为列向量组的一个最大无关组 -2、 -4 0。
线性代数考试复习提纲、知识点、例题PDF.pdf
（1） 扩充法
（2） 子式法
1
2
...
m
mn
(1,2
,...,m
) n m
最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组
的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就
是这个向量组的一个极大无关组。
（3）初等变换法 同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。
例 9、设向量组
（1） 1,...,t 线性无关， （2） AX = 0 的每一个解都可以由1,...,t 线性表示。 则1,...,t 叫做 AX = 0 的基础解系。 定理 1、设 Amn ，齐次线性方程组 AX = 0 ，若 r(A) = r n ，则该方程组
的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个
2x − y + z = 0
例
7、已知线性方程组
−2x1x−1 +2
x2 x2
+ +
x3 x3
= =
−2
，问当
为何值时，它有唯一
x1 + x2 − 2x3 = 2
解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性
1,2,...,s 线性相关 1,2,...,s (s 2) 中至少存在一个向量能由其余 向量线性表示。
=s2,...,n 线性相关
1,2 , ...,n
= 0或 2
...
=0。
n
1
n 个 n 维向量1,2,...,n 线性无关
1,2 , ...,n
0或 2
...
0。
n
例 8、已知向量组1 = (t,2,1) ，2 = (2,t,0) ，3 = (1,−1,1) ，
线性代数-行列式复习提纲及练习题
ann
证明：D１= D2 .
证明 由行列式的定义有
D1 = ∑ (−1)t a1 p1 a 2 p2a n pn ,
其中t是排列
p1
p2
p
的逆序数
n
.
D2 = ∑ (−1)t(a1 p1 b1− p1)(a 2 p2 b2− p2)(a n pn bn− pn) = ∑ (−1)t a1 a p1 2 p2a n pn b(1+ 2++ n)−( p1+ p2++ , pn)
７ 行列式按行（列）展开
１）余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素 aij 所在的第i行和第 j 列划去后，留下来的 n − 1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij；记
Aij = (−1)i + j M ij , Aij 叫做元素 aij的代数余子式.
２）关于代数余子式的重要性质
二、计算（证明）行列式
１ 用定义计算（证明） 例２ 用行列式定义计算
0 a12 a13 0 0 a21 a22 a23 a24 a25 D5 = a31 a32 a33 a34 a35 0 a42 a43 0 0 0 a52 a53 0 0
解 设 D5中第1,2,3,4,5行的元素分别为 a1 p1 , a2 p2 , a3 p3 , a4 p4 , a5 p5 , 那么，由 D5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
第一章 行列式 习题课
主要内容
典型例题
反馈练习
排列
其全 对 逆排 换 序列 数及
行列式 定 性展 义 质开
克拉默法则
１ 全排列
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元
线性代数总复习讲义PPT课件
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
线性代数复习题
线性代数复习题(选择填空题)-D O C(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k --D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a aB 、2132411554a a a a aC 、3125431452a a a a aD 、1344324155a a a a a练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或2k =B 、1k =或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭B A 、4B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ=DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++=AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+B 、AB BA =C 、AB BA =D 、A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B =B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X =CA 、11ABC --B 、11CB A --C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是CA 、AA A *=B 、/1A A A*=C 、0A ≠，则0A *≠D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB =B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B = 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A -C 、()B A n m 1-+D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001C 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+,232αα+，312αα+练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββD 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中D 是错误的 A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A A D 、A A ='练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是DＡ、E A -B 、E A +C 、2E A -D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43B 、12C 、34D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是C A 、12,x x 中的一个B 、()/123C 、()/111D 、相交但不垂直练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -=DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是13练2、当i =8，j =3时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a ==24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是AB BA =16、设3318A ⨯=，则()22A =1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -=6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-=1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -=13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A =83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-=2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k =3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A +=0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --=1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -=1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B =10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=-，x 满足βα=+x 32，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ(5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x =57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8-时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。
