2020高考数学三轮冲刺 练透高考必会题型练习 函数与导数 (2)

需满足 2t≥1，所以1≤t<1. 2
综上 t∈[1，2]，故选 A. 2
4．若直角坐标平面内的两点 P，Q 满足条件：①P，Q 都在函数 y＝f(x)的图象上；②P，Q
关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数 y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看
log2x，x>0，
作同一对“友好点对”)．已知函数 f(x)＝
恒成立，
需 t≤2，所以 1<t≤2；
当 t＝1 时，f(x)＝1，显然满足题意；
当 t<1 时，函数 f(m)在(1，＋∞)上单调递增，
所以 y∈(t,1)，
此时 2t<f(x1)＋f(x2)<2，t<f(x3)<1，
要使 f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的 x1，x2，x3∈R 恒成立，
任意(x1，y1)∈M，不存在(x2，y2)∈M，满足“垂直双点集”的定义；对任意(x1，y1)∈M，在
另一支上也不存在(x2，y2)∈M，使得 x1x2＋y1y2＝0 成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，
不是“垂直双点集”．
对于②，M＝{(x，y)|y＝sin x＋1}，如图 1 所示，在曲线 y＝sin x＋1 上，对任意的点 B(x1， y1)∈M，总存在点 C(x2，y2)∈M，使得 OB⊥OC，即 x1x2＋y1y2＝0 成立，故 M＝{(x，y)|y＝ sin x＋1}是“垂直双点集”． 对于③，M＝{(x，y)|y＝log2x}，如图 2 所示，在曲线 y＝log2x 上，取点(1,0)，则曲线上不存 在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直双点集”．
所以 h(1)>h(e)， e
故函数 h(x)的最大值为 h(1)＝－m＋e－1. e
故函数 h(x)在[1，e]上的值域为[－m＋1，－m＋e－1]． e
由题意，得|h(x)|≤e，即－e≤h(x)≤e，
－m＋1≥－e，
所以
解得－1≤m≤1＋e.
－m＋e－1≤e，
3．对于函数 f(x)，若任意的 a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称 f(x)
故 f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的 x1，x2，x3∈R 恒成立．
由 f(x)＝ ex＋t ＝1＋ t－1 ，
ex＋1
ex＋1
设 ex＋1＝m(m>1)，则原函数可化为 f(m)＝1＋t－1(m>1)， m
当 t>1 时，函数 f(m)在(1，＋∞)上单调递减，
所以 f(m)∈(1，t)，此时 2<f(x1)＋f(x2)<2t,1<f(x3)<t，要使 f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的 x1，x2，x3∈R
数函数；④因为函数的定义域为[0,4]，不关于原点对称，故函数不是偶函数．综上可知命题 ①②③是正确的． 9．对于函数 f(x)，若存在区间 M＝[a，b](其中 a<b)，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M，则称区间 M 为函数 f(x)的一个“稳定区间”．给出下列 4 个函数： ①f(x)＝(x－1)2；②f(x)＝|2x－1|； ③f(x)＝cos πx；④f(x)＝ex.
为“可构造三角形函数”．已知函数 f(x)＝ ex＋t 是“可构造三角形函数”，则实数 t 的取值 ex＋1
范围是( )
A．[1，2] B．[0,1] 2
C．[1,2] D．(0，＋∞)
答案 A
解析 因为对任意的实数 x1，x2，x3∈R，
都存在以 f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，
则此函数的“友好点对”有
－x2－4x，x≤0，
()
A．0 对 B．1 对 C．2 对 D．3 对
答案 C
log2xx>0， 解析 函数 f(x)＝
－x2－4xx≤0
的图象及函数 f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则 A，B 两点关于 原点的对称点一定在函数 f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象上，故函数 f(x)的“友好点对”有 2 对， 选 C. 5．(2014·山东)对于函数 f(x)，若存在常数 a≠0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f(x)＝ f(2a－x)，则称 f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( ) A．f(x)＝ x B．f(x)＝x2 C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1) 答案 D 解析 由 f(x)＝f(2a－x)知 f(x)的图象关于 x＝a 对称， 且 a≠0，A，C 中两函数图象无对称轴， B 中函数图象对称轴只有 x＝0， 而 D 中当 a＝kπ－1(k∈Z)时， x＝a 都是 y＝cos(x＋1)的图象的对称轴．故选 D. 6．(2014·辽宁)已知定义在[0,1]上的函数 f(x)满足： ①f(0)＝f(1)＝0； ②对所有 x，y∈[0,1]，且 x≠y，有|f(x)－f(y)|<1|x－y|.
