2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练训练6
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练训练17
常考问题17 集合与常用逻辑用语(备用)(建议用时：35分钟)1．若全集U ＝R ，集合A ＝{x ||2x ＋3|＜5}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}，则∁U (A ∩B )＝________.解析 A ＝{x ||2x ＋3|＜5}＝{x |－4＜x ＜1}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，所以∁U (A ∩B )＝{x |x ≥1或x ≤－2}．答案 {x |x ≥1或x ≤－2}2．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.解析 由A ∩B ＝{2}可得：log 2(a ＋3)＝2，∴a ＝1，∴b ＝2，∴A ∪B ＝{1,2,5}． 答案 {1,2,5}3．已知集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a }，且B ⊆A ，则实数a 的值是________．解析 a ≥0，则a ＝1，且a ＋2＝3，解得a ＝1.答案 14．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝________.解析 根据集合运算的性质求解．因为A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}．答案 {7,9}5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x ||x －1|＜a }，则“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的________(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个)．解析 A ＝(－1,1)，B ＝(1－a,1＋a )，当a ＝1时，有A ∩B ≠∅满足，但当a ＝12时，也有A ∩B ≠∅满足．故答案为充分不必要条件．答案 充分不必要条件6．集合A ＝{0，log 123，－3,1,2}，集合B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝________.解析 ∵B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈A }＝{1,2,4，18，13}，∴A ∩B ＝{1,2}．答案 {1,2}7．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}．则A ∩B ＝________.解析 集合A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，集合B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故A ∩B ＝(3，＋∞)．答案 (3，＋∞)8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．解析 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案 109．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，∃a ∈R ，使得集合A 中所有整数的元素和为28，则实数a 的取值范围是______．解析 由x 2＋a ≤(a ＋1)x 得1≤x ≤a ，又1＋2＋…＋7＝28，所以a 的取值范围是[7,8)．答案 [7,8)10．下列命题中的真命题是________．①∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32②∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞x ＋1③∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x④∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x解析 ∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2，∀x ∈(－∞，0)，2x ＞3x ，sin π4＝cos π4，所以①③④都是假命题．对于②，令f (x )＝e x －x －1⇒f ′(x )＝e x －1＞0，对于x ∈(0，＋∞)恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＞f (0)＝0⇒e x ＞x ＋1，②是真命题．答案 ②11．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x ＜1，则p 是綈q 成立的________条件．解析 因为q ：1x ＜1，所以綈q ：1x ≥1，即0＜x ≤1，所以p 是綈q 成立的必要不充分条件．答案 必要不充分条件12．下列四种说法中，错误的个数是________．①A ＝{0,1}的子集有3个；②“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真；③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件；④命题“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2－3x －2≤0”解析 A ＝{0,1}的子集有4个，①错误；“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”在m ＝0时不成立，②错误；“命题p ∨q 为真”则“命题p ∧q 不一定为真”，“命题p ∧q 为真”则“命题p ∨q 为真”③正确；“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2－3x －2＜0”④错误．四种说法中，错误的个数是3.答案 313．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋2ny ＋n 2－4＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2－6mx －4ny ＋9m 2＋4n 2－9＝0}，若A ∩B 为单元素集，则点P (m ，n )构成的集合为________． 解析 因为A ∩B 为单元素集，即圆x 2＋(y ＋n )2＝4与圆(x －3m )2＋(y －2n )2＝9相切，所以有(3m )2＋(2n ＋n )2＝3＋2或(3m )2＋(2n ＋n )2＝3－2，即m 2＋n 2＝259或m 2＋n 2＝19.答案 {(m ，n )|m 2＋n 2＝259或m 2＋n 2＝19} 14．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m＋10＝0无实根，则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是________． 解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两个正根分别为x 1，x 2，则由⎩⎨⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，解得m ＜－1，∴p ：m ＜－1.由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p 和q 一真一假，当p 真q 假时，得⎩⎨⎧ m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，得⎩⎨⎧ m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3， ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．答案 (－∞，－2]∪[－1,3)。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练 专题提升训练阶段检测卷2
阶段检测卷(二)一、填空题(每小题5分，共70分)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，tan 2α等于________．解析 由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，则sin α＝－1－cos 2α＝－255，那么tan α＝sin αcos α＝2，则tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－43. 答案 －432．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于________．解析 由于|a |＝5，而|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，则有b 2＝25，解得|b |＝5. 答案 53．(2013·苏锡常镇调研)已知钝角α满足cos α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4的值为________．解析 因为α是钝角，所以α2是锐角， cos α＝2cos 2α2－1＝－35，所以cos α2＝55，sin α2＝255，tan α2＝2， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝2＋11－2＝－3.答案 －34．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为________．解析 因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ＝a 2－52b 2－32a·b ＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以4－52－32a·b ＝0.所以a·b ＝1.又a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角的取值范围是[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3. 答案 π35．(2013·南京模拟)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，则f (0)＝________.解析 由图知，A ＝2.函数的周期(用区间长度表示)为8π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝4π，∴2πω＝4π，ω＝12.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，0在函数的图象上，∴2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＋φ＝0， 得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＋φ＝0，即φ＝2π3. ∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2π3，∴f (0)＝ 3. 答案36．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 为________三角形．解析 由(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，可知CB →·(AB →＋AC →)＝0，设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2A D →，故CB →·AD →＝0，所以CB →⊥AD →.又D 为BC 中点，故△ABC 为等腰三角形． 答案 等腰7．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝4，则角A ，B ，C 中最大角的余弦值为________． 解析 根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A 最大，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－422×3×2＝－14.答案 －148．(2012·南京、盐城模拟)已知正△ABC 的边长为1，CP →＝7CA →＋3CB →，则CP →·AB →＝________.解析 CP →·AB →＝(7CA →＋3CB →)·AB →＝7CA →·AB →＋3CB →·AB→＝－72＋32＝－2. 答案 －29．(2013·盐城调研)△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m ＝ (2sin B,2－cos 2B )，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2，－1，m ⊥n ，∠B ＝________.解析 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，所以4sin B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋cos 2B －2＝0，所以2sin B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B ＋cos 2B －2＝0，即2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， 也即sin B ＝12，又因为0<B <π，所以B ＝π6或56π. 答案 π6或56π10．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________． 解析 设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c3， 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c 22c2＝13，sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理得csin C ＝4c 3223，解得sin C ＝66. 答案 6611．在△ABC 所在的平面上有一点P 满足P A→＋PB→＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC的面积之比是________．解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →，所以P A →＋PB →＋PC →＋BA →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的靠近A 点的一个三等分点，故S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23. 答案 2312．在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3|A B →＋A C →|＝|B C →|，则BA →·BC →|BC →|＝______.解析 如图， AB →＋AC →＝AD →，依题意，得|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABDC 是矩形，∠BAC ＝90°. 因为AB ＝1，AC ＝3，所以BC ＝2.cos ∠ABC ＝AB BC ＝12，BA →·BC→|BC →|＝|BA →|| BC →|cos ∠ABC| BC →|＝|BA→|cos ∠ABC ＝12.答案 1213．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，则在区间[0,2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的范围是________．解析 设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，－y ，由题意知该点在f (x )的图象上，所以－y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ， 即g (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，由sin x ≤－cos x ，得sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤0，又因为x ∈[0,2π]，从而解得3π4≤x ≤7π4. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π414．(2013·泰州模拟)如图，在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC (包括边界)内任一点，则AN →·MP →的取值范围为________．解析 以点C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，建立如图所示直角坐标系，设P (x ，y )，则由题可知B (1,0)，A (0，3)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，所以AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32，所以AN →·MP →＝x 2－14－3y ＋32＝x 2－3y ＋54，直线AB 的方程为3x ＋y －3＝0.由题可知⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y －3≤0，由线性规划知识可知，当直线x 2－3y ＋54－z ＝0过点A 时有最小值－74，过点B 时有最大值74. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74，74二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知a ＝(sin α，1), b ＝(cos α，2)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.(1)若a ∥b ，求tan α的值； (2)若a ·b ＝125，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值． 解 (1)因为a ∥b ，所以2sin α＝cos α，所以tan α＝12. (2)因为a ·b ＝125，所以sin αcos α＋2＝125即sin 2α＝45. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos 2α＝1－sin 22α＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(1)求f (x ) 的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解 (1)令f (x )＝0得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0，或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，得x ＝5π6.综上，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的零点为5π6或π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3.当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3； 当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2的取值范围．解 (1)由图象知M ＝1，f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，即π3＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ， 又|φ|<π2∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)由(2a －c )cos B ＝b cos C ，得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . ∵sin A ≠0，∴cos B ＝12， ∴B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6， 又∵0<A <2π3，∴A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 18．(本小题满分16分)(2013·湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3，(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·ca sin A ＝ bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.19．(本小题满分16分)(2013·江西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 所以tan B ＝3， 又因为0<B <π， 所以B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14，∴b ≥12. 又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.20．(本小题满分16分)(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513， sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝ 1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内． 备课札记：。
2014高考数学二轮专题复习Word版 专题提升训练13