线性代数考试复习资料（1）
线性代数考试复习资料（1）《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
考研数学一2024线性代数真题系统复习
考研数学一2024线性代数真题系统复习线性代数是考研数学一中的一大重点，对于考研学子来说，掌握好线性代数的知识是非常重要的。
本文将为大家介绍如何系统地复习考研数学一2024年线性代数真题，帮助大家更好地备战考试。
一、线性代数概述考研数学一中的线性代数部分主要涉及向量空间、线性变换、矩阵与行列式、特征值与特征向量等内容。
在复习时，我们可以按照章节顺序进行系统学习，并且注重理论与实际应用的结合。
二、复习方法1.理论知识的学习与梳理在复习线性代数时，首先要对各个章节的理论知识进行学习与梳理。
可以通过阅读教材，重点记忆和理解各个概念和公式，并注意归纳总结相关性质和定理。
2.真题的分析与解答真题是考研数学一复习的重要资源，通过分析和解答真题，可以更好地了解考试的出题规律和要求。
针对2024年线性代数真题，我们可以按照题目的类型，将其分为向量空间、线性变换、矩阵与行列式、特征值与特征向量等几个方面进行分类复习。
3.习题的刷题与总结除了真题，还可以利用习题集进行刷题，并总结其中的考点和解题思路。
可以选择一些经典教材中的习题，通过刷题来加深对知识点的理解和掌握。
同时，需要注意做题思路的灵活运用，培养良好的解题能力。
三、重点知识点下面将针对线性代数的几个重点知识点进行简要介绍。
1.向量空间向量空间是线性代数的基础概念，包括集合的线性运算、向量组的线性相关性、向量组的极大无关组等内容。
在复习时，需要掌握向量空间的定义和性质，能够判断集合是否构成向量空间。
2.线性变换线性变换是一种特殊的函数，具有线性性质。
需要熟练掌握线性变换的定义、线性变换的基和维数等概念，并能够运用线性变换的性质解题。
3.矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的重要工具，涉及到矩阵的运算法则、矩阵的特殊类型、行列式的定义和性质等内容。
需要熟悉矩阵的基本运算，掌握矩阵乘法的计算方法，以及行列式的性质和计算方法。
4.特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵与线性变换的重要概念，与矩阵的对角化和特征子空间有关。
线性代数 天津大学网考复习题库及答案
线性代数复习题（特别提示：该课程有答疑视频，请参照视频与复习资料进行复习）一、填空题1、行列式0111202233034440=（ 72- ）。
2、行列式2234567800230045=（ 4- ）。
3、设123212311A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，111111B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则AB =( 041131-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ )， TTB A =（ 013411⎛⎫⎪--⎝⎭ ）。
4、行列式12881318271432641550125=（ 24 ）。
5、设12,ξξ是非齐次线性方程组AX β=的两个解向量，则()112A k ξξξ+-=⎡⎤⎣⎦（ β ）。
6、设3阶方阵222222a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则a =（ -4 ）。
7、设3阶方阵A 的行列式3A =，则12=3A -⎛⎫⎪⎝⎭（ 98 ）。
8、行列式111111111111x x x x=（ ()()331x x +- ）。
9、行列式1300250024121347=（ 1 ）。
10、若行列式32222322022322223x x x x ++=++，则x =（ 9 1--或 ）。
11、设3阶方阵1122333A a a -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的秩为3，则a （ 6a ≠且2a ≠- ）。
12、设12,ηη是齐次线性方程组0AX =的两个解向量，则()1235A ηη-=（ 0 ）。
13、设3阶方阵A 的行列式12A =-，A 的两个二重特征值122λλ==-，则A 的第三个特征值3λ=（ -3 ）。
14、设12,ηη是齐次线性方程组0AX =的两个解向量，则()122A ηη-=（ 0 ）。
15、设112224023A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，121112B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则AB =（ 2741454⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ），TTB A =（ 2457144⎛⎫⎪⎝⎭）。
线性代数复习题
线性代数复习题一1．4阶行列式中含有因子1123a a 的项为 和 .2．设向量组123(1,2,1,1),(1,0,1,2),(3,2,1,5)ααα=-==，则3α= 1α+ 2α.3．10112,437A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()R A = 4． 110011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求1A -. 5．设()()T 123123,,,,,A x x x B y y y ==，则AB = .6、计算3阶行列式 222abac ae D bd cdde bfcf ef =. 7、（10分）已知2113121,02,0020110A B C ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，求 （1）T ()2AB C +； （2）12ABC . 8、计算行列式 41111111111111111xx D x x ++=++ 9、已知1111141,11,0114111A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，求（1）AB C +. （2）ABC . 10、设10112020,2000121A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且AX B =，求X .11、求非齐次线性方程组1231231236(1)(1)56(1)(1)(2)96x x x kx k x k x k k x k x k x k ++=⎧⎪++++=+⎨⎪+++++=+⎩12、设方阵460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求可逆阵P 使1P AP -为对角阵. 13、判别二次型2221231231223(,,)2322f x x x x x x x x x x =++--的正定性.线性代数复习题二1．设A 是正交矩阵,那么A 满足的条件为 .2．当λ满足条件 时，齐次线性方程组12312312330, 3230,40x x x x x x x x x λ++=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有非零解.3．