2 ＝C 成立(其中 C 为常数)，则称函数 y＝f(x)在 D 上的均值为 C.现在给出下列 4 个函数：①y ＝x3；②y＝4sin x；③y＝lg x；④y＝2x.则在其定义域上的均值为 2 的所有函数是( ) A．①② B．③④ C．①③④ D．①③ 破题切入点 如何求均值？按定义，能否使均值为 2? 答案 D 解析 经验证，①③是符合题意的；对于②，x2 不唯一；对于④，若满足题中的定义，则 f(x1) ＋f(x2)＝4，f(x2)＝4－f(x1)，由 x1 的任意性，知 f(x2)需满足能取到负值，而这是不可能的，故 选 D. 总结提高 有关以函数为背景的创新题型，题型主要以选择、填空题尤其以多项选择题为主，
∴|f(x)|＋|f(x)|<1x＋1－1x＝1， 2 22 2
∴|f(x)|<1. 4
不妨取 f(x)≥0，则 0≤f(x)<1，0≤f(y)<1，
4
4
∴|f(x)－f(y)|<1－0＝1， 44
要使|f(x)－f(y)|<k 恒成立，只需 k≥1. 4
∴k 的最小值为1. 4
7．设集合 M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得 x1x2＋y1y2
一般是先叙述或新规定一些条件，若满足这些条件则该函数为该类函数或具有该性质，解决 办法是根据我们所学过的其他函数的有关意义和性质来逐个验证加以解决，注意严格准确把 握新定义．
1．设 D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域 D 夹在直线 y＝－1 与 y＝t(t∈[－1,1])之间 的部分的面积”为 S，则函数 S＝f(t)的图象的大致形状为( )
h′(x)＝－x12＋1x＝x－x2 1，
故当 x∈[1，1)时，h′(x)<0，函数 h(x)单调递减； e
当 x∈[1，e]时，h′(x)≥0，函数 h(x)单调递增．
所以函数 h(x)的最小值为 h(1)＝－m＋1，
而 h(1)＝－m＋e－1，h(e)＝－m＋1＋1，
e

e
显然 e－1>1＋1， e
2 若对所有 x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|<k 恒成立，则 k 的最小值为( )
A.1 B.1 24
C. 1 D.1 2π 8
答案 B
解析 取 y＝0，则|f(x)－f(0)|<1|x－0|，即|f(x)|<1x，
2
2
取 y＝1，则|f(x)－f(1)|<1|x－1|， 2
即|f(x)|<1(1－x)． 2
＝0 成立，则称集合 M 为“垂直双点集”．给出下列四个集合：
①M＝{(x，y)|y＝1}；②M＝{(x，y)|y＝sin x
x＋1}；③M＝{(x，y)|y＝log2x}；④M＝{(x，y)|y
＝ex－2}．其中是“垂直双点集”的序号是( )
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
答案 D
解析 对于①，y＝1是以 x 轴，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为 90°，在同一支上， x
第 13 练 以函数为背景的创新题型
题型一 新定义函数名称的问题 例 1 定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)} 仍是等比数列，则称 f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下 函数： ①f(x)＝x2；②f(x)＝2x； ③f(x)＝ |x|；④f(x)＝ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( ) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 破题切入点 准确把握严格按照“保等比数列函数”的概念逐个验证． 答案 C 解析 等比数列性质，anan＋2＝a2n＋1， ①f(an)f(an＋2)＝a2na2n＋2＝(a2n＋1)2＝f2(an＋1)； ②f(an)f(an＋2)＝2an2an＋2＝2an＋an＋2≠f2(an＋1)； ③f(an)f(an＋2)＝ |anan＋2|＝ |an＋1|2 ＝f2(an＋1)； ④f(an)f(an＋2)＝ln |an|ln |an＋2|≠(ln |an＋1|)2 ＝f2(an＋1)． 题型二 新定义函数的性质或部分性质问题 例 2 设函数 f(x)的定义域为 D，如果对于任意的 x1∈D，存在唯一的 x2∈D，使得fx1＋fx2
答案 C 解析
如图，平面区域 D 为阴影部分，当 t＝－1 时，S＝0，排除 D；当 t＝－12时，S>14Smax，排除
A、B.
2．设函数 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的 x∈[a，b]，都有|f(x)
－g(x)|≤k(k>0)，则称 f(x)与 g(x)在[a，b]上是“k 度和谐函数”，[a，b]称为“k 度密切区