常考问题13 圆锥曲线的基本问题(建议用时：50分钟)1．(2013·陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1(m >0)的离心率为54，则m 等于________．解析 由题意得c ＝16＋m ，所以16＋m 4＝54，解得m ＝9. 答案 92．已知双曲线C ∶x 2a 2－y 2b21(a ＞0，b ＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是________．解析 ∵2a ＝2，∴a ＝1，又ca ＝2，∴c ＝2，∴双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．答案 (±2,0)3．(2013·徐州质检)已知双曲线C ：x 2a 2y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点，右焦点分别为A ，F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．解析 ∵A 是B ，F 的中点，∴2a ＝－a 2c ＋c .∴e 2－2e －1＝0，∵e ＞1，∴e ＝2＋1. 答案2＋14．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b21 ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k ＝－b 2a 2×2－2，所以b 2a 2＝12，③ 又a 2－b 2＝c 2＝9，④由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案 x 218＋y 29＝15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________．解析 由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，即c ＝1，又e ＝c a ＝5，可得a ＝55，结合条件有a 2＋b 2＝c 2＝1，可得b 2＝45，又焦点在x 轴上，则所求的双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.答案 5x 2－54y 2＝16．(2013·福建卷)椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2，在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1. 答案3－17．已知双曲线C 与椭圆x 216＋y 212＝1有共同的焦点F 1，F 2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P 到右焦点F 2的距离为4，则PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于________．解析 由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c ＝16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝24＝12，则双曲线的离心率e 2＝1e 1＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c ＝2.设双曲线C 的方程为x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)，则有a ＝c e 2＝22＝1，b 2＝c 2－a 2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.因为点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 2|＝4，所以|PF 1|＝6.因为坐标原点O 为F 1F 2的中点，M 为PF 2的中点． 所以|MO |＝12|PF 1|＝3.答案 38．(2012·南京、盐城模拟)设椭圆C ∶x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．解析 由题设知1a 2＋4b 2＝1，∴b 2＝4a 2a 2－1，∴椭圆的中心到准线的距离d ＝a 2c ，由d 2＝a 4c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4a 2－4a 2a 2－1＝a 2(a 2－1)a 2－5，令a 2－5＝t (t ＞0)得d 2＝(t ＋5)(t ＋4)t ＝t ＋20t ＋9≥9＋45(当且仅当t ＝25时取等号)∴d ≥2＋5即椭圆的中心到准线的距离的最小值2＋ 5. 答案 2＋ 59．在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k ，直线(3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋3)＝0恒过定点F .设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F 的最大距离为2＋ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设(m ，n )是椭圆C 上的任意一点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1：mx ＋ny ＝1和l 2：mx ＋ny ＝4的位置关系．解 (1)由(3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋3)＝0整理 得(3x ＋y －3)k ＋(x －3y －3)＝0，解方程组⎩⎨⎧3x ＋y －3＝0，x －3y －3＝0得F (3，0)．设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c ，则由题设知⎩⎨⎧c ＝3，a ＋c ＝2＋ 3.于是a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，所以b ＜r ＜a ，即1＜r ＜2.因为点(m ，n )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，所以m 24＋n 2＝1，且－2≤m ≤2. 所以m 2＋n 2＝34m 2＋1∈[1,2]． 于是圆心O 到直线l 1的距离d 1＝1m 2＋n2≤1＜r ，圆心O 到直线l 2的距离d 2＝4m 2＋n2≥2＞r .故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离．10．已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOM ＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎨⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝3.又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝7， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]，由已知OP 2OM 2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]．①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段．②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆．11．(2013·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1→·FB 2→＝2b 2.(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程． 解 (1)因为F (－c,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，所以FB 1→＝(c ，－b )，FB 2→＝(c ，b )．因为FB 1→·FB 2→＝2b 2， 所以c 2－b 2＝2b 2.① 因为椭圆C 过A (－2，－1)，代入得，4a 2＋1b 2＝1.②由①②解得a 2＝8，b 2＝2. 所以a ＝22，b ＝ 2.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x ＋2)，x 28＋y 221得(x ＋2)[(4k 2＋1)(x ＋2)－(8k ＋4)]＝0.因为x ＋2≠0，所以x ＋2＝8k ＋44k 2＋1，即x Q ＋2＝8k ＋44k 2＋1.由题意，直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 221，得(1＋4k 2)x 2＝8.则x 2P ＝81＋4k 2， 因为AQ ·AR ＝3OP 2.所以|x Q －(－2)|×|0－(－2)|＝3x 2P . 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪8k ＋44k 2＋1×2＝3×81＋4k 2.解得k ＝1，或k ＝－2.当k ＝1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0， 当k ＝－2时，直线l 的方程为2x ＋y ＋5＝0. 备课札记：。
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常考问题3 导数的简单应用(建议用时：50分钟)1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案 (0,1]2．(2013·扬州质量检测)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是________．解析 根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f (x )在x ＝a 处取到极大值，所以x ＝a 为f ′(x )的一个零点，且在x ＝a 的左边f ′(x )＞0，右边f ′(x )＜0，所以导函数f ′(x )的开口向下，且a ＞－1，即a 的取值范围是(－1,0)．答案 (－1,0)3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为________．解析 xf ′(x )<0⇒⎩⎨⎧ x >0，f ′(x )<0或⎩⎨⎧x <0，f ′(x )>0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2时，f (x )单调递减，此时f ′(x )<0. 当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递增，此时f ′(x )>0.答案 ()－∞，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，24．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是______．解析 由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得 又a >0，解得3<a <2.答案 (3，2)5．(2013·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．解析 因为函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，所以函数g (x )＝ax 3＋bx 在[0,1]上的最大值为2，而g (x )是奇函数，所以g (x )在[－1,0]上的最小值为－2，故f (x )在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－32.答案 －326．设P 为曲线C ：f (x )＝x 2－x ＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线斜率的取值范围是[－1,3]，则点P 的纵坐标的取值范围是________．解析 设P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝2x －1.∴－1≤2x 0－1≤3，即0≤x 0≤2.∵y 0＝f (x 0)＝x 20－x 0＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋34， ∵x 0∈[0,2]，∴34≤y 0≤3，故点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 7．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝a ln x ＋x .∴f ′(x )＝a x ＋1.又∵f (x )在[2,3]上单调递增，∴a x ＋1≥0在x ∈[2,3]上恒成立，∴a ≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)．答案 [－2，＋∞)8．(2013·盐城调研)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________．解析 依题意知f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.又a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值为9.答案 99．已知f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R )，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x ≥a .当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a ．综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)．(2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x 在R 上恒成立．∵x ∈R 时，e x >0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]．10．(2013·西安五校二次联考)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间．解 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x >0)．(1)由题意得f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23.(2)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax －1<0.在区间(0,2)上，f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上，f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当0<a <12时，1a >2.在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a . ③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ≥0，故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)．④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. 11．(2013·重庆卷)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x. 令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3. 备课札记：。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练训练2
常考问题2 函数与方程及函数的应用(建议用时：50分钟)1．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题意知即为方程x 2＋2x ＋a ＝0无实数解，即4－4a ＜0，解得a ＞1. 答案 (1，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________． 解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2 x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.答案 03．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________． 解析 在同一坐标系内作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 及y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f (x )在[0,2π]上有两个零点．答案 24．(2013·苏州模拟)函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．解析 函数图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32.答案 325．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2.解析 设直角边为40 cm 和60 cm 上的矩形边长分别为x cm 、y cm ，则40－x 40＝y 60，解得y ＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫60－32x ＝－32(x －20)2 ＋600，当x ＝20时矩形的面积最大，此时S ＝600.答案 6006．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，(1)g [f (1)]＝________；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0的实数根的个数有4个，则a 的取值范围是________． 解析 (1)利用解析式直接求解得g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2；(2)令f (x )＝t ，则g (t )＝a ，要使原方程有4解，则方程f (x )＝t 在t ＜1时有2个不同解，即函数y ＝g (t )，t ＜1与y ＝a 有两个不同的交点，作出函数y ＝g (t )，t＜1的图象，由图象可知1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )，t ＜1与y ＝a 有两个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. 答案 (1)－2 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54 7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则[x 0]＝________.解析 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x 2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e >0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.答案 28．(2013·南师附中模拟)如图，线段EF 的长度为1，端点E 、F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l －S 的最大值为________．解析 设正方形的边长为a (a ≥1)，当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点G 的轨迹如图，是由半径均为12的四段圆弧、长度均为a －1四条线段围成的封闭图形，周长l ＝π＋4(a －1)，面积S ＝a 2－14π，所以l －S ＝－a 2＋4a ＋54π－4，a ≥1，由二次函数知识得当a ＝2时，l －S 取得最大值5π4.答案 5π49．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根．∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1.因此实数a 的取值范围是(0,1)．10．(2012·苏北四市调研)如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇．已知OC ＝(2＋6)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城．设OA ＝x km ，OB ＝y km.(1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小．解 (1)因为△AOC 的面积与△BOC 的面积之和等于△AOB 的面积，所以 12x (2＋6)sin 45°＋12y (2＋6)·sin 30°＝12xy sin 75 °， 即22x (2＋6)＋12y (2＋6)＝6＋24xy ，所以y ＝22x x －2(x ＞2)． (2)△AOB 的面积S ＝12xy sin 75°＝6＋28xy ＝3＋12×x 2x －2＝3＋12(x －2＋4x －2＋4)≥3＋12×8＝4(3＋1)． 当且仅当x ＝4时取等号，此时y ＝4 2. 故OA ＝4 km ，OB ＝4 2 km 时，△OAB 面积的最小值为4(3＋1) km 2.11．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )．解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－a )·(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x )＝(12－x )·(18＋2a －3x )．令L ′＝0，得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧，L ′的值由正变负．所以①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时， L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )；②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a －3－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3， 所以Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9(6－a )，3≤a <92，4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3，92≤a ≤5.故若3≤a <92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3(万元)．。
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常考问题12 直线与圆(建议用时：50分钟)1．(2013·镇江期中)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．解析 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，所以，点(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，所以，a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142．(2013·南师附中模拟)已知直线x －y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且向量OA →、OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为______．解析 ∵|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴点O 到直线AB 的距离为22，即|0－0＋a |2＝22，∴a ＝±1.答案 ±13．(2013·青岛质检)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为________．解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r ，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 答案 (x －1)2＋y 2＝14．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．解析 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为C (3,4)，半径为r ＝5，则过点(3,5)的最长弦AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝2r 2－12＝46，且有AC ⊥BD ，则四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝20 6.答案 20 65．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a >0)可知圆心为(－a,0)，半径为6＋a 2，两圆公共弦所在方程为(x 2＋y 2＋2ax －6)－(x 2＋y 2)＝－4，即x ＝1a ，所以有()6＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a 2＝()32解得a ＝1或－1(舍去)． 答案 16．(2012·南师附中模拟)在平面直角坐标系中，设直线l ：kx －y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.解析 如图所示，OM →＝OA →＋OB →，则四边形OAMB 是锐角为60°的菱形，此时，点O 到AB 距离为1.由21＋k 2＝1，解出k ＝±1. 答案 k ＝±17．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．解析 由题意知，ab ＝12，x 半径r ＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，故面积的最小值为π. 答案 π8．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最小值为________．解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又|OA |＝|OB |＝1，根据勾股定理得|AB |＝2，∴|OC |＝12|AB |＝22. ∴圆心到直线的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离d ＝(a －0)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数．∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝(2－1)2＝2－1. 答案2－19．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.10．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．(1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)解 ∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝2 5.所以|PB |＋|PQ |的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，则直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－23.11．(2012·南师附中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P (2,3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．解 (1)∵双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，4a 2＋9b 2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8. 设N (8，t )(t ＞0)． ∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2.由点M 在椭圆上，得t ＝6. 故所求的点M 的坐标为M (2,3)．所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3. cos ∠AMB ＝MA →·MB →|MA →|·|MB→|＝－336＋9·4＋9＝－6565.(3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A 、F 、N 三点坐标代入，得⎩⎨⎧16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－t －72t ，F ＝－8.圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0.设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1,2＝t ＋72t ±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322.由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t ＝18， 此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.。