若n 阶方阵A 为正交矩阵，则1A -= .4．已知3阶方阵A 的特征值为1,2,3-，则*32A A E ++的特征值为 .5．二次型2221231213342f x x x x x x x =+-+-,求它对应的二次型矩阵.6. 如果20A =,那么A 的特征值是7、如果24A E =,那么A 的特征值是 8、已知AX B =，其中22311110,2012111A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求X .9、设向量组123,,ααα线性无关，112223, 2,βααβαα=+=+ 3132βαα=+，证明向量组123,,βββ线性无关.10、求下列向量组的秩及一个最大无关组，其中T T T T 1234(1,1,0,0),(1,2,1,1),(0,1,1,1),(2,6,4,1)αααα=--=-=-=-11、求解非齐次线性方程组12341234123421, 244,25 3.x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-+=⎨⎪--+=⎩12、111021003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求A 的特征值与对应的特征向量13、如果矩阵A 与B 相似,那么A -与B -也相似.14、向量组()12(1,1,1,2),2,3,4,1T T αα==()34(3,4,5,3),5,7,94T T αα==,求向量组的秩及一个最大无关组.15、就,a b 取值讨论方程组1231231236(1)(1)56(21)36x x x ax a x a x a ax ax a x a b ++=⎧⎪++++=+⎨⎪+++=++⎩的解 （1）有无穷多解；（2）有唯一解？（3）无解；16、证明两个矩阵0110⎛⎫⎪⎝⎭与1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭相似。
《线性代数》复习要点及练习(2)
第一章 行列式复习要点：1. 会计算逆序数，余子式，代数余子式2. 熟练掌握行列式的性质，并能利用性质计算行列式3. 掌握克莱姆法则练习题：1. 排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ B ）.A. 8 B ．9 C ．7 D ． 6 0+0+1+2+2+4=92122.431235-的代数余子式12A 是（ C ）.A 2143-- B2143- C 4125--D4125-3. 排列32514的逆序数是（ C ）.0+1+0+3+1=5A. 3B. 4C. 5D. 64.关于行列式，下列命题错误的是（ B ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开5. 关于行列式，下列命题正确的是（ A ）.A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对6. 关于行列式，下列正确的是（ C ）.A. 如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零.B. 互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等.C. 行列式中有两行对应成比例，则此行列式为零.D. 行列式与它的转置行列式互为相反数. 7. 下列命题错误的是（ B ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解 C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解 D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解8212431235-的余子式32M =|22−41|，代数余子式32A =−|22−41|.9. 已知k 341k 000k 1-=，则k =_1或3_________.10. 若52k 74356=，则k =_7_________.11. 计算行列式|12345006|=1×4×6=2412. 计算行列式|1111123413610141020||1111123413610141020|=|11110123013601410|=|111101230013014|=|11110123001301|=1 13.计算行列式53-120172520-23100-4-14002350D =解：255312231231023172=2(1)=10414=10072=-10(-2)0414662356623520(4212)1080D +-----⨯------⨯--=⨯--=-13. 计算行列式1234248737124088D =()()()()()()()24417564461754416517544010422457344212410004457334422121228804217378424321212123141413=⨯--⨯-⨯=--⨯-⨯-=---⨯-----⨯⨯-=----=++c c c c c c c c D15.计算行列式x y y xx x y y yx x y+++x y y xxx y y yx x y+++ =|2x +2yy x 2x +2yx +y y 2x +2y x x +y |=|2(x +y)yx 0x y −x 0x −y y|=2(x +y )|xy −x x −y y|=2(x +y )[xy +(x −y )2] =2(x 3+y 3) 或者：x yy x x x y y yxx y+++=1213222222x y y x c c x y x y y c c x yxx y+++++++11(22)1(22)010y x y x x y x yy x y xy x xx yx yy=++=+-+- 2233(22)2()()2()x y x x y x y x xy y x y x yy-=+=+-+=+-第二章 矩阵复习要点：1. 掌握矩阵的线性运算，矩阵乘法运算律，转置矩阵的运算律，2. 掌握矩阵的初等变换3. 掌握方阵行列式的性质，转置矩阵的性质，逆矩阵的性质4. 会求逆矩阵.了解待定系数法和伴随矩阵法，掌握用初等变换求解逆矩阵相关问题.能够证明矩阵的可逆性.5. 会用初等行变换求矩阵的秩6. 会求解矩阵方程练习题：1. 设A ，B 均为n 阶可逆阵，则下列公式成立的是( B ). A T T T B A AB =)( B T T T B A B A +=+)( C 111)(---=B A AB D 111)(---+=+B A B A2. A,B 均为n 阶方阵，若要22(A B)(A B)A B +-=-不成立，需满足（ D ）.A. A=E B ．B=O C ．A=B D ． AB ≠BA 3. 若方阵2A A,=A 不是单位方阵，则（ A ）.A. A 0= B ． A 0≠ C ．A O = D ．A O ≠解析 因为2A A,=，所以A A =2，所以01==A A 或.若.0可逆，则A A ≠在A A =2两边同时乘1-A ,A A A A ⋅=⋅--121,从而E A =，与A 不是单位方阵矛盾，所以.0不可逆，所以A A ≠所以0=A .4.若矩阵111A 121231⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪λ+⎝⎭的秩为2，则λ=（ C ）. A. 0 B ． 2 C ．1 D ． -1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110010111λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→100010111λ01=-∴λ5.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32015431A 的秩是（ 2 ） 6. 110201211344⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩是（ 2 ） 7. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111012111B 求AB 和BA解 （1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111012111321212113AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++++---++++---++=301321341202212222103113123=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---248016216⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=321212113111012111BA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+-+-+--+-+-+=321211123022012026321211123⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2220140048. 设矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A 求32A A ，. 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=104110002201102110212A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=1061100042011021104123A A A9. 设矩阵521320A ,B 341201--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求T T T(1)AB ;(2)B A;(3)A A.解 AB T=(5−2134−1)(−3−22001)=(−15−4+0−10+0+1−9+8+0−6+0−1)=(−19−9−1−7) B TA =(−3−22001)(5−2134−1)=(−15−66−8−3+210+0−4+02+00+30+40−1)=(−21−2−110−4234−1) A T A =(53−241−1)(5−2134−1)=(25+9−10+125−3−10+124+16−2−45−3−2−41+1)=(3422220−62−62)10.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=210111121A ，求逆矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210010111001121E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-10021001103000112112r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−↔01103010021000112132r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−-⨯01103010021000112112）（r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−+311600100210001121233r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-⨯216161100100210001121613）（r⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-+2161611000313101021616502131322r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−-21616110003131010216561001212r r ()1-=A E .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-216161031312165611A11. 223110121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.，求逆矩阵.解 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10121010011001322E A −−→−↔21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100121001322010011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−+-11011002134001001113122 r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−↔02134011011001001132 r r−−→−-234r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----461100110110010011 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−-⨯+461100351010010011)1(332 r r r −−→−+21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461100351010341001 ()1-=A E , 所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-4613513411A12. 求矩阵X , 使B AX =, 其中.341352,343122321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A解 若A 可逆，则.1B A X -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343431312252321)(B A 131232r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1226209152052321 2321r r r r -+ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------311009152041201323152r r r r -－⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----311006402023001 )1()2(32-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛311003*********－－，即得 .313223⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=X13. 求解矩阵方程,X A AX += 其中.010312022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A解 把所给方程变形为,)(A X E A =-则.)(1A E A X --=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-010110312302022021)(A EA 32122r r r r ↔-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----332340010110022021 )1(4323-÷+r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--31-210001011002202132r r + ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---312100302010022021212r r - ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---312100302010622-001，即得.312302622⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=X.B AX X ,B ,A . 