线弹性断裂力学(第一章)

a 是决定裂纹尖端区域应力场强度的因子，称其为应
力强度因子。 用符号 K 表示。
(注脚Ⅰ表示：是Ⅰ型断裂问题的应力强度因子)
在研究无限大平板中心穿透裂纹时，有
K a
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
由上述可知，在裂纹尖端区域起主导作用的那一部分 应力场，可以用参数 K 来描述。 传统强度学只考虑外载荷对断裂的影响，而没有考虑 构件存在初始裂纹这一重要因素；而应力强度因子这个参 数，既包含外加的名义应力，又包含构件中已经存在的裂 纹长度a，即既与远离裂纹平板承受的均匀拉应力成正比， 又与裂纹的形式和尺寸有关。
2.3 应力强度因子断裂准则
断裂发生条件：
根据能量释放观点，物体在发生断裂时，裂纹尖端要释放 出多余的能量。这个能量必然与裂纹尖端附近区域的应力场有
关，裂纹尖端应力场的能量强度足够大时，断裂即可发生，反
之就不会发生。 因此，近代线弹性断裂力学的研究都注重裂纹尖端应力场 的分析，从应力场的特征寻找裂纹失稳扩展的条件，即应力强
对于厚板，为平面应变状态， 还有
z ( x y )
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
三个应力分量为：
a 3 x cos (1 sin sin ) 2 2 2 2r a 3 y cos (1 sin sin ) 2 2 2 2r a 3 xy sin cos cos 2 2 2 2r
K 3 x cos (1 sin sin ) 2 2 2 2r K 3 y cos (1 sin sin ) 2 2 2 2r K 3 xy sin cos cos 2 2 2 2r
令 0 ，即可得裂纹延长线上的各应力分量
I型裂纹的研究也最多， 实际裂纹即使是复合型裂
纹，也往往把它作为Ⅰ型
裂纹来处理，这样更安全。
2.3.2 平面应力与平面应变
在分析裂纹尖端的应力场时，将遇到两种应力应变状态，即平 面应力状态和平面应变状态 。 取一块中央带有穿
透裂纹，受与裂纹垂直
的均匀拉应力作用的平 板(右图)来研究。
2.3.2 平面应力与平面应变
2.3.2 平面应力与平面应变
对于实际构件来说，我们可以认为： 如果构件的厚度很小就是平面应力状态；
如果构件的厚度很大就是平面应变状态；
如果构件的厚度中等，则两个外表面属于平面应力状态， 中间的大部分区域属于平面应变状态。
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
20世纪50年代，Irwin利用 Westergaard研究
用应力强度因子来建立裂纹发生扩展的判据。
对于Ⅰ型裂纹，当 K K c (平面应变) K Kc (平面应力) 时，
裂纹处于失稳扩展的临界状态。这就是K断裂准则。 而 K c K IC 分别称为平面应力状态和平面应变状态的 临界应力强度因子
2.3.4 K断裂准则
1. K准则表达式
K准则究竟能否成立 ？
这就是平面应变断裂韧性。
不随厚度变化。 KIc
2.3.4 K断裂准则
2. K准则与G准则的关系
K准则与G准则作为断裂判据，有何关系？ 比较一下I型裂纹的应力强度因子与能量释放率： 对于平面应力状态 能量释放率 GI
2a
E
K 2 E
K Kc
G Gc
K c2 Gc E
理想脆性材料在线弹性条件下有
K 2r K y 2r xy 0
x
对于平面应力状态，
z 0
；对于平面应变状态，则有
z
2K 2r
2.3.3 裂纹尖端附近的应Байду номын сангаас场
当给定 K 值时，我们可作出 y 随 r 的变化曲线，如图所示。 由图我们可以进一步看出以下几点： (l) 当
因而，K准则是确实成立的。
Kc
2.3.4 K断裂准则
材料的断裂韧性值与裂纹处的应力状态有关，不同的应力状 态对应的断裂韧性值不一样。由于构件的厚度确定了构件中的 应力状态，所以构件厚度直接影响材料的断裂韧性。 当厚度较小时，趋于平面应力状态，断裂韧性值较高，称为 平面应力断裂韧性。不同的厚度所对应的 K c 值不相同，有一 个最佳厚度，其所对应的值最高。厚度增加时， K c 值减小。 当厚度增加到某一个数 值时，裂纹尖端趋于平面 应变状态，此时的断裂韧 性值是一个较低的常值，
在裂纹尺寸一定时 ，它们的值越大，扩展临界应力 c 就越大
相反外加应力一定时，它们的值愈大，扩展的临界尺寸就愈大
2.3.4 K断裂准则
1. K准则表达式
K准则究竟能否成立 ？ 显然，K C 和 K IC 表征了材料抵抗裂纹失稳扩展的能力， 是材料抗脆性破坏能力的一个韧性指标，是一个崭新的物理
量，分别称为平面应力断裂韧性和平面应变断裂韧性。
z 0 ；对于平面应变状态， z ( x y ) 对于平面应力状态，
实验结果表明，II型裂纹的扩 展途径并非沿原来的裂纹线， 而是沿着与原裂纹线成一定倾 角的方向扩展，如图 (b)所示。
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
对于Ⅲ型裂纹(如图)，有
在平面应力和平面应变条 件下，上式应力分量的表 达式相同。 实验结果表明，Ⅲ型裂纹 的扩展方向和I型裂纹的 扩展方向一致，都是沿着 原裂纹线扩展的。
Gc 2 S
G准则的裂纹临界扩展条件 2E S c a 2E S c a 说明K准则与G准则实际上是等同的。
K c 2E S
K Kc
2.3.4 K断裂准则
2. K准则与G准则的关系
根据弹性力学分析
平面应力状态
K GI E
K Gc E
2
E /(1 )代替E
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
a 3 x cos (1 sin sin ) 2 2 2 K a 2r a 3 y cos (1 sin sin ) 2 2 2 2r a 3 xy sin cos cos 2 2 2 2r