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常考问题13 圆锥曲线的基本问题(建议用时：50分钟)1．(2013·陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1(m >0)的离心率为54，则m 等于________． 解析 由题意得c ＝16＋m ，所以16＋m 4＝54，解得m ＝9. 答案 92．已知双曲线C ∶x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是________．解析 ∵2a ＝2，∴a ＝1，又ca ＝2，∴c ＝2，∴双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)． 答案 (±2,0)3．(2013·徐州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点，右焦点分别为A ，F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．解析 ∵A 是B ，F 的中点，∴2a ＝－a 2c ＋c . ∴e 2－2e －1＝0，∵e ＞1，∴e ＝2＋1. 答案2＋14．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1 ①x 22a 2＋y 22b2＝1， ②①－②得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以k＝－b2a2×2－2，所以b2a2＝12，③又a2－b2＝c2＝9，④由③④得a2＝18，b2＝9.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.答案x218＋y29＝15．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________．解析由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝ca＝5，可得a＝55，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝45，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－54y2＝1.答案5x2－54y2＝16．(2013·福建卷)椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析直线y＝3(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2，在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.答案3－17．已知双曲线C与椭圆x216＋y212＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O 的距离等于________．解析由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c＝16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝24＝12，则双曲线的离心率e 2＝1e 1＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c ＝2.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a ＝c e 2＝22＝1，b 2＝c 2－a 2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.因为点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 2|＝4，所以|PF 1|＝6.因为坐标原点O 为F 1F 2的中点，M 为PF 2的中点． 所以|MO |＝12|PF 1|＝3. 答案 38．(2012·南京、盐城模拟)设椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．解析 由题设知1a 2＋4b 2＝1，∴b 2＝4a 2a 2－1，∴椭圆的中心到准线的距离d ＝a 2c ，由d 2＝a 4c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4a 2－4a 2a 2－1＝a 2(a 2－1)a 2－5， 令a 2－5＝t (t ＞0)得d 2＝(t ＋5)(t ＋4)t ＝t ＋20t ＋9≥9＋45(当且仅当t ＝25时取等号)∴d ≥2＋5即椭圆的中心到准线的距离的最小值2＋ 5. 答案 2＋ 59．在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k ，直线(3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋3)＝0恒过定点F .设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F 的最大距离为2＋ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设(m ，n )是椭圆C 上的任意一点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1：mx ＋ny ＝1和l 2：mx ＋ny ＝4的位置关系．解 (1)由(3k ＋1)x ＋(k －3)y －(3k ＋3)＝0整理 得(3x ＋y －3)k ＋(x －3y －3)＝0，解方程组⎩⎨⎧3x ＋y －3＝0，x －3y －3＝0得F (3，0)．设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c ，则由题设知⎩⎨⎧c ＝3，a ＋c ＝2＋ 3.于是a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与椭圆C 有4个相异公共点，所以b ＜r ＜a ，即1＜r ＜2.因为点(m ，n )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，所以m 24＋n 2＝1， 且－2≤m ≤2. 所以m 2＋n 2＝34m 2＋1∈[1,2]．于是圆心O 到直线l 1的距离d 1＝1m 2＋n2≤1＜r ， 圆心O 到直线l 2的距离d 2＝4m 2＋n2≥2＞r . 故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离．10．已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOM ＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎨⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝3.又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝7， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]，由已知OP 2OM 2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]．①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段．②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆．11．(2013·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1→·FB 2→＝2b 2. (1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程． 解 (1)因为F (－c,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，所以FB 1→＝(c ，－b )，FB 2→＝(c ，b )．因为FB 1→·FB 2→＝2b 2， 所以c 2－b 2＝2b 2.① 因为椭圆C 过A (－2，－1)，代入得，4a 2＋1b 2＝1.②由①②解得a 2＝8，b 2＝2. 所以a ＝22，b ＝ 2.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x ＋2)，x 28＋y 22＝1得(x ＋2)[(4k 2＋1)(x ＋2)－(8k ＋4)]＝0.因为x ＋2≠0，所以x ＋2＝8k ＋44k 2＋1，即x Q ＋2＝8k ＋44k 2＋1.由题意，直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 22＝1，得(1＋4k 2)x 2＝8.则x 2P ＝81＋4k 2， 因为AQ ·AR ＝3OP 2.所以|x Q －(－2)|×|0－(－2)|＝3x 2P . 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪8k ＋44k 2＋1×2＝3×81＋4k 2.解得k ＝1，或k ＝－2.当k ＝1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0， 当k ＝－2时，直线l 的方程为2x ＋y ＋5＝0. 备课札记：。
(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣(要点回扣+易错警示+查缺补漏)压轴大题突破练
压轴大题突破练(三)(推荐时间：60分钟)1． 已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a <0时讨论函数f (x )的单调性；(3)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2有f x 2－f x 1x 2－x 1>a 恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解 f ′(x )＝x －2a x ＋a －2＝x －2x ＋a x(x >0)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝x －x ＋x ，f ′(1)＝－2，∴所求的切线方程为y －f (1)＝－2(x －1)，即4x ＋2y －3＝0.(2)①当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )＝x －2x ≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当－a <2，即－2<a <0时，∵0<x <－a 或x >2时，f ′(x )>0；－a <x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a ，2)上单调递减；③当－a >2，即a <－2时，∵0<x <2或x >－a 时，f ′(x )>0；2<x <－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(0，2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．(3)假设存在这样的实数a 满足条件，不妨设x 1<x 2.由f x 2－f x 1x 2－x 1>a 知f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1成立， 令g (x )＝f (x )－ax ＝12x 2－2a ln x －2x ， 则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g ′(x )＝x －2a x－2≥0，即2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．∴a ≤－12，故存在这样的实数a 满足题意， 其范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12. 2． 已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1，0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A 、B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，若弦AB 的中点为R ，求直线OR 斜率的取值范围． 解 (1)由题意，得|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23，所以点M 的轨迹是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹的方程为x 24＋y 2＝1. (2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)，由题意，直线l 的斜率不可能为0，故可设直线l ：x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1消去x ，得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m 2.S ＝12|OP |·|y 1－y 2|＝12y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝2m 2＋3m 2＋4， 由S ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，解得1<m 2<6， 即m ∈(－6，－1)∪(1，6)．因为R (x 0，y 0)是AB 的中点，所以y 0＝y 1＋y 22＝－m 4＋m 2，x 0＝my 0＋1＝44＋m2.故直线OR 的斜率k ＝y 0x 0＝－m 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－64，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，64. 3． 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的的取值范围．解 (1)∵f ′(x )＝a 1＋x＋2x －10， ∴f ′(3)＝a4＋6－10＝0，故a ＝16. (2)由(1)，知f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)， f ′(x )＝x 2－4x ＋1＋x ＝x －x －1＋x .当x ∈(－1，1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，3)时，f ′(x )<0.则f (x )的单调递增区间是(－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间是[1，3]．(3)由(2)知，f (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0.所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，极小值为f (3)＝32ln 2－21.所以在f (x )的三个单调区间(－1，1]，[1，3]，[3，＋∞)上，当且仅当f (3)<b <f (1)，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象有3个交点，如图所示．因此，b 的取值范围为(32ln 2－21，16ln 2－9)．4． 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2 ＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过A 作椭圆C 的两条动弦AB 、AC ，若直线AB 、AC 的斜率之积为14，试问直线BC 是否经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 解 (1)设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵2p ＝4，∴p ＝2，抛物线的焦点为F (1，0)， ∴椭圆的一个焦点为F (1，0)，∴c ＝1.又∵c a ＝22，∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知A (0，1)．当直线BC 的斜率不存在时，设BC ：x ＝x 0， 设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)，k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 20x 20＝12x 20x 20＝12≠14，不合题意．故直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为y ＝kx ＋m ， 并代入椭圆方程，整理得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0 ①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0得2k 2－m 2＋1>0，②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝m 2－1＋2k 2，由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即4(kx 1＋m )(kx 2＋m )－4(kx 1＋m ＋kx 2＋m )＋4＝x 1x 2， 亦即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0，24k 2－1m 2－11＋2k 2－16k 2m m －11＋2k 2＋4(m －1)2＝0，整理得(m －1)(m －3)＝0，又∵m ≠1，∴m ＝3，此时直线的方程为y ＝kx ＋3， 所以直线BC 恒过一定点P (0，3)．。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练阶段检测卷4
阶段检测卷(四)一、填空题(每小题5分，共70分)1．已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为________．解析依题意得k AB＝8－aa＋1＝2，解得a＝2.答案 22．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．解析由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1<17<5，所以两圆的位置关系为相交．答案相交3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为________．解析∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min＝2－1＝1.答案 14．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．解析在方程x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，不妨设A(0，－3)，B(0,3)．设题中双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．∵点A在双曲线上，∴9a2＝1.∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴双曲线的焦点为(0，－9)，(0,9)．a2＋b2＝81.∴a2＝9，b2＝72.∴此双曲线的标准方程为y29－x272＝1.答案y29－x272＝15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则它的离心率为________．解析 由题意，得e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋3＝2. 答案 26．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________． 解析 过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得M 的横坐标c ，所以纵坐标2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c 2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1. 答案2－17．设圆C 的圆心与双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线l ：x －3y ＝0被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为________． 解析 由题知圆心C (a 2＋2，0)，双曲线的渐近线方程为2x ±ay ＝0，圆心C 到渐近线的距离d ＝2·a 2＋22＋a 2＝2，即圆C 的半径为 2.由直线l 被圆C 截得的弦长为2及圆C 的半径为2可知，圆心C 到直线 l 的距离为1，即a 2＋21＋3＝1，解得a ＝ 2. 答案28．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________．解析 设切线方程为x a ＋y b ＝1，则|ab |a 2＋b2＝1，于是有a 2＋b 2＝a 2b 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，得a 2＋b 2≥4，从而线段AB 长度为a 2＋b 2≥2，其最小值为2. 答案 29．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．解析 由题意知本题等价于求过圆M ：(x －1)2＋(y －3)2＝1的圆心M (1,3)与圆O ：x 2＋y 2＝2相切的切线的斜率k .设切线l ：y －3＝k (x －1)，l ：kx －y ＋3－k ＝0，由题意知2＝|3－k |1＋k2，k ＝－7或k ＝1. 答案 －7或110．(2012·南通期末调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与F A →同向，则双曲线离心率e 的大小为________． 解析 设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d ，由勾股定理，得(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2.解得m ＝4d .设∠AOF ＝α，则cos 2α＝OA OB ＝35.cos α＝1＋cos 2α2＝25，所以，离心率e ＝1cos α＝52. 答案 5211．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为________．解析 圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2，又k >0，所以k ＝2. 答案 212．双曲线C ：x 2－y 2＝1，若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且P A →＝2AQ →，则直线l 的斜率为________． 解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.可以求得A (1,0)，设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，分别与渐近线方程联立方程组，可以求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫kk ＋1，－k k ＋1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，利用条件P A →＝2AQ →，可以求得k ＝±3.答案 ±313．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________．解析 设点A ，B 的坐标分别为A (a,0)，B (0，b )(a ，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b 2＝2，整理得2(a 2＋b 2)＝ab ，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ，即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝014．设双曲线x 24－y 2＝1的右焦点为F ，点P 1、P 2、…、P n 是其右上方一段(2≤x ≤25，y ≥0)上的点，线段|P k F |的长度为a k (k ＝1,2,3，…，n )．若数列{a n }成等差数列且公差d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，则n 的最大取值为________．解析 数列{a n }递增，当a 1最小，a n 最大，且公差d 充分小时，数列项数较大．所以取a 1＝5－2，a n ＝3，算得d ＝5－5n －1(n ＞1)，又d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，所以55－4＜n ＜26－55，又n ∈N *，故n 的最大取值为14. 答案 14 二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，由题知直线l 的斜率与直线OA 的斜率相等，故可设直线l 的方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．