132231 113122214 14=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=使求设解 若A 可逆，则.1B A X -= ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−↔13312211321412221r r⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−→−-40732225204301221312232r r r -r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------−−→−↔+73430402520222302323r rr r 1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−+-÷1341002045102223022332r r r ）（2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−→−÷13410020451011430121r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−+-134100315010210001323153r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−-⨯4121031501021000143）（r即得.X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=412315210()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−→−-13222211312210131r r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−-59662-2-2103201-01131232r r r -r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−↔4121005921022-1-0132322-r r rr⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−-⨯++41210315010210001)1(2r 33231r r r r即得.X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=41231521014. 已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2A 3A 2E O --=,其中A 给定，E 为n 阶单位矩阵，证明A可逆，并求1A -.证明：3(3)2()2A E A A E E A E --==由得， 所以132A EA --=16. 设A 、B 为n 阶矩阵，2A B AB E --=，2A A =，其中E 为n 阶单位矩阵.证明：A B -为2132(3)23200A A E O A A E E A A E E A A ---=⇒-=⇒-=≠⇒≠所以存在。
高升本课程复习资料-线性代数-第二套练习题目及答案
第二套练习 1、设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543022001，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= 。
2、设A 为4阶数量矩阵，且|A |=16,则A ＝ 。
A 1-＝ 。
A *＝ 。
3、设A 1-＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛8642，则A ＝ 。
│4A 1-│＝ 。
(A T )1-＝ 。
4、设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1100210000120025，则│A │＝ 。
，A 1-＝ 。
5、设A 为四阶可逆方阵，且│A 1-│＝2，则│3(A *)1-－2A │= 。
6、求A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1010443143114321的逆矩阵7、设矩阵300050,003⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A=且满足ABA *+BA *+180E =O ，求矩阵B .8、求下列矩阵的秩:11221021512031311041⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭A=9、11221511061a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A= 10、设矩阵10002300,04500067⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A=且满足B =(E +A )-1(E -A )，求(E +B )-1.11、设方阵A 满足2,A A =则1()A E -+= 。
12、设111111,111A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1）若矩阵B 满足A B AB +=，求B ；2）若列向量α满足,T A αα=求T αα13、设β=（3，- 4）， α1=（1，2）， α2=（-1，3），则β表成α1，α2的线性组合为 ；14、设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）线性相关，则t =15、设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）的秩为3，则参数t 应满足的条件是16、n 元线性方程组Ax =0有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为17、（1）设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则正确的结论是（ ）.（A ）α1，α2，α3线性相关； （B ）α1，α2，α3线性无关； （C ）α1可由β，α2，α3线性表示； （D ）β可由α1，α2线性表示. 18、设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）. （A ）α1，α2，α 3 - α1； （B ）α1，α1+α2，α1+α3； （C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1. 19、设n 元线性方程组Ax =0的系数矩阵A 的秩为n -3，且α1，α2，α3为线性方程组Ax =0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax =0的基础解系为（ ）.（A ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （B ）α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3；（C ）2α2 -α1，12α3 -α2，α1 -α3； （D ）α1+α2+α3，α3--α2，-α1-2α3.20、设α1，α2是n 元线性方程组Ax =0的两个不同的解向量，且R （A ）=n -1，k 为任意常数，则方程组Ax =0的通解为（ ）.（A ）k α1； （B ）k α2； （C ）k (α1-α2)； （D k (α1+α2).21、设向量组α1，α2是方程组Ax =0的基础解系，β1，β2是方程组Ax =b的两个解向量，k 1，k 2是任意常数，则方程组Ax =b 的通解为（ ）.（A ）1211222k k -++x=ββαα; （B ）1211212();2k k ++-+x=ββααα（C ）1211212();2k k ++-+x=ββαββ （D ）1211212().2k k -+++x=ββααα22、设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量，且R （A ）=3，其中1231290,,4094⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ααα求Ax =b 的通解.23、求解齐次线性方程组124512345123451234530,20,42650,2424160.