度因子断裂准则(K准则)；并研究了裂纹尖端塑性区的影响和修
正，使脆性断裂准则能用于实际工程材料。
2.3.1 裂纹体的三种断裂类型
裂纹体中的裂纹，由于外加作用力的不同，可以分为三种不同 的类型，如图所示，相应地称为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型断裂问题 由于Ⅰ型裂纹是最常 见和最危险的，容易引起
超低应力脆断；近年来对
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
(2) 当 r 0 时，应力 y 无限增大，
r 0 的点，应力是奇点(所谓奇点就是此点的
数值趋近于无穷大)。也就是说，裂纹尖端应力 场具有奇异性。 应力强度因子就是用来描述这种奇异性的 力学参量。
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
(3) r 0 应力无限增大，这反映了完全不进入塑性状态 的“理想脆性”材料的特征。因此，用来表达裂纹尖端的 应力场，严格来说，只对“理想脆性”材料才合适，实际 工程材料要应用应力强度因子概念，则必须进行修正。
在应力场内的任意给定的点( r , )，其应力分量的大小均为
a 这个因子所决定。
当 a 增大时，应力场内各点的应力均“放大”了； 减少时，应力场内各点的应力就“缩小”了。
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
a 实质上是一个比例系数。当其较大时，应力场中各点
的应力均较大，应力场的强度较强；反之，则应力场的强 度较弱，即：
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
研究无限大平板中心穿透裂纹时，得到
K a
其他裂纹体的应力强度因子
K I Y a
式中 Y 是和裂纹形状、加载方式及构件几何形状等有关的系数。
对无限大平板中心穿透裂纹
Y
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
对一般平板来概括，则应力强度因子表达式可写成
K xz sin 2 2r K yz cos 2 2r
x y z xy
0
2.3.4 K断裂准则
1. K准则表达式
由于应力强度因子是反映裂纹尖端应力场强弱程度的参数， 而裂纹是否发生失稳扩展总是和裂纹尖端应力场的强弱程度有 关的。
r 很大时，应力
y 趋于零，然而实际应该为
。
所以很明显，应力的求解式仅在裂 纹尖端周围一个有限的区域内有效，
是裂纹尖端附近应力场的近似表达
式，愈接近裂纹尖端，精确度愈高， 即仅在
r a 时才适用。所以应力强度因子。
K lim y ( 0) 2r
r 0
K 又可以用极限形式来描述，即
不仅在于理论上的推导合乎逻辑，关键在于它能否通过 试验直接或间接地测定出来，并且表明它确实是与裂纹的扩 展有关。
裂纹试样的拉断试验表明：一定材料在低应力脆断情况下， K C 和 K IC 是确实存在的。
平面应变 K K c 平面应力 K Kc
K IC＝ c a FI
KC＝ c a FI
2.3 应力强度因子断裂准则
引言：应力强度因子断裂准则的提出过程
G Griffith裂纹能量释放率为 2E S 2 Griffith裂纹判据 a
2 a
E
经典能量平衡理论，提出了能量释放率这个重要概念，所
建立的断裂准则在概念上很清楚，形式上也很简单。但经典理
论的结果不便于应用，因为能量释放率的计算比较复杂，而且 表面自由能和表面能也不易测量 。
对于薄板，裂纹尖端材料将受到xOy平面的应力 x , y , xy
的作用，称这种状态为平面应力状态。此时
z xz yz 0 但 z 0
平面应力状态是三向应变状态，裂纹尖端容易产生变形。
对于厚板，裂纹尖端材料的应变仅发生在xOy平面内，所以 称这种状态为平面应变状态 。 这种状态，不仅有 x , y , xy 的作用，而且 z 0 平面应变状态是三向应力状态，裂纹尖端不易产生变形。
K I FI a
式中 FI —— 构件几何形状修正系数。 应力强度因子的量纲为 MPa m
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
x
对于Ⅱ型裂纹(如图 (a))，有
xy
K 3 ( sin )(2 cos cos ) 2 2 2 2r K 3 y cos sin cos 2 2 2 2r K 3 cos (1 sin sin ) 2 2 2 2r
裂纹问题所采用的线弹性力学方法，对裂纹尖端附
近区域的应力状态进行了研究，得出了裂纹尖端附 近各点(极坐标为)的应力分量，并引出了“应力强 度因子”的概念。
2.3.3 裂纹尖端附近的应力场
取单位厚度的无限大平板，中央有长为2a的穿透裂纹，承
受与裂纹垂直的均匀拉伸应力，如图所示。
对于薄板，为平面应力状态 三个应力分量为：
2. K准则与G准则的关系
综上所述，裂纹发生临界扩展的条件。 当裂纹体的能量释放率达到临界能量释放率； 当裂纹尖端区域的应力强度因子达到其临界值。
G GC (或 GC) K K C (或 K C)
平面应变断裂韧性
a 3 x cos (1 sin sin ) 2 2 2 2r a 3 y cos (1 sin sin ) 2 2 2 2r a 3 xy sin cos cos ) 2 2 2 2r
2
平面应变状态
(1 2 ) K 2 GI E (1 2 ) K c2 Gc E
2 c
K c 2E S
K c
2 E S 1 2
K C 和 K C 只取决于材料表面能 S 和弹性系数E 在线弹性条件下，
(后者还与泊松比

有关)，所以是材料的性能指标。
2.3.4 K断裂准则