16．(本小题满分14分)(2013·苏北四市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，一条准线l ：x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ ＝6，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．解(1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1. (2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )， 则圆D 的方程：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝1＋t 24，直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2.∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②设P (x 0，y 0)，由①知：⎩⎪⎨⎪⎧(x 0－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 242x 0＋ty 0－2＝0，即：⎩⎨⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝02x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得：x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B . (1)求圆Q 的面积； (2)求k 的取值范围；(3)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)圆的方程可化为(x －6)2＋y 2＝4，可得圆心为Q (6，0)，半径为2，故圆的面积为4π.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝4交于两个不同的点A ，B 等价于|6k ＋2|k 2＋1＜2，化简得(－8k 2－6k )＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，(x －6)2＋y 2＝4 得(k 2＋1)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，解此方程得x 1,2＝－4(k －3)±16(k －3)2－144(k 2＋1)22(k 2＋1).则x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2，① 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.②而P (0,2)，Q (6,0)，PQ→＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将①②代入上式，解得k ＝－34.由(2)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以坐标原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T . 求证：点T 在椭圆C 上．(1)解 由题意知，椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝|2|2＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明 由题意可设点M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设点T 的坐标为(x ，y )，联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为点M ，N 在椭圆C 上，故x 208＋y 22＝1， 所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12(3y －42y －3)2＝1.整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．19．(本小题满分16分)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两条切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2) 证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立直线l 0与椭圆E 的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1.消去y ，得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理，得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20.∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5.∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.20．(本小题满分16分)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若OF 1→＝2F 1A →(其中O 为坐标原点)． (1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE →·PF→的最大值． 解 (1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1()a 2－2，0， 由OF 1→＝2F 1A →，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为M ：x 26＋y 22＝1. (2)设圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的圆心为N ，则PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP →2－1. 从而求PE →·PF →的最大值转化为求NP →2的最大值． 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x 206＋y 22＝1，即x 20＝6－3y 20，因为点N (0,2)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12.因为y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－1时，NP →2取得最大值12.所以PE →·PF →的最大值为11.。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：阶段检测卷4
阶段检测卷(四)一、填空题(每小题5分，共70分)1．已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为________．解析依题意得k AB＝8－aa＋1＝2，解得a＝2.答案 22．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．解析由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1<17<5，所以两圆的位置关系为相交．答案相交3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为________．解析∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min＝2－1＝1.答案 14．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．解析在方程x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，不妨设A(0，－3)，B(0,3)．设题中双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．∵点A在双曲线上，∴9a2＝1.∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴双曲线的焦点为(0，－9)，(0,9)．a2＋b2＝81.∴a2＝9，b2＝72.∴此双曲线的标准方程为y29－x272＝1.答案y29－x272＝15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则它的离心率为________．解析 由题意，得e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋3＝2.答案 26．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析 过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得M 的横坐标c ，所以纵坐标2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c 2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1. 答案2－17．设圆C 的圆心与双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线l ：x －3y ＝0被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为________．解析 由题知圆心C (a 2＋2，0)，双曲线的渐近线方程为2x ±ay ＝0，圆心C 到渐近线的距离d ＝2·a 2＋22＋a 2＝2，即圆C 的半径为 2.由直线l 被圆C截得的弦长为2及圆C 的半径为2可知，圆心C 到直线 l 的距离为1，即a 2＋21＋3＝1，解得a ＝ 2. 答案28．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________．解析 设切线方程为x a ＋y b ＝1，则|ab |a 2＋b2＝1，于是有a 2＋b 2＝a 2b 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，得a 2＋b 2≥4，从而线段AB 长度为a 2＋b 2≥2，其最小值为2.答案 29．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．解析 由题意知本题等价于求过圆M ：(x －1)2＋(y －3)2＝1的圆心M (1,3)与圆O ：x 2＋y 2＝2相切的切线的斜率k .设切线l ：y －3＝k (x －1)，l ：kx －y ＋3－k ＝0，由题意知2＝|3－k |1＋k 2，k ＝－7或k ＝1. 答案 －7或110．(2012·南通期末调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与F A →同向，则双曲线离心率e 的大小为________．解析 设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d ，由勾股定理，得(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2.解得m ＝4d .设∠AOF ＝α，则cos 2α＝OA OB ＝35.cos α＝1＋cos 2α2＝25，所以，离心率e ＝1cos α＝52. 答案 5211．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为________．解析 圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k ＝±2，又k >0，所以k ＝2. 答案 212．双曲线C ：x 2－y 2＝1，若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C的两条渐近线交于P ，Q 两点，且P A →＝2AQ →，则直线l 的斜率为________． 解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.可以求得A (1,0)，设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，分别与渐近线方程联立方程组，可以求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫kk ＋1，－k k ＋1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，利用条件P A →＝2AQ →，可以求得k ＝±3. 答案 ±313．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________．解析 设点A ，B 的坐标分别为A (a,0)，B (0，b )(a ，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b2＝2，整理得2(a 2＋b 2)＝ab ，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ，即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝014．设双曲线x 24－y 2＝1的右焦点为F ，点P 1、P 2、…、P n 是其右上方一段(2≤x ≤25，y ≥0)上的点，线段|P k F |的长度为a k (k ＝1,2,3，…，n )．若数列{a n }成等差数列且公差d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，则n 的最大取值为________．解析 数列{a n }递增，当a 1最小，a n 最大，且公差d 充分小时，数列项数较大．所以取a 1＝5－2，a n ＝3，算得d ＝5－5n －1(n ＞1)，又d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，所以55－4＜n ＜26－55，又n ∈N *，故n 的最大取值为14. 答案 14 二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，由题知直线l 的斜率与直线OA 的斜率相等，故可设直线l 的方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．16．(本小题满分14分)(2013·苏北四市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，一条准线l ：x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ ＝6，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．解(1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1. (2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )， 则圆D 的方程：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝1＋t 24，直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24－⎝⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2.∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②设P (x 0，y 0)，由①知：⎩⎪⎨⎪⎧(x 0－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 242x 0＋ty 0－2＝0，即：⎩⎨⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝02x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得：x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求圆Q 的面积； (2)求k 的取值范围；(3)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)圆的方程可化为(x －6)2＋y 2＝4，可得圆心为Q (6，0)，半径为2，故圆的面积为4π.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝4交于两个不同的点A ，B 等价于|6k ＋2|k 2＋1＜2，化简得(－8k 2－6k )＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，(x －6)2＋y 2＝4 得(k 2＋1)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，解此方程得x 1,2＝－4(k －3)±16(k －3)2－144(k 2＋1)22(k 2＋1).则x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2，① 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.②而P (0,2)，Q (6,0)，PQ→＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将①②代入上式，解得k ＝－34.由(2)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以坐标原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T . 求证：点T 在椭圆C 上．(1)解 由题意知，椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝|2|2＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明 由题意可设点M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设点T 的坐标为(x ，y )，联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为点M ，N 在椭圆C 上，故x 208＋y 22＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12(3y －42y －3)2＝1.整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．19．(本小题满分16分)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两条切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2) 证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1.消去y ，得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理，得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20.∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5.∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.20．(本小题满分16分)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若OF 1→＝2F 1A →(其中O 为坐标原点)． (1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE →·PF→的最大值．解 (1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1()a 2－2，0， 由OF 1→＝2F 1A →，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为M ：x 26＋y 22＝1. (2)设圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的圆心为N ，则PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF→－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP →2－1.从而求PE →·PF →的最大值转化为求NP →2的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x 206＋y 22＝1，即x 20＝6－3y 20，因为点N (0,2)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12. 因为y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－1时，NP →2取得最大值12.所以PE →·PF →的最大值为11.。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练训练4
常考问题4 导数的综合应用(建议用时：50分钟)1．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析 由条件y ′＝－4x 2＋b ，∴Δ＝0＋16b ＞0，得b ＞0.答案 (－2，－1)2．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )>0，得x >4或x <0.∴f (x )在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞ 3．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R)的导函数y＝f ′(x )图象，则f (－1)等于________．解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，则②，④排除．若图象不过原点，则f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若图象过原点，则f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13. 答案 －13或534．(2013·南通调研)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析 因为y ′＝12x －12(x ＋1)＋x ＝3x 2＋12x ≥234＝3，(当且仅当x ＝13时，“＝”成立)设点P (x ，y )(x ＞0)，则在点P 处的切线的斜率k ≥3，所以tanθ≥3，又θ∈[0，π)，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 5．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为______．解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.答案 (0，＋∞)6．(2013·温州模拟)关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以{ －a ＞0，－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4,0)7．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是______．解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x .由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.答案 (0,1)∪(2,3)8．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是______．解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 9．(2013·徐州质检)现有一张长为80 cm ，宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x (cm)，高为y (cm)，体积为V (cm 3)(1) 求出x 与 y 的关系式；(2) 求该铁皮盒体积V 的最大值．解 (1)由题意得x 2＋4xy ＝4 800，即y ＝4 800－x 24x，0＜x ＜60. (2)铁皮盒体积V (x )＝x 2y ＝x 2×4 800－x 24x ＝－14x 3＋1 200x ，V ′(x )＝－34x 2＋1200，令V ′(x )＝0，得x ＝40，因为x ∈(0,40)，V ′(x )＞0，V (x )是增函数；x∈(40,60)，V ′(x )＜0，V (x )是减函数，所以V (x )＝－14x 3＋1 200x ，在x ＝40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm 3.所以该铁皮盒体积V 的最大值是32 000 cm 3.10．(2013·东北三校联考)已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点．(1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围．解 f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(1)f ′(x )＝a 1＋x＋2x －10，又f ′(3)＝a 4＋6－10＝0，∴a＝16.经检验此时x＝3为f(x)的极值点，故a＝16.(2)由(1)知f′(x)＝2(x－1)(x－3)x＋1.当－1<x<1或x>3时，f′(x)>0；当1<x<3时，f′(x)<0.∴f(x)的单调增区间为(－1,1)，(3，＋∞)，单调减区间为(1,3)．(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，极小值为f(3)＝32ln 2－21.因为f(16)>162－10×16>16ln 2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)，所以根据函数f(x)的大致图象可判断，在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)内，直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)．因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.(1)解f′(x)＝e x－1x＋m，由x＝0是f(x)的极值点，得f′(0)＝0，所以m＝1，于是f(x)＝e x－ln(x＋1)，定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝e x－1x＋1，函数f′(x)＝e x－1x＋1在(－1，＋∞)上单递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0，当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0，得e x0＝1x0＋2，即ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2>0.综上，当m≤2时，f(x)>0. 备课札记：。