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-+=⎪⎨-+-+=⎪⎪+-+-=⎩24、求解非齐次线性方程组123451234512345123453,233414,343211,48431.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++-+=-⎪⎪-+++=⎩25、设向量组12341111101121,,,,,2324335185a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααβ 试问（1）当a 、b 为何值时，β能由α1，α2，α3，α4唯一的线性表示？ （2）当a 、b 为何值时，β不能由α1，α2，α3，α4线性表示？（3）当a 、b 为何值时，β能由α1，α2，α3，α4线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式.26、求向量组123452313712024,,,,3283023743--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα的秩，并求出它的一个极大无关组.27、设β能由α1，α2，…，αm 线性表示，则表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αm 线性无关.28、已知4阶矩阵()1234,A αααα=且123,,ααα线性无关，4122ααα=-，则方程组0,AX =的通解为 。
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线性代数（专）复习题（特别提示：该课程可以参照答疑视频进行复习）一、填空题1、行列式0222303344045550=（ -360 ）。
2、行列式2234567800230045=（ -4 ）。
3、设齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一零解，则λ为（ 2λ≠-且1λ≠ ）。
4、设121212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，101111B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则AB =（ 013111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭）， T T B A =（ 031111⎛⎫⎪-⎝⎭ ）。
5、行列式0111202233034404=（ -72 ）。
6、设12,ξξ是非齐次线性方程组AX β=的两个解向量，则12235Aξξ+=（ β ）。
7、设3阶方阵A 的行列式2A =，则132A -⎛⎫= ⎪⎝⎭（427）。
8、行列式2300240021213273=（ -2 ）。
9、设3阶方阵222222a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则a =（ -4 ）。
10、设3阶方阵A 相似于123023003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A =（ 6 ），1A -的3个特征值为（ 111,,23）。
11、行列式121232251-=（ -7 ）。
12、设3阶方阵12223345A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为3，则a （ 2a ≠ ）。
13、设3阶方阵A 的行列式8A =-，2λ=为A 的2重特征值，则A 的3λ=（2-）。
二、单项选择题1、设111111111a A a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为3，则下列答案正确的是（ A ）。
A. 3a ≠-且0a ≠B. 3a =-或0a =C. 3a ≠-D. 0a ≠2、设1200470000410072A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭，则1A -=（ B ）。
A. 7200410000210074-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ B. 7200410000210074-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ C. 7200410000210074-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ D.7200410000410072-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭3、设3阶方阵A 的3个特征值为2 3 4-，，，则A *的3个特征值为（ C ）。
A. 111 234-，， B.2 3 4-，， C.12 8 6--，， D.12 8 6-，，4、设1200470000250013A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=（ C ）。
A. 7200410000350012-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ B. 7200410000350012-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ C. 7200410000350012-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ D.7200410000350012-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭5、设111111111a A a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为3，则下列答案正确的是（ A ）。
A. 3a ≠-且0a ≠B. 3a =-或0a =C. 3a ≠-D. 0a ≠ 6、设3阶方阵2A =，则13A -=（ C ）。
A. 32B. 6C. 272D. 547、设4元齐次线性方程组0AX =，系数矩阵A 的秩()1r A =，则其基础解系含有（ C ）个解向量。
A. 1B. 2C. 3D. 48、行列式123024147D ==（ D ）。
A. 2-B. 14C. 2D. 09、设3阶111111x A x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为1，则x =（ B ）。
A. 2-B. 1C. 21-或D.21-或10、设3阶方阵111111a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则a =（ A ）。
A. 2-B. 1C. 2-或1D. 1-11、设齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一零解，则λ为（ C ）。
A. 2λ≠-B.1λ≠C.2λ≠-且1λ≠D.2λ≠-或1λ≠三、解矩阵方程1、设311031003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B ，使得22AB A B -=。
解：由22AB A B -=，() 22A E B A -=1112011001A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭可逆()111062264022011062064001006006B A E A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪∴=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、设400140114A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B ，使得23AB A B -=。