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常考问题9 数列的综合应用(建议用时：50分钟)1．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋ n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n 为________．解析 a n ＝1n ＋ n ＋1＝－( n －n ＋1)，前n 项和S n ＝－[(1－2)＋(2－3)]＋…＋(n －n ＋1)]＝ n ＋1－1＝24，故n ＝624.答案 6242．在等差数列{a n }中，a 1＝142，d ＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{b n }，则此数列的前n 项和S n 取得最大值时n 的值是________． 解析 因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{b n }，所以新数列的首项为b 1＝a 1＝142，公差为d ′＝－2×3＝－6，则b n ＝142＋(n －1)(－6)．令b n ≥0，解得n ≤2423，因为n ∈N *，所以数列{b n }的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{b n }的前24项和取得最大值． 答案 243．(2013·盐城模拟)已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．解析 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝⎛⎭⎪⎫24m n ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32. 答案 324．在正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为________． 解析 在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35，即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25.所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n－1，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝a n5n ，故a n ＝5n －3×2n －1.答案 a n ＝5n －3×2n －15．(2013·聊城模拟)已知首项为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 006和a 1 007是方程x 2－2 012x －2 011＝0的两根，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是________．解析 由题意知，a 1 006＋a 1 007＝2 012>0，a 1 006·a 1 007＝－2 011<0，又因首项为正等差数列，所以a 1 006>0，a 1 007<0,2a 1 006＝a 1＋a 2 011>0,2a 1 007＝a 1＋a 2 013<0，即S 2 011>0，S 2 013<0，又因S n ＝n (a 1＋a n )2，n 的最大值为2 011.答案 2 0116．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为________．解析 不妨设x 1<x 2，x 3<x 4.由题意，可得x 1，x 2的值分别为π2，3π2，代入检验． 若m ＝－12，则x 3，x 4的值分别为2π3，4π3，因为4π3－2π3≠3π2－π3，显然这四个数不能构成等差数列；若m ＝12，则x 3，x 4的值分别为π3，5π3，因为π2－π3≠3π2－π2，故这四个数不能构成等差数列；若m ＝32，则x 3，x 4的值分别为π6，11π6，因为11π6－3π2≠3π2－π2，显然这四个数不能构成等差数列；若m ＝－32，则x 3，x 4的值分别为5π6，7π6，显然这四个数能构成等差数列，公差为π3. 答案 －327．(2013·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析 左边为平方项的(－1)n ＋1倍的和，右边为(1＋2＋3＋…＋n )的(－1)n ＋1 倍． 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)28．(2013·临沂模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________. 解析 由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n (c 1＋c n )2，前2n 项和为S 2n ＝2n (c 1＋c 2n )2，所以S 2n S n ＝2n (c 1＋c 2n )2n (c 1＋c n )2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－dnd.因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n为非零常数，所以d ＝4. 答案 49．(2013·江西卷)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564.(1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n . (2)证明 由a n ＝2n ，得 b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2 T n ＝116⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－152＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564. 10．已知函数f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }是各项均不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上；数列{b n }满足b 1＝2，b n ≠1，且(b n －b n ＋1)·g (b n )＝f (b n )(n ∈N ＋)． (1)求a n 并证明数列{b n －1}是等比数列； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n4n －1·(b n －1)，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <3.(1)解 因为点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上，所以a 2n ＝S 2n －1.令n ＝1，n ＝2，得⎩⎨⎧ a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎨⎧a 21＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2(d ＝－1舍去)，则a n ＝2n －1. 由(b n －b n ＋1)·g (b n )＝f (b n )， 得4(b n －b n ＋1)(b n －1)＝(b n －1)2.由题意b n ≠1，所以4(b n －b n ＋1)＝b n －1， 即3(b n －1)＝4(b n ＋1－1)，所以b n ＋1－1b n －1＝34.所以数列{b n －1}是以1为首项，公比为34的等比数列．(2)证明 由(1)，得b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.c n ＝a n4n －1·(b n －1)＝2n －14n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＝2n －13n －1.令T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋532＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，②①－②得，23T n ＝130＋231＋232＋233＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n .所以T n ＝3－n ＋13n －1. 所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝3－n ＋13n －1<3.11．设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)因为a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1＝2×1a n －1＋33×1a n －1＝a n －1＋23(n ∈N *，且n ≥2)， 所以a n －a n －1＝23.因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列． 所以a n ＝2n ＋13.(2)①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2m (a 2m －1－a 2m ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝－43×a 2＋a 2m2×m ＝－19(8m 2＋12m )＝－19(2n 2＋6n )． ②当n ＝2m －1，m ∈N *时，T n ＝T 2m －1＝T 2m －(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝－19(8m 2＋12m )＋19(16m 2＋16m ＋3) ＝19(8m 2＋4m ＋3)＝19(2n 2＋6n ＋7)． 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－19(2n 2＋6n )，n 为正偶数，19(2n 2＋6n ＋7)，n 为正奇数，要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19(2n 2＋6n )≥tn 2，(n 为正偶数)恒成立．只要使－19⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋6n ≥t ，对n ∈N *恒成立，故实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－59.。
2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习(审题+解题+回扣+专练)word版第一篇
审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提．著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”为此波利亚总结出一张“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段．其中第一步弄清问题就是我们常说的审题．审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难．一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能．例1已知0≤α<β<γ<2π，且sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求β－α.审题路线图条件sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0根据审题路线图，可以规范地将题目解出．解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ， ①cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， 故cos(β－α)＝－12.由0≤α<β<γ<2π，知0<β－α<2π，所以β－α＝2π3或β－α＝4π3. 同理可得cos(γ－α)＝－12，0<γ－α<2π，所以γ－α＝2π3或γ－α＝4π3.由于β<γ，得β－α<γ－α，所以β－α取小值，γ－α取大值，即β－α＝2π3.设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于 ( )A.2525B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.故选A.二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．例2 已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，l 1与l 2相交于点D . (1)求点D 的纵坐标； (2)证明：直线AB 过定点． 审题路线图通过审视结论，我们画出了审题路线图，根据审题路线图，即可规范求解． (1)解 如图，设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． ∵l 1，l 2分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线， ∴直线l 1的斜率k 1＝y ′|x ＝x 1＝x 1p ，直线l 2的斜率k 2＝y ′|x ＝x 2＝x 2p .∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，得x 1x 2＝－p 2.∵A ，B 是抛物线C 上的点，∴y 1＝x 212p ，y 2＝x 222p.∴直线l 1的方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)，直线l 2的方程为y －x 222p ＝x 2p(x －x 2)．由⎩⎨⎧y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)y －x 222p ＝x2p (x －x 2)，解得⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝－p2.∴点D 的纵坐标为－p2.(2)证明 ∵F 为抛物线C 的焦点，∴F ⎝⎛⎭⎫0，p 2. ∴AF →＝⎝⎛⎭⎫－x 1，p 2－x 212p ＝⎝⎛⎭⎫－x 1，p 2－x 212p ， BF →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，p 2－x 222p ＝⎝⎛⎭⎫－x 2，p 2－x 222p .∵p 2－x 212p p 2－x 222p ＝p 2－x 21p 2－x 22＝－x 1x 2－x 21－x 1x 2－x 22＝x 1x 2， ∴AF →∥BF →，即直线AB 过定点F.已知椭圆x 22＋y 24＝1的上、下焦点分别为F 1、F 2，点P 在第一象限且是椭圆上一点，并满足PF 1→·PF 2→＝1，过P 作倾斜角互补的两条直线P A 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．(1)求证：直线AB 的斜率为定值；(2)求△P AB 面积的最大值．(1)证明 由条件可得F 1(0，2)，F 2(0，－2)， 设P (x 0，y 0) (x 0>0，y 0>0)，则PF 1→＝(－x 0，2－y 0)，PF 2→＝(－x 0，－2－y 0)，所以PF 1→·PF 2→＝x 20－(2－y 20)＝1， 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 202＋y 204＝1，所以x 20＝4－y 22，从而4－y 202－(2－y 20)＝1，得y 0＝ 2.则点P 的坐标为(1，2)．因为直线P A 、PB 的斜率必存在，故不妨设直线PB 的斜率为k (k >0)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)x 22＋y 24＝1，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0， 设B (x B ，y B )，A (x A ，y A )，则1＋x B ＝2k (k －2)2＋k 2，x B ＝2k (k －2)2＋k 2－1＝k 2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k 2，则x A －x B ＝42k2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k2＋k 2.所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y Bx A －x B＝2为定值． (2)解 由(1)可设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1， 消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得m 2<8， 即－22<m <22，又点P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3， 则S △P AB ＝12|AB |d ＝121＋2|x A －x B |d＝12⎝⎛⎭⎫4－12m 2×3×|m |3＝18m 2(－m 2＋8)≤18⎝⎛⎭⎫m 2－m 2＋822＝ 2.当且仅当m ＝±2时取等号． 所以△P AB 面积的最大值为 2. 三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键． 例3 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中 x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______． 审题路线图 〈观察方向一〉〈观察方向二〉〈观察方向三〉解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)， 即B (－12，32)．设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)． ∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝⎛⎭⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎨⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎨⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值．答案 2点评 从上面三种审题角度看，认真审图，抓住图形特征，解题又快又准，所以观察方向三值得考虑．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点， 点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ → 的最大值为________． 答案 4解析 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →， ∴B ，P ，A 三点共线，∴BP →＝tBA →， 又0≤t ≤1，∴P 在线段BA 上运动． ∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →|≤2×2＝4， 即当P ，Q 重合且位于A 或B 处时，OP →·OQ →取得最大值4. 四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．例4 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是________． 审题路线图 〈观察方向一〉〈观察方向二〉解析 由b a ＋ab ＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B 切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos Bsin B ) ＝sin C cos C ·sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B . 根据正、余弦定理得 sin 2Ccos C sin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案 4点评 观察方向二从数式的特点出发，选择特殊化方法，这种解题方案往往会达到令人非常满意的效果．已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A ＝θ，若cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →，则m ＝________(用θ的三角函数表示)． 答案 sin θ解析 方法一 设AB ＝c ，AC ＝b ，AO ＝R ， 将等式cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →两边平方，得cos 2B ·⎝⎛⎭⎫c sin C 2＋cos 2C ·⎝⎛⎭⎫b sin B 2＋2cos B cos C ·c sin C ·b sin B·cos θ＝4m 2R 2. 设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得 cos 2B ＋cos 2C ＋2cos B cos C cos θ＝m 2.降幂，得1＋12cos 2B ＋12cos 2C ＋2cos B cos C cos θ＝m 2，则m 2＝1＋12cos[(B ＋C )＋(B －C )]＋12cos[(B ＋C )－(B －C )]＋2cos B cos C cos θ， 将上式右边展开并化简，得m 2＝1＋cos θcos(B ＋C )＝1－cos 2θ＝sin 2θ. 注意到m >0，可知m ＝sin θ.方法二 设AB ＝c ，AC ＝b ，AO ＝R ， ∠BAO ＝α，∠CAO ＝β. 等式cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →两边同时乘以AO →，得cos B sin C ·cR cos α＋cos Csin B·bR cos β＝2mR 2，由正弦定理及cos α＝c2R＝sin C ，cos β＝b2R ＝sin B ，得cos B sin C ＋cos C sin B ＝m ，所以m ＝sin(C ＋B )＝sin θ.方法三 设A ＝B ＝C ＝θ＝60°，AB ＝AC ＝1， 则AB →＋AC →＝23mAO →，上式两边平方，得1＋1＋1＝4m 2，注意到m >0， 所以m ＝32＝sin 60°＝sin θ. 五审图表、数据找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．例5 (2012·湖南)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 审题路线图解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得 P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14.因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务 的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：(1)求出表中的M 、p (2)若该校高一年级有学生360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率．解 (1)由区间[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M＝0.25，所以M ＝40. 因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40， 解得m ＝3，p ＝m M ＝340，n ＝2540＝0.625.因为a 是区间[15,20)内的频率组距，所以a ＝n5＝0.125.(2)参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数约为360×0.625＝225.