解：由23AB A B -=，()32A E B A ∴-=1003110111A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭可逆 ()132B A E A -∴=-100800800110280680011228068B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪∴=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、设311031001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B ，使得22AB A B -=解：由22AB A B -=，()22 22AB B A A E B A -=-=1112011001A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭可逆()111062264022011062064001002002B A E A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴=-=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、设211021002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B ，使得AB A B -=。
解：由AB A B -=，() A E B A -=111011001A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭可逆()1110211210011021021001002002B A E A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪∴=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5、设300130113A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B ，使得22AB A B -=。
解：由22AB A B -=，()22A E B A ∴-=1002110111A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭可逆 ()122B A E A -∴=-100600600110260460011226046B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪∴=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、解下列各题1、问k 取何值时，向量组()11,2,3α=，()22,,4k α=，()32,5,7α=线性相关，又为何值时线性无关。
解：令123242257D k k ==- 当2k =时0D = 123,,ααα∴线性相关 当2k ≠时0D ≠ 123,,ααα∴线性无关2、问 a b ，取何值时，向量组()1,1,1a α=，()21,,1b α=，()32,3,2b α=线性无关，又为何值时线性相关。
解：令()11111232aD b b a b ==--当1a ≠且0b ≠时0D ≠ 123,,ααα∴线性无关 当1a =或0b =时0D = 123,,ααα∴线性相关3、问,k l 取何值时，向量组()11,2,1α=-，()22,,3k α=，()33,6,l α=线性相关，又为何值时线性无关。
解：令()()121233436D kl k l-==+-当3l =-或4k =时0D = 123,,ααα∴线性相关 当3l ≠-且4k ≠时0D ≠ 123,,ααα∴线性无关4、求向量组()I ()11,1,1,1α=-，()20,1,2,3α=-，()32,3,5,7α=-，()43,4,5,6α=-的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令11111111012301232357001234560000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪⎪=→→ ⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()3r A R ∴==I 极大无关组为123,,ααα5、求向量组()Ⅰ()11,1,1,2α=-，()22,3,4,5α=-，()31,2,3,4α=--，()44,5,6,9α=-的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令11121112234501211234002345690000A --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()3r A R ∴==I 极大无关组为123,,ααα6、求向量组()I ()11,1,2,3α=，()22,3,4,5α=，()32,2,3,7α=，()43,4,6,8α=的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令11231123234501012237001134680000A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪=→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3r A R ∴==I 极大无关组为123,,ααα7、问k 取何值时，向量组()11,1,2α=，()22,,3k α=，()33,3,7α=线性相关，又为何值时线性无关。
解：令112232337D k k ===-当2k ≠时0D ≠ 123,,ααα∴线性无关 当2k =时0D = 123,,ααα∴线性相关8、求向量组()I ()11,1,1,1α=-，()23,2,4,4α=-，()32,3,4,5α=-，()45,4,6,6α=-的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令11111111324401112345003254660000A --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---⎪⎪=→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()3r A R ∴==I 极大无关组为123,,ααα五、解线性方程组1、求齐次线性方程组123412341234 02334 0 4520x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+--=⎨⎪+--=⎩ 的基础解系及通解。
解：111110672334015645120000A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=--→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()24r A =< ∴有无穷多解∴同解方程组134234 670560x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩ ∴基础解系为126756= = 1001ηη--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通解为1122 X k k ηη=+其中 12, k k R ∈2、求齐次线性方程组1234123412342303420 56580x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 的基础解系及通解。
解：1123107103412015756580000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24r A =< ∴有无穷多解∴同解方程组为134234 7 100570 x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩∴基础解系为175=10η-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2107=01η-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭通解为1122X k k ηη=+ 其中12,k k R ∈3、求非齐次线性方程组12341234123432327 56216x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+--=⎨⎪+++=⎩ 的全部解（用其特解与导出组的基础解系表示）。