(3)在样本中，在区间[20,25)内的人数为3，可分别记为A ，B ，C ，在区间[25,30)内的人数为2，可分别记为a ，b .从该5名同学中取出2人的取法有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共10种，至多一人在区间[20,25)内的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共7种，所以至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为710.六审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性． 例6 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝14a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a n ；(2)令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n， n 为奇数，b n 2， n 为偶数，c n ＝b 2n ＋4 (n ∈N *)，求{c n }的前n 项和T n .审题路线图解 (1)a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1⇒14a 21－12a 1＝0， 因为a 1>0，故a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1， 所以14(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即{a n }为等差数列， 所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)c 1＝b 6＝b 3＝a 3＝6，c 2＝b 8＝b 4＝b 2＝b 1＝a 1＝2， n ≥3时，c n ＝b 2n ＋4＝b 2n －1＋2＝b 2n －2＋1＝a 2n －2＋1＝2n －1＋2，此时，T n ＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2)＝2n ＋2n ；当n ＝2时，T 2＝22＋2×2＝8＝c 1＋c 2.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ∈N *.点评 从审题路线图可以看出，细节对思维的方向不断地修正着．已知数列{a n }的首项a 1＝t >0，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ＝1,2，….(1)若t ＝35，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)若a n ＋1>a n 对一切n ∈N *都成立，求t 的取值范围．(1)证明 由题意知a n >0，1a n ＋1＝2a n ＋13a n ＝13a n ＋23，1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1， 由于a 1＝t ＝35，所以1a 1－1＝23.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列，1a n －1＝23⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n ， 所以a n ＝3n 3n ＋2.(2)解 由(1)知1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n－1， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的通项为1a n －1＝⎝⎛⎭⎫1t －1⎝⎛⎭⎫13n －1， 由a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1知a n >0，又a n ＋1>a n ，得1a n ＋1<1a n.即⎝⎛⎭⎫1t －1⎝⎛⎭⎫13n ＋1<⎝⎛⎭⎫1t －1⎝⎛⎭⎫13n －1＋1， 得1t －1>0，又t >0， 所以t 的取值范围是(0,1)．1． 解题先审题，养成认真审题，缜密思考的良好习惯．2． 审题要慢要细，要谨慎思考：(1)全部的条件和结论；(2)必要的图形和图表；(3)数学式子和数学符号．要善于捕捉题目中的有效信息，要有较强的洞察力和显化隐含条件的能力．要制订和用好审题路线图．3．审题路线图：一审条件挖隐含→二审结论会转换→三审图形抓特点→四审结构定方案→五审图表、数据找规律→六审细节更完善.。
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常考问题12 直线与圆(建议用时：50分钟)1．(2013·镇江期中)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．解析 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，所以，点(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，所以，a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142．(2013·南师附中模拟)已知直线x －y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且向量OA →、OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为______．解析 ∵|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴点O 到直线AB 的距离为22，即|0－0＋a |2＝22，∴a ＝±1.答案 ±13．(2013·青岛质检)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为________．解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r ，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 答案 (x －1)2＋y 2＝14．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．解析 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为C (3,4)，半径为r ＝5，则过点(3,5)的最长弦AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝2r 2－12＝46，且有AC ⊥BD ，则四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝20 6.答案 20 65．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a >0)可知圆心为(－a,0)，半径为6＋a 2，两圆公共弦所在方程为(x 2＋y 2＋2ax －6)－(x 2＋y 2)＝－4，即x ＝1a ，所以有()6＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a 2＝()32解得a ＝1或－1(舍去)． 答案 16．(2012·南师附中模拟)在平面直角坐标系中，设直线l ：kx －y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.解析 如图所示，OM →＝OA →＋OB →，则四边形OAMB 是锐角为60°的菱形，此时，点O 到AB 距离为1.由21＋k2＝1，解出k ＝±1. 答案 k ＝±17．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．解析 由题意知，ab ＝12，x 半径r ＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，故面积的最小值为π. 答案 π8．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最小值为________．解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又|OA |＝|OB |＝1，根据勾股定理得|AB |＝2， ∴|OC |＝12|AB |＝22. ∴圆心到直线的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离d ＝(a －0)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数．∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝(2－1)2＝2－1. 答案2－19．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.10．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．(1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)解 ∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝2 5.所以|PB |＋|PQ |的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，则直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－23.11．(2012·南师附中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P (2,3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．解 (1)∵双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，4a 2＋9b2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8. 设N (8，t )(t ＞0)． ∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2.由点M 在椭圆上，得t ＝6. 故所求的点M 的坐标为M (2,3)．所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3.cos ∠AMB ＝MA →·MB →|MA →|·|MB→|＝－336＋9·4＋9＝－6565.(3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A 、F 、N 三点坐标代入，得⎩⎨⎧16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－t －72t ，F ＝－8.圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0. 设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1,2＝t ＋72t ±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322.由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t ＝18， 此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.。
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常考问题5 三角函数的图象与性质(建议用时：50分钟)1．(2013·苏北四市模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －792．(2013·浙江卷改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的______条件．解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2. ∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件． 答案 必要不充分3．(2013·苏锡常镇模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案 －454．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为________．解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0知⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧ω>0，2πω≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2.答案 25．(2013·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又m >0，∴m 的最小值为π6. 答案 π66．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 由题意知f (x )的一条对称轴为直线x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 327．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是______．解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，38．给出下列说法：①正切函数在定义域内是增函数；②函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－34π，k π＋π4(k ∈Z )；③函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π12＋k π，k ∈Z ； ④函数y ＝tan x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上的最大值为3＋1，最小值为0.其中正确说法的序号是________．解析 ①正切函数在定义域内不具有单调性，故错误；②由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－34π，k π＋π4(k ∈Z )，故正确； ③由2x ＋π3≠π2＋k π(k ∈Z )，解得x ≠π12＋k π2(k ∈Z )，故错误；④因为函数y ＝tan x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上单调递增，所以x ＝π3时取得最大值为3＋1，x ＝－π4时取得最小值为0，故正确，所以正确说法是②④. 答案 ②④9．(2013·西安五校二次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω， ∴ω＝π4，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.由π4×1＋φ＝2k π＋π2⇒φ＝2k π＋π4， 又|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4(x ＋2)＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23， ∴π4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π6，∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y 的最大值为6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y 的最小值为－2 2.10．(2013·苏北四市调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)在△ABC 中，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，求sinB ＋sinC 的最大值．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sin x cos x ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，因为0＜A ＜π，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3.因为0＜B ＜2π3，所以π3＜B ＋π3＜π，0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3≤1，所以sin B ＋sin C 的最大值为 3.11．(2013·湖南卷)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335.求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ， g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35， 又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15. (2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1. 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }． 备课札记：。
2014高考数学二轮专题复习Word版 专题提升训练15
常考问题15 空间中的平行与垂直(建议用时：50分钟)1．(2013·无锡模拟)对于直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β.其中正确命题的序号是________．解析 n 有可能平行于α或在α内，所以①不正确；n 有可能在α内，所以②不正确；α可以与γ相交，所以③不正确．答案 ④2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：①若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m ；②若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；③若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ；④若l ∥α，m ∥α，则l ∥m .则其中正确命题的序号是________．解析 根据线面垂直的判定定理、性质定理可知①②正确．答案 ①②3．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B -B 1EF 的体积为________．解析 VB -B 1EF ＝VE -B 1FB ＝13S △B 1BF ·EB ＝13×12×2×1×1＝13.答案 134．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a ⊥b 的条件是________(填序号)．①a ⊂α，b ∥β，α⊥β；②a ⊥α，b ⊥β，α⊥β；③a ⊂α，b ⊥β，α∥β；④a ⊥α，b ∥β，α∥β.解析 由①a ⊂α，b ∥β，α⊥β可能得到两直线垂直，平行或异面，②③④均能得到两直线垂直，故填写②③④.答案 ②③④5．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF的长度等于________．解析 ∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，又∵E 是AD 的中点，∴F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝12AC ＝12×22＝2.答案 26．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号______(写出所有真命题的序号)．解析 ①②为课本上的结论，是真命题；③α和β不垂直时，α内也有一组平行直线垂直于l ；④l 与α内的两条直线垂直不能得出l 与α垂直，如α内的两条直线平行时，则不能推出l ⊥α.答案 ①②7．(2011·泰州模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在AB 1，BC 1上(M ，N 不与B 1，C 1重合)，且AM ＝BN ，那么①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1异面，以上4个结论中，正确结论的序号是________．解析 过M 作MP ∥AB 交BB 1于P ，连接NP ，则平面MNP ∥平面A 1C 1，所以MN ∥平面A 1B 1C 1D 1，又AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥MN .当M 与B 1重合，N 与C 1重合时，则A 1C 1与MN 相交，所以①③正确．答案 ①③8．(2011·苏中四市调研)在正三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，下列结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中正确结论的序号是________．解析 如右图，设P 在面ABC 内射影为O ，则O 为正△ABC 的中心．①可证AC ⊥平面PBO ，所以AC ⊥PB ；②AC ∥DE ，可得AC ∥面PDE ；③AB 与DE 不垂直．答案 ①②9．(2013·苏州调研)如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC .(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2)点F 在BE 上．若DE ∥平面ACF ，求BF BE 的值．(1)证明 因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC .因为平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCE .因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB .因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，所以CE ⊥平面ABE .因为CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE .(2)解 连接BD 交AC 于点O ，连接OF .因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，所以DE ∥OF .又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，所以F 为BE 中点，即BF BE ＝12.10．(2012·泰州学情调研)如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：(1)平面BDO ⊥平面ACO ；(2)EF ∥平面OCD .证明 (1)∵OA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OA⊥BD ，∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又OA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面OAC ，又∵BD ⊂平面OBD ，∴平面BDO ⊥平面ACO .(2)取OD 中点M ，连接EM ，CM ，则ME ∥AD ，ME ＝12AD ，∵ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵F 为BC 的中点，∴CF ∥AD ，CF ＝12AD ， ∴ME ∥CF ，ME ＝CF .∴四边形EFCM 是平行四边行，∴EF ∥CM ，又∵EF ⊄平面OCD ，CM ⊂平面OCD .∴EF ∥平面OCD .11．(2013·盐城模拟)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝4，CB ＝2，AA 1＝2，∠ACB ＝60°，E 、F分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)证明：平面AEB ⊥平面BB 1C 1C ；(2)证明：C 1F ∥平面ABE ；(3)设P 是BE 的中点，求三棱锥P -B 1C 1F 的体积．(1)证明 在△ABC 中，∵AC ＝2BC ＝4，∠ACB ＝60°，由余弦定理得： ∴AB ＝23，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴AB ⊥BC ，由已知AB ⊥BB 1，又BB 1∩BC ＝B ，∴AB ⊥面BB 1C 1C ，又∵AB ⊂面ABE ，∴平面ABE ⊥平面BB 1C 1C .(2)证明 取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM在△ABC ，FM ∥AB ，而FM ⊄平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，∴直线FM ∥平面ABE在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点，∴C 1E 綉AM ，四边形AMC 1B 是平面四边形，∴C 1M ∥AE而C 1M ⊄平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，∴直线C 1M ∥ABE又∵C 1M ∩FM ＝M ，∴平面ABE ∥平面FMC 1，而CF 1⊂平面FMC 1， 故C 1F ∥平面AEB .(3)解 取B 1C 1的中点H ，连接EH ，则EH ∥A 1B 1，所以EH ∥AB 且EH ＝12AB ＝3，由(1)得AB ⊥面BB 1C 1C ，∴EH ⊥面BB 1C 1C ，∵P 是BE 的中点，∴VP -B 1C 1F ＝12VE -B 1C 1F ＝12×13S △B 1C 1F ·EH ＝ 3. 备课札记：。
2014高考数学二轮专题复习Word版 专题提升训练6
常考问题6三角恒等变换与解三角形(建议用时：50分钟)1．(2013·济宁二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于________．解析∵S＝12ac sin B＝2，∴12×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4 2.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°.∴b2＝25，b＝5.答案 52．(2013·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是________三角形．解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案等腰或直角3．(2013·浙江卷改编)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于________．解析∵sin α＋2cos α＝10 2，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.答案－3 44．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于________．解析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．由b sin B ＝c sin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725.答案 7255．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为________．解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sinβ”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.答案 63656．(2013·衡水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin A ，求b ＝______.解析 在△ABC 中，sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简并整理得2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，则4b ＝b 2，解得b ＝4或b ＝0(舍)．答案 47．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________. 解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12.答案 －128．(2013·苏北四市模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则b c ＋c b 的取值范围是________．解析 因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝12bc sin A ，解得sin A ＝a 2bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b －a 2bc ＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b －sin A ， 得b c ＋c b ＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)，所以由基本不等式和辅助角公式得b c ＋c b 的取值范围是[2，5]．答案 [2，5]9．(2010·江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？解 (1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124. 因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α tan β＝h d ＋H (H －h )d ≤h 2H (H －h )，当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π2，所以当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是555m.10．(2012·江苏卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值． (1)证明 因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0，所以tan B ＝3tan A . (2)解 因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A＝－2，解得tan A ＝1或－13， 因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由已知及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12ac sin B＝24ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos π4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练阶段检测卷3
阶段检测卷(三)一、填空题(每小题5分，共70分)1．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝________.解析 由a 3a 11＝16，得a 27＝16，故a 7＝4＝a 5×22⇒a 5＝1.答案 12．(2013·湖北卷改编)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于________．解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}． ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4，或x <2} ＝{x |0≤x <2，或x >4}． 答案 {x |0≤x <2，或x >4}3．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析 由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2， ①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q 3＋2， ②②－①得a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q (q 2－1)，即2q 2－q －3＝0.解得q ＝32或q ＝－1(舍)． 答案 324．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 解 由题意S 9＝S 4，得a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，∴5a 7＝0，即a 7＝0，又a k ＋a 4＝0＝2a 7，a 10＋a 4＝2a 7，∴k ＝10. 答案 105．在等差数列{a n }中，a 8＝12a 11＋6，则数列{a n }前9项的和S 9等于________． 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋7d ＝12(a 1＋10d )＋6，即a 1＋4d ＝a 5＝12，∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝108.答案 1086．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________．解析 a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号． 答案 47．若－9，a ，－1成等差数列，－9，m ，b ，n ，－1成等比数列，则ab ＝________. 解析 由已知得a ＝－9－12＝－5，b 2＝(－9)×(－1)＝9且b <0，∴b ＝－3，∴ab ＝(－5)×(－3)＝15. 答案 158．已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x ，当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于________．解析 由等比数列的性质，得ad ＝bc ， 又⎩⎪⎨⎪⎧f ′(b )＝1b ＋2－1＝0，f (b )＝ln (b ＋2)－b ＝c ，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝1，故ad ＝bc ＝－1.答案 －19．若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________． 解析 因为4x ＋4y ＝(2x )2＋(2y )2＝t 2－2×2x ×2y ，所以t 2－2×2x ×2y ＝2t ，即2×2x×2y＝t 2－2t ，又0＜2×2x×2y≤2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2y22＝12t 2，所以0＜t 2－2t ≤12t 2，解不等式组得2＜t ≤4. 答案 2＜t ≤410．S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3…a n ，则使T n取最小值的n 值为________．解析 设等比数列的公比为q ，故由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故T n T n －1＝a n ＝120×2n －1，易得当n ≤5时，T n T n －1<1，即T n <T n －1；当n ≥6时，T n >T n －1，据此数列单调性可得T 5为最小值．答案 511．(2013·广东卷)给定区域D ：⎩⎨⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 处取得最小值点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线． 答案 612．(2013·南京师大附中模拟)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2,3a 5＝b 3，若存在常数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，则u ＋v ＝________.解析 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则⎩⎨⎧3＋d ＝q ，3(3＋4d )＝q 2，解得d ＝6，q ＝9，所以a n ＝6n －3，b n ＝9n －1,6n －3＝3n log u 9＋v －3log u 9对任意正整数n 恒成立，所以⎩⎨⎧log u 9＝2，v －3log u 9＝－3，解得u ＝v ＝3，故u ＋v ＝6. 答案 613．(2012·宿迁联考)第30届奥运会在伦敦举行．设数列a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·a 3…a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为________．解析 因为a 1·a 2·a 3…a k ＝log 23×log 34×…×log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，当log 2(k ＋2)＝m (m ∈Z )时，k ＝2m －2∈[1,2 012](m ∈Z )，m ＝2,3,4，…，10，所以在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2) ＝(22＋23＋…＋210)－18＝211－22＝2 026. 答案 2 02614．(2013·盐城模拟)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________． 解析 由题意可知a n ＝4n －3，且(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1＜0，所以{S 2n ＋1－S n }是递减数列，故(S 2n ＋1－S n )max ＝S 3－S 1＝1a 2＋1a 3＝1445≤m 15，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5. 答案 5二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 代入解得k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 3a 2n4，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n ·b n ＋2的前n 项和为T n ，证明：T n <316. (1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，解得a 1＝23.当n ≥2时，∵S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，∴S n －S n －1＝12(a n －1－a n )， 即a n ＝12(a n －1－a n )．∴a n ＝13a n －1.∴{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×3－n .(2)证明 ∵b n ＝log 3a 2n4＝2 log 33－n ＝－2n . ∴1b n ·b n ＋2＝1(－2n )×[－2(n ＋2)]＝14n (n ＋2)＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝181＋12－1n ＋1－1n ＋2＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2<316. 17．(本小题满分14分)(2013·金华十校模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－14x 2＋cx ＋d (a ，c ，d ∈R )满足f (0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x )≥0在R 上恒成立． (1)求a ，c ，d 的值； (2)若h (x )＝34x 2－bx ＋b 2－14， 解不等式f ′(x )＋h (x )<0.解 (1)∵f (0)＝0，∴d ＝0，∵f ′(x )＝ax 2－12x ＋c .又f ′(1)＝0，∴a ＋c ＝12.∵f ′(x )≥0在R 上恒成立，即ax 2－12x ＋c ≥0恒成立，∴ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立，显然当a ＝0时，上式不恒成立．∴a ≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－12a ＋116≤0，解得a ＝14，c ＝14.(2)由(1)知f ′(x )＝14x 2－12x ＋14.由f ′(x )＋h (x )<0，得14x 2－12x ＋14＋34x 2－bx ＋b 2－14<0，即x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12x ＋b 2<0，即(x －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，当b >12时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ，当b <12时，解集为⎝⎛⎭⎪⎫b ，12，当b ＝12时，解集为∅. 18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．(1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．(1)证明 易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R ，2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1， 且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0.即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.(2)解 由(1)知c ≥|b |.当c ＞|b |时，有M ≥f (c )－f (b )c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2bb ＋c .令t ＝b c ，则－1＜t ＜1，c ＋2b b ＋c ＝2－11＋t .而函数g (t )＝2－11＋t(－1＜t ＜1)的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32.因此，当c ＞|b |时，M 的取值集合为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.当c ＝|b |时，由(1)知b ＝±2，c ＝2.此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c )－f (b )≤32(c 2－b 2)恒成立． 综上所述，M 的最小值为32.19．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式a n 和T n ；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，验证当n ＝1时，也成立；所以a n ＝2n －1.b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝1212n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1.(2)由(1)得λ<(2n ＋1)[n ＋(－1)n ]n ，当n 为奇数时，λ<(2n ＋1)(n －1)n ＝2n －1n －1恒成立，因为当n 为奇数时，2n －1n －1单调递增， 所以当n ＝1时，2n －1n －1取得最小值为0， 此时，λ<0. 当n 为偶数时，λ<(2n ＋1)(n ＋1)n ＝2n ＋1n ＋3恒成立，因为当n 为偶数时，2n ＋1n ＋3单调递增， 所以当n ＝2时，2n ＋1n ＋3取得最小值为152. 此时，λ<152.综上所述，对于任意的正整数n ，原不等式恒成立，λ的取值范围是(－∞，0)． 20．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p 的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap ， 从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n ＝1)，a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p n －2(n ≥2).(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1p k －1， a k ＋2＝a p ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ＋1， 若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13； 此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k ， 所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23， 此时a k ＋1＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1， 综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23， d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1. ②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k －1)． 则由S k ＜30，得a ＜103(2k －1)，当k ≥3时，103(2k －1)＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数． 当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ， 则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎢⎡1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ]，因为403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：18二项式定理及数学归纳法
常考问题 18二项式定理及数学概括法(建 用 ： 80 分 )1．求 ： 1＋2＋22＋⋯＋ 25n －1能被 31 整除．5n5n － 12 － 1明1＋2＋⋯＋ 2＝＝ 32n － 1＝ (31＋ 1)n － 1＝ 31n ＋ C 1n ·31n － 1＋⋯＋ C n n － 1·31＋C n n －1 ＝ 31n ＋ C 1n ·31n － 1＋⋯＋ C n n － 1·31 ＝ 31·(31n － 1＋ C 1n ·31n － 2＋⋯＋ C n n －1)，∵ 31n － 1， C 1n ·31n － 2，⋯， C nn－1都是整数，∴原式可被 31 整除．12．已知x ＋3n 的睁开式的二 式系数之和比 (a ＋b)2n 的睁开式的系数之和小x1240，求x ＋3n的睁开式中系数最大的 ．x解 由 意，得 2n ＝22n－240，∴ 22n －2n －240＝0，即 (2n －16)(2n ＋15)＝0.又∵2n ＋15＞0，∴ 2n － 16＝0.x ＋1 1 ∴ n ＝ 4.∴n x ＋43＝3 .xx又∵x ＋14 的睁开式中二 式系数最大的 第3 ，因此，所求3 xx ＋142x) 21 2 ＝6 33 睁开式中系数最大的 第3 ，即 T 3＝C 4(3 x.xx3．已知 (1＋x)n＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x － 1)2＋⋯＋ a n (x － 1)n (n ∈ N *)．(1)求 a 0 及 S n ＝a 1＋a 2＋ a 3＋⋯＋ a n ；(2) 比 S n 与 (n －2)2n ＋ 2n 2的大小，并 明原因． 解 (1)取 x ＝1， a 0＝2n ；取 x＝ 2， a0＋a1＋a2＋ a3＋⋯＋ a n＝3n，因此 S n＝ a1＋a2＋a3＋⋯＋ a n＝3n－2n.(2)要比 S n与 (n－2)2n＋ 2n2的大小，即比： 3n与(n－ 1)2n＋2n2的大小．当 n＝1 ， 3n＞(n－1)2n＋ 2n2；当n＝2,3 ， 3n＜(n－1)2n＋ 2n2；当 n＝4,5 ， 3n＞(n－1)2n＋ 2n2.猜想：当 n≥ 4 ， 3n＞(n－1)2n＋ 2n2，下边用数学法明：由上述程可知， n＝ 4 建立．假当 n＝k(k≥4)建立，即3k＞(k－ 1)2k＋2k2，两同乘以 3，得 3k＋1＞3[(k－ 1)2k＋2k2]＝ k2k＋1＋ 2(k＋ 1)2＋[( k－3)2k＋ 4k2－4k－ 2] ．而 (k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋ 4(k2－k－2)＋6＝(k－ 3)2k＋4(k－2)(k＋ 1)＋6＞ 0.k＋ 1k＋ 12因此 3＞[(k＋1)－1]2＋2(k＋1) .因此当 n≥4 ， 3n＞ (n－1)2n＋2n2建立．上得，当 n＝1 ， S n＞(n－2)2n＋ 2n2；当n＝2,3 ， S n＜(n－2)2n＋ 2n2；当 n≥4，n∈N*， S n＞(n－ 2)2n＋2n2.15141314．(2013 ·州模泰 )已知多式 f(n)＝5n ＋2n ＋3n －30n.(1)求 f(－ 1)及 f(2)的；(2)探究全部整数n， f(n)能否必定是整数？并明你的．解 (1)f(－1)＝0，f(2)＝17(2)先用数学法明，全部正整数n，f(n)是整数．①当 n＝1 ， f(1)＝1，建立．1514131②假当 n＝ k(k≥ 1， k∈N)，建立，即f(k)＝5k ＋2k ＋3k －30k 是整数， 当 n ＝ k ＋ 1 ， f(k ＋1)＝1 ＋1) 5＋1 ＋ 1) 4 ＋1 ＋ 1) 3－ 1 ＋5(k2(k 3(k 30(k 1)＝C 50k 5＋C 15k 4＋C 25k 3＋ C 35k 2＋C 54k ＋C 55＋ 50 41 32 21＋43 1 22 ＋ 34＋C 4 ＋ C 4k＋C 443＋ C 3＋C 33C kkk CC kkk C2＋3－14 3 230(k ＋1)＝f(k)＋k ＋ 4k ＋ 6k＋ 4k ＋1.依据假 f(k)是整数，而 k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1 然是整数．∴ f(k ＋1)是整数，进而当 n ＝k ＋ 1 ， 也建立．由①、②可知 全部正整数 n ，f(n)是整数．(Ⅰ)当 n ＝0 ， f(0)＝ 0 是整数(Ⅱ)当 n 整数 ，令n ＝－ m ， m 是正整数，由 (Ⅰ )知 f(m)是整数，1 514131因此 f(n)＝f(－ m)＝5(－ m) ＋ 2(－m) ＋3(－ m) －30(－m)1 5 1 4 1 3 1 4 ＝－ 5m＋2m － 3m ＋30m ＝－ f(m)＋m 是整数．上， 全部整数 n ，f(n)必定是整数．5．如 ， P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，⋯， P n (x n ，y n )(0＜ y 1 ＜y 2 ＜⋯＜ y n )是曲 C ：y 2＝ 3x(y ≥0)上的 n个点，点 A i (a i,0)(i ＝ 1,2,3，⋯，n)在 x 的正半上，且△ A i － 1A i P i 是正三角形 (A 0 是坐 原点 )．(1)写出 a 1，a 2， a 3；(2)求出点 A n (a n,0)(n ∈ N *)的横坐 a n 对于 n 的表达式．解 (1)a 1 ＝2，a 2＝6，a 3＝ 12；n － 1＋a n n －a n － 1n －a n － 1依 意，得n ＝a ，y n ＝ a，由此及 y n 2＝3x n 得a(2) x 2 3·23 ·22 32 ＝2(a n － 1＋ a n )．＝2(a n － 1＋ a n )，即 (a n － a n －1)由 (1)可猜想： a n ＝ n(n ＋1)(n ∈N * )． 下边用数学 法予以 明：(1)当 n ＝1 ，命 然建立；(2)假定当 n ＝k 命 建立，即有 a k ＝k(k ＋1)，则当 n ＝k ＋1 时，由概括假定及 (a k ＋1－a k )2＝2(a k ＋ a k ＋1)得 [a k ＋ 1－k(k ＋1)] 2＝ 2[k(k ＋1)＋ a k ＋1]，即 (a k ＋ 1)2－2(k 2＋ k ＋ 1)a k ＋1＋[k(k － 1)] [(k ·＋1)(k ＋ 2)]＝0，解之得 a k ＋1 ＝(k ＋1)(k ＋ 2)(a k ＋ 1＝ k(k － 1)＜a k 不合题意，舍去 )，即当 n ＝k ＋1 时，命题也建立．因此 a n ＝n(n ＋1)(n ∈N *)．6．(2013 ·州调研苏 )对于定义域为 A 的函数 f(x)，假如随意的 x 1，x 2∈ A ，当 x 1＜2 时，都有 f(x 1 ＜ 2 ，则称函数f(x) 是 A 上的严格增函数；函数 f(k) 是定义 x ) f(x )在 N * 上，函数值也在 N * 中的严格增函数，而且知足条件 f(f(k))＝3k.(1)证明： f(3k)＝3f(k)； (2)求 f(3k － 1)(k ∈N * )的值；(3)能否存在 p 个连续的自然数，使得它们的函数值挨次也是连续的自然数； 若存在，找出全部的 p 值，若不存在，请说明原因．解(1)证明：对 k ∈N * ， f(f(k))＝3k ，∴ f[f(f(k))] ＝f(3k)①由已知 f(f(k))＝3k ，∴ f[f(f(k))] ＝3f(k)， ②由①、②∴ f(3k)＝ 3f(k)(2)若 f(1)＝ 1，由已知 f(f(k))＝3k 得 f(1)＝ 3，矛盾；设 f(1)＝a ＞1，∴ f(f(1))＝ f(a)＝3，③由 f(k)严格递加，即 1＜a? f(1)＜f(a)＝3，f 1 ≠ 1，∴f 1 ＜ 3，∴f(1) ＝ ，2f 1 ∈N *，由③ f(f(1))＝f(a)＝3，故 f(f(1))＝ f(2)＝ 3.∴ f(1)＝ 2， f(2)＝3.f(3)＝3f(1)＝6，f(6)＝f(3 ·2)＝ 3f(2)＝ 9，f(9)＝3f(3)＝18，f(18) ＝3f(6)＝ 27，f(27)＝3f(9)＝54， f(54)＝3f(18)＝81.依此类推概括猜出： f(3k － 1)＝ 2× 3k －1(k ∈N * )．下边用数学概括法证明：(1)当 k ＝1 时，明显建立；(2)假定当 k ＝l(l ≥1)时建立，即 f(3l － 1)＝2×3l －1，那么当 k＝l ＋1 时，f(3l )＝f(3× 3l－1)＝3f(3l－1)＝ 3× 2× 3l－1＝2·3l.猜想建立，由(1)、(2)所证可知，对 k∈N* f(3k－1)＝ 2× 3k－1建立．(3)存在 p＝ 3k－1＋1，当 p 个连续自然数从3k－1→ 2× 3k－1时，函数值正好也是p 个连续自然数从f(3k－1)＝2×3k－1→f(2× 3k－1)＝ 3k.。
2014高考数学二轮专题复习(苏教版文科)Word版训练专题提升训练阶段检测卷5
阶段检测卷(五)一、填空题(每小题5分，共70分)1．(2013·山东卷改编)复数z ＝(2－i )2i(i 为虚数单位)，则|z |＝________.解析 z ＝3－4ii ＝－4－3i ，∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5. 答案 52．(2011·江苏卷)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.解析 由题意得该组数据的平均数为x ＝15(10＋6＋8＋5＋6)＝7，所以方差为s 2＝15[32＋(－1)2＋12＋(－2)2＋(－1)2]＝3.2. 答案 3.23．(2011·江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析 从中取出两个数共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6种情况．其中一个数是另一个数的两倍的情况共有{1,2}，{2,4}2种，∴p ＝26＝13. 答案 134．(2010·江苏卷)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色相同的概率是________．解析 四个球取出两球有6种等可能基本事件：(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，白3)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)．两只球颜色相同有3种：(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)．所以所求概率为P ＝36＝12. 答案 125．(2013·安徽卷改编)设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝________.解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得： (a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i.则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，因此z ＝1＋i.答案 1＋i6.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________． 解析 当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x <4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91，∴x ＝1.答案 17．(2012·辽宁卷改编)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为________． 解析 设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12－x )cm ，那么矩形的面积为x (12－x )cm 2，由x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10.又0＜x ＜12，所以该矩形面积大于20 cm 2的概率为23. 答案 238．(2013·辽宁卷改编)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．解析 由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.所以该班学生人数150.3＝50. 答案 509．(2013·北京卷改编)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________．解析 执行一次循环后S ＝23，i ＝1；执行第二次循环后，S ＝1321，i ＝2≥2，退出循环体，输出S 的值为1321. 答案 132110．(2012·淮阴、海门、天一中学联考)在圆x 2＋y 2＝4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则|x |＋|y |≤2的概率为________．解析 |x |＋|y |≤2表示的图形是正方形及其内部，用正方形的面积除以圆x 2＋y 2＝4的面积易得概率为2π.答案 2π11.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析 ∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，又∵E 是AD 的中点，∴F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2. 答案212．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．解析 ①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8；个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个．②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个，个位数为0的概率是545＝19. 答案 1913．(2013·湖北卷改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝________.解析第一次循环：a＝5，i＝2；第二次循环：a＝16，i＝3；第三次循环a ＝8，i＝4；第四次循环：a＝4，i＝5，循环终止，输出i＝5.答案 514．(2013·安徽卷改编)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93①这种抽样方法是一种分层抽样；②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是________．解析若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，所以①错；由题目看不出是系统抽样，所以②错；这五名男生成绩的平均数，x男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，这五名女生成绩的平均数x女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，故这五名男生成绩的方差为s2甲＝15(42＋42＋22＋22＋02)＝8，这五名女生成绩的方差为s2乙＝15(32＋22＋22＋32＋22)＝6.显然③正确，④错．答案③二、解答题(共90分)15.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ， ∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求证：DE ⊥平面P AB .证明 (1)设PB 的中点为F ，连接EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，且EF ＝DC ＝12AB .故四边形CDEF 为平行四边形，可得ED ∥CF . 又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ， 故DE ∥平面PBC .(2)因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥PD .又因为AB ⊥AD ，PD ∩AD ＝D ，AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD .ED ⊂平面P AD ，故ED ⊥AB .又PD ＝AD ，E 为P A 的中点，故ED ⊥P A ； P A ∩AB ＝A ，P A ⊂平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以ED ⊥平面P AB .16.(本小题满分14分)(2013·南京、盐城模拟)如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且AB ＝2AE .(1)求证：AB ∥平面CDE ； (2)求证：平面ABCD ⊥平面ADE . 证明 (1)正方形ABCD 中，AB ∥CD ， 又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以AB ∥平面CDE .(2)因为AE ⊥平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，所以AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD＝A，AE、AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE.17．(本小题满分14分)(2013·苏州质检)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点，(1)求证：MN∥平面AA1C1C；(2)若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.证明(1)连接AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点，又N为棱B1C1的中点．所以MN∥AC1，又因为AC1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.(2)因为AC＝AA1，所以四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C，又AC1∥MN，所以A1C⊥MN.又因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC.又因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥AC1，因为MN∥AC1，所以MN⊥BC，又MN⊥A1C，又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.18．(本小题满分16分)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求证：BD ⊥平面POA ；(2)记三棱锥P -ABD 体积为V 1，四棱锥P -BDEF 体积为V 2，且V 1V 2＝43，求此时线段PO 的长．(1)证明 在菱形ABCD 中，∵BD ⊥AC ， ∴BD ⊥AO .∵EF ⊥AC ，∴PO ⊥EF ，∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF ∩平面ABFED ＝EF ，且PO ⊂平面PEF . ∴PO ⊥平面ABFED ， ∵BD ⊂平面ABFED ， ∴PO ⊥BD .∵AO ∩PO ＝O ，AO ，PO ⊂平面POA . ∴BD ⊥平面POA . (2)解 设AO ∩BD ＝H由(1)知，PO ⊥平面ABFED ，PO ＝CO .∴PO 是三棱锥P -ABD 的高及四棱锥P -BDEF 的高 ∴V 1＝13S △ABD ·PO ，V 2＝13S 梯形BFED ·PO ∵V 1V 2＝43∴S 梯形BFED ＝34S △ABD ＝34S △BCD∴S △CEF ＝14S △BCD∵BD ⊥AC ，EF ⊥AC ，∴EF ∥BD ，∴△CEF ∽△CDB ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫CO CH 2＝S △CEF S △BCD ＝14∴CO ＝12CH ＝12AH ＝12×23＝ 3 ∴线段PO 的长为 3.19.(本小题满分16分)(2013·扬州调研)如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若四边形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求证：三棱柱ABC -A1B1C1是正三棱柱．证明(1)连接AC1，设AC1与A1C相交于点O，连接DO，则O为AC1中点，∵D为AB的中点，∴DO∥BC1∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD∴BC1∥平面A1CD；(2)∵等边△ABC，D为AB的中点，∴CD⊥AB∵CD⊥DA1，DA1∩AB＝D，∴CD⊥平面ABB1A1∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，∵四边形BCC1B1是矩形，∴BB1⊥BC∵BC∩CD＝C，∴BB1⊥平面ABC∵底面△ABC是等边三角形∴三棱柱ABC -A1B1C1是正三棱柱．20．(本小题满分16分)(2012·苏锡常镇调研)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．图1图2(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B -DEG的体积．(1)证明如图(1)∵CE＝4，∠DCE＝30°，过点D作AC的垂线交于点M，则DM＝3，EM＝1，∴DE＝2，CD＝2 3.则CD2＋DE2＝EC2，∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.在图(2)中，又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面BCD.图(1)图(2)(2)解在图(2)中，∵EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，∴AE＝EG＝CG＝2.作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，∴BH⊥平面ACD.由条件得BH＝3 2.S△DEG＝13S△ACD＝13×12AC·CD·sin 30°＝ 3.三棱锥B -DEG的体积V＝13S△DEG·BH＝13×3×32＝32.。
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常考问题6三角恒等变换与解三角形
(建议用时：50分钟)
1．(2013·济宁二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于________．
解析∵S＝1
2ac sin B＝2，∴
1
2×1×c×sin 45°＝2.
∴c＝4 2.
∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°.
∴b2＝25，b＝5.
答案 5
2．(2013·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是________三角形．
解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B
或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π
2，所以△ABC为等腰或直角三角形．
答案等腰或直角
3．(2013·浙江卷改编)已知α∈R，sin α＋2cos α＝10
2，则tan 2α等于________．
解析∵sin α＋2cos α＝10 2，
∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.
化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝sin 2α
cos 2α＝－
3
4.
答案－3 4
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于________．
解析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．
由b sin B ＝c sin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，
所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45.
所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725.
答案 725
5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为________．
解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2
(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin
β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·
cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.
答案 6365
6．(2013·衡水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin A ，求b ＝______.
解析 在△ABC 中，sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 2
2bc ·c ，化简并整理得2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，则4b ＝b 2，解得b ＝4或b ＝0(舍)．
答案 4
7．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________. 解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－β2＝32和sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)
＝－12.
答案 －12
8．(2013·苏北四市模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，
C 的对边为a ，b ，c ，则b c ＋c b 的取值范围是________．
解析 因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝12bc sin A ，
解得sin A ＝a 2bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c ＋c b －a 2bc ＝ 12⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c ＋c b －sin A ， 得b c ＋c b ＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)，
所以由基本不等式和辅助角公式得b c ＋c b 的取值范围是[2，5]．
答案 [2，5]
9．(2010·江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.
(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？
解 (1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝
H
tan β，
解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20
＝124. 因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.
(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d .
由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α tan β
＝h d ＋H (H －h )d ≤h 2H (H －h )，当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大． 因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π
2，所以当d ＝555时，α－β最大．
故所求的d 是555m.
10．(2012·江苏卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.
(1)求证：tan B ＝3tan A ；
(2)若cos C ＝5
5，求A 的值．
(1)证明 因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC
sin A ，
从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，
又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0，
所以tan B ＝3tan A . (2)解 因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝25
5，
从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，
亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－1
3， 因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π
4.
11
．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .
(1)求B ；
(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
解 (1)由已知及正弦定理，得
sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①
又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝π4.
(2)△ABC的面积S＝1
2ac sin B＝
2
4ac.
由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos π4.
又a2＋c2≥2ac，故ac≤
4
2－2
，
当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